ISOMÉTRIES PARFAITES DANS LES BLOCS À DÉFAUT ABÉLIEN DES GROUPES SYMÉTRIQUES ET SPORADIQUES

RAPHAËL ROUQUIER

Avant-Propos

Nous étudions dans cet article des correspondances entre caractères d’un bloc e d’un groupe fini G, de groupe de défaut D abélien, et du bloc correspondant de N_{G}(D, f) où (D, f) est une e-sous-paire maximale de G.

Nous nous plaçons dans le cas où G est un groupe symétrique ou un groupe sporadique. Dans ce dernier cas, nous n’étudions que les blocs principaux, mais nous montrons aussi que les isométries de caractères que nous construisons sont compatibles avec les automorphismes extérieurs du groupe. Ainsi, nous vérifions dans les cas précédents la conjecture énoncée par M. Broué dans [Br.2] :

Soient G un groupe fini, e un bloc de G et (D, f) une e-sous-paire maximale de G. Si D est abélien, les paires (G, e) et (N_{G}(D, f), f) sont de même type.

Dans le premier chapitre, nous définissons tout d’abord le type d’un bloc, puis nous introduisons les notations nécessaires à l’étude des représentations du groupe symétrique et aux produits en couronne par des groupes symétriques. Ensuite, nous reprenons la construction classique des caractères irréductibles des produits en couronne.

Dans le deuxième chapitre, nous prouvons la conjecture citée plus haut pour les groupes symétriques. L’ingrédient essentiel est une généralisation de la formule de Murnagham-Nakayama qui décrit les valeurs des caractères des groupes symétriques, aux produits en couronne par un groupe symétrique. Cette formule, outre son utilité pour les produits en couronne de deux groupes symétriques, donne dans le cas du produit en couronne d’un groupe cyclique par un groupe symétrique, un résultat d’Osima.

La dernière partie consiste en une vérification, cas par cas, de la conjecture pour les 26 groupes sporadiques. Après avoir déterminé la structure locale des groupes concernés, nous déterminons les nombres de décomposition généralisés des caractères des blocs principaux. On en profite, suivant les idées de P. Fong, pour vérifier que les isométries construites s’étendent en des isométries entre les groupes étendus par des automorphismes extérieurs - qui sont d’ordre 2 dans le cas des groupes sporadiques.

2 RAPHAËL ROUQUIER

Sommaire

Avant-Propos 1 1. Définitions et notations 2 1.1. Type d’un bloc 2 1.2. Combinatoire 4 1.3. Produit en couronne 6 2. Groupes symétriques 7 2.1. Réduction du problème 7 2.2. Formules de Murnagham-Nakayama 8 2.3. Isométrie entre 𝔖_{n} et 𝔖_{e} ≀ 𝔖_{w} 12 2.4. Résultats principaux 13 3. Groupes sporadiques 14 3.1. Introduction 14 3.2. p = 2, J_{1} 16 3.3. p = 3 17 3.4. p = 5 26 3.5. p = 7 39 3.6. p = 11, M 44 Remerciements 47 Bibliographie 47

1. Définitions et notations

1.1. Type d’un bloc.

Dans la suite, on expose les notations et les définitions nécessaires pour définir le type d’un bloc (cf [Br.2]).

Soit O un anneau de valuation discrète complet, de corps des fractions K de caractéristique nulle, supposé assez gros pour tous les groupes finis considérés. Soit k son corps résiduel, supposé de caractéristique p ≠ 0.

Soient G un groupe fini et e un idempotent du centre ZKG de l’algèbre de groupe KG de G sur K. On note R_{K}(G, e) le groupe de Grothendieck de la catégorie _{KGe}Mod des KGe-modules à gauche de type fini, c’est-à-dire le Zmodule engendré par les caractères des KGe-modules à gauche de type fini. On note Irr(G, e) l’ensemble des caractères irréductibles de R_{K}(G, e) ; si e = 1, on note Irr(G) = Irr(G, 1). Soit H un groupe fini et f un idempotent de ZKH. On note R_{K}((G, e), (H, f)) le Z-module engendré par les caractères des (KGe, KHf)-bimodules. Soit μ ∈ R_{K}((G, e), (H, f)). Suivant M. Broué [Br.2], on définit l’application linéaire I_{μ} : R_{K}(H, f) → R_{K}(G, e) par I_{μ}(β)(g) = \frac{1}{|H|} ∑_{h∈H} μ(g, h^{−1})β(h), pour β fonction centrale sur H à valeurs dans K et g ∈ G. En outre, tout homomorphisme de R_{K}(H, f) dans R_{K}(G, e) est de la forme I_{μ} pour un élément μ dans R_{K}((G, e), (H, f)) :

μ = ∑_{χ∈Irr(H,f)} I_{μ}(χ) ⊗ χ

Définition 1.1. On dit que le caractère μ est parfait si pour tout g ∈ G et h ∈ H, on a μ(g, h)/|C_{G}(g)| ∈ O et μ(g, h)/|C_{H}(h)| ∈ O et si μ(g, h) ≠ 0 entraîne que g est d’ordre premier à p si et seulement si h est d’ordre premier à p. Une isométrie entre R_{K}(H, f) et R_{K}(G, e) est dite parfaite si elle est de la forme I_{μ}, où μ est parfait.

Soit e un idempotent primitif de ZOG, c’est-à-dire un bloc de G. On note CF(G, e; K) le K-espace vectoriel des fonctions centrales α sur G à valeurs dans K, telles que α(eg) = α(g) pour g ∈ G. On désigne par CF_{p′}(G, e; K) le sousespace formé des fonctions qui s’annulent en dehors de l’ensemble G_{p′} des p′- éléments de G.

Soit x un p-élément de G et P le sous-groupe de G engendré par x. Soit ε un idempotent primitif de ZOC_{G}(P) tel que (P, ε) soit une e-sous-paire de G [Al-Br]. Alors, on définit l’application de décomposition généralisée

d_{G}^{(x,ε)} : CF(G, e; K) → CF_{p′}(C_{G}(P), ε; K)

par d_{G}^{(x,ε)}(α)(y) = α(xyε) pour α ∈ CF(G, e; K) et y ∈ C_{G}(x)_{p′}.

On appelle catégorie de Brauer de e et on note Br_{e}(G), la catégorie dont les objets sont les e-sous-paires de G, et telle que les morphismes de (P, b) dans (P′, b′) sont les morphismes de P dans P′ induits par les automorphismes intérieurs de G qui envoient (P, b) sur une paire contenue dans (P′, b′) [Br.1, p.162]. Nous noterons Frob(G) = Br_{e}(G) si e est le bloc principal de G. Si les catégories de Brauer Br_{e}(G) et Br_{f}(H) sont équivalentes, alors, si D est un groupe de défaut de e dans G et D′ un groupe de défaut de f dans H, il existe un isomorphisme entre D et D′, ce qui nous permet, par abus de notation, d’identifier les sousgroupes de D et les sous-groupes de D′. Soit (D, e_{D}) une e-sous-paire maximale de G et (D, f_{D}) une f-sous-paire maximale de H. Si P est un sous-groupe de D, désignons par (P, e_{P}) la paire contenue dans (D, e_{D}) et (P, f_{P}) la paire contenue dans (D, f_{D}).

Le type d’un bloc est défini par la relation d’équivalence qui suit ^{1} :

Définition 1.2. On dit que les paires (G, e) et (H, f) ont même type si Br_{e}(G) et Br_{f}(H) sont équivalentes et s’il existe une famille d’isométries

{I^{P} : R_{K}(C_{H}(P), f_{P}) → R_{K}(C_{G}(P), e_{P})}_{{P cyclique⊆D}}

telle que si P =< x >, x ≠ 1, alors I^{<x>} est parfaite et le diagramme suivant est commutatif :

1Dans le cas de blocs principaux et dans le cas du groupe symétrique, cette définition coïncide exactement avec celle donnée par R. Brauer ([Bra.1])

\xymatrix{R_{K}(H, f) \ar[d]_{d_{H}^{(x,f_{P})}} \ar[r]^{I=I^{1}} & R_{K}(G, e) \ar[d]^{d_{G}^{(x,e_{P})}} \\ CF_{p′}(C_{H}(P), f_{P}; K) \ar[r]_{I_{p′}^{P}} & CF_{p′}(C_{G}(P), e_{P}; K)}

où I_{p′}^{P} est l’isométrie entre CF_{p′}(C_{H}(P), f_{P}; K) et CF_{p′}(C_{G}(P), e_{P}; K) induite par I^{P}. Une telle isométrie I est parfaite et on a alors une isotypie entre e et f, de système local (I^{P})_{{P cyclique⊆D}}.

Cette définition est une forme équivalente à la définition originale ([Br.2, 4.6]), d’après la remarque qui la suit.

Remarque 1.3. Si e est un bloc de G, (D, e_{D}) est une e-sous-paire maximale de G et D est abélien, alors Br_{e_{D}}(N_{G}(D, e_{D})) et Br_{e}(G) sont équivalentes.

Preuve. cf [Al-Br, 4.21]

1.2. Combinatoire.

On rappelle ici succinctement quelques notations et définitions liées à la combinatoire du groupe symétrique, en suivant les notations et la terminologie de James-Kerber ([Ja-Ke]).

Nous noterons 𝔖_{n} = 𝔖(E) le groupe symétrique sur un ensemble E à n éléments et Z_{n} le groupe cyclique d’ordre n. Soit n un entier et α = (α_{1}, …, α_{k}) une partition de n, c’est à dire un k-uplet tel que α_{1} ≥ ⋯ ≥ α_{k} > 0 et n = ∑ α_{i}. Soit E = E_{1}∪⋯∪E_{k} une partition de E, avec Card(E_{i}) = α_{i}. Nous noterons 𝔖_{(α)} le sous-groupe 𝔖(E_{1})×⋯ 𝔖(E_{k}) de 𝔖_{n}, qui est donc isomorphe à 𝔖_{α_{1}} ×⋯×𝔖_{α_{k}} ( un tel sous-groupe est unique à automorphisme intérieur près ). Si α est une partition, nous noterons D(α) le diagramme de Young [Ja-Ke, 1.4] associé à la partition α. On note ^{t}α la partition de diagramme de Young symétrique de D(α). On définit |α| par |α| = n, et on note [α] le caractère irréductible de 𝔖_{n} associé à cette partition, c’est-à-dire le caractère de 𝔖_{n} dont la restriction à 𝔖_{(α)} fait intervenir une fois le caractère trivial et dont la restriction a 𝔖_{(^{t}α)} fait intervenir une fois le caractère signature [Ja-Ke, 2.1]. Ainsi, on a [^{t}α] = σ[α], où σ est le caractère signature de 𝔖_{n}.

Soit l un entier strictement positif. On définit la partition lα de ln par : lα = (lα_{1}, …, lα_{k}). Soit e un entier. On appelle e-crochet une partition γ de e de la forme: (e − r, 1^{r}), où 0 ≤ r ≤ e. Alors, on définit ε(γ) par : ε(γ) = (−1)^{r}. On appelle longueur du crochet γ l’entier |γ| = e. On dit que γ est un crochet de α si γ un crochet du diagramme de Young D(α) de α, c’est-à-dire, γ est attaché à un nœud donné de D(α). On note γ ∗ α la partition dont le diagramme de Young est obtenu en enlevant à D(α) le bord de D(α) correspondant au crochet γ ([Ja-Ke, 2.7]).

ISOMÉTRIES PARFAITES 5

Définition 1.4. Soit α une partition. Soit ζ_{1} un crochet de α, ζ_{2} un crochet de ζ_{1} ∗ α, ..., ζ_{l} un crochet de ζ_{l−1} ∗ ⋯ ζ_{1} ∗ α. On dit que ζ = (ζ_{1}, …, ζ_{l}) est une suite de crochets de α. On note alors ζ ∗ α = ζ_{l} ∗ ⋯ ∗ ζ_{1} ∗ α la partition obtenue en enlevant ζ_{i} à ζ_{i−1} ∗ ⋯ ∗ ζ_{1} ∗ α. Si la suite des longueurs des crochets de ζ est décroissante, alors elle définit une partition σ, et on dit alors que la suite ζ est compatible avec la partition σ. Ainsi, si x est un élément d’un groupe symétrique de classe de conjugaison indexée par σ, il existe une correspondance qui à tout crochet de la suite ζ associe un cycle x(ζ_{i}) de longueur |ζ_{i}| de x.

Soit ζ = (ζ_{i}) une suite de crochets. On définit |ζ| par |ζ| = ∑_{i} |ζ_{i}|, on désigne par Card(ζ) le nombre de termes de la suite ζ et on définit ε(ζ) par ε(ζ) = ∏_{i} ε(ζ_{i}).

Définition 1.5. Soient α^{1}, …, α^{m} des partitions. On appelle produit de α^{1}, …, α^{m} et on note α = ×α^{i}, le m-uplet (α^{1}, …, α^{m}).

On dit que γ est un crochet de α si il existe k tel que γ est un crochet de α^{k}. On note alors γ ∗ α le produit ×β^{i}, où β^{i} = α^{i} si i ≠ k et β^{k} = γ ∗ α^{k}.

Définition 1.6. Soient α^{1}, …, α^{m} des partitions et α = ×α^{i}. Soit ζ_{1} un crochet de α, ζ_{2} un crochet de ζ_{1} ∗α, ..., ζ_{l} un crochet de ζ_{l−1} ∗⋯∗ζ_{1} ∗α. On dit alors que ζ = (ζ_{1}, …, ζ_{l}) est une suite de crochets de α et on note ζ ∗ α = ζ_{l} ∗ ⋯ ∗ ζ_{1} ∗ α. Supposons que la suite des longueurs des crochets de la suite ζ est décroissante, alors elle définit une partition σ, et on dit alors que ζ est compatible avec la partition σ.

Dans la situation précédente, il existe un m-uplet (ζ^{1}, …, ζ^{m}), où ζ^{i} est une suite de crochets de α^{i}, tel que ζ ∗ α = ×(ζ^{i} ∗ α^{i}). On a ainsi une surjection de l’ensemble des suites de crochets de α dans le produit des ensembles de suites de crochets des α^{i}, et, en général, cette application n’est pas injective.

