Université Paris 13 - Institut Galilée

Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications - UMR 7539

THÈSE

pour obtenir le grade de Docteur de l’université Paris 13 Discipline: Mathématiques

présentée par

Frédéric Jean

Foncteurs dérivés de l’algèbre symétrique:

Application au calcul de certains groupes

d’homologie fonctorielle des espaces K(B, n)

sous la direction de Lawrence Breen

Soutenue publiquement le 20 décembre 2002

Membres du Jury:

Lawrence Breen Directeur
Vincent Franjou Rapporteur
Jean-Louis Loday Rapporteur

Robert Oliver Lionel Schwartz

Numéro attribué par la bibliothèque:

Remerciements

Je remercie tout d’abord Lawrence Breen de m’avoir accordé sa confiance et de m’avoir guidé tout au long de ce travail.

Je remercie Vincent Franjou et Jean-Louis Loday d’avoir accepté de lire cette thèse et d’en faire les rapports. Je les remercie d’avoir bien voulu se joindre au jury.

Je remercie également Bob Oliver et Lionel Schwartz d’avoir accepté de faire partie du jury.

Enfin, je remercie ma compagne Charlotte Campana pour ses encouragements et pour sa patience.

à Louise

Table des matières

Introduction 7

1 Généralités sur les foncteurs ⊗^{r}, Sym^{r}, Λ^{r} et Γ_{r} 11 1.1 Généralités et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Les foncteurs Sym^{r}, Λ^{r}, Γ_{r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Les foncteurs dérivés de ⊗^{r} B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Les foncteurs dérivés de Sym^{r}, Λ^{r} et l’homologie des K(B, n) 37 2.1 H(B, n; ℤ) et les L_{i}Sym^{r}(B, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Description des foncteurs L_{i}Sym^{r} . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Description des foncteurs L_{i}Λ^{r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4 Le gradué de H(B, 1) dans le formalisme de Hamsher . . . . . 64 2.5 LΛ^{r} et LSym^{r} dans la description de Decker de H_{∗}(B, n) … 67

3 Les foncteurs dérivés de Γ_{r} et H_{∗}(B, 2) 71 3.1 L_{i}Γ_{r} et H(B, 2) en bas degrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2 Le foncteur R_{r} = L_{r−1}Γ_{r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Appendice A. 87 A.1 Les foncteurs ^{p}σ_{(α,β)}^{e}, ^{p}\overline{σ}_{(α,β)}^{e}, ^{p}σ_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j} et ^{p}\overline{σ}_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j} …. 87 A.2 Le gradué de Γ_{r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Appendice B. 117 B.1 Description des foncteurs dérivés de Γ̃_{2}^{2} et ^{2}σ_{(1,2)}^{1} . . . . . . . . 117

Appendice C. 125 C.1 Un modèle pour LT(B,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 C.2 Etude de LΓ_{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 C.3 Etude de LΓ_{4} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Introduction

Dans sa thèse [15], R. Hamsher décrit entièrement, de manière fonctorielle en un groupe abélien B l’homologie entière des espaces d’Eilenberg-MacLane K(B, 1). A sa suite, G. Decker [8] donne une description générale et fonctorielle en B de l’homologie des espaces K(B, n), pour un entier n quelconque. Il complétait ainsi quelques résultats donnés en bas degré par S. Eilenberg et S. MacLane [11]. L’inconvénient de ces descriptions est qu’elles sont très peu lisibles lorsque l’on regarde dans des degrés élevés. L’homologie des K(B, n) est en effet très compliquée. Cependant, on peut tenter une approche différente de ce problème en faisant les observations suivantes. Dans leur article classique [10, §4.16], A. Dold et D. Puppe remarquent que l’on peut calculer l’homologie des espaces d’Eilenberg-MacLane grâce aux foncteurs dérivés non additifs des foncteurs algèbres symétriques et montrent que, pour B, un groupe abélien et n ≥ 0,

H_{i}(B, n) ≃ ⨁_{j} L_{i}Sym^{j}(B, n) ,

où L_{i}Sym^{j}(B, n) est le i-ème foncteur dérivé (non-additif) du foncteur jème algèbre symétrique sur ℤ, Sym_{ℤ}^{i}(−) appliquée à B en degré n. Cette description nŠest pas fonctorielle en B mais L. Breen [5] a montré que l’on dispose d’une suite spectrale fonctorielle qui dégénère,

E_{i,j}^{2} = L_{i+j}Sym^{j}(B, n) ⇒ H_{i+j}(B, n) .

On dispose donc d’un gradué associé à l’homologie des espaces d’Eilenberg-Maclane en termes de foncteurs dérivés des foncteurs Sym^{j}. Notre travail a consisté à décrire certains foncteurs dérivés L_{i}Sym^{j}(B, n) en utilisant de manière systématique les méthodes de l’algèbre homotopique. Pour cela, on utilise notamment les deux formules de décalage de Quillen [5, 1.6 et 1.7] ou [16, ch 1., 4.3.2.1.]

L_{i}Sym^{j}(B, n) ≃ L_{i−j}Λ^{j}(B, n − 1) ,
L_{i}Λ^{j}(B, n) ≃ L_{i−j}Γ_{j}(B, n − 1) ,

où L_{i}Λ^{j}(B, n) est le i-ème foncteur dérivé du foncteur j-ème algèbre extérieure Λ_{ℤ}^{j} sur ℤ et L_{i}Γ_{j}(B, n) est le i-ème foncteur dérivé du foncteur de j-ème puissance divisée Γ_{j}^{ℤ} sur ℤ [11, §18] ou [6, §7]. A. K. Bousfield a calculé ces foncteurs lorsque l’anneau de base est le corps ℤ_{/p}. Le passage de ℤ_{/p} à l’anneau ℤ introduit des perturbations multiples. Dans différents textes [1, 5, 4, 8, 9, 19], quelques calculs sont effectués pour les foncteurs dérivés de foncteurs quadratiques tels que Sym^{2}, Λ^{2} et Γ_{2}.

Après quelques rappels sur les foncteurs dérivés et les algèbres symétrique, extérieure et à puissance divisées dans les sections 1.1 et 1.2, nous décrivons dans la section 1.3 les foncteurs dérivés L_{i} ⊗^{r}. En utilisant la description des foncteurs Mult_{i} et T or de MacLane [18], on montre que L_{i} ⊗^{r} B est le quotient de

⨁_{α∈Sh\binom{r}{i+1}}T or^{[i+1]}(B) ⊗ ( ⊗^{r−(i+1)} B)

par des relations du type Jacobi. Ensuite, pour décrire les fonteurs L_{i}Sym^{r} et L_{i}Λ^{r} dans le chapitre 2, on utilise la comparaison des algèbres symétrique et extérieure avec le produit tensoriel. On introduit alors deux nouveaux foncteurs qui jouent un rôle particulier:

S_{r} = L_{r−1}Sym^{r}(−, 0) (2.2.3),
Ω_{r} = L_{r−1}Λ^{r}(−, 0) [5, §5],

On montre que S_{r} est à T or^{[r]} ce que Λ^{r}B est à ⊗^{r} et que le foncteur Ω_{r} décrit par Breen dans [5] est la partie Σ_{r}-anti-invariante de T or^{[r]}. On montre ensuite dans les théorèmes 2.2.7 et 2.3.5 que L_{i}Sym^{r}(−, 0) et L_{i}Λ^{r}(−, 0) sont respectivement isomorphes aux foncteurs

K̃_{i}^{r} = S_{i+1} ˜⊗Sym^{r−i+1} (voir 2.2.6)
G̃_{i}^{r} = Ω_{i+1} ˜⊗Λ^{r−i+1} (voir 2.3.4)

où ˜⊗ signifie que l’on considère un quotient du produit tensoriel par des relations du type Jacobi. On corrige au passage le théorème 4.7 de [5], qu’il faut remplacer par le théorème 2.3.5. On dispose ainsi d’une nouvelle description fonctorielle d’un gradué associé à l’homologie des groupes abéliens comme somme directe des foncteurs L_{i}Λ^{r}. On termine le chapitre 2 par une mise en lumière du rapport entre cette description et la description de l’homologie des K(B, 1) de Hamsher [15]. On identifie également dans la section 2.5 une partie de l’homologie des K(B, n), n ≥ 2 décrite par Decker Dans le chapitre 3, l’idée est alors d’utiliser la comparaison entre les algèbres Sym^{∗} et Γ_{∗}. C’est en effet l’étude de la suite exacte courte classique, pour tout groupe abélien B,

\xymatrix{Sym^{2}B \ar@{^{(}->}[r] & Γ_{2}(B) \ar@{->>}[r] & B_{/2B}}

qui permet à Breen [4, §9] de décrire le foncteur L_{1}Γ_{2}. Ce foncteur se révèle alors être le foncteur R de Eilenberg et Maclane [11, §22]. Dans la section 3.2, on généralise ce résultat en donnant une présentation du foncteur

R_{r} = L_{r−1}Γ_{r}(−, 0) .

Ce foncteur est la partie symétrique de T or^{[r]}. La démonstration de ce résultat nécéssite les définitions dans l’appendice A d’une filtration de Γ_{r} en A.2.1. On définit ’egalement en A.2.6 des filtrations successives du gradué associé à Γ_{r}. Pour décrire le gradué associé à ces filtrations, nous introduisons dans la section A.1 les foncteurs ^{p}σ_{(α,β)}^{e}, ^{p}\overline{σ}_{(α,β)}^{e}, ^{p}σ_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}, ^{p}\overline{σ}_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}, où p est un nombre premier, et α, β, e, α_{1}, …, α_{f} et j sont des entiers positifs, qui sont des quotients de produits tensoriels de termes Sym_{ℤ_{/p}}^{j} et nous montrons certaines de leur propriétés.

La méthode utilisée dans les sections 2.2 et 2.3 ne peut pas s’appliquer au calcul des foncteurs L_{i}Γ_{r}(−, 0) en raison de la complexité de leurs valeurs dans les groupes cycliques. Cependant, on décrit dans la section 3.1 les gradués de LΓ_{3} et LΓ_{4} obtenus en étudiant dans les appendices B et C les suites spectrales associées aux filtrations de Γ_{3} et Γ_{4} définies dans l’appendice A. Dans cette section 3.1, on met également en lumière des analogies entre les descriptions de ces gradués et l’expression de H(B, 2) donnée par Decker en bas degrés [8, Ch 2, §3].

Notations. Si B est un groupe abélien et n un entier, on note _{n}B le groupe des éléments de n-torsion de B

{x ∈ B|nx = 0} ,

et si p est un nombre premier, on note B_{/pB} le ℤ_{/p}-espace vectoriel B ⊗_{ℤ} ℤ_{/p}. Si m et n sont deux entiers, on note (m, n) le plus grand diviseur commun de m et n. Soit m, n ∈ ℕ. On note [n] := {1, …, n}. On définit les ensembles suivants • Cr\binom{n}{m} est l’ensemble des applications strictement croissantes [m] →

[n],

• P \binom{n}{m} est l’ensemble des m-partitions strictes de n, c’est-à-dire des familles d’entiers strictement positifs (r_{1}, …, r_{m}) telles que

r_{1} + ⋯ + r_{m} = n.

• Sh\binom{n}{m} est l’ensemble des (m, n − m)-shuffles (“battages”), c’est-à-dire des permutations σ ∈ Σ_{r} telles que σ(i) < σ(j) si 0 ≤ i < j ≤ m et si m + 1 ≤ i < j ≤ n.

• Pour r. ∈ P \binom{n}{m}, J_{r_{1},...,r_{m}} est l’ensemble des applications α : [n] → [m] telles que l’occurrence de j ∈ [m] dans l’image de α est r_{j}.

On définit également les ensembles et les opérations suivantes, pour s ∈ Cr\binom{n}{m}, s′ ∈ Cr\binom{n}{m′}, s′′ ∈ Cr\binom{n′}{m′}, j ∈ [m], i ∈ [n] et (r.) ∈ P \binom{n+1}{m+1}

• I(s) est l’image de s;

• \overline{s} est l’application strictement croissante dont l’image est [n]\I(s);

• s ∪ s′ est l’application strictement croissante de Cr\binom{n}{m+m′} dont l’image est I(s) ∪ I(s′). En particulier, s ∪ {i} est l’application strictement croissante de Cr\binom{n}{m+1} dont l’image est I(s) ∪ \{i\};

• s−s(j) est l’application strictement croissante de Cr\binom{n}{m−1} dont l’image est I(s)\{s(j)};

• (s̃.) est la (m + 1)-partition stricte de n + 1 définie par

s̃_{1} = s(1) s̃_{j} = s(j) − s(j − 1) si 1 < j < m + 1 s̃_{m+1} = n + 1 − s(m);

• r̂: [m] → [n] est l’application strictement croissante définie par

r̂(j) = r_{1} + ⋯ + r_{j};

• s ⊕ s′′ est l’application de Cr\binom{n+n′}{m+m′} définie par

s ⊕ s′′(j) = \{ \begin{matrix}s(j) & si j ≤ m \\ n + s′′(j − m) & si j > m \end{matrix} .

Chapitre 1

Généralités sur les foncteurs ⊗^{r}, Sym^{r}, Λ^{r} et Γ_{r}

1.1 Généralités et rappels

On note Ab la catégorie des groupes abéliens que nous considèrerons également comme la catégorie des ℤ-modules. Dans le chapitre 3, nous travaillerons également dans la catégorie Ab(p) des ℤ_{(p)}-modules, où ℤ_{(p)} est le localisé de ℤ en un nombre premier p. On dispose des deux foncteurs

\xymatrix{Ab \ar[r]^{−⊗_{ℤ}ℤ_{(p)}} & Ab(p) \ar[l]^{oubli}} .  (1.1.1)

Nous considèrerons parfois les foncteurs de Ab dans Ab comme des foncteurs de Ab(p) dans Ab(p) grâce aux foncteurs précédents . Une des notions les plus utiles lorsque l’on travaille avec des foncteurs nonadditifs dans une catégorie abélienne, est celle des foncteurs d’effet croisé. Rappelons-en ici quelques propriétés [11, §9]. Soit F un foncteur de Ab dans Ab tel que F (0) = 0 et n un entier. Le k-ième effet croisé de F est un foncteur F (−| ⋯ |−) de k variables de Ab^{×k} dans Ab ayant les caractéristiques suivantes. On a un isomorphisme naturel en B_{1},…, B_{k},

\xymatrix{F (B_{1} ⊕ ⋯ ⊕ B_{k}) \ar[r]^{∼} & ⨁_{{α∈Cr\binom{k}{m}, \atop 0≤m≤k}}F (B_{α(1)}| … |B_{α(m)})}  (1.1.2)

et les diagrammes suivants commutent

\xymatrix{F (B_{τ_{1}} ⊕ ⋯ ⊕ B_{τ_{t}}) \ar[r]^{∼} \ar[d]_{F (ι_{τ})} & ⨁_{{β∈Cr\binom{t}{m}, \atop 0≤m≤t}}F (B_{β(τ_{1})}| … |B_{β(τ_{t})}) \ar[d]^{I_{τ}} \\ F (B_{1} ⊕ ⋯ ⊕ B_{k}) \ar[r]^{∼} & ⨁_{{α∈Cr\binom{k}{m}, \atop 0≤m≤k}}F (B_{α(1)}| … |B_{α(m)})}  (1.1.3)

\xymatrix{F (B_{1} ⊕ ⋯ ⊕ B_{k}) \ar[r]^{∼} \ar[d]_{F (q_{τ})} & ⨁_{{α∈Cr\binom{k}{m}, \atop 0≤m≤k}}F (B_{α(1)}| … |B_{α(m)}) \ar[d]^{Q_{τ}} \\ F (B_{τ_{1}} ⊕ ⋯ ⊕ B_{τ_{t}}) \ar[r]^{∼} & ⨁_{{β∈Cr\binom{t}{m}, \atop 0≤m≤t}}F (B_{β(τ_{1})}| … |B_{β(τ_{t})})}  (1.1.4)

où {τ_{1}, …, τ_{t}} est un sous-ensemble de [k], ι_{τ} et I_{τ} sont les injections dans la somme totale et q_{τ} et Q_{τ} sont les projections sur les sommes partielles. Cette construction est également naturelle au niveau des foncteurs. C’està-dire que si \xymatrix{F \ar[r]^{u} & G} est un morphisme de foncteurs et σ ∈ Σ_{k}, les diagrammes suivants commutent également,

\xymatrix{F (B_{1} ⊕ ⋯ ⊕ B_{k}) \ar[r]^{u} \ar[d]_{≀} & G(B_{1} ⊕ ⋯ ⊕ B_{k}) \ar[d]^{≀} \\ ⨁_{{α∈Cr\binom{k}{m}, \atop 0≤m≤k}}F (B_{α(1)}| … |B_{α(m)}) \ar[r]^{⊕u_{α}} & ⨁_{{α∈Cr\binom{k}{m}, \atop 0≤m≤k}}G(B_{α(1)}| … |B_{α(m)})}  (1.1.5)

\xymatrix{F (B_{1}| … |B_{k}) \ar[r] \ar[d]_{σ} & G(B_{1}| … |B_{k}) \ar[d]^{σ} \\ F (B_{σ(1)}| … |B_{σ(k)}) \ar[r] & G(B_{σ(1)}| … |B_{σ(k)}) .}  (1.1.6)

On dispose également de la notion de degré d’un foncteur. En particulier,

degF ≤ k ⇔ ∀B_{1}, …, B_{k+1}, F (B_{1}| … |B_{k+1}) ≃ 0 .

Le lemme suivant est un outil très utile que nous utiliserons à maintes reprises.

Lemme 1.1.1 On pose ℤ_{/∞} = ℤ. Soit \xymatrix{F \ar[r] & G} un morphisme de foncteurs qui commutent aux limites inductives. Les propositions suivantes sont équivalentes:

1. ∀k, k′ ∈ ℕ, k′ ≤ k et pour toute famille (n_{1}, …, n_{k}) dans ℕ ∪ {∞} telle

que

n_{j} = ∞ ⇔ j > k′ ,

l’application

\xymatrix{F (ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) \ar[r] & G(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}})}

est injective (resp. surjective, un isomorphisme).

2. Pour n ∈ ℕ∪{∞} et pour tous groupes abéliens A et B, les applications

\xymatrix{F (ℤ_{/n}) \ar[r] & G(ℤ_{/n})}
\xymatrix{F (A|B) \ar[r] & G(A|B)}

sont injectives (resp. surjectives, des isomorphismes).

3. pour tout groupe abélien B,

\xymatrix{F (B) \ar[r] & G(B)}

est injective (resp. surjective, un isomorphisme).

Démonstration. (3) ⇒ (1) et (3) ⇒ (2) proviennent immédiatement du diagramme (1.1.5). Montrons (1) ⇒ (3). Soit B un groupe abélien de type fini. Un choix de générateurs permet d’écrire:

B = ⨁_{i∈I} ℤ_{/m_{i}}  (1.1.7)

avec (m_{i})_{i∈I} ∈ ℕ ∪ {∞}. D’après le diagramme (1.1.5), le morphisme \xymatrix{F (B) \ar[r] & G(B)} est la somme directe des applications

\xymatrix{F (ℤ_{/m_{α(1)}}| … |ℤ_{/m_{α(k)}}) \ar[r] & G(ℤ_{/m_{α(1)}}| … |ℤ_{/m_{α(k)}})}  (1.1.8)

où k ∈ ℕ et α : [k] → I. La proposition (1.1.6) permet ensuite de se ramener aux applications α telles qu’il existe k′ ≤ k

m_{α(j)} = ∞ ⇔ j > k′ .

On remarque ensuite que la somme directe d’applications injectives (resp. surjectives, des isomorphismes) est injective (resp. surjective, un isomorphisme). Si B est un groupe abélien quelconque, B est limite inductive de groupes de types finis. Le morphisme \xymatrix{F (B) \ar[r] & G(B)} est donc limite inductive de morphismes injectifs (resp. surjectifs, des isomorphismes).

(2) ⇒ (3) se montre de la même façon en remarquant que si B n’est pas un groupe cyclique, il s’écrit comme une somme B = B_{1} ⊕ B_{2}. □

Rappelons la définition des foncteurs dérivés non-additifs de Dold-Puppe [10].

Définition 1.1.2 Soit T : Ab → Ab un foncteur. Soit B un groupe abélien, n et i des entiers. Soit P. une résolution simpliciale projective de (B, n), c’est-à-dire un groupe simplicial tel que P_{i} abélien libre ∀i, P_{i} = 0 si i < n, π_{n}(P.) = B, π_{i}(P.) = 0 si i > n. Le i-ème foncteur dérivé gauche de T est défini pour (B, n) par

L_{i}T (B, n) := π_{i}(T (P.)) .

Si n = 0, on note L_{i}T (B) = L_{i}T (B, 0).

Si T est additif, le foncteur L_{i}T (−, n) ne dépend que de i − n et coïncide avec le foncteur dérivé additif L_{i−n}T. Par définition de l’homotopie simpliciale, on a les isomorphismes suivants,

L_{i}T (B, n) ≃ H_{i}(N(T (P.)) ≃ H_{i}((T (P.)^{∼}) ,  (1.1.9)

où N et (−)^{∼} sont les foncteurs de la catégorie des groupes simpliciaux dans la catégorie des complexes de groupes définis pour X un groupe simplicial par

(NX)_{∗} ≃ (⋂_{i=1}^{n} Ker d_{i}, d_{0})_{n∈ℕ}  (1.1.10)
(X)_{∗}^{∼} ≃ (X_{n}, ∑_{i=0}^{n}(−1)^{i}d_{i})_{n∈ℕ}  (1.1.11)

De plus, la dimension projective [7, VI.2] d’un groupe abélien B ∈ Ab est toujours inférieure à 1. Donc d’après Dold-Puppe [10, §4.22], lorsque F est un foncteur de degré inférieur à r,

L_{i}F (B, n) = 0 pour i > r(n + 1) .

La proposition suivante est classique.

Proposition 1.1.3 Soit une suite exacte courte de foncteurs de Ab dans Ab,

\xymatrix{F \ar@{^{(}->}[r]^{u} & G \ar@{->>}[r]^{v} & H} .

C’est-à-dire des foncteurs tels que pour tout groupe abélien libre L,

\xymatrix{F (L) \ar@{^{(}->}[r]^{u} & G(L) \ar@{->>}[r]^{v} & H(L)}

est une suite exacte courte. Soit B un groupe abélien, on a alors une suite exacte longue

\xymatrix{⋯ \ar[r] & L_{i+1}H(B, n) \ar[r]^{∂} & L_{i}F (B) \ar[r]^{L_{i}u} & L_{i}G(B) \ar[r]^{L_{i}v} & L_{i}H(B) \ar[r] & ⋯} .

Démonstration. Soit P. un résolution projective simpliciale de (B, n). La suite exacte cherchée est la longue suite exacte associée à la suite exacte courte de complexes

\xymatrix{(F (P.))^{∼} \ar@{^{(}->}[r]^{u} & (G(P.))^{∼} \ar@{->>}[r]^{v} & (H(P.))^{∼}} .  (1.1.12)
□

Les lemmes suivants seront utilisés dans le chapitre 3.

Lemme 1.1.4 Soient F, G, H, F′, G′, H′, six foncteurs de Ab dans Ab, tels que si L est un groupe abélien libre, le diagramme suivant, où les lignes sont des suites exactes courtes, commute.

[figure: F (L); u; G(L); v; H(L); F′(L); u′; G′(L); v′; H′(L) .]  (1.1.13)

Si pour tout k ≥ 0 et pour tout groupe abélien B, la suite induite

\xymatrix{L_{k}F′(B) \ar@{^{(}->}[r] & L_{k}G′(B) \ar@{->>}[r] & L_{k}H′(B)}

est une suite exacte courte, alors la suite

\xymatrix{L_{k}F (B) \ar@{^{(}->}[r] & L_{k}G(B) \ar@{->>}[r] & L_{k}H(B)}

est également une suite exacte courte.

Démonstration. On déduit de (1.1.13) le diagramme commutatif suivant où les lignes sont exactes

[figure: ⋯; L_{k+1}H(B); ∂; L_{k}F (B); L_{k}u; L_{k}G(B); L_{k}H(B); ⋯; ⋯; L_{k+1}H′(B); ∂=0; L_{k}F′(B); L_{k}u′; L_{k}G′(B); L_{k}H′(B); · · · .]

(1.1.14)

L’injectivité de l’application L_{k}u′ entraîne l’injectivité de l’application L_{k}u. Les cobords sont donc nuls, ce qui termine la démonstration. □

Lemme 1.1.5 Soient F, G, H, F′, G′, H′, six foncteurs de Ab dans Ab, tels que si L est un groupe abélien libre, le diagramme suivant, où les lignes sont exactes commute.

[figure: F (L); u; G(L); v; H(L); F′(L); u′; G′(L); v′; H′(L) .]  (1.1.15)

Si pour tout k ≥ 0 et pour tout groupe abélien B, la suite

\xymatrix{L_{k}F (B) \ar@{^{(}->}[r] & L_{k}G(B) \ar@{->>}[r] & L_{k}H(B)}

est une suite exacte courte, alors la suite

\xymatrix{L_{k}F′(B) \ar@{^{(}->}[r] & L_{k}G′(B) \ar@{->>}[r] & L_{k}H′(B)}

est également une suite exacte courte.

Démonstration. Le diagramme (1.1.15) permet d’écrire le diagramme commutatif suivant où les lignes sont exactes

[figure: L_{k}F (A); L_{k}u; L_{k}G(A); L_{k}H(A); ∂=0; L_{k−1}F (A); L_{k}F′(A); L_{k}u′; L_{k}G′(A); L_{k}H′(A); ∂; L_{k−1}F′(A) .]  (1.1.16)

Les cobords sont donc nuls dans les deux suites exacte longues. □

1.2 Les foncteurs Sym^{r}, Λ^{r}, Γ_{r}

On rappelle rapidement la définition et quelques propriétés de ces foncteurs.

Définition 1.2.1 Le foncteur algèbre tensorielle ⊗^{∗} est le foncteur

⊗^{∗}= ⨁_{r=0}^{∞} ⊗^{r}: Ab → Ab

défini pour B ∈ Ab, comme la somme directe des produits tensoriels

⊗^{r} B = \overbrace{B ⊗ ⋯ ⊗ B}^{r} .

On a une action de Σ_{r} sur ⊗^{r} B définie par la permutation des facteurs. C’est-à-dire que si (x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{r}) ∈⊗^{r} B et σ ∈ Σ_{r}, on pose

σ(x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{r}) = x_{σ^{−1}(1)} ⊗ ⋯ ⊗ x_{σ^{−1}(r)} .  (1.2.1)

On définit une seconde action de Σ_{r} sur ⊗^{r} B par

σ(x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{r}) = sgn(σ)x_{σ^{−1}(1)} ⊗ ⋯ ⊗ x_{σ^{−1}(r)} .  (1.2.2)

où sgn(σ) est la signature de σ. On notera dans ce cas Σ_{r}^{ϵ} le groupe des permutations. Si B_{1} et B_{2} sont deux groupes abéliens, l’effet croisé de ⊗^{r} est donné par

⊗^{r} (B_{1}|B_{2}) ≃ ⨁_{{s+t=r \atop s,t>0}} ⨁_{α∈J_{s,t}} B_{α(1)} ⊗ ⋯ ⊗ B_{α(r)}  (1.2.3)

où J_{s,t} est l’ensemble des applications α : [r] → [2] telles que l’occurrence de 1 dans l’image de α est s et celle de 2 est t (voir notations). On peut généraliser ce résultat pour B_{1}, …, B_{k}, k groupes abéliens,

⊗^{r} (B_{1}| … |B_{k}) ≃ ⨁_{(r.)∈P \binom{r}{k}} ⨁_{α∈J_{r_{1},...,r_{k}}} B_{α(1)} ⊗ ⋯ ⊗ B_{α(r)} .  (1.2.4)

Définition 1.2.2 Le foncteur algèbre symétrique Sym^{∗} est le foncteur

Sym^{∗} = ⨁_{r=0}^{∞} Sym^{r} : Ab → Ab

défini pour B ∈ Ab, comme le quotient de l’algèbre tensorielle ⊗^{∗} B par l’idéal engendré par les générateurs

x ⊗ y − y ⊗ x ∀x, y ∈ B .

La projection naturelle Σ_{r}-invariante

\xymatrix{⊗^{r} B \ar[r]^{s^{r}} & Sym^{r}B}  (1.2.5)

définie par

s^{r}(x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{r}) = x_{1} … x_{r} .  (1.2.6)

induit un isomorphisme sur les coinvariants de ⊗^{r} B

\xymatrix{(⊗^{r} B)_{Σ_{r}} \ar[r]^{^{\overline{s}^{r}}}_{∼} & Sym^{r}B} .  (1.2.7)

Définition 1.2.3 Le foncteur algèbre extérieure Λ^{∗} est le foncteur

Λ^{∗} = ⨁_{r=0}^{∞} Λ^{r} : Ab → Ab

défini pour B ∈ Ab, comme le quotient de l’algèbre tensorielle ⊗^{∗} B par l’idéal engendré par les générateurs

x ⊗ x ∀x ∈ B .

On a une application injective naturelle Σ_{r}-anti-invariante, (ou Σ_{r}^{ϵ}-invariante d’après (1.2.2))

\xymatrix{Λ^{r}B \ar[r]^{j^{r}} & ⊗^{r} B}  (1.2.8)

définie par

j^{r}(x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{r}) = ∑_{σ∈Σ_{r}} sgn(σ)x_{σ(1)} ⊗ ⋯ ⊗ x_{σ(r)} .  (1.2.9)

Lorsque B n’a pas d’éléments de 2-torsion, cette application induit un isomorphisme sur la partie Σ_{r}-anti-invariante de ⊗^{r} B

\xymatrix{Λ^{r}B \ar[r]^{^{\overline{j}^{r}}} & (⊗^{r} B)^{Σ_{r}^{ϵ}}} .  (1.2.10)

On peut le montrer par récurrence sur r. Pour r = 1, l’assertion est évidente. Ensuite, on évalue en ℤ_{/n} avec (n, 2) = 1, puis on considère les effet croisés. Dans le chapitre 3, si p est un nombre premier, nous utiliserons également les foncteurs Sym_{ℤ_{/p}}^{∗} et Λ_{ℤ_{/p}}^{∗} de la catégorie des ℤ_{/p}-espaces vectoriels dans elle-même. Ces foncteurs sont respectivement les sommes ⨁_{r=0}^{∞} Sym_{ℤ_{/p}}^{r} et ⨁_{r=0}^{∞} Λ_{ℤ_{/p}}^{r}.

Si V = ⨁_{1≤i≤s} ℤ_{/p}x_{i}, l’algèbre Sym_{ℤ_{/p}}^{∗}V est l’algèbre des polynômes à s variables sur ℤ_{/p}. En particulier, Sym_{ℤ_{/p}}^{r}V est le ℤ_{/p}-espace vectoriel dont une base est donnée par les polynômes de s variables, homogènes de degré r,

Sym_{ℤ_{/p}}^{r}V = ⨁_{{η:[r]→[s] \atop croissante}} ℤ_{/p}x_{η(1)} … x_{η(r)} .  (1.2.11)

En particulier, on remarque que si e et i sont deux entiers positifs, on a une application

\xymatrix{Sym_{ℤ_{/p}}^{i}(Sym_{ℤ_{/p}}^{p^{e}}V) \ar[r] & Sym_{ℤ_{/p}}^{p^{e}i}V}  (1.2.12)

induite par la multiplication dans l’algèbre Sym_{ℤ_{/p}}^{∗}V. Soit V un ℤ_{/p}-espace vectoriel. On dispose de l’homomorphisme fonctoriel de Frobenius

\xymatrix{Sym_{ℤ_{/p}}^{∗}V \ar[r]^{F_{p}} & Sym_{ℤ_{/p}}^{∗}V}  (1.2.13)

qui prolonge le morphisme \xymatrix{V \ar[r]^{F_{p}} & Sym_{ℤ_{/p}}^{p}V} défini par F_{p}(x) = x^{p}. Si e ∈ ℕ, on notera F_{p^{e}} le morphisme itéré (F_{p})^{e}:

\xymatrix{Sym_{ℤ_{/p}}^{∗}V \ar[r]^{F_{p^{e}}} & Sym_{ℤ_{/p}}^{∗}V}  (1.2.14)

qui prolonge le morphisme \xymatrix{V \ar[r]^{F_{p^{e}}} & Sym_{ℤ_{/p}}^{p^{e}}V} défini par F_{p^{e}}(x) = x^{p^{e}}. Ceci permet de définir le foncteur suivant. La notation Q_{p^{e}}^{∗} est une extension de la notation Q_{p}^{∗} de [6, §7 (7.)], pour e = 1.

Définition 1.2.4 Soit p un nombre premier, e un entier positif et V un ℤ_{/p}-espace vectoriel. L’algèbre Q_{p^{e}}^{∗}(V) est l’algèbre quotient de Sym_{ℤ_{/p}}^{∗}V par l’idéal engendré par les éléments homogènes

x^{p^{e}} ∀x ∈ V .

Le foncteur Q_{p^{e}}^{∗} est la somme ⨁_{r=0}^{∞} Q_{p^{e}}^{r} et si V = ⨁_{1≤i≤s} ℤ_{/p}x_{i}, une base de Q_{p^{e}}^{r}(V) est donnée par la famille

x_{η(1)} … x_{η(r)}  (1.2.15)

où η : [r] → [s] est croissante telle que l’occurence de k ∈ [s] dans l’image de η est < p^{e}. Ainsi, si r < p^{e}, la projection

\xymatrix{Sym_{ℤ_{/p}}^{r} \ar[r]^{pr_{r}} & Q_{p^{e}}^{r}}  (1.2.16)

est un isomorphisme de foncteurs. On remarque également que lorsque p = 2, le foncteur Q_{2}^{∗} est isomorphe au foncteur Λ_{ℤ_{/2}}^{∗}.

Définition 1.2.5 Le foncteur algèbre à puissances divisées Γ_{∗} est le foncteur

Γ_{∗} = ⨁_{r=0}^{∞} Γ_{r} : Ab → Ab

défini pour B ∈ Ab, comme l’algèbre graduée libre engendrée par les symboles

γ_{i}(x) ∈ Γ_{i}(B), pour i ≥ 1

quotientée par les relations suivantes ∀x, y ∈ B, 1. γ_{1}(x) = x,

2. γ_{s}(x)γ_{t}(x) = \binom{s+t}{s}γ_{s+t}(x), avec s, t ≥ 1,

3. γ_{r}(x + y) = ∑_{s+t=r} γ_{s}(x)γ_{t}(y), avec r ≥ 1

4. γ_{r}(−x) = (−1)^{r}γ_{r}(x), avec r ≥ 1. On remplace parfois la dernière identité par

γ_{r}(nx) = n^{r}γ_{r}(x), avec r ≥ 1 et n ∈ ℤ ,

mais compte tenu des identités (2.) et (3.), l’identité (4.) suffit. Les relations suivantes sont classiques dans Γ_{∗}(B),

rγ_{r}(x) = xγ_{r−1}(x),  (1.2.17)
x^{r} = (r!)γ_{r}(x),  (1.2.18)
γ_{r}(x)y^{r} = x^{r}γ_{r}(y).  (1.2.19)

Ceci permet de calculer [2, §2] pour n ∈ ℕ ∪ {∞},

Γ_{r}(ℤ_{/n}) ≃ ℤ_{/n(r,n^{∞})} ,  (1.2.20)

où (r, n^{∞}) est la limite lim_{e→∞}(r, n^{e}). En particulier, si L est le groupe libre ⨁_{1≤i≤s} ℤx_{i}, Γ_{r}(L) est également libre engendré par les éléments

γ_{i_{1}}(x_{1}) … γ_{i_{s}}(x_{s}), ∑_{j} i_{j} = r, i_{j} ≥ 0.  (1.2.21)

On a une application naturelle Σ_{r}-invariante

\xymatrix{Γ_{r}(B) \ar[r]^{g^{r}} & ⊗^{r} B}  (1.2.22)

définie par

g^{r}(γ_{i_{1}}(x_{1}) … γ_{i_{s}}(x_{s})) = ∑_{α∈J_{i_{1},...,is}} x_{α(1)} … x_{α(r)}  (1.2.23)

où ∑ i. = r. Lorsque L est un groupe libre, cette application induit un isomorphisme sur les invariants de ⊗^{r} L sous l’action de Σ_{r} [6, §8.4],

\xymatrix{Γ_{r}(L) \ar[r]^{^{\overline{g}^{r}}}_{∼} & (⊗^{r} L)^{Σ_{r}}} .  (1.2.24)

Dans le chapitre 3 les foncteurs suivants permettront de décrire un gradué de Γ_{r}.

Définition 1.2.6 Soit p un nombre premier. Les foncteurs Γ̃_{r}^{p} et Γ_{r}^{p} de Ab dans Ab sont définis pour B, par

Γ̃_{r}^{p}(B) := Γ_{r}(B_{/pB}) ,
Γ_{r}^{p}(B) := Γ_{r}(B_{/pB}) ⊗ ℤ_{/p} .

On note Γ̃_{r} le foncteur Γ̃_{r}^{p} lorsqu’il n’y a pas d’ambiguité sur le nombre premier p.

On remarque que le foncteur Γ_{r}^{p} est isomorphe au foncteur composé Γ_{r}^{ℤ_{/p}}(−⊗ ℤ_{/p}). On prendra garde que le foncteur Γ̃_{r} est différent de ce dernier. En effet, Γ̃_{r}^{p}(B) n’est pas nécessairement de p-torsion. Par exemple, d’après (1.2.20),

Γ̃_{r}^{p}(ℤ) ≃ Γ_{r}(ℤ_{/p}) ≃ ℤ_{/(p^{∞},rp)} .  (1.2.25)

Donc, si r = p,

Γ̃_{p}^{p}(ℤ) ≃ ℤ_{/p^{2}} .  (1.2.26)

Cependant, on a le lemme suivant.

Lemme 1.2.7 Soient r un entier positif et p un nombre premier. La projection canonique

\xymatrix{Γ̃_{r}^{p}(B) \ar[r] & Γ_{r}^{p}(B)} .

est un isomorphisme lorsque (r, p) = 1.

En effet, si X ∈ Γ̃_{r}^{p}(B), X s’écrit comme la somme d’éléments du type:

γ_{i_{1}}(x_{1}) … γ_{i_{j}}(x_{j}) , avec ∑_{k} i_{k} = r et x_{i} ∈ B_{/pB}.

Lorsque p ne divise pas r, l’un au moins des i_{.} est premier à p, on supposera que c’est i_{j}. Les deux égalités suivantes qui proviennent des relations des puissances divisées ((4.) de la définition 1.2.5 et (1.2.17))

\begin{matrix}p^{i_{j}}γ_{i_{j}}(x_{j}) = γ_{i_{j}}(px_{j}) = 0 \\ pi_{j}γ_{i_{j}}(x_{j}) = px_{j}γ_{i_{j}−1}(x_{j}) = 0 \end{matrix}

Donc pX = 0. Ce qui justifie l’isomorphisme. □

Nous utiliserons par la suite les formules de décalage suivantes [16, ch 1., 4.3.2.1.] ou [5, (1.6) et (1.7)]. Si B un groupe abélien, n, r et i des entiers positifs,

L_{i}Sym^{r}(B, n) ≃ L_{i−r}Λ^{r}(B, n − 1) ,  (1.2.27)
L_{i}Λ^{r}(B, n) ≃ L_{i−r}Γ_{r}(B, n − 1) .  (1.2.28)

Les foncteurs définis précédemment ont par ailleurs des propriétés classiques particulières.

Proposition 1.2.8 Soit T^{∗} l’un des foncteurs Sym^{∗}, Sym_{ℤ_{/p}}^{∗}, Q_{p^{e}}^{∗}, Λ^{∗}, Λ_{ℤ_{/p}}^{∗},

Γ_{∗}, Γ̃_{∗}, Γ_{∗}^{p}. Soit (B_{1}, …, B_{k}) une famille de groupes abéliens. Le k-ième effet croisé de T^{r} est alors

T^{r}(B_{1}| … |B_{k}) = ⨁_{(r.)∈P \binom{r}{k}} T^{r_{1}}(B_{1}) ⊗ ⋯ ⊗ T^{r_{k}}(B_{k}) .  (1.2.29)

Cette proposition est classique pour les foncteurs Sym^{∗}, Sym_{ℤ_{/p}}^{∗}, Λ^{∗}, Λ_{ℤ_{/p}}^{∗},

Γ_{∗}, Γ_{∗}^{p}. Le foncteur Q_{p^{e}}^{∗} est un quotient de Sym_{ℤ_{/p}}^{∗}. Enfin, Γ̃_{∗} est le foncteur composé de Γ_{∗} avec le foncteur additif (− ⊗ ℤ_{/p}). □

Cette proposition accompagnée du lemme 1.1.1 confère une importance particulière à la valeur des foncteurs dans les groupes cycliques. Les résultats suivants sont dûs à Breen [5, lemme 2.2]. Soient i, r, n des entiers positifs,

L_{i}Sym^{r}(ℤ_{/n}) ≃ \{ \begin{matrix}0 & si i > 0 \\ ℤ_{/n} & si i = 0 \end{matrix}  (1.2.30)

L_{i}Λ^{r}(ℤ_{/n}) ≃ \{ \begin{matrix}0 & si i ≠ r − 1 \\ ℤ_{/n} & si i = r − 1 \end{matrix} .  (1.2.31)

La fin de cette section est consacrée à des résultats qui seront utilisés dans le chapitre 3. Nous aurons à manipuler un certain type de foncteurs comme Sym_{ℤ_{/p}}^{r}, Λ_{ℤ_{/p}}^{r}, Q_{p^{e}}^{r} et Γ_{r}^{p} qui ont des propriétés particulières.

Proposition 1.2.9 Soit p un nombre premier. Soit T : Ab → ℤ_{/p}-ev et \overline{T} : ℤ_{/p}-ev → ℤ_{/p}-ev deux foncteurs tels que le diagramme suivant commute:

\xymatrix{Ab \ar[dr]^{T} \ar[d]_{−⊗ℤ_{/p}} \\ ℤ_{/p}-ev \ar[r]^{\overline{T}} & ℤ_{/p}-ev .}

Si B est un groupe abélien, on a l’isomorphisme suivant:

\xymatrix{LT (B, 0) \ar[r]^{∼} & L\overline{T} (X) ,}

où X est tel que

π_{i}(X) = 0 si i > 2,
π_{1}(X) = _{p}B ,
π_{0}(X) = B_{/pB} .

Démonstration. Il suffit de prendre une résolution projective simpliciale P. de B et de remarquer que X = P. ⊗ ℤ_{/p} est du type voulu. □

Cette proposition accompagnée du résultat de A.K. Bousfield [3, 8.6 et 8.11] sur les foncteurs dérivés de l’algèbre symétrique à coefficients dans ℤ_{/p}, permet de connaître les foncteurs dérivés dans ℤ de Sym_{ℤ_{/p}}^{∗} et Γ_{∗}^{p}. Dans le cas des foncteurs de ce type, on utilisera également la proposition suivante.

Proposition 1.2.10 Soit p un nombre premier. Soit T_{1}, T_{2} : Ab → ℤ_{/p}-ev et \overline{T}_{1}, \overline{T}_{2} : ℤ_{/p}-ev → ℤ_{/p}-ev des foncteurs tels que les diagrammes suivants commutent

\xymatrix{Ab \ar[dr]^{T_{∗}} \ar[d]_{−⊗ℤ_{/p}} \\ ℤ_{/p}-ev \ar[r]^{_{\overline{T}_{∗}}} & ℤ_{/p}-ev .}

Si A et B sont des groupes abéliens et k un entier, on a l’isomorphisme suivant:

\xymatrix{π_{k}(LT_{1}(A) ⊗^{L}_{ℤ_{/p}} LT_{2}(B)) \ar[r]^{∼} & ⨁_{i+j=k} L_{i}T_{1}(A) ⊗_{ℤ_{/p}} L_{j}T_{2}(B)} .

Si P. et Q. sont des résolutions projectives simpliciales respectivement de A et B, La proposition est la formule de Künneth appliquée dans la catégorie des ℤ_{/p}-espaces vectoriels au produit tensoriel

T_{1}(P.) ⊗_{ℤ_{/p}} T_{2}(Q.) .

□

Définition 1.2.11 Pour r ≥ 1 fixé et B un groupe abélien, on définit les complexes D_{∗}^{r}(B) et C_{∗}^{r}(B) par:

D_{i}^{r}(B) = Sym^{i}B ⊗ Λ^{r−i}B pour 0 ≤ i ≤ r,
C_{i}^{r}(B) = Γ_{r−i}(B) ⊗ Λ^{i}B pour 0 ≤ i ≤ r.

Les différentielles κ_{i} : \xymatrix{D_{i}^{r}(B) \ar[r] & D_{i−1}^{r}(B)} et d_{i} : \xymatrix{C_{i}^{r}(B) \ar[r] & C_{i−1}^{r}(B)} sont définies par: κ_{i}((b_{1} … b_{i}) ⊗ b_{i+1} ∧ ⋯ ∧ b_{r}) =

∑_{k=1}^{i}(b_{1} … b̂_{k} … b_{i}) ⊗ b_{k} ∧ b_{i+1} ∧ ⋯ ∧ b_{r} ,

d_{i}(X ⊗ (b_{1} ∧ ⋯ ∧ b_{i})) = ∑_{k=1}^{i} b_{k}X ⊗ (b_{1} ∧ … b̂_{k} ⋯ ∧ b_{i}) ,

où X ∈ Γ_{r−i}B.

Le complexe C_{∗}^{r}(B) est le dual au complexe de De Rham habituel (voir [13]). Le fait que si L est un groupe abélien libre, le complexe de Koszul D_{∗}^{r}(L) est acyclique, est classique ([13, 3.1], pour D_{ℤ_{/p}}^{r} ou [16, ch. 1, 4.3.1.]). L’homologie du complexe de De Rham est connue lorsque l’on travaille sur un corps ℤ_{/p} [13] mais elle est plus compliquée si l’on considère les ℤ-modules. Néanmoins nous avons les résultats suivants. Les points (1.) et (2.) sont dus à V. Franjou [12] qui étudie le cas du complexe de De Rham. On commence par montrer ces deux points puis la fin de la section est consacrée à la démonstration du point (3.).

Proposition 1.2.12 Soit L un groupe abélien libre, r un entier.

1. H_{∗}(C^{r}(L)) est de r-torsion.

2. Si p est un nombre premier, l’homologie de C_{∗}^{p}(L) est donnée par

H_{0}(C^{p}(L)) = L/pL ,
H_{i}(C^{p}(L)) = 0 si i > 0.

3. Il existe un isomorphisme naturel

\xymatrix{⨁_{p|r, p premier}Γ̃_{r/p}^{p}(L) \ar[r]^{q}_{∼} & H_{0}(C^{r}(L))} .

