CARACTÉRISATION DES CARACTÈRES ET PSEUDO-CARACTÈRES

RAPHAËL ROUQUIER

1. Introduction

L’objet de ce travail est l’étude des propriétés du caractère d’une représentation d’algèbre dans une algèbre d’Azumaya (e.g., dans une algèbre de matrices) et la caractérisation de ces caractères parmi les fonctions centrales. La notion-clef est celle de pseudo-caractère, (cf définition 2.1) dûe à R. Taylor [Tay], qui a étudié le cas d’algèbres de groupes sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle.

Nous vérifions tout d’abord que le caractère d’une représentation est un pseudocaractère (proposition 3.1).

Nous établissons, pour une algèbre sur un corps, une correspondance bijective entre représentations absolument irréductibles dans une algèbre centrale simple de dimension n^{2} et pseudo-caractères absolument irréductibles de dimension n, donnée par la trace réduite (théorème 4.2). Lorsque toute algèbre centrale simple sur le corps K est isomorphe à une algèbre de matrices sur K, alors l’application qui à une représentation fait correspondre son caractère induit une bijection entre représentations absolument irréductibles dans une algèbre de matrices de dimension n^{2} sur K et pseudo-caractères absolument irréductibles de dimension n dans K (corollaire 4.4).

Ensuite, nous construisons une bijection entre représentations absolument irréductibles dans une algèbre d’Azumaya de rang constant n^{2} et pseudo-caractères de dimension n tels que les pseudo-caractères résiduels associés soient absolument irréductibles de dimension n (théorème 5.1). De cette correspondance se déduisent des résultats de H. Carayol et J.-P. Serre ([Ca] et [Se]) sur les caractères de représentations dans des anneaux locaux (corollaires 5.3 et 5.4).

Ainsi, le problème de remonter une représentation résiduelle est équivalent à celui de remonter son caractère en un pseudo-caractère, résultat dû à L. Nyssen (corollaire 5.2). Alors, étant donnée une algèbre sur un anneau local et une représentation résiduelle absolument irréductible, nous construisons une déformation universelle d’une telle représentation, généralisant et simplifiant une construction de B. Mazur [Ma].

Je tiens à remercier J.-P. Serre, qui m’a suggéré ce travail, pour ses encouragements et commentaires ; je remercie également M. Broué pour son aide lors de la rédaction d’une version préliminaire et L. Scott pour plusieurs discussions ainsi que pour son hospitalité à l’université de Charlottesville.

2. Définitions et propriétés élémentaires

Soit A un anneau commutatif et R une A-algèbre.

Soient f ∈ Hom_{A}(R, A) une fonction centrale (i.e. telle que f(xy) = f(yx) pour tous x, y ∈ R) et n un entier. Soit 𝔖_{n} = 𝔖({1, …, n}) le groupe symétrique sur l’ensemble {1, …, n} et ε le caractère signature de 𝔖_{n}. On définit l’application S_{n}(f) : R^{n} → A par

S_{n}(f)(x) = ∑_{σ∈𝔖_{n}} ε(σ)(σ · f)(x)

pour x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ R^{n} et où pour σ ∈ 𝔖_{n} se décomposant en produit de cycles disjoints σ = σ_{1} ⋯ σ_{k}, si σ_{i} = (j_{1}, …, j_{m}), alors on pose σ_{i}(x) = x_{j_{1}} ⋯ x_{j_{m}} et (σ · f)(x) = f(σ_{1}(x)) ⋯ f(σ_{k}(x)).

Soit τ ∈ 𝔖_{n}. La décomposition de τ^{−1}στ en produit de cycles disjoints est τ^{−1}στ = (τ^{−1}σ_{1}τ) ⋯ (τ^{−1}σ_{k}τ) et si σ_{i} = (j_{1}, …, j_{m}), alors on a τ^{−1}σ_{i}τ = (τ(j_{1}), …, τ(j_{m})). Ainsi, (σ · f)(τ · x) = ((τ^{−1}στ) · f) (x). Il en résulte que S_{n}(f) est symétrique.

Définition 2.1. Si d est un entier positif, on dit que f ∈ Hom_{A}(R, A) est un pseudo-caractère de dimension d de R sur A (et on note dim f = d) si :

(1) f(xy) = f(yx) pour tous x, y ∈ R,

(2) d est le plus petit entier positif k tel que S_{k+1}(f) = 0.

Nous verrons (proposition 2.3) que si f est un pseudo-caractère de dimension d, alors S_{k+1}(f) = 0 pour k ≥ d.

Nous dirons que f est irréductible s’il n’existe pas deux pseudo-caractères f_{1} et f_{2} tels que f = f_{1} + f_{2} et dim f = dim f_{1} + dim f_{2} (il résulte du lemme 2.8 que c’est équivalent à dim f ≥ dim f_{1} + dim f_{2}).

L’application S_{n} apparaît dans le cas de caractères irréductibles d’un groupe fini chez Frobenius [Fr], où elle est définie comme une dérivée n-ème du facteur irréductible du Gruppendeterminant associé à un caractère irréductible donné. Qu’un caractère irréductible d’un groupe fini soit un pseudo-caractère est démontré par Frobenius [Fr, §3, 21.].

La définition de pseudo-caractère donnée ici est une légère modification de la notion originale de pseudo-représentation dûe à R. Taylor [Tay, §1] (Taylor demandait, à la place de (2), S_{d+1}(f) = 0 et f(1) = d · 1_{A}; notre définition permet d’avoir une dimension bien déterminée pour chaque pseudo-caractère et nous verrons (proposition 2.4) que pour A intègre, si f est un pseudo-caractère, alors f(1) = dim f · 1_{A}). Dans le cas particulier où n = 2, une définition plus restrictive avait été introduite auparavant par A. Wiles [Wi, 2.2].

Pour f ∈ Hom_{A}(R, A) une fonction centrale, on pose S_{0}(f) = 1. Pour I un ensemble fini, on note |I| le cardinal de I.