A toute partition α de n entier, il existe un unique e-uplet α^{1}, …, α^{e} de partitions appelé e-quotient de α, déterminé à partir d’une famille de β-nombres de cardinal n associée à α ([Ja-Ke, 2.7.29]).

Proposition 1.7. Si β est une partition dont le e-quotient est α^{1}, …, α^{e}, alors, pour tout e-crochet ζ de β il existe 1 ≤ k ≤ e et un crochet ζ′ de α^{k} de telle sorte que ζ ∗ β est de e-quotient α^{1}, …, α^{k−1}, ζ′ ∗ α^{k}, α^{k+1}, …, α^{e}. Plus généralement, à toute suite de crochets de β compatible avec une partition de la forme eσ, on peut associer ainsi une suite de crochets de ×α^{i} compatible avec σ, et cette correspondance est bijective.

Preuve. cf [En.1, 2.7 p7].

Soit e un entier et β une partition sans e-crochet. On dit que α est une partition de e-cœur β s’il existe une suite de e-crochets ζ de α telle que ζ ∗ α = β. D’après [En.1, 2.15] et [Ja-Ke, 2.7.16], ε(ζ) et β ne dépendent pas du choix de la suite ζ vérifiant ζ ∗ α = β. On peut donc définir ε_{e}(α) par ε_{e}(α) = ε(ζ), et on appelle e-poids de α l’entier Card(ζ).

Définition 1.8. Soit σ un e-cœur, c’est-à-dire une partition qui est égale à son e-cœur, telle que n−|σ| ∈ eN. Le e-bloc de G = 𝔖_{n} associé à σ, noté b_{σ}^{e} ( ou plus simplement b_{σ} ), est l’idempotent de ZKG associé à l’ensemble des caractères [α], pour α partition de n de e-cœur σ:

b_{σ} = ∑_{α} e_{[α]} et e_{[α]} = \frac{[α](1)}{|G|} ∑_{g∈G}[α](g^{−1})g

On appelle e-poids de b_{σ} le e-poids des caractères qu’il contient.

D’après le théorème de Brauer-Nakayama-Robinson ([Ja-Ke, 6.1.21]), si e = p, on retrouve la notion usuelle de p-blocs.

1.3. Produit en couronne.

Nous décrivons les modules simples d’un produit en couronne, puis nous donnons une construction explicite des caractères irréductibles d’un produit en couronne.

Soient E un ensemble fini, G un groupe fini et E le groupe des fonctions de E dans G. Soit H un sous-groupe de 𝔖(E). On appelle produit en couronne G ≀ H de G par H, le groupe E ⋊ H, dont la multiplication est donnée par: (f; π) · (f′; π′) = (f · (f′ ∘ π^{−1}); ππ′) ([Ja-Ke, 4.1]). Nous identifierons E avec son image dans G ≀ H, i.e., ε ∈ E sera identifié avec (ε; 1). Si G est un sous-groupe d’un groupe symétrique 𝔖(F), où F est un ensemble fini, alors G ≀ H s’identifie canoniquement à un sous-groupe de 𝔖(E × F).

Soient (f_{1}; π_{1}), (f_{2}; π_{2}) deux éléments de G ≀ H. On dit que (f_{1}; π_{1}) et (f_{2}; π_{2}) sont à supports disjoints s’il existe une partition E = E_{1} ∪ E_{2} de E telle que si {i, j} = {1, 2}, alors f_{i}(E_{j}) = {1_{G}} et π_{i} fixe chaque élément de E_{j}.

1.3.1. Modules simples. Soit R = O, K ou k. Pour tout i ∈ E, soit V_{i} un RGmodule. Le groupe d’inertie du RE-module V = ⊗_{i∈E}V_{i} dans G ≀ H est de la forme G ≀ L où L est un sous-groupe de H. Soit V^{∼} le R(G ≀ L)-module défini par :

(f; π)(⊗_{i∈E}v_{i}) = ⊗_{i∈E}(f(i)v_{π^{−1}(i)})

où (f; π) ∈ G ≀ L. Soit W un RL-module, considéré comme R(G ≀ L)-module. Alors, si W est simple et V_{i} est simple pour tout i ∈ E, Ind_{G≀L}^{G≀H}(V^{∼} ⊗ W) est un R(G ≀ H)-module simple, d’après la théorie de Clifford.

1.3.2. Caractères irréductibles. Soit φ : E → Irr(G). On définit alors χ_{φ} : E → K par:

χ_{φ}(f) = ∏_{e∈E} φ(e)(f(e)), pourf ∈ E

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Alors, {χ_{φ}|φ : E → Irr(G)} = Irr(E). En outre, si φ : E → Irr(G), alors {φ^{−1}(ψ)|ψ ∈ φ(E)} est une partition de E et le stabilisateur de χ_{φ} dans G ≀ H est

Stab_{G≀H}(χ_{φ}) = G ≀ (H ∩ ∏_{ψ∈φ(E)} 𝔖_{φ^{−1}(ψ)})
= E · (H ∩ ∏_{ψ∈φ(E)} 𝔖_{φ^{−∞}(ψ)})

De plus, χ_{φ} s’étend en un caractère irréductible E(χ_{φ}) de Stab_{G≀H}(χ_{φ}) ([Ja-Ke, 4.3]). Si λ ∈ Irr(Stab_{G≀H}(χ_{φ})) et E ⊆ Ker(λ), alors (λE(χ_{φ})) ∈ Irr(Stab_{G≀H}(χ_{φ})) et Ind^{G≀H}(λE(χ_{φ})) ∈ Irr(G ≀ H). Enfin, si R est un système de représentants des applications φ : E → Irr(G) de telle sorte que χ_{φ} décrit un système de représentants des orbites de G ≀ H sur Irr(E), alors

{Ind^{G≀H}(λE(χ_{φ}))|λ ∈ Irr(Stab_{G≀H}(χ_{φ})), E ⊆ Ker(λ) et φ ∈ R}

est l’ensemble Irr(G ≀ H) des caractères irréductibles de G ≀ H.

Soient n = Card(E) et H = 𝔖(E). Soit φ : E → Irr(G), E_{ϕ} = φ^{−1}(ϕ) et n_{ϕ} = Card(E_{ϕ}), pour tout ϕ ∈ Irr(G). Alors, E = ∪E_{ϕ} est une partition de E et ∑ n_{ϕ} = n. On a

Stab_{G≀H}(χ_{φ}) = G ≀ ( ∏_{ϕ∈φ(E)} 𝔖(E_{ϕ})) = E · ( ∏_{ϕ∈φ(E)} 𝔖(E_{ϕ})).

Pour tout ϕ ∈ Irr(G) avec n_{ϕ} > 0, soit α^{ϕ} une partition de n_{ϕ}. Alors, ∏_{ϕ∈φ(E)}[α^{ϕ}] définit un caractère irréductible de ∏_{ϕ∈φ(E)} 𝔖(E_{ϕ}), donc définit par inflation un caractère irréductible λ de Stab_{G≀H}(χ_{φ}) tel que E ⊆ Ker(λ). Nous posons alors [×α^{ϕ}] = Ind_{Stab_{G≀H}(χ_{φ})}^{G≀H}(λE(χ_{φ})).

Suivant [Ja-Ke, 4.4.10], on détermine dans le cas où H = 𝔖(E) les valeurs des caractères irréductibles de G ≀ H.

Soient ψ ∈ Irr(G) et φ : E → Irr(G) donnée par φ(i) = ψ pour i ∈ E. Alors, E(χ_{φ}) est un caractère irréductible de G ≀ H.

Soit x = (f; π) ∈ G ≀ H. Soit π = π_{1} ⋯ π_{r} la décomposition de π en un produit de cycles disjoints, avec r entier. Si 1 ≤ k ≤ r et π_{k} = (j_{k}π(j_{k}) ⋯), alors on pose x_{k} = f(j_{k})f(π(j_{k})) · · ·. On a alors

E(χ_{φ})(x) = ∏_{k} ψ(x_{k}).

2. Groupes symétriques

2.1. Réduction du problème.

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Proposition 2.1. Soient E un ensemble fini, G = 𝔖(E), e un bloc de G de groupe de défaut D et w le poids de e. Alors, D est abélien si et seulement si w est strictement inférieur à p. Dans ce cas, D ≃ (Z_{p})^{w}.

Preuve. En effet, on sait qu’il existe un sous-ensemble F de E de cardinal pw tel que D est un p-sous-groupe de Sylow de H = 𝔖(F), ([Br.1, 1.B.3]).

Proposition 2.2. Soient E un ensemble fini, G = 𝔖(E), e un bloc de G de poids w < p et (D, f) une e-sous-paire maximale de G. Soit F ⊆ E avec Card(F) = pw, H = 𝔖(F) tels que D est un p-sous-groupe de Sylow de H et soit b_{0} le bloc principal de N_{H}(D). Alors, (N_{G}(D, f), f) et (N_{H}(D), b_{0}) ont même type.

Preuve. Si F′ = E \ F, alors C_{G}(D) = 𝔖(F′) × D, C_{H}(D) = D et N_{G}(D) = 𝔖(F′) × N_{H}(D) où N_{H}(D) ≃ (Z_{p} ⋊ Z_{p−1}) ≀ 𝔖_{w}. Ainsi, b_{0}, le bloc principal de N_{H}(D), est le seul bloc de N_{H}(D). Par conséquent, il existe un unique bloc b de 𝔖(F′) de défaut zéro tel que f = b⊗b_{0}. Ainsi, N_{G}(D, f) = N_{G}(D). Il est clair que Br_{f}(N_{G}(D, f)) et Br_{b_{0}}(N_{H}(D)) sont équivalentes, et il existe une équivalence de Morita entre les blocs f et b_{0}. Cette équivalence définit une isométrie au niveau des caractères, qui est une isotypie ([Ha]).

Théorème 2.3 (Fong-Harris). Soit X un groupe fini dont un p-sous groupe de Sylow P est abélien, Y = N_{X}(P) et A un p′-sous-groupe d’un groupe symétrique 𝔖_{n}. Si les blocs principaux de X et de Y ont le même type, alors les blocs principaux de X ≀ A et Y ≀ A ont même type.

Preuve. cf [Fo-Ha].

La conjecture citée au début est vraie dans le cas du défaut cyclique:

Théorème 2.4 (Broué). Soit G un groupe fini, e un bloc de G et (D, f) une esous-paire maximale de G. Si D est cyclique, alors les paires (G, e) et (N_{G}(D, f), f) sont de même type.

Preuve. cf [Br.2, 5.C].

Corollaire 2.5. Si w < p, alors les blocs principaux de 𝔖_{p}≀𝔖_{w} et (Z_{p}⋊Z_{p−1})≀𝔖_{w} ont même type.

Preuve. Le normalisateur d’un p-sous-groupe de Sylow cyclique de 𝔖_{p} est isomorphe à Z_{p} ⋊Z_{p−1}, donc on peut conclure grâce aux deux théorèmes précédents.

2.2. Formules de Murnagham-Nakayama.

Soit e un entier strictement positif. Soit n un entier. Si x ∈ 𝔖_{n}, on note x_{(e)} le produit des cycles de longueur divisible par e dans la décomposition de x en cycles à supports disjoints, et x_{(e′)} le produit des cycles de longueur non divisible par e dans la décomposition de x. La classe de conjugaison de x_{(e)} dans 𝔖(F), où F est le sous-ensemble de {1, …, n} formé des éléments qui ne sont pas fixes par x_{(e)}, est caractérisée par une partition dont toutes les composantes sont divisibles par e. Cette partition est donc de la forme eβ, où β est une partition. On appelle e-type de x_{(e)} la partition β.

Théorème 2.6. Soit m un entier tel que em ≤ n et σ une partition de m. Soit r^{σ} : R_{K}(𝔖_{n}) → R_{K}(𝔖_{n−em}) définie par

r^{σ}([α]) = ∑_{ξ} ε(ξ)[ξ ∗ α]

où ξ parcourt l’ensemble des suites de crochets de α compatibles avec eσ. Si z ∈ 𝔖_{n} et si σ est le type de z_{(e)}, alors pour toute partition α de n, on a [α](z) = r^{σ}([α])(z_{(e′)}).

Preuve. Il s’agit d’une forme itérée de la formule de Murnagham-Nakayama [Ja-Ke, 2.4.7], donnée par M. Enguehard [En.1, 3.2].

Soit G un groupe fini. On a une formule analogue pour G ≀ 𝔖_{n}:

Soit E un ensemble de cardinal n, H = 𝔖(E). Soient φ : E → Irr(G), E_{ϕ} = φ^{−1}(ϕ) et α^{ϕ} une partition de Card(E_{ϕ}) pour tout ϕ ∈ Irr(G). Alors, ∏_{ϕ∈φ(E)}[α^{ϕ}] définit un caractère irréductible de ∏_{ϕ∈φ(E)} 𝔖(E_{ϕ}), donc définit par inflation, un caractère irréductible λ de Stab_{G≀H}(χ_{φ}). Nous avons ainsi un caractère irréductible [×α^{ϕ}] = Ind_{Stab_{G≀H}(χ_{φ})}^{G≀H}(λE(χ_{φ})) de G ≀ H.

Théorème 2.7. Soit z ∈ G ≀ H et z = xy une décomposition telle que x et y soient à supports disjoints, x = (f; σ) et σ = (jσ(j) ⋯ σ^{m−1}(j)) est un cycle de longueur m. On pose x_{σ} = f(j)f(σ(j)) ⋯ f(σ^{m−1}(j)). Alors,

[×α^{ϕ}](xy) = ∑_{ψ} ∑_{ζ} ε(ζ)ψ(x_{σ})[×_{ϕ≠ψ}α^{ϕ} × (ζ ∗ α^{ψ})](y)

où ψ décrit Irr(G), ζ est un m-crochet de α^{ψ}.