Démonstration. (1.) Soient L_{1} et L_{2} deux groupes abéliens libres. On dispose de l’isomorphisme naturel en L_{1} et L_{2}

C^{r}(L_{1} ⊕ L_{2}) ≃ ⨁_{i+j=r} C^{i}(L_{1}) ⊗ C^{j}(L_{2})  (1.2.32)

On a alors un produit induit par le produit de L:

\xymatrix{C^{i}(L) ⊗ C^{j}(L) \ar[r]^{μ} & C^{r}(L)}  (1.2.33)

et un coproduit induit par l’application diagonale:

\xymatrix{C^{r}(L) \ar[r]^{Δ} & ⨁_{i+j=r} C^{i}(L) ⊗ C^{j}(L)}  (1.2.34)

On remarque que l’application composée

\xymatrix{C^{r}(L) \ar[r] & C^{i}(L) ⊗ C^{j}(L) \ar[r] & C^{r}(L)}  (1.2.35)

est la multiplication par le coefficient binomial \binom{r}{i}. Le premier point vient de cette application composée pour i = 1 car le complexe C_{∗}^{1}(L) est acyclique. (2.) On remarque grâce à l’isomorphisme (1.2.32) que l’effet croisé du foncteur H_{∗}(C^{p}(−)) est donné par

H_{∗}(C^{p}(L_{1}|L_{2})) ≃ ⨁_{i+j=p i,j>0} H_{∗}(C^{i}(L_{1}) ⊗ H_{∗}(C^{j}(L_{2}))  (1.2.36)

Or, d’après la formule de Künneth, les termes de cette somme s’inscrivent dans les suites exactes courtes suivantes

\xymatrix{⨁_{s+t=∗} H_{s}(C^{i}(L_{1})) ⊗ H_{t}(C^{j}(L_{2})) \ar@{^{(}->}[d] \\ H_{∗}(C^{i}(L_{1}) ⊗ C^{j}(L_{2})) \ar@{->>}[d] \\ ⨁_{s+t=∗−1} T or(H_{s}(C^{i}(L_{1})), H_{t}(C^{j}(L_{2}))) .}  (1.2.37)

Si i + j = p, i et j sont premiers entre eux. Donc H_{s}(C^{i}(L_{1})) et H_{t}(C^{j}(L_{2})) sont de torsions premières entre elles d’après le point précédent. Ceci entraîne que H_{∗}(C^{i}(L_{1}) ⊗ C^{j}(L_{2})) = 0. Les foncteurs H_{∗}(C^{p}(−)) sont additifs.

On détermine alors ces foncteurs en évaluant en ℤ. Or le complexe C_{∗}^{p}(ℤ) est le suivant:

\xymatrix{0 \ar[r] & ⋯ \ar[r] & 0 \ar[r] & ℤ \ar[r]^{p} & ℤ} .  (1.2.38)

(3.) Le troisième point est plus délicat et nécessite le lemme suivant.

Lemme 1.2.13 Soit d = (i_{1}, …, i_{s}), avec (i_{1} + ⋯ + i_{s}) = r. On a l’égalité suivante dans H_{0}(C^{r}(L))

dγ_{i_{1}}(x_{1}) … γ_{i_{s}}(x_{s}) = 0 .

Démonstration du lemme. Par définition,

H_{0}(C^{r}(L)) = coker(Γ_{r−1}L ⊗ L → Γ_{r}L) .  (1.2.39)

Donc H_{0}(C^{r}(L)) est engendré par les symboles γ_{i_{1}}(x_{1}) … γ_{i_{s}}(x_{s}), avec (i_{1} + ⋯ + i_{s}) = r et soumis aux relations suivantes:

1. γ_{i}(x)γ_{j}(x) = \binom{i+j}{i}γ_{i+j}(x),

2. γ_{t}(x + y) = ∑_{i+j=t} γ_{i}(x)γ_{j}(y),

3. γ_{t}(−x) = (−1)^{t}γ_{t}(x),

4. γ_{i_{1}}(x_{1}) … γ_{i_{s}}(x_{s})x_{s+1}, avec (i_{1} + ⋯ + i_{s}) = r − 1.

Les trois premières relations sont les relations usuelles des puissances divisées. La quatrième exprime le quotient dans Γ_{r}L par l’image de Γ_{r−1}L ⊗ L. Si X = γ_{i_{1}}(x_{1}) … γ_{i_{s}}(x_{s}) ∈ H_{0}(C^{r}(L)), on calcule

i_{j}X = i_{j}γ_{i_{1}}(x_{1}) … γ_{i_{s}}(x_{s})
= γ_{i_{1}}(x_{1}) … x_{j}γ_{i_{j}−1}(x_{j}) … γ_{i_{s}}(x_{s})
= 0 .

On en déduit dX = 0. □

Notations. Si p|n avec p premier, on note m = r/p et m′ le nombres m = p^{u}m′ avec (m′, p) = 1. On définit l’application q_{p} composante de l’application q cherchée

\xymatrix{Γ̃_{m}^{p}(L) \ar[r]^{q_{p}} & H_{0}(C^{r}(L))}  (1.2.40)

par q_{p}(γ_{j_{1}}(x_{1}) … γ_{j_{t}}(x_{t})) = (m′)^{r}γ_{pj_{1}}(x_{1}) … γ_{pj_{t}}(x_{t}). Pour vérifier que cette application est bien définie il faut vérifier les identités suivantes:

1. q_{p}(γ_{j_{1}}(px_{1})γ_{j_{2}}(x_{2}) … γ_{j_{t}}(x_{t})) = 0,

2. q_{p}(γ_{j_{1}}(x)γ_{j_{2}}(x)γ_{j_{3}}(x_{3}) … γ_{j_{t}}(x_{t})) = q_{p}(\binom{j_{1}+j_{2}}{j_{1}}γ_{j_{1}}(x) … γ_{j_{t}}(x_{t})),

3. q_{p}(γ_{j_{1}}(x + y)γ_{j_{2}}(x_{2}) … γ_{j_{t}}(x_{t})) = ∑_{s=0}^{j_{1}} q_{p}(γ_{s}(x)γ_{j_{1}−s}(y) … γ_{j_{t}}(x_{t})),

4. q_{p}(γ_{j_{1}}(−x_{1})γ_{j_{2}}(x_{2}) … γ_{j_{t}}(x_{t})) = (−1)^{j_{1}}q_{p}(γ_{j_{1}}(x_{1}) … γ_{j_{t}}(x_{t})).

Vérification de (1): Soit d = (j_{1}p, …, j_{t}p). On peut décomposer d en d = p^{α}d′, avec d′ premier à p. On montre que d′ divise m′ car d divise ∑ pj_{l} = r = p^{u}m′. On note m′′ = m′/d′. Alors p^{α} divise pj_{1} et on note j′_{1} = pj_{1}/p^{α}. On calcule alors grâce au lemme 1.2.13:

q_{p}(γ_{j_{1}}(px_{1})γ_{j_{2}}(x_{2}) … γ_{j_{t}}(x_{t})) = (m′)^{r}p^{pj_{1}}γ_{pj_{1}}(x_{1}) … γ_{pj_{t}}(x_{t})
= (m′)^{r−1}m′′p^{p^{α}j′_{1}−α}d′p^{α}γ_{pj_{1}}(x_{1}) … γ_{pj_{t}}(x_{t})
= 0 ,

puisque d = d′p^{α}.

Vérification de (2): Soit d = ((j_{1} + j_{2})p, j_{3}p …, j_{t}p). De la même façon que précedemment, on pose d = p^{α}d′, avec d′ premier à p, m′ = d′m′′ et j′ = p(j_{1} + j_{2})/p^{α}. On calcule alors grâce au lemme 1.2.13 la différence: q_{p}(γ_{j_{1}}(x)γ_{j_{2}}(x)γ_{j_{3}}(x_{3}) … γ_{j_{t}}(x_{t})) − q_{p}(\binom{j_{1}+j_{2}}{j_{1}}γ_{j_{1}+j_{2}}(x)γ_{j_{3}}(x_{3}) … γ_{j_{t}}(x_{t}))

= (m′)^{r−1}m′′d′(\binom{p^{α}j′}{pj_{1}} − \binom{p^{α−1}j′}{j_{1}})γ_{p(j_{1}+j_{2})}(x)γ_{pj_{3}}(x_{3}) … γ_{pj_{t}}(x_{t}) .

Pour montrer que ceci est nul, il faut alors remarquer que p^{α} divise (\binom{p^{α}j′}{pj_{1}} − \binom{p^{α−1}j′}{j_{1}}).

Vérification de (3): On calcule

\begin{matrix}q_{p}(γ_{j_{1}}(x + y)γ_{j_{2}}(x_{2}) … γ_{j_{t}}(x_{t})) & = & (m′)^{r}γ_{pj_{1}}(x + y)γ_{pj_{2}}(x_{2}) … γ_{pj_{t}}(x_{t}) \\ = & ∑_{s=0}^{pj_{1}}(m′)^{r}γ_{s}(x)γ_{pj_{1}−s}(y)γ_{pj_{2}}(x_{2}) … γ_{pj_{t}}(x_{t}) . \end{matrix}

Or si s est premier à p, d = (s, t, pj_{2}, … pj_{t}) est également premier à p. On sait que d divise r = p^{u}m′ avec (m′, p) = 1 donc d divise m′ et

(m′)^{r}γ_{s}(x)γ_{pj_{1}−s}(y)γ_{pj_{2}}(x_{2}) … γ_{pj_{t}}(x_{t}) = 0 .

Donc q_{p}(γ_{j_{1}}(x + y)γ_{j_{2}}(x_{2}) … γ_{j_{t}}(x_{t}))

\begin{matrix}= & ∑_{s=0,s=ps′}^{pj_{1}}(m′)^{r}γ_{s}(x)γ_{pj_{1}−s}(y)γ_{pj_{2}}(x_{2}) … γ_{pj_{t}}(x_{t}) \\ = & ∑_{s′=0}^{j_{1}}(m′)^{r}γ_{ps′}(x)γ_{p(j_{1}−s′)}(y)γ_{pj_{2}}(x_{2}) … γ_{pj_{t}}(x_{t}) \\ = & ∑_{s=0}^{j_{1}} q_{p}(γ_{s}(x)γ_{j_{1}−s}(y)γ_{pj_{2}}(x_{2}) … γ_{j_{t}}(x_{t})) . \end{matrix}

Vérification de (4): Si p est impair, (−1)^{pj_{1}} = (−1)^{j_{1}}, donc

\begin{aligned}q_{p}(γ_{j_{1}}(−x_{1})γ_{j_{2}}(x_{2}) … γ_{j_{t}}(x_{t})) & = & (m′)^{r}(−1)^{pj_{1}}γ_{pj_{1}}(x_{1}) … γ_{p.j_{t}}(x_{t}) \\ & = & (m′)^{r}(−1)^{j_{1}}γ_{pj_{1}}(x_{1}) … γ_{pj_{t}}(x_{t}) . \end{aligned}

Et si p = 2, (4) vient de (1) et (3). Nous avons donc construit un homomorphisme

\xymatrix{⨁_{p|r} Γ̃_{r/p}^{p}(L) \ar[r]^{q} & H_{0}(C^{r}(L))} .  (1.2.41)

surjectivité. Montrons que l’application q = ⊕_{p|r}q_{p} est surjective. H_{0}(C^{r}(L)) est engendré par les symboles

X = γ_{i_{1}}(x_{1}) … γ_{i_{s}}(x_{s}) avec (i_{1} + ⋯ + i_{s}) = r, i_{j} ≥ 2 .

On sait que si d = (i_{1}, …, i_{s}), dX = 0. Décomposons r en produit de nombres premiers, r = p_{1}^{s_{1}} … p_{l}^{s_{l}}. Puisque d divise r, d se décompose en

d = p_{α_{1}}^{s′_{1}} … p_{α_{e}}^{s′_{e}}.

Par conséquent, pour 1 ≤ k ≤ e et pour tout j, p_{α_{k}} divise i_{j}. Donc si l’on note m′_{i} = p_{1}^{s_{1}} … p̂_{i}^{s_{i}} … p_{l}^{s_{l}} et i_{j}^{(k)} = i_{j}/p_{α_{k}}, pour 1 ≤ k ≤ e,

q_{p_{α_{k}}} (γ_{i_{1}^{(k)}}(x_{1}) … γ_{i_{t}^{(k)}}(x_{t})) = (m′_{α_{k}})^{r}X.

Or ((m′_{α_{1}})^{r}, …, (m′_{α_{e}})^{r}) = 1. L’homomorphisme q est donc surjectif.

Injectivité. L’application q est la somme directe des applications q_{p}, donc il suffit de montrer que chaque q_{p} est injective. Nous allons pour cela utiliser le lemme 1.1.1. Dans le cas qui nous intéresse, les groupes sont abéliens libres, il suffit donc d’évaluer en ℤ puis d’étudier l’effet croisé.

Si L = ℤ,

H_{0}(C^{r}(ℤ)) = coker(Γ_{r−1}ℤ ⊗ ℤ → Γ_{r}ℤ)
≃ coker(ℤ →^{r} ℤ)
≃ ℤ_{/r}

Or si on note r = ∏ p_{i}^{s_{i}} la décomposition de r en facteur premiers, on a ℤ_{/r} = ⊕ℤ_{/p_{i}^{s_{i}}}. D’autre part, on sait d’après (1.2.20) que Γ̃_{r/p}(ℤ) = Γ_{r/p}(ℤ_{/p}) = ℤ_{/p(p^{∞},r/p)}. Donc

Γ̃_{r/p_{i}}(ℤ) = Γ_{r/p_{i}}(ℤ_{/p_{i}}) = ℤ_{/p_{i}^{s_{i}}} .  (1.2.42)

L’application q_{p} est alors la multiplication dans ℤ_{/p^{s}} par (m′)^{r} qui est premier à p. C’est donc un isomorphisme sur ℤ_{/p^{s}}. Regardons maintenant l’effet croisé. Pour L_{1} et L_{2} deux groupes abéliens libres. L’effet croisé en L_{1} et L_{2} du complexe C^{r} s’écrit d’après (1.2.32)

C^{r}(L_{1}|L_{2}) = ⨁_{i+j=r, i,j>0} C^{i}(L_{1}) ⊗ C^{j}(L_{2}) .  (1.2.43)

Donc d’après la formule de Künneth, l’effet croisé de H_{0}(C^{r}(−)) s’écrit

H_{0}(C^{r}(L_{1}|L_{2})) = ⨁_{i+j=r, i,j>0} H_{0}(C^{i}(L_{1})) ⊗ H_{0}(C^{j}(L_{2})) .  (1.2.44)

Le noyau de l’application q est alors la somme directe des noyaux des applications suivantes, pour i + j = r/p et p|r:

\xymatrix{Γ̃_{i}^{p}(L_{1}) ⊗ Γ̃_{j}^{p}(L_{2}) \ar[r] & H_{0}(C^{pi}(L_{1})) ⊗ H_{0}(C^{pj}(L_{2})) .}  (1.2.45)

Par récurrence sur r, Γ̃_{i}^{p}(L_{1}) et Γ̃_{j}^{p}(L_{2}) sont des facteurs directs respectivement H_{0}(C^{pi}(L_{1})) et H_{0}(C^{pj}(L_{2})), ce qui entraîne l’injectivité de l’application (1.2.45). Donc l’application q_{p} est injective sur les effets croisés. Ce qui termine la démonstration de la proposition 1.2.12. □

1.3 Les foncteurs dérivés de ⊗^{r} B

Dans cette section on décrit les foncteurs L_{i} ⊗^{r} qui nous permettront de donner une description des foncteurs L_{i}Sym^{r} et L_{i}Λ^{r} dans le chapitre 2.

Proposition 1.3.1 Soit B un groupe abélien. On définit B_{1} = ⋯ = B_{r} = B. On a l’isomorphisme d’Eilenberg-Zilber [16, ch 1, 1.2]:

\xymatrix{π_{i}(B_{1} ⊗^{L} … ⊗^{L} B_{r}) \ar[r]^{∼} & L_{i} ⊗^{r} B}

On notera à la suite de MacLane [18],

T or(B_{1}, …, B_{r}) := π_{r−1}(B_{1} ⊗^{L} … ⊗^{L} B_{r}),  (1.3.1)
Mult_{i}(B_{1}, …, B_{r}) := π_{i−1}(B_{1} ⊗^{L} … ⊗^{L} B_{r}).  (1.3.2)

Lorsque B_{1} = ⋯ = B_{r} = B, on notera

T or^{[r]}(B) = L_{r−1} ⊗^{r} B ≃ T or(\overbrace{B, …, B}^{r}).  (1.3.3)

On remarque alors que pour n, i et r trois entiers,

L_{i} ⊗^{r} (B, n) ≃ L_{i−rn} ⊗^{r} (B, 0) ,  (1.3.4)

et le diagramme suivant commute modulo le signe (−1)^{n−1}sgn(σ) pour σ ∈ Σ_{r},

[figure: L_{i} ⊗^{r} (B, n); σ; (−1)^{n−1}sgn(σ); L_{i} ⊗^{r} (B, n); L_{i−n} ⊗^{r} (B, 0); σ; L_{i−n} ⊗^{r} (B, 0) .]  (1.3.5)

On a une présentation classique du groupe (1.3.1) [18, 3.], ou [5, 3.11].

Proposition 1.3.2 Soient r ∈ ℕ et B_{1}, …, B_{r} des groupes abéliens. Le groupe T or(B_{1}, …, B_{r}) est la limite inductive du système d’objets _{h}B_{1}⊗⋯⊗ hB_{r} pour h ∈ ℕ déterminée par les diagrammes suivants pour h et k ∈ ℕ,

\xymatrix{ & _{hk}B_{1} ⊗ ⋯ ⊗ _{h}B_{i} ⊗ ⋯ ⊗ _{hk}B_{r} \ar[dl]_{p_{k}⊗1⊗p_{k}} \ar[dr]^{1⊗i_{k}⊗1} \\ _{h}B_{1} ⊗ ⋯ ⊗ _{h}B_{r} \ar[dr]_{τ_{h}} &  & _{hk}B_{1} ⊗ ⋯ ⊗ _{hk}B_{r} \ar[dl]^{τ_{hk}} \\  & T or(B_{1}, …, B_{r})}

(1.3.6)

dans lequel i_{k} : _{h}B → _{hk}B et p_{k} : _{hk}B → _{h}B sont respectivement l’inclusion et la “multiplication par k”.

Remarques 1.3.3 1. Le diagramme (1.3.6) exprime la relation de glissement (“slide” relations [18, (9)], ou [8, (3.2) iv],

τ_{hk}(x_{1}, …, x_{r}) = τ_{h}(kx_{1}, …, x_{i}, … kx_{r}) ,  (1.3.7)

où x_{j} ∈ _{hk}B pour j ≠ i et x_{i} ∈ _{h}B.

2. L’action d’une permutation σ ∈ Σ_{r} sur T or(B_{1}, …, B_{r}) est donné par le diagramme suivant, qui commute modulo le signe sgn(σ) (voir [17] pour r=3),

[figure: _{h}B_{1} ⊗ ⋯ ⊗ _{h}B_{r}; τ_{h}; sgn(σ); _{h}B_{σ(1)} ⊗ ⋯ ⊗ _{h}B_{σ(r)}; τ_{h}; T or(B_{1}, …, B_{r}); T or(B_{σ(1)}, …, B_{σ(r)}) .]  (1.3.8)

3. L’effet croisé de T or^{[r]} est donné pour B_{1}, …, B_{k} des groupes abéliens, par

T or^{[r]}(B_{1}| … |B_{k}) ≃ ⨁_{(r.)∈P \binom{r}{k}} ⨁_{α∈J_{r_{1},...,r_{k}}} T or(B_{α(1)}, …, B_{α(r)}) . (1.3.9)

Nous maintenant donner une description des foncteurs L_{i} ⊗^{r} dans la proposition suivante.

Proposition 1.3.4 Soient i, r ∈ ℕ et B un groupe abélien. Le groupe L_{i} ⊗^{r} B, est le quotient de la somme

⨁_{α∈Sh\binom{r}{i+1}}T or^{[i+1]}(B) ⊗ ( ⊗^{r−(i+1)} B)

par le sous groupe Jac_{⊗} engendré par les éléments suivants, pour tout ν ∈ Sh\binom{r}{i+2} et x_{j} ∈ B_{j}:

∑_{k=1}^{i+2} (−1)^{k}τ_{h}(x_{ν(1)},...,x̂_{ν(k)},...,x_{ν(i+2)})⊗x_{ν(i+3)}⊗...x_{ν(j_{k})}⊗x_{ν(k)}⊗x_{ν(j_{k}+1)}···⊗x_{ν(r)}, (1.3.10)

où ν(j_{k}) < ν(k) < ν(j_{k} + 1).

D’après la terminologie de MacLane [18], une relation du type

∑_{k=1}^{i+2} (−1)^{k}τ_{h}(x_{ν(1)},...,x̂_{ν(k)},...,x_{ν(i+2)})⊗x_{ν(i+3)}⊗...x_{ν(jk)}⊗x_{ν(k)}⊗x_{ν(jk+1)}···⊗x_{ν(r)}=0,

dans Mult_{i}(B_{1}, …, B_{r}) est appelée “relation de Jacobi”. On appelera donc Jac_{⊗} le sous groupe des relations de Jacobi.

Démonstration. Si B_{1}, …, B_{r} sont des groupes abéliens, d’après MacLane [18, (19)], le groupe Mult_{i+1}(B_{1}, …, B_{r}) est le quotient de la somme

⨁_{α∈Sh\binom{r}{i+1}}T or(B_{α(1)}, …, B_{α(i+1)}) ⊗ B_{α(i+2)} ⊗ ⋯ ⊗ B_{α(r)}

par le sous-groupe des relations de Jacobi engendré par les éléments suivants, pour tout ν ∈ Sh\binom{r}{i+2} et x_{j} ∈ B_{j}:

∑_{k=1}^{i+2} (−1)^{k}τ_{h}(x_{ν(1)},...,x̂_{ν(k)},...,x_{ν(i+2)})⊗x_{ν(i+3)}⊗...x_{ν(j_{k})}⊗x_{ν(k)}⊗x_{ν(j_{k}+1)}···⊗x_{ν(r)}, (1.3.11)

où ν(j_{k}) < ν(k) < ν(j_{k} + 1). Ainsi la suite

\xymatrix{Jac_{⊗} \ar@{^{(}->}[r] & ⨁_{α∈Sh\binom{r}{i+1}} {T or(B_{α(1)}, …, B_{α(i+1)}) \atop ⊗(B_{α(i+2)} ⊗ ⋯ ⊗ B_{α(r)})} \ar@{->>}[r] & Mult_{i+1}(B_{1}, …, B_{r})}

(1.3.12)

est une suite exacte courte. On utilise l’isomorphisme d’Eilenberg-Zilber de la proposition 1.3.1 pour conclure. □

Proposition 1.3.5 Soit B un groupe abélien, r et i deux entiers. On a une suite exacte à gauche sur les anti-invariants

\xymatrix{0 \ar[r] & (Jac_{⊗})^{Σ_{r}^{ϵ}} \ar[r] & (T or^{[i+1]}(B))^{Σ_{i+1}^{ϵ}} ⊗ ( ⊗^{r−(i+1)} B)^{Σ_{r−(i+1)}^{ϵ}} \ar[r] & (L_{i} ⊗^{r} B)^{Σ_{r}^{ϵ}}} .

Ainsi qu’une suite exacte à droite sur les co-invariants:

\xymatrix{(Jac_{⊗})_{Σ_{r}} \ar[r] & (T or^{[i+1]}(B))_{Σ_{i+1}} ⊗ ( ⊗^{r−(i+1)} B)_{Σ_{r−(i+1)}} \ar[r] & (L_{i} ⊗^{r} B)_{Σ_{r}} \ar[r] & 0} .

Démonstration. L’action de σ ∈ Σ_{r} sur Mult_{i+1}(B_{1}, …, B_{r}) est donnée par la permutation des groupes (B_{1}, …, B_{r}). Donc les diagrammes suivants où les morphismes horizontaux sont des isomorphismes commutent:

\xymatrix{⨁_{α∈Sh\binom{r}{i+1}} {T or(B_{α(1)}, …, B_{α(i+1)}) \atop ⊗(B_{α(i+2)} ⊗ ⋯ ⊗ B_{α(r)})} \ar[d] \ar[r]^{σ} & ⨁_{α∈Sh\binom{r}{i+1}} {T or(B_{σ(α(1))}, …, B_{σ(α(i+1))}) \atop ⊗(B_{σ(α(i+2))} ⊗ ⋯ ⊗ B_{σ(α(r))})} \ar[d] \\ Mult_{i+1}(B_{1}, …, B_{r}) \ar[r]^{σ} & Mult_{i+1}(B_{σ(1)}, …, B_{σ(r)})} .

(1.3.13)

En particulier, lorsque α = id ∈ Sh\binom{r}{i+1}, c’est-à-dire pour un élément

τ_{h}(x_{1}, …, x_{i+1}) ⊗ y_{1} ⊗ ⋯ ⊗ y_{r−(i+1)} ∈ T or(B_{1}, …, B_{i+1}) ⊗ B_{i+2} ⊗ ⋯ ⊗ B_{r},

si σ ∈ Sh\binom{r}{i+1}, l’action est décrite par σ(τ_{h}(x_{1}, …, x_{i+1}) ⊗ y_{1} ⊗ ⋯ ⊗ y_{r−(i+1)}) = τ_{h}(x_{1}, …, x_{i+1}) ⊗ y_{1} ⊗ ⋯ ⊗ y_{r−(i+1)}

∈ T or(B_{σ(1)}, …, B_{σ(i+1)}) ⊗ B_{σ(i+2)} ⊗ ⋯ ⊗ B_{σ(r)}.  (1.3.14)

Si σ = (ρ × τ) ∈ Σ_{i+1} × Σ_{r−(i+1)}, σ(τ_{h}(x_{1}, …, x_{i+1}) ⊗ y_{1} ⊗ ⋯ ⊗ y_{r−(i+1)}) =

sgn(ρ)τ_{h}(x_{ρ(1)}, …, x_{ρ(i+1)}) ⊗ y_{τ(1)} ⊗ ⋯ ⊗ y_{τ(r−(i+1))}.  (1.3.15)

L’ensemble Sh\binom{r}{k} forme un ensemble des représentants des classes du groupe (Σ_{k} × Σ_{r−k}) dans Σ_{r}, on a donc les isomorphismes suivants pour les antiinvariants et les co-invariants, si B_{1} = ⋯ = B_{r} = B

( ⨁_{α∈Sh\binom{r}{i+1}} {T or(B_{α(1)}, …, B_{α(i+1)}) \atop ⊗B_{α(i+2)} ⊗ … B_{α(r)}})^{Σ_{r}^{ϵ}}≃ (T or^{[i+1]}(B))^{Σ_{i+1}^{ϵ}}⊗( ⊗^{r−(i+1)} B)^{Σ_{r−(i+1)}^{ϵ}},

(1.3.16)

( ⨁_{α∈Sh\binom{r}{i+1}} {T or(B_{α(1)}, …, B_{α(i+1)}) \atop ⊗B_{α(i+2)} ⊗ … B_{α(r)}})_{Σ_{r}}≃ (T or^{[i+1]}(B))_{Σ_{i+1}}⊗( ⊗^{r−(i+1)} B)_{Σ_{r−(i+1)}}.

(1.3.17)

Cette action induit une suite exacte à gauche sur la partie anti-invariante de la suite (1.3.12) ainsi qu’une suite exacte à droite sur les co-invariants. La proposition 1.3.1 permet de conclure. □

Nous pouvons maintenant décrire la multiplication induite par la multiplication de ⊗^{∗} B dans L ⊗^{∗} B

\xymatrix{L_{i} ⊗^{s} B ⊗ L_{j} ⊗^{t} B \ar[r]^{μ} & L_{k} ⊗^{r} B} avec k = i + j, et r = s + t (1.3.18)

par les deux propositions suivantes.

Proposition 1.3.6 Soient k = i + j, r = s + t et B un groupe abélien. Le diagramme suivant commute,

\xymatrix{\begin{matrix}T or^{[i+1]}(B) ⊗ ( ⊗^{s−(i+1)} B) \\ ⊗T or^{[j+1]}(B) ⊗ ( ⊗^{t−(j+1)} B) \end{matrix} \ar[dd]_{μ⊗μ} \ar[r]^{1⊗T ⊗1} & \begin{matrix}T or^{[i+1]}(B) ⊗ T or^{[j+1]}(B) \\ ⊗( ⊗^{s−(i+1)} B) ⊗ ( ⊗^{t−(j+1)} B) \end{matrix} \ar[d]^{μ⊗μ} \\  & (L_{k} ⊗^{k+2} B) ⊗ ( ⊗^{r−(k+2)} B) \ar[d]^{μ} \\ (L_{i} ⊗^{s} B) ⊗ (L_{j} ⊗^{t} B) \ar[r]_{μ} & L_{k} ⊗^{r} B} (1.3.19)

Démonstration. Soit B_{1}, …, B_{r} des groupes abéliens. La commutativité du diagramme

\xymatrix{ & \begin{matrix}(B_{1} ⊗ ⋯ ⊗ B_{i+1}) ⊗ (B_{i+2} ⊗ ⋯ ⊗ B_{s}) \\ ⊗(B_{s+1} ⊗ ⋯ ⊗ B_{s+j+1}) ⊗ (B_{s+j+2} ⊗ ⋯ ⊗ B_{s+t}) \end{matrix} \ar@{-->}[dr]^{μ⊗μ∘T} \ar@{-->}[dl]_{μ⊗μ} \\ \begin{matrix}(B_{1} ⊗ ⋯ ⊗ B_{s}) \\ ⊗(B_{s+1} ⊗ ⋯ ⊗ B_{s+t}) \end{matrix} \ar@{-->}[dr]_{μ} &  & \begin{matrix}(B_{1} ⊗ ⋯ ⊗ B_{i+1} ⊗ B_{s+2} ⊗ ⋯ ⊗ B_{r}) \\ ⊗(B_{i+2} ⊗ ⋯ ⊗ B_{s} ⊗ B_{s+j+2} ⊗ ⋯ ⊗ B_{s+t}) \end{matrix} \ar@{-->}[dl]^{μ} \\  & B_{1} ⊗ ⋯ ⊗ B_{r}}

(1.3.20)

entraîne la commutativité du diagramme

\xymatrix{ & \begin{matrix}T or(B_{1}, …, B_{i+1}) ⊗ B_{i+2} ⊗ ⋯ ⊗ B_{s} \\ ⊗T or(B_{s+1}, …, B_{s+j+1}) ⊗ B_{s+j+2} ⊗ ⋯ ⊗ B_{s+t} \end{matrix} \ar@{-->}[dr]^{μ⊗μ∘T} \ar@{-->}[dl]_{μ⊗μ} \\ \begin{matrix}Mult_{i+1}(B_{1}, …, B_{s}) \\ ⊗Mult_{j+2}(B_{s+1}, …, B_{s+t}) \end{matrix} \ar@{-->}[dr]_{μ} &  & \begin{matrix}Mult_{k+1}(B_{1}, …, B_{i+1}, B_{s+2}, …, B_{r}) \\ ⊗B_{i+2} ⊗ ⋯ ⊗ B_{s} ⊗ B_{s+j+2} ⊗ ⋯ ⊗ B_{s+t} \end{matrix} \ar@{-->}[dl]^{μ} \\  & Mult_{k+1}(B_{1}, …, B_{r}) & .}

(1.3.21)

On conclut grâce à la prososition 1.3.1. □

Il suffit donc pour décrire totalement la multiplication dans L ⊗^{r} B, de décrire la multiplication de la proposition suivante (voir [18, §7] pour s=t=2).

Proposition 1.3.7 Soient r = s + t et B un groupe abélien. La multiplication

\xymatrix{T or^{[s]}(B) ⊗ T or^{[t]}(B) \ar[r]^{μ} & L_{r−2} ⊗^{r} B}

est donnée pour x_{i} ∈ _{h}B, 1 ≤ i ≤ r par μ(τ_{h}(x_{1}, …, x_{s}) ⊗ τ_{h}(x_{s+1}, …, x_{s+t})) =

∑_{j=1}^{t}(−1)^{j}τ_{h}(x_{1}, …, x̂_{s+j}, …, x_{s+t}) ⊗ x_{s+j}.  (1.3.22)

Remarque 1.3.8 On remarque que cette formule est symétrique en s et t, si l’on tient compte de la relation de Jacobi (1.3.10).

Démonstration. Soient B_{1}, …, B_{r} des groupes abéliens et P_{.}^{i} → B_{i} des résolutions projectives de ces groupes. Notons z_{i} ∈ P_{0}^{i} pour 1 ≤ i ≤ s + t des représentants de x_{i} ∈ _{h}B_{i} et u_{i} ∈ P_{1}^{i} tel que ∂(u_{i}) = hz_{i}. L’élément τ_{h}(x_{1}, …, x_{s}) ∈ T or(B_{1}, …, B_{s}) est représenté [18, (11)] par le cycle

ρ_{h}(z_{1}, …, z_{s}) = ∑_{i=1}^{s}(−1)^{i+1}u_{1} ⊗ ⋯ ⊗ z_{i} ⊗ ⋯ ⊗ u_{s} .  (1.3.23)

De la même façon, le cycle

ρ_{h}(x_{s+1}, …, x_{s+t}) = ∑_{j=1}^{r}(−1)^{j+1}u_{s+1} ⊗ ⋯ ⊗ z_{s+j} ⊗ ⋯ ⊗ u_{s+t} (1.3.24)

représente τ_{h}(x_{s+1}, …, x_{s+t})) ∈ T or(B_{s+1}, …, B_{s+t}). Le produit

μ(τ_{h}(x_{1}, …, x_{s}) ⊗ τ_{h}(x_{s+1}, …, x_{s+t})) ∈ Mult_{r−1}(B_{1}, …, B_{r})

est donc représenté par le cycle ρ_{h}(z_{1}, …, z_{s}) ⊗ ρ_{h}(x_{s+1}, …, x_{s+t})

= ∑_{i,j}(−1)^{i+j}(u_{1} ⊗ ⋯ ⊗ z_{i} ⊗ ⋯ ⊗ u_{s}) ⊗ (u_{s+1} ⊗ ⋯ ⊗ z_{s+j} ⊗ ⋯ ⊗ u_{s+t})
= ∑_{i,j}(−1)^{i+j}(u_{1} ⊗ ⋯ ⊗ z_{i} ⊗ ⋯ ⊗ u_{s}) ⊗ (u_{s+1} ⊗ ⋯ ⊗ z_{s+j} ⊗ ⋯ ⊗ u_{s+t})

= ∑_{j=1}^{t}(−1)^{j} ∑_{i=1,i≠s+j}^{s+t}(−1)^{ϵ(i)}(u_{1} ⊗ ⋯ ⊗ z_{i} ⊗ ⋯ ⊗ ẑ_{s+j} ⊗ ⋯ ⊗ u_{s+t}) ⊗ z_{s+j}

où ϵ(i) = i + 1 si i < s + j et ϵ(i) = i si i > s + j, car

∑_{j=1}^{t}(−1)^{j} ∑_{i=s+1,i≠s+j}^{s+t}(−1)^{ϵ(i)}(u_{1} ⊗ ⋯ ⊗ z_{i} ⊗ ⋯ ⊗ ẑ_{s+j} ⊗ ⋯ ⊗ u_{s+t}) ⊗ z_{s+j} = 0 .

La multiplication

\xymatrix{T or(B_{1}, …, B_{s}) ⊗ T or(B_{s+1}, …, B_{s+t}) \ar[r]^{μ} & Mult_{r−1}(B_{1}, …, B_{r})}

est donc donnée par μ(τ_{h}(x_{1}, …, x_{s}) ⊗ τ_{h}(x_{s+1}, …, x_{s+t})) =

∑_{j=1}^{t}(−1)^{j}τ_{h}(x_{1}, …, x̂_{s+j}, …, x_{s+t}) ⊗ x_{s+j}.  (1.3.25)

L’isomorphisme de (1.3.1) permet de conclure. □

Les foncteurs dérivés de Sym^{r}, Λ^{r} et l’homologie des K(B, n)

2.1 H(B, n; ℤ) et les L_{i}Sym^{r}(B, n)

Breen a montré la proposition suivante [5, 1.1].

Proposition 2.1.1 Soient B un groupe abélien, n ≥ 1 et P → K(B, n) une résolution libre de K(B, n). La filtration de ℤP par les puissances de l’idéal d’augmentation détermine fonctoriellement en B une suite spectrale

E_{i,j}^{2} = L_{i+j}Sym^{j}(B, n) ⇒ H_{i+j}(B, n)  (2.1.1)

compatible à la structure d’algèbre, qui dégénère en E^{2}.

En utilisant les isomorphismes de décalage (1.2.27) et (1.2.28), on obtient les suites spectrales suivantes,

E_{i,j}^{2} = L_{i}Λ^{j}B ⇒ H_{i+j}(B, 1) ,  (2.1.2)
E_{i,j}^{2} = L_{i}Γ_{j}B ⇒ H_{i+2j}(B, 2) .  (2.1.3)

Ceci nous permet d’avoir les deux propositions suivantes.

Proposition 2.1.2 Soit B un groupe abélien, on a une filtration de H_{k}(B) de longueur k − [\frac{k}{2}] dont le gradué est donné pour 0 ≤ i ≤ k − [\frac{k}{2}] − 1 par

gr_{i}H_{k}(B) = L_{i}Λ^{k−i}B .  (2.1.4)

De plus cette filtration est compatible à la structure d’algèbre de H_{∗}(B).

Cela découle immédiatement de la proposition 2.1.1. □

La compatibilité à la structure d’algèbre implique en particulier l’injection de l’algèbre extérieure dans l’homologie de B:

\xymatrix{Λ^{∗}B \ar@{^{(}->}[r] & H_{∗}(B)} .  (2.1.5)

Cette injection est un isomorphisme lorsque B est sans torsion.

Proposition 2.1.3 Soit B un groupe abélien, on a une filtration du groupe H_{k}(B, 2) de longueur k −[\frac{k}{2}] dont le gradué est donné pour 0 ≤ i ≤ k −[\frac{k}{2}]−1 par

gr_{i}H_{k}(B, 2) = L_{i}Γ_{k−2i}B .  (2.1.6)

De plus cette filtration est compatible à la structure d’algèbre de H_{∗}(B).

Cela découle immédiatement de la proposition 2.1.1. □

La compatibilité à la structure d’algèbre implique en particulier l’injection de l’algèbre à puissances divisées dans l’homologie de K(B, 2):

\xymatrix{Γ_{∗}(B) \ar@{^{(}->}[r] & H_{∗}(B, 2)} .  (2.1.7)

De plus cette injection est un isomorphisme lorsque B est sans torsion.

2.2 Description des foncteurs L_{i}Sym^{r}

Nous allons comparer dans un premier temps les foncteurs L_{i} ⊗^{r} avec les foncteurs L_{i}Sym^{r}. Cela nous permettra alors de donner une description de ces derniers.

Lemme 2.2.1 Pour tout groupe abélien B et tout r > 0, l’application fonctorielle

\xymatrix{(L_{i} ⊗^{r} B)_{Σ_{r}} \ar[r] & L_{i}Sym^{r}B}

induite par l’application s^{r} de (1.2.5) est surjective.

Démonstration. L’application Σ_{r}-invariante s^{r} induit une application invariante sur les foncteurs dérivés qui se factorise par

\xymatrix{L_{i} ⊗^{r} B \ar[d] \ar@{-->}[dr]^{L_{i}s^{r}} \\ (L_{i} ⊗^{r} B)_{Σ_{r}} \ar[r] & L_{i}Sym^{r}B .}  (2.2.1)

On va montrer que L_{i}s^{r} est surjective. Ainsi, l’application horizontale sera également surjective. On utilise pour cela le lemme 1.1.1. Soit k, k′ ∈ ℕ, k′ ≤ k et (n_{1}, …, n_{k}) une famille dans ℕ ∪ {∞} telle que

n_{j} = ∞ ⇔ j > k′ .

Montrons que l’application

\xymatrix{L_{i} ⊗^{r} (ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) \ar[r] & L_{i}Sym^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}})}  (2.2.2)

est surjective. Notons que

L_{i} ⊗^{r} (ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) ≃ ⨁_{α∈J_{r_{1},...,r_{k}}}π_{i}(ℤ_{/n_{α(1)}} ⊗^{L} … ⊗^{L} ℤ_{/n_{α(r)}})  , (2.2.3)

L_{i}Sym^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) ≃ π_{i}(LSym^{r_{1}}ℤ_{/n_{1}} ⊗^{L} … ⊗^{L} LSym^{r_{k}}ℤ_{/n_{k}}) . (2.2.4)

Remarquons ensuite que si B = B_{1} ⊕ B_{2}, le diagramme suivant commute,

\xymatrix{⨁_{s+t=r}(⊗^{s} B_{1}) ⊗ (⊗^{t} B_{2}) \ar[r] \ar[d]_{⊕s^{s}⊗s^{t}} & ⊗^{r} (B_{1} ⊕ B_{2}) \ar[d]^{s^{r}} \\ ⨁_{s+t=r}(Sym^{s}B_{1} ⊗ Sym^{t}B_{2}) \ar[r] & Sym^{r}(B_{1} ⊕ B_{2}).}  (2.2.5)

Donc le diagramme

\xymatrix{⨁_{s+t=r} π_{∗}((L ⊗^{s} B_{1}) ⊗^{L} (L ⊗^{t} B_{2})) \ar[r] \ar[d] & L_{∗} ⊗^{r} (B_{1} ⊕ B_{2}) \ar[d] \\ ⨁_{s+t=r} π_{∗}(LSym^{s}B_{1} ⊗^{L} LSym^{t}B_{2}) \ar[r] & L_{∗}Sym^{r}(B_{1} ⊕ B_{2})}  (2.2.6)

commute, ce qui permet de factoriser l’application (2.2.2) par la somme des applications suivantes pour ∑ r_{j} = r, r_{j} > 0,

\xymatrix{⨁_{α∈J_{r_{1},...,r_{k}}} π_{i}(ℤ_{/n_{α(1)}} ⊗^{L} … ⊗^{L} ℤ_{/n_{α(r)}}) \ar@{->>}[d] \ar@{-->}[dr] \\ π_{i}(L ⊗^{r_{1}} ℤ_{/n_{1}} ⊗^{L} … ⊗^{L}L ⊗^{r_{k}} ℤ_{/n_{k}}) \ar[r] & π_{i}(LSym^{r_{1}}ℤ_{/n_{1}} ⊗^{L} … ⊗^{L}LSym^{r_{k}}ℤ_{/n_{k}}).}

(2.2.7)

D’après (1.2.30), le groupe L_{i}Sym^{r}ℤ_{/n} est nul si i > 0 et est isomorphe à ℤ_{/n} si i = 0. On a alors les morphismes successifs,

π_{i}((L ⊗^{r_{1}} ℤ_{/n_{1}}) ⊗^{L} … ⊗^{L} (L ⊗^{r_{k}} ℤ_{/n_{k}}))

[figure: Mult_{i+1}((L_{0} ⊗^{r_{1}} ℤ_{/n_{1}}), …, (L_{0} ⊗^{r_{k}} ℤ_{/n_{k}}))]

≃ Mult_{i+1}(L_{0}Sym^{r_{1}}ℤ_{/n_{1}}, …, L_{0}Sym^{r_{k}}ℤ_{/n_{k}})

≃ π_{i}(LSym^{r_{1}}ℤ_{/n_{1}} ⊗^{L} … ⊗^{L} LSym^{r_{k}}ℤ_{/n_{k}}).

L’application composée (2.2.7) est donc surjective. □

Corollaire 2.2.2 Pour tout groupe abélien B et tout r > 0, L_{i}Sym^{r}B = 0 lorsque i ≥ r.

Des considérations sur les degrés nous donnaient déjà L_{i}Sym^{r}B = 0 pour i > r. Le résultat nouveau est L_{r}Sym^{r}B = 0. On va maintenant décrire le foncteur dérivé de plus haut degré L_{r−1}Sym^{r}.

Définition 2.2.3 Soit B un groupe abélien, r ∈ ℕ. Le groupe S_{r}(B) est le quotient de T or^{[r]}(B) par les relations

τ_{h}(x_{1}, …, x_{r}) = 0 si x_{i} = x_{j}, pour des certains i et j, i ≠ j.

Remarque 2.2.4 Le groupe S_{r}(B) est la limite inductive des applications

\xymatrix{Λ^{r}(_{h}B) \ar[r]^{β_{h}} & S_{r}(B)}  (2.2.8)

déterminée par les diagrammes suivants

\xymatrix{ & Λ^{r−1}(_{hk}B) ⊗ _{h}B \ar[dl]_{μ∘Λ^{r}p_{k}⊗1} \ar[dr]^{μ∘1⊗i_{k}} \\ Λ^{r}(_{h}B) \ar[dr]_{β_{h}} &  & Λ^{r}(_{hk}B) \ar@{-->}[dl]^{β_{hk}} \\  & S_{r}(B) & .}  (2.2.9)

En particulier, si n ∈ ℕ ∪ {∞},

\begin{matrix}S_{r}(ℤ_{/n}) = 0 & si r > 1, \\ S_{1}(ℤ_{/n}) = ℤ_{/n} . \end{matrix}  (2.2.10)

Théorème 2.2.5 Soit B un groupe abélien, r ≥ 1. On a un isomorphisme fonctoriel

\xymatrix{S_{r}(B) \ar[r]^{f_{r}}_{∼} & L_{r−1}Sym^{r}B} .  (2.2.11)

Démonstration. On va tout d’abord construire l’application f_{r}. L’isomorphisme canonique

Sym_{ℤ_{/h}}^{r}(B ⊗ ℤ_{/h}) ≃ Sym_{ℤ}^{r}B ⊗_{ℤ} ℤ_{/h}  (2.2.12)

induit une équivalence

LSym_{ℤ_{/h}}^{r}(B ⊗^{L} ℤ_{/h}) ≃ LSym_{ℤ}^{r}B ⊗^{L}_{ℤ} ℤ_{/h} .  (2.2.13)

La suite exacte courte

\xymatrix{ℤ \ar@{^{(}->}[r]^{h} & ℤ \ar@{->>}[r] & ℤ_{/h}}  (2.2.14)

détermine le dévissage canonique

\xymatrix{_{h}B[1] \ar[r] & B ⊗^{L} ℤ_{/h} \ar[r] & B ⊗ ℤ_{/h}} .  (2.2.15)

Composons maintenant l’application (2.2.13) avec l’application de gauche de ce dévissage pour obtenir

\xymatrix{LSym_{ℤ_{/h}}^{r}(_{h}B, 1) \ar[r] & LSym_{ℤ_{/h}}^{r}(B ⊗^{L} ℤ_{/h}) ≃ LSym_{ℤ}^{r}B ⊗^{L}_{ℤ} ℤ_{/h}} . (2.2.16)

Regardons maintenant cette application composée en degré r. On obtient grâce au corollaire 2.2.2 et à la formule de Künneth l’application suivante:

\xymatrix{L_{r}Sym^{r}(_{h}B, 1) \ar[r] & π_{r}(LSym_{ℤ}^{r}B ⊗^{L}_{ℤ} ℤ_{/h}) ≃ _{h}L_{r−1}Sym^{r}B} . (2.2.17)

On utilise ensuite l’isomorphisme de décalage Λ^{r}(_{h}B) ≃ L_{r}Sym^{r}(_{h}B, 1) pour définir les applications fonctorielles

β′_{h} : \xymatrix{Λ^{r}(_{h}B) \ar[r] & L_{r−1}Sym^{r}B} .  (2.2.18)

Les diagrammes suivants commutent

\xymatrix{⊗^{r} (_{h}B) \ar[r] \ar[d]_{τ_{h}} & Λ^{r}(_{h}B) \ar[d]^{β′_{h}} \\ T or^{[r]}(B) \ar[r] & L_{r−1}Sym^{r}B ,}  (2.2.19)

\xymatrix{ & Λ^{r−1}(_{hk}B) ⊗ _{h}B \ar[dl]_{μ∘Λ^{r}p_{k}⊗1} \ar[dr]^{μ∘1⊗i_{k}} \\ Λ^{r}(_{h}B) \ar[dr]_{β′_{h}} &  & Λ^{r}(_{hk}B) \ar[dl]^{β′_{hk}} \\  & L_{r−1}Sym^{r}B & .}  (2.2.20)

Par définition de S_{r}, on a donc une application fonctorielle

\xymatrix{S_{r}(B) \ar[r]^{f_{r}} & L_{r−1}Sym^{r}B}  (2.2.21)

où

β_{n}(x_{1}, …, x_{r}) ↦ β′_{n}(x_{1}, …, x_{r}).  (2.2.22)

On utilise maintenant le lemme 1.1.1. Soit (n_{1}, …, n_{k}) une famille dans ℕ ∪ {∞} telle que

n_{j} = ∞ ⇔ j > k′ .