Lemme 2.2. Soient n un entier positif, f ∈ Hom_{A}(R, A) une fonction centrale et x_{1}, …, x_{n+1} ∈ R. On a

(1) S_{n+1}(f)(x_{1}, …, x_{n+1}) = f(x_{n+1})S_{n}(f)(x_{1}, …, x_{n}) −

− ∑_{i=1}^{n} S_{n}(f)(x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i}x_{n+1}, x_{i+1}, …, x_{n}).

Soit g une seconde fonction centrale. On note E = {1, …, n}. On a

S_{n}(f + g)(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{I⊂E} S_{|I|}(f)({x_{i}}_{i∈I})S_{|E−I|}(g)({x_{i}}_{i∈E−I}). (2)

où I décrit les sous-ensembles de E.

Preuve. On a

S_{n+1}(f)(x_{1}, …, x_{n+1}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{σ∈𝔖_{n+1},σ(i)=n+1}ε(σ)(σ · f)(x_{1}, …, x_{n+1}) +

+ ∑_{σ∈𝔖_{n+1},σ(n+1)=n+1}ε(σ)(σ · f)(x_{1}, …, x_{n+1}).

En outre,

∑_{σ∈𝔖_{n+1},σ(n+1)=n+1}ε(σ)(σ · f)(x_{1}, …, x_{n+1}) = f(x_{n+1})S_{n}(f)(x_{1}, …, x_{n})

et pour 1 ≤ i ≤ n,

∑_{\begin{matrix}σ∈𝔖_{n+1}, \\ σ(i)=n+1 \end{matrix}} ε(σ)(σ · f)(x_{1}, …, x_{n+1}) = −S_{n}(f)(x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i}x_{n+1}, x_{i+1}, …, x_{n}),

d’où la première égalité. On a

S_{n}(f + g)({x_{i}}_{i∈E}) = ∑_{σ∈𝔖(E)} ∑_{I⊂E,σ(I)=I} ε(σ)(σ_{|I} · f)({x_{i}}_{i∈I})(σ_{|E−I} · g)({x_{i}}_{i∈E−I})

= ∑_{I⊂E} ∑_{\begin{matrix}σ_{1}∈𝔖(I), \\ σ_{2}∈𝔖(E−I) \end{matrix}}ε(σ_{1})ε(σ_{2})(σ_{1} · f)(\{x_{i}\}_{i∈I})(σ_{2} · g)(\{x_{i}\}_{i∈E−I}),

d’où la deuxième égalité.

Il résulte alors immédiatement du lemme 2.2, (1) :

Proposition 2.3. Si f est un pseudo-caractère de dimension n, alors S_{k}(f) = 0 pour k > n.

Proposition 2.4. Supposons A est intègre. Si f est un pseudo-caractère de dimension n, alors f(1) = n · 1_{A}.

Preuve. Si n = 0, alors le résultat est clair. Sinon, soient x_{1}, …, x_{n} ∈ R. On a S_{n+1}(f)(x_{1}, …, x_{n}, 1) = (f(1) − n · 1_{A})S_{n}(f)(x_{1}, …, x_{n}), d’après le lemme 2.2, (1). Puisque S_{n}(f) ≠ 0 et A est intègre, on a donc f(1) = n · 1_{A}.

Lemme 2.5. Soient k un entier, {1, …, k} = I_{1} ∪ ⋯ ∪ I_{l} une partition de {1, …, k}. Soit x = x_{1} × ⋯ × x_{l} où x_{j} ∈ R^{I_{j}}. Supposons yy′ = y′y = 0 pour tous y et y′ éléments de x_{i} et x_{j}, lorsque i ≠ j.

Alors, pour f ∈ Hom_{A}(R, A) une fonction centrale, on a

S_{k}(f)(x) = ∏_{j=1}^{l} S_{|I_{j}|}(f)(x_{j}).

Preuve. Soit σ ∈ 𝔖_{k} ayant une orbite dont les intersections avec deux parties distinctes I_{i} et I_{j} sont non vides. Soit alors σ′ un cycle de σ correspondant à une telle orbite. On a σ′(x) = 0 et donc (σ·f)(x) = 0. Ainsi, S_{k}(f) = ∑_{σ} ε(σ)(σ·f)(x) où σ décrit 𝔖(I_{1}) × ⋯ × 𝔖(I_{l}).

Lemme 2.6. Soit f un pseudo-caractère de R. Pour tout x ∈ R nilpotent, f(x) est nilpotent.

Preuve. Soit x tel que f(x^{r}) est nilpotent pour r ≥ 2. Alors f(x)^{1+dim f} est nilpotent, puisque S_{1+dim f}(f)(x, …, x) = 0, d’où f(x) est nilpotent. Ainsi, si x est nilpotent, il existe un entier r > 1 tel que x^{r} = 0, donc tel que f(x^{i}) est nilpotent pour i ≥ r et en particulier f((x^{r−1})^{i}) est nilpotent pour i ≥ 2. Il résulte de ce qui précède par récurrence descendante sur r que f(x) est nilpotent.

Lemme 2.7. Soient f ∈ Hom_{A}(R, A) une fonction centrale et k un entier tel que k! n’est pas un diviseur de 0 dans R. On a S_{k}(f) = 0 si et seulement si S_{k}(f)(x, …, x) = 0 pour tout x ∈ R.

Preuve. Soient S^{k}(R) la puissance symétrique k-ème du A-module R et φ l’application R^{k} → S^{k}(R) définie par φ(x_{1}, …, x_{k}) = x_{1} ⋯ x_{k}. Par la propriété universelle de S^{k}(R), puisque S_{k}(f) est k-linéaire et symétrique, il existe g dans Hom_{A}(S^{k}(R), A) tel que S_{k}(f) = g ∘ φ (voir par exemple [Bki1, Chapitre III, §6, proposition 6]).