Notons avant de démontrer ce théorème que l’on obtient immédiatement le résultat suivant, forme itérée du théorème précédent :

Théorème 2.8. Soit z ∈ G ≀ H et z = xy une décomposition telle que x et y soient à supports disjoints, x = (f; σ). Alors, pour tout caractère irréductible [×α^{ϕ}] de G ≀ H, on a

[×α^{ϕ}](xy) = ∑_{ζ} ε(ζ)c_{ζ}(x)[×(ζ^{ϕ} ∗ α^{ϕ})](y)

où ζ décrit l’ensemble des suites de crochets de ×α^{ϕ} compatibles avec σ et c_{ζ}(x) = ∏_{ϕ} ∏_{k} ϕ(x_{σ(ζ_{k}^{ϕ})}), ζ^{ϕ} = (ζ_{k}^{ϕ}), σ(ζ_{k}^{ϕ}) est le cycle de σ correspondant à ζ_{k}^{ϕ}, et si

σ(ζ_{k}^{ϕ}) = (jσ(j) ⋯), alors x_{σ(ζ_{k}^{ϕ})} = f(j)f(σ(j)) · · ·.

Preuve de 2.7. Soit F ⊂ E, Card(F) = m tel que σ ∈ 𝔖(F). Soit n_{ϕ} = |E_{ϕ}| pour tout ϕ ∈ Irr(G). On a y = (ρ; τ). Alors:

[×α^{ϕ}](xy) = \frac{1}{∏ n_{ϕ}!} ∑ ; h∈H,(στ)^{h}∈∏ 𝔖(E_{ϕ})[∏ E(ϕ^{n_{ϕ}})(∏[α^{ϕ}])] ((xy)^{h})

= \frac{1}{∏ n_{ϕ}!} ∑_{ψ} ∑_{\begin{matrix}h∈H,σ^{h}∈𝔖(E_{ψ}), \\ (στ)^{h}∈∏ 𝔖(E_{ϕ}) \end{matrix}}[∏ E(ϕ^{n_{ϕ}})(∏[α^{ϕ}])] ((xy)^{h})

Soit h ∈ H tel que σ^{h} ∈ 𝔖(E_{ψ}), (στ)^{h} ∈ ∏ 𝔖(E_{ϕ}) ; alors, si k ∈ 𝔖(E_{ψ}), on a σ^{hk} ∈ 𝔖(E_{ψ}), (στ)^{hk} ∈ ∏ 𝔖(E_{ϕ}) et

[∏ E(ϕ^{n_{ϕ}})([α^{ψ}] ∏_{ϕ≠ψ}[α^{ϕ}])] ((xy)^{h}) = [∏ E(ϕ^{n_{ϕ}})[α^{ψ}] ∏_{ϕ≠ψ}[α^{ϕ}])] ((xy)^{hk}),

d’où

[×α^{ϕ}](xy) =

= \frac{1}{∏ n_{ϕ}!} ∑_{ψ} ∑_{f:F →E_{ψ}} ∑_{\begin{matrix}h∈H,σ^{h}∈𝔖(E_{ψ}), \\ (στ)^{h}∈∏ 𝔖(E_{ϕ}) \\ et h_{|F} =f \end{matrix}} [∏ E(ϕ^{n_{ϕ}})([α^{ψ}] ∏_{ϕ≠ψ}[α^{ϕ}])] ((xy)^{h})

où f décrit l’ensemble des injections de F dans E_{ψ}

= \frac{1}{∏ n_{ϕ}!} ∑_{ψ} \frac{n_{ψ}!}{(n_{ψ} − m)!} ∑_{\begin{matrix}h∈𝔖(E\F) \\ τ^{h}∈∏_{ϕ≠ψ} 𝔖(E_{ϕ})×𝔖(E_{ψ}\F) \end{matrix}} [∏ E(ϕ^{n_{ϕ}})([α^{ψ}] ∏_{ϕ≠ψ}[α^{ϕ}])] ((xy)^{h})

Si σ ∈ 𝔖(E_{ψ}), et ψ ∈ Irr(G), on a ∏ E(ϕ^{n_{ϕ}})(xy) = ψ(x_{σ}) ∏ E(ϕ^{n′_{ϕ}})(y) où n′_{ϕ} = n_{ϕ} si ϕ ≠ ψ et n′_{ψ} = n_{ψ} − m. Ainsi,

[×α^{ϕ}](xy) =

= ∑_{ψ} \frac{1}{∏ n′_{ϕ}!} ∑_{ζ} ψ(x_{σ})ε(ζ) ∑_{\begin{matrix}h∈𝔖(E\F), \\ τ^{h}∈∏_{ϕ≠ψ} 𝔖(E_{ϕ})×𝔖(E_{ψ}\F) \end{matrix}} [∏ E(ϕ^{n′_{ϕ}})([ζ ∗ α^{ψ}] × ∏_{ϕ≠ψ}[α^{ϕ}])] (y^{h})

où ζ décrit l’ensemble des m-crochets de α^{ψ}, d’après la formule de Murnagham-Nakayama itérée 2.6.

Par conséquent,

[×α^{ϕ}](xy) = ∑_{ψ} ∑_{ζ} ψ(x_{σ})ε(ζ)[×_{ϕ≠ψ}α^{ϕ} × (ζ ∗ α^{ψ})](y),

d’où le résultat.

ISOMÉTRIES PARFAITES 11

On obtient quelques corollaires immédiats dans le cas où l’on peut exprimer facilement la valeur de c_{ζ}(x). Lorsque G = Z_{m} est un groupe cyclique, on retrouve un résultat d’Osima ([Osi, th. 7, p48]), et plus généralement, lorsque G est abélien, on a :

Corollaire 2.9. Soit G un groupe fini abélien. Soit z ∈ G ≀ 𝔖_{n} et z = xy une décomposition telle que x et y soient à supports disjoints, et x = (1; σ). Alors, pour tout caractère irréductible [α^{ϕ}] de G ≀ 𝔖_{n},

[×α^{ϕ}](xy) = ∑_{ζ} ε(ζ)[×(ζ^{ϕ} ∗ α^{ϕ})](y)

où ζ décrit l’ensemble des suites de crochets de ×α^{ϕ} compatibles avec σ.

Nous fixons un plongement de 𝔖_{e} ≀ 𝔖_{w} dans 𝔖_{we}, un tel plongement étant unique à automorphisme intérieur près (cf [Ja-Ke, 4.1.18.]). Rappelons que les caractères irréductibles du e-bloc b_{0}^{e} de 𝔖_{e} sont associés aux e-crochets. Soit w un entier. On note R_{K}(𝔖_{e} ≀ 𝔖_{w}, b_{0}) le sous-groupe de R_{K}(𝔖_{e} ≀ 𝔖_{w}) engendré par les caractères irréductibles de la forme [×_{α}β^{[α]}], où β est la partition vide si α n’est pas un e-crochet.

Lorsque G = 𝔖_{e}, on trouve un corollaire du théorème qui sera utile par la suite:

Corollaire 2.10. Soit m ≤ w et σ une partition de m. Soit δ^{σ} : R_{K}(𝔖_{e} ≀ 𝔖_{w}, b_{0}) → R_{K}(𝔖_{e} ≀ 𝔖_{w−m}) définie par

δ^{σ}([×β^{[γ]}]) = ∑_{ζ} ε(ζ) · ∏_{γ} ε(γ)^{Card(ζ^{[γ]})} · [×(ζ^{[γ]} ∗ β^{[γ]})]

où ζ décrit l’ensemble des suites de crochets de ×β^{[γ]} compatibles avec σ et γ parcourt l’ensemble des e-crochets. Soit z ∈ 𝔖_{e} ≀ 𝔖_{w}, z = xy, x et y à supports disjoints, où x est de e-type σ, comme élément de 𝔖_{we}. Alors, pour tout caractère ψ ∈ R_{K}(𝔖_{e} ≀ 𝔖_{w}, b_{0}),

ψ(z) = δ^{σ}(ψ)(y).

Preuve. Remarquons tout d’abord que si x = (f; σ) = (f_{1}; σ_{1}) ⋯ (f_{k}; σ_{k}), σ = σ_{1} ⋯ σ_{k} est la décomposition de σ en cycles disjoints et si σ_{i} = (j_{i}σ_{i}(j_{i}) ⋯), alors, pour tout i, 1 ≤ i ≤ k, x_{σ_{i}} = f_{i}(j_{i})f_{i}(σ_{i}(j_{i})) ⋯ est un cycle de longueur e ([Ja-Ke, 4.2.19]). Soit ψ ∈ R_{K}(𝔖_{e} ≀ 𝔖_{w}, b_{0}), ψ = [×β^{[γ]}]. On a

ψ(xy) = ∑_{ζ} ε(ζ)c_{ζ}(x)[×(ζ^{[γ]} ∗ β^{[γ]})](y)

où ζ décrit l’ensemble des suites de crochets de ×β^{[γ]} compatibles avec σ, d’après le théorème 2.8 et avec les notations de ce théorème. On a c_{ζ}(x) = ∏_{γ} ∏_{k}[γ](x_{σ(ζ_{k}^{[γ]})}),

donc c_{ζ}(x) = ∏_{γ} ε(γ)^{Card(ζ^{[γ]})}, d’où le résultat.

12 RAPHAËL ROUQUIER

2.3. Isométrie entre 𝔖_{n} et 𝔖_{e} ≀ 𝔖_{w}.

Soient E un ensemble fini de cardinal n, G = 𝔖(E), λ un e-cœur tel que (n − |λ|) ∈ eN, b_{λ} le e-bloc correspondant de G et w son poids.

Soit {1, …, e} → {e − crochets} une bijection, i ↦ γ_{i}. Soit α une partition de n de e-cœur λ et η = η^{1}, …, η^{e} son e-quotient ([Ja-Ke, 2.7.29]). Pour tout i, on définit α^{γ_{i}} = η^{i} si ε(γ_{i}) = 1 et α^{γ_{i}} = ^{t}η^{i} si ε(γ_{i}) = −1. Si γ est un e-crochet, on pose n_{γ} = |α^{γ}|. On définit alors l’isométrie I_{w} entre R_{K}(G, b_{λ}) et R_{K}(𝔖_{e} ≀𝔖_{w}, b_{0}) par :

I_{w}([α]) = e(α)[×α^{γ}]

où

e(α) = ε_{e}(α) ∏_{γ} ε(γ)^{n_{γ}}

et

[×α^{γ}] = [×α^{[γ]}]

Théorème 2.11. Soit m ≤ w un entier, σ une partition de m et b′_{λ} le bloc de 𝔖_{n−em} associé à λ. Alors, le diagramme suivant est commutatif:

\xymatrix{R_{K}(𝔖_{n}, b_{λ}) \ar[d]_{r^{σ}} \ar[r]^{I_{w}} & R_{K}(𝔖_{e} ≀ 𝔖_{w}) \ar[d]^{δ^{σ}} \\ R_{K}(𝔖_{n−em}, b′_{λ}) \ar[r]_{I_{w−m}} & R_{K}(𝔖_{e} ≀ 𝔖_{w−m})}

Preuve. Soit α une partition de n de e-cœur λ et η = η^{1}, …, η^{e} son e-quotient comme ci-dessus. A toute suite de crochets ξ de α compatible avec eσ on peut associer une suite de crochets ζ′ = {ζ′_{i}} de ×η^{i} compatible avec σ (prop. I.1.7). On associe à une telle suite de crochets la suite de crochets ζ = {ζ_{i}} de ×α^{γ} compatible avec σ, avec ζ_{i} = ζ′_{i} si ζ′_{i} est un crochet de α^{j} et α^{j} = η^{j}, et ζ_{i} = ^{t}ζ′_{i} si α^{j} = ^{t}η^{j}. Les correspondances ξ ↦ ζ′ et ζ′ ↦ ζ étant bijectives, la correspondance ξ ↦ ζ est bijective. Alors,

δ^{σ}(I_{w}([α])) = ∑_{ζ} ε(ζ) · ∏_{γ} ε(γ)^{Card(ζ^{γ})} · e(α) · [×(ζ^{γ} ∗ α^{γ})]

où ζ décrit l’ensemble des suites de crochets de ×α^{γ} compatibles avec σ. On a :

I_{w−m}(r^{σ}([α])) = ∑_{ξ} ε(ξ) · I_{w−m}([ξ ∗ α])

où ξ décrit l’ensemble des suites de crochets de α compatibles avec eσ.

I_{w−m}(r^{σ}([α])) = ∑_{ξ} ε(ξ) · e(ξ ∗ α) · [×(ζ^{γ} ∗ α^{γ})]

où ζ est associée à ξ.

Or, ε_{e}(α)ε(ξ) = (ε(ζ) ∏_{γ} ε(γ)^{|ζ^{γ}|−Card(ζ^{γ})})ε_{e}(ξ∗α) [En.1, 2.17]. De plus, e(α)e(ξ∗ α) = ε_{e}(α)ε_{e}(ξ ∗ α) ∏_{γ} ε(γ)^{|ζ^{γ}|}, d’où le résultat.

ISOMÉTRIES PARFAITES 13

2.4. Résultats principaux.

On revient ici au cas où e = p est un nombre premier et on suppose en outre que w < p; λ est un p-cœur tel que (n−|λ| ∈ pN) et b est le p-bloc correspondant de 𝔖_{n} de groupe de défaut D. Soient m ≤ w, σ une partition de m et x un pélément de p-type σ de D ( en fait, σ = (1^{m}) puisque D est abélien élémentaire ). On a C_{𝔖_{n}}(x) = K_{1} × H et C_{𝔖_{p}≀𝔖_{w}}(x) = K_{2} × H où H ≃ Z_{p} ≀ 𝔖_{m}, K_{1} ≃ 𝔖_{n−pm} et K_{2} ≃ 𝔖_{p} ≀ 𝔖_{w−m}, K_{2} ⊆ K_{1}.

Soient b′_{λ} le bloc de 𝔖_{n−pm} associé à λ et b” = b′_{λ} ⊗ 1 le bloc correspondant de C_{𝔖_{n}}(x). Soient b_{0} le bloc principal de 𝔖_{p} ≀𝔖_{w} et b′_{0} le bloc principal de C_{𝔖_{p}≀𝔖_{w}}(x). Soit I′_{w−m} l’isométrie entre R_{K}(C_{𝔖_{n}}(x), b”) et R_{K}(C_{𝔖_{p}≀𝔖_{w}}(x), b′_{0}) étendant I_{w−m} par l’identité sur R_{K}(H).