Montrons que les applications

\xymatrix{S_{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) \ar[r] & L_{r−1}Sym^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}})}  (2.2.23)

sont des isomorphismes. Notons d = (n_{1}, …, n_{k}). On remarque aisément que les effets croisés sont les suivants d’après la formule de Künneth,

S_{r}(A|B) = ⨁_{{s+t=r \atop s,t>0}}T or(S_{s}(A), S_{t}(B))  (2.2.24)

L_{r−1}Sym^{r}(A|B) = ⨁_{{s+t=r \atop s,t>0}}T or(L_{s−1}Sym^{s}(A), L_{t−1}Sym^{t}(B))(2.2.25)

Donc d’après (1.2.30) et (2.2.10),

S_{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) = \{ \begin{matrix}0 & si k ≠ r \\ ℤ_{/d} & si k = r \end{matrix}  (2.2.26)
L_{r−1}Sym^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) = \{ \begin{matrix}0 & si k ≠ r \\ ℤ_{/d} & si k = r \end{matrix}  (2.2.27)

On voit ensuite que dans le cas k = r, les générateurs de S_{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) et L_{r−1}Sym^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) sont respectivement

β_{d}([n_{1}/d], …, [n_{k}/d]) et β′_{d}([n_{1}/d], …, [n_{k}/d]),

d’où l’isomorphisme. □

Ce foncteur nous permet de donner une description des foncteurs L_{i}Sym^{r}.

Définition 2.2.6 Soient i, r deux entiers tels que 0 ≤ i ≤ r. Soit B un groupe abélien, on définit les foncteurs

K_{r}^{i}(B) = S_{i+1}B ⊗ Sym^{r−(i+1)}B
K̃_{r}^{i}(B) = S_{i+1}B ˜⊗Sym^{r−(i+1)}B

où ˜⊗ signifie que l’on considère le quotient du groupe S_{i+1}B ⊗ Sym^{r−(i+1)}B par le sous-groupe Jac_{S} engendré par les éléments suivants, pour 1 ≤ j ≤ i + 1, ∑ i_{k} = i + 1 et hx_{1} = ⋯ = hx_{i+2} = 0,

∑_{k=1}^{i+2}(−1)^{k}β_{h}(x_{1}, …, x̂_{k}, …, x_{i+2}) ⊗ x_{k}y_{1} … y_{r−i−2} .  (2.2.28)

Théorème 2.2.7 Soient i, r deux entiers tels que 0 ≤ i ≤ r. Soit B un groupe abélien, on a un isomorphisme fonctoriel,

\xymatrix{K̃_{r}^{i}(B) \ar[r]^{∼} & L_{i}Sym^{r}B} .

Démonstration. Considérons l’application composée suivante,

\xymatrix{L_{i}Sym^{i+1}B ⊗ L_{0}Sym^{r−(i+1)}B \ar[r] \ar[dr] & π_{i}(LSym^{i+1}B ⊗^{L} LSym^{r−(i+1)}B) \ar[d] \\  & L_{i}Sym^{r}B}

(2.2.29)

où l’application de gauche est l’injection de la suite exacte courte de Künneth et celle de droite est l’application induite par la multiplication dans l’algèbre Sym^{∗}B. On remarque que L_{0}Sym^{r−(i+1)}B ≃ Sym^{r−(i+1)}B car Sym^{r−(i+1)} est un foncteur exact à gauche. L’application (2.2.29) est donc l’application fonctorielle suivante,

\xymatrix{K_{i}^{r}(B) = S_{i+1}B ⊗ Sym^{r−(i+1)}B \ar[r] & L_{i}Sym^{r}B} .  (2.2.30)

Nous allons maintenant montrer que cette application passe au quotient du sous-groupe Jac_{S}. La projection (1.2.5) induit l’application g = L_{i}s^{(i+1)} ⊗ s^{(r−(i+1))},

\xymatrix{(T or^{[i+1]}(B))_{Σ_{i+1}} ⊗ ( ⊗^{r−(i+1)} B)_{Σ_{r−(i+1)}} \ar[r]^{g} & S_{i+1}B ⊗ Sym^{r−(i+1)}B} (2.2.31)

telle que

g([τ_{h}(x_{1}, …, x_{i+1})] ⊗ y_{1} … y_{r−(i+1)}) = β_{h}(x_{1}, …, x_{i+1}) ⊗ y_{1} … y_{r−(i+1)} .

(2.2.32)

Remarquons que

g([∑_{k=1}^{i+2}(−1)^{k}β_{h}(x_{1}, …, x̂_{k}, …, x_{i+2}) ⊗ x_{k}y_{1} … y_{r−i−2}]) =

∑_{k=1}^{i+2}(−1)^{k}β_{h}(x_{1}, …, x̂_{k}, …, x_{i+2}) ⊗ x_{k}y_{1} … y_{r−i−2} .  (2.2.33)

Donc Jac_{S} ⊂ g((Jac_{⊗})_{Σ_{r}}). Le diagramme suivant est donc commutatif,

\xymatrix{(Jac_{⊗})_{Σ_{r}} \ar[r] \ar@{->>}[d] & (T or^{[i+1]}(B))_{Σ_{i+1}} ⊗ ( ⊗^{r−(i+1)} B)_{Σ_{r−(i+1)}} \ar@{->>}[r] \ar@{->>}[d] & (L_{i} ⊗^{r} B)_{Σ_{r}} \ar@{->>}[d] \\ Jac_{S} \ar@{^{(}->}[r] & S_{i+1}B ⊗ Sym^{r−(i+1)}B \ar[r] & L_{i}Sym^{r}B .}

(2.2.34)

En particulier l’application composée du bas est nulle. On a donc défini une application fonctorielle

\xymatrix{K̃_{r}^{i}(B) \ar[r] & L_{i}Sym^{r}B} .  (2.2.35)

Remarquons également que la commutativité du diagramme (2.2.34) et en particulier la surjectivité de l’application verticale de droite implique que l’application (2.2.35) est surjective. Montrons à présent que c’est un isomorphisme. Pour cela nous utiliserons la proposition suivante.

Proposition 2.2.8 Soit k, k′ ∈ ℕ, k′ ≤ k et (n_{1}, …, n_{k}) une famille dans ℕ ∪ {∞} telle que

n_{j} = ∞ ⇔ j > k′ ,

alors les applications

\xymatrix{K̃_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) \ar[r] & L_{i}Sym^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}})}

sont des isomorphismes

Démonstration. On sait déjà que ces applications sont surjectives. On montre ensuite que la source et le but sont des groupes finis de même ordre. Nous allons pour cela décrire les groupes concernés dans les deux lemmes qui suivent.

Lemme 2.2.9 Soit d = (n_{1}, …, n_{k}). Le groupe

K̃_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}})

est le quotient de la somme directe

K_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) = ⨁_{(l,i.,σ,τ)∈C_{s}(i)} ℤ_{/d}(ζ_{(i_{1},...,i_{l},τ,σ)})

où la somme se fait sur les conditions C_{s}(i), • 1 ≤ l ≤ r − (i + 1), (i.) ∈ P \binom{r−(i+1)}{l},

• σ ∈ Cr\binom{k′}{i+1}, τ ∈ Cr\binom{i+1}{k−l},

par le sous-groupe J_{ζ}. Ce sous-groupe est l’image du groupe

\overline{J}_{ζ} = ⨁_{(L,I.,S,T)∈C_{s}(i+1)} ℤ_{/d}(\overline{ζ}_{(I_{1},...,I_{L},T,S)})

par l’application

\overline{ζ}_{(I_{1},...,I_{L},T,S)} ↦ ∑_{j=1}^{i+2} ζ_{(I_{1},...,I_{(\overline{S}∪S\overline{T})^{−1}(j)}+1,...,I_{L},T −T (j),S−S(j))}.  (2.2.36)

Démonstration. La description des effets croisés de S_{i+1} et de Sym^{r−(i+1)} et leur valeur dans les groupes cycliques permet de décrire le groupe

K_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}})

comme la somme

⨁_{C_{s}(i)} ( \begin{matrix}T or(ℤ_{/n_{σ(1)}}, …, ℤ_{/n_{σ(i+1)}}) ⊗ Sym^{i_{1}}ℤ_{/n_{ρ(1)}} ⊗ ⋯ ⊗ Sym^{i_{l′}}ℤ_{/n_{ρ(l′)}} \\ ⊗Sym^{i_{l′+1}}ℤ_{/n_{k′+1}} ⊗ ⋯ ⊗ Sym^{i_{l}}ℤ_{/n_{k}} \end{matrix} ) ,

(2.2.37)

où ρ = (\overline{σ} ∪ σ\overline{τ}) et l′ = l − (k − k′). On définit les ζ_{(i_{1},...,i_{l},τ,σ)} comme les générateurs de cette somme. On remarque ensuite que les relations de Jacobi sont décrites par l’application (2.2.36). □

Lemme 2.2.10 Soit d = (n_{1}, …, n_{k}). Le groupe

L_{i}Sym^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}})

est le quotient de la somme directe

⨁_{(r.,σ)∈D_{s}(i)} ℤ_{/d}(ξ_{(r_{1},...,r_{k},σ)}])

où la somme se fait sur les conditions D_{s}(i)

• (r.) ∈ P \binom{r}{k},

• σ ∈ Cr\binom{k′}{i+1}, par le sous-groupe J_{ξ}. Ce sous-groupe est l’image du groupe

\overline{J}_{ξ} = ⨁_{(r.,S)∈D_{s}(i+1)} ℤ_{/d}(\overline{ξ}_{(r_{1},...,r_{k},S)})

par l’application

\overline{ξ}_{(r_{1},...,r_{k},S)} ↦ ∑_{j=1}^{i+2} ξ_{(r_{1},...,r_{k},S−S(j))}.  (2.2.38)

Démonstration. On calcule, L_{i}Sym^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}})

= ⨁_{r.∈P \binom{r}{k}} π_{i}(LSym^{r_{1}}ℤ_{/n_{1}} ⊗^{L} … ⊗^{L} LSym^{r_{k}}ℤ_{/n_{k}}) ,  (2.2.39)

≃ ⨁_{r.∈P \binom{r}{k}} Mult_{i}(Sym^{r_{1}}ℤ_{/n_{1}}, …, Sym^{r_{k}}ℤ_{/n_{k}}) ,  (2.2.40)

or Mult_{i}(Sym^{r_{1}}ℤ_{/n_{1}}, …, Sym^{r_{k}}ℤ_{/n_{k}}) ≃ Mult_{i}(ℤ_{/n_{1}}, …, ℤ_{/n_{k′}}, ℤ, …, ℤ) est le quotient de

⨁_{σ∈Cr\binom{k}{i+1}} ( \begin{matrix}T or(ℤ_{/n_{σ(1)}}, …, ℤ_{/n_{σ(i+1)}}) \\ ⊗ℤ_{/n_{\overline{σ}(1)}} ⊗ ⋯ ⊗ ℤ_{/n_{\overline{σ}(k′−(i+1))}} ⊗ \overbrace{ℤ ⊗ ⋯ ⊗ ℤ}^{k−k′} \end{matrix} ) .  (2.2.41)

par les relations de Jacobi. Il suffit alors de définir ξ_{(r_{1},...,r_{k},σ)} comme les générateurs de cette somme, puis de vérifier que les relations de Jacobi sont bien données par l’application (2.2.38). □

Remarquons maintenant que les ensembles

P \binom{r}{k} et ⋃_{1≤l≤r−(i+1)} P \binom{r−(i+1)}{l} × Cr\binom{i+1}{k−l}

sont tous les deux en bijection avec l’ensemble Cr\binom{r−1}{k−1}. En effet on définit les applications

\xymatrix{P \binom{r}{k} \ar[r]^{f} & Cr\binom{r−1}{k−1} \ar[r]^{f′} \ar[l]^{g} & ⋃_{1≤l≤r−(i+1)} P \binom{r−(i+1)}{l} × Cr\binom{i+1}{k−l} \ar[l]^{g′}}  (2.2.42)

de la façon suivante,

\begin{matrix}f(r.) = r̂ \\ f′(ρ) = (i., σ) \end{matrix}  (2.2.43)

avec

i_{1} = ρ(1)
i_{j} = ρ(j) − ρ(j − 1)  si ρ(j) < r − (i + 1)
i_{l} = r − (i + 1) − ρ(l − 1)  avec l = inf{j, ρ(j) > r − (i + 1)}
σ(j) = ρ(j + l) − (r − (i + 1))

et

\begin{matrix}g(ρ) = ρ̃ \\ g′(i., σ) = î⊕ σ. \end{matrix}  (2.2.44)

On notera ϕ = f′ ∘ f et ψ = g ∘ g′. On définit maintenant deux applications

\xymatrix{⨁_{D_{s}(i)} ℤ_{/d}(ξ) \ar[r]^{Φ} & ⨁_{C_{s}(i)} ℤ_{/d}(ζ) \ar[l]^{Ψ}}  (2.2.45)

de la façon suivante:

Φ(ζ_{(i.,τ,σ)}) = ∑_{j=1}^{i+2} ∑_{α=1}^{i+1}(−1)^{e}ξ_{(ϕ((i′_{1},...,i′_{\overline{σ}∪σ\overline{τ}(j)+1},...,i_{l}),τ−τ(α)+\overline{τ}(1)),σ)}  (2.2.46)

où i′_{1} = i_{1} − 1 et i′_{j} = i_{j} pour j > 1. e = ∑_{0<k≤j} i_{\overline{σ}∪σ\overline{τ}(k)} + α.

Φ(ξ_{(ψ(i.;τ),σ)}) = ∑_{j=1}^{i+2} ∑_{α=1}^{i+1}(−1)^{e}ζ_{((i′_{1},...,i′_{\overline{σ}∪σ\overline{τ}(j)+1},...,i_{l}),τ−τ(α)+\overline{τ}(1),σ)}.  (2.2.47)

On vérifie alors que Φ ∘ Ψ = Id et Ψ ∘ Φ = Id. On a également

\begin{matrix}Φ(J_{ξ}) ⊂ J_{ζ} \\ Ψ(J_{ζ}) ⊂ J_{ξ} \end{matrix}

Ce qui permet de conclure d’après les lemmes 2.2.10 et 2.2.9 que les deux groupes K̃_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) et L_{i}Sym^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) sont des groupes finis de même ordre. Ceci termine la démonstration de la proposition 2.2.8 et du théorème 2.2.7 grâce au lemme 1.1.1. □

On peut maintenant décrire la multiplication dans LSym^{∗}B induite par la multiplication de Sym^{∗}

\xymatrix{L_{i}Sym^{s}B ⊗ L_{j}Sym^{t}B \ar[r]^{μ} & L_{k}Sym^{r}B} avec k = i + j, et r = s + t .

(2.2.48)

\xymatrix{(L_{i} ⊗^{s} B)_{Σ_{s}} ⊗ (L_{j} ⊗^{t} B)_{Σ_{t}} \ar[r]^{μ} \ar@{->>}[d] & (L_{k} ⊗^{r} B)_{Σ_{r}} \ar@{->>}[d] \\ L_{i}Sym^{s}B ⊗ L_{j}Sym^{t}B \ar[r]^{μ} & L_{k}Sym^{r}B}

où les applications horizontales sont respectivement induites par les multiplications dans les algèbres tensorielle et symétrique.

Démonstration. On considère le diagramme commutatif (2.2.6) avec B_{1} = B_{2} = B que l’on compose à gauche avec l’injection de la formule de Künneth et à droite avec la multiplication dans B. □

Ceci accompagné des propositions 1.3.6 et 1.3.7 permet de décrire la multiplication (2.2.48) par les deux propositions suivantes.

Proposition 2.2.12 Soient k = i + j, r = s + t et B un groupe abélien. Le diagramme suivant commute,

\xymatrix{S_{i}(B) ⊗ Sym^{s−i}B ⊗ S_{j}(B) ⊗ Sym^{t−j}B \ar[r]^{μ⊗μ∘T} \ar[d]_{μ⊗μ} & L_{k−2}Sym^{k}B ⊗ Sym^{r−k}B \ar[d]^{μ} \\ L_{i−1}Sym^{s}B ⊗ L_{j−1}Sym^{t}B \ar[r]_{μ} & L_{k−2}Sym^{r}B .}

Proposition 2.2.13 Soient r = s + t et B un groupe abélien. La multiplication

\xymatrix{S_{s}(B) ⊗ S_{t}(B) \ar[r]^{μ} & L_{r−2}Sym^{r}B ≃ S_{r−1}(B)˜⊗B}

est donnée pour x_{i} ∈ _{h}B, 1 ≤ i ≤ r, par μ(β_{h}(x_{1}, …, x_{s}) ⊗ β_{h}(x_{s+1}, …, x_{s+t})) =

∑_{j=1}^{t}(−1)^{j}β_{h}(x_{1}, …, x̂_{s+j}, …, x_{s+t}) ⊗ x_{s+j}.

Remarque 2.2.14 On remarque que cette formule est symétrique en s et t, en tenant compte de la relation de Jacobi.

2.3 Description des foncteurs L_{i}Λ^{r}

Des résultats partiels sont déjà connus. Par exemple, J.R. Dennett [9] a calculé ces foncteurs pour r=2. L. Breen [5, §5] a pour sa part décrit le foncteur Ω_{r} = L_{r−1}Λ^{r} que nous allons utiliser. Cependant le théorème 4.7 de [5] doit être corrigé par le théorème 2.3.5 ci-dessous. Le cheminement de cette section est analogue à celui de la section précédente.

Lemme 2.3.1 Pour tout groupe abélien B et tout r > 0, l’application fonctorielle

\xymatrix{L_{i}Λ^{r}B \ar[r] & (L_{i} ⊗^{r} B)^{Σ_{r}^{ϵ}}}

induite par l’application j^{r} de (1.2.8) est injective.

Démonstration. L’application Σ_{r}-anti-invariante j^{r} induit une application anti-invariante sur les foncteurs dérivés qui se factorise de la façon suivante

\xymatrix{L_{i}Λ^{r}B \ar[dr]^{L_{i}j^{r}} \ar[d] \\ (L_{i} ⊗^{r} B)^{Σ_{r}^{ϵ}} \ar[r] & L_{i} ⊗^{r} B .}  (2.3.1)

On va montrer que L_{i}j^{r} est injective. Ainsi, l’application de gauche sera également injective. On utilise pour cela le lemme 1.1.1. Soit k, k′ ∈ ℕ, k′ ≤ k et (n_{1}, …, n_{k}) une famille dans ℕ ∪ {∞} telle que

n_{j} = ∞ ⇔ j > k′ .

Montrons que l’application

\xymatrix{L_{i}Λ^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) \ar[r] & L_{i} ⊗^{r} (ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}})}  (2.3.2)

est injective. On utilisera l’isomorphisme (2.2.3) ainsi que

L_{i}Λ^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) ≃ π_{i}(LΛ^{r_{1}}ℤ_{/n_{1}} ⊗^{L} … ⊗^{L} LΛ^{r_{k}}ℤ_{/n_{k}}) .  (2.3.3)

Remarquons tout d’abord que si B = B_{1} ⊕ B_{2}, le diagramme suivant commute,

\xymatrix{⨁_{s+t=r}(Λ^{s}B_{1} ⊗ Λ^{t}B_{2}) \ar[r] \ar[d]_{⊕j^{s}⊗j^{t}} & Λ^{r}(B_{1} ⊕ B_{2}) \ar[d]^{j^{r}} \\ ⨁_{s+t=r}(⊗^{s} B_{1}) ⊗ (⊗^{t} B_{2}) \ar[r]^{μ̃} & ⊗^{r} (B_{1} ⊕ B_{2}) ,}  (2.3.4)

où l’application du haut est la multiplication dans l’algèbre extérieure et l’application μ̃ est définie par

(x_{1}⊗⋯⊗x_{s})⊗(x_{s+1}⊗⋯⊗x_{r}) ↦ ∑_{σ∈Sh\binom{r}{s}} sgn(σ)(x_{σ(1)}⊗⋯⊗x_{σ(r)}) . (2.3.5)

Le diagramme suivant est donc commutatif,

\xymatrix{⨁_{s+t=r} π_{∗}(LΛ^{s}B_{1} ⊗^{L} LΛ^{t}B_{2}) \ar[r] \ar[d] & L_{∗}Λ^{r}(B_{1} ⊕ B_{2}) \ar[d] \\ ⨁_{s+t=r} π_{∗}((L ⊗^{s} B_{1}) ⊗^{L} (L ⊗^{t} B_{2})) \ar[r]^{L_{∗}μ̃} & L_{∗} ⊗^{r} (B_{1} ⊕ B_{2}) .}  (2.3.6)

On remarque ainsi que l’application entre les effets croisés de L_{∗}Λ et L_{∗} ⊗^{r} est donnée par l’application composée

\xymatrix{⨁_{{s+t=r \atop s,t>0}}π_{∗}(LΛ^{s}B_{1} ⊗^{L} LΛ^{t}B_{2}) \ar[r] \ar@{-->}[dr] & ⨁_{{s+t=r \atop s,t>0}}π_{∗}(L ⊗^{s} B_{1} ⊗^{L} L ⊗^{t} B_{2}) \ar@{^{(}->}[d]^{Δ} \\  & ⨁_{{s+t=r \atop s,t>0}} ⨁_{α∈J_{s,t}} π_{∗}(B_{α(1)} ⊗^{L} … ⊗^{L} B_{α(r)}) .} (2.3.7)

Ceci permet de factoriser l’application (2.3.2) par la somme des applications suivantes pour ∑ r_{j} = r, r_{j} > 0:

\xymatrix{π_{i}(LΛ^{r_{1}}ℤ_{/n_{1}} ⊗^{L} … ⊗^{L} LΛ^{r_{k}}ℤ_{/n_{k}}) \ar[r] \ar@{-->}[dr] & π_{i}((L ⊗^{r_{1}} ℤ_{/n_{1}}) ⊗^{L} … ⊗^{L} (L ⊗^{r_{k}} ℤ_{/n_{k}})) \ar@{^{(}->}[d] \\  & ⨁_{α∈J_{r_{1},...,r_{k}}}π_{i}(ℤ_{/n_{α(1)}} ⊗^{L} … ⊗^{L} ℤ_{/n_{α(r)}}).}

(2.3.8)

D’après (1.2.31), lorsque pour l’un des j > k′, r_{j} > 1,

π_{i}(LΛ^{r_{1}}ℤ_{/n_{1}} ⊗^{L} … ⊗^{L} LΛ^{r_{k}}ℤ_{/n_{k}}) = 0.  (2.3.9)

Si r_{j} = 1 pour j > k′, on a les injections successives

π_{i}(LΛ^{r_{1}}ℤ_{/n_{1}} ⊗^{L} … ⊗^{L} LΛ^{r_{k}}ℤ_{/n_{k}})

≃Mult_{i+1}((L_{r_{1}−1}Λ^{r_{1}}ℤ_{/n_{1}})[r_{1} − 1], …, (L_{r_{k′}−1}Λ^{r_{k′}}ℤ_{/n_{k′}})[r_{k′} − 1], ℤ, …, ℤ)

≃ Mult_{i+1}((L_{r_{1}−1} ⊗^{r_{1}} ℤ_{/n_{1}}[r_{1} − 1]), …, (L_{r_{k′}−1} ⊗^{r_{k′}} ℤ_{/n_{k′}})[r_{k′} − 1], ℤ, …, ℤ)

↪ π_{i}((L ⊗^{r_{1}} ℤ_{/n_{1}}) ⊗^{L} … ⊗^{L} (L ⊗^{r_{k}} ℤ_{/n_{k}})) .

Donc l’application (2.3.2) est injective. □

Corollaire 2.3.2 Pour tout groupe abélien B et tout r > 0, L_{i}Λ^{r}B = 0 lorsque i ≥ r.

On considère maintenant le foncteur dérivé de plus haut degré que l’on note après Breen [5]

Ω_{r}B := L_{r−1}Λ^{r}B .  (2.3.10)

En particulier, Ω_{1}(B) ≃ B. Rappelons (loc. cit.,Théorème 5.12) que pour r > 1, ce foncteur est la limite inductive des applications

\xymatrix{Γ_{r}(_{h}B) \ar[r]^{λ_{h}} & Ω_{r}(B)}  (2.3.11)

déterminée par les diagrammes suivants:

\xymatrix{ & Γ_{j_{1}}(_{hk}B) ⊗ ⋯ ⊗ Γ_{j_{s−1}}(_{hk}B) ⊗ Γ_{j_{s}} _{h}B_{r} \ar[dl]_{k^{js−1}Γ_{j_{1}}(p_{k})...Γ_{j_{s−1}}(p_{k})} \ar@{-->}[dr]^{Γ_{j_{k}} (i_{k})} \\ Γ_{r}(_{h}B) \ar[dr]_{λ_{h}} &  & Γ_{r}(_{hk}B) \ar[dl]^{λ_{hk}} \\  & Ω_{r}(B) & ,} (2.3.12)

\xymatrix{ & Γ_{r}(_{hk}B) \ar[dl]_{Γ_{r}(p_{k})} \ar[dr]^{k} \\ Γ_{r}(_{h}B) \ar[dr]_{λ_{h}} &  & Γ_{r}(_{hk}B) \ar[dl]^{λ_{hk}} \\  & Ω_{r}(B) & .}  (2.3.13)

On notera les éléments

λ_{h}(γ_{i_{1}}(x_{1}) … γ_{i_{j}}(x_{j})) = ω_{i_{1}}(x_{1}) … ω_{i_{j}}(x_{j}).

Ce qui semble ici un produit est en fait un “tor-produit”, c’est-à-dire que

ω_{i_{1}}(x_{1}) … ω_{i_{j}}(x_{j}) = τ_{h}(ω_{i_{1}}(x_{1}), …, ω_{i_{j}}(x_{j})) .  (2.3.14)

Dans la suite, nous aurons également besoin de la commutativité du diagramme suivant (loc. cit., (5.6))

\xymatrix{Γ_{r}(_{h}B) \ar[r] \ar[d]_{λ_{h}} & ⊗^{r} _{h}B \ar[d]^{τ_{h}} \\ Ω_{r}(B) \ar[r] & T or^{[r]}(B) .}  (2.3.15)

Pour r = 2, on remarque que ce foncteur est le foncteur Ω de Eilenberg-MacLane [11, §13]. Dans le cas particulier du foncteur Ω_{r}, l’injection du lemme 2.3.1 devient un isomorphisme.

Théorème 2.3.3 Pour tout groupe abélien B et tout r > 0, l’application fonctorielle

\xymatrix{Ω_{r}B \ar[r]^{L_{r−1}j^{r}}_{∼} & (T or^{[r]}(B))^{Σ_{r}^{ϵ}}}

est un isomorphisme.

Démonstration. On le montre par récurrence sur r. Pour r = 1, l’application L_{0}j^{1} est l’isomorphisme canonique

\xymatrix{Ω_{1}B ≃ B \ar[r]^{L_{0}j^{1}}_{∼} & B} .

Supposons maintenant que l’application L_{s−1}j^{s} est un isomorphisme pour tout 1 ≤ s < r. Si B = ℤ, les deux groupes sont nuls. Si B = ℤ_{/n}, d’après le diagramme (1.3.8),

(T or^{[r]}(ℤ_{/n}))^{Σ_{r}^{ϵ}} ≃ (⊗^{r} ℤ_{/n})^{Σ_{r}} ≃ ℤ_{/n} .  (2.3.16)

Ainsi, d’après le lemme 2.3.1, l’application

\xymatrix{Ω_{r}ℤ_{/n} = ℤ_{/n} \ar[r]^{L_{r−1}j^{r}} & ℤ_{/n} = (T or^{[r]}ℤ_{/n})^{Σ_{r}^{ϵ}}}  (2.3.17)

est injective. C’est donc un isomorphisme entre deux groupes finis. Nous allons maintenant considérer l’application sur les effets croisés. Soient A et B deux groupes abéliens. Le corollaire 2.3.2 et la formule de Künneth donnent l’effet croisé de Ω_{r},

Ω_{r}(A|B) = ⨁_{i=1}^{r−1} T or(Ω_{i}A, Ω_{r−i}B) .  (2.3.18)

On voit ensuite que l’effet croisé de (T or^{[r]}(−))^{Σ_{r}^{ϵ}} est donné par

(T or^{[r]}(A|B))^{Σ_{r}^{ϵ}} = ⨁_{i=1}^{r−1} T or((T or^{[i]}(A))^{Σ_{i}^{ϵ}}, (T or^{[r−i]}(B))^{Σ_{r−i}^{ϵ}}) . (2.3.19)

Or d’après l’hypothèse de récurrence, les applications

\xymatrix{T or(Ω_{i}A, Ω_{r−i}B) \ar[r] & T or((T or^{[i]}(A))^{Σ_{i}^{ϵ}}, (T or^{[r−i]}(B))^{Σ_{r−i}^{ϵ}})}  (2.3.20)

sont des isomorphismes, d’où le résultat. □

Ce foncteur nous permet de décrire les foncteurs L_{i}Λ^{r}.

Définition 2.3.4 Soient i, r deux entiers tels que 0 ≤ i ≤ r. Soit B un groupe abélien, on définit les foncteurs

G_{r}^{i}(B) = Ω_{i+1}B ⊗ Λ^{r−(i+1)}B,
G̃_{r}^{i}(B) = Ω_{i+1}B ˜⊗Λ^{r−(i+1)}B,

où ˜⊗ signifie que l’on considère le quotient du groupe Ω_{i+1}B ⊗ Λ^{r−(i+1)}B par le sous-groupe Jac_{Λ} engendré par les éléments suivants, pour 1 ≤ j ≤ i + 1, ∑ i_{k} = i + 1 et hx_{1} = ⋯ = hx_{j} = 0:

∑_{k=1}^{j} ω_{i_{1}}^{h}(x_{1}) … ω_{i_{k}−1}^{h}(x_{k}) … ω_{i_{j}}^{h}(x_{j}) ⊗ x_{k} ∧ y_{1} ∧ ⋯ ∧ y_{r−i−2} .  (2.3.21)

Théorème 2.3.5 Soient i, r deux entiers tels que 0 ≤ i ≤ r. Pour B un groupe abélien, on a un isomorphisme fonctoriel,

\xymatrix{G̃_{r}^{i}(B) \ar[r]^{∼} & L_{i}Λ^{r}B} .

Démonstration. La méthode est analogue à la démonstration du théorème 2.2.7. Certains points sont cependant plus compliqués. Considérons l’application composée

\xymatrix{L_{i}Λ^{i+1}B ⊗ L_{0}Λ^{r−(i+1)}B \ar[r] & π_{i}(LΛ^{i+1}B ⊗^{L} LΛ^{r−(i+1)}B) \ar[r] & L_{i}Λ^{r}B}

(2.3.22)

où l’application de gauche est l’injection de la suite exacte courte de Künneth et celle de droite est l’application induite par la multiplication dans l’algèbre Λ^{∗}B. On remarque que L_{0}Λ^{r−(i+1)}B ≃ Λ^{r−(i+1)}B car Λ^{r−(i+1)} est un foncteur exact à gauche. L’application (2.3.22) est donc l’application fonctorielle suivante

\xymatrix{G_{i}^{r}(B) = Ω_{i+1}B ⊗ Λ^{r−(i+1)}B \ar[r] & L_{i}Λ^{r}B} .  (2.3.23)

Nous allons maintenant montrer que cette application passe au quotient du sous-groupe Jac_{Λ}. L’application d’anti-symétrisation (1.2.8) permet de construire l’application g = L_{i}j^{(i+1)} ⊗ j^{(r−(i+1))},

\xymatrix{Ω_{i+1}B ⊗ Λ^{r−(i+1)}B \ar[r]^{g} & (T or^{[i+1]}(B))^{Σ_{i+1}^{ϵ}} ⊗ ( ⊗^{r−(i+1)} B)^{Σ_{r−(i+1)}^{ϵ}}} , (2.3.24)

que l’on peut décrire grâce au diagramme (2.3.15) par g(ω_{i_{1}}^{h}(x_{1}) … ω_{i_{j}}^{h}(x_{j}) ⊗ y_{1} ∧ ⋯ ∧ y_{r−(i+1)}) =

∑_{α∈J_{i_{1},...,i_{k}}} ∑_{ρ∈Σ_{r−(i+1)}} sgn(ρ)τ_{h}(x_{α(1)}, …, x_{α(i+1)}) ⊗ y_{ρ(1)} ⊗ ⋯ ⊗ y_{ρ(r−(i+1))} .

(2.3.25)

On remarque ensuite que l’image d’un générateur de Jac_{Λ} est donnée par g(∑_{k=1}^{j} ω_{i_{1}}^{h}(x_{1}) … ω_{i_{k}−1}^{h}(x_{k}) … ω_{i_{j}}^{h}(x_{j}) ⊗ x_{k} ∧ y_{1} ∧ ⋯ ∧ y_{r−i−2}) =

∑_{j=1}^{i+2} ∑_{α,ρ} sgn(ρ)τ_{h}(x_{α(1)}, …, x̂_{α(j)}, …, x_{α(i+2)})⊗ρ(x_{α(k)} ⊗y_{1} ⊗. . . · · ·⊗y_{r−(i+2)})

(2.3.26)

Donc

g(Jac_{Λ}) ⊂ (Jac_{⊗})^{Σ_{r}^{ϵ}} .  (2.3.27)

Le diagramme suivant commute,

\xymatrix{Jac_{Λ} \ar@{^{(}->}[r] \ar[d] & Ω_{i+1}B ⊗ Λ^{r−(i+1)}B \ar[r] \ar[d] & L_{i}Λ^{r}B \ar[d] \\ Jac_{⊗}^{Σ_{r}^{ϵ}} \ar@{^{(}->}[r] \ar[d] & (T or^{[i+1]}(B))^{Σ_{i+1}^{ϵ}} ⊗ ( ⊗^{r−(i+1)} B)^{Σ_{r−(i+1)}^{ϵ}} \ar[r] \ar[d] & (L_{i} ⊗^{r} B)^{Σ_{r}^{ϵ}} \ar[d] \\ Jac_{⊗} \ar@{^{(}->}[r] & ⨁_{α∈Sh\binom{r}{i+1}}T or^{[i+1]}(B) ⊗ ( ⊗^{r−(i+1)} B) \ar[r] & L_{i} ⊗^{r} B .}

(2.3.28)

En particulier l’application composée

\xymatrix{Jac_{Λ} \ar[r] & Ω_{i+1}B ⊗ Λ^{r−(i+1)}B \ar[r] & L_{i}Λ^{r}B \ar[r] & L_{i} ⊗^{r} B}  (2.3.29)

est nulle. Or d’après le lemme (2.3.1), l’application de droite est injective. Ainsi, l’application composée

\xymatrix{Jac_{Λ} \ar[r] & Ω_{i+1}B ⊗ Λ^{r−(i+1)}B \ar[r] & L_{i}Λ^{r}B}  (2.3.30)

est nulle. On a donc une application fonctorielle

\xymatrix{G̃_{i}^{r}(B) \ar[r] & L_{i}Λ^{r}B} .  (2.3.31)

Montrons à présent que cette application est un isomorphisme.

Proposition 2.3.6 L’application (2.3.31) est injective.

Démonstration. Pour montrer ceci, il suffit de montrer que l’application composée

\xymatrix{G̃_{i}^{r}(B) \ar[r] & L_{i}Λ^{r}B \ar[r] & (L_{i} ⊗^{r} B)^{Σ_{r}^{ϵ}}}  (2.3.32)

est injective. Définissons le foncteur

F_{i}^{r}(B) = (T or^{[i+1]}(B))^{Σ_{i+1}^{ϵ}} ⊗ ( ⊗^{r−(i+1)} B)^{Σ_{r−(i+1)}^{ϵ}} .  (2.3.33)

Notons F̃_{i}^{r}(B) le quotient de F_{i}^{r}(B) par les relations de Jacobi anti-invariantes de sorte que la suite

\xymatrix{Jac_{⊗}^{Σ_{r}^{ϵ}} \ar@{^{(}->}[r] & F_{i}^{r}(B) \ar@{->>}[r] & F̃_{i}^{r}(B)}  (2.3.34)

soit une suite exacte courte et que l’on ait l’inclusion

\xymatrix{F̃_{i}^{r}(B) \ar@{^{(}->}[r] & (L_{i} ⊗^{r} B)^{Σ_{r}^{ϵ}}} .  (2.3.35)

Le diagramme suivant où les colonnes sont des suites exactes courtes commute,

\xymatrix{Jac_{Λ} \ar[r] \ar@{^{(}->}[d] & Jac_{⊗}^{Σ_{r}^{ϵ}} \ar@{^{(}->}[d] \\ Ω_{i+1}B ⊗ Λ^{r−(i+1)}B \ar[r] \ar@{->>}[d] & F_{i}^{r}(B) \ar@{->>}[d] \\ G̃_{i}^{r}(B) \ar[r] & F̃_{i}^{r}(B) .}  (2.3.36)

Ainsi, l’application (2.3.32) se factorise par les applications

\xymatrix{G̃_{i}^{r}(B) \ar[r] & F̃_{i}^{r}(B) \ar@{^{(}->}[r] & (L_{i} ⊗^{r} B)^{Σ_{r}^{ϵ}}}  (2.3.37)

Nous allons montrer que l’application de gauche est injective. On utilise de nouveau le lemme 1.1.1. Soit k, k′ ∈ ℕ, k′ ≤ k et (n_{1}, …, n_{k}) une famille dans ℕ ∪ {∞} telle que

n_{j} = ∞ ⇔ j > k′ .

Montrons que l’application

\xymatrix{G̃_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) \ar[r] & F̃_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}})}  (2.3.38)

est injective. Pour cela on décrit les groupes concernés. Lemme 2.3.7 Soit d = (n_{1}, …, n_{k}) et r′ = r − (k − k′). Le groupe

G̃_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}})

est le quotient de la somme directe

⨁_{(l,i.,σ,τ)∈C(i)} ℤ_{/d}(ζ_{(i_{1},...,i_{l};σ,τ)})

où la somme se fait sur les conditions C(i)

• 1 ≤ l ≤ i + 1, (i.) ∈ P \binom{i+1}{l},

• σ ∈ Cr\binom{r′−(i+1)}{k′−l}, τ ∈ Cr\binom{k′}{r′−(i+1)}. par le sous-groupe J_{ζ}. Ce sous- groupe l’image du groupe

\overline{J_{ζ}} = ⨁_{(L,I.,S,T)∈C(i+1)} ℤ_{/d}(\overline{ζ}_{(I_{1},...,I_{l};S,T)})

par l’application

\overline{ζ}_{(I_{1},...,I_{l};S,T)} ↦ ∑_{j=1}^{k′−(r′−(i+2))} ζ_{(i_{1},...,i_{j}−1,...,i_{L};S∪\overline{T} (j),T ∪\overline{T} (j))}.  (2.3.39)

Démonstration. Les effets croisés de Ω_{i+1} et Λ^{r−(i+1)} et leur valeur dans les groupes cycliques nous permettent de décrire le groupe G_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) comme la somme

⨁_{l,i.,τ,σ} T or(Ω_{i_{1}}ℤ_{/n_{σ(1)}}, …, Ω_{i_{l}}ℤ_{/n_{σ(l)}}) ⊗ ℤ_{/n_{τ(1)}} ⊗ ⋯ ⊗ ℤ_{/n_{τ(r′−(i+1))}} (2.3.40)

où la somme se fait sur les conditions suivantes:

• 1 ≤ l ≤ i + 1, i_{.} ∈ P \binom{i+1}{l},

• τ ∈ Cr\binom{k′}{r′−(i+1)} et σ ∈ Cr\binom{k′}{l} telles que [k′]\I(τ) ⊂ I(σ).

Notons k′′ = k′ − (r′ − (i + 1)). Pour (l, i., τ, σ) ∈ C(i), on définit ζ_{(i_{1},...,i_{l};σ,τ)} comme le générateur canonique de

{T or(Ω_{i_{1}}ℤ_{/n_{\overline{τ}(1)}}, …, Ω_{i_{k′′}}ℤ_{/n_{\overline{τ}(k′′)}}, \atop Ω_{i_{k′′+1}}ℤ_{/n_{τ\overline{σ}(k′′+1)}} …, Ω_{i_{l}}ℤ_{/n_{τ\overline{σ}(l−k′′)}}) ⊗ ℤ_{/n_{τ(1)}} ⊗ ⋯ ⊗ ℤ_{/n_{τ(r′−(i+1))}}} . (2.3.41)

On vérifie ensuite que les relations de Jacobi s’expriment par l’application (2.3.39). □

Lemme 2.3.8 Le groupe F̃_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) est le quotient de la somme

⨁_{(l,i.,σ,τ)∈C(i)} ℤ_{/d}(ζ_{(i_{1},...,i_{l};σ,τ)}) ⊕ ⨁_{(l,i.,σ,l′,j.,τ)∈C′(i)} ℤ_{/2}(ζ′_{(i_{1},...,i_{l},σ;j_{1},...,j_{l′},τ)})

où C(i) est défini dans le lemme 2.3.7 et (l, i., σ, l′, j., τ) ∈ C′(i) signifie

• 1 ≤ l ≤ i + 1, i_{.} ∈ P \binom{i+1}{l},

• 1 ≤ l′ ≤ r − (i + 1), j_{.} ∈ P \binom{r−(i+1)}{l′},

• τ ∈ Cr\binom{k′}{l′}, σ ∈ Cr\binom{l′}{k′−l},

• l’un au moins des j_{.} est ≥ 2 et

j_{e} ≥ 2 ⇔ n_{τ(e)} est pair .

par le sous-groupe J_{Σ}. Ce sous-groupe est l’image du groupe

\overline{J}_{Σ} = \begin{matrix}⨁_{(L,I,S,T)∈C(i+1)} ℤ_{/d}(\overline{ζ}_{(I_{1},...,I_{L};S,T)}) \\ ⊕ \\ ⨁_{(L,I.,S,L′,J.,T)∈C′(i+1)} ℤ_{/2}(\overline{ζ′}_{(I_{1},...,I_{L},S;J_{1},...,J_{L′},T)}) \end{matrix}

par l’application

\overline{ζ}_{(I_{1},...,I_{l};S,T)} ↦ ∑_{j=1}^{k′−(r′−(i+2))} ζ_{(I_{1},...,I_{j}−1,...,I_{L};S∪\overline{T} (j),T ∪\overline{T} (j))},

\overline{ζ′}_{(I_{1},...,I_{L},S;J_{1},...,J_{L′},T)} ↦

( \begin{matrix}∑_{j=1}^{k′−l′} ζ′_{(I_{1},...,I_{j}−1,...,I_{L},S∪\overline{T} (j);J_{1},..., 1^{e(j)},...,J_{L′},T ∪\overline{T} (j))} \\ + \\ ∑_{j=k′−l′+1}^{l} ζ′_{(I_{1},...,I_{j}−1,...,I_{L},S^{j};J_{1},...,J_{\overline{S}(j)}+1,...,J_{L′},T ∪\overline{T} (j))}, \end{matrix} )

où e(j) = (T ∪ \overline{T} (j))^{−1}(\overline{T} (j)), (I_{1}, …, 0^{j}, …, I_{L}) = (I_{1}, …, ˆ0, …, I_{L}) et

S^{j} = \{ \begin{matrix}S ∪ \overline{S}(j) & si I_{j} = 1 \\ S & sinon \end{matrix} .

Pour que la définition de l’application soit rigoureuse, il faut poser

ζ′_{(i_{1},...,i_{l},σ;j_{1},...,j_{l′},τ)} = 0

lorsqu’il existe e ∈ [l′] tel que j_{e} ≥ 2 et n_{τ(e)} impair.

Démonstration. D’après l’isomorphisme du théorème 2.3.3, le groupe F_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) est donné par la somme directe suivante,

⨁ T or(Ω_{i_{1}}ℤ_{/n_{σ(1)}}, …, Ω_{i_{l}}ℤ_{/n_{σ(l)}}) ⊗ (⊗^{j_{1}} ℤ_{/n_{τ(1)}})^{Σ_{j_{1}}^{ϵ}} ⊗ ⋯ ⊗ (⊗^{j_{l′}} ℤ_{/n_{τ(l′)}})^{Σ_{j_{l′}}^{ϵ}}

(2.3.42)

Remarquons tout d’abord que

(⊗^{r} ℤ_{/n})^{Σ_{r}^{ϵ}} = \{ \begin{matrix}_{2}Γ_{r}(ℤ_{/n}) ≃ ℤ_{/(n,2)} & si r > 1 , \\ ℤ_{/n} & si r = 1 . \end{matrix}  (2.3.43)

Ainsi,

F_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) = G_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) ⊕ E′  (2.3.44)

où E′ est la somme

⨁ T or(Ω_{i_{1}}ℤ_{/n_{ρ(1)}}, …, Ω_{i_{l}}ℤ_{/n_{ρ(l)}}) ⊗_{2}Γ_{j_{1}}(ℤ_{/n_{τ(1)}}) ⊗ ⋯ ⊗_{2}Γ_{j_{l′}}(ℤ_{/n_{τ(l′)}}) (2.3.45)

faite sur les conditions suivantes:

• 1 ≤ l ≤ i + 1, i_{.} ∈ P \binom{i+1}{l},

• 1 ≤ l′ ≤ r − (i + 1), j_{.} ∈ P \binom{r−(i+1)}{l′},

• τ ∈ Cr\binom{k′}{l′}, ρ ∈ Cr\binom{k′}{l} telles que [k′]\I(τ) ⊂ I(ρ),

• l’un au moins des j_{.} est ≥ 2 et

j_{e} ≥ 2 ⇔ n_{τ(e)} est pair .

Soit (l, i., σ, l′, j., τ) ∈ C′(i), on définit ζ′_{(i_{1},...,i_{l},σ;j_{1},...,j_{l′},τ)} comme le générateur canonique de

{T or(Ω_{i_{1}}ℤ_{/n_{\overline{τ}(1)}}, …, Ω_{i_{k′′}}ℤ_{/n_{\overline{τ}(k′′)}}, Ω_{i_{k′′+1}}ℤ_{/n_{τ\overline{σ}(k′′+1)}} …, Ω_{i_{l}}ℤ_{/n_{τ\overline{σ}(l−k′′)}}) \atop ⊗_{2}Γ_{j_{1}}(ℤ_{/n_{τ(1)}}) ⊗ ⋯ ⊗ _{2}Γ_{j_{l′}}(ℤ_{/n_{τ(l′)}})} .

