UNIVERSITÉ DE LAUSANNE FACULTÉ DES SCIENCES

Propriétés homotopiques du complexe de Quillen du groupe symétrique

Thèse de doctorat

présentée à la Faculté des sciences

de l’Université de Lausanne par

Rached KSONTINI

Diplômé en Mathématiques Université de Lausanne

Jury

Prof. Jacques HAUSSER, Président Prof. Jacques THÉVENAZ, Directeur de thèse

Prof. Dominique ARLETTAZ, Expert Prof. Serge BOUC, Expert

LAUSANNE

Remerciements

Je remercie sincèrement le Professeur Jacques Thévenaz d’avoir bien voulu diriger mon travail. Ses conseils éclairés, sa disponibilité et son accueil toujours chaleureux furent essentiels à l’aboutissement de ce doctorat.

Je remercie Messieurs les experts: le Professeur Serge Bouc pour ses idées astucieuses dont j’ai amplement profité, et le Professeur Dominique Arlettaz pour ses nombreux commentaires et sa constante amabilité.

Merci également aux membres de l’Institut de Mathématiques, et tout particulièrement à mon collègue de bureau Bernard Stalder pour son agréable compagnie.

Enfin, je remercie de tout mon coeur mes parents pour leur soutien inconditionnel.

Table des mati�eres

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chapitre 1. D�e�nitions et premiers r�esultats . . . . . . . . . . . . . . 5

§1. Le complexe simplicial associé à un ensemble ordonné . . . . . . . . . . . . 6 §2. Le complexe de Quillen du groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . 8 §3. Le complexe des p-cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §4. Le complexe des p-partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 §5. Filtrations et suites exactes longues en homologie . . . . . . . . . . . . . 26

Chapitre 2. Groupes d’homologie de degr�e �elev�e . . . . . . . . . . . . 35

§6. Groupes d’homologie non nuls de degré maximal . . . . . . . . . . . . . . 36 §7. Une suite spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 §8. Les groupes d’homologie de degré élevé du complexe de Quillen et du complexe des p-cycles . 46

Chapitre 3. Groupe fondamental et k-connexit�e . . . . . . . . . . . . . 53

§9. Le groupe fondamental du complexe des p-cycles . . . . . . . . . . . . . 54 §10. Le groupe fondamental du complexe des p-partitions et du complexe de Quillen …. 63 §11. Un groupe fondamental non trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 §12. k-connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Chapitre 4. Calculs explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

§13. Le complexe des p-partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 §14. Le complexe des p-cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 §15. Le complexe de Quillen du groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . 84 §16. Invariants de Lefschetz du complexe des p-partitions et du complexe des p-cycles … 87

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Introduction

Soient G un groupe fini, p un nombre premier et S_{p}(G) l’ensemble ordonné par inclusion des p -sous-groupes non triviaux de G. A l’ensemble ordonné S_{p}(G) on associe de manière tout à fait standard un complexe simplicial ΔS_{p}(G) . Le groupe G agit par conjugaison sur l’ensemble ordonné S_{p}(G) et par suite, agit naturellement sur ΔS_{p}(G) . Le complexe simplicial ΔS_{p}(G) , que l’on appelle maintenant complexe de Brown de G, est apparu pour la première fois en 1975 dans un article de Brown [BR] sur la caractéristique d’Euler de certains groupes. Brown y montre en particulier le théorème suivant :

Théorème de Brown. Si G est un groupe fini et p un nombre premier, alors

χ( ΔS_{p}(G) ) ≡ 1 mod |G|_{p} ,

où |G|_{p} désigne l’ordre d’un p-sous-groupe de Sylow de G.

C’est en 1978 , avec la parution de l’article de Quillen [QU], que l’étude du complexe des p-sous-groupes prend tout son sens. Quillen montre que si G est un groupe de Chevalley fini, alors ΔS_{p}(G) a le même type d’homotopie que l’immeuble de Tits associé à G. Autrement dit, le complexe des p -sous-groupes d’un groupe G est une généralisation de la notion d’immeuble. En outre, Quillen démontre plusieurs résultats qui relient des propriétés homotopiques du complexe simplicial ΔS_{p}(G) à des propriétés p-locales du groupe G. Par exemple, il prouve partiellement la conjecture suivante :

Conjecture de Quillen. Si G est un groupe fini et ΔS_{p}(G) est contractile, alors G possède un p-sous-groupe normal non trivial.

Plus précisément, Quillen considère dans son article l’ensemble ordonné par inclusion A_{p}(G) des p-sous-groupes abéliens élémentaires non triviaux de G et il montre que l’inclusion du complexe simplicial ΔA_{p}(G) , que l’on appelle maintenant complexe de Quillen de G, dans le complexe de Brown ΔS_{p}(G) est une équivalence d’homotopie. Dix ans plus tard, Thévenaz et Webb [TH-WE] ont même prouvé que cette inclusion est une G-équivalence d’homotopie. Plus récemment, Thévenaz [TH] et Bouc ont montré, grâce à l’article de Knörr et Robinson [KN-RO], que la conjecture d’Alperin en théorie des représentations modulaires est équivalente à la conjecture simpliciale :

−z_{p}(G) = ∑_{[g]} χ̃(Δ(S_{p}(G)^{g})/C_{G}(g)),

où la somme parcourt l’ensemble des classes de conjugaison [ g] de G et z_{p}(G) compte le nombre des représentations irréductibles de G sur ℂ, à isomorphisme près, dont la dimension est un multiple de |G|_{p} . Cette conjecture est maintenant prouvée dans de très nombreux cas. Les résultats cités ci-dessus laissent présager que le complexe de Brown ΔS_{p}(G) , muni de l’action de G, contient l’information inhérente à la structure p-locale du groupe G, d’où l’intérêt de calculer ses invariants homotopiques (caractéristique d’Euler, modules d’homologie, groupes d’homotopie...). Il est bien connu que, mis à part quelques exceptions de petite dimension énumérées dans [ASC , proposition 6.2 ], le complexe simplicial ΔS_{p}(G) est connexe s’il est de dimension ≥ 1 . Il est alors naturel de se demander pour quels groupes G et nombres premiers p, le complexe de Brown ΔS_{p}(G) est simplement connexe. Dans son article [ASC], Aschbacher énonce une conjecture sur la connexité simple de certains complexes minimaux, qu’il démontre dans de multiples cas. Moyennant cette conjecture, Aschbacher prouve que le problème posé se réduit à la caractérisation des groupes simples G et des nombres premiers p, pour lesquels ΔS_{p}(G) est simplement connexe. Pour se faire une idée plus précise de l’état des connaissances dans le domaine des complexes de sous-groupes, il est conseillé de consulter l’article de Webb [WE] ou le livre de Smith [SM].

Dans le cas où G désigne le groupe symétrique S_{n} de degré n ≥ 1 , le type d’homotopie de l’ensemble ordonné S_{p}(S_{n}) , c’est-à-dire du complexe simplicial ΔS_{p}(S_{n}) , est peu connu. L’ensemble ordonné A_{p}(S_{n}) est beaucoup plus petit que S_{p}(S_{n}) , néanmoins le calcul de ses modules d’homologie s’avère très difficile. L’objectif de ce travail est de déterminer, par l’étude des sous-complexes ΔD_{p}(n) et ΔT_{p}(n) définis cidessous, certaines propriétés homotopiques du complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) . Les méthodes utilisées sont un mélange de topologie algébrique, de combinatoire et de théorie du groupe symétrique.

Soit p un nombre premier, n un entier ≥ 1 et notons ℕ_{n} = { 1 , 2 , …, n }. Une p-partition de ℕ_{n} est une partition non triviale de ℕ_{n} , dont toutes les parties sont de cardinal 1 ou p. Autrement dit, une p-partition est une famille non vide de parties de ℕ_{n} de cardinal p deux à deux disjointes. On note D_{p}(n) l’ensemble des p-partitions de ℕ_{n} , que l’on munit de l’ordre évident. On définit l’ensemble ordonné T_{p}(n) comme le sous-ensemble de A_{p}(S_{n}) formé des p-sous-groupes abéliens élémentaires du groupe symétrique S_{n} qui sont engendrés par des p-cycles. Autrement dit, un élément de T_{p}(n) est un sous-groupe de S_{n} engendré par des p-cycles deux à deux disjoints. Le complexe des p-partitions ΔD_{p}(n) et le complexe des p-cycles ΔT_{p}(n) peuvent être vus naturellement comme des sous-complexes du complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) . L’idée de considérer ces sous-complexes simpliciaux est due à Bouc. Dans son article [BO3], il étudie l’homologie de l’ensemble ordonné D_{2}(n) , qui est isomorphe à l’ensemble ordonné T_{2}(n) . Notamment, il montre la proposition suivante :

Proposition (Bouc). Le groupe fondamental π_{1}( D_{2}(7) ) est cyclique d’ordre 3 .

Ce calcul surprenant motive à lui tout seul l’étude des ensembles ordonnés D_{p}(n) et T_{p}(n) . Les résultats obtenus dans ce travail sont nettement moins précis que ceux obtenus par Bouc au sujet de l’ensemble D_{2}(n) . Ils permettent tout de même de déduire des propriétés concernant les groupes d’homologie et le groupe fondamental du complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) .

Le premier chapitre constitue une présentation des ensembles ordonnés A_{p}(S_{n}) , T_{p}(n) et D_{p}(n) . Leurs points communs et leurs caractéristiques y sont mis en évidence. Nous verrons par exemple, que les ensembles A_{p}(S_{n}) et T_{p}(n) ont le même type d’homotopie lorsque n < p^{2} . Nous montrerons notamment au théorème 5.8 , respectivement théorème 5.14 , l’existence d’une collection très utile de suites exactes reliant les groupes d’homologie de certains sous-complexes du complexe des p-cycles ΔT_{p}(n) , respectivement du complexe des p-partitions ΔD_{p}(n) .

Le deuxième chapitre est consacré aux groupes d’homologie de degré élevé. Nous verrons qu’en règle générale, les groupes d’homologie de degré élevé des ensembles ordonnés A_{p}(S_{n}) et T_{p}(n) sont isomorphes (proposition 8.1 ). Si n = dp + r où 0 ≤ r < p, le complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) est de dimension d − 1 .

Pourtant, dans le cas où p = 3 et n est un multiple de 3 , l’ensemble A_{3}(S_{3d}) a le type d’homotopie d’un ensemble ordonné de dimension d − 2 (proposition 6.7 ). Par contre, si p ≥ 5 , le groupe d’homologie de degré maximal H_{d−1}( A_{p}(S_{n}) ) est abélien libre non nul (corollaire 6.5 ), et il est même possible de donner explicitement son rang si n est un multiple de p (corollaire 8.3 ).

Au chapitre 3 , nous déterminons les valeurs p et n, pour lesquelles les ensembles ordonnés cités ci-dessus sont simplement connexes. Le théorème qui suit, énoncé à la fin du paragraphe 11 , constitue certainement le résultat le plus important de ce travail :

Théorème. Soit p un nombre premier et n un entier > p. Si p ≥ 3 , le complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) est simplement connexe si et seulement si 3p + 2 ≤ n < p^{2} ou n ≥ p^{2} + p . (Remarquer que la condition 3p + 2 ≤ n < p^{2} implique p ≥ 5 .) En outre, si p = 2 , le complexe de Quillen ΔA_{2}(S_{n}) est simplement connexe si et seulement si n = 4 ou n ≥ 7 .

S’il est non trivial, le groupe fondamental π_{1}( A_{p}(S_{n}) ) est facile à calculer, sauf lorsque p ≥ 3 et 3p ≤ n ≤ 3p + 1 . Dans ce dernier cas, la question reste ouverte. Pour conclure ce chapitre, nous démontrons au paragraphe 12 un critère de k-connexité pour les ensembles ordonnés T_{p}(n) et D_{p}(n) (théorèmes 12.1 et 12.4 ), qui s’applique en partie au complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) (corollaire 12.3 ).

Finalement, le quatrième et dernier chapitre est un recueil de valeurs numériques et de résultats explicites déduits des chapitres précédents. En particulier, si n < 4p, le type d’homotopie des complexes simpliciaux ΔA_{p}(S_{n}) , ΔT_{p}(n) et ΔD_{p}(n) est donné explicitement dans presque tous les cas.

CHAPITRE 1

D�e�nitions et premiers r�esultats

L’objectif de ce chapitre, comme son titre l’indique, est d’énoncer les définitions, notations et premiers résultats auxquels nous ferons régulièrement référence par la suite. Le premier paragraphe constitue un bref rappel ayant trait au type d’homotopie d’un ensemble ordonné. Au paragraphe suivant, nous donnons une description explicite des sommets du complexe de Quillen du groupe symétrique ΔA_{p}(S_{n}) . Les paragraphes 3 et 4 sont consacrés au complexe des p-cycles ΔT_{p}(n) , respectivement au complexe des p-partitions ΔD_{p}(n) . Ces complexes ΔT_{p}(n) et ΔD_{p}(n) peuvent être vus comme des sous-complexes de ΔA_{p}(S_{n}) et les liens topologiques reliants ces trois complexes simpliciaux sont bien entendu précisés.

Si n = dp + r avec 0 ≤ r < p, les ensembles ordonnés A_{p}(S_{n}) , T_{p}(n) et D_{p}(n) sont tous trois de dimension d − 1 et connexes si n > 2p. En conséquence, leur type d’homotopie est connu si n < 3p. En outre, la caractéristique d’Euler des ensembles T_{p}(n) et D_{p}(n) est facile à calculer. A la fin du paragraphe 3 , respectivement paragraphe 4 , nous montrons l’existence d’une suite exacte longue reliant les groupes d’homologie des ensembles ordonnés T_{p}(n) , T_{p}(n − 1) et T_{p}(n − p) , respectivement D_{p}(n) , D_{p}(n − 1) et D_{p}(n − p) .

Finalement, dans le dernier paragraphe de ce chapitre, nous mettons en évidence une filtration d’un certain complexe simplicial CT_{p}(n) , dont la subdivision barycentrique s’identifie au complexe ΔT_{p}(n) , et nous en déduisons une collection de suites exactes longues en homologie. De manière tout à fait similaire, nous obtenons les résultats correspondants pour le complexe simplicial CD_{p}(n) , dont la subdivision barycentrique n’est rien d’autre que le complexe ΔD_{p}(n) .

§ 1 LE COMPLEXE SIMPLICIAL ASSOCIÉ À UN ENSEMBLE ORDONNÉ

Un complexe simplicial C est une famille de parties finies non vides d’un ensemble V , appelées simplexes, telles que :

(i) Pour tout x ∈ V , le singleton { x } est un simplexe. (ii) Toute partie non vide s′ d’un simplexe s est encore un simplexe. Un élément x ∈ V est alors appelé un sommet de C et l’ensemble V des sommets de C est noté Vert(C ). Par définition, la notation s ∈ C signifie donc que s est un simplexe de C . Dans ce qui suit, nous n’allons considérer que des complexes simpliciaux finis, c’est-à-dire des complexes dont l’ensemble des sommets est fini. Un simplexe de dimension k ou k-simplexe s = { x_{0} , x_{1} , x_{2}, …, x_{k} } est un simplexe formé de k + 1 sommets. Par souci de simplification, on confond couramment les sommets de C et les simplexes de dimension 0 . Un 1-simplexe est aussi appelé une arête. Si un complexe simplicial C ne contient que des k-simplexes avec k ≤ d et au moins un d-simplexe, on dit alors que C est de dimension d . Le complexe vide est dit de dimension −1 . Un complexe de dimension 1 est aussi appelé un graphe. Si C est un complexe simplicial à N sommets { x_{1} , x_{2} , x_{3} , …, x_{N} } et si { e_{1} , e_{2} , e_{3} , …, e_{N} } désigne la base canonique de ℝ^{N} , alors la réalisation géométrique d’un simplexe s = { x_{i_{0}} , x_{i_{1}} , x_{i_{2}} , …, x_{i_{k}} } est définie comme le simplexe géométrique standard de sommets { e_{i_{0}} , e_{i_{1}} , e_{i_{2}} , …, e_{i_{k}} } . La réalisation géométrique du complexe C , notée |C | , est la réunion des réalisations géométriques de chacun des simplexes s de C .

Un complexe simplicial C est dit ordonné si l’ensemble des sommets de C est muni d’un ordre partiel, dont la restriction à chacun des simplexes de C est un ordre total. Si C est un complexe simplicial ordonné et s = { x_{0} , x_{1} , x_{2} , …, x_{k} } un k-simplexe de C , il est alors sous-entendu que les sommets x_{i} ( i = 0, 1, …, k) sont numérotés dans l’ordre croissant, i.e. x_{0} < x_{1} < x_{2} < … < x_{k} . Les notions élémentaires d’homologie simpliciale sont bien exposées dans le livre de Rotman [ROT , chapitre 7 ]. Il y définit entre autres les groupes d’homologie (réduite ou non) et le groupe fondamental d’un complexe simplicial ordonné C . Il montre que ces groupes coïncident, à isomorphisme près, avec ceux de l’espace topologique |C |. Dès lors, on constate que les groupes d’homologie et le groupe fondamental de C ne dépendent pas de l’ordre partiel sur l’ensemble des sommets de C , et on définit le type d’homotopie de C , comme étant celui de |C |. En conséquence, on appliquera librement le langage topologique aux complexes simpliciaux. Par exemple, on dira que deux complexes simpliciaux sont homéomorphes si leurs réalisations géométriques le sont. Les groupes d’homologie H_{k}(C ) sont, par définition, des groupes abéliens. Si C est fini, ses groupes d’homologie sont de type fini, et on sait que tout groupe abélien de type fini est la somme directe d’un groupe abélien libre et d’un groupe fini de torsion. On définit le rang d’un groupe abélien de type fini comme étant le nombre minimal de générateurs de ce groupe. On définit aussi le rang libre d’un groupe abélien de type fini, comme étant le rang de sa partie libre. Il est bien connu que H_{0}(C ) est un groupe abélien libre de rang égal au nombre de composantes connexes de C et que, si d est la dimension de C , les groupes H_{k}(C ) sont nuls si k > d et le groupe d’homologie de degré maximal H_{d}(C ) est abélien libre. En outre, on sait que si C est connexe, alors le groupe d’homologie H_{1}(C ) est isomorphe à l’abélianisé du groupe fondamental π_{1}(C ).

Si C est un complexe simplicial fini de dimension d, on définit sa caractéristique d’Euler χ(C ) de la manière suivante :

χ(C ) = ∑_{k=0}^{d} (−1)^{k} · ♯{ k-simplexes } .

On définit encore sa caractéristique d’Euler réduite χ̃(C ) :

χ̃(C ) = χ(C ) − 1 .

§1 . Le complexe simplicial associé à un ensemble ordonné 7

La caractéristique d’Euler est un invariant homotopique. Plus précisément, si C est un complexe simplicial ordonné, alors (confer [ROT , théorème 7.15 ] )

(1.1)  χ(C ) = ∑_{k=0}^{d} (−1)^{k} · ranglibre( H_{k}(C ) ).

En particulier, −1 est la caractéristique d’Euler réduite de l’ensemble vide. De plus, si C est un graphe connexe, χ̃(C ) caractérise le complexe simplicial C . Explicitement, le complexe simplicial C a alors le type d’homotopie d’un bouquet de −χ̃(C ) cercles. Rappelons encore que si C est un complexe simplicial, la subdivision barycentrique Sd C de C est le complexe simplicial, dont les sommets sont les simplexes de C et les simplexes sont les chaînes finies non vides de simplexes de C . Les complexes simpliciaux C et Sd C sont homéomorphes.

Si X est un ensemble ordonné, c’est-à-dire un ensemble muni d’une relation d’ordre ≤, on définit le complexe simplicial ΔX associé à X comme le complexe simplicial ordonné, dont les sommets sont les éléments de X et les simplexes sont les chaînes finies non vides d’éléments de X . On définit alors le type d’homotopie de X comme étant celui du complexe simplicial associé ΔX . On parlera donc de la dimension de X , de la caractéristique d’Euler de X , du complexe de chaînes C_{∗}(X) de X , des groupes d’homologie H_{∗}(X) de X , ou encore du groupe fondamental π_{1}(X) de X . Comme le fait Bouc dans [BO1], il est possible de définir de manière directe les A-modules d’homologie H_{∗}(X, A) d’un ensemble ordonné X à coefficients dans un anneau A quelconque. Dans le cas où A = ℤ , on retrouve les groupes d’homologie déjà cités, que l’on appelle, en cas d’ambiguïté, groupes d’homologie entière.

Soit G un groupe. Un G-ensemble ordonné X est un ensemble ordonné, sur lequel le groupe G agit, de telle sorte que

x_{1} ≤ x_{2} ⇒ gx_{1} ≤ gx_{2} , quels que soient x_{1}, x_{2} ∈ X et g ∈ G .

Dans un tel cas, les A-modules d’homologie H_{∗}(X, A) deviennent alors des AG-modules. Si L est un sous-groupe normal de G et X un G/L-ensemble ordonné, alors Inf_{G/L}^{G} X désigne l’inflation de X , c’est-à-dire le G-ensemble ordonné X , sur lequel le groupe L agit trivialement. On montre facilement que, quel que soit l’entier k,

H_{k}(Inf_{G/L}^{G} X, A) = Inf_{G/L}^{G} H_{k}(X, A) .

Pour X un ensemble ordonné et x ∈ X , on note les ensembles ordonnés :

\begin{aligned}] . , x]_{X} & = \{ x′ ∈ X | x′ ≤ x \} , \\ [ x , . [_{X} & = \{ x′ ∈ X | x′ ≥ x \} , \\ ] . , x [_{X} & = \{ x′ ∈ X | x′ < x \} et \\ ] x , . [_{X} & = \{ x′ ∈ X | x′ > x \} . \end{aligned}

On définit alors le rang de x de la manière suivante :

rang(x) = dim( ] . , x]_{X}) + 1 .

Ainsi, un élément minimal de X est de rang 1 . Un tel élément est aussi appelé un atome de X . Un minimum absolu (respectivement maximum absolu) x_{0} dans X est un élément x_{0} ∈ X , qui vérifie la condition x_{0} ≤ x (respectivement x ≤ x_{0} ), quel que soit x ∈ X . Une application f : X → Y entre deux ensembles ordonnés X et Y est dite croissante si la relation x′ ≤ x implique f(x′) ≤ f(x) . Une telle application induit clairement une application simpliciale Δf de ΔX dans ΔY . On dit que f est une équivalence d’homotopie si Δf l’est. Pour tout y ∈ Y , on définit les sous-ensembles suivants :

f_{≤y} = { x ∈ X | f(x) ≤ y } et f_{≥y} = { x ∈ X | f(x) ≥ y } .

Les ensembles f_{≤y} et f_{≥y} sont appelés respectivement la fibre de f au-dessous de y et la fibre de f au-dessus de y.

Pour conclure ce paragraphe, nous allons énoncer deux résultats fondamentaux dans l’étude du type d’homotopie d’ensembles ordonnés. On les trouve dans le papier de Quillen [QU , section 1 ].

(1.2) Lemme (Propriété d’homotopie). Si X , Y sont deux ensembles ordonnés et f , g : X → Y deux applications croissantes telles que f(x) ≤ g(x) pour tout x ∈ X , alors f et g sont homotopes.

Un ensemble ordonné X est dit coniquement contractile s’il existe un élément x_{0} ∈ X et une application croissante f : X → X tels que x ≤ f(x) ≥ x_{0} pour tout x ∈ X . Dans un tel cas, la propriété d’homotopie ci-dessus montre que les applications id_{X} , f et l’application constante de X sur {x_{0}} sont homotopes, et donc X est contractile. En particulier, il est évident que si X désigne un ensemble ordonné qui contient un minimum ou un maximum absolu, alors X est coniquement contractile.

(1.3) Théorème. Soient X et Y deux ensembles ordonnés et f : X → Y croissante telle que f_{≤y} (respectivement f_{≥y}) est contractile, quel que soit y ∈ Y . Alors f est une équivalence d’homotopie.

Dans [WA , Section 2 ], Walker donne une preuve de ce dernier théorème plus élémentaire que celle de Quillen. En revanche, celle de Quillen s’applique à des situations beaucoup plus générales.

§ 2 LE COMPLEXE DE QUILLEN DU GROUPE SYMÉTRIQUE

Soient p un nombre premier et G un groupe. Un p-sous-groupe abélien élémentaire du groupe G est un p-sous-groupe abélien dont les éléments sont d’ordre 1 ou p. On note S_{p}(G) l’ensemble ordonné par inclusion des p-sous-groupes non triviaux de G et on appelle complexe de Brown le complexe simplicial associé. On note A_{p}(G) l’ensemble ordonné par inclusion des p-sous-groupes abéliens élémentaires non triviaux de G et on appelle complexe de Quillen le complexe simplicial associé. Quillen a montré [QU , section 2 ], à l’aide du théorème 1.3, que l’inclusion A_{p}(G) ⊆ S_{p}(G) est une équivalence d’homotopie. Remarquons que si H ∈ A_{p}(G) , alors H peut être vu comme un 𝔽_{p}-espace vectoriel. La dimension du 𝔽_{p}-espace vectoriel H coïncide bien sûr avec le rang de H , vu comme élément de l’ensemble ordonné A_{p}(G) .

Dorénavant, nous allons exclusivement nous intéresser au complexe de Quillen du groupe symétrique S_{n} . Soient p un nombre premier et n un entier ≥ 1 . On note ℕ_{n} = { 1 , 2 , …, n }. Un cycle de longueur p est appellé un p-cycle. Par définition de A_{p}(S_{n}) , il est évident que si H ∈ A_{p}(S_{n}) et σ ∈ H , alors σ est soit l’identité, soit un produit de p-cycles deux à deux disjoints. Pour σ ∈ S_{n} , on définit les points fixes et le support de σ de la manière suivante :

Fix(σ) = { i ∈ ℕ_{n} | σ(i) = i } et Supp(σ) = ℕ_{n} \ Fix(σ) .

Plus généralement, si H est un sous-groupe de S_{n} , on définit :

Fix(H) = ⋂_{σ∈H} Fix(σ) et Supp(H) = ⋃_{σ∈H} Supp(σ) .

§2 . Le complexe de Quillen du groupe symétrique 9

Si U est une partie de ℕ_{n} , on définit Perm(U) comme étant le sous-groupe de S_{n} formé des permutations dont le support est contenu dans U .

Pour commencer, nous allons donner, à travers deux propositions, une description des p-sous-groupes abéliens élémentaires du groupe symétrique. Pour ce faire, il nous faut rappeler les notions suivantes. Si G est un groupe et X un G-ensemble, l’action de G sur X est dite transitive si elle admet une seule orbite. Elle est dite régulière si, en plus d’être transitive, le stabilisateur de chaque x ∈ X est trivial. Dans un tel cas, quel que soit l’élément x_{0} ∈ X , l’application

f : G ⟶ X , définie par g ⟼ g · x_{0}

est un isomorphisme de G-ensembles, où le groupe G agit sur lui-même par multiplication à gauche. Si H ∈ A_{p}(S_{n}) , alors le groupe H agit naturellement sur l’ensemble ℕ_{n} et plus particulièrement sur son support Supp(H) . On dit que H est un p-sous-groupe relativement transitif si l’action de H sur son support est transitive.

(2.1) Proposition. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(a) H ∈ A_{p}(S_{n}) .

(b) H est un sous-groupe d’un groupe abélien élémentaire P = P_{1} ×P_{2} × … ×P_{l} , où l est un entier ≥ 1 et les P_{i} ∈ A_{p}(S_{n}) ( i = 1, 2, …, l) sont des p-sous-groupes relativement transitifs de supports deux à deux disjoints.

De plus, si H ∈ A_{p}(S_{n}) , il existe un unique sous-groupe abélien élémentaire P décomposant l’ensemble ℕ_{n} en les mêmes orbites que H et vérifiant les conditions de l’énoncé (b).

Preuve. (b) ⇒ (a) : C’est évident.

(a) ⇒ (b) : Soit H ∈ A_{p}(S_{n}) et considérons

ℕ_{n} = ⨆_{i=1}^{s} U_{i} ,

la décomposition de ℕ_{n} en ses orbites via l’action de H . On peut supposer qu’il existe un entier 1 ≤ l ≤ s tel que U_{1} , U_{2} , …, U_{l} désignent les orbites de cardinal > 1 et U_{l+1} , U_{l+2} , …, U_{s} les orbites triviales. Pour tout i = 1, 2, …, l , on pose alors

P_{i} = H|_{U_{i}} = { σ|_{U_{i}} | σ ∈ H } ⊆ Perm(U_{i}) .

Clairement, les p-groupes P_{i} ∈ A_{p}(S_{n}) ( i = 1, 2, …, l) sont relativement transitifs et H est un sousgroupe du groupe P = P_{1} × P_{2} × … × P_{l} . Il est évident que P ∈ A_{p}(S_{n}) , puisque les ensembles U_{i} ( i = 1, 2, …, l) sont deux à deux disjoints. En outre, en vertu du deuxième point de la proposition 2.2 qui suit, il est clair que P est l’unique sous-groupe abélien élémentaire décomposant l’ensemble ℕ_{n} en les mêmes orbites que H et vérifiant les conditions de l’énoncé (b).

(2.2) Proposition. Soit P ∈ A_{p}(S_{n}) un p-sous-groupe relativement transitif tel que Supp(P) = ℕ_{n} . L’action du groupe P sur l’ensemble ℕ_{n} est alors régulière et les deux assertions suivantes sont vérifiées :

(a) Si r ≥ 1 désigne le rang de P , alors n = p^{r} et toute permutation non triviale σ ∈ P est un produit de p^{r−1} p-cycles deux à deux disjoints.

(b) Le p-sous-groupe P est un élément maximal de l’ensemble ordonné A_{p}(S_{n}) .

Preuve.

(a) Soit σ ∈ P une permutation non triviale. On a

P ⊆ C_{S_{n}}(σ) ⊆ Perm( Supp(σ) ) × Perm( Fix(σ) ) ,

où C_{S_{n}}(σ) désigne le centralisateur de σ dans S_{n} . Puisque σ est non triviale, Supp(σ) ≠ ∅. De plus, Fix(σ) = ∅, car dans le cas contraire, l’action de P sur ℕ_{n} admettrait au moins deux orbites, ce qui contredit l’hypothèse. En particulier, on en déduit que si i ∈ ℕ_{n} , le stabilisateur de i dans P est trivial. Ainsi, l’action du groupe P sur l’ensemble ℕ_{n} est régulière et donc l’orbite P · i = ℕ_{n} est en bijection avec P . Par conséquent, n = |P | = p^{r} , où r ≥ 1 désigne le rang du p-groupe P , et σ est un produit de p^{r−1} p-cycles deux à deux disjoints.

(b) Soit Q ∈ A_{p}(S_{n}) tel que P ≤ Q. Alors le p-sous-groupe Q est aussi relativement transitif. Donc, par ce qui précède, Q est aussi de rang r et ainsi Q = P .

(2.3) Exemples.

(a) Si n < p^{2} , les éléments maximaux de A_{p}(S_{n}) sont tous de la forme

H = ⟨σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{k}⟩ ,

où les σ_{i} ( i = 0, …, k) sont des p-cycles deux à deux disjoints.

(b) Soient n ≥ p^{2} , { a_{ij} | 1 ≤ i, j ≤ p } ⊂ ℕ_{n} une partie de cardinal p^{2} et les permutations

\begin{aligned}σ & = (a_{11} a_{12} … a_{1p})(a_{21} a_{22} … a_{2p})(a_{31} a_{32} … a_{3p}) … (a_{p1} a_{p2} … a_{pp}) , \\ σ̃ & = (a_{11} a_{21} … a_{p1})(a_{12} a_{22} … a_{p2})(a_{13} a_{23} … a_{p3}) … (a_{1p} a_{2p} … a_{pp}) . \end{aligned}

On vérifie alors sans peine que le p-sous-groupe ⟨ σ , σ̃ ⟩ ∈ A_{p}(S_{n}) est relativement transitif de rang 2 .

(c) Soient p = 3 , n ≥ 27 et les permutations

\begin{aligned}σ & = (1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)(10 11 12)(13 14 15)(16 17 18)(19 20 21)(22 23 24)(25 26 27) , \\ σ̃ & = (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9)(10 13 16)(11 14 17)(12 15 18)(19 22 25)(20 23 26)(21 24 27) , \\ ˜σ̃ & = (1 10 19)(2 11 20)(3 12 21)(4 13 22)(5 14 23)(6 15 24)(7 16 25)(8 17 26)(9 18 27) . \end{aligned}

Il est alors facile à vérifier que le p-sous-groupe ⟨σ , σ̃ , ˜ σ̃⟩ ∈ A_{3}(S_{n}) est relativement transitif de rang 3 .

Nous allons, à présent, montrer que tous les p-sous-groupes de S_{n} abéliens élémentaires relativement transitifs de même rang r sont conjugués, puis nous calculerons le centralisateur et le normalisateur d’un tel sous-groupe. Ces résultats, dans le cas où r = 2 , nous seront utiles par la suite.

(2.4) Lemme. Si φ, ψ : G → Perm(X) sont deux actions régulières d’un groupe G sur un ensemble X , alors les sous-groupes φ(G) et ψ(G) de Perm(X) sont conjugués.

Preuve. Notons, pour tout g ∈ G et x ∈ X ,

g · x = (φ(g))(x)  et  g ∗ x = (ψ(g))(x) .

Fixons un élément x_{0} ∈ X . Puisque ces actions sont régulières, les applications

\begin{matrix}f_{φ} : G & → X \\ g & ↦ f_{φ}(g) = g · x_{0} \end{matrix}  et  \begin{matrix}f_{ψ} : G & → X \\ g & ↦ f_{ψ}(g) = g ∗ x_{0} \end{matrix}

sont des bijections et, par suite, l’application composée σ = f_{ψ} ∘ f_{φ}^{−1} est une permutation de X . Les sous-groupes φ(G) et ψ(G) de Perm(X) sont conjugués par cette permutation σ ∈ Perm(X) . En effet, si φ(g) ∈ φ(G) et x ∈ X , alors on peut écrire x = h ∗ x_{0} pour un certain h ∈ G, et on a

( σ φ(g) σ^{−1} )(h ∗ x_{0}) = (f_{ψ} ∘ f_{φ}^{−1} ∘ φ(g) ∘ f_{φ} ∘ f_{ψ}^{−1})(h ∗ x_{0}) = (f_{ψ} ∘ f_{φ}^{−1} ∘ φ(g) ∘ f_{φ})(h)
= (f_{ψ} ∘ f_{φ}^{−1} ∘ φ(g))(h · x_{0}) = ( f_{ψ} ∘ f_{φ}^{−1})(gh · x_{0})
= f_{ψ}(gh) = gh ∗ x_{0} = (ψ(g))(h ∗ x_{0}) .

(2.5) Lemme. Soit n ≥ p^{r} . Les p-sous-groupes de S_{n} abéliens élémentaires relativement transitifs de rang r sont tous conjugués.

Preuve. Soient P, Q ∈ A_{p}(S_{n}) deux sous-groupes abéliens élémentaires relativement transitifs de rang r. Par la proposition 2.2, on sait que les ensembles Supp(P) et Supp(Q) sont de cardinal p^{r} . Ainsi, quitte à conjuguer P , respectivement Q, par une permutation qui envoie l’ensemble Supp(P) , respectivement Supp(Q) , sur l’ensemble ℕ_{p^{r}} , on peut supposer que Supp(P) = Supp(Q) = ℕ_{p^{r}} . Puisque P et Q sont tous deux abéliens élémentaires de rang r, il existe deux isomorphismes de groupes

φ : C_{p}^{r} ⟼ P < Perm( ℕ_{p^{r}})  et  ψ : C_{p}^{r} ⟼ Q < Perm( ℕ_{p^{r}}) .

Bien entendu, on peut voir ces homomorphismes φ et ψ comme deux actions régulières du groupe C_{p}^{r} sur l’ensemble X = ℕ_{p^{r}} . Par la proposition 2.2, ces actions sont en effet régulières, puisque P et Q sont relativement transitifs. Par conséquent, en vertu du lemme 2.4, les sous-groupes φ(C_{p}^{r}) = P et ψ(C_{p}^{r}) = Q de Perm( ℕ_{p^{r}}) sont conjugués. A fortiori, ils sont donc aussi conjugués dans S_{n} .

(2.6) Lemme. Soient n ≥ p^{r} et P ∈ A_{p}(S_{n}) un sous-groupe abélien élémentaire relativement transitif de rang r. Le centralisateur de P dans S_{n} est alors donné par

C_{S_{n}}(P) = P × S_{n−p^{r}} ,

où S_{n−p^{r}} désigne le sous-groupe de S_{n} formé des permutations de support disjoint du support de P .

Preuve. Il est clair que C_{S_{n}}(P) = C_{S_{p^{r}}} (P) × S_{n−p^{r}} . Par suite, il nous suffit de montrer que C_{S_{p^{r}}} (P) = P . En outre, puisque P est abélien, l’inclusion P ⊆ C_{S_{p^{r}}} (P) est évidente, et donc il ne nous reste plus qu’à vérifier l’autre inclusion. Notons X = Supp(P) et soit x_{0} ∈ X . Puisque le sous-groupe abélien élémentaire P est relativement transitif et en vertu de la proposition 2.2, l’action du groupe P sur l’ensemble X est régulière. Autrement dit, l’application

f : P ⟶ X définie par σ ⟼ σ(x_{0})

est une bijection. Soit τ ∈ C_{S_{p^{r}}} (P) . Il existe une permutation η ∈ P telle que τ(x_{0}) = η(x_{0}) . Quel que soit σ(x_{0}) ∈ X , on peut alors écrire

τ(σ(x_{0})) = σ(τ(x_{0})) = σ(η(x_{0})) = η(σ(x_{0})) .