On peut alors réécrire le résultat précédent sous la forme suivante, grâce aux formules de Murnagham-Nakayama 2.6 et 2.10:

Corollaire 2.12. Pour 0 ≤ m ≤ w, I′_{w−m} est une isométrie parfaite et le diagramme suivant est commutatif, pour tout p-élément x de type (1^{m}) de D :

\xymatrix{R_{K}(𝔖_{n}, b_{λ}) \ar[d]_{d_{𝔖n}^{x}} \ar[r]^{I_{w}} & R_{K}(𝔖_{p} ≀ 𝔖_{w}, b_{0}) \ar[d]^{d_{𝔖p≀𝔖w}^{x}} \\ CF_{p′}(C_{𝔖_{n}}(x), b”; K) \ar[r]_{(I′_{w−m})_{p′}} & CF_{p′}(C_{𝔖_{p}≀𝔖_{w}}(x), b′_{0}; K)}

et donc le bloc b de 𝔖_{n} et le bloc principal de 𝔖_{p} ≀ 𝔖_{w} sont isotypiques.

Preuve. Les catégories Br_{b_{λ}}(𝔖_{n}) et Br_{b_{0}}(𝔖_{wp}) sont équivalentes (cf [En.1]) et 𝔖_{p} ≀ 𝔖_{w} contient le normalisateur du p-sous-groupe de Sylow de 𝔖_{wp}, donc Br_{b_{0}}(𝔖_{p} ≀ 𝔖_{w}) est équivalente à Br_{b_{0}}(𝔖_{wp}) (cf 1.3) et ainsi Br_{b_{λ}}(𝔖_{n}) et Br_{b_{0}}(𝔖_{p} ≀ 𝔖_{w}) sont équivalentes.

Nous allons montrer par récurrence que I_{w} est parfaite. Supposons que I_{r} est une isométrie parfaite pour r < w ; pour r = 0, c’est évident, car les blocs sont de défaut nul. Comme m > 0, I_{w−m} est une isométrie parfaite, donc I′_{w−m} est parfaite. Nous allons maintenant montrer la commutativité du diagramme qui précède.

Soit g un élément de 𝔖_{p} ≀ 𝔖_{w} qui est, en tant qu’élément de 𝔖_{n}, un produit de cycles de longueurs divisibles par p, de p-type σ. Alors pour tout y ∈ 𝔖_{p} ≀ 𝔖_{w} tel que g et y sont à supports disjoints et pour tout caractère ψ de R_{K}(𝔖_{p} ≀ 𝔖_{w}, b_{0}), on a, d’après le corollaire 2.10,

ψ(gy) = δ^{σ}(ψ)(y)

En outre, si χ ∈ R_{K}(𝔖_{n}, b_{λ}), on a, d’après 2.6,

χ(gy) = r^{σ}(χ)(y)

Ainsi, si x est un p-élément de D et y ∈ C_{𝔖_{n}}(x)_{p′}, alors il existe y_{1}, y_{2} ∈ 𝔖_{n} tels que y = y_{1}y_{2}, xy_{1} et y_{2} sont à supports disjoints et xy_{1} est un produit de cycles de longueurs divisibles par p, de p-type σ, on a, d’après 2.6 :

d_{𝔖_{n}}^{x}(χ)(y) = r^{σ}(χ)(y_{2})

d’où, pour y ∈ C_{𝔖_{p}≀𝔖_{w}}(x)_{p′},

I_{w−m}(r^{σ}(χ))(y_{2}) = (I′_{w−m})_{p′}(d_{𝔖_{n}}^{x}(χ))(y).

De même, si y ∈ C_{𝔖_{p}≀𝔖_{w}}(x)_{p′}, alors il existe y_{1}, y_{2} ∈ 𝔖_{p} ≀ 𝔖_{w} tels que y = y_{1}y_{2}, y_{1} et y_{2} sont à supports disjoints et xy_{1} est un produit de cycles de longueurs divisibles par p, de p-type σ, on a, d’après 2.10 :

d_{𝔖_{p}≀𝔖_{w}}^{x}(ψ)(y) = δ^{σ}(ψ)(y_{2}).

Par conséquent,

d_{𝔖_{p}≀𝔖_{w}}^{x}(I_{w}(χ))(y) = I_{w−m}(r^{σ}(χ))(y_{2})

d’après le théorème 2.11. Donc,

d_{𝔖_{p}≀𝔖_{w}}^{x}(I_{w}(χ))(y) = (I′_{w−m})_{p′}(d_{𝔖_{n}}^{x}(χ))(y).

Ainsi, le diagramme est commutatif et par conséquent I_{w} est une isotypie, donc I_{w} est parfaite. Par récurrence, on a ainsi montré que I_{w} est parfaite ; on a vu en outre que le diagramme du corollaire était commutatif, donc I_{w} est une isotypie.

Théorème 2.13. Soit G un groupe symétrique, e un bloc à défaut abélien D de G et (D, e_{D}) une e-sous-paire maximale. Alors, (G, e) et (N_{G}(D, e_{D}), e_{D}) ont même type.

Preuve. Soient b_{0} le bloc principal de 𝔖_{p} ≀ 𝔖_{w} et b′_{0} le bloc principal de 𝔖_{p}. L’isotypie entre (G, e) et (N_{G}(D, e_{D}), e_{D}) est donnée par le diagramme commutatif suivant, grâce à 2.2, 2.5 et 2.12 :

[figure: R_{K}(G, e); isotypie; isotypie; R_{K}(N_{G}(D, e_{D}), e_{D}); isotypie; R_{K}(𝔖_{p} ≀ 𝔖_{w}, b_{0}); ≀𝔖_{w}; isotypie; R_{K}((Z_{p} ⋊ Z_{p−1}) ≀ 𝔖_{w}); ≀𝔖_{w}; R_{K}(𝔖_{p}, b′_{0}); isotypie; R_{K}(Z_{p} ⋊ Z_{p−1})]

3. Groupes sporadiques

3.1. Introduction.

Nous prouvons dans cette partie le résultat suivant :

ISOMÉTRIES PARFAITES 15

Théorème 3.1. Soit G un groupe sporadique simple, p un nombre premier tel que un p-sous-groupe de Sylow P de G est abélien non cyclique. Alors, il existe une isotypie entre les blocs principaux de G et N_{G}(P). En outre, cette isotypie s’étend à une isotypie entre le bloc principal de Aut(G) et le bloc principal de N_{Aut(G)}(P).

Nous donnons ci-dessous les groupes sporadiques possédant un p-sous-groupe de Sylow P abélien non cyclique. Nous noterons p^{n} un groupe abélien élémentaire d’ordre p^{n}. On note Out(G) = Aut(G)/G.

\begin{matrix}G & P & | Out(G)| \\ J_{1} & 2^{3} & 1 \\ M_{11} & 3^{2} & 1 \\ M_{22} & 3^{2} & 2 \\ M_{23} & 3^{2} & 1 \\ HS & 3^{2} & 2 \\ ON & 3^{4} & 2 \\ J_{2} & 5^{2} & 2 \\ Suz & 5^{2} & 2 \\ He & 5^{2} & 2 \\ F i_{22} & 5^{2} & 2 \\ F i_{23} & 5^{2} & 1 \\ F i′_{24} & 5^{2} & 2 \\ Co_{1} & 7^{2} & 1 \\ T h & 7^{2} & 1 \\ BM & 7^{2} & 1 \\ M & 11^{2} & 1 \end{matrix}

La structure des normalisateurs des sous-groupes de Sylow et des centralisateurs de p-éléments des groupes sporadiques est donnée dans [Go-Ly], [Asch] et [Atlas]. Les tables de caractères des groupes sporadiques et de leurs groupes d’automorphismes utilisées sont toutes déterminées dans [Atlas]. Les tables de caractères des normalisateurs des p-sous-groupes de Sylow abéliens non cyliques sont données pour les groupes J_{1}, M_{11}, M_{22}, M_{23}, HS, ON, J_{2}, Suz, He et Co_{1} dans [Ost].

Nous noterons D_{2n} le groupe dihédral d’ordre 2n, QD_{16} le groupe quasi-dihédral d’ordre 16. Nous noterons G ∗ H un produit central de G et de H et G#H un groupe de sous-groupe distingué G, tel que (G#H)/G ≃ H. Nous noterons G · H le groupe G#H lorsque l’extension est scindée.

Soient G et H deux groupes finis, G̃ = G · 2 et H̃ = H · 2. Soit χ un caractère de G qui s’étend en χ_{1} et χ_{2} à G̃ et ψ un caractère de H qui s’étend en ψ_{1} et ψ_{2} à H̃. L’application qui envoie χ sur ψ d’une part et χ_{i} sur ψ_{i} pour i ∈ {1, 2} d’autre part sera notée :

[figure: χ_{1}; ψ_{1}; χ; ψ; χ_{2}; ψ_{2}]

Soient maintenant χ_{1} et χ_{2} deux caractères de G qui fusionnent en le caractère χ de G̃ et ψ_{1} et ψ_{2} deux caractères de H qui fusionnent en le caractère ψ de H̃. Alors, l’application qui envoie χ sur ψ d’une part et χ_{i} sur ψ_{i} pour i ∈ {1, 2} d’autre part sera notée :

[figure: χ_{1}; ψ_{1}; χ; ψ; χ_{2}; ψ_{2}]

On suppose p ≠ 2.

Soit I une isométrie entre R_{K}(G, e) et R_{K}(H, f), où e et f sont les blocs principaux de G et H. Soit Ĩ une isométrie entre R_{K}(G̃, ẽ) et R_{K}(H̃, f̃), où ẽ et f̃ sont les blocs principaux de G̃ et H̃.

Soit χ un caractère irréductible de R_{K}(G, e). Soit ε(χ) = ±1 tel que ε(χ)I(χ) est un caractère irréductible. Alors, supposons que χ s’étend à G̃ si et seulement si ε(χ)I(χ) s’étend à H̃, et alors si χ̃ est une extension de χ, que ε(χ)Ĩ(χ̃) est une extension de ε(χ)I(χ).

On dit alors que l’isométrie I s’étend en l’isométrie Ĩ.

Supposons que {I^{P} } et {Ĩ^{P} } définissent des isotypies entre (G, e) et (H, f) d’une part, et (G̃, ẽ) et (H̃, f̃) d’autre part. On dit alors que l’isotypie I s’étend en l’isotypie Ĩ si pour tout P, l’isométrie I^{P} s’étend en l’isométrie Ĩ^{P}.

3.2. p = 2, J_{1}.

M. Broué a prouvé que les 2-blocs principaux de J_{1} et de N_{J_{1}}(2^{3}) = 2^{3} · (7 · 3) ont le même type ([Br.2, A.1.2]). Rappelons cette construction.

Soient G = J_{1}, D = 2^{3} un 2-sous-groupe de Sylow de G et H = N_{G}(D) = 2^{3} · (7 · 3). Il existe une unique classe de conjugaison d’involutions dans G ; soit s une involution de D. On a C_{G}(s) = 2 × P SL_{2}(5) et C_{H}(s) = 2 × P SL_{2}(3).

On a une isométrie parfaite entre les blocs principaux de P SL_{2}(3) et P SL_{2}(5) :

(1 ; 1′ ; \overline{1′} ; 3) ↦ (\begin{matrix}1 \\ −3 \\ −\overline{3} \\ −5 \end{matrix})

La matrice de décomposition généralisée de G en x est :

1 77_{1} 77_{2} \overline{77_{2}} 133_{1} 133_{2} \overline{133_{2}} 209
d(1) 1 −1 0 0 −1 0  0  1
−d(3) 0 −1 1 0 −1 1  0  0
−d(\overline{3}) 0 −1 0 1 −1 0  1  0

La matrice de décomposition généralisée de H en x est :

1 1_{1} \overline{1_{1}} 3 \overline{3} 7_{1} 7_{2} \overline{7_{2}}
1 1 0 0 1 1 −1 0 0
1′ 0 1 0 1 1 0 −1 0
\overline{1′} 0 0 1 1 1 0 0 −1

Ainsi, l’application suivante définit une isotypie entre les blocs principaux de G et H :

( 1 77_{1} 77_{2} \overline{77_{2}} 133_{1} 133_{2} \overline{133_{2}} 209) ↦ ( 1 ; −3 ; 1_{1} ; \overline{1_{1}} ; −\overline{3} ; −7_{2} ; −\overline{7_{2}} ; −7_{1})

3.3. p = 3.

3.3.1. M_{11}.

Soit G = M_{11}. Soit D = 3^{2} un 3-sous groupe de Sylow de G. Soit H = 3^{2} ·QD_{16} le normalisateur de D. On sait que G a une seule classe de conjugaison de 3éléments; soit x un 3-élément de D. Comme C_{G}(x) = C_{H}(x) = 2 × 3^{2}, il suffit de connaître les matrices de décomposition généralisées de G et de H en x pour établir une isotypie entre les blocs principaux de ces deux groupes.

La matrice de décomposition généralisée de G en x est:

1 10_{1} 10_{2} \overline{10_{2}} 11 16 \overline{16} 44 55
1 1 0 1 1 1 −1 −1 0 0
1′ 0 1 0 0 1 −1 −1 −1 1

La matrice de décomposition généralisée de H en x est:

1 1_{1} 1_{2} 1_{3} 2_{1} \overline{2_{1}} 2_{2} 8_{1} 8_{2}
1 1 1 0 0 1 1 1 0 −1
1′ 0 0 1 1 1 1 1 −1 0

On a donc une isotypie entre le bloc principal de G et le bloc principal de H définie par l’isométrie parfaite:

( 1 10_{1} 10_{2} \overline{10_{2}} 11 16 \overline{16} 44 55) ↦ (\begin{matrix}1 \\ 1_{2} \\ 1_{1} \\ −8_{2} \\ 2_{2} \\ −2_{1} \\ −\overline{2_{1}} \\ 8_{1} \\ 1_{3} \end{matrix})

3.3.2. M_{22}.

Soit G = M_{22}, G̃ = Aut(G) = M_{22} · 2 et D = 3^{2} un 3-sous groupe de Sylow de G. Soit H = N_{G}(D) = 3^{2} · Q_{8} et H̃ = NG̃(D) = 3^{2} · QD_{16}. Il y a une classe de conjugaison de 3-éléments dans G et dans G̃, soit x un 3-élément dans D. On a C_{G}(x) = 3 × A_{4}, CG̃(x) = 3 × 𝔖_{4}, C_{H}(x) = 3^{2} et CH̃(x) = 3 × 𝔖_{3}.

