UNIVERSITÉ PARIS 13

Rapport pour obtenir le diplôme d’

HABILITATION à diriger les recherches

Spécialité: Mathématiques

présenté par Pha.m Anh Minh

Sujet: La cohomologie mod-ppp des ppp-groupes

Rapporteurs:

M. David John BENSON M. Hans-Werner HENN

Habilitation soutenue le 26 Mai 2004 devant le jury composé de:

M. Pierre CARTIER M. Hans-Werner HENN M. Jean LANNES M. Robert OLIVER M. Stewart PRIDDY M. Lionel SCHWARTZ LA COHOMOLOGIE modulo ppp DES ppp-GROUPES

Introduction

Le présent rapport donne un résumé de nos travaux, depuis 1996, sur l’étude de la cohomologie modulo p H^{∗}(G) d’un p-groupe G. Nous allons présenter des énoncés de nos résultats principaux. Pour leurs démonstrations, nous renvoyons aux articles originaux.

Le rapport se divise en cinq chapitres dont chacun est terminé par une liste de problèmes ouverts.

Le premier chapitre est consacré à l’étude de la cohomologie modulo p des pgroupes extraspéciaux G. Le premier résultat décrit la structure de la cohomologie du groupe M_{2} d’ordre p^{5} et d’exposant p^{2}, comme 𝔽_{p}-module avec p impair, et du groupe Γ défini comme produit central de M_{2} et le groupe cyclique d’ordre p^{2}. L’outil principal consiste à résoudre la suite spectrale de Lyndon-Hochschild-Serre associée à l’extension centrale représentant G. La suite spectrale, associée à une autre extension scindée représentant G, est aussi étudiée. On peut l’analyser complètement dans les cas, ou bien p = 2, ou bien p > 2 et G = 𝔼, le p-groupe extraspécial d’ordre p^{3} et d’exposant p.

Dans un travail en commun avec David Green, nous étudions le sous-anneau de la cohomologie des p-groupes extraspéciaux G engendré par les classes de Chern et les images des transferts des sous-groupes de G. Dans ce but, on peut donc considérer la cohomologie entière de G. Nous obtenons les formules reliant les classes de Chern de G aux images des transferts, ainsi que les puissances p-ièmes de ces classes. Il s’ensuit que la \overline{Ch(G)}-conjecture, disant que, modulo nilradical, H^{∗}(G) s’identifie à cet sous-anneau, est en général incorrecte.

Nos résultats sur les singularités propres de G donnent la liste des groupes extraspéciaux possédant de telles singularités. Ceci implique que presque tous les p-groupes extraspéciaux sont des groupes de Swan. Ce résultat a été obtenu en collaboration avec David Green.

La dernière partie de ce chapitre montre que, pour p > 2, le seul p-groupe extraspécial, dont la cohomologie essentielle est non nulle, est celui d’ordre 27 et d’exposant 3. On en déduit qu’il existe un seul groupe dont l’anneau de cohomologie est Cohen-Macaulay et obtient des renseignements sur la profondeur de ces anneaux, en général.

Le deuxième chapitre traite une conjecture de Kahn ([25]) sur les classes de Stiefel-Whitney des représentations régulières des 2-groupes G. D’après [25], la conjecture est vraie pour les 2-groupes de classe de nilpotence ≤ 2. On se ramène au cas où G est d-maximal. Il est donc intéressant d’étudier la classe de nilpotence de ce dernier groupe. Pour tout entier n, nous démontrons qu’il existe un tel groupe engendré par n éléments et de classe de nilpotence ≥ 3. Il s’ensuit, de l’étude de ces groupes, que la conjecture est vraie si G est engendré par n éléments, avec n ≤ 5. Ainsi, l’étude de ces groupes nous ramène, dans un travail en commun avec Bruno Kahn, à une description de la cohomologie H^{2}(G) en termes de l’algèbre de Lie mixte associée à la série p-descendante de G.

Le troisième chapitre s’occupe de l’étude de certaines propriétés de la cohomologie modulo p du p-groupe G. Nous obtenons d’abord une preuve courte, et simple du fait qu’un homomorphisme de p-groupes est bijectif si et seulement s’il en soit de même pour les homomorphismes induits sur la cohomologie de degré ≤ 2. La norme d’Evens est ensuite utilisée pour la description du noyau de l’homomorphisme de restriction. Comme la norme d’Evens est une sorte de transfert (multiplicatif), il peut résulter que la composition de la norme N_{K→G} avec la restriction Res_{K}^{G} est l’application d’élévation à la puissance [G : K]. Mais, en général, ce n’est pas correct. En reliant cette norme à la puissance de Steenrod, on en déduit de nouveaux résultats: la description du noyau ker Res_{K}^{G} où K est une intersection finie des noyaux des éléments de H^{1}(G), l’additivité de N_{K→G} ∘ Res_{K}^{G}, l’idéal des éléments de degrés positifs de H^{∗}(G) et les images des normes des sous-groupes …. On obtient à partir de ces résultats le fait que la puissance p-ième de toutes les classes de cohomologie essentielles de G est triviale, pourvu que G ne soit pas abélien élémentaire. Ceci peut être considéré en direction d’une conjecture de Mùi ([60]), d’après laquelle la cohomologie essentielle d’un tel G est de degré de nilpotence ≤ 2.

On arrive ensuite à l’étude du degré de nilpotence de l’anneau H^{∗}(G). D’après [2, 23], ce degré est arbitrairement grand pour p = 2. Cependant, pour p impair, on ne sait rien sur l’existence d’une classe de cohomologie de groupe ayant pour degré de nilpotence > p. Nous démontrons que ce groupe peut être obtenu comme quotient du sous-groupe de Sylow du groupe symétrique 𝔖_{p^{2}}. On obtient donc, pour p impair, l’existence des classes de cohomologie d’un groupe qui ont pour degré de nilpotence arbitrairement grand.

La longueur de cohomologie de G est considérée dans la dernière partie de ce chapitre. On obtient d’abord une borne supérieure de cette longueur, en terme du cardinal d’un système minimal de générateurs de G. Ensuite, on démontre une inégalité reliant la longueur de cohomologie des 2-groupes extraspéciaux aux ordres de ces groupes. Ceci contredit une conjecture de Yalçın.

Le quatrième chapitre traite un travail en commun avec Peter Symonds, qui a pour but de considérer la cohomologie des pro-p-groupes G. On relie la propriété de type fini de H^{∗}(G)/\sqrt{0} (resp. de H^{∗}(G)) à la finitude des classes de conjugaison des sous-groupes abéliens élémentaires (resp. finis) de G. Enfin, on obtient des résultats concernant la cohomologie des pro-p-groupes ayant un sous-groupe (presque) puissamment (ou uniformément) plongé. Ces résultats généralisent ceux de [6, 75, 80].

Le problème de la première occurrence est étudié dans le dernier chapitre. Soit P = 𝔽_{p}[x_{1}, …, x_{n}] l’algèbre polynomiale sur 𝔽_{p} de n variables et soit 𝕄_{n} = 𝕄_{n}(𝔽_{p}) le semi-groupe des n×n-matrices avec coefficients dans 𝔽_{p}. Étant donné un 𝔽_{p}[𝕄_{n}]- module irréductible, on veut déterminer la première valeur du degré d (resp. d_{c}) pour laquelle ce module apparaît comme sous-module (resp. facteur de composition) de P_{d} (resp. P_{d_{c}}), le sous-ensemble de P constitué des polynômes homogènes de degré d (resp. d_{c}). Ce problème vient de la topologie, car il est relié à la cohomologie de certains espaces, considérée comme module sur l’algèbre de Steenrod. Notre premier résultat, dans un travail commun avec T.T.Trí, donne la solution entière du problème de la première occurrence comme sous-modules. Enfin, pour p > 2, dans un travail en commun avec Grant Walker, nous considérons une classe de 𝔽_{p}[𝕄_{n}]-modules irréductibles correspondant aux partitions appelées T-régulières, et nous donnons la solution du problème de la première occurrence de ces modules, comme facteur de composition.

Notation

Soit p un nombre premier donné et soit A(p) l’algèbre de Steenrod. Pour chaque entier n et pour p = 2 (resp. p > 2), on note Sq^{n} (resp. P^{n}) l’opérateur de Steenrod de degré n (resp. 2n(p − 1)). Pour tout groupe fini G, soient H^{∗}(G) la cohomologie modulo p de G, et β l’homomorphisme de Bockstein (donc β : H^{∗}(G) → H^{∗+1}(G)). Si K est un sous-groupe (resp. sous-groupe normal) de G, l’homomorphisme de restriction (resp. d’inflation) induit par l’injection (resp. la projection) i : K → G (resp. pr : G → G/K) sera noté Res_{K}^{G} (resp. Inf_{G}^{G/K}); ainsi, tr_{G}^{K} (resp. N_{K→G}) désigne le transfert (resp. la norme d’Evens) de H^{∗}(K) à H^{∗}(G). Étant donnés les éléments x, y, … et un sous-ensemble S de l’anneau R, l’idéal de R engendré par x, y, … et S sera noté (S, x, y, …)_{R} (l’indice R peut être supprimé, s’il n’y a pas de confusion). On désigne par Λ[a, b, …] (resp. 𝔽_{p}[c, d, …]) l’algèbre extérieure (resp. polynomiale) sur 𝔽_{p} ayant pour variables a, b, … (resp. c, d, …) (donc a, b, … sont de degrés impairs pour p > 2).

1. Cohomologie des p-groupes extraspéciaux G

1.1 La suite spectrale de Lyndon-Hochschild-Serre d’une extension de groupes représentant G. L’étude de la cohomologie des p-groupes extraspéciaux G est motivée par le rôle que jouent ces groupes dans la cohomologie et la représentation des groupes finis. En général, la détermination de la cohomologie d’un groupe fini est un travail compliqué et difficile. Il est bien connu que tous p-groupes non abéliens élémentaires sont extensions d’un p-groupe extraspécial. Plusieurs travaux ont été effectués dans le but de déterminer la cohomologie de ces derniers groupes. Pour p = 2, la cohomologie modulo 2 de ces groupes est complètement déterminée par Quillen ([65]). Pour p > 2 et |G| = p^{3}, la cohomologie de G est aussi déterminée dans [31, 33, 53]. Cependant, dans les autres cas, on obtient seulement quelques résultats partiels, notamment la détermination du spectre de l’anneau H^{∗}(G) ([76]), la cohomologie modulo p (comme 𝔽_{p}-module) des p-groupes d’ordre p^{5} et d’exposant p ([77]), l’image de l’application de restriction de G aux sous-groupes abéliens élémentaires maximaux ([35]).

Soit p > 2 et soit M_{2} le p-groupe extraspécial d’ordre p^{5} et d’exposant p^{2}. Pour p = 3, la cohomologie H^{∗}(M_{2}), comme 𝔽_{3}-module, est décrite dans [36]. Nous nous intéressons au cas p ≥ 3. Soit Γ le produit central de M_{2} avec le groupe cyclique d’ordre p^{2}. Le groupe Γ est donné par une extension centrale

0 → ℤ/p →^{ι} Γ → E = (ℤ/p)^{5} → 0.

Fixons une base de E et soit x, x_{1}, …, x_{4} la base de H^{1}(E) = Hom(E, ℤ/p), duale à celle de E. Posons y = βx, y_{i} = βx_{i}, 1 ≤ i ≤ 4. La base de E peut être choisie telle que z = y + x_{1}x_{2} + x_{3}x_{4} soit la classe de cohomologie de H^{2}(E) classifiant l’extension ci-dessus. Soit u un générateur de H^{1}(ιℤ/p) et soit v = βu ∈ H^{2}(ιℤ/p).

Pour chaque pair (i, j) avec 1 ≤ i, j ≤ 4, posons Q^{i,j} = \frac{y_{i}^{p^{2}}y_{j} − y_{i}y_{j}^{p^{2}}}{y_{i}^{p}y_{j} − y_{i}y_{j}^{p}}.

Le théorème suivant décrit la cohomologie de Γ. La démonstration est basée sur une analyse précise des termes et des dérivations de la suite spectrale {E_{r}, d_{r}} associée à cette extension.