Soit A′ le localisé de A en la partie multiplicative engendrée par k!, R′ = A′⊗_{A}R et f′ = id_{A′} ⊗ f ∈ Hom_{A′}(R′, A′). Puisque k! n’est pas un diviseur de 0 dans R, donc dans A, les morphismes canoniques A → A′ et R → R′ sont injectifs. Comme S_{k}(f′) est k-linéaire, on a S_{k}(f′) = 0 si et seulement si S_{k}(f) = 0 et S_{k}(f′)(x, …, x) = 0 pour tout x ∈ R′ si et seulement si S_{k}(f)(x, …, x) = 0 pour tout x ∈ R. Par conséquent, il suffit de démontrer le lemme pour k! inversible dans A, ce que nous supposons désormais.

Lorsque k! est inversible dans A, le A-module S^{k}(R) est engendré par les x^{k} avec x ∈ R [ibid., remarque 3] et par conséquent S_{k}(f) = 0 si et seulement si S_{k}(f)(x, …, x) = 0 pour tout x ∈ R.

Lemme 2.8. Soient f et g deux pseudo-caractères. Alors, f + g est un pseudocaractère et dim(f + g) ≤ dim f + dim g.

En outre, si A est intègre, (dim f + dim g)! · 1_{A} ≠ 0 et (dim f)! · (dim g)! n’est pas un diviseur de 0 dans R, alors dim(f + g) = dim f + dim g.

De même, si A est intègre et R est le produit direct de deux sous A-algèbres R_{1} et R_{2}, telles que f(R_{2}) = g(R_{1}) = 0, alors dim(f + g) = dim f + dim g.

Preuve. Soient m = dim f et n = dim g. Il résulte immédiatement de la deuxième égalité du lemme 2.2 que S_{n+m+1}(f + g) = 0.

D’après le lemme 2.7, il existe x, y ∈ R tels que S_{m}(f)(x, …, x) ≠ 0 et S_{n}(g)(y, …, y) ≠ 0. Soit alors k l’entier positif minimal tel que

S_{n}(g)(\underbrace{x, …, x}_{n−k termes}, \underbrace{y, …, y}_{k termes}) ≠ 0.

On a alors, d’après le lemme 2.2 (2),

S_{m+n}(f + g)(\underbrace{x, …, x}_{m+n−k}, \underbrace{y, …, y}_{k})

= \binom{m + n − k}{n − k}S_{m}(f)(x, …, x)S_{n}(g)(\underbrace{x, …, x}_{n−k}, \underbrace{y, …, y}_{k}) ≠ 0.

Si (m + n)! · 1_{A} ≠ 0, on a donc S_{m+n}(f + g) ≠ 0.

Si R est le produit direct de deux sous A-algèbres R_{1} et R_{2}, telles que f(R_{2}) = g(R_{1}) = 0, alors, grâce au lemma 2.5, on conclut encore que S_{m+n}(f +g) ≠ 0.

Remarque 1. Si r est un entier strictement positif et r · 1_{A} = 0, f un pseudocaractère non nul et g = (r−1)f, alors g est un pseudo-caractère, f +g = 0 est un pseudo-caractère nul, c’est-à-dire de dimension nulle, bien que dim f + dim g > 0 = dim(f + g).

La multilinéarité de S_{n} rend immédiat le lemme suivant :

Lemme 2.9. Soit A′ une A-algèbre commutative. Soit f ∈ Hom_{A}(R, A) une fonction de classe et f′ l’extension de f à R ⊗_{A} A′. Si f est un pseudo-caractère, alors f′ est un pseudo-caractère de R ⊗_{A} A′ et dim f′ ≤ dim f.

Si en outre A′ est un A-module fidèle, alors f est un pseudo-caractère si et seulement si f′ est un pseudo-caractère et dans ce cas, dim f′ = dim f.

Si f ∈ Hom_{A}(R, A), on note f̂ ∈ Hom_{A}(R, Hom_{A}(R, A)) l’application donnée par x ↦ (y ↦ f(xy)). Si f est une fonction centrale, alors ker f̂ est un idéal de R.

Définition 2.10. Soit f un pseudo-caractère. On dit que f est fidèle si ker f̂ = 0.

Proposition 2.11. Supposons R de type fini comme A-module. Soit f un pseudocaractère fidèle de R dans A, A′ une A-algèbre et f′ l’extension de f à R ⊗_{A} A′. Si R est de type fini comme A-module et A′ plat sur A ou si A′ est projectif sur A, alors f′ est fidèle.

Preuve. L’application f̂: R → Hom_{A}(R, A) est injective et A′ est plat sur A, donc l’application obtenue par extension des scalaires R ⊗_{A} A′ → (Hom_{A}(R, A)) ⊗_{A} A′ est encore injective. Mais l’hypothèse sur R et A′ implique que l’homomorphisme canonique (Hom_{A}(R, A))⊗_{A}A′ → Hom_{A′}(R⊗_{A}A′, A′) est injectif ([Bki3, Chapitre I, §2, proposition 11] et [Bki1, Chapitre II, §5, proposition 7]) et on en déduit alors que f̂′ est injectif.

Lemme 2.12. Soit f un pseudo-caractère fidèle de dimension n de R. Soit A′ une A-algèbre commutative, R′ = R ⊗_{A} A′ et f′ l’extension de f à R′.

Soient x_{1}, …, x_{n} ∈ R′. On a

∑_{I,σ}(−1)^{|I|}S_{n−|I|}(f′)({x_{i}}_{i∉I})x_{σ(1)} ⋯ x_{σ(|I|)} = 0

où I décrit les sous-ensembles de {1, …, n} et σ décrit l’ensemble des bijections {1, …, |I|} → I.

Preuve. L’identité à prouver étant multilinéaire, il suffit de la prouver pour A′ = A. Soit y ∈ R. On a

S_{n+1}(f)(x_{1}, …, x_{n}, y) = ∑_{I}(−1)^{|I|}S_{n−|I|}(f)({x_{i}}_{i∉I})f(x_{σ(1)} ⋯ x_{σ(|I|)}y)

où I décrit les sous-ensembles de {1, …, n} et σ décrit l’ensemble des bijections {1, …, |I|} → I. Ainsi,

S_{n+1}(f)(x_{1}, …, x_{n}, y) = f ((∑_{I}(−1)^{|I|}S_{n−|I|}(f)({x_{i}}_{i∉I})x_{σ(1)} ⋯ x_{σ(|I|)}) y) = 0.

