La filtration de Krull de la catégorie U et la cohomologie des espaces

Lionel Schwartz ^{∗}

January 6, 2000

Abstract

Cet article démontre une variante d’une conjecture due à N. Kuhn. Cette conjecture s’exprime à l’aide de la filtration de Krull de la catégorie U des modules instables. Notons U_{n}, n ≥ 0, le n-ième terme de cette filtration. La catégorie U est la plus petite classe de Serre contenant les catégories U_{n} et stable par colimite [Sc2]. La catégorie U_{0} est celle des modules localement finis, c’est-à-dire limite directe de modules finis.

On entend par classe de Serre une sous-catégorie stable par sous-objet et quotient, et telle que pour toute suite exacte courte, si le premier et le troisième terme sont dans la sous-catégorie, alors le terme central l’est aussi.

La conjecture s’énonce comme suit, soit X un espace, alors :

• soit H^{∗}X ∈ U_{0},

• soit H^{∗}X ∉ U_{n}, pour tout n.

Par exemple la cohomologie d’un espace de dimension finie, ou celle de son espace des lacets sont toujours dans U_{0}. Alors que la cohomologie du classifiant d’un groupe fini, d’ordre divisible par 2 n’est, elle, dans aucune des sous-catégories U_{n}.

On démontre cette conjecture, modulo l’hypothèse supplémentaire que tous les quotients de la filtration nilpotente ont un nombre fini de générateurs. Cette condition implique en particulier que la cohomologie est de dimension finie en chaque degré. Mais elle est plus forte, et assure les conditions d’application du théorème de Lannes sur la cohomologie des espaces fonctionnels. Ce théorème est nécessaire pour appliquer la réduction de Kuhn [K]. En fait, sans l’hypothèse supplémentaire, la conjecture est mal posée, telle que. On devra, si on espère obtenir une généralisation, permettant de la supprimer, travailler dans un contexte homologique. Dans ce cas la difficulté est d’obtenir une extension du théorème de Lannes.

Par commodité on ne considèrera dans cet article que le cas p = 2.

∗Université Paris-Nord, Institut Galilée, LAGA, UMR 7539 du CNRS, Av. J.-B. Clément, 93430, Villetaneuse, France, e-mail : schwartz@math.univ-paris13.fr

Un problème important en topologie est de savoir quand un module instable sur l’algèbre de Steenrod, ou une algèbre instable, est la cohomologie singulière d’un espace. L’exemple le plus célèbre est celui de la réalisabilité des algèbres de polynômes comme cohomologie d’espaces. Ce problème, posé par N. E. Steenrod, est très lié au problème de l’invariant de Hopf 1 résolu par J. F. Adams. Les techniques développées au cours des années 80 et 90 par H. Miller et J. Lannes ont débouché sur les résultats spectaculaires de B. Dwyer, H. Miller et C. Wilkerson, entre autres, dans cette direction. Le présent article étudie une autre instance de ce problème, qui a été soulevée par N. Kuhn dans [K]. L’énoncé obtenu prolonge un résultat précédent de l’auteur [Sc3], résultat qui avait été aussi conjecturé par Kuhn.

La catégorie U des modules instables sur l’algèbre de Steenrod admet une filtration décroissante par des sous-catégories pleines N il_{k}, k ≥ 0. Ces catégories sont définies comme suit. La catégorie N il_{k} est la plus petite classe de Serre, stable par limite directe, et qui contient Σ^{k}M pour tout module instable M. Chaque module instable admet donc une filtration décroissante, que l’on appellera filtration nilpotente du module. Si M est un module instable on notera M_{s} son plus grand sous-module instable s-nilpotent. Le quotient M_{s}/M_{s+1} est de la forme Σ^{s}R_{s}, où R_{s} est un module instable réduit, c’est-à-dire ne contenant pas de suspension non-triviale.

Cet article démontre le théorème suivant :

Théorème 0.1 Soit X un espace, et soit M la cohomologie singulière modulo 2 de l’espace X. Supposons que M ∈ U_{n} pour un certain entier n, et que pour tout s le quotient M_{s}/M_{s+1} ait un nombre fini de générateurs sur l’algèbre de Steenrod. Alors M est localement finie, c’est-à-dire limite directe de modules finis sur l’algèbre de Steenrod, i.e. M ∈ U_{0}.

En fait on démontrera que chacun des quotients M_{s}/M_{s+1} est fini, et non nul seulement en degré s car il est réduit. On en déduit que M est localement fini, on le montre à l’aide du foncteur T̄ de Lannes et au fait que celui ci conserve la filtration nilpotente. On a :

Lemme 0.2 Un module instable M tel que tous les quotients R_{s}(M) sont localement finis est localement fini.

Par comparaison, le cas de [Sc3] est celui où la filtration nilpotente est finie, c’est-à-dire que le quotient M_{s}/M_{s+1} est nul pour tout s assez grand.

On démontre, en fait un énoncé plus général. On n’a pas cherché à donner la version la plus générale dans cet article, dans la mesure où on n’a pu démontrer en toute généralité la forme la plus forte de la conjecture de Kuhn (mentionnée ci-dessous). Mais en voici un cas particulier :

Théorème 0.3 Soit X un espace 2d-connexe, d ≥ 1. Soit M sa cohomologie réduite modulo 2, supposons que tous les cup-produits y soient triviaux. Supposons que M ∈ N il_{d}, que M/M_{2d} ∈ U_{1}, et que pour tout entier s ≤ d le module instable T̄^{s}(M) soit de dimension finie en chaque degré, alors M ∈ N il_{d+1}.

Il convient de noter que, relativement à la fitration de Krull, seul intervient le quotient M/M_{2d}.

Soit X un espace dont la cohomologie M satisfait à la condition de finitude imposée ci-dessus sur les quotients de la filtration nilpotente. Cette condition permet d’appliquer le théorème de Lannes sur la cohomologie des espaces fonctionnels. En effet elle implique que T (M) est de dimension finie en chaque degré. On peut donc calculer la cohomologie de la cofibre C(X) de X → map(RP^{∞}, X) et effectuer la réduction de Kuhn [K]. C’est-à-dire que si H^{∗}X ∈ U_{n}, mais H^{∗}X ∉ U_{n−1}, la cohomologie H^{∗}C(X) ≅ T̄(H^{∗}X) ∈ U_{n−1}, mais H^{∗}C(X) ∉ U_{n−2}. On peut donc raisonner par l’absurde et supposer qu’il existe un espace X dont la cohomologie est dans U_{n}, mais non dans U_{n−1}, et par itération, se ramener au cas d’un espace dont la cohomologie appartient à U_{1}, mais pas à U_{0} et montrer que ceci est impossible.

La conjecture, sans l’hypothèse de finitude faite ci-dessus, ne peut être analysée dans la catégorie U et doit être remplacée par une conjecture portant sur la structure de l’homologie comme module instable à droite. Dans ce contexte on doit modifier la définition de la filtration de Krull dans le sens suggéré par [LS], i.e. on doit considérer une fitration décroissante sur la catégorie des modules instables à droite. Ceci pose aussi la question d’une extension du théorème de Lannes, question qu’on espère étudier par ailleurs.

Il reste la forme la plus générale de la conjecture de Kuhn (évoquée plus haut) . Nous la reformulons ici légèrement, pour ce faire le language des foncteurs [Sc2], [K] est commode. Le module R_{s} est donc interprété comme un foncteur de la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie sur le corps à 2 éléments dans la catégorie des espaces vectoriels sur le corps à 2 éléments, on fait évidemment une hypothèse de finitude adéquate pour pouvoir travailler dans un contexte cohomologique :

Conjecture 0.1 La suite des foncteurs R_{s} est telle que :

• soit il y en a au moins un foncteur dont la série de Loewy (ou série des socles) est infinie et dont les facteurs de composition ne sont pas bornées en degré,

• soit tous les foncteurs R_{s} sont constants.

On peut préciser cette conjecture, et c’est la justification du théorème 0.2 ci-dessus. Soit d le plus petit entier tel que R_{d} soit un foncteur non-constant et de degré fini, supposons d > 1. Alors on a :

Conjecture 0.2 Un, au moins, des foncteurs R_{s}, d < s < 2d − 1 est de degré non borné.

En termes de modules instables la conjecture 0.1 signifie que :

• que l’un au moins des modules instables correspondants a un nombre infini de générateurs,

• que ces générateurs apparaissent dans des degrés d, avec α(d) non borné. On rappelle que α(d) est le nombre de 1 dans la décomposition 2-adique de d,

• la série de Loewy du module instable dans U/N il est infinie.

On renvoie à [Sc4].

Le plan de la démonstration du théorème 0.1 est le même que dans [Sc3]. Comme on l’a déjà dit, le cas de [Sc3] correspond à l’énoncé 0.1 avec en plus l’hypothèse que les quotients M_{s}/M_{s+1} sont nuls pour tout entier s assez grand. Rappelons très brièvement l’idée de [Sc3]. On raisonne par l’absurde, et on suppose donc qu’il existe un espace X dont la cohomologie est dans U_{1} mais n’est pas localement finie, i.e. n’appartient pas à U_{0}. On montre alors que, dans la cohomologie d’un certain espace de lacets itérés de X, la relation reliant le cup-carré aux opérations de Steenrod ne peut être satisfaite.