(2.3.46)

On remarque ensuite que Jac_{⊗}^{Σ_{r}^{ϵ}} est engendré dans F_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) par les éléments suivants pour 1 ≤ j ≤ i + 1, ∑ i_{k} = i + 1 et α_{.} ≥ 0:

∑_{k=1}^{j} ω_{i_{1}}^{h}(x_{1}) … ω_{i_{k}−1}^{h}(x_{k}) … ω_{i_{j}}^{h}(x_{j}) ⊗ x_{k} ∧ y_{1} ∧ ⋯ ∧ y_{r−i−2},  (2.3.47)

∑_{k=1}^{j} α_{k+1}ω_{i_{1}}^{2}(x_{1}) … ω_{i_{k}−1}^{2}(x_{k}) … ω_{i_{j}}^{2}(x_{j}) ⊗ γ_{α_{1}}(x_{1}) … γ_{α_{k+1}}(x_{k}) … γ_{α_{j}}(x_{j})Y .

(2.3.48)

Les éléments du type (2.3.47) sont les générateurs de Jac_{ζ}. Un élément η du type (2.3.48) est différent des précédents lorsque l’un au moins des α_{.} est supérieur ou égal à 2. Dans ce cas, η ∈ E′ (voir (2.3.45)). Notons \overline{J}_{ζ′} le groupe engendré par ces éléments. On a la décomposition

\overline{J}_{Σ} = \overline{J}_{ζ} ⊕ \overline{J}_{ζ′}.
□

On a alors les décompositions suivantes,

J_{Σ} = J_{ζ} ⊕ J_{ζ′},  (2.3.49)
F_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) = G_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) ⊕ E′.  (2.3.50)

Ainsi le diagramme suivant, où les colonnes sont des suites exactes courtes commute,

\xymatrix{J_{ζ} \ar@{^{(}->}[r] \ar@{^{(}->}[d] & J_{ζ} ⊕ J_{ζ′} \ar@{^{(}->}[d] \\ G_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) \ar@{^{(}->}[r] \ar@{->>}[d] & G_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) ⊕ E′ \ar@{->>}[d] \\ G̃_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) \ar[r] & F̃_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) .}  (2.3.51)

Le lemme du serpent dans ce diagramme montre l’injectivité de l’application du bas (2.3.38), ce qui termine la démonstration de la proposition 2.3.6. □

Pour terminer la démonstration du théorème 2.3.5, on montre la proposition suivante.

Proposition 2.3.9 Soit k, k′ ∈ ℕ, k′ ≤ k et (n_{1}, …, n_{k}) une famille dans ℕ ∪ {∞} telle que

n_{j} = ∞ ⇔ j > k′ ,

les applications

\xymatrix{G̃_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) \ar[r] & L_{i}Λ^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}})}

sont des isomorphismes.

Pour montrer ceci, nous devons tout d’abord montrer le lemme suivant.

Lemme 2.3.10 Soit d = (n_{1}, …, n_{k}). Le groupe L_{i}Λ^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) est le quotient de la somme directe

⨁_{(r.,τ)∈D(i)} ℤ_{/d}(ξ_{(r_{1},...,r_{k′};τ)})

où la somme se fait sur les conditions D(i)

r_{.} ∈ P \binom{r′}{k′} et τ ∈ Cr\binom{k′}{r′−(i+1)}

par le sous-groupe J_{ξ}. Ce sous-groupe est l’image du groupe

\overline{J}_{ξ} = ⨁_{(r.,T)∈D(i+1)} ℤ_{/d}(\overline{ξ}_{(r_{1},...,r_{k′};T)})

par l’application

\overline{ξ}_{(r_{1},...,r_{k′};T)} ↦ ∑_{j=1}^{k′−(r′−(i+2))} ξ_{(r_{1},...,r_{k′};T ∪\overline{T} (j))}.  (2.3.52)

Démonstration. D’après (2.3.3) et (1.2.31),

L_{i}Λ^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) ≃ ⨁ ; ∑ r.=r′ π_{i}(LΛ^{r_{1}}ℤ_{/n_{1}} ⊗^{L} … ⊗^{L} LΛ^{r_{k′}}ℤ_{/n_{k′}}) ,
≃ Mult_{i}(Ω_{r_{1}}ℤ_{/n_{1}}[r_{1} − 1], …, Ω_{r_{k′}}ℤ_{/n_{k′}}[r_{k′} − 1]) .

Or ce dernier groupe est isomorphe au groupe Mult_{i−r′+k′}(ℤ_{/n_{1}}, …, ℤ_{/n_{k′}}). Ainsi, L_{i}Λ^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) est le quotient de

⨁_{D(i)} T or(ℤ_{/n_{\overline{τ}(1)}}, …, ℤ_{/n_{\overline{τ}(i−r′+k′+1)}}) ⊗ ℤ_{/n_{τ(1)}} ⊗ … ℤ_{/n_{τ(r′−(i+1))}}  (2.3.53)

par les relations de Jacobi J_{ξ}. Chaque terme de cette somme est isomorphe à ℤ_{/d}. Si on note ξ_{(r.,τ)} les générateurs canoniques de cette somme, J_{ξ} est engendré par l’image de l’application (2.3.52). □

Démonstration de la proposition 2.3.9. D’après la proposition 2.3.6, il est clair que ces applications sont injectives. Nous allons ensuite montrer que les groupes G̃_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) et L_{i}Λ^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) sont des groupes finis de même ordre. Pour cela, remarquons que les ensembles

P \binom{r′}{k′} et ⋃_{1≤l≤i+1} P \binom{i+1}{l} × Cr\binom{r′−(i+1)}{k′−l}

sont tous les deux en bijection avec l’ensemble Cr\binom{r′−1}{k′−1}. En effet on définit les applications

\xymatrix{P \binom{r′}{k′} \ar[r]^{f} & Cr\binom{r′−1}{k′−1} \ar[r]^{f′} \ar[l]^{g} & ⋃_{1≤l≤i+1} P \binom{i+1}{l} × Cr\binom{r′−(i+1)}{k′−l} \ar[l]^{g′}}  (2.3.54)

de la façon suivante,

\begin{matrix}f(r.) = r̂ \\ f′(ρ) = (i., σ) \end{matrix}  (2.3.55)

avec

i_{1} = ρ(1)
i_{j} = ρ(j) − ρ(j − 1)  si ρ(j) < i + 1
i_{l} = i + 1 − ρ(l − 1)  avec l = inf{j, ρ(j) > i + 1}
σ(j) = ρ(j + l) − (i + 1)

et

\begin{matrix}g(ρ) = ρ̃, \\ g′(i., σ) = î⊕ σ. \end{matrix}  (2.3.56)

On notera ϕ = f′∘f et ψ = g∘g′. On définit maintenant les deux applications

\xymatrix{⨁_{D(i)} ℤ_{/d}(ξ) \ar[r]^{Φ} & ⨁_{C(i)} ℤ_{/d}(ζ) \ar[l]^{Ψ}}  (2.3.57)

de la façon suivante,

Φ(ζ_{(i.;σ,τ)}) = ∑_{j=1}^{k′−(r′−(i+2))} ∑_{α=1}^{r′−(i+1)}(−1)^{e}ξ_{(ϕ((i′_{1},...,i′_{j}−1,...,i_{l}),(σ−σ(1))+\overline{σ}(α)),τ)} (2.3.58)

où i′_{1} = i_{1} + 1 et i′_{j} = i_{j} pour j > 1. e = i_{1} + ⋯ + i_{j} + α.

Φ(ξ_{(ψ(i.;σ),τ)}) = ∑_{j=1}^{k′−(r′−(i+2))} ∑_{α=1}^{r′−(i+1)}(−1)^{e}ζ_{((i′_{1},...,i′_{j}−1,...,i_{l}),(σ−σ(1))+\overline{σ}(α),τ)} .

(2.3.59)

On vérifie alors que Φ ∘ Ψ = Id et Ψ ∘ Φ = Id. On a également

\begin{matrix}Φ(J_{ξ}) ⊂ J_{ζ} , \\ Ψ(J_{ζ}) ⊂ J_{ξ} . \end{matrix}

Ceci permet de conclure d’après les lemmes 2.3.7 et 2.3.10 que les deux groupes G̃_{i}^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) et L_{i}Λ^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) sont des groupes finis de même ordre, ce qui termine la démonstration de la proposition 2.3.9. □

Le lemme 1.1.1 permet alors de conclure la démonstration du théorème 2.3.5. □

On peut maintenant décrire la multiplication dans LΛ^{∗}B induite par la multiplication dans Λ^{∗}B,

\xymatrix{L_{i}Λ^{s}B ⊗ L_{j}Λ^{t}B \ar[r]^{μ} & L_{k}Λ^{r}B} avec k = i + j, et r = s + t . (2.3.60)

Proposition 2.3.11 Soient k = i + j, r = s + t et B un groupe abélien. Le diagramme suivant commute,

\xymatrix{L_{i}Λ^{s}B ⊗ L_{j}Λ^{t}B \ar[r]^{μ} \ar[d] & L_{k}Λ^{r}B \ar@{^{(}->}[d] \\ (L_{i} ⊗^{s} B) ⊗ (L_{j} ⊗^{t} B) \ar[r] & (L_{k} ⊗^{r} B)}  (2.3.61)

où l’application du bas est l’application composée

\xymatrix{(L_{i} ⊗^{s} B) ⊗ (L_{j} ⊗^{t} B) \ar[ddr] \ar[r]^{i} & ⨁_{{s+t=r \atop s,t>0}}π_{k}(L ⊗^{s} B_{1} ⊗^{L} L ⊗^{t} B_{2}) \ar[d]^{L_{k}μ̃} \\  & (L_{k} ⊗^{r} (B ⊕ B)) \ar[d]^{L_{k}(⊗^{r}μ)} \\  & (L_{k} ⊗^{r} B) .}

L’application i est l’injection de la formule de Künneth et l’application μ̃ est définie dans le diagramme (2.3.4).

Démonstration. On considère le diagramme (2.3.4) avec B_{1} = B_{2} = B que l’on compose à droite avec la multiplication dans B:

\xymatrix{Λ^{s}B ⊗ Λ^{t}B \ar[r] \ar[d] & Λ^{r}(B ⊕ B) \ar[d] \ar[r] & Λ^{r}B \ar[d] \\ (⊗^{s} B) ⊗ (⊗^{t} B) \ar[r] & ⊗^{r} (B ⊕ B) \ar[r] & ⊗^{r} B} .  (2.3.62)

Pour obtenir le diagramme (2.3.61), il suffit de remarquer que la suite exacte courte de Künneth est fonctorielle. □

Ceci et les propositions 1.3.6 et 1.3.7 permet de décrire la multiplication dans LΛ^{∗}B par les deux propositions suivantes.

Proposition 2.3.12 Soient k = i + j, r = s + t et B un groupe abélien. Le diagramme suivant commute,

\xymatrix{Ω_{i}(B) ⊗ Λ^{s−i}B ⊗ Ω_{j}(B) ⊗ Λ^{t−j}B \ar[r]^{μ⊗μ∘T} \ar[d]^{μ⊗μ} & L_{k−2}Λ^{k}B ⊗ Λ^{r−k}B \ar[d]^{μ} \\ L_{i−1}Λ^{s}B ⊗ L_{j−1}Λ^{t}B \ar[r]^{μ} & L_{k−2}Λ^{r}B .}

Proposition 2.3.13 Soient r = s + t et B un groupe abélien. La multiplication

\xymatrix{Ω_{s}(B) ⊗ Ω_{t}(B) \ar[r]^{μ} & L_{r−2}Λ^{r}B ≃ Ω_{r−1}(B)˜⊗B}

est donnée pour x_{i}, y_{j} ∈ _{h}B, 1 ≤ i ≤ α, 1 ≤ j ≤ β avec ∑_{j} s_{j} = s et ∑_{j} t_{j} = t, par μ(ω_{s_{1}}^{h}(x_{1}) … ω_{s_{α}}^{h}(x_{α}) ⊗ ω_{t_{1}}^{h}(y_{1}) … ω_{t_{β}}^{h}(y_{β})) =

∑_{j=1}^{β} ω_{s_{1}}^{h}(x_{1}) … ω_{s_{α}}^{h}(x_{α})ω_{t_{1}}^{h}(y_{1}) … ω_{t_{j}−1}^{h}(y_{j}) … ω_{t_{β}}^{h}(y_{β}) ⊗ y_{j}.  (2.3.63)

où ∑_{j} s_{j} = s et ∑_{j} t_{j} = t.

On remarque que cette formule est anti-symétrique en s et t, compte tenu de la relation de Jacobi.

2.4 Le gradué de H(B, 1) dans le formalisme de Hamsher

Dans cette section, nous nous proposons de comparer l’expression des foncteurs L_{i}Λ^{r} qui constituent le gradué de H(B, 1) avec la description de cette homologie due à Hamsher [15]. Dans ce formalisme, H(B, 1) est engendré par les éléments

C_{i_{1},...,i_{j}}^{h}(x_{1}, …, x_{j}) pour x_{1}, …, x_{j} ∈ _{h}B

que l’on note C_{L}^{h}(X) avec L = (i_{1}, …, i_{j}) et X = x_{1}, …, x_{j}. Ces éléments sont soumis aux relations suivantes (loc. cit., proposition 2.4) A. C_{1}^{h}(u) = u.

B. C_{i_{σ(1)},...,i_{σ(j)}}^{h}(x_{σ(1)}, …, x_{σ(j)}) = C_{i_{1},...,i_{j}}^{h}(x_{1}, …, x_{j}) où σ ∈ Σ_{j}.

C1. C_{i,M}^{hk}(u, Y) = k^{i−1}C_{i,M}^{h}(u, kY), i > 0.

C2. C_{M}^{h}(kY) = kC_{M}^{hk}(u, kY).

D. C_{r,L}^{h}(u + v, X) =∑_{p+q=r}C_{p,q,L}^{h}(u, v, X) + \frac{h(h−1)}{2} ∑_{p+q=r−1} C_{p+1}^{h}(u)C_{q+1}^{h}(v)C_{L}^{h}(X).

E1. C_{p,q,L}^{h}(u, u, X) = \binom{p+q}{p}C_{p+q,L}^{h}(u, X).^{1}

E2. C_{L,p}^{h}(X, ku)C_{q}^{hk}(u) = \binom{p+q−1}{p}C_{L}^{h}(X)C_{p+q}^{hk}(u), q > 0.

F. C_{L}^{h}(X)C_{M,N}^{hk}(Y, Z) = C_{L,M}^{h}(X, kY)C_{N}^{hk}(Z) + C_{L,N}^{h}(X, kZ)C_{M}^{hk}(Y).

D’après la proposition 2.1.2, on a une projection fonctorielle

\xymatrix{H_{2r−1}(B) \ar[r]^{π_{r}} & Ω_{r}(B)} ∀r ≥ 1.  (2.4.1)

Proposition 2.4.1 Soient B un groupe abélien et r ≥ 1. On peut décrire l’application

\xymatrix{H_{2r−1}(B) \ar[r]^{π_{r}} & Ω_{r}(B)}  (2.4.2)

par

C_{i_{1},...,i_{j}}^{h}(x_{1}, …, x_{j}) ↦ ω_{i_{1}}^{h}(x_{1}) … ω_{i_{j}}^{h}(x_{j}) .  (2.4.3)

Remarque 2.4.2 Les relations A, B, C1, C2, E1 correspondent aux relations de Ω_{m}(B). Les relations E2 et F sont équivalentes aux relations de Jacobi (2.3.21). En effet, chez Hamsher, ces relations s’écrivent

1Cette relation a été corrigée dans la version électronique par rapport à la version papier originelle de [15].

∑_{k=1}^{j} C_{i_{1},...,i_{k}−1,...,i_{j}}^{h}(x_{1}, …, x_{j})C_{1}^{h}(x_{k}) = 0 .  (2.4.4)

On les obtient de la façon suivante ∑_{k=1}^{j} C_{i_{1},...,i_{k}−1,...,i_{j}}^{h}(x_{1}, …, x_{j})C_{1}^{h}(x_{j})

= ∑_{k=1}^{j} C_{i_{1},...,î_{k},...,i_{j}}^{h}(x_{1}, , …, x̂_{k}, …, x_{j})C_{i_{k}}^{h}(x_{k}) par E2 et B,
= C_{i_{1}}^{h}(x_{1})C_{i_{2},...,i_{j}}^{h}(x_{2}, …, x_{j}) + C_{i_{2},...,i_{j}}^{h}(x_{2}, …, x_{j})C_{i_{1}}^{h}(x_{1}) = 0

En effet, la relation F s’écrit pour k ≥ 2,

C_{i_{1},...,i_{k}}^{h}(x_{1}, …, x_{k})C_{i_{k+1},...,i_{j}}^{h}(x_{k+1}, …, x_{j})+C_{i_{1},...,î_{k},...,i_{j}}^{h}(x_{1}, …, x̂_{k}, …, x_{j})C_{i_{k}}^{h}(x_{k})

= C_{i_{1},...,i_{k−1}}^{h}(x_{1}, …, x_{k−1})C_{i_{k},...,i_{j}}^{h}(x_{k}, …, x_{j}) ,

et pour k = 1,

C_{i_{1}}^{h}(x_{1})C_{i_{2},...,i_{j}}^{h}(x_{2}, …, x_{j}) + C_{i_{2},...,i_{j}}^{h}(x_{2}, …, x_{j})C_{i_{1}}^{h}(x_{1}) = 0 .

La relation D est modifiée dans le gradué et devient

π_{r}(C_{r,L}^{h}(u + v, X)) = ∑_{p+q=r} π_{r}(C_{p,q,L}^{h}(u, v, X))  (2.4.5)

car l’image de ∑_{p+q=r−1} C_{p+1}^{h}(u)C_{q+1}^{h}(v)C_{L}^{h}(X) par π_{r} est nulle dans Ω_{r}(B). En effet, si X = ∅, π_{r}(C_{r}^{h}(u + v)) et π_{r}(C_{p,q}^{h}(u, v)) sont dans Ω_{r}(B), mais d’après la proposition 2.3.13

π_{p+1}(C_{p+1}^{h}(u))π_{q+1}(C_{q+1}^{h}(v)) = μ(ω_{p+1}^{h}(u) ⊗ ω_{q+1}^{h}(v))
= ω_{p}^{h}(u)ω_{q+1}^{h}(v) ⊗ u + ω_{p+1}^{h}(u)ω_{q}^{h}(v) ⊗ v

Donc π_{p+1}(C_{p+1}^{h}(u))π_{q+1}(C_{q+1}^{h}(v)) ∈ L_{p+q}Λ^{p+q+2}B ≃ Ω_{p+q+1}(B)˜⊗B.

Démonstration. On montre la proposition par récurrence sur r. En effet, si r = 1, l’application (2.4.2) est l’isomorphisme canonique

\xymatrix{H_{1}(B) ≃ B \ar[r]^{π_{1}} & B ≃ Ω_{1}(B)} .

Ensuite, supposons que π_{k} est décrit par (2.4.3) pour tout 1 ≤ k < r. Si B = ℤ, les groupes H_{r}(ℤ) et Ω_{r}(ℤ) sont nuls. Si B = ℤ_{/m}(c), la suite spectrale (2.1.2) devient l’isomorphisme

H_{i}(ℤ_{/m}, 1) ≃ ⨁_{r} L_{i−r}Λ^{r}ℤ_{/m} ,  (2.4.6)

qui, d’après (1.2.31) se réduit aux isomorphismes

\xymatrix{H_{2r}(ℤ_{/m}, 1) \ar[r]^{π}_{∼} & 0} pour i = 2r,  (2.4.7)
\xymatrix{H_{2r−1}(ℤ_{/m}, 1) \ar[r]^{π}_{∼} & L_{r−1}Λ^{r}ℤ_{/m} ≃ Ω_{r}(ℤ_{/m})} pour i = 2r − 1 . (2.4.8)

Ce dernier isomorphisme provient des isomorphismes successifs

H_{2r−1}(B(ℤ_{/m})) ≃ π_{2r−1}Sym^{r}(B(ℤ_{/m})) ≃ L_{r−1}Λ^{r}ℤ_{/m}  (2.4.9)

où B(ℤ_{/m}) est la bar construction normalisée sur ℤ[ℤ_{/m}]. Considérons maintenant l’espace de Moore M(ℤ_{/m}, 1). Cet espace est noté M(m) chez Hamsher, (loc. cit., 3F) et Eilenberg-MacLane [11, §15] et A_{m}^{−} chez Decker [8, (1.4)]. C’est le complexe de Koszul [16, Ch 1, 4.3.1.2.] associé à l’application \xymatrix{ℤ \ar[r]^{m} & ℤ} . C’est-à-dire que M(m) est la somme des complexes

\xymatrix{Γ_{k}(ℤ) \ar[r] & Γ_{k−1}(ℤ) ⊗ ℤ \ar[r] & … \ar[r] & ℤ ⊗ Λ^{k−1}ℤ \ar[r] & Λ^{k}ℤ} (2.4.10)

qui se réduisent puisque Λ^{i}ℤ = 0 si i > 1 au complexe

\xymatrix{ℤγ_{k}(1) \ar[r]^{∂} & ℤγ_{k−1}(1) ⊗ 1 \ar[r] & 0 \ar[r] & … \ar[r] & 0}  (2.4.11)

où ∂(γ_{k}(1)) = γ_{k−1}(1) ⊗ m. Ils s’écrivent dans le formalisme de Hamsher

\xymatrix{ℤv_{k}^{m} \ar[r] & ℤw_{k}^{m} \ar[r] & 0 \ar[r] & … \ar[r] & 0} .  (2.4.12)

D’après Breen [5, §2], les complexes (2.4.10) sont des modèles de LΛ^{k}ℤ_{/m} dans la catégorie dérivé. Le générateur ω_{r}^{m}(c) de L_{r−1}Λ^{r}(ℤ_{/m}(c)) est alors représenté par le cycle w_{r}^{m} de M(m). Dans la catégorie dérivée, l’identité sur les complexes de Moore induit des isomorphismes

\xymatrix{H_{2r}(ℤ_{/m}, 1) \ar[r]^{π}_{∼} & 0} pour i = 2r,  (2.4.13)
\xymatrix{H_{2r−1}(ℤ_{/m}, 1) \ar[r]^{π}_{∼} & L_{r−1}Λ^{r}ℤ_{/m} ≃ Ω_{r}(ℤ_{/m})} pour i = 2r − 1 . (2.4.14)

Pour montrer que ce dernier est effectivement l’isomorphisme (2.4.8), il suffit de remarquer que pour r = 1, c’est l’identité et que les complexes de Moore sont munis de puissances divisées. Le générateur C_{r}^{m}(c) de H_{2r−1}(ℤ_{/m}) est, d’après Hamsher [15, 2D], représenté par le cycle

\frac{∂}{m}γ_{r}V^{m}(c) ∈ B(ℤ_{/m}),  (2.4.15)

Hamsher remarque dans la démonstration de sa proposition 3.10 que ce cycle correspond au cycle w_{r}^{m} dans le complexe M(m). L’application π_{r} est alors donnée par

π(C_{r}^{m}(c)) = ω_{r}^{m}(c) .  (2.4.16)

Ensuite, on considère l’effet croisé. Le diagramme suivant commute

[figure: H_{2r−1}(A|B); π_{r}; Ω_{r}(A|B); ⨁_{{s+t=r \atop s,t>0}}T or(H_{2s−1}(A), H_{2t−1}(B)); T or(π_{s},π_{t}); ⨁_{{s+t=r \atop s,t>0}}T or(Ω_{s}(A), Ω_{t}(B)) .] (2.4.17)

où l’application de droite est la projection de la formule de Künneth. Ainsi, si x_{1}, …, x_{α} ∈ _{h}A, y_{1}, …, y_{β} ∈ _{h}B, (i_{1}, …, i_{α}, j_{1}, …, j_{β}) des entiers, π_{m}(C_{i_{1},...,i_{α},j_{1},...,j_{β}}^{h}(x_{1}, …, x_{α}, y_{1}, …, y_{β})

= τ_{h}(π_{s}(C_{i_{1},...,i_{α}}^{h}(x_{1}, …, x_{α}), π_{t}(C_{j_{1},...,j_{β}}^{h}(y_{1}, …, y_{β})
= τ_{h}(ω_{i_{1}}^{h}(x_{1}) … ω_{i_{α}}(x_{α}), ω_{j_{1}}^{h}(y_{1}) … ω_{j_{β}}(y_{β}))
= ω_{i_{1}}^{h}(x_{1}) … ω_{i_{α}}(x_{α})ω_{j_{1}}^{h}(y_{1}) … ω_{j_{β}}(y_{β}) .

Car on a vu que d’après (2.3.14)

ω_{i}^{h}(x)ω_{j}^{h}(y) = τ_{h}(ω_{i}^{h}(x), ω_{j}^{h}(y)) .

Ceci permet de conclure. □

2.5 LΛ^{r} et LSym^{r} dans la description de Decker de H_{∗}(B, n)

D’après la description de Decker [8, théorème 2.9], H(B, n) est engendré comme une ℤ-algèbre par des générateurs de la forme τ_{0}(σ^{n}u), τ_{0}(γ_{i}(σ^{n}u)), n pair, i ≥ 0 et u ∈ B et par les générateurs de torsion,

τ_{h}(ω_{i_{1}}^{h}(x_{1}), …, ω_{i_{r}}^{h}(x_{r}), k_{1}γ_{i_{r+1}}(x_{r+1}), …, k_{s}γ_{i_{r+s}}(x_{r+s}))  (2.5.1)

avec I_{1}, …, i_{r+s} ∈ ℕ, r, s ≥ 0, x_{t} = α_{t}(u_{t}), α_{t} une opération homologique de la forme σ^{n} ou β_{p}σ^{l}ϕ_{p}α′, u_{t} ∈ D_{α_{t}}(B) tels que hu_{t} = 0 dans D_{α_{t}}(B) pour 1 ≤ t ≤ r et hk_{t}γ_{i_{r+t}}(u_{r+t}) = 0 dans Γ(D_{α_{r+t}}(B)) pour 1 ≤ t ≤ s. Ces générateurs sont soumis à des relations.

Définition 2.5.1 Soient B un groupe abélien et n un entier positif. On définit l’algèbre F H(B, n) comme la sous-algèbre de H(B, n) engendrée par les éléments du type

τ_{h}(γ_{1}(σ^{n}u_{1}^{1}) … γ_{1}(σ^{n}u_{1}^{α_{1}}), …, γ_{1}(σ^{n}u_{s}^{1}) … γ_{1}(σ^{n}u_{s}^{α_{s}}))) si n est pair,

(2.5.2)

avec s, α_{1}, …, α_{s} ∈ ℕ

τ_{h}(ω_{i_{1}}(σ^{n}u_{1}), …, ω_{i_{r}}(σ^{n}u_{r})) si n est impair.  (2.5.3)

avec r, i_{1}, …, i_{r} ∈ ℕ

Proposition 2.5.2 Soient B un groupe abélien et n ≥ 1. F H(B, n) est gradué par (L_{i}Sym^{r}(B))_{i,r≥0} si n est pair et par (L_{i}Λ^{r}(B))_{i,r≥0} si n est impair.

Pour montrer ceci, nous devons tout d’abord montrer le lemme suivant.

Lemme 2.5.3 Soient B un groupe abélien, n ≥ 0, r, i ≥ 1,

L_{i}Sym^{r}(B, n) ≃ 0 si i ≥ (n + 1)r.

Des considérations sur les degrés nous donnent le résultat pour i > (n + 1)r. Notons \overline{Γ}_{r}(B) le conoyau de l’inclusion \xymatrix{Sym^{r}B \ar@{^{(}->}[r] & Γ_{r}(B)} . Une conséquence immédiate de la proposition A.2.2 points (3.) et (4.), que nous verrons ultérieurement, est que \overline{Γ}_{r}(B) est de degré ≤ r − 1. La suite exacte longue associée à la suite exacte courte

\xymatrix{Sym^{r}B \ar@{^{(}->}[r] & Γ_{r}(B) \ar@{->>}[r] & \overline{Γ}_{r}(B)}

nous donne alors l’injection

\xymatrix{L_{(n+1)r}Sym^{r}(B, n) \ar@{^{(}->}[r] & L_{(n+1)r}Γ_{r}(B, n) ≃ L_{(n+1)r+2r}Sym^{r}(B, n + 2)}

(2.5.4)

(voir [3, corollaire 4.3], pour n ≥ 2). Les corollaires 2.2.2 et 2.3.2 permettent d’initialiser la récurrence sur n. □

Démonstration de la proposition 2.5.2. D’après la proposition 2.1.1 et le lemme précédent, On dispose des projections

\xymatrix{H_{(n+1)r−1}(B, n) \ar[r]^{π_{r}} & L_{(n+1)r−1}Sym^{r}(B, n)} ∀r ≥ 1.  (2.5.5)

On définit alors les applications composées suivantes en s’appuyant sur le lemme 2.2.1 et sur le théorème 2.3.3; si n est impair,

[figure: F H_{(n+1)r−1}(B, n); f_{n}^{r}; S_{r}(B); H_{(n+1)r−1}(B, n); π_{r}; (L_{r−1} ⊗^{r} (B, 0))_{Σ_{r}}; ≀; L_{(n+1)r−1}Sym^{r}(B, n); (L_{(n+1)r−1} ⊗^{r} (B, n))_{Σ_{r}} ,]  (2.5.6)

et si n est pair,

[figure: F H_{(n+1)r−1}(B, n); g_{n}^{r}; Ω_{r}(B); ≀; H_{(n+1)r−1}(B, n); π_{r}; (L_{r−1} ⊗^{r} (B, 0))^{Σ_{r}^{ϵ}}; ≀; L_{(n+1)r−1}Sym^{r}(B, n); (L_{(n+1)r−1} ⊗^{r} (B, n))^{Σ_{r}} .]  (2.5.7)

où les isomorphismes

(L_{(n+1)r−1} ⊗^{r} (B, n))_{Σ_{r}} ≃ (L_{r−1} ⊗^{r} (B, 0))_{Σ_{r}} si n est pair, (2.5.8)
(L_{(n+1)r−1} ⊗^{r} (B, n))^{Σ_{r}^{ϵ}} ≃ (L_{r−1} ⊗^{r} (B, 0))^{Σ_{r}^{ϵ}} si n est pair, (2.5.9)

sont dus au diagramme (1.3.5). On montre par récurrence que ces applications sont données respectivement par

f_{n}^{r} : τ_{h}(σ^{n}u_{1}, …, σ^{n}u_{r})) ↦ β_{h}(u_{1}, …, u_{r}) si n est pair,  (2.5.10)

g_{n}^{r} : τ_{h}(ω_{i_{1}}(σ^{n}u_{1}), …, ω_{i_{r}}(σ^{n}u_{r})) ↦ ω_{i_{1}}(u_{1}) … ω_{i_{r}}(u_{r}) si n est impair. (2.5.11)

Pour n impair, on obtient la suspension de H_{r}(B, 1) et on conclut grâce à la section précédente. Pour n pair, on remarque que pour r = 1, f_{n} est l’identité

H_{n}(B, n) ≃ σ^{n}B ≃ S_{1}(B)

Si r > 1, si B = ℤ_{/n}, S_{r}(ℤ_{/n}) = 0. et le diagramme suivant commute

[figure: F H_{(n+1)r−1}(A|B); f_{n}^{r}; S_{r}(A|B); ⨁_{{s+t=r \atop s,t>0}}T or(F H_{(n+1)s−1}(A), F H_{(n+1)t−1}(B)); T or(f_{n}^{s},f_{n}^{t}); ⨁_{{s+t=r \atop s,t>0}}T or(S_{s}(A), S_{t}(B)) .]

(2.5.12)

L’hypothèse de récurrence permet de conclure de la même façon que dans la démonstration de la propriété 2.4.1. □

Après les calculs des sections 2.2 et 2.3, on peut donc identifier une partie de l’homologie des K(B, n). Mais si cette identification est totale pour n = 1, la partie décrite pour n ≥ 1 est très réduite. On voit cependant que la lacune réside dans la différence entre Sym^{r} et Γ_{r}. Nous proposons dans le chapitre suivant de comparer ces deux foncteurs puis d’étendre cette comparaison au niveau des foncteurs dérivés.

Les foncteurs dérivés de Γ_{r} et H_{∗}(B, 2)

3.1 L_{i}Γ_{r} et H(B, 2) en bas degrés

Les foncteurs L_{i}Γ_{r} sont beaucoup plus délicats à expliciter que les foncteurs L_{i}Sym^{r} et L_{i}Λ^{r}. Ceci est dû en grande partie à la complexité de leur valeur lorsque B est un groupe cyclique. Cette section est consacrée à la descripion des foncteurs dérivés L_{i}Γ_{r} pour r ≤ 4 et à leur correspondances dans H(B, 2) avec le formalisme de Decker [8]. En effet, d’après la proposition 2.1.3, L_{i}Γ_{r}(B) est une partie du gradué de H_{i+2r}(B, 2). On s’appuiera sur des résultats plus généraux qui seront démontrés dans l’appendice A, mais il est opportun de présenter les résultats obtenus en bas degré pour la commodité du lecteur. Dans la description de Decker de H_{n}(B, 2) (loc.cit. III §3), les générateurs sont de la forme

τ_{h}(ω_{i_{1}}^{h}(x_{1}), …, ω_{i_{r}}^{h}(x_{r}), k_{1}γ_{i_{r+1}}(σ^{2}u_{r+1}), …, k_{s}γ_{i_{r+s}}(σ^{2}u_{r+s}))  (3.1.1)

avec r, s ≥ 0, x_{t} = α_{t}(u_{t}), p un nombre premier, u_{t} ∈ _{p}B pour 1 ≤ t ≤ r, α_{t} = β_{p}ϕ_{p}γ_{p^{f_{t}}}ψ_{p}. Dans la suite, on notera u pour σ^{2}u. Un tel générateur se situe dans H_{n}(B, 2) avec

n = 2(∑_{j=1}^{s} i_{r+j} + ∑_{t=1}^{r} i(p^{f_{t}+1})) + s − 1 .

Pour n = 2, 3 et 4, les résultats sont classiques.

• H_{2}(B, 2) ≃ L_{0}Γ_{1}(B) ≃ B,

• H_{3}(B, 2) ≃ L_{1}Γ_{1}(B) ≃ 0,

• H_{4}(B, 2) ≃ L_{0}Γ_{2}(B) ≃ Γ_{2}(B).

Pour n = 5, H_{5}(B, 2) est le foncteur R de Eilenberg et Maclane [11, théorème 22.1] qui est chez Decker le quotient du groupe

T or(B, B) ⊕ Γ_{2}^{2}(_{2}B)  (3.1.2)

engendré par les éléments

τ_{h}(u, v) u, v ∈ _{h}B, ∀h ∈ ℕ ,
β_{2}ϕ_{2}ψ_{2}(u) u ∈ _{2}B ,

par les relations

τ_{h}(u, u) ≃ 0  ∀ u ∈ _{h}B ,
τ_{2}(u, v) ≃ β_{2}ϕ_{2}ψ_{2}(x + y) − β_{2}ϕ_{2}ψ_{2}(x) − β_{2}ϕ_{2}ψ_{2}(y) ∀ x, y ∈ _{2}B .

La proposition 2.1.3 nous donne l’isomorphisme

H_{5}(B, 2) ≃ L_{1}Γ_{2}(B) .  (3.1.3)

Nous décrirons le foncteur L_{1}Γ_{2} dans la section 3.2. Il est cependant difficile de généraliser cette description. Nous considèrerons alors la suite courte exacte, pour tout groupe abélien B,

\xymatrix{Sym^{2}B \ar@{^{(}->}[r] & Γ_{2}(B) \ar@{->>}[r] & B_{/2B}} .  (3.1.4)

L’étude de la suite exacte longue associée à (3.1.4) induit en effet une suite exacte courte

\xymatrix{L_{1}Sym^{2}B \ar@{^{(}->}[r] & L_{1}Γ_{2}(B) \ar@{->>}[r] & _{2}B} .  (3.1.5)

Dans les sections suivantes, nous généraliserons la suite exacte courte (3.1.4). Nous avons déjà identifié, dans la section 2.5, la partie L_{1}Sym^{2}(B) ≃ S_{2}(B) comme la partie F H_{5}(B, 2) (définition 2.5.1) de H_{5}(B, 2) engendrée par les générateurs de la forme τ_{h}(u, v). On a donc un isomorphisme

H_{5}(B, 2)/F H_{5}(B, 2) ≃ _{2}B  (3.1.6)

où le quotient H_{5}(B, 2)/F H_{5}(B, 2) est engendré par les éléments de la forme β_{2}ϕ_{2}ψ_{2}(u), où u ∈ _{2}B. Le cas n = 6, où H_{6}(B, 2) ≃ Γ_{3}(B) ne pose aucune difficulté et figure déjà chez Eilenberg-MacLane [11, §21]. Les cas n = 7 et n = 8 font intervenir les foncteurs dérivés de Γ_{3}. En effet, d’après la proposition 2.1.3, on a l’isomorphisme

H_{7}(B, 2) ≃ L_{1}Γ_{3}(B) ,

et l’extension

\xymatrix{Γ_{4}(B) \ar@{^{(}->}[r] & H_{8}(B, 2) \ar@{->>}[r] & L_{2}Γ_{3}(B)} .

Dans la section A.2, on notera F_{2}Γ_{3}(B) l’image de la multiplication

\xymatrix{Γ_{2}(B) ⊗ B \ar[r] & Γ_{3}(B)} .  (3.1.7)

On montrera dans la proposition A.2.2 que si L est un groupe abélien libre, le gradué de la filtration

Sym^{3}L ⊂ F_{2}Γ_{3}(L) ⊂ Γ_{3}(L)

est donné par

gr_{2}Γ_{3}(L) ≃ L_{/2L} ⊗ L ,  (3.1.8)
gr_{3}Γ_{3}(L) ≃ L_{/3L} .  (3.1.9)

Les groupes gr_{2}Γ_{3}(L) et gr_{3}Γ_{3}(L) étant de torsion premières entre elles, on peut résumer le gradué par la suite exacte courte suivante,

\xymatrix{Sym^{3}L \ar@{^{(}->}[r] & Γ_{3}(L) \ar@{->>}[r] & (L_{/2L} ⊗ L) ⊕ L_{/3L}} ,  (3.1.10)

où l’application de droite est donnée pour x_{1}, x_{2}, x_{3}, x ∈ L, par

x_{1}x_{2}x_{3} ↦ 0 ,
γ_{2}(x_{1})x_{2} ↦ [x_{1}] ⊗ x_{2} ∈ L_{/2L} ⊗ L ,
γ_{3}(x) ↦ [x] ∈ L_{/3L} .

On calcule, d’après la proposition 1.2.10,

π_{i}(B_{/2B} ⊗^{L}_{ℤ} B) ≃ π_{i}((B ⊗^{L}_{ℤ} ℤ_{/2}) ⊗^{L}_{ℤ_{/2}} (B ⊗^{L}_{ℤ} ℤ_{/2}))
≃ ⨁_{s+t=i} π_{s}(B ⊗^{L}_{ℤ} ℤ_{/2}) ⊗_{ℤ_{/2}} π_{t}(B ⊗^{L}_{ℤ} ℤ_{/2}) .

On a donc une suite exacte longue associée à la suite (3.1.10), pour B un groupe abélien,

[figure: S_{3}B; L_{2}Γ_{3}(B); _{2}B ⊗ _{2}B; ∂; L_{1}Sym^{3}B; L_{1}Γ_{3}(B)]

[figure: ( \begin{matrix}(_{2}B ⊗ B_{/2B}) \\ ⊕(B_{/2B} ⊗ _{2}B) \end{matrix} ) ⊕ _{3}B; ∂; Sym^{3}B; Γ_{3}(B); (B_{/2B} ⊗ B) ⊕ B_{/3B}] .

(3.1.11)

Dans la section C.2 de l’appendice C, on étudie les cobords de cette suite. On obtient les suites exactes courtes suivantes,

\xymatrix{S_{3}B \ar@{^{(}->}[r] & L_{2}Γ_{3}(B) \ar@{->>}[r] & _{2}B ⊗ _{2}B} ,  (3.1.12)
\xymatrix{L_{1}Sym^{3}B \ar@{^{(}->}[r] & L_{1}Γ_{3}(B) \ar@{->>}[r] & (_{2}B ⊗ B_{/2B}) ⊕ _{3}B} ,  (3.1.13)
\xymatrix{B_{/2B} ⊗ _{2}B \ar@{^{(}->}[r]^{∂} & Sym^{3}B \ar[r] & Γ_{3}(B) \ar@{->>}[r] & (B_{/2B} ⊗ B) ⊕ B_{/3B}} , (3.1.14)

où ∂([x] ⊗ y) = x^{2}y.

Dans la section 2.5, on a vu que le groupe L_{1}Sym^{3}(B) ≃ S_{2}(B)˜⊗B correspond au sous-groupe F H_{7}(B, 2) ⊂ H_{7}(B, 2) défini en 2.5.1 engendré par les éléments τ_{h}(u, vw) et τ_{h}(u, v) · w. On a alors un isomorphisme

L_{1}Sym^{3}(B) ≃ F H_{7}(B, 2)

De la même façon, le groupe S_{3}(B) est isomorphe à F H_{8}(B, 2) ⊂ H_{8}(B, 2) engendré par les expressions τ_{h}(u, v, w). De manière analogue à ce qu’on a fait pour L_{1}Γ_{2}, on voit que la partie de 3-torsion de H_{7}(B, 2) engendrée par les éléments β_{3}ϕ_{3}ψ_{3}(u) est isomorphe au groupe _{3}B dans le conoyau de (3.1.13). On a ainsi un isomorphisme

H_{7}(B, 2)/(L_{1}Sym^{3}B + _{3}B) ≃ _{2}B ⊗ B_{/2B} .  (3.1.15)

Dans le quotient H_{7}(B, 2)/(L_{1}Sym^{3}B + _{3}B), d’après Decker, on a a priori les éléments suivants,

τ_{h}(kγ_{2}(u), v) avec hkγ_{2}(u) = hv = 0 ,  (3.1.16)
(β_{2}ϕ_{2}ψ_{2}(u) · v) avec 2u = 0 .  (3.1.17)

Ces éléments sont soumis aux relations suivantes,

[(β_{2}ϕ_{2}ψ_{2}(u + v) · w) − (β_{2}ϕ_{2}ψ_{2}(u) · w) − (β_{2}ϕ_{2}ψ_{2}(v) · w)] = [τ_{2}(u, v) · w]
= 0 .

et

τ_{h}(kγ_{2}(u⊤v), w) = τ_{h}(kuv, w) = 0 ,
τ_{h}(kγ_{2}(u), u) = 0 .

Pour décrire le quotient (3.1.15), on utilise la suite (B.1.3) dont on démontrera l’exactitude plus tard,

\xymatrix{S_{2}(B) ⊗ ℤ_{/2} \ar@{^{(}->}[r] & _{2}B ⊗ B_{/2B} \ar@{->>}[r] & _{2}Sym^{2}B} .  (3.1.18)

On peut conjecturer que les expressions du type (3.1.17) correspondent au groupe _{2}Sym^{2}B et que les éléments du type (3.1.16) correspondent au groupe S_{2}(B) ⊗ ℤ_{/2}, ce qui justifie le tableau suivant.

Descriptions de H_{7}(B, 2)

Gradué  Description de Decker
S_{2}(B)˜⊗B  τ_{h}(u, vw) et τ_{h}(u, v) · w
2B ⊗ B τ_{h}(kγ_{2}(u), v) et (β_{2}ϕ_{2}ψ_{2}(u) · v)
3B  β_{3}ϕ_{3}ψ_{3}(u)

Enfin, dans l’isomorphisme

L_{2}Γ_{3}(B)/S_{3}(B) ≃ H_{8}(B, 2)/(F H_{8}(B, 2) ⊕ Γ_{4}(B)),

on peut identifier _{2}B ⊗ _{2}B aux éléments τ_{2}(u, β_{2}ϕ_{2}ψ_{2}(v)). On décrira le foncteur L_{2}Γ_{3} plus précisément dans la section 3.2.

Descriptions de H_{8}(B, 2)

Gradué Description de Decker
Γ_{4}(B)  Γ_{4}(B)
S_{3}(B)  τ_{h}(u, v, w)
2B ⊗ _{2}B  τ_{2}(u, β_{2}ϕ_{2}ψ_{2}(v))

Pour n > 8, on voit apparaître des foncteurs dérivés de Γ_{r} avec r > 3. On ne dispose alors plus de suites exactes courtes du type (3.1.4) et (3.1.10). La généralisation de ces suites exactes est une filtration que nous décrivons dans la section A.2. Nous décrivons ici la filtration pour r = 4 et nous étudions la suite spectrale induite par cette filtration.

Définition 3.1.1 Soit B un groupe abélien, on définit une filtration croissante de Γ_{4}(B) par

F_{i}Γ_{4}(B) = Im(Γ_{i}(B) ⊗ Sym^{4−i}B → Γ_{4}(B)) pour 0 ≤ i ≤ 4 .

C’est-à-dire,

Sym^{4}B ⊂Im(B⊗Sym^{3}B)⊂Im(Γ_{2}(B)⊗Sym^{2}B)⊂Im(Γ_{3}(B)⊗B)⊂Γ_{4}(B) .

On décrit le gradué associé à cette filtration dans la proposition suivante.

Proposition 3.1.2 Soit L un groupe abélien libre,

1. gr_{0}Γ_{4}(L) = Sym^{4}L,

2. gr_{1}Γ_{4}(L) = 0,

3. la suite

\xymatrix{Λ_{ℤ_{/2}}^{2}L_{/2L} \ar@{^{(}->}[r] & L_{/2L} ⊗_{ℤ_{/2}} Sym_{ℤ_{/2}}^{2}L_{/2L} \ar@{->>}[r] & gr_{2}Γ_{4}(L)}  (3.1.19)

où u est définie par u(x ∧ y) = x ⊗ y^{2} − y ⊗ x^{2}, est une suite exacte courte.

4. gr_{3}Γ_{4}(L) = L_{/3L} ⊗ L,

5. gr_{4}Γ_{4}(L) = Γ̃_{2}^{2}(L).

On rappelle (définition 1.2.6) que

Γ̃_{2}^{2}(L) = Γ_{2}(L_{/2L}) .

Démonstration. les points (1.), (2.), (4.) et (5.) sont des cas particuliers de la propriété A.2.2. On peut cependant voir les points (1.), (2.) et (5.) directement en remarquant que

F_{0}Γ_{4}(L) ≃ F_{1}Γ_{4}(L) ≃ Sym^{4}L

et que d’après la proposition 1.2.12,

gr_{4}Γ_{4}(L) = coker(Γ_{3}(L) ⊗ L → Γ_{4}(L))
= H_{0}(C^{4}(L))
= Γ̃_{2}^{2}(L) .

