FAMILLES ET BLOCS D’ALGÈBRES DE HECKE

RAPHAËL ROUQUIER

Soit (W, S) un système de Coxeter crystallographique fini, A = Z[v, v^{−1}] et H l’algèbre de Hecke de (W, S) sur A, i.e., le A-module libre de base {T_{w}}_{w∈W} où la multiplication est donnée par

\{ \begin{matrix}(T_{s} + v^{−1})(T_{s} − v) = 0 & pour s ∈ S \\ T_{w}T_{w′} = T_{ww′} & si l(ww′) = l(w) + l(w′). \end{matrix}

L’application de décomposition K_{0}(C(v) ⊗_{A} H) → K_{0}((C[v, v^{−1}]/(v − 1)) ⊗_{A} H) envoie classe de module simple sur classe de module simple et elle permet d’identifier les caractères irréductibles de W aux caractères irréductibles de H.

Soit O = A[(1 + vP (v))^{−1}]_{P ∈Z[v]}.

Théorème . La partition des caractères irréductibles de W en familles correspond à la partition des caractères irréductibles de H selon les blocs de O ⊗_{A} H.

Ce résultat a été inspiré par les travaux de Gyoja [Gy] qui prouve des compatibilités entre familles et représentations modulaires d’algèbres de Hecke.

1. Rappels de la théorie de Lusztig

Rappelons quelques constructions et résultats de Lusztig [Lu1, Lu2, Lu3, Lu4]. Soit {C_{w}}_{w∈W} la base de Kazhdan-Lusztig de H :

C_{w} = ∑_{y≤w}(−v)^{l(w)−l(y)}P_{y,w}(v^{−2})T_{y}

où P_{y,w} est un polynôme de degré inférieur à (l(w) − l(y) − 1)/2 et P_{w,w} = 1.

Définissons h_{x,y,z} pour x, y, z ∈ W par

C_{x}C_{y} = ∑_{z} h_{x,y,z}C_{z}.

Pour z ∈ W, soit a(z) le plus petit entier naturel positif tel que

v^{a(z)}h_{x,y,z} ∈ C[v]

et soit γ_{x,y,z} le terme constant de (−v)^{a(z)}h_{x,y,z^{−1}}, pour x, y ∈ W.

On définit une Z-algèbre (associative) J = J(W) de base {t_{w}}_{w∈W} par

t_{x}t_{y} = ∑_{z} γ_{x,y,z}t_{z^{−1}}.

Soit D l’ensemble des involutions de Duflo : c’est le sous-ensemble de W tel que l’unité de J est ∑_{d∈D} t_{d}. La famille {t_{d}}_{d∈D} est une famille d’idempotents orthogonaux de J. Soit

Date: Janvier 1999.

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t_{i} = ∑_{d∈D,a(d)=i} t_{d} : c’est un idempotent central de J. Alors, {t_{w}}_{a(w)=i} est une base de J^{i} = t_{i}J. On pose J^{>i} = ⨁_{j>i} J^{j}.

L’application A-linéaire

Φ : H → A ⊗ J

définie par

C_{w} ↦ ∑_{d∈D,z∈W,a(d)=a(z)} h_{w,d,z}t_{z}

est morphisme unitaire d’algèbres.

Soit w ∈ W et i = a(w). On a

ϕ((−v)^{i}C_{w}) − t_{w} ∈ vZ[v]J^{i} + J^{>i}.

On en déduit que 1_{O} ⊗ ϕ : O ⊗_{A} H → O ⊗ J est un isomorphisme.

En particulier, 1_{C(v)} ⊗ ϕ : C(v) ⊗_{A} H → C(v) ⊗ J est un isomorphisme, et l’on identifie ainsi les classes d’isomomorphisme de représentations simples de CW à celles de C(v) ⊗ J.

Deux éléments w, w′ ∈ W sont dans la même cellule à gauche lorsque t_{w′}t_{w^{−1}} ≠ 0. Chaque cellule à gauche contient une unique involution de Duflo. Les représentations cellulaires à gauche de J sont les t_{d}J, pour d ∈ D.

Deux éléments w, w′ ∈ W sont dans la même cellule bilatère lorsque t_{w′}Jt_{w^{−1}} ≠ 0.

Soit \underline{c} une cellule bilatère et t\underline{c} = ∑_{d∈D∩\underline{c}} t_{d}. Alors, on a une décomposition J = ⨁\underline{c} t\underline{c}J où \underline{c} décrit l’ensemble des cellules bilatères.

On dit que deux représentations simples V, V′ de J sont dans la même famille s’il existe une cellule bilatère \underline{c} telle que t\underline{c}V ≠ 0 et t\underline{c}V′ ≠ 0.