La différence fondamentale entre [Sc3] et le présent article est que l’hypothèse faite ne permet pas d’obtenir de zones d’annulation dans la cohomologie des espaces de lacets associés. On est amené à introduire des zones d’annulation modulo des termes de degré supérieur de nilpotence.

Ceci fait qu’il est difficile d’obtenir un résultat concernant des complexes finis, dont on déduirait celui cherché, comme cela est fait dans [Sc3]. Ceci est néanmoins possible, mais il y a peu d’espoirs d’obtenir des énoncés généraux satisfaisants.

On peut poser la question suivante. Soit M un module instable, supposons que M ≅ H^{∗}X. Quelles sont les restrictions sur la structure de M imposées par les propriétés de la suite spectrale d’Eilenberg-Moore calculant la cohomologie de ΩX, en particulier imposée par le fait que l’aboutissement de la suite spectrale doit avoir une structure d’algèbre instable? Je dois la formulation de cette question sous cette forme à H. Baues et à des remarques de N. Kuhn.

Les sections 1 et 2 consistent en des rappels sur la filtration nilpotente, la section 2 sur la filtration nilpotente, et l’énoncé des résultats concernant le comportement des foncteurs R_{s} sur la cohomologie des espaces quand on passe de X à ΩX. Dans la section 3 on démontre ces résultats à l’aide de la suite spectrale d’Eilenberg-Moore. On démontre le théorème dans les sections 4 et 5. La section 7 donne un complément sur la filtration nilpotente.

L’idée essentielle de cet article a été trouvée lors d’un séjour au CRM à l’Universitat Autònoma de Barcelona en Juin 1998. L’auteur tient à remercier le groupe de topologie algébrique, et en particulier J. Aguade et C. Broto, pour leur accueil chaleureux, Dagmar Meyer pour ses remarques, et le groupe de topologie algébrique de Tunis pour l’intérêt qu’il a manifesté pour ce problème.

On fera partout l’hypothèse que les modules instables considérés sont de dimension finie en chaque degré.

1 La filtration nilpotente de la catégorie U et le foncteurs R_{s}

On rappelle d’abord les deux définitions de la filtration nilpotente sur la catégorie U des modules instables. Nous avons dans ce texte conservé les conventions de [Sc2], on prendra garde au décalage dans la définition des catégories N il_{k} par rapport à [Sc1]. Dans le contexte de [Sc1] la catégorie U est N il_{−1}. La notation choisie ici, celle de [Sc2], pour U est N il_{0}.

Définition 1.1 Soit un entier s ≥ 0, la catégorie N il_{s} est la plus petite classe de Serre stable par limite directe, et qui contienne Σ^{s}M pour tout module instable M. Un module qui appartient à N il_{s} est dit de degré de nilpotence (au moins) s, ou (au moins) s-nilpotent.

On remarquera qu’un module s-nilpotent est (s − 1)-connexe.

La filtration nilpotente est décroissante et convergente. C’est-à-dire que l’intersection des sous-catégories N il_{s} est réduite au module trivial. La filtration de la catégorie induit sur chaque module instable une filtration décroissante, que l’on appellera filtration nilpotente du module.

Si M est un module instable on notera M_{s} son plus grand sousmodule instable s-nilpotent, cette notation sera conservée dans tout l’article.

Définition 1.2 On dira qu’un élément d’un module instable est de degré de nilpotence au moins s, ou s-nilpotent, si le sous-module qu’il engendre est de degré de nilpotence au moins s. On dira qu’un élément est de degré de nilpotence exactement s s’il est de degré au moins s et s’il n’est pas de degré au moins s+1. Un tel élément est nécessairement non-nul.

Définition 1.3 On note Sq_{k} l’opération qui à un élément x de degré |x| d’un module instable M associe la classe Sq^{|x|−k}x de degré 2|x| − k.

Par convention Sq_{k}x = 0 dès que k > |x|.

A cause de l’instabilité on a Sq_{k}x = 0 dès que k < 0.

Soit M un module instable et soit Σ^{s}(M). Soit x ∈ M, on note σ^{s}x la s-ième suspension de x. On a :

σ^{s}(Sq_{k})(x)) = (Sq_{k+s})(σ^{s}x) .

Proposition 1.4 (Sc1) Soit M un module instable. Les conditions suivantes sont équivalentes :

• M est (au moins) s-nilpotent,

• pour tout x ∈ M et tout entier k tel que 0 ≤ k < s, il existe un entier c, dépendant de x et k, tel que (Sq_{k})^{c} x = 0.

Pour s = 0 la condition est vide, on trouve donc bien U.

C’est par la seconde condition de cette proposition que la filtration nilpotente a été introduite dans [Sc1]. En fait, dans les applications qui en ont été données jusqu’ici, c’est, presque toujours, la première condition (i.e. la définition 1.1) qui a été utilisée. Dans cet article la condition originelle de [Sc1] joue un rôle important. Pour cette raison, et parce que les indications de [Sc1] sont un peu sèches, on redonnera en fin de l’article la démonstration du point clé de la proposition précédente.

Soit M un module instable et M_{s} son plus grand sous-module instable snilpotent. Chaque module instable admet une filtration décroissante et convergente :

M = M_{0} ⊃ M_{1} ⊃ M_{2} ⊃ … M_{s} ⊃ …

Le quotient M_{s}/M_{s+1} est de la forme Σ^{s}R_{s}(M), où R_{s}(M) est un module instable réduit, c’est-à-dire ne contenant pas de suspension non-triviale [Sc2], [K]. La définition de R_{s} est naturelle et R_{s} est un foncteur en M.

En fait, la condition ci-dessus caractérise la filtration nilpotente [K], i.e. une filtration décroissante dont le s-ième quotient est la suspension s-ième d’un module réduit pour tout s est nécessairement la filtration nilpotente. Par ailleurs il est facile de voir que les foncteurs T et T̄ de Lannes respectent cette filtration, en ce sens que pour tout module instable M on a :

T (M_{s}) = T (M)_{s} et T̄(M_{s}) = T̄(M)_{s} .

Deux modules instables réduits M et N seront dits fortement F -isomorphes si ils ont même N il-localisation [Sc2]. On notera M ≅_{F} N. Ceci revient à dire qu’il existe un module instable L tel que :

• L admet un monomorphisme i dans M et un monomorphisme j dans N,

• pour tout élément non-nul x dans M il existe un entier c tel que (Sq_{0})^{c}x est dans l’image de i et non-nul, pour tout élément non-nul x dans N il existe un entier c tel que (Sq_{0})^{c}x soit dans l’image de j et non-nul.

Le module L ci-dessus est nécessairement réduit.

Un monomorphisme i : N → M est un F -isomorphisme fort si et seulement si pour tout x ∈ M, x ≠ 0, il existe un entier c -dépendant de x- tel que Sq_{0}^{c}(x) ∈ N, et Sq_{0}^{c}(x) ≠ 0.

Les deux théorèmes suivants décrivent le comportement de certains des foncteurs R_{s} quand on passe d’un espace X à son espace de lacets ΩX.

Théorème 1.5 Soit X un espace 1-connexe tel que H^{∗}X est de dimension finie en chaque degré et que H^{∗}X ∈ N il_{d}, d > 1. Alors H^{∗}ΩX ∈ N il_{d−1} et pour d − 1 ≤ s < 2d − 2 on a :

R_{s}(H^{∗}X) ≅_{F} R_{s−1}(H^{∗}ΩX) .

On peut se demander si il n’y a pas, en fait, isomorphisme.

Théorème 1.6 Soit X un espace 1-connexe tel que H^{∗}X soit de dimension finie en chaque degré et que H^{∗}X ∈ N il_{d}, d > 1. Alors H^{∗}ΩX ∈ N il_{d−1} et le module instable R_{2d−2}(H^{∗}ΩX) est fortement F -isomorphe à un module instable E donné par une extension de la forme :

{0} → R_{2d−1}(H^{∗}X) → E → M → {0} ,

où M est un sous-module de (R_{d}(H^{∗}X))^{⊗2}.

Soit F_{−2} le deuxième terme de la filtration d’Eilenberg-Moore de H^{∗}ΩX (voir section 2). Si d = 1 les énoncés précédents sont remplacés par :

Théorème 1.7 Soit X un espace 1-connexe tel que H^{∗}X est de dimension finie en chaque degré et que H^{∗}X ∈ N il_{1}. Alors le module instable R_{0}(F_{−2}(H^{∗}ΩX)) est fortement F -isomorphe à un module E donné par une extension de la forme :

{0} → R_{1}(H^{∗}X) → E → M → {0} ,

où M est un sous-module de (R_{1}(H^{∗}X))^{⊗2}.