On a une isométrie parfaite entre le bloc principal de Z_{3} et le bloc principal de A_{4} qui est 3-nilpotent qui s’étend en une isométrie parfaite entre les blocs principaux de 𝔖_{3} et 𝔖_{4}, donnée par l’inflation :

[figure: 1; 1; 1; 1; 1′; 1′]

[figure: 1′; 1′; 2; 2; \overline{1′}; \overline{1′}]

La matrice de décomposition généralisée de G en x est :

\begin{aligned}& 1 & 55 & 154 & 280 & \overline{280} & 385 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & −2 \end{aligned}

La matrice de décomposition généralisée de G̃ en x est :

1 1_{1} 55_{1} 55_{2} 154_{1} 154_{2} 560 385_{1} 385_{2}
1 1 0 1 0 0  1  1 −1 −1
1′ 0 1 0 1 1  0  1 −1 −1

La matrice de décomposition généralisée de H en x est:

\begin{aligned}& 1 & 1_{1} & 1_{2} & 1_{3} & 2 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & −1 \end{aligned}

La matrice de décomposition généralisée de H̃ en x est :

1 1_{1} 1_{2} 1_{3} 2_{1} \overline{2_{1}} 2_{2} 8_{1} 8_{2}
1 1 1 0 0 1 1 1 0 −1
1′ 0 0 1 1 1 1 1 −1 0

On a une isotypie du bloc principal de G vers le bloc principal de H qui s’étend en une isotypie entre les blocs principaux de G̃ et H̃ :

[figure: 1; 1; 1; 1; 1_{1}; 1_{2}]

[figure: 55_{1}; 1_{1}; 55; 1_{1}; 55_{2}; 1_{3}]

[figure: 154_{1}; −8_{1}; 154; −8; 154_{2}; −8_{2}]

[figure: 280; 1_{2}; 560; 2_{2}; \overline{280}; 1_{3}]

[figure: 385_{1}; −2_{1}; 385; −2; 385_{2}; −\overline{2_{1}}]

3.3.3. M_{23}.

Soit G = M_{23} et D = 3^{2} un 3-sous groupe de Sylow de G. Soit H = N_{G}(D) = 3^{2} · QD_{16}. Il existe une unique classe de conjugaison de 3-éléments dans G; soit x ∈ D un 3-élément. Alors, C_{G}(x) = 3 × A_{5} et C_{H}(x) = 3 × 𝔖_{3}.

On a une isotypie entre le bloc principal de 𝔖_{3} et le bloc principal de A_{5} donnée par:

(\begin{matrix}1 \\ 1′ \\ 2 \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}1 \\ 4 \\ 5 \end{matrix})

L’image par cette application des caractères modulaires irréductibles du bloc principal de C_{H}(x) est: d(1), d(4).

La matrice de décomposition généralisée de H en x est :

1 1_{1} 1_{2} 1_{3} 2_{1} \overline{2_{1}} 2_{2} 8_{1} 8_{2}
1 1 1 0 0 1 1 1 0 −1
1′ 0 0 1 1 1 1 1 −1 0

La matrice de décomposition généralisée de G en x est :

1 22 230 253 770 \overline{770} 896 \overline{896} 2024
d(1) 1 0 1 1 1 1 0 0 −1
d(4) 0 1 1 0 1 1 −1 −1 0

On a donc une isotypie du bloc principal de H vers le bloc principal de G:

( 1 22 230 253 770 \overline{770} 896 \overline{896} 2024) ↦ ( 1 ; 1_{2} ; 2_{2} ; 1_{1} ; 2_{1} ; \overline{2_{1}} ; 8_{1} ; −1_{3} ; 8_{2})

3.3.4. HS.

Soit G = HS, G̃ = Aut(G) = HS · 2 et D = 3^{2} un 3-sous groupe de Sylow de G. Il existe une seule classe de conjugaison de 3-éléments dans G et dans G̃ ; soit x ∈ D un 3-élément. Soit H = N_{G}(D) = 2 × (3^{2} · QD_{16}) et H̃ = NG̃(D) = 2^{2} × (3^{2} · QD_{16}). On a C_{G}(x) = 3 × 𝔖_{5}, CG̃(x) = 3 × 𝔖_{5} × 2, C_{H}(x) = 3 × 𝔖_{3} et CH̃(x) = 3 × 𝔖_{3} × 2.

Le caractère 1 de G ( respectivement de H, C_{G}(x), C_{H}(x)) s’étend de manière unique en un caractère du bloc principal de G̃ (respectivement H̃, CG̃(x), CH̃(x)). Ainsi, il suffit de construire une isotypie entre les blocs principaux de G et H.

Pour construire I^{<x>}, il suffit de construire une isométrie parfaite entre les blocs principaux de S_{5} et de S_{3}.

L’application:

(\begin{matrix}1 \\ 1′ \\ 2 \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}1 \\ 4 \\ 5 \end{matrix})

est une isométrie parfaite du bloc principal de S_{3} vers le bloc principal de S_{5}, qui induit une isométrie parfaite du bloc principal de C_{H}(x) vers le bloc principal de C_{G}(x). Les images par cette application des caractères modulaires irréductibles du bloc principal de C_{H}(x) sont : d(1), d(4).

La matrice de décomposition généralisée de H en < x > est

1 1_{1} 1_{2} 1_{3} 2_{1} \overline{2_{1}} 2_{2} 8_{1} 8_{2}
1 1 1 0 0 1 1 1 0 −1
1′ 0 0 1 1 1 1 1 −1 0

La matrice de décomposition généralisée de G en < x > par rapport à d(1), d(4) est

1 22 154 770 1408 1750 1925 2750 3200
d(1) 1 0 1 1  0 −1 −1 1  0
d(4) 0 1 0 1  1 −1 0  1 −1

On a donc une isotypie du bloc principal de G vers le bloc principal de H:

(\begin{matrix}1 \\ 22 \\ 154 \\ 770 \\ 1408 \\ 1750 \\ 1925 \\ 2750 \\ 3200 \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}1 \\ 1_{2} \\ 1_{1} \\ 2_{1} \\ 1_{3} \\ −\overline{2_{1}} \\ 8_{2} \\ 2_{2} \\ 8_{1} \end{matrix})

3.3.5. ON.

Soit G = ON, G̃ = Aut(G) = G · 2, D = 3^{4} un 3-sous-groupe de Sylow de G, H = N_{G}(D) = 3^{4}·((Q_{8}∗D_{8})#(5·2)) et H̃ = NG̃(D) = 3^{4}·(((Q_{8}∗D_{8})#(5·2))·2). Il existe une unique classe de 3-éléments dans G et dans G̃ ; soit x ∈ D non trivial. On a C_{G}(x) = 3^{2} × A_{6}, C_{H}(x) = 3^{2} × (3^{2} · 4), CG̃(x) = 3 × (3 × A_{6}) · 2 ( où A_{6} · 2 = P SO_{3}(9) ) et CH̃(x) = 3 × (3 × (3^{2} · 4)) · 2.

On a une isométrie parfaite entre le bloc principal de 3^{2} · 4 et le bloc principal de A_{6} qui s’étend en une isométrie parfaite entre les blocs principaux de 3^{2} · 8 et A_{6} · 2, donnée par :

[figure: 1; 1; 1; 1; 1_{1}; 1_{1}]

[figure: 1_{2}; 10_{1}; 1_{1}; 10; 1_{3}; 10_{2}]

[figure: 1_{4}; −8_{1}; 1_{2}; −8_{1}; 1_{5}; −8_{2}]

[figure: 1_{6}; −8_{3}; 1_{3}; −8_{2}; 1_{7}; −8_{4}]

[figure: 4_{1}; −5_{1}; 8; −10_{3}; 4_{2}; −5_{2}]

Ainsi, il existe une isométrie parfaite entre les blocs principaux de C_{H}(x) et C_{G}(x) qui s’étend en une isométrie parfaite entre les blocs principaux de CH̃(x) et CG̃(x).

La matrice de décomposition généralisée de G en x est :

1 13376_{1} 13376_{2} 25916_{1} 25916_{2} 26752 32395_{1} 32395_{2} 37696
d(1) 1  1  1  2  2  0  −1  −1  −1
d(10) 0  1  1  1  1  −1  −2  −2  0
−d(8_{1}) 0  0  0  1  1  −2  −1  −1  −2
−d(8_{2}) 0  0  0  1  1  −2  −1  −1  −2

64790_{1} 64790_{2} 85064 116963 143374 175616_{1} 175616_{2}
d(1)  2  2  −2  −1  0  0  0
d(10)  2  2  0  0  2  0  0
−d(8_{1})  2  2  −1  0  1  −2  1
−d(8_{2})  2  2  −1  0  1  1  −2

234080_{1} 234080_{2}
d(1)  0  0
d(10)  −1  −1
−d(8_{1})  0  0
−d(8_{2})  0  0

La matrice de décomposition généralisée de G̃ en x est :

1 1_{1} 26752 51832 26752_{1} 26752_{2} 64790 37696_{1} 37696_{2}
d(1) 1 0  1  2  0  0  −1  −1  0
d(1_{1}) 0 1  1  2  0  0  −1  0  −1
d(10_{1}) 0 0  1  1  −1  0  −2  0  0
d(10_{2}) 0 0  1  1  0  −1  −2  0  0
−d(8_{1}) 0 0  0  1  −1  −1  −1  −1  −1
−d(8_{2}) 0 0  0  1  −1  −1  −1  −1  −1
−d(8_{3}) 0 0  0  1  −1  −1  −1  −1  −1
−d(8_{4}) 0 0  0  1  −1  −1  −1  −1  −1
129580 85064_{1} 85064_{2} 116963_{1} 116963_{2} 143374_{1} 143374_{2}
d(1)  2  −1  −1  −1  0  0  0
d(1_{1})  2  −1  −1  0  −1  0  0
d(10_{1})  2  0  0  0  0  1  1
d(10_{2})  2  0  0  0  0  1  1
−d(8_{1})  2  −1  0  0  0  1  0
−d(8_{2})  2  0  −1  0  0  0  1
−d(8_{3})  2  −1  0  0  0  0  1
−d(8_{4})  2  0  −1  0  0  1  0
175616_{1} 175616_{2} 175616_{3} 175616_{4} 234080_{1} 234080_{2} 234080_{3}
d(1)  0  0  0  0  0  0  0
d(1_{1})  0  0  0  0  0  0  0
d(10_{1})  0  0  0  0  −1  0  −1
d(10_{2})  0  0  0  0  0  −1  0
−d(8_{1}) −1  −1  1  0  0  0  0
−d(8_{2}) −1  −1  0  1  0  0  0
−d(8_{3})  1  0  −1  −1  0  0  0
−d(8_{4})  0  1  −1  −1  0  0  0
234080_{4}
d(1)  0
d(1_{1})  0
d(10_{1})  0
d(10_{2})  −1
−d(8_{1})  0
−d(8_{2})  0
−d(8_{3})  0
−d(8_{4})  0

La matrice de décomposition généralisée de H en x est :

1 1_{1} 2_{1} 2_{2} 4_{1} 4_{2} 5_{1} 5_{2} 5_{3} 5_{4} 5_{5} 5_{6} 8_{1} 8_{2} 80_{1} 80_{2} 80_{3} 80_{4}
1 1 0 1 1 2 0 2 1 2 1 1 0 2 2 −1 0 0 0
1_{1} 0 1 1 1 0 2 1 2 1 2 0 1 2 2 0 −1 0 0
1_{2} 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 −2 1
1_{3} 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 1 −2

La matrice de décomposition généralisée de H̃ en x est :

1 1_{1} 1_{2} 1_{3} 4_{1} 4_{2} 4_{3} 4_{4} 4_{5} 5_{1} 5_{2} 5_{3} 5_{4}
1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0
1_{1} 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0
1_{2} 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0
1_{3} 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1
1_{4} 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1
1_{5} 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1
1_{6} 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1
1_{7} 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1
10_{1} 10_{2} 16 80_{1} 80_{2} 80_{3} 80_{4} 80_{5} 80_{6} 80_{7} 80_{8}
1 2 1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0
1_{1} 2 1 2 0 −1 0 0 0 0 0 0
1_{2} 1 2 2 0 0 −1 0 0 0 0 0
1_{3} 1 2 2 0 0 0 −1 0 0 0 0
1_{4} 1 1 2 0 0 0 0 −1 −1 1 0
1_{5} 1 1 2 0 0 0 0 −1 −1 0 1
1_{6} 1 1 2 0 0 0 0 1 0 −1 −1
1_{7} 1 1 2 0 0 0 0 0 1 −1 −1

Ainsi, il existe une isotypie entre les blocs principaux de G et H qui s’étend en une isotypie entre les blocs principaux de G̃ et H̃, donnée par :

[figure: 1; 1; 1; 1; 1_{1}; 1_{1}]

[figure: 13376_{1}; 2_{1}; 26752; 4_{5}; 13376_{2}; 2_{2}] [figure: 25916_{1}; 5_{1}; 51832; 10_{1}; 25916_{2}; 5_{3}]

[figure: 26752_{1}; −5_{3}; 26752; −5_{6}; 26752_{2}; −5_{4}] [figure: 32395_{1}; −5_{2}; 64790; −10_{2}; 32395_{2}; −5_{4}] [figure: 37696_{1}; −5_{1}; 37696; −5_{5}; 37696_{2}; −5_{2}] [figure: 64790_{1}; 8_{1}; 129580; 16; 64790_{2}; 8_{2}] [figure: 85064_{1}; −4_{1}; 85064; −4_{1}; 85064_{2}; −4_{2}] [figure: 116963_{1}; 80_{1}; 116963; 80_{1}; 116963_{2}; 80_{2}] [figure: 143374_{1}; 4_{3}; 143374; 4_{2}; 143374_{2}; 4_{4}] [figure: 175616_{1}; 80_{5}; 175616_{1}; 80_{3}; 175616_{2}; 80_{6}] [figure: 175616_{3}; 80_{7}; 175616_{2}; 80_{4}; 175616_{4}; 80_{8}]

[figure: 243080_{3}; 80_{3}; 243080_{2}; 80_{2}; 243080_{4}; 80_{4}]

3.4. p = 5.