Le point (3.) est un cas particulier de la propriété A.1.4. On peut le voir directement en remarquant que la suite exacte courte

\xymatrix{Sym^{4}L \ar@{^{(}->}[r] & F_{2}Γ_{4}(L) \ar@{->>}[r] & gr_{2}Γ_{4}(L)}  (3.1.20)

induit la suite exacte

\xymatrix{_{2}(gr_{2}Γ_{4}(L)) \ar@{^{(}->}[r] & Sym^{4}L ⊗ ℤ_{/2} \ar[r]^{f} & F_{2}Γ_{4}(L) ⊗ ℤ_{/2} \ar@{->>}[r] & gr_{2}Γ_{4}(L) ⊗ ℤ_{/2}}

(3.1.21)

où les foncteurs _{2}(gr_{2}Γ_{4}) et gr_{2}Γ_{4}(−)⊗ℤ_{/2} sont isomorphes à gr_{2}Γ_{4}(−) car ce foncteur est de 2-torsion. Si L est le groupe libre ⨁_{1≤i≤s} ℤx_{i}, en considérant des bases des ℤ_{/2}-espaces vectoriels correspondants (voir (1.2.11) et (1.2.21)), on montre que l’application f se factorise par

\xymatrix{Sym^{4}L ⊗ ℤ_{/2} \ar@{->>}[r] & Q_{2}^{4}(L_{/2L}) \ar@{^{(}->}[r] & F_{2}Γ_{4}(L) ⊗ ℤ_{/2}} .  (3.1.22)

En passant à la limite inductive, on a cette factorisation pour tout L abélien libre. En particulier, les suites courtes suivantes sont exactes,

\xymatrix{gr_{2}Γ_{4}(L) \ar@{^{(}->}[r] & Sym^{4}L ⊗ ℤ_{/2} \ar@{->>}[r] & Q_{2}^{4}(L_{/2L})} ,  (3.1.23)
\xymatrix{Q_{2}^{4}(L_{/2L}) \ar@{^{(}->}[r] & F_{2}Γ_{4}(L) ⊗ ℤ_{/2} \ar@{->>}[r] & gr_{2}Γ_{4}(L)} .  (3.1.24)

La suite (3.1.23) permet de voir que gr_{2}Γ_{4}(L) est le foncteur ^{2}σ_{(1,2)}^{1} (définition A.1.1). Le résultat est alors un cas particulier de la propriété A.1.4. En effet, le lemme du serpent appliqué au diagramme où les lignes sont des suites exactes courtes (voir (A.1.10) pour celle du bas),

[figure: Λ_{ℤ_{/2}}^{2}L_{/2L}; L_{/2L} ⊗_{ℤ_{/2}} L_{/2L}; id⊗F_{2}; L_{/2L} ⊗_{ℤ_{/2}} Sym_{ℤ_{/2}}^{2}L_{/2L}; L_{/2L} ⊗_{ℤ_{/2}} Q_{2}^{2}(L_{/2L}); Sym_{ℤ_{/2}}^{2}L_{/2L}; ^{2}σ_{(1,2)}^{1}(L_{/2L}); L_{/2L} ⊗_{ℤ_{/2}} Q_{2}^{2}(L_{/2L})] (3.1.25)

donne le résultat. □

Dans la suite, on séparera les composantes des foncteurs du gradué qui sont de torsions premières entre elles. Si p est premier, i et r des entiers, on notera

pgr_{(i)}^{r} = gr_{pi}Γ_{r} ⊗ ℤ_{(p)}

où ℤ_{(p)} est le localisé de ℤ en p. Les foncteurs gr_{i}Γ_{4} seront ainsi notés de la manière suivante

gr_{0}^{4}(L) = gr_{0}Γ_{4}(L) ≃ Sym^{4}L ,  (3.1.26)
2gr_{(1)}^{4}(L) = gr_{2}Γ_{4}(L) ⊗ ℤ_{(2)} ≃ gr_{2}Γ_{4}(L) ≃ ^{2}σ_{(1,2)}^{1}(L) , (3.1.27)
3gr_{(1)}^{4}(L) = gr_{3}Γ_{4}(L) ⊗ ℤ_{(3)} ≃ L_{/3L} ⊗ L ,  (3.1.28)
2gr_{(2)}^{4}(L) = gr_{4}Γ_{4}(L) ⊗ ℤ_{(2)} ≃ Γ̃_{2}(L) .  (3.1.29)

Dans l’appendice B, on décrit les foncteurs dérivés de ces foncteurs, ainsi que des foncteurs ^{2}σ_{(1,2)}^{1}. Pour décrire les foncteurs dérivés de Γ̃_{2} qui apparaissent dans le gradué (proposition 3.1.2), on peut écrire la suite exacte courte suivante pour L un groupe abélien libre,

\xymatrix{Sym_{ℤ_{/2}}^{2}L_{/2L} \ar@{^{(}->}[r] & Γ̃_{2}^{2}(L) \ar@{->>}[r] & L_{/2L}} .  (3.1.30)

On notera dans les sections suivantes ces nouveaux foncteurs

2gr_{(2,1)}^{4}(B) = B_{/2B} ,  (3.1.31)
2gr_{(2,0)}^{4}(B) = Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} .  (3.1.32)

Proposition 3.1.3 La suite spectrale induite par la filtration de Γ_{4}(B),

E_{i,j}^{1} = L_{i+j}(gr_{i}Γ_{4}(B)) ⇒ L_{i+j}Γ_{4}(B) .  (3.1.33)

induit une filtration de LΓ_{4}, qui est décrit de la façon suivante, pour tout groupe abélien B,

Gradué de Γ_{4}(B)

gr_{0}Γ_{4}(B) = Sym^{4}B/R , gr_{1}Γ_{4}(B) = 0 , gr_{2}Γ_{4}(B) = ^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) , gr_{3}Γ_{4}(B) = B_{/3B} ⊗ B , gr_{4}Γ_{4}(B) = Γ̃_{2}(B) , gr_{i}Γ_{4}(B) = 0 pour i > 4 ;

où R est engendré par les symboles

\begin{matrix}x^{2}yz; yz ∈ _{2}Sym^{2}B, x ∈ B , \\ x^{3}y; y ∈ _{3}B, x ∈ B . \end{matrix}

Gradué de L_{1}Γ_{4}(B)

gr_{0}L_{1}Γ_{4}(B) = L_{1}Sym^{4}B/ < β_{2}(y, z) ⊗ x^{2}; y, z ∈ _{2}B, x ∈ B > , gr_{1}L_{1}Γ_{4}(B) = 0 , gr_{2}L_{1}Γ_{4}(B) = B_{/2B} ⊗_{ℤ_{/2}} S_{2}(B) ⊕ _{2}B ⊗_{ℤ_{/2}} Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} ,

gr_{3}L_{1}Γ_{4}(B) = _{3}B ⊗ B_{/3B} , gr_{4}L_{1}Γ_{4}(B) = S_{2}(B) ⊗ ℤ_{/2} ⊕ _{2}B , gr_{i}L_{1}Γ_{4}(B) = 0 pour i > 4 ; Gradué de L_{2}Γ_{4}(B)

gr_{0}L_{2}Γ_{4}(B) = L_{2}Sym^{4}B , gr_{1}L_{2}Γ_{4}(B) = 0 , gr_{2}L_{2}Γ_{4}(B) = _{2}B ⊗_{ℤ_{/2}} _{2}B ⊗_{ℤ_{/2}} B_{/2B} , gr_{3}L_{2}Γ_{4}(B) = _{3}B ⊗ _{3}B , gr_{4}L_{2}Γ_{4}(B) = Λ^{2}(_{2}B) , gr_{i}L_{2}Γ_{4}(B) = 0 pour i > 4 ;

Gradué de L_{3}Γ_{4}(B)

gr_{0}L_{3}Γ_{4}(B) = S_{3}(B) , gr_{1}L_{3}Γ_{4}(B) = 0 , gr_{2}L_{3}Γ_{4}(B) = L_{3}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) , gr_{i}L_{3}Γ_{4}(B) = 0 pour i > 2 ;

et L_{i}Γ_{4}(B) = 0 si i > 4.

Pour montrer ceci, on étudie “à la main” les différentielles dans la suite spectrale associée à la filtration 3.1.1 de Γ_{4}(B). (voir section C.3 de l’appendice C.). D’après la proposition 2.1.3, on a l’isomorphisme H_{9}(B, 2) ≃ L_{1}Γ_{4}(B). On peut alors faire les analogies suivantes avec la description de H_{9}(B, 2) de Decker [8, §3].

Gradué  Decker

gr_{0}L_{1}Γ_{4}(B) (voir section 2.5)

\begin{matrix}τ_{h}(u, v_{1}v_{2}v_{3}) \\ τ_{h}(u_{1}u_{2}, v_{1}v_{2}) \\ τ_{h}(u, v)w_{1}w_{2} \\ τ_{h}(u_{1}u_{2}, v)w \end{matrix}

gr_{2}L_{1}Γ_{4}(B)  \begin{matrix}uv ⊗ β_{2}ϕ_{2}ψ_{2}(w) \\ τ_{2}(u, v)γ_{2}(w) \end{matrix}
gr_{3}L_{1}Γ_{4}(B)  \begin{matrix}τ_{3h}(u, kγ_{3}(v)) \\ u ⊗ β_{3}ϕ_{3}ψ_{3}(v) \end{matrix}
gr_{4}L_{1}Γ_{4}(B)  \{ \begin{matrix}τ_{2}(γ_{2}(u), γ_{2}(v)) \\ β_{2}ϕ_{2}γ_{2}ψ_{2}(u) \end{matrix}

Decker ne décrit pas explicitement les groupes d’homologie supérieurs. Mais on peut tout de même remarquer que le prochain générateur “intéressant” est dans H_{11}(B, 2) de la forme ω_{2}(β_{2}ϕ_{2}ψ_{2}(u)) avec u ∈ _{2}B. Or grH_{11}(B, 2) = L_{1}Γ_{5}(B) ⊕ L_{3}Γ_{4}(B). Il semble d’après la proposition B.1.3 de l’appendice B que ce générateur corresponde à la partie Γ_{2}^{2}(_{2}B) du groupe L_{3}^{2}gr_{(1)}^{4}(B) = L_{3}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}).

3.2 Le foncteur R_{r} = L_{r−1}Γ_{r}

Dans cette section, on décrit le foncteur L_{r−1}Γ_{r} qui est le foncteur R de Eilenberg et Maclane [11, §22] lorsque r = 2 décrit par Breen [4, 9.5]. On montre tout d’abord dans la proposition 3.2.1 que le foncteur L_{r−1}Γ_{r} est isomorphe à la partie symétrique du foncteur T or^{[r]}. On donne ensuite une présentation de ce foncteur en montrant dans le théorème 3.2.5 qu’il est isomorphe au foncteur R_{r} défini en 3.2.4.

Proposition 3.2.1 Soient B un groupe abélien et r > 0. L’application fonctorielle

\xymatrix{L_{r−1}Γ_{r}(B) \ar[r]^{∼} & (T or^{[r]}(B))^{Σ_{r}}}  (3.2.1)

induite par l’application Σ_{r}-invariante g^{r} définie en (1.2.22) est un isomorphisme.

Pour montrer cette proposition, on a besoin des lemmes suivants.

Lemme 3.2.2 Soient r, n deux entiers positifs, tels que r ≥ 2 et n ≥ 1.

L_{r−1}Γ_{r}(ℤ_{/n}) = ℤ_{/(n,2)} .

Démonstration. D’après la proposition A.2.8 de l’appendice A, les degrés des foncteurs composant le gradué de Γ_{r} sont tous strictement inférieurs à r − 1 exceptés pour les foncteurs Sym_{ℤ_{/p}}^{r} et ^{2}σ_{(1,r−2)}^{1}. En particulier, les seuls (r − 1)-ièmes foncteurs dérivés du gradué non nuls sont L_{r−1}Sym^{r} et L_{r−1}^{2}σ_{(1,r−2)}^{1}. Ainsi, en considérant les suites spectrales associées aux filtrations A.2.1 et A.2.6, on obtient la suite exacte suivante, pour B un groupe abélien

\xymatrix{S^{r}(B) \ar@{^{(}->}[r] & L_{r−1}Γ_{r}(B) \ar[r] & L_{r−1}^{2}σ_{(1,r−2)}^{1}(B_{/2B}) \ar[r] & L_{r−2}Sym^{r}(B)} .

(3.2.2)

où S^{r}(B) ≃ L_{r−1}Sym^{r}B. Donc d’après (2.2.10),

L_{r−1}Γ_{r}(ℤ_{/n}) ≃ L_{r−1}^{2}σ_{(1,r−2)}^{1}(ℤ_{/n} ⊗ ℤ_{/2}) .  (3.2.3)

Si r = 2, ^{2}σ_{(1,0)}^{1} est le foncteur identité sur les ℤ_{/2}-espaces vectoriels, donc

L_{1}^{2}σ_{(1,0)}^{1}(ℤ_{/n} ⊗ ℤ_{/2}) = π_{1}(ℤ_{/n} ⊗^{L} ℤ_{/2}) = _{2}ℤ_{/n} ≃ ℤ_{/(n,2)}

Si r > 2, d’après (A.1.17), la suite

\xymatrix{^{2}σ_{(1,r−2)}^{1}(B_{/2B}) \ar@{^{(}->}[r] & Sym_{ℤ_{/2}}^{r}B_{/2B} \ar@{->>}[r] & Λ_{ℤ_{/2}}^{r}B_{/2B}}  (3.2.4)

est une suite exacte courte. On a alors une longue suite exacte

\xymatrix{L_{r}Sym_{ℤ_{/2}}^{r}B_{/2B} \ar@{^{(}->}[r] & L_{r}Λ_{ℤ_{/2}}^{r}B_{/2B} \ar[r] & L_{r}^{2}σ_{(1,r−2)}^{1}(B_{/2B}) \ar[r] & L_{r−1}Sym_{ℤ_{/2}}^{r}B_{/2B} \ar[r] & …}

(3.2.5)

Le théorème du coefficient universel nous permet de calculer

L_{r}Sym_{ℤ_{/2}}^{r}(ℤ_{/n} ⊗ ℤ_{/2}) ≃ _{2}S_{r}(ℤ_{/n}) ≃ 0 ,
L_{r}Λ_{ℤ_{/2}}^{r}(ℤ_{/n} ⊗ ℤ_{/2}) ≃ _{2}Ω_{r}(ℤ_{/n}) ≃ _{2}ℤ_{/n} ,

\xymatrix{(S_{r}ℤ_{/n}) ⊗ ℤ_{/2} ≃ 0 \ar@{^{(}->}[r] & L_{r−1}Sym_{ℤ_{/2}}^{r}(ℤ_{/n} ⊗ ℤ_{/2}) \ar@{->>}[r] & _{2}L_{r−2}Sym^{2}ℤ_{/n} ≃ 0} .

Donc l’exactitude de (3.2.5) montre l’isomorphisme

L_{1}^{2}σ_{(1,r−2)}^{1}(ℤ_{/n} ⊗ ℤ_{/2}) = _{2}ℤ_{/n} ≃ ℤ_{/(n,2)}

ce qui permet de conclure grâce à (3.2.3). □

Lemme 3.2.3 Soient r > 0 et B un groupe abélien. L’application

\xymatrix{L_{r−1}Γ_{r}(B) \ar[r]^{L_{r−1}g^{r}} & (T or^{[r]}(B))^{Σ_{r}}}  (3.2.6)

est injective.

Démonstration. L’application g^{r} est l’application composée

\xymatrix{Γ_{r}(B) \ar[r] & Γ_{r−1}(B) ⊗ B \ar[r] & … \ar[r] & Γ_{2}(B) ⊗ ( ⊗^{r−2} B) \ar[r] & ⊗^{r} B} .

(3.2.7)

donc d’après le corollaire 2.5.3, L_{r−1}g^{r} est l’application composée

\xymatrix{L_{r−1}Γ_{r}(B) \ar[r] & T or(L_{r−2}Γ_{r−1}(B), B) \ar[r] & …}
\xymatrix{… \ar[r] & T or(L_{1}Γ_{2}(B), T or^{[r−2]}(B)) \ar[r] & T or^{[r]}(B)} .  (3.2.8)

On va montrer que pour tout k, l’application

\xymatrix{L_{k−1}Γ_{k}(B) \ar[r] & T or(L_{k−2}Γ_{k−1}(B), B)}  (3.2.9)

est injective. Pour cela on utilise le complexe acyclique de Koszul (définition 1.2.11) pour L un groupe abélien libre,

\xymatrix{Γ_{k}(L) \ar[r] & Γ_{k−1}(L) ⊗ L \ar[r] & … \ar[r] & L ⊗ Λ^{r−1}L \ar[r] & Λ^{r}L} . (3.2.10)

Définissons les foncteurs suivants,

s_{0}(B) = Λ^{k}(B) ,
s_{i}(B) = Ker(Γ_{i}(B) ⊗ Λ^{k−i}B → Γ_{i−1}(B) ⊗ Λ^{k−i+1}B) pour 0 < i ≤ k .

Ainsi, les suites

\xymatrix{s_{i}(L) \ar@{^{(}->}[r] & Γ_{i}(L) ⊗ Λ^{k−i}L \ar@{->>}[r] & s_{i−1}(L)}  (3.2.11)

sont des suites exactes courtes, pour 1 ≤ i ≤ k − 1. Montrons par récurrence sur i que pour i < k − 1, L_{k}s_{i}(B) ≃ 0. Pour i = 0, s_{0} = Λ^{k}, la propriété est donc le corollaire 2.3.2. pour i > 0, , si L_{k}s_{i−1}(B) ≃ 0, la longue suite exacte associée à la suite exacte courte (3.2.11) nous donne l’isomorphisme

L_{k}s_{i}(B) ≃ π_{k}(LΓ_{i}(B) ⊗^{L} LΛ^{k−i}B)  (3.2.12)

Or ce dernier groupe est le groupe nul d’après la formule de Künneth et les corollaires 2.3.2 et 2.5.3. Donc L_{k}s_{k−2}(B) ≃ 0. La suite (3.2.11) pour i = k − 1 s’écrit

\xymatrix{Γ_{k}(L) \ar@{^{(}->}[r] & Γ_{k−1}(L) ⊗ L \ar@{->>}[r] & s_{k−2}(L)} .  (3.2.13)

On en déduit l’injectivité de l’application

\xymatrix{L_{k−1}Γ_{k}(B) \ar@{^{(}->}[r] & π_{k−1}(LΓ_{k−1}(B) ⊗^{L} B) ≃ T or(L_{k−2}Γ_{k−1}(B), B)} . (3.2.14)

et donc des applications

\xymatrix{T or(L_{k−1}Γ_{k}(B), T or^{[r−k]}(B)) \ar@{^{(}->}[r] & T or(L_{k−2}Γ_{k−1}(B), T or^{[r−k]}(B))} ,

(3.2.15)

car T or(−, −) est exact à gauche. L’application composée (3.2.8) est donc injective. □

Démonstration de la proposition 3.2.1. La démonstration de cette proposition est analogue à la preuve du théorème 2.3.3. On le montre par récurrence sur r. Pour r = 1, l’application L_{0}g^{1} est l’isomorphisme canonique

\xymatrix{L_{0}Γ_{1}(B) ≃ B \ar[r]^{g^{1}}_{∼} & B} .

Supposons maintenant que l’application L_{s−1}g^{s} est un isomorphisme pour tout 1 ≤ s < r. Si B = ℤ, les deux groupes sont nuls. Si B = ℤ_{/n}, d’après le diagramme (1.3.8),

(T or^{[r]}(ℤ_{/n}))^{Σ_{r}} ≃ (⊗^{r} ℤ_{/n})^{Σ_{r}^{ϵ}} ≃ ℤ_{/(n,2)} .  (3.2.16)

D’après les lemmes 3.2.2 et 3.2.3, l’application L_{r−1}g^{r} est donc un isomorphisme

\xymatrix{L_{r−1}Γ_{r}(ℤ_{/n}) = ℤ_{/(n,2)}L_{r−1}g^{r} \ar[r] & ℤ_{/(n,2)} = (T or^{[r]}ℤ_{/n})^{Σ_{r}}}  (3.2.17)

Nous allons maintenant considérer l’application sur les effets croisés. Soient A et B deux groupes abéliens. Le corollaire 2.5.3 et la formule de Künneth donnent l’effet croisé de L_{r−1}Γ_{r}.

L_{r−1}Γ_{r}(A|B) = ⨁_{i=1}^{r−1} T or(L_{i−1}Γ_{i}A, L_{r−i−1}Γ_{r−i}B) .  (3.2.18)

On voit ensuite que l’effet croisé de (T or^{[r]}(−))^{Σ_{r}} est donné par

(T or^{[r]}(A|B))^{Σ_{r}} = ⨁_{i=1}^{r−1} T or((T or^{[i]}(A))^{Σ_{i}}, (T or^{[r−i]}(B))^{Σ_{r−i}}) . (3.2.19)

Or d’après l’hypothèse de récurrence, les applications

\xymatrix{T or(L_{i−1}Γ_{i}A, L_{r−i−1}Γ_{r−i}B) \ar[r] & T or((T or^{[i]}(A))^{Σ_{i}}, (T or^{[r−i]}(B))^{Σ_{r−i}})}

(3.2.20)

sont des isomorphismes, d’où le résultat. □

Nous allons maintenant donner une présentation de ce foncteur. On rappelle que le foncteur S_{r} est défini en 2.2.3.

Définition 3.2.4 Soient B un groupe abélien et r un entier positif. On définit le groupe R_{r}(B) comme le quotient de

S_{r}(B) ⊕ Γ_{r}^{2}(_{2}B)

par les relations suivantes ∀x_{1}, …, x_{r} ∈ _{2}B,

β_{2}(x_{1}, …, x_{r}) = γ_{1}(x_{1}) … γ_{1}(x_{r}) .  (3.2.21)

Le foncteur R_{2} est le foncteur R de Eilenberg et Maclane [11, §22].

Théorème 3.2.5 Soient B un groupe abélien et r un entier positif. L’isomorphisme (3.2.1) induit un isomorphisme fonctoriel

\xymatrix{L_{r−1}Γ_{r}(B) \ar[r]^{∼} & R_{r}(B) .}

Démonstration. Si r = 1, l’application δ_{1} est l’identité

\xymatrix{B = R_{1}(B) \ar[r]^{1_{B}} & (T or^{[1]}(B))^{Σ_{1}}} = B  (3.2.22)

Si r > 1, on définit l’application

\xymatrix{R_{r}(B) \ar[r]^{δ_{r}} & (T or^{[r]}(B))^{Σ_{r}}}  (3.2.23)

pour x_{k} ∈ _{h}B, 1 ≤ k ≤ r et y_{l} ∈ _{2}B, 1 ≤ l ≤ j et i_{1} + ⋯ + i_{j} = r, par

β_{h}(x_{1}, …, x_{r}) ↦ ∑_{σ∈Σ_{r}} sgn(σ)τ_{h}(x_{σ(1)}, …, x_{σ(r)}) ,
γ_{i_{1}}(y_{1}) … γ_{i_{j}}(y_{j}) ↦ ∑_{α∈J_{i_{1},...,i_{j}}} τ_{2}(y_{α(1)}, …, y_{α(r)}) .

On montre ensuite par récurrence sur r que cette application est un isomorphisme. Si B = ℤ, les deux groupes sont nuls. Si r = 1, δ_{1} = id. Si r > 1, lorsque B = ℤ_{/n}, δ_{r} est l’isomorphisme

\xymatrix{R_{r}(ℤ_{/n}) = ℤ_{/(n,2)} \ar[r]^{δ_{r}} & ℤ_{/(n,2)} = (T or^{[r]}(ℤ_{/n}))^{Σ_{r}}}  (3.2.24)

donné, si n = 2c, par

γ_{r}(c) ↦ τ_{2}(c, …, c)  (3.2.25)

Nous allons maintenant considérer l’application sur les effets croisés. Soient A et B deux groupes abéliens. L’effet croisé R_{r}(A|B) est le quotient de

⨁_{i=1}^{r−1}(T or(S_{i}(A), S_{r−i}(B)) ⊕ Γ_{i}^{2}(A) ⊗ Γ_{r−i}^{2}(B))  (3.2.26)

par les relations (3.2.21). On peut donc voir que

R_{r}(A|B) = ⨁_{i=1}^{r−1}(T or(R_{i}(A), R_{r−i}(B)) .  (3.2.27)

Or d’après l’hypothèse de récurrence, les applications

\xymatrix{T or(R_{i}A, R_{r−i}B) \ar[r]^{T or(δ_{i},δ_{r−i})} & T or((T or^{[i]}(A))^{Σ_{i}}, (T or^{[r−i]}(B))^{Σ_{r−i}})} (3.2.28)

sont des isomorphismes. Donc l’application (3.2.23) est un isomorphisme. On le compose avec l’isomorphisme (3.2.1) pour terminer. □

On peut également à la lumière de ce résultat donner une description plus précise de L_{3}^{2}σ_{(1,2)}^{1} que celle de la proposition B.1.3 de l’appendice B.

Proposition 3.2.6 Soit B un groupe abélien, la suite suivante est une suite exacte courte,

\xymatrix{Λ_{ℤ_{/2}}^{4}(_{2}B) \ar@{^{(}->}[r]^{ι} & Γ_{4}^{2}(_{2}B) \ar@{->>}[r] & L_{3}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B})} ,

où ι(x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{4}) = γ_{1}(x_{1}) … γ_{1}(x_{4}) pour x_{1}, …, x_{4} ∈ _{2}B.

Démonstration. D’après l’expression du gradué de L_{3}Γ_{4}(B) ≃ R_{4}(B) donnée dans la proposition 3.1.3, la suite (3.2.2) devient pour r = 4 la suite exacte courte suivante,

\xymatrix{S_{4}(B) \ar@{^{(}->}[r] & R_{4}(B) \ar@{->>}[r] & L_{3}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B})} .  (3.2.29)

Le théorème 3.2.5 et la définition 3.2.4 de R_{r} donnent alors le résultat. □

En particulier, on peut comprendre la suite exacte courte (B.1.27),

\xymatrix{_{2}B ⊗_{ℤ_{/2}} Λ^{2}(_{2}B) \ar@{^{(}->}[r] & L_{3}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) \ar@{->>}[r] & Γ_{2}^{2}(_{2}B)}  (3.2.30)

de la proposition B.1.3. Cette suite exacte correspond à la décomposition de [6, §7 (8.)] si V = ℤ_{/2}y,

Γ_{∗}^{2}(y) ≃ Λ_{ℤ_{/2}}^{∗}(y) ⊗_{ℤ_{/2}} Λ_{ℤ_{/2}}^{∗}(γ_{2}(y)) ⊗_{ℤ_{/2}} ⋯ ⊗_{ℤ_{/2}} Λ_{ℤ_{/2}}^{∗}(γ_{2^{k}}(y)) ⊗_{ℤ_{/2}} … (3.2.31)

qui donne

Γ_{4}^{2}(y) ≃ Λ_{ℤ_{/2}}^{4}(y) ⊕ (Λ_{ℤ_{/2}}^{1}(γ_{2}(y)) ⊗_{ℤ_{/2}} Λ_{ℤ_{/2}}^{2}(y)) ⊕ (Λ_{ℤ_{/2}}^{2}(γ_{2}(y)) ⊕ Λ_{ℤ_{/2}}^{1}(γ_{4}(y)))
≃ Λ_{ℤ_{/2}}^{4}(y) ⊕ (Λ_{ℤ_{/2}}^{1}(γ_{2}(y)) ⊗_{ℤ_{/2}} Λ_{ℤ_{/2}}^{2}(y)) ⊕ Γ_{2}^{2}(γ_{2}(y)) .

Appendice A.

A.1 Les foncteurs ^{p}σ_{(α,β)}^{e}, ^{p}\overline{σ}_{(α,β)}^{e}, ^{p}σ_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j} et

p\overline{σ}_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}

La définition des foncteurs suivants permet de décrire le gradué de Γ_{r} qui intervient dans la section suivante. Les gradués de Γ_{5} et Γ_{6} sont explicités dans l’exemple A.2.7. Ces foncteurs interviennent dans la description du gradué de la proposition A.2.8. Dans la suite, seul le foncteur ^{2}σ_{(1,2)}^{1} qui est isomorphe au foncteur gr_{2}Γ_{4} de la proposition 3.1.2, est utilisé. On conseille donc de sauter cette section A.1 en première lecture. Dans la suite, p est un nombre premier fixé et on se place dans la catégorie ℤ_{/p}-ev des ℤ_{/p}-espaces vectoriels. En particulier, on note ⊗ pour ⊗_{ℤ_{/p}}.

Définitions A.1.1 Soient α, β et e trois entiers positifs, V un ℤ_{/p}-espace vectoriel. (1.) On note ^{p}σ_{(α,β)}^{e}(V) le quotient de Sym_{ℤ_{/p}}^{α}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β}V par les relations suivantes pour tout x, y, x_{i}, y_{i} ∈ V,

x_{1} … x_{α−1}x ⊗ y^{p^{e}}y_{1} … y_{β−p^{e}} = x_{1} … x_{α−1}y ⊗ x^{p^{e}}y_{1} … y_{β−p^{e}} . (A.1.1)

(2.) On note ^{p}\overline{σ}_{(α,β)}^{e}(V) le quotient de Sym_{ℤ_{/p}}^{α}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β}V par les relations (A.1.1) et par les relations suivantes ∀x, x_{i}, y_{i} ∈ V,

x_{1} … x_{α−p}x^{p} ⊗ y_{1} … y_{β} = 0 .  (A.1.2)

On note ces foncteurs σ_{(α,β)}^{e} et \overline{σ}_{(α,β)}^{e} s’il n’y a pas d’ambiguité sur p.

Remarques A.1.2 1. Si β = 0, ces deux foncteurs sont isomorphes au foncteur Sym_{ℤ_{/p}}^{α}.

Si α = 0, ils sont isomorphes au foncteur Sym_{ℤ_{/p}}^{β}.
Si e = 0, ils sont isomorphes au foncteur Sym_{ℤ_{/p}}^{α+β}.

2. Si β < p^{e},

σ_{(α,β)}^{e}(V) ≃ Sym_{ℤ_{/p}}^{α}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β}V .  (A.1.3)

3. si α < p,

σ_{(α,β)}^{e}(V) ≃ \overline{σ}_{(α,β)}^{e}(V) .  (A.1.4)

4. On a une inclusion \xymatrix{σ_{(α,β)}^{e}(V) \ar@{^{(}->}[r] & Sym_{ℤ_{/p}}^{αp^{e}+β}V} telle que le diagramme suivant commute

\xymatrix{Sym_{ℤ_{/p}}^{α}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β}V \ar[r]^{F_{p^{e}}⊗id} \ar[d] & Sym_{ℤ_{/p}}^{αp^{e}}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β}V \ar[d] \\ σ_{(α,β)}^{e}(V) \ar@{^{(}->}[r] & Sym_{ℤ_{/p}}^{αp^{e}+β}V .}  (A.1.5)

Si V = ⨁_{1≤i≤s} ℤ_{/p}x_{i}, en considérant des bases du type (1.2.11) de Sym^{α}V et Sym_{ℤ_{/p}}^{β}V, on peut définir une base de σ_{(α,β)}^{e}(V) par la famille

x_{η(1)} … x_{η(α)} ⊗ x_{ν(1)} … x_{ν(β)}  (A.1.6)

pour η : [α] → [s] et ν : [β] → [s] croissantes telles que si l’occurence de k ∈ [s] dans l’image de ν est ≥ p^{e}, alors k ≥ η(α).

5. Si on note σ_{(1,∗)}^{e} = ⨁_{β=0}^{∞} σ_{(1,β)}^{e}, σ_{(1,∗)}^{e}(V) est le noyau de la projection

canonique (1.2.16)

\xymatrix{Sym_{ℤ_{/p}}^{∗}V \ar@{->>}[r]^{pr_{∗}} & Q_{p^{e}}^{∗}(V)}

c’està dire que pour tout r ≤ 0, on a des suites exactes courtes

\xymatrix{σ_{(1,r−p)}^{e}(V) \ar@{^{(}->}[r] & Sym_{ℤ_{/p}}^{r}V \ar@{->>}[r] & Q_{p^{e}}^{r}(V) .}  (A.1.7)

D’après la remarque (4.), on peut voir que l’inclusion

\xymatrix{σ_{(α+1,β−p^{e})}^{e}(V) \ar@{^{(}->}[r] & Sym_{ℤ_{/p}}^{αp^{e}+β}V}  (A.1.8)

factorise par une application injective u,

\xymatrix{ & σ_{(α,β)}^{e}(V) \ar@{^{(}->}[d] \\ σ_{(α+1,β−p^{e})}^{e}(V) \ar@{^{(}->}[r] \ar@{^{(}->}[ur]^{u} & Sym_{ℤ_{/p}}^{αp^{e}+β}V .}  (A.1.9)

On décrit aisément le conoyau de cette application. Ainsi la suite courte suivante est exacte,

\xymatrix{σ_{(α+1,β−p^{e})}^{e}(V) \ar@{^{(}->}[r] & σ_{(α,β)}^{e}(V) \ar@{->>}[r] & Sym_{ℤ_{/p}}^{α}V ⊗ Q_{p^{e}}^{β}(V)} ,  (A.1.10)

où l’application de droite est induite par 1 ⊗ pr_{β}, où pr_{β} est la projection canonique (1.2.16)

\xymatrix{Sym_{ℤ_{/p}}^{α}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β}V \ar@{->>}[dr]^{1⊗pr_{β}} \ar[d] \\ σ_{(α,β)}^{e}(V) \ar@{->>}[r] & Sym_{ℤ_{/p}}^{α}V ⊗ Q_{p^{e}}^{β}(V)} .  (A.1.11)

Dans la catégorie des ℤ_{/p}-espaces vectoriels, Le complexe de Koszul [16, ch 1, 4.3.1.2.] associé à l’homomorphisme de Frobenius itéré (1.2.14)

\xymatrix{V \ar@{^{(}->}[r]^{F_{p^{e}}} & Sym_{ℤ_{/p}}^{p^{e}}V}

est en degré α le complexe acyclique Kos_{α}(F_{p^{e}}) =

\xymatrix{Λ_{ℤ_{/p}}^{α}V \ar[r] & Λ_{ℤ_{/p}}^{α−1}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{p^{e}}V \ar[r] & …}

\xymatrix{… \ar[r] & V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{(α−1)}(Sym_{ℤ_{/p}}^{p^{e}}V) \ar[r] & Sym^{α}(Sym_{ℤ_{/p}}^{p^{e}}V) \ar[r] & Sym^{α}(Q_{p^{e}}^{p^{e}}(V))} .

(A.1.12)

Notons \overline{K}_{α,0}^{e}(V) =

\xymatrix{Λ_{ℤ_{/p}}^{α}V \ar[r] & Λ_{ℤ_{/p}}^{α−1}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{p^{e}}V \ar[r] & …}

\xymatrix{… \ar[r] & V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{(α−1)p^{e}}V \ar[r] & Sym^{αp^{e}}V \ar[r] & Sym^{α}(Q_{p^{e}}^{p^{e}}(V))} . (A.1.13)

On a une application entre ces deux complexes, induite par la multiplication dans Sym_{ℤ_{/p}}^{∗},

\xymatrix{Kos_{α}(F_{p^{e}}) \ar@{->>}[r]^{π} & \overline{K}_{α,0}^{e}(V)}  (A.1.14)

Pour V = ⨁_{1≤i≤s} ℤ_{/p}(x_{i}) fixé, on va construire une rétraction de π. On réécrit la base (1.2.11) de Sym_{ℤ_{/p}}^{jp^{e}}V de la façon suivante,

x_{τ(1)}^{p^{e}λ_{1}} … x_{τ(k)}^{p^{e}λ_{k}}x_{τ(1)}^{ν_{1}} … x_{τ(k)}^{ν_{k}}

où • k ∈ [s],

• τ ∈ Cr\binom{s}{k},

• (r.) ∈ P \binom{r}{k},

• pour 1 ≤ l ≤ k, on écrit la division euclidienne de r_{l} par p^{e}, r_{l} = pλ_{l}+ν_{l},

tel que 0 ≤ ν_{l} < p^{e}, Ainsi,

Sym_{ℤ_{/p}}^{p^{e}}V ≃ ⨁_{{η:[p^{e}]→[s] \atop croissante}} ℤ_{/p}x_{η(1)} … x_{η(p^{e})}

Enfin, on écrit la base de Sym_{ℤ_{/p}}^{j}(Sym_{ℤ_{/p}}^{p^{e}}V) comme la famille

(x_{η_{1}(1)} … x_{η_{1}(p^{e})}) … (x_{η_{j}(1)} … x_{η_{j}(p^{e})})

où pour 1 ≤ k ≤ j, η_{j} : [p^{e}] → [s] sont des applications croissantes telles que η_{1} ≤ ⋯ ≤ η_{j} suivant l’ordre alphabétique. On définit l’application

\xymatrix{Sym^{jp^{e}}V \ar@{^{(}->}[r]^{ρ} & Sym^{j}(Sym^{p}V)}  (A.1.15)

par ρ(x_{τ(1)}^{p^{e}λ_{1}} … x_{τ(k)}^{p^{e}λ_{k}}x_{τ(1)}^{ν_{1}} … x_{τ(k)}^{ν_{k}}) =

\underbrace{(x_{τ(1)}^{p^{e}}) … (x_{τ(1)}^{p^{e}})}_{λ_{1}} … \underbrace{(x_{τ(k)}^{p^{e}}) … (x_{τ(k)}^{p^{e}})}_{λ_{k}} … (x_{σ(1)} … x_{σ(p^{e})}) … (x_{σ(s−p^{e})} … x_{σ(s)})

où σ : [s] → [s] est définie par:

• σ(1) = ⋯ = σ(ν_{1}) = τ(1)

• σ(ν_{1} + 1) = ⋯ = σ(ν_{1} + ν_{2}) = τ(2)

• ...

• σ(|ν.| − ν_{k}) = ⋯ = σ(s) = τ(k), où |ν.| = ∑ ν_{l}. Cette application induit une application de complexes

\xymatrix{\overline{K}_{α,0}^{e}(V) \ar[r]^{ρ} & Kos_{α}(F_{p^{e}})}  (A.1.16)

telle que π ∘ ρ = id_{\overline{K}_{α,0}^{e}(V)}. Donc \overline{K}_{α,0}^{e}(V) est un rétracte de Kos_{α}(F_{p^{e}}). En particulier, il est acyclique. On remarque que la suite

\xymatrix{σ_{(α,0)}^{e}(V) \ar@{^{(}->}[r]^{F_{p^{e}}} & Sym^{αp^{e}}V \ar@{->>}[r] & Sym^{α}(Q_{p^{e}}^{p^{e}}(V))}  (A.1.17)

est une suite exacte courte, où σ_{(α,0)}^{e}(V) ≃ Sym_{ℤ_{/p}}^{α}V. On dispose donc du complexe acyclique que l’on notera K_{α,0}^{e}(V) =

\xymatrix{Λ_{ℤ_{/p}}^{α}V \ar[r] & Λ_{ℤ_{/p}}^{α−1}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{p^{e}}V \ar[r] & …}

\xymatrix{… \ar[r] & V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{(α−1)p^{e}}V \ar[r] & σ_{(α,0)}^{e}(V)} .  (A.1.18)

Pour le montrer pour un espace vectoriel quelconque, on passe à la limite inductive. On généralise maintenant cette construction dans la définition suivante.

Définition A.1.3 Soient α, β et e trois entiers, V un ℤ_{/p}-espace vectoriel. On considère la division euclidienne de β par p^{e}, β = p^{e}q+ρ avec 0 ≤ ρ < p^{e}. On définit le complexe K_{(α,β)}^{e}(V) de la façon suivante:

(K_{(α,β)}^{e}(V))_{i} = \{ \begin{matrix}Λ_{ℤ_{/p}}^{i}V ⊗ σ_{(α−i,β)}^{e}V & si i ≤ α \\ Λ_{ℤ_{/p}}^{i}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β−(i−α)p^{e}}V & si α ≤ i ≤ α + q \\ 0 & si i > α + q \end{matrix}

Les différentielles sont définies par si i ≤ α, ∂_{i}(a_{1} ∧ ⋯ ∧ a_{i} ⊗ [x_{1} … x_{α−i} ⊗ y_{1} … y_{β}]) =

∑_{1≤l≤i}(−1)^{l}a_{1} ∧ … â_{l} ⋯ ∧ a_{i} ⊗ [a_{l}x_{1} … x_{α−i} ⊗ y_{1} … y_{β}] ,

et si i ≥ α, ∂_{i}(a_{1} ∧ ⋯ ∧ a_{i} ⊗ y_{1} … y_{β−(i−α)p^{e}}) =

∑_{1≤l≤i}(−1)^{l}a_{1} ∧ … â_{l} ⋯ ∧ a_{i} ⊗ a_{l}^{p^{e}}y_{1} … y_{β−(i−α)p^{e}} .

On vérifie que ∂ ∘ ∂ = 0.

Proposition A.1.4 Soient α, β ≥ 0 et V un ℤ_{/p}-espace vectoriel. Le complexe K_{(α,β)}^{e}(V) est acyclique.

Démonstration. Soit β = p^{e}q + ρ la division euclidienne de β par p^{e}. On montre la proposition par récurrence sur q. Si q = 0, c’est-à-dire si β < p^{e},

K_{(α,β)}^{e}(V)_{i} ≃ K_{(α,0)}^{e}(V)_{i} ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β}V .  (A.1.19)

Donc d’après la formule de Künneth appliquée dans les ℤ_{/p}-espaces vectoriels,

H_{i}(K_{(α,β)}^{e}(V)) ≃ H_{i}(K_{(α,0)}^{e}(V)) ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β}V .  (A.1.20)

Donc le complexe K_{(α,β)}^{e}(V) est acyclique. Ensuite, pour β ≥ p^{e}, supposons que K_{(α,β−p^{e})}^{e}(V) est acyclique pour tout α. Si i ≤ α, la suite exacte (A.1.10) nous donne des suites exactes courtes compatibles aux différentielles des complexes:

\xymatrix{(K_{(α+1,β−p^{e})}^{e}(V))_{i} \ar@{^{(}->}[r] & (K_{(α,β)}^{e}(V))_{i} \ar@{->>}[r] & (K_{(α,0)}^{e}(V))_{i} ⊗ Q_{p^{e}}^{β}(V)} , (A.1.21)

et si α < i ≤ α + q,

(K_{(α+1,β−p^{e})}^{e}(V))_{i} ≃ Λ_{ℤ_{/p}}^{i}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β−p^{e}−(i−(α+1))p^{e}}V
= Λ_{ℤ_{/p}}^{i}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β−(i−α)p^{e}}V
≃ (K_{(α,β)}^{e}(V))_{i} .

Si i > α + q,

(K_{(α+1,β−p^{e})}^{e}(V))_{i} ≃ 0 ≃ (K_{(α,β)}^{e}(V))_{i} .  (A.1.22)

La suite de complexes

\xymatrix{K_{(α+1,β−p^{e})}^{e}(V) \ar@{^{(}->}[r] & K_{(α,β)}^{e}(V) \ar@{->>}[r] & K_{(α,0)}^{e}(V) ⊗ Q_{p^{e}}^{β}} (V)  (A.1.23)

est alors exacte. Par hypothèse le complexe de gauche est acyclique, le complexe de droite l’est d’après (A.1.18), donc K_{(α,β)}^{e}(V) l’est également. □

On va maintenant définir des foncteurs qui généralisent les foncteurs précédents.

Définitions A.1.5 Soient j un entier, (α_{1}, …, α_{f}, β) une famille d’entiers tels que pour 1 < i < f, 0 ≤ α_{i} < p et 0 < α_{f} ≤ p et V un ℤ_{/p}-espace vectoriel. (1.) On note ^{p}σ_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}(V) le quotient de

Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{1}}V ⊗ ⋯ ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{f}}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β}V

par les relations suivantes:

X_{1} ⊗⋯⊗X′_{i}x⊗⋯⊗X_{f} ⊗y^{p^{j+f−i}}Y′ = X_{1} ⊗⋯⊗X′_{i}y ⊗⋯⊗X_{f} ⊗x^{p^{j+f−i}}Y′, (A.1.24) où X_{k} ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{k}}V, X′_{i} ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{i}−1}V et Y′ ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{β−p^{j+f−i}}V. Lorsque α_{f} = p, on quotiente de plus par les relations

X_{1} ⊗ ⋯ ⊗ X′_{f−1}x ⊗ y^{p} ⊗ Y = X_{1} ⊗ ⋯ ⊗ X′_{f−1}y ⊗ x^{p} ⊗ Y,  (A.1.25)

où X_{k} ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{k}}V, X′_{f−1} ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{f−1}−1}V et Y ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{β}V. (2.) On note ^{p}\overline{σ}_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}(V) le quotient de

Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{1}}V ⊗ ⋯ ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{f}}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β}V

par les relations (A.1.24) et (A.1.25) et par les relations suivantes,

x_{1} … x_{α_{1}−p}x^{p} ⊗ X_{2} ⊗ ⋯ ⊗ X_{r} ⊗ Y = 0 .  (A.1.26)

On note σ_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j} et \overline{σ}_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j} ces foncteurs lorsqu’il n’y a pas d’ambiguité sur p.

Remarques A.1.6 1. Si f = 1,

σ_{(α_{1})β}^{j} ≃ σ_{(α_{1},β)}^{j} ,  (A.1.27)
\overline{σ}_{(α_{1})β}^{j} ≃ \overline{σ}_{(α_{1},β)}^{j} .  (A.1.28)

2. Si β < j et α_{f} ≠ p ou α_{f−1} = 0,

σ_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}(V) ≃ Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{1}}V ⊗ ⋯ ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{f}}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β}V . (A.1.29)

3. Si α_{1} < p,

σ_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}(V) ≃ \overline{σ}_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}(V) .  (A.1.30)

4. On a une inclusion \xymatrix{σ_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}(V) \ar@{^{(}->}[r] & Sym_{ℤ_{/p}}^{αp^{e}+β}V} telle que le diagramme suivant commute

\xymatrix{ & Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{1}}V ⊗ ⋯ ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{f}}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β}V \ar@{-->}[dr]^{F_{p^{f+j−1}}⊗···⊗F_{p^{j}} ⊗id} \ar@{-->}[dl] \\ σ_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}(V) \ar@{^{(}->}[dr] &  & ⨂_{1≤i≤f} Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{i}p^{j+f−i}}V ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β}V \ar@{-->}[dl] \\  & Sym_{ℤ_{/p}}^{∑_{i} α_{i}p^{j+f−i}+β}V & .}

(A.1.31)

Si V = ⨁_{1≤i≤s} ℤ_{/p}x_{i}, on peut, comme dans le cas précédent, définir

une base de σ_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}(V) par la famille
x_{η_{1}(1)} … x_{η_{1}(α_{1})} ⊗ ⋯ ⊗ x_{η_{f} (1)} … x_{η_{f} (α_{f})} ⊗ x_{ν(1)} … x_{ν(β)} (A.1.32)

pour η_{i} : [α_{i}] → [s], 1 ≤ i ≤ f et ν : [β] → [s] croissantes telles que si l’occurence de k ∈ [s] dans l’image de ν est ≥ p^{f+i−1}, alors k ≥ η(α_{i}); et si l’occurence de k dans l’image de α_{f} est p, alors k ≥ η_{f−1}(α_{f−1})

De la même façon que pour la suite exacte (A.1.10), on obtient les suites exactes courtes suivantes si f > 0 et β ≥ p^{j}.

1. Si α_{f} = p,

\xymatrix{σ_{(α_{1},...,α_{f−1}+1)β}^{j+1}(V) \ar@{^{(}->}[r] & σ_{(α_{1},...,α_{f−1},p)β}^{j}(V) \ar@{->>}[r] & Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{≤f−1}}V ⊗ \overline{σ}_{(p,β)}^{j}V} ,

(A.1.33)

2. si α_{f} < p,

\xymatrix{σ_{(α_{1},...,α_{f} +1)(β−p^{j})}^{j}(V) \ar@{^{(}->}[r] & σ_{(α_{1},...,α_{f})(β)}^{j}(V) \ar@{->>}[r] & Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{≤f}}V ⊗ Q_{p^{j}}^{β}(V)} ,

(A.1.34)

3. Si α_{f} = 1,

\xymatrix{σ_{(α_{1},...,α_{f−1},1)β}^{j}(V) \ar@{^{(}->}[r] & σ_{(α_{1},...,α_{f−1})(β+p^{j})}^{j+1}(V) \ar@{->>}[r] & Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{≤f−1}}V ⊗ Q_{p^{j}}^{β+p^{j}}(V)} ,

(A.1.35)

où Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{≤k}} = Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{k}} pour α_{.} = (α_{1}, …, α_{f}) et k ≤ f.