Les théorèmes 1.6 et 1.7 seront démontrés dans la section 3. Ils sont conséquences de la suite spectrale d’Eilenberg-Moore et des énoncés qui suivent.

Les propositions 1.8 et 1.9 décrivent le comportement des foncteurs R_{s} par rapport aux suites exactes.

Proposition 1.8 Soit M un module instable, et soit d un entier donné, k ≥ 1. On suppose qu’il existe une suite exacte :

0 → K → M → N → 0 ,

avec C ∈ N il_{k}. Alors si s < k on a :

R_{s}(M) ≅ R_{s}(N) .

Il suffit de démontrer que l’application M/M_{k} → N/N_{k} est bijective. Elle est surjective par construction, il suffit de donc montrer qu’elle est injective. La difficulté vient de ce que le foncteur M ↦ M_{k} n’est pas exact à droite. Mais un élément x ∈ M/M_{k} d’image nulle dans N/N_{k} se relève en un élément y ∈ M dont l’image dans N appartient au sous-module N_{k}. Il faut montrer que y ∈ M_{k}. Pour ce faire il suffit de montrer que (Sq_{i})^{c}y est nul dès que c est assez grand, pour 0 ≤ i < k. Soit z l’image de y dans N, z ∈ N_{k}.

On a donc :

(Sq_{i})^{c}z = 0,  0 ≤ i < k,  si c ≥ c_{0} .

Chacun des éléments (Sq_{i})^{c_{0}}y, 0 ≤ i < k appartient donc à C qui est knilpotent. Le résultat suit.

Proposition 1.9 Soit M un module instable, et soit d un entier donné, d ≥ 1. On suppose qu’il existe une suite exacte :

0 → N → M → C → 0 ,

avec

• N ∈ N il_{d},

• C ∈ N il_{2d},

Alors :

• le module M est dans N il_{d},

• si d ≤ k < 2d on a :

R_{k}(N) ≅_{F} R_{k}(M) ,

• R_{2d}(M) ≅_{F} E où E est donné par une extension de la forme :

{0} → R_{2d}(N) → E → L → {0} ,

L dèsignant un sous-module de R_{2d}(C).

Démonstration :

Une application de modules instables f : N → M respecte la filtration nilpotente et induit donc pour tout s une application f_{s} : N_{s} → M_{s} et une application f̄_{s} : R_{s}(N) → R_{s}(N). Le foncteur M ↦ M_{s} est exact à gauche. Il est facile de voir que si f est un monomorphisme il en est de même pour chaque f̄_{s}.

Le premier énoncé de la proposition est clair.

Passons à la seconde partie, soit s < 2d.

Notons i l’injection de N dans M et p la projection de M sur C. Considérons le diagramme où les notations sont évidentes :

{0} → N_{s+1}  →^{i} M_{s+1}  →^{p} C
↓  ↓  ↓
{0} →  N_{s}  →^{i}  M_{s}  →^{p} C
↓  ↓  ↓
{0}→ Σ^{s}R_{s}(N) →^{ī} Σ^{s}R_{s}(M) →^{p̄} {0}

On notera que C_{s+1} = C_{s} = C.

Par hypothèse le conoyau de l’injection i_{s} : N_{s} → M_{s} est dans N il_{2d} et C_{s+1} = C_{s} = C. Soit x̄ une classe non-nulle dans M_{s}/M_{s+1} et soit x ∈ M_{s}, x ≠ 0 un relèvement dans M_{s}. Soit y l’image de x dans C. Comme s < 2d il existe un entier c -dépendant de x- tel que (Sq_{s})^{c}y = 0. Donc la classe (Sq_{s})^{c}x est d’image nulle dans C et si k ≥ c (Sq_{s})^{k}x ∈ i(N).

Soit σ^{−s}x̄ ∈ R_{s}(M) la s-ième dèsuspension de l’image de

x̄ ∈ M_{s}/M_{s+1} ≅ Σ^{s}R_{s}(M) .

On a :

σ^{−s}(Sq_{s})^{k}(x̄)) = (Sq_{0})^{k}(σ^{−s}x̄) ∈ (¯(R_{s}(N)) ,

si k ≥ c. On a donc démontré que (Sq_{0})^{k}(σ^{−s}x̄) est non-nulle et dans l’image de ī_{s} pour tout k ≥ c. Ceci donne la seconde partie de la proposition.

Passons à la troisième partie, et faisons donc s = 2d. La démonstration va occuper la fin de cette section. Si on a une suite exacte :

{0} → N → M → C → {0}

le complexe :

{0} → R_{2d}(N) → R_{2d}(M) → R_{2d}(C) → {0}

n’est pas exact au centre et à droite. En fait le complexe de foncteurs [HLS] :

{0} → f(R_{2d}(N)) → f(R_{2d}(M)) → f(R_{2d}(C))

est exact. Ceci se traduit, en termes de modules instables, par la proposition suivante :

Proposition 1.10 Il existe un diagramme commutatif de modules instables où la ligne supérieure est exacte :

{0} → R_{2d}(N) →  K →  L → {0}
↓ Id  ↓ i  ↓ j
{0} → R_{2d}(N) → R_{2d}(M) → R_{2d}(C)

et où i est un F -isomorphisme fort, et j est un monomorphisme.

Démontrons cette propriété. Comme le foncteur M ↦ M_{2d} est exact à gauche on a évidemment un complexe exact à gauche et au centre :

0 → N_{2d} → M_{2d} → C_{2d} ,

et donc un complexe :

0 → R_{2d}(N) → R_{2d}(M) → R_{2d}(C) ,

où a priori, on sait seulement que la première application est injective. Avec les mêmes notations que plus haut, on a un diagramme commutatif :

{0} →  N_{2d+1}  →^{i}  M_{2d+1}  →^{p}  C_{2d+1}
↓  ↓  ↓
{0} →  N_{2d}  →^{i}  M_{2d}  →^{p}  C_{2d}
↓  ↓  ↓
{0}→ Σ^{2d}R_{2d}(N) →^{ī} Σ^{2d}R_{2d}(M) →^{p̄} Σ^{2d}R_{2d}(C)

La ligne inférieure est exacte au milieu au sens donné par le lemme suivant :

Lemme 1.11 Si un élément x ∈ Σ^{2d}R_{2d}(M) est dans le noyau de p̄, alors pour tout k assez grand (Sq_{2d})^{k}x est dans l’image de ī.

La démonstration est identique à celle donnée )plus haut et laissée au lecteur.

Pour démontrer la proposition il reste à construire le diagramme :

{0} → R_{2d}(N) →  K →  L → {0}
↓ Id  ↓ i  ↓ j
{0} → R_{2d}(N) → R_{2d}(M) → R_{2d}(C)

avec les propriétés requises.

Le lemme suivant permet de construire K :

Lemme 1.12 Soit H un module instable réduit, et soit J un sous-module. Alors il existe un sous-module H′ de H tel que :

• H′ ≅_{F} H,

• si x ∈ H′ et Sq_{0}x ∈ J alors x ∈ J.

La démonstration procède en deux étapes. D’abord si H a un nombre fini de générateurs sur l’algèbre de Steenrod on montre que (Sq_{0})^{k}(H) + J convient dès que k est assez grand. En effet, soit J_{h} le sous-module de H constitué par les éléments x ∈ H tels que (Sq_{0})^{h}x ∈ J, on a J_{h} ⊂ J_{h+1} ⊂ . . .. Comme J a un nombre fini de générateurs il existe un entier k tel que J_{k} = J_{k+1} = . . .. On vérifie que (Sq_{0})^{k}(H) ∩ J_{k} ⊂ J et que (Sq_{0})^{k}(H) + J convient (on utilise l’injectivité de Sq_{0}). Puis un argument de limite directe convenable, utilisant le fait que les modules considérés sont de dimension finie en chaque degré permet de conclure. En fait on ne considérera que des modules ayant un nombre fini de générateurs et on n’aura pas besoin de cette généralisation.

Pour terminer la démonstration de la proposition on applique le lemme avec H = R_{2d}(M) et J = R_{2d}(N) Le module L est alors le quotient de K par l’image de R_{2d}(N).

En fait le lemme 1.10 peut être précisé en utilisant les notations de [HLS], et notamment les foncteurs m et f. On montre que l’on a un diagramme commutatif :

{0} →  R_{2d}(N)  →  R_{2d}(M)  →  L  → {0}
↓  ↓ i  ↓ j
{0} → m ∘ f(R_{2d}(N)) → m ∘ f(R_{2d}(M)) → m ∘ f(R_{2d}(C))

où chaque ligne est exacte et j a un noyau dans N il_{1}.

2 La filtration de Krull de la catégorie U

Rappelons la définition de la filtration de Gabriel-Krull sur la catégorie U [Ga].

