UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROT UFR DE MATHEMATIQUES

Année : 2002 N^{∘}

Thèse de Doctorat

Spécialité : Mathématiques

Catégories dérivées de blocs à défaut non abélien

de GL_{2}(q)

présentée par

Bertrand Gonard

pour obtenir le grade de

Docteur de l’Université Paris 7

soutenue le 4 octobre 2002 devant le jury composé de :

Michel Broué  (co-directeur)

Pierre Cartier

Meinolf Geck  (rapporteur)

Bernhard Keller

Jeremy Rickard  (rapporteur)
Raphaël Rouquier (co-directeur)

Remerciements

Je remercie tout d’abord vivement Michel Broué. Il m’a accordé sa confiance dès le début de mon DEA, il m’a proposé un sujet de recherche qui a comblé mes espérances, puis il m’a soutenu en toute situation. Je dois beaucoup à sa présence solide et à ses multiples talents, mathématiques comme humains. Et il m’a orienté vers Raphaël Rouquier, qui est finalement devenu co-directeur de cette thèse. L’entrain, la disponibilité, le soutien de celui-ci ont entretenu ma motivation et mon plaisir à réaliser cette thèse. Pour ses réponses rapides et précises, ses conseils d’excellente qualité, je lui exprime de chaleureux remerciements.

Je dois également beaucoup à Bernhard Keller. Son cours de DEA “méthodes de l’algèbre homologique” a été pour moi d’une importance capitale, son enseignement m’a véritablement passionné et il contribue aujourd’hui encore à mes choix mathématiques. Pendant mon doctorat j’ai de nombreuses fois frappé à la porte de son bureau et j’y ai toujours trouvé des réponses claires et précises. Je le remercie pour ses conseils mathématiques, pour sa patience et sa gentillesse, et finalement pour me faire l’honneur d’être membre de mon jury de thèse.

Jeremy Rickard et Meinolf Geck ont accepté de lire ma thèse et d’en être les rapporteurs. Leurs rapports positifs m’ont beaucoup gratifié. Je leur suis également très reconnaissant de faire le voyage jusqu’à Paris pour participer au jury. Je remercie également beaucoup Pierre Cartier, je suis très honoré qu’il ait accepté de faire partie de mon jury.

Tout le long de mon doctorat, j’ai bénéficié de l’entourage stimulant de l’équipe des groupes finis et algébriques de Paris 7. Tous ses membres m’ont un jour ou l’autre aidé en répondant à mes questions et en m’enseignant certaines notions. Pour cela je les remercie, ainsi que pour leur accueil au sein des leurs. J’ai une pensée particulière pour Dominique Martinais, que j’ai connue en travaux dirigés d’algèbre pendant ma maîtrise. Outre son enseignement exceptionnel elle m’a apporté conseils et soutien, j’ai développé pour elle une grande amitié et elle restera toujours pour moi une personne inestimable.

Je tiens à remercier Jean-Jacques Sansuc pour son appui discret mais solide depuis le début de mon troisième cycle, et Michèle Wasse pour sa sympathie, son dévouement, et sa grande compétence.

J’ai eu la chance de bénéficier d’une ambiance de travail très agréable à Chevaleret. Je salue et remercie tous les collègues doctorants qui ont partagé mon bureau, en particulier François Martin, avec qui j’ai entamé une réelle amitié autour des jeux mathématiques et logiques, Sibylle Schroll-Rehaeuser pour qui mon amitié ne faiblira pas malgré la distance, et Kenji Lefèvre dont j’espère suivre les pérégrinations.

Un doctorat nécessite aussi de forts appuis affectifs. L’entourage de ma famille m’a beaucoup aidé, je remercie en particulier mon père Raymond Gonard et mon grand-père Henri Loubignac pour leur soutien permanent, lequel fut si important au moment du choix de mes études. Je suis aussi entouré d’un bon nombre d’amis, Ils m’apportent énormément et je les en remercie beaucoup. Enfin, Sophie, merci d’avoir été là, merci pour ta patience, ta compréhension, ta confiance.

Table des matières

1 Le groupe GL_{2}(q) 19

1.1 Notations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.1 Anneaux et corps de base . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.3 Blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1.4 Algèbre homologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Le groupe algébrique GL_{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Le groupe GL_{2}(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.1 Les normalisateurs des tores de G . . . . . . . . . . . . 24 1.3.2 Les sous-groupes de Sylow de G et leurs normalisateurs 24

1.4 Situation ℓ = 2, q impair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.1 Cas q ≡ ±3 (mod 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.2 Cas q ≡ ±1 (mod 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5 Théorie de Deligne-Lusztig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.1 Résumé de la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.2 Application à GL_{2}(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Isotypies 39

2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1 Applications de décomposition . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.2 Isotypies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.3 La conjecture de Broué . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 Aspect pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.1 Centralisateurs ℓ-nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.2 Eléments centraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 Quotient par le ℓ-centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2 Inflation d’une isotypie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.3 Déflation d’une isotypie . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4 Isotypies dans GL_{2}(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.4.1 ℓ impair, ℓ divise q − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.4.2 ℓ impair, ℓ divise q + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4.3 ℓ = 2, q impair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3 Equivalences splendides 65

3.1 Définitions et conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.1 Equivalences splendides . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.2 Le cas des groupes finis de type de Lie . . . . . . . . . 67

3.2 Quelques propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2.1 Complexes et homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2.2 Propriétés diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2.3 Inflation et Déflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.4 Bicomplexes basculants . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3 ℓ divise q − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.4 ℓ divise q + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4.1 Le complexe de Deligne-Lusztig . . . . . . . . . . . . . 90 3.4.2 Construction de l’isomorphisme OH_{s} ≃ End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}) 101 3.4.3 Changement de complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.4.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.5 Complexes de Deligne-Lusztig des groupes associés . . . . . . 110 3.5.1 Cas de SL_{2}(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.5.2 Quotients des complexes Λ_{e} et Λ_{s} . . . . . . . . . . . . 113 3.5.3 Restriction au bloc principal . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.6 Cas ℓ = 2, q ≡ ±3 (mod 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.6.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.6.2 Relèvement des équivalences stables . . . . . . . . . . 121 3.6.3 Relèvement à GL_{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4 Blocs et A_{∞}-algèbres 131

4.1 A_{∞}-algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.1.2 Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.1.3 Calcul du modèle minimal d’une DG-algèbre . . . . . 136 4.1.4 Lien avec la cohomologie de Hochschild . . . . . . . . 137