Par conséquent, τ = η ∈ P et donc C_{S_{p^{r}}} (P) = P .

(2.7) Lemme. Soient n ≥ p^{r} et P ∈ A_{p}(S_{n}) un sous-groupe abélien élémentaire relativement transitif de rang r. Le normalisateur de P dans S_{n} est alors donné par

N_{S_{n}}(P) ≅ C_{S_{n}}(P) ⋊ GL_{r}(𝔽_{p}) ,

où le groupe GL_{r}(𝔽_{p}) agit de manière naturelle sur le groupe C_{S_{n}}(P) .

Preuve. Par souci de clarté, nous noterons σ · η la composée de deux permutations σ , η ∈ S_{n} . Sans restriction de la généralité, on peut supposer que Supp(P) = ℕ_{n} . Le sous-groupe abélien élémentaire P est relativement transitif et donc, si x_{0} désigne un élément fixé dans ℕ_{n} , l’application

f : P ⟶ ℕ_{n} définie par σ ⟼ σ(x_{0})

est une bijection. Autrement dit, tout élément x ∈ ℕ_{n} s’écrit x = σ(x_{0}) pour une unique permutation σ ∈ P . Considérons l’homomorphisme de groupes

f : N_{S_{n}}(P) ⟶ Aut(P) défini par τ ⟼ f(τ) ,

où f(τ) désigne la conjugaison par τ dans P . Montrons que l’application

s : Aut(P) ⟶ N_{S_{n}}(P) définie par θ ⟼ s(θ) = τ_{θ} ,

est une section de f , où τ_{θ} ∈ S_{n} est la permutation définie par σ(x_{0}) ⟼^{τ_{θ}} (θ(σ))(x_{0}) , quel que soit σ(x_{0}) ∈ ℕ_{n} . Tout d’abord, il est facile de vérifier que si θ ∈ Aut(P) et σ ∈ P , alors

s(θ) · σ · s(θ)^{−1} = θ(σ) ∈ P .

Ainsi s(Aut(P)) ⊂ N_{S_{n}}(P) et l’application s est donc bien définie. En outre, cette application est un homomorphisme de groupes, car si θ et θ′ désignent deux automorphismes de P et σ(x_{0}) ∈ ℕ_{n} , alors

\begin{aligned}(s(θ ∘ θ′))(σ(x_{0})) & = ((θ ∘ θ′)(σ))(x_{0}) = (θ(θ′(σ)))(x_{0}) = τ_{θ}((θ′(σ))(x_{0})) \\ & = ( τ_{θ} · τ_{θ′} )(σ(x_{0})) = ( s(θ) · s(θ′) )(σ(x_{0})) . \end{aligned}

Finalement, si θ ∈ Aut(P) , η ∈ P et σ(x_{0}) ∈ ℕ_{n} , alors

(((f ∘ s)(θ))(η))(σ(x_{0})) = (τ_{θ} · η · τ_{θ}^{−1})(σ(x_{0})) = (θ(η · θ^{−1}(σ)))(x_{0}) = (θ(η) · σ)(x_{0}) = θ(η)(σ(x_{0})) ,

ce qui signifie que (f ∘ s)(θ) = θ , et donc s est bien une section de l’homomorphisme f .

Dès lors, on peut écrire

N_{S_{n}}(P) ≅ Ker(f) ⋊ Aut(P) .

Or il est clair que

Ker(f) = C_{S_{n}}(P)  et  Aut(P) ≅ GL_{r}(𝔽_{p}) .

Par conséquent, on a bien un isomorphisme

N_{S_{n}}(P) ≅ C_{S_{n}}(P) ⋊ GL_{r}(𝔽_{p}) .

Pour terminer ce paragraphe, nous allons exclusivement nous intéresser au type d’homotopie du complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) . En général, celui-ci paraît difficile à déterminer. Dans les deux lemmes suivants, nous allons voir que la dimension et la connexité de A_{p}(S_{n}) ne font néanmoins pas de mystère.

(2.8) Proposition. Si n = dp + r avec 0 ≤ r < p, alors

dim( A_{p}(S_{n}) ) = d − 1 .

Preuve. Soit H ∈ A_{p}(S_{n}) . Par la proposition 2.1, H est un sous-groupe d’un groupe abélien élémentaire P = P_{1} × P_{2} × … × P_{l} , où les P_{i} ∈ A_{p}(S_{n}) ( i = 1, 2, …, l) sont des p-sous-groupes relativement transitifs de supports deux à deux disjoints. Or en vertu de la proposition 2.2, on peut noter, pour tout i = 1, 2, …, l ,

♯( Supp(P_{i}) ) = p^{r_{i}} .

Dès lors, on a

∑_{i=1}^{l} p^{r_{i}} ≤ n et rang(H) ≤ rang(P) = ∑_{i=1}^{l} r_{i} avec l ≤ d ,

et on en déduit qu’un élément de A_{p}(S_{n}) de la forme

H = ⟨σ_{1} , σ_{2} , …, σ_{l}⟩ ,

où les σ_{i} ( i = 1, …, l) sont des p-cycles deux à deux disjoints, est de rang maximal. Par conséquent,

dim( A_{p}(S_{n}) ) = d − 1 .

(2.9) Proposition. L’ensemble ordonné A_{p}(S_{n}) est connexe si n > 2p.

Preuve. Soit n > 2p. Montrons tout d’abord que les sous-groupes cycliques engendrés par un p-cycle sont dans une même composante connexe. Soient deux p-cycles σ, τ ∈ S_{n} et raisonnons par récurrence sur l’entier ♯( Supp(σ) ∩ Supp(τ) ) ∈ {0, 1, 2, …, p}.

Si ♯( Supp(σ) ∩ Supp(τ) ) = 0 , le groupe ⟨σ , τ⟩ ∈ A_{p}(S_{n}) et on peut écrire

⟨σ⟩ < ⟨σ , τ⟩ > ⟨τ⟩ .

Autrement dit, les groupes ⟨σ⟩ et ⟨τ⟩ sont dans la même composante connexe.

Supposons à présent ♯( Supp(σ)∩Supp(τ) ) = u ≥ 1 et le résultat vérifié pour tout entier < u. Puisque n > 2p, il existe a ∈ ℕ_{n} tel que a ∉ Supp(σ) et a ∉ Supp(τ) . Il existe aussi b ∈ Supp(σ) ∩ Supp(τ) ⊂ ℕ_{n} . Considérons alors le p-cycles τ′ = (a b)τ(a b) . Il est évident que

♯( Supp(σ) ∩ Supp(τ′) ) = u − 1 ,

et donc par hypothèse de récurrence, on déduit que les groupes ⟨σ⟩ et ⟨τ′⟩ sont dans la même composante connexe. En outre, on sait aussi que ♯( Supp(τ) ∩ Supp(τ′) ) = p − 1 . Ainsi, puisque n > 2p, il existe un p-cycle μ ∈ S_{n} disjoint des p-cycles τ et τ′ . On a alors

⟨τ⟩ < ⟨τ , μ⟩ > ⟨μ⟩ < ⟨μ , τ′⟩ > ⟨τ′⟩ ,

et par suite les groupes ⟨τ⟩ et ⟨τ′⟩ sont dans la même composante connexe. Dès lors, les groupes cycliques ⟨σ⟩ et ⟨τ⟩ sont eux aussi dans la même composante connexe.

Pour terminer, il reste à voir que tout élément de A_{p}(S_{n}) est dans la même composante connexe qu’un groupe cyclique engendré par un p-cycle. Soient donc H ∈ A_{p}(S_{n}) et σ ∈ H . La permutation σ est un produit de p-cycles disjoints deux à deux. Notons σ = σ_{0} σ_{1} … σ_{r} . Ainsi, on a

H ≥ ⟨σ⟩ ≤ ⟨σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{r}⟩ ≥ ⟨σ_{0}⟩ .

Par conséquent, le groupe abélien élémentaire H est dans la même composante connexe que le groupe cyclique engendré par le p-cycle σ_{0} .

Nous allons maintenant nous intéresser plus particulièrement au type d’homotopie de A_{p}(S_{n}) , lorsque celui-ci est de toute petite dimension.

(2.10) Exemple. Quillen a montré dans [QU , exemple 2.7 ] que si p impair, alors :

(a) si n < p , A_{p}(S_{n}) est vide.

(b) si p ≤ n < 2p , A_{p}(S_{n}) est un ensemble discret à \frac{n!}{p(p − 1)(n − p)!} éléments.

(c) si n = 2p , ΔA_{p}(S_{2p}) est un graphe non connexe formé de \frac{(2p)!}{2(p!)^{2}} composantes, dont chacune a le type d’homotopie d’un bouquet de ((p − 2)! − 1)^{2} cercles.

A cet exemple, on peut ajouter que si p ≠ 2 et 2p < n < 3p , alors ΔA_{p}(S_{n}) est un graphe connexe. L’ensemble ordonné A_{p}(S_{n}) a donc le type d’homotopie d’un bouquet de −χ̃( A_{p}(S_{n}) ) cercles.

Dans le cas où p = 2 , nous sommes en mesure de donner le type d’homotopie de A_{2}(S_{n}) , pour tout entier n ≤ 6 . Pour ce faire, il nous faut juste rappeler le lemme qui suit.

(2.11) Lemme. Soient G un groupe fini et H ≤ G. L’inclusion

i : A_{p}(H) ↪ { Q ∈ A_{p}(G) | Q ∩ H ≠ 1 }

est une équivalence d’homotopie.

Preuve. Si Q ∈ { Q ∈ A_{p}(G) | Q∩H ≠ 1 }, il est alors immédiat que Q∩H ∈ A_{p}(H) . Considérons donc l’application croissante

f : { Q ∈ A_{p}(G) | Q ∩ H ≠ 1 } → A_{p}(H) , définie par f(Q) = Q ∩ H .

On vérifie très facilement que

(i ∘ f) (Q) ≤ Q ,  quel que soit Q ∈ { Q ∈ A_{p}(G) | Q ∩ H ≠ 1 } et
(f ∘ i) (Q) = Q ,  quel que soit Q ∈ A_{p}(H) .

Par conséquent, en vertu de la propriété d’homotopie (Lemme 1.2), l’inclusion i est une équivalence d’homotopie.

(2.12) Exemple.

(a) L’ensemble A_{2}(S_{1}) est vide. L’ensemble A_{2}(S_{2}) est réduit à un point. L’ensemble A_{2}(S_{3}) est un ensemble discret à trois éléments.

(b) On montre facilement que A_{2}(S_{4}) est contractile. Plus précisément, A_{2}(S_{4}) se contracte sur le sousgroupe abélien élémentaire ⟨ (1 2)(3 4) , (1 3)(2 4) ⟩, qui est en fait le seul 2-sous-groupe de rang 2 relativement transitif dans A_{2}(S_{4}) .

(c) Le complexe ΔA_{2}(S_{5}) est un graphe connexe. On calcule, sans trop de peine, que χ̃( A_{2}(S_{5}) ) = −16 . Par suite, A_{2}(S_{5}) a le type d’homotopie d’un bouquet de 16 cercles.

(d) L’ensemble ordonné A_{2}(S_{6}) a le même type d’homotopie que A_{2}(S_{5}) . Pour le prouver, on considère

l’inclusion

i : { Q ∈ A_{2}(S_{6}) | Q ∩ S_{5} ≠ 1 } ↪ A_{2}(S_{6}) .

On vérifie alors, ^{⟨⟨} à la main ^{⟩⟩}, que chacune des fibres i_{≥H} est contractile, quel que soit H ∈ A_{2}(S_{6}) . Ainsi, en vertu du théorème 1.3 et du lemme 2.11, on obtient

A_{2}(S_{5}) ≃ { Q ∈ A_{2}(S_{6}) | Q ∩ S_{5} ≠ 1 } ≃ A_{2}(S_{6}) .

§3 . Le complexe des p-cycles 15

Ce phénomène est exceptionnel. En effet, on peut vérifier, comme ci-dessus, que l’inclusion

j : { Q ∈ A_{3}(S_{6}) | Q ∩ S_{5} ≠ 1 } ↪ A_{3}(S_{6})

est aussi une équivalence d’homotopie, mais les couples (2, 6) et (3, 6) sont probablement les seuls couples (p, n) avec n ≥ p, pour lesquels l’inclusion

A_{p}(S_{n−1}) ≃ { Q ∈ A_{p}(S_{n}) | Q ∩ S_{n−1} ≠ 1 } ↪ A_{p}(S_{n})

est une équivalence d’homotopie.

§ 3 LE COMPLEXE DES p-CYCLES

Pour un nombre premier p et un entier n ≥ 1 , on définit l’ensemble ordonné T_{p}(n) comme le sous-ensemble de A_{p}(S_{n}) formé des p-sous-groupes abéliens élémentaires du groupe symétrique S_{n} qui sont engendrés par des p-cycles. Autrement dit,

T_{p}(n) = { ⟨σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{k}⟩ ∈ A_{p}(S_{n}) | σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{k} ∈ S_{n} sont des p-cycles deux à deux disjoints } .

Le complexe simplicial, associé à T_{p}(n) est appelé le complexe des p-cycles de S_{n} . De manière plus générale, si E désigne un ensemble fini quelconque, on pose

T_{p}(E) = { ⟨σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{k}⟩ ∈ A_{p}( Perm(E) ) | σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{k} ∈ Perm(E) sont des p-cycles disjoints } .

Il est évident que si n désigne le cardinal de E , alors les ensembles ordonnés T_{p}(n) et T_{p}(E) sont isomorphes.

Si H ∈ T_{p}(n) est de rang k, alors il est clair que l’ensemble ] . , H [_{T_{p}(n)} s’identifie à l’ensemble ordonné par inclusion des parties propres et non vides d’un ensemble de cardinal k. Cette propriété de T_{p}(n) permet de formuler la remarque qui suit.

(3.1) Remarque. Soit CT_{p}(n) le complexe simplicial, dont les sommets sont les p-sous-groupes cycliques de S_{n} engendrés par un p-cycle, et les k-simplexes sont les ensembles formés de k + 1 sommets de supports deux à deux disjoints. Il est immédiat que l’application

\begin{matrix}CT_{p}(n) & ⟶ T_{p}(n) \\ \{⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ⟨σ_{k}⟩\} & ⟼ ⟨σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{k}⟩ . \end{matrix}

est une bijection. Autrement dit, à chaque simplexe de CT_{p}(n) correspond, de manière naturelle, un sommet de T_{p}(n) . Par conséquent, le complexe ΔT_{p}(n) des p-cycles de S_{n} s’identifie à la subdivision barycentrique du complexe simplicial CT_{p}(n) . Ainsi, tant que des invariants homotopiques sont concernés, on peut remplacer ΔT_{p}(n) par le complexe plus petit CT_{p}(n) . En général, il est agréable de travailler avec un complexe simplicial provenant d’un ensemble ordonné, mais, en certaines circonstances, le complexe CT_{p}(n) nous sera bien utile. En outre, cette équivalence d’homotopie justifie la dénomination donnée au complexe T_{p}(n) . De manière évidente, on peut généraliser la définition de CT_{p}(n) à celle de CT_{p}(E) , où E désigne un ensemble quelconque.

Dorénavant, si H = ⟨σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{k}⟩ ∈ T_{p}(n) , alors il est sous-entendu que les σ_{i} ( i = 0, 1, …, k) sont des p-cycles deux à deux disjoints. En particulier,

⟨σ_{i}⟩ ≠ ⟨σ_{j}⟩ si i ≠ j .

En effectuant la division de n par p avec reste, on obtient n = dp + r , où d ≥ 0 et 0 ≤ r < p. Il est alors évident que l’ensemble ordonné T_{p}(n) est de dimension d − 1 . Ainsi, ΔT_{p}(n) est un sous-complexe simplicial de même dimension que ΔA_{p}(S_{n}) . Intuitivement, il est clair que T_{p}(n) est un ensemble ordonné plus régulier que A_{p}(S_{n}) . Par exemple, T_{p}(n) est un ensemble pur , c’est-à-dire que toute les chaînes maximales dans T_{p}(n) sont de même longueur, ce qui n’est bien sûr pas le cas dans A_{p}(S_{n}) . Le lien topologique entre T_{p}(n) et A_{p}(S_{n}) est précisé par le lemme suivant.

(3.2) Lemme. Soient TA_{p}(n) et TA_{p}(n)′ les deux sous-ensembles ordonnés de A_{p}(S_{n}) définis par

TA_{p}(n) = { H ∈ A_{p}(S_{n}) | les orbites de H sont toutes de cardinal p } et
TA_{p}(n)′ = { H ∈ A_{p}(S_{n}) | H contient un p-cycle }.

Les inclusions de T_{p}(n) dans TA_{p}(n) et TA_{p}(n)′ sont toutes deux des équivalences d’homotopie.

Preuve. Notons i l’inclusion de T_{p}(n) dans T A_{p}(n) . Si H ∈ T A_{p}(n) , alors, en vertu des propositions 2.1 et 2.2, le groupe H est contenu dans un unique groupe abélien élémentaire

f(H) = ⟨σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{k}⟩ ∈ T_{p}(n)

décomposant l’ensemble ℕ_{n} en les mêmes orbites que H et tel que les σ_{i} ( i = 0, …, k) sont des p-cycles deux à deux disjoints. L’application f ainsi définie est une application croissante de T A_{p}(n) dans T_{p}(n) . En outre, il est tout à fait clair que

(i ∘ f) (H) ≥ H ,  quel que soit H ∈ T A_{p}(n) et
(f ∘ i) (H) = H ,  quel que soit H ∈ T_{p}(n) .

Donc, par la propriété d’homotopie (Lemme 1.2), l’inclusion i est une équivalence d’homotopie.

Soit j l’inclusion de T_{p}(n) dans T A_{p}(n)′ . Si H ∈ T A_{p}(n)′ , on note g(H) le sous-groupe de H engendré par les p-cycles appartenant à H . Puisque H ∈ T A_{p}(n)′ , g(H) est non trivial et, par suite, g(H) ∈ T_{p}(n) . L’application g ainsi définie est une application croissante de T A_{p}(n)′ dans T_{p}(n) . De plus, il est tout à fait clair que

(j ∘ g) (H) ≤ H ,  quel que soit H ∈ T A_{p}(n)′ et
(g ∘ j) (H) = H ,  quel que soit H ∈ T_{p}(n) .

En définitive, par la propriété d’homotopie (Lemme 1.2), l’inclusion j est une équivalence d’homotopie.

(3.3) Corollaire. Si n < p^{2} , l’inclusion de T_{p}(n) dans A_{p}(S_{n}) est une équivalence d’homotopie.

Preuve. On sait, par l’exemple 2.3, que A_{p}(S_{n}) = TA_{p}(n) si n < p^{2} . On en déduit donc, par le lemme précédent, que A_{p}(S_{n}) ≃ T_{p}(n) si n < p^{2} .

Du corollaire 3.3 et de la proposition 2.9, on tire que l’ensemble T_{p}(n) est connexe si 2p < n < p^{2} . En fait, on peut faire beaucoup mieux de manière plus directe.

(3.4) Proposition. L’ensemble ordonné T_{p}(n) est connexe si n > 2p.

Preuve. Tout élément de T_{p}(n) contient un atome, c’est-à-dire un groupe cyclique d’ordre p engendré par un p-cycle. Or, par le début de la preuve de la proposition 2.9, on sait que deux atomes de T_{p}(n) sont toujours dans une même composante connexe si n > 2p. Par conséquent, si n > 2p, tous les sommets de ΔT_{p}(n) sont dans la même composante connexe et donc ΔT_{p}(n) est connexe.

Dans la proposition qui suit, nous allons voir que la caractéristique d’Euler réduite de T_{p}(n) est facile à déterminer.

(3.5) Proposition. Si n = dp + r avec d ≥ 1 et 0 ≤ r < p , alors

χ̃( T_{p}(n) ) = −1 + ∑_{i=1}^{d} (−1)^{i+1} \frac{n!}{(n − ip)! · i! · p^{i} · (p − 1)^{i}} .

Preuve. Notons, le temps de cette preuve, P = T_{p}(n) . En reprenant les notations du livre de Stanley [ST , chapitre 3 ], on a

χ̃(P) = μP̂(ˆ0, ˆ1) = − ∑_{ˆ0≤x<ˆ1} μP̂(ˆ0, x) ,

où μP̂(ˆ0, x) = χ̃( ] ˆ0 , x [ ) désigne la fonction de Möbius de l’ensemble ordonné P̂ = P ∪ { ˆ0 , ˆ1 }. Or, si x ∈ P est de rang i et B_{i} désigne l’ensemble ordonné par inclusion des parties propres non vides d’un ensemble de cardinal i, alors

μP̂(ˆ0, x) = χ̃( ] ˆ0 , x [ ) = χ̃(B_{i}) = (−1)^{i} .

De plus, quel que soit 1 ≤ i ≤ d, on peut calculer qu’il y a \frac{n!}{(n − ip)! · i! · p^{i} · (p − 1)^{i}} éléments de rang i dans P . On a donc

χ̃(P) = −μP̂(ˆ0, ˆ0) − ∑_{i=1}^{d} (−1)^{i} · ♯\{ éléments de rang i \} = −1 + ∑_{i=1}^{d} (−1)^{i+1} \frac{n!}{(n − ip)! · i! · p^{i} · (p − 1)^{i}} .

Dans son article [BO4], Bouc calcule la série génératrice des caractéristiques d’Euler réduites des ensembles ordonnés A_{p}(S_{n}) . A la fin de son article, il donne explicitement les valeurs de χ̃( A_{p}(S_{n}) ) pour n ≤ 14 et p ≤ 7 . Le corollaire qui suit permet de calculer d’une autre manière la caractéristique d’Euler réduite χ̃( A_{p}(S_{n}) ) lorsque n < p^{2} .

(3.6) Corollaire. Si n = dp + r avec d ≥ 1 , 0 ≤ r < p et n < p^{2} , alors

χ̃( A_{p}(S_{n}) ) = −1 + ∑_{i=1}^{d} (−1)^{i+1} \frac{n!}{(n − ip)! · i! · p^{i} · (p − 1)^{i}} .

Preuve. Ce résultat est une conséquence évidente du corollaire 3.3 et de la proposition 3.5.

Au chapitre 4 , il est possible de consulter le tableau 14.1 donnant les valeurs de χ̃( T_{p}(n) ) pour n ≤ 27 et p ≤ 7 , calculées à l’aide du programme PARI CALCULATOR.

(3.7) Exemple. A ce stade, on peut déjà déterminer le type d’homotopie de l’ensemble ordonné T_{p}(n) lorsque n < 3p. En outre, si p ≠ 2 , le type d’homotopie de T_{p}(n) coïncide avec celui de A_{p}(S_{n}) dans chacun des cas suivants, en vertu du corollaire 3.3 .

(a) Si n < p, T_{p}(n) est vide.

(b) Si p ≤ n < 2p, T_{p}(n) est un ensemble discret à \frac{n!}{p(p − 1)(n − p)!} éléments.

(c) Si n = 2p, on montre facilement que ΔT_{p}(2p) est un graphe non connexe formé de \frac{(2p)!}{2(p!)^{2}} composantes, dont chacune a le type d’homotopie d’un bouquet de ((p − 2)! − 1)^{2} cercles.

(d) Si 2p < n < 3p, ΔT_{p}(n) est un graphe connexe. Il a donc le type d’homotopie d’un bouquet de −χ̃( T_{p}(n) ) cercles.

Nous allons, à présent, établir l’existence d’une suite exacte longue reliant les groupes d’homologie de T_{p}(n) , T_{p}(n − 1) et T_{p}(n − p) . Pour ce faire, on définit le sous-ensemble ordonné T̃_{p}(n − 1) de T_{p}(n) suivant :

T̃_{p}(n − 1) = T_{p}(n) \ { ⟨σ⟩ ∈ T_{p}(n) | n ∈ Supp(σ) } .

(3.8) Lemme. L’inclusion i : T_{p}(n − 1) ↪ T̃_{p}(n − 1) est une équivalence d’homotopie.

Preuve. Soit H = ⟨σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{k}⟩ ∈ T̃_{p}(n − 1) . Si H ∈ T_{p}(n − 1) , alors on pose f(H) = H . Si H ∉ T_{p}(n − 1) , on peut supposer que n ∈ Supp(σ_{0}) , et on pose alors

f(H) = ⟨σ_{1} , σ_{2} , …, σ_{k}⟩ ∈ T_{p}(n − 1) .

L’application f ainsi définie est une application croissante de T̃_{p}(n − 1) dans T_{p}(n − 1) . En outre, il est tout à fait clair que

(i ∘ f) (H) ≤ H ,  quel que soit H ∈ T̃_{p}(n − 1) et
(f ∘ i) (H) = H ,  quel que soit H ∈ T_{p}(n − 1) .

Donc, par la propriété d’homotopie (Lemme 1.2), l’inclusion i est une équivalence d’homotopie.

Avant d’énoncer la suite exacte longue annoncée, il est bon de rappeler le théorème de Mayer-Vietoris ( [ROT , corollaire 7.17 ] ).

(3.9) Théorème (Mayer-Vietoris). Si C_{1} et C_{2} sont des sous-complexes d’un complexe simplicial C tel que C = C_{1} ∪ C_{2} , alors il existe une suite exacte

… → H_{k+1}(C ) → H_{k}(C_{1} ∩ C_{2}) → H_{k}(C_{1}) ⊕ H_{k}(C_{2}) → H_{k}(C ) → H_{k−1}(C_{1} ∩ C_{2}) → ….

(3.10) Proposition. Soient n > 3p et t = \frac{(n − 1)!}{(p − 1)(n − p)!} . On a la suite exacte de groupes abéliens suivante :

\begin{aligned}… & → H_{k+1}( T_{p}(n) ) → ⨁^{t} H_{k}( T_{p}(n − p) ) → H_{k}( T_{p}(n − 1) ) → H_{k}( T_{p}(n) ) → … \\ … & → H_{2}( T_{p}(n) ) → ⨁^{t} H_{1}( T_{p}(n − p) ) → H_{1}( T_{p}(n − 1) ) → H_{1}( T_{p}(n) ) → 0 . \end{aligned}

Preuve. Soient l’ensemble ordonné

T = { H ∈ T_{p}(n) | n ∈ Supp(H) } ,

et s = H_{0} < H_{1} < … < H_{k} une chaîne dans T_{p}(n) . Si n ∈ Supp(H_{0}) , alors la chaîne s est une chaîne de T . A l’opposé, si n ∉ Supp(H_{0}) , alors la chaîne s est une chaîne de T̃_{p}(n − 1) . Autrement dit, le complexe simplicial ΔT_{p}(n) est la réunion des complexes ΔT et ΔT̃_{p}(n − 1) . On veut alors appliquer le théorème de Mayer-Vietoris à cette décomposition. Dans ce but, nous allons déterminer le type d’homotopie du complexe ΔT et de l’intersection ΔT ∩ ΔT̃_{p}(n − 1) .

Soient H_{1} = ⟨σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{r}⟩, H_{2} = ⟨τ_{0} , τ_{1} , …, τ_{s}⟩ ∈ T . Sans restriction de la généralité, on peut supposer que n ∈ Supp(σ_{0}) et n ∈ Supp(τ_{0}) . Si ⟨σ_{0}⟩ = ⟨τ_{0}⟩ , alors H_{1} et H_{2} sont dans une même composante connexe de T . A l’opposé, si ⟨σ_{0}⟩ ≠ ⟨τ_{0}⟩ , alors H_{1} et H_{2} sont dans deux composantes connexes disjointes de T . De plus, les composantes connexes de T sont toutes contractiles, puisqu’elles sont chacunes minorées par un p-groupe ⟨σ⟩ ∈ T_{p}(n) tel que n ∈ Supp(σ) . En résumé, le complexe simplicial ΔT est formé de t composantes connexes contractiles, où t compte le nombre d’atomes de T . En particulier, on en déduit que

H_{0}(T ) = ℤ^{t}  et  H_{k}(T ) = 0 , quel que soit k ≥ 1 ,

et on calcule que t = \frac{(n − 1)!}{(p − 1)(n − p)!} .

Par ailleurs, il est clair que

ΔT ∩ ΔT̃_{p}(n − 1) = Δ(T ∩ T̃_{p}(n − 1)) et

T ∩ T̃_{p}(n − 1) = ⨆_{⟨σ⟩∈T} ] ⟨σ⟩ , . [_{T_{p}(n)} .

Pour ⟨σ⟩ ∈ T , on pose \overline{Supp(σ)} = ℕ_{n} \ Supp(σ) et on définit

g : T_{p}( \overline{Supp(σ)} ) → ] ⟨σ⟩ , . [_{T_{p}(n)} , H ↦ ⟨ H , σ ⟩ .

Il est immédiat que g est un isomorphisme d’ensembles ordonnés. Dès lors, l’intersection T ∩ T̃_{p}(n − 1) a le type d’homotopie d’une réunion disjointe de t copies de T_{p}(n − p) et donc, pour tout k ≥ 0 , on a

H_{k}(T ∩ T̃_{p}(n − 1)) = ⨁^{t} H_{k}( T_{p}(n − p) ) .

En appliquant le théorème de Mayer-Vietoris ainsi que le lemme 3.8, on obtient alors la suite exacte

\begin{aligned}… & → H_{k+1}( T_{p}(n) ) → ⨁^{t} H_{k}( T_{p}(n − p) ) → H_{k}( T_{p}(n − 1) ) → H_{k}( T_{p}(n) ) → … \\ … & → H_{1}( T_{p}(n) ) → ⨁^{t} H_{0}( T_{p}(n − p) ) → H_{0}( T_{p}(n − 1) ) ⊕ H_{0}(T ) → H_{0}( T_{p}(n) ) → 0 . \end{aligned}

Puisque n > 3p, les complexes T_{p}(n) , T_{p}(n−1) et T_{p}(n−p) sont connexes et l’extrémité droite de la suite exacte ci-dessus devient

… → H_{1}( T_{p}(n) ) → ℤ^{t} → ℤ^{t+1} → ℤ → 0 .

En simplifiant, on obtient finalement la suite exacte de l’énoncé.

La décomposition ΔT_{p}(n) = ΔT ∪ ΔT̃_{p}(n − 1) , décrite dans la démonstration ci-dessus, permet aussi de donner une formule récurrente pour la caractéristique d’Euler réduite χ̃( T_{p}(n) ). Pour cela, nous avons juste besoin du petit lemme qui suit.

(3.11) Lemme. Si C_{1} et C_{2} sont des sous-complexes d’un complexe C tel que C = C_{1} ∪ C_{2} , alors

χ̃(C ) + χ̃(C_{1} ∩ C_{2}) = χ̃(C_{1}) + χ̃(C_{2}) .

Preuve. Soit d la dimension de C . On a, par Mayer-Vietoris (théorème 3.9), la suite exacte suivante :

0 → H_{d}(C_{1} ∩ C_{2}) → H_{d}(C_{1}) ⊕ H_{d}(C_{2}) → H_{d}(C ) → H_{d−1}(C_{1} ∩ C_{2}) → ….

On en tire que

∑_{i=0}^{d} (−1)^{i} · ranglibre(H_{i}(C_{1} ∩ C_{2})) + ∑_{i=0}^{d} (−1)^{i} · ranglibre(H_{i}(C ))

= ∑_{i=0}^{d} (−1)^{i} · ranglibre(H_{i}(C_{1})) + ∑_{i=0}^{d} (−1)^{i} · ranglibre(H_{i}(C_{2})) .

Ainsi, par la propriété 1.1, cette égalité devient

χ(C ) + χ(C_{1} ∩ C_{2}) = χ(C_{1}) + χ(C_{2}) ,

ou encore

χ̃(C ) + χ̃(C_{1} ∩ C_{2}) = χ̃(C_{1}) + χ̃(C_{2}) .

(3.12) Corollaire. Pour n ≥ p, on a

χ̃( T_{p}(n) ) = χ̃( T_{p}(n − 1) ) − \frac{(n − 1)!}{(p − 1)(n − p)!} · χ̃( T_{p}(n − p) ) .

Preuve. En appliquant le lemme 3.11 à la décomposition

ΔT_{p}(n) = ΔT ∪ ΔT̃_{p}(n − 1) ,

décrite dans la démonstration de la proposition 3.10 , on obtient l’égalité

χ̃( T_{p}(n) ) + t · χ( T_{p}(n − p) ) − 1 = χ̃( T_{p}(n − 1) ) + t − 1 ,

où t = \frac{(n − 1)!}{(p − 1)(n − p)!} . Par conséquent

χ̃( T_{p}(n) ) + t · χ̃( T_{p}(n − p) ) = χ̃( T_{p}(n − 1) ) .

§ 4 LE COMPLEXE DES p-PARTITIONS

Soient p un nombre premier et n un entier ≥ 1 . Une p-partition de ℕ_{n} est une partition non triviale de ℕ_{n} , dont toutes les parties sont de cardinal 1 ou p. Autrement dit, une p-partition est une famille non vide de parties de ℕ_{n} de cardinal p deux à deux disjointes. Si ε est une p-partition et ε_{0} , ε_{1} , …, ε_{k} ⊆ ℕ_{n} sont les parties de cardinal p de ε, on note ε = { ε_{0} , ε_{1} , …, ε_{k} } et on définit le support de ε :

Supp(ε) = ⋃_{i=0}^{k} ε_{i} .

§4 . Le complexe des p-partitions 21

On note D_{p}(n) l’ensemble des p-partitions de ℕ_{n} , que l’on munit de l’ordre suivant :

ε = { ε_{0} , ε_{1} , …, ε_{k} } ≤ ζ = { ζ_{0} , ζ_{1} , …, ζ_{l} } ⇔ { ε_{0}, ε_{1} , …, ε_{k} } ⊆ { ζ_{0} , ζ_{1} , …, ζ_{l} } .

Le complexe simplicial associé à D_{p}(n) est appelé le complexe des p-partitions de ℕ_{n} . Par souci de clarté, on distinguera une partie ε_{0} ⊆ ℕ_{n} de cardinal p, de l’atome ε = { ε_{0} } ∈ D_{p}(n) . De manière plus générale, si E désigne un ensemble fini quelconque, une p-partition de E est une partition non triviale de E , dont toutes les parties sont de cardinal 1 ou p. On note D_{p}(E) l’ensemble ordonné des p-partitions de E . Il est clair que si n désigne le cardinal de E , alors les ensembles ordonnés D_{p}(n) et D_{p}(E) sont isomorphes.

Si ε ∈ D_{p}(n) est de rang k, alors il est immédiat que l’ensemble ] . , ε [_{D_{p}(n)} s’identifie à l’ensemble ordonné par inclusion des parties propres, non vides d’un ensemble de cardinal k. Comme pour l’ensemble ordonné T_{p}(n) ( confer remarque 3.1 ), cette propriété de D_{p}(n) permet de formuler la remarque suivante.

(4.1) Remarque. Soit CD_{p}(n) le complexe simplicial, dont les sommets sont les parties de ℕ_{n} de cardinal p, et les k-simplexes sont les ensembles de k + 1 sommets deux à deux disjoints. Autrement dit, les simplexes de CD_{p}(n) sont les sommets de ΔD_{p}(n) . Ainsi, le complexe ΔD_{p}(n) des p-partitions de ℕ_{n} est en fait la subdivision barycentrique du complexe simplicial CD_{p}(n) . De manière évidente, on peut généraliser la définition de CD_{p}(n) à celle de CD_{p}(E) , où E désigne un ensemble quelconque.

Les ensembles ordonnés D_{p}(n) et T_{p}(n) se ressemblent beaucoup. En effet, nous allons voir que tous les résultats obtenus au paragraphe précédent pour T_{p}(n) ont leur équivalent pour D_{p}(n) . Les remarques qui suivent mettent en évidence les liens qu’il y a entre ces deux ensembles D_{p}(n) et T_{p}(n) .

(4.2) Remarques.

(a) En effectuant la division de n par p avec reste, on obtient n = dp + r où d ≥ 0 et 0 ≤ r < p . Il est alors clair que, comme T_{p}(n) , l’ensemble D_{p}(n) est de dimension d − 1 .

(b) Le complexe des p-partitions, tout comme le complexe des p-cycles, est un complexe pur.

(c) Il existe une surjection naturelle croissante π de T_{p}(n) sur D_{p}(n) donnée par

π ( ⟨σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{k}⟩ ) = { Supp(σ_{0}) , Supp(σ_{1}) , …, Supp(σ_{k}) } ∈ D_{p}(n) .

Si H ∈ T_{p}(n) , on appelle π(H) la p-partition associée au p-groupe H .

(d) Pour ε = {{ i_{1} , i_{2} , …, i_{p} }} un atome de D_{p}(n) tel que i_{1} < i_{2} < … < i_{p} , on définit le p-groupe

ρ(ε) = ⟨ (i_{1} i_{2} … i_{p}) ⟩ ∈ T_{p}(n) .

Plus généralement, si ε = { ε_{0} , ε_{1} , …, ε_{k} } ∈ D_{p}(n) , on pose

ρ(ε) = ⟨ρ(ε_{0}) , ρ(ε_{1}) , …, ρ(ε_{k})⟩ .

On vérifie facilement que l’application ρ : D_{p}(n) → T_{p}(n) ainsi définie est une application croissante et injective. C’est en fait une section de la surjection π : T_{p}(n) → D_{p}(n) , décrite ci-dessus. Via ρ, on peut donc voir ΔD_{p}(n) comme un sous-complexe de ΔT_{p}(n) . Notons que cette application ρ n’est en général pas compatible avec l’action naturelle du groupe symétrique S_{n} sur les ensembles ordonnés D_{p}(n) et T_{p}(n) .