Finalement, ∑_{I}(−1)^{|I|}S_{n−|I|}(f)({x_{i}}_{i∉I})x_{σ(1)} ⋯ x_{σ(|I|)} ∈ ker f̂ = 0.

Une conséquence directe de ce lemme est :

Lemme 2.13. Soit f un pseudo-caractère fidèle de dimension n de R. Soit A′ une A-algèbre commutative, R′ = R ⊗_{A} A′ et f′ l’extension de f à R′.

Alors, tout élément de R′ est annulé par un polynôme de degré n sur A′. Pour x ∈ R′, on a P_{x}(x) = 0, où

P_{x}(t) = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \frac{n!}{(n − k)!}S_{n−k}(f′)(x, …, x)t^{k}.

Lemme 2.14. Soit f un pseudo-caractère fidèle de R. Soit A′ une A-algèbre commutative, R′ = R ⊗_{A} A′ et f′ l’extension de f à R′.

Si e_{1}, …, e_{k} sont des idempotents non nuls deux à deux orthogonaux de R′, alors k ≤ dim f.

Preuve. Soit n = dim f et supposons k > n. On a S_{n+1}(f′)(e_{1}, …, e_{n+1}) = f′(e_{1}) ⋯ f′(e_{n+1}) = 0. Notons que P_{e_{i}}(1) = 0 (notations du lemme 2.13). Soit i minimal tel que f′(e_{1}) ⋯ f′(e_{i}) = 0. Si i = 1, alors P_{e_{i}} = t^{n}, ce qui est impossible.

On a alors f′(e_{1}) ⋯ f′(e_{i−1})P_{e_{i}}(t) = f′(e_{1}) ⋯ f′(e_{i−1})t^{n}, d’où finalement f′(e_{1}) ⋯ f′(e_{i−1})P_{e_{i}}(1) = f′(e_{1}) ⋯ f′(e_{i−1}) = 0, ce qui contredit l’hypothèse. Ainsi, k ≤ n.

3. Les représentations induisent des pseudo-caractères

Nous prouvons ici la proposition suivante (comparer avec [Lo, théorème 9.3.4]) :

Proposition 3.1. Soit ρ : R → Σ une représentation de R dans une A-algèbre d’Azumaya Σ. Soit χ la trace réduite de ρ. Alors, χ est un pseudo-caractère. Si Σ est de rang n^{2} sur A, alors χ est de dimension au plus n.

Preuve. Il est clair qu’il suffit de traiter le cas où R = Σ et ρ est l’identité. Il suffit de prouver la proposition pour A remplacé par A_{𝔪} et R remplacé par R ⊗_{A} A_{𝔪}, pour tout idéal maximal 𝔪 de A (lemme 2.9). Par conséquent, on peut supposer A local. Quitte à étendre les scalaires de manière fidèlement plate, on peut supposer que R = M_{n}(A) (cf. [Kn-Oj, Chapitre III, corollaire 6.7]). On peut remplacer A par un anneau commutatif intègre de caractéristique 0 dont A est un quotient. On peut alors remplacer A par une clôture algébrique de son corps des fractions.

Ainsi, on suppose maintenant que A est un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Soit k un entier, k > n. D’après le lemme 2.7, il suffit de montrer que S_{k}(χ)(x, …, x) = 0 pour tout x ∈ M_{n}(A). Les matrices diagonalisables étant denses dans M_{n}(A) pour la topologie de Zariski, il suffit de vérifier cette annulation pour les matrices diagonalisables et en fait seulement pour les matrices diagonales, puisque S_{k}(χ)(x, …, x) = S_{k}(χ)(y, …, y) si x et y sont conjuguées. Soit x une matrice diagonale de M_{n}(A). Soit V = A^{n}. Alors, x agit sur V^{⊗k} par x(v_{1}, …, v_{n}) = (xv_{1}, …, xv_{n}). Le groupe symétrique 𝔖_{k} agit sur V^{⊗k} par permutation des facteurs et cette action commute avec celle de x. Soit σ ∈ 𝔖_{k}. Alors, dans la base canonique {e_{i_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ e_{i_{k}}}_{1≤i_{j}≤n} de V^{⊗k} induite par la base {e_{i}}_{1≤i≤n} de V, la matrice de l’endomorphisme induit par xσ est monomiale car la matrice de l’endomorphisme induit par x est diagonale. Soit σ = σ_{1} ⋯ σ_{m} la décomposition de σ en produit de cycles disjoints. Les vecteurs de base fixes par σ sont les e_{i_{1}} ⊗⋯⊗e_{i_{k}} tels que i_{σ(j)} = i_{j} pour 1 ≤ j ≤ k. Par conséquent, la trace de xσ sur V^{⊗k} est χ(x^{c_{1}}) ⋯ χ(x^{c_{m}}), où c_{1}, …, c_{m} sont les longueurs des cycles de σ. Ainsi, la trace de x ∑_{σ∈𝔖_{k}} ε(σ)σ sur V^{⊗k} est S_{k}(χ)(x, …, x). Puisque l’action de x commute avec celle de 𝔖_{k}, la trace de x ∑_{σ∈𝔖_{k}} ε(σ)σ sur V^{⊗k} est égale à la trace de x sur (∑_{σ∈𝔖_{k}} ε(σ)σ)V^{⊗k} qui est la puissance k-ème antisymétrique de V, donc est nulle puisque k > n. Ainsi, S_{k}(χ)(x, …, x) = 0.

Corollaire 3.2. Soit k un entier positif et soit P_{k} le polynôme donné par P_{k}(t) = ∑_{σ∈𝔖_{k}} ε(σ)t^{c_{σ}} où c_{σ} désigne le nombre d’orbites de σ. Alors, on a

P_{k}(t) = (t − k + 1)(t − k + 2) ⋯ (t − 1)t.