4.2 Etude préliminaire de la situation . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.2.1 Idempotents, annulation des m_{n} . . . . . . . . . . . . 140 4.2.2 Spécialisation des complexes . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.3 PSL_{2}(q) avec q ≡ ±3 (mod 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.3.1 Les complexes X_{e} et X_{s} . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.3.2 Représentants minimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.3.3 Variante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.3.4 Non-formalité de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.4 PGL_{2}(q) avec q ≡ ±3 (mod 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.5 Les blocs à défaut diédral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.5.1 La classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.5.2 Le 2-bloc principal de PGL_{2}(q) . . . . . . . . . . . . . 173 4.5.3 Les complexes X_{e} et X_{s} . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.6 PGL_{2}(q) avec q impair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.6.1 Applications f_{1}, g_{1} et s . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.6.2 Calcul de la A_{∞}-structure de A . . . . . . . . . . . . . 180

A Contrôle de la fusion 183 A.1 Le théorème de fusion d’Alperin . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 A.2 Conséquence sur le contrôle de la fusion . . . . . . . . . . . . 187

B Tables de caractères et matrices de décomposition 189

B.1 PSL_{2}(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

B.1.1 Cas q ≡ 1 (mod 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 B.1.2 Cas q ≡ 3 (mod 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

B.2 PGL_{2}(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

B.2.1 Cas q ≡ 1 (mod 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 B.2.2 Cas q ≡ 3 (mod 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

B.3 SL_{2}(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 B.4 GL_{2}(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 B.5 Sous-groupes locaux de GL_{2}(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 B.6 𝔄_{4} et 𝔖_{4} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 B.7 Structure des modules sur k𝔄_{4} et k𝔖_{4} . . . . . . . . . . . . . 206

Introduction

Les groupes finis apparaissent naturellement dans de nombreuses situations, en mathématiques bien sûr, mais aussi dans d’autres sciences telles que la physique ou la chimie. Ils forment à ce titre une classe fondamentale d’objets mathématiques, dont la richesse et la complexité est attestée par la classification des groupes simples finis.

Un outil capital pour leur étude est la théorie des représentations linéaires. Celle-ci étudie l’algèbre kG d’un groupe fini G sur un anneau commutatif k. En considérant cette algèbre plutôt que le groupe G lui-même on accède à une palette plus vaste d’outils et de techniques mathématiques, comme l’algèbre linéaire et l’algèbre homologique.

Si k est un corps de caractéristique ℓ non nulle, alors on parle de représentations modulaires. Cette théorie, introduite par R. Brauer au milieu du XXème siècle, est liée à la structure ℓ-locale du groupe, c’est-à-dire à la structure de ses ℓ-sous-groupes, de leurs normalisateurs, etc... L’algèbre kG se décompose en somme directe de sous-algèbres indécomposables, que l’on appelle les blocs de kG. Pour étudier ces blocs il suffit de se concentrer sur l’un d’entre eux, le bloc principal, car la complexité de sa structure est au moins aussi grande que celle des autres.

A toute représentation linéaire de dimension finie on associe un caractère. La théorie des caractères permet d’étudier les composantes irréductibles des représentations linéaires d’un groupe fini. Si k est un corps de caractéristique nulle contenant suffisament de racines de l’unité, la théorie des caractères détermine entièrement la structure des représentations linéaires. En effet les représentations irréductibles ne peuvent pas être assemblées de façon non triviale : l’algèbre kG est semi-simple.

Par contre dans le cas où la caractéristique de k est un nombre premier ℓ non nul qui divise l’ordre du groupe, la structure d’une représentation linéaire peut être complexe, elle n’est pas déterminée par ses composantes irréductibles. La théorie des caractères permet toujours de déterminer ces composantes, mais ne renseigne pas sur leur agencement. Elle a donc toujours un rôle important mais ne suffit pas pour l’étude des blocs.

L’utilisation depuis une dizaine d’années de l’algèbre homologique constitue une approche intéressante et fructueuse de l’étude des représentations modulaires des groupes finis. Comme un bloc est une algèbre particulière, il donne lieu à plusieurs catégories comme sa catégorie de modules ou sa catégorie dérivée. On peut ainsi comparer deux blocs en comparant les catégories qui leur sont associées. On dit que deux blocs sont en équivalence de Morita ou dérivée si leurs catégories de modules ou leurs catégories dérivées sont équivalentes. Chacune de ces équivalences préserve certaines propriétés des blocs, comme le nombre de caractères irréductibles ordinaires et modulaires, le centre, l’homologie de Hochschild, etc...

En 1989 M. Broué définit la notion d’isométrie parfaite entre deux blocs. Il s’agit d’un isomorphisme entre les groupes des caractères de deux blocs, muni de certaines propriétés supplémentaires. Une isométrie parfaite entre deux blocs donne lieu à de fortes similitudes, essentiellement arithmétiques, entre les deux blocs. M. Broué définit aussi la notion plus forte d’isotypie, qui relie deux blocs dont les structures ℓ-locales sont isomorphes. Il montre ensuite que l’existence d’une équivalence entre les catégories dérivées (bornées) de deux blocs implique l’existence d’une isométrie parfaite reliant ces deux blocs.

Ces notions permettent à M. Broué d’énoncer différentes formes de sa conjecture. Nous en donnons l’expression dans le cas particulier des blocs principaux. On suppose que ℓ est un nombre premier, on note O un anneau de valuation discrète complet et k son corps résiduel. On suppose que O est de caractéristique nulle et que k est de caractéristique ℓ. De plus on suppose que O est “assez gros” pour tous les groupes en présence. Nous nous plaçons dans la situation suivante :

Hypothèse : Soit G un groupe fini. On suppose que les ℓ-sous-groupes de Sylow de G sont abéliens, et on note H le normalisateur de l’un d’entre eux.

Conjecture 1 : Il existe une isométrie parfaite entre les blocs principaux de OG et de OH.

Conjecture 2 : Il existe une isotypie entre les blocs principaux de OG et de OH.

Conjecture 3 : Il existe une équivalence dérivée entre les blocs principaux de OG et de OH.

Notons que la validité de la conjecture 3 implique qu’il existe une équivalence dérivée entre les blocs principaux de kG et de kH.

La conjecture 3 est une version “structurelle” de la conjecture 1. Il manquait alors une version structurelle de la conjecture 2. En 1996, J. Rickard définit la notion d’équivalence splendide entre deux blocs, qui consiste en une équivalence dérivée munie de certaines propriétés, et il montre que l’existence d’une telle équivalence implique l’existence d’une isotypie. Nous avons alors le raffinement de Rickard de la conjecture de Broué :

Conjecture 4 : Il existe une équivalence splendide entre les blocs principaux de OG et de OH.

La validité de cette conjecture est équivalente à l’existence d’une équivalence splendide entre les blocs principaux de kG et de kH. Nous avons les implications suivantes :

\xymatrix{2 \ar@{=>}[r] & 1 \\ 4 \ar@{=>}[u] \ar@{=>}[r] & 3. \ar@{=>}[u]}

Il est intéressant de constater que, partant de l’étude des groupes de caractères des blocs, on est arrivé à l’étude des catégories dérivées. Les isométries parfaites et isotypies, au niveau de caractères, ont suggéré l’existence au niveau des catégories des notions beaucoup plus fines que sont les équivalences dérivées et splendides.