3.4.1. J_{2}.

Soit G = J_{2}, G̃ = Aut(G) = J_{2} · 2 et D = 5^{2} un 5-sous-groupe de Sylow de G. Soit H = N_{G}(D) = 5^{2}·(2×𝔖_{3}) et H̃ = NG̃(D) = 5^{2}·(4×𝔖_{3}). Il y a quatre classes de conjugaison de 5-éléments dans G, soient x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} des représentants de ces quatre classes, de telle sorte que dans G̃, x_{1} et x_{2} sont dans la même classe, y_{1} et y_{2} sont dans la même classe. On a C_{G}(x_{1}) = CG̃(x_{1}) = 5 × A_{5}, C_{H}(x_{1}) = CH̃(x_{1}) = 5×(5·2), C_{G}(y_{1}) = CG̃(y_{1}) = 5×(5·2) et C_{H}(y_{1}) = CH̃(y_{1}) = 5×(5·2).

\underline{cas de I^{<y_{1}>}}

La matrice de décomposition généralisée de G en y_{1} est:

1 14 \overline{14} 21 \overline{21} 36 63 126 189 \overline{189} 224 \overline{224} 288 336
1 1 1 1 −b −b̄ 0 −1 0 −b̄ −b b b̄ −1 1
1′ 0 −b̄ −b −b −b̄ 1 −1 1 1 1 b b̄ −1 0

où b = \frac{1}{2}(−1 + \sqrt{5}) et b̄ = \frac{1}{2}(−1 − \sqrt{5}).

La matrice de décomposition généralisée de G̃ en y_{1} est:

1 1_{1} 28 42 36_{1} 36_{2} 63_{1} 63_{2}
1 1 1 2 1 0 0 −1 −1
1′ 0 0 1 1 1 1 −1 −1
126_{1} 126_{2} 378 448 288_{1} 288_{2} 336 \overline{336}
1 0  0  1 −1 −1 −1 1 1
1′ 1  1  2 −1 −1 −1 0 0

La matrice de décomposition généralisée de H en y_{1} est:

1 1_{1} 1_{2} 1_{3} 2_{1} 2_{2} 6_{1} \overline{6_{1}} 6_{2} \overline{6_{2}} 6_{3} \overline{6_{3}} 6_{4} \overline{6_{4}}
1 1 0 1 0 1 1 b̄ b −1 −1 −b −b̄ −b −b̄
1′ 0 1 0 1 1 1 −1 −1 b b̄ −b −b̄ −b −b̄

La matrice de décomposition généralisée de H̃ en y_{1} est:

1 1_{1} 1_{2} \overline{1_{2}} 1_{3} 1_{4} 1_{5} \overline{1_{5}} 2_{1} \overline{2_{1}} 2_{2} 2_{3} 12_{1} 12_{2} 12_{3} 12_{4}
1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 −1 −2 1 1
1′ 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 −2 −1 1 1

\underline{cas de I^{<x_{1}>}} Il existe une isotypie entre les blocs principaux de 5 · 2 et de A_{5} donnée par

(1 ; 2 ; \overline{2} ; 1′) ↦ (\begin{matrix}1 \\ −3 \\ −\overline{3} \\ −4 \end{matrix})

L’image par cette application des caractères modulaires du bloc principal de 5 · 2 esr : d(1), −d(4).

La matrice de décomposition généralisée de G en x_{1} est :

1 14 \overline{14} 21 \overline{21} 36 63 126 189 \overline{189} 224 \overline{224} 288 336
d(1) 1 b b̄ b b̄ 0 −1 1 b b̄ 1 1 −1 0
−d(4) 0 b b̄ −1 −1 1 −1 0 b b̄ −b −b̄ −1 1

La matrice de décomposition généralisée de G̃ en x_{1} est :

1 1_{1} 28 42 36_{1} 36_{2} 63_{1} 63_{2}
d(1) 1 1 −1 −1 0 0 −1 −1
−d(4) 0 0 −1 −2 1 1 −1 −1
126_{1} 126_{2} 378 448 288_{1} 288_{2} 336 \overline{336}
d(1) 1  1 −1 2 −1 −1 0 0
−d(4) 0  0 −1 1 −1 −1 1 1

La matrice de décomposition généralisée de H en x_{1} est:

1 1_{1} 1_{2} 1_{3} 2_{1} 2_{2} 6_{1} \overline{6_{1}} 6_{2} \overline{6_{2}} 6_{3} \overline{6_{3}} 6_{4} \overline{6_{4}}
1 1 0 0 1 1 1 −b −b̄ −b −b̄ b b̄ −1 −1
1′ 0 1 1 0 1 1 −b −b̄ −b −b̄ −1 −1 b b̄

La matrice de décomposition généralisée de H̃ en x_{1} est:

1 1_{1} 1_{2} \overline{1_{2}} 1_{3} 1_{4} 1_{5} \overline{1_{5}} 2_{1} \overline{2_{1}} 2_{2} 2_{3} 12_{1} 12_{2} 12_{3} 12_{4}
1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 −1 −2
1′ 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 −2 −1

Ainsi, on a une isotypie entre les blocs principaux de G et H qui s’étend en une isotypie entre les blocs principaux de G̃ et H̃ :

[figure: 1; 1; 1; 1; 1_{1}; 1_{1}] [figure: 14; −6_{2}; 28; −12_{2}; \overline{14}; −\overline{6_{2}}] [figure: 21; 6_{3}; 42; 12_{3}; \overline{21}; \overline{6_{3}}] [figure: 36_{1}; 1_{3}; 36; 1_{1}; 36_{2}; 1_{4}] [figure: 63_{1}; −2_{1}; 63; −2_{1}; 63_{2}; −\overline{2_{1}}] [figure: 126_{1}; 1_{5}; 126; 1_{3}; 126_{2}; \overline{1_{5}}] [figure: 189; −6_{1}; 378; −12_{1}; \overline{389}; −\overline{6_{1}}] [figure: 224; −6_{4}; 448; −12_{4}; \overline{224}; −\overline{6_{4}}] [figure: 288_{1}; −2_{2}; 288; −2_{2}; 288_{2}; −2_{3}]

[figure: 336; 1_{2}; 336; 1_{2}; \overline{336}; \overline{1_{2}}]

3.4.2. Suz.

Soit G = Suz, G̃ = Aut(G) = Suz · 2 et D = 5^{2} un 5-sous groupe de Sylow de G. Soit H = N_{G}(D) = 5^{2} · (4 × 𝔖_{3}) et H̃ = NG̃(D) = (5^{2} · (4 × 𝔖_{3})) × 2. Il y a deux classes de conjugaison de 5-éléments dans G et G̃; soient x et y des représentants de chaque classe. Alors, C_{G}(x) = 5 × A_{6}, CG̃(x) = 5 × A_{6} × 2, C_{G}(y) = 5 × A_{5}, CG̃(y) = 5 × A_{5} × 2, C_{H}(x) = 5 × (5 · 2), CH̃(x) = 5 × (5 · 2) × 2, C_{H}(y) = 5 × (5 · 2) et CH̃(y) = 5 × (5 · 2) × 2. Le caractère 1 du bloc principal de G ( respectivement H, C_{G}(x), C_{H}(x) ) s’étend de manière unique en un caractère du bloc principal de G̃ ( respectivement H̃, CG̃(x), CH̃(x) ). Ainsi, il suffit de construire une isotypie entre les blocs principaux de G et H.

\underline{cas de I^{<x>}}

Il existe une isotypie du bloc principal de 5 · 2 vers le bloc principal de A_{6} donnée par:

(1 ; 1′ ; 2 ; ¯2) ↦ (\begin{matrix}1 \\ −9 \\ −8 \\ −\overline{8} \end{matrix})

Cette isotypie induit une isotypie du bloc principal de C_{H}(x) vers le bloc principal de C_{G}(x). Les images par cette application des caractères modulaires irréductibles du bloc principal de C_{H}(x) sont : d(1),−d(9).

La matrice de décomposition généralisée de H en x est :

1 1_{1} 1_{2} \overline{1_{2}} 1_{3} 1_{4} 1_{5} \overline{1_{5}} 2_{1} \overline{2_{1}} 2_{2} 2_{3} 12_{1} 12_{2} 12_{3} 12_{4}
1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 −1 −2 1 1
1′ 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 −2 −1 1 1

La matrice de décomposition généralisée de G en x est :

1 143 364 1001 3432 12012 18954 54054 64064
d(1) 1 −1 −1 1 −1  1  0  0  −1
−d(9) 0 −1 0  0 −2  1  −1  −1  0
79872 88452 133056 146432 208494 243243 248832
d(1)  1  −2  0  1  0  −1  1
−d(9) 1  −1  1  1  −1  −1  1

\underline{cas de I^{<y>}}

Il existe une isotypie du bloc principal de 5 · 2 vers le bloc principal de A_{5} donnée par:

(1 ; 1′ ; 2 ; \overline{2}) ↦ (\begin{matrix}1 \\ −4 \\ −3 \\ −\overline{3} \end{matrix})

Cette isotypie induit une isotypie du bloc principal de C_{H}(y) vers le bloc principal de C_{G}(y). Les images par cette application des caractères modulaires irréductibles du bloc principal de H sont : d(1),−d(4).

La matrice de décomposition généralisée de H en y est :

1 1_{1} 1_{2} \overline{1_{2}} 1_{3} 1_{4} 1_{5} \overline{1_{5}} 2_{1} \overline{2_{1}} 2_{2} 2_{3} 12_{1} 12_{2} 12_{3} 12_{4}
1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 −1 −2
1′ 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 −2 −1

La matrice de décomposition généralisée de G en y est :

1 143 364 1001 3432 12012 18954 54054 64064
d(1) 1 −1 0  1  1  −1  −1  −1  0
−d(4) 0 −1 −1 0  1  −2  0  0  −1
79872 88452 133056 146432 208494 243243 248832
d(1) −2  1  0  1  0  −1  1
−d(4) −1  1  1  1  −1  −1  1

On a donc une isotypie du bloc principal de H vers le bloc principal de G :

(\begin{matrix}1 \\ 143 \\ 364 \\ 1001 \\ 3432 \\ 12012 \\ 18954 \\ 54054 \\ 64064 \\ 79872 \\ 88452 \\ 133056 \\ 146432 \\ 208494 \\ 243243 \\ 248832 \end{matrix}) ↦ ( 1 ; −2_{1} ; −1_{2} ; 1_{1} ; 12_{1} ; 12_{3} ; −1_{5} ; −\overline{1_{5}} ; −\overline{1_{2}} ; 12_{4} ; 12_{2} ; 1_{3} ; \overline{2_{1}} ; −1_{4} ; −2_{2} ; 2_{3})

ISOMÉTRIES PARFAITES 31

3.4.3. He.

Soit G = He, G̃ = Aut(G) = He · 2 et D = 5^{2} un 5-sous-groupe de Sylow de G. Soit H = N_{G}(D) = 5^{2} ·(4∗SL_{2}(3)) et H̃ = NG̃(D) = 5^{2} ·((4∗SL_{2}(3))#2). Il y a une classe de conjugaison de 5-éléments dans G et dans G̃; soit x un 5-élément. On a C_{G}(x) = 5 × A_{5}, CG̃(x) = 5 × 𝔖_{5}, C_{H}(x) = 5 × (5 · 2) et CH̃(x) = 5 × (5 · 4).

On a une isométrie parfaite entre les blocs principaux de 5 · 2 et A_{5} qui s’étend en une isométrie parfaite entre les blocs principaux de 5 · 4 et 𝔖_{5} :

[figure: 1; 1; 1; 1; 1_{1}; 1_{1}]

[figure: 1_{2}; −4_{1}; 1′; −4; \overline{1_{2}}; −4_{2}]

[figure: 2; −3; 4; −6; \overline{2}; −\overline{3}]

La matrice de décomposition de G en x est :

1 51 \overline{51} 153 \overline{153} 1029 \overline{1029} 4352 6272
d(1) 1 1 1 −1 −1 0  0 −2 1
−d(4) 0 0 0 −1 −1 −1 −1 −1 1
6528 7497 \overline{7497} 17493 21504 \overline{21504} 23324
d(1) −1 1  1  1  0  0  −1
−d(4) −1 1  1  2  −1  −1  0

La matrice de décomposition généralisée de G̃ en x est :

1 1_{1} 102 306 2058 4352_{1} 4352_{2} 6272_{1} 6272_{2} 6528_{1}
d(1) 1 0 1 −1 0  −1 −1  1  0  −1
d(1_{1}) 0 1 1 −1 0  −1 −1  0  1  0
−d(4_{1}) 0 0 0 −1 −1  0  −1  1  0  0
−d(4_{2}) 0 0 0 −1 −1 −1  0  0  1  −1
6528_{2} 14994 17493_{1} 17493_{2} 21504_{1} \overline{21504_{1}} 21504_{2} \overline{21504_{2}} 23324_{1} 23324_{2}
d(1)  0  1  1  0  0  0  0  0  −1  0
d(1_{1}) −1  1  0  1  0  0  0  0  0  −1
−d(4_{1}) −1  1  1  1  0  −1  0  −1  0  0
−d(4_{2}) 0  1  1  1  −1  0  −1  0  0  0

La matrice de décomposition généralisée de H en x est :

1 1_{1} 1_{2} \overline{1_{2}} 1_{3} \overline{1_{3}} 2_{1} \overline{2_{1}} 2_{2} \overline{2_{2}} 2_{3} \overline{2_{3}} 3_{1} 3_{2} 24_{1} 24_{2}
1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 0 −1
1′ 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 −1 0

La matrice de décomposition généralisée de H̃ en x est :