On généralise maintenant la construction des complexes K_{(α,β)}^{e} de la définition A.1.3.

Définition A.1.7 Soient j un entier, (α_{1}, …, α_{f}, β) une famille d’entiers tels que pour 1 < i < f, 0 ≤ α_{i} < p et 0 < α_{f} ≤ p et V un ℤ_{/p}-espace vectoriel. On considère la division euclidienne de β par p^{j}, β = p^{j}q + ρ, avec 0 ≤ ρ < p^{j}. On définit le complexe K_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}(V) dans les deux cas suivants, (1.) Si α_{f} < p,

(K_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}(V))_{i} = \{ \begin{matrix}Λ_{ℤ_{/p}}^{i}V ⊗ σ_{(α_{1},...,α_{f} −i)β}^{j}(V) & si i < α_{f}, \\ Λ_{ℤ_{/p}}^{i}V ⊗ σ_{(α_{1},...,α_{f−1})β_{i}}^{j+1}V & si α_{f} ≤ i ≤ q, \\ 0 & si i > q. \end{matrix}

où β_{i} = β − (i − α_{f})p^{j}. Les différentielles sont définies de façon similaire à celles de K_{(α,β)}^{e} par les formules suivantes si i ≤ α_{f}, ∂_{i}(a_{1} ∧ ⋯ ∧ a_{i} ⊗ [x_{1}^{(1)} … x_{α_{1}}^{(1)} ⊗ ⋯ ⊗ x_{1}^{(f)} … x_{α_{f} −i}^{(f)} ⊗ y_{1} … y_{β}]) =

∑_{1≤l≤i}(−1)^{l}a_{1} ∧ … â_{l} ⋯ ∧ a_{i} ⊗ [x_{1}^{(1)} … x_{α_{1}}^{(1)} ⊗ ⋯ ⊗ a_{l}x_{1}^{(f)} … x_{α_{f} −i}^{(f)} ⊗ y_{1} … y_{β}] ,

et si i > α_{f}, ∂_{i}(a_{1} ∧ ⋯ ∧ a_{i} ⊗ [x_{1}^{(1)} … x_{α_{1}}^{(1)} ⊗ ⋯ ⊗ y_{1} … y_{β−(i−α_{f})p^{j}}]) =

∑_{1≤l≤i}(−1)^{l}a_{1} ∧ … â_{l} ⋯ ∧ a_{i} ⊗ [x_{1}^{(1)} … x_{α_{1}}^{(1)} ⊗ ⋯ ⊗ a_{l}^{p^{j}}y_{1} … y_{β−(i−α_{f})p^{j}}] .

(2.) Si α_{f} = p,

(K_{(α_{1},...,α_{f−1},p)β}^{j}(V))_{i} = \{ \begin{matrix}σ_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}(V) & si i = 0, \\ Λ_{ℤ_{/p}}^{i}V ⊗ σ_{(α_{1},...,α_{f−1}+1−i)β}^{j+1}V & si 0 < i ≤ α_{f−1} + 1, \\ Λ_{ℤ_{/p}}^{i}V ⊗ σ_{(α_{1},...,α_{f−2})β′_{i}}^{j+2}V & si α_{f−1}+1≤i≤q+1, \\ 0 & si i > q. \end{matrix}

(A.1.36)

où β′_{i} = β − (i − α_{f−1} − 1)p^{j+1} et ∂_{1}(a ⊗ [x_{1}^{(1)} … x_{α_{1}}^{(1)} ⊗ ⋯ ⊗ x_{1}^{(f−1)} … x_{α_{f−1}}^{(f−1)} ⊗ y_{1} … y_{β}]) =

[x_{(1)}^{1} … x_{α_{1}}^{(1)} ⊗ ⋯ ⊗ x_{1}^{(f−1)} … x_{α_{(f−1)}}^{(f−1)} ⊗ a^{p} ⊗ y_{1} … y_{β}] .

Si 1 < i ≤ α_{f−1} + 1, ∂_{i}(a_{1} ∧ ⋯ ∧ a_{i} ⊗ [x_{1}^{(1)} … x_{α_{1}}^{(1)} ⊗ ⋯ ⊗ x_{1}^{(f−1)} … x_{α_{f−1}−i}^{(f−1)} ⊗ y_{1} … y_{β}]) =

∑_{1≤l≤i}(−1)^{l}a_{1}∧… â_{l} ⋯∧a_{i}⊗[x_{1}^{(1)} … x_{α_{1}}^{(1)}⊗⋯⊗a_{l}x_{1}^{(f−1)} … x_{α_{f−1}−i}^{(f−1)}⊗y_{1} … y_{β}] ,

et si i > α_{f−1} + 1, ∂_{i}(a_{1} ∧ ⋯ ∧ a_{i} ⊗ [x_{1}^{(1)} … x_{α_{1}}^{(1)} ⊗ ⋯ ⊗ y_{1} … y_{β−(i−α_{f−1})p^{j+1}}]) =

∑_{1≤l≤i}(−1)^{l}a_{1} ∧ … â_{l} ⋯ ∧ a_{i} ⊗ [x_{1}^{(1)} … x_{α_{1}}^{(1)} ⊗ ⋯ ⊗ a_{l}^{p^{j+1}}y_{1} … y_{β−(i−α_{f−1})p^{j+1}}] .

On vérifie par récurrence sur f que ∂ ∘ ∂ = 0 en utilisant les suites exactes (A.1.33), (A.1.34) et (A.1.35).

Proposition A.1.8 Soient j un entier, (α_{1}, …, α_{f}, β) une famille d’entiers tels que pour 1 < i < f, 0 ≤ α_{i} < p et 0 < α_{f} ≤ p et V un ℤ_{/p}-espace vectoriel. Le complexe K_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}(V) est acyclique.

Démonstration. Par récurrence sur f. Si f = 1, le complexe K_{(α_{1})β}^{j} est le complexe K_{(α_{1},β)}^{j}. Il est donc acyclique. Supposons que les complexes K_{(α_{1},...,α_{f−1})β}^{j} sont acycliques. Si α_{f} = p, La suite exacte (A.1.33), nous donne la suite exacte courte de complexes suivante,

\xymatrix{K_{(α_{1},...,α_{f−1}+1)β}^{j+1}(V) \ar@{^{(}->}[r] & K_{(α_{1},...,α_{f−1},p)β}^{j}(V) \ar@{->>}[r] & K_{(α_{1},...,α_{f−1})0}^{j+1}(V) ⊗ \overline{σ}_{(p,β)}^{j}(V)} .

(A.1.37)

Donc K_{(α_{1},...,α_{f−1},p)β}^{j}(V) est acyclique. Si α_{f} < p, on suppose que les complexes K_{(α_{1},...,α_{f−1},α′)β}^{j}(V) sont acycliques pour α_{f} < α′ ≤ p. Si β < p^{j},

K_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}(V) ≃ Sym_{ℤ_{/p}}^{α_{≤f−1}} ⊗ K_{(α_{f} ,0)}(V) ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{β}V  (A.1.38)

est acyclique. Si β ≥ p^{j}, la suite exacte (A.1.34) nous donne la suite exacte courte de complexes

\xymatrix{K_{(α_{1},...,α_{f} +1)(β−p^{j})}^{j}(V) \ar@{^{(}->}[r] & K_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}(V) \ar@{->>}[r] & K_{(α_{1},...,α_{f−1})0}^{j+1}(V) ⊗ Q_{p^{j}}^{β}(V) .}

(A.1.39)

Donc K_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j}(V) est acyclique. □

A.2 Le gradué de Γ_{r}

Dans cette section, on construit des filtrations successives du foncteur Γ_{r}. C’est-à-dire que dans un premier temps, on filtre Γ_{r}; ensuite on filtre le gradué associé à cette filtration. On itère enfin le processus afin d’obtenir un gradué exprimable avec des foncteurs dont on connaît les foncteurs dérivés. On trouvera dans l’exemple A.2.7 la description des gradués de Γ_{5} et Γ_{6}.

Définition A.2.1 Soient B un groupe abélien, r un entier positif. On définit une filtration croissante de Γ_{r}(L) par

F_{i}Γ_{r}(B) = Im(Γ_{i}(B) ⊗ Sym^{r−i}B → Γ_{r}(B)) pour 0 ≤ i ≤ r .

On note

gr_{i}Γ_{r}(B) = F_{i}Γ_{r}(B)/F_{i−1}Γ_{r}(B)  (A.2.1)

le gradué associé à cette filtration. La multiplication dans Γ_{∗} induit une multiplication sur le gradué

\xymatrix{gr_{i}Γ_{s}(B) ⊗ gr_{j}Γ_{t}(B) \ar[r]^{μ} & gr_{i+j}Γ_{s+t}(B)} .  (A.2.2)

Proposition A.2.2 Soient L un groupe abélien libre et r un entier positif, on a les propriétés suivantes:

1. gr_{0}Γ_{r}(L) = Sym^{r}L,

2. gr_{1}Γ_{r}(L) = 0,

3. gr_{r}Γ_{r}(L) = ⨁_{p|r, p premier}Γ̃_{r/p}^{p}(L),

4. gr_{r−1}Γ_{r}(L) = gr_{r−1}Γ_{r−1}(L) ⊗ L,

5. si i = s, j = 0 et r = s + t, la multiplication (A.2.2) est une surjection

\xymatrix{gr_{i}Γ_{i}(L) ⊗ Sym^{r−i}L \ar@{->>}[r]^{μ} & gr_{i}Γ_{r}(L)}

6. pour 0 ≤ i ≤ r, igr_{i}Γ_{r}(L) = 0.

Démonstration. (1.) et (2.) viennent du fait que

F_{0}Γ_{r}(L) ≃ F_{1}Γ_{r}(L) ≃ Sym^{r}L

(3.) Si L est un groupe abélien libre

\begin{aligned}gr_{r}Γ_{r}(L) & = & coker(Γ_{r−1}(L) ⊗ L → Γ_{r}(L)) \\ & = & H_{0}(C^{r}(L)) . \end{aligned}

où H_{0}(C^{r}(L)) ≃ ⨁_{p|r, p premier}Γ̃_{r/p}^{p}(L) d’après la proposition 1.2.12.

(4.) Le diagramme suivant commute,

\xymatrix{Γ_{r−2}(L) ⊗ L ⊗ L \ar[r]^{μ⊗1} \ar@{->>}[d]^{1⊗μ} & Γ_{r−1}(L) ⊗ L \ar@{->>}[d] \\ Γ_{r−2}(L) ⊗ Sym^{2}L \ar[r]^{μ} & F_{r−1}Γ_{r}(L) .}  (A.2.3)

Donc on a une application induite sur les conoyaux des applications horizontales,

\xymatrix{gr_{r−1}Γ_{r−1}(L) ⊗ L \ar[r]^{g} & gr_{r−1}Γ_{r}(L) .}  (A.2.4)

Le groupe Γ_{r−2}(L) est libre donc la suite

\xymatrix{Γ_{r−2}(L) ⊗ Λ^{2}L \ar@{^{(}->}[r] & Γ_{r−2}(L) ⊗ (L^{⊗2}) \ar@{->>}[r] & Γ_{r−2}(L) ⊗ Sym^{2}L}

est une suite exacte courte. Notons K(L) le noyau de

\xymatrix{Γ_{r−1}(L) ⊗ L \ar[r] & F_{r−1}Γ_{r}(L)} .

Les lignes et les colonnes du diagramme commutatif suivant sont donc des suites exactes courtes

\xymatrix{Γ_{r−2}(L) ⊗ Λ^{2}L \ar[r] \ar@{^{(}->}[d] & K(L) \ar@{->>}[r] \ar@{^{(}->}[d] & H_{1}(C^{r}(L)) \ar@{.>}[d]^{f} \\ Γ_{r−2}(L) ⊗ ⊗^{2}L \ar[r] \ar@{->>}[d] & Γ_{r−1}(L) ⊗ L \ar@{->>}[r] \ar@{->>}[d] & gr_{r−1}Γ_{r−1}(L) ⊗ L \ar@{->>}[d]^{g} \\ Γ_{r−2}(L) ⊗ Sym^{2}L \ar[r] & F_{r−1}Γ_{r}(L) \ar@{->>}[r] & gr_{r−1}Γ_{r}(L) .}  (A.2.5)

Le lemme du serpent nous donne f et g. D’après la proposition 1.2.12, rH_{1}(C^{r}(L)) = 0 et (r − 1)gr_{r−1}Γ_{r−1}(L) ⊗ L = 0, or (r, r − 1) = 1 donc f est l’application nulle et g est un isomorphisme. (5.) Regardons maintenant le diagramme suivant dont les lignes sont exactes à droite,

\xymatrix{Γ_{i−1}(L) ⊗ L ⊗ Sym^{r−i}L \ar[r] \ar@{->>}[d] & Γ_{i}(L) ⊗ Sym^{r−i}L \ar@{->>}[r] \ar@{->>}[d] & gr_{i}Γ_{i}(L) ⊗ Sym^{r−i}L \ar@{->>}[d] \\ F_{i−1}Γ_{r}(L) \ar[r] & F_{i}Γ_{r}(L) \ar@{->>}[r] & gr_{i}Γ_{r}(L) .}

(A.2.6)

Les deux applications verticales de gauche et du milieu sont surjectives. L’application de droite l’est donc aussi. (6.) Ce dernier point découle de cette surjectivité et du fait que gr_{i}Γ_{i}(L) est de i-torsion d’après (3.). □

Nous allons maintenant introduire des filtrations induites par la filtration de Γ_{r} sur les foncteurs Γ̃_{r} et Γ_{r}^{p} définis en 1.2.6 par

Γ̃_{r}^{p}(B) := Γ_{r}(B_{/pB}) ,
Γ_{r}^{p}(B) := Γ_{r}(B_{/pB}) ⊗ ℤ_{/p} .

Définition A.2.3 Soient B un groupe abélien, r un entier positif et p un nombre premier. On définit des filtrations croissantes de Γ̃_{r}(B) et Γ_{r}^{p}(B) pour 0 ≤ i ≤ r

F_{i}^{p,r}(B) = Im(Γ_{pi}^{p}(B) ⊗_{ℤ_{/p}} Sym_{ℤ_{/p}}^{r−pi}B_{/pB} → Γ_{r}^{p}(B)) ,
F̃_{i}^{p,r}(B) = Im(Γ̃_{pi}(B) ⊗ Sym^{r−pi}B → Γ̃_{r}(B)) .

On notera les gradués respectifs de ces filtrations de la façon suivante:

gr_{i}^{p,r}(B) = F_{i}^{p,r}(B)/F_{i−1}^{p,r}(B) ,  (A.2.7)
g̃r_{i}^{p,r}(B) = F̃_{i}^{p,r}(B)/F̃_{i−1}^{p,r}(B) .  (A.2.8)

Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguité sur le nombre premier p, on note g̃r_{i}^{r} et F̃_{i}^{r} respectivement les foncteurs g̃r_{i}^{p,r} et F̃_{i}^{p,r}. Si p ne divise pas r, les deux filtrations sont isomorphes d’après le lemme 1.2.7. On s’intéressera donc plus particulièrement à la filtration (F̃_{i}^{pr}(B)) de Γ̃_{pr}(B).

Proposition A.2.4 Soient L un groupe abélien libre, p un nombre premier et r un entier positif. Le gradué associé à la filtration (F_{i}^{p,r}(L))_{0≤i≤r/p} est décrit par l’isomorphisme suivant,

gr_{i}^{p,r}(L) ≃ Γ_{i}^{p}(L) ⊗_{ℤ_{/p}} Q_{p}^{r−pi}(L_{/pL}) .  (A.2.9)

Démonstration. Comme dans le cas de Γ_{r} proposition A.2.2 (5.), on a l’analogue du diagramme (A.2.6),

\xymatrix{Γ_{p(i−1)}^{p}(L) ⊗ (L_{/pL}^{⊗p}) ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{r−pi}L_{/pL} \ar[d] \ar@{->>}[r] & F_{i−1}^{p,r}(L) \ar@{^{(}->}[d] \\ Γ_{pi}^{p}(L) ⊗ Q_{p}^{r−pi}(L_{/pL}) \ar@{->>}[d] \ar@{->>}[r] & F_{i}^{p,r}(L) \ar@{->>}[d] \\ gr_{i}^{p,pi}(L) ⊗ Q_{p}^{r−pi}(L_{/pL}) \ar@{->>}[r]^{μ} & gr_{i}^{p,r}(L) .}  (A.2.10)

Or dans Γ_{∗}^{p}(L), on a l’identité

x^{p} = (p!)γ_{p}(x) = 0 ,

Ainsi, si L_{/pL} = ⨁_{1≤i≤s} ℤ_{/p}x_{i}, d’après [6, §7 (7.) et (8.)] on peut définir une base de F_{i}^{p,r}(L) par la famille suivante,

(γ_{p^{α_{1}}}(x_{σ_{1}(1)}) … γ_{p^{α_{1}}}(x_{σ_{1}(j_{1})})) … (γ_{p^{αe}}(x_{σ_{e}(1)}) … γ_{p^{αe}}(x_{σ_{e}(j_{e})}))
x_{σ_{e+1}(1)} … x_{σ_{e+1}(j_{e+1})}  (A.2.11)

où

• α_{1} > ⋯ > α_{e} > 0, • pour 1 ≤ k ≤ e + 1, σ_{k} : [j_{k}] → [s] est une application croissante telle

que l’occurence de j ∈ [s] dans l’image de σ_{k} est strictement inférieure à p,

• j_{e+1} ≥ r − pi.

Et une base de Q_{p}^{r−pi}(L_{/pL}) est donnée par la famille suivante,

x_{τ(1)} … x_{τ(r−pi)}  (A.2.12)

où τ : [r − pi] → [s] est une application croissante telle que l’occurence de j dans l’image de τ est strictement inférieure à p. On remarque alors que l’application horizontale du milieu du diagramme (A.2.10) est un isomorphisme. Ceci entraîne que μ est également un isomorphisme. □

Proposition A.2.5 Soient L un groupe abélien libre, p un nombre premier et r un entier positif. Le gradué associé à la filtration (F̃_{i}^{p,r}(L))_{0≤i≤r/p} est décrit par les isomorphismes suivants, Si p ne divise pas r,

g̃r_{i}^{r}(L) ≃ Γ_{i}^{p}(L) ⊗_{ℤ_{/p}} Q_{p}^{r−pi}(L_{/pL}) ≃ gr_{i}^{p,r}(L) .

Si r = pr′,

g̃r_{i}^{r}(L) ≃ Γ_{i}^{p}(L) ⊗_{ℤ_{/p}} Q_{p}^{r−pi}(L_{/pL}) ≃ gr_{i}^{p,r}(L) si i < r′ − 1, (A.2.13)
g̃r_{r′−1}^{r}(L) ≃ gr_{p(r′−1)}Γ_{r}(L) ⊗ ℤ_{/p} ,  (A.2.14)
g̃r_{r′}^{r}(L) ≃ Γ̃_{r′}(L) .  (A.2.15)

Démonstration. Lorsque p ne divise pas r, le résultat est évident. On s’interesse donc au cas r = pr′. Dans Γ̃_{∗}(L), on a les identités

x^{p} = (p!)γ_{p}(x)  (A.2.16)
γ_{p}(y)z^{p} = γ_{p}(z)y^{p}  (A.2.17)

Si i < r′ − 1, c’est-à-dire si r − pi > p, (A.2.16) entraîne que l’application suivante se factorise

\xymatrix{Γ̃_{pi}(L) ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{r−pi}L_{/pL} \ar@{->>}[d] \ar[r]^{1⊗ι} & Γ̃_{pi}(L) ⊗ Γ̃_{r−pi}(L) \ar[d]^{μ} \\ Γ_{pi}^{p}(L) ⊗_{ℤ_{/p}} Q_{p}^{r−pi}(L_{/pL}) \ar[r] & Γ̃_{r}(L)}  (A.2.18)

F̃_{i}(L) peut alors s’écrire,

F̃_{i}^{r}(L) = Im(Γ_{pi}^{p}(L) ⊗_{ℤ_{/p}} Q_{p}^{r−pi}(L_{/pL}) → Γ̃_{r}(L)) .  (A.2.19)

On a alors F̃_{i}^{r}(L) ≃ F_{i}^{p,r}(L), ce qui entraîne l’isomorphisme (A.2.13). les points (3.) et (6.) de la proposition A.2.2 impliquent que la suite du haut du diagramme commutatif suivant est une suite exacte courte,

[figure: F_{r−p}Γ_{r}(L_{/pL}); Γ_{r}(L_{/pL}); gr_{r}Γ_{r}(L_{/pL}); F̃_{r′−1}^{r}(L); Γ̃_{r}(L); g̃r_{r′}^{r}(L) .]  (A.2.20)

La suite du bas est une suite exacte courte par définition. Le diagramme suivant commute ∀i,

\xymatrix{Γ_{r−ip}(L_{/pL}) ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{ip}L_{/pL} \ar@{->>}[dr] \ar@{->>}[r] & F_{r−ip}Γ_{r}(L_{/pL}) \ar[d] \\  & F̃_{r′−i}^{r}(L)}

Donc pour i = 1, l’application verticale de gauche du diagramme (A.2.20) est surjective. Le lemme du serpent appliqué à ce diagramme nous donne alors les isomorphismes

F_{r−p}Γ_{r}(L_{/pL}) ≃ F̃_{r′−1}^{r}(L)  (A.2.21)
gr_{pr′}Γ_{pr′}(L_{/pL}) ≃ g̃r_{r′}^{pr′}(L)  (A.2.22)

Si i = r′ − 1, de la même façon qu’en (A.2.20), le diagramme suivant dont les lignes sont des suites exactes courtes commute,

[figure: F_{r−2p}Γ_{r}(L_{/pL}); F_{r−p}Γ_{r}(L_{/pL}); gr_{r−p}Γ_{r}(L_{/pL}); F̃_{r′−2}^{r}(L); F̃_{r′−1}^{r}(L); g̃r_{r′−1}^{r}(L) .]  (A.2.23)

Le lemme du serpent donne alors l’isomorphisme (A.2.14) car

gr_{r−p}Γ_{r}(L_{/pL}) ≃ gr_{p(r′−1)}Γ_{r}(L) ⊗ ℤ_{/p} .

Si i = r′, l’isomorphisme (A.2.22) et le point (3.) de la proposition A.2.2 permettent alors de montrer l’isomorphisme (A.2.15). □

Nous allons maintenant combiner ces filtrations pour obtenir des filtrations successives des gradués. On travaille alors dans la catégorie Ab(p) des ℤ_{(p)}- modules, où ℤ_{(p)} est le localisé de ℤ en un nombre premier p. Dans cette catégorie, si (i, p) = 1, gr_{i}Γ_{r}(L) ≃ 0 d’après le point (6.) de la proposition A.2.2. D’après les points (3.) et (5.) de cette proposition, si i = pi′, gr_{pi′}Γ_{r}(L) est un quotient de

Γ̃_{i′}(L) ⊗ Sym^{r−i}L .

On peut dès lors considérer l’image de la filtration

F̃_{j}^{i′}(L) ⊗ Sym^{r−i}L

dans gr_{pi′}Γ_{r}(L). Le gradué de cette filtration est alors lui-même un quotient de

Γ̃_{i′′}(L) ⊗ Sym^{i′−pi′′}(L) ⊗ Sym^{r−pi′}L .

On itère ensuite le processus. On obtient alors les filtrations imbriquées qui sont définies comme suit.

Définition A.2.6 Soient p un nombre premier et (i_{0}, …, i_{e}) une famille d’entiers positifs tels que ∀k > 0, pi_{k} ≤ i_{k−1}. Selon la terminologie usuelle [6, 9.1], une telle famille est appelée “admissible”. Soit B un groupe abélien et e ≥ 1. On définit par récurrence sur e la filtration (^{p}f_{(i_{1},...,i_{e}),j}^{i_{0}}(B))_{0≤j≤i_{e}/p} du groupe ^{p}gr_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}}(B) dans Ab(p), dont le gradué associé est noté (^{p}gr_{(i_{1},...,i_{e},j)}^{i_{0}}(B))_{0≤j≤i_{e}/p} . Si e = 1,

pgr_{(i_{1})}^{i_{0}}(B) := gr_{pi_{1}}Γ_{i_{0}}(B) ⊗_{ℤ} ℤ_{(p)},

et pour 0 ≤ j ≤ i_{1}/p, le groupe ^{p}f_{(i_{1}),j}^{i_{0}}(B) est l’image de l’application

\xymatrix{F̃_{j}^{i_{1}}(B) ⊗ Sym^{i_{0}−pi_{1}}B \ar[r] & gr_{pi_{1}}Γ_{i_{0}}(B) ⊗_{ℤ} ℤ_{(p)}}

où (F̃_{j}^{i_{1}}(B))_{0≤j≤i_{1}/p} est la filtration A.2.3 de Γ̃_{i_{1}}(B). Si e > 1, pour 0 ≤ j ≤ i_{e}/p, le groupe ^{p}f_{(i_{1},...,i_{e}),j}^{i_{0}}(B) est défini comme l’image de l’application suivante,

\xymatrix{F̃_{j}^{i_{e}}(B) ⊗ Sym^{(i_{e−1}−pi_{e})}B ⊗ ⋯ ⊗ Sym^{(i_{0}−pi_{i_{1}})}B \ar[r] & ^{p}gr_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}}(B)}

(A.2.24) induite par l’application horizontale du bas du diagramme suivant,

[figure: F̃_{ie−1}^{i_{e−1}}(B)⊗···⊗Sym^{(i_{0}−pi_{i_{1}} )}B; ^{p}f_{(i_{1},...,i_{e−1}),(i_{e}−1)}^{i_{0}}(B); F̃_{ie}^{i_{e−1}}(B)⊗···⊗Sym^{(i_{0}−pi_{i_{1}} )}B; ^{p}f_{(i_{1},...,i_{e−1}),i_{e}}^{i_{0}}(B); \begin{matrix}Γ̃_{ie}(B)⊗Sym^{(i_{e−1}−pie)}B \\ ⊗···⊗Sym^{(i_{0}−pi_{i_{1}} )}B \end{matrix}; g̃r_{ie}^{i_{e−1}}(B)⊗···⊗Sym^{(i_{0}−pi_{i_{1}} )}B; _{p}gr_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}}(B) .]

On note alors le gradué associé à la filtration (^{p}f_{(i_{1},...,i_{e}),j}^{i_{0}}(B))_{0≤j≤i_{e}/p},

pgr_{(i_{1},...,i_{e},j)}^{i_{0}}(B) = ^{p}f_{(i_{1},...,i_{e−1}),j}^{i_{0}}(B)/^{p}f_{(i_{1},...,i_{e−1}),j−1}^{i_{0}}(B)

Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguité sur p, on note f_{(i_{1},...,i_{e−1}),i_{e}}^{i_{0}} et gr_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}} les foncteurs ^{p}f_{(i_{1},...,i_{e−1}),i_{e}}^{i_{0}} et ^{p}gr_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}}. La multiplication dans Γ_{∗} est compatible aux filtrations successives. On dispose donc pour des familles (i_{0}, …, i_{e}) et (i′_{0}, …, i′_{e′}) telles que ∀k > 0, pi_{k} ≤ i_{k−1} et pi′_{k} ≤ i′_{k−1}, d’une multiplication

\xymatrix{gr_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}}(B) ⊗ gr_{(i′_{1},...,i′_{e′})}^{i′_{0}}(B) \ar[r] & gr_{(i_{1},...,i_{e})+(i′_{1},...,i′_{e′})}^{i_{0}+i′_{0}}} (B) ,

où (i_{1}, …, i_{e}) + (i′_{1}, …, i′_{e′}) signifie (i_{1} + i′_{1}, …, i_{e} + i′_{e}, i′_{e+1}, …, i′_{e′}) si e < e′.

Exemple A.2.7 Les gradués de Γ_{2}, Γ_{3} se résument aux suites exactes (3.1.4) et (3.1.10). Le gradué de Γ_{4} est exprimé en (3.1.26)-(3.1.32). Si p = 2 et i_{0} = 5, le premier gradué de Γ_{5}(B) est

2gr_{(0)}^{5}(B) ≃ gr_{0}Γ_{5}(B) ⊗ ℤ_{(2)} ≃ Sym^{5}B ,

\xymatrix{^{2}gr_{(1)}^{5}(B) ≃ gr_{2}Γ_{5}(B) ⊗ ℤ_{(2)} & Γ̃_{1}^{2}(B) ⊗ Sym^{3}B \ar@{->>}[l]} ,

\xymatrix{^{2}gr_{(2)}^{5}(B) ≃ gr_{4}Γ_{5}(B) ⊗ ℤ_{(2)} & Γ̃_{2}^{2}(B) ⊗ Sym^{1}B \ar@{->>}[l]} .

On filtre alors ^{2}gr_{(2)}^{5}(B) par l’image de la filtration F̃_{∗}^{2}(B) ⊗ B. On a alors

\{ \begin{matrix}\xymatrix{^{2}gr_{(2,0)}^{5}(B) & Sym_{ℤ_{/2}}^{2}(B_{/2B}) ⊗ B \ar@{->>}[l]} , \\ \xymatrix{^{2}gr_{(2,1)}^{5}(B) & Γ̃_{1}^{2}(B) ⊗ B \ar@{->>}[l]} , \end{matrix}

Les familles admissibles sont (0), (1), (2, 0) et (2, 1). A l’exception de 2gr_{(0)}^{5}(B), les groupes décrits sont alors tous des ℤ_{/2}-espaces vectoriels. En étudiant des bases de ces espaces vectoriels, on montre si L est un groupe abélien libre, le gradué de Γ_{5}(L) est donné par

2gr_{(0)}^{5}(L) ≃ Sym^{5}L ,
2gr_{(1)}^{5}(L) ≃ ^{2}σ_{(1,3)}^{1}(L)
2gr_{(2,0)}^{5}(L) ≃ Sym_{ℤ_{/2}}^{2}(L_{/2L}) ⊗ L
2gr_{(2,1)}^{5}(L) ≃ L_{/2L} ⊗ L

De façon analogue, si p = 3, on a

3gr_{(0)}^{5}(L) ≃ Sym^{5}L ,
3gr_{(1)}^{5}(L) ≃ L_{/3L} ⊗ Sym^{2}L

et si p = 5,

5gr_{(0)}^{5}(L) ≃ Sym^{5}L ,
5gr_{(1)}^{5}(L) ≃ L_{/5L}

On remarque que ^{2}gr_{(0)}^{5}(L) ≃ ^{3}gr_{(0)}^{5}(L) ≃ ^{5}gr_{(0)}^{5}(L) ≃ Sym^{5}L. On notera donc ce foncteur

gr_{(0)}^{5}(L) ≃ Sym^{5}L

On considère également le cas p = 2 et i_{0} = 6, où les familles admissibles sont (0), (1), (2, 0), (2, 1), (3, 0) et (3, 1). On dispose d’un premier gradué de Γ_{6}(B) tel que

2gr_{(0)}^{6}(B) ≃ gr_{0}Γ_{6}(B) ⊗ ℤ_{(2)} ≃ Sym^{6}B ,

\xymatrix{^{2}gr_{(1)}^{6}(B) ≃ gr_{2}Γ_{6}(B) ⊗ ℤ_{(2)} & Γ̃_{1}^{2}(B) ⊗ Sym^{4}B \ar@{->>}[l]} ,

\xymatrix{^{2}gr_{(2)}^{6}(B) ≃ gr_{4}Γ_{6}(B) ⊗ ℤ_{(2)} & Γ̃_{2}^{2}(B) ⊗ Sym^{2}B \ar@{->>}[l]} ,

2gr_{(3)}^{6}(B) ≃ gr_{6}Γ_{6}(B) ⊗ ℤ_{(2)} ≃ Γ̃_{3}^{2}(B) .

On filtre alors ^{2}gr_{(2)}^{6}(B) et ^{2}gr_{(3)}^{6}(B) par l’image des filtrations F̃_{∗}^{2}(B) ⊗ Sym^{2}B et F̃_{∗}^{3}. On a alors

\{ \begin{matrix}\xymatrix{^{2}gr_{(2,0)}^{6}(B) & Sym_{ℤ_{/2}}^{2}(B_{/2B}) ⊗ Sym^{2}B \ar@{->>}[l]} , \\ \xymatrix{^{2}gr_{(2,1)}^{6}(B) & Γ̃_{1}^{2}(B) ⊗ Sym^{2}B \ar@{->>}[l]} , \end{matrix}

\{ \begin{matrix}^{2}gr_{(3,0)}^{6}(B) ≃ Sym_{ℤ_{/2}}^{3}B_{/2B} , \\ \xymatrix{^{2}gr_{(3,1)}^{6}(B) & Γ̃_{1}^{2}(B) ⊗ Sym^{1}B \ar@{->>}[l]} . \end{matrix}

De la même façon que pour Γ_{5}, on peut décrire le gradué auquel on aboutit finalement de Γ_{6}(L) pour L un groupe abélien libre par

gr_{(0)}^{6}(L) ≃ Sym^{6}L

2gr_{(1)}^{6}(L) ≃ ^{2}σ_{(1,4)}^{1}(L) ,
2gr_{(2,0)}^{6}(L) ≃ ^{2}σ_{(2,2)}^{1}(L) ,
2gr_{(2,1)}^{6}(L) ≃ ^{2}σ_{(1,2)}^{2}(L) ,
2gr_{(3,0)}^{6}(L) ≃ Sym_{ℤ_{/2}}^{3}L_{/2L} ,
2gr_{(3,1)}^{6}(L) ≃ L_{/2L} ⊗ L_{/2L} ,

3gr_{(1)}^{6}(L) ≃ ^{3}σ_{(1,3)}^{1}(L) ,
3gr_{(2)}^{6}(L) ≃ Sym_{ℤ_{/3}}^{2}L_{/3L} ,
5gr_{(1)}^{6}(L) ≃ L_{/5L} ⊗ L .

On va maintenant exprimer ce gradué de Γ_{r}. Pour décrire les foncteurs du gradué, on utilise les foncteurs σ_{(α,β)}^{e}, \overline{σ}_{(α,β)}^{e}, σ_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j} et \overline{σ}_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j} définis en A.1.1 et A.1.5.

Proposition A.2.8 Soient L un groupe abélien libre et r un entier positif. Les filtrations successives définies en A.2.6 définissent un gradué de Γ_{r}(L) indexé par les nombres premiers p et les familles d’entiers positifs (i_{1}, …, i_{e}), e ≥ 0 telles que i_{e} < p et ∀k ≥ 0, i_{k−1} − pi_{k} ≥ 0, en posant i_{0} = r. Pour f < e, on note

pĝr_{(i_{f+1},...,i_{e})}^{i_{f}}(L) = Q_{p}^{i_{e}}(L_{/pL}) ⊗ Q_{p}^{i_{e−1}−pi_{e}}(L_{/pL}) ⊗ ⋯ ⊗ Q_{p}^{i_{f} −pi_{f+1}}(L_{/pL}),

Le gradué est exprimé de la façon suivante,

gr_{(0)}^{r}(L) = Sym^{r}L

et pour tout premier p,

1. Si (i_{1}, …, i_{e}) = (p^{e−1}i_{e}, …, i_{e}) avec i_{e} < p, alors

pgr_{(i_{1},...,i_{e})}^{r}(L) = ^{p}σ_{(i_{e},r−p^{e}i_{e})}^{e}(L_{/pL}),

2. Si pour f ≤ e, (i_{1}, …, i_{f}) = (p^{f−2}i_{f−1}, …, i_{f−1}, i_{f}) avec i_{f−1} −pi_{f} > p, alors

pgr_{(i_{1},...,i_{e})}^{r}(L) = ^{p}ĝr_{(i_{f+1},...,i_{e})}^{i_{f}}(L) ⊗_{ℤ_{/p}} ^{p}\overline{σ}_{(i_{f−1}−pi_{f} ,r−p^{f−1}i_{f−1})}^{f−1}(L_{/pL}),

3. Si (i_{1}, …, i_{e}) = (p^{j−2}i_{j−1}, …, i_{j−1}, i_{j}, …, i_{e}) avec 0 < i_{j−1} − pi_{j} ≤ p et pour e ≥ k > j, i_{k−1} − pi_{k} < p et i_{e} < p,

pgr_{(i_{1},...,i_{e})}^{r}(L) = ^{p}σ_{(i_{e},i_{e−1}−pi_{e},...,i_{j−1}−pi_{j})(r−p^{j−1}i_{j−1})}^{j−1}(L_{/pL}),

4. Si pour f < j < e, (i_{1}, …, i_{e}) = (p^{j−2}i_{j−1}, …, i_{j−1}, i_{j}, …, i_{e}) avec 0 < i_{j−1}−pi_{j} ≤ p et pour tout f > k > j, i_{k−1}−pi_{k} < p et i_{f−1}−pi_{f} ≥ p, alors

pgr_{(i_{1},...,i_{e})}^{r}(L) = ^{p}ĝr_{(i_{f+1},...,i_{e})}^{i_{f}}(L) ⊗_{ℤ_{/p}} ^{p}\overline{σ}_{(i_{f−1}−pi_{f} ,...,i_{j−1}−pi_{j})(r−p^{j−1}i_{j−1})}^{j−1}(L_{/pL}) .

Démonstration. Soient p un nombre premier et (i_{1}, …, i_{f}) une famille d’entiers positifs tels que i_{k−1} = pi_{k}, ∀k > 0 et i_{f} ≤ i_{f−1}/p. On montre par récurrence sur f que f_{(i_{1},...,i_{f−1})i_{f}}^{r} (L) ⊗ ℤ_{/p} est un quotient du groupe

F̃_{i_{f}}^{p,i_{f−1}}(L) ⊗ Sym^{r−p^{f−1}i_{f−1}}L ⊗ ℤ_{/p}  (A.2.1)

par les relations

γ_{s}(x)X ⊗ y^{p^{f−1}s}Y ≃ γ_{s}(y)X ⊗ x^{p^{f−1}s}Y ∀s < i_{f−1}

où X ∈ Γ̃_{i_{f−1}−s}(L) et Y ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{r−p^{f−1}i_{f−1}−sp^{f−1}}L_{/pL}. Lorque i_{f} < i_{f−1}/p, (A.2.1) est isomorphe à

F̃_{i_{f}}^{p,i_{f−1}}(L) ⊗ Sym^{r−p^{f−1}i_{f−1}}L  (A.2.2)

Si i_{f−1} < p, alors i_{f} = 0 et F̃_{0}^{p,i_{f−1}}(L) ≃ Γ̃_{i_{f−1}}(L) ≃ Sym_{ℤ_{/p}}^{i_{f−1}}L_{/pL} et on a gr_{(i_{1},...,i_{f−1})}^{r}(L) ⊗ ℤ_{/p} ≃ gr_{(i_{1},...,i_{f−1})}^{r}(L). On peut ainsi voir que si L = ⨁_{1≤i≤s} ℤx_{i}, ce gradué est le ℤ_{/p}-espace vectoriel dont une base est donnée par les symboles

γ_{p^{f−1}}(x_{η(1)}) … γ_{p^{f−1}}(x_{η(i_{f−1})})x_{η(i_{f−1}+1)}^{p^{f−1}} … x_{η(k)}^{p^{f−1}}x_{τ(1)} … x_{τ(r−kp^{f−1})}

pour f − 1 ≤ k ≤ r/p^{f−1}, η : [k] → [s] et τ : [r − kp^{f−1}] → [s] sont des applications croissantes telles que l’occurence de j dans l’image de τ est < p^{f−1}. C’est-à-dire que gr_{(i_{1},...,i_{f−1})}^{r}(L) est le quotient de

Sym_{ℤ_{/p}}^{i_{f−1}}L_{/pL} ⊗_{ℤ_{/p}} Sym_{ℤ_{/p}}^{r−p^{f−1}i_{f−1}}L_{/pL}  (A.2.3)

par les relations

xX ⊗ y^{p^{f−1}}Y ≃ yX ⊗ x^{p^{f−1}}Y

où X ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{i_{f−1}−s}(L_{/pL}) et Y ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{r−p^{f−1}i_{f−1}−p^{f−1}}L_{/pL}. Donc on est dans le cas (1.) de la proposition et

gr_{(i_{1},...,i_{f−1})}^{r}(L) ≃ ^{p}σ_{(i_{f−1},r−p^{f−1}i_{f−1})}^{f−1}(L_{/pL}) .

Si i_{f−1} ≥ p, on utilise les résultats de la proposition A.2.5, (a.) Si i_{f−1} = pi_{f}, on se ramène au cas précédent. (b.) Si i_{f−1} − pi_{f} > p, gr_{(i_{1},...,i_{f})}^{r}(L) est le quotient de

Γ_{i_{f}}^{p} (L) ⊗_{ℤ_{/p}} Q_{p}^{i_{f} −pi_{f}} (L_{/pL}) ⊗_{ℤ_{/p}} Sym_{ℤ_{/p}}^{r−p^{f−1}i_{f−1}}L_{/pL}  (A.2.4)

par les relations

X_{f} ⊗ X′_{f−1}x ⊗ y^{p^{f−1}}Y ≃ X_{f} ⊗ X′_{f−1}y ⊗ x^{p^{f−1}}Y′

où X_{f} ∈ Γ_{i_{f}}^{p} (L), X′_{f−1}x ∈ Q_{p}^{i_{f−1}−pi_{f}} (L_{/pL}) et y^{p^{f−1}}Y ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{r−p^{f−1}i_{f−1}}L_{/pL}. On est alors dans le cas (2.) et

gr_{(i_{1},...,i_{f})}^{r}(L) = Γ_{i_{f}}^{p} (L) ⊗_{ℤ_{/p}} \overline{σ}_{(i_{f−1}−pi_{f} ,r−p^{f−1}i_{f−1})}^{f−1}(L_{/pL}),

On remarque alors qu’en itérant les filtrations, on obtient

pgr_{(i_{1},...,i_{e})}^{r}(L) = ^{p}ĝr_{(i_{f+1},...,i_{e})}^{i_{f}}(L) ⊗_{ℤ_{/p}} ^{p}\overline{σ}_{(i_{f−1}−pi_{f} ,r−p^{f−1}i_{f−1})}^{f−1}(L_{/pL}) .

(c.) Si 0 < i_{f} − pi_{f−1} ≤ p, gr_{(i_{1},...,i_{f})}^{r}(L) est le quotient de

Γ_{i_{f}}^{p} (L) ⊗_{ℤ_{/p}} Sym_{ℤ_{/p}}^{i_{f−1}−pi_{f}}L_{/pL} ⊗_{ℤ_{/p}} Sym_{ℤ_{/p}}^{r−p^{f−1}i_{f−1}}L_{/pL}  (A.2.5)

par les relations

X_{f} ⊗ X′_{f−1}x ⊗ y^{p^{f−1}}Y ≃ X_{f} ⊗ X′_{f−1}y ⊗ x^{p^{f−1}}Y
γ_{s}(x)X′_{f} ⊗ X_{f−1} ⊗ y^{sp^{f−1}}Y′ ≃ γ_{s}(y)X′_{f} ⊗ X_{f−1} ⊗ x^{sp^{f−1}}Y′ ∀s < i_{f}

où X_{f}, γ_{s}(x)X′_{f} ∈ Γ_{i_{f}}^{p} (L), X′_{f−1}x, X_{f−1} ∈ Sym_{Zp}^{i_{f−1}−pi_{f}} L_{/pL} et y^{p^{f−1}}Y, x^{sp^{f−1}}Y′ ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{r−p^{f−1}i_{f−1}}L_{/pL}. On peut alors filtrer de nouveau. Soit (i_{f}, …, i_{f′−1}) une famille d’entiers positifs tels que i_{k−1}−pi_{k} < p pour f′ > k > j, on montre que gr_{(i_{1},...,i_{f′−1})}^{r}(L) est le quotient de

Γ_{i_{f′−1}}^{p}(L) ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{i_{f′−2}−pi_{f′−1}}L_{/pL} ⊗ ⋯ ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{i_{f−1}−pi_{f}}L_{/pL} ⊗ Sym_{ℤ_{/p}}^{r−p^{f−1}i_{f−1}}L_{/pL}

(A.2.6)

par les relations

X_{f′−1}⊗⋯⊗X′_{f+k}x⊗⋯⊗y^{p^{f+k}}Y ≃X_{f′−1}⊗⋯⊗X′_{f+k}x⊗⋯⊗y^{p^{f+k}}Y (A.2.7)

γ_{s}(x)X′_{f′−1}⊗⋯⊗X_{f+k}⊗⋯⊗y^{sp^{f′−1}}Y′≃γ_{s}(y)X′_{f′−1}⊗⋯⊗X_{f+k}⊗⋯⊗x^{sp^{f′−1}}Y′

(A.2.8)

∀s < i_{f′−1}, où X_{j}, X′_{j}x ∈ Sym_{Zp}^{i_{j}−pi_{j+1}}L_{/pL} si f ≤ j < f′ − 1,

X_{f′−1}, γ_{s}(x)X′_{f′−1} ∈ Γ_{i_{f′−1}}^{p}(L) et y^{p^{f+k}}Y, x^{sp^{f′−1}}Y′ ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{r−p^{f} i_{f}}L_{/pL}.

Si i_{f′−1} < p, Γ_{i_{f′−1}}^{p}(L) ≃ Sym_{ℤ_{/p}}^{i_{f′−1}}L_{/pL} et on dans dans le cas (3.), avec

gr_{(i_{1},...,i_{f′−1})}^{r}(L) ≃ σ_{(i_{f′−1},i_{f′−2}−pi_{f′−1},...,i_{f−1}−pi_{f})(r−p^{f−1}i_{f−1})}^{f}(L_{/pL}) .

Si i_{f′−1} ≥ p, soit i_{f′} ≤ i_{f′−1}/p. D’après la proposition A.2.4, (a’.) Si i_{f′−1} − pi_{f′} < p, on trouve le quotient précédent où l’on remplace f′ − 1 par f′. (b’.) Si i_{f′−1} − pi_{f′} ≥ p, on montre que gr_{(i_{1},...,i_{f′})}^{r}(L) est le quotient de

Γ_{i_{f′}}^{p}(L)⊗_{ℤ_{/p}}Q_{p}^{i_{f′−1}−pi_{f′}}(L_{/pL})⊗_{ℤ_{/p}}⋯⊗_{ℤ_{/p}}Sym_{ℤ_{/p}}^{i_{f−1}−pi_{f}}L_{/pL}⊗_{ℤ_{/p}}Sym_{ℤ_{/p}}^{r−p^{f−1}i_{f−1}}L_{/pL}

(A.2.9)

par les relations

X_{f′} ⊗ ⋯ ⊗ X′_{f+k}x ⊗ ⋯ ⊗ y^{p^{f+k}}Y ≃ X_{f′} ⊗ ⋯ ⊗ X′_{f+k}x ⊗ ⋯ ⊗ y^{p^{f+k}}Y

où X_{j}, X′_{j}x ∈ Sym_{Zp}^{i_{j}−pi_{j+1}}L_{/pL} si f−1 ≤ j < f′−1 et y^{p^{f+k}}Y ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{r−p^{f} i_{f}}L_{/pL}. On n’a plus les relations du type (A.2.8), car on a les identité suivantes,

X_{f′} ⊗ X′′_{f′−1}x_{1} … x_{p} ⊗ ⋯ ⊗ y^{p^{f′}}Y ≃ X_{f′} ⊗ X′′_{f′−1}y^{p} ⊗ ⋯ ⊗ x_{1}^{pf′−1} … x_{p^{f′−1}}Y
= 0 .

