LES CLASSES DE CHERN MODULO p D’UNE REPRÉSENTATION RÉGULIÈRE

BRUNO KAHN

Abstract. Let G be a finite group and ρ a complex linear representation of G. In 1961, Atiyah and Venkov independently defined Chern classes c_{i}(ρ) with values in the integral or mod p cohomology of G. We consider here the mod p Chern classes of the regular representation r_{G} of G. Venkov claimed that c_{i}(r_{G}) = 0 for i < p^{n} − p^{n−1}, where p^{n} is the highest power of p dividing |G|; however his proof is only valid for G elementary abelian. In this note, we show Venkov’s assertion is valid for any G. The proof also shows that the c_{i}(r_{G}) are p-powers of cohomology classes invariant by Aut(G) as soon as G is a non-abelian p-group.

Introduction

Soient G un groupe fini et ρ une représentation linéaire complexe de G. La définition des classes de Chern de ρ est généralement attribuée à Atiyah [1, appendice]. Toutefois, ces classes ont également été introduites par B.B. Venkov dans une note contemporaine [16].

Venkov annonce dans cette note un certain nombre de résultats^{1}. En particulier, soit r_{G} la représentation régulière de G. Venkov [16] annonce le théorème suivant:

0.1. Théorème. Soit p un nombre premier, et soit ν = v_{p}(|G|). Alors les classes de Chern c_{i}(r_{G}) ∈ H^{2i}(G, ℤ/p) de r_{G} à coefficients ℤ/p sont nulles pour i < p^{ν}, sauf peut-être si i est de la forme p^{ν} − p^{l} pour un l < ν.

Son esquisse de démonstration ne donne malheureusement le résultat annoncé que dans le cas où G est abélien élémentaire. Dans cet article, nous nous proposons de démontrer le théorème annoncé par Venkov. La méthode est inspirée de [7].

Je remercie Don Zagier pour son aide dans la démonstration du lemme 1.3 et le referee pour sa lecture soigneuse du manuscrit.

1. Classes de Chern modulo p d’un fibré vectoriel complexe

Soit E un fibré vectoriel complexe sur un espace topologique X, et soit p un nombre premier. Pour tout i ≥ 0, on note c_{i}(E) ∈ H^{2i}(X, ℤ/p) la i-ème classe de Chern modulo p de E.

1.1. Théorème. Supposons que c_{i}(E) = 0 pour i ≢ 0 (mod p − 1). Si les c_{i}(E) ne sont pas tous nuls, il existe ν > 0 tel que

(i) pour i < p^{ν} − p^{ν−1}, c_{i}(E) = 0; c_{p^{ν}−p^{ν−1}}(E) ≠ 0. (ii) P^{k}c_{p^{ν}−p^{ν−1}}(E) = \binom{p^{ν}−p^{ν−1}−1}{k}c_{p^{ν}−p^{ν−1}+(p−1)k}(E) pour 0 < k < p^{ν−1}, où P^{k} est la

k-ième puissance de Steenrod (P^{k} = Sq^{2k} si p = 2); (iii) pour p^{ν} − p^{ν−1} ≤ i < p^{ν}, c_{i}(E) = 0 si i n’est pas de la forme p^{ν} − p^{r} (r < ν).

1Certains sont manifestement erronés, comme celui affirmant que les classes de Chern de ρ et son degré déterminent la classe de ρ dans R(G).

Démonstration. Elle procède essentiellement comme dans [7, dém. de la prop. 1.1]. Pour simplifier, notons c_{i} = c_{i}(E); soit M le plus petit entier tel qu c_{M} ≠ 0. D’après [11, th. 2] (voir aussi [8]), on a

P^{k}c_{i} = \binom{i − 1}{k}c_{i+(p−1)k} + ∑_{0≤l<(p−1)k} c_{i+l}P_{l}(c)

où P_{l}(c) est un polynôme en les c_{j} isobare de poids (p − 1)k − l, donc ne faisant intervenir c_{j} que pour j ≤ (p − 1)k. On a donc, pour i < M:

\binom{i − 1}{k}c_{i+(p−1)k} = 0 pour 0 < k < \frac{M}{(p − 1)}

et pour i = M:

P^{k}c_{M} = \binom{M − 1}{k}c_{M+(p−1)k} pour 0 < k < \frac{M}{(p − 1)}.