La classification des groupes simples finis montre que la plupart d’entre eux sont des groupes finis de type de Lie, c’est-à-dire qu’ils s’obtiennent à partir de groupes algébriques. Ceci permet d’utiliser des outils de géométrie algébrique supplémentaires. Dans cette situation, M. Broué a précisé sa conjecture en prédisant que le complexe donnant l’équivalence splendide serait le complexe donnant la cohomologie ℓ-adique d’une certaine variété de Deligne-Lusztig. Ceci implique une compatibilité des isotypies et équivalences de catégories avec l’induction de Deligne-Lusztig.

La validité de ces conjectures permettrait de déduire des informations sur le ℓ-bloc principal d’un groupe dont les ℓ-sous-groupes de Sylow sont abéliens à partir d’informations sur celui du normalisateur de l’un de ses sous-groupes de Sylow. Ce normalisateur peut être beaucoup plus petit, comme le montre par exemple le cas du Monstre pour ℓ = 11 : ce groupe est d’ordre supérieur à 8 · 10^{53} alors que les normalisateurs de ses 11-sous-groupes de Sylow sont d’ordre 72600.

Ces conjectures ont été démontrées dans plusieurs cas, nous en donnons une liste non exhaustive :

• La conjecture 2 est démontrée dans tous les cas si ℓ = 2 par P. Fong et M. Harris,

• Dans le cas d’un groupe fini G de type de Lie connexe défini sur un corps de caractéristique différente de ℓ, en supposant que ℓ est “bon” pour G, la conjecture 2 est démontrée par M. Broué, G. Malle et J. Michel.

• La conjecture 3 est démontrée si les sous-groupes de Sylow de G sont cycliques par J. Rickard et M. Linckelmann.

• La conjecture 4 est démontrée dans cette même situation par R. Rouquier.

• Cette conjecture est egalement démontrée pour un groupe fini de type de Lie défini sur un corps à q éléments, si ℓ divise q − 1 mais ne divise pas l’ordre du groupe de Weyl, par L. Puig.

La conjecture de Broué ainsi que sa version plus générale concernant les blocs non principaux sont liées aux conjectures de J. L. Alperin de de E. C. Dade. La première exprime le nombre de caractères irréductibles d’un bloc comme somme alternée de nombres de caractères irréductibles de certains sous-groupes locaux, et la seconde fait intervenir en plus la hauteur des caractères. Ces conjectures ne supposent pas que les ℓ-sous-groupes de Sylow du groupe concerné sont abéliens. Par contre si la conjecture de Broué est vraie alors les conjectures d’Alperin et de Dade le sont aussi dans la situation où les sous-groupes de Sylow sont abéliens.

Cette proximité de la conjecture de Broué avec les conjectures d’Alperin et de Dade, ainsi que la difficulté que pose sa démonstration, suggèrent de la généraliser à des groupes dont les sous-groupes de Sylow ne sont pas abéliens, voire d’englober les trois conjectures en une conjecture commune. Il manque en particulier une version “structurelle” des conjectures d’Alperin et de Dade. C’est ce problème qui me motiva durant la préparation de cette thèse.

Le but de ma thèse est de donner une description de la catégorie dérivée du bloc principal d’un groupe dont les ℓ-sous-groupes de Sylow ne sont pas abéliens. J’étudie en détail le cas du groupe fini GL_{2}(q) où q est une puissance d’un nombre premier p différent de ℓ. Je décris aussi le cas des groupes linéaires qui lui sont reliés, à savoir SL_{2}(q), PGL_{2}(q) et PSL_{2}(q) (cf table 1).

Tab. 1 – Les groupes linéaires sur 𝔽_{q}

[figure: 𝔽_{q}^{×}; ±1; _{𝔽× q}; GL_{2}(q); PGL_{2}(q); ±1; SL_{2}(q); PSL_{2}(q)]

Les cas non semi-simples sont les cas où ℓ divise q −1 ou q +1, car l’ordre de GL_{2}(q) est q(q − 1)^{2}(q + 1). La seule situation dans laquelle les sousgroupes de Sylow ne sont pas abéliens est la situation dans laquelle ℓ divise q − 1 et q + 1, il s’agit donc du cas où ℓ = 2 et q est impair. J’étudie alors le bloc principal de GL_{2}(q) et je décris des algèbres qui sont en équivalence dérivée avec lui.

Dans le premier chapitre je fixe les notations et je commence à étudier le groupe GL_{2}(q), ainsi que le groupe algébrique GL_{2}(𝔽) où 𝔽 est une clôture algébrique du corps à q éléments. Je décris les sous-groupes de Sylow de GL_{2}(q) et leurs normalisateurs. Si ℓ = 2 et q est impair alors le cas où q est congru à ±3 modulo 8 se distingue.

Je montre que si q n’est pas congru à ±3 modulo 8 alors aucun sousgroupe local de GL_{2}(q) ne contrôle la fusion des ℓ-sous-groupes (propriété 1.4.6), ce qui implique qu’aucune isotypie n’est à espérer entre le bloc principal de GL_{2}(q) et celui de l’un de ses sous-groupes locaux. Si q est congru à ±3 modulo 8 alors un sous-groupe local contrôle la fusion des ℓ-sous-groupes de GL_{2}(q). Il s’agit du normalisateur dans GL_{2}(q) d’un sous-groupe de Sylow de SL_{2}(q). Pour montrer qu’il contrôle la fusion des sous-groupes de GL_{2}(q) (propriété 1.4.2), je pars d’une propriété plus forte du quotient PGL_{2}(q) : le normalisateur dans PGL_{2}(q) d’un 2-sous-groupe de Sylow de PSL_{2}(q) est faiblement 2-plongé dans PGL_{2}(q) (propriété 1.4.3).

Je termine le premier chapitre en décrivant les variétés de Deligne-Lusztig associées au groupe GL_{2}(q), et en donnant une expression de l’induction de Deligne-Lusztig dans cette situation. Le groupe de Weyl du groupe algébrique GL_{2}(𝔽) est d’ordre 2, on note e son élément trivial et s son élément non trivial. La théorie de Deligne-Lusztig donne lieu a deux variétés Y_{e} et Y_{s}, puis à deux foncteurs d’inductions R_{T_{e}}^{G} et R_{T_{s}}^{G}.

Le deuxième chapitre est consacré aux isotypies. Je commence par rappeler la définition des applications de décomposition généralisées, des isométrie parfaites et des isotypies. Je donne ensuite quelques propriétés qui permettent de réduire le nombre de vérifications à faire pour montrer qu’une application donnée est une isotypie. L’une d’entre elles en particulier permet de résoudre le problème posé par la présence d’un ℓ-centre non trivial (propriété 2.3.10).