Un module instable est localement fini s’il est limite directe de modules instables finis. En d’autres termes, cela signifie que sur tout élément, seul un nombre fini d’opérations sont non nulles. La sous-catégorie pleine, B des modules localement finis est le premier terme de la filtration de Gabriel-Krull sur la catégorie U. Rappelons la définition de cette filtration, U_{0} est la plus petite classe de Serre de U, stable par limite directe et contenant tous les objets simples de U. Comme ceux-ci sont de la forme Σ^{n}F_{2}, U_{0} s’identifie à B. Cette construction s’étend à toute catégorie abélienne A. Supposons que U_{n} ait été définie, définissons alors U_{n+1} comme étant la sous-catégorie pleine de U définie comme suit. Dans la catégorie quotient (qui est abélienne) U/U_{n} on considère la plus petite classe de Serre qui est stable par limite directe et qui contient tous les objets simples de U/U_{n}. Alors, un objet M de U appartient à U_{n}, si et seulement si en tant qu’objet de la catégorie abélienne U/U_{n}, il appartient à la sous-catégorie (U/U_{n})_{0}.

Théorème 2.1 (Sc2) La plus petite sous-catégorie de U contenant toutes les catégories U_{n}, et stable par limite directe, est U elle même.

Voici une caractérisation de la filtration de Krull à l’aide de T̄.

Théorème 2.2 (Sc2) Soit M un module instable. Alors M appartient à U_{n} si et seulement si T̄^{n+1}M est trivial.

On va maintenant décrire en détails les objets de U_{1}, ce résultat est déjà dans [Sc3], avec l’hypothèse supplémentaire que le module a un nombre fini de générateurs. La démonstration, ne changeant en rien, sera donnée rapidement.

Proposition 2.3 Soit un module instable M qui appartient à U_{1}, mais qui n’appartient pas à U_{0}. Soit K = T̄(M), alors K est localement fini et nontrivial, et il existe une suite exacte :

0 → L → M → K ⊗ F (1) → L′ → 0 ,

où L et L′ sont localement finis.

Par définition de T̄ on a une application

M → K ⊗ H̄^{∗}RP^{∞}.

Le noyau de cette application est localement fini, notons le L. En effet, la définition de T̄ donne, par adjonction, T̄L = {0}. On a vu plus haut que cette condition caractérise les modules localement finis. On démontre comme dans [Sc3], que cette application est à valeurs dans K ⊗ F (1).

Pour montrer que le conoyau L′ est localement fini, affirmation la plus facile, il suffit d’appliquer le foncteur T̄ à la suite exacte :

0 → L → M → K ⊗ F (1) → L′ → 0 ,

ce qui donne T̄(L′) = 0.

On va maintenant décrire la filtration nilpotente sur un tel module. Le résultat suivant est une conséquence directe de la définition de cette filtration.

Proposition 2.4 Soit M un module instable localement fini. Le sous-module M_{s} de M est le sous-module des éléments de degré supérieur ou égal à s.

La démonstration est laissée au lecteur. Dans ce cas la filtration nilpotente s’identifie donc à la filtration par le degré.

Si M ∈ U_{1} on applique 1.14. Le module K étant localement fini la filtration nilpotente sur K ⊗ F (1) est induite, par produit tensoriel par F (1), par la filtration par le degré sur K. On en déduit donc que :

Corollaire 2.5 SiK est localement fini on a :

R_{s}(K ⊗ F (1)) ≅ K_{s} ⊗ F (1) ,

K_{s} étant compris concentré en degré zéro.

Ceci décrit, par restriction, la filtration sur le quotient M/L.

Le résultat suivant est corollaire des deux propositions précédentes.

Corollaire 2.6 Soit M un module instable qui appartient à U_{1}. Supposons que que M doit k-connexe. Soit alors s un entier tel que s ≤ k, le module R_{s}(M) est trivial dans les degrés qui ne sont pas une puissance de 2.

La condition de connexité est là pour garantir que L est k-nilpotent, et que l’on peut appliquer 1.8.

On aura aussi considérer des modules réduits qui sont produit tensoriel de deux modules dans U_{1} et des extensions de tels modules par des modules dans U_{1}. La proposition suivante est vraie, par construction, pour ces modules. Ces modules sont dans la catégorie U_{2} [FS], [Sc2], et il est intèressant de donner la propostion dans son contexte général, ne serait ce que parce que pour montrer que le résultat n’est pas fortuit.

Proposition 2.7 (FS) Soit M un module instable réduit qui appartient à U_{2}. Supposons que que M soit 0-connexe. Alors M est trivial dans les degrés qui ne sont pas de la forme 2^{h}, h ≥ 0, ou 2^{i} + 2^{j}, i > j ≥ 0.

La condition de connexité est là pour ne pas ne pas avoir à inclure 0 dans la liste des degrés.

Les énoncés qui suivent spécialisent la proposition 1.9 au cas considéré dans l’article.

Proposition 2.8 Soit M un module instable, et soit d un entier donné, d ≥ 1. On suppose qu’il existe une suite exacte :

0 → N → M → D → 0 ,

avec

• N ∈ N il_{d},

• D ∈ N il_{2d},

• la connectivité de M est supérieure ou égale à 2d,

• le quotient N/N_{2d}, est dans U_{1},

• le module R_{2d}(N) est dans U_{1}, le module R_{2d}(D) est dans U_{2}.

Alors :

• le module M est dans N il_{d},

• le module R_{k}(M), avec d ≤ k < 2d, est dans U_{1}, connexe, et donc trivial dans les degrés qui ne sont pas une puissance de 2,

• le quotient R_{2d}(M) est dans U_{2}, connexe, et donc trivial dans les degrés qui ne sont pas de la forme 2^{h}, h ≥ 0 ou de la forme 2^{h} + 2^{j}, h > j ≥ 0.

Notons que R_{s}(M) = {0} si s < d.

Démonstration : La première partie est claire. La seconde résulte de 1.9 et 2.5, utilisant que le quotient N/N_{2d}, est dans U_{1}. La troisième résulte de 1.9 et 2.6, utilisant que le module R_{2d}(N) est dans U_{1} et connexe, et que le module R_{2d}(D) est dans U_{2} et connexe.

Dans l’énoncé les conditions de connectivité sont de convenance. On pourrait les supprimer et remplacer les catégories N il_{k} par les catégories N̄ il_{k} [Sc2], ou encore rajouter dans les conclusions, aux degrés 2^{h}, le degré 0, et aux degrés 2^{j} + 2^{h}, le degré 0. Ceci entraînerait quelques modifications mineures dans la suite, dans les énoncés et les démonstrations. Il faudrait prendre garde à la convergence de la suite spectrale d’Eilenberg-Moore. Ceci pourrait être fait comme dans [Sc2].

Un énoncé analogue a lieu pour d = 0 :

Proposition 2.9 Soit M un module instable. On suppose qu’il existe une suite exacte :

0 → N → M → C → 0 ,

avec

• M est connexe, • le quotient N/N_{1} ≅ R_{0}(N), est dans U_{1}, le quotient C/C_{1} ≅ R_{0}(C), est

dans U_{2},

Alors :

• le quotient M/M_{1} ≅ R_{0}(M) est dans U_{2}, connexe, et donc trivial dans les degrés qui ne sont pas de la forme 2^{h}, ≥ 0 ou de la forme 2^{h} + 2^{j} j > h ≥ 0.

Démonstration : Comme plus haut.

3 Applications à la suite spectrale d’Eilenberg-Moore

On va appliquer les résultats précédents dans le contexte de la suite spectrale d’Eilenberg-Moore. Rappelons en les propriétés principales [Re], [Sm1]. Soit X un espace 1-connexe.

La cohomologie modulo 2 de ΩX a une filtration naturelle décroissante et convergente par des modules instables :

… ⊃ F_{−s} ⊃ F_{−s+1} … ⊃ F_{−1} ⊃ F_{0} ⊃ {0} .

Le quotient Σ^{d}(F_{−d}/F_{−d+1}) est isomorphe, en tant qu’espace vectoriel gradué à la colonne E_{∞}^{−d,∗} de la suite spectrale d’Eilenberg-Moore.

Le terme E_{2}^{−d,∗} de la suite spectrale est isomorphe à Tor_{H^{∗}X}^{−d}(F_{2}, F_{2}). Ce module est un sous-quotient de H̄^{∗}X^{⊗d}, et la formule de Cartan y détermine une structure de module instable.

Soit r ≥ 2, les différentielles s’interprètent comme des applications de degré zéro :

d_{r} : E_{r}^{s,∗} → Σ^{r−1}(E_{r}^{s+r,∗}) .

Ce sont des applications de modules instables. On a donc sur le terme E_{∞}^{−d,∗} une seconde structure de module instable. Elle est identique à la précédente.

On va étudier le comportement des foncteurs R_{s} quand on passe de X à ΩX. On a :

Proposition 3.1 Soit X un espace tel que H^{∗}X soit de dimension finie en chaque degré et que H̄^{∗}X ∈ N il_{d}, d > 1. Alors H̄^{∗}ΩX ∈ N il_{d−1} et pour d ≤ s < 2d − 1 on a :

R_{s}(H̄^{∗}X) ≅_{F} R_{s−1}(H̄^{∗}ΩX) .