Notons C_{i} = c_{(p−1)i}. Sous l’hypothèse du théorème, on a M = (p − 1)m pour un m convenable. Les relations ci-dessus donnent alors:

\binom{i(p − 1) − 1}{k}C_{i+k} = 0 pour 0 < i < m et 0 < k < m  (1)

et

P^{k}C_{m} = \binom{m(p − 1) − 1}{k}C_{m+k} pour 0 < k < m.  (2)

Prenant en particulier i = m − k dans (1), on obtient:

\binom{(m − k)(p − 1) − 1}{k} ≡ 0 (mod p) pour 0 < k < m.  (3)

1.2. Lemme. Tout entier m vérifiant la condition (3) est une puissance de p.

Démonstration. Écrivons m = m_{0}p^{n}, avec (m_{0}, p) = 1. Supposons m_{0} > 1. Choisissons k = p^{n} dans (3). En écrivant dans 𝔽_{p}[[t]]

(1 + t)^{p^{n}(m_{0}−1)(p−1)−1} = (1 + t^{p^{n}})^{(m_{0}−1)(p−1)}(1 − t + t^{2} − …)

on voit que le coefficient de t^{p^{n}} dans (1 + t)^{p^{r}(m_{0}−1)(p−1)−1} est (m_{0} − 1)(p − 1) + (−1)^{p^{n}}. Par hypothèse, on a donc:

(m_{0} − 1)(p − 1) + (−1)^{p^{n}} ≡ 0 (mod p)

ou encore

m_{0} ≡ 1 + (−1)^{p^{n}} ≡ 0 (mod p)

ce qui contredit l’hypothèse. On a donc m_{0} = 1 et m = p^{n}. □

Dans le théorème 1.1, (i) résulte du lemme 1.2 et (ii) résulte de (i) et de (2). Pour voir (iii), soit j ≤ 2p^{n} − 2 tel que C_{j} ≠ 0. En vertu de (1), on a alors:

\binom{(j − k)(p − 1) − 1}{k} ≡ 0 (mod p) pour j − p^{n} < k < p^{n}.  (4)

il suffit donc de prouver:

1.3. Lemme. Tout j ∈ [p^{n}, p^{n} +p^{n−1} +⋯+1] vérifiant (4) est de la forme p^{n} +p^{n−1} +⋯+p^{r}.

Démonstration. (Don Zagier) Soit r le plus petit entier tel que j ≤ p^{n} + p^{n−1} + ⋯ + p^{r}. On a donc

j = p^{n} + p^{n−1} + ⋯ + p^{r+1} + x

avec 0 < x ≤ p^{r}.

Supposons x < p^{r}. Choisissons k = p^{n−1} + p^{n−2} + ⋯ + p^{r}. Alors l’entier N = (j − k)(p − 1) − 1 vérifie l’inégalité

(p^{n} − p^{r})(p − 1) < N < p^{n}(p − 1)

donc a un développement en base p ayant pour chiffres

chiffre p − 2 p − 1 p − 1 … p − 1 c ∗  … ∗
place n n − 1 n − 2 … r + 1 r r − 1 … 0

avec c > 0, tandis que k a pour développement en base p

chiffre 0 1  1  … 1 1 0  … 0
place n n − 1 n − 2 … r + 1 r r − 1 … 0

On a donc

\binom{(j − k)(p − 1) − 1}{k} ≡ \binom{p − 2}{0}\binom{p − 1}{1}\binom{p − 1}{1} … \binom{p − 1}{1}\binom{c}{1}\binom{∗}{0} … \binom{∗}{0}

≢ 0 (mod p)

ce qui contredit l’hypothèse. □

2. L’invariant ν_{p}

Notation. Soit E un fibré vérifiant la condition du théorème 1.1. L’entier ν de ce théorème est noté ν_{p}(E). Si tous les c_{i}(E) sont nuls, on note ν_{p}(E) = ∞.

2.1. Proposition. Soit f : Y → X un revêtement fini, et soit E un fibré vectoriel complexe sur Y vérifiant les conditions du théorème 1.1. Soit ν = ν_{p}(E); supposons que rg E soit divisible par p^{ν}. Alors

(i) f_{∗}E vérifie les conditions du théorème 1.1. (ii) On a ν_{p}(f_{∗}E) ≥ ν_{p}(E). (iii) Soit r = p^{ν} − p^{ν−1}. Alors

c_{r}(f_{∗}E) = f_{∗}c_{r}(E).