(e) Si p = 2 ou p = 3 , alors, pour une partie ε_{0} ⊆ ℕ_{n} de cardinal p donnée, il existe un unique sous-groupe cyclique ⟨σ⟩ ∈ T_{p}(n) de support ε_{0} . Par conséquent, quel que soit n ∈ ℕ, on a

D_{2}(n) ≅ T_{2}(n)  et  D_{3}(n) ≅ T_{3}(n) .

(4.3) Proposition. L’ensemble ordonné D_{p}(n) est connexe si n > 2p.

Preuve. Il suffit de reprendre la preuve de la proposition 3.4 et de remplacer les p-groupes considérés par les p-partitions associées.

(4.4) Proposition. Si n = dp + r avec d ≥ 1 et 0 ≤ r < p , alors

χ̃( D_{p}(n) ) = −1 + ∑_{i=1}^{d} (−1)^{i+1} \frac{n!}{(n − ip)! · i! · (p!)^{i}} .

Preuve. Le calcul de χ̃( D_{p}(n) ) est essentiellement le même que celui de χ̃( T_{p}(n) ). Il suffit donc de reprendre la preuve de la proposition 3.5 et de constater que le nombre d’éléments de D_{p}(n) de rang i

vaut \frac{n!}{(n − ip)! · i! · (p!)^{i}} , quel que soit 1 ≤ i ≤ d.

Au chapitre 4 , il est possible de consulter le tableau 13.1 donnant les valeurs de χ̃( D_{p}(n) ) pour n ≤ 27 et p ≤ 7 , calculées à l’aide du programme PARI CALCULATOR.

Le proposition suivante lie les groupes d’homologie des ensemble ordonnés D_{p}(n) et T_{p}(n) .

(4.5) Proposition. Soient p un nombre premier et n un entier. Le groupe d’homologie H_{k}( D_{p}(n) ) est facteur direct du groupe H_{k}( T_{p}(n) ), quel que soit l’entier k ≥ 0 .

Preuve. La surjection naturelle π et sa section ρ définies aux remarques 4.2 s’étendent de manière évidente en des homomorphismes de complexes de chaînes

C_{∗}(π) : C_{∗}( CT_{p}(n) ) ⟶ C_{∗}( CD_{p}(n) )  et  C_{∗}(ρ) : C_{∗}( CD_{p}(n) ) ⟶ C_{∗}( CT_{p}(n) ) .

Quel que soit l’entier k, ces homomorphismes induisent en homologie des homomorphismes de groupes abéliens

H_{k}(π) : H_{k}( CT_{p}(n) ) ⟶ H_{k}( CD_{p}(n) )  et  H_{k}(ρ) : H_{k}( CD_{p}(n) ) ⟶ H_{k}( CT_{p}(n) )

tels que la composée H_{k}(π) ∘ H_{k}(ρ) est l’identité sur H_{k}( CD_{p}(n) ). Dès lors, le groupe d’homologie H_{k}( CD_{p}(n) ) est facteur direct du groupe H_{k}( CT_{p}(n) ). Or on sait, en vertu des remarques 3.1 et 4.1, que le complexe simplicial CD_{p}(n) , respectivement CT_{p}(n) , a le même type d’homotopie que l’ensemble ordonné D_{p}(n) , respectivement T_{p}(n) . Par suite, la conclusion est immédiate.

Supposons, à présent, que l’entier n est un multiple de p, disons n = dp avec d ≥ 2 . On sait déjà que les ensembles ordonnés T_{p}(dp) et D_{p}(dp) sont de dimension d−1 . Si H ∈ T_{p}(dp) est de rang d−1 , alors il existe (p−2)! éléments maximaux de T_{p}(dp) contenant H . Par contre, si ε ∈ D_{p}(dp) est de rang d−1 , alors il existe un unique élément maximal de D_{p}(dp) qui contient ε. Cette propriété de D_{p}(dp) permet de prouver le résultat qui suit.

(4.6) Proposition. Soient p un nombre premier et d un entier ≥ 2 . Le complexe simplicial D_{p}(dp) est de dimension d − 1 , mais il a le type d’homotopie d’un complexe de dimension d − 2 . En particulier, le groupe d’homologie H_{d−1}( D_{p}(dp) ) est nul et le groupe H_{d−2}( D_{p}(dp) ) est abélien libre.

Preuve. Soit D_{p}′(dp) l’ensemble D_{p}(dp) privé des éléments de rang d − 1 . L’ensemble ordonné D_{p}′(dp) est clairement de dimension d − 2 . On définit l’application croissante

f : D_{p}(dp) → D_{p}′(dp) ,

par f(ε) = ε si rang(ε) ≠ d−1 . Et si rang(ε) = d−1 , f(ε) désigne l’unique élément maximal de D_{p}(dp) qui contient ε. Considérons encore l’inclusion

i : D_{p}′(dp) ↪ D_{p}(dp) .

Les applications i et f sont croissantes. De plus, on vérifie facilement que

(i ∘ f) (ε) ≥ ε ,  quel que soit ε ∈ D_{p}(dp) et
(f ∘ i) (ε) = ε ,  quel que soit ε ∈ D_{p}′(dp) .

Ainsi, en vertu de la propriété d’homotopie (Lemme 1.2), l’inclusion i est une équivalence d’homotopie.

(4.7) Exemple. A ce stade, on peut déjà déterminer le type d’homotopie de D_{p}(n) lorsque n ≤ 3p.

(a) Si n < p , D_{p}(n) est vide.

(b) Si p ≤ n < 2p , D_{p}(n) est un ensemble discret à \binom{n}{p} éléments.

(c) Si n = 2p, on montre facilement que ΔD_{p}(2p) est un graphe non connexe formé de \frac{1}{2}\binom{2p}{p} composantes contractiles.

(d) Si 2p < n < 3p, le complexe ΔD_{p}(n) est un graphe connexe. Il a donc le type d’homotopie d’un bouquet de −χ̃( D_{p}(n) ) cercles.

(e) Si n = 3p, l’ensemble D_{p}(3p) est connexe de dimension 2 , mais a le type d’homotopie d’un graphe (par la proposition 4.6). Par conséquent, D_{p}(3p) a le type d’homotopie d’un bouquet de −χ̃( D_{p}(3p) ) cercles.

De manière tout à fait analogue à ce qui a été fait pour T_{p}(n) , nous allons, à présent, établir l’existence d’une suite exacte longue reliant les groupes d’homologie de D_{p}(n) , D_{p}(n − 1) et D_{p}(n − p) . Dans ce but, on définit le sous-ensemble ordonné D̃_{p}(n − 1) de D_{p}(n) suivant :

D̃_{p}(n − 1) = D_{p}(n) \ { ε ∈ D_{p}(n) | ε est un atome qui contient n dans son support } .

(4.8) Lemme. L’inclusion i : D_{p}(n − 1) ↪ D̃_{p}(n − 1) est une équivalence d’homotopie.

Preuve. Il suffit de reprendre la preuve du lemme 3.8 et de remplacer les p-groupes considérés par les p-partitions associées.

(4.9) Proposition. Soient n > 3p et l = \binom{n − 1}{p − 1} . On a la suite exacte de groupes abéliens suivante :

\begin{aligned}… & → H_{k+1}( D_{p}(n) ) → ⨁^{l} H_{k}( D_{p}(n − p) ) → H_{k}( D_{p}(n − 1) ) → H_{k}( D_{p}(n) ) → … \\ … & → H_{2}( D_{p}(n) ) → ⨁^{l} H_{1}( D_{p}(n − p) ) → H_{1}( D_{p}(n − 1) ) → H_{1}( D_{p}(n) ) → 0 . \end{aligned}

Preuve. La preuve est essentiellement la même que celle de la proposition 3.10 . On définit l’ensemble ordonné

D = { ζ ∈ D_{p}(n) | n ∈ Supp(ζ) } .

On montre que le complexe simplicial ΔD_{p}(n) est la réunion des complexes ΔD et ΔD̃_{p}(n−1) , que ΔD est formé de l composantes connexes contractiles, où l compte le nombre d’atomes dans D, et que l’intersection ΔD ∩ ΔD̃_{p}(n − 1) a le type d’homotopie d’une réunion disjointe de l copies de D_{p}(n − p) . On calcule alors que l = \binom{n − 1}{p − 1} et, pour finir, on applique Mayer-Vietoris (théorème 3.9) à la décomposition

ΔD_{p}(n) = ΔD ∪ ΔD̃_{p}(n − 1) .

Comme pour T_{p}(n) , la décomposition ΔD_{p}(n) = ΔD ∪ ΔD̃_{p}(n − 1) , décrite ci-dessus, induit une formule récurrente pour la caractéristique d’Euler réduite χ̃( D_{p}(n) ).

(4.10) Corollaire. Pour n ≥ p, on a

χ̃( D_{p}(n) ) = χ̃( D_{p}(n − 1) ) − \binom{n − 1}{p − 1} · χ̃( D_{p}(n − p) ) .

Preuve. Il suffit d’appliquer le lemme 3.11 à la décomposition ΔD_{p}(n) = ΔD ∪ ΔD̃_{p}(n − 1) , décrite dans la démonstration de la proposition 4.9 .

Si A désigne un anneau quelconque, l’action évidente du groupe symétrique S_{n} sur l’ensemble D_{p}(n) fait de H̃_{k}(D_{p}(n), A) un AS_{n}-module, quel que soit k ≥ 0 . On peut alors ^{⟨⟨} affiner ^{⟩⟩} la suite exacte de la proposition 4.9 . Pour ce faire, nous allons tout d’abord rappeler un résultat dû à Bouc [BO2 , Proposition 1 ].

(4.11) Théorème. Soient A un anneau et G un groupe agissant sur deux ensembles ordonnés X et Y . Soient encore f une application monotone de X dans Y et k un entier tels que :

(1) f(gx) = gf(x) , quels que soient g ∈ G et x ∈ X .

(2) H̃_{l}(f_{≤y}, A) = 0 si l ≤ k et si y ∈ Y n’est pas un élément maximal. Il existe alors une suite exacte longue de AG-modules de la forme :

\begin{aligned}H̃_{k+1}(X, A) & → H̃_{k+1}(Y, A) → ⨁_{y ∈ Y/G} Ind_{G_{y}}^{G} H̃_{k}(f_{≤y} , A) → … \\ … & → H̃_{l}(X, A) → H̃_{l}(Y, A) → ⨁_{y ∈ Y/G} Ind_{G_{y}}^{G} H̃_{l−1}(f_{≤y} , A) → …, \end{aligned}

où Y/G désigne un système de représentants des orbites de Y sous l’action du groupe G et G_{y} le stabilisateur de y ∈ Y dans G.

(4.12) Proposition. On a la suite exacte longue de AS_{n−1}-modules

… → H̃_{k}(D_{p}(n − 1), A) → Res_{S_{n−1}}^{S_{n}} H̃_{k}(D_{p}(n), A) → Ind_{S_{n−p}×S_{p−1}}^{S_{n−1}} Inf_{S_{n−p}}^{S_{n−p}×S_{p−1}} H̃_{k−1}(D_{p}(n − p), A)

→ H̃_{k−1}(D_{p}(n − 1), A) → Res_{S_{n−1}}^{S_{n}} H̃_{k−1}(D_{p}(n), A) → ….

Preuve. Le groupe S_{n−1} = Perm( { 1 , 2 , …, n − 1 } ) agit de manière évidente sur l’ensemble ordonné D_{p}(n) . L’inclusion

i : D_{p}(n − 1) ↪ D̃_{p}(n − 1)

respecte cette action et devient ainsi, en vertu du lemme 4.8, une S_{n−1}-équivalence d’homotopie. Considérons, à présent, l’inclusion

f : D̃_{p}(n − 1) ↪ D_{p}(n) ,

et soit ε ∈ D_{p}(n) . Si ε ∈ D̃_{p}(n − 1) , alors la fibre f_{≥ε} est bien sûr contractile. Mais dans le cas contraire, si ε ∈ D_{p}(n) \ D̃_{p}(n − 1) , alors ε est une p-partition minimale contenant n dans son support. Par suite, on peut appliquer le théorème 4.11 à l’inclusion f : D̃_{p}(n − 1) ↪ D_{p}(n) , où D̃_{p}(n − 1) et D_{p}(n) sont munis de l’ordre opposé à l’ordre standard.

Clairement, toutes les p-partitions minimales contenant n dans leur support sont dans la même orbite de D_{p}(n) sous l’action de S_{n−1} . Par ailleurs, si ε est une telle p-partition, alors le stabilisateur de ε dans S_{n−1} est (S_{n−1})_{ε} = S_{n−p} × S_{p−1} , où S_{n−p} (respectivement S_{p−1} ) désigne le groupe Perm( ℕ_{n} \ ε ) (respectivement Perm( ε \ { n } )). Ainsi, par le théorème 4.11, on obtient la suite exacte suivante :

(4.13)

… → H̃_{k}(D_{p}(n − 1), A) → Res_{S_{n−1}}^{S_{n}} H̃_{k}(D_{p}(n), A) → Ind_{S_{n−p}×S_{p−1}}^{S_{n−1}} H̃_{k−1}(f_{≥ε}, A)
→ H̃_{k−1}(D_{p}(n − 1), A) → Res_{S_{n−1}}^{S_{n}} H̃_{k−1}(D_{p}(n), A) → ….

Par ailleurs, il est évident que f_{≥ε} = ] ε , . [_{D_{p}(n)} et que l’application

g : D_{p}(ℕ_{n} \ ε) → ] ε , . [_{D_{p}(n)} , { ε_{0} , ε_{1} , …, ε_{r} } ↦ { ε_{0} , ε_{1} , …, ε_{r} , ε } ,

est un isomorphisme d’ensembles ordonnés avec action du groupe S_{n−p} × S_{p−1} . Ainsi, on en déduit que les (S_{n−p} × S_{p−1})-ensembles ordonnés

f_{≥ε}  et  Inf_{S_{n−p}}^{S_{n−p}×S_{p−1}}D_{p}(n − p)

sont isomorphes, et, en reconsidérant la suite exacte 4.13, on retrouve aisément la suite exacte souhaitée.

(4.14) Remarque. Dans son article [BO3], Bouc étudie le type d’homotopie de l’ensemble ordonné D_{2}(n) . Il montre que le groupe fondamental de D_{2}(7) est cyclique d’ordre 3 et que D_{2}(n) est simplement connexe si n ≥ 8 . Il établit ensuite l’existence d’une suite exacte longue de AS_{n−1}-modules reliant les modules d’homologie H_{∗}(D_{2}(n), A) , H_{∗}(D_{2}(n − 1), A) et H_{∗}(D_{2}(n − 2), A). A ce propos, la preuve de la proposition 4.12, tout comme la preuve de la proposition 4.6, n’est rien d’autre qu’une généralisation de ce qui a été fait par Bouc. Dans le cas où A est un corps de caractéristique nulle, cette dernière suite exacte, comme par miracle, suffit à Bouc pour déterminer entièrement les AS_{n}-modules d’homologie de D_{2}(n) . Dans le cas général d’un nombre premier quelconque, nous verrons, dans les chapitres suivants, que la suite exacte de la proposition 4.12 n’est pas aussi déterminante que dans le cas où p = 2 . Pour ce qui est de l’homologie entière, les résultats de Bouc sont moins précis. Néanmoins, il montre que les groupes d’homologie H_{∗}( D_{2}(n) ) ont souvent de la 3-torsion.

(4.15) Remarques.

(a) Serge Bouc nous a fait savoir que le théorème 4.11 permet de démontrer le théorème 3.9 de Mayer-Vietoris dans le cas des ensembles ordonnés. Pour ce faire, rappelons qu’une partie X d’un ensemble ordonné Y est dite fermée si

y ∈ Y et y ≤ x ∈ X  ⟹  y ∈ X .

Soient X un ensemble ordonné et X_{1} , X_{2} des parties fermées de X telles que X = X_{1} ∪ X_{2} . Soit encore { a , b } un ensemble ordonné discret et considérons l’ensemble ordonné

Y = (X_{1} ∩ X_{2}) ⊔ { a , b } , (suspension de X_{1} ∩ X_{2})

où les éléments a et b sont plus grands que tous les éléments de X_{1}∩X_{2} . On définit alors l’application f de X dans Y de la manière suivante :

f(x) = \{ \begin{matrix}a & si x ∈ X_{1} \ X_{2}, \\ b & si x ∈ X_{2} \ X_{1}, \\ x & si x ∈ X_{1} ∩ X_{2}. \end{matrix}

L’application croissante f vérifie les hypothèses du théorème 4.11 pour G = 1 . On obtient ainsi la suite exacte de groupes abéliens

… → H_{k+1}(X) → H_{k}(X_{1} ∩ X_{2}) → H_{k}(X_{1}) ⊕ H_{k}(X_{2}) → H_{k}(X) → H_{k−1}(X_{1} ∩ X_{2}) → ….

(b) La proposition 3.10 se démontre aussi en appliquant le théorème 4.11 à l’inclusion

f : T̃_{p}(n − 1) ↪ T_{p}(n) ,

où T̃_{p}(n − 1) et T_{p}(n) sont munis de l’ordre opposé à l’ordre standard et G = 1 .

§ 5 FILTRATION ET SUITES EXACTES LONGUES EN HOMOLOGIE

Dans ce paragraphe, nous allons mettre en évidence une filtration du complexe simplicial CT_{p}(n) , respectivement CD_{p}(n) . Les résultats obtenus nous seront, bien entendu, très utiles dans l’étude du type d’homotopie de l’ensemble ordonné T_{p}(n) , respectivement D_{p}(n) , puisque, par la remarque 3.1, respectivement la remarque 4.1, on sait que

CT_{p}(n) ≃ T_{p}(n) et CD_{p}(n) ≃ D_{p}(n) .

Avant de décrire la filtration annoncée, nous allons donner quelques rappels au sujet des complexes de chaînes.

Un complexe de chaînes est une suite de groupes abéliens et d’homomorphismes

… ⟶ S_{k+1} ⟶^{δ_{k+1}} S_{k} ⟶^{δ_{k}} S_{k−1} ⟶ …, k ∈ ℤ

telle que δ_{k}δ_{k+1} = 0 , pour tout k ∈ ℤ. L’homomorphisme δ_{k} est appelé la différentielle de degré k, et le groupe abélien S_{k} , le terme de degré k. Le complexe de chaînes ci-dessus est noté (S_{∗} , δ) ou, plus simplement, S_{∗} . Si t est un entier, alors (S_{∗}[t] , δ[t]) désigne le complexe de chaînes (S_{∗} , δ) translaté de t degrés, c’est-à-dire S_{m}[t] = S_{m+t} et δ_{m}[t] = δ_{m+t} , quel que soit m ∈ ℤ. La définition des groupes d’homologie d’un complexe de chaînes peut être lue dans [ROT , chapitre 5 ]. On y trouve, en sus, une bonne description des conventions et de quelques résultats fondamentaux concernants les complexes de chaînes. Le théorème qui suit est un de ces résultats élémentaires [ROT , Théorème 5.6 ].

(5.1) Théorème. Si 0 → (S′_{∗} , δ′) → (S_{∗} , δ) → (S′′_{∗} , δ′′) → 0 est une suite exacte courte de complexes de chaînes, alors il existe une suite exacte longue en homologie

… → H_{k}(S′_{∗}) → H_{k}(S_{∗}) → H_{k}(S′′_{∗}) → H_{k−1}(S′_{∗}) → H_{k−1}(S_{∗}) → H_{k−1}(S′′_{∗}) → ….

§5 . Filtration et suites exactes longues en homologie 27

Si C est un complexe simplicial ordonné, on note C_{∗}(C ) le complexe de chaînes correspondant, et C̃_{∗}(C ) le complexe de chaînes augmenté correspondant. Si B est un sous-complexe simplicial de C , alors C_{∗}(C , B ) désigne le quotient du complexe de chaine C̃_{∗}(C ) par le sous-complexe C̃_{∗}(B ).

Soient p un nombre premier et n un entier ≥ p. Pour ν = {⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ⟨σ_{k}⟩} ∈ CT_{p}(n) , on définit, de manière évidente, le support de ν :

Supp(ν) = ⋃_{i=0}^{k} Supp(σ_{i}) .

Si σ ∈ S_{n} est un p-cycle, on note m_{σ} le plus petit entier contenu dans Supp(σ) . On pose alors, quels que soient les sommets ⟨σ⟩, ⟨τ⟩ de CT_{p}(n) ,

(5.2)  ⟨σ⟩ < ⟨τ⟩ ⇔ σ et τ sont disjoints et m_{σ} > m_{τ} .

Cette relation fait de CT_{p}(n) un complexe simplicial ordonné. De manière plus générale, si E désigne une partie quelconque de ℕ_{n} , le complexe simplicial CT_{p}(E) est, lui aussi, ordonné par la relation 5.2 .

Considérons l’application

Φ : CT_{p}(n) ⟶ { 0 , 1 , 2 , …, p }

définie par

\{⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ⟨σ_{k}⟩\} {Φ \atop ⟼} ♯\{ i = 0, 1, 2, …, k | Supp(σ_{i}) ∩ ℕ_{p} ≠ ∅ et ⟨σ_{i}⟩ ≠ ⟨ (1 2 3 … p) ⟩\} .

Autrement dit, l’application Φ compte, pour chaque simplexe ν ∈ CT_{p}(n) , le nombre de sommets, autres que ⟨ (1 2 3 … p) ⟩, dont le support intersecte l’ensemble ℕ_{p} . Pour tout s = 0, 1, …, p , on note

CT_{p}(n)_{≤s} = { ν ∈ CT_{p}(n) | Φ(ν) ≤ s } .

Si ν ∈ CT_{p}(n)_{≤s} et ν′ ∈ CT_{p}(n) tels que ν′ ⊆ ν , alors il est clair que ν′ ∈ CT_{p}(n)_{≤s} . Par suite, CT_{p}(n)_{≤s} est un sous-complexe simplicial de CT_{p}(n) , quel que soit s = 0, 1, …, p . De plus, il est évident que CT_{p}(n)_{≤p} = CT_{p}(n) . Par conséquent, l’application Φ induit la fitration suivante du complexe simplicial CT_{p}(n) :

(5.3)  CT_{p}(n)_{≤0} ⊆ CT_{p}(n)_{≤1} ⊆ CT_{p}(n)_{≤2} ⊆ … ⊆ CT_{p}(n)_{≤p} = CT_{p}(n) .

Ainsi, à chaque s = 1, 2, …, p , correspond une suite exacte courte de complexes de chaînes

(5.4)  0 → C̃_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) → C̃_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s} ) → C_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s} , CT_{p}(n)_{≤s−1} ) → 0 .

Pour commencer l’étude de la filtration 5.3, nous allons voir dans le lemme qui suit que le type d’homotopie du complexe simplicial CT_{p}(n)_{≤0} est des plus simples.

(5.5) Lemme. Le complexe simplicial CT_{p}(n)_{≤0} est contractile.

Preuve. Soit V le sous-ensemble ordonné de T_{p}(n) suivant :

V = { H ∈ T_{p}(n) | (1 2 3 … p) ∈ H ou Supp(H) ∩ ℕ_{p} = ∅ }.

Considérons l’application croissante f de V dans V définie par

f : H = ⟨σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{k}⟩ ⟼ \{ \begin{matrix}H & si (1 2 3 … p) ∈ H , \\ ⟨ (1 2 3 … p) , σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{k} ⟩ & si (1 2 3 … p) ∉ H . \end{matrix}

On vérifie facilement que

H ≤ f(H) ≥ ⟨ (1 2 3 … p) ⟩ , quel que soit H ∈ V .

Par suite, l’ensemble ordonné V est coniquement contractile. Or le complexe simplicial associé à V s’identifie de manière évidente à la subdivision barycentrique du complexe

CT_{p}(n)_{≤0} = { {⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ⟨σ_{k}⟩} ∈ CT_{p}(n) |
⟨σ_{i}⟩ = ⟨ (1 2 3 … p) ⟩ ou Supp(σ_{i}) ∩ ℕ_{p} = ∅, quel que soit i = 0, 1, …, k }.

Par conséquent, CT_{p}(n)_{≤0} ≃ V est contractile.

Nous allons, à présent, identifier le complexe de chaînes C_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s} , CT_{p}(n)_{≤s−1} ), quel que soit l’entier s = 1, 2, …, p . Pour ce faire, on définit, pour tout s = 1, 2, …, p , l’ensemble

CT_{p}(n)_{=s}^{s} = { ν ∈ CT_{p}(n) | Φ(ν) = s et rang(ν) = s } .

Soit ν = {⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ⟨σ_{k}⟩} ∈ CT_{p}(n) et supposons que Φ(ν) = s > 0 . Il est alors clair que ν contient un unique simplexe appartenant à CT_{p}(n)_{=s}^{s} . On note ν_{Φ} ce simplexe. Explicitement, par la définition 5.2 de l’ordre de CT_{p}(n) et puisqu’il est sous-entendu que ⟨σ_{0}⟩ < ⟨σ_{1}⟩ < … < ⟨σ_{k}⟩, on peut écrire

ν_{Φ} = {⟨σ_{k−s+1}⟩ , ⟨σ_{k−s+2}⟩ , …, ⟨σ_{k}⟩} .

(5.6) Remarque. Notons n = dp + r avec d ≥ 1 et 0 ≤ r < p . Si d < p (autrement dit, si le complexe simplicial CT_{p}(n) est de dimension < p − 1 ) les suites exactes courtes de complexes de chaînes décrites au point 5.4 et correspondant aux entiers s ≥ d + 1 sont triviales, car il est évident que

CT_{p}(n)_{≤d} = CT_{p}(n)_{≤d+1} = … = CT_{p}(n)_{≤p} = CT_{p}(n) .

En outre, toujours dans le cas où d + 1 ≤ s ≤ p , l’ensemble CT_{p}(n)_{=s}^{s} est vide.

Si E est une partie de ℕ_{n} , on note \overline{E} le complémentaire de E dans ℕ_{n} . De plus, si

G = ⨁_{i∈I} G_{i}

est une somme directe de groupes, alors, dans le cas où I = ∅ , on admet que G désigne le groupe trivial. On peut, dès lors, énoncer le résultat suivant.

(5.7) Lemme. Pour tout s = 1, 2, …, p , on a un isomorphisme de complexes de chaînes

C_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s} , CT_{p}(n)_{≤s−1} ) ≅ ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s}} C̃_{∗}( CT_{p}( \overline{Supp(υ) ∪ ℕ_{p}} ) )[−s] .

Preuve. Soit s ∈ ℕ_{p} . Nous allons définir un homomorphisme de complexes de chaînes surjectif

Λ_{∗} : C̃_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s} ) ⟶ ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s}} C̃_{∗}( CT_{p}( \overline{Supp(υ) ∪ ℕ_{p}} ) )[−s] ,

dont le noyau est le complexe de chaînes C̃_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ). Le premier théorème d’isomorphie, pour les complexes de chaînes, permettra alors de conclure.

Notons n = dp + r avec d ≥ 1 et 0 ≤ r < p . Par la remarque 5.6, on peut supposer s ≤ d, de telle sorte que l’ensemble CT_{p}(n)_{=s}^{s} est non vide. Notons δ la différentielle du complexe de chaînes C̃_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s} ), ξ^{υ} celle de C̃_{∗}( CT_{p}( \overline{Supp(υ) ∪ ℕ_{p}} ) )[−s] , quel que soit υ ∈ CT_{p}(n)_{=s}^{s} , et

ξ = ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s}} ξ^{υ} .

Pour définir Λ_{∗} , il suffit de donner, pour tout entier k ∈ { −1 , 0 , 1 , …, d − 1 }, l’image des éléments de base de C_{k}( CT_{p}(n)_{≤s} ), c’est-à-dire des k-simplexes ν ∈ CT_{p}(n)_{≤s} , et d’étendre par linéarité. Si k > s − 1 , on pose

Λ_{k} : C̃_{k}( CT_{p}(n)_{≤s} ) ⟶ ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s}} C̃_{k−s}( CT_{p}( \overline{Supp(υ) ∪ ℕ_{p}} ) )

ν = \{⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ⟨σ_{k}⟩\} ⟼ \{ \begin{matrix}0 & si Φ(ν) < s , \\ \{⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ⟨σ_{k−s}⟩\}_{ν_{Φ}} & si Φ(ν) = s , \end{matrix}

où le simplexe {⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ⟨σ_{k−s}⟩} est indicé par ν_{Φ} pour indiquer qu’il est considéré comme simplexe de CT_{p}( \overline{Supp(ν_{Φ}) ∪ ℕ_{p}} ). Si k = s − 1 , on pose

Λ_{s−1} : C̃_{s−1}( CT_{p}(n)_{≤s} ) ⟶ ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s}} C̃_{−1}( CT_{p}( \overline{Supp(υ) ∪ ℕ_{p}} ) )

ν = \{⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ⟨σ_{s−1}⟩\} ⟼ \{ \begin{matrix}0 & si Φ(ν) < s , \\ [ ]_{ν} ∈ C̃_{−1}( CT_{p}( \overline{Supp(ν) ∪ ℕ_{p}} ) ) & si Φ(ν) = s , \end{matrix}

où [ ]_{ν} désigne le générateur du groupe cyclique C̃_{−1}( CT_{p}( \overline{Supp(ν) ∪ ℕ_{p}} ) ). Finalement, si k < s − 1 , on pose Λ_{k} = 0 .

Pour montrer que Λ_{∗} est bien un homomorphisme, il faut vérifier que le diagramme suivant commute, quel que soit k ∈ { −1 , 0 , 1 , …, d − 1 } :

[figure: C̃_{k}( CT_{p}(n)_{≤s} ); δ_{k}; Λ_{k}; ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s}} C̃_{k−s}( CT^{p}( \overline{Supp(υ) ∪ ℕ_{p}} ) ); ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s}} ξ_{k−s}^{υ} = ξ_{k−s}; C̃_{k−1}( CT_{p}(n)_{≤s} ); Λ_{k−1}; ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s}} C̃_{k−s−1}( CT_{p}( \overline{Supp(υ) ∪ ℕ_{p}} ) ).]

Plus précisément, il suffit de vérifier que

ξ_{k−s}( Λ_{k}(ν) ) = Λ_{k−1}( δ_{k}(ν) ), quels que soient k ∈ { −1 , 0 , 1 , …, d − 1 } et ν ∈ CT_{p}(n)_{≤s} .

Soient donc k ∈ { −1 , 0 , 1 , …, d − 1 } et ν = {⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ⟨σ_{k}⟩} ∈ CT_{p}(n)_{≤s} . Si Φ(ν) < s, alors il est évident que

ξ_{k−s}( Λ_{k}(ν) ) = 0 = Λ_{k−1}( δ_{k}(ν) ) .

Par conséquent, on peut supposer que Φ(ν) = s et, par suite, k ∈ { s − 1 , s , …, d − 1 }. Si k = s − 1 , alors Λ_{k−1} = Λ_{s−2} = 0 , ξ_{k−s} = ξ_{−1} = 0 , et donc ξ_{−1} ∘ Λ_{s−1} = 0 = Λ_{s−2} ∘ δ_{s−1} . Si k = s, alors ν_{Φ} = {⟨σ_{1}⟩ , ⟨σ_{2}⟩ , …, ⟨σ_{s}⟩}, et on a

ξ_{k−s}( Λ_{k}(ν) ) = ξ_{0}( Λ_{s}(ν)) = ξ_{0}( \{⟨σ_{0}⟩\}_{ν_{Φ}}) = [ ]_{ν_{Φ}} ∈ C̃_{−1}( CT_{p}( \overline{Supp(ν_{Φ}) ∪ ℕ_{p}} ) ) et
Λ_{k−1}( δ_{k}(ν) ) = Λ_{s−1}( δ_{s}(ν) ) = Λ_{s−1}( ∑_{i=0}^{s−1} (−1)^{i} {⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ˆ ⟨σ_{i}⟩ , …, ⟨σ_{s−1}⟩} )

= ∑_{i=0}^{s−1} (−1)^{i} Λ_{s−1}( {⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ˆ ⟨σ_{i}⟩ , …, ⟨σ_{s−1}⟩} )

= Λ_{s−1}( { ˆ ⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ⟨σ_{s−1}⟩ } ) = [ ]_{ν_{Φ}},

où le signe ˆ au dessus de ⟨σ_{i}⟩ signifie que l’on efface le sommet ⟨σ_{i}⟩. Finalement, si k > s, alors

ξ_{k−s}( Λ_{k}(ν) ) = ξ_{k−s}( {⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ⟨σ_{k−s}⟩}_{ν_{Φ}} )

= ∑_{i=0}^{k−s} (−1)^{i} {⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ˆ ⟨σ_{i}⟩ , …, ⟨σ_{k−s}⟩}_{ν_{Φ}} et

Λ_{k−1}( δ_{k}(ν) ) = Λ_{k−1}( ∑_{i=0}^{k} (−1)^{i} {⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ˆ ⟨σ_{i}⟩ , …, ⟨σ_{k}⟩} )

= ∑_{i=0}^{k} (−1)^{i} Λ_{k−1}( {⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ˆ ⟨σ_{i}⟩ , …, ⟨σ_{k}⟩} )

= ∑_{i=0}^{k−s} (−1)^{i} Λ_{k−1}( {⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ˆ ⟨σ_{i}⟩ , …, ⟨σ_{k}⟩} )

= ∑_{i=0}^{k−s} (−1)^{i} {⟨σ_{0}⟩ , ⟨σ_{1}⟩ , …, ˆ ⟨σ_{i}⟩ , …, ⟨σ_{k−s}⟩}_{ν_{Φ}}.

En définitive, l’application Λ_{∗} est bien un homomorphisme de complexes de chaînes.

L’étape suivante consiste à montrer que le noyau de Λ_{∗} coïncide avec le complexe de chaînes augmenté C̃_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) . Il est clair que C̃_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) est un sous-complexe de chaînes de Ker(Λ_{∗}) . Réciproquement, si L ∈ Ker(Λ_{k}) pour un certain k ≥ 0 , alors il existe deux entiers 0 ≤ t ≤ m et des coefficients λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{m} ∈ ℤ tels que

L = ∑_{j=1}^{t} λ_{j} {⟨σ_{0 j}⟩ , ⟨σ_{1 j}⟩ , …, ⟨σ_{k j}⟩} + ∑_{j=t+1}^{m} λ_{j} {⟨σ_{0 j}⟩ , ⟨σ_{1 j}⟩ , …, ⟨σ_{k j}⟩} ,

où les simplexes ν_{j} = {⟨σ_{0 j}⟩ , ⟨σ_{1 j}⟩ , …, ⟨σ_{k j}⟩} ( j = 1, 2, …, m) sont distincts deux à deux et

Φ(ν_{j}) \{ \begin{matrix}< s & si j = 1, 2, …, t \\ = s & si j = t + 1 , t + 2 , …, m . \end{matrix}

On a

Λ_{k}(L) = 0 = ∑_{j=t+1}^{m} λ_{j} Λ_{k}(ν_{j})

= ∑_{j=t+1}^{m} λ_{j} \{⟨σ_{0 j}⟩ , ⟨σ_{1 j}⟩ , …, ⟨σ_{(k−s) j}⟩\}_{(ν_{j})_{Φ}} ∈ ⨁_{j=t+1}^{m} C̃_{k−s}( CT_{p}( \overline{Supp((ν_{j})_{Φ}) ∪ ℕ_{p}} ) ).

Or les éléments {⟨σ_{0 j}⟩ , ⟨σ_{1 j}⟩ , …, ⟨σ_{(k−s) j}⟩}_{(ν_{j})_{Φ}} ( j = t + 1 , t + 2 , …, m) sont des éléments de base de

⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s}} C̃_{k−s}( CT_{p}( \overline{Supp(υ) ∪ ℕ_{p}} ) )

tous distincts, puisque les simplexes ν_{j} ( j = t + 1, t + 2, …, m) sont tous distincts. Ils sont donc, en particulier, linéairement indépendants, et par suite,

λ_{j} = 0 , quel que soit j = t + 1, t + 2, …, m .

Ainsi, on peut écrire

L = ∑_{j=1}^{m} λ_{j} ν_{j} = ∑_{j=1}^{t} λ_{j} ν_{j} ∈ C̃_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) ,

et, par conséquent,

C̃_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) = Ker(Λ_{∗}) .

Par ailleurs, l’homomorphisme Λ_{∗} est surjectif, car quel que soit υ ∈ CT_{p}(n)_{=s}^{s} , il est évident que tous les simplexes de CT_{p}( \overline{Supp(υ) ∪ ℕ_{p}} ) sont dans l’image de Λ_{∗} .

En définitive, en appliquant le premier théorème d’isomorphie à Λ_{∗} , on obtient

\begin{aligned}C_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s} , CT_{p}(n)_{≤s−1} ) & = C̃_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s} ) / C̃_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) \\ & ≅ ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s}} C̃_{∗}( CT_{p}( \overline{Supp(υ) ∪ ℕ_{p}} ) )[−s] . \end{aligned}

Le théorème qui suit est le résultat important de ce paragraphe. Il nous permettra, dans les chapitres suivants, de démontrer, par récurrence, certaines propriétés homotopiques de l’ensemble ordonné T_{p}(n) .