Théorème ([37]). Comme 𝔽_{p}-modules,

H^{∗}(Γ) = E_{2(p^{2}−1)} = = H_{2} ⊗ 𝔽_{p}[v^{p^{2}}]

⊕ (𝔽_{p}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} ⊕ 𝔽_{p}xx_{1}x_{2}x_{3}x_{4}) ⊗ 𝔽_{p}[v^{p^{2}}]v^{p(p−1)}

⊕ (y)_{H_{1}} ⊗ ∑_{i=1}^{p−2} 𝔽_{p}[v^{p^{2}}]v^{pi}

⊕ (𝔽_{p}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} ⊕ 𝔽_{p}xx_{1}x_{2}x_{3}x_{4}) ⊗ ∑_{i=1}^{p−3} 𝔽_{p}[v^{p}]v^{i}

⊕ (𝔽_{p}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} ⊕ 𝔽_{p}xx_{1}x_{2}x_{3}x_{4}) ⊗ ∑_{i=1}^{p−1} 𝔽_{p}[v^{p^{2}}]v^{ip−2}

avec

\begin{aligned}H_{1} & = H^{∗}(E)/(z, βz, P^{1}βz, βP^{1}βz), \\ H_{2} & = H_{1}/(P^{p}P^{1}βz, βP^{p}P^{1}βz, A), \\ A & = (y_{1}x_{2} − y_{2}x_{1})(Q^{1,2} − Q^{3,4}). \end{aligned}

Comme M_{2} = ker x, M_{2} est donné par l’extension centrale

0 → ℤ/p → M_{2} → (ℤ/p)^{4} → 0.

Soit {E′_{r}, d′_{r}} la suite spectrale associée à cette extension. Le résultat suivant se déduit du théorème précédent.

Théorème ([37]). Comme 𝔽_{p}-modules,

H^{∗}(M_{2}) = E′_{2p(p−1)+2} = H/(z′, βz′, P^{1}βz′, βP^{1}βz′, z_{1}, z_{2}) ⊗ 𝔽_{p}[v^{p^{2}}]

⊕ (P^{1}βz′, x_{1}x_{3}, x_{1}x_{4}, x_{1}y_{3}, x_{1}y_{4})_{H′} ⊗ 𝔽_{p}[v^{p^{2}}]v^{p(p−1)}

⊕ (x_{1}, y_{1})_{H′′} ⊗ ∑_{i=1}^{p−2} 𝔽_{p}[v^{p^{2}}]v^{pi}

⊕ (𝔽_{p}x_{1}x_{3}x_{4} ⊕ 𝔽_{p}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}) ⊗ ∑_{i=1}^{p−2} 𝔽_{p}[v^{p}]v^{i},

avec

\begin{aligned}H & = Λ[x_{1}, …, x_{4}] ⊗ 𝔽_{p}[y_{1}, …, y_{4}], \\ z′ & = y_{1} + x_{1}x_{2} + x_{3}x_{4}, \\ H′ & = H/(z′, βz′, βP^{1}βz′, x_{1}P^{1}βz′), \\ H′′ & = H/(z′, βz′, P^{1}βz′, βP^{1}βz′), \\ z_{1} & = y_{1}y_{2}^{p^{2}−3p+2}(y_{2}^{p−1} − y_{3}^{p−1})(y_{2}^{p−1} − y_{4}^{p−1}), \\ z_{2} & = (y_{3}x_{4} − y_{4}x_{3})y_{2}^{p^{2}−3p+2}(y_{2}^{p−1} − y_{3}^{p−1})(y_{2}^{p−1} − y_{4}^{p−1}). \end{aligned}

On remarque que la suite spectrale associée à l’extension centrale converge au terme assez grand qui dépend de l’ordre de G. Dans ces cas, on est amené à effectuer une grande quantité de calculs pour déterminer les dérivations de la suite spectrale. Si l’extension n’est pas centrale, mais scindée, la suite converge plus vite. En revanche, les termes E_{2} semblent plus compliqués danc ce cas (cf. [73]).

On s’intéresse donc à l’extension scindée non-centrale représentant G. Soit A un sous-groupe maximal de G. Nous avons donc l’extension scindée

1 → A → G → G/A → 1.

Dans [73], Siegel a traité la suite spectrale de Lyndon-Hochschild-Serre correspondant à cette extension. Il a montré que, pour p > 2 et G ≅ 𝔼, le p-groupe extraspécial d’ordre p^{3} et d’exposant p, la suite spectrale converge à E_{2} pour p = 3, et à E_{3} pour p > 3.

Pour p = 2, on peut résoudre complètement cette suite spectrale.

Théorème ([42]). E_{2} = E_{∞} pour p = 2.

Nous obtenons donc une preuve alternative du théorème de Quillen ([65]). Quand p > 2 et G ≅ 𝔼, en utilisant les résultats sur l’image de Res_{A}^{G} ([35]) et du fait que les dérivations d_{r} commutent aux automorphismes de G, la suite spectrale est résolue. Ceci donne une réponse affirmative à une question posée par Siegel dans [73, Remark 6.2].

1.2 Transferts et les classes de Chern. Les constructions standard comme le transfert (ou la corestriction) des sous-groupes, et les classes de Chern des représentations des groupes nous fournissent une grande quantité de classes de cohomologie. D’après [20], pour tout p-groupe, les classes obtenues par ces deux constructions engendrent un sous-anneau ayant le même spectre que l’anneau de cohomologie. Nous nous intéressons au cas d’un p-groupe extraspécial P = P_{n} d’ordre p^{2n+1} et d’exposant p, avec p impair. Fixons un caractère linéaire nontrivial χ du centre Z de P. Nous en déduisons un caractère irréductible χ̂ de P donné par la formule

χ̂(g) = \{ \begin{matrix}p^{n}χ(g) & , si g ∈ Z, \\ 0 & , sinon. \end{matrix}

Soit ρ la représentation de P ayant pour caractère χ̂. Posons

\begin{aligned}ζ_{n} & = c_{p^{n}}(ρ) ∈ H^{2p^{n}}(P, ℤ), \\ κ_{n,r} & = (−1)^{n−r}c_{p^{n}−p^{r}}(ρ) ∈ H^{2(p^{n}−p^{r})}(P, ℤ), 0 ≤ r ≤ n − 1, \end{aligned}

et E = E_{n} = P/Z. E est donc un espace vectoriel de dimension 2n sur 𝔽_{p} et il y a une bijection naturelle entre l’ensemble des sous-groupes maximaux de P et l’espace projectif ℙE^{∗}. Pour n ≥ 1, pour 0 ≤ r ≤ n − 1 et pour ϕ ∈ 𝔼^{∗}, on définit la classe χ_{r,ϕ} dans H^{2(p^{n}−p^{r})}(P, ℤ) comme suit. Soit H = ker ϕ et choisissons un sous-groupe B ≠ Z de rang 1 du centre de H. Le choix d’un tel B induit un épimorphisme scindé H → H/B ≅ P_{n−1}. Posons

χ_{r,ϕ} = tr_{P_{n}}^{H}Inf_{H}^{P_{n−1}}(κ_{n−1,r}ζ_{n−1}^{p−1}).

Soit M_{0} un sous-groupe abélien élémentaire maximal de P, et désignons par J_{0} le quotient P/M_{0}. Alors J_{0}^{∗} = Ann_{E^{∗}}(M_{0}). Considérons J_{0}^{∗} comme un sous-espace de H^{2}(E, ℤ) et soit Q_{n,r} = Q_{n,r}(J_{0}^{∗}) l’invariant de Dickson de degré 2(p^{n} − p^{r}) dans H^{∗}(J_{0}^{∗}, ℤ), 0 ≤ r ≤ n − 1. Modulo \sqrt{0}, les classes de Chern peuvent être exprimées en termes des transferts et des éléments de Im Inf_{P}^{E}. Plus précisément, on a le théorème suivant.

Théorème ([21]). Pour tout 0 ≤ r ≤ n − 1, la classe ν_{r,M_{0}} de degré 2(p^{n} − p^{r}) dans H^{∗}(P, ℤ), définie par

ν_{r,M_{0}} = κ_{n,r} − Inf_{P}^{E}Q_{n,r}(J_{0}^{∗}) + ∑_{ϕ∈ℙJ_{0}^{∗}} χ_{r,ϕ},

est nilpotente. De plus, χ_{r,ϕ}^{p} appartient à Im(Inf_{P}^{E}) + \sqrt{0}.

Pour tout p-groupe G, définissons \overline{Ch}(G) (resp. _{p}\overline{Ch}(G)) par récurrence comme le sous-anneau de H^{∗}(G, ℤ) (resp. H^{∗}(G)) engendré par les classes de Chern de G, ainsi que par les images des transferts de \overline{Ch}(H) (resp. _{p}\overline{Ch}(H)), où H parcourt l’ensemble des sous-groupes propres de G. La \overline{Ch}-conjecture, établie dans [59], dit que \overline{Ch}(G)/\sqrt{0} = H^{∗}(G, ℤ)/\sqrt{0}. De façon analogue, la version modulo p de la conjecture dit que \overline{_{p}Ch}(G)/\sqrt{0} = H^{∗}(G)/\sqrt{0}. Donc, la conjecture, dans le cas où elle est valable, affirme que, modulo nilradical, la cohomologie (entière et modulo p) de G peut être décrite à l’aide des transferts et des classes de Chern.

Dans [21, Proposition 9.4], on montre que, pour p = 3, _{p}\overline{Ch}(𝔼)/\sqrt{0} est strictement contenu dans H^{∗}(𝔼)/\sqrt{0}. Ceci donne un contre-exemple, au moins pour p = 3, à la version modulo p de la \overline{Ch}-conjecture. Le cas général est traité dans le théorème suivant.

Théorème ([46]). Soit p un nombre premier impair et soit G le produit central C_{p^{2}} · M_{2}, où C_{p^{2}} est le groupe cyclique d’ordre p^{2}. Alors \overline{_{p}Ch}(G)/\sqrt{0} ⫋ H^{∗}(G)/\sqrt{0} et \overline{Ch}(G)/\sqrt{0} ⫋ H^{∗}(G, ℤ)/\sqrt{0}.

Il s’ensuit que, en général, la \overline{Ch}-conjecture n’est pas correcte. Donc les transferts et les classes de Chern classes ne sont pas suffisants pour constituer un ensemble de générateurs de la cohomologie (entière et modulo p) de G modulo nilradical.

1.3 Singularités propres (pour le foncteur H^{∗}) et la propriété de Swan. Soient S, X des sous-groupes d’un p-groupe G avec S ⫋ G, et soit α un élément de H^{∗}(S). D’après [68, 83], (S, α, X) est appelé singularité propre de G (pour le foncteur H^{∗}) si:

(a) Res_{X}^{G}tr_{G}^{S}α ≠ 0, et

(b) Res_{S∩Y^{u}}^{S}α = 0 pour tout sous-groupe propre Y de X et pour tout élément u ∈ G.

Soit G un p-groupe. L’anneau I(G) des classes universellement stables de G est défini dans [17] par

I(G) = ⋂_{Γ} Im Res_{G}^{Γ},

où Γ parcourt l’ensemble des groupes finis dont les p-sous-groupes de Sylow sont isomorphes à G.

Si le p-groupe G ne possède pas de singularité propre, alors I(G) a une forme particulièrement simple. En effet, d’après [68, Théorème 1], [83, Lemme 4.4] et [63, Théorème B], on a

(∗)  I(G) = H^{∗}(G)^{O^{p}(Out(G))}

si G n’a pas de singularité propre.

Nous nous intéressons aux cas des p-groupes presque extraspéciaux, c’est-à-dire, les p-groupes qui sont extensions d’un groupe abélien élémentaire par un groupe cyclique d’ordre p. Un tel groupe d’ordre 8 est soit abélien, soit isomorphe à D_{8}, le groupe dihédral d’ordre 8, ou Q_{8}, le groupe quaternion d’ordre 8. D’après [63], pour p = 2 et P ≅ D̸_{8} × (ℤ/2)^{n}, P n’a pas de singularité propre; en particulier, la formule (∗) devrait être vraie pour P. Par contre, le théorème suivant donne un résultat différent.

Théorème ([40]). Soit P un p-groupe presque extraspécial. Alors P n’a pas de singularité propre si et seulement si P est soit abélien, soit isomorphe à Q_{8}×(ℤ/2)^{n}.

Il y a donc une erreur dans [63]. La formule (∗) n’a donc pas été démontrée dans [63].