Démonstration. Par un dévissage standard, on se ramène au cas où f est galoisien de degré p. Dans ce cas, on utilise la formule d’Evens-Kahn-Fulton-MacPherson [3], [4, th. 14.2]

c(f_{∗}E) = N (c(E)) + ∑_{i=0}^{n−1}((1 − μ^{p−1})^{n−i} − 1)N (c_{i}(E))  (5)

où n = rg E, N est le transfert multiplicatif d’Evens-Steiner [2], [15] et μ = c_{1}(L) avec f_{∗}1 = ⨁_{i=0}^{p−1} L^{⊗i} (1 est le fibré trivial de rang 1).

Pour voir (i), il suffit de vérifier que N (c(E)) ne fait intervenir que des classes de degré divisible par p − 1, ce qui résulte de [4, th. 8.1]. D’après [4, cor. 5.7], on a la formule

c_{i}(f_{∗}E) = f_{∗}c_{i}(E) + c_{i}(nf_{∗}1) pour i ≤ r.

Écrivons n = n_{0}p^{ν}. Alors c(nf_{∗}1) = (1−μ^{p−1})^{n} = (1−μ^{(p−1)p^{ν}})^{n_{0}}, donc c_{i}(nf_{∗}1) = 0 pour i < (p − 1)p^{ν}, ce qui démontre (ii) et (iii). □

2.2. Proposition. Soient p un nombre premier, X un espace topologique et E un fibré sur X vérifiant la condition du théorème 1.1, et tel que p^{ν_{p}(E)} | rg(E). Alors

ν_{p}(E ⊠ B(r_{ℤ/p})) = ν_{p}(E) + 1

où E ⊠ B(r_{ℤ/p}) est le produit tensoriel externe de E et de B(r_{ℤ/p}) sur l’espace X × Bℤ/p.

Démonstration. On peut écrire

r_{ℤ/p} = ⨁_{χ∈X(ℤ/p)}χ

où X(ℤ/p) est le groupe des caractères de ℤ/p. Choisissons un générateur τ de ce groupe. On a alors

c(E ⊠ B(r_{ℤ/p})) = c(E ⊠ ⨁_{i∈ℤ/p}B(τ^{i})) = ∏_{i∈ℤ/p}c(E ⊠ B(τ^{i})).

Soit n = rg E. On a

c(E ⊠ B(τ^{i})) = ∑_{j=0}^{n} c_{j}(E) × (1 + ic_{1}(τ))^{n−j}

où × désigne le cross-produit. Les termes de plus bas degré sont

(1 + ic_{1}(τ))^{n} + c_{r}(E)

où r = p^{ν_{p}(E)}−p^{ν_{p}(E)−1}. Par hypothèse sur n, les termes apparaissant dans (1+ic_{1}(τ))^{n}−1 sont tous de degré > r. On a donc

c(E ⊠ B(τ^{i})) ≡ 1 + c_{r}(E) (mod deg r + 1)

et

c(E ⊠ B(r_{ℤ/p})) ≡ (1 + c_{r}(E))^{p} ≡ 1 (mod deg r + 1).

Il reste à voir que c_{p^{ν+1}−p^{ν}}(E ⊠ B(r_{ℤ/p})) ≠ 0; pour cela, il suffit de vérifier que le coefficient numérique de c_{(p−1)p^{ν−1}}(E)⊠c_{1}(τ)^{(p−1)^{2}p^{ν−1}} dans sa décomposition de Künneth est ≠ 0. Or

c(E ⊠ B(r_{ℤ/p})) ≡ ∏_{i=0}^{p−1}((1 + ic_{1}(τ))^{n} + c_{r}(E) × (1 + ic_{1}(τ))^{n−r})

≡ ∏_{i=0}^{p−1}(1 + ic_{1}(τ))^{n} ∏_{i=0}^{p−1}(1 + c_{r}(E) × (1 + ic_{1}(τ))^{−r})

≡ (1 − c_{1}(τ)^{p−1})^{n}(1 + c_{r}(E) × ∑_{i=0}^{p−1}(1 + ic_{1}(τ))^{−r})

