Algèbre/Algebra

Une approche homologique aux quotients et sous-groupes de Fox

Manfred Hartl

Résumé. Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et I(G) l’idéal d’augmentation de l’anneau de groupe ZZ(G). Si H est libre ou est un facteur semidirect de G, les quotients de Fox Q_{n}(G, H) = I^{n−1}(G)I(H)/I^{n}(G)I(H) sont calculés pour tout n > 1, dans le deuxième cas en terme de produits tensoriels des quotients de filtration de H et le facteur complémentaire. Un lien entre les sousgroupes de Fox F_{n}(G, H) = G ∩ (1 + I^{n}(G)I(H)) et l’homologie de H est établi et exploité dans le cas où H est libre.

A homological approach to Fox quotients and Fox subgroups

Abstract. Let G be a group, H a subgroup of G and I(G) the augmentation ideal of the group ring ZZ(G). If H is free or is a semidirect factor of G, then the Fox quotients Q_{n}(G, H) = I^{n−1}(G)I(H)/I^{n}(G)I(H) are computed for all n > 1, in the latter case in terms of certain tensor products of filtration quotients of H and of the complementary subgroup. A link between the Fox subgroups F_{n}(G, H) = G∩(1+I^{n}(G)I(H)) and the homology of H is etablished and exploited in the case that H is free.

Abridged English version. Adopting the notation of the abstract, let J be a left ideal of I(H) and consider the generalized Fox quotient I^{n−1}(G)J/I^{n}(G)J. For its calculation, it is useful to regard it as a subgroup of I(G)J/I^{n}(G)J which we may call the “Fox polynomial construction”, in analogy with the classical polynomial construction P_{n}(G) = I(G)/I^{n+1}(G) of Passi, cf. [21]. In [6] we developed a homological approach to study the group I(G)J/I^{n}(G)J in terms of P_{n}(G) and P_{n}(H); as a first application, I(G)J/I^{2}(G)J was determined in terms of G/G_{2} and J/I(H)J, where G = G_{1} ⊃ G_{2} ⊃ … denotes the lower central series of G. Extending these methods we provide in 2.2 below an exact sequence for I(G)I(H)/I^{n}(G)I(H); the idea is to compare the ‘internal’ ring product I(G)I(H) to the ‘external’ tensor product I(G)/I(H) ⊗_{H} I(H) of I(H) with its ‘complement’ I(G)/I(H). This provides an effective tool for computing Fox quotients in terms of tensor and torsion products of certain subquotients of I(G) and I(H), as is demonstrated in section 3.

Here we solve the long-studied problem of computing Fox and augmentation quotients of a semidirect product in terms of certain filtration quotients of the group rings of its factors. Indeed, let G = N T, N normal in G. Then following [24] one has an N-series H = {H_{(i)}}_{i}, H_{1} = H and H_{(i+1)} = [H_{(i)}, G]; this gives rise to a canonical descending filtration {Λ_{j}}_{j} of I(N), cf. [21, p. 22]. If sufficiently many successive factors of H and of the lower central series of T, denoted γ, are torsion-free, then Q_{n}(G, T) and I(G)^{n}/I^{n+1}(G) admit a nice decomposition in terms of successive quotients of the filtrations {I^{i}(T)} and {Λ_{j}} of I(T) and I(N), respectively, see 3.1. These latter quotients can be expressed in terms of the enveloping rings of the graded Lie rings L^{γ}(T) and L^{H}(N) which are defined by the filtration quotients of γ and H. This is proved by adapting the methods of [22] and [4, section 1] to arbitrary N-series, based on a result of Hartley, see [21, theorem 1.6]. Using these identifications we get 3.2 and 3.3. Analogous results hold for Q_{n}(G, N) (3.4 and 3.5), but here the filtration {Λ_{j}} has to be replaced by the much less understood filtration {Λ_{j}I(N)} of I(N). If N is free, however, the quotients of {Λ_{j}I(N)} can be expressed by those of {Λ_{j}} (using [6, 2.3 and 1.3]), which gives 3.6.