Notons que la formule (∗) est strictement liée à la propriété de Swan des pgroupes. D’après [32], un p-groupe G est appelé un groupe de Swan si, pour tout groupe fini Γ contenant G comme un p-sous-groupe de Sylow, H^{∗}(Γ) coïncide avec H^{∗}(N_{Γ}(G)) ≅ H^{∗}(G)^{N_{Γ}(G)}. En particulier, la formule (∗) est vraie pour les groupes de Swan. En fait, presque tous les p-groupes extraspéciaux sont des groupes de Swan.

Théorème ([22]). Tous p-groupes extraspéciaux, sauf D_{8} et 𝔼, sont des groupes de Swan. Si P = D_{8} ou P = 𝔼, l’ensemble des classes universellement stables de P est strictement contenu dans H^{∗}(P)^{O^{p}(Out(P))}.

Récemment, ce résultat est généralisé par Stancu ([74]) aux cas des p-groupes presque extraspéciaux: il démontre que tous p-groupes presque extraspéciaux, sauf D_{8} × A et 𝔼 × A (avec A un p-groupe abélien élémentaire), sont aussi des groupes de Swan.

1.4 Propriété de Cohen-Macaulay. Pour tout p-groupe G, une classe de cohomologie modulo p de G est appelée essentielle si ses restrictions à tous sousgroupes propres de G sont triviales. Soit Ess(G) l’idéal des éléments essentiels de H^{∗}(G). D’après [11], l’étude de Ess(G) fournit des informations intéressantes sur H^{∗}(G). Par exemple, Ess(G) ≠ {0} implique que la profondeur de H^{∗}(G) est le rang du centre de G ([10, 14]); de plus, si H^{∗}(G) est Cohen-Macaulay, [1] implique que Ess(G) ≠ {0} si et seulement si tous les éléments d’ordre p de G sont centraux.

Nous nous intéressons au cas où G est extraspécial. Pour p = 2, il est démontré par Quillen ([65]) que H^{∗}(G) est Cohen-Macaulay et Ess(G) = {0}, sauf pour G = Q_{8}, le groupe quaternion d’ordre 8. La non-nullité de Ess(Q_{8}) se déduit aussi du résultat d’Adem-Karagueuzian ([1]), car Q_{8} était le seul 2-groupe extraspécial d’ordre 8 dont les éléments d’ordre 2 sont centraux. Cependant, la situation est totalement différente pour p > 2. Considérons d’abord le cas |G| = p^{3}; il s’ensuit de [31, 33, 53] que Ess(G) ≠ {0} (donc H^{∗}(G) n’est pas Cohen-Macaulay) si et seulement si exp(G) > 3. Le résultat suivant montre que, pour p > 2, le seul pgroupe extraspécial, dont la cohomologie essentielle est triviale, est celui d’ordre 27 et d’exposant 3.

Théorème ([47]). Si p > 2 et G est un p-groupe extraspécial, alors Ess(G) = {0} si et seulement si p = 3 et G = 𝔼.

Il s’ensuit de ce théorème que, dans les autres cas, l’anneau H^{∗}(G) n’est pas Cohen-Macaulay et sa profondeur est égale à 1. Dans [47], nous avons aussi construit certaines classes essentielles non nulles de G.

Problèmes On garde les notations ci-dessus. Soient G = P_{n} (resp. M_{n}) le p-groupe extraspécial d’ordre p^{2n+1} et d’exposant p (resp. p^{2}).

1. Déterminer la cohomologie modulo p de G.

(La cohomologie a été connue pour p = 2, ou p > 2 et n ≤ 2. Si p > 2 et n = 2, la structure algébrique de cet anneau n’est pas encore déterminée.)

2. Trouver le plus petit entier positif m tel que κ_{n,0}^{m} ∈ Im Inf_{P}^{E} mod \sqrt{0}. Exprimer, dans H^{∗}(P)/\sqrt{0}, κ_{n,0}^{m} en termes des éléments de Im Inf_{P}^{E}.

(Il s’ensuit de [19, 21, 31] que m = 2 pour n ≤ 2, et, en général, m ≤ p.)

3. Soit n ≥ 2. Est-il vrai que Ess(G) ∩ Im Inf_{P}^{E} ≠ {0} ?

(La réponse est affirmative pour n = 2, selon [47]).

4. Soit m un entier avec m ≤ n. D’une façon naturelle, E_{m} est considéré comme 𝔽_{p}-sous-espace vectoriel de E. Donc κ_{m,r}^{p}, 0 ≤ r ≤ m − 1, sont aussi éléments de Im Inf_{P}^{E}. Exprimer κ_{n,r}^{p}, 0 ≤ r ≤ n − 1, en termes des κ_{m,r}^{p}, 0 ≤ r < m < n.

(Il semble que l’expression est analogue à celle qui relie les invariants de Dickson à n variables aux invariants à n − 1 variables.)

2. Groupes d-maximaux, classes de Stiefel-Whitney et une conjecture de Kahn

Soit G un 2-groupe et soit r_{G} la représentation régulière réelle de G. On désigne par w_{i}(r_{G}) la classe de Stiefel-Whitney de degré i de r_{G}, et par ν(G) l’invariant numérique de G donné par

ν(G) = min{n > 0|w_{2^{n−1}}(r_{G}) ≠ 0}.

La conjecture qui relie cet invariant aux classes de Stiefel-Whitney, établie par Kahn dans [25], dit que ν(G) ≥ d(G), où d(G) est le nombre d’éléments d’un ensemble minimal de générateurs de G.

Il est montré dans [25] que la preuve de cette conjecture peut se ramener au cas où G est d-maximal, c’est-à-dire, d(K) < d(G) pour tout sous-groupe propre K de G. D’après [25], la conjecture est vraie pour d(G) ≤ 4. Malheureusement, la démonstration de cet énoncé s’appuie sur une fausse assertion dans [25, Appendice]. Cette assertion erronée dit que tout 2-groupe d-maximal avec d(G) ≤ 4 est de classe de nilpotence ≤ 2 ([25, Erratum]).

Dans [38, 39], quelques propriétés des 2-groupes maximaux G ont été obtenues comme suit. Soit Φ(G) le sous-groupe de Frattini de G. D’après [4, 25, 30], il est connu qu’un p-groupe d-maximal G est de classe de nilpotence ≤ 2 pourvu qu’une des conditions suivantes soit satisfaite:

(a) p > 2 ([30]);

(b) p = 2 et |Φ(G)| = 2^{m} avec m ≤ 2 ([25]);

(c) p = 2 et d(G) ≤ 3 ([4]).

Nous donnons dans [38] une preuve cohomologique de ce résultat. De plus, nous avons le théorème suivant, dont la troisième partie montre l’existence des 2-groupes d-maximaux engendrés par n éléments (n ≥ 4) et de classe de nilpotence ≥ 3.

Théorème ([38]). (a) Si G est d-maximal et si l’une des conditions (a)-(c) cidessus est satisfaite, alors G est de classe de nilpotence ≤ 2 et l’application Inf : H^{2}(G/Φ(G)) → H^{2}(G) est surjective.

(b) Si G est d-maximal et si l’une des conditions suivantes est satisfaite: (i) |Φ(G)| ≤ 2^{3}; (ii) Φ(G) est abélien élémentaire, alors G est de classe de nilpotence ≤ 2.

(c) Pour tout n ≥ 4, il existe un 2-groupe d-maximal G_{n} de classe de nilpotence ≥ 3 tel que d(G_{n}) = n.

(d) Si G est un 2-groupe d-maximal de classe de nilpotence ≥ 3 et d(G) = 4, alors |G| = 2^{8}, G est de classe de nilpotence 3 et Φ(G) est abélien d’ordre 2^{4}.

L’étude de la cohomologie d’un groupe G, comme dans l’énoncé (d) du théorème précédent, a été effectuée dans [38] et donne le résultat suivant.

Théorème ([38]). La conjecture est vraie pour d(G) ≤ 4.

Le cas d(G) = 5 est aussi considéré dans [39]. Soit {Φ^{i}(G)} la série p-descendante de G donnée par

Φ^{1}(G) = G, Φ^{i+1}(G) = (Φ^{i}(G))^{p}[Φ^{i}(G), G], i ≥ 1,

et soit k = cl_{Φ}(G) le plus grand entier tel que Φ^{k}(G) ≠ 1. Pour i ≥ 1, le quotient Φ^{i}(G)/Φ^{i+1}(G) sera noté A_{i}; A_{i} est donc un espace vectoriel sur 𝔽_{2}. Le résultat suivant donne la structure des 2-groupes d-maximaux de classe ≥ 3 engendrés par 5 éléments.

Théorème ([39]). Soit G un 2-groupe d-maximal avec k = cl_{ϕ}(G) ≥ 3 et d(G) = 5. Alors dim A_{2} ≥ 3 et:

(a) si dim A_{2} = 3, alors k = 3 et dim A_{3} = 1; de plus, il existe un élément a ∈ G tel que ⟨a, Φ(G)⟩ est, soit abélien, soit extraspécial d’ordre 2^{5};

(b) si dim A_{2} = 4, alors dim A_{m} = 4, pour 2 ≤ m < k, et dim A_{k} ≤ 4.

Le résultat suivant résulte donc de l’étude de la cohomologie d’un groupe comme dans le théorème ci-dessus.

Théorème ([39]). La conjecture est vraie pour d(G) = 5.

L’étude des groupes d-maximaux nous amène, dans un travail en commun avec Bruno Kahn, à une description de H^{2}(G) en termes de l’algèbre de Lie mixte graduée associée à la série p-descendante de G. Soient G un p-groupe et {Φ_{i}(G)} la série p-descendante de G. Le quotient Φ^{n}(G)/Φ^{n+1}(G) est maintenant noté gr_{n}^{Φ}G (donc gr_{n}^{Φ}G = A_{n}). La somme directe gr^{Φ} = ⊕gr_{n}^{Φ}G est donc un espace vectoriel gradué sur 𝔽_{p} et est aussi munie de deux autres structures:

- les applications bilinéaires [,] : gr_{m}^{Φ}G × gr_{n}^{Φ}G → gr_{m+n}^{Φ}G, m, n ≥ 1, induites par l’application de commutateur dans G; - l’opérateur de degré 1 q : gr_{n}^{Φ}G → gr_{n+1}^{Φ}G, induit par “prenant la puissance p-ième” dans G.

On a alors les relations suivantes:

(1) [,] est alternée et vérifie l’identité de Jacobi;

(2) pour x, y ∈ gr_{n}^{Φ}G,

q(x + y) = \{ \begin{matrix}q(x) + q(y) & si p > 2 ou n > 1, \\ q(x) + q(y) + [x, y] & si p = 2 et n = 1; \end{matrix}

(3) pour (x, y) ∈ gr_{m}^{Φ}G × gr_{n}^{Φ}G,

[q(x), y] = \{ \begin{matrix}q([x, y]) & si p > 2 ou m > 1, \\ q([x, y]) + [x, [x, y]] & si p = 2 et m = 1. \end{matrix}

Donc, gr^{Φ}G définit une algèbre de Lie graduée mixte, dans le sens de Lazard ([29]), engendrée par les éléments de degré 1. Un homomorphisme de groupes f : G → H induit aussi un homomorphisme gr^{Φ} : gr^{Φ}G → gr^{Φ}H. On obtient donc un foncteur

gr^{Φ} : (p-groupes) → GML
G ↦ gr^{Φ}G

de la catégorie (p-groupes) des p-groupes à la catégorie GML des algèbres de Lie mixtes engendrées par les éléments de degré 1. Nous nous sommes intéressés à la question suivante.

Question. Est-ce-que le foncteur gr^{Φ} est essentiellement surjectif ? Autrement dit, étant donnée une algèbre de Lie mixte (de dimension finie) A engendrée par les éléments de degré 1, est-ce-qu’il existe un p-groupe G tel que gr^{Φ}G est isomorphe à A ?

Une réponse partielle à cette question est donnée dans [27]. Nous disons qu’un p-groupe G est de p-classe ≤ n si Φ^{n+1}G = {1}, et une algèbre de Lie mixte A = (A_{n})_{n≥1} de longueur ≤ n si A_{i} = 0 pour i > n. Soit (p-groupes)^{≤n} (resp. GML^{≤n}) la sous-catégorie pleine de (p-groupes) (resp. GML) constituée des pgroupes de p-classe ≤ n (resp. algèbres de longueur ≤ n). La restriction de gr^{Φ} définit un foncteur

gr_{≤n}^{Φ} : (p-groupes)^{≤n} → GML^{≤n},

pour tout n ≥ 1. Il est clair que gr_{≤1}^{Φ} et gr_{≤2}^{Φ} sont essentiellement surjectifs. Le cas n = 3 est traité dans le résultat suivant.