≡ (1 − c_{1}(τ)^{p^{ν+1}−p^{ν}})^{n_{0}}(1 + c_{r}(E) × ∑_{i=0}^{p−1}(1 + ic_{1}(τ)^{p^{ν−1}})^{−p+1}) (mod c_{r}(E)^{2})

où on a posé n = n_{0}p^{ν}. Le terme cherché est donc

∑_{i=0}^{p−1} \binom{−p + 1}{(p − 1)^{2}}i^{(p−1)^{2}}c_{(p−1)p^{ν−1}}(E) × c_{1}(τ)^{(p−1)^{2}p^{ν−1}}

= −\binom{−p + 1}{(p − 1)^{2}}c_{(p−1)p^{ν−1}}(E) × c_{1}(τ)^{(p−1)^{2}p^{ν−1}}

et on veut voir que \binom{−p + 1}{(p − 1)^{2}} ≢ 0 (mod p). En écrivant

(1 + t)^{−p+1} = (1 + t^{p})^{−1}(1 + t) = ∑(−1)^{i}t^{pi}(1 + t) ∈ 𝔽_{p}[[t]]

on voit que

\binom{−p + 1}{(p − 1)^{2}} ≡ −1 (mod p).

□

2.3. Remarque. Comme dans [7], définissons pour tout n ≥ 0

I^{(n)}(X) = {[E] ∈ K(X) | c_{i}(E) = 0 pour i ≢ 0 (mod p − 1), ν_{p}(E) ≥ n et rg E ≡ 0 (mod p^{n})}.

On vérifie facilement (par le principe de scindage, par exemple) que I^{(n)}(X) est un idéal de K(X), stable par image réciproque. La proposition 2.1 montre que I^{(n)}(X) se conserve également par image directe pour un revêtement fini. Comme dans [7], on peut demander:

Question. Est-il vrai que I^{(m)}(X)I^{(n)}(X) ⊂ I^{(m+n)}(X) pour tous m, n, X?

Il est facile de voir, encore par le principe de scindage, que la réponse est oui pour m = 1.

3. Représentations rationnelles

Soient G un groupe et ρ : G → GL_{n}(ℂ) une représentation de dimension finie de G. La construction de Borel associe à ρ un fibré vectoriel Bρ sur l’espace classifiant BG de G. Les classes de Chern de Bρ sont par définition les classes de Chern de ρ; on les note c_{i}(ρ).

Supposons ρ définie sur ℚ. Alors la condition du théorème 1.1 est vérifiée pour tout p [5]; l’invariant ν_{p}(Bρ) =: ν_{p}(ρ) est donc défini.

Supposons G fini, et prenons ρ = r_{G}, représentation régulière de G. Alors ρ est évidemment définie sur ℚ. L’entier ν_{p}(r_{G}) est noté ν_{p}(G).

Voici quelques propriétés de l’invariant ν_{p}(G):

3.1. Proposition. Soient G un groupe fini, p un nombre premier et H un sous-groupe de G. Alors

a) On a ν_{p}(H) ≤ ν_{p}(G) et c_{p^{νp(H)}−p^{νp(H)−1}}(r_{G}) = Cor_{H}^{G} c_{p^{νp(H)}−p^{νp(H)−1}}(r_{H}).

b) Supposons que H soit un p-sous-groupe de Sylow de G. Alors on a ν_{p}(H) = ν_{p}(G).

Démonstration. a) résulte de la proposition 2.1. Pour voir b), on écrit

Res_{H}^{G} r_{G} = (G : H)r_{H}

donc

Res_{H}^{G} c(r_{G}) = c((G : H)r_{H}) = c(r_{H})^{(G:H)}.

Comme (G : H) est premier à p, on a ν_{p}((G : H)r_{H}) = ν_{p}(r_{H}). Par ailleurs, l’homomorphisme de restriction

Res : H^{∗}(G, ℤ/p) → H^{∗}(H, ℤ/p)

est injectif. Il en résulte que ν_{p}(r_{G}) = ν_{p}((G : H)r_{H}). □

3.2. Proposition. Soit G un groupe fini. Alors ν_{p}(G × ℤ/p) = ν_{p}(G) + 1.

Cela résulte de la proposition 2.2. □

3.3. Proposition. Pour tout groupe fini G, on a ν_{p}(G) ≤ v_{p}(|G|).

Démonstration. Soit r = p^{v_{p}(|G|)} − p^{v_{p}(|G|)−1}: on va montrer que c_{r}(r_{G}) ≠ 0. D’après la proposition 3.1, on peut supposer que G est un p-groupe. Soit E un sous-groupe d’ordre p de G. On a