On a évidemment R_{s}(H̄^{∗}X) = {0} si s < d, et R_{s}(H̄^{∗}ΩX) = {0} si s < d−1.

Démonstration : On va comparer H^{∗}X, F_{−1} et H^{∗}ΩX. Pour ce faire on commence par considérer l’homomorphisme de coin, dont on rappelle qu’il est induit par l’application canonique d’évaluation

ΣΩX → X .

Il se décompose comme suit :

H̄^{∗}X → QH^{∗}X → ΣF_{−1} → ΣH^{∗}ΩX ,

où QH^{∗}X ≅ H̄^{∗}X/(H̄^{∗}X)^{2}.

Commençons par examiner le conoyau de F_{−1} → H^{∗}ΩX. Le module instable Σ^{s}(F_{−s}/F_{−s+1}) est un sous-quotient de Tor_{H^{∗}X}^{−s}(F_{2}, F_{2}), qui est lui même un sous-quotient de H̄^{∗}X^{⊗s}. Or, [Sc2], le produit tensoriel d’un module L dans N il_{u} par un module L′ dans N il_{v} est dans N il_{u+v}. On en déduit que

Tor_{H^{∗}X}^{−s}(F_{2}, F_{2})

est dans N il_{sd}. Le sous-quotient itéré E_{∞}^{−s,∗} est dans N il_{sd}. Donc le quotient F_{−s}/F_{−s+1} est dans N il_{sd−s}. Le quotient H^{∗}ΩX/F_{−1} admet une filtration décroissante dont les termes sont les modules F_{−i}/F_{−2}, i ≥ 2. Changeant −i en i, i ≥ 2 on obtient une filtration croissante dont le i-ième quotient est dans N il_{i(d−1)}. Comme les catégories N il_{k} sont des classes de Serre, et sont stables par limite directe, on en conclut que le quotient H^{∗}ΩX/F_{−1} est (2d−2)- nilpotent.

On peut appliquer la proposition 1.9 à :

{0} → F_{−1} → H̄^{∗}ΩX → H̄^{∗}ΩX/F_{−1} ,

et en conclure que :

R_{s}(F_{−1}) ≅_{F} R_{s}(H̄^{∗}ΩX)

pour s < 2d − 2.

Le noyau de H̄^{∗}X → QH^{∗}X est égal à (H̄^{∗}X)^{2} et est 2d-nilpotent. Il en résulte (Proposition 1.8) que l’application :

R_{s}(H̄^{∗}X) → R_{s}(QH^{∗}X)

est un isomorphisme pour s < 2d. Le noyau de QH^{∗}X → ΣF_{−1} est l’image des différentielles dans E_{2}^{−1,∗} ≅ QH^{∗}X. La description des différentielles donnée plus haut et le fait que la colonne E_{r}^{−s,∗} soit sd-nilpotente implique que cette image est 2d-nilpotente, d ≥ 1. Il en résulte (Proposition 1.8) que l’application :

R_{s}(H^{∗}X) → R_{s}(ΣF_{−1})

est un isomorphisme pour s < 2d.

L’ensemble de ces résultats donne la proposition.

On étudie maintenant le cas de R_{2d−2}(H^{∗}ΩX). Le résultat suivant est conséquence de la proposition 1.9 :

Proposition 3.2 Soit X un espace. On suppose que H^{∗}X est d-nilpotent, d > 1. Alors :

• R_{2d−2}(H̄^{∗}ΩX) est fortement F -isomorphe à un module E donné par une extension de la forme :

{0} → R_{2d−1}(H̄^{∗}X) → E → L → {0} ,

où L est un sous-module de R_{d}(H̄^{∗}X)^{⊗2}

Si d = 1 on a un résultat analogue en substituant F_{−2} à H^{∗}ΩX.

Démonstration : On commence par observer que

R_{2d−2}(F_{−2}) ≅_{F} R_{2d−2}(H̄^{∗}ΩX) .

Ceci résulte de 1.9 et du fait que H^{∗}ΩX/F_{−2} est 3d − 3-nilpotent, démontré comme plus haut. Il reste donc à analyser R_{2d−2}(F_{−2}), ce qu’on fait par dévissage et application de 1.9 en considérant la suite exacte :

{0} → F_{−1} → F_{−2} → F_{−2}/F_{−1} → {0} .

Le module instable ΣF_{−1} est -à suspension près- l’image de l’homomorphisme de coin (voir la démonstration qui précède). Le module instable Σ^{2}(F_{−2}/F_{−1}) est un sous-quotient de Tor_{H^{∗}X}^{−2}(F_{2}, F_{2}), qui est lui même un sous-quotient de H̄^{∗}X^{⊗2}. Du fait que les différentielles ont des images au moins 3d-nilpotentes et de la proposition 1.8 et on déduit que R_{2d}(Σ^{2}(F_{−2}/F_{−1})) est isomorphe à un sous-module de R_{d}(H̄^{∗}X)^{⊗2}.

Le résultat suit.

Les énoncés suivants adaptent et précisent les énoncés précédents au contexte, ils en sont conséquence directe.

Théorème 3.3 Soit d un entier strictement supérieur 1, soit X un espace, et soit H̄^{∗}X sa cohomologie réduite. Supposons que :

• H̄^{∗}X appartient à N il_{d};

• la connectivité de H̄^{∗}X est strictement supérieure à 2d;

• le quotient H^{∗}X/(H^{∗}X)_{2d} est dans U_{1}.

Alors

• H̄^{∗}ΩX appartient à N il_{d−1};

• la connectivité de H̄^{∗}ΩX est supérieure à 2d − 2; • le module R_{s}(H̄^{∗}ΩX), d − 1 ≤ s < 2d − 2, est dans U_{1}, connexe, et donc

trivial dans les degrés qui ne sont pas de la forme 2^{h}, h ≥ 0;

• le module R_{2d−2}(H̄^{∗}ΩX) est dans U_{2}, connexe, et donc trivial dans les degrés qui ne sont pas de la forme 2^{h}, h ≥ 0, ou 2^{h} + 2^{j}, h > j ≥ 0.

La démonstration est conséquence de 3.1, 3.2, 2.5, et 2.6.

Un énoncé particulier est nécessaire dans le cas, exclu ci-dessus, où d = 1. L’énoncé est similaire, mais le résultat ne s’applique qu’au sous-module F_{−2} de H̄^{∗}ΩX :

Théorème 3.4 Soit X un espace, et soit H̄^{∗}X sa cohomologie réduite. Supposons que :

• H̄^{∗}X appartient à N il_{1};

• la connectivité de H̄^{∗}X est supérieure à 2;

• le module R_{1}(H̄^{∗}X) est dans U_{1}.

Alors

• le quotient R_{0}(F_{−2}(H̄^{∗}ΩX)) est dans U_{2}, connexe, et donc trivial dans les degrés qui ne sont pas de la forme 2^{h}, h ≥ 0 et 2^{h} + 2^{j}, j > h ≥ 0.

La démonstration est identique à celle faite plus haut, sauf que le terme D n’étant pas de degré de nilpotence supérieur, on doit se restreindre à F_{−2}.

4 Construction de classes dans la cohomologie des espaces de lacets

On va maintenant donner le début de la démonstration du théorème 0.1. La réduction de Kuhn permet de supposer qu’il existe un espace X dont la cohomologie appartienne à U_{1}, mais pas à U_{0}. Cette réduction s’effectue comme dans le cas précédent, le seul problème est d’assurer les conditions d’application du théorème de Lannes sur la cohomologie des espaces fonctionnels.

On peut appliquer le théorème de Lannes pour la raison suivante. L’hypothèse, que chaque quotient de la filtration nilpotente a un nombre fini de générateurs, implique que H^{∗}X est de dimension finie en chaque degré. De plus l’hypothèse est préservée par application de T. Ceci implique que T (H^{∗}X) est de dimension finie en chaque degré, ce qui permet de calculer la cohomologie de l’espace fonctionnel à l’aide du théorème de Lannes.

La proposition 2.3 s’applique à la cohomologie de X en posant M = H̄^{∗}X et K = T̄(H̄^{∗}X). Le module instable K est non trivial. Soit d − 1 sa connexité, l’entier d dèsignera dorénavant, et pour toute la suite cette constante. Le module instable K est inchangé quand on remplace H^{∗}X par un sous-module M′ tel que le quotient H^{∗}X/M′ soit fini. Ceci implique, en particulier, que K est inchangé, quand on quotiente X par un sous-complexe de dimension finie. On peut donc supposer, par commodité, la connectivité de X aussi grande que l’on veut, donc on peut la supposer supérieure à 2d.