In section 4 we exploit the description of the map j in the exact sequence 2.2. Indeed, this amounts to an identification of the Fox subgroup F_{n}(G, H) with a subgroup of H induced by a right ideal of I(H) which is obtained from the homology of H, see 4.1. As the latter vanishes for free groups H, this leads to a description of that right ideal directly in terms of the lower central series of G, at least if the latter has torsion-free successive quotients, see 4.3. Based on the formula (1) for Fox subgroups of free groups G (cf. [3, p. 57]), we conjecture a more general formula for certain induced subgroups (see 4.4) which, together with theorem 4.3, would imply that essentially the same formula (namely (2)) holds if only H is free. The conjecture is verified for n ≤ 2, using our description of the third relative dimension subgroup in [7].

1 Introduction

L’étude des sous-groupes de Fox et des quotients de Fox remonte aux travaux de Fox sur le calcul différentiel sur les groupes libres [2]. Dans la forme générale, on se donne un groupe G et un sous-groupe H ≤ G ; de là, on obtient une filtration descendante {I^{n}(G)I(H)}_{n} de ZZ(G)I(H) qui donne naissance à la filtration induite {F_{n}(G, H)}_{n} de G et aux quotients de filtration {Q_{n}(G, H)}_{n} comme dans le résumé. A part le cas où H = G, ce sont surtout les cas où G est libre (pour les sous-groupes) et le cas où H est un facteur semi-direct de G (pour les quotients) qui ont été beaucoup étudiés dans la littérature, cf. la liste des références bibliographiques. Ici on introduit une technique homologique pour un traitment simultané de ces deux problèmes ; elle permet de transformer des produits dans I(G) du type I^{n}(G)I(H) en des produits tensoriels ou de torsion, cf. les résultats des paragraphes 2 et 3.

2 La construction polynomiale de Fox

Dans tout l’article on utilise la notation du résumé. De plus, G = G_{1} ⊃ G_{2} ⊃ … désigne la suite centrale descendante de G, G_{i+1} = [G_{i}, G].

Si J est un idéal à gauche de I(H), le quotient I(G)J/I^{2}(G)J a été déterminé dans [6]. Pour l’étude du quotient I^{n−1}(G)J/I^{n}(G)J, n > 2, il s’avère convenable de le considérer comme sous-groupe de I(G)J/I^{n}(G)J. On pourrait appeller ce dernier quotient la ‘construction polynomiale de Fox’, en analogie avec la construction polynomiale I^{n}(G)/I^{n+1}(G) de Passi, cf. [21]. Considérons le cas classique que J = I(H).

Proposition 2.1 Supposons que H/H_{n} ≅ F/F_{n} pour un certain groupe F libre. Alors on a un isomorphisme (non-canonique)

I(G)I(H)/I^{n}(G)I(H) ≅ I(G)/I^{n}(G) ⊗ H^{ab}

d’où on déduit un isomorphisme canonique

I^{n−1}(G)I(H)/I^{n}(G)I(H) ≅ I^{n−1}(G)/I^{n}(G) ⊗ H^{ab} . □

Si H est un sous-groupe quelconque, alors on a le

Théorème 2.2 Il existe une suite exacte longue naturelle

\frac{I^{2}(H)}{(I(H) ∩ I^{n}(G))I(H)} ⟶^{j}  \frac{I(G)I(H)}{I^{n}(G)I(H)} ⟶^{q} (\frac{I(G)}{I(H) + I^{n}(G)}) ⊗_{H} I(H) ⟶ 0
↑^{β_{1}}
H_{2}(H, \frac{I(G)}{I(H) + I^{n}(G)}) ⟵^{β_{2}} H_{1}(H, I^{n}(G)) ⟵^{i_{∗}}  H_{1}(H, I(H) ∩ I^{n}(G))  ⟵ …

où j est induite par inclusion H ↪ G, et l’homomorphisme q envoit la classe d’équivalence {(g − 1)(h − 1)}, g ∈ G, h ∈ H, sur {g − 1} ⊗ (h − 1). À la place des “…” la suite est étendue par la suite exacte longue associée à l’extension

I(H) ∩ I^{n}(G) ⟶^{>}^{i} I^{n}(G) → → I^{n}(G)/I(H) ∩ I^{n}(G). □

La description du noyau de j obtenue dans 2.2 fournit un outil pour l’étude des sous-groupes de Fox (cf. section 4), et la description du conoyau de j sert au calcul des quotients de Fox dans le paragraphe suivant.

Remarque 2.3 Dans théorème 2.2, le terme I^{n}(G) peut être remplacé par un H -sous-module à droite M de I(G) quelconque.