(5.8) Théorème. Pour tout s = 1, 2, …, p , on a la suite exacte longue de groupes abéliens suivante :

\begin{aligned}… & → H̃_{k}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) → H̃_{k}( CT_{p}(n)_{≤s} ) → ⨁_{{j = n−p(s+1)+s \atop j ≥ 0}}^{n−ps}( ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s} ; ♯( \overline{Supp(υ)∪ℕ_{p}} ) = j} H̃_{k−s}( CT_{p}(j) ) ) \\ & → H̃_{k−1}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) → H̃_{k−1}( CT_{p}(n)_{≤s} ) → …. \end{aligned}

Preuve. Soit s ∈ { 1 , 2 , …, p } et notons n = dp + r avec d ≥ 1 et 0 ≤ r < p . Dans le cas où s > d, on sait , par la remarque 5.6, que

CT_{p}(n)_{≤s−1} = CT_{p}(n)_{≤s} et CT_{p}(n)_{=s}^{s} = ∅ .

On peut donc supposer s ≤ d.

En reconsidérant la suite exacte 5.4 et le lemme 5.7, on obtient la suite exacte courte de complexes de chaînes suivante :

0 → C̃_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) → C̃_{∗}( CT_{p}(n)_{≤s} ) → ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s}} C̃_{∗}( CT_{p}( \overline{Supp(υ) ∪ ℕ_{p}} ) )[−s] → 0 .

Par le théorème 5.1, cette dernière induit la suite exacte longue en homologie

(5.9)  \begin{aligned}… & → H̃_{k}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) → H̃_{k}( CT_{p}(n)_{≤s} ) → ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s}} H̃_{k−s}( CT_{p}( \overline{Supp(υ) ∪ ℕ_{p}} ) ) \\ & → H̃_{k−1}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) → H̃_{k−1}( CT_{p}(n)_{≤s} ) → …. \end{aligned}

Or, si υ ∈ CT_{p}(n)_{=s}^{s} , on peut montrer que

n − p(s + 1) + s ≤ ♯( \overline{Supp(υ) ∪ ℕ_{p}} ) ≤ n − ps .

Inversement, si j est un entier ≥ 0 vérifiant n − p(s + 1) + s ≤ j ≤ n − ps , alors il existe υ ∈ CT_{p}(n)_{=s}^{s} tel que ♯( \overline{Supp(υ) ∪ ℕ_{p}} ) = j . Dès lors, on a un isomorphisme de complexes de chaînes

⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s}} C̃_{∗}( CT_{p}( \overline{Supp(υ) ∪ ℕ_{p}} ) ) ≅ ⨁_{{j = n−p(s+1)+s \atop j ≥ 0}}^{n−ps}( ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s} ; ♯( \overline{Supp(υ)∪ℕ_{p}} ) = j} C̃_{∗}( CT_{p}(j)) ) .

Par conséquent, la suite exacte longue 5.9 peut être reformulée

\begin{aligned}… & → H̃_{k}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) → H̃_{k}( CT_{p}(n)_{≤s} ) → ⨁_{{j = n−p(s+1)+s \atop j ≥ 0}}^{n−ps}( ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s} ; ♯( \overline{Supp(υ)∪ℕ_{p}} ) = j} H̃_{k−s}( CT_{p}(j) ) ) \\ & → H̃_{k−1}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) → H̃_{k−1}( CT_{p}(n)_{≤s} ) → …. \end{aligned}

Sans aucune difficulté, nous allons démontrer le résultat correspondant au théorème 5.8 pour le complexe simplicial CD_{p}(n) . Soient p un nombre premier, n un entier ≥ p et notons n = dp + r avec d ≥ 1 et 0 ≤ r < p . Si ε_{0} est un sommet de CD_{p}(n) , c’est-à-dire une partie de cardinal p de ℕ_{n} , on note m_{ε_{0}} , le plus petit entier contenu dans ε_{0} . On pose alors, quels que soient les sommets ε_{0}, ζ_{0} de CD_{p}(n) ,

ε_{0} < ζ_{0} ⇔ ε_{0} et ζ_{0} sont disjoints et m_{ε_{0}} > m_{ζ_{0}} .

Cette relation fait de CD_{p}(n) un complexe simplicial ordonné. On considère ensuite l’application Φ de CD_{p}(n) dans l’ensemble { 0 , 1 , 2 , …, p } définie par

Φ : ε = { ε_{0} , ε_{1} , …, ε_{k} } ⟼ ♯{ i = 0, 1, 2, …, k | ε_{i} ∩ ℕ_{p} ≠ ∅ et ε_{i} ≠ { 1 , 2 , 3 , …, p } } ,

et on note, pour tout s = 0, 1, …, p , le sous-complexe simplicial

(5.10)  CD_{p}(n)_{≤s} = { ε ∈ CD_{p}(n) | Φ(ε) ≤ s } .

On obtient alors la fitration suivante du complexe simplicial CD_{p}(n) :

(5.11)  CD_{p}(n)_{≤0} ⊆ CD_{p}(n)_{≤1} ⊆ CD_{p}(n)_{≤2} ⊆ … ⊆ CD_{p}(n)_{≤p} = CD_{p}(n) .

Ainsi, à chaque s = 1, 2, …, p , correspond une suite exacte courte de complexes de chaînes

(5.12)  0 → C̃_{∗}( CD_{p}(n)_{≤s−1} ) → C̃_{∗}( CD_{p}(n)_{≤s} ) → C_{∗}( CD_{p}(n)_{≤s}, CD_{p}(n)_{≤s−1} ) → 0 .

(5.13) Lemme. Le complexe simplicial CD_{p}(n)_{≤0} est contractile.

Preuve. Il suffit de reprendre la démonstration du lemme 5.5 et de remplacer les sous-groupes abéliens élémentaires H ∈ T_{p}(n) considérés, par les p-partitions associées π(H) ∈ D_{p}(n) .

On pose, pour tout s = 1, 2, …, p , l’ensemble

CD_{p}(n)_{=s}^{s} = { ε ∈ CD_{p}(n) | Φ(ε) = s et rang(ε) = s } .

Soit ε = { ε_{0} , ε_{1} , …, ε_{k} } ∈ CD_{p}(n) et supposons que Φ(ε) = s > 0 . Il est alors clair que ε contient un unique simplexe appartenant à CD_{p}(n)_{=s}^{s} . On note ε_{Φ} ce simplexe. Explicitement, on peut écrire

ε_{Φ} = { ε_{k−s+1} , ε_{k−s+2} , …, ε_{k} } .

Finalement, on peut énoncer le résultat correspondant au théorème 5.8 pour le complexe simplicial CD_{p}(n) .

(5.14) Théorème. Pour tout s = 1, 2, …, p , on a la suite exacte longue de groupes abéliens suivante

\begin{aligned}… & → H̃_{k}( CD_{p}(n)_{≤s−1} ) → H̃_{k}( CD_{p}(n)_{≤s} ) → ⨁_{{j = n−p(s+1)+s \atop j ≥ 0}}^{n−ps}( ⨁_{ζ ∈ CD_{p}(n)_{=s}^{s} ; ♯( \overline{Supp(ζ)∪ℕ_{p}} ) = j} H̃_{k−s}( CD_{p}(j) ) ) \\ & → H̃_{k−1}( CD_{p}(n)_{≤s−1} ) → H̃_{k−1}( CD_{p}(n)_{≤s} ) → …. \end{aligned}

Preuve. La suite longue de groupes abéliens de l’énoncé ci-dessus n’est rien d’autre que l’image de la suite exacte

\begin{aligned}… & → H̃_{k}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) → H̃_{k}( CT_{p}(n)_{≤s} ) → ⨁_{{j = n−p(s+1)+s \atop j ≥ 0}}^{n−ps}( ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s} ; ♯( \overline{Supp(υ)∪ℕ_{p}} ) = j} H̃_{k−s}( CT_{p}(j) ) ) \\ & → H̃_{k−1}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) → H̃_{k−1}( CT_{p}(n)_{≤s} ) → …. \end{aligned}

du théorème 5.8 par le morphisme de complexe de chaînes induit par la surjection naturelle scindée π de T_{p}(n) sur D_{p}(n) . En particulier, ce morphisme de complexe de chaînes envoie une suite exacte sur une autre suite exacte.

(5.15) Remarque. Dans le cas où p = 2 , le théorème 5.14, qui est alors équivalent au théorème 5.8, se résume en une suite exacte longue, déjà calculée par Bouc ( confer [BO3 , lemme 9 ] ). En effet, si p = 2 , la filtration 5.11 devient

CD_{2}(n)_{≤0} ⊆ CD_{2}(n)_{≤1} ⊆ CD_{2}(n)_{≤2} = CD_{2}(n) .

Par ailleurs, en vertu du lemme 5.13, le complexe simplicial CD_{2}(n)_{≤0} est contractile. Ainsi,

\begin{aligned}C̃_{∗}( CD_{2}(n)_{≤1} ) & ≅ C_{∗}( CD_{2}(n)_{≤1}, CD_{2}(n)_{≤0} ) \\ & ≅ ⨁_{ζ ∈ CD_{2}(n)_{=1}^{1}} C̃_{∗}( CD_{2}( \overline{Supp(ζ) ∪ ℕ_{2}} ) )[−1] . \end{aligned}

Dès lors, le théorème 5.14 se résume en la suite exacte longue de groupes abéliens suivante : (5.16)

… → ⨁_{ζ ∈ CD_{2}(n)_{=1}^{1}} H̃_{k−1}( CD_{2}( \overline{Supp(ζ) ∪ ℕ_{2}} ) ) → H̃_{k}( CD_{p}(n) )
→ ⨁_{ε ∈ CD_{2}(n)_{=2}^{2}} H̃_{k−2}( CD_{2}( \overline{Supp(ε) ∪ ℕ_{2}} ) ) → ⨁_{ζ ∈ CD_{2}(n)_{=1}^{1}} H̃_{k−2}( CD_{2}( \overline{Supp(ζ) ∪ ℕ_{2}} ) ) → ….

34 Chapitre 1 . Définitions et premiers résultats Or, par définition, on a

CD_{2}(n)_{=1}^{1} = {{{ 1 , i }} ∈ CD_{2}(n) | i ∈ { 3 , 4 , …, n }} ∪
{{{ 2 , i }} ∈ CD_{2}(n) | i ∈ { 3 , 4 , …, n }} et
CD_{2}(n)_{=2}^{2} = {{{ 1 , i }, { 2 , j }} ∈ CD_{2}(n) | i, j ∈ { 3 , 4 , …, n }} .

Donc,

♯( CD_{2}(n)_{=1}^{1} ) = 2(n − 2) et ♯( CD_{2}(n)_{=2}^{2} ) = (n − 2)(n − 3) .

Par conséquent, la suite exacte longue 5.16 peut se récrire

\begin{aligned}… & → ⨁^{2(n−2)} H̃_{k−1}( D_{2}(n − 3) ) → H̃_{k}( D_{2}(n) ) → ⨁^{(n−2)(n−3)} H̃_{k−2}( D_{2}(n − 4) ) \\ & → ⨁^{2(n−2)} H̃_{k−2}( D_{2}(n − 3) ) → …. \end{aligned}

Par cet exemple, on comprend mieux comment les mêmes arguments peuvent donner des résultats beaucoup plus forts pour D_{2}(n) que pour les ensembles ordonnés D_{p}(n) ( p ≥ 3 ) .

Groupes d’homologie de degr�e �elev�e

Dans ce chapitre, nous démontrons plusieurs propriétés concernant les groupes d’homologie de degré élevé des ensembles ordonnés D_{p}(n) , T_{p}(n) et A_{p}(S_{n}) . Au premier paragraphe, nous déterminons, en fonction du nombre premier p et de l’entier n, le groupe d’homologie non nul de degré maximal, de chacun des trois ensembles ordonnés cités ci-dessus. Le cas où n est un multiple de p, réserve quelques surprises. En particulier, en considérant la suite spectrale de Quillen associée à la surjection naturelle de l’ensemble ordonné T_{p}(dp) sur l’ensemble D_{p}(dp) , où d est un entier ≥ 3 , il est possible de donner explicitement le rang du groupe abélien libre H_{d−1}( T_{p}(dp) ). Finalement, au troisième et dernier paragraphe, il est expliqué pourquoi les groupes d’homologie de degré élevé des ensembles ordonnés T_{p}(n) et A_{p}(S_{n}) sont isomorphes, même si n ≥ p^{2} . En outre, si n est à peine plus grand que p^{2} , c’est-à-dire p^{2} ≤ n < p^{2} +p, nous montrons que le complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) a alors le même type d’homotopie que le wedge du complexe simplicial ΔT_{p}(n) et d’un bouquet de cercles.

§ 6 GROUPES D’HOMOLOGIE NON NULS DE DEGRÉ MAXIMAL

Soient p un premier et n un entier. Le but de ce paragraphe est de déterminer pour chacun des ensembles ordonnés D_{p}(n) , T_{p}(n) et A_{p}(S_{n}) , le groupe d’homologie non nul de degré maximal. Si n < 3p, nous avons vu au chapitre précédent que le type d’homotopie de chacun de ces trois ensembles est connu. Dès lors, on peut supposer n ≥ 3p.

(6.1) Lemme. Si C est un complexe simplicial de dimension finie d et B un sous-complexe de même dimension, alors

H_{d}(B ) ⊆ H_{d}(C ) .

En particulier, si le groupe d’homologie H_{d}(B ) est non nul, alors il en est de même du groupe H_{d}(C ).

Preuve. Notons δ la différentielle du complexe de chaînes C_{∗}(C ) et δ′ celle de C_{∗}(B ). Puisque B est un sous-complexe simplicial de C , il est évident que C_{d}(B ) est un sous-groupe de C_{d}(C ) et δ′_{d} est la restriction à C_{d}(B ) de l’homomorphisme δ_{d} . Par conséquent,

H_{d}(B ) = Ker( δ′_{d} ) ⊆ Ker( δ_{d} ) = H_{d}(C ) .

(6.2) Proposition. Soient p un premier et n ≥ 3p un entier.

(a) Si n = dp + r , avec d ≥ 3 et 0 < r < p , alors l’ensemble ordonné D_{p}(n) est de dimension d − 1 et

H_{d−1}( D_{p}(n) ) ≠ 0 .

(b) Si n = dp avec d ≥ 3 , alors l’ensemble ordonné D_{p}(n) a le type d’homotopie d’un complexe simplicial

de dimension d − 2 et

H_{d−2}( D_{p}(dp) ) ≠ 0 .

Preuve. Le complexe des p-partitions ΔD_{p}(n) est la subdivision barycentrique du complexe simplicial CD_{p}(n) , décrit à la remarque 4.1. Ainsi, si les deux assertions de l’énoncé sont vérifiées pour le complexe CD_{p}(n) , alors elles le sont aussi pour l’ensemble ordonné D_{p}(n) .

(a) Soit n = dp + r , avec d ≥ 3 et 0 < r < p . Clairement, le complexe simplicial CD_{p}(n) est de dimension d − 1 . Montrons, par récurrence sur d, que le groupe abélien H_{d−1}( CD_{p}(n) ) est non nul.

Supposons d ≥ 3 et

H_{d−2}( CD_{p}( (d − 1)p + r ) ) ≠ 0 .

Considérons le sous-complexe simplicial CD_{p}(n)_{≤1} de CD_{p}(n) défini au point 5.10, et soit

ε = { ε_{0} , ε_{1} , …, ε_{d−1} } ∈ CD_{p}(n) ,

un simplexe de dimension maximale tel que ε_{0} = { 1 , 2 , …, p }. Il est immédiat que ε ∈ CD_{p}(n)_{≤1} . En particulier, puisque ε est un simplexe de dimension d − 1 , on en déduit que

dim( CD_{p}(n)_{≤1} ) = dim( CD_{p}(n) ) = d − 1 .

Ainsi, en vertu du lemme 6.1, il suffit, pour conclure, de montrer que le groupe abélien H_{d−1}( CD_{p}(n)_{≤1} ) est non nul. Par le théorème 5.14, on a la suite exacte longue suivante :

\begin{aligned}… & → H̃_{k}( CD_{p}(n)_{≤0} ) → H̃_{k}( CD_{p}(n)_{≤1} ) → ⨁_{j = n−2p+1}^{n−p}( ⨁_{ζ ∈ CD_{p}(n)_{=1}^{1} ; ♯( \overline{Supp(ζ)∪ℕ_{p}} ) = j} H̃_{k−1}( CD_{p}(j) ) ) \\ & → H̃_{k−1}( CD_{p}(n)_{≤0} ) → H̃_{k−1}( CD_{p}(n)_{≤1} ) → …. \end{aligned}

§6 . Groupes d’homologie non nuls de degré maximal 37

Par ailleurs, nous avons montré, au lemme 5.13, que le complexe simplicial CD_{p}(n)_{≤0} est contractile. En particulier, il en résulte un isomorphisme

(6.3)  H_{d−1}( CD_{p}(n)_{≤1} ) ≅ ⨁_{j = n−2p+1}^{n−p}( ⨁_{ζ ∈ CD_{p}(n)_{=1}^{1} ; ♯( \overline{Supp(ζ)∪ℕ_{p}} ) = j} H_{d−2}( CD_{p}(j) ) ) .

Or, par hypothèse de récurrence, le groupe d’homologie H_{d−2}( CD_{p}( (d − 1)p + r ) ) est non nul, et donc, vu l’isomorphisme 6.3, on a

H_{d−1}( CD_{p}(n)_{≤1} ) ≠ 0 .

(b) Soit n = dp avec d ≥ 3 . Par la proposition 4.6, on sait que le complexe simplicial CD_{p}(dp) a le type d’homotopie d’un complexe de dimension d − 2 . Montrons, par récurrence sur d, que le groupe d’homologie H_{d−2}( CD_{p}(dp) ) est non nul.

Si d = 3 , nous avons mentionné à la remarque 4.7 que le complexe CD_{p}(3p) a le type d’homotopie d’un graphe connexe, dont la caractéristique d’Euler réduite est non nulle. Dès lors, le groupe H_{1}( CD_{p}(3p) ) est non nul.

Supposons, à présent, d > 4 et

H_{d−3}( CD_{p}( (d − 1)p ) ) ≠ 0 .

Nous allons montrer, par récurrence sur s = 1, 2, …, p , que le groupe d’homologie H_{d−2}( CD_{p}(dp)_{≤s} ) est non nul. Si s = 1 , alors, grâce au théorème 5.14 et au lemme 5.13, nous savons l’existence d’un isomorphisme

H_{d−2}( CD_{p}(dp)_{≤1} ) ≅ ⨁_{j = (d−2)p+1}^{(d−1)p}( ⨁_{ζ ∈ CD_{p}(dp)_{=1}^{1} ; ♯( \overline{Supp(ζ)∪ℕ_{p}} ) = j} H_{d−3}( CD_{p}(j) ) ) .

Or, par l’hypothèse de récurrence sur d , le groupe H_{d−3}( CD_{p}( (d − 1)p ) ) est non nul, et donc

H_{d−2}( CD_{p}(dp)_{≤1} ) ≠ 0 .

Soit s ≥ 2 , et supposons le groupe H_{d−2}( CD_{p}(dp)_{≤s−1} ) non nul. Par le théorème 5.14, on sait qu’il existe une suite exacte longue (6.4)

\begin{aligned}… & → H̃_{k}( CD_{p}(dp)_{≤s−1} ) → H̃_{k}( CD_{p}(dp)_{≤s} ) → ⨁_{{j = (d−s−1)p+1 \atop j ≥ 0}}^{(d−s)p}( ⨁_{ζ ∈ CD_{p}(dp)_{=s}^{s} ; ♯( \overline{Supp(ζ)∪ℕ_{p}} ) = j} H̃_{k−s}( CD_{p}(j) ) ) \\ & → H̃_{k−1}( CD_{p}(dp)_{≤s−1} ) → H̃_{k−1}( CD_{p}(dp)_{≤s} ) → …. \end{aligned}

Si j ≥ 0 est un entier tel que (d − s − 1)p + 1 ≤ j < (d − s)p , il est évident que

dim( CD_{p}(j) ) = d − s − 2 .

En outre, par la proposition 4.6, on sait que le complexe simplicial CD_{p}((d−s)p) est de dimension d−s−1 , mais a le type d’homotopie d’un complexe de dimension d − s − 2 . Par suite, si k est un entier tel que k − s > d − s − 2 , i.e. k > d − 2 , il est alors tout à fait clair que

⨁_{{j = (d−s−1)p+1 \atop j ≥ 0}}^{(d−s)p}( ⨁_{ζ ∈ CD_{p}(dp)_{=s}^{s} ; ♯( \overline{Supp(ζ)∪ℕ_{p}} ) = j} H̃_{k−s}( CD_{p}(j) ) ) = 0 .

Par conséquent, l’extrémité gauche de la suite exacte longue 6.4 est de la forme

\begin{aligned}0 & → H_{d−2}( CD_{p}(dp)_{≤s−1} ) → H_{d−2}( CD_{p}(dp)_{≤s} ) → ⨁_{{j = (d−s−1)p+1 \atop j ≥ 0}}^{(d−s)p}( ⨁_{ζ ∈ CD_{p}(dp)_{=s}^{s} ; ♯( \overline{Supp(ζ)∪ℕ_{p}} ) = j} H̃_{d−2−s}( CD_{p}(j) )) \\ & → H_{d−3}( CD_{p}(dp)_{≤s−1} ) → …. \end{aligned}

Il en découle, a fortiori, que le groupe H_{d−2}( CD_{p}(dp)_{≤s−1} ) s’injecte dans le groupe H_{d−2}( CD_{p}(dp)_{≤s} ). Or, par l’hypothèse de récurrence sur s, le groupe H_{d−2}( CD_{p}(dp)_{≤s−1} ) est non nul, et donc il en est de même du groupe H_{d−2}( CD_{p}(dp)_{≤s} ) . Au bout du compte, on a ainsi montré que

H_{d−2}( CD_{p}(dp)_{≤s} ) ≠ 0 , quel que soit s = 1, 2, …, p .

Finalement, en particulier, on en déduit que

H_{d−2}( CD_{p}(dp) ) = H_{d−2}( CD_{p}(dp)_{≤p} ) ≠ 0 .

(6.5) Corollaire. Soient p un nombre premier et n = dp + r un entier avec d ≥ 3 et 0 < r < p .

(a) L’ensemble ordonné T_{p}(n) est de dimension d − 1 et

H_{d−1}( T_{p}(n) ) ≠ 0 .

(b) L’ensemble ordonné A_{p}(S_{n}) est de dimension d − 1 et

H_{d−1}( A_{p}(S_{n}) ) ≠ 0 .

Preuve. (a) Par la proposition 4.5, le groupe d’homologie H_{d−1}( D_{p}(n) ) est facteur direct du groupe H_{d−1}( T_{p}(n) ). A fortiori, en vertu de la proposition 6.2, ce dernier est donc non nul.

(b) Le complexe simplicial ΔT_{p}(n) est un sous-complexe simplicial du complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) . Dès lors, le résultat annoncé n’est qu’une conséquence du lemme 6.1 et de l’assertion (a), démontrée cidessus.

(6.6) Remarque. Si p est un nombre premier et n = dp avec d ≥ 3 , la proposition 6.2 ne permet aucune déduction sur le groupe d’homologie de degré maximal H_{d−1}( T_{p}(dp) ). Néanmoins, puisque le groupe H_{d−2}( D_{p}(dp) ) est non nul, on peut affirmer que le groupe H_{d−2}( T_{p}(dp) ) est lui aussi non nul, en vertu de la proposition 4.5.

Au vu de ce qui précède, pour que la réponse à la question posée dans ce paragraphe soit complète, il ne nous reste plus qu’à déterminer le groupe d’homologie non nul de degré maximal des ensembles ordonné T_{p}(n) et A_{p}(S_{n}) , lorsque n est un multiple de p. Pour ce faire, nous allons distinguer les trois cas p = 2 , p = 3 et p ≥ 5 .

Si p = 2 , alors, d’une manière générale, l’ensemble ordonné D_{2}(n) = T_{2}(n) ne nous donne que peu d’information sur l’ensemble A_{2}(S_{n}) . On a déjà vu à l’exemple 2.12 que A_{2}(S_{4}) est contractile, et que A_{2}(S_{6}) a le type d’homotopie d’un graphe connexe, mais, pour n = 2d avec d ≥ 4 , nous ne sommes pas en mesure de dire si le groupe d’homologie H_{d−1}( A_{2}(S_{2d}) ) est nul ou non.

Si p ≥ 5 et n = dp, nous verrons que les groupes d’homologie H_{d−1}( T_{p}(dp) ) et H_{d−1}( A_{p}(S_{dp}) ) sont tous deux non nuls. Plus précisément, dans le paragraphe suivant, nous allons calculer le rang du groupe abélien libre H_{d−1}( T_{p}(dp) ), puis constater, dans le dernier paragraphe, que

H_{d−1}( T_{p}(dp) ) ≅ H_{d−1}( A_{p}(S_{dp}) ) .

Finalement, dans le cas où p = 3 , nous avons déjà remarqué que D_{3}(n) = T_{3}(n) , et la proposition suivante règle la question.

(6.7) Proposition. Soit n = 3d un multiple de 3 avec d ≥ 3 .

(a) L’ensemble ordonné A_{3}(S_{3d}) est de dimension d − 1 , mais il a le type d’homotopie d’un complexe simplicial de dimension d − 2 . En particulier, le groupe d’homologie H_{d−1}( A_{3}(S_{3d}) ) est nul et le groupe H_{d−2}( A_{3}(S_{3d}) ) est abélien libre.

(b) En outre, le groupe H_{d−2}( A_{3}(S_{3d}) ) est non nul.

Preuve. (a) Soit C = { P_{0} < P_{1} < … < P_{d−2} < P_{d−1} } une chaîne maximale dans l’ensemble ordonné A_{3}(S_{3d}) . En s’inspirant de la preuve de la proposition 2.8, il est aisé de montrer que le sous-groupe abélien élémentaire maximal P_{d−1} est nécessairement de la forme

P = ⟨σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{d−1}⟩ , où les σ_{i} ( i = 0, 1, …, d−1 ) sont des 3-cycles deux à deux disjoints.

En conséquence, la chaîne C est entièrement contenue dans l’ensemble ordonné

T A_{3}(3d) = { P ∈ A_{3}(S_{3d}) | les orbites de P sont toutes d’ordre 3 } ,

déjà décrit au lemme 3.2. En particulier, le sous-groupe abélien élémentaire P_{d−2} est un élément de rang d−1 de l’ensemble ordonné T A_{3}(3d) . Il y a alors deux cas à distinguer, selon que l’ensemble Supp(P_{d−2}) est de cardinalité n − 3 ou n . Dans le premier cas, on peut écrire

P_{d−2} = ⟨σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{d−3} , σ_{d−2}⟩ , où les σ_{i} ( i = 0, 1, …, d−2 ) sont des 3-cycles deux à deux disjoints.

Il existe alors un unique sous-groupe cyclique d’ordre 3 , que l’on peut noter ⟨σ_{d−1}⟩, de support disjoint de celui de P_{d−2} . De ce fait, le 3-sous-groupe de S_{3d} ,

P_{d−1} = ⟨σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{d−3} , σ_{d−2} , σ_{d−1}⟩

est l’unique sous-groupe abélien élémentaire maximal contenant P_{d−2} . Dans le second cas, c’est-à-dire dans le cas où Supp(P_{d−2}) = ℕ_{3d} , on peut écrire

P_{d−2} = ⟨τ_{0} , τ_{1} , …, τ_{d−3} , τ_{d−2}τ_{d−1}⟩ ,

où les τ_{i} ( i = 0 , 1 , …, d − 1 ) sont des 3-cycles deux à deux disjoints. Alors le 3-sous-groupe de S_{3d}

P_{d−1} = ⟨τ_{0} , τ_{1} , …, τ_{d−3} , τ_{d−2} , τ_{d−1}⟩

est l’unique sous-groupe abélien élémentaire maximal contenant P_{d−2} . En définitive, quelle que soit la chaîne maximale C = { P_{0} < P_{1} < … < P_{d−2} < P_{d−1} } dans l’ensemble ordonné A_{3}(S_{3d}) , le groupe P_{d−1} est l’unique sous-groupe abélien élémentaire maximal contenant P_{d−2} .

Considérons le sous-ensemble ordonné de A_{3}(S_{3d}) suivant :

A′_{3}(S_{3d}) = A_{3}(S_{3d}) \ { P ∈ T A_{3}(3d) | rang(P) = d − 1 } .

Il est clair que cet ensemble ordonné A′_{3}(S_{3d}) est de dimension d−2 , puisqu’il ne contient aucune chaîne de longueur d − 1 . Si P ∈ A_{3}(S_{3d}) \ A′_{3}(S_{3d}) , notons P̂ l’unique sous-groupe abélien élémentaire maximal contenant P . Considérons alors l’inclusion i de l’ensemble ordonné A′_{3}(S_{3d}) dans l’ensemble A_{3}(S_{3d}) et l’application f définie par

\begin{matrix}f : A_{3}(S_{3d}) & ⟶ A′_{3}(S_{3d}) \\ P & ⟼ \{ \begin{matrix}P & si P ∈ A′_{3}(S_{3d}), \\ P̂ & si P ∉ A′_{3}(S_{3d}) . \end{matrix} \end{matrix}

On vérifie très facilement que i et f sont des applications croissantes, et que

(f ∘ i) (P) = P ,  quel que soit P ∈ A′_{3}(S_{3d})  et
(i ∘ f) (P) ≥ P ,  quel que soit P ∈ A_{3}(S_{3d}) .

La propriété d’homotopie (lemme 1.2) permet alors de conclure.

(b) Dans la démonstration de la proposition 4.6, nous avons considéré l’ensemble D_{p}′(dp) , qui consiste en l’ensemble ordonné D_{p}(dp) privé des éléments de rang d − 1 . Nous avons alors montré que

D_{p}′(dp) ≃ D_{p}(dp) .

Par suite, en vertu du lemme 6.2, le groupe d’homologie H_{d−2}( D_{3}′(3d) ) est non nul. Or, via l’application croissante et injective

\begin{matrix}ρ′ : D_{3}′(3d) & ⟶ A′_{3}(S_{3d}) \\ ε & ⟼ ρ(ε) , \end{matrix}

où l’application ρ : D_{p}(n) → T_{p}(n) a déjà été définie à la remarque 4.2, le complexe simplicial ΔD_{p}′(3d) peut être vu comme un sous-complexe de ΔA′_{3}(S_{3d}) . De plus, il est immédiat que

dim( ΔA′_{3}(S_{3d}) ) = dim( ΔD_{p}′(dp) ) = d − 2 .

Dès lors, le lemme 6.1 permet de conclure.

(6.8) Remarque. La preuve qui précède n’est pas valable pour un premier p ≠ 3 . En effet, si p = 2 et n = 8 par exemple, le sous-groupe abélien élémentaire de rang 3

⟨ (1 2)(3 4) , (5 6) , (7 8) ⟩ ∈ A_{2}(S_{8})

est contenu dans les deux sous-groupes abéliens élémentaires maximaux suivants :

\begin{matrix}⟨ (1 2) , (3 4) , (5 6) , (7 8) ⟩ et \\ ⟨ (1 2)(3 4) , (1 3)(2 4) , (5 6) , (7 8) ⟩ ∈ A_{2}(S_{8}) . \end{matrix}

Dans le cas où p ≥ 5 , on calcule facilement que si ε ⊂ ℕ_{n} est un ensemble de cardinal p, alors il existe (p − 2)! groupes cycliques d’ordre p de support ε . Ainsi, si n = dp, un sous-groupe abélien élémentaire de rang d − 1 de la forme

P = ⟨σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{d−3} , σ_{d−2}⟩ ∈ A_{p}(S_{dp}) ,

où les σ_{i} ( i = 0, 1, …, d−2 ) sont des p-cycles deux à deux disjoints, est contenu dans (p−2)! sous-groupes abéliens élémentaires maximaux

⟨σ_{0} , σ_{1} , …, σ_{d−3} , σ_{d−2} , σ_{d−1}⟩ ∈ A_{p}(S_{dp}) ,

où σ_{d−1} est un p-cycle, dont le support est disjoint de celui de P .

§7 . Une suite spectrale 41

§ 7 UNE SUITE SPECTRALE

Pour commencer ce paragraphe, nous allons voir comment il est possible d’associer à une application croissante f : X → Y d’ensembles ordonnés une suite spectrale qui converge vers les groupes d’homologie de X . Afin de se remémorer la définition d’une suite spectrale, il est possible de lire, par exemple, les premières pages du chapitre 11 du livre de Mac Lane [ML].

Notons Ab la catégorie des groupes abéliens. Soit X un ensemble ordonné. En particulier, X peut être vu comme une catégorie, et on peut donc se donner un foncteur F : X → Ab . Autrement dit, F associe à tout élément x de X un groupe abélien F (x) , et à toute paire ordonnée x ≤ y dans X un homomorphisme de groupes abéliens f_{x≤y} : F (x) → F (y) , de telle sorte que

f_{y≤z} ∘ f_{x≤y} = f_{x≤z} ,  quels que soient x ≤ y ≤ z dans X et
f_{x≤x} = Id_{F (x)} ,  quel que soit x ∈ X .

Si c = { x_{0} < x_{1} < … < x_{k} } est une chaîne de longueur k dans X , c’est-à-dire un k-simplexe dans ΔX , on pose F (c) = F (x_{0}) . On définit alors les groupes d’homologie H_{∗}(X, F ) de X à coefficients F , comme étant les groupes d’homologie du complexe de chaînes, dont les termes sont

C_{k}(X, F ) = ⨁_{{c ∈ ΔX \atop dim(c) = k}} F (c) · c ,

et les différentielles

δ_{k} : C_{k}(X, F ) ⟶ C_{k−1}(X, F )

sont données par

δ_{k} : u · c ⟼ f_{x_{0}≤x_{1}}(u) · { x_{1} < x_{2} < … < x_{k} } + ∑_{i=1}^{k} (−1)^{i} u · { x_{0} < x_{1} < … < x̂_{i} < … < x_{k} } ,

où u ∈ F (c) , pour une certaine chaîne c = { x_{0} < x_{1} < … < x_{k} } . Si F désigne le foncteur constant ℤ, alors les groupes d’homologie à coefficients F coïncident avec les groupes d’homologie entière de l’ensemble ordonné X .

Si f : X → Y est une application croissante entre deux ensembles ordonnés et s est un entier, on peut considérer le foncteur de Y dans Ab défini par y ↦ H_{s}( f_{≤y}) . On obtient alors la suite spectrale de Quillen associée à f ( confer [QU , section 7 ] ) :

E_{r,s}^{2} = H_{r}( Y , y ↦ H_{s}( f_{≤y}) ) ⇒ H_{r+s}( X) ,

dont les différentielles φ^{k} sont de bidegré ( −k , k − 1 ) .

Dans ce paragraphe, nous allons nous intéresser à la suite spectrale de Quillen associée à la surjection naturelle π : T_{p}(n) → → D_{p}(n) . Dans le cas où n = dp avec d ≥ 3 , le groupe H_{d−1}( D_{p}(dp) ) est nul, et la suite spectrale citée ci-dessus, permet de déterminer le rang du groupe abélien libre H_{d−1}( T_{p}(dp) ). En particulier, nous verrons que celui-ci est non nul. Pour ce faire, il nous faut tout d’abord décrire les groupes d’homologie des fibres π_{≤ε} , pour toute p-partition ε ∈ D_{p}(n) .

(7.1) Lemme. Si p est un nombre premier ≥ 5 , n un entier ≥ p et ε ∈ D_{p}(n) une p-partition de rang k, alors la fibre π_{≤ε} a le type d’homotopie d’un bouquet de ((p−2)!−1)^{k} sphères de dimension k−1 . En particulier,

H_{s}( π_{≤ε}) = \{ \begin{matrix}ℤ^{((p−2)!−1)^{k}} & si s = k − 1 et k ≠ 1 \\ ℤ & si s = 0 et k ≠ 1 \\ ℤ^{(p−2)!} & si s = 0 et k = 1 \\ 0 & sinon . \end{matrix}

Preuve. Si C_{1} et C_{2} désignent deux complexes simpliciaux, le joint de C_{1} et C_{2} , que l’on note C_{1} ∗C_{2} , est le complexe simplicial, dont l’ensemble des sommets est la réunion disjointe de Vert(C_{1}) et Vert(C_{2}), et l’ensemble des simplexes est donné par

C_{1} ∗ C_{2} = {s = s_{1} ⊔ s_{2} | s ≠ ∅ et s_{i} ∈ C_{i} ⊔ {∅} pour i = 1, 2 } .

Le wedge de C_{1} et C_{2} , que l’on note C_{1} ∨C_{2} , est le quotient du complexe simplicial C_{1} ⊔C_{2} par la relation qui identifie un point de base de C_{1} et un point de base de C_{2} . Si C_{3} désigne un troisième complexe simplicial, on montre facilement que

(7.2)  (C_{1} ∨ C_{2}) ∗ C_{3} ≃ (C_{1} ∗ C_{3}) ∨ (C_{2} ∗ C_{3}) .

Pour l et k des entiers ≥ 1 , on définit le complexe simplicial T D ( l , k) par

T D ( l , k) = N_{l} ∗ N_{l} ∗ … ∗ N_{l} = ∗^{k} N_{l} ,

où N_{l} désigne le complexe simplicial de dimension zéro composé de l sommets. Ce complexe simplicial T D ( l , k) a le type d’homotopie d’un bouquet de (l − 1)^{k} sphères de dimension k − 1 . En effet, N_{l} peut être vu comme un bouquet de l − 1 sphères de dimension 0 . Ainsi, en vertu de l’équivalence 7.2, on a

T D ( l , k) = ( ⋁^{l−1} S^{0} ) ∗ ( ⋁^{l−1} S^{0} ) ∗ … ∗ ( ⋁^{l−1} S^{0} ) ≃ ⋁^{(l−1)^{k}}(∗^{k} S^{0}) .