Ensuite j’applique ces résultats à l’étude de GL_{2}(q). Je vérifie la conjecture de Broué dans les cas des sous-groupes de Sylow abéliens, c’est-à-dire si ℓ est différent de 2 et ℓ divise q − 1 ou q + 1. La validité de la conjecture dans ces cas était déjà connue. J’explicite l’expression des isotypies (propriétés 2.4.1 et 2.4.2), puis je vérifie que si ℓ divise q − 1 alors l’isotypie est compatible avec l’induction R_{T_{e}}^{G} et si ℓ divise q + 1 alors elle est compatible avec l’induction R_{T_{s}}^{G}. Dans le premier cas, l’isotypie n’a pas de signe négatif, ce qui est conséquence du fait que R_{T_{e}}^{G} est l’induction de Harish-Chandra, et que celle-ci est un foncteur entre catégories de modules.

J’étudie ensuite le cas où les sous-groupes de Sylow ne sont pas abéliens, c’est-à-dire celui où ℓ = 2 et q est impair. Je vérifie d’abord que le bloc principal de GL_{2}(q) n’est pas de même type que celui du normalisateur d’un sous-groupe de Sylow. Ensuite je démontre que si q est congru à ±3 modulo 8, alors le bloc principal de GL_{2}(q) est de même type que le bloc principal du normalisateur dans GL_{2}(q) d’un sous-groupe de Sylow de SL_{2}(q) (propriétés 2.4.3 et 2.4.4).

Dans le troisième chapitre, je démontre que les isotypies obtenues dans la première partie proviennent bien d’équivalences splendides entre les catégories dérivées des blocs concernés. Je donne d’abord la définition d’une équivalence splendide, je rappelle la conjecture de Broué en terme de catégories dérivées, sa précision dans le cas des groupes finis de type de Lie, et son raffinement de Rickard. Ensuite je rappelle quelques propriétés générales qui me serviront dans la suite, en particulier un théorème de J. Rickard sur les bicomplexes basculants (théorème 3.2.20).

La théorie de Deligne-Lusztig associe à GL_{2}(q) deux complexes Λ_{e} et Λ_{s} qui donnent la cohomologie ℓ-adique des variétés de Deligne-Lusztig Y_{e} et Y_{s}. Dans les cas où les sous-groupes de Sylow abéliens, je vérifie que ces complexes induisent bien des équivalences de catégories.

La variété Y_{e} est de dimension 0, le complexe Λ_{e} obtenu est donc concentré en degré 0. Si ℓ divise q − 1 et ℓ ≠ 2, il induit une équivalence splendide de Morita entre la somme des blocs de défaut maximal de GL_{2}(q) et l’algèbre de groupe du normalisateur d’un ℓ-sous-groupe de Sylow (propriété 3.3.3), ce qui vérifie toutes les versions de la conjecture de Broué. Le fait que cette équivalence splendide soit une équivalence de Morita est lié au fait que l’isotypie obtenue dans le deuxième chapitre n’a que des signes positifs. L’existence de cette équivalence splendide de Morita était connue, c’est une conséquence de travaux plus généraux de L. Puig.

La variété Y_{s} est de dimension 1. L’étude du complexe Λ_{s} est plus longue. Je calcule son algèbre d’endomorphismes (propriété 3.4.10), je montre qu’il vérifie la propriété de disjonction (propriété 3.4.6), puis j’utilise les techniques d’algèbres différentielles graduées développées par B. Keller pour obtenir un bicomplexe basculant. Si ℓ divise q + 1 et ℓ ≠ 2 alors ce bicomplexe réalise une équivalence splendide entre la somme des blocs de GL_{2}(q) de défaut maximal et l’algèbre de groupe du normalisateur d’un ℓ-sous-groupe de Sylow (propriété 3.4.14). Ceci vérifie donc toutes les formes de la conjecture de Broué. Ce résultat avait déjà été obtenu sous une forme moins précise par R. Rouquier.

Dans le cas des sous-groupes de Sylow non abéliens, donc si ℓ = 2 et q est impair, les outils de géométrie algébrique utilisés précédemment ne peuvent pas permettre d’obtenir des équivalences de catégories. Pour obtenir les équivalences splendides présagées par l’existence des isotypies exhibées dans le premier chapitre, je me place tout d’abord dans le quotient PGL_{2}(q). Je pars du fait que le normalisateur d’un sous-groupe de Sylow de PSL_{2}(q) dans PGL_{2}(q) est faiblement ℓ-plongé dans PGL_{2}(q) ; ceci donne lieu grâce à un théorème de M. Broué à une équivalence stable entre les blocs principaux des deux groupes concernés, i.e., une équivalence entre les catégories stables de ces deux blocs. Ensuite je relève cette équivalence stable en une équivalence dérivée, grâce à un théorème de M. Linckelman. Pour cela je traite séparément les cas q ≡ 3 (mod 8) et q ≡ 5 (mod 8), le premier donnant lieu en fait à une équivalence de Morita (propriétés 3.6.4 et 3.6.6). Finalement grâce à des résultats de R. Rouquier, je relève les équivalences obtenues au groupe GL_{2}(q) (théorème 3.6.9).

Je traite ensuite le cas des groupes reliés à GL_{2}(q). Pour SL_{2}(q) (section 3.5.1), la théorie de Deligne et Lusztig donne le même type de résultats que pour GL_{2}(q). A ce stade, pour chacun de ces deux groupes j’ai défini un module Λ_{e} et un complexe Λ_{s}. J’étudie alors leurs analogues dans les groupes PGL_{2}(q) et PSL_{2}(q), dans le but de les utiliser dans la section suivante. Je calcule leurs algèbres d’endomorphismes et je montre que l’image du complexe Λ_{s} vérifie toujours la propriété de disjonction (section 3.5.2).

Le quatrième chapitre est consacré à l’application de la notion de A_{∞}- algèbre à ma situation. C’est en effet ce cadre qui me permet de donner une description naturelle de la catégorie dérivée du bloc principal de GL_{2}(q) si ℓ = 2 et q est impair.

Les A_{∞}-algèbres ont été définies en 1963 par J. Stasheff. Elle permettent en particulier de formaliser des problèmes de topologie algébrique, comme le défaut d’associativité de la composition des chemins dans un espace topologique. Elles ont été utilisées dans les années 90 par M. Kontsevich pour énoncer sa conjecture sur la symétrie miroir. Intuitivement, une A_{∞}-algèbre est une algèbre “associative à homotopie près”. Une propriété importante des A_{∞}-algèbres et A_{∞}-modules est que tout quasi-isomorphisme est inversible à homotopie près, c’est-à-dire que les catégories homotopique et dérivée d’une A_{∞}-algèbre sont équivalentes.

La stratégie mise en œuvre pour décrire le bloc principal B de GL_{2}(q) si ℓ = 2 est la suivante : j’ai obtenu deux complexes Λ_{e} et Λ_{s} dans le troisième chapitre. Ils vérifient la propriété de disjonction, leurs composantes sont projectives, mais ni l’un ni l’autre n’est générateur de la catégorie dérivée du bloc principal de GL_{2}(q). Par contre leur somme directe engendre bien cette catégorie, mais elle ne vérifie plus la propriété de disjonction : son algèbre différentielle graduée d’endomorphismes

E = End_{B}(Λ_{e} ⊕ Λ_{s})

n’est pas homotope à une algèbre concentrée en degré 0. En effet son homologie n’est pas concentrée en degré 0, il existe des morphismes non homotopes à zéro de Λ_{e} ⊕ Λ_{s} vers un décalé strict de lui-même.