3 Les quotients de Fox et d’augmentation d’un produit semi-direct

Soit G le produit semi-direct d’un sous-groupe distingué N et un sous-groupe T. Rappelons d’abord quelques notions introduites par Tahara [24]. Une N-série (cf. [21, p. 20]) H: H = H_{(1)} ⊃ H_{(2)} ⊃ … est définie par H_{(i+1)} = [H_{(i)}, G] pour i ≥ 1. Soit Λ_{1} = I(N) ⊃ Λ_{2} ⊃ … la filtration de I(N) induite par H, cf. [21, p. 22]. Posons N_{0} = N et T_{0} = T.

Théorème 3.1 Soit n > 1. Supposons qu’il existe 0 ≤ k ≤ n − 2 tel que T_{s}/T_{s+1} n’a pas de torsion pour 0 ≤ s ≤ k et que H_{(t)}/H_{(t+1)} n’a pas de torsion pour 0 ≤ t ≤ n − k − 2. Alors il y a des isomorphismes naturels

Q_{n}(G, T) ≅ \frac{I^{n}(T)}{I^{n+1}(T)} ⊕ ⨁_{i=1}^{n−1} \frac{Λ_{i}}{Λ_{i+1}} ⊗ \frac{I^{n−i}(T)}{I^{n−i+1}(T)} ,

\frac{I^{n}(G)}{I^{n+1}(G)} ≅ \frac{I^{n}(T)}{I^{n+1}(T)} ⊕ \frac{Λ_{n}}{Λ_{n+1}} ⊕ ⨁_{i=1}^{n−1} \frac{Λ_{i}}{Λ_{i+1}} ⊗ \frac{I^{n−i}(T)}{I^{n−i+1}(T)} .

Pour n ≤ 4 ce résultat a été obtenu dans une série de travaux de Khambadkone et Karan-Vermani, cf. par exemple [11], [16], [17].

Rappelons que pour un groupe K et une N-série N : K = N_{1} ⊃ N_{2} ⊃ … de K on définit un anneau de Lie gradué L^{N} (K) = ⨁_{i>0} N_{i}/N_{i+1} dont le crochet est induit par le commutateur [a, b] = aba^{−1}b^{−1} dans K. La graduation de L^{N} (K) induit une graduation canonique de son algèbre enveloppante sur ZZ, UL^{N} (K). L’exposant γ est utilisé pour la suite centrale descendante.

Corollaire 3.2 Supposons que n = 2 ou que T_{s}/T_{s+1} et H_{(s)}/H_{(s+1)} n’ont pas de torsion pour 1 ≤ s ≤ n. Alors on a des isomorphismes canoniques

Q_{n}(G, T) ≅ ⨁_{i=0}^{n−1} U_{i}L^{H}(N) ⊗ U_{n−i}L^{γ}(T) ,

I^{n}(G)/I^{n+1}(G) ≅ ⨁_{i=0}^{n} U_{i}L^{H}(N) ⊗ U_{n−i}L^{γ}(T) .

Pour un groupe abélien X et m ≥ 1 désigne SP^{m}(X) = X^{⊗m}/Σ_{m} le produit symétrique, par convention SP^{0}(X) = ZZ.

En utilisant le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt on déduit de 3.2 le

Corollaire 3.3 Si les groupes abéliens T_{s}/T_{s+1} et H_{(s)}/H_{(s+1)} sont libres pour 1 ≤ s ≤ n, alors

Q_{n}(G, T) ≅ ⨁_{I_{1}} ⨂_{p=1}^{n−1} SP^{r_{p}}(H_{(p)}/H_{(p+1)}) ⊗ ⨂_{q=1}^{n} SP^{s_{q}}(T_{q}/T_{q+1}) ,

I^{n}(G)/I^{n+1}(G) ≅ ⨁_{I_{2}} ⨂_{p=1}^{n} SP^{r_{p}}(H_{(p)}/H_{(p+1)}) ⊗ ⨂_{q=1}^{n} SP^{s_{q}}(T_{q}/T_{q+1}) ,

où I_{1} = {(r_{1}, …, r_{n−1}, s_{1}, …, s_{n}) ∥ 0 ≤ r_{1}, …, r_{n−1} ≤ n − 1, 0 ≤ s_{1}, …, s_{n} ≤ n tel que ∑_{q=1}^{n} s_{q}q ≥ 1 et ∑_{p=1}^{n−1} r_{p}p + ∑_{q=1}^{n} s_{q}q = n }, et I_{2} = {(r_{1}, …, r_{n}, s_{1}, …, s_{n}) ∥ 0 ≤ r_{1}, …, r_{n}, s_{1}, …, s_{n} ≤ n tel que ∑_{p=1}^{n} r_{p}p + ∑_{q=1}^{n} s_{q}q = n }.