Preuve. Avec les hypothèses et les notations de la proposition précédente, on a P_{k}(n) = S_{k}(χ)(1, …, 1) = 0 pour k > n. Par conséquent, les entiers 0, …, k − 1 sont des racines de P_{k}. Or, P_{k} est de degré k et est unitaire, d’où le résultat.

Comme me l’a expliqué S. Kim, ce corollaire peut se déduire de la formule du déterminant de Cauchy.

Corollaire 3.3. Soit R une algèbre de matrices de dimension n^{2} sur un corps K. Soit α un entier strictement positif avec α < p si le corps K est de caractéristique p strictement positive. Alors, le pseudo-caractère α Tr est de dimension αn.

Preuve. Soit 1 = e_{1} + ⋯ + e_{n} une décomposition de l’unité de R en somme d’idempotents primitifs deux à deux orthogonaux. On a, d’après le lemme 2.5,

S_{αn}(α Tr)(\underbrace{e_{1}, …, e_{1}}_{α}, …, \underbrace{e_{n}, …, e_{n}}_{α}) = ∏_{i=1}^{n} S_{α}(α Tr)(e_{i}, …, e_{i})

= ∏_{i=1}^{n} P_{α}(α Tr(e_{i})) = P_{α}(α)^{n} ≠ 0.

Ainsi, dim(α Tr) ≥ αn. En outre, d’après la proposition 3.1, on a dim Tr ≤ n. D’après le lemme 2.8, on a dim(α Tr) ≤ α dim Tr, d’où le résultat.

4. Construction de représentations sur un corps

Nous supposons ici que K est un corps commutatif et R une K-algèbre.

Lemme 4.1. Soit f un pseudo-caractère de R dans K. Alors, R/ ker f̂ est une algèbre semi-simple. En outre, les centres des facteurs simples de cette algèbre sont des extensions séparables de K.

Preuve. Quitte à remplacer R par R/ ker f̂, on peut supposer ker f̂ = 0. Alors, d’après le lemme 2.13, tout élément de R est annulé par un polynôme de degré dim f sur K.

Soit V un R-module irréductible et D = End_{R}(V) : c’est un corps de centre contenant K, d’après le lemme de Schur [Bki2, Chapitre VIII, §4, proposition 2]. L’image de R dans End_{K}(V) est un sous-anneau dense S de End_{D}(V), d’après le théorème de densité de Jacobson [ibid., théorème 1]. Si V est de dimension infinie sur D, alors pour tout entier n > 0, il existe un morphisme surjectif d’un sous-anneau de S dans M_{n}(D^{∘}) (D^{∘} est le corps opposé à D) [ibid., exercice 9]. Or, tout élément de R, donc de S, est annulé par un polynôme de degré dim f sur K: ainsi, tout élément de M_{n}(D^{∘}) est annulé par un polynôme de degré dim f sur K; c’est impossible pour n > dim f. Ainsi, V est de dimension finie sur D.

Soient k un entier, V_{1}, …, V_{k} des R-modules irréductibles deux à deux non isomorphes et V = V_{1} ⊕ ⋯ ⊕ V_{k}. Alors, d’après le théorème de densité [ibid., corollaire 1], l’image de R dans End_{K}(V) est égale à ∏_{i=1}^{k} End_{D_{i}}(V_{i}) où D_{i} = End_{R}(V_{i}). Ainsi, R a un quotient isomorphe à ∏_{i=1}^{k} M_{n_{i}}(D_{i}^{∘}) où n_{i} = dim_{D_{i}}(V_{i}).

Notons que si S est une sous-algèbre de R et S′ un quotient de S, alors tout idempotent de S′ est l’image d’un idempotent de S: en effet, soit e ∈ S′ un idempotent et x ∈ S d’image e. Alors, la K-sous-algèbre de S engendrée par x est de dimension finie, puisque x est annulé par un polynôme non nul sur K. Il résulte alors de [Bki3, Chapitre III, §4, exercice 5] qu’il existe un idempotent de la sous-algèbre engendrée par x, d’image e.

Soient 1_{1}, …, 1_{k} les unités de End_{D_{1}}(V_{1}), …, End_{D_{k}}(V_{k}) : ce sont des idempotents non nuls deux à deux orthogonaux. Suivant [ibid.], il existe des idempotents deux à deux orthogonaux e_{1}, …, e_{k} de R tels que l’image de e_{i} dans End_{K}(V) est 1_{i}, pour tout i, 1 ≤ i ≤ k. D’après le lemme 2.14, on a donc k ≤ dim f. Ainsi, R a au plus dim f classes d’isomorphisme de modules irréductibles.

Montrons que J(R) = 0. Soit x ∈ J(R). Soit P un polynôme de degré dim f tel que P (x) = 0. Soit r ≥ 0, a ∈ K et Q un polynôme tels que P = aX^{r}(1 + XQ). Puisque x ∈ J(R), 1 + xQ(x) est inversible à droite. Or, P (x) = ax^{r}(1 + xQ(x)) = 0, donc x^{r} = 0 et r > 0. Ainsi, x est nilpotent d’ordre r ≤ dim f. Par conséquent, l’idéal J(R) est nilpotent. Ainsi, d’après le lemme 2.6, on a J(R) = 0, puisque f est un pseudo-caractère fidèle. L’algèbre R, n’ayant qu’un nombre fini de classes d’isomorphisme de modules irréductibles, lesquels sont de dimension finie, et ayant un radical nul, est donc un produit fini d’algèbres simples : ceci prouve la première partie du lemme.

Soit S une sous-algèbre simple de R qui est facteur direct. La restriction f′ de f à S est un pseudo-caractère fidèle de R. D’après 2.11, l’application f′ ⊗ 1_{Z(S)} : S ⊗_{K} Z(S) → Z(S) est un pseudo-caractère fidèle de S ⊗_{K} Z(S). D’après la première partie du lemme, l’algèbre S ⊗_{K} Z(S) est donc semi-simple : par conséquent, Z(S) est une extension séparable de K.

Nous dirons qu’un pseudo-caractère f de R dans K est absolument irréductible si pour toute extension L de K, le pseudo-caractère f ⊗ 1_{L} de R ⊗_{K} L dans L est irréductible.