Théorème ([27]). gr_{≤3}^{Φ} est essentiellement surjectif.

Grâce à ce résultat, la cohomologie modulo p de degré 2 de chaque p-groupe G peut être exprimée en termes de l’algèbre de Lie mixte associée à la série pdescendante de G.

Problèmes

1. Déterminer les classes de nilpotence des 2-groupes d-maximaux G, selon d(G). (Il s’ensuit de [4, 38, 39] que G est de classe ≤ 2 si d(G) ≤ 4, ≤ 3 si d(G) = 5.)

2. Démontrer ou trouver un contre-exemple à la conjecture de Kahn.

3. Est-ce-que gr^{Φ} est essentiellement surjectif ?

3. Quelques propriétés de H^{∗}(G)

3.1 Homomorphisme induisant le monomorphisme de cohomologie mod p. Dans le résultat suivant, on suppose que f : G → K est un homomorphisme des p-groupes tel que f^{(n)} : H^{n}(K) → H^{n}(G) est injectif, pour 1 ≤ n ≤ 2.

Théorème ([41]). Si f n’est pas bijectif, il existe un quotient L de G contenant K comme facteur direct propre (c’est-à-dire L = J × K, avec J ≠ {1}).

Notons que les applications H^{1}(K) ⟶^{Inf_{L}^{K}} H^{1}(L), H^{1}(L) ⟶^{Inf_{G}^{L}} H^{1}(G) sont injectives et Im Inf_{L}^{K} est un sous-groupe propre de H^{1}(L) (car J ≠ {1}). Donc, d’après le théorème, la non-bijectivité de f implique dim_{𝔽_{p}}H^{1}(K) < dim_{𝔽_{p}}H^{1}(L) ≤ dim_{𝔽_{p}}H^{1}(G), par suite f^{(1)} n’est pas bijectif. Nous obtenons alors une simple preuve d’un résultat d’Evens dans [16], disant que f est bijectif si et seulement si f^{(1)} est bijectif et f^{(2)} est injectif.

3.2 Noyaux des applications de restriction. Soient G un p-groupe et K = ker u un sous-groupe maximal de G, avec 0 ≠ u ∈ H^{1}(G) = Hom(G, ℤ/p). Il est connu que, pour p = 2, ker Res_{K}^{G} est l’idéal principal (u) engendré par u. Cependant, pour p > 2, l’énoncé analogue n’est pas vrai. En effet, tandis qu’un argument utilisé par Quillen-Venkov dans [67] montre que (ker Res_{K}^{G})^{2} ⊂ (βu), il est connu que (u, βu) est, en général, strictement contenu dans ker Res_{K}^{G}. Un exemple est le cas où G est un p-groupe extraspécial d’ordre p^{3} et K est abélien élémentaire maximal dans G (cf. [31, 53]).

L’argument de Quillen-Venkov suggère donc les questions suivantes:

(a) Soient u_{1}, …, u_{m} les éléments de H^{1}(G) et K = ∩^{m}_{i=1}ker u_{i}. Y-a-t-il une

relation entre ker Res_{K}^{G} et I_{K} = (u_{1}, …, u_{m}, βu_{1}, …, βu_{m}) (en ignorant l’inclusion I_{K} ⊂ ker Res_{K}^{G}) ?

(b) Si la réponse de (a) est affirmative, est-il possible d’exprimer les éléments de ker Res_{K}^{G} (ou leurs puissances) au moyen des générateurs de I_{K} ?

Considérons la norme d’ Evens N_{K→G} de H^{∗}(K) à H^{∗}(G). Il est connu que, pour ξ ∈ H^{r}(G), la formule N_{K→G}Res_{K}^{G}(ξ) = ξ^{(G:K)} est en général fausse (cf. [15]), tandis que les restrictions de N_{K→G}Res_{K}^{G}(ξ) et ξ^{(G:K)} sur H^{∗}(K) sont égales. En ce qui concerne N_{K→G}Res_{K}^{G}(ξ) − ξ^{(G:K)}, le résultat suivant, démontré dans [44], donne une réponse partielle aux questions précédentes. Posons h = (p − 1)/2 et μ(r) = (h!)^{r}(−1)^{hr(r−1)/2}.

Théorème ([44]). Si K = ker u avec 0 ≠ u ∈ H^{1}(G), et ξ ∈ H^{r}(G), alors

N_{K→G}Res_{K}^{G}(ξ) = \{ \begin{matrix}∑_{i≤r}Sq^{i}(ξ) · u^{r−i} & pour p = 2, \\ μ(r)_{∑_{ϵ=0,1} ; 0≤2i≤r−ϵ}(−1)^{ϵ+i}β^{ϵ}P^{i}(ξ) · (βu)^{(r−2i)h−ϵ}u^{ϵ} & pour p > 2. \end{matrix}

Une généralisation de ce théorème est aussi obtenue comme suit. Par récurrence, il vient du théorème ci-dessus que, pour un sous-groupe K de G, l’élément N_{K→G}Res_{K}^{G}(ξ) de H^{∗}(G) peut être exprimé au moyen des images de ξ par les actions des opérateurs de Steenrod. Dans le but d’obtenir une telle expression, on a besoin de rappeler la base de Milnor de l’algèbre de Steenrod A(p). Auparavant, A(p), comme espace vectoriel, admet une base constituée de monômes admissibles de Sq^{i} (resp. P^{i} et β) pour p = 2 (resp. p > 2). Soit A(p)^{∗} le dual de A(p), et soient ξ_{k} (resp. τ_{s} et ξ_{k}) les duaux de Sq^{2^{k−1}} … Sq^{2}Sq^{1} (resp. βP^{p^{s−1}} … P^{p}P^{1} et P^{p^{k−1}} … P^{p}P^{1}) correspondant à cette base. Dans [34], Milnor a montré que A(p)^{∗} est une algèbre commutative de Hopf, et

A(p)^{∗} = \{ \begin{matrix}P (ξ_{1}, ξ_{2}, …) & pour p = 2, \\ E(τ_{0}, τ_{1}, …) ⊗ P (ξ_{1}, ξ_{2}, …) & pour p > 2. \end{matrix}

Il s’ensuit que A(p)^{∗} admet une base constituée de monômes

\{ \begin{matrix}ξ^{R} & = ξ_{1}^{r_{1}} … ξ_{n}^{r_{n}} pour p = 2, \\ τ_{S}ξ^{R} & = τ_{s_{1}} … τ_{s_{k}}ξ_{1}^{r_{1}} … ξ_{n}^{r_{n}} pour p > 2, \end{matrix}

avec S : s_{1} < ⋯ < s_{k}, R = (r_{1}, …, r_{n}, 0, …). Pour p = 2 (resp. p > 2), on désigne par St^{R} (resp. St^{S,R}) le dual de ξ^{R} (resp. τ_{S}ξ^{R}) correspondant à la base donnée de A(p)^{∗}; la base nouvelle de A(p) constituée des (ξ^{R})^{∗} (resp. (τ_{S}ξ^{R})^{∗}) est appelée la base de Milnor. Dans [61, 62], Mùi a montré que les éléments de cette base s’identifient avec les opérateurs de cohomologie dérivés des invariants modulaires.

Supposons que K = ∩^{m}_{i=1}ker u_{i} soit un sous-groupe de G avec u_{i} ∈ H^{1}(G), 1 ≤

i ≤ m, et soit ξ un élément de H^{r}(G). On va utiliser les notations suivantes. Soit u un élément de H^{1}(G). Posons

ū = \{ \begin{matrix}u & pour p = 2, \\ βu & pour p > 2. \end{matrix}

Soit

\begin{aligned}L_{m} & = L_{m}(ū_{1}, …, ū_{m}) \\ & = ∏^{m} ; i=1 ∏_{λ_{1},...,λ_{i−1}∈𝔽_{p}}(λ_{1}ū_{1} + ⋯ + λ_{i−1}ū_{i−1} + ū_{i}), \end{aligned}

et soient Q_{m,s} = Q_{m,s}(ū_{1}, …, ū_{m}), 1 ≤ s ≤ m, les invariants de Dickson. Pour p > 2 et pour 0 ≤ s ≤ m − 1, posons

\begin{aligned}M_{m,s} & = M_{m,s}(u_{1}, …, u_{m}; ū_{1}, …, ū_{m}) \\ & = | \begin{matrix}u_{1} & u_{2} & ⋯ & u_{m} \\ ū_{1} & ū_{2} & … & ū_{m} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ ū_{1}^{p^{s−1}} & ū_{2}^{p^{s−1}} & ⋯ & ū_{m}^{p^{s−1}} \\ ū_{1}^{p^{s+1}} & ū_{2}^{p^{s+1}} & ⋯ & ū_{m}^{p^{s+1}} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ ū_{1}^{p^{m−1}} & ū_{2}^{p^{m−1}} & ⋯ & ū_{m}^{p^{m−1}} \end{matrix} | , \end{aligned}

et

\begin{aligned}L̃_{m} & = L_{m}^{h}, \\ M̃_{m,s} & = M_{m,s}L_{m}^{h−1}. \end{aligned}

Théorème ([45]).

N_{K→G}Res_{K}^{G}(ξ) = \{ \begin{matrix}∑_{R=(r_{1},...,r_{m})}Q_{m,0}^{r−(r_{1}+···+r_{m})}Q_{m,1}^{r_{1}} ⋯ Q_{m,m−1}^{r_{m−1}} · St^{R}(ξ) \\ pour p = 2, \\ μ(r)^{m}_{∑_{R=(r_{1},...,r_{m})} ; 0≤s_{1}<···<s_{k}≤m−1}(−1)^{s(R,S)}M̃_{m,s_{1}} ⋯ M̃_{m,s_{k}} \\ L̃_{m}^{r_{0}}Q_{m,1}^{r_{1}} ⋯ Q_{m,m−1}^{r_{m−1}} · St^{S,R}(ξ) \\ pour p > 2, \end{matrix}

avec r_{0} = r−k −2(r_{1} +⋯+r_{m}) et s(R, S) = k +s_{1} +⋯+s_{k} +r_{1} +2r_{2} +⋯+mr_{m}.

Voiçi quelques corollaires de ce théorème.

Corollaire 1 ([45]). N_{K→G}Res_{K}^{G} est additive. Autrement dit, pour ζ, ζ′ ∈ H^{n}(G),

N_{K→G}Res_{K}^{G}(ζ + ζ′) = N_{K→G}Res_{K}^{G}(ζ) + N_{K→G}Res_{K}^{G}(ζ′).

Notons que la norme d’Evens est en général non-additive (c’est-à-dire, pour η, η′ ∈ H^{n}(K), la formule N_{K→G}(η + η′) = N_{K→G}(η) + N_{K→G}(η′) est en général fausse).

Le corollaire suivant répond aux questions (a) et (b).

Corollaire 2 ([45]). rad kerRes_{K}^{G} = rad I_{K}. De plus, si Res_{K}^{G}(ξ) = 0, alors

ξ^{p^{m}} = \{ \begin{matrix}_{∑_{R=(r_{1},...,r_{m})} ; r≠r_{m}}Q_{m,0}^{r−(r_{1}+···+r_{m})}Q_{m,1}^{r_{1}} ⋯ Q_{m,m−1}^{r_{m−1}} · St^{R}(ξ) & pour p = 2, \\ _{∑_{R=(r_{1},...,r_{m})} ; r≠2r_{m} ; 0≤s_{1}<···<s_{k}≤m−1}(−1)^{s(R,S)+1}M̃_{m,s_{1}} ⋯ M̃_{m,s_{k}} L̃_{m}^{r_{0}}Q_{m,1}^{r_{1}} \\ ⋯ Q_{m,m−1}^{r_{m−1}} · St^{S,R}(ξ) & pour p > 2. \end{matrix}

Désignons par T_{G} l’idéal de H^{∗}(G) engendré par les images des transferts des sous-groupes propres de G. Dans le corollaire suivant, nous supposons que u soit élément de H^{1}(G) et η = Res_{K}^{G}(ū).

Corollaire 3 ([45]). N_{K→G}(η) = (−1)^{m} ∑^{m} ; i=0(−1)^{i}ū^{p^{i}}Q_{m,i}. De plus, si G est ex-

traspécial et K est abélien élémentaire maximal dans G, il existe alors une puissance de N_{K→G}(η), donc de ū, appartenant à T_{G}.