Res_{E}^{G} c(r_{G}) = c(Res_{E}^{G} r_{G}) = c((G : E)r_{E}) = c(r_{E})^{(G:E)}

On a c(r_{E}) = 1 − c_{1}(ρ)^{p−1}, où ρ est un caractère non trivial de E. On sait que c_{1}(ρ) n’est pas nilpotent dans H^{∗}(E, ℤ/p); par conséquent, c_{p−1}(r_{E})^{(G:E)} ≠ 0. Mais

c(r_{E})^{(G:E)} = (1 + c_{p−1}(E) + …)^{(G:E)} = 1 + c_{p−1}(E)^{(G:E)} + …

puisque (G : E) est une puissance de p. On en conclut que

Res_{E}^{G} c_{r}(r_{G}) = c_{p−1}(E)^{(G:E)} ≠ 0.
□

Vu le théorème 1.1, l’assertion de Venkov se reformule ainsi:

3.4. Assertion. (Venkov) Pour tout groupe fini G et tout nombre premier p, on a ν_{p}(G) = v_{p}(|G|).

La proposition 3.2 implique:

3.5. Proposition. [16] L’assertion de Venkov est vraie pour un p-groupe abélien élémentaire. □

4. Groupes d’ordre p^{2} et p^{3}

4.1. Proposition. L’assertion de Venkov est vraie pour G = ℤ/p^{2}.

Démonstration. On écrit r_{G} = ⨁_{χ∈X(G)} χ. Choisissant un générateur τ de X(G), on obtient

c(r_{G}) = ∏_{i=0}^{p^{2}−1}(1 + ic_{1}(τ)) = ∏_{i=0}^{p−1}(1 + ic_{1}(τ))^{p} = (1 − c_{1}(τ)^{p−1})^{p} = 1 − c_{1}(τ)^{p^{2}−p}.

□

4.2. Proposition. Supposons p impair. L’assertion de Venkov est vraie pour le groupe non abélien G d’ordre p^{3} et d’exposant p.

Démonstration. En effet, G est produit semi-direct de C et H pour tout sous-groupe H d’indice p de G et tout C engendré par un g ∉ H. Par la proposition 3.5, ν_{p}(H) = 2. On a

r_{H} = (r_{G/C})_{|H}

où r_{G/C} est la représentation de permutation de G sur G/C, d’où

Cor_{H}^{G} c_{p^{2}−p}(r_{H}) = Cor_{H}^{G} Res_{H}^{G} c_{p^{2}−p}(r_{G/C}) = 0.

D’après la proposition 3.1 a), on a donc ν_{p}(G) > 2. D’autre part, ν_{p}(G) ≤ 3 d’après la proposition 3.3. On en conclut que ν_{p}(G) = 3, comme souhaité. □

4.3. Proposition. Soit G un p-groupe tel que tout sous-groupe propre de G soit abélien élé-

mentaire. Alors • soit G est abélien élémentaire;

• soit G est cyclique d’ordre p^{2};

• soit p est impair est G est d’ordre p^{3} et d’exposant p.

Démonstration. Supposons que G ne soit pas abélien élémentaire. S’il est cyclique, il est nécessairement d’ordre p^{2}. Si G n’est pas cyclique, tout élément de G est contenu dans un sous-groupe propre de G, donc est d’ordre ≤ p. Par conséquent, G est d’exposant p. Si p = 2, c’est impossible, car G serait alors abélien élémentaire.

Supposons donc p > 2. Comme G n’est pas cyclique, on a (G : [G, G]) > p; comme [G, G] est distingué dans G, pour tout g ∈ G le sous-groupe engendré par g et [G, G] est propre, ce qui implique par hypothèse que [G, G] est central. On en déduit une application bilinéaire alternée

[,] : G/[G, G] × G/[G, G] → [G, G]

dont l’image engendre [G, G]. La conclusion résulte alors du lemme suivant:

4.4. Lemme. Soit [,] : V × V → W une application bilinéaire alternée, où V, W sont des 𝔽_{p}-espaces vectoriels. Supposons que [,] ≠ 0, que l’image de [,] engendre W et que, pour tout hyperplan H de V, [,]_{|H} = 0. Alors dim V = 2 et dim W = 1.