On doit traiter d’abord le cas où d = 0. Dans ce cas, par hypothèse, et à cause de 2.5, le quotient de H^{∗}X par son sous-module nilpotent maximal est non-nul seulement en degré de la forme 2^{h}. Le sous-module nilpotent maximal est un idéal, le quotient est donc aussi une algèbre instable. Soit x est un élément non-nul dans ce quotient. Toutes les puissances x^{2^{h}} sont non nulles. L’élément x^{3} est aussi non-nul, car x^{4} est non-nul. Le degré de x^{3} n’est pas une puissance de 2, il y a donc une contradiction et d n’est pas nul.

Supposons donc d ≥ 1, et introduisons, comme dans [Sc3], des classes dans la cohomologie de X et de ses espaces de lacets itérés. Rappelons que l’on identifie F (1), comme à l’ordinaire, avec le sous-module instable, de H^{∗}BZ/2 ≅ F_{2}[u], engendré par u et qui admet pour base sur F_{2} les éléments u^{2^{i}}. Considérons alors une classe ω ∈ K^{d}, ω ≠ 0. D’après 1.8 il existe un entier positif k, dépendant de ω, tel que les classes

ω ⊗ u^{2^{j}} ∈ K ⊗ F (1) ,

appartiennent à H̄^{∗}X si et seulement si j ≥ k. Ces classes sont de degré 2^{j} + d.

Faisons de plus l’hypothèse suivante. Soit Aω le module instable engendré par ω. On sait qu’il est fini puisque c’est un sous-module de K qui est localement fini. Supposons Aω nul en degré supérieur ou égal à h. On va supposer dans la suite que 2^{k−1} ≥ h. On peut obtenir une valeur de k telle que cette inégalité ait lieu, quitte à remplacer l’espace X par un quotient par un sous-complexe de dimension finie.

L’entier k restera fixe dans toute la suite de la démonstration. Définissons donc des classes α_{i,d} ∈ H^{∗}X par la formule

α_{i,d} = ω ⊗ u^{2^{k+i}} .

Quitte à suspendre l’espace X on peut supposer que tous les produits de classes de degré strictement positif sont nuls. On peut donc supposer que :

α_{i,d}^{2} = 0 .

Soit ℓ tel que 0 ≤ ℓ ≤ d. Définissons des classes α_{i,ℓ}, i ≥ 0, de degré 2^{k+i} +ℓ, dans H̃^{∗}Ω^{d−ℓ}X comme étant les images, dèsuspendues d − ℓ fois, des classes α_{i,d} par l’ homomorphisme de coin itéré

Q(H^{∗}X) → Σ^{d−ℓ}H^{∗}Ω^{d−ℓ}X .

Elles sont de degré 2^{k+i} + ℓ dans H̃^{∗}Ω^{d−ℓ}X. On va démontrer qu’elles ont les propriétés suivantes :

• α_{i,ℓ} est détectée dans la suite spectrale d’Eilenberg-Moore de Ω(Ω^{d−(ℓ+1)}X) par l’image des classes α_{i,ℓ+1} dans la colonne −1;

• Sq^{2^{k+i}}α_{i,ℓ} = α_{i+1,ℓ};

• ces classes sont de degré de nilpotence ℓ, exactement;

• α_{i,ℓ}^{2} = 0, pour tout i assez grand.

On ne donne pas de borne pour i dans la dernière condition.

Pour ℓ = 0, les deux dernières conditions, sont contradictoires. Ceci démontrera le théorème.

Les propriétés de ces classes vont être démontrées par récurrence descendante. Les classes α_{i,d} introduites plus haut satisfont aux conditions requises. La seule qui ne soit pas évidente est celle sur l’action des opérations de Steenrod. Elle est impliquée par la formule de Cartan et la condition 2^{k−1} ≥ h et laissée en exercice au lecteur (voir aussi [Sc3]). Ceci permet de débuter la récurrence.

Supposons donc les propriétés établies pour les classes α_{i,ℓ}, ℓ ≥ 1, et démontrons les pour les classes α_{i,ℓ−1}.

Lemme 4.1 Les classes α_{i,ℓ−1}, i ≥ 0 de H̄^{∗}Ω^{d−ℓ+1}X de degré 2^{k+i} +ℓ−1 sont telles que :

• α_{i,ℓ−1} est détecté dans la suite spectrale d’Eilenberg-Moore de Ω(Ω^{d−ℓ}X) par l’image des classes α_{i,ℓ} dans la colonne −1;

• Sq^{2^{k+i}}α_{i,ℓ−1} = α_{i+1,ℓ−1};

• ces classes sont de degré de nilpotence ℓ − 1, exactement;

• α_{i,ℓ−1}^{2} = 0, pour tout i assez grand.

Démonstration :

La première affirmation est conséquence de la définition des classes.

La seconde affirmation, c’est-à-dire la description de l’action des opérations de Steenrod, est une conséquence directe des propriétés de la suite spectrale d’Eilenberg-Moore ([R] et [Sm1]) et de la construction des α_{i,ℓ−1} à partir de l’homomorphisme de coin. Les suspensions itérées Σ^{d−ℓ+1}α_{i,ℓ−1} sont, par construction, image par l’homomorphisme de coin itéré :

Q(H^{∗}X) → Σ^{d−(ℓ−1)}H^{∗}Ω^{d−(ℓ−1)}X ,

des classes α_{i,d}. La relation correspondante a lieu dans la source, pour les classes α_{i,d}.

A priori les classes α_{i,ℓ} sont au moins ℓ-nilpotentes et déterminent des classes ᾱ_{i,ℓ} ∈ R_{ℓ}(H^{∗}Ω^{d−ℓ}X)

Par construction les classes ᾱ_{i,ℓ−1} sont images des classes ᾱ_{i,ℓ} ∈ R_{ℓ}(H^{∗}Ω^{d−ℓ}X) par le F -isomorphisme fort R_{ℓ}(H^{∗}Ω^{d−ℓ}X) ≅_{F} R_{ℓ−1}(H^{∗}Ω^{d−ℓ+1}X). Les classes α_{i,d} étant non-nulles il en est de même, par récurrence, des classes α_{i,ℓ−1}.

Compte tenu de l’action des opérations de Steenrod l’affirmation concernant le degré de nilpotence de α_{i,ℓ−1} en résulte.

Il reste à montrer que le cup-carré de ces classes est nul si i est assez grand. La méthode ne donne pas de borne pour i. C’est, comme dans [Sc3], la partie la plus délicate de la démonstration, l’argument se simplifie quelque peu, dans la mesure où on ne cherche pas à démontrer de résultat sur des complexes finis. Il sera exposé dans la prochaine section, avec la partie finale de la démonstration du théorème.

5 Fin de la démonstration de 4.1, et démonstration du théorème 0.1

Pour achever la démonstration on va introduire une famille de classes ω_{i,ℓ−1} dans la cohomologie de Ω^{d−ℓ+1}X, puis on étudiera l’action des opérations de Steenrod sur ces classes. Ceci donnera la nullité du cup-carré. Si ℓ = 1, on aura la contradiction annoncée. On doit étudier tous les cas, car c’est la nullité du cup-carré α_{i,ℓ}^{2} qui entraîne l’existence de ω_{i,ℓ−1}.

Supposons donc le cup-carré α_{i,ℓ}^{2} nul pour i ≥ i_{ℓ}. Il faut montrer que α_{i,ℓ−1}^{2} = 0 l’est aussi, pour i ≥ i_{ℓ−1}, où i_{ℓ−1} est assez grand.

Comme le cup-carré de α_{i,ℓ} est nul la classe

α_{i,ℓ} ⊗ α_{i,ℓ} ∈ (H̄^{∗}Ω^{d−ℓ}X)^{⊗2}

détermine, pour tout i ≥ i_{ℓ}, un élément dans le terme :

E_{2}^{−2,∗} ≅ Tor_{H^{∗}Ω^{d−ℓ}X}^{−2,∗}(F_{2}, F_{2})

de la suite spectrale d’Eilenberg-Moore de Ω(Ω^{d−ℓ}X) en degré 2^{k+i+1} + 2ℓ.

Cet élément est non-nul. En effet, la classe α_{i,ℓ} ⊗ α_{i,ℓ} ∈ (H̄^{∗}Ω^{d−ℓ}X)^{⊗2} est exactement 2ℓ-nilpotente car elle réduit non-trivialement dans

Σ^{2ℓ}R_{2ℓ}(Tor_{H^{∗}Ω^{d−ℓ}X}^{−2,∗}(F_{2}, F_{2})) ⊂ Σ^{2ℓ}R_{2ℓ}((H̄^{∗}Ω^{d−ℓ}X)^{⊗2}) ≅ Σ^{2ℓ}R_{ℓ}(H̄^{∗}Ω^{d−ℓ}X)^{⊗2} .

La première inclusion est conséquence de 1.8, car les bords, qui proviennent de (H̄^{∗}Ω^{d−ℓ}X)^{⊗3}, sont au moins 3ℓ-nilpotents, et comme ℓ ≥ 1, on peut appliquer la proposition, l’isomorphisme vient de ce que H̄^{∗}Ω^{d−ℓ}X ∈ N il_{d}.