Soit H(G) l’idéal de H^{∗}(G) constitué des éléments de degrés positifs et, pour tout sous-groupe M de G, soit N_{M→G}^{+} l’image de H(M) par rapport à N_{M→G}. On désigne par N_{G}^{+} l’idéal de H(G) engendré par

⋃_{Msous-groupe propre de G}N_{M→G}^{+}

et soit Φ(G) le sous-groupe de Frattini de G. Le résultat suivant relie H(G) aux radicaux de certains idéaux de H^{∗}(G).

Corollaire 4 ([45]).

H(G) = rad (ū_{1}, …, ū_{m}, N_{K→G}^{+})
= rad (βH^{1}(G), N_{Φ(G)→G}^{+})
= rad N_{G}^{+}.

Comme conséquence de ces résultats ci-dessus, nous obtenons dans [45] une autre preuve d’un résultat de Carlson ([10]) disant que rad kerRes_{Z}^{G} = rad T_{G} pour Z le centre de G.

3.3 Cohomologie essentielle. Soit G un p-groupe. Rappelons que la cohomologie essentielle Ess(G) de G est définie comme l’idéal de H^{∗}(G) constitué des éléments dont les restrictions à tous sous-groupes propres de G sont triviales. Il s’ensuit d’un théorème de Quillen ([66]) que tous les éléments de Ess(G) sont nilpotents. Le corollaire suivant se déduit donc du Corollaire 2.

Corollaire 5 ([44]). Soit ξ un élément de degré q de Ess(G). Alors, pour tout u ∈ H^{1}(G),

ξ^{p} = \{ \begin{matrix}∑_{i<q}Sq^{i}(ξ) · u^{q−i} & pour p = 2, \\ −_{∑_{ϵ=0,1} ; 0≤2i<q}(−1)^{ϵ+i}β^{ϵ}P^{i}(ξ) · \overline{u}^{(q−2i)h−ϵ}u^{ϵ} & pour p > 2. \end{matrix}

Ce résultat joue un rôle principal dans la démonstration du théorème suivant.

Théorème ([44]). Si ξ ∈ Ess(G) et si G n’est pas abélien élémentaire, alors ξ^{p} = 0.

Ceci donne une borne supérieure, qui est p, pour les degrés de nilpotence des classes essentielles de cohomologie d’un p-groupe G non abélien élémentaire; en particulier, si p = 2, toute classe essentielle de cohomologie non nulle d’un tel G est de degré de nilpotence 2. Ce résultat va dans le sens d’une conjecture de Mùi ([60]), disant que Ess(G)^{2} = 0. Remarquons que, récemment, dans [79], Tùng a montré que, pour p = 2 et pour ξ_{1}, …, ξ_{n} des classes essentielles de cohomologie d’un tel G, Sq^{deg(ξ_{1})−n}(ξ_{1}) · ξ_{2} · . . . ξ_{n} = 0.

Le théorème ci-dessus est aussi utilisé pour obtenir une borne supérieure des degrés de nilpotence des classes nilpotentes de cohomologie d’un groupe fini quelconque.

Théorème ([44]). Supposons que G soit d’ordre p^{m}. Soit G un groupe fini contenant G comme p-sous-groupe de Sylow et soit ξ un élément nilpotent de H^{∗}(G). Alors ξ^{p} = 0 si G est abélien, et ξ^{p^{m−2}} = 0 si G n’est pas abélien.

Nous pourrons aussi obtenir un résultat analogue dans le cas des coefficients entiers. Désignons par Ess_{ℤ}(G) l’idéal de H^{∗}(G, ℤ) constitué des éléments dont les restrictions à tous sous-groupes propres de G sont triviales. Supposons que G ne soit pas abélien élémentaire.

Théorème ([51]). (i) Si ξ ∈ Ess_{ℤ}(G), alors ξ^{p+1} = 0. Si en plus, η est asssi essentielle, alors ξ^{p} · η = 0.

(ii) Si ξ ∈ Ess_{ℤ}(G), alors ξ^{p} = 0, sous l’hypothèse que p > 2, ou que deg(ξ)

soit pair. (iii) Si ϕ ∈ H^{∗}(G, ℤ) est nilpotent, alors ϕ^{p^{log_{p} |G|−1}} = 0.

3.4 Degré de nilpotence de l’anneau de cohomologie. Nous nous intéressons aux degrés de nilpotence des éléments de H^{∗}(G). Si p = 2, dans [2,23], il est montré que, pour tout entier positif n, il existe un 2-groupe dont l’anneau de cohomologie contient un élément de degré de nilpotence n + 1. Cependant, les arguments utilisés dans ces travaux ne peuvent pas être géréralisés au cas p impair. Il a été aussi remarqué dans [2] que, pour p impair, on ne connaît rien sur l’existence d’un élément de H^{∗}(G) de degré de nilpotence plus grand que p.

Désignons par A_{k} le p-groupe abélien élémentaire de rang 2k. Dans [48], un 3-groupe G, dont l’anneau de cohomologie possède un élément nilpotent ξ ∈ H^{∗}(G) satisfaisant ξ^{3} ≠ 0, a été construit comme suit. Soit 𝔼 le p-groupe extraspécial d’ordre p^{3} et d’exposant p.

Théorème ([48]). Pour p = 3, il existe un 3-groupe G donné par l’extension centrale

0 → ℤ/3 → G → 𝔼 × A_{2} → 1

dont l’anneau de cohomologie mod-3 possède un élément nilpotent ξ ∈ H^{2}(G) satisfaisant ξ^{3} ≠ 0.

La démonstration de ce théorème est basée sur l’existence d’une classe de cohomologie U ∈ H^{2}(𝔼), pour p = 3, satisfaisant U^{3} = y_{1}^{2}y_{2}, où y_{1}, y_{2} est une base donnée de βH^{1}(𝔼) (cf. [33]). Pour généraliser le théorème ci-dessus au cas p > 3, il est donc raisonnable de chercher un p-groupe G dont la cohomologie modulo p possède un élément ξ de degré 2 satisfaisant ξ^{p} = y_{1}^{p−1}y_{2}, où y_{1}, y_{2} est une base donnée de βH^{1}(G).

Contrairement au cas où p = 3, le p-groupe extraspécial 𝔼 ne convient pas pour le cas où p > 3 (il s’ensuit de [31] qu’il n’existe pas un tel élément ξ de H^{∗}(𝔼)). Dans [49], nous considérons alors le groupe quotient ℜ = 𝔖_{p^{2},p}/Z où 𝔖_{p^{2},p} est le p-sous-groupe de Sylow du groupe symétrique 𝔖_{p^{2}}, et Z le centre de 𝔖_{p^{2},p} (donc ℜ = 𝔼 pour p = 3). Soit U ∈ H^{2}(ℜ) la classe de cohomologie qui classifie l’extension

0 → ℤ/p → 𝔖_{p^{2},p} → ℜ → 1.

En utilisant les résultats dans [44], nous démontrons, dans [49], que U^{p} = y_{1}^{p−1}y_{2}, avec y_{1}, y_{2} une base convenable de βH^{1}(ℜ). Le théorème suivant s’en déduit.

Théorème ([49]). Pour p > 2, il existe un p-groupe G donné par l’extension centrale

0 → ℤ/p → G → ℜ × A_{2p−2} → 1

dont l’anneau de cohomologie modulo p possède un élément nilpotent ξ ∈ H^{2}(G) satisfaisant ξ^{p} ≠ 0.

Considérons le groupe 𝔗 d’ordre p^{p+1} donné par

\begin{matrix}𝔗 = ⟨a_{0}, a_{1}, …, a_{p}|a_{0}^{p} = a_{2}^{p} = ⋯ = & a_{p}^{p} = [a_{0}, a_{p}] = [a_{i}, a_{j}] = a_{1}^{p}a_{p} = 1, \\ [a_{0}, a_{ℓ}] = a_{ℓ+1}, 1 ≤ i, j ≤ p, 1 ≤ ℓ ≤ p − 1⟩. \end{matrix}

𝔗 est donc un p-groupe de deux générateurs et de classe maximale (cf. [5, Section 4]). De plus, ℜ = 𝔗/⟨a_{p}⟩. Pour m ≥ 1, soit 𝔗_{m} le produit direct de m copies de 𝔗.

Théorème ([50]). Pour p > 2, il existe un sous-groupe 𝔐_{m} de 𝔗_{m} et une extension centrale

0 → ℤ/p → G → 𝔐_{m} → 1

tels que, pour tout n, pour m assez grand par rapport à n, H^{2}(G) possède un élément ξ satisfaisant ξ^{n} ≠ 0, ξ^{n+p−1} = 0.

L’existence des classes de cohomologie modulo p de degré de nilpotence arbitrairement grand se déduit donc du corollaire suivant.

Corollaire ([50]). Pour tout entier positif n, il existe un p-groupe dont l’anneau de cohomologie modulo p possède un élément de degré de nilpotence n + 1.

3.5 La longueur de cohomologie. Le degré de nilpotence de l’anneau de cohomologie du groupe est strictement lié à la longueur de cohomologie du groupe. Supposons que G soit un p-groupe qui n’est pas abélien élémentaire. La longueur de cohomologie de G, désignée par chl(G), est l’entier m le plus petit tel qu’il existe des éléments x_{1}, …, x_{m} de H^{1}(G)\{0} satisfaisant

x_{1} · . . . · x_{m} = 0 pour p = 2,
βx_{1} · . . . · βx_{m} = 0 pour p > 2

(l’existence d’un tel m se déduit d’un théorème classique de Serre [70]).

Les bornes supérieures suivantes de chl(G), en terme de k = dim_{𝔽_{p}} H^{1}(G), ont été connues: p^{k} − 1 (Kroll [28]), \frac{p^{k}−1}{p−1} (Serre [71]), (p + 1)p^{k−2} (Okuyama-Sasaki [64]). Elles sont donc améliorées grâce au résultat suivant.

Théorème ([43]). chl(G) ≤ (p + 1)p^{[ \frac{k}{2} ]−1}.

Remarquons que la longueur de cohomologie est croissante sur les groupes de quotient, c’est-à-dire, chl(G) ≤ chl(K) pour chaque quotient K non abélien élémentaire de G. Puisque G est une extension d’un p-groupe extraspécial, chl(G) est bornée supérieurement par les longueurs de cohomologie des quotients extraspéciaux de G. L’idée principale dans la preuve de ce théorème est de ramener au cas G extraspécial et de considérer les homomorphismes de restriction Res_{A}^{G}, où A parcourt l’ensemble des sous-groupes abéliens élémentaires de G. Récemment, cette idée a été exploitée par Yalçın dans [82]. Il montre que chl(G) ≤ (p^{2} + p − 1)p^{[ \frac{k}{2} ]−2}, pour k ≥ 4.

L’étude de chl(G) ramène donc au cas où G est extraspécial. Nous nous intéressons aux longueurs de cohomologie des 2-groupes extraspéciaux. Dans [82], Yalçın a déterminé la longueur de cohomologie du 2-groupe extraspécial G_{0} de type réel et d’ordre 2^{2n+3}. Son argument consiste à calculer le cardinal minimal s(E) des ensembles représentants des 2-groupes extraspéciaux E (rappelons que S est un ensemble représentant de E s’il possède au moins un élément non-central de chaque sous-groupe abélien élémentaire maximal de E). Il a montré que chl(G_{0}) = s(G_{0}) et

chl(G_{0}) = \{ \begin{matrix}2^{n} + 1 & pour n ≤ 3, \\ 2^{n} + 2^{n−3} & pour n ≥ 4. \end{matrix}

Soit G_{1} (resp. G_{2}) le 2-groupe extraspécial d’ordre 2^{2n+2} (resp. 2^{2n+1}) et de type complexe (resp. quaternionique). Dans [82, Propositions 6.2 et 6.3], Yalçın a aussi montré que

s(G_{1}) = s(G_{2}) = \{ \begin{matrix}2^{n} + 1 & pour n ≤ 1, \\ 2^{n} + 2^{n−2} & pour n ≥ 2, \end{matrix}

et a proposé le problème ([82, Problem 7.1]) qui consiste à montrer que chl(G_{i}) = s(G_{i}), 1 ≤ i ≤ 2.

Le résultat suivant établit une comparaison entre les longueurs de cohomologie de ces groupes.