1 1_{1} 1_{2} \overline{1_{2}} 2_{1} \overline{2_{1}} 2_{2} \overline{2_{2}} 2_{3} 2_{4}
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1
1_{1} 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1
1_{2} 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0
\overline{1_{2}} 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0
3_{1} \overline{3_{1}} 3_{2} 3_{3} 4 \overline{4} 24_{1} \overline{24_{1}} 24_{2} 24_{3}
1 1 1 0 1 1 1 0 0 −1 0
1_{1} 1 1 1 0 1 1 0 0 0 −1
1_{2} 0 1 1 1 1 1 −1 0 0 0
\overline{1_{2}} 1 0 1 1 1 1 0 −1 0 0

Ainsi, l’application suivante définie une isotypie entre les blocs principaux de G et H qui s’étend en une isotypie entre les blocs principaux de G̃ et H̃ :

[figure: 1; 1; 1; 1; 1_{1}; 1_{1}]

[figure: 51; 1_{2}; 102; 2_{4}; \overline{51}; \overline{1_{2}}] [figure: 153; −2_{2}; 306; −4; \overline{153}; −\overline{2_{2}}] [figure: 1029; −1_{3}; 2058; −2_{3}; \overline{1029}; −\overline{1_{3}}]

ISOMÉTRIES PARFAITES 33

[figure: 4352_{1}; −3_{1}; 4352; −3_{2}; 4352_{2}; −\overline{3_{1}}] [figure: 6272_{1}; \overline{2_{1}}; 6272; 2_{3}; 6272_{2}; \overline{2_{2}}] [figure: 6528_{1}; −2_{1}; 6528; −\overline{2_{3}}; 6528_{2}; −2_{2}] [figure: 7497; 2_{1}; 14994; \overline{4}; \overline{7497}; \overline{2_{1}}] [figure: 17493_{1}; 3_{3}; 17493; 3_{1}; 17493_{2}; 3_{2}] [figure: 21504_{1}; −\overline{1_{2}}; 21504; −1_{1}; \overline{21504_{1}}; −1_{2}] [figure: 21504_{2}; \overline{24_{1}}; \overline{21504}; 24_{1}; \overline{21504_{2}}; 24_{1}] [figure: 23324_{1}; 24_{2}; 23324; 24_{2}; 23324_{2}; 24_{3}]

34 RAPHAËL ROUQUIER

3.4.4. F i_{22}, F i_{23} et F i′_{24}.

Soit F i_{22}, F i_{23} des sous-groupes de F i′_{24}. Soit D = 5^{2} un 5-sous-groupe de Sylow de F i_{22}. Il existe une seule classe de conjugaison de 5-éléments dans les trois groupes précédents, ainsi que dans leurs groupes d’automorphismes. On a N_{F i_{22}}(D) = 5^{2} ·((4∗SL_{2}(3))#2) et N_{F i_{24}}(D) = 5^{2} ·((4∗SL_{2}(3))#2)×𝔖_{4}. Ainsi, il est clair que les blocs principaux des normalisateurs de D dans F i_{22}, F i_{22}·2, F i_{23}, F i′_{24} et F i_{24} ont le même type. En outre, le caractère 1 de F i_{22} (respectivement de F i′_{24}, de N_{F i_{22}}(D), N_{F i′_{24}}(D)) s’étend de manière unique en un caractère du bloc principal de F i_{22} · 2 (respectivement de F i_{24}, N_{F i_{22}·2}(D),N_{F i_{24}}(D)).

Ainsi, il suffit de prouver que les blocs principaux de F i_{22}, F i_{23} et F i_{24} ont le même type que le bloc principal de H = 5^{2} · ((4 ∗ SL(2, 3))#2).

Soit x ∈ D, x ≠ 1. On a C_{F i_{22}}(x) = 5×𝔖_{5}, C_{F i_{23}}(x) = 5×𝔖_{7}, C_{F i′_{24}}(x) = 5×A_{9} et C_{H}(x) = 5 × (5 · 4).

On a vu précédemment que les blocs principaux de 5 · 4 et de 𝔖_{5} sont isotypiques.

On a une isotypie du bloc principal de 5 · 4 dans le bloc principal de 𝔖_{7} donnée par :

( 1 1_{1} 1_{2} \overline{1_{2}} 4) ↦ (\begin{matrix}1 \\ 6 \\ −14_{1} \\ −14_{2} \\ −21 \end{matrix})

On a une isotypie entre les blocs principaux de 5 · 4 et A_{9} donnée par :

( 1 1_{1} 1_{2} \overline{1_{2}} 4) ↦ (\begin{matrix}1 \\ 56 \\ −84 \\ 216 \\ −189 \end{matrix})

La matrice de décomposition de F i_{22} en x est :

1 78 429 1001 3003 32032 48048 81081
d(1) 1 −1 0  0  0  0  1  −1
d(1_{1}) 0 0 0  1 −1 −1  1  −1
−d(4_{1}) 0 0 −1 0 −1 −1  0  −1
−d(4_{2}) 0 −1 0  0  0  −1  1  −1
370656 576576 577368 938223 972972 1441792 1791153
d(1)  −1  0  1  1  0  0  −1
d(1_{1})  −1  1  0  1  1  0  0
−d(4_{1}) −1  0  1  1  0  1  −1
−d(4_{2}) −1  0  1  0  1  1  0

1876446 2050048 2555904_{1} 2555904_{2} 2729376
d(1)  0  −1  0  0  1
d(1_{1})  0  −1  0  0  0
−d(4_{1})  0  0  0  −1  0
−d(4_{2})  1  0  −1  0  0

La matrice de décomposition de F i_{23} en x est :

1 3588 5083 25806 274482 1951872 7468032 9108736
d(1) 1 −1 0  0  1  0  −1  0
d(6) 0 0 −1  1  1  −1  −1  0
−d(14_{1}) 0 0 −1  0  0  −1  0  1
−d(14_{2}) 0 −1 0  0  0  −1  −1  0

\overline{9108736} 10567557 18812574 42270228 56360304_{1} 56360304_{2} 57254912
d(1)  0  −1  −1  0  1  1  1
d(6)  0  −1  0  0  1  1  0
−d(14_{1})  1  −1  0  −1  1  1  1
−d(14_{2})  0  0  0  −1  1  1  0

73531392 1333398252 166559744 263376036 264536064
d(1)  0  −1  0  0  0
d(6)  1  0  −1  0  0
−d(14_{1})  0  −1  0  0  0
−d(14_{2})  1  −1  0  1  −1

La matrice de décomposition de F i′_{24} en x est :

1 1666833 4864431 32715683 1540153692 2346900864 8529641472
d(1) 1 −1  0  1  1  1  0
d(56) 0  0  1  0  0  1  1
−d(84) 0 −1  0  1  0  1  0
d(216) 0  0  0  1  1  1  1

17161712568 45049495491 54234085491 63831063582 67331776512
d(1)  0  0  0  1  0
d(56)  0  0  0  1  −1
−d(84)  −1  1  0  0  −1
d(216)  −1  0  1  0  −1

74887473024 118588933386 142378652416 145650089984
d(1)  −1  −1  0  0
d(56)  0  −1  0  0
−d(84)  0  −1  1  0
d(216)  0  −1  0  −1

156321775827 169598100672 184117100544 282049015248
d(1)  −1  0  0  1
d(56)  −1  1  −1  1
−d(84)  −1  1  0  0
d(216)  0  0  0  1

La matrice de décomposition de H en x est :

1 1_{1} 1_{2} \overline{1_{2}} 2_{1} \overline{2_{1}} 2_{2} \overline{2_{2}} 2_{3} 2_{4}
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1
1_{1} 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1
1_{2} 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0
\overline{1_{2}} 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0

3_{1} \overline{3_{1}} 3_{2} 3_{3} 4 \overline{4} 24_{1} \overline{24_{1}} 24_{2} 24_{3}
1 1 1 0 1 1 1 0 0 −1 0
1_{1} 1 1 1 0 1 1 0 0 0 −1
1_{2} 0 1 1 1 1 1 −1 0 0 0
\overline{1_{2}} 1 0 1 1 1 1 0 −1 0 0

Ainsi, l’application suivante est une isotypie entre le bloc principal de F i_{22} et le bloc principal de H :

ISOMÉTRIES PARFAITES 37

(\begin{matrix}1 \\ 78 \\ 429 \\ 1001 \\ 3003 \\ 32032 \\ 48048 \\ 81081 \\ 370656 \\ 576576 \\ 577368 \\ 938223 \\ 972972 \\ 1441792 \\ 1791153 \\ 1876446 \\ 2050048 \\ 2555904_{1} \\ 2555904_{2} \\ 2729376 \end{matrix}) ↦ ( 1 ; −2_{1} ; −1_{2} ; 1_{1} ; −2_{2} ; −3_{2} ; 3_{1} ; −4 ; −\overline{4} ; −24_{3} ; 3_{3} ; \overline{3_{1}} ; \overline{2_{2}} ; 2_{3} ; −\overline{2_{1}} ; \overline{1_{2}} ; −2_{4} ; \overline{24_{1}} ; 24_{1} ; −24_{2})

L’application suivante est une isotypie entre le bloc principal de F i_{23} et le bloc principal de H :

( 1 3588 5083 25806 274482 1951872 7468032 9108736 \overline{9108736} 10567557 18812574 42270228 56360304_{1} 56360304_{2} 57254912 73531392 133398252 166559744 263376036 264536064) ↦ ( 1 ; −2_{1} ; −2_{2} ; 1_{1} ; 2_{4} ; −3_{2} ; −3_{1} ; 1_{2} ; −24_{1} ; −\overline{3_{1}} ; 24_{2} ; −2_{3} ; 4 ; \overline{4} ; \overline{2_{1}} ; \overline{2_{2}} ; −3_{3} ; 24_{3} ; \overline{1_{2}} ; \overline{24_{1}})

L’application suivante est une isotypie entre le bloc principal de F i′_{24} et le bloc principal de H :

(\begin{matrix}1 \\ 1666833 \\ 4864431 \\ 32715683 \\ 1540153692 \\ 2346900864 \\ 8529641472 \\ 17161712568 \\ 45049495491 \\ 54234085491 \\ 63831063582 \\ 67331776512 \\ 74887473024 \\ 118588933386 \\ 142378652416 \\ 145650089984 \\ 156321775827 \\ 169598100672 \\ 184117100544 \\ 282049015248 \end{matrix}) ↦ ( 1 ; −\overline{2_{1}} ; 1_{1} ; 3_{3} ; 2_{1} ; 4 ; \overline{2_{2}} ; −2_{3} ; 1_{2} ; \overline{1_{2}} ; 2_{4} ; −3_{2} ; 24_{2} ; −\overline{4} ; −24_{1} ; \overline{24_{1}} ; −\overline{3_{1}} ; 2_{2} ; 24_{3} ; 3_{1})

3.5. p = 7.

3.5.1. Co_{1}.

Soit G = Co_{1}, D = 7^{2} un 7-sous-groupe de Sylow de G et H = N_{G}(D) = 7^{2} · (3 × SL_{2}(3)). Soient x ∈ D et y ∈ D des représentants des deux classes de conjugaison de 7-éléments de G, C_{G}(x) = 7 × A_{7} et C_{G}(y) = 7 × P SL_{2}(7). On a C_{H}(x) = 7 × (7 · 3) et C_{H}(y) = 7 × (7 · 3).

On a une isotypie du bloc principal de 7 · 3 vers le bloc principal de A_{7} donnée par :

(1 ; 1′ ; \overline{1′} ; 3 ; \overline{3}) ↦ ( 1 ; −6 ; 15 ; 10 ; \overline{10})

On a une isotypie du bloc principal de 7 · 3 vers le bloc principal de P SL_{2}(7) donnée par :

(1 ; 1′ ; \overline{1′} ; 3 ; \overline{3}) ↦ ( 1 ; −6 ; 8 ; 3 ; \overline{3})

La matrice de décomposition généralisée de G en x est :

1 276 299 17250 80730 94875 822250 871884 1821600
d(1) 1 1 −1 1  −1  1  1  0  −1
−d(6) 0 1 −1 1  0  1  0  −1  −1
d(15) 0 1 0  0  0  2  1  0  −1
2055625 9221850 16347825 21528000 21579129 24667500
d(1)  −1  0  2  −1  0  −1
−d(6) −1  1  1  −1  −1  −1
d(15)  0  0  1  −1  −1  −1
31574400 57544344 66602250 85250880 150732800 163478250
d(1)  1  −1  0  0  1  0
−d(6)  2  −1  0  1  0  −1
d(15)  1  −1  1  0  0  −1
191102976 207491625 215547904 219648000 299710125 326956500
d(1)  0  0  −1  −1  0  1
−d(6)  0  −1  0  0  0  1
d(15)  1  −1  −1  −1  1  1

La matrice de décomposition généralisée de H en x est :

1 1_{1} 1_{2} 1_{3} 1_{4} 1_{5} 1_{6} 1_{7} 1_{8} 2_{1} 2_{2} 2_{3} 2_{4} 2_{5} 2_{6} 2_{7} 2_{8} 2_{9}
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
1′ 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
\overline{1′} 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
3_{1} 3_{2} 3_{3} 24_{1} 24_{2} 24_{3} 24_{4} 24_{5} 24_{6}
1 1 1 1 −2 −1 −1 1 1 1
1′ 1 1 1 −1 −2 −1 1 1 1
\overline{1′} 1 1 1 −1 −1 −2 1 1 1

La matrice de décomposition généralisée de G en y est :

1 276 299 17250 80730 94875 822250 871884 1821600
d(1) 1 1 −1 1  0  −1  1  −1  1
−d(6) 0 1 −1 0  −1  −1  1  0  1
d(8) 0 1 0  1  0  −1  0  0  2

2055625 9221850 16347825 21528000 21579129 24667500
d(1)  0  0  −1  2  0  1
−d(6) −1  0  −1  1  −1  2
d(8)  −1  1  −1  1  −1  1

31574400 57544344 66602250 85250880 150732800 163478250
d(1)  −1  −1  0  0  0  −1
−d(6)  −1  −1  1  1  0  0
d(8)  −1  −1  0  0  1  −1