Lemme 5.1 Ce cycle détermine une classe non-nulle, notée ω_{i,ℓ−1}, dans la cohomologie de Ω^{d−ℓ+1}X.

L’élément considéré de la colonne −2 ne peut être source d’une différentielle non-nulle car la colonne 0 est triviale.

L’image de la différentielle d_{t} dans E_{t}^{−2,∗}, est un sous-module au moins ((t + 2)ℓ − t + 1)-nilpotent. Comme ℓ ≥ 1, on a (t + 2)ℓ − t + 1 > 2ℓ. On a donc une suite exacte :

{0} → D → Tor_{H^{∗}Ω^{d−ℓ}X}^{−2,∗}(F_{2}, F_{2}) → E_{∞}^{−2,∗} → {0} ,

où D est au moins (4ℓ − 1)-nilpotent, et les classes α_{i,ℓ} ⊗ α_{i,ℓ} sont donc nontriviales dans l’aboutissement de la suite spectrale.

Les classes

ω_{i,ℓ−1} ∈ H̄^{∗}Ω^{d−ℓ+1}X

sont non-nulles, et de degré 2^{k+i+1} + 2ℓ − 2. Elles appartiennent au terme F_{−2} de la filtration d’Eilenberg-Moore de H̃^{∗}Ω^{d−ℓ+1}X. Le terme F_{−1} de la filtration n’est pas nul dans ce degré. Il y a donc une indétermination sur la définition des classes ω_{i,ℓ−1}, seule leur image dans F_{−2}/F_{−1} est bien déterminée. L’indétermination appartient au terme F_{−1} de la filtration en degré 2^{k+i+1} + 2ℓ − 2, et est donc détectée dans E_{∞}^{−1,∗} en degré 2^{k+i+1} + 2ℓ − 1.

On va calculer l’action de certaines opérations de Steenrod sur les classes ω_{i,ℓ−1}. Ce calcul sera fait modulo l’ordre de nilpotence 2ℓ − 1. En fait ces calculs vont avoir lieu dans le complexe :

R_{2ℓ−1}(H^{∗}Ω^{d−ℓ}X) → R_{2ℓ−2}(H^{∗}Ω^{d−ℓ+1}X) → (R_{ℓ}(H^{∗}Ω^{d−ℓ}X)^{⊗2} ,

qui est exact au centre au sens donné en 1.11. On a, à cause de 1.10 et 3.2, un diagramme commutatif :

R_{2ℓ−1}F_{−1}(ℓ) →  E  →  L
↓≅_{F}  ↓≅_{F}  ↓ j
R_{2ℓ−2}F_{−1}(ℓ − 1) → R_{2ℓ−2}F_{−2}(ℓ − 1) → R_{2ℓ−2}(F_{−2}(ℓ − 1)/F_{−1}(ℓ − 1))

où on note F_{−i}(h) pour F_{−i}(H^{∗}Ω^{d−h}X), et L ⊂ (R_{ℓ}(F_{−1}(ℓ))^{⊗^{2}}, et j est un monomorphisme.

Considérons l’image de la classe σ^{−2ℓ}(α_{i,ℓ} ⊗ α_{i,ℓ}) dans L ⊂ (R_{ℓ}(F_{−1}(ℓ))^{⊗^{2}}. Son image par la flèche verticale est l’image de la classe σ^{−2ℓ}ω_{i,ℓ−1} dans R_{2ℓ−2}(F_{−2}(ℓ− 1)/F_{−1}(ℓ − 1)).

Lemme 5.2 La classe Sq^{2^{k+i}}(ω_{i,ℓ−1}) ne dépend pas du choix du relèvement ω_{i,ℓ−1}.

Par application itérée de 3.3 on sait que R_{2ℓ−2}(F_{−1}) dans U_{1}. Comme il est par définition réduit il est fortement F -isomorphe à une somme directe de copies de F (1). Il en résulte aussitôt que l’opération Sq^{2^{k+i}} est nulle en degré 2^{k+i+1}. Ce qui donne le résultat annoncé.

Dans la proposition suivante, les éléments associés à α_{i,ℓ} et α_{i,ℓ} ⊗α_{i,ℓ} dans la suite spectrale d’Eilenberg-Moore pour Ω(Ω^{d−ℓ}X) sont indiqués entre crochets.

Proposition 5.3 Dans le terme E_{2} de la suite spectrale on a la relation

Sq^{2^{k+i}}([α_{i,ℓ} ⊗ α_{i,ℓ}]) = [α_{i+1,ℓ} ⊗ α_{i,ℓ} + α_{i,ℓ} ⊗ α_{i+1,ℓ}] .

Cet élément persiste à l’infini en une classe non nulle.

Corollaire 5.4 Dans la cohomologie de Ω^{d−ℓ+1}X on a la relation :

Sq^{2^{k+i}}ω_{i,ℓ−1} = α_{i+1,ℓ−1} ∪ α_{i,ℓ−1} mod (F_{−1})_{2ℓ−1} .

La première partie de la proposition résulte de la description de l’action des opérations de Steenrod dans la suite spectrale [R], [Sm1], [Sm2], et de la formule de Cartan. Comme seules Sq^{0} et Sq^{2^{k+i}} ont une action non-nulle sur u^{2^{k+i}} la classe :

Sq^{2^{k+i}}((ω ⊗ u^{2^{k+i}}) ⊗ (ω ⊗ u^{2^{k+i}}))

est somme de :

(ω ⊗ u^{2^{k+i+1}}) ⊗ (ω ⊗ u^{2^{k+i}}) + (ω ⊗ u^{2^{k+i}}) ⊗ (ω ⊗ u^{2^{k+i+1}}) ,

et de :

(Sq^{2^{k+i}}(ω) ⊗ u^{2^{k+i}}) ⊗ (ω ⊗ u^{2^{k+i}}) + (ω ⊗ u^{2^{k+i}}) ⊗ (Sq^{2^{k+i}}(ω) ⊗ u^{2^{k+i}}) .

Ces derniers termes sont nuls, en effet la condition 2^{k−1} ≥ h imposée plus haut implique que Sq^{2^{k+i}}(ω) = 0.

Cette classe ne peut être l’image d’une différentielle pour les mêmes raisons que α_{i,ℓ} ⊗ α_{i,ℓ}. La proposition en résulte.

Pour ce qui est du corollaire il résulte des propriétés de la suite spectrale d’Eilenberg-Moore par rapport au cup-produits, du lemme, et de ce qui a été dit plus haut : la formule a lieu modulo F_{−1}, et ne dépend pas du choix du rélèvement.

Corollaire 5.5 On a :

Sq^{2^{k}}Sq^{2^{k}}ω_{i,ℓ−1} = α_{i+1,ℓ−1}^{2} ,

modulo des termes de degré de nilpotence supérieur ou égal à 2ℓ − 1.

La démonstration est identique à ce qui précède.

Lemme 5.6 Les classes ω_{i,ℓ−1} sont de degré de nilpotence exactement 2ℓ − 2. Il en est de même des classes α_{i+1,ℓ−1}^{2}, si elles sont non-nulles pour tout i.

En effet, les classes ω_{i,ℓ−1} sont non-nulles et on calcule facilement que

Sq^{2^{k+i+1}}(ω_{i,ℓ−1}) = Sq_{2ℓ−2}(ω_{i,ℓ−1}) = ω_{i+1,ℓ−1} .

Le même argument s’applique à l’autre cas, car on a :

Sq^{2^{k+i+1}}(α_{i,ℓ−1}^{2}) = Sq_{2ℓ−2}(α_{i,ℓ−1}^{2}) = α_{i+1,ℓ−1}^{2} .

On va en déduire, par l’absurde, la nullité des cup-carrés, et conclure. En fait, l’argument sera le même, simplement on utilisera en plus, si ℓ = 1, la relation de cup-carré des algèbres instables qui donnera la contradiction.

On va commencer par énoncer une formule concernant les opérations de Steenrod.

Lemme 5.7 (Sc3) Pour tout entier n

Sq^{2^{n}} Sq^{2^{n}} ∈ Ā(n − 1)Sq^{2^{n}} Ā(n − 1) ,

où A(n − 1) est la sous-algèbre engendrée par Sq^{1}, …, Sq^{2^{n−1}} et Ā(n − 1) est l’idéal des éléments de degré strictement positif.

La démonstration est basée sur les relations d’Adem. On écrit la relation d’Adem pour Sq^{2^{n}} Sq^{2^{n}} :

Sq^{2^{n}} Sq^{2^{n}} = ∑_{t=1}^{t=n−1} Sq^{2^{n+1}−2^{t}}Sq^{2^{t}} .

Puis on montre, par récurrence sur h, que toute opération Sq^{2^{n}+h}, avec 0 < h < 2^{n}, est dans Ā(n − 1)Sq^{2^{n}} Ā(n − 1).