Théorème ([52]). (i) chl(G_{0}) ≥ chl(G_{1}) ≥ chl(G_{2}) > 2^{n}.

(ii) Si n ≤ 3, alors chl(G_{0}) = chl(G_{1}) = chl(G_{2}).

On en déduit que chl(G_{i}) < s(G_{i}) pour n ≥ 3, i = 1, 2. Donc, en général, les égalités chl(G_{i}) = s(G_{i}), 1 ≤ i ≤ 2, proposées par Yalçın ([82]), ne sont pas correctes.

Toutefois, la détermination de chl(G_{i}), pour i = 1, 2 et n ≥ 4, reste encore ouverte.

Problèmes

1. Démontrer ou trouver un contre-exemple à la conjecture de Mùi.

S’il y a un contre-exemple de la conjecture, trouver une borne supérieure du degré de nilpotence de Ess(G).

2. Soient G un p-groupe, K = ker x avec 0 ≠ x ∈ H^{1}(G), et ξ ∈ ker Res_{K}^{G}. D’après le résultat de Quillen-Venkov ([67]), il existe η ∈ H^{∗}(G) tel que ξ = η · x pour p = 2, ξ^{2} = η · βx pour p > 2. Exprimer η en terme de ξ, x, βx.

3. a) Trouver une meilleure borne supérieure de chl(G); b) Déterminer chl(G_{1}), chl(G_{2}).

4. Soit 𝔼_{0} le p-sous-groupe de Sylow du groupe symétrique 𝔖_{p^{2}}. Définissons par récurrence des p-groupes 𝔼_{k}, 1 ≤ k ≤ p − 2, par 𝔼_{m+1} = 𝔼_{m}/Z_{m}, où Z_{m} est le centre de 𝔼_{m}, 0 ≤ m ≤ p − 3. Alors 𝔼_{p−2} = 𝔼, le p-groupe extraspécial d’ordre p^{3} et d’exposant p. Déterminer les cohomologies H^{∗}(𝔼_{k}), 1 ≤ k ≤ p − 3. (Le cas k = p − 2 a été connu ([31, 33]). Il en est de même de k = 0, d’après un résultat de Nakaoka sur la cohomologie des produits de couronnes.)

5. Soit p = 2 et soit G un 2-groupe non abélien élémentaire. Pour tout élément ξ de Ess_{ℤ}(G), est-il vrai que ξ^{2} = 0 ? (La réponse est affirmative si, soit que G est abélien ou d’ordre 8, soit que ξ est de degré pair.)

4. Cohomologie modulo p des groupes profinis

Les résultats dans ce chapitre sont tirés d’un travail ([54, 55]) en commun avec Peter Symonds.

Pour tout pro-p-groupe G, désignons aussi par H^{∗}(G) la cohomologie de G avec coefficients dans 𝔽_{p} (la cohomologie continue si G est infini, cf. [72]). Soit \sqrt{0} l’idéal des éléments nilpotents de H^{∗}(G). Étant donné un anneau A, on dit que A est de type fini s’il est l’anneau engendré par un nombre fini d’éléments.

Dans [55], nous démontrons deux théorèmes reliant la cohomologie des pro-p-groupes aux classes de conjugaison des sous-groupes finis.

Théorème ([55]). Soit G un pro-p-groupe. Alors le nombre des classes de conjugaison des p-sous-groupes abéliens élémentaires de G est fini si et seulement si l’anneau H^{∗}(G)/\sqrt{0} est de type fini.

Théorème ([55]). Soit G un pro-p-groupe. Si H^{∗}(G) est de type fini, alors le nombre des classes de conjugaison des p-sous-groupes finis de G est fini.

Supposons que N soit un sous-groupe fermé, normal, engendré par un nombre fini d’éléments, d’un pro-p-groupe G. Rappelons (cf. [12, 26]) que N est appelé puissamment plongé dans G si [G, N] ⊂ N^{2p}, que G est appelé puissant s’il est puissamment plongé dans lui-même. Quand p = 2, N est presque puissamment plongé dans G si [G, N] ⊂ N^{2} et [N, N] ⊂ (N^{2})^{2}. Par simplicité, on définit presque puissamment plongé comme puissamment plongé pour p > 2. D’après [26], on a les implications suivantes:

N puissamment plongé dans G ⇓ N presque puissamment plongé dans G ⇓ N puissant.

On va utiliser les notations suivantes. Soit R = C_{p^{r_{1}}} (e_{1}) × C_{p^{r_{2}}} (e_{2}) × ⋯ × C_{p^{r_{k}}} (e_{k}) un p-groupe abélien, avec C_{p^{r_{i}}} (e_{i}) le groupe cyclique d’ordre p^{r_{i}} engendré par e_{i}. Pour chaque 1 ≤ i ≤ k, soit x_{i} ∈ H^{1}(C_{p^{r_{i}}} (e_{i})) = Hom(C_{p^{r_{i}}} (e_{i}), ℤ/p) l’homomorphisme qui correspond e_{i} à 1, et soit y_{i} un générateur de H^{2}(C_{p^{r_{i}}} (e_{i})). Il est bien connu que

H^{∗}(C_{p^{r_{i}}}) = \{ \begin{matrix}𝔽_{2}[x_{i}] & si p = 2 et r_{i} = 1, \\ Λ[x_{i}] ⊗ 𝔽_{p}[y_{i}] & sinon. \end{matrix}

Identifions H^{∗}(R) avec H^{∗}(C_{p^{r_{1}}} (e_{1})) ⊗ H^{∗}(C_{p^{r_{2}}} (e_{2})) ⊗ ⋯ ⊗ H^{∗}(C_{p^{r_{k}}} (e_{k})) à l’aide de l’isomorphisme de Künneth, et identifions x_{i}, y_{i} avec leurs images dans H^{∗}(R).

Soit λ^{∗}(R) la sous-algèbre (qui n’est pas nécessairement une algèbre extérieure si p = 2) de H^{∗}(R) engendré par x_{1}, …, x_{k} et posons λ(R) = λ^{2}(R). Soit B(R) le sous-espace de H^{∗}(R) engendré par y_{1}, …, y_{k}. B(R) est donc image de H^{2}(R, ℤ) dans H^{2}(R). Aussi B(R) contient l’image de l’application de Bockstein β(H^{1}(R)), mais n’est pas égal à celle-ci, sauf dans le cas où R est abélien élémentaire.

Une condition cohomologique nécessaire et suffisante pour que N soit (presque) puissamment plongé dans G est la suivante. Posons

Ĝ = G/N^{2p}[N, G], N̂ = N/N^{2p}[N, G].

Théorème ([54]). Les conditions suivantes sont équivalentes:

(i) N est puissamment plongé dans G; (ii) Res_{G} ; _{N}(ker Inf_{G} ; G) ∩ λ(N̂) = {0}.

Nous avons donc le corollaire suivant, dont le cas p > 2 a été traité dans [75, Théorème 5.1.6].

Corollaire ([54]). Les énoncés suivants sont équivalents:

(i) G est puissant.

(ii) p est impair et l’application induite de l’inflation

H^{1}(Ĝ) ∧ H^{1}(Ĝ) → H^{2}(G)

est injective, ou p = 2 et

ker (Inf_{G} ; G) ∩ λ(Ĝ) = {0}.

(iii) l’application induite de l’inflation

λ(Ĝ) → H^{2}(G)

est injective.

Si p = 2, posons G̃ = G/N^{2}[N, G], Ñ = N/N^{2}[N, G]. Pour a ∈ G̃ (resp. b ∈ Ĝ), définissons N_{a} = ⟨Ñ, a⟩ (resp. N̂_{b} = ⟨N̂, b⟩). Corollaire ([54]). Si p = 2, les conditions suivantes sont équivalentes:

(i) N est puissamment (resp. presque puissamment) plongé dans G; (ii) pour tout élément μ non nul de ker (Inf:H^{2}(G̃) → H^{2}(G)), μ|_{N_{a}} appartient

à B(N_{a}) pour tout a ∈ G̃ (resp. μ|Ñ ∈ B(Ñ)).

Corollaire ([54]). Si p = 2, les conditions suivantes sont équivalentes: (i) G est puissant; (ii) ker (Inf:H^{2}(G̃) → H^{2}(G)) ⊂ B(G̃).

Soit Φ_{G}(N) = N^{p}[N, G]. Pour i ≥ 1, définissons par récurrence une suite de sous-groupes fermés, normaux Φ_{G}^{i}(N) de G par

Φ_{G}^{1}(N) = N, Φ_{G}^{i+1}(N) = Φ_{G}(Φ_{G}^{i}(N)).

Il est clair que [Φ_{G}^{i}(N), Φ_{G}^{j}(N)] ⊂ Φ_{G}^{i+j}(N), i, j ≥ 1, et que l’application de puissance p-ième induit l’application Φ_{G}^{i}(N) →^{p} Φ_{G}^{i+1}(N), i ≥ 1. Donc [G, N] ⊂ Φ_{G}^{2}(N).

Pour i ≥ 0, posons G_{i} = G/Φ_{G}^{i+1}(N), A_{i} = A_{i}(N) = Φ_{G}^{i}(N)/Φ_{G}^{i+1}(N) (avec la convention que Φ_{G}^{0}(N) = N). D’après [12, Proposition 1.16], G = lim_{⟵} G_{i}, donc H^{∗}(G) = lim_{⟶} H^{∗}(G_{i}). Chaque A_{i} est un espace vectoriel sur 𝔽_{p} et est central dans G_{i}. Nous avons donc les extensions centrales successives

\begin{aligned}0 & ⟶ & A_{1} & ⟶ & G_{1} & ⟶ & G_{0} & ⟶ & 1 \\ 0 & ⟶ & A_{2} & ⟶ & G_{2} & ⟶ & G_{1} & ⟶ & 1 \\ & & & & … \\ 0 & ⟶ & A_{s} & ⟶ & G_{s} & ⟶ & G_{s−1} & ⟶ & 1 \\ & & & & … \end{aligned} .

Soit ℓ = ℓ(Φ_{G}^{∗}(N)) le plus grand entier s, s’il en existe, satisfaisant Φ_{G}^{s}(N) ≠ 1 (donc G = G_{ℓ} si ℓ < ∞). Dans le cas contraire, on note ℓ(Φ_{G}^{∗}(N)) = ∞. Notons, pour j ≥ i, ϕ_{i,j} : G_{j} → G_{i} et ϕ_{i} : G → G_{i} les projections. Pour 1 ≤ i, soient n_{i} la dimension de A_{i} et κ_{i−1} = (z_{1}^{(i−1)}, …, z_{n_{i}}^{(i−1)}) ∈ H^{2}(G_{i−1})^{⊕n_{i}} la classe de cohomologie qui classifie l’extension centrale

0 → A_{i} → G_{i} → G_{i−1} → 1.

Pour i < j ≤ ℓ et pour tout élément ξ ∈ H^{∗}(G_{i}), considérons ξ comme un élément de H^{∗}(G_{j}) via l’application d’inflation ϕ_{i,j}^{∗}. Posons (A_{i})_{κ_{i}} = (ϕ_{i,i+1})^{−1}(A_{i}), i ≥ 1.

Théorème ([54]). Supposons que N soit presque puissamment plongé dans le pgroupe G. Alors:

(i) pour 1 ≤ i ≤ ℓ − 1, ((A_{i})_{κ_{i}})^{p} = A_{i+1}, n_{1} ≥ n_{2} ⋯ ≥ n_{ℓ}, et la suite

H^{∗}(G_{i}) →^{ϕ_{i,i+1}^{∗}} H^{∗}(G_{i+1}) →^{Res} B(A_{i+1}) est exacte;

(ii) pour 1 ≤ i ≤ ℓ − 1, z_{1}^{(i)}, …, z_{n_{i+1}}^{(i)} est une suite régulière dans H^{∗}(G_{i}); (iii) si n_{1} = ⋯ = n_{r} = d, 2 ≤ r ≤ ℓ, alors

(iiia) l’application H^{2}(G_{i}) →^{Res} B(A_{i}) est surjective, pour 1 ≤ i ≤ r − 1; (iiib) pour 2 ≤ i ≤ r − 1,

\begin{aligned}H^{∗}(G_{i}) & = H^{∗}(G_{i−1})/(z_{1}^{(i−1)}, …, z_{d}^{(i−1)}) ⊗ 𝔽_{p}[z_{1}^{(i)}, …, z_{d}^{(i)}] \\ & = H^{∗}(G_{1})/(z_{1}^{(1)}, …, z_{d}^{(1)}) ⊗ 𝔽_{p}[z_{1}^{(i)}, …, z_{d}^{(i)}]. \end{aligned}

Définition. Soit N un sous-groupe presque puissamment plongé dans G et soit d = d(N) le nombre minimal des générateurs de N. Posons ℓ = ℓ(Φ_{G}^{∗}(N)), Ω_{1}(N) = \overline{⟨x ∈ N|x^{p} = 1⟩}.