Ainsi, on est dans le cas (4.) et

gr_{(i_{1},...,i_{f′})}^{r}(L) ≃ Γ_{i_{f′}}^{p}(L) ⊗_{ℤ_{/p}} σ_{(i_{f′−1}−pi_{f′},...,i_{f−1}−pi_{f})(r−p^{f−1}i_{f−1})}^{f−1}(L_{/pL}) .

On conclut en itérant les filtrations comme pour le cas (2.). □

La fin de la section est consacrée à l’étude des suites spectrales associées aux filtrations de Γ_{r}. En effet, soit (F_{k}K.) une filtration finie d’un complexe (K.). On a une suite sepctrale convergente

E_{i,j}^{1} = H_{i+j}(gr_{i}K.) ⇒ H_{i+j}(K.) .  (A.2.10)

Soient B un groupe abélien et P. une résolution simpliciale projective de B. Les groupes L_{∗}Γ_{r}(B) sont les groupes d’homologie du complexe du complexe (Γ_{r}(P.))^{∼}. Nous disposons des suites spectrales associées aux filtrations imbriquées de Γ_{r}. Dans le cas de la filtration de Γ_{r}^{p}, on a la propriété suivante.

Proposition A.2.9 Soient B un groupe abélien et r un entier positif. La suite spectrale fonctorielle définie par la filtration (F_{i}^{p,r}(B))_{0≤i≤r/p} définie en A.2.3 de Γ_{r}^{p}(B),

E_{i,j}^{1} = L_{i+j}(gr_{i}^{p,r}(B)) ⇒ L_{i+j}Γ_{r}^{p}(B) .  (A.2.11)

dégénère au rang 1. C’est-à-dire que les suites

\xymatrix{L_{k}F_{i−1}^{p,r}(B) \ar@{^{(}->}[r] & L_{k}F_{i}^{p,r}(B) \ar@{->>}[r] & L_{k}(gr_{i}^{p,r}(B))}  (A.2.12)

sont des suites exactes courtes ∀k.

Démonstration. On va montrer la dégénérence de la suite spectrale par récurrence sur r. Pour r = 1, le résultat est immédiat. On regarde ensuite la structure de la suite spectrale. Notons E_{i,j}^{r,1}(B) la suite spectrale associée à la filtration A.2.3 de Γ_{r}^{p}(B). La structure d’algèbre de Γ_{∗}^{p} compatible avec la filtration permet de définir la suite spectrale suivante pour s, t fixés et A et B deux groupes abéliens:

E_{i,j}^{⊗,1}(A, B) = ⨁_{i_{1}+i_{2}=i,j_{1}+j_{2}=j}(E_{i_{1},j_{1}}^{s,1}(A)⊗_{ℤ_{/p}}E_{i_{2},j_{2}}^{t,1}(B)) ⇒ L_{∗}Γ_{s}^{p}(A)⊗_{ℤ_{/p}}L_{∗}Γ_{t}^{p}(B).

(A.2.13)

La structure d’algèbre donne un morphisme de suites spectrales

E_{i,j}^{⊗,1}(B, B) → E_{i,j}^{r,1}(B).  (A.2.14)

On a vu dans la proposition A.2.4 que la multiplication

\xymatrix{gr_{i}^{p,pi}(B) ⊗_{ℤ_{/p}} gr_{0}^{p,(r−i)}(B) \ar[r] & gr_{i}^{p,r}(B)}  (A.2.15)

est un isomorphisme. Ceci entraîne que si les différentielles provenant de E_{i,j}^{pi,1}(B) = L_{i+j}gr_{i}^{p,pi}(B) et de E_{0,j}^{r−pi,1}(B) = L_{j}gr_{0}^{p,(r−pi)}(B) sont nulles pour tout j, alors les différentielles provenant de E_{i,j}^{r,1}(B) = L_{i+j}gr_{i}^{p,r}(B) sont également nulles. La seconde condition est toujours vérifiée, il suffit donc de montrer le lemme suivant:

Lemme A.2.10 Pour tout entier j, les différentielles d_{i,j}^{k} de la suite spectrale E_{i,j}^{pi,1}(B) sont nulles.

Démonstration. On montre ceci par récurrence sur i. Si r = 1, le gradué de Γ_{p}^{p} est donné par

gr_{0}^{p,p}(B) = Q_{p}^{p}(B_{/pB})  (A.2.16)
gr_{1}^{p,p}(B) = B_{/pB}  (A.2.17)

La suite spectrale E_{i,j}^{p} s’écrit alors

\xymatrix{⋮ \\ 0 \\ L_{1}Q_{p}^{p}(B_{/pB}) & 0 \ar[l] & 0 & … \\ Q_{p}^{p}(B_{/pB}) & _{p}B \ar[l]_{d_{1,0}^{1}} & 0 & … \\ 0 & B_{/pB} \ar[l] & 0 & …}  (A.2.18)

Or la suite

\xymatrix{Q_{p}^{p}(B_{/pB}) \ar@{^{(}->}[r] & Γ_{p}^{p}(B) \ar@{->>}[r] & B_{/pB}}  (A.2.19)

est une suite exacte courte. donc la différentielle d_{1,0}^{1} est nulle. Pour r > 1, si B = ℤ, le résultat est immédiat. Si B = ℤ_{/m}, on prend la résolution suivante de B:

\xymatrix{ℤ \ar[r]^{m} & ℤ} .  (A.2.20)

On a alors la description suivante de K(ℤ_{/m}, 0):

K(ℤ_{/m}, 0)_{j} = ( ⨁_{0≤k≤j−1} ℤ[s_{j−1} … ŝ_{k} … s_{0}]) ⊕ ℤ[s_{j−1} … s_{0}]  (A.2.21)

où les faces sont définies par

d_{k}(ŝ_{j−1}s_{j−2} … s_{0}) = m(s_{j−2} … ŝ_{k} … s_{0}),  (A.2.22)
d_{l}(s_{j−1} … ŝ_{k} … s_{0}) = \{ \begin{matrix}s_{j−2} … ŝ_{k} … s_{0} & si k < l ≤ j \\ s_{j−2} … ŝ_{k−1} … s_{0} & si 0 ≤ l ≤ k. \end{matrix}  (A.2.23)

On ordonne les bases de K(ℤ_{/m}, 0)_{j} de la façon suivante:

s_{j−1} … ŝ_{k} … s_{0} > s_{j−1} … ŝ_{l} … s_{0}, si k > l,
s_{j−1} … s_{0} > s_{j−1} … ŝ_{k} … s_{0}, ∀k.

On remarque que si on regarde K(ℤ_{/m}, 0)⊗ℤ_{/p}, les opérations faces conservent l’ordre des bases. En effet, si m est premier avec p, d_{k}(ŝ_{j−1}s_{j−2} … s_{0}) = (s_{j−2} … ŝ_{k} … s_{0}) et si p divise m, d_{k}(ŝ_{j−1}s_{j−2} … s_{0}) = 0. On va construire une rétraction de l’application entre les complexes suivants:

\xymatrix{F_{i}^{p,r}(K(ℤ_{/m}, 0)) \ar[r]^{π} & gr_{i}^{p,r}(K(ℤ_{/m}, 0))} .  (A.2.24)

Si V = ⨁_{1≤i≤s} ℤ_{/p}x_{i}, d’après [6, §7 (7.) et (8.)] on peut définir une base de F_{i}^{p,r}(V) par la famille suivante:

(γ_{p^{α_{1}}}(x_{σ_{1}(1)}) … γ_{p^{α_{1}}}(x_{σ_{1}(j_{1})})) … (γ_{p^{αe}}(x_{σ_{e}(1)}) … γ_{p^{αe}}(x_{σ_{e}(j_{e})}))
x_{σ_{e+1}(1)} … x_{σ_{e+1}(j_{e+1})}  (A.2.25)

où

• α_{1} > ⋯ > α_{e} > 0,

• pour 1 ≤ k ≤ e + 1, σ_{k} : [j_{k}] → [s] est une application décroissante telle que l’occurence de j ∈ [s] dans l’image de σ_{k} est strictement inférieure à p,

• j_{e+1} ≥ r − pi.

L’ordre de la base de V induit un ordre sur la base de F_{i}^{p,r}(V). On définit de façon similaire une base ordonnée sur

gr_{i}^{p,r}(V) ≃ Γ_{i}^{p}(V) ⊗_{ℤ_{/p}} Q_{p}^{r−pi}(V).  (A.2.26)

On définit maintenant l’application suivante qui conserve l’ordre des bases:

\xymatrix{gr_{i}^{p,r}(V) \ar[r]^{r} & F_{i}^{p,r}(V)}  (A.2.27)

par: r((γ_{p^{α_{1}}}(x_{σ_{1}(1)}) … γ_{p^{α_{1}}}(x_{σ_{1}(j_{1})})) … (γ_{p^{αe}}(x_{σ_{e}(1)}) … γ_{p^{αe}}(x_{σ_{e}(j_{e})}))

x_{σ_{e+1}(1)} … x_{σ_{e+1}(j_{e+1})} ⊗ x_{τ(1)} … x_{τ_{r−pi}})

= (γ_{p^{(α_{1}+1)}}(x_{σ_{1}(1)}) … γ_{p^{(α_{1}+1)}}(x_{σ_{1}(j_{1})})) … (γ_{p^{(αe+1)}}(x_{σ_{e}(1)}) … γ_{p^{(αe+1)}}(x_{σ_{e}(j_{e})}))

γ_{p}(x_{σ_{e+1}(1)}) … γ_{p}(x_{σ_{e+1}(j_{e+1})})x_{τ(1)} … x_{τ_{r−pi}}  (A.2.28)

Ensuite, il est clair que r ∘ π = id. Le fait que les opérateurs faces conservent l’ordre des bases de K(ℤ_{/m}, 0) suffit pour affirmer que r est une application d’espaces vectoriels simpliciaux:

\xymatrix{gr_{i}^{p,r}(K(ℤ_{/m}, 0)) \ar[r]^{r} & F_{i}^{p,r}(K(ℤ_{/m}, 0))} .  (A.2.29)

Ce qui entraîne la surjectivité des applications

\xymatrix{L_{k}F_{i}^{p,r}(ℤ_{/m}) \ar[r] & L_{k}(gr_{i}^{p,r}(ℤ_{/m})), ∀k.}  (A.2.30)

Or ceci est équivalent à la dégénérescence de la suite spectrale (A.2.11) pour B = ℤ_{/m}. En particulier, si r = pi, les différentielles d_{i,j} de la suite spectrale E_{i,j}^{p,pi}(ℤ_{/m}) sont nulles. On considère à présent les différentielles de l’effet croisé de la suite spectrale de E_{i,j}^{p,pi} = L_{i+j}gr_{i}^{p,pi}. On sait que gr_{i}^{p,pi}(B) ≃ Γ_{i}^{p}(B) donc l’effet croisé de gr_{i}^{p,pi} s’écrit:

gr_{i}^{p,pi}(A|B) ≃ ⨁_{0<s<i} gr_{s}^{p,ps}(A) ⊗_{ℤ_{/p}} gr_{i−s}^{p,p(i−s)}(B) .  (A.2.31)

Donc d’après la proposition (1.2.10), ∀k

L_{k}gr_{i}^{p,pi}(A|B) ≃ ⨁_{0≤j≤k} ⨁_{0<s<i} L_{j}gr_{i}^{p,ps}(A) ⊗_{ℤ_{/p}} L_{k−j}gr_{i}^{p,p(i−s)}(B) . (A.2.32)

L’hypothèse de récurrence permet alors de conclure en passant ła limite inductive. □

La suite spectrale associée à la filtration A.2.1 de Γ_{r} ne dégénère pas, comme on le voit dans la section C.3 de l’appendice C. Cependant, elle a les propriétés suivantes.

Lemme A.2.11 Soient B un groupe abélien et r un entier positif. La suite spectrale convergente induite par la filtration (F_{i}Γ_{r}(B))_{0≤i≤r} de Γ_{r}(B) définie en A.2.1

E_{i,j}^{1} = L_{i+j}(gr_{i}Γ_{r}(B)) ⇒ L_{i+j}Γ_{r}(B)

vérifie les propriétés suivantes,

1. iE_{i,j}^{k} = 0,

2. Si (k, i) = 1, d^{k} : E_{i,j}^{k} → E_{i−k,j+k−1}^{k} est l’application nulle,

3. E_{i,j}^{2} = E_{i,j}^{1},

Démonstration. (1.) provient du fait igr_{i}Γ_{r}(B) = 0 (point (6.) de la proposition A.2.2). On obtient ensuite (2) et (3) en remarquant que les applications concernées sont des applications entre des groupes de torsions premières entre elles. □

On peut ensuite donner des résultats partiels sur les suites spectrales associées aux filtrations de gr_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}}(B). On a pour cela besoin de nouveaux foncteurs. On rappelle que les foncteurs σ_{(α_{1},...,α_{f})β}^{j} sont définis en A.1.5.

Définitions A.2.12 Soient p un nombre premier et (i_{0}, …, i_{e}) une famille d’entiers positifs tels que i_{k−1} = pi_{k} pour 1 < k < j − 1 et i_{k−1} − pi_{k} < p pour j ≤ k < e. Soit B un groupe abélien. (1.) Le groupe ϕ_{(i_{e−1}−pi_{e},...,i_{j−1}−pi_{j})(i_{0}−p^{j−1}i_{j−1})}^{j−1}(B) est défini comme le quotient de

σ_{(i_{e−1}−pi_{e},...,i_{j−1}−pi_{j})(i_{0}−p^{j−1}i_{j−1})}^{j−1}(B_{/pB})

par les relations

X_{e−1} ⊗ ⋯ ⊗ x^{p^{e}}Y ≃ 0 ,

où X_{e−1} ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{i_{e−1}−pi_{e}}B_{/pB} et Y ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{i_{0}−p^{j−1}i_{j−1}−p^{e}}B_{/pB}.

(2.) Le groupe \overline{f}_{(i_{1},...,i_{e−1}),i_{e}}^{i_{0}}(B) est défini comme le quotient de

Γ_{pi_{e}}^{p}(B) ⊗_{ℤ_{/p}} ϕ_{(i_{e−1}−pi_{e},...,i_{j−1}−pi_{j})(i_{0}−p^{j−1}i_{j−1})}^{j−1}(B)

par les relations

X_{e}x_{1} ⊗ x_{2}X′_{e−1} ⊗ ⋯ ⊗ Y ≃ X_{e}x_{2} ⊗ x_{1}X′_{e−1} ⊗ ⋯ ⊗ Y ; (A.2.33)
X′_{e}γ_{s}(x) ⊗ ⋯ ⊗ y^{sp^{e−1}}Y′ ≃ X′_{e}γ_{s}(y) ⊗ ⋯ ⊗ x^{sp^{e−1}}Y′ (A.2.34)

où X_{e} ∈ Γ_{pi_{e}−1}^{p}(B), X′_{e−1} ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{i_{e−1}−pi_{e}−1}B_{/pB}, Y ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{i_{0}−p^{j−1}i_{j−1}}B_{/pB};

X′_{e} ∈ Γ_{pi_{e}−s}^{p}(B), X_{e−1} ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{i_{e−1}−pi_{e}}B_{/pB}, Y′ ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{i_{0}−p^{j−1}i_{j−1}−sp^{e}}B_{/pB}. (3.) On définit le groupe suivant,

\overline{gr}_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}}(B) := Γ_{i_{e}}^{p}(B) ⊗_{ℤ_{/p}} ϕ_{(i_{e−1}−pi_{e},i_{e−2}−pi_{e−1},...,i_{j−1}−pi_{j})(i_{0}−p^{j−1}i_{j−1})}^{j}(B) .

Remarquons que f_{(i_{1},...,i_{e−1}),i_{e}}^{i_{0}}(B), qui est le quotient de

F_{i_{e}−1}^{p,pi_{e}}(B) ⊗_{ℤ_{/p}} σ_{(i_{e−1}−pi_{e},...,i_{j−1}−pi_{j})(i_{0}−p^{j−1}i_{j−1})}^{j−1}(B_{/pB})

par les relations du type (A.2.33) et (A.2.33) est également isomorphe au quotient de

F_{i_{e}−1}^{p,pi_{e}}(B) ⊗_{ℤ_{/p}} ϕ_{(i_{e−1}−pi_{e},...,i_{j−1}−pi_{j})(i_{0}−p^{j−1}i_{j−1})}^{j−1}(B)

par les mêmes relations. En effet, la relation que l’on rajoute est redondante car si X′′_{e−1} ∈ Γ_{p(i_{e}−1)}(B), Y ∈ Sym_{ℤ_{/p}}^{i_{0}−p^{j−1}i_{j−1}−p}B_{/pB},

X′′_{e−1}x_{1} … x_{p} ⊗ ⋯ ⊗ y^{p^{e}}Y = X′′_{e−1}y^{p} ⊗ ⋯ ⊗ x_{1}^{p^{e−1}} … x_{p}^{p^{e−1}}Y

et X′′_{e−1}y^{p} = 0 dans F_{i_{e}−1}^{p,pi_{e}}(B). La suite exacte courte

\xymatrix{F_{i_{e}−1}^{p,pi_{e}}(B) \ar@{^{(}->}[r] & Γ_{pi_{e}}^{p}(B) \ar@{->>}[r] & Γ_{i_{e}}^{p}(B)}  (A.2.35)

induit alors des applications

\xymatrix{f_{(i_{1},...,i_{e−1}),(i_{e}−1)}^{i_{0}}(B) \ar[r] & \overline{f}_{(i_{1},...,i_{e−1}),i_{e}}^{i_{0}}(B) \ar[r] & \overline{gr}_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}}(B)} .

On considère des bases des ℤ_{/p}-espaces vectoriels correspondants et on montre que ces suites sont des suites exactes courtes. En remarquant ensuite que le foncteur −⊗_{ℤ_{/p}}ϕ_{(α_{e},...,α_{j})(β)}^{j−1}(L) est exact, on montre que le diagramme suivant où les lignes sont exactes commute,

[figure: F_{i_{e}−1}^{p,pi_{e}}(L) ⊗_{ℤ_{/p}} ϕ_{(α_{e},...,α_{j})(β)}^{j−1}(L); f_{(i_{1},...,i_{e−1}),(i_{e}−1)}^{i_{0}}(L); Γ_{pi_{e}}^{p}(L) ⊗_{ℤ_{/p}} ϕ_{(α_{e},...,α_{j})(β)}^{j−1}(L); \overline{f}_{(i_{1},...,i_{e−1}),i_{e}}^{i_{0}}(L); Γ_{i_{e}}^{p}(L) ⊗_{ℤ_{/p}} ϕ_{(α_{e},...,α_{j})(β)}^{j−1}(L); \overline{gr}_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}}(L) .]  (A.2.36)

où α_{k} = i_{k−1} −pi_{k} et β = i_{0} −p^{j−1}i_{j−1}. En reprenant la preuve de la proposition A.2.8, on peut alors voir que les foncteurs \overline{f}_{(i_{1},...,i_{e−1}),i_{e}}^{i_{0}} et \overline{gr}_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}} sont des quotients des foncteurs f_{(i_{1},...,i_{e−1}),i_{e}}^{i_{0}} et gr_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}} et que l’on a le diagramme commutatif suivant où les lignes sont des suites exactes courtes,

[figure: f_{(i_{1},...,i_{e−1}),(i_{e}−1)}^{i_{0}}(L); f; f_{(i_{1},...,i_{e−1}),i_{e}}^{i_{0}}(L); v; gr_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}}(L); f_{(i_{1},...,i_{e−1}),(i_{e}−1)}^{i_{0}}(L); \overline{f}; \overline{f}_{(i_{1},...,i_{e−1}),i_{e}}^{i_{0}}(L); \overline{v}; \overline{gr}_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}}(L) .]  (A.2.37)

On peut ainsi montrer le lemme suivant.

Lemme A.2.13 Soit (i_{0}, …, i_{e}) une famille d’entiers positifs tels que i_{k−1} = pi_{k} pour 1 < k < j − 1 et i_{k−1} − pi_{k} < p pour j ≤ k < e. Soit B un groupe abélien. Les suites

\xymatrix{L_{∗}f_{(i_{1},...,i_{e−1}),(i_{e}−1)}^{i_{0}}(B) \ar@{^{(}->}[r] & L_{∗}\overline{f}_{(i_{1},...,i_{e−1}),i_{e}}^{i_{0}}(B) \ar@{->>}[r] & L_{∗}\overline{gr}_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}}(B)}

sont des suites exactes courtes.

Démonstration. Rappelons que pour L un groupe abélien libre, le diagramme (A.2.36) où les colonnes sont exactes commute. En utilisant le lemme 1.1.5, on obtient le résultat. □

On peut alors montrer la proposition suivante.

Proposition A.2.14 Soient p un nombre premier et (i_{0}, …, i_{e}) une famille d’entiers positifs tels que ∀j > 0, pi_{j} ≤ i_{j−1}. Soit B un groupe abélien. Les suites exactes définies par la filtration (f_{(i_{1},...,i_{e−1})i}^{i_{0}}(B))_{0≤i≤ \frac{i_{e−1}}{p}} du groupe

gr_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}}(B), ∀k.

\xymatrix{L_{k}f_{(i_{1},...,i_{e−1}),(i_{e}−1)}^{i_{0}}(B) \ar@{^{(}->}[r] & L_{k}f_{(i_{1},...,i_{e−1}),i_{e}}^{i_{0}}(B) \ar@{->>}[r] & L_{k}gr_{(i_{1},...,i_{e})}^{i_{0}}(B)}

(A.2.38)

sont des suites exactes courtes lorsque i_{1} < i_{0}/p et i_{2} < i_{1}/p.

Démonstration. Compte tenu de l’expression du gradué de la proposition A.2.8 et de la proposition A.2.9, il suffit de montrer que les suites (A.2.38) sont exactes pour des familles (i_{0}, …, i_{e}) telles que i_{k−1} = pi_{k} pour 1 < k < j − 1 et i_{k−1} − pi_{k} < p pour j ≤ k < e. On rappelle alors que le diagramme (A.2.37) où les lignes sont exactes commute. Le lemme 1.1.4 entraîne l’exactitude des suites (A.2.38) pour des entiers positifs (i_{0}, …, i_{e}) tels que i_{k−1} = pi_{k} pour 1 < k < j−1 et i_{k−1}−pi_{k} < p pour j ≤ k < e. □

Appendice B.

B.1 Description des foncteurs dérivés de Γ̃_{2}^{2} et

2σ_{(1,2)}^{1}

D’après Bousfield [3, 8.6], si X est un ℤ_{/2}-module simplicial, L^{ℤ_{/2}}Sym_{ℤ_{/2}}^{∗}X est une algèbre décrite par les groupes d’homotopie de X et par les opérations homologiques admissibles. En particulier, si P. est une résolution simplicale libre de B, d’après la proposition 1.2.9 L^{ℤ}Sym_{ℤ_{/2}}^{∗}B_{/2B} est décrite par

π_{1}(P. ⊗ ℤ_{/2}) = \{ \begin{matrix}B_{/2B} & si i = 0 \\ _{2}B & si i = 1 \\ 0 & si i > 1 \end{matrix}

On obtient alors l’isomorphisme suivant dans le cas qui nous intéresse,

L_{1}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} ≃ _{2}B ⊗_{ℤ_{/2}} B_{/2B} .  (B.1.1)

D’autre part, le théorème du coefficient universel nous donne la suite exacte courte

\xymatrix{S_{2}(B) ⊗ ℤ_{/2} \ar@{^{(}->}[r] & L_{1}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar@{->>}[r] & _{2}Sym^{2}B} .  (B.1.2)

Ainsi, on a une suite exacte courte,

\xymatrix{S_{2}(B) ⊗ ℤ_{/2} \ar@{^{(}->}[r]^{ι} & _{2}B ⊗_{ℤ_{/2}} B_{/2B} \ar@{->>}[r] & _{2}Sym^{2}B} .  (B.1.3)

où ι(β_{2h}(x, y)) = (hx) ⊗ y − (hy) ⊗ x. La description de Bousfield nous permet également de voir que

L_{1}Γ_{2}^{2}(B) ≃ L_{5}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}(B, 2) ≃ (_{2}B ⊗ B_{/2B}) ⊕ _{2}B .  (B.1.4)

Lemme B.1.1 Soit B un groupe abélien. La suite exacte courte associée au morphisme de Frobenius (1.2.13),

\xymatrix{B_{/2B} \ar@{^{(}->}[r]^{F_{2}} & Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar@{->>}[r] & Q_{2}^{2}(B_{/2B})}  (B.1.5)

induit la suite exacte courte et l’isomorphisme suivants,

\xymatrix{L_{2}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar@{^{(}->}[r] & L_{2}Q_{2}^{2}B_{/2B} \ar@{->>}[r] & _{2}B} ,  (B.1.6)
L_{1}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} ≃ L_{1}Q_{2}^{2}(B_{/2B}) .  (B.1.7)

Démonstration. On remarque que Q_{2}^{2}(B_{/2B}) ≃ Λ_{ℤ_{/2}}^{2}(B_{/2B}). La suite exacte longue en homologie associée à (B.1.5) est donnée par

\xymatrix{L_{2}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar@{^{(}->}[r] & L_{2}Q_{2}^{2}(B_{/2B}) \ar[r] & _{2}B \ar[r] & L_{1}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar@{->>}[r] & L_{1}Q_{2}^{2}(B_{/2B})} .

(B.1.8)

Le théorème du coefficient universel nous donne les suites exactes et les isomorphismes suivants,

\xymatrix{(L_{1}Sym^{2}B) ⊗_{ℤ} ℤ_{/2} \ar@{^{(}->}[r] & L_{1}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar@{->>}[r] & _{2}Sym^{2}B} , (B.1.9)
L_{2}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} ≃ _{2}L_{1}Sym^{2}B  (B.1.10)
\xymatrix{(L_{1}Λ^{2}B) ⊗ ℤ_{/2} \ar@{^{(}->}[r] & L_{1}Q_{2}^{2}(B_{/2B}) \ar@{->>}[r] & _{2}Λ^{2}B} ,  (B.1.11)
L_{2}Q_{2}^{2}(B_{/2B}) ≃ _{2}L_{1}Λ^{2}B .  (B.1.12)

En particulier, si B = ℤ_{/n}, si n est impair, les foncteurs considérés sont nuls. Si n est pair,

L_{1}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} ≃ ℤ_{/2} ,  (B.1.13)
L_{2}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} ≃ 0  (B.1.14)
L_{1}Q_{2}^{2}(B_{/2B}) ≃ ℤ_{/2} ,  (B.1.15)
L_{2}Q_{2}^{2}(B_{/2B}) ≃ ℤ_{/2} .  (B.1.16)

La suite exacte (B.1.8) s’écrit alors

\xymatrix{0 \ar@{^{(}->}[r] & ℤ_{/2} \ar[r] & ℤ_{/2} \ar[r]^{0} & ℤ_{/2} \ar@{->>}[r] & ℤ_{/2}} .  (B.1.17)

Considérons maintenant les effets croisés des foncteurs de la suite (B.1.8). On obtient la suite exacte courte suivante, pour A et B deux groupes abéliens,

\xymatrix{_{2}T or(A, B) \ar@{^{(}->}[r] & _{2}T or(A, B) \ar[r] & 0 \ar[r]^{0} & L_{1}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}(A_{/2A}|B_{/2B}) \ar@{->>}[r] & L_{1}Q_{2}^{2}(A_{/2A}|B_{/2B}).}

(B.1.18)

La suite (B.1.8) se décompose donc, pour un groupe abélien B quelconque, en la suite exacte (B.1.6) et l’isomorphisme (B.1.7). □

Proposition B.1.2 Soit B un groupe abélien. La suite exacte courte

\xymatrix{Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar@{^{(}->}[r] & Γ̃_{2}^{2}(B) \ar@{->>}[r] & B_{/2B}}  (B.1.19)

induit par dérivation un isomorphisme

L_{2}Γ̃_{2}(B) ≃ _{2}L_{1}Sym^{2}B ≃ Λ^{2}(_{2}B) ,  (B.1.20)

et une suite exacte courte scindée

\xymatrix{_{2}B ⊗ B_{/2B} \ar@{^{(}->}[r] & L_{1}Γ̃_{2}^{2}(B) \ar@{->>}[r] & _{2}B} .  (B.1.21)

Démonstration. L’analyse de la suite exacte longue induite par la suite exacte courte (B.1.19) donne l’isomorphisme et les suites exactes courtes suivantes, pour tout groupe abélien B,

L_{2}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} ≃ L_{2}Γ̃_{2}^{2}(B)  (B.1.22)
\xymatrix{L_{1}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar@{^{(}->}[r] & L_{1}Γ̃_{2}^{2}(B) \ar@{->>}[r] & _{2}B}  (B.1.23)
\xymatrix{Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar@{^{(}->}[r] & Γ̃_{2}^{2}(B) \ar@{->>}[r] & B_{/2B}}  (B.1.24)

Le théorème du coefficient universel et la description de L_{1}Sym^{2}B = S_{2}(B) de 2.2.3 nous permet alors d’avoir l’isomorphisme (B.1.20). Pour montrer que (B.1.23) est scindée, on va montrer que L_{1}Γ̃_{2}(B) ≃ L_{1}Γ_{2}^{2}(B). Considérons le diagramme commutatif suivant où les lignes et les colonnes sont des suites exactes courtes,

[figure: B_{/2B}; F_{2}; Sym_{ℤ_{/2}}B_{/2B}; Q_{2}^{2}(B_{/2B}); B_{/2B}; f; Γ̃_{2}(B); Γ_{2}^{2}(B); B_{/2B}; B_{/2B}]  (B.1.25)

D’après le lemme B.1.1, (B.1.25) induit le diagramme commutatif suivant,

[figure: _{2}B; 0; L_{1}Sym_{ℤ_{/2}}B_{/2B}; ∼; L_{1}Q_{2}^{2}(B_{/2B}); _{2}B; L_{1}f; L_{1}Γ̃_{2}(B); L_{1}Γ_{2}^{2}(B)]  (B.1.26)

Donc L_{1}f = 0, d’où l’isomorphisme L_{1}Γ̃_{2}(B) ≃ L_{1}Γ_{2}^{2}(B). On termine en utilisant la description de Bousfield de L_{1}Γ_{2}^{2}(B) donnée en (B.1.4). □

Dans la propriété suivante, on donne une description des foncteurs dérivés L_{i}^{2}σ_{(1,2)}^{1}.

Proposition B.1.3 Soit B un groupe abélien. La suite exacte courte

\xymatrix{Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar@{^{(}->}[r] & B_{/2B} ⊗_{ℤ_{/2}} Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar@{->>}[r] & ^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) .}

induit par dérivation les suites exactes courtes et l’isomorphisme suivants:

\xymatrix{_{2}B ⊗ Λ_{ℤ_{/2}}^{2}(_{2}B) \ar@{^{(}->}[r] & L_{3}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) \ar@{->>}[r] & Γ_{2}^{2}(_{2}B)} ,  (B.1.27)
L_{2}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) ≃ (_{2}B ⊗ _{2}B ⊗ B_{/2B}) ⊕ (B_{/2B} ⊗ Λ_{ℤ_{/2}}^{2}(_{2}B)) , (B.1.28)

\xymatrix{_{2}B ⊗ B_{/2B} \ar@{^{(}->}[r]^{u} & ( \begin{matrix}_{2}B ⊗ Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \\ ⊕B_{/2B} ⊗ _{2}B ⊗ B_{/2B} \end{matrix} ) \ar@{->>}[r] & L_{1}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B})} , (B.1.29)

(B.1.30)

où u(x ⊗ y) = x ⊗ y^{2} ⊕ y ⊗ x ⊗ x.

On décrira plus précisément le groupe L_{3}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) dans la propriété 3.2.6.

Démonstration. L’étude de la suite exacte longue induite par la suite exacte courte

\xymatrix{B_{/2B} ⊗ B_{/2B} \ar@{^{(}->}[r] & B_{/2B} ⊗ Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar@{->>}[r] & B_{/2B} ⊗ Q_{2}^{2}(B_{/2B})}  (B.1.31)

est donnée d’après (B.1.6) par

\xymatrix{_{2}B ⊗ L_{2}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar@{^{(}->}[r] & _{2}B ⊗ L_{2}Q^{2}(B_{/2B}) \ar@{->>}[r] & _{2}B ⊗ _{2}B}  (B.1.32)

et

\xymatrix{π_{2}(B_{/2B} ⊗^{L} LSym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}) \ar@{^{(}->}[r] & π_{2}(B_{/2B} ⊗^{L} LQ_{2}^{2}(B_{/2B})) \ar[r] & π_{1}(B_{/2B} ⊗^{L} B_{/2B})}

[figure: π_{1}(B_{/2B} ⊗^{L} LSym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}); π_{1}(B_{/2B} ⊗^{L} LQ_{2}^{2}(B_{/2B}))] . (B.1.33)

Cette dernière suite exacte est d’après la proposition 1.2.10 et (B.1.7) la somme des deux suites suivantes

[figure: _{2}B ⊗ L_{1}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}; ≀; ⊕; _{2}B ⊗ L_{1}Q_{2}^{2}(B_{/2B}); 0; ⊕; _{2}B ⊗ B_{/2B}; ⊕; _{2}B ⊗ Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}; ⊕; _{2}B ⊗ Q_{2}^{2}(B_{/2B}); ⊕; B_{/2B} ⊗ L_{2}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}; B_{/2B} ⊗ L_{2}Q_{2}^{2}(B_{/2B}); B_{/2B} ⊗ _{2}B; 0; B_{/2B} ⊗ L_{1}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}; ≀; B_{/2B} ⊗ L_{1}Q_{2}^{2}(B_{/2B})]  (B.1.34)

On va maintenant étudier les applications dérivées induites par les applications de la suite exacte courte

\xymatrix{Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar@{^{(}->}[r] & B_{/2B} ⊗_{ℤ_{/2}} B_{/2B} \ar@{->>}[r] & Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}}  (B.1.35)

Le théorème du coefficient universel nous permet d’écrire le diagramme commutatif suivant où les colonnes sont des suites exactes courtes,

\xymatrix{(L_{1}Λ^{2}B) ⊗ ℤ_{/2} \ar[r] \ar@{^{(}->}[d] & T or(B, B) ⊗ ℤ_{/2} \ar@{^{(}->}[d] \\ L_{1}Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar[r] \ar@{->>}[d] & π_{1}(B_{/2B} ⊗^{L} B_{/2B}) \ar@{->>}[d] \\ _{_{2}Λ^{2}B} \ar[r] & _{_{2}B^{⊗2}}}  (B.1.36)

Si B = ℤ_{/n}, ce diagramme s’écrit

[figure: ℤ_{/n} ⊗ ℤ_{/2}; ℤ_{/n} ⊗ ℤ_{/2}; L_{1}Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}; π_{1}(B_{/2B} ⊗^{L} B_{/2B}); 0; _{_{2}(ℤ_{/n})}]  (B.1.37)

et si A et B sont deux groupes abéliens, l’effet croisé du diagramme (B.1.36) est donné par

\xymatrix{T or(A, B) ⊗ ℤ_{/2} \ar@{^{(}->}[r]^{Δ} \ar@{^{(}->}[d] & T or(A, B) ⊗ ℤ_{/2} ⊕ T or(B, A) ⊗ ℤ_{/2} \ar@{^{(}->}[d] \\ L_{1}Λ_{ℤ_{/2}}^{2}(A|B) \ar@{^{(}->}[r] \ar@{->>}[d] & π_{1}(A_{/2A} ⊗^{L} B_{/2B} ⊕ B_{/2B} ⊗^{L} A_{/2A}) \ar@{->>}[d] \\ _{_{2}(A ⊗ B)} \ar@{^{(}->}[r]^{Δ} & _{2}(A ⊗ B) ⊕ _{2}(B ⊗ A)}  (B.1.38)

L’ application

\xymatrix{L_{1}Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar[r] & π_{1}(B_{/2B} ⊗^{L} B_{/2B}) ≃ (_{2}B ⊗ B_{/2B}) ⊕ (B_{/2B} ⊗ _{2}B)} (B.1.39)

est donc injective quel que soit B. De plus, elle est Σ_{2}-invariante, elle se factorise donc par l’application diagonale,

\xymatrix{ & B_{/2B} ⊗ _{2}B \ar[d]^{Δ} \\ L_{1}Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar[ur] \ar[r] & π_{1}(B_{/2B} ⊗^{L} B_{/2B}) ≃ (_{2}B ⊗ B_{/2B}) ⊕ (B_{/2B} ⊗ _{2}B)}

On montre ainsi, d’après (B.1.34) que l’application composée

\xymatrix{L_{1}Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar@{^{(}->}[r] \ar@{-->}[dr]_{f} & _{2}B ⊗ B_{/2B} ⊕ B_{/2B} ⊗ _{2}B \ar[d]^{(0,ι)} \\  & π_{1}(B_{/2B} ⊗^{L} LSym_{ℤ_{/2}}^{2})}

est injective. On considère maintenant le diagramme commutatif suivant où lignes et colonnes sont des suites exactes courtes,

[figure: Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}; Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}; B_{/2B} ⊗ B_{/2B}; id⊗F_{2}; π; B_{/2B} ⊗ Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}; B_{/2B} ⊗ Q_{2}^{2}(B_{/2B}); Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}; ^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}); B_{/2B} ⊗ Q_{2}^{2}(B_{/2B})]  (B.1.40)

Les colonnes du diagramme induit sur les foncteurs dérivés sont acycliques,

[figure: π_{3}(B_{/2B} ⊗^{L} LSym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}); L_{3}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}); L_{2}Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}; L_{2}Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}; u; π_{2}(B_{/2B} ⊗^{L} B_{/2B}); 0; π_{2}(B_{/2B} ⊗^{L} LSym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}); L_{2}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}; 0; L_{2}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}); v; L_{1}Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}; L_{1}Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}; f; π_{1}(B_{/2B} ⊗^{L} B_{/2B}); π_{1}(B_{/2B} ⊗^{L} LSym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}); L_{1}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}; L_{1}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B})]  (B.1.41)

Ainsi, les applications u et v sont nulles. On a donc les suites exactes courtes et l’isomorphisme suivants,

\xymatrix{π_{3}(B_{/2B} ⊗^{L} LSym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}) \ar@{^{(}->}[r] & L_{3}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) \ar@{->>}[r] & L_{2}Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}} (B.1.42)

L_{2}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) ≃ π_{2}(B_{/2B} ⊗^{L} LSym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B})  (B.1.43)
\xymatrix{L_{1}Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \ar@{^{(}->}[r] & π_{1}(B_{/2B} ⊗^{L} LSym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}) \ar@{->>}[r] & L_{1}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B})} (B.1.44)

La proposition 1.2.10 nous donne les isomorphismes suivants,

π_{3}(B_{/2B} ⊗^{L} LSym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}) ≃ T or(_{2}B, L_{2}Sym^{2}B_{/2B})  (B.1.45)

π_{2}(B_{/2B} ⊗^{L} (LSym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}) ≃ (_{2}B ⊗ L_{1}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}) ⊕ (B_{/2B} ⊗ L_{2}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B})

(B.1.46)

π_{1}(B_{/2B} ⊗^{L} LSym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}) ≃ (_{2}B ⊗ Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B) ⊕ (B_{/2B} ⊗ L_{1}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B})

(B.1.47)

Le théorème du coefficient universel et les descriptions de Ω_{2}(B) = L_{1}Λ^{2}(B) et S_{r}(B) = L_{1}Sym^{2}B de 2.3.3 et 2.2.3 nous donnent les isomorphismes

L_{2}Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B ≃ _{2}L_{1}Λ^{2}B ≃ Γ_{2}^{2}(_{2}B)  (B.1.48)
L_{2}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B ≃ _{2}L_{1}Sym^{2}B ≃ Λ^{2}(_{2}B)  (B.1.49)

Enfin (B.1.3) et (B.1.7) nous donnent

L_{1}Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B ≃ L_{1}Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B ≃ _{2}B ⊗ B_{/2B}  (B.1.50)

On a ainsi les suites exactes (B.1.27), (B.1.29) et l’isomorphisme (B.1.28).□

Appendice C.

C.1 Un modèle pour LT(B,0)

Soient T : Ab → Ab un foncteur et B un groupe abélien. On décrit ici un modèle pour LT (B, 0). On choisit une résolution projective de B,

L. = \xymatrix{0 \ar[r] & L_{1} \ar[r]^{δ} & L_{0} \ar[r] & 0}  (C.1.1)

On dispose alors d’une résolution projective simpliciale P. de B qui s’écrit,

P_{0} = L_{0}

P_{1} = L_{1} ⊕ s_{0}L_{0}

P_{n} = ⨁_{0≤i≤n−1} s_{n−1} … ŝ_{i} … s_{0}L_{1} ⊕ s_{n−1} … s_{0}L_{0}

où pour x_{1}, x_{1}^{(i)} ∈ L_{1} = et y_{0} ∈ L_{0},

d_{0}(x_{1} ⊕ s_{0}y_{0}) = y_{0}
d_{1}(x_{1} ⊕ s_{0}y_{0}) = δ(x_{1}) + y_{0}

et pour n ≥ 1 et 0 < k < n − 1, d_{k}((⨁_{0≤i≤n−1} s_{n−1} … ŝ_{i} … s_{0}x_{1}^{(i)}) ⊕ s_{n−1} … s_{0}y_{0}) =

( ⨁_{0≤i≤k−1} s_{n−1} … ŝ_{i} … s_{0}x_{1}^{(i)}) ⊕ ( ⨁_{k≤i≤n−1} s_{n−1} … ŝ_{i−1} … s_{0}x_{1}^{(i)}) ⊕ s_{n−1} … s_{0}y_{0}

d_{0}((⨁_{0≤i≤n−1} s_{n−1} … ŝ_{i} … s_{0}x_{1}^{(i)}) ⊕ s_{n−1} … s_{0}y_{0}) =

( ⨁_{1≤i≤n−1} s_{n−2} … ŝ_{i} … s_{0}x_{1}^{(i)}) ⊕ s_{n−1} … s_{0}y_{0}

d_{n}((⨁_{0≤i≤n−1} s_{n−1} … ŝ_{i} … s_{0}x_{1}^{(i)}) ⊕ s_{n−1} … s_{0}y_{0}) =

( ⨁_{0≤i≤n−2} s_{n−2} … ŝ_{i} … s_{0}x_{1}^{(i)}) ⊕ s_{n−1} … s_{0}(δ(x_{1}^{(n−1)}) + y_{0})

Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguité, on note ŝ_{i} pour s_{n−1} … ŝ_{i} … s_{0} et on omet s_{n−1} … s_{0}. Si T est un foncteur de Ab dans Ab, on considére le groupe simplicial X. = T (P.)

X_{n} = T ( ⨁_{0≤i≤n−1} ŝ_{i}L_{1} ⊕ L_{0}) .

En utilisant les effets croisés de T, on peut noter

X_{n} = ⨁_{{1≤j≤n−1, \atop α∈Cr\binom{n}{j}}} ( \begin{matrix}T (ŝ_{α(1)−1}L_{1}| … |ŝ_{α(j)−1}L_{1}|L_{0}) \\ ⊕ \\ T (ŝ_{α(1)−1}L_{1}| … |ŝ_{α(j)−1}L_{1})) \end{matrix} ) ⊕ T (L_{0}) .

En quotientant ce complexe par sa partie dégńerée, c’est-à-dire par l’image des dégénerescences s_{i}, on obtient un groupe simplicial \overline{X}. homotopiquement équivalent à X., donné par

\overline{X}_{n} = ⨁_{j=1}^{n−2} ⨁_{0≤i_{1}<···<i_{j}<n−1} ( \begin{matrix}T (ŝ_{i_{1}}L_{1}| … |ŝ_{i_{j}}L_{1}|ŝ_{n−1}L_{1}|L_{0}) \\ ⊕ \\ T (ŝ_{i_{1}}L_{1}| … |ŝ_{i_{j}}L_{1}|ŝ_{n−1}L_{1}) \end{matrix} ) .

Le complexe

(\overline{X}., ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}d_{k})

(voir (1.1.11)) représente alors LT(B,0). Soit T^{∗} l’un des foncteurs Sym^{∗}, Sym_{ℤ_{/p}}^{∗}, Q_{p^{e}}^{∗}, Λ^{∗}, Λ_{ℤ_{/p}}^{∗}, Γ_{∗}, Γ̃_{∗}, Γ_{∗}^{p}. D’après l’expression des effets croisés de T^{r} de la proposition 1.2.8, un modèle de LT^{r}(B, 0) est donné par le complexe

X_{n} = ⨁_{j;(i.);s;(r.)} T^{r_{1}}(ŝ_{i_{1}}L_{1})⊗⋯⊗T^{r_{j}}(ŝ_{i_{j}}L_{1})⊗T^{r_{j+1}}(ŝ_{n−1}L_{1})⊗T^{s}(L_{0}) , (C.1.2)

où la somme se fait sur les conditions suivantes,

• 0 < j ≤ n − 2;

• 0 ≤ i_{1} < ⋯ < i_{j} < n − 1;

• 0 ≤ s < r − (j + 1);

• r. ∈ P \binom{r−s}{j+1}.

On décrit ce complexe en bas degré:

\xymatrix{⋮ \ar[d] \\ \begin{matrix}T (s_{2}s_{1}L_{1}|s_{2}s_{0}L_{1}|s_{1}s_{0}L_{1}|L_{0}) ⊕ T (s_{2}s_{1}L_{1}|s_{2}s_{0}L_{1}|s_{1}s_{0}L_{1}) \\ ⊕T (s_{2}s_{0}L_{1}|s_{1}s_{0}L_{1}|L_{0}) ⊕ T (s_{2}s_{0}L_{1}|s_{1}s_{0}L_{1}) \\ ⊕T (s_{2}s_{1}L_{1}|s_{1}s_{0}L_{1}|L_{0}) ⊕ T (s_{2}s_{1}L_{1}|s_{1}s_{0}L_{1}) \end{matrix} \ar[d] \\ T (s_{1}L_{1}|s_{0}L_{1}|L_{0}) ⊕ T (s_{1}L_{1}|s_{0}L_{1}) \ar[d] \\ T (L_{1}) ⊕ T (L_{1}|s_{0}L_{0}) \ar[d] \\ T (L_{0}) .}  (C.1.3)

C.2 Etude de LΓ_{3}

Dans cette section, on étudie les cobords de la suite exacte longue associée à la suite exacte courte (3.1.10), pour tout groupe abélien libre L,

\xymatrix{Sym^{3}L \ar@{^{(}->}[r] & Γ_{3}(L) \ar@{->>}[r] & (L_{/2L} ⊗ L) ⊕ L_{/3L}} ,  (C.2.1)

où l’application de droite est donnée pour x_{1}, x_{2}, x_{3}, x ∈ L, par

x_{1}x_{2}x_{3} ↦ 0 ,
γ_{2}(x_{1})x_{2} ↦ [x_{1}] ⊗ x_{2} ∈ L_{/2L} ⊗ L ,
γ_{3}(x) ↦ [x] ∈ L_{/3L} .