Mais l’homologie de E est munie d’une structure supplémentaire. Un théorème de T. V. Kadeishvili dit que si A est une A_{∞}-algèbre, alors il existe une structure de A_{∞}-algèbre sur son homologie H^{∗}A telle que les A_{∞}-algèbres ainsi obtenues A et H^{∗}A soient quasi-isomorphes. Ainsi leurs catégories dérivées sont équivalentes. Or E est une DG-algèbre, donc une A_{∞}-algèbre particulière.

Il existe donc une structure de A_{∞}-algèbre sur l’homologie H^{∗}E la rendant quasi-isomorphe à E. En notant DA la catégorie dérivée de A si A est une algèbre associative, et D_{∞}A la catégorie dérivée de A si A est une A_{∞}-algèbre, on a la composition d’équivalences triangulées de catégories

\xymatrix{DA \ar[r]^{∼} & DE \ar[r]^{∼} & D_{∞}E \ar[r]^{∼} & D_{∞}H^{∗}E} .

Il est à noter que la A_{∞}-structure que l’on donne à H^{∗}E n’est pas canonique, elle dépend du choix d’une section de la différentielle de E.

Je commence le troisième chapitre par des rappels sur les A_{∞}-algèbres, puis j’énonce les résultats que j’utilise par la suite, en particulier des formules dues à V. Gugenheim, J. Stasheff et S. Merkulov permettant de calculer une A_{∞}-structure adéquate de H^{∗}E (propriété 4.2).

Nous savons donc que la catégorie dérivée du bloc principal de GL_{2}(q) est équivalente à la catégorie dérivée d’une A_{∞}-algèbre A. Cette A_{∞}-algèbre est minimale, c’est-à-dire que sa différentielle est nulle. Il s’agit donc d’une algèbre graduée associative à laquelle est ajoutée une A_{∞}-structure. Une telle structure est la donnée d’applications m_{n} pour tout entier strictement positif n. Je constate que dans notre situation ces applications sont nulles pour tout n > 5 (lemme 4.2.2).

J’explicite complètement la A_{∞}-algèbre obtenue dans les cas de PSL_{2}(q) et de PGL_{2}(q) en supposant que q est congru à 3 ou 5 modulo 8. La DG algèbre E et son homologie H^{∗}E sont dans ce cas très petites (l’homologie est de dimension respectivement 10 et 20). Grâce à l’équivalence splendide obtenue dans le troisième chapitre on connaît leur structure. Je constate alors que dans ces deux cas il est possible de choisir une A_{∞}-structure telle que les m_{n} soient nuls pour n > 3 (sections 4.3 et 4.4).

Je généralise ensuite ce résultat au cas de PGL_{2}(q) avec q impair quelconque. J’utilise pour ceci les travaux de K. Erdmann, T. Holm et M. Linckelmann. Ils ont classifié tous les blocs à groupe de défaut diédral, semi-diédral et quaternionique, à équivalence de Morita et dérivée près. Ils décrivent chacune de ces classes d’équivalence en terme d’algèbres de carquois. Le bloc principal de PGL_{2}(q) étant de défaut diédral, ceci me permet de calculer la structure de la A_{∞}-algèbre obtenue. Je montre alors qu’il est possible de choisir cette structure de façon à ce que tous les m_{n} soient nuls pour n > 3.

On trouvera en annexe A des rappels sur le théorème de fusion d’Alperin ainsi que sur le contrôle de la fusion. En annexe B figurent les tables de caractères des groupes PSL_{2}(q), PGL_{2}(q), SL_{2}(q), GL_{2}(q), 𝔄_{4} et 𝔖_{4}, ainsi que leurs matrices de décomposition et de Cartan en caractéristique 2, puis la structure des modules projectifs indécomposables pour 𝔄_{4} et 𝔖_{4}.

Introduction  18

Chapitre 1

Le groupe GL_{2}(q)

Dans ce chapitre nous définissons les notations qui seront utilisées dans toute la thèse, et nous donnons des propriétés générales du groupe GL_{2}(q). Nous rappellerons également les résultats de la théorie de Deligne-Lusztig appliquée au groupe GL_{2}(q).

1.1 Notations générales

1.1.1 Anneaux et corps de base

Soit ℓ un nombre premier. On fixe un système ℓ-modulaire (K, O, k), c’est-à-dire que l’on choisit un anneau de valuation discrète complet O, de corps résiduel k, tels que O soit de caractéristique nulle et k de caractéristique non-nulle ℓ. On note K le corps des fractions de O.

On note P l’idéal maximal de O, si bien que P = ℓO et k = O/P.

On suppose de plus que O est assez gros pour tous les groupes finis en présence, cf [Se1, Chapitre 3].

Soit p un nombre premier et 𝔽 un corps algébriquement clos de caractéristique p. Soit q une puissance de p, on note 𝔽_{q^{2}} le sous-corps de 𝔽 à q^{2} éléments, et 𝔽_{q} le sous-corps de 𝔽_{q^{2}} à q éléments.

On choisit un générateur β du groupe cyclique 𝔽_{q^{2}}^{×} et on pose α = β^{q+1}. Ainsi α engendre 𝔽_{q}^{×}.

Pour tout entier n, soit μ_{n} le sous-groupe multiplicatif de O^{∗} contenant les x tels que x^{n} = 1. On choisit un générateur ζ de μ_{q^{2}−1}, donc une racine de l’unité d’ordre q^{2}−1 de O. On pose ξ = ζ^{q+1}, donc ξ est une racine de l’unité d’ordre q −1 de O et ξ engendre μ_{q−1}. Ainsi les assignations β ↦ ζ et α ↦ ξ induisent des isomorphismes de groupes 𝔽_{q^{2}}^{×} ⟶^{∼} μ_{q^{2}−1} et 𝔽_{q}^{×} ⟶^{∼} μ_{q−1}.

20  Chapitre 1 : Le groupe GL_{2}(q)

On définit a, b, u et v comme étant les uniques entiers tels que q−1 = ℓ^{a}u, q + 1 = ℓ^{b}v, et u et v sont premiers à ℓ.

On pose β′ = β^{uv}, α′ = α^{u}, et β′′ = β^{v}, ce que l’on peut schématiser comme suit, où une ligne montant de t à t′ indexée par w signifie que t′ = t^{w} :

[figure: 1; ℓ^{a}; α; ℓ^{b}; u; α′; ℓ^{b}; β; v; β′′; u; β′]

On pose également ζ′ = ζ^{uv}, ξ′ = ξ^{u} et ζ′′ = ζ^{v}. Bien sûr, ces notations sont plus simples si ℓ est différent de 2.