- N est dit uniforme si n_{i} = dim_{𝔽_{p}} A_{i}(N) = d pour chaque 1 ≤ i ≤ ℓ. Dans ce cas, N est aussi dit presque uniformément plongé dans G.

- N est dit Ω-extensible dans G si Ω_{1}(N) est central dans G et s’il existe une extension centrale 0 → Z → Γ →^{τ} G → 1 classifiée par z ∈ H^{2}(G, Z), avec Z = (ℤ/p)^{r}, r = rank (Ω_{1}(N)) et Z = (τ^{−1}(Ω_{1}(N))^{p}. Dans ce cas, Γ est appelé Ω_{1}(N)-extension de G. G est Ω-extensible s’il est Ω-extensible dans lui-même.

La cohomologie d’un p-groupe G ayant un sous-groupe N presque uniformément plongé (et Ω-extensible dans G) est déterminée par le corollaire suivant.

Corollaire ([54]). Si N est presque uniformément plongé dans le p-groupe G avec d = d(N) et ℓ = ℓ(Φ_{G}^{∗}(N)) ≥ 3, alors, pour 2 ≤ j ≤ ℓ − 1,

\begin{aligned}H^{∗}(G_{j}) & = H^{∗}(G_{j−1})/(z_{1}^{(j−1)}, …, z_{d}^{(j−1)}) ⊗ 𝔽_{p}[z_{1}^{(j)}, …, z_{d}^{(j)}] \\ & = H^{∗}(G_{1})/(z_{1}^{(1)}, …, z_{d}^{(1)}) ⊗ 𝔽_{p}[z_{1}^{(j)}, …, z_{d}^{(j)}]. \end{aligned}

De plus, si N est aussi Ω-extensible dans G, il existe z_{1}, …, z_{d} dans H^{2}(G) tels que

H^{∗}(G) = H^{∗}(G_{1})/(z_{1}^{(1)}, …, z_{d}^{(1)}) ⊗ 𝔽_{p}[z_{1}, …, z_{d}].

On en déduit une condition nécessaire et suffisante pour qu’un sous-groupe (presque) puissamment plongé soit aussi (presque) uniformément plongé.

Corollaire ([54]). Supposons que N soit (presque) puissamment plongé dans le p-groupe G avec d(N) = d et ℓ(Φ_{G}^{∗}(N)) = ℓ ≥ 2. Les énoncés suivants sont équivalents:

(i) N est (presque) uniformément plongé dans G;

(ii) n_{2} = d et Im ϕ_{1}^{∗} = Im ϕ_{ℓ−1}^{∗}.

Le résultat suivant donne une condition nécessaire et suffisante pour qu’un sousgroupe (presque) puissamment plongé soit aussi (presque) uniformément plongé et Ω-extensible dans G.

Corollaire ([54]). Supposons que N soit (presque) puissamment plongé dans le p-groupe G avec d(N) = d et ℓ(Φ_{G}^{∗}(N)) = ℓ ≥ 2. Les énoncés suivants sont équivalents:

(i) N est (presque) uniformément plongé et Ω-extensible dans G;

(ii) n_{ℓ} = d et il existe z_{1}, …, z_{d} dans H^{2}(G) tels que

H^{∗}(G) = H^{∗}(G_{1})/(z_{1}^{(1)}, …, z_{d}^{(1)}) ⊗ 𝔽_{p}[z_{1}, …, z_{d}]

et z_{1}|_{A_{ℓ}}, …, z_{d}|_{A_{ℓ}} est une base de B(A_{ℓ}); (iii) n_{2} = d, Im ϕ_{1}^{∗} = Im ϕ_{ℓ−1}^{∗} et il existe z_{1}, …, z_{d} ∈ H^{2}(G) tels que

z_{1}|_{A_{ℓ}}, …, z_{d}|_{A_{ℓ}}

est une base de B(A_{ℓ}).

Théorème ([54]). Soit N un sous-groupe normal du p-groupe G avec d(N) = d. Les énoncés suivants sont équivalents:

(i) N est uniformément (resp. presque uniformément, pour p = 2) plongé et Ω-extensible dans G avec ℓ(Φ_{G}^{∗}(N)) ≥ 2;

(ii) n_{ℓ} = d et il existe un système d’éléments linéairement indépendants ψ_{1}, …, ψ_{d} de H^{2}(G_{1}) satisfaisant:

(a) les applications d’inflation et de restriction induisent un isomorphisme

H^{∗}(G) ≅ H^{∗}(G_{1})/(ψ_{1}, …, ψ_{d}) ⊗ 𝔽_{p}[B(A_{ℓ})],

et

(b) pour toute combinaison linéaire ψ non nulle des ψ_{i}, ψ|_{A_{1}} ∉ λ(A_{1}) si p > 2, ψ|_{⟨A_{1},a⟩} ∈ B(⟨A_{1}, a⟩) pour tout a ∈ G_{1} (resp. ψ|_{A_{1}} ∈ B(A_{1})) si p = 2.

Nous avons alors le corollaire suivant, dont le dernier énoncé était un théorème célèbre de Lazard ([29]).

Corollaire ([54]). Soit G un pro-p-groupe infini et soit N un sous-groupe normal, fermé dans G avec d(N) = d < ∞. Les énoncés suivants sont équivalents:

(i) N est uniformément (resp. presque uniformément, pour p = 2) plongé dans G;

(ii) il existe un système d’éléments linéairement indépendants ψ_{1}, …, ψ_{d} de H^{2}(G_{1}) satisfaisant:

(a) l’application d’inflation induit un isomorphisme

H^{∗}(G) ≅ H^{∗}(G_{1})/(ψ_{1}, …, ψ_{d}),

et

(b) pour toute combinaison linéaire ψ non nulle des ψ_{i}, ψ|_{A_{1}} ∉ λ(A_{1}) si p > 2, ψ|_{⟨A_{1},a⟩} ∈ B(⟨A_{1}, a⟩) pour tout a ∈ G_{1} (resp. ψ|_{A_{1}} ∈ B(A_{1})) si p = 2.

En particulier, si G est engendré par un nombre fini d’éléments, l’application d’inflation Inf_{G}^{G/G^{p}[G,G]} induit un isomorphisme

Λ_{∗}((G/G^{p}[G, G])^{∗}) ≅ H^{∗}(G)

si et seulement si G est uniforme.

Supposons que N soit presque puissamment plongé dans un pro-p-groupe G et Ω = Ω_{1}(N) est central avec Ω ⊄ Φ(G), où Φ(G) est le sous-groupe de Frattini de G. Posons M = Ω ∩ Φ(G). Le groupe quotient L = Ω/M peut alors être considéré comme facteur direct de Ω, donc de G. Il existe alors les sous-groupes K, N, N_{1} de G tels que

(i) G = K × L, N = N_{1} × L, Ω_{1}(N_{1}) = M;

(ii) N_{1} est presque puissamment plongé dans K;

(iii) si N est Ω-extensible dans G, alors N_{1} est Ω-extensible dans K. De plus, L est abélien élémentaire et H^{∗}(G) = H^{∗}(K) ⊗ H^{∗}(L). Pour considérer la cohomologie des pro-p-groupes G ayant des sous-groupes N presque puissamment plongés et Ω-extensibles dans G, on peut donc supposer que Ω = Ω_{1}(N) soit central et soit contenu dans le sous-groupe de Frattini de G.

Théorème ([54]). Soit N un sous-groupe presque puissamment plongé dans un pro-p-groupe G avec d(N^{p}) = d. Posons Ω = Ω_{1}(N), Ω′ = Ω ∩ N^{p}, k = d(Ω), k′ = d(Ω′). Les énoncés suivants sont équivalents:

(i) N est Ω-extensible dans G;

(ii) Ω est abélien et il existe z_{1}, …, z_{k} dans H^{2}(G) tels que z_{1}|_{Ω}, …, z_{k}|_{Ω} (resp. z_{1}|_{Ω′}, …, z_{k′}|_{Ω′}) est une base de B(Ω) (resp. B(Ω′)) et

H^{∗}(G) = H^{∗}(G_{1})/(z_{1}^{(1)}, …, z_{d}^{(1)}) ⊗ 𝔽_{p}[z_{1}, …, z_{k′}].

Nous obtenons le corollaire suivant, dont le cas p ≥ 5 a été traité dans [6, Théorème 3.16] et le cas p impair dans [80, Corollaire 4.2], quand G est fini et n = k = d.

Corollaire ([54]). Soit G un pro-p-groupe puissant avec d(G) = n et d(Φ(G)) = d. Posons Ω = Ω_{1}(G) et k = d(Ω). Les énoncés suivants sont équivalents:

(i) Ω est abélien et il existe y_{1}, …, y_{k+d−n} de H^{2}(G) et une base x_{1}, …, x_{n} de

H^{1}(G) tels que

H^{∗}(G) = \{ \begin{matrix}Λ[x_{1}, …, x_{n}] ⊗ 𝔽_{p}[y_{1}, …, y_{k+d−n}, βx_{d+1}, …, βx_{n}] & pour p > 2, \\ Λ[x_{1}, …, x_{d}] ⊗ 𝔽_{2}[y_{1}, …, y_{k+d−n}, x_{d+1}, …, x_{n}] & pour p = 2, \end{matrix}

et y_{1}|_{Ω}, …, y_{k+d−n}|_{Ω}, βx_{d+1}|_{Ω}, …, βx_{n}|_{Ω} est une base de B(Ω); (ii) G est Ω-extensible.

Théorème ([54]). Gardons les hypothèses du théorème précédent. Soient Γ une Ω-extension de G et U le sous-groupe de Aut (Γ) qui préserve N. L’image de U dans Aut (G) sera noté V. Alors, comme V -modules,

H^{∗}(G) ≅ H^{∗}(G_{1})/(z_{1}^{(1)}, …, z_{d}^{(1)}) ⊗ 𝔽_{p}[Ω^{∗}].

Problème Soit G un groupe profini. Trouver une condition nécessaire et suffisante de H^{∗}(G) pour que G possède un nombre fini de classes de conjugaison de p-sous-groupes finis.

5. Le problème de la première occurrence

Soit p un nombre premier et soit 𝕄_{n} = 𝕄_{n}(𝔽_{p}) le semi-groupe des n×n-matrices avec coefficients dans 𝔽_{p}. On désigne par P = 𝔽_{p}[x_{1}, …, x_{n}] l’algèbre polynomiale sur 𝔽_{p} ayant x_{1}, …, x_{n} comme variables. ll y a donc une action de 𝔽_{p}[𝕄_{n}] sur P donnée par

\begin{aligned}^{σ}x_{i} & = ∑_{j=1}^{n} a_{ji}x_{j}, 1 ≤ i ≤ n, \\ ^{σ}f(x_{1}, …, x_{n}) & = f(^{σ}x_{1}, …,^{σ} x_{n}) \end{aligned}

avec σ = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ 𝕄_{n}, f(x_{1}, …, x_{n}) ∈ P.

Si ρ est un 𝔽_{p}[M_{n}]-module irréductible, il est connu (cf. [13, 58]) que ρ est isomorphe à un sous-module, et aussi à un facteur de composition de P.