Théorème 4.2. Soit f un pseudo-caractère absolument irréductible de dimension n de R dans K. Alors, R/ ker f̂ est une algèbre centrale simple sur K, de dimension n^{2} et f est la trace réduite de la représentation absolument irréductible R → R/ ker f̂.

Preuve. On peut supposer que f est fidèle et donc, d’après le lemme 4.1, on peut supposer que R est isomorphe à un produit d’algèbres simples sur K dont les centres sont des extensions séparables de K. Soit K_{s} une clôture séparable de K. Alors, R ⊗_{K} K_{s} est isomorphe à un produit d’algèbres de matrices sur K_{s} [Bki2, Chapitre VIII, §10, corollaire 3]. En outre, d’après 2.11, l’extension f′ de f à R ⊗_{K} K_{s} est encore un pseudo-caractère fidèle et irréductible car f est absolument irréductible. Si R ⊗_{K} K_{s} est isomorphe à une algèbre de matrices de dimension n^{2} sur K_{s} et f′ est la trace correspondante, alors R est isomorphe à une algèbre centrale simple de dimension n^{2} sur K et f est la trace réduite correspondante. Ainsi, il suffit de démontrer le théorème lorsque R est isomorphe à un produit d’algèbres de matrices sur K. La proposition résulte alors du lemme 4.3 qui suit.

Lemme 4.3. Soient n_{1}, …, n_{s} des entiers positifs et R = ∏_{i=1}^{s} R_{i} où R_{i} ≃ M_{n_{i}}(K) pour 1 ≤ i ≤ s. Soit f un pseudo-caractère de R. Alors, il existe des entiers positifs α_{1}, …, α_{s}, avec α_{i} ≤ p − 1 pour 1 ≤ i ≤ s, si K est de caractéristique p strictement positive, tels que f = ∑ α_{i} Tr_{i}, où Tr_{i} est le caractère de la projection R → R_{i}. On a alors dim f = ∑ α_{i}n_{i}.

Preuve. Soit e_{i} un idempotent primitif de R_{i} pour 1 ≤ i ≤ s. Puisque f est une fonction centrale, on a f = ∑ f(e_{i}) Tr_{i}. On a S_{k+1}(f)(e_{i}, …, e_{i}) = P_{k+1}(f(e_{i})) = 0. Ainsi, d’après le corollaire 3.2, on a f(e_{i}) ∈ {0, …, 1_{K} · dim f}.

Soit p la caractéristique de K. Soient {α_{i}}_{1≤i≤s} les entiers tels que pour tout i, f(e_{i}) = 1_{K} · α_{i} et 0 ≤ α_{i} ≤ p − 1 si p > 0. D’après le lemme 2.8, on a dim f = ∑ dim(α_{i} Tr_{i}). D’après le corollaire 3.3, on a en outre dim(α_{i} Tr_{i}) = α_{i}n_{i}, d’où le résultat.

Corollaire 4.4. Supposons que toute algèbre centrale simple sur K est isomorphe à une algèbre de matrices (par exemple, K algébriquement clos). Soit f un pseudocaractère absolument irréductible de dimension n de R dans K. Alors, R/ ker f̂ est isomorphe à une algèbre de matrices de dimension n^{2} sur K et f est le caractère de la représentation absolument irréductible R → R/ ker f̂.

Dans le cas où K est un corps algébriquement clos de caractéristique nulle, R. Taylor [Tay, théorème 1] a montré que tout pseudo-caractère est le caractère d’une représentation.

5. Pseudo-caractères sur un anneau

Nous supposons ici que A est un anneau commutatif.

Si Σ est une A-algèbre d’Azumaya et ρ, ρ′ deux représentations de R dans Σ, on dit que ρ et ρ′ sont équivalentes si il existe un A-automorphisme τ de Σ tel que ρ′ = τρ. Notons que si A est semi-local (plus généralement si Pic(A) = 0), alors tout A-automorphisme de Σ est intérieur, c’est-à-dire, deux représentations équivalentes sont conjuguées [Kn-Oj, Chapitre IV, proposition 1.2].

Théorème 5.1. Soit f un pseudo-caractère de R tel que pour tout idéal maximal 𝔪 de A, si f_{𝔪} désigne le pseudo-caractère correspondant de R ⊗_{A} A/𝔪, alors f_{𝔪} est absolument irréductible et dim f_{𝔪} = dim f. Alors, R/ ker f̂ est une algèbre d’Azumaya de rang (dim f)^{2} sur A et f est la trace réduite de la représentation ρ_{f} : R → R/ ker f̂. En outre, si ρ est une représentation de R dans une algèbre d’Azumaya de rang (dim f)^{2} sur A, de trace réduite f, alors ρ est équivalente à ρ_{f}.

Preuve. On peut d’emblée supposer ker f̂ = 0. Soit n = dim f.

Soit 𝔪 un idéal maximal de A, B = A_{𝔪} et k le corps résiduel de B.

Soit B′ un hensélisé strict de B [Ray, Chapitre VIII, §2] : c’est un anneau local hensélien extension locale fidèlement plate de B, de corps résiduel k′ une clôture séparable de k. Soit 𝔪′ son idéal maximal. Soit R′ = R ⊗ B et f′ = f ⊗ id_{B} le pseudo-caractère de R′ étendant f. On a, d’après le lemme 2.9, dim f′ = dim f et dim f̄′ = dim f̄ où f̄ et f̄′ désignent les pseudo-caractères de R̄ = R ⊗ k et R ⊗ k′ déduites de f. D’après le théorème 4.2, puisque f̄ = f_{𝔪} est absolument irréductible, la k-algèbre R̄/ ker ˆ \overline{f} est centrale simple de dimension

n^{2}, donc (R̄/ ker ˆ \overline{f})⊗_{k}k′ est une algèbre de matrices de dimension n^{2} sur k′ [Bki2,

Chapitre VIII, §10, corollaire 3]. D’après la proposition 2.11, on a R̄′/ ker ˆ f̄′ ≃

(R̄/ ker ˆ \overline{f}) ⊗_{k} k′.