191102976 207491625 215547904 219648000 299710125 326956500
d(1)  0  −1  0  −1  1  1
−d(6)  0  −1  −1  0  0  1
d(8)  1  0  −1  −1  0  1

La matrice de décomposition généralisée de H en y est :

1 1_{1} 1_{2} 1_{3} 1_{4} 1_{5} 1_{6} 1_{7} 1_{8} 2_{1} 2_{2} 2_{3} 2_{4} 2_{5} 2_{6} 2_{7} 2_{8} 2_{9}
1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1
1′ 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
\overline{1′} 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0

3_{1} 3_{2} 3_{3} 24_{1} 24_{2} 24_{3} 24_{4} 24_{5} 24_{6}
1 1 1 1 1 1 1 −2 −1 −1
1′ 1 1 1 1 1 1 −1 −2 −1
\overline{1′} 1 1 1 1 1 1 −1 −1 −2

Ainsi, on a une isotypie du bloc principal de G vers le bloc principal de H donnée par :

(\begin{matrix}1 \\ 276 \\ 299 \\ 17250 \\ 80730 \\ 94875 \\ 822250 \\ 871884 \\ 1821600 \\ 2055625 \\ 9221850 \\ 16347825 \\ 21528000 \\ 21579129 \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}1 \\ 3_{1} \\ −2_{9} \\ 2_{8} \\ −1_{1} \\ −24_{3} \\ 2_{6} \\ −1_{3} \\ −24_{6} \\ −2_{7} \\ 1_{5} \\ −24_{1} \\ −24_{4} \\ −2_{1} \end{matrix}) , (\begin{matrix}24667500 \\ 31574400 \\ 57544344 \\ 66602250 \\ 85250880 \\ 150732800 \\ 163478250 \\ 191102976 \\ 207491625 \\ 215547904 \\ 219648000 \\ 299710125 \\ 326956500 \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}−24_{5} \\ −24_{2} \\ −3_{2} \\ 1_{7} \\ 1_{4} \\ 1_{2} \\ −2_{2} \\ 1_{8} \\ −2_{3} \\ −2_{4} \\ −2_{5} \\ 1_{6} \\ 3_{3} \end{matrix})

3.5.2. T h.

Soit G = T h, D = 7^{2} un 7-sous-groupe de Sylow de G et H = N_{G}(D) = 7^{2} · (3 × (2𝔖_{4})). Soit x ∈ D un représentant de l’unique classe de conjugaison de 7-éléments de G. On a C_{G}(x) = 7 × P SL_{2}(7) et C_{H}(x) = 7 × (7 · 3).

La matrice de décomposition généralisée de G en x est :

1 248 27000 \overline{27000} 30628 30875 61256 147250 767637
d(1) 1 1  1  1  1  −1  0  −1  1
−d(6) 0 1  0  0  1  −1  −1  −1  1
d(8) 0 1  0  0  1  0  0  0  1
\overline{767637} 957125 1707264 \overline{1707264} 2450240 4096000
d(1)  1  0  0  0  1  0
−d(6)  1  0  −1  −1  1  0
d(8)  1  1  0  0  0  −1
\overline{4096000} 4881384 6669000 \overline{6669000} 6696000 \overline{6696000}
d(1)  0  2  0  0  1  1
−d(6)  0  1  1  1  1  1
d(8)  −1  1  1  1  1  1
16539120 51684750 72925515 76271625 77376000 190373976
d(1)  −1  −1  −1  −1  0  1
−d(6)  −2  0  0  −1  1  0
d(8)  −1  −1  −1  −2  1  1

La matrice de décomposition généralisée de H en x est :

1 1_{1} 1_{2} 1_{3} 1_{4} 1_{5} 2_{1} 2_{2} 2_{3} 2_{4} 2_{5} 2_{6} 2_{7} 2_{8} 2_{9}
1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
1′ 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
\overline{1′} 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
3_{1} 3_{2} 3_{3} 3_{4} 3_{5} 3_{6} 4_{1} 4_{2} 4_{3} 48_{1} 48_{2} 48_{3}
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 −1 0 0
1′ 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 −1 0
\overline{1′} 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 −1

Ainsi, on a une isotypie du bloc principal de G vers le bloc principal de H donnée par :

( 1 248 27000 \overline{27000} 30628 30875 61256 147250 767637 \overline{767637} 957125 1707264 \overline{1707264} 2450240) ↦ (\begin{matrix}1 \\ 3_{1} \\ 1_{5} \\ −48_{1} \\ 3_{2} \\ −2_{1} \\ −1_{1} \\ −2_{2} \\ 3_{3} \\ 3_{4} \\ 1_{2} \\ −1_{3} \\ 48_{2} \\ 2_{3} \end{matrix}) , ( 4096000 \overline{4096000} 4881384 6669000 \overline{6669000} 6696000 \overline{6696000} 16539120 51684750 72925515 76271625 77376000 190373976) ↦ (\begin{matrix}−1_{4} \\ 48_{3} \\ 4_{1} \\ 2_{7} \\ 2_{8} \\ 3_{5} \\ 3_{6} \\ −4_{2} \\ −2_{4} \\ −2_{5} \\ −4_{3} \\ 2_{9} \\ 2_{6} \end{matrix})

3.5.3. BM.

Soit G = BM, D = 7^{2} un 7-sous-groupe de Sylow de G et H = N_{G}(D) = (7^{2}×2^{2})·(3×(2𝔖_{4})). Soit x ∈ D un représentant de l’unique classe de conjugaison de 7-éléments de G. On a C_{G}(x) = 7 × 2P SL(3, 4) · 2.

On a une isotypie du bloc principal de 7·3 vers le bloc principal de 2P SL(3, 4)·2 donnée par :

(1 ; 1′ ; \overline{1′} ; 3 ; \overline{3}) ↦ ( 1 ; −20 ; 64 ; 45 ; \overline{45})

La matrice de décomposition généralisée de G en x est :

1 3 6 13 15 24 40 60 66 79 84 93 97 111
d(1) 1 −1 1 1 1 1 −1 0 2 0 −1 0 1 1
−d(20) 0 −1 1 0 0 1 −1 1 1 1 0 −1 0 0
d(64) 0 0 1 1 0 2 0 0 1 0 −1 −1 0 −1

124 131 137 138 141 144 146 150 164 165 173 175 177
d(1) 1 −1 1 1 −1 −1 0 1 0 0 0 0 0
−d(20) 1 −2 1 1 −1 −1 1 1 0 0 −1 1 0
d(64) 1 −1 1 1 −1 −1 0 0 1 1 −1 1 −1

où les caractères de BM sont indexés par leur numéro dans le classement par ordre des degrés des caractères irréductibles de BM.

Les blocs principaux de H et de 7^{2} · (3 × (2𝔖_{4})) sont isotypiques.

Ainsi, on a une isotypie du bloc principal de G vers le bloc principal de 7^{2} · (3 × (2𝔖_{4})) donnée par :

(\begin{matrix}1 \\ 3 \\ 6 \\ 13 \\ 15 \\ 24 \\ 40 \\ 60 \\ 66 \\ 79 \\ 84 \\ 93 \\ 97 \\ 111 \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}1 \\ −2_{1} \\ 3_{1} \\ 2_{4} \\ 1_{5} \\ 4_{3} \\ −2_{2} \\ 1_{1} \\ 4_{1} \\ 1_{3} \\ −2_{5} \\ −2_{7} \\ −48_{1} \\ 2_{6} \end{matrix}) , (\begin{matrix}124 \\ 131 \\ 137 \\ 138 \\ 141 \\ 144 \\ 146 \\ 150 \\ 164 \\ 165 \\ 173 \\ 175 \\ 177 \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}3_{2} \\ −4_{2} \\ 3_{3} \\ 3_{4} \\ −3_{5} \\ −3_{6} \\ −48_{2} \\ 2_{3} \\ 1_{2} \\ 1_{4} \\ −2_{8} \\ 2_{9} \\ 48_{3} \end{matrix})

et ainsi les blocs principaux de G et H sont isotypiques.

3.6. p = 11, M.

Soit G = M et D = 11^{2} un 11-sous-groupe de Sylow de G. Soit H = N_{G}(D) = 11^{2} · (5 × SL(2, 5)).

Il existe une classe de 11-éléments dans G; soit x ∈ D, x ≠ 1. Alors, C_{H}(x) = 11 × (11 · 5) et C_{G}(x) = 11 × M_{12}. Or, il existe une isotypie entre le bloc principal de M_{12} et le bloc principal du normalisateur d’un 11-Sylow de M_{12}, isomorphe à 11 · 5. Une isométrie du bloc principal de C_{G}(x) vers le bloc principal de C_{H}(x) est donnée par :

ISOMÉTRIES PARFAITES 45

(\begin{matrix}1 \\ 16_{1} \\ 16_{2} \\ 45 \\ 54 \\ 120 \\ 144 \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}1_{1} \\ −6 \\ −6 \\ 1_{2} \\ −1_{3} \\ −1_{4} \\ 1_{5} \end{matrix})

est une isotypie. La matrice de décomposition généralisée de H en x est :

1_{1} 1_{2} 1_{3} 1_{4} 1_{5} 2_{1} 2_{2} 2_{3} 2_{4} 2_{5} 2_{6} 2_{7} 2_{8} 2_{9} 2_{10} 3_{1} 3_{2} 3_{3}
1_{1} 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1
1_{2} 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
1_{3} 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0
1_{4} 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1_{5} 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1
3_{4} 3_{5} 3_{6} 3_{7} 3_{8} 3_{9} 3_{10} 4_{1} 4_{2} 4_{3} 4_{4} 4_{5} 4_{6} 4_{7} 4_{8} 4_{9} 4_{10}
1_{1} 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
1_{2} 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1
1_{3} 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
1_{4} 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1
1_{5} 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
5_{1} 5_{2} 5_{3} 5_{4} 5_{5} 6_{1} 6_{2} 6_{3} 6_{4} 6_{5} 120_{1} 120_{2} 120_{3} 120_{4} 120_{5}
1_{1} 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1  0  0  0  0
1_{2} 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0  1  0  0  0
1_{3} 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0  0  1  0  0
1_{4} 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0  0  0  1  0
1_{5} 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0  0  0  0  1

La matrice de décomposition généralisée de G en x est :

1 2 3 4 6 9 10 14 18 21 22 31 32 34 36 44
d(1) 1 1 −1 −1 1 1 −1 1 1 1 −2 1 1 −1 0 0
d(45) 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 −1 0 1 0 −1 −1
−d(54) 0 1 −1 −1 1 0 −1 1 1 0 −1 0 1 −1 0 −1
−d(120) 0 1 −1 0 0 0 −1 1 0 1 −1 1 1 −1 −1 −1
d(144) 0 1 −1 0 1 1 0 1 1 1 −1 0 0 −1 −1 −1

45 62 63 68 71 72 73 76 77 78 89 90 91 93
d(1)  0 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 −1 0
d(45) −1 1 0 −1 −1 −1 1 0 −1 −1 1 1 −1 1
−d(54) −1 1 0 0 0 0 1 0 −1 −1 1 1 −2 0
−d(120) −1 1 0 −1 0 0 2 −1 0 0 1 1 −1 0
d(144) −1 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 1 1 −1 1

96 112 119 131 148 158 159 162 168 169 172 173
d(1) −1 1 −1 0 0 −1 1 −1 0 0 1 0
d(45) −1 1 −1 0 0 −1 1 −1 0 0 1 0
−d(54) 0 1 0 0 0 −1 1 0 −1 −1 1 1
−d(120) −1 1 −1 0 −1 0 0 −1 0 0 1 1
d(144) −1 0 0 1 0 −1 0 −1 −1 0 1 1

174 175 181 193 187 189 192 194
d(1)  0 1 1 1 0 0 −1 0
d(45) 0 1 1 1 0 0 −1 0
−d(54) 1 1 1 0 −1 0 0 0
−d(120) 1 1 1 0 0 0 0 −1
d(144) 0 1 2 1 0 1 0 −1

Les caractères de M sont indexés par leur numéro dans le classement par ordre des degrés des caractères irréductibles de M.

Ainsi, il existe une isotypie du bloc principal de H vers le bloc principal de G donnée par

(\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 6 \\ 9 \\ 10 \\ 14 \\ 18 \\ 21 \\ 22 \\ 31 \\ 32 \\ 34 \\ 36 \\ 44 \\ 45 \\ 62 \\ 63 \\ 68 \\ 71 \\ 72 \\ 73 \\ 76 \\ 77 \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}1 \\ 5_{1} \\ −4_{7} \\ −2_{2} \\ 3_{5} \\ 2_{4} \\ −3_{4} \\ 6_{2} \\ 4_{3} \\ 3_{6} \\ −6_{1} \\ 2_{3} \\ 4_{1} \\ −4_{8} \\ −3_{9} \\ −4_{9} \\ −4_{10} \\ 3_{7} \\ −120_{1} \\ −2_{6} \\ −1_{2} \\ −120_{2} \\ 6_{4} \\ −120_{4} \\ −2_{5} \end{matrix}) , (\begin{matrix}78 \\ 89 \\ 90 \\ 91 \\ 93 \\ 96 \\ 112 \\ 119 \\ 131 \\ 148 \\ 158 \\ 159 \\ 162 \\ 168 \\ 169 \\ 172 \\ 173 \\ 174 \\ 175 \\ 181 \\ 183 \\ 187 \\ 189 \\ 192 \\ 194 \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}−3_{8} \\ 5_{2} \\ 5_{3} \\ −6_{3} \\ 2_{7} \\ −4_{5} \\ 4_{2} \\ −3_{2} \\ 120_{5} \\ −1_{4} \\ −4_{4} \\ 3_{1} \\ −4_{6} \\ −2_{9} \\ −1_{3} \\ 5_{4} \\ 3_{10} \\ 2_{8} \\ 5_{5} \\ 6_{5} \\ 3_{3} \\ −120_{3} \\ 1_{5} \\ −2_{1} \\ −2_{10} \end{matrix})

Remerciements

Je tiens à remercier Michel Broué et Michel Enguehard pour leur aide constante dans ce travail, et Paul Fong et Morton Harris pour leurs suggestions, essentielles pour la mise en forme de ce travail.

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