Rappelons que (cf. [24, Chapter 8]) les 𝔽_{p}[𝕄_{n}]-modules irréductibles sont indexés, à un isomorphisme près, par des partitions p-régulières pour les colonnes, c’est-à-dire, par les suites des entiers

λ_{1}, …, λ_{n}

satisfaisant 0 ≤ λ_{i} − λ_{i+1} ≤ p − 1 pour 1 ≤ i ≤ n − 1 et 0 ≤ λ_{n} ≤ p − 1. Désignons par L(λ) le 𝔽_{p}(𝕄_{n})-module irréductible correspondant à la partition prégulière λ = (λ_{1}, …, λ_{n}) pour les colonnes. Récemment, dans [78], ces modules irréductibles ont été exprimés en termes des invariants modulaires comme suit. Pour 1 ≤ i ≤ n, soit

V_{i} = ∏_{λ_{j}∈𝔽_{p}}(λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{i−1}x_{i−1} + x_{i})

l’invariant de Mùi et soit

L_{i} = V_{1} · . . . · V_{i}

l’invariant de Dickson. Il est clair que

L_{n} = | \begin{matrix}x_{1} & x_{2} & … & x_{n} \\ x_{1}^{p} & x_{2}^{p} & … & x_{n}^{p} \\ . & . & … & . \\ x_{1}^{p^{n−1}} & x_{2}^{p^{n−1}} & … & x_{n}^{p^{n−1}} \end{matrix} |

et ^{σ}L_{n} = det σ · L_{n} pour tout σ ∈ 𝕄_{n}. Soit β = (β_{1}, …, β_{n}) avec 0 ≤ β_{i} ≤ p − 1, et posons L^{β} = ∏_{i=1}^{n} L_{i}^{β_{i}} ∈ P. Désignons par H_{β} = H_{β}(𝕄_{n}) le 𝔽_{p}(𝕄_{n})- module engendré par L^{β} dans P (donc H_{β} s’identifie avec l’espace vectoriel sur 𝔽_{p} engendré par l’ensemble {^{σ}L^{β}|σ ∈ 𝕄_{n}}). Dans [78], Trí a montré que {H_{β}|β = (β_{1}, …, β_{n}), 0 ≤ β_{i} ≤ p − 1} est l’ensemble consitué de p^{n} modules irréductibles distincts de l’algèbre 𝔽_{p}[𝕄_{n}].

On remarque que, en termes des partitions p-régulières pour les colonnes, pour 0 ≤ β_{i} ≤ p−1, H_{β} correspond à la suite λ = (λ_{1}, …, λ_{n}) avec λ_{i} = β_{i}+⋯+β_{n}, 1 ≤ i ≤ n.

On peut donc se demander quelle est la première valeur du degré d(λ) (resp. d_{c}(λ)) pour laquelle L(λ) apparaît comme sous-module (resp. facteur de composition) de P_{d(λ)} (resp. P_{d_{c}(λ)}), le sous-ensemble de P constitué des polynômes homogènes de degré d(λ) (resp. d_{c}(λ)). Ce problème de la première occurrence vient de la topologie, car il est relié à la description de la cohomologie de certains espaces comme module sur l’algèbre de Steenrod (cf. [81]). Pour p = 2, ce problème de la première occurrence a été résolu dans [8, 69]. Pour tout p, la première occurrence des 𝔽_{p}[𝕄_{n}]-modules irréductibles, comme sous-modules, est déterminée par le théorème suivant.

Théorème ([56]). Pour tout p, étant donné β comme ci-dessus, la première occurrence de H_{β} comme sous-module de P_{d} est pour d = deg L^{β}.

D’après [69], pour p = 2 et pour chaque partition p-régulière λ pour les colonnes, il existe aussi un opérateur de Steenrod qui relie la première occurrence de L(λ) comme facteur de composition à sa première occurrence comme sous-module.

Pour p impair, d_{c}(λ) n’est pas encore connu en général. En particulier, le problème de la première occurrence semble difficile même pour les représentations de dimension 1 det^{k}, 1 ≤ k ≤ p − 3, p > 3 (cf. [8, 9]), tandis qu’il est déjà résolu pour det^{p−2} ([7]). (La partition indexant det^{k} est (k, …, k) = (k^{n}), c’est-à-dire que k est répété n fois.)

Nous traitons une classe de représentations irréductibles L(λ) qui viennent naturellement de la considération des puissances tensorielles de l’algèbre polynomiale p-tronquée comme suit.

Le module polynomial tronqué T^{d} = P_{d}/(P_{d} ∩ (x_{1}^{p}, …, x_{n}^{p})) a pour 𝔽_{p}-base, dans P_{d}, l’ensemble de tous les monômes x_{1}^{s_{1}}x_{2}^{s_{2}} ⋯ x_{n}^{s_{n}} de degré total d = ∑_{i} s_{i} avec s_{i} < p pour 1 ≤ i ≤ n. D’après [8, Théorème 6.1], on a T^{d} ≅ L((p − 1)^{n−1}b), où d = (n − 1)(p − 1) + b et 1 ≤ b ≤ p − 1. Nous considérons le diagramme correspondant comme bloc de p − 1 colonnes, dans lequel les b premières colonnes sont de longueur n et les p−b−1 colonnes qui restent sont de longueur n−1. Étant donnée une partition λ, nous divisons son diagramme en m blocs de p − 1 colonnes. (Le m-ième bloc pourrait avoir < p − 1 colonnes.) Pour 1 ≤ j ≤ m, soit λ_{(j)} la partition dont le diagramme est le j-ième bloc, et soit γ_{j} = deg λ_{(j)} le nombre de boîtes dans le j-ième bloc.

Définition. Une partition p-régulière λ pour les colonnes est appelée T-régulière si L(λ_{(j)}) ≅ T^{γ_{j}} pour tout j. Autrement dit, pour tout a ≥ 1, il existe au plus une valeur i pour laquelle (a − 1)(p − 1) < λ_{i} < a(p − 1). Si λ est T-régulière, γ est appelé le T-conjugué de λ.

Pour p = 2, T peut être identifié avec l’algèbre extérieure Λ(x_{1}, …, x_{n}), et toutes les représentations irréductibles L(λ) de 𝕄_{n} sont T-régulières. Pour p > 2, les seules représentations irréductibles T-régulières et de dimension 1 de 𝕄_{n} sont: la représentation “triviale”, dans laquelle toutes les matrices opèrent comme 1, et la représentation det^{p−1}, dans laquelle les matrices non-singulières opèrent comme 1 et les matrices singulières comme 0. La représentation “triviale”, pour laquelle λ = (0), apparaît seulement dans P comme P_{0}, les polynômes constants. Notre exemple clé est la représentation det^{p−1}. Elle apparaît d’abord comme facteur de composition au degré le plus haut T^{n(p−1)} de T, où il est engendré par le monôme (x_{1}x_{2} ⋯ x_{n})^{p−1} modulo les puissances p-ièmes, et d’abord comme sous-module au degré p^{n} − 1, où il est engendré par L_{n}^{p−1}.

Théorème ([57]). Soit χ l’anti-isomorphisme canonique de A(p). Alors, pour n ≥ 1,

χ(P^{p_{n}−n})(x_{1}x_{2} ⋯ x_{n})^{p−1} = L_{n}^{p−1},

où p_{n} = (p^{n} − 1)/(p − 1).

Ce résultat reste valable pour p = 2 si nous remplaçons P^{r} par Sq^{r} ([69]). On peut remplacer χ(P^{p_{n}−n}) par le monôme admissible P^{p^{n−1}−1} ⋯ P^{p^{2}−1}P^{p−1}, qui s’identifie avec l’élément St^{∅,(p−1)^{n−1}} de la base de Milnor.

Soit λ une partition T-régulière de longueur n. Définissons w(λ′) = ∏_{j=1}^{λ_{1}} L_{λ′_{j}}, où λ′ est le conjugué de λ. D’après [56], deg(w(λ′)) est le degré de la première occurrence de L(λ) comme sous-module dans P. Nous indexons le diagramme de λ en utilisant les coordonnées (i, j) du matrice, afin que 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ λ_{i}. Le k-ième antidiagonal du diagramme de λ est l’ensemble des boîtes telles que j + i(p − 1) = k + p − 1. Si la boîte la plus basse est à la ligne i et la plus haute à la ligne i − s + 1, posons

v_{k}(λ) = | \begin{matrix}x_{i−s+1} & x_{i−s+2} & … & x_{i} \\ x_{i−s+1}^{p} & x_{i−s+2}^{p} & … & x_{i}^{p} \\ · & · & … & · \\ x_{i−s+1}^{p^{s−1}} & x_{i−s+2}^{p^{s−1}} & … & x_{i}^{p^{s−1}} \end{matrix} | ,

et soit v(λ) = ∏_{k=1}^{γ_{1}} v_{k}(λ). (Par exemple, pour λ = ((p − 1)^{n}), w(λ′) = L_{n}^{p−1} et v(λ) = (x_{1}x_{2} … x_{n})^{p−1}.)

Posons P̂^{r} = (−1)^{r}χ(P^{r}). Soit λ une partition T-régulière. Le résultat suivant montre qu’il existe un opérateur de Steenrod θ(λ) qui relie la première occurrence du facteur de composition et celle du sous-module dans P de L(λ). Ceci détermine d_{c}(λ) dans le cas d’une partition T-régulière. L’opérateur θ(λ) est donné explicitement comme image d’un monôme admissible par l’anti-automorphisme canonique χ de A(p).

Théorème ([57]). Supposons que λ soit T-régulière dont le T-conjugué γ est de longueur m. Pour 1 ≤ k ≤ m, soit γ_{k} = (n_{k} − 1)(p − 1) + b_{k}, où n_{k} ≥ 1 et 1 ≤ b_{k} ≤ p − 1. Alors

P̂^{r_{m}} ⋯ P̂^{r_{2}} P̂^{r_{1}}v(λ) = w(λ′),

où r_{k} = (b_{k} + 1)p_{n_{k}−1} − (n_{k} − 1) − ∑_{j=k+1}^{m} p^{j−k−1}γ_{j}.

Ce théorème détermine le degré d_{c}(λ) de la première occurrence quand λ est T-régulière.

Corollaire ([57]). Supposons que λ soit T-régulière dont le T-conjugué est γ. Alors le premier degré pour lequel le module irréductible L(λ) apparaît comme facteur de composition dans l’algèbre polynomiale P est donné par

d_{c}(λ) = ∑_{i=1}^{m} p^{i−1}γ_{i},

et le 𝔽_{p}[𝕄_{n}]-sous-module de P_{d_{c}(λ)} engendré par v(λ) possède un quotient isomorphe à L(λ).

Problèmes

1. Déterminer d_{c}(λ) pour p impair.

2. Soient λ une partition p-régulière et c_{λ} la borne inférieure de d_{c}(λ) donnée dans [9]. Supposons que λ ne soit pas T-régulière. Est-il vrai que d_{c}(λ) > c_{λ} ?

3. Est-il vrai qu’il existe toujours un opérateur de Steenrod qui relie la première occurrence du facteur de composition à la première occurrence comme sous-module dans P ?

Remerciements

Je voudrais profiter de cette occasion pour remercier:

Les professeurs qui m’ont enseigné depuis mes années universitaires, en particulier Nguyễn Sĩ Hồng et Ngô Thế Phiê. t pour leurs encouragements, et Huỳnh Mùi qui m’a enseigné la cohomologie des groupes; il m’a aussi appris la passion de poursuivre les mathématiques et la manière de s’adapter à la vie mathématique.

Messieurs David Benson, Pierre Cartier, Hans-Werner Henn, Jean Lannes, Bob Oliver, Stewart Priddy, Lionel Schwartz, Thevenaz, qui ont accepté de faire partie du Jury.

Mes collègues, avec qui j’ai eu des collaborations depuis des années: Nguyễn Viết D - u. ´ c, Bruno Kahn, David Green, Nguyễn Hu. ˜ u Viê. t Hu.ng, Peter Symonds, Tôn Thất Trí, Võ Thanh Tùng, Grant Walker, et autres mathématiciens avec qui j’ai eu de discussions intéressantes: Angelina Chin, Nguyễn Tu.. Cu.o. ` ng, Hélène Esnault, Eckart Viehweg, Ian Leary, Robert Sandling, Ngô Viê. t Trung.

L’IHES pour les meilleures conditions de travail durant la préparation de ce rapport.

L’Université Paris-Nord pour m’avoir accueilli en vue de la présentation de ce rapport.

Lionel Schwartz pour son aide précieux dans la réalisation de ce travail, sans qui cette soutenance n’aurait pas pu être réalisée.

La famille Hoàng Anh à D - à nẵng, mes amis vietnamiens résidant à Paris: Châu, Hu.o.ng, Mai, Tuấn, Su.. et mes collègues au Département de Mathématiques de la Faculté des Sciences de Huế pour leurs aide et encouragements; Châu, mes frères et sœurs Nga, Tuấn et Tú qui m’ont fait des corrections linguistiques, et enfin, Phu.o..ng et Nin, qui partagent avec moi les saveurs de la vie familiale.

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