Soient e_{1}, …, e_{n} des idempotents de R′ deux à deux orthogonaux d’images dans R̄′/ ker ˆ f̄′ des idempotents non nuls deux à deux orthogonaux. On a alors 1 = e_{1}+⋯+e_{n}. En effet, sinon e_{1}, …, e_{n}, 1−(e_{1}+…+e_{n}) sont n+1 idempotents deux à deux orthogonaux non nuls de R′, ce qui est impossible d’après le lemme 2.14.

Suivant [Bki3, Chapitre III, §4, exercice 5], il existe des éléments e_{ij}, 1 ≤ i, j ≤ n de R′ tels que e_{ij}e_{hk} = δ_{jh}e_{ik} et e_{ii} = e_{i}. Soit S la sous-algèbre de R′ engendrée par les e_{ij}. Si n = 1, on a x = f′(x)1_{R′}, pour tout x ∈ R′, d’après le lemme 2.13, c’est-à-dire, R′ = S. Sinon, pour i ≠ j, on a e_{ij}^{2} = 0 d’où f′(e_{ij}) est nilpotent (lemme 2.6). Soit ℑ l’idéal de A engendré par les f′(e_{ij}) pour i ≠ j. C’est un idéal nilpotent, puisque engendré par un nombre fini d’éléments nilpotents. Soient x ∈ R′, i_{1}, …, i_{n} tels que {i_{1}, …, i_{n}} = {1, …, n} et x_{1} = e_{i_{1}i_{2}}, …, x_{n−1} = e_{i_{n−1}i_{n}}, x_{n} = xe_{i_{1}}. D’après le lemme 2.12, on a

∑_{j=2}^{n−1} e_{i_{j}i_{n}}xe_{i_{1}i_{j}} + xe_{i_{1}i_{n}} + ∑_{j=1}^{n−1}(−1)^{j}f′(xe_{i_{1}i_{j}})e_{i_{j}i_{n}} ∈ ℑR′

d’où, en multipliant à droite par e_{i_{n}i_{1}},

xe_{i_{1}} + ∑_{j=1}^{n−1}(−1)^{j}f′(xe_{i_{1}i_{j}})e_{i_{j}i_{1}} ∈ ℑR′.

Par conséquent, xe_{i_{1}} ∈ S + ℑR′. Alors, x ∈ S + ℑR′. On a ainsi R′ = S + ℑR′. Comme ℑ est nilpotent, on a finalement R′ = S, c’est-à-dire, R′ est une algèbre de matrices de dimension n^{2} sur B′. Par conséquent, R ⊗ A_{𝔪} est une A_{𝔪}-algèbre d’Azumaya, puisque elle devient isomorphe à une algèbre de matrices après extension fidèlement plate des scalaires [Kn-Oj, Chapitre III, théorème 6.6].

On a ainsi montré que pour tout idéal maximal 𝔪 de A, la A_{𝔪}-algèbre R⊗A_{𝔪} est une algèbre d’Azumaya de rang n^{2}. Par conséquent, R est une algèbre d’Azumaya de rang n^{2} sur A.

Pour la dernière partie du théorème, on peut supposer que R est une A-algèbre d’Azumaya de rang n^{2} et que f est un pseudo-caractère fidèle de R. Alors, ρ : R → Σ, où Σ est une A-algèbre d’Azumaya de rang n^{2} est injectif, puisque Trd(ρ) = f est fidèle. Le théorème est alors prouvé, car tout A-monorphisme φ entre deux A-algèbres d’Azumaya Σ_{1} et Σ_{2} de même rang est un isomorphisme.

En effet, il résulte de [Kn-Oj, Chapitre III, corollaire 5.3] que l’application φ(Σ_{1}) ⊗ (Σ_{2})^{φ(Σ_{1})} → Σ_{2}, a ⊗ b ↦ ab est un isomorphisme. Or, (Σ_{2})^{φ(Σ_{1})} = Z(Σ_{2}) = A, d’où φ(Σ_{1}) = Σ_{2}, i.e., φ est un isomorphisme.

Un cas particulier du théorème précédent est le résultat suivant, qui répond à une question de J.-P. Serre et est dû (sous une forme non constructive) à L. Nyssen [Ny] :

Corollaire 5.2. Supposons A hensélien local de corps résiduel k et soit f un pseudo-caractère de R tel que le pseudo-caractère résiduel f̄ de R ⊗ k est le caractère d’une représentation absolument irréductible ρ̄ de R ⊗ k dans une algèbre de matrices sur k. Alors, l’algèbre R/ ker f̂ est isomorphe à une algèbre de matrices sur A et la représentation R → R/ ker f̂ est de caractère f et relève la représentation ρ̄.

On retrouve alors les résultats suivants [Se, théorèmes 1 et 4] :

Soit ρ une représentation absolument irréductible (i.e. surjective) de R dans une A-algèbre d’Azumaya Σ de rang n^{2}.

Corollaire 5.3. Soit ρ′ une représentation de R dans une algèbre d’Azumaya Σ′ de rang n^{2}. Si ρ et ρ′ ont même trace réduite, alors il existe un isomorphisme de Σ sur Σ′ qui envoie ρ sur ρ′.

Corollaire 5.4. Soit A′ un sous-anneau de A tel que tout idéal maximal de A′ est de la forme 𝔪 ∩ A′ où 𝔪 est un idéal maximal de A. Soit R′ une A′-sous-algèbre de R telle que R = AR′. Si Trd(ρ)(x) ∈ A′ pour tout x ∈ R′, alors la restriction de ρ à R′ est une représentation absolument irréductible de R′ dans une A′-algèbre d’Azumaya Σ′ de rang n^{2}, telle que Σ′ ⊗_{A′} A ≃ Σ.

6. Déformations

Nous prouvons ici l’existence de déformations universelles de pseudo-caractères absolument irréductibles. On en déduit l’existence de déformations universelles de représentations absolument irréductibles.