En outre, on sait par [ROT , théorème 11.16 ] que, pour tout entier m ≥ 0 ,

S^{m} ∗ S^{0} ≅ ΣS^{m} ≅ S^{m+1} ,

où ΣS^{m} désigne la suspension de la sphère S^{m} de dimension m. Par suite,

∗^{k} S^{0} = (S^{0} ∗ S^{0}) ∗ (∗^{k−2} S^{0}) ≅ S^{1} ∗ (∗^{k−2} S^{0}) ≅ S^{2} ∗ (∗^{k−3} S^{0}) ≅ … ≅ S^{k−2} ∗ S^{0} ≅ S^{k−1} ,

et donc T D ( l , k) a bien le type d’homotopie d’un bouquet de (l − 1)^{k} sphères de dimension k − 1 .

Si ζ ∈ D_{p}(n) désigne une p-partition de rang 1 , alors il existe exactement (p − 2)! p-groupes ⟨σ⟩ ∈ T_{p}(n) tels que π(⟨σ⟩) = ζ . De ce fait, on montre aisément que si ε = { ε_{0} , ε_{1} , …, ε_{k−1} } ∈ D_{p}(n) désigne une p-partition de rang k, alors le complexe simplicial associé à l’ensemble ordonné π_{≤ε} s’identifie à la subdivision barycentrique du complexe simpicial T D ( (p − 2)! , k ). Ainsi, la fibre π_{≤ε} a le même type d’homotopie que le complexe simpicial T D ( (p − 2)! , k ). Par conséquent, en vertu de ce qui précède, la fibre π_{≤ε} a le type d’homotopie d’un bouquet de ((p − 2)! − 1)^{k} sphères de dimension k − 1 .

Avant d’énoncer le résultat essentiel de ce paragraphe, il nous faut encore démontrer le lemme suivant.

(7.3) Lemme. Soit E une suite spectrale du premier quadrant, dont les différentielles φ^{k} sont de bidegré ( −k , k − 1 ) , pour laquelle il existe un entier m ≥ 0 tel que

E_{r,s}^{2} = 0 si r + s ≥ m et (r, s) ≠ (0, m) .

Autrement dit, à la deuxième page E^{2} de la suite spectrale E , les termes se trouvant sur la droite r+s = m sont nuls, sauf le terme E_{0,m}^{2} , et les termes au-dessus de cette même droite sont tous nuls. On a alors

E_{r,s}^{∞} ≅ E_{r,s}^{2} si r + s ≥ m .

Preuve. Nous allons montrer, par récurrence sur k ≥ 2 , que

E_{r,s}^{k} ≅ E_{r,s}^{2} si r + s ≥ m .

Pour ce faire, notons φ la différentielle de la suite spectrale donnée. Rappelons que, pour tous entiers k ≥ 1 , r ≥ 0 et s ≥ 0 ,

(7.4)  \begin{matrix}φ_{r,s}^{k} : E_{r,s}^{k} ⟶ E_{r−k , s+k−1}^{k}  et \\ E_{r,s}^{k+1} ≅ Ker( φ_{r,s}^{k}) / Im( φ_{r+k , s−k+1}^{k}) . \end{matrix}

Soit un entier k ≥ 2 et supposons que

E_{r,s}^{k} = E_{r,s}^{2} si r + s ≥ m .

Soient deux entiers r ≥ 0 et s ≥ 0 tels que r + s ≥ m. On a alors

(r + k) + (s − k + 1) = r + s + 1 > m .

Ainsi, par hypothèse de récurrence, la différentielle φ_{r+k , s−k+1}^{k} est nulle, puisque son terme de départ est nul. Dès lors, l’isomorphisme 7.4, devient

(7.5)  E_{r,s}^{k+1} ≅ Ker( φ_{r,s}^{k}) .

Or, toujours par hypothèse de récurrence, on sait que

φ_{r,s}^{k} = 0 si r + s ≥ m et (r, s) ≠ (0, m) .

En conséquence, on en tire que

E_{r,s}^{k+1} = 0 = E_{r,s}^{2} si r + s ≥ m et (r, s) ≠ (0, m) .

En outre, puisque E est une suite spectrale du premier quadrant, la différentielle φ_{0,m}^{k} est nulle, car son terme d’arrivée est nul. Par conséquent, en reprenant l’isomorphisme 7.5, on obtient

E_{0,m}^{k+1} ≅ Ker( φ_{0,m}^{k}) = E_{0,m}^{k} ≅ E_{0,m}^{2} .

(7.6) Proposition. Si p est un nombre premier ≥ 5 et d un entier ≥ 3 , l’ensemble ordonné T_{p}(dp) est de dimension d − 1 et

rang( H_{d−1}( T_{p}(dp) ) ) = \frac{(dp)! · ((p − 2)! − 1)^{d}}{(p!)^{d} · d!} .

Preuve. Le temps de cette preuve, nous adoptons la convention que si ε_{j} ∈ D_{p}(dp) , l’indice j indique le rang de cette p-partition ε_{j} .

Comme annoncé, considérons la suite spectrale de Quillen E associée à la surjection naturelle

π : T_{p}(dp) → → D_{p}(dp) ,

donnée par

E_{r,s}^{2} = H_{r}( D_{p}(dp) , ε ↦ H_{s}( π_{≤ε}) ) ⇒ H_{r+s}( T_{p}(dp) ) .

Pour commencer, nous allons montrer que cette suite spectrale vérifie les hypothèses du lemme précédent.

Puisque les ensembles ordonnés T_{p}(dp) et D_{p}(dp) sont de dimension d − 1 , il est tout à fait évident que

E_{r,s}^{2} = 0 si r ∉ { 0, 1, 2, …, d − 1 } ou s ∉ { 0, 1, 2, …, d − 1 } .

En particulier, E est une suite spectrale du premier quadrant.

Si s = d − 1 , alors, par le lemme 7.1, on sait que H_{d−1}( π_{≤ε}) ≠ 0 si et seulement si la p-partition ε est de rang d. Or, si c ∈ ΔD_{p}(dp) désigne un simplexe de dimension non nulle, c’est-à-dire une chaîne d’au moins 2 éléments de D_{p}(dp) , alors l’élément minimal de cette chaîne c est de rang < d. Ainsi, la (d − 1)-ème ligne de la page E^{2} est constituée des groupes d’homologie du complexe de chaînes suivant concentré en degré 0 :

0 ⟶ ⨁_{ε_{d} ∈ D_{p}(dp)} H_{d−1}( π_{≤ε_{d}} ) ⟶ 0 .

Par suite, on a

(7.7)  E_{0 , d−1}^{2} = ⨁_{ε_{d} ∈ D_{p}(dp)} H_{d−1}( π_{≤ε_{d}} )  et  E_{r,d−1}^{2} = 0 si r ≠ 0 .

Si s = d − 2 , alors, par le lemme 7.1, on sait que H_{d−2}( π_{≤ε}) ≠ 0 si et seulement si ε est de rang d − 1 . Ainsi, la (d − 2)-ème ligne de la page E^{2} est constituée des groupes d’homologie du complexe de chaînes suivant concentré en degrés 0 et 1 :

0 ⟶ ⨁_{{ε_{d−1}< ε_{d}} ⊂ D_{p}(dp)} H_{d−2}( π_{≤ε_{d−1}} ) ⟶^{δ_{1}} ⨁_{ε_{d−1} ∈ D_{p}(dp)} H_{d−2}( π_{≤ε_{d−1}} ) ⟶ 0 .

Or, si ε_{d−1} ∈ D_{p}(dp) est une p-partition de rang d − 1 , il existe une unique partition ε_{d} de rang maximal telle que ε_{d−1} < ε_{d} ( cet argument nous a déjà permis de démontrer la proposition 4.6 ). Dès lors, la différentielle δ_{1} est un isomorphisme qui, pour toute p-partition ε_{d−1} ∈ D_{p}(dp) de rang d − 1 , identifie les coefficients H_{d−2}( π_{≤ε_{d−1}} ) associés au simplexe {ε_{d−1} < ε_{d}} , aux coefficients H_{d−2}( π_{≤ε_{d−1}} ) associés au simplexe {ε_{d−1}}. Donc, a fortiori, on en déduit que

(7.8)  E_{r , d−2}^{2} = 0 , quel que soit r ∈ ℤ .

Si 1 ≤ s < d − 2 , alors, par le lemme 7.1, on sait que H_{s}( π_{≤ε}) ≠ 0 si et seulement si ε est de rang s + 1 . Ainsi, la s-ème ligne de la page E^{2} est constituée des groupes d’homologie d’un complexe de chaînes, dont l’extrémité de gauche est de la forme :

(7.9)  \begin{aligned}0 & ⟶^{δ_{d−s}} ⨁_{\{ε_{s+1} < ε_{s+2} < ... < ε_{d}\} ⊂ D_{p}(dp)} H_{s}( π_{≤ε_{s+1}} ) \\ & ⟶^{δ_{d−s−1}} ⨁_{j = s+2}^{d} ( ⨁_{\{ε_{s+1} < ... < ε̂_{j} < ... < ε_{d}\} ⊂ D_{p}(dp)} H_{s}( π_{≤ε_{s+1}} ) ) ⟶^{δ_{d−s−2}} …, \end{aligned}

où le signe ˆ au dessus de ε_{j} signifie que l’on efface le sommet ε_{j} . Considérons le facteur de δ_{d−s−1} ,

(δ_{d−s−1})_{d} : ⨁_{{ε_{s+1} < ε_{s+2} < ... < ε_{d}} ⊂ D_{p}(dp)} H_{s}( π_{≤ε_{s+1}} ) ⟶ ⨁_{{ε_{s+1} < ε_{s+2} < ... < ε_{d−1}} ⊂ D_{p}(dp)} H_{s}( π_{≤ε_{s+1}} ) ) .

Si {ε_{s+1} < ε_{s+2} < … < ε_{d−1}} est une chaîne dans D_{p}(dp) , alors il existe une unique p-partition ε_{d} de rang maximal telle que ε_{d−1} < ε_{d} . Dès lors, l’application (δ_{d−s−1})_{d} est un isomorphisme qui, aux coefficients H_{s}( π_{≤ε_{s+1}} ) associés à la chaîne {ε_{s+1} < ε_{s+2} < … < ε_{d−1} < ε_{d}} ⊂ D_{p}(dp) , fait correspondre les coefficients H_{s}( π_{≤ε_{s+1}} ) associés à la chaîne {ε_{s+1} < ε_{s+2} < … < ε_{d−1}} ⊂ D_{p}(dp) . En particulier, on peut donc affirmer que la différentielle δ_{d−s−1} est injective. Par suite, le r-ème groupe d’homologie du complexe de chaînes 7.9 est nul si r ≥ d − s − 1 . Autrement dit, on a montré que

(7.10)  E_{r,s}^{2} = 0 , si 1 ≤ s < d − 2 et r + s ≥ d − 1 .

Si s = 0 , alors, par le lemme 7.1, on sait que

H_{0}( π_{≤ε}) = \{ \begin{matrix}ℤ & si rang(ε) ≠ 1 \\ ℤ^{(p−2)!} & si rang(ε) = 1 . \end{matrix}

Ainsi, la 0-ème ligne de la page E^{2} est constituée des groupes d’homologie d’un complexe de chaînes, dont l’extrémité de gauche est de la forme :

\begin{matrix}0 ⟶ & ⨁_{\{ε_{1} < ε_{2} < ... < ε_{d}\} ⊂ D_{p}(dp)} H_{0}( π_{≤ε_{1}} ) \\ ⟶^{δ_{d−1}} & (  ⨁_{\{ε_{2} < ε_{3} < ... < ε_{d}\} ⊂ D_{p}(dp)} ℤ ) ⊕ ⨁_{j = 2}^{d} ( ⨁_{\{ε_{1} < ... < ε̂_{j} < ... < ε_{d}\} ⊂ D_{p}(dp)} H_{0}( π_{≤ε_{1}} ) ) ⟶^{δ_{d−2}} …. \end{matrix}

Or, si {ε_{1} < ε_{2} < … < ε_{d−1}} est une chaîne dans D_{p}(dp) , alors il existe une unique p-partition ε_{d} de rang maximal telle que ε_{d−1} < ε_{d} ( toujours la même propriété de D_{p}(dp) ). Dès lors, le facteur de δ_{d−1} ,

(δ_{d−1})_{d} : ⨁_{{ε_{1} < ε_{2} < ... < ε_{d}} ⊂ D_{p}(dp)} H_{0}( π_{≤ε_{1}} ) ⟶ ⨁_{{ε_{1} < ε_{2} < ... < ε_{d−1}} ⊂ D_{p}(dp)} H_{0}( π_{≤ε_{1}} ) ) ,

est un isomorphisme. En particulier, il s’ensuit que la différentielle δ_{d−1} est injective et donc

(7.11)  E_{d−1 , 0}^{2} = 0 .

Finalement, au vu des égalités 7.7 , 7.8 , 7.10 et 7.11, la deuxième page de la suite spectrale E vérifie la condition

(7.12)  E_{r,s}^{2} = 0 si r + s ≥ d − 1 et (r, s) ≠ (0 , d − 1) .

Dès lors, grace au lemme 7.3, on en déduit que

E_{r,s}^{∞} ≅ E_{r,s}^{2} si r + s ≥ d − 1 .

Mais la suite spectrale E converge vers les groupes d’homologie de l’ensemble ordonné T_{p}(dp) , et donc les termes E_{r,s}^{∞} de la droite r +s = d−1 nous donnent une filtration du groupe d’homologie H_{d−1}( T_{p}(dp) ) . Ainsi, en vertu de l’égalité 7.7, on a

H_{d−1}( T_{p}(dp) ) ≅ E_{0 , d−1}^{2} = ⨁_{ε_{d} ∈ D_{p}(dp)} H_{d−1}( π_{≤ε_{d}} ) .

Or, par le lemme 7.1, on sait que

⨁_{ε_{d} ∈ D_{p}(dp)} H_{d−1}( π_{≤ε_{d}} ) ≅ ⨁_{ε_{d} ∈ D_{p}(dp)} ℤ^{((p−2)!−1)^{d}} .

Autrement dit, le groupe d’homologie H_{d−1}( T_{p}(dp) ) est un groupe abélien libre de rang ν , où

ν = ♯{ ε_{d} ∈ D_{p}(dp) | rang(ε_{d}) = d } · ((p − 2)! − 1)^{d} .

On calcule facilement que

\begin{matrix}♯\{ ε_{d} ∈ D_{p}(dp) | rang(ε_{d}) = d \} = & \frac{\binom{dp}{p}\binom{(d − 1) p}{p} ⋯ \binom{2p}{p}\binom{p}{p}}{d!} \\ = & \frac{(dp)!}{(p!)^{d} · d!} . \end{matrix}

La conclusion est alors immédiate.

(7.13) Remarque. L’argument essentiel de cette preuve réside dans le fait que toute p-partition ε_{d−1} ∈ D_{p}(dp) de rang d − 1 est contenue dans une unique p-partition de rang maximal. Dans le cas où n n’est pas un multiple de p, l’ensemble ordonné D_{p}(n) ne jouit évidemment plus de cette propriété. Néanmoins, si n = dp + r avec 0 < r < p, le complexe simplicial ΔT_{p}(dp) peut être vu comme un sous-complexe de ΔT_{p}(n) et

dim( ΔT_{p}(dp) ) = dim( ΔT_{p}(n) ) = d − 1 .

Ainsi, en vertu du lemme 6.1, on en déduit que

rang( H_{d−1}( T_{p}(n) ) ) ≥ rang( H_{d−1}( T_{p}(dp) ) ) .

§ 8 LES GROUPES D’HOMOLOGIE DE DEGRÉ ÉLEVÉ DU COMPLEXE DE QUILLEN ET DU COMPLEXE DES p-CYCLES

Si n < p^{2} , nous avons vu au corollaire 3.3, que l’inclusion de l’ensemble ordonné T_{p}(n) dans l’ensemble ordonné A_{p}(S_{n}) est une équivalence d’homotopie. Par contre, sauf exceptions que l’on mentionnera à la remarque 15.6 , les ensembles T_{p}(n) et A_{p}(S_{n}) n’ont plus le même type d’homotopie lorsque n ≥ p^{2} , car A_{p}(S_{n}) contient alors des p-sous-groupes abéliens élémentaires relativement transitifs de rang ≥ 2 . Cependant nous allons voir, dans la proposition qui suit, que les groupes d’homologie de degré suffisament élevé de T_{p}(n) et A_{p}(S_{n}) restent isomorphes, même si n ≥ p^{2} .

(8.1) Proposition. Soient p un nombre premier impair et n ≥ p^{2} un nombre entier, que l’on écrit n = dp + r avec d ≥ p et 0 ≤ r < p . Quel que soit l’entier k ≥ d − p + 2 , on a

H_{k}( A_{p}(S_{n}) ) ≅ H_{k}( T_{p}(n) ) .

Preuve. Au lemme 3.2, nous avons montré que l’inclusion de T_{p}(n) dans l’ensemble ordonné

TA_{p}(n) = { H ∈ A_{p}(S_{n}) | les orbites de H sont toutes de cardinal p }

§8 . Les groupes d’homologie de degré élevé du complexe de Quillen et du complexe des p-cycles 47

est une équivalence d’homotopie. A fortiori, il s’ensuit que, quel que soit l’entier k ≥ 0 ,

(8.2)  H_{k}( TA_{p}(n) ) ≅ H_{k}( T_{p}(n) ) .

Soient k ≥ 0 et s = { P_{0} < P_{1} < … < P_{k} } une chaîne de longueur k dans A_{p}(S_{n}) qui ne soit pas entièrement contenue dans TA_{p}(n) . Montrons que cette condition sur la chaîne s implique que k ≤ d − p + 1 . Il est tout à fait évident que

k ≤ rang(P_{k}) − 1 .

En outre, puisque la chaîne s n’est pas dans TA_{p}(n) , on peut affirmer que P_{k} ∉ TA_{p}(n) , ce qui signifie que le groupe P_{k} admet au moins une orbite de cardinal p^{u} ≥ p^{2} . En vertu des propositions 2.1 et 2.2, on en déduit que P_{k} est un sous-groupe d’un groupe abélien élémentaire Q = Q_{1} × Q_{2} , où Q_{1} ∈ A_{p}(S_{n}) est un p-sous-groupe relativement transitif de rang u ≥ 2 , dont le support, de cardinal p^{u} , est disjoint du support de Q_{2} ∈ A_{p}(ℕ_{n} \ Supp(Q_{1})). En particulier, on a

rang(Q_{2}) ≤ dim( A_{p}( ℕ_{n} \ Supp(Q_{1}) ) ) + 1 = dim( A_{p}(S_{n−p^{u}}) ) + 1 = d − p^{u−1} .

Par suite, on a

k ≤ rang(P_{k}) − 1 ≤ rang(Q) − 1 = rang(Q_{1}) + rang(Q_{2}) − 1 ≤ u + d − p^{u−1} − 1 .

Considérons la fonction g qui envoie l’entier u ≥ 2 sur l’entier g(u) = u + d − p^{u−1} − 1 . Cette fonction est clairement décroissante et par conséquent, on a l’inégalité annoncée

k ≤ u + d − p^{u−1} − 1 = g(u) ≤ g(2) = d − p + 1 .

Autrement dit, on a montré que si s est une chaîne de longueur k ≥ d − p + 2 dans A_{p}(S_{n}) , alors cette chaîne s est nécessairement entièrement contenue dans le sous-ensemble ordonné TA_{p}(n) . Par suite,

C_{k}( TA_{p}(n) ) = C_{k}( A_{p}(S_{n}) ) , si k ≥ d − p + 2 ,

et via l’isomorphisme 8.2, on obtient finalement

H_{k}( T_{p}(n) ) ≅ H_{k}( TA_{p}(n) ) = H_{k}( A_{p}(S_{n}) ) , si k ≥ d − p + 2 .

(8.3) Corollaire. Si p est un nombre premier ≥ 5 et n = dp où d est un entier ≥ 3 , alors l’ensemble ordonné A_{p}(S_{dp}) est de dimension d − 1 et son groupe d’homologie de degré maximal est donné par

rang( H_{d−1}( A_{p}(S_{dp}) ) ) = \frac{(dp)! · ((p − 2)! − 1)^{d}}{(p!)^{d} · d!} .

En outre, le groupe d’homologie H_{d−2}( A_{p}(S_{dp}) ) est non nul.

Preuve. Si n < p^{2} , on sait par le corollaire 3.3 que les ensembles A_{p}(S_{dp}) et T_{p}(dp) ont le même type d’homotopie. En particulier, leurs groupes d’homologie sont isomorphes. Dans le cas où n ≥ p^{2} , on sait par la proposition 8.1 que

H_{d−1}( A_{p}(S_{dp}) ) ≅ H_{d−1}( T_{p}(dp) ) et H_{d−2}( A_{p}(S_{dp}) ) ≅ H_{d−2}( T_{p}(dp) ) .

Par suite, la remarque 6.6 et la proposition 7.6 permettent de conclure.

(8.4) Remarque. Dans le cas où p = 2 , la condition k ≥ d − p + 2 devient k ≥ d , et, par conséquent, le raisonnement ci-dessus ne nous apprend rien de nouveau, car

dim( D_{2}(2d + r) ) = dim( A_{2}(2d + r) ) = d − 1 < d .

Si p est un premier impair et n un entier tel que p^{2} ≤ n < p^{2} + p, alors, par la proposition 8.1, on sait que

H_{k}( A_{p}(S_{n}) ) ≅ H_{k}( T_{p}(n) )  si  k ≥ 2 .

En fait, il est possible d’être beaucoup plus précis. Dans la proposition à venir, nous allons montrer que, dans cette situation où n est à peine plus grand que p^{2} , le type d’homotopie de l’ensemble ordonné A_{p}(S_{n}) est déterminé par celui de l’ensemble ordonné T_{p}(n) . Mais avant d’énoncer ce résultat, nous allons rappeler ce qu’est le cône d’une application continue.

Soient X , Y deux espaces topologiques, x_{0} ∈ X et f : X → Y une application continue. Sur l’espace ( X × [0, 1] ) ⊔ Y , on considère la relation d’équivalence ∼ , définie par

(x, 0) ∼ (x_{0}, 0)  et  (x, 1) ∼ f(x) ,  ∀ x ∈ X .

Le cône de f , que l’on note C_{f} , est alors l’espace topologique quotient

C_{f} = ( X × [0, 1] ) ⊔ Y / ∼ .

Le lemme qui suit est une propriété de base, dont on peut trouver la preuve dans [CO , page 5 ].

(8.5) Lemme. Si f, g : X → Y sont deux applications continues homotopes, alors les espaces topologiques C_{f} et C_{g} ont le même type d’homotopie.

(8.6) Exemple. Soient Y un espace topologique connexe par arcs, { y , y_{1} , y_{2} , …, y_{n} } une famille de n + 1 points dans Y et x un point hors de Y . Considérons l’espace topologique Y_{1} obtenu à partir de l’espace Y en reliant par une arête le sommet x à chacun des sommets y_{i} ( i = 1, 2, …, n). Considérons encore l’espace Y_{2} obtenu à partir de l’espace Y en reliant les sommets y et x par n arêtes distinctes. On peut représenter les espaces Y_{1} et Y_{2} par les dessins suivants :

Nous allons montrer que

Y_{1} ≃ Y_{2} ≃ Y ∨ ( ⋁^{n−1} S^{1} )

Pour ce faire, on se donne X = { x_{1} , x_{2} , …, x_{n} } un espace topologique discret formé de n points et on considère les deux applications f, g : X → Y , définies par

f : x_{i} ↦ y_{i}  et  g : x_{i} ↦ y ,  ∀ i = 1, 2, …, n .

Elles sont bien entendu continues, puisque l’espace topologique X est discret. En outre, les applications f et g sont homotopes. En effet, si, pour tout i = 1, 2, …, n , c_{i} désigne un chemin de y vers y_{i} dans Y , alors l’application

H : X × [0, 1] ⟶ Y  définie par  (x_{i}, t) ⟼ c_{i}(t)  ∀ i = 1, 2, …, n ,

est une homotopie. Ainsi, en vertu du lemme 8.5, les espaces topologiques C_{f} et C_{g} ont le même type d’homotopie. Or il est clair que C_{f} ≃ Y_{1} et C_{g} ≃ Y_{2} (où le point x désigne la classe d’équivalence X × {0}). Par conséquent, on a

Y_{1} ≃ C_{f} ≃ C_{g} ≃ Y_{2} .

De plus, en contractant une des n arêtes de Y_{2} , qui n’est pas dans Y , on se convainc aisément que Y_{2} a le même type d’homotopie que le wedge de l’espace topologique Y et d’un bouquet de n − 1 cercles. En résumé, on a donc bien

Y_{1} ≃ Y_{2} ≃ Y ∨ ( ⋁^{n−1} S^{1})

Cet exemple permet de démontrer le lemme suivant.

(8.7) Lemme. Soient X un ensemble ordonné connexe, Y , Z deux sous-ensembles de X tels que X = Y ⊔ Z et notons f l’inclusion de Z dans X . Si Y est connexe et Z = { z_{1} , z_{2} , …, z_{c} } est formé d’éléments de X maximaux de rang 2 , alors

ΔX ≃ ΔY ∨ ( ⋁^{u} S^{1} ) , où u = ∑_{i=1}^{c}( ♯( f_{≤z_{i}} ) − 1 ) .

Preuve. On peut représenter le complexe simplicial ΔX par le dessin suivant.

Remarquons que, puisque X connexe et z_{i} ∈ X maximal de rang 2 , la fibre f_{≤z_{i}} est non vide de dimension zéro, quel que soit i = 1, 2, …, c .

Pour i = 1, 2, …, c , notons Y_{i} le sous-ensemble ordonné de X défini par

Y_{i} = Y ∪ { z_{1} , z_{2} , …, z_{i} } .

En vertu de l’exemple 8.6, on sait que, pour tout i = 1, 2, …, c , on a

ΔY_{i} ≃ ΔY_{i−1} ∨ ( ⋁^{u_{i}} S^{1} ) , où u_{i} = ♯( f_{≤z_{i}} ) − 1 .

On en déduit alors, par associativité du wedge, que

ΔX = ΔY_{c} ≃ ΔY ∨ ( ⋁^{u} S^{1} ) , où u = ∑_{i=1}^{c} u_{i} = ∑_{i=1}^{c}( ♯( f_{≤z_{i}} ) − 1 ) .

(8.8) Proposition. Si p est un nombre premier impair et n un nombre entier tel que p^{2} ≤ n < p^{2}+p, alors on a

Δ( A_{p}(S_{n}) ) ≃ Δ( T_{p}(n) ) ∨ ( ⋁^{u} S^{1} ) ,

où u = \frac{n!}{p^{2} (p − 1)^{2} (p + 1) (n − p^{2})!} .

Preuve. Soit f l’inclusion de l’ensemble ordonné T A_{p}(n) dans A_{p}(S_{n}) . Par les propositions 2.1 et 2.2, et puisque p^{2} ≤ n < p^{2} + p, on sait que les seuls éléments de A_{p}(S_{n}) qui ne sont pas dans T A_{p}(n) , sont des sous-groupes abéliens élémentaires relativement transitifs de rang 2 . En outre, ces derniers sont des éléments maximaux de l’ensemble ordonné A_{p}(S_{n}) . Si P désigne un tel sous-groupe abélien élémentaire, alors la fibre f_{≤P} est un ensemble ordonné de dimension 0 , constitué de p + 1 sous-groupes cycliques d’ordre p. Autrement dit, on peut représenter le complexe simplicial Δ(A_{p}(S_{n})) de la manière suivante :

où { P_{1} , P_{2} , …, P_{c} } ⊂ A_{p}(S_{n}) désigne l’ensemble des sous-groupes abéliens élémentaires relativement transitifs de rang 2 et ΔY = Δ( T A_{p}(n) ). (Si i ≠ j , alors l’intersection des fibres i_{≤P_{i}} et i_{≤P_{j}} est de cardinal au plus 1 . Mais, en fait, ce détail n’a pas d’importance dans cette preuve.) En appliquant le lemme 8.7, on obtient

Δ( A_{p}(S_{n}) ) = Δ( T A_{p}(n) ) ∨ ( ⋁^{u} S^{1} ) ≃ Δ( T_{p}(n) ) ∨ ( ⋁^{u} S^{1} ) , où u = ∑_{i=1}^{c}( ♯( f_{≤P_{i}} ) − 1 ) = c · p .

Pour conclure, il ne nous reste donc plus qu’à compter le nombre c de sous-groupes abéliens élémentaires relativement transitifs de rang 2 dans A_{p}(S_{n}) . Dans ce but, considérons l’action par conjugaison du groupe symétrique S_{n} sur l’ensemble ordonné A_{p}(S_{n}) . Par le lemme 2.5, on sait que tous les p-sous-groupes abéliens élémentaires relativement transitifs de rang 2 de S_{n} sont conjugués. De plus, si P désigne un tel sous-groupe de S_{n} , alors les lemmes 2.6 et 2.7 nous donnent le normalisateur de P dans S_{n} :

N_{S_{n}}(P) ≅ (P × S_{n−p^{2}}) ⋊ GL_{2}(𝔽_{p}) .

§8 . Les groupes d’homologie de degré élevé du complexe de Quillen et du complexe des p-cycles 51 On peut alors écrire

c = ♯ \{ gP g^{−1} | g ∈ S_{n} \} = \frac{|S_{n}|}{|N_{S_{n}}(P)|} = \frac{n!}{p^{2} (n − p^{2})! (p^{2} − 1) (p^{2} − p)} ,

et on en déduit que

u = c · p = \frac{n!}{p^{2} (p − 1)^{2} (p + 1) (n − p^{2})!} .

Groupe fondamental et k-connexit�e

Soit p un nombre premier, n un entier et désignons par E_{p}(n) l’un des trois ensembles ordonnés D_{p}(n) , T_{p}(n) ou A_{p}(S_{n}) . On sait que E_{p}(n) est non vide (i.e. (−1)-connexe) si n ≥ p, qu’il est connexe (i.e. 0-connexe) si n ≥ 2p + 1 . Il est alors tout à fait naturel de se demander pour quelles valeurs de l’entier n, l’ensemble ordonné E_{p}(n) est simplement connexe (i.e. 1-connexe). Plus généralement, si l’on se fixe un entier k ≥ −1 , est-il possible de déterminer les valeurs de n pour lesquelles E_{p}(n) est k-connexe ?

Au premier paragraphe de ce chapitre, nous démontrons que le complexe des p-cycles ΔT_{p}(n) est simplement connexe si n ≥ 3p + 2 . De ce résultat on déduit alors, premièrement que le complexe des ppartitions ΔD_{p}(n) est lui aussi simplement connexe si n ≥ 3p + 2 , deuxièmement que, quel que soit l’entier n ≥ 3p + 2 , le complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) est simplement connexe, sauf si p^{2} ≤ n < p^{2} + p. Par la suite, nous montrons que le groupe fondamental de l’ensemble ordonné D_{p}(3p + 1) n’est pas trivial, puis nous en déduisons qu’il en est de même du groupe fondamental des ensembles ordonnés T_{p}(3p + 1) et A_{p}(S_{3p+1}) , mis à part le cas particulier π_{1}( A_{2}(S_{7}) ).

Finalement, au dernier paragraphe, il est prouvé, en raisonnant par récurrence sur k ≥ 0 , que les ensembles ordonnés D_{p}(n) et T_{p}(n) sont (k + 1)-connexes si n > (3p + 1) + k(2p − 1) . Par contre, l’ensemble A_{p}(S_{n}) ne jouit pas de cette propriété.

§ 9 LE GROUPE FONDAMENTAL DU COMPLEXE DES p-CYCLES

Un complexe simplicial C est dit simplement connexe s’il est connexe et si son groupe fondamental π_{1}(C ) est trivial. Dans ce paragraphe, nous allons montrer que le complexe des p-cycles ΔT_{p}(n) est simplement connexe si n = 3p + 2 , puis nous généraliserons ce résultat au cas où n ≥ 3p + 2 . La remarque qui suit est tout à fait triviale, mais elle est essentielle à la compréhension de la suite.

(9.1) Remarque. Soient X un ensemble ordonné et x_{1} < x_{2} < x_{3} une chaîne dans X .

Dans le complexe simplicial ΔX , on considère le chemin c_{1} = c_{x_{1},x_{3}} reliant le sommet x_{1} au sommet x_{3} par l’arête { x_{1} , x_{3} }, le chemin c_{2} = c_{x_{1},x_{2},x_{3}} reliant le sommet x_{1} au sommet x_{3} par la réunion des arêtes { x_{1} , x_{2} } et { x_{2} , x_{3} } et c_{3} un chemin de x_{1} à x_{3} quelconque à l’intérieur du 2-simplexe { x_{1} , x_{2} , x_{3} }. Ces trois chemins, puisque { x_{1} , x_{2} , x_{3} } est un simplexe, sont évidemment homotopes.

Au vu de cette dernière remarque, on réalise que si X est un ensemble ordonné, tout chemin dans ΔX est homotope à un chemin reliant par des arêtes une suite de sommets de X . Par conséquent, le groupe fondamental du complexe simplicial ΔX est déterminé par les lacets formés d’une suite de sommets de l’ensemble ordonné X . Si x_{1} , x_{2} , x_{3} , …, x_{m} est une suite de sommets de X dont les éléments consécutifs sont comparables, on note c_{x_{1} , x_{2} , x_{3} , ... , x_{m}} le chemin dans ΔX reliant ces sommets. Autrement dit, le chemin c_{x_{1} , x_{2} , x_{3} , ... , x_{m}} relie le sommet x_{1} au sommet x_{m} par la réunion des arêtes { x_{i} , x_{i+1} } ∈ ΔX ( i = 1, 2, …, m − 1 ). Désormais, nous ne considérerons plus que des chemins de ce type.

Les deux lemmes qui suivent vont nous être très utiles dans l’étude du groupe fondamental d’ensembles ordonnés. Le premier est dû à Bouc ( [BO3 , Lemme 6 ] ). Le second en est une version adaptée au besoin de situations à venir.

(9.2) Lemme. Soient X un ensemble ordonné connexe et f une application croissante de X dans un ensemble ordonné Y . Si pour tout élément y de Y , la fibre f_{≤y} est non vide, et si de plus, cette fibre est connexe lorsque y est un élément maximal de Y , alors le morphisme π_{1}(f) : π_{1}(X) ⟶ π_{1}(Y) est surjectif.

(9.3) Lemme. Soient X une partie fermée d’un ensemble ordonné connexe Y (c’est-à-dire que les conditions y ∈ Y et y ≤ x ∈ X impliquent y ∈ X ), f l’inclusion de X dans Y et x ∈ X . Si tout lacet de base x dans ΔY se décompose en produit de lacets de base x dans ΔX et de lacets de base x ayant un seul sommet y hors de ΔX avec de plus, la fibre f_{≤y} connexe non vide, alors le morphisme π_{1}(f) : π_{1}(X, x) ⟶ π_{1}(Y, x) est surjectif.

Preuve. Soit l un lacet de base x dans ΔY ayant un seul sommet y hors de ΔX avec de plus, la fibre f_{≤y} connexe non vide. On peut représenter le lacet l par le dessin qui suit. Il est raisonnable de dessiner le sommet y au-dessus de ΔX , puisque X est une partie fermée de Y .

§9 . Le groupe fondamental du complexe des p-cycles 55

On note l = c_{1} ∗ c_{x_{1},y,x_{2}} ∗ c_{2} où c_{1} et c_{2} sont des chemins dans ΔX reliant respectivement x à x_{1} et x_{2} à x. Soit x_{3} ∈ f_{≤y} un sommet dans X tel que x_{3} soit comparable à x_{2} . Alors l’ensemble { x_{2} , x_{3} , y } est un 2-simplexe dans ΔY .

Ainsi le lacet l est homotope au produit des lacets l_{1} et l_{2} , où

l_{1} = c_{1} ∗ c_{x_{1},y,x_{3}} ∗ (c_{x_{3},x_{2}} ∗ c_{2})  et  l_{2} = (c_{2})^{−1} ∗ c_{x_{2},x_{3},y,x_{2}} ∗ c_{2} .

Or par la remarque 9.1, le lacet l_{2} est homotope au lacet trivial. Par conséquent, le lacet l est homotope au lacet l_{1} . Puisque la fibre f_{≤y} est connexe, il existe dans f_{≤y} une suite de sommets

x_{2} , x_{3} , …, x_{m} , x_{m+1} = x_{1}

telle que , quel que soit l’entier i = 2, 3, …, m, les éléments consécutifs x_{i} et x_{i+1} sont comparables. Dès lors, on a

\begin{aligned}l & ≃ c_{1} ∗ c_{x_{1},y,x_{3}} ∗ (c_{x_{3},x_{2}} ∗ c_{2}) ≃ c_{1} ∗ c_{x_{1},y,x_{4}} ∗ (c_{x_{4},x_{3},x_{2}} ∗ c_{2}) ≃ … \\ & ≃ c_{1} ∗ c_{x_{1},y,x_{1}} ∗ (c_{x_{1},x_{m}, ... ,x_{3},x_{2}} ∗ c_{2}) ≃ c_{1} ∗ c_{x_{1},x_{m}, ... ,x_{3},x_{2}} ∗ c_{2} . \end{aligned}

Autrement dit, l est homotope à un lacet dans f_{≤y} ⊂ ΔX et on en déduit que le morphisme

π_{1}(f) : π_{1}(X, x) ⟶ π_{1}(Y, x)

est surjectif.