En fait on a seulement besoin d’une relation de la forme :

Sq^{2^{k+i}} Sq^{2^{k+i}} = ∑_{j} a_{j}b_{j} ,

avec 2^{k+i+1} > deg(b_{j}) > 2^{k+i}. Ceci résulte du lemme, mais peut aussi être montré en utilisant l’anti-involution c et la base de Cartan-Serre.

On écrit la décomposition de c(Sq^{2^{n}} Sq^{2^{n}}) sur la base des monômes admissibles. On observe qu’un monôme admissible de degré 2^{n+1} commence toujours par une opération de degré strictement supérieur à 2^{n}. On observe aussi, en évaluant sur u^{2^{n+1}}, que Sq^{2^{n+1}} n’apparaît pas dans la décomposition. Puis on réapplique c.

Fin de la démonstration : Le module R_{2ℓ−2}(H^{∗}Ω^{d−ℓ+1}X), ℓ > 1 est nontrivial (éventuellement) seulement dans les degrés de la forme 2^{h} ou 2^{h} + 2^{j}.

Pour ce qui est de la cohomologie de H^{∗}Ω^{d}X, c’est-à-dire si ℓ = 1, la même observation a lieu, si on se restreint au sous-module F_{−2}. Les relations établies plus haut (corollaires 5.3 et 5.4) ont lieu, à dèsuspension près, dans ce sousmodule. On a pour tout i > i_{ℓ} la relation

Sq^{2^{k+i}}Sq^{2^{k+i}}σ^{−2ℓ+2}(\overline{ω_{i,ℓ−1}}) = σ^{−2ℓ+2}(\overline{α_{i+1,ℓ−1}^{2}}) ,

avec les notations évidentes.

D’après le lemme ci-dessus, on a :

Sq^{2^{k+i}} Sq^{2^{k+i}} = ∑_{j} a_{j}b_{j} ,

avec 2^{k+i+1} > deg(b_{j}) > 2^{k+i}. Pour que les classes

σ^{−2ℓ+2}(\overline{b_{j}(ω_{i,ℓ−1}}))

soient non-nulles elles doivent être de degré de la forme 2^{a}, ou 2^{a} + 2^{b}.

Il faut donc que l’on ait une équation de la forme deg(b_{j})+2^{k+i+1} = 2^{a}, soit de la forme deg(b_{j}) + 2^{k+i+1} = 2^{a} + 2^{b}. La première équation est impossible car deg(b_{j}) < 2^{k+i+1}. La seconde implique que deg(b_{j}) est une puissance de 2, ce qui est également impossible car 2^{k+i+1} > deg(b_{j}) > 2^{k+i}. En fait on a α(deg(σ^{−2ℓ+2}(\overline{b_{j}(ω_{i,ℓ−1})})) ≥ 3.

Les classes σ^{−2ℓ+2}(\overline{b_{j}(ω_{i,ℓ−1})}) sont donc nulles. Il en résulte que les classes

Sq^{2^{k+i}}Sq^{2^{k+i}}(σ^{−2ℓ+2}\overline{ω_{i,ℓ−1}}) ∈ R_{2ℓ−2}(H^{∗}Ω^{d−ℓ+1}X)

sont nulles. Donc que les classes

Sq^{2^{k+i}}Sq^{2^{k+i}}(ω_{i,ℓ−1})

sont de degré de nilpotence strictement supérieur à 2ℓ − 2.

On en déduit, par 1.4, que la classe α_{i+1,ℓ−1}^{2} est nulle dès que i est assez grand. En effet, on a :

Sq_{2ℓ−2}^{t}(α_{i,ℓ−1}^{2}) = α_{i+t,ℓ−1}^{2} .

Le terme F_{−2} de la filtration de H^{∗}Ω^{d}X quotienté par le sous-module des éléments nilpotents est nul dans les degrés qui ne sont pas de la forme 2^{h} ou 2^{h} +2^{j}. Insistons sur le fait que ceci n’est pas vrai pour la cohomologie de Ω^{d}X, mais la relation utilisée ci-dessous a lieu dans F_{−2}.

On a, dans ce sous-module la relation

Sq^{2^{k+i}}Sq^{2^{k+i}}ω_{i,0} = α_{i+1,0}^{2} = α_{i+2,0} ≠ 0 .

Cette dernière est, exactement, de degré de nilpotence 0. On a donc une contradiction. Ce qui achève la démonstration du théorème.

En conclusion, on observera que l’on a utilisé nulle part des propriétés des foncteurs R_{s}, s > 2d − 1. En fait l’argument démontre le théorème suivant :

Théorème 5.8 Soit X un espace tel que H^{∗}X est d-nilpotent, et que tous les cup-produits sont triviaux dans H̄^{∗}X. Supposons que le quotient H^{∗}X/(H^{∗}X)_{2d} est dans U_{1}. Alors H^{∗}X/(H^{∗}X)_{2d} est dans U_{0}.

6 Remarques sur la forme générale de la conjecture

Il est possible démontrer le théorème à l’aide d’une autre observation. Si la suite exacte décrite dans la proposition 3.2 est scindée on peut conclure d’une manière essentiellement équivalente à ce qui a été fait plus haut. Or, il est possible de montrer que dans le cas que l’on a considéré, au moins en degré assez grand, cette suite est scindée. Ce qui est suffisant pour le problème considéré.

Sous les hypothèses de la conjecture sous sa forme la plus générale cette suite peut ne pas être scindée, même en grand degré. Mais ceci implique des restrictions très fortes sur les modules R_{s}. On peut espérer utiliser ce fait pour le dernier cas, on y reviendra ailleurs.

7 Démonstration de 1.5

On énoncera et démontrera dans cette section la proposition suivante, mal dégagée dans [Sc1] :

Proposition 7.1 Soit M un module instable, soit h ≥ 0 un entier. Alors l’ensemble des éléments x tels que pour tout h ≥ k ≥ 0 il existe un entier k_{x}, tel que :

(Sq_{k})^{k_{x}}x = 0 ,

est un sous-module de M.

Cette proposition résulte évidemment de :

Lemme 7.2 Soit M un module instable, soit h ≥ 0 un entier. Alors l’ensemble des éléments x tels que pour tout 0 ≤ k ≤ h :

Sq_{k}x = 0 ,

est un sous-module de M.

Ce lemme est conséquence des relations d’Adem. Notons M_{h} le sous-espace vectoriel gradué déterminé par la condition du lemme. Il faut montrer que c’est un module sur l’algèbre de Steenrod.

Soit donc x ∈ M_{h}. Supposons avoir démontré que pour i ≤ t − 1 Sq^{i}x ∈ M_{h}, et montrons que Sq^{t}x ∈ M_{h}.

On calcule Sq^{2t}Sq_{k}(x) à l’aide des relations d’Adem. On a par définition :

Sq^{2t}Sq_{k}(x) = Sq^{2t}Sq^{|x|−k}(x) .

Si 2t < 2(|x| − k) les relations d’Adem donnent :

Sq^{2t}Sq_{k}(x) = ∑_{0}^{t} ε_{i}Sq^{2t+|x|−k−i}Sq^{i}(x) ,

avec ε_{i} = ( \begin{matrix}|x| − k − i − 1 \\ 2t − 2i \end{matrix} ).

Si 2t + |x| − k − i > i + |x|, soit si 2i < 2t − k, le terme Sq^{2t+|x|−k−i}Sq^{i}(x) est nul par instabilité. La somme ci-dessus se réduit donc à :

Sq^{2t}Sq_{k}(x) = ∑_{t− \frac{k}{2} ≤i≤t} ε_{i}Sq^{2t+|x|−k−i}Sq^{i}(x) .

Le coefficient ε_{t} est égal à ( \begin{matrix}|x| − k − t − 1 \\ 0 \end{matrix} ) soit à 1, car |x| − k − t − 1 ≥ 0 par

hypothèse. On a donc :

Sq^{2t}Sq_{k}(x) = Sq_{k}Sq^{t}(x) + ∑_{t− \frac{k}{2} ≤i≤t−1} ε_{i}Sq_{k−2(t−i)}Sq^{i}(x) .

On en déduit que Sq_{k}Sq^{t}(x) est nul car l’hypothèse de récurrence implique que tous les autres termes du membre de droite sont nuls, et car celui de gauche l’est par hypothèse.

Si |x| < t+k on peut appliquer les relations d’Adem à Sq_{k}Sq^{t}(x) directement. On obtient :

Sq_{k}Sq^{t}(x) = ∑_{0}^{\frac{t+|x|−k}{2}} ϵ_{i}Sq^{2t+|x|−k−i}Sq^{i}(x) ,

avec ϵ_{i} = ( \begin{matrix}t − i − 1 \\ t + |x| − k − 2i \end{matrix} ). Soit

Sq_{k}Sq^{t}(x) = ∑_{t− \frac{k}{2} ≥i≥ \frac{t+|x|−k}{2}} ϵ_{i}Sq_{k−2(t−i)}Sq^{i}(x) .

Or i ≤ \frac{t+|x|−k}{2} < t, et donc k − 2(t − i) < k, on peut donc utiliser l’hypothèse de récurrence.

Références

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