Ce résultat généralise un résultat de Sandling et Tahara sur les quotients I^{n}(G)/I^{n+1}(G) dans [23] (considérer le cas N = {1} dans 3.3).

Quant aux quotients Q_{n}(G, N), on a les résultats suivants.

Théorème 3.4 Supposons que Tor_{1}^{Z Z}(I^{i}(T)/I^{i+1}(T) , I(N)/Λ_{n−i−1}I(N)) = 0 pour 1 ≤ i ≤ n − 2. Posons Λ_{0} = ZZ(N). Alors on a un isomorphisme naturel

Q_{n}(G, N) ≅ \frac{Λ_{n−1}I(N)}{Λ_{n}I(N)} ⊕ ⨁_{i=1}^{n−1} \frac{I^{i}(T)}{I^{i+1}(T)} ⊗ \frac{Λ_{n−i−1}I(N)}{Λ_{n−i}I(N)} .

Pour n ≤ 4 ce résultat a été obtenu dans des travaux de Karan-Vermani, cf. par exemple [16], [17].

Corollaire 3.5 Si n = 2 ou si T_{s}/T_{s+1} n’a pas de torsion pour 1 ≤ s ≤ n, alors

Q_{n}(G, N) ≅ ⨁_{i=0}^{n−1} U_{i}L^{γ}(T) ⊗ \frac{Λ_{n−i−1}I(N)}{Λ_{n−i}I(N)} .

Si N est libre on utilise [6, theorem 2.3] pour le calcul des termes Λ_{m−1}I(N)/Λ_{m}I(N) dans ces derniers résultats. Ainsi on obtient le

Corollaire 3.6 Supposons que N est un groupe libre et que T_{s}/T_{s+1} et H_{(s)}/H_{(s+1)} n’ont pas de torsion pour 1 ≤ s ≤ n. Alors on a un isomorphisme canonique

Q_{n}(G, N) ≅ ⨁_{i=0}^{n−1} U_{i}L^{γ}(T) ⊗ U_{n−i−1}L^{H}(N) ⊗ N^{ab} .

En général, sans des hypothèses d’absence de torsion, les sommes directes apparaissant dans les résultats précédents doivent être remplacées par des sommes amalgamées sur certains produits de torsion des quotients de filtration de I(N) et de I(T).

L’ingrédient essentiel des démonstrations de ces résultats est la suite exacte dans 2.2, combinée avec une généralisation du résultat de Quillen dans [22], cf. [4, section 1].

4 Sous-groupes de Fox

Proposition 4.1 Le n-ième sous-groupe de Fox G ∩ (1 + I^{n}(G)I(H)) est un sous-groupe de [H, H] et satisfait l’équation

G ∩ (1 + I^{n}(G)I(H)) = H ∩ (1 + (I(H) ∩ I^{n}(G))I(H) + Im(β_{1}))

où β_{1} : H_{2}(H, I(G)/(I(H) + I^{n}(G))) → I^{2}(H)/(I(H) ∩ I^{n}(G))I(H) est l’opérateur qui apparait dans 2.2. □

On a ainsi remplacé le terme I^{n}(G)I(H) par un terme qui est contenu dans I(H).

Corollaire 4.2 Si H est un sous-groupe libre d’un groupe G quelconque, alors

G ∩ (1 + I^{n}(G)I(H)) = H ∩ (1 + (I(H) ∩ I^{n}(G))I(H)) . □

Ce cas est intéressant parce que, par exemple, les groupes de matrices contiennent beaucoup de sous-groupes libres. Pour le calcul du terme I(H) ∩ I^{n}(G)on utilise les méthodes dans [4, section 1]. De là et de 4.2 on déduit le résultat suivant.

Considérons la N-série G = {N_{i}}_{i} de H (cf. section 4) qui est définie par N_{i} = H ∩ G_{i}. Soit {I_{G}^{j}(H)}_{j} la filtration déscendante de I(H) induite par G.