1.1.2 Groupes

Tous les groupes seront notés multiplicativement, leur unité sera notée e. Si n est un entier on notera C_{n} le groupe cyclique d’ordre n, 𝔖_{n} le groupe des permutations de l’ensemble {1, …, n}, 𝔄_{n} le sous-groupe d’indice 2 de 𝔖_{n} contenant les permutations paires, puis D_{2n} le groupe diédral d’ordre 2n, défini par générateurs et relations de la façon suivante :

D_{2n} = {r, s | r^{n} = s^{2} = e, srs = r^{−1}}.

Si n est pair, on note Q_{2n} le groupe quaternionique d’ordre 2n défini par :

Q_{2n} = {r, s | r^{n} = e, s^{2} = r^{n/2}, srs^{−1} = r^{−1}},

et si n est un multiple de 4 on note SD_{2n} le groupe semi-diédral, défini par :

SD_{2n} = {r, s | r^{n} = s^{2} = e, srs = r^{n/2−1}}.

Si G est un groupe et H un sous-groupe de G nous noterons N_{G}(H) et C_{G}(H) respectivement le normalisateur et le centralisateur de H dans G. Nous noterons Z(G) le centre de G, et G′ le sous-groupe engendré par les crochets ghg^{−1}h^{−1} où g et h parcourent G. On note G^{op} le groupe opposé de G, c’est-à-dire le groupe dont l’ensemble sous-jacent est celui de G et la multiplication est définie par (g, h) ↦ hg.

Si G est un groupe fini, on désigne par O_{ℓ′}(G) le plus grand sous-groupe distingué de G d’ordre premier à ℓ, et par O^{ℓ}(G) le plus grand quotient de G qui soit un ℓ-groupe.

On appelle sous-groupe local d’un groupe G un sous-groupe strict qui est le normalisateur d’un ℓ-sous-groupe.

1.1.3 Blocs

D’après [NT, théorème 6.24], deux caractères χ et χ′ d’un groupe G sont dans le même ℓ-bloc de OG si et seulement si on a

∀g ∈ G \frac{χ(g)|Cl(g)|}{χ(1)} ≡ \frac{χ′(g)|Cl(g)|}{χ′(1)} (mod P).

où Cl(g) désigne la classe de conjugaison de g dans G (on a donc |Cl(g)| = |G|/|C_{G}(g)|).

On notera B_{ℓ}(G) le ℓ-bloc principal de OG. Le bloc principal est celui qui contient le caractère trivial, donc un caractère χ est dans B_{ℓ}(G) si et seulement si on a

∀g ∈ G \frac{χ(g)|Cl(g)|}{χ(1)} ≡ |Cl(g)| (mod P).

On utilisera le résultat suivant : si η est une racine de l’unité de O d’ordre ℓ^{c}w où ℓ ne divise pas w, alors la classe de η modulo P est d’ordre w.

1.1.4 Algèbre homologique

Soit A un anneau. On note A^{op} l’anneau opposé de A.

On note A-mod la catégorie des A-modules à gauche de type fini, mod-A la catégorie des A-modules à droite de type fini. On note A-proj la souscatégorie pleine de A-mod dont les objets sont projectifs. Si B est un autre anneau, on note A-mod-B la catégorie des (A, B)-bimodules de type fini. Si A et B sont des algèbres sur un anneau commutatif R, cette catégorie est canoniquement isomorphe à la catégorie (A ⊗_{R} B^{op})-mod.

On note C(A) la catégorie des complexes de A-modules de type fini. Les complexes sont supposés à différentielle croissante, ainsi un complexe C est un diagramme de A-mod

[figure: C :; C^{i−1}; d^{i−1}; C^{i}; d^{i}; C^{i+1}]

tel que d^{i} ∘ d^{i−1} = 0 pour tout entier i. Pour tout entier n on note C[n] le complexe décalé de n rang vers la gauche de C, défini par C[n]^{i} = C^{n+i} et d_{C[n]}^{i} = (−1)^{in}d_{C}^{i}.

On utilisera les notations Z^{i}(C) = ker d^{i}, B^{i}(C) = im d^{i−1} et H^{i}(C) = Z^{i}(C)/B^{i}(C).

Ensuite on note H(A) la catégorie homotopique de A, dont les objets sont ceux de C(A) et les morphismes sont ceux de C(A) modulo homotopie.

On note D(A) la catégorie dérivée de A. Ses objets sont ceux de C(A), ses morphismes sont définis en localisant les morphismes de H(A) par rapport aux quasi-isomorphismes, i.e., en inversant les quasi-isomorphismes de H(A) (voir [Ve] ou [Gr] pour la définition originelle, ou les articles [KZ, chapitre 1], [Ke2], et [Ke4]).

On dit qu’un objet de H(A) ou de D(A) est borné s’il est isomorphe à un complexe borné. On note alors C^{b}(A), H^{b}(A), et D^{b}(A) les sous-catégories pleines de, respectivement, C(A), H(A), et D(A) dont les objets sont les objets bornés. On a équivalence entre D^{b}(A) et la sous-catégorie pleine de H(A) dont les objets sont les complexes bornés à droite, à composantes projectives, et à homologie bornée à gauche.

On dit qu’un objet C de D(A) est parfait s’il est isomorphe à un complexe borné à composantes projectives. Nous noterons A-parf la sous-catégorie pleine de D(A) dont les objets sont parfaits.

Si C est un objet parfait de D(A), on dit qu’il est générateur de D(A) si A-parf est la plus petite sous-catégorie triangulée pleine de D(A) close par facteur direct contenant C.

On dit qu’un objet C de D(A) vérifie la propriété de disjonction si pour tout entier non-nul n on a

Hom_{D^{b}(A)}(C, C[n]) = 0.

Soit maintenant A une algèbre auto-injective. On note A-stab la catégorie stable de A, c’est-à-dire la catégorie dont les objets sont ceux de A-mod et les morphismes sont définis, pour X, Y objets de A-mod, par

HomA-stab(X, Y) = Hom_{A}(X, Y)/Hom_{A}^{pr}(X, Y)

où Hom_{A}^{pr}(X, Y) désigne le sous-espace des morphismes de Hom_{A}(X, Y) se factorisant par un module projectif.

1.2 Le groupe algébrique GL_{2}

On pose G = GL_{2}(𝔽). C’est un groupe algébrique connexe. On appelle F l’endomorphisme standard de Frobenius :

\begin{aligned}F : & G & ⟶ & G \\ & (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) & ⟼ & (\begin{matrix}a^{q} & b^{q} \\ c^{q} & d^{q} \end{matrix} ) . \end{aligned}

On pose G = GL_{2}(q). On a G^{F} = G : le groupe G est l’ensemble des points fixes de G sous l’action de F.