En effet, choisissons un hyperplan H de V et soit e ∈ V \ H. Soit K ⊂ H un hyperplan de H. Alors < e, K > est un hyperplan de V; il en résulte que [e, K] = 0 et donc que [V, K] = 0. Mais alors on a dim H = 1: sinon, tout élément de H serait contenu dans un de ses hyperplans, et on aurait [V, H] = 0, d’où [V, V] = 0 puisque [,] est alternée. □

5. Démonstration de l’assertion de Venkov

5.1. Lemme. Soient G un p-groupe, H un sous-groupe de G d’indice p et a ∈ H^{∗}(H, ℤ/p) une classe de cohomologie invariante sous l’action de G/H. Alors

Cor_{H}^{G} a^{p} = 0.

Démonstration. On a

Res_{H}^{G}N (a) = ∏_{σ∈G/H} σa = a^{p}

d’où

Cor_{H}^{G} a^{p} = Cor_{H}^{G} Res_{H}^{G} N (a) = 0.
□

(Autre démonstration: (Cor a)^{2} = Cor(a · Res Cor a) = 0, d’où (Cor a)^{p} = Cor(a^{p}) = 0.)

5.2. Lemme clé. Soit G un p-groupe non abélien élémentaire. Supposons que l’assertion de Venkov soit vraie pour G. Alors c(r_{G}) = a^{p}, où a ∈ H^{∗}(G, ℤ/p) est invariant sous l’action des automorphismes de G.

Démonstration. Soit Φ(G) le sous-groupe de Frattini de G. On peut écrire

r_{G} = r_{G/Φ(G)} ⊕ ρ

avec

ρ = ρ′ ⊕ pρ′′

où r_{G/Φ(G)} est la somme des caractères abéliens d’ordre p de G, ρ′ est la somme de ses caractères abéliens d’ordre > p et pρ′′ est la somme de ses autres caractères irréductibles, avec leur multiplicité. (Rappelons qu’un caractère irréductible intervient dans r_{G} avec une multiplicité égale à son degré; comme G est un p-groupe, ce degré est une puissance de p. Cf. par exemple [13, p. 30, cor. 1 et p. 68, cor. 2].)

La représentation ρ′′ est évidemment invariante par automorphismes de G; il en est donc de même de c(ρ′′). Si χ est un caractère abélien d’ordre p^{r} > p, il en est de même de χ^{i} pour tout i premier à p. On a

c(χ^{i}) = 1 + ic_{1}(χ)

donc

c( ⨁_{i∈(ℤ/p^{r})^{∗}} χ^{i}) = ∏_{i∈(ℤ/p^{r})^{∗}}(1 + ic_{1}(χ)) = (1 − c_{1}(χ)^{p−1})^{p^{r−1}}.

Soit σ un automorphisme de G. Alors σ permute les caractères abéliens d’ordre p^{r} ainsi que les orbites [χ] = {χ^{i} | i ∈ (ℤ/p^{r})^{∗}} de l’action de (ℤ/p^{r})^{∗} sur ces caractères. Par conséquent, pour tout r > 1, Aut(G) laisse invariante la classe de cohomologie

∏_{[χ]}(1 − c_{1}(χ)^{p−1})

où [χ] décrit les orbites ci-dessus. On en déduit que c(ρ′), et donc c(ρ), est de la forme b^{p}, où b est invariant sous l’action de Aut(G).

Soient ν = v_{p}(|G|) et d = v_{p}((G : Φ(G))). Par hypothèse, on a d < ν. Par conséquent, p^{d} − 1 < p^{ν} − p^{ν−1}. Il en résulte que

c_{i}(r_{G/Φ(G)}) = 0 pour i ≥ p^{ν} − p^{ν−1}.

D’autre part, on a par hypothèse

c(r_{G/Φ(G)}) = c(r_{G})c(ρ)^{−1} = (1 + c_{p^{ν}−p^{ν−1}}(r_{G}) + …)c(ρ)^{−1}.