Ainsi, le théorème affirme que les t\underline{c} sont des idempotents primitifs du centre de O ⊗ J. Comme (J, \{t_{w}\})_{w∈W} est un anneau basé, il résulte de la proposition à venir que les t\underline{c} sont des idempotents primitifs du centre de J. Puisque les seuls éléments de O algébriques sur Q sont les entiers naturels, on en déduit que les t\underline{c} sont primitifs dans le centre de O ⊗ J et le théorème en découle.

2. Décomposition des anneaux basés

Soit (R, B) un anneau basé [Lu4] : R est un anneau libre de rang fini comme Z-module et B est une base de R vérifiant les propriétés suivantes.

– Les constantes de structures dans la base B sont des entiers naturels positifs.

– Il existe un sous-ensemble B_{0} de B tel que 1 = ∑_{b∈B_{0}} b.

– Soit τ : R → Z l’application Z-linéaire donnée par

τ(b) = \begin{cases}1 & si b ∈ B_{0} \\ 0 & sinon. \end{cases}

Il existe une anti-involution R → R, r ↦ r̃ de Z-algèbres telle que b̃ ∈ B pour b ∈ B et telle que

τ(bb′) = \begin{cases}1 & si b′ = b̃ \\ 0 & sinon. \end{cases}

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Notons que les éléments de B_{0} sont des idempotents.

Soit C l’ensemble des classes d’équivalence d’éléments de B_{0} pour la relation b ∼ b′ si bRb′ ≠ 0. Pour \underline{c} ∈ C, soit t\underline{c} = ∑_{b∈\underline{c}} b. Les t\underline{c} sont des idempotents centraux deux à deux orthogonaux de R.

Proposition . Les éléments de B_{0} sont des idempotents primitifs. Pour \underline{c} ∈ C, t\underline{c} est un idempotent primitif du centre de R.

Démonstration. Notons que la deuxième assertion est une conséquence immédiate de la première.

Soit b ∈ B_{0}. Alors, (bRb, bBb) est un anneau basé dont l’unité est dans la base et il suffit de démontrer la propriété dans ce cas. On suppose donc que τ(1) = 1.

On a une décomposition

τ = ∑_{χ} c_{χ}χ

où χ décrit l’ensemble des caractères irréductibles de C ⊗ R et c_{χ} ∈ C. D’après [Lu4, 1.3(d), 1.3(c) et 1.4(a)], c_{χ} est un nombre réel strictement positif.

Soit e = ∑_{b∈B} α_{b}b un idempotent de R. On a τ(e) = α_{1} = ∑_{χ} c_{χ}χ(e) et χ(e) est un entier naturel positif inférieur à χ(1). Puisque τ(1) = 1 = ∑_{χ} c_{χ}χ(1), on déduit que α_{1} = 0 et χ(e) = 0 pour tout χ ou que α_{1} = 1 et χ(e) = χ(1) pour tout χ. Ainsi, e = 0 ou e = 1 et la proposition est prouvée.

Remarques . Si G est un groupe fini, alors (ZG, G) est un anneau basé et la proposition précédente est le résultat classique d’indécomposabilité de l’unité de ZG.

Notre résultat permet de définir une partition des caractères irréductibles d’un groupe de réflexions complexe en familles. Par exemple, si W = G_{4} est le groupe irréductible de dimension 2, d’ordre 24, engendré par des réflexions d’ordre 3, alors on trouve 4 familles de caractères irréductibles : Il y a deux familles à un élément (le caractère trivial et le caractère de degré 3), une famille à deux éléments (le caractère de réflexion et son conjugué) et une famille à trois éléments (les deux caractères linéaires non triviaux et le caractère entier de degré 2).

Cette construction, qui semble s’accorder avec celle définie, pour certains groupes de réflexions, par Broué, Malle et Michel, est l’objet d’un travail en cours avec G. Malle.

Références

[Gy] A. Gyoja, Cells and modular representations of Hecke algebras, Osaka J. Math. 33 (1996), 307–341.

[Lu1] G. Lusztig, Cells in affine Weyl groups, in “Algebraic groups and related topics”, Adv. Studies in Pure Math. Vol. 6, Kinokuniya and North-Holland, 1985.

[Lu2] G. Lusztig, Cells in affine Weyl groups, II, J. of Alg. 109 (1987), 536–548.

[Lu3] G. Lusztig, Cells in affine Weyl groups, III, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA, Math. 34 (1987), 223–243.

[Lu4] G. Lusztig, Leading coefficients of character values of Hecke algebras, Proc. Symp. Pure Math. 47 (1987), 235–262.