1.3 : Le groupe GL_{2}(q)  23

Soit T le sous-groupe des matrices diagonales de G. C’est un tore maximal de G, tout tore maximal de G lui est conjugué. Il est inclus dans le sous-groupe de Borel B des matrices triangulaires supérieures et la paire (T , B) est stable par F. Le groupe de Weyl W_{G} de G, défini par W_{G} = N_{G}(T)/C_{G}(T), est d’ordre 2. On note e son élément trivial et s son élément non trivial.

Soit L : G → G l’application de Lang, définie par L(g) = g^{−1}F (g). D’après le théorème de Lang (cf par exemple [DM2, §3] ou [CG, §4]), comme G est connexe alors L est surjective. Pour tout w ∈ W_{G}, on choisit un représentant ẇ de w dans N_{G}(T), puis un antécédent γ_{w} de ẇ par L. Les tores F -stables de G sont alors les conjugués ^{γ_{w}}T. L’ensemble des points fixes par F de chacun d’entre eux est appelé tore de G. On pose

T_{w} = (^{γ_{w}}T)^{F} .

Pour w = e, on choisit bien sûr ė = 1 et γ_{e} = 1. Pour w = s, on choisit

ṡ = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) et γ = γ_{s} = ( \begin{matrix}β^{q} & β \\ 1 & 1 \end{matrix} ) .

On commettra parfois l’amalgame entre s et ṡ, en notant s = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}).

On obtient deux sous-groupes de G : le sous-groupe T_{e} des matrices diagonales de G, que l’on appelle tore déployé de G, et le sous groupe T_{s}, engendré par^{γ}(\begin{matrix}β & 0 \\ 0 & β^{q} \end{matrix} ) et appelé tore de Coxeter (car s est l’élément de Coxeter

de W_{G}).

Ces deux groupes sont abéliens, T_{e} est de cardinal (q − 1)^{2}, isomorphe à 𝔽_{q}^{×} × 𝔽_{q}^{×}, et T_{s} est de cardinal q^{2} − 1, isomorphe à 𝔽_{q^{2}}^{×}.

Nous noterons leurs caractères ainsi : soit ω le caractère de T_{s} défini par

ω : ^{γ}(\begin{matrix}β & 0 \\ 0 & β^{q} \end{matrix} ) ⟼ ζ .

Les caractères irréductibles de T_{s} sont alors les ω^{i} pour i = 0 … q^{2} − 2. Soit θ le caractères de 𝔽_{q}^{×} défini par θ(α) = ξ. Les caractères de T_{e} sont alors les θ_{(i, j)}, pour i, j = 0 … q − 2, définis par

θ_{(i, j)} : (\begin{matrix}x & 0 \\ 0 & y \end{matrix}) ⟼ θ^{i}(x)θ^{j}(y).

1.3 Le groupe GL_{2}(q)

Le groupe G = GL_{2}(q) est fini, de cardinal (q − 1)^{2}q(q + 1). On utilise l’injection GL_{2}(q) ↪ GL_{2}(q^{2}) afin d’écrire certaines classes de GL_{2}(q) dans GL_{2}(q^{2}) : on conservera tout le long de ce texte la notation γ = (\begin{matrix}β^{q} & β \\ 1 & 1 \end{matrix} ) et

on a alors le résultat suivant : si g = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) est élément de GL_{2}(𝔽), alors

γg ∈ GL_{2}(q) si et seulement g ∈ GL_{2}(q^{2}) et d = a^{q} et c = b^{q}.

Les caractères irréductibles de G sont donnés par la table B.12 page 200.

1.3.1 Les normalisateurs des tores de G

On pose H_{e} = N_{G}(T_{e}). Soit W_{e} le sous-groupe d’ordre 2 engendré par

ṡ = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}). On a H_{e} = T_{e} ⋊ W_{e}, où l’action de W_{e} sur T_{e} est donnée par

ṡ (\begin{matrix}x & 0 \\ 0 & y \end{matrix}) ṡ^{−1} = (\begin{matrix}y & 0 \\ 0 & x \end{matrix}) .

Le groupe H_{e} est donc de cardinal 2(q − 1)^{2}, ses caractères irréductibles sont donnés par la table B.13 page 202.

De même on pose H_{s} = N_{G}(T_{s}). Soit W_{s} = ^{γ}W_{e}. On a H_{s} = T_{s} ⋊ W_{s}, où l’action de W_{s} sur T_{s} est donnée par (en conjuguant tous les éléments par γ) :

ṡ(\begin{matrix}x & 0 \\ 0 & x^{q} \end{matrix} )ṡ^{−1} = (\begin{matrix}x^{q} & 0 \\ 0 & x \end{matrix}).

Le groupe H_{s} est donc de cardinal 2(q^{2} − 1), ses caractères irréductibles sont donnés par la table B.14 page 202.

1.3.2 Les sous-groupes de Sylow de G et leurs normalisateurs

Si ℓ = p, donc si ℓ divise q, alors les ℓ-sous-groupes de Sylow de G sont les sous-groupes conjugués au groupe de matrices de la forme (\begin{matrix}1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix}) où x ∈ 𝔽_{q}.

Ils sont isomorphes au groupe (𝔽_{q}, +). Cette situation ne sera pas étudiée dans cette thèse, elle est très différente des autres, et en particulier n’entre pas dans le cadre de la théorie de Deligne-Lusztig. La conjecture de Broué a été démontrée dans ce cas : M. Broué a obtenu des isotypies ([Br3, 5D]), et T. Okuyama a construit des équivalences dérivées pour le groupe SL_{2}(q) ([Ok]).

Si ℓ divise q − 1, alors T_{e} contient un ℓ-sous-groupe maximal que l’on note P_{e}. C’est un ℓ-sous-groupe de Sylow de G si ℓ ≠ 2, car G est de cardinal q(q − 1)^{2}(q + 1). On a alors N_{G}(P_{e}) = N_{G}(T_{e}) = H_{e}.

De même si ℓ divise q + 1, alors T_{s} contient un ℓ-sous-groupe maximal noté P_{s}. C’est un sous-groupe de Sylow de G si ℓ ≠ 2. On a alors N_{G}(P_{s}) = N_{G}(T_{s}) = H_{s}.

1.4 : ℓ = 2, q impair  25

Supposons maintenant que ℓ = 2 et que q est impair. On a alors q − 1 = 2^{a}u et q +1 = 2^{b}v avec u et v impairs, et l’ordre d’un ℓ-sous-groupe de Sylow de G est 2^{2a+b}. Selon la congruence de q modulo 4, l’un des entiers a et b est égal à 1 et l’autre est strictement supérieur à 1. Les sous-groupes P_{e} et P_{s} sont d’ordre respectif 2^{2a} et 2^{a+b}, ainsi l’un de ces deux groupes est d’indice 2 dans un sous-groupe de Sylow de G.

Si q est congru à 1 modulo 4, alors b = 1, et un sous-groupe de Sylow de G est S_{e} = P_{e} ⋊ W_{e}. Il n’est pas abélien.