Lorsque k est un corps fini et R l’algèbre de groupe d’un groupe profini — avec une condition de finitude Φ_{p} —, B. Mazur a prouvé, à l’aide du critère de (pro-)représentabilité de Schlessinger [Sch, theorem 2.11], l’existence de telles déformations, dans la catégorie des anneaux locaux nœthériens complets de corps résiduel k [Ma, proposition 1]. En outre, il est prouvé l’existence de déformations formelles pour des représentations non absolument irréductibles.

Soit n un entier. Soit T_{n} la A-algèbre A[X_{r}|r ∈ R]/I où I est l’idéal engendré par X_{r} + X_{s} − X_{r+s}, X_{a}X_{r} − X_{ar}, pour r, s ∈ R et a ∈ A et par

∑_{σ∈𝔖_{n+1}} ε(σ)X_{a_{1_{1}}···a_{1n_{1}}} ⋯ X_{a_{r_{1}}···a_{rn_{r}}}

pour a_{1}, …, a_{n+1} ∈ R et où σ = (1_{1}, ⋯, 1_{n_{1}}) ⋯ (r_{1}, ⋯, r_{n_{r}}) est décomposé en produit de cycles disjoints.

On note Y_{n} = Spec T_{n}. La surjection canonique T_{n+1} → T_{n} (cf proposition 2.3) induit un plongement Y_{n} → Y_{n+1}.

Supposons A local de corps résiduel k. La donnée d’un pseudo-caractère de R ⊗ k dans k de dimension au plus n correspond bijectivement à la donnée d’un point k-rationnel de Y_{n}.

Soit f̃ un pseudo-caractère absolument irréductible de dimension n de R ⊗ k dans k et x le point k-rationnel de Y_{n} associé. Soit Af̃ = O_{Y_{n},x} l’anneau local en x et f le pseudo-caractère R ⊗ Af̃ → Af̃ associé. Notons que le pseudo-caractère résiduel f̄: R ⊗ k → k donné par f est égal à f̃.

On a alors :

Proposition 6.1. La déformation f : R ⊗ Af̃ → Af̃ de f̃ est universelle, i.e., pour toute A-algèbre locale B de corps résiduel k, pour tout pseudo-caractère g de dimension n de R ⊗ B dans B telle que ḡ = f̃, il existe un unique morphisme local i : Af̃ → B de A-algèbres tel que g est obtenu à partir de f en étendant les scalaires à travers i.

Soit ρ̃ une représentation absolument irréductible de R dans une A-algèbre centrale simple, de trace réduite f̃. On note ρ la représentation de R ⊗Af̃ donnée par la surjection canonique R ⊗ Af̃ → R ⊗ Af̃/ ker f̂.

Suivant Mazur, on dit que deux représentations ρ_{1} et ρ_{2} dans une algèbre d’Azumaya Σ sur un anneau local de corps résiduel F sont strictement équivalentes si il existe un automorphisme τ de Σ tel que ρ_{2} = τρ_{1} et τ induit l’identité sur l’algèbre Σ ⊗ F.

Corollaire 6.2. La représentation ρ est une déformation universelle de ρ̃, i.e., pour toute A-algèbre locale B de corps résiduel k, pour toute représentation ρ′ de R ⊗ B dans une B-algèbre d’Azumaya de rang n^{2} telle que ρ̄′ = ρ̃, il existe un unique morphisme local i : Af̃ → B de A-algèbres tel que ρ′ est strictement équivalente à la représentation de R ⊗ B obtenue à partir de ρ en étendant les scalaires à travers i.

Supposons A nœthérien et soit Âf̃ la complétion de Af̃. Alors, la représentation ρ̂ de R⊗Âf̃ est une représentation dans une algèbre de matrices de rang n^{2} sur Âf̃ et ¯ ρ̂ = ρ̃. Ainsi, la représentation ρ̂ est une déformation universelle de ρ̃ dans la catégorie des A-algèbres locales nœthériennes complètes de corps résiduel k. Par conséquent, dans la situation étudiée par Mazur (cf ci-dessus), la représentation ρ̂ est canoniquement isomorphe à la déformation universelle de Mazur (car une telle déformation universelle est unique à isomorphisme canonique près, cf [Ma, proposition 1]).

Bibliographie

[Bki1] N. Bourbaki, “Algèbre”, Chapitres I à III, Hermann 1970.

[Bki2] N. Bourbaki, “Algèbre”, Chapitre VIII, Hermann 1958.

[Bki3] N. Bourbaki, “Algèbre commutative”, Chapitres I à IV, Masson 1985.

[Ca] H. Carayol, Formes modulaires et représentations galoisiennes à valeurs dans un anneau local complet, Contemporary mathematics 165, Amer. Math. Soc., 213-237 (1994).

[Fr] G. Frobenius, Über die Primfactoren der Gruppendeterminante, Sitz. Preuss. Akad. Berlin (1896), 1343-1382 (Ges. Abh. III, 38-77).

[Kn-Oj] M.-A. Knus et M. Ojanguren, “Théorie de la descente et algèbres d’Azumaya”, Lecture

Notes 389, Springer Verlag 1974.

[Lo] J.-L. Loday, “Cyclic homology”, Springer Verlag 1992.

[Ma] B. Mazur, Deforming Galois representations, in “Galois groups over Q”, MSRI publications 16, Springer Verlag 1989.

[Ny] L. Nyssen, Pseudo-représentations, preprint (1994).

[Ray] M. Raynaud, “Anneaux locaux henséliens”, Lecture Notes 169, Springer Verlag 1970.

[Sch] M. Schlessinger, Functors on Artin rings, Trans. AMS 130 (1968), 208-222.

[Se] J.-P. Serre, Représentations linéaires sur des anneaux locaux, d’après Carayol, Séminaire Chevalley, 8 Octobre 1993.

[Tay] R. Taylor, Galois representations associated to Siegel modular forms of low weight, Duke Math. J. 63 (1991), 281-332.

[Wi] A. Wiles, On ordinary λ-adic representations associated to modular forms, Inv. Math. 94 (1988), 529-573.