Ce dernier lemme va nous aider à démontrer le théorème important suivant.

(9.4) Théorème. Si p est un nombre premier et n un entier ≥ 3p + 2 , l’ensemble ordonné T_{p}(n) est simplement connexe.

Dans le but de démontrer ce théorème, nous allons commencer par prouver la proposition suivante qui traite du cas particulier où n = 3p + 2 . La preuve de cette proposition est très longue.

(9.5) Proposition. Quel que soit le nombre premier p, l’ensemble ordonné T_{p}(3p+2) est simplement connexe.

Preuve. Dans le cas où p = 2 , les ensemble ordonnés D_{2}(n) et T_{2}(n) coincident, et Bouc a déjà montré, dans son article [BO3 , Proposition 2 ], que D_{2}(n) est simplement connexe si n ≥ 8 . Dès lors, on peut supposer que p ≥ 3 . De plus, par la proposition 3.4, on sait que l’ensemble ordonné T_{p}(3p + 2) est connexe, et donc l’essentiel de cette preuve consiste à montrer que le groupe fondamental π_{1}( T_{p}(3p + 2) ) est trivial.

Soit X le sous-ensemble de T_{p}(3p + 2) défini de la manière suivante :

X = { P ∈ T_{p}(3p + 2) | P = ⟨ (1 2 3 … p) ⟩ ou P contient un p-cycle disjoint de (1 2 3 … p) } .

Remarquons qu’il est possible d’avoir ⟨σ⟩ ∉ X avec Supp(σ) = { 1 , 2 , 3 , …, p } si et seulement si p ≥ 5 . Montrons que cet ensemble ordonné X est contractile. Dans ce but, considérons le sous-ensemble V de T_{p}(3p + 2) suivant :

V = { P ∈ T_{p}(3p + 2) | (1 2 3 … p) ∈ P ou Supp(P) ∩ ℕ_{p} = ∅ }

Dans la démonstration du lemme 5.5, nous avons montré que cet ensemble ordonné V est contractile. En outre, si j désigne l’inclusion de V dans X et P ∈ X , alors on montre aisément que la fibre j_{≤P} contient un maximum absolu, que l’on note f(P) . On obtient ainsi une application croissante f : X → V , et on vérifie très facilement que

(j ∘ f) (P) ≤ P ,  quel que soit P ∈ X et
(f ∘ j) (P) = P ,  quel que soit P ∈ V .

Par conséquent, en vertu du lemme 1.2, l’inclusion j est une équivalence d’homotopie et l’ensemble ordonné X est donc contractile.

Notons g l’inclusion de X dans T_{p}(3p + 2) . Il est évident que si P ∈ T_{p}(3p + 2) et Q ∈ X tels que P ≥ Q, alors P ∈ X . Autrement dit, si P ∈ T_{p}(3p + 2) \ X est comparable à un sous-groupe abélien élémentaire Q ∈ X , alors il est forcé que P < Q. C’est pourquoi, dans tous les dessins qui suivent, un tel P est dessiné en-dessous de ΔX . Puisque l’ensemble ordonné T_{p}(3p + 2) est connexe, le choix du point de base n’a aucune importance. En particulier, on peut se donner un point de base A dans X . Soit alors l un lacet de base A dans ΔT_{p}(3p + 2) . En décomposant l \ ΔX en ses composantes connexes, on obtient :

(9.6)

Puisque ΔX est connexe, il existe un chemin dans ΔX reliant le point de base A à chacun des A_{i} ( i = 1, 2, …, m) . Ainsi, il est possible de décomposer le lacet l en un produit de lacets de base A ayant au plus une composante connexe hors de ΔX . Dès lors, le groupe fondamental π_{1}( T_{p}(3p+2) ) est engendré par les lacets contenus dans ΔX et les lacets l tels que l \ ΔX soit connexe.

Si l désigne un tel lacet, on peut le représenter par le dessin suivant :

En vertu de la remarque 9.1 et comme le suggère le dessin ci-dessus, on peut supposer que s ∈ ℕ est impair et que les sous-groupes abéliens élémentaires P_{1} , P_{3} , P_{5} , …, P_{s} sont des éléments minimaux de l’ensemble ordonné T_{p}(3p + 2) , c’est-à-dire des groupes cycliques engendrés par un p-cycle. Par suite, puisque n = 3p + 2 ≥ 3p − 1 , la fibre g_{≥P_{i}} est non vide, quel que soit i = 1, 3, 5, …, s. On peut alors choisir pour chaque P_{i} avec i impair, un sous-groupe abélien élémentaire Q_{i} ∈ X tel que Q_{i} ≥ P_{i} , et ainsi décomposer le lacet l en lacets de base A ayant au plus trois sommets hors de ΔX .

Soit l un lacet ayant exactement trois sommets hors de ΔX .

Comme déjà mentionné ci-dessus, on peut considérer que P_{1} = ⟨σ_{1}⟩ et P_{2} = ⟨σ_{2}⟩, où les permutations σ_{1} , σ_{2} ∈ S_{3p+2} sont des p-cycles. Ainsi on a ⟨σ_{1} , σ_{2}⟩ ≤ P_{3} et le dernier dessin montre pourquoi on peut supposer que P_{3} = ⟨σ_{1} , σ_{2}⟩. Autrement dit, le lacet l peut être supposé de la forme

l = c_{1} ∗ c_{A_{1},⟨σ_{1}⟩,⟨σ_{1} , σ_{2}⟩,⟨σ_{2}⟩,A_{2}} ∗ c_{2} ,

où c_{1} et c_{2} sont des chemins dans ΔX reliant respectivement A à A_{1} et A_{2} à A. Montrons alors que le lacet l se décompose en lacets de base A ayant au plus un sommet hors de ΔX .

Pour ce faire, considérons l’application

ξ : { p-cycles σ ∈ S_{3p+2} } ⟶ { 0 , 1 , 2 , …, p }  définie par  σ ⟼ ♯( Supp(σ) ∩ ℕ_{p} ) .

Tout d’abord, nous allons supposer que les permutations σ_{1} et σ_{2} sont telles que ξ(σ_{1}) + ξ(σ_{2}) ≥ p − 2 . Dans un tel cas, la fibre g_{≥⟨σ_{1} , σ_{2}⟩} est non vide, car

♯( \overline{Supp( ⟨σ_{1} , σ_{2}⟩ ) ∪ ℕ_{p}} ) = (3p + 2) − (3p − ξ(σ_{1}) − ξ(σ_{2})) = 2 + ξ(σ_{1}) + ξ(σ_{2}) ≥ p .

Ainsi il existe A_{3} ∈ X tel que A_{3} > P_{3} . Le lacet l se décompose donc en le produit des deux lacets suivants :

qui sont tous deux clairement homotopes à des lacets ayants un seul sommet hors de ΔX . Revenons, à présent, au cas général. On définit le type du lacet

l = c_{1} ∗ c_{A_{1},⟨σ_{1}⟩,⟨σ_{1} , σ_{2}⟩,⟨σ_{2}⟩,A_{2}} ∗ c_{2} ,

comme étant le couple d’entiers naturels (α , β) , où

α = min{ ξ(σ_{1}) , ξ(σ_{2}) } et β = max{ ξ(σ_{1}) , ξ(σ_{2}) } .

Considérons l’ensemble C défini par

C = { (α , β) | α, β ∈ { 0 , 1 , 2 , …, p } , α ≤ β et α + β ≤ p } ,

et l’ensemble D formé des couples (α , β) ∈ C tels que tout lacet de type (α , β) se décompose en lacets de base A dans ΔT_{p}(3p + 2) ayant au plus un sommet hors de ΔX . Montrons que C = D. Pour ce faire, on munit l’ensemble C de l’ordre lexicogaphique, c’est-à-dire l’ordre total défini de la manière suivante. Si (α_{1} , β_{1}) , (α_{2} , β_{2}) ∈ C , on pose

(α_{1} , β_{1}) < (α_{2} , β_{2}) ⟺ \{ \begin{matrix}α_{1} < α_{2} ou \\ α_{1} = α_{2} et β_{1} < β_{2} . \end{matrix}

Soient (α , β) ∈ C et l = c_{1} ∗ c_{A_{1},⟨σ_{1}⟩,⟨σ_{1} , σ_{2}⟩,⟨σ_{2}⟩,A_{2}} ∗ c_{2} un lacet de type (α , β) . Nous allons montrer, par récurrence sur l’ordre dans C , que (α , β) ∈ D.

Nous avons déjà vu ci-dessus que

(9.7)  α + β ≥ p − 2 ⟹ (α , β) ∈ D .

On peut donc supposer α+β < p−2 . Si σ_{3} est un p-cycle disjoint de σ_{1} et σ_{2} , alors il existe A_{3} ∈ g_{≥⟨σ_{3}⟩} et les dessins suivants montrent comment, en trois étapes, le lacet l = c_{1} ∗ c_{A_{1},⟨σ_{1}⟩,⟨σ_{1} , σ_{2}⟩,⟨σ_{2}⟩,A_{2}} ∗ c_{2} se décompose en deux lacets

l_{1} = c_{1} ∗ c_{A_{1},⟨σ_{1}⟩,⟨σ_{1} , σ_{3}⟩,⟨σ_{3}⟩,A_{3}} ∗ c_{3} et l_{2} = (c_{3})^{−1} ∗ c_{A_{3},⟨σ_{3}⟩,⟨σ_{3} , σ_{2}⟩,⟨σ_{2}⟩,A_{2}} ∗ c_{2} ,

où c_{3} désigne un chemin dans ΔX reliant A_{3} à A.

Autrement dit, notre lacet l de type (ξ(σ_{1}) , ξ(σ_{2})) se décompose en deux lacets l_{1} et l_{2} de type respectivement (ξ(σ_{1}) , ξ(σ_{3})) et (ξ(σ_{3}) , ξ(σ_{2})). On note dans ce cas

(9.8)  (ξ(σ_{1}) , ξ(σ_{2})) ∼ (ξ(σ_{1}) , ξ(σ_{3})) ∗ (ξ(σ_{3}) , ξ(σ_{2})) .

Puisque σ_{1} et σ_{2} sont des p-cycles disjoints, on a ♯( \overline{Supp( ⟨σ_{1} , σ_{2}⟩ )} ) = (3p + 2) − 2p = p + 2 . Par suite, on en tire que

{ξ(σ_{3}) | σ_{3} ∈ S_{3p+2} p-cycle disjoint de ⟨σ_{1} , σ_{2}⟩ } = { p − ξ(σ_{1}) − ξ(σ_{2}) − i | i = 0, 1, 2 } .

Autrement dit, au type (α , β) du lacet l , il est possible d’appliquer les trois opérations suivantes :

(9.9)  \begin{matrix}(α , β) & ∼^{0} (α , p − α − β) ∗ (p − α − β , β) , \\ (α , β) & ∼^{1} (α , p − α − β − 1) ∗ (p − α − β − 1 , β) , \\ (α , β) & ∼^{2} (α , p − α − β − 2) ∗ (p − α − β − 2 , β) . \end{matrix}

(Remarquer que α + β < p − 2 , de telle sorte que p − ξ(σ_{1}) − ξ(σ_{2}) − 2 ≥ 1 .) De plus, il est tout à fait clair que

(9.10)  (α , β) ∼ (α , γ) ∗ (γ , β) et (α , γ) , (γ , β) ∈ D  ⟹  (α , β) ∈ D .

Remarquons que les notations 9.8 et 9.9 sont abusives. En effet, nous avons noté (ξ(σ_{1}) , ξ(σ_{2})) ou encore (α , p−α−β) le type d’un lacet, sans se soucier de savoir si ξ(σ_{1}) ≤ ξ(σ_{2}) ou α ≤ p−α−β . Heureusement cet abus est sans conséquence pour la suite.

Supposons que (α , β) = (ξ(σ_{1}) , ξ(σ_{2})) = (1 , 1) (premier pas de la récurrence). Soit alors σ_{3} un p-cycle disjoint de σ_{1} et σ_{2} et tel que ξ(σ_{1}) + ξ(σ_{2}) + ξ(σ_{3}) = p. Par 9.8, on a

(ξ(σ_{1}) , ξ(σ_{2})) ∼ (ξ(σ_{1}) , ξ(σ_{3})) ∗ (ξ(σ_{3}) , ξ(σ_{2})) .

En outre,

ξ(σ_{1}) + ξ(σ_{3}) = ξ(σ_{2}) + ξ(σ_{3}) = p − 1 .

On en déduit donc, par 9.7, que (ξ(σ_{1}) , ξ(σ_{3})) ∈ D et (ξ(σ_{2}) , ξ(σ_{3})) ∈ D, et par conséquent

(ξ(σ_{1}) , ξ(σ_{2})) = (α , β) ∈ D .

Supposons à présent que (α′ , β′) ∈ D, quel que soit le couple (α′ , β′) < (α , β) (rappelons que α ≤ β ). On a alors

\begin{aligned}(α , β) & ∼^{0} (α , p − α − β) ∗ (p − α − β , β) \\ & ∼^{1} ( (α , β − 1) ∗ (β − 1 , p − α − β) ) ∗ ( (α − 1 , p − α − β) ∗ (α − 1 , β) ) . \end{aligned}

Par hypothèse de récurrence, les couples (α , β − 1) , (α − 1 , p − α − β) et (α − 1 , β) sont dans D. (De nouveau, la notation est abusive. Néanmoins, les trois couples cités ci-dessus sont sans aucun doute ≤ (α , β) . En effet, considérons par exemple le couple (α − 1 , p − α − β) . Si α − 1 ≤ p − α − β , il est clair que (α − 1 , p − α − β) ≤ (α , β) . A l’opposé, si p − α − β ≤ α − 1 , on a p − α − β ≤ α, et par suite (p − α − β , α − 1) ≤ (α , β) .) En outre, on sait que

(β − 1 , p − α − β) ∼^{2} (α − 1 , p − α − β) ∗ (α − 1 , β − 1) .

Ainsi, de nouveau par hypothèse de récurrence, on a (β − 1 , p − α − β) ∈ D. Dès lors, par la remarque 9.10, le couple (α , β) ∈ D et donc C = D.

En définitive, on a montré que tout lacet de base A dans ΔT_{p}(3p + 2) se décompose en lacets ayant au plus un seul sommet hors de ΔX . Considérons alors un lacet l de base A dans ΔT_{p}(3p + 2) ayant un unique sommet hors de ΔX . Au vu de la remarque 9.1, on peut bien entendu supposer que l est de la forme

où ⟨σ⟩ ∈ T_{p}(3p + 2) \ X (ce qui implique ξ(σ) > 0 ), τ, τ′ ∈ S_{3p+2} sont des p-cycles disjoints de σ et (1 2 3 … p) , et où c_{1} et c_{2} sont des chemins dans ΔX reliant respectivement A à ⟨σ , τ⟩ et ⟨σ , τ′⟩ à A. Autrement dit, on a

l = c_{1} ∗ c_{⟨σ , τ⟩,⟨σ⟩,⟨σ , τ′⟩} ∗ c_{2} .

Soit g̃_{≥⟨σ⟩} le sous-ensemble ordonné de la fibre g_{≥⟨σ⟩} défini par

g̃_{≥⟨σ⟩} = \{ ⟨σ , Q⟩ | Q ∈ T_{p}( \overline{Supp(σ) ∪ ℕ_{p}} ) \} .

Il est alors clair que

(9.11)  g̃_{≥⟨σ⟩} ≅ T_{p}( \overline{Supp(σ) ∪ ℕ_{p}} ) ≅ T_{p}( 3p + 2 − 2p + ξ(σ) ) = T_{p}( p + 2 + ξ(σ) ) .

Puisque p + 2 + ξ(σ) > p, il existe donc dans la fibre g_{≥⟨σ⟩} une suite de sous-groupes abéliens élémentaires

A_{1} = ⟨σ , τ_{1}⟩ = ⟨σ , τ⟩ , A_{2} = ⟨σ , τ_{2}⟩ , A_{3} = ⟨σ , τ_{3}⟩ , …, A_{r} = ⟨σ , τ_{r}⟩ = ⟨σ , τ′⟩

tels que

♯( Supp(τ_{i}) ∩ Supp(τ_{i+1}) ) = p − 1 , quel que soit i = 1, 2, …, r .

Par suite, puisque l’ensemble ordonné X est connexe, il est possible de décomposer le lacet l en le produit des r − 1 lacets de la forme

h_{i} ∗ c_{⟨σ , τ_{i}⟩,⟨σ⟩,⟨σ , τ_{i+1}⟩} ∗ h_{i+1} ,

où pour tout i = 1, 2, …, r, h_{i} désigne un chemin du sommet A au sommet ⟨σ , τ_{i}⟩ dans ΔX et où h_{1} = c_{1} et h_{r} = c_{2} . Autrement dit, on peut supposer que notre lacet l = c_{1} ∗ c_{⟨σ , τ⟩,⟨σ⟩,⟨σ , τ′⟩} ∗ c_{2} est tel que

♯( Supp(τ) ∩ Supp(τ′) ) = p − 1 .

Pour pouvoir appliquer le lemme 9.3, nous voulons montrer que le lacet l est homotope à un lacet

c′′_{1} ∗ c_{⟨σ′′ , τ⟩,⟨σ′′⟩,⟨σ′′ , τ′⟩} ∗ c′′_{2} ,

où ⟨σ′′⟩ ∈ T_{p}(3p + 2) \ X est tel que la fibre g_{≥⟨σ′′⟩} soit connexe et où c′′_{1} et c′′_{2} sont des chemins dans ΔX reliant respectivement A à ⟨σ′′ , τ⟩ et ⟨σ′′ , τ′⟩ à A. Pour cela, nous allons raisonner par récurrence descendante sur ξ(σ) ∈ ℕ_{p} .

Si ξ(σ) = p (ce qui n’est pas possible si p = 3 car ⟨σ⟩ ∈ X si Supp(σ) = { 1 , 2 , 3 }), respectivement ξ(σ) = p − 1 (ce qui correspond au premier pas de le récurrence lorsque p = 3 ), on sait alors, par l’isomorphisme 9.11, que le sous-ensemble g̃_{≥⟨σ⟩} de la fibre g_{≥⟨σ⟩} est isomorphe à T_{p}( 2p + 2 ), respectivement T_{p}( 2p + 1 ) . Du lemme 3.4, on déduit que cet ensemble ordonné g̃_{≥⟨σ⟩} est connexe et on montre facilement que la fibre g_{≥⟨σ⟩} est alors, elle aussi, connexe.

Supposons, à présent, ξ(σ) < p − 1 et le résultat démontré pour tout lacet de la forme

c′_{1} ∗ c_{⟨σ′ , τ⟩,⟨σ′⟩,⟨σ′ , τ′⟩} ∗ c′_{2}

avec ξ(σ′) > ξ(σ) . Puisque

(9.12)  ♯( \overline{Supp(τ) ∪ Supp(τ′) ∪ Supp(σ)} ) = (3p + 2) − 3p + (p − 1) = p + 1

il existe un p-cycle σ′ ∈ S_{3p+2} disjoint de τ , τ′ et σ et tel que ξ(σ′) = p − ξ(σ) − 1 (la condition 0 < ξ(σ) < p − 1 implique 0 < p − ξ(σ) − 1 < p − 1 ). Les dessins suivants montrent alors pourquoi

(9.13)  l = c_{1} ∗ c_{⟨σ , τ⟩,⟨σ⟩,⟨σ , τ′⟩} ∗ c_{2} ≃ c′_{1} ∗ c_{⟨σ′ , τ⟩,⟨σ′⟩,⟨σ′ , τ′⟩} ∗ c′_{2} ,

où c′_{1} et c′_{2} sont les chemins dans ΔX définis par

c′_{1} = c_{1} ∗ c_{⟨σ , τ⟩,⟨σ′ , σ , τ⟩,⟨σ′ , τ⟩}  et  c′_{2} = c_{⟨σ′ , τ′⟩,⟨σ′ , σ , τ′⟩,⟨σ , τ′⟩} ∗ c_{2} .

Puisque le p-cycle σ′ est disjoint des p-cycles τ , τ′ et σ, on a

♯( \overline{Supp(τ) ∪ Supp(τ′) ∪ Supp(σ′)} ) = ♯( \overline{Supp(τ) ∪ Supp(τ′) ∪ Supp(σ)} ) = p + 1 .

Il existe donc un p-cycle σ′′ ∈ S_{3p+2} disjoint de τ , τ′ et σ′ tel que

ξ(σ′′) = p − ξ(σ′) = p − (p − ξ(σ) − 1) = ξ(σ) + 1 .

Les lacets

l′ = c′_{1} ∗ c_{⟨σ′ , τ⟩,⟨σ′⟩,⟨σ′ , τ′⟩} ∗ c′_{2} et l′′ = c′′_{1} ∗ c_{⟨σ′′ , τ⟩,⟨σ′′⟩,⟨σ′′ , τ′⟩} ∗ c′′_{2} ,

où c′′_{1} et c′′_{2} sont les chemins dans ΔX définis par

c′′_{1} = c′_{1} ∗ c_{⟨σ′ , τ⟩,⟨σ′′ , σ′ , τ⟩,⟨σ′′ , τ⟩} et c′′_{2} = c_{⟨σ′′ , τ′⟩,⟨σ′′ , σ , τ′⟩,⟨σ′ , τ′⟩} ∗ c′_{2} ,

sont homotopes pour les mêmes raisons que 9.13. On applique alors l’hypothèse de récurrence, et on en déduit que la fibre g_{≥⟨σ′′⟩} peut être supposée connexe.

Au bout du compte, si l’on munit les ensembles X et T_{p}(3p + 2) de l’ordre opposé à l’ordre considéré jusqu’ici, on a alors montré que X est une partie fermée de l’ensemble ordonné connexe T_{p}(3p + 2) et que le groupe fondamental π_{1}( T_{p}(3p + 2) ) est engendré par les lacets dans ΔX et les lacets ayant un seul sommet P ∈ T_{p}(3p + 2) hors de X , avec de plus g_{≤P} connexe. Par conséquent, le lemme 9.3 permet d’affirmer que le morphisme π_{1}(g) de π_{1}(X ) dans π_{1}( T_{p}(3p+2) ) est surjectif. Or l’ensemble ordonné X est contractile et donc le groupe fondamental π_{1}( T_{p}(3p + 2) ) est trivial.

(9.14) Remarque. Si n < 3p + 2 la démonstration ci-dessus ne marche plus. En effet, pour que les trois opérations 9.9 soient possibles, il faut que n ≥ 3p + 2 . En outre, le raisonnement qui suit l’égalité 9.12 n’est plus valable si

♯( \overline{Supp(τ) ∪ Supp(τ′) ∪ Supp(σ)} ) ≤ p .

Nous allons à présent montrer que la proposition 9.5 se généralise au cas où n ≥ 3p + 2 .

§10 . Le groupe fondamental du complexe des p-partitions et du complexe de Quillen 63

(9.15) Lemme. Soient p un nombre premier et n un entier ≥ 3p. L’inclusion f : T_{p}(n) → T_{p}(n+1) induit un morphisme surjectif π_{1}(f) : π_{1}( T_{p}(n) ) ⟶ π_{1}( T_{p}(n + 1) ).

Preuve. Pour commencer, rappelons que l’inclusion de l’ensemble ordonné T_{p}(n) dans l’ensemble ordonné T̃_{p}(n) défini par

T̃_{p}(n) = T_{p}(n + 1) \ { ⟨σ⟩ ∈ T_{p}(n + 1) | n + 1 ∈ Supp(σ) } ,

est une équivalence d’homotopie ( confer lemme 3.8 ). A fortiori, les groupes fondamentaux π_{1}( T_{p}(n) ) et π_{1}( T̃_{p}(n) ) sont isomorphes. Dès lors, si g : T̃_{p}(n) ⟶ T_{p}(n + 1) désigne l’inclusion et si le morphisme

π_{1}(g) : π_{1}( T̃_{p}(n) ) ⟶ π_{1}( T_{p}(n + 1) )

est surjectif, alors il en est de même du morphisme

π_{1}(f) : π_{1}( T_{p}(n) ) ⟶ π_{1}( T_{p}(n + 1) ) .

Soit P ∈ T_{p}(n + 1) . Si P ∈ T̃_{p}(n) , il est alors évident que la fibre g_{≥P} est contractile. Dans le cas contraire, on peut écrire P = ⟨σ⟩, où σ est un p-cycle avec n + 1 ∈ Supp(σ) , et on montre facilement que

g_{≥P} ≃ T_{p}(n + 1 − p) .

Or, puisque n ≥ 3p, on a n + 1 − p > 2p et la proposition 3.4 permet d’affirmer que la fibre g_{≥P} est connexe non vide. Ainsi, si l’on munit les ensembles T̃_{p}(n) et T_{p}(n+1) de l’ordre opposé à l’ordre considéré jusqu’ici, alors les hypothèses du lemme 9.2 sont vérifiées et le morphisme π_{1}(g) est donc surjectif.

Preuve du théorème 9.4. Soient p un premier et n un entier ≥ 3p + 2 . Puisque n > 2p, on sait déjà que T_{p}(n) est connexe. En outre, en vertu de la proposition 9.5 et du lemme 9.15, le groupe fondamental π_{1}( T_{p}(n) ) est trivial. Par conséquent, l’ensemble ordonné T_{p}(n) est simplement connexe.

§ 10 LE GROUPE FONDAMENTAL DU COMPLEXE DES p-PARTITIONS ET DU COM-PLEXE DE QUILLEN

Pour commencer ce paragraphe, nous allons montrer que le complexe des p-partitions ΔD_{p}(n) , comme le complexe des p-cycles ΔT_{p}(n) , est simplement connexe si n ≥ 3p + 2 .

(10.1) Lemme. Soient p un nombre premier et n un entier ≥ 3p. L’inclusion f : D_{p}(n) → D_{p}(n+1) induit un morphisme surjectif π_{1}(f) : π_{1}( D_{p}(n) ) ⟶ π_{1}( D_{p}(n + 1) ).

Preuve. Tout d’abord, rappelons que l’inclusion de l’ensemble ordonné D_{p}(n) dans l’ensemble ordonné D̃_{p}(n) défini par

D̃_{p}(n) = D_{p}(n) \ { ε ∈ D_{p}(n + 1) | ε est un atome qui contient n + 1 dans son support }

est une équivalence d’homotopie ( confer lemme 4.8 ). Il suffit alors de reprendre la preuve de la proposition 9.15 et de remplacer les p-groupes considérés par les p-partitions associées pour montrer que le morphisme π_{1}(f) est surjectif.

(10.2) Lemme. Soient p un nombre premier et n un entier ≥ 2p. La surjection naturelle π de T_{p}(n) sur D_{p}(n) induit un morphisme surjectif de π_{1}( T_{p}(n) ) sur π_{1}( D_{p}(n) ).

Preuve. La surjection π et sa section ρ définies aux remarques 4.2 induisent des homomorphismes de groupes

π_{1}(π) : π_{1}( T_{p}(n) ) ⟶ π_{1}( D_{p}(n) )  et  π_{1}(ρ) : π_{1}( D_{p}(n) ) ⟶ π_{1}( T_{p}(n) )

tels que la composée π_{1}(π) ∘ π_{1}(ρ) est l’identité sur π_{1}( D_{p}(n) ). Dès lors, l’homomorphisme π_{1}(π) est surjectif.

(10.3) Théorème. Si p est un nombre premier et n un entier ≥ 3p + 2 , l’ensemble ordonné D_{p}(n) est simplement connexe.

Preuve. Soient p un nombre premier et n un entier ≥ 3p + 2 . Par la proposition 4.3, l’ensemble ordonné D_{p}(n) est connexe. En outre, en vertu de la proposition 9.5 et du lemme 10.2, le groupe fondamental π_{1}( D_{p}(3p + 2) ) est trivial. Il suffit alors d’appliquer le lemme 10.1 pour conclure.

Nous allons à présent nous intéresser au groupe fondamental π_{1}( A_{p}(S_{n}) ) du complexe de Quillen du groupe symétrique. Plus précisément, nous allons montrer que ce dernier est trivial si n est un entier tel que 3p + 2 ≤ n < p^{2} ou n ≥ p^{2} + p.

(10.4) Lemme. Soient p un nombre premier et n un entier ≥ p^{2}+p. L’inclusion f : T_{p}(n) → A_{p}(S_{n}) induit un morphisme surjectif π_{1}(f) : π_{1}( T_{p}(n) ) ⟶ π_{1}( A_{p}(S_{n}) ).

Preuve. Pour commencer, rappelons que l’inclusion de l’ensemble ordonné T_{p}(n) dans l’ensemble ordonné T A_{p}(n) défini par

TA_{p}(n) = { H ∈ A_{p}(S_{n}) | les orbites de H sont toutes de cardinal p }

est une équivalence d’homotopie ( confer lemme 3.2 ). A fortiori, les groupes fondamentaux π_{1}( T_{p}(n) ) et π_{1}( TA_{p}(n) ) sont donc isomorphes. Dès lors, si g : TA_{p}(n) ⟶ A_{p}(S_{n}) désigne l’inclusion et si le morphisme

π_{1}(g) : π_{1}( TA_{p}(n) ) ⟶ π_{1}( A_{p}(S_{n}) )

est surjectif, alors il en est de même du morphisme

π_{1}(f) : π_{1}( T_{p}(n) ) ⟶ π_{1}( A_{p}(S_{n}) ) .

Clairement, l’ensemble T A_{p}(n) est une partie fermée connexe de l’ensemble ordonné connexe A_{p}(S_{n}) . Soit A ∈ T A_{p}(n) . Puisque T A_{p}(n) est connexe, il est possible de décomposer tout lacet de base A dans ΔA_{p}(S_{n}) en un produit de lacets de base A ayant au plus une composante connexe hors de ΔT A_{p}(n) (de manière analogue à ce qui a été fait à la figure 9.6). On peut représenter un lacet de base A ayant exactement une composante connexe hors de ΔT A_{p}(n) par le dessin suivant :

Pour tout i ∈ ℕ_{u} avec i pair, on se donne un p-groupe H_{i} ∈ A_{p}(S_{n}) de rang 1 tel que H_{i} ≤ P_{i} . Puisque le sous-groupe abélien élémentaire H_{i} est de rang 1 , c’est un groupe cyclique d’ordre p, et donc H_{i} ∈ T A_{p}(n) , quel que soit i ∈ ℕ_{u} avec i pair. Dès lors, en considérant, pour chaque i ∈ ℕ_{u} avec i pair, un chemin dans T A_{p}(n) reliant A à H_{i} , il est possible de décomposer le lacet considéré en lacets de base A ayant au plus un sommet hors de ΔT A_{p}(n) .

Soit l un lacet de base A dans A_{p}(S_{n}) ayant exactement un sommet H hors de ΔT A_{p}(n) .

Le dessin ci-dessus explique pourquoi on peut supposer que les sous-groupes abéliens élémentaires A_{1} et A_{2} sont minimaux, c’est-à-dire cycliques d’ordre p, et que H = ⟨A_{1} , A_{2}⟩. On pose A_{1} = ⟨σ⟩, où σ désigne un produit de p-cycles disjoints, A_{2} = ⟨τ⟩, où τ désigne aussi un produit de p-cycles disjoints et on a alors H = ⟨σ , τ⟩ ∈ A_{p}(S_{n}) . Par la proposition 2.1, H est un sous-groupe d’un sous-groupe abélien élémentaire P = P_{1} × P_{2} × … × P_{l} , où l est un entier ≥ 1 , les P_{i} ∈ A_{p}(S_{n}) ( i = 1, 2, …, l) sont des p-sous-groupes relativement transitifs de supports deux à deux disjoints et Supp(P) = Supp(H) . Bien entendu, le lacet l = l_{A_{1},H,A_{2}}^{A} est homotope au lacet l_{A_{1},P,A_{2}}^{A} . En relisant la construction du groupe P , dans la démonstration de la proposition 2.1, on constate que, parce que H est de rang 2 , les P_{i} ∈ A_{p}(S_{n}) ( i = 1, 2, …, l) sont tous de rang 1 ou 2 . Plus précisément, si pour tout i = 1, 2, …, l, on note U_{i} le support de P_{i} , alors on a P_{i} = ⟨σ|_{U_{i}} , τ|_{U_{i}}⟩. Dès lors, on peut récrire le groupe P comme un produit de sous-groupes de supports deux à deux disjoints

P = R_{1} × R_{2} × … × R_{k} × Q_{1} × Q_{2} × … × Q_{t} ,

où R_{i} est un sous-groupe abélien élémentaire de rang 1 , quel que soit i = 1, 2, …, k, et Q_{j} est un sous-groupe abélien élémentaire de rang 2 , quel que soit j = 1, 2, …, t. Par la proposition 2.2, on peut noter R_{i} = ⟨σ_{i}⟩, où σ_{i} est un p-cycle, pour tout i = 1, 2, …, k, et Q_{j} = ⟨ϵ_{j} , ϵ̃_{j}⟩, où ϵ_{j} et ϵ̃_{j} sont des produits de p p-cycles disjoints, pour tout j = 1, 2, …, t. Notons encore

R = R_{1} × R_{2} × … × R_{k} et Q = Q_{1} × Q_{2} × … × Q_{t} .

Ces sous-groupes R et Q de P ne sont pas nécessairement tous deux non triviaux. Nous allons montrer que, si R est non trivial ou t ≥ 2 , alors la fibre g_{≤P} est connexe. Puis nous montrerons que, dans le cas où le sous-groupe R est trivial et t = 1 , le lacet l = l_{A_{1},P,A_{2}}^{A} est homotope à un lacet l_{A_{1},P′,A_{2}}^{A} tel que la fibre g_{≤P′} est connexe.

Supposons que le sous-groupe R est non trivial. Soit T ∈ g_{≤P} et montrons qu’il existe dans g_{≤P} un chemin reliant T à R. Puisque T ∈ T A_{p}(n) , il existe, pour tout j = 1, 2, …, t, un produit de p p-cycles disjoints μ_{j} ∈ Q_{j} = ⟨ϵ_{j} , ϵ̃_{j}⟩ tels que T soit un sous-groupe du groupe R × ⟨μ_{1}⟩ × ⟨μ_{2}⟩ × … × ⟨μ_{t}⟩. On a alors

T ≤ R × ⟨μ_{1}⟩ × ⟨μ_{2}⟩ × … × ⟨μ_{t}⟩ ≥ R ,

qui est un chemin dans g_{≤P} reliant T à R. Ainsi, la fibre g_{≤P} est connexe.

Supposons t ≥ 2 . Par ce qui précède, on peut supposer que le sous-groupe R est trivial. Soit T ∈ g_{≤P} et montrons qu’il existe un chemin dans g_{≤P} reliant T à ⟨ϵ_{1} , ϵ_{2} , …, ϵ_{t}⟩ ∈ g_{≤P} . Comme ci-dessus, le groupe T est un sous-groupe d’un groupe ⟨μ_{1}⟩ × ⟨μ_{2}⟩ × … × ⟨μ_{t}⟩, où μ_{j} ∈ Q_{j} , pour tout j = 1, 2, …, t. Puisque T ∈ A_{p}(S_{n}) , le groupe T est en particulier non trivial, et donc il existe r ∈ ℕ_{t} tel que la permutation μ_{r} soit différente de l’identité. Soit encore q ∈ ℕ_{t} avec q ≠ r. On a alors

T ≤ ⟨μ_{1}⟩ × ⟨μ_{2}⟩ × … × ⟨μ_{t}⟩ ≥ ⟨μ_{r}⟩ ≤ ⟨μ_{r} , ϵ_{q}⟩ ≥ ⟨ϵ_{q}⟩ ≤ ⟨ϵ_{1} , ϵ_{2} , …, ϵ_{t}⟩ ,

qui est un chemin dans g_{≤P} reliant T à ⟨ϵ_{1} , ϵ_{2} , …, ϵ_{t}⟩. Par suite, la fibre g_{≤P} est connexe.

Supposons, à présent, que le sous-groupe R est trivial et que t = 1 . On a alors P = ⟨ϵ_{1} , ϵ̃_{1}⟩. Puisque n ≥ p^{2} + p et ♯( Supp(P) ) = p^{2} , il existe dans S_{n} un p-cycle η disjoint de P . Considérons alors le groupe P = ⟨ϵ_{1} , ϵ̃_{1} , η⟩ ∈ A_{p}(S_{n}) . Clairement, le lacet l = l_{A_{1},P,A_{2}}^{A} est homotope au lacet l_{A_{1},P′,A_{2}}^{A} et on se ramène ainsi au cas où le sous-groupe R est non trivial, et la fibre g_{≤P′} est donc connexe.

Finalement, on a montré que T A_{p}(n) est une partie fermée de l’ensemble ordonné connexe A_{p}(S_{n}) et que tout lacet de base A dans ΔA_{p}(S_{n}) se décompose en lacets dans ΔT A_{p}(n) et lacets ayant un seul sommet P hors de ΔT A_{p}(n) avec de plus la fibre g_{≤P} connexe non vide. Par le lemme 9.3, le morphisme π_{1}(g) est donc surjectif.

Ce dernier lemme, associé aux résultats du paragraphe précédent, va maintenant nous permettre de donner le groupe fondamental du complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) lorsque n ≥ 3p + 2 . Par souci de clarté, nous allons commencer par traiter séparément le cas où p = 2 .

(10.5) Théorème. Le complexe de Quillen ΔA_{2}(S_{n}) est simplement connexe si n est un entier ≥ 8 .

Preuve. Dans son article [BO3 , Proposition 2 ], Bouc avait déjà montré que D_{2}(n) ≅ T_{2}(n) est simplement connexe si n ≥ 8 . Ainsi, du lemme 10.4, on déduit que le complexe de Quillen ΔA_{2}(S_{n}) est lui aussi simplement connexe si n ≥ 8 .