Théorème 4.3 Supposons que les quotients G_{i}/G_{i+1} n’ont pas de torsion pour 1 ≤ i ≤ n et que H est un sous-groupe libre de G. Alors

G ∩ (1 + I^{n}(G)I(H)) = H ∩ (1 + I_{G}^{n}(H)I(H)) .

Soit K un groupe et R = {R_{i}}_{i} une N-série de K. On définit alors

G_{n}(K, R) = ∏_{J}[R_{i_{1}}, …, R_{i_{s}}] ,

où J = {(i_{1}, …, i_{s}) ∥ s > 1, 1 ≤ i_{1}, …, i_{s} ≤ n tel que i_{1}+…+i_{s}−i_{j} ≥ n pour 1 ≤ j ≤ s \}. On rappele que pour un sous-groupe U de K on définit \sqrt{U} = \{k ∈ K ∥ k^{m} ∈ U pour quelque m ≥ 1}.

Conjecture 4.4 Soit K un groupe et R = {R_{i}}_{i} une N-série de K tel que les quotients R_{i}/R_{i+1} n’ont pas de torsion pour 1 ≤ i ≤ n. Alors

K ∩ (1 + I_{R}^{n}(K)I(K)) = \sqrt{G_{n}(K, R)} .

Par 4.3, cette conjecture est vraie dans le cas où K = H est un sous-groupe d’un groupe libre G et R = G ; car ici on a l’identité (cf. [3, p. 57])

G ∩ (1 + I^{n}(G)I(H)) = \sqrt{G_{n}(H, G)} .  (1)

A l’inverse, si la conjecture est vraie en général (ou au moins dans le cas où K est libre), alors on obtiendra de 4.3 une généralisation de l’identité (1) au cas où seulement H est libre et les quotients de la suite centrale descendante de G n’ont pas de torsion. Sans aucune restriction de G, on obtiendra toujours l’identité

G ∩ (1 + \sqrt{I^{n}(G)I(H)}) = \sqrt{G_{n}(H, G)} .  (2)

Il est clair que la conjecture est vraie pour n = 1. Pour n = 2 on a le

Théorème 4.5 Soit K un groupe et R = {R_{i}}_{i} une N-série de K. Alors

K ∩ (1 + I_{R}^{2}(K)I(K)) = U[R_{2}, R_{2}][K, K, K] = UG_{2}(K, R)

où U = sgp{[a, b^{m}] ∥ a, b ∈ K, m > 1 tel que a^{m}, b^{m} ∈ R_{2}}. En conséquence, la conjecture précédente est vraie pour n = 2.

Ce théorème généralise des résultats qui exhibent des critères assurants que K ∩ (1 + I_{R}^{2}(K)I(K)) = [R_{2}, R_{2}][K, K, K], cf. [21] et [14].

5 Une approximation canonique des quotients de Fox

Considérons d’abord les quotients de Fox dans le cas où H = G, c’est-à-dire l’anneau gradué Gr(ZZ(G)) associé à ZZ(G) par rapport à sa filtration {I^{i}(G)}. Pour son étude, Quillen a introduit une approximation canonique, en utilisant l’anneau de Lie L(G) = ⨁_{i>0} G_{i}/G_{i+1} dont le crochet est induit par le commutateur dans G. On a un homomorphisme de Lie L(G) → Gr(ZZ(G)) qui envoie gG_{i+1}, g ∈ G_{i}, sur g − 1 + I^{i+1}(G) ∈ Q_{i}(G) ⊂ Gr(ZZ(G)). Par extension à l’algèbre enveloppante de L(G) (sur ZZ) on obtient un épimorphisme

θ : UL(G)→ →Gr(ZZ(G))

des anneaux gradués. En général, θ n’est un isomorphisme qu’après tensorisation avec Q [22]. Pour l’étude des quotients de Fox on construit une généralisation Θ^{G,H} de θ, comme va suivre.

Considérons la filtration

F_{1} = ZZ(G)I(H) ⊃ F_{2} = I(G)I(H) ⊃ … ⊃ F_{n} = I^{n−1}(G)I(H) ⊃ … deZZ(G)I(H). Le groupe abélien gradué associé Gr(ZZ(G)I(H)) = ⨁_{i≥1} F_{i}/F_{i+1} est muni d’une structure canonique de Gr(ZZ(G))–Gr(ZZ(H))–bimodule et donc de UL(G)–UL(H)–bimodule via les fleches θ. L’application g ↦ g − 1 induit un homomorphisme gradué L(H) → Gr(ZZ(G)I(H)) qui est une dérivation à droite; donc par la propriété universelle de ŪL(H) et par extension de scalaires on obtient un épimorphisme de UL(G)–UL(H)–bimodules

θ′ : UL(G) ⊗_{UL(H)} ŪL(H) → → Gr(ZZ(G)I(H)) .