Soit H′_{e} = N_{G}(S_{e}). On obtient

H′_{e} = \{(\begin{matrix}x & 0 \\ 0 & xα′^{n} \end{matrix} ) , (\begin{matrix}0 & x \\ xα′^{n} & 0 \end{matrix}) x ∈ 𝔽_{q}^{×}, n = 0 … 2^{a} − 1\} .

Le groupe H′_{e} est de cardinal 2^{a+1}(q − 1) et on a un isomorphisme

H′_{e} ≃ (C_{q−1} × C_{2^{a}}) ⋊ C_{2},

où l’action de l’élément non-trivial de C_{2} sur C_{q−1} × C_{2^{a}} est donnée par (x, y) ↦ (xy, y^{−1}) (en utilisant l’injection canonique C_{2^{a}} ↪ C_{q−1}). Ses caractères irréductibles sont donnés par la table B.15 page 203.

Si q est congru à 3 modulo 4, alors a = 1 et un sous-groupe de Sylow de G est S_{s} = P_{s} ⋊ W_{s}. Il n’est pas abélien non plus.

Soit H′_{s} = N_{G}(S_{s})^{γ}. On obtient

H′_{s} = \{(\begin{matrix}β′′^{n} & 0 \\ 0 & β′′^{qn} \end{matrix} ) , (\begin{matrix}0 & β′′^{n} \\ β′′^{qn} & 0 \end{matrix} ) n = 0 … 2^{b}(q − 1) − 1\} .

Le groupe H′_{s} est de cardinal 2^{b+1}(q − 1), on a un isomorphisme

H′_{s} ≃ C_{2^{b}(q−1)} ⋊ C_{2}

où l’action de l’élément non trivial de C_{2} sur C_{2^{b}(q−1)} est donnée par x ↦ x^{q}. Ses caractères irréductibles sont donnés par la table B.16 page 203.

On a donc vu que les ℓ-sous-groupes de Sylow de G ne sont pas abéliens si et seulement si q est impair et ℓ = 2.

1.4 Situation ℓ = 2, q impair

On suppose donc que ℓ = 2 et que q est impair.

Le cardinal de G est

|GL_{2}(q)| = (q − 1)^{2}q(q + 1) = 2^{2a+b}qu^{2}v,

donc celui de PSL_{2}(q) est

|PSL_{2}(q)| = \frac{1}{2}(q − 1)q(q + 1) = 2^{a+b−1}quv.

En conséquence si q ≡ ±3 mod 8 alors les 2-sous-groupes de Sylow de PSL_{2}(q) sont d’ordre 4, et ils sont donc abéliens. Leurs images réciproques dans SL_{2}(q) sont des sous-groupes de Sylow de SL_{2}(q). Ils ne sont plus abéliens, mais nous allons voir que leur normalisateur dans G contrôle la fusion des 2-sous-groupes de G.

Nous verrons ensuite que par contre, si q ≡ ±1 (mod 8), alors aucun sous-groupe local ne contrôle la fusion. La définition de la notion de contrôle de la fusion figure dans l’annexe A (définition A.2.1).

1.4.1 Cas q ≡ ±3 (mod 8)

On suppose donc que q ≡ ±3 (mod 8). Soit P′ un 2-sous-groupe de Sylow de SL_{2}(q) et H = N_{G}(P′) son normalisateur dans G.

Si q ≡ 5 (mod 8), on choisit pour P′ le sous-groupe de P_{e}⋊W_{e} contenant

les éléments de la forme (\begin{matrix}x & 0 \\ 0 & x^{−1} \end{matrix} ) et (\begin{matrix}0 & x \\ −x^{−1} & 0 \end{matrix}). Si q ≡ 3 (mod 8), on choisit

pour P′ le sous-groupe de P_{s} ⋊ W_{s} défini de manière analogue, c’est-

Les structures de P′ et de H sont données par la propriété suivante :

Propriété 1.4.1. On a des isomorphismes P′ ≃ Q_{8}, N_{SL_{2}(q)}(P′) ≃ Q_{8}⋊C_{3}, et H ≃ (Q_{8} ⋊ C_{3}) ⋊ C_{q−1}.

Démonstration : On sépare les cas q ≡ 5 (mod 8) et q ≡ 3 (mod 8).

Cas q ≡ 5 (mod 8)

On vérifie facilement que P′ est isomorphe au groupe quaternionique à 8

éléments en posant h_{I} = (\begin{matrix}α′ & 0 \\ 0 & −α′ \end{matrix} ) et h_{J} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}), puis h_{K} = h_{I}h_{J} = (\begin{matrix}0 & α′ \\ α′ & 0 \end{matrix} ).

Alors P′ est engendré par h_{I} et h_{J}, ces deux éléments sont d’ordre 4, leurs carrés sont égaux, et h_{I}h_{J}h_{I}^{−1} = h_{J}^{−1}.

On calcule ensuite que

H = \{α^{i} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & α′^{j} \end{matrix} ) , α^{i} (\begin{matrix}0 & 1 \\ α′^{j} & 0 \end{matrix}) , α^{i} (\begin{matrix}1 & α′^{j} \\ α′^{k} & −α′^{j+k} \end{matrix} ) i = 0 … q − 2, j, k = 0 … 3\} .

On pose A = \frac{α′+1}{2} (\begin{matrix}1 & 1 \\ α′ & −α′ \end{matrix} ) : c’est un élément d’ordre 3 et de déterminant

1. On montre que le cardinal de N_{SL_{2}(q)}(P′) est 24, donc que N_{SL_{2}(q)}(P′) ≃ Q_{8} ⋊ C_{3}. L’action de A sur Q_{8} est donnée par Ah_{I}A^{2} = h_{J}, Ah_{J}A^{2} = h_{K}.

On pose ensuite B = α_{0} (\begin{matrix}1 & α′ \\ α′ & 1 \end{matrix} ), où α_{0} est une racine de α/2. Pour affirmer

que α_{0} est bien élément de 𝔽_{q}^{×} il faut s’assurer que 2 n’est pas un carré, on peut le vérifier dans [Se2] : 2 est un carré dans 𝔽_{p} si et seulement p ≡ ±1 mod 8, ce qui s’étend facilement à q = p^{n} en séparant les cas n pair et n impair.

Les valeurs propres de (\begin{matrix}1 & α′ \\ α′ & 1 \end{matrix} ) sont 1 ± α′, le déterminant de B est α,

donc B est d’ordre (q − 1) et le groupe qu’il engendre est d’intersection triviale avec SL_{2}(q). En notant C_{q−1} celui-ci on a donc un isomorphisme H ≃ (Q_{8} ⋊ C_{3}) ⋊ C_{q−1} .

Cas q ≡ 3 (mod 8)

On calcule que

H^{γ} = \{α^{i}β′′^{j} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & β′^{2j} \end{matrix} ) , α^{i}β′′^{j} (\begin{matrix}