Nous verrons au paragraphe suivant que ce dernier résultat reste valable lorsque n = 7 .

(10.6) Théorème. Soient p un nombre premier ≥ 3 et n un nombre entier. Si 3p + 2 ≤ n < p^{2} ou n ≥ p^{2} + p, le complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) est simplement connexe. (Remarquer que la condition 3p + 2 ≤ n < p^{2} implique p ≥ 5 .)

Preuve. Si 3p + 2 ≤ n < p^{2} , on sait alors, par le corollaire 3.3, que les ensembles ordonnés T_{p}(n) et A_{p}(S_{n}) ont le même type d’homotopie. En outre, par le théorème 9.4, l’ensemble ordonné T_{p}(n) est simplement connexe. Par conséquent, il en est de même du complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) .

Si n ≥ p^{2} + p, alors en particulier n ≥ 3p + 2 > 2p. Ainsi, par la proposition 2.9, l’ensemble ordonné A_{p}(S_{n}) est connexe et, en vertu du théorème 9.4, l’ensemble ordonné T_{p}(n) est simplement connexe. Le lemme 10.4 permet alors de conclure.

(10.7) Théorème. Soient p un nombre premier ≥ 3 et n un entier tel que p^{2} ≤ n < p^{2} + p.

(a) Si p ≥ 5 , le groupe fondamental π_{1}( A_{p}(S_{n}) ) est un groupe libre à u générateurs, où u est donné

par u = \frac{n!}{p^{2} (p − 1)^{2} (p + 1) (n − p^{2})!} .

(b) Si p = 3 et 9 ≤ n ≤ 11 , le groupe fondamental π_{1}( A_{3}(S_{n}) ) est non nul. En particulier, le groupe fondamental π_{1}( A_{3}(S_{11}) ) est un groupe libre à 138600 générateurs.

Preuve. (a) En vertu de la proposition 8.8, on a

Δ( A_{p}(S_{n}) ) ≃ Δ( T_{p}(n) ) ∨ ( ⋁^{u} S^{1} ) .

De plus, on sait, par le théorème 9.4, que l’ensemble ordonné T_{p}(n) est simplement connexe puisque n ≥ p^{2} > 3p + 2 . Ainsi,

π_{1}( A_{p}(S_{n}) ) ≅ π_{1}( ⋁^{u} S^{1} ) ,

qui est un groupe libre à u générateurs.

(b) Si p = 3 , la proposition 8.8 reste vérifiée. Autrement dit, on a

Δ( A_{3}(S_{n}) ) ≃ Δ( T_{3}(n) ) ∨ ( ⋁^{u} S^{1} ) ,

où u = \frac{n!}{144 (n − p^{2})!} , ce qui prouve en particulier que le groupe fondamental π_{1}( A_{3}(S_{n}) ) est non nul. Dans le cas où n = 11 , on sait de plus, par le théorème 9.4, que l’ensemble ordonné T_{3}(11) est simplement connexe. On en déduit que le groupe fondamental π_{1}( A_{3}(S_{11}) ) est un groupe libre à 138600 générateurs.

§ 11 UN GROUPE FONDAMENTAL NON TRIVIAL

Soient p un nombre premier et n un entier. Au vu de ce qui précède, le groupe fondamental des ensembles ordonnés D_{p}(n) , T_{p}(n) et A_{p}(S_{n}) est connu quasiment dans tous les cas. En effet, si n < 3p et E_{p}(n) désigne un de ces trois ensembles ordonnés, alors E_{p}(n) est un graphe dont le type d’homotopie est connu. En outre, si n ≥ 3p + 2 , nous avons calculé dans les deux paragraphes précédents le groupe fondamental π_{1}( E_{p}(n) ). Dans ce paragraphe, nous allons montrer que si p est impair, le groupe d’homologie H_{1}( D_{p}(3p+ 1) ) n’est pas nul. Ce long calcul nous permettra alors de démontrer le théorème suivant.

(11.1) Théorème. Soient p un nombre premier, n un entier tel que 3p ≤ n ≤ 3p + 1 et E_{p}(n) l’un des trois ensembles ordonnés D_{p}(n) , T_{p}(n) ou A_{p}(S_{n}) . Exception faite du groupe H_{1}( A_{2}(S_{7}) ) , le groupe d’homologie H_{1}( E_{p}(n) ) est non nul. En particulier, le groupe fondamental de l’ensemble ordonné E_{p}(n) n’est pas trivial, sauf si E_{p}(n) désigne l’ensemble ordonné A_{2}(S_{7}) .

Commençons tout d’abord par régler le cas où p = 2 . On a vu aux exemples 4.7 et 2.12 que les ensembles ordonnés D_{2}(6) et A_{2}(S_{6}) ont tous deux le type d’homotopie d’un bouquet de 16 cercles. Dans le cas où n = 7 , Bouc a montré ( confer [BO3 , Proposition 3 ] ) que le groupe fondamental π_{1}( D_{2}(7) ) (remarquer que 7 = 3p + 1 ) est cyclique d’ordre 3 , engendré par la classe d’homotopie \overline{l} du lacet l suivant

La proposition qui suit montre que le complexe de Quillen ΔA_{2}(S_{7}) est simplement connexe.

(11.2) Proposition. L’ensemble ordonné A_{2}(S_{7}) est simplement connexe.

Preuve. L’ensemble ordonné A_{2}(S_{7}) est connexe. De plus, en vertu du lemme 10.4, l’inclusion f de D_{2}(7) dans A_{2}(S_{7}) induit un morphisme surjectif π_{1}(f) de π_{1}( D_{2}(7) ) = ⟨ \overline{l} ⟩ sur π_{1}( A_{2}(S_{7}) ). Par suite, la classe d’homotopie dans ΔA_{2}(S_{7}) du lacet l , décrit ci-dessus, est un générateur du groupe fondamental π_{1}( A_{2}(S_{7}) ). Or le dessin suivant montre comment il est possible de ^{⟨⟨} trianguler ^{⟩⟩} ce lacet l dans le complexe simplicial ΔA_{2}(S_{7}) . Par manque d’espace sur le dessin, on note

P_{1} = ⟨(1 3) , (2 4) , (5 7)⟩  ,  P_{2} = ⟨(1 5) , (2 4) , (3 7)⟩
P_{3} = ⟨(1 3) , (2 6) , (5 7)⟩  ,  P_{4} = ⟨(1 5) , (2 6) , (3 7)⟩
ε = (1 3)(5 7)  ,  ε′ = (1 5)(3 7)  et  Q = ⟨ε , ε′⟩ .

§11 . Un groupe fondamental non trivial 69

Par suite, le lacet l est homotope au lacet trivial et le groupe fondamental π_{1}( A_{2}(S_{7}) ) est donc lui aussi trivial.

Nous allons montrer, à présent, que si le nombre premier p est impair, alors le groupe fondamental π_{1}( D_{p}(3p + 1) ) n’est pas trivial. Pour ce faire, il nous faut rappeler quelques résultats classiques concernant les représentations irréductibles du groupe symétrique. Soient n ∈ ℕ et K un corps de caractéristique nulle. Tout KS_{n}-module est alors semi-simple, et l’ensemble des représentations irréductibles du groupe S_{n} , qui sont aussi appelées modules de Specht, est en bijection avec l’ensemble des partitions de l’entier n. Soit λ = (λ_{1} , λ_{2} , …, λ_{l}) une partition de n, c’est-à-dire une suite d’entiers tels que

λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ … ≥ λ_{l} > 0  et  ∑_{i = 1}^{l} λ_{i} = n .

On note parfois λ ⊢ n et on appelle longueur de la partition λ, que l’on note l(λ) , le nombre l de parties de λ. On convient de représenter λ par un tableau, appelé diagramme de Young, dont les lignes sont formées respectivement de λ_{1} , λ_{2} , …, λ_{l} cases. Par exemple, le diagramme suivant

correspond à la partition (5, 3, 2, 1, 1) de 12 . Par commodité, on note par la même lettre λ, la partition λ de n et le diagramme la représentant. On note encore V_{λ} le module de Specht qui lui est associé. Si V est un KS_{n}-module tel que le module de Specht V_{λ} apparaît, à isomorphisme près, dans sa décomposition en KS_{n}-modules simples, on se permettra alors l’abus de dire que V_{λ} est facteur direct de V .

Si G_{1}, G_{2} sont deux groupes, V_{1} un KG_{1}-module et V_{2} un KG_{2}-module, on note V_{1}⊗V_{2} la représentation V_{1} ⊗_{K} V_{2} du groupe G_{1} × G_{2} , définie par

(g_{1}, g_{2}) · (v_{1} ⊗ v_{2}) = g_{1} · v_{1} ⊗ g_{2} · v_{2} .

Avec cette notation, si m, r ∈ ℕ et V est une représentation de S_{m} , on a alors

Inf_{S_{m}}^{S_{m}×S_{r}} V = V ⊗ V_{(r)} ,

où V_{(r)} désigne le module de Specht correspondant à la partition triviale (r) , c’est-à-dire la représentation triviale du groupe S_{r} . On peut maintenant énoncer la formule de Pieri, qui est un cas particulier de la règle de Littlewood-Richardson.

(11.3) Formule de Pieri. Si m, r ∈ ℕ et λ est une partition de m, alors

Ind_{S_{m}×S_{r}}^{S_{m+r}}( V_{λ} ⊗ V_{(r)} ) ≅ ⨁_{ν} V_{ν} ,

où ν parcourt tous les diagrammes de Young qui peuvent être obtenus en ajoutant r cases au diagramme de Young λ, de telle sorte que dans chaque colonne il y ait au plus une case ajoutée.

Voici un exemple qui illustre cette dernière formule :

Ind_{S_{3}×S_{2}}^{S_{5}}( V_{(2 , 1)} ⊗ V_{(2)} ) ≅ V_{(4 , 1)} ⊕ V_{(3 , 2)} ⊕ V_{(3 , 1 , 1)} ⊕ V_{(2 , 2 , 1)} .

Par la suite, on aura aussi besoin du théorème suivant.

(11.4) Théorème de branchement. Si n ∈ ℕ et λ est une partition de n, alors

Res_{S_{n−1}}^{S_{n}} V_{λ} ≅ ⨁_{ν} V_{ν} ,

où ν parcourt tous les diagrammes de Young qui peuvent être obtenus en ôtant une case au diagramme de Young λ.

Par exemple, le théorème de branchement permet de calculer :

Res_{S_{5}}^{S_{6}} V_{(3 , 2 , 1)} ≅ V_{(2 , 2 , 1)} ⊕ V_{(3 , 1 , 1)} ⊕ V_{(3 , 2)} .

Les résultats énoncés ci-dessus sont démontrés dans plusieurs écrits standards. On les trouve notamment dans le livre de Sagan [SA , § 2.8 et § 4.9 ] et le livre de Fulton et Harris [FU-HA , chapitre 4 ]. Si nécessaire, il est aussi possible de consulter ces deux ouvrages pour un éventuel complément à ce rapide rappel de la théorie des représentations irréductibles du groupe symétrique.

A l’aide de la suite exacte de la proposition 4.12, Bouc a déterminé entièrement les KS_{n}-modules d’homologie de l’ensemble ordonné D_{2}(n) ( confer [BO3 , proposition 4 ] ). Dans le cas où p est un nombre premier impair, nous sommes en mesure de donner explicitement la décomposition en modules de Specht des KS_{n}-modules d’homologie réduite H̃_{∗}( D_{p}(n) , K ), pour tout entier n tel que n ≤ 2p + 1 . Ces décompositions nous permettront ensuite, toujours à l’aide de la proposition 4.12, de montrer que le groupe fondamental de l’ensemble ordonné D_{p}(3p + 1) n’est pas trivial, lorsque p est impair.

(11.5) Lemme. Soient p un nombre premier et n = p + r un entier tel que p < n < 2p. Le seul KS_{n}-module d’homologie réduite non nul de l’ensemble ordonné D_{p}(p + r) est donné par

H̃_{0}( D_{p}(p + r) , K ) ≅ ⨁_{i = 0}^{r−1} V_{(p+i , r−i)} .

Preuve. L’ensemble ordonné D_{p}(p+r) est un ensemble discret sur lequel le groupe S_{n} agit transitivement. Son seul module d’homologie réduite non nul est donc H̃_{0}( D_{p}(p+r) , K ). En outre, si ε ∈ D_{p}(p+r) , il est alors clair que le stabilisateur (S_{n})_{ε} est isomorphe au groupe S_{p} × S_{r} . Par suite, on a

H_{0}( D_{p}(p + r) , K ) ≅ K[ D_{p}(p + r) ] ≅ K[ S_{n}/(S_{n})_{ε} ] ≅ Ind_{(S_{n})_{ε}}^{S_{n}} K ≅ Ind_{S_{p}×S_{r}}^{S_{p+r}}( V_{(p)} ⊗ V_{(r)} ) .

Grâce à la formule de Pieri, on obtient que

H_{0}( D_{p}(p + r) , K ) ≅ ⨁_{i = 0}^{r} V_{(p+i , r−i)} ,

et finalement on conclut que

H̃_{0}( D_{p}(p + r) , K ) ≅ ⨁_{i = 0}^{r−1} V_{(p+i , r−i)} .

(11.6) Lemme. Si p est un nombre premier impair, alors le seul KS_{2p}-module d’homologie réduite non nul de l’ensemble ordonné D_{p}(2p) est donné par

H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ) ≅ ⨁_{{i = 1 \atop i impair}}^{p−2} V_{(p+i , p−i)} .

Preuve. Soit p un premier impair. En vertu de la proposition 4.6, l’ensemble ordonné D_{p}(2p) a le type d’homotopie d’un complexe simplicial de dimension 0 . Son seul module d’homologie réduite non nul est donc H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ). La suite exacte de la proposition 4.12 devient alors

0 → H̃_{0}( D_{p}(2p − 1) , K ) → Res_{S_{2p−1}}^{S_{2p}} H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ) → 0 .

Par conséquent, les deux termes non nuls de cette suite exacte sont isomorphes et, grâce au lemme 11.5, on en déduit l’isomorphisme

(11.7)  Res_{S_{2p−1}}^{S_{2p}} H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ) ≅ ⨁_{i = 1}^{p−1} V_{(p+i−1 , p−i)} .

Notons

H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ) ≅ ⨁_{λ ⊢ 2p} c_{λ} · V_{λ} ,

où c_{λ} est un entier ≥ 0 qui compte, pour toute partition λ de 2p, le nombre de fois, à isomorphisme près, qu’apparaît le module de Specht V_{λ} dans la décomposition en modules simples du KS_{2p}-module H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ). Puisque tout module de Specht V_{μ} ( μ ⊢ 2p − 1 ) apparaît au plus une fois dans la décomposition 11.7 du module Res_{S_{2p−1}}^{S_{2p}} H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ), il est tout à fait clair que

c_{λ} = 0 ou c_{λ} = 1 , quelle que soit la partition λ ⊢ 2p .

Si λ = (λ_{1} , λ_{2} , …, λ_{l}) est une partition de 2p telle que c_{λ} = 1 , c’est-à-dire telle que le module de Specht V_{λ} soit facteur direct de H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ), alors par l’isomorphisme 11.7 et le théorème de branchement, on se convainc aisément que l(λ) = l = 2 . Autrement dit, on a

{ λ ⊢ 2p | c_{λ} = 1 } ⊆ { (p + i , p − i) | 0 ≤ i ≤ p − 1 } .

Toujours par le théorème de branchement, on sait que

Res_{S_{2p−1}}^{S_{2p}} V_{(p+i , p−i)} ≅ V_{(p+i−1 , p−1)} ⊕ V_{(p+i , p−i−1)}  si 1 ≤ i ≤ p − 1,
et Res_{S_{2p−1}}^{S_{2p}} V_{(p , p)} ≅ V_{(p , p−1)} .

Ainsi, puisque Res_{S_{2p−1}}^{S_{2p}} H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ) est une somme directe de p − 1 KS_{2p−1}-modules simples tous distincts, et que l’entier p − 1 est pair, on déduit que le module de Specht V_{(p , p)} n’est pas facteur direct de H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ), i.e. c_{(p , p)} = 0 . Dès lors, on peut affirmer que c_{(p+1 , p−1)} = 1 , car le module de Specht V_{(p , p−1)} apparaît une fois dans la décomposition 11.7 du module Res_{S_{2p−1}}^{S_{2p}} H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ). Montrons alors, par récurrence sur l’entier pair i avec 0 ≤ i ≤ p − 1 , que

c_{(p+i , p−i)} = 0  et  c_{(p+i+1 , p−i−1)} = 1 .

Soit donc un entier pair i avec 2 ≤ i ≤ p − 1 et supposons l’assertion vérifiée pour i − 2 . Par hypothèse de récurrence, on sait que c_{(p+i−1 , p−i+1)} = 1 . Il s’en suit, puisque le module de Specht V_{(p+i−1 , p−i)} n’apparaît qu’une fois dans la décomposition 11.7 du module Res_{S_{2p−1}}^{S_{2p}} H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ), que le coefficient c_{(p+i , p−i)} est nul. En conséquence, le fait que le module de Specht V_{(p+i , p−i−1)} soit facteur direct du module Res_{S_{2p−1}}^{S_{2p}} H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ) implique que c_{(p+i+1 , p−i−1)} = 1 .

Finalement, on a donc montré que c_{λ} = 1 si la partition λ est de la forme λ = (p + i , p − i) avec l’entier i impair et que le coefficient c_{λ} est nul sinon. Autrement dit, on a prouvé l’isomorphisme

H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ) ≅ ⨁_{{i = 1 \atop i impair}}^{p−2} V_{(p+i , p−i)} .

(11.8) Lemme. Soient p un nombre premier impair et n = 2p+1 . Le seul KS_{n}-module d’homologie réduite non nul de l’ensemble ordonné D_{p}(2p + 1) est donné par

H̃_{1}( D_{p}(2p + 1) , K ) ≅ ⨁_{{i = 0 \atop i pair}}^{p−1} V_{(p+i , p−i , 1)} .

Preuve. En vertu de l’exemple 4.7, l’ensemble ordonné D_{p}(2p + 1) a le type d’homotopie d’un graphe connexe. Son seul module d’homologie réduite non nul est donc H̃_{1}( D_{p}(2p + 1) , K ). La suite exacte de la proposition 4.12 devient alors

0 → Res_{S_{2p}}^{S_{2p+1}} H̃_{1}( D_{p}(2p+1) , K ) → Ind_{S_{p+1}×S_{p−1}}^{S_{2p}}( H̃_{0}( D_{p}(p+1) , K )⊗V_{(p−1)} ) → H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ) → 0 .

Grâce à la formule de Pieri et au lemme 11.5, on sait que

Ind_{S_{p+1}×S_{p−1}}^{S_{2p}}( H̃_{0}( D_{p}(p + 1) , K ) ⊗ V_{(p−1)} ) ≅ ⨁_{i = 0}^{p−1} V_{(p+i , p−i)} ⊕ ⨁_{i = 0}^{p−2} V_{(p+i , p−i−1 , 1)} .

Le lemme 11.6 permet alors de déduire l’isomorphisme

(11.9)  Res_{S_{2p}}^{S_{2p+1}} H̃_{1}( D_{p}(2p + 1) , K ) ≅ ⨁_{{i = 0 \atop i pair}}^{p−1} V_{(p+i , p−i)} ⊕ ⨁_{i = 0}^{p−2} V_{(p+i , p−i−1 , 1)} .

Notons

H̃_{1}( D_{p}(2p + 1) , K ) ≅ ⨁_{λ ⊢ 2p+1} c_{λ} · V_{λ} ,

où c_{λ} est un entier ≥ 0 qui compte, pour toute partition λ de 2p + 1 , le nombre de fois, à isomorphisme près, qu’apparaît le module de Specht V_{λ} dans la décomposition en modules simples du KS_{n}-module H̃_{1}( D_{p}(2p + 1) , K ). Puisque tout module de Specht V_{μ} ( μ ⊢ 2p) apparaît au plus une fois dans la décomposition 11.9 du module Res_{S_{2p}}^{S_{2p+1}} H̃_{1}( D_{p}(2p + 1) , K ), il en découle que

c_{λ} = 0 ou c_{λ} = 1 , quelle que soit la partition λ ⊢ 2p + 1 .

Soit λ = (λ_{1} , λ_{2} , …, λ_{l}) une partition de 2p + 1 telle que c_{λ} = 1 . Par l’isomorphisme 11.9 et le théorème de branchement, on se convainc aisément que 2 ≤ l(λ) = l ≤ 3 , que λ_{1} ≥ p, et que si l(λ) = 3 , alors λ_{3} = 1 . Autrement dit, on a

{ λ ⊢ 2p + 1 | c_{λ} = 1 } ⊆ { (p + 1 + i , p − i) | 0 ≤ i ≤ p − 1 } ∪ { (p + i , p − i , 1) | 0 ≤ i ≤ p − 1 } .

Soit i un entier avec 0 ≤ i ≤ p − 1 . Considérons la partition ν = (p + 1 + i , p − i) ⊢ 2p + 1 . Par le théorème de branchement, on sait que

Res_{S_{2p}}^{S_{2p+1}} V_{ν} ≅ V_{(p+i , p−i)} ⊕ V_{(p+1+i , p−1−i)} ,

et puisqu’un des deux entiers i ou i + 1 est impair, on déduit, en observant l’isomorphisme 11.9, que le coefficient c_{ν} est nul. Supposons à présent l’entier i impair et considérons la partition de longueur 3 , η = (p + i , p − i , 1) ⊢ 2p + 1 . Par le théorème de branchement, on a

Res_{S_{2p}}^{S_{2p+1}} V_{η} ≅ V_{(p+i−1 , p−i , 1)} ⊕ V_{(p+i , p−i−1 , 1)} ⊕ V_{(p+i , p−i)} ,

ce qui implique que c_{η} = 0 , car le module de Specht V_{(p+i , p−i)} avec i impair n’est pas facteur direct du module Res_{S_{2p}}^{S_{2p+1}} H̃_{1}( D_{p}(2p + 1) , K ).

Au bout du compte, on a donc montré que

(11.10)  { λ ⊢ 2p + 1 | c_{λ} = 1 } ⊆ { (p + i , p − i , 1) | 0 ≤ i ≤ p − 1 et i pair } .

En outre, toujours à l’aide du théorème de branchement, on vérifie facilement que

Res_{S_{2p}}^{S_{2p+1}} ⨁_{{i = 0 \atop i pair}}^{p−1} V_{(p+i , p−i , 1)} ≅ ⨁_{{i = 0 \atop i pair}}^{p−1} V_{(p+i , p−i)} ⊕ ⨁_{i = 0}^{p−2} V_{(p+i , p−i−1 , 1)} .

Dès lors, en vertu de l’isomorphisme 11.9, on a

Res_{S_{2p}}^{S_{2p+1}} H̃_{1}( D_{p}(2p + 1) , K ) ≅ Res_{S_{2p}}^{S_{2p+1}} ⨁_{{i = 0 \atop i pair}}^{p−1} V_{(p+i , p−i , 1)} .

En définitive, vu l’inclusion 11.10, on peut conclure que

H̃_{1}( D_{p}(2p + 1) , K ) ≅ ⨁_{{i = 0 \atop i pair}}^{p−1} V_{(p+i , p−i , 1)} .

(11.11) Remarque. Dans le cas où n = 2p + 2 , le groupe H̃_{1}( D_{p}(2p + 2) , K ) est le seul groupe d’homologie non nul de l’ensemble ordonné D_{p}(2p + 2) , mais il n’est déjà plus possible, à l’aide des mêmes méthodes que celles utilisées dans les lemmes précédents, de déterminer sa décomposition en KS_{n}-modules simples. Néanmoins, pour p = 3 ou p = 5 , toujours à l’aide du théorème de branchement, de la formule de Pieri et de la proposition 4.12, on peut calculer explicitement la décomposition en modules de Specht de l’unique groupe d’homologie réduite non nul H̃_{1}( D_{p}(n) , K ) lorsque 2p + 2 ≤ n ≤ 3p. Le lecteur intéressé saura retrouver lui-même ces décompositions en s’inspirant des preuves qui précèdent.

Les rappels et lemmes énoncés jusque-là dans ce paragraphe ont pour but de démontrer le résultat central suivant.

(11.12) Théorème. Soient p un nombre premier impair et n = 3p + 1 . Le groupe d’homologie H_{1}( D_{p}(3p + 1) ) n’est pas nul. En particulier, le groupe fondamental de l’ensemble ordonné D_{p}(3p + 1) n’est pas trivial.

Preuve. Montrons que le KS_{n}-module d’homologie H_{1}( D_{p}(n) , K ) est non nul. Par la proposition 4.12, on a la suite exacte de KS_{3p}-modules

0 → Res_{S_{3p}}^{S_{3p+1}} H̃_{2}(D_{p}(3p + 1), K) → Ind_{S_{2p+1}×S_{p−1}}^{S_{3p}}( H̃_{1}(D_{p}(2p + 1), K) ⊗ V_{(p−1)} )
→ H̃_{1}(D_{p}(3p), K) → Res_{S_{3p}}^{S_{3p+1}} H̃_{1}(D_{p}(3p + 1), K) → 0 ,

dont on déduit l’isomorphisme de KS_{3p}-modules suivant :

(11.13)

Res_{S_{3p}}^{S_{3p+1}} H̃_{2}(D_{p}(3p + 1), K) ⊕ H̃_{1}(D_{p}(3p), K) ≅
Ind_{S_{2p+1}×S_{p−1}}^{S_{3p}}( H̃_{1}(D_{p}(2p + 1), K) ⊗ V_{(p−1)} ) ⊕ Res_{S_{3p}}^{S_{3p+1}} H̃_{1}(D_{p}(3p + 1), K) .

Encore par la proposition 4.12, on a la suite exacte de KS_{3p−1}-modules

0 → H̃_{1}(D_{p}(3p−1), K) → Res_{S_{3p−1}}^{S_{3p}} H̃_{1}(D_{p}(3p), K) → Ind_{S_{2p}×S_{p−1}}^{S_{3p−1}}( H̃_{0}(D_{p}(2p), K) ⊗ V_{(p−1)} ) → 0 ,

dont on déduit l’isomorphisme de KS_{3p−1}-modules suivant :

(11.14) Res_{S_{3p−1}}^{S_{3p}} H̃_{1}(D_{p}(3p), K) ≅ H̃_{1}(D_{p}(3p − 1), K) ⊕ Ind_{S_{2p}×S_{p−1}}^{S_{3p−1}}( H̃_{0}(D_{p}(2p), K) ⊗ V_{(p−1)} ) .

L’idée de la preuve est de trouver un KS_{3p}-module de Specht V_{ν} qui soit facteur direct du module H̃_{1}(D_{p}(3p), K), mais qui ne le soit pas du module

M = Ind_{S_{2p+1}×S_{p−1}}^{S_{3p}}( H̃_{1}(D_{p}(2p + 1), K) ⊗ V_{(p−1)} ) .

Dès lors, si un tel module de Specht V_{ν} existe, il est alors, en vertu de l’isomorphisme 11.13, facteur direct du module Res_{S_{3p}}^{S_{3p+1}} H̃_{1}(D_{p}(3p + 1), K), et en particulier, on en tire que le KS_{n}-module d’homologie H_{1}( D_{p}(3p + 1) , K ) est non nul.

Nous allons distinguer deux cas. Supposons d’abord que p ≡ 3 mod 4 , ce qui revient à dire que l’entier q = \frac{p − 1}{2} est impair. Par le lemme 11.6, le module simple V_{(p+q , p−q)} est facteur direct du KS_{2p}-module

H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ) ≅ ⨁_{{i = 1 \atop i impair}}^{p−2} V_{(p+i , p−i)} .

Ainsi, de la formule de Pieri et l’isomorphisme 11.14, on déduit que V_{(p+q , p−q+p−1)} = V_{(p+q , p+q)} est facteur direct du module Res_{S_{3p−1}}^{S_{3p}} H̃_{1}(D_{p}(3p), K). Par suite, l’un ou l’autre des modules de Specht V_{(p+q+1 , p+q)} ou V_{(p+q , p+q , 1)} apparaît (à isomorphisme près bien entendu) dans la décomposition en modules simples du KS_{3p}-module H̃_{1}(D_{p}(3p), K). Mais aucun de ces deux modules de Specht n’est facteur direct du module

M = Ind_{S_{2p+1}×S_{p−1}}^{S_{3p}}( H̃_{1}(D_{p}(2p + 1), K) ⊗ V_{(p−1)} ) ≅ Ind_{S_{2p+1}×S_{p−1}}^{S_{3p}}( ⨁_{{i = 0 \atop i pair}}^{p−1}(V_{(p+i , p−i , 1)} ⊗ V_{(p−1)} )) .

En effet, d’une part, par la formule de Pieri, il est clair que le module M se décompose en modules de Specht V_{λ} avec l(λ) ≥ 3 . D’autre part, si λ = (λ_{1} , λ_{2} , λ_{3}) désigne une partition de 2p + 1 telle que V_{(p+q , p+q , 1)} soit facteur direct du module Ind_{S_{2p+1}×S_{p−1}}^{S_{3p}}( V_{λ} ⊗ V_{(p−1)} ), alors, toujours grâce à la formule de Pieri, on peut affirmer que λ_{1} = p + q (car si λ_{1} < p + q, il faut ajouter au moins deux cases à la (p + q)-ème colonne de λ pour obtenir la partition V_{(p+q , p+q , 1)} , ce qui contredit la formule de Pieri). Dès lors, le module de Specht V_{λ} = V_{(p+q , λ_{2} , λ_{3})} n’est pas facteur direct du module H̃_{1}(D_{p}(2p + 1), K), puisque q est impair. Par conséquent, ni V_{(p+q+1 , p+q)} , ni V_{(p+q , p+q , 1)} ne sont des facteurs directs du module M , ce qui prouve que le KS_{n}-module H_{1}( D_{p}(n) , K ) est non nul.

Supposons à présent p ≡ 1 mod 4 . De ce fait, p ≥ 5 et

s = \frac{p − 1}{2} − 1  et  t = \frac{p − 1}{2} + 1

sont des entiers positifs impairs. Ainsi, les modules de Specht V_{(p+s , p−s)} et V_{(p+t , p−t)} sont tous deux des facteurs directs du KS_{2p}-module H̃_{0}( D_{p}(2p) , K ). En conséquence, par la formule de Pieri, le module V_{(p+t , p+s)} apparaît au moins deux fois dans la décomposition en modules simples du KS_{3p−1}-module

Res_{S_{3p−1}}^{S_{3p}} H̃_{1}(D_{p}(3p), K) ≅ H̃_{1}(D_{p}(3p − 1), K) ⊕ Ind_{S_{2p}×S_{p−1}}^{S_{3p−1}}( H̃_{0}(D_{p}(2p), K) ⊗ V_{(p−1)} ) .

On a déjà remarqué ci-dessus que le module M se décompose en modules de Specht V_{λ} avec l(λ) ≥ 3 . Par suite, on peut supposer que le module simple V_{(p+t , p+s , 1)} apparaît au moins deux fois dans la décomposition en modules simples du KS_{3p}-module H̃_{1}(D_{p}(3p), K) (car sinon il existerait un module de Specht V_{λ} facteur direct de H̃_{1}(D_{p}(3p), K) avec l(λ) = 2 et la preuve serait terminée). Mais V_{(p+t , p+s , 1)} n’apparaît qu’une fois dans la décomposition en modules simples du module M . En effet, si V_{λ} = V_{(λ_{1} , λ_{2} , λ_{3})} est un facteur direct du module

H_{1}( D_{p}(2p + 1) , K ) ≅ ⨁_{{i = 0 \atop i pair}}^{p−1} V_{(p+i , p−i , 1)}

tel que V_{(p+t , p+s , 1)} soit facteur direct du module Ind_{S_{2p+1}×S_{p−1}}^{S_{3p}}( V_{λ} ⊗ (p − 1) ), alors λ_{1} = p + i avec l’entier i pair et s ≤ i ≤ t. Or s + 1 = t − 1 = \frac{p − 1}{2} est l’unique entier vérifiant cette condition. De fait, la partition λ est déterminée de manière unique par λ = (p + s + 1 , p + s + 1 , 1) et donc le module de Specht V_{(p+t , p+s , 1)} n’apparaît qu’une fois dans la décomposition en modules simples du module M . En conclusion, le KS_{3p+1}-module H_{1}( D_{p}(3p + 1) , K ) ne peut pas être nul.

Dès lors, le groupe d’homologie entière H_{1}( D_{p}(3p + 1) ) n’est pas nul. Or ce dernier est isomorphe à l’abélianisé du groupe fondamental π_{1}( D_{p}(3p + 1) ). Par conséquent, le groupe π_{1}( D_{p}(3p + 1) ) est lui aussi non trivial.

Rappelons que ce paragraphe a pour objectif de démontrer le théorème 11.1 énoncé au début de ce paragraphe.

Preuve du théorème 11.1. Le cas où p = 2 a été réglé au début du paragraphe. C’est pourquoi on peut supposer le nombre premier p impair.

Si E_{p}(n) désigne l’ensemble ordonné D_{p}(3p + 1) , on sait par le théorème précédent que le groupe d’homologie H_{1}( D_{p}(3p + 1) ) n’est pas nul. En outre, en vertu de la proposition 4.6, l’ensemble ordonné D_{p}(3p) a le type d’homotopie d’un graphe connexe. En particulier, puisque la caractéristique d’Euler réduite χ̃( D_{p}(3p) ) est non nulle, le groupe d’homologie H_{1}( D_{p}(3p) ) n’est pas nul. Ce fait se confirme dans la surjection

π_{1}( D_{p}(3p) ) ⟶ ⟶ π_{1}( D_{p}(3p + 1) ) ,

déduite du lemme 10.1.

Si p = 3 , on sait que D_{3}(n) ≅ T_{3}(n) et par la proposition 8.8, on sait que le complexe de Quillen Δ( A_{3}(S_{n}) ) a le même type d’homotopie que le wedge de Δ( D_{3}(n) ) et d’un bouquet de cercles. On en déduit en particulier que le groupe d’homologie H_{1}( A_{3}(S_{n}) ) est non nul.

De p ≥ 5 et 3p ≤ n ≤ 3p+1 , on déduit que n < p^{2} . Par suite, en vertu du corollaire 3.3, les ensembles ordonnés A_{p}(S_{n}) et T_{p}(n) ont le même type d’homotopie. Ainsi, il suffit, pour conclure, de montrer que les groupes d’homologie H_{1}( T_{p}(3p) ) et H_{1}( T_{p}(3p + 1) ) ne sont pas nuls. Par la proposition 4.5, on sait que le groupe H_{1}( D_{p}(n) ) est facteur direct du groupe H_{1}( T_{p}(n) ). Or, en vertu de l’exemple 4.7, l’ensemble ordonné D_{p}(3p) a le type d’homotopie d’un bouquet de cercles et le théorème 11.12 nous dit que le groupe d’homologie H_{1}( D_{p}(3p + 1) ) n’est pas nul. En conclusion, les groupes d’homologie H_{1}( T_{p}(3p) ) et H_{1}( T_{p}(3p + 1) ) sont donc eux aussi non nuls.

Les résultats obtenus dans ce chapitre (particulièrement les théorème 10.6, 10.7 et 11.1) démontrent le théorème suivant. Ce dernier constitue le résultat le plus important de ce travail.

(11.15) Théorème. Soient p un nombre premier et n un entier > p. Si p ≥ 3 , le complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) est simplement connexe si et seulement si 3p + 2 ≤ n < p^{2} ou n ≥ p^{2} + p. (Remarquer que la condition 3p + 2 ≤ n < p^{2} implique p ≥ 5 .) En outre, si p = 2 , ΔA_{2}(S_{n}) est simplement connexe si et seulement si n = 4 ou n ≥ 7 .

§ 12 k-CONNEXITÉ

Un complexe simplicial C est dit k-connexe, où k désigne un entier ≥ 1 , s’il est simplement connexe et si tous ses groupes d’homologie réduite sont nuls jusqu’à k, c’est-à-dire

π_{1}(C ) = 1  et  H̃_{l}(C ) = 0 , quel que soit l’entier l ≤ k .

Par extension, un complexe simplicial C est dit 0-connexe s’il est connexe et (−1)-connexe s’il est non vide. Soient p un nombre premier et n un entier. Nous savons que si n > 3p + 1 , le complexe des pcycles ΔT_{p}(n) et le complexe des p-partitions ΔD_{p}(n) sont 1-connexes. Grâce aux suites exactes longues de groupes d’homologie des théorèmes 5.8 et 5.14, nous allons, dans ce paragraphe, généraliser ces résultats. Plus précisément, nous allons démontrer un critère de k-connexité pour les ensembles ordonnés T_{p}(n) et D_{p}(n) .

§12 . k-connexité 77

(12.1) Théorème. Soient p un nombre premier et k un entier ≥ 0 . Si n > (3p + 1) + k(2p − 1) , l’ensemble ordonné T_{p}(n) est (k + 1)-connexe.

Preuve. Montrons, par récurrence sur k, que le groupe d’homologie H̃_{k+1}( T_{p}(n) ) est nul si l’entier n > (3p + 1) + k(2p − 1) . Si k = 0 et n > 3p + 1 , alors effectivement, par le théorème 9.4, on sait que H_{1}( T_{p}(n) ) = 0 .

Supposons à présent k ≥ 1 et

H̃_{l+1}( T_{p}(n) ) = 0 si 0 ≤ l < k et n > (3p + 1) + l(2p − 1) .