On identifie une partie du noyau de θ′ en terme de comparaison des séries centrales descendantes de G et de H, comme suit.

Rappelons que pour des éléments x_{1}, …, x_{m} d’un anneau quelconque on a bien la formule

[x_{1}, [x_{2}, …, [x_{m−1}, x_{m}] …] = ∑_{s=0}^{m−1}(−1)^{m−s+1} ∑_{J} x_{i_{1}} ⋯ x_{i_{s}}x_{m}x_{j_{1}} ⋯ x_{j_{m−1−s}} (3)

où J = {(i_{1}, …, i_{s}, j_{1}, …, j_{m−1−s}) ∥ 1 ≤ i_{1} < … < i_{s} ≤ m − 1 ≥ j_{1} > … > j_{m−1−s} ≥ 1} tel que {i_{1}, …, i_{s}, j_{1}, …, j_{m−1−s}} = {1, …, m − 1} }. Disons qu’un m-multiplet H = (h_{1}, …, h_{m}), m ≥ 2, des éléments de H a hauteur ≥ d si h_{j} ∈ H_{k_{j}} ∩ G_{l_{j}} tel que l_{1} + … + l_{m} − l_{j} + k_{j} = d pour tout 1 ≤ j ≤ m. Pour tel m-multiplet on pose

r_{1}(H) = [h_{1}, [h_{2}, …, [h_{m−1}, h_{m}] …] ∈ H
r_{2}(H) = (h_{1}G_{l_{1}+1}) ⋯ (h_{m−1}G_{l_{m−1}+1}) ⊗ (h_{m}G_{k_{m}+1}) +

+ ∑_{J}(h_{i_{1}}G_{l_{i_{1}}+1}) ⋯ (h_{i_{s}}G_{l_{is}+1})(h_{m}G_{l_{m}+1})(h_{j_{1}}G_{l_{j_{1}}+1}) ⋯ (h_{j_{m−2−s}}G_{l_{j_{m−2−s}}+1})⊗

(h_{j_{m−1−s}}G_{k_{j_{m−1−s}}+1}) ∈ UL(G) ⊗_{UL(H)} ŪL(H) .

Pour d ≥ 2 soit R_{d} le sous-groupe de UL(G) ⊗_{UL(H)} ŪL(H) engendré par les éléments

R_{d}(H_{1}, …, H_{p}) = 1_{UL(G)} ⊗ (r_{1}(H_{1}) ⋯ r_{1}(H_{p})H_{d+1}) − ∑_{q=1}^{p} r_{2}(H_{q})

où p ≥ 1 et chaque H_{q} est un m_{q} -multiplet de hauteur ≥ d, tel que r_{1}(H_{1}) ⋯ r_{1}(H_{p}) ∈ H_{d}.

Proposition 5.1 On a θ′(R_{d}) = 0.

D’autre part, R_{d} ≠ 0 en général si d > 2, comme conséquence du théorème ci-dessous.

La proposition est vérifié par recurrence sur les m_{q}, en utilisant l’identité aba^{−1}b^{−1} − 1 = a^{−1}b^{−1}((a − 1)(b − 1) − (b − 1)(a − 1)) dans ZZ(G).

On note que R_{d}(H_{1}, …, H_{p}) est un élément homogène de degré d et que R_{d} ŪL(H) = 0 comme conséquence des relations de définition de UL(G). Donc

U(G, H) =^{def} (UL(G) ⊗_{UL(H)} ŪL(H))/ ∑_{d≥2} UL(G) R_{d}

est un UL(G)–UL(H)–bimodule gradué. Sa construction se simplifie par l’observation que

U_{n}(G, H) = UL_{n−1}(G) ⊗ H^{ab}/ ∑_{d≥2}^{n} UL_{n−d}(G) R_{d}  (4)

(considérer le cas k_{j} = l_{j} = 1 pour tout 1 ≤ j ≤ m).