La suite exacte longue est la suivante,

[figure: S_{3}B; L_{2}Γ_{3}(B); _{2}B ⊗ _{2}B; ∂; L_{1}Sym^{3}B; L_{1}Γ_{3}(B)]

[figure: ( \begin{matrix}(_{2}B ⊗ B_{/2B}) \\ ⊕(B_{/2B} ⊗ _{2}B) \end{matrix} ) ⊕ _{3}B; ∂; Sym^{3}B; Γ_{3}(B); (B_{/2B} ⊗ B) ⊕ B_{/3B}] .

(C.2.2)

Pour étudier les cobords, on utilise le modèle de C.1. La suite (C.2.2) est induite par la suite exacte courte de complexes,

\xymatrix{Sym^{3}P. \ar@{^{(}->}[r] & Γ_{3}(P.) \ar@{->>}[r] & Gr^{3}(P.)}  (C.2.3)

où Gr^{3}(B) = (B_{/2B} ⊗ B) ⊕ B_{/3B}. On peut considérer les complexes du type (C.1.2), la suite (C.2.2) est alors induite par la suite exacte courte de complexes,

\xymatrix{⋮ \ar[d] & ⋮ \ar[d] & ⋮ \ar[d] \\ \begin{matrix}(s_{1}L_{1} ⊗ s_{0}L_{1} ⊗ L_{0}) \\ ⊕(Sym^{2}s_{1}L_{1} ⊗ s_{0}L_{1}) \\ ⊕(s_{1}L_{1} ⊗ Sym^{2}s_{0}L_{1}) \end{matrix} \ar[d] \ar@{^{(}->}[r] & \begin{matrix}(s_{1}L_{1} ⊗ s_{0}L_{1} ⊗ L_{0}) \\ ⊕(Γ_{2}s_{1}L_{1} ⊗ s_{0}L_{1}) \\ ⊕(s_{1}L_{1} ⊗ Γ_{2}s_{0}L_{1}) \end{matrix} \ar@{->>}[r] \ar[d] & \begin{matrix}(s_{1}L_{1/2L_{1}} ⊗ s_{0}L_{1}) \\ ⊕(s_{1}L_{1} ⊗ s_{0}L_{1/2L_{1}}) \end{matrix} \ar[d] \\ \begin{matrix}Sym^{3}L_{1} \\ ⊕(Sym^{2}L_{1} ⊗ s_{0}L_{0}) \\ ⊕(L_{1} ⊗ Sym^{2}s_{0}L_{0}) \end{matrix} \ar[d] \ar@{^{(}->}[r] & \begin{matrix}Γ_{3}L_{1} \\ ⊕(Γ_{2}L_{1} ⊗ s_{0}L_{0}) \\ ⊕(L_{1} ⊗ Γ_{2}s_{0}L_{0}) \end{matrix} \ar@{->>}[r] \ar[d] & \begin{matrix}Gr^{3}(L_{1}) \\ ⊕(L_{1/2L_{1}} ⊗ s_{0}L_{0}) \\ ⊕(L_{1} ⊗ s_{0}L_{0/2L_{0}}) \end{matrix} \ar[d] \\ Sym^{3}(L_{0}) \ar@{^{(}->}[r] & Γ_{3}(L_{0}) \ar@{->>}[r] & Gr^{3}(L_{0}) .}

(C.2.4)

Etude de \xymatrix{_{2}B ⊗ _{2}B \ar[r]^{∂} & L_{1}Sym^{3}B} .

Soient x, y ∈ _{2}B. Notons x_{0} et y_{0} des représentants de x et y dans L_{0} et x_{1}, y_{1} ∈ L_{1} tels que δ(x_{1}) = 2x_{0} et δ(y_{1}) = 2y_{0}. Un générateur x⊗y ∈ _{2}B⊗_{2}B est représenté par le cycle

(s_{1}x_{1} ⊗ s_{0}y_{1}) ⊕ (−s_{1}y_{1} ⊗ s_{0}x_{1}) ∈ (s_{1}L_{1/2L_{1}} ⊗ s_{0}L_{1}) ⊕ (s_{1}L_{1} ⊗ s_{0}L_{1/2L_{1}})

qui provient de

(γ_{2}(s_{1}x_{1})⊗s_{0}y_{1})⊕(−s_{1}y_{1}⊗γ_{2}s_{0}(x_{1}))∈(Γ_{2}(s_{1}L_{1})⊗s_{0}L_{1})⊕(s_{1}L_{1}⊗Γ_{2}(s_{0}L_{1/2L_{1}}))

Le cobord ∂(x ⊗ y) est donc représenté par d((γ_{2}(s_{1}x_{1}) ⊗ s_{0}y_{1}) ⊕ (−s_{1}y_{1} ⊗ γ_{2}(s_{0}x_{1})))

= (γ_{2}(x_{1}) ⊗ 2y_{0}) ⊕ (−y_{1} ⊗ γ_{2}(2x_{0}))
= (x_{1}^{2} ⊗ y_{0}) ⊕ (−2y_{1} ⊗ x_{0}^{2})

or cet élément est également le bord de

−s_{1}x_{1} ⊗s_{0}x_{1} ⊗s_{1}s_{0}y_{0} +s_{1}x_{1} ⊗s_{0}y_{1} ⊗s_{1}s_{0}x_{0} −s_{1}y_{1} ⊗s_{0}x_{1} ⊗s_{1}s_{0}x_{0} ∈ Sym^{3}(P_{2})

Donc l’application

\xymatrix{_{2}B ⊗ _{2}B \ar[r]^{∂} & L_{1}Sym^{3}B}  (C.2.5)

est nulle.

Etude de \xymatrix{_{2}B ⊗ B_{/2B} ⊕ B_{/2B} ⊗ _{2}B \ar[r]^{∂} & Sym^{3}B} .

Soient x ∈ _{2}B et y ∈ B. Notons x_{0} et y_{0} des représentants de x et y dans L_{0} et x_{1} ∈ L_{1} tel que δ(x_{1}) = 2x_{0}. On dispose des deux générateurs suivants,

x_{1} ⊗ s_{0}y_{0} ∈ L_{1/2L_{1}} ⊗ s_{0}L_{0} ,
x_{1} ⊗ s_{0}y_{0} ∈ L_{1} ⊗ s_{0}L_{0/2L_{0}} ,

qui proviennent respectivement de

γ_{2}(x_{1}) ⊗ s_{0}y_{0} ∈ Γ_{2}(L_{1}) ⊗ s_{0}L_{0} ,
x_{1} ⊗ γ_{2}(s_{0}y_{0}) ∈ L_{1} ⊗ Γ_{2}(s_{0}L_{0}) .

On calcule alors

d(γ_{2}(x_{1}) ⊗ s_{0}y_{0}) = γ_{2}(2x_{0})y_{0}
= 2x_{0}^{2}y_{0}
= d(x_{1} ⊗ s_{0}(x_{0}y_{0})) ,

et

d(x_{1} ⊗ γ_{2}(s_{0}y_{0})) = 2x_{0}γ_{2}(y_{0})
= x_{0}y_{0}^{2} .

Donc le cobord est donnée par

\xymatrix{_{2}B ⊗ B_{/2B} ⊕ B_{/2B} ⊗ _{2}B \ar[r]^{0⊕u} & Sym^{3}B}  (C.2.6)

où u(x ⊗ y) = x^{2}y. On montre en évaluant u et ses effets croisés dans les groupes cycliques que u est injective. En effet, si B = ℤ_{/n}, lorsque n est impair, les groupes considérés sont nuls. Si n est pair, u est l’identité

\xymatrix{ℤ_{/2} \ar[r]^{u} & ℤ_{/2}} .

Si A = ℤ_{/n_{1}} et B = ℤ_{/n_{2}} avec n_{1} = 2m_{1} et n_{2} = 2m_{2}, u est la somme des injections

\xymatrix{A_{/2A} ⊗ _{2}B = ℤ_{/2}(1 ⊗ m_{1}) \ar@{^{(}->}[r]^{u_{1}} & Sym^{2}A ⊗ B = ℤ_{/(n_{1},n_{2})}(1^{2} ⊗ 1)}
\xymatrix{B_{/2B} ⊗ _{2}A = ℤ_{/2}(1 ⊗ m_{2}) \ar@{^{(}->}[r]^{u_{2}} & Sym^{2}B ⊗ A = ℤ_{/(n_{1},n_{2})}(1^{2} ⊗ 1)}

où u_{1}(1 ⊗ m_{1}) = m_{1}(1^{2} ⊗ 1) et u_{1}(1 ⊗ m_{2}) = m_{2}(1^{2} ⊗ 1).

Etude de \xymatrix{_{3}B \ar[r]^{∂} & Sym^{3}B} .

Si x ∈ _{3}B, notons x_{0} ∈ L_{0} un représentant de x et x_{1} tel que δ(x_{1}) = 3x_{0}. ∂(x) est alors représenté par

d(γ_{3}(x_{1})) = γ_{3}(3x_{0})
= 3^{2}γ_{2}(x_{0})x_{0} .

Donc ∂(x) = 3^{2}γ_{2}(x)x = 0 dans Sym^{3}B. Ainsi, les suites suivantes sont des suites exactes courtes,

\xymatrix{S_{3}B \ar@{^{(}->}[r] & L_{2}Γ_{3}(B) \ar@{->>}[r] & _{2}B ⊗ _{2}B} ,

\xymatrix{L_{1}Sym^{3}B \ar@{^{(}->}[r] & L_{1}Γ_{3}(B) \ar@{->>}[r] & (_{2}B ⊗ B_{/2B}) ⊕ _{3}B} ,

\xymatrix{B_{/2B} ⊗ _{2}B \ar@{^{(}->}[r]^{∂} & Sym^{3}B \ar[r] & Γ_{3}(B) \ar@{->>}[r] & (B_{/2B} ⊗ B) ⊕ B_{/3B}} .

C.3 Etude de LΓ_{4}

Dans cette section, on étudie complètement la suite spectrale associée à la filtration 3.1.1 de Γ_{4}. Le gradué obtenu sur l’aboutissement est celui décrit dans la proposition 3.1.3. Soit B un groupe abélien. La filtration 3.1.1 de Γ_{4} induit la suite spectrale convergente

E_{i,j}^{1} = L_{i+j}(gr_{i}Γ_{4}(B)) ⇒ L_{i+j}Γ_{4}(B) .  (C.3.1)

D’après la proposition 3.1.2, d^{1} = 0 et E^{2} = E^{1}.

Tableau des E_{i,j}^{2}

j ↑

3 L_{3}Sym^{4}B
2 L_{2}Sym^{4}B 0  0
1 L_{1}Sym^{4}B 0 L_{3}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B})
j =0 Sym^{4}B 0 L_{2}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B})
−1  0  0 L_{1}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B})  _{3}B ⊗ _{3}B
−2  0  0 ^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) \begin{matrix}_{3}B ⊗ B_{/3B} \\ ⊕B_{/3B} ⊗ _{3}B \end{matrix} L_{2}Γ̃_{2}(B)
−3  B_{/3B} ⊗ B  L_{1}Γ̃_{2}(B)
−4  Γ̃_{2}(B)
i=0  1  2  3  4  →^{i}

Calcul de E^{3}. Les résultats de ce calcul seront présentés dans le tableau de la page 138. Soit L un groupe abélien libre, considérons le diagramme commutatif suivant

\xymatrix{Sym^{2}L ⊗ Sym^{2}L \ar@{^{(}->}[r] \ar[d] & Γ_{2}(L) ⊗ Sym^{2}L \ar[d] \ar@{->>}[r] & L_{/2L} ⊗ Sym^{2}L \ar[d] \\ Sym^{4}L \ar@{^{(}->}[r] & F_{2}Γ_{4}(L) \ar@{->>}[r] & ^{2}σ_{(1,2)}^{1}(L_{/2L}) .}  (C.3.2)

Les différentielles d_{2,j−2}^{2} : \xymatrix{L_{j} ^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) \ar[r] & L_{j−1}Sym^{4}B} sont les cobords de la suite exacte longue associée à la suite exacte courte du bas de ce diagramme. Rappelons que le cobord de la suite exacte longue

\xymatrix{L_{1}Sym^{2}B \ar@{^{(}->}[r] & L_{1}Γ_{2}(B) \ar[r] & _{2}B \ar[r]^{∂=0} & Sym^{2}B \ar@{^{(}->}[r] & Γ_{2}(B) \ar@{->>}[r] & B_{/2B}}

(C.3.3) est nul. On a donc les diagrammes commutatifs suivants,

\xymatrix{⋮ \ar[d] & ⋮ \ar[d] & ⋮ \ar[d] \\ L_{s}Γ_{2}(B) ⊗ L_{t}Sym^{2}B \ar[d] \ar[r] & π_{s+t}(LΓ_{2}(B) ⊗^{L} LSym^{2}B) \ar[d] \ar[r] & L_{s+t}F_{2}Γ_{4}(L) \ar[d] \\ π_{s}(B ⊗^{L} ℤ_{/2}) ⊗ L_{t}Sym^{2}B \ar[d]^{0} \ar[r] & π_{s+t}(B_{/2B} ⊗^{L} LSym^{2}B) \ar[d] \ar[r] & L_{s+t}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) \ar[d]^{d^{2}} \\ L_{s}Sym^{2}B ⊗ L_{t}Sym^{2}B \ar[r] \ar[d] & π_{s+t}(LSym^{2}B ⊗^{L} LSym^{2}B) \ar[r] \ar[d] & L_{s+t}Sym^{4}B \ar[d] \\ ⋮ & ⋮ & ⋮}

(C.3.4)

La proposition B.1.3 étudie la suite exacte courte de complexes suivante,

\xymatrix{Λ_{ℤ_{/2}}^{2}(P. ⊗ ℤ_{/2}) \ar@{^{(}->}[r] & (P. ⊗ ℤ_{/2}) ⊗ Sym^{2}P. \ar@{->>}[r] & ^{2}σ_{(1,2)}^{1}(P. ⊗ ℤ_{/2})} (C.3.5)

Si on note F (B) le conoyau de l’application

\xymatrix{_{2}B ⊗ B_{/2B} \ar[r]^{u′} & B_{/2B} ⊗ _{2}Sym^{2}B}  (C.3.6)

définie par u′(x⊗y) = x⊗y^{2}, en utilisant le théorème du coefficient universel et la suite exacte (B.1.29), on a le diagramme commutatif suivant,

[figure: ( \begin{matrix}_{2}B ⊗ Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \\ ⊕B_{/2B} ⊗ S_{2}(B) \end{matrix} ); ( \begin{matrix}_{2}B ⊗ Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \\ ⊕B_{/2B} ⊗ S_{2}(B) \end{matrix} ); _{2}B ⊗ B_{/2B}; u; _{( \begin{matrix}_{2}B ⊗ Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \\ ⊕B_{/2B} ⊗ _{2}B ⊗ B_{/2B} \end{matrix} )}; L_{1}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}); _{2}B ⊗ B_{/2B}; u′; B_{/2B} ⊗ _{2}Sym^{2}B; F (B) .]

(C.3.7)

On dispose alors d’après le diagramme (C.3.4) d’une flèche induite f_{1},

\xymatrix{(_{2}B ⊗ Sym_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B}) ⊕ (B_{/2B} ⊗_{ℤ_{/2}} S_{2}(B)) \ar[d] \ar[dr]^{0} \\ L_{1}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) \ar@{->>}[d] \ar[r]^{d_{2,−1}^{2}} & Sym^{4}B \\ F (B) . \ar[ur]^{f_{1}}}  (C.3.8)

De la même façon, d’après la formule de Künneth et le diagramme (C.3.4), on a les flèches induites f_{2} et g_{2},

\xymatrix{(_{2}B ⊗ L_{1}Sym^{2}B) \ar@{-->}[drr]^{0} \ar@{^{(}->}[d] \\ π_{1}(B_{/2B} ⊗^{L} Sym^{2}B) \ar[r]^{∼} \ar@{->>}[d] & L_{2}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) \ar[r]_{d_{2,0}^{2}} & Sym^{4}B \\ \begin{matrix}T or(_{2}B, Sym^{2}B) \\ ⊕T or(B_{/2B}, L_{1}Sym^{2}B) \end{matrix} \ar@{-->}[urr]_{f_{2}⊕g_{2}} & .}

(C.3.9)

On va donc décrire ces applications f_{1},f_{2} et g_{2}.

Etude de f_{1} : \xymatrix{F (B) \ar[r] & Sym^{4}B} .

F (B) est le conoyau de l’application (C.3.6). C’est donc un quotient de B_{/2B} ⊗ _{2}Sym^{2}B ≃ T or(B_{/2B}, Sym^{2}B). T or(B_{/2B}, Sym^{2}B) est engendré par les symboles τ_{2}(x, yz)), avec x ∈ B_{/2B} et yz ∈ _{2}Sym^{2}B. L’application

\xymatrix{_{2}B ⊗ B_{/2B} \ar[r] & _{2}Sym^{2}B}

est surjective. On peut donc supposer y ∈ _{2}B et z ∈ B. On définit des représentants x_{0}, y_{0} et z_{0} ∈ L_{0} et y_{1} ∈ L_{1} tel que δ(y_{1}) = 2y_{0}. En utilisant un section de la suite exacte courte de Künneth, on montre que τ_{2}(x, yz) est

représenté dans π_{1}(B_{/2B} ⊗^{L} Sym^{2}B) par le cycle

x_{0} ⊗ y_{1} ⊗ z_{0} ∈ L_{0/2L_{0}} ⊗ Sym^{2}(L_{0}|L_{1}) .

Ce cycle provient de l’élément

γ_{2}(x_{0}) ⊗ y_{1} ⊗ z_{0} ∈ F_{2}Γ_{4}(P_{1}) .

Ainsi, f_{1}([τ_{2}(x, yz)]) est représenté dans Sym^{4}P_{0} par

d(γ_{2}(x_{0}) ⊗ y_{1} ⊗ z_{0}) = x_{0}^{2}y_{0}z_{0} .

C’est-à-dire que f_{1}([τ_{2}(x, yz)]) = x^{2}yz. Comme dans F (B), les éléments [τ_{2}(x, y^{2})] sont nuls, l’application f_{1} est injective. Ainsi, d’après la proposition B.1.3,

E_{2,−1}^{3} ≃ Im(B_{/2B} ⊗_{ℤ_{/2}} S_{2}(B) ⊕ _{2}B ⊗_{ℤ_{/2}} Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} → L_{1}^{2}σ_{(1,2)}^{1})
≃ B_{/2B} ⊗_{ℤ_{/2}} S_{2}(B) ⊕ _{2}B ⊗_{ℤ_{/2}} Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} ,
E_{0,0}^{3} = Sym^{4}B/R_{1} ,

où R_{1} est engendré par les éléments

x^{2}yz, x ∈ B, yz ∈ _{2}Sym^{2}B, y ≠ z .

Etude de f_{2} : \xymatrix{T or(_{2}B, Sym^{2}B) \ar[r] & L_{1}Sym^{4}B} .

T or(_{2}B, Sym^{2}B) est engendré par les symboles τ_{2}(x, yz), où x ∈ _{2}B et yz ∈ 2Sym^{2}B. Supposons y ∈ _{2}B et z ∈ B. On pose x_{0}, y_{0}, z_{0} des représentants de x, y, z dans L_{0} et x_{1}, y_{1} dans L_{1} tels que δ(x_{1}) = 2x_{0} et δ(y_{1}) = 2y_{0}. En utilisant une section de la suite exacte courte de Künneth, on montre

que τ_{2}(x, yz) est représenté dans π_{2}(B_{/2B} ⊗^{L} Sym^{2}B) ≃ L_{2}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) par le

cycle

\begin{matrix}s_{0}x_{1} ⊗ s_{1}y_{1} ⊗ z_{0} \\ −s_{1}x_{1} ⊗ s_{0}y_{1} ⊗ z_{0} \end{matrix} ∈ \begin{matrix}s_{0}L_{1/2L_{1}} ⊗ Sym^{2}(s_{1}L_{1}|s_{1}s_{0}L_{0}) \\ ⊕s_{1}L_{1/2L_{1}} ⊗ Sym^{2}(s_{0}L_{1}|s_{1}s_{0}L_{0}) \end{matrix} ⊂ (P_{2/2P_{2}}⊗Sym^{2}P_{2}).

En considérant la construction (C.1.3), on voit que f_{2}(τ_{2}(x, yz)) est représenté dans Sym^{4}(P_{1}) par

d(γ_{2}(s_{0}x_{1}) ⊗ s_{1}y_{1} ⊗ z_{0} − s_{1}γ_{2}(x_{1}) ⊗ s_{0}y_{1} ⊗ z_{0}) = 2y_{1} ⊗ x_{0}^{2}z_{0} − x_{1}^{2} ⊗ y_{0}z_{0}

or 2y_{1} ⊗ x_{0}^{2}z_{0} + x_{1}^{2} ⊗ y_{0}z_{0} est le bord de

s_{1}y_{1} ⊗ s_{0}x_{1} ⊗ x_{0}z_{0} − s_{1}x_{1} ⊗ s_{0}y_{1} ⊗ x_{0}z_{0} + s_{1}x_{1} ⊗ s_{0}x_{1} ⊗ y_{0}z_{0} ∈ Sym^{4}P_{2} .

donc f_{2}(τ_{2}(x, yz)) = 0 dans L_{1}Sym^{4}B.

Etude de g_{2} : \xymatrix{T or(B_{/2B}, L_{1}Sym^{2}B) \ar[r] & L_{1}Sym^{4}B} .

T or(B_{/2B}, L_{1}Sym^{2}B) est engendré par les symboles τ_{2}(x, β_{2}(y, z)) avec x ∈ B_{/2B} et y, z ∈ _{2}B. On définit des représentants x_{0}, y_{0} et z_{0} ∈ L_{0} et y_{1}, z_{1} ∈ L_{1} tels que δ(y_{1}) = 2y_{0} et δ(z_{1}) = 2z_{0}. τ_{2}(x, β_{2}(y, z)) est représenté

dans π_{2}(B_{/2B} ⊗^{L} Sym^{2}B) par le cycle

s_{1}y_{1} ⊗ s_{0}z_{1} ⊗ x_{0} − s_{1}z_{1} ⊗ s_{0}y_{1} ⊗ x_{0} ∈ Sym^{2}(s_{1}L_{1}|s_{0}L_{1}) ⊗ s_{1}s_{0}L_{0/2L_{0}} .

Ainsi, g_{2}(τ_{2}(x, β_{2}(y, z))) est représenté dans Sym^{4}P_{1} par

d(s_{1}y_{1} ⊗ s_{0}z_{1} ⊗ γ_{2}(x_{0}) − s_{1}z_{1} ⊗ s_{0}y_{1} ⊗ γ_{2}(x_{0})) = y_{1} ⊗ z_{0}x_{0}^{2} − z_{1} ⊗ y_{0}x_{0}^{2} .

Or d’après la section 2.2, c’est le représentant de

β_{2}(y, z) ⊗ x^{2} ∈ S_{2}(B)˜⊗B ≃ L_{1}Sym^{4}B ,

donc l’application g_{2} est donnée par

g_{2}(τ_{2}(x, β_{2}(y, z))) = β_{2}(y, z) ⊗ x^{2} .

En évaluant cette application et ses effets croisés dans les groupes cycliques, on montre qu’elle est injective. En effet, si B = ℤ_{/n}, L_{1}Sym^{2}B = 0 d’après (1.2.30), donc T or(B_{/2B}, L_{1}Sym^{2}B) = 0. Soit A = ℤ_{/n_{1}} et B = ℤ_{n_{2}}, si n_{1} ou n_{2} est impair, les groupes considérés sont nuls. Si n_{1} et n_{2} sont pairs, l’effet croisé en A et B de L_{1}Sym^{4} est

L_{1}Sym^{4}(A|B) = ⨁_{i+j=4;i,j>0} π_{1}(LSym^{i}A ⊗^{L} LSym^{j}B) .

Donc d’après (1.2.30) et la formule de Künneth

L_{1}Sym^{4}(A|B) = ⨁_{i+j=4;i,j>0} T or(Sym^{i}A, Sym^{j}B) .

De la même façon, l’effet croisé de la source est

\begin{matrix}T or(A_{/2A}, L_{1}Sym^{2}B) ⊕ T or(B_{/2B}, L_{1}Sym^{2}A) \\ ⊕T or(A_{/2A}, A, B) ⊕ T or(B_{/2B}, A, B) \end{matrix} ≃ \begin{matrix}T or(A_{/2A}, A, B) \\ ⊕T or(B_{/2B}, A, B) \end{matrix}

L’effet croisé de l’application g_{2} est alors donné par l’application composée des applications injectives suivantes

\xymatrix{\begin{matrix}T or(A_{/2A}, A, B) \\ ⊕T or(B_{/2B}, A, B) \end{matrix} \ar@{^{(}->}[r] & \begin{matrix}T or(Sym^{3}A, B) \\ ⊕T or(A, Sym^{3}, B) \end{matrix} \ar@{^{(}->}[d]^{ι} \\  & ⨁_{i+j=4;i,j>0} T or(Sym^{i}A, Sym^{j}B) .}  (C.3.10)

Enfin, Si A = ℤ_{/n_{1}} et B = ℤ_{/n_{2}} et C = ℤ_{/n_{3}}, l’effet croisé en A, B et C de l’application est donné par la somme des applications

\xymatrix{T or(A_{/2A}, B, C) \ar@{^{(}->}[r] & T or(B, C) ⊗ Sym^{2}A \ar@{^{(}->}[r] & T rip(Sym^{2}A, B, C)}
\xymatrix{T or(B_{/2B}, A, C) \ar@{^{(}->}[r] & T or(A, C) ⊗ Sym^{2}B \ar@{^{(}->}[r] & T rip(A, Sym^{2}B, C)}

\xymatrix{T or(C_{/2C}, A, B) \ar@{^{(}->}[r] & T or(A, B) ⊗ Sym^{2}C \ar@{^{(}->}[r] & T rip(A, B, Sym^{2}C)} .

Ainsi, g_{2} est injective.

Etude de d_{2,1}^{2} : \xymatrix{L_{3}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) \ar[r] & L_{2}Sym^{4}B} .

L’étude de la suite exacte (C.3.5) et le modèle (C.1.3) permettent de décrire explicitement les générateurs de L_{3}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B}) qui sont de la forme

( \begin{matrix}s_{2}s_{1}x_{1} ⊗ (s_{2}s_{0}x_{1} ⊗ s_{1}s_{0}x_{1}) \\ ⊕s_{2}s_{0}x_{1} ⊗ (s_{2}s_{1}x_{1} ⊗ s_{1}s_{0}x_{1}) \\ ⊕s_{1}s_{0}x_{1} ⊗ (s_{2}s_{1}x_{1} ⊗ s_{2}s_{0}x_{1}) \end{matrix} )∈ \begin{matrix}s_{2}s_{1}L_{1/2L_{1}} ⊗ Sym^{2}(s_{2}s_{0}L_{1}|s_{1}s_{0}x_{1}) \\ ⊕s_{2}s_{0}L_{1/2L_{1}} ⊗ Sym^{2}(s_{2}s_{1}x_{1}|s_{1}s_{0}x_{1}) \\ ⊕s_{1}s_{0}L_{1/2L_{1}} ⊗ Sym^{2}(s_{2}s_{1}x_{1}|s_{2}s_{0}x_{1}) \end{matrix}

( \begin{matrix}s_{1}s_{0}x_{1} ⊗ (s_{2}s_{1}y_{1} ⊗ s_{2}s_{0}z_{1}) \\ −s_{1}s_{0}x_{1} ⊗ (s_{2}s_{1}z_{1} ⊗ s_{2}s_{0}x_{1}) \end{matrix} )∈s_{1}s_{0}L_{1/2L_{1}} ⊗ Sym^{2}(s_{2}s_{1}x_{1}|s_{2}s_{0}x_{1})

où x_{1}, y_{1}, z_{1} ∈ L_{1} tels que δ(x_{1}) = 2x_{0}, δ(y_{1}) = 2y_{0} et δ(z_{1}) = 2z_{0}. Le calcul nous permet alors d’affirmer que la différentielle d_{2,1}^{2} est nulle. En effet,

d ( \begin{matrix}s_{2}s_{1}γ_{2}(x_{1}) ⊗ (s_{2}s_{0}x_{1} ⊗ s_{1}s_{0}x_{1}) \\ ⊕s_{2}s_{0}γ_{2}(x_{1}) ⊗ (s_{2}s_{1}x_{1} ⊗ s_{1}s_{0}x_{1}) \\ ⊕s_{1}s_{0}γ_{2}(x_{1}) ⊗ (s_{2}s_{1}x_{1} ⊗ s_{2}s_{0}x_{1}) \end{matrix} )= d(s_{2}s_{1}x_{1}^{2} ⊗ s_{2}s_{0}x_{1} ⊗ s_{1}s_{0}x_{1} ⊗ x_{0}) ,

et

d ( \begin{matrix}s_{1}s_{0}x_{1} ⊗ (s_{2}s_{1}y_{1} ⊗ s_{2}s_{0}z_{1}) \\ −s_{1}s_{0}x_{1} ⊗ (s_{2}s_{1}z_{1} ⊗ s_{2}s_{0}x_{1}) \end{matrix} ) =

d(∑_{σ}sgn(σ)s_{2}s_{1}α_{σ(1)}^{1} ⊗s_{2}s_{0}α_{σ(2)}^{1} ⊗s_{1}s_{0}α_{σ(3)}^{1} ⊗α_{σ(4)}^{0} −∑_{ρ}sgn(ρ)β_{ρ(1)} ⊗β_{ρ(2)} ⊗β_{ρ(3)})

où σ ∈ Σ_{4} telle que σ^{−1}(1) < σ^{−1}(2), ρ ∈ Σ_{3} telle que ρ^{−1}(1) ∈ {1, 2}, pour i ∈ {0, 1}, α_{1}^{i} = α_{2}^{i} = x_{i}, α_{3}^{i} = y_{i}, α_{4}^{i} = z_{i}; et β_{1} = γ_{2}(x_{1}), β_{2} = y_{1} et β_{3} = z_{1}.

Etude des différentielles d_{4,−2}^{2} et d_{4,−3}^{2}. On rappelle les isomorphismes suivants (propriété B.1.2),

L_{2}Γ̃_{2}^{2}(B) ≃ Λ^{2}(_{2}B) ,  (C.3.11)
L_{1}Γ̃_{2}^{2}(B) ≃ (_{2}B ⊗_{ℤ_{/2}} B_{/2B}) ⊕ _{2}B .  (C.3.12)

En utilisant le modèle (C.1.3),

\xymatrix{… \ar[r] & s_{1}L_{1/2L_{1}} ⊗ s_{0}L_{1/2L_{1}} \ar[r] & Γ̃_{2}(L_{1}) ⊕ L_{1/2L_{1}} ⊗ s_{0}L_{0/2L_{0}} \ar[r] & Γ̃_{2}(L_{0})} ,

on montre que les générateurs x ∧ y ∈ Λ^{2}(_{2}B), x′ ⊗ y′ ∈ _{2}B ⊗_{ℤ_{/2}} B_{/2B} et z ∈ _{2}B sont représentés respectivement par

s_{1}x_{1} ⊗ s_{0}y_{1} − s_{1}y_{1} ⊗ s_{0}x_{1} ∈ s_{1}L_{1/2L_{1}} ⊗ s_{0}L_{1/2L_{1}} ,  (C.3.13)
x′_{1} ⊗ s_{0}y′_{0} ∈ L_{1/2L_{1}} ⊗ s_{0}L_{0/2L_{0}} ,  (C.3.14)
γ_{2}(z_{1}) ∈ Γ̃_{2}(L_{1}) .  (C.3.15)

Ces éléments proviennent respectivement dans Γ_{4}(P.) des éléments suivants,

γ_{2}(s_{1}x_{1}) ⊗ γ_{2}(s_{0}y_{1}) − γ_{2}(s_{1}y_{1}) ⊗ γ_{2}(s_{0}x_{1}) ∈ Γ_{4}(s_{1}L_{1/2L_{1}}|s_{0}L_{1/2L_{1}}) ,
γ_{2}(x′_{1}) ⊗ γ_{2}(s_{0}y′_{0}) ∈ Γ_{4}(L_{1/2L_{1}}|s_{0}L_{0/2L_{0}}) ,
γ_{4}(z_{1}) ∈ Γ_{4}(L_{1}) .

d_{4,−2}^{2}(x ∧ y) est représenté dans F_{2}Γ_{4}(P_{1}) par d(γ_{2}(s_{1}x_{1}) ⊗ γ_{2}(s_{0}y_{1}) − γ_{2}(s_{1}y_{1}) ⊗ γ_{2}(s_{0}x_{1}))

\begin{aligned}= & γ_{2}(x_{1}) ⊗ s_{0}γ_{2}(2y_{0}) − γ_{2}(x_{1})γ_{2}(y_{1}) − γ_{2}(y_{1}) ⊗ s_{0}γ_{2}(2x_{1}) \\ & +γ_{2}(y_{1})γ_{2}(x_{1}) \\ = & 4γ_{2}(x_{1}) ⊗ s_{0}γ_{2}(y_{0}) − 4γ_{2}(y_{1}) ⊗ s_{0}γ_{2}(x_{1}) \\ = & x_{1}^{2} ⊗ s_{0}y_{0}^{2} − y_{1}^{2} ⊗ s_{0}x_{1}^{2} . \end{aligned} (C.3.16)

Or c’est le bord

d(s_{1}y_{1} ⊗ s_{0}y_{1} ⊗ x_{0}^{2} − s_{1}y_{1} ⊗ s_{0}x_{1} ⊗ x_{0}y_{0} + s_{1}x_{1} ⊗ s_{0}y_{1} ⊗ x_{0}y_{0} − s_{1}x_{1} ⊗ s_{0}x_{1} ⊗ y_{0}^{2})

Ainsi, d_{4,−2}^{2}(x ∧ y) = 0. La différentielle d_{4,−3}^{2} est induite par le cobord de la longue suite exacte

\xymatrix{… \ar[r] & L_{1}Γ_{4}(B) \ar[r] & L_{1}Γ̃_{2}(B) \ar[r]^{∂} & F_{3}Γ_{4}(B) \ar[r] & …}

Ainsi, ∂(x′ ⊗ y′) est représenté dans F_{3}Γ_{4}(P_{0}) par

\begin{aligned}d(γ_{2}(x′_{1}) ⊗ γ_{2}(s_{0}y′_{0})) & = & γ_{2}(2x′_{0})γ_{2}(y′_{0}) \\ & = & (x′_{0})^{2}(y′_{0})^{2} . \end{aligned}  (C.3.17)

Donc ∂(x′ ⊗ y′) = x^{2}y^{2} dans F_{3}Γ_{4}(B). Enfin, ∂(z) est représenté dans F_{3}Γ_{4}(P_{0})

\begin{matrix}= & d(γ_{4}(z_{1})) \\ = & γ_{4}(2z_{0}) \\ = & 4γ_{3}(z_{0})z_{0} . \end{matrix}  (C.3.18)

Donc ∂(z) = 4γ_{3}(z)z ∈ F_{3}Γ_{4}(B) or 2z = 0 donc ∂(z) = 0. La différentielle

\xymatrix{L_{1}Γ̃_{2}^{2}(B) \ar[r]^{d_{4,−3}^{2}} & σ_{(1,2)}^{1}(B)}

est donc nulle. Ainsi, les différentielles d^{i} dont la source est L_{1}Γ̃_{2}(B) sont nulles.

Tableau des E_{i,j}^{3}

j ↑

3  L_{3}Sym^{4}B
2  L_{2}Sym^{4}B 0  0
1 L_{1}Sym^{4}B/R_{2} 0 L_{3}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B})
j =0 Sym^{4}B/R_{1} 0 _{2}B ⊗ _{2}B ⊗ B_{/2B}
−1  0  0 \begin{matrix}B_{/2B} ⊗ S_{2}(B) \\ ⊕_{2}B ⊗ Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \end{matrix}  _{3}B ⊗ _{3}B
−2  0  0  ^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B})  \begin{matrix}_{3}B ⊗ B_{/3B} \\ ⊕B_{/3B} ⊗ _{3}B \end{matrix} L_{2}Γ̃_{2}(B)
−3  B_{/3B} ⊗ B  L_{1}Γ̃_{2}(B)
−4  Γ̃_{2}(B)
i = 0  1  2  3  4 →^{i}

où

R_{1} =< x^{2}yz, x ∈ B, yz ∈ _{2}B, y ≠ z > ,
R_{2} =< β_{2}(x, y) ⊗ z^{2}, x, y ∈ _{2}B, z ∈ B > .

On observe en particulier que seule les colonnes i = 0 et i = 2 sont modifiées lorsque l’on passe de E^{2} à E^{3}.

Calcul de E^{4} et E^{5}.

Etude des différentielles d_{3,−1}^{3} et d_{3,−2}^{3}. Par un calcul explicite similaire à celui effectué lors de l’étude des cobords (C.2.5) et (C.2.6),

\xymatrix{_{2}B ⊗ _{2}B \ar[r]^{∂} & L_{1}Sym^{3}B} ,

\xymatrix{_{2}B ⊗ B_{/2B} ⊕ B_{/2B} ⊗ _{2}B \ar[r]^{∂} & Sym^{3}B} ,

de la section précédente, on montre que la différentielle

\xymatrix{_{3}B ⊗ _{3}B \ar[r]^{d_{3,−1}^{3}} & L_{1}Sym^{4}B}

est nulle et que la première composante de

\xymatrix{_{3}B ⊗ B_{/3B} ⊕ B_{/3B} ⊗ _{3}B \ar[r]^{d_{3,−2}^{3}} & Sym^{3}B}

est nulle et si x ⊗ y ∈ B_{/3B} ⊗ _{3}B, d_{3,−2}^{3}(x ⊗ y) = x^{3}y. Puisque toutes les autres différentielles sont nulles, E^{4} ne diffère de E^{3} que pour E_{0,0}^{4} et E_{3,−2}^{4}.

Etude de d_{4,−2}^{4} et d_{4,−3}^{4}. Ce sont les seules différentielles éventuellement non nulles de E^{4}. D’après les calculs de d_{4,−2}^{2} et d_{4,−3}^{2}, faits en (C.3.16)-(C.3.18), on a d_{4,−2}^{4} = 0 et si x ⊗ y ∈ et z ∈ _{2}B,

d_{4,−3}^{4}(x ⊗ y) = x^{2}y^{2} ,
d_{4,−3}^{4}(z) = 0 .

On voit donc que la première composante de d_{4,−3}^{4} est l’application composée

\xymatrix{_{2}B ⊗ B_{/2B} \ar[r] & _{2}Sym^{2}B \ar[r]^{v} & _{2}Sym^{4}B}

où l’application de droite donnée par v(xy) = x^{2}y^{2} est injective. Donc d’après lŠexactitude de la suite (B.1.3), kerd_{4,−3}^{4} = S_{2}(B) ⊗ ℤ_{/2}. On a enfin E^{5} = E^{∞} = gr_{i}L_{i+j}Γ_{4}(B).

Tableau des E_{i,j}^{∞}

j ↑

3  L_{3}Sym^{4}B
2  L_{2}Sym^{4}B 0  0
1 L_{1}Sym^{4}B/R_{2} 0 L_{3}^{2}σ_{(1,2)}^{1}(B_{/2B})
j=0 Sym^{4}B/R′_{1} 0 _{2}B ⊗ _{2}B ⊗ B_{/2B}
−1  0  0 \begin{matrix}B_{/2B} ⊗ S_{2}(B) \\ ⊕_{2}B ⊗ Λ_{ℤ_{/2}}^{2}B_{/2B} \end{matrix}  _{3}B ⊗ _{3}B
−2  0  0  ^{2}σ_{(1,2)}^{1}B_{/2B}  _{3}B ⊗ B_{/3B}  L_{2}Γ̃_{2}(B)
−3  B_{/3B} ⊗ B \begin{matrix}S_{2}(B) ⊗ ℤ_{/2} \\ ⊕_{2}B \end{matrix}
−4  Γ̃_{2}(B)
i = 0  1  2  3  4 →^{i}

où

R′_{1} =< x^{2}yz, x ∈ B, yz ∈ _{2}Sym^{2}B; x^{3}y, x ∈ B, y ∈ _{3}B >
R_{2} =< β_{2}(x, y) ⊗ z^{2}, x, y ∈ _{2}B, z ∈ B >

En considérant les termes de degrés total i + j = k de ce tableau, on obtient les termes du gradué de L_{i+j}Γ_{4}(B) décrits dans la proposition 3.1.3.

Références

[1] H.J. Baues, Quadratic functors and metastable homotopy, J.P.A.A. 91 (1994) 49-107.

[2] A.K. Bousfield, Homogeneous Functors and their Derived Functors, Preprint.

[3] A.K. Bousfield, Operations on Derived Functors of Non-additive Functors, Preprint.

[4] L. Breen, Fonctions thêta et théorème du cube, Lecture Notes in Math., 980, Springer, 1983.

[5] L. Breen, On the functorial homology of abelian groups, J.P.P.A. 142 (1999) 199-237.

[6] H. Cartan, Algèbres d’Eilenberg-MacLane et homotopie, Séminaire H. Cartan, 7 (1954-1955), Paris.

[7] H. Cartan & S. Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press, Princeton,N.J. 1956.

[8] G. Decker, The integral homology algebra of an Eilenberg-Mac Lane space Ph. D. Thesis, University of Chicago, 1974, under the direction of Saunders Mac Lane. http://www.maths.abdn.ac.uk/ bensondj/html/archive/decker.html

[9] J.R. Dennett, A functorial description of π_{q}L^{2}K(Π, n), Quart. J. Math. Oxford (2) 20 (1969) 59-64.

[10] A. Dold & D. Puppe, Homologie nicht-additiver Funktoren, Anwendungen, Ann. Inst. Fourier 11 (1961) 201-312.

[11] S. Eilenberg & S. MacLane, On the groups H(π, n),II, Ann. of Math. 70 (1954) 49-139.

[12] V. Franjou, Lettre à L. Breen, Mars 1996.

[13] V. Franjou, J. Lannes & L. Schwartz, Autour de l’homologie de MacLane des corps finis, Invent. math. 115, (1994) 513-538.

[14] S.I. Gelfand & Yu. I Manin, Methods of Homological Algebra, Springer, 1991.

[15] R. M. Hamsher, Eilenberg-MacLane algebras and their computation, an invariant description of H(π, 1) Ph. D. Thesis, University of Chicago, 1973, under the direction of Saunders Mac Lane. http://www.maths.abdn.ac.uk/ bensondj/html/archive/hamsher.html

[16] L. Illusie, Complexe Cotangent et Déformation I, Lect. Notes in Math 239.

[17] S. Mac Lane, Triple torsion product and multiple Künneth formulas, Math. Ann. 140, (1960) 51-64.

[18] S. Mac Lane, Decker’s sharper Künneth formula, Categorical algebra and its applications (Louvain-La-Neuve, 1987), 242–256, Lecture Notes in Math., 1348, Springer, Berlin, 1988.

[19] D. Simson, Stabled derived functors of the second symmetric power functor, second exterior power functor and Whitehead Gamma functor, Colloquium Mathematicum XXXII (1974) 49-55.

Errata pour la thèse de Frédéric Jean (mai 2009):

Foncteurs dérivés de l’algèbre symétrique: Application au calcul de certains groupes d’homologie fonctorielle

des espaces K(B, n)

- p. 24, ligne 9:

d_{i}(X ⊗ (b_{1} ∧ ⋯ ∧ b_{i})) = ∑_{k=1}^{i}(−1)^{k} b_{k}X ⊗ (b_{1} ∧ … b̂_{k} ⋯ ∧ b_{i}) ,

-p. 25, formule (1.2.35):

\xymatrix{C^{r}(L) \ar[r] & C^{i}(L) ⊗ C^{r−i}(L) \ar[r] & C^{r}(L)}

-p. 25, formule (1.2.36):

H_{∗}(C^{p}(L_{1}|L_{2})) ≃ ⨁_{i+j=p i,j>0} H_{∗}(C^{i}(L_{1}) ⊗ C^{j}(L_{2}))

-p.26: l. 15:

γ_{i_{1}}(x_{1}) … γ_{i_{s}}(x_{s})x_{s+1} = 0, avec (i_{1} + ⋯ + i_{s}) = r − 1. -p. 26, l. -7: Si p|r avec p premier ... -p. 31, l. -7: ... pour tout ν ∈ Sh\binom{r}{i+2} et x_{j} ∈ B: -p. 34, l -3: ... proposition ... -p. 39, l.8-9:

L_{i} ⊗^{r} (ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) ≃ ⨁_{(r.)∈P \binom{r}{k}} ⨁_{α∈J_{r_{1},...,r_{k}}}π_{i}(ℤ_{/n_{α(1)}} ⊗^{L} … ⊗^{L} ℤ_{/n_{α(r)}})  ,

L_{i}Sym^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) ≃ ⨁_{(r.)∈P \binom{r}{k}} π_{i}(LSym^{r_{1}}ℤ_{/n_{1}} ⊗^{L} … ⊗^{L} LSym^{r_{k}}ℤ_{/n_{k}}) .

-p. 43, l. 2-3: ... les éléments suivants, pour hx_{1} = ⋯ = hx_{i+2} = 0,

-p. 43, l. -2: g([∑_{k=1}^{i+2}(−1)^{k}τ_{h}(x_{1}, …, x̂_{k}, …, x_{i+2}) ⊗ x_{k}y_{1} … y_{r−i−2}]) =

-p. 49, formule (2.3.3):

L_{i}Λ^{r}(ℤ_{/n_{1}}| … |ℤ_{/n_{k}}) ≃ ⨁_{(r.)∈P \binom{r}{k}} π_{i}(LΛ^{r_{1}}ℤ_{/n_{1}} ⊗^{L} … ⊗^{L} LΛ^{r_{k}}ℤ_{/n_{k}}) .

-p. 53, l. 7 de la définition 2.3.4: ... , pour 1 ≤ j ≤ i + 1, ∑_{k=1}^{j} i_{k} = i + 2 et hx_{1} = ⋯ = hx_{j} = 0 ... -p. 53, ligne 1 de l’énoncé du théorème 2.3.5: Soient i, r deux entiers tels que 0 ≤ i < r. ... -p. 69, formule (2.5.8):

(L_{(n+1)r−1} ⊗^{r} (B, n))_{Σ_{r}} ≃ (L_{r−1} ⊗^{r} (B, 0))_{Σ_{r}} si n est impair,
(L_{(n+1)r−1} ⊗^{r} (B, n))^{Σ_{r}^{ϵ}} ≃ (L_{r−1} ⊗^{r} (B, 0))^{Σ_{r}^{ϵ}} si n est pair,

-p. 76, l. 5:

\xymatrix{Λ_{ℤ_{/2}}^{2}L_{/2L} \ar@{^{(}->}[r]^{u} & L_{/2L} ⊗_{ℤ_{/2}} Sym_{ℤ_{/2}}^{2}L_{/2L} \ar@{->>}[r] & gr_{2}Γ_{4}(L)}

-p. 127. Remplacer le haut de la page par: Un complexe plus économique en bas degré est le suivant (voir [3] lemme 3.6):

⋮

T (s_{2}s_{1}L_{1}|s_{2}s_{0}L_{1}|s_{1}s_{0}L_{1}|L_{0}) ⊕ T (s_{2}s_{1}L_{1}|s_{2}s_{0}L_{1}|s_{1}s_{0}L_{1})
T (s_{1}L_{1}|s_{0}L_{1}|L_{0}) ⊕ T (s_{1}L_{1}|s_{0}L_{1})
T (L_{1}) ⊕ T (L_{1}|s_{0}L_{0})

T (L_{0}) .