Soit alors un entier n > (3p + 1) + k(2p − 1) . Par le théorème 5.8, on a, pour tout s = 1, 2, …, p, la suite exacte

\begin{aligned}… & → H̃_{k+1}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) → H̃_{k+1}( CT_{p}(n)_{≤s} ) → ⨁_{{j = n−p(s+1)+s \atop j ≥ 0}}^{n−ps}( ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s} ; ♯( \overline{Supp(υ)∪ℕ_{p}} ) = j} H̃_{k−s+1}( CT_{p}(j) )) \\ & → H̃_{k}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) → H̃_{k}( CT_{p}(n)_{≤s} ) → …, \end{aligned}

où CT_{p}(n) désigne le complexe simplicial défini à la remarque 3.1, qui a le même type d’homotopie que l’ensemble ordonné T_{p}(n) , et où CT_{p}(n)_{≤s} désigne le s-ème terme de la filtration considérée au paragraphe 5 ( 0 ≤ s ≤ p). Si s et u sont deux entiers tels que

1 ≤ s ≤ p et ps ≤ u ≤ p(s + 1) − s ,

l’inégalité n > (3p + 1) + k(2p − 1) peut se récrire

n − u > (3p + 1) + (k − s)(2p − 1) + s(2p − 1) − u .

De plus, puisque u ≤ p(s + 1) − s, on a

s(2p − 1) − u ≥ s(2p − 1) − p(s + 1) + s = ps − p ≥ 0 .

Dès lors, l’inégalité suivante est vérifiée :

(12.2)  n − u > (3p + 1) + (k − s)(2p − 1) .

Ainsi, de l’hypothèse de récurrence et de l’inégalité 12.2, on déduit que, pour tout entier s = 1, 2, …, p,

⨁_{{j = n−p(s+1)+s \atop j ≥ 0}}^{n−ps}( ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s} ; ♯( \overline{Supp(υ)∪ℕ_{p}} ) = j} H̃_{k−s+1}( CT_{p}(j) )) = 0 .

Par conséquent, la suite exacte décrite ci-dessus, prouve l’existence d’une surjection

H̃_{k+1}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) ⟶ ⟶ H̃_{k+1}( CT_{p}(n)_{≤s} ) , quel que soit s = 1, 2, …, p .

Or, par le lemme 5.5, le complexe simplicial CT_{p}(n)_{≤0} est contractile. Par suite, en raisonnant par récurrence sur l’entier s = 1, 2, …, p, on montre très facilement que

H̃_{k+1}( CT_{p}(n)_{≤s} ) = 0 , quel que soit s = 0, 1, 2, …, p .

En particulier, on en tire

H̃_{k+1}( T_{p}(n) ) ≅ H̃_{k+1}( CT_{p}(n) ) = H̃_{k+1}( CT_{p}(n)_{≤p} ) = 0 . En résumé, on a montré que le groupe d’homologie H̃_{k+1}( T_{p}(n) ) est nul si n > (3p + 1) + k(2p − 1) .

Mais si n > (3p + 1) + k(2p − 1) , alors à fortiori, on a aussi n > (3p + 1) + l(2p − 1) , quel que soit l = 0, 1, …, k. Par conséquent, les groupes H̃_{l+1}( T_{p}(n) ), pour l = 0, 1, …, k, sont aussi nuls. En outre, puisque n > 3p + 1 , on sait, grâce au théorème 9.4, que l’ensemble ordonné T_{p}(n) est simplement connexe. En conclusion, on peut donc affirmer que ce dernier est (k + 1)-connexe.

Si n < p^{2} , nous savons que le complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) a le même type d’homotopie que le complexe des p-cycles ΔT_{p}(n) . On en déduit le corollaire suivant.

(12.3) Corollaire. Soient p un nombre premier et k un entier ≥ 0 . Si n est un entier tel que (3p + 1) + k(2p − 1) < n < p^{2} , alors l’ensemble ordonné A_{p}(S_{n}) est (k + 1)-connexe.

Preuve. Ce résultat est une conséquence immédiate du corollaire 3.3 et du théorème 12.1 ci-dessus.

L’hypothèse n < p^{2} est bien entendu indispensable. On a vu, dans la proposition 8.8 que les p-sous-groupes relativement transitifs de rang 2 sont maximaux dans A_{p}(S_{n}) si p^{2} ≤ n < p^{2} + p, et qu’ils sont à l’origine du fait que l’ensemble ordonné A_{p}(S_{n}) n’est alors pas simplement connexe. On peut facilement imaginer que ce phénomène se généralise avec l’apparition de p-sous-groupes relativement transitifs de rang r ≥ 3 dans A_{p}(S_{p^{r}}) .

Comme annoncé au début de ce paragraphe, il nous est aussi possible de donner un critère de k-connexité pour l’ensemble ordonné D_{p}(n) .

(12.4) Théorème. Soient p un nombre premier et k un entier ≥ 0 . Si n > (3p + 1) + k(2p − 1) , l’ensemble ordonné D_{p}(n) est (k + 1)-connexe.

Preuve. La démonstration de ce théorème est analogue à celle du théorème 12.1. Dit autrement, ce résultat se déduit des théorèmes 5.14 et 10.3, en raisonnant par récurrence sur l’entier k.

Par les théorèmes 12.1 et 12.4, on sait, par exemple, que les ensembles ordonnés T_{p}(n) et D_{p}(n) sont 2-connexes si n > 5p. Il est alors naturel de se demander si cette borne est optimale. Les ensembles ordonnés T_{p}(5p) et D_{p}(5p) ne sont-ils pas eux-aussi 2 -connexes ? Autrement dit, peut-on espérer affiner les critères de k-connexité décrits ci-dessus ? La suite de ce paragraphe vise à résoudre ce problème.

Pour un nombre premier p et un entier k ≥ −1 , on définit la borne de k-connexité du complexe des p-cycles comme étant le nombre θ_{p}(k) défini par

θ_{p}(k) = min { m ∈ ℕ | T_{p}(n) est k-connexe, quel que soit n ≥ m } .

En vertu du théorème 12.1, ce nombre est bien défini. Plus précisément, on a

θ_{p}(k) ≤ (3p + 1) + k(2p − 1) .

En outre, on sait déjà que

(12.5)  θ_{p}(−1) = p  ,  θ_{p}(0) = 2p + 1  et  θ_{p}(1) = 3p + 2 .

Pour k ≥ 2 , l’égalité suivante est-elle encore vérifiée :

(12.6)  θ_{p}(k) = θ_{p}(k − 1) + (p + 1) ?

A défaut de répondre à cette question, nous allons démontrer la proposition qui suit.

(12.7) Proposition. Soient p un nombre premier et k un entier ≥ 0 . On a

θ_{p}(k − 1) + (p − 1) ≤ θ_{p}(k) ≤ θ_{p}(k − 1) + (2p − 1) .

Preuve. Montrons tout d’abord la première inégalité. Soit n ≥ θ_{p}(k) et montrons que l’ensemble ordonné T_{p}(n − p + 1) est alors (k − 1)-connexe. Au vu des égalités 12.5, on peut supposer k ≥ 2 et donc n ≥ 3p + 2 . Par la proposition 3.10, on a la suite exacte suivante

\begin{aligned}… & → H_{k+1}( T_{p}(n + 1) ) → ⨁^{t} H_{k}( T_{p}(n − p + 1) ) → H_{k}( T_{p}(n) ) → H_{k}( T_{p}(n + 1) ) → … \\ … & → H_{2}( T_{p}(n + 1) ) → ⨁^{t} H_{1}( T_{p}(n − p + 1) ) → H_{1}( T_{p}(n) ) → H_{1}( T_{p}(n + 1) ) → 0 , \end{aligned}

où t = \frac{(n − 1)!}{(p − 1)(n − p)!} . Or, par hypothèse sur l’entier n, on a, pour tout l = 1, 2, …, k,

H_{l}( T_{p}(n + 1) ) = 0  et  H_{l}( T_{p}(n) ) = 0 .

On en déduit, via la suite exacte ci-dessus, que

H_{l}( T_{p}(n − p + 1) ) = 0 , pour tout l = 1, 2, …, k − 1 .

En outre, de n ≥ 3p+2 on tire que n−p+1 ≥ 2p+3 . En conséquence, on en déduit que n−p+1 ≥ 3p+2 (car on a vu au paragraphe précédent que si m désigne un entier tel que 2p + 3 ≤ m ≤ 3p + 1 , alors le groupe d’homologie H_{1}( T_{p}(m) ) est non nul). Ainsi le groupe fondamental π_{1}( T_{p}(n − p + 1) ) est trivial et par suite, l’ensemble ordonné T_{p}(n − p + 1) est (k − 1)-connexe, ce qui prouve l’inégalité

(12.8)  θ_{p}(k − 1) + (p − 1) ≤ θ_{p}(k) .

Montrons maintenant, par récurrence sur k ≥ 0 , que θ_{p}(k) ≤ θ_{p}(k − 1) + (2p − 1) . Cette partie de la preuve est similaire à la démonstration du théorème 12.1. Au vu de 12.5, cette inégalité est vérifiée pour 0 ≤ k ≤ 1 . Soit donc k ≥ 2 et supposons l’inégalité vérifiée pour tout l = 0, 1, …, k − 1 . Soit n ≥ θ_{p}(k − 1) + (2p − 1) . On veut montrer que T_{p}(n) est k-connexe. Mais puisque n ≥ θ_{p}(k − 1) , il ne nous reste plus qu’à montrer que le groupe d’homologie H̃_{k}( T_{p}(n) ) est nul. Soient s et u deux entiers tels que

1 ≤ s ≤ p  et  ps ≤ u ≤ p(s + 1) − s .

En vertu de l’inégalité 12.8 déjà prouvée ci-dessus, on sait que

θ_{p}(k − 1) ≥ θ_{p}(k − s) + (p − 1)(s − 1) .

Dès lors, on peut écrire

n − u > θ_{p}(k − 1) + (2p − 1) − p(s + 1) + s ≥ θ_{p}(k − s) + (p − 1)(s − 1) + (2p − 1) − p(s + 1) + s = θ_{p}(k − s) .

Ainsi, de l’hypothèse de récurrence, on déduit que, pour tout entier s = 1, 2, …, p,

⨁_{{j = n−p(s+1)+s \atop j ≥ 0}}^{n−ps}( ⨁_{υ ∈ CT _{p}(n)_{=s}^{s} ; ♯( \overline{Supp(υ)∪ℕ_{p}} ) = j} H̃_{k−s}( CT_{p}(n − u) )) = 0 .

Du théorème 5.8, il s’ensuit qu’on a une surjection

H̃_{k}( CT_{p}(n)_{≤s−1} ) ⟶ ⟶ H̃_{k}( CT_{p}(n)_{≤s} ) , quel que soit s = 1, 2, …, p .

Or, le complexe simplicial CT_{p}(n)_{≤0} est contractile. Par suite, en raisonnant par récurrence sur l’entier s = 1, 2, …, p, on conclut que

H̃_{k}( T_{p}(n) ) ≅ H̃_{k+1}( CT_{p}(n) ) = H̃_{k}( CT_{p}(n)_{≤p} ) = 0 .

(12.9) Remarque. Le théorème 12.1 est en fait une conséquence de la proposition 12.7. Toutefois, il ne faut pas oublier que c’est grâce à ce théorème 12.1, que l’on sait que les bornes de k-connexité θ_{p}(k) existent bel et bien.

Il existe un résultat correspondant à la proposition 12.7 pour l’ensemble ordonné D_{p}(n) . Pour un nombre premier p et un entier k ≥ −1 , on définit la borne de k-connexité du complexe des p-partitions comme étant le nombre δ_{p}(k) défini par

δ_{p}(k) = min { m ∈ ℕ | D_{p}(n) est k-connexe, quel que soit n ≥ m } .

En vertu du théorème 12.4, ce nombre est bien défini. On sait déjà que

(12.10)  δ_{p}(−1) = p  ,  δ_{p}(0) = 2p + 1  et  δ_{p}(1) = 3p + 2 .

(12.11) Proposition. Soient p un nombre premier et k un entier ≥ −1 . On a

δ_{p}(k − 1) + (p − 1) ≤ δ_{p}(k) ≤ δ_{p}(k − 1) + (2p − 1) .

Preuve. Le résultat cherché se déduit de la proposition 4.9 et du théorème 5.14, de manière similaire à ce qui a été fait dans la démonstration de la proposition 12.7.

De manière générale, la question 12.6 reste sans réponse. Toutefois, dans le cas particulier où p = 2 , la réponse est positive. La proposition suivante le prouve. Elle est la conséquence de résultats beaucoup plus précis démontrés par Bouc.

(12.12) Proposition. Quel que soit l’entier k ≥ −1 , on a

δ_{2}(k) = 3k + 5 .

Preuve. Raisonnons par récurrence sur k. Pour −1 ≤ k ≤ 1 , l’égalité cherchée est prouvée par 12.10. Soit à présent k ≥ 2 et supposons le résultat prouvé pour k − 1 . En vertu de la proposition 12.11, on sait que

3k + 3 ≤ δ_{2}(k) ≤ 3k + 5 .

Or Bouc a montré ( [BO3 , Proposition 7 ] ) que le groupe d’homologie H̃_{k}( D_{2}(3k + 4) ) est cyclique d’ordre 3 si k ≥ 1 . Dès lors, l’ensemble ordonné D_{2}(3k + 4) n’est pas k-connexe et la conclusion est immédiate.

Calculs explicites

Dans ce chapitre, nous précisons quelques résultats facilement déductibles des chapitres précédents. Par exemple, nous verrons que si p est un nombre premier ≥ 5 et n un entier tel que 3p + 2 ≤ n ≤ 4p − 1 , le complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) a le type d’homotopie d’un bouquet de sphères de dimension 2 . Par contre, l’ensemble ordonné A_{3}(S_{11}) a le type d’homotopie d’un bouquet de sphères de dimensions 1 et 2 . En outre, les valeurs numériques calculées dans ce chapitre permettent de se faire une idée de la taille des complexes simpliciaux ΔA_{p}(S_{n}) , ΔT_{p}(n) ou ΔD_{p}(n) .

Finalement, au dernier paragraphe, nous expliquerons comment il est possible de calculer l’invariant de Lefschetz des ensembles ordonnés D_{p}(n) et T_{p}(n) .

§ 13 LE COMPLEXE DES p-PARTITIONS

Le tableau suivant nous donne les valeurs de χ̃( D_{p}(n) ) pour n ≤ 27 et p ≤ 7 . Elles ont été calculées à l’aide du programme PARI CALCULATOR.

(13.1)  χ̃( D_{p}(n) ) pour n ≤ 27 et p ≤ 7

p = 2  p = 3  p = 5  p = 7
n = 1  −1  −1  −1  −1
n = 2  0  −1  −1  −1
n = 3  2  0  −1  −1
n = 4  2  3  −1  −1
n = 5  −6  9  0  −1
n = 6  −16  9  5  −1
n = 7  20  −36  20  0
n = 8  132  −225  55  7
n = 9  −28  −477  125  35
n = 10  −1216  819  125  119
n = 11  −936  10944  −925  329
n = 12  12440  37179  −7525  791
n = 13  23672  −16875  −34750  1715
n = 14  −138048  −870507  −124125  1715
n = 15  −469456  −4253796  −249250  −19306
n = 16  1601264  −2481921  1013375  −194481
n = 17  9112560  101978919  14708875  −1147433
n = 18  −18108928  680495175  97413875  −5219137
n = 19  −182135008  1060229088  477236375  −19903261
n = 20  161934624  −16378166061  1443329375  −66434641
n = 21  3804634784  −145672249311  −3466472500  −132908041
n = 22  404007680  −368320357791  −91499089375  914712743
n = 23 −83297957568  3415036002300  −804081585000  15425523596
n = 24 −92590134208  40270115077983  −5030009685625 131255442647
n = 25 1906560847424  141926533828299  −20366827624375 833730406299
n = 26 4221314202624  −882584266861701  23484049500625 4358597929399
n = 27 −45349267830400 −13970371667206176 1391395435656875 19653845326829

Soient p un nombre premier et n un entier.

Si n ≤ 3p, le type d’homotopie du complexe des p-partitions ΔD_{p}(n) est décrit explicitement à l’exemple 4.7. Au vu du tableau ci-dessus, on remarque que si p ≤ 7 , les caractéristiques d’Euler réduites χ̃( D_{p}(2p − 1) ) et χ̃( D_{p}(2p) ) sont égales si p ≤ 7 . Il est en fait facile de montrer que les ensembles ordonnés D_{p}(2p − 1) et D_{p}(2p) ont le même type d’homotopie quel que soit le nombre premier p.

Si n = 3p + 1 , on sait, en vertu de la proposition 6.2 et du théorème 11.12, que D_{p}(n) admet deux groupes d’homologie réduite non nuls qui sont

H̃_{1}( D_{p}(3p + 1) ) ≠ 0  et  H̃_{2}( D_{p}(3p + 1) ) ≠ 0 .

(13.2) Proposition. Si 3p + 2 ≤ n ≤ 4p, l’ensemble ordonné D_{p}(n) a le type d’homotopie d’un bouquet de χ̃( D_{p}(n) ) sphères de dimension 2 .

Preuve. Si 3p + 2 ≤ n ≤ 4p − 1 , l’ensemble ordonné D_{p}(n) est simplement connexe de dimension 2 (confer théorème 10.3). Si n = 4p, l’ensemble ordonné D_{p}(n) a aussi le type d’homotopie d’un complexe simplicial simplement connexe de dimension 2 (confer proposition 4.6). Par conséquent, quel que soit l’entier n tel que 3p + 2 ≤ n ≤ 4p, le groupe H̃_{2}( D_{p}(n) ) est le seul groupe d’homologie réduite non nul de D_{p}(n) . Autrement dit, le complexe simplicial ΔD_{p}(n) est un espace de Moore et son type d’homotopie est déterminé par le couple ( H̃_{2}( D_{p}(n) ) , 2 ) (confer [BAU , section 6 ]). Or le groupe H̃_{2}( D_{p}(n) ) est un groupe abélien libre à χ̃( D_{p}(n) ) générateurs. On en déduit donc que

D_{p}(n) ≃ χ̃( D_{p}(n) ) ; ⋁ S^{2} .

§ 14 LE COMPLEXE DES p-CYCLES

Le tableau suivant nous donne les valeurs de χ̃( T_{p}(n) ) pour n ≤ 27 et p ≤ 7 . Elles ont été calculées à l’aide du programme PARI CALCULATOR.

(14.1)  χ̃( T_{p}(n) ) pour n ≤ 27 et p ≤ 7
p = 2  p = 3  p = 5  p = 7
n = 1  −1  −1  −1  −1
n = 2  0  −1  −1  −1
n = 3  2  0  −1  −1
n = 4  2  3  −1  −1
n = 5  −6  9  5  −1
n = 6  −16  9  35  −1
n = 7  20  −36  125  119
n = 8  132  −225  335  959
n = 9  −28  −477  755  4319
n = 10  −1216  819  −3025  14399
n = 11  −936  10944  −47125  39599
n = 12  12440  37179  −294625  95039
n = 13  23672  −16875  −1289575  205919
n = 14  −138048  −870507  −4528525  −24298561
n = 15  −469456  −4253796  13639625  −369883801
n = 16  1601264  −2481921  399593375  −2963875201
n = 17  9112560  101978919  3616898375  −16800738241
n = 18  −18108928  680495175  22032029375  −75610005121
n = 19  −182135008  1060229088  105175748375  −287326484641
n = 20  161934624  −16378166061  −212027370625  −957765801601
n = 21  3804634784  −145672249311  −11828206781875  112059701121599
n = 22  404007680  −368320357791  −141711027428125  2520624650417279
n = 23 −83297957568  3415036002300  −1108696796696875  29057859095082839
n = 24 −92590134208  40270115077983  −6696684307860625  232575953880790079
n = 25 1906560847424  141926533828299  6821332733706875  1453792463792723999
n = 26 4221314202624  −882584266861701  904582227478019375 7560054915383255999
n = 27 −45349267830400 −13970371667206176 13616061387780831875 34020825375695043599

Soient p un nombre premier et n un entier. Si p = 2 ou p = 3 , on sait alors que les ensembles ordonnés D_{p}(n) et T_{p}(n) sont isomorphes, c’est pourquoi on suppose p ≥ 5 dans la suite de ce paragraphe.

Si n < 3p, le type d’homotopie de l’ensemble ordonné T_{p}(n) est décrit explicitement à l’exemple 3.7.

Si 3p ≤ n ≤ 3p + 1 , le complexe des p-cycles ΔT_{p}(n) est de dimension 2 et, en vertu du corollaire 6.5 et du théorème 11.1, il admet deux groupes d’homologie réduite non nuls qui sont

H̃_{1}( T_{p}(n) ) ≠ 0  et  H̃_{2}( T_{p}(n) ) ≠ 0 .

Plus précisément, si n = 3p, on connaît le rang libre de chacun de ces deux groupes d’homologie. En effet, le rang du groupe abélien libre H̃_{2}( T_{p}(3p) ) est donné à la proposition 7.6 et on a

ranglibre( H̃_{1}( T_{p}(3p) ) ) = rang( H̃_{2}( T_{p}(3p) ) ) − χ̃( T_{p}(3p) ) .

(14.2) Proposition. Si 3p + 2 ≤ n ≤ 4p − 1 , l’ensemble ordonné T_{p}(n) a le type d’homotopie d’un bouquet de χ̃( T_{p}(n) ) sphères de dimension 2 .

Preuve. Soit n un entier tel que 3p + 2 ≤ n ≤ 4p − 1 . L’ensemble ordonné T_{p}(n) est simplement connexe de dimension 2 (confer théorème 9.4). Par conséquent, le groupe H̃_{2}( T_{p}(n) ) est le seul groupe d’homologie réduite non nul de T_{p}(n) . Autrement dit, le complexe simplicial ΔT_{p}(n) est un espace de Moore. Or le groupe H̃_{2}( T_{p}(n) ) est un groupe abélien libre à χ̃( T_{p}(n) ) générateurs. Ainsi, par unicité à homotopie près des espaces de Moore, on en déduit que

T_{p}(n) ≃ χ̃( T_{p}(n) ) ; ⋁ S^{2} .

Si n = 4p, l’ensemble ordonné T_{p}(4p) est simplement connexe de dimension 3 . Par la proposition 13.2, le groupe d’homologie H_{2}( D_{p}(4p) ) est non nul, et en vertu de la proposition 4.5, il en est de même du groupe H_{2}( T_{p}(4p) ). Par suite, l’ensemble ordonné T_{p}(4p) admet deux groupes d’homologie réduite non nuls qui sont

H̃_{2}( T_{p}(4p) ) ≠ 0  et  H̃_{3}( T_{p}(4p) ) ≠ 0 .

Plus précisément, le rang du groupe abélien libre H̃_{3}( T_{p}(4p) ) est donné à la proposition 7.6 et on a

ranglibre( H̃_{2}( T_{p}(4p) ) ) = rang( H̃_{3}( T_{p}(4p) ) ) + χ̃( T_{p}(4p) ) .

§ 15 LE COMPLEXE DE QUILLEN DU GROUPE SYMÉTRIQUE

Par souci de clarté, nous allons distinguer, dans ce paragraphe, les cas p = 2 , p = 3 et p ≥ 5 .

Soient p = 2 et n un entier.

Si n ≤ 6 , alors, par l’exemple 2.12, le type d’homotopie du complexe de Quillen ΔA_{2}(S_{n}) est connu.

(15.1) Proposition. Le type d’homotopie de l’ensemble ordonné A_{2}(S_{7}) est donné par

A_{2}(S_{7}) ≃ ⋁^{160} S^{2} .

Preuve. En vertu de la proposition 11.2, l’ensemble ordonné A_{2}(S_{7}) est simplement connexe de dimension 2 . Par conséquent, le complexe simplicial ΔA_{2}(S_{7}) est un espace de Moore caractérisé, à homotopie près, par son unique groupe d’homologie réduite non nul H̃_{2}( A_{2}(S_{7}) ). Or, en consultant le tableau établi par Bouc à la fin de son article [BO4 , section 5.6 ], on trouve que χ̃( A_{2}(S_{7}) ) = 160 et on en déduit que le groupe abélien libre H̃_{2}( A_{2}(S_{7}) ) est de rang 160 . La conclusion est alors immédiate.

Si 8 ≤ n ≤ 9 , le complexe de Quillen ΔA_{2}(S_{n}) est simplement connexe de dimension 3 . Ainsi ses seul groupes d’homologie éventuellement non nuls sont H̃_{2}( A_{2}(S_{n}) ) et H̃_{3}( A_{2}(S_{n}) ). En outre, par les calculs de Bouc [BO4 , section 5.6 ], on sait que χ̃( A_{2}(S_{8}) ) = 512 et χ̃( A_{2}(S_{9}) ) = −640 . Dès lors, on peut affirmer que

H̃_{2}( A_{2}(S_{8}) ) ≠ 0  et  H̃_{3}( A_{2}(S_{9}) ) ≠ 0 .

Soient p = 3 et n un entier.

Si n ≤ 6 , alors, par l’exemple 2.10, le type d’homotopie du complexe de Quillen ΔA_{3}(S_{n}) est connu.

(15.2) Proposition. L’ensemble ordonné A_{3}(S_{7}) , respectivement A_{3}(S_{8}) , a le type d’homotopie d’un bouquet de 36 , respectivement 225 cercles.

Preuve. Si 7 ≤ n ≤ 8 , le complexe simplicial ΔA_{3}(S_{n}) a le type d’homotopie d’un graphe connexe et sa caractéristique d’Euler est donnée par la formule du corollaire 3.6.

(15.3) Proposition. L’ensemble ordonné A_{3}(S_{9}) a le type d’homotopie d’un bouquet de 2997 cercles.

Preuve. En conséquence de la proposition 6.7, le complexe simplicial ΔA_{3}(S_{9}) a le type d’homotopie d’un graphe connexe. De plus, par la proposition 8.8, on a

Δ( A_{3}(S_{9}) ) ≃ Δ( D_{3}(9) ) ∨ ( ⋁^{2520} S^{1} ) ,

et on sait que Δ( D_{3}(9) ) a le type d’homotopie d’un bouquet de 477 cercles (voir exemple 4.7 et tableau 13.1 ). Dès lors, la conclusion s’ensuit naturellement.

Si n = 10 , on sait, par la proposition 8.8, que

Δ( A_{3}(S_{10}) ) ≃ Δ( D_{3}(10) ) ∨ ( ⋁^{29400} S^{1} ) .

En outre, en vertu de la proposition 6.2, le groupe H_{2}( D_{3}(10) ) est non nul. Par suite, l’ensemble ordonné A_{3}(S_{10}) admet deux groupes d’homologie réduite non nuls qui sont

H̃_{1}( A_{3}(S_{10}) ) ≠ 0  et  H̃_{2}( A_{3}(S_{10}) ) ≠ 0 .

(15.4) Proposition. Le type d’homotopie du complexe de Quillen ΔA_{3}(S_{11}) est donné par

Δ( A_{3}(S_{11}) ) ≃ ( ⋁^{138600} S^{1} ) ∨ ( ⋁^{10944} S^{2} ) .

Preuve. Grâce à la proposition 8.8, on sait que

Δ( A_{3}(S_{11}) ) ≃ Δ( D_{3}(11) ) ∨ ( ⋁^{138600} S^{1} ) .

La proposition 13.2 et le tableau 13.1 permettent alors de conclure.

(15.5) Proposition. L’ensemble ordonné A_{3}(S_{12}) a le type d’homotopie d’un bouquet de 37179 sphères de dimension 2 .

Preuve. En vertu de la proposition 6.7 et du théorème 10.6, le complexe simplicial ΔA_{3}(S_{12}) est un espace de Moore, dont l’unique groupe d’homologie réduite non nul est H̃_{2}( A_{3}(S_{12}) ). Or, en consultant le tableau [BO4 , section 5.6 ], on trouve que χ̃( A_{3}(S_{12}) ) = 37179 et on en déduit que le groupe abélien libre H̃_{2}( A_{3}(S_{12}) ) est de rang 37179 . La conclusion est alors immédiate.

(15.6) Remarque. Grâce à la proposition 13.2 et au tableau 13.1, on sait que l’ensemble ordonné D_{3}(12) a le type d’homotopie d’un bouquet de 37179 sphères de dimension 2 . Par suite, en vertu de la proposition 15.5 ci-dessus, les ensembles ordonnés D_{3}(12) et A_{3}(S_{12}) ont le même type d’homotopie. Il en est d’ailleurs de même des ensembles D_{2}(6) et A_{2}(S_{6}) . En fait, il est possible de montrer de manière directe que si p = 2 ou p = 3 , l’inclusion i : D_{p}(p^{2} + p) ↪ A_{p}(S_{p^{2}+p}) est une équivalence d’homotopie. Ce phénomène est exceptionnel. Les complexes simpliciaux ΔT_{p}(p^{2} + p) et ΔA_{p}(S_{p^{2}+p}) n’ont certainement plus le même type d’homotopie lorsque p ≥ 5 .

Si 13 ≤ n ≤ 14 , les seuls groupes d’homologie réduite non nuls du complexe de Quillen ΔA_{3}(S_{n}) sont

H̃_{2}( A_{3}(S_{n}) ) ≠ 0  et  H̃_{3}( A_{3}(S_{n}) ) ≠ 0 .

En effet, puisque l’ensemble A_{3}(S_{n}) est simplement connexe de dimension 3 , ses seuls groupes d’homologie réduite éventuellement non nuls sont les groupes H̃_{2}( A_{3}(S_{n}) ) et H̃_{3}( A_{3}(S_{n}) ). Le premier est non nul car par le tableau [BO4 , section 5.6 ], on sait que

χ̃( A_{3}(S_{13}) ) = 5388525 > 0  et  χ̃( A_{3}(S_{14}) ) = 44534853 > 0 .

Le second est non nul par le corollaire 6.5.

Si n = 15 , le complexe de Quillen ΔA_{3}(S_{15}) a, en vertu de la proposition 6.7, le type d’homotopie d’un complexe simplicial simplement connexe de dimension 3 , et

H̃_{3}( A_{3}(S_{15}) ) ≠ 0 .

Son unique autre groupe d’homologie réduite éventuellement non nul est le groupe H̃_{2}( A_{3}(S_{15}) ).

Soient p un nombre premier ≥ 5 et n un entier. On sait que si n < p^{2} , les ensembles ordonnés T_{p}(n) et A_{p}(S_{n}) ont le même type d’homotopie. En particulier, le corollaire 3.6 met en évidence que leurs caractéristiques d’Euler réduites sont alors égales et en recopiant les résultats énoncés au paragraphe 14 , on trouve les énoncés suivants.

Si n ≤ 2p, le type d’homotopie du complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) est connu (confer exemple 2.10).

§16 . Invariants de Lefschetz du complexe des p-partitions et du complexe des p-cycles 87

(15.7) Proposition. Si p ≥ 5 et 2p + 1 ≤ n ≤ 3p − 1 , l’ensemble ordonné A_{p}(S_{n}) a le type d’homotopie d’un bouquet de χ̃( A_{p}(S_{n}) ) cercles.

Si 3p ≤ n ≤ 3p + 1 , le complexe de Quillen ΔA_{p}(S_{n}) est de dimension 2 et il admet deux groupes d’homologie réduite non nuls qui sont

H̃_{1}( A_{p}(S_{n}) ) ≠ 0  et  H̃_{2}( A_{p}(S_{n}) ) ≠ 0 .

Plus précisément, dans le cas où n = 3p, on connaît le rang libre de chacun de ces deux groupes d’homologie. En effet, le rang du groupe abélien libre H̃_{2}( A_{p}(S_{3p}) ) est donné au corollaire 8.3 et on a

ranglibre( H̃_{1}( A_{p}(S_{3p}) ) ) = rang( H̃_{2}( A_{p}(S_{3p}) ) ) − χ̃( A_{p}(S_{3p}) ) .

(15.8) Proposition. Si p ≥ 5 et 3p + 2 ≤ n ≤ 4p − 1 , l’ensemble ordonné A_{p}(S_{n}) a le type d’homotopie d’un bouquet de χ̃( A_{p}(S_{n}) ) sphères de dimension 2 .

Si n = 4p, l’ensemble ordonné A_{p}(S_{4p}) est simplement connexe de dimension 3 . Par suite, il admet deux groupes d’homologie réduite non nuls qui sont

H̃_{2}( A_{p}(S_{4p}) ) ≠ 0  et  H̃_{3}( A_{p}(S_{4p}) ) ≠ 0 .

Plus précisément, le rang du groupe abélien libre H̃_{3}( A_{p}(S_{4p}) ) est donné au corollaire 8.3 et on a

rang( H̃_{2}( A_{p}(S_{4p}) ) ) = rang( H̃_{3}( A_{p}(S_{4p}) ) ) + χ̃( A_{p}(S_{4p}) ) .

§ 16 INVARIANTS DE LEFSCHETZ DU COMPLEXE DES p-PARTITIONS ET DU COM-PLEXE DES p-CYCLES

Si p désigne un nombre premier, il est possible de calculer sous forme d’une série les invariants de Lefschetz des ensembles ordonnés D_{p}(n) ( n ≥ 0 ), respectivement des ensembles ordonnés T_{p}(n) ( n ≥ 0 ). Pour ce faire, nous reprenons les notations de l’article [BO4], où sont définis notamment l’anneau B = B (1) et l’exponentielle Exp.

Soit G un groupe. On note B(G) l’anneau de Burnside de G à coefficients entiers, doté de sa base standard formée des G/H , où H décrit les sous-groupes de G à conjugaison près. Si X est un G-ensemble ordonné, on note Λ_{X} l’invariant de Lefschetz de X , à savoir

Λ_{X} = ∑_{n≥0} (−1)^{n} X_{n} ∈ B(G) ,

où, pour tout n ≥ 0 , X_{n} désigne le G-ensemble des simplexes de dimension n dans ΔX . On définit l’invariant de Lefschetz réduit Λ̃_{X} par

Λ̃_{X} = ∑_{n≥−1} (−1)^{n} X_{n} ∈ B(G) ,

où X_{−1} = { ∅ } désigne le G-ensemble trivial.

Considérons l’ensemble

B = ∏_{n≥0} B(S_{n}) où B(S_{0}) = B(S_{1}) = ℤ .

L’addition dans B est définie terme à terme par

(X_{k})_{k≥0} + (Y_{k})_{k≥0} = (X_{k} + Y_{k})_{k≥0} .

Il est alors légitime de noter ∑_{k≥0} X_{k} · T^{k} l’élément (X_{k})_{k≥0} de B . On définit le produit dans B en

posant

( ∑_{k≥0} X_{k} · T^{k} ) ( ∑_{l≥0} Y_{l} · T^{l} ) = ( ∑_{m≥0} Z_{m} · T^{m} )  où  Z_{m} = ∑_{k+l = m} Ind_{S_{k} × S_{l}}^{S_{k+l}} X_{k} · Y_{l} .

Avec ces définitions, il est facile de vérifier que B est un anneau commutatif unitaire. C’est en fait l’anneau B (G) défini au début de l’article [BO4] dans le cas particulier où G = 1 . On note J l’idéal de B donné par

J = { ∑_{k≥0} X_{k} · T^{k} ∈ B | X_{0} = 0 } .

L’application

Exp : J ⟶ B

est définie dans [BO4 , section 2 ]. Elle vérifie les propriétés exigées d’habitude d’une telle application.

Si p est un nombre premier et n un entier, B(S_{n}) désigne donc l’anneau de Burnside du groupe symétrique S_{n} et Λ̃_{D_{p}(n)} ∈ B(S_{n}) l’invariant de Lefschetz réduit du S_{n}-ensemble ordonné D_{p}(n) . Dans son article [BO3 , proposition 9 ], Bouc démontre la proposition suivante.

(16.1) Proposition. Dans l’anneau B , l’égalité suivante est vérifiée :

∑_{n≥0} Λ̃_{D_{2}(n)} · T^{n} = − Exp ( T − T^{2} ) .

En reprenant pas à pas la démonstration de cette proposition, il est possible de généraliser ce dernier résultat.

(16.2) Proposition. Soit p un nombre premier. Dans l’anneau B , l’égalité suivante est vérifiée :

∑_{n≥0} Λ̃_{D_{p}(n)} · T^{n} = − Exp ( T − T^{p}) .

En prenant les degrés des deux membres (confer [BO4]), on obtient le corollaire suivant :

(16.3) Corollaire. Soit p un nombre premier. Dans l’anneau ℚ[[T]] , l’égalité suivante est vérifiée :

∑_{n≥0} χ̃( D_{p}(n) ) · \frac{T^{n}}{n!} = − Exp ( T − \frac{T^{p}}{p!} ) .

Pour finir, on peut aussi, toujours par la même méthode, prouver la proposition suivante.

§16 . Invariants de Lefschetz du complexe des p-partitions et du complexe des p-cycles 89 (16.4) Proposition. Soit p un nombre premier. Dans l’anneau B , l’égalité suivante est vérifiée :

∑_{n≥0} Λ̃_{T_{p}(n)} · T^{n} = − Exp ( T − S_{p}/N_{S_{p}}(C_{p}) · T^{p} ) ,

où N_{S_{p}}(C_{p}) désigne le normalisateur d’un p-cycle dans le groupe symétrique S_{p} . En prenant les degrés des deux membres (confer [BO4]), on obtient : (16.5) Corollaire. Soit p un nombre premier. Dans l’anneau ℚ[[T]] , l’égalité suivante est vérifiée :

∑_{n≥0} χ̃( T_{p}(n) ) · \frac{T^{n}}{n!} = − Exp ( T − \frac{T^{p}}{p(p − 1)} ) .

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