Par la proposition précédente, θ′ induit un épimorphisme de UL(G)–UL(H)– bimodules gradués

Θ^{G,H} : U(G, H) → → Gr(ZZ(G)I(H)) .

On remarque que U(G, G) ≅ Ū(G) et que Θ^{G,G} coïncide avec le morphisme θ construit par Quillen. Par analogie avec son résultat dans [22], on pose la

Conjecture: L’épimorphisme

Θ_{n}^{G,H} ⊗ Q : U_{n}(G, H) ⊗ Q → →Q_{n}(G, H) ⊗ Q

est un isomorphisme pour tout groupe G et sous-groupe H.

Cette conjecture est vraie en degré ≤ 3, grâce au calcul suivant des premiers trois quotients de Fox qui généralise les résultats connus dans le cas H = G (cf. [25], [1] et [5]).

Théorème 5.2 Pour tout groupe G et sous-groupe H, les morphismes Θ_{n}^{G,H} : U_{n}(G, H) → → Q_{n}(G, H) sont des isomorphismes pour n = 1, 2, et Θ_{3}^{G,H} s’imbrique dans une suite exacte naturelle

Tor_{1}^{Z Z}(G^{ab}, H^{ab}) ⊕ Ker(l_{G,H}) ∩ Ker(c_{2}) ⟶^{(δ_{1},δ_{2})} U_{3}(G, H) ⟶^{Θ_{3}^{G,H}} Q_{3}(G, H) → 0

avec les homomorphismes H_{2}/H_{3} \overleftarrow{⟵}^{c_{2}} (H/H_{2}) ∧ (H/H_{2}) ⟶^{l_{G,H}} (G/G_{2}) ⊗ (H/H_{2}),

l_{G,H}((aH_{2})∧(bH_{2})) = (aG_{2})⊗(bH_{2})−(bG_{2})⊗(aH_{2}) , c((aH_{2})∧(bH_{2})) = aba^{−1}b^{−1}H_{3}.

L’opérateur δ_{2} étant d’ordre secondaire, sa construction est compliquée et donc supprimée. On remarque seulement que δ_{2}(((H ∩G_{2}) ∧(H ∩G_{2}))∩Ker(c_{2})) = R_{3}, et que Ker(l_{G,H}) ∩ Ker(c_{2})/((H ∩ G_{2}) ∧ (H ∩ G_{2})) ∩ Ker(c_{2}) est un groupe de torsion (tensoriser avec Q, vérifier que Ker(l_{G,H} ⊗ Q) = (H ∩G_{2}) ∧(H ∩G_{2})⊗Q, cf. [7, lemma 3.2]). On en déduit que Im(δ_{2} ⊗ Q) = R_{3} ⊗ Q, ce qui entraine le Corollaire 5.3 La conjecture est vraie pour n ≤ 3.

Pour la définition de δ_{1}, soit ⟨x_{1}, k, x_{2}⟩ un générateur canonique de Tor_{1}^{Z Z}(G^{ab}, H^{ab}), c’est-à-dire k ∈ ZZ et x_{1} = x′_{i}G_{2}, x_{2} = x′_{2}H_{2} pour x′_{1} ∈ G, x′_{1} ∈ H tel que (x′_{1})^{k} ∈ G_{2}, (x′_{2})^{k} ∈ H_{2}, cf. [20] V.6. Alors

δ_{1}⟨x_{1}, k, x_{2}⟩ = (x′_{1})^{k} ⊗ x_{2} − x_{1} ⊗ (x′_{2})^{k} + \binom{k}{2}(x_{1} ⊗ x_{2}^{2} − x_{1}^{2} ⊗ x_{2}) ,  (5)

où (x′_{1})^{k} ∈ G_{2} est considéré comme élément de UL_{2}(G) via les applications canoniques G_{2} → → G_{2}/G_{3} = L_{2}(G) → UL_{2}(G). Analogiquement pour (x′_{2})^{k}.

On remarque que l’opérateur δ_{1} peut être interprété comme différence entre des morphismes de connexion “à gauche” et “à droite” qui est tout à fait analogue à celle obtenue dans [5] dans le cas où H = G.

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Institut de Recherche Mathématique Avancée, ULP et CNRS, 7 rue René-Descartes, 67084 Strasbourg Cedex, France

e-mail : hartl@math.u-strasbg.fr 26.05.95