On en déduit que les c_{i}(r_{G/Φ(G)}) sont des polynômes en les c_{i}(ρ) (plus précisément, on a c_{i}(r_{G/Φ(G)}) = −c_{i}(ρ) puisque les seules classes de Chern éventuellement ≠ 0 de r_{G/Φ(G)} sont celles de degré ≥ p^{d} − p^{d−1} d’après la proposition 3.5). La conclusion du lemme clé en résulte (avec une formule explicite pour a si besoin est). □

5.3. Théorème. L’assertion de Venkov est vraie.

Démonstration. D’après la proposition 3.1 b), il suffit de la démontrer pour tout pgroupe G. On raisonne par récurrence sur |G|. Si G est abélien élémentaire, le théorème résulte de la proposition 3.5. De même, si G est cyclique d’ordre p^{2} ou non abélien d’ordre p^{3} et d’exposant p, il résulte des propositions 4.1 et 4.2.

Supposons maintenant que G ne soit pas de l’un des types ci-dessus. D’après la proposition 4.3, G contient un sous-groupe H d’indice p qui n’est pas abélien élémentaire. Soit ν = v_{p}(|G|). Par hypothèse de récurrence, on a ν_{p}(H) = ν − 1; d’autre part, d’après le lemme-clé, on a

c_{p^{ν−1}−p^{ν−2}}(r_{H}) = a^{p}

où a est invariant sous l’action de Aut(H). En appliquant le lemme 5.1, on en déduit que Cor_{H}^{G} c_{p^{ν−1}−p^{ν−2}}(r_{H}) = 0. On conclut comme dans la démonstration de la proposition 4.2. □

5.4. Corollaire. (O. Kroll [9]) Soit G un p-groupe qui n’est pas abélien élémentaire. Alors on

a

∏_{χ∈H^{1}(G,ℤ/p)−{0}}βχ = 0

où β est le Bockstein modulo p.

Démonstration. Les arguments du lemme clé montrent que c(r_{G/Φ(G)}) est une puissance p-ième; en particulier, c_{p^{d}−1}(r_{G/Φ(G)}) = 0, où p^{d} = (G : Φ(G)), ce qui est équivalent à l’énoncé du corollaire. □

5.5. Remarques.

1. Le corollaire 5.4 a été amélioré par Serre [14]: on a ∏ βχ = 0, où χ décrit un système de représentants de l’espace projectif sur le 𝔽_{p}-espace vectoriel H^{1}(G, ℤ/p). (Voir aussi [10].)

2. Soit n = v_{p}(|G|), et soit r = r_{p}(G) le maximum des rangs des p-sous-groupes abéliens élémentaires de G. En se restreignant à de tels sous-groupes, on voit facilement que les classes

c_{p^{n}−p^{n−1}}(r_{G}), …, c_{p^{n}−p^{n−r}}(r_{G})

sont non nilpotentes et algébriquement indépendantes sur 𝔽_{p}. Par un théorème de Quillen [12, th. 7.1], les autres classes de Chern de r_{G} sont nilpotentes. D’après un autre théorème de Quillen (loc. cit., cor. 2.4), l’algèbre de cohomologie H^{∗}(G, ℤ/p) est un module de type fini sur sa sous-algèbre engendrée par les c_{i}(r_{G}); c’est donc un module de type fini sur la sous algèbre engendrée par les c_{p^{n}−p^{k}}(r_{G}) pour k ∈ [n − r, n − 1]. Notons que Aut(G) opère trivialement sur cette sous-algèbre. Par ailleurs, le lemme clé 5.2 montre que, si G n’est pas abélien élémentaire, les c_{p^{n}−p^{k}}(r_{G}) sont puissances p-ièmes d’éléments également invariants par Aut(G).

3. Le théorème 5.3 est à comparer avec les résultats obtenus dans [7] pour les classes de Stiefel-Whitney de r_{G}. Un entier ν(ρ) analogue à ν_{p}(ρ) y est défini pour toute représentation réelle ρ d’un groupe G. Si G est fini, on montre que

r_{2}(G) ≤ ν(r_{G}) ≤ v_{2}(|G|)

où r_{2}(G) est comme dans la remarque précédente. En général, on a ν(r_{G}) < v_{2}(|G|), par exemple pour G = ℤ/4. Toutefois, on montre que ν(2r_{G}) = v_{2}(|G|) + 1 pour tout groupe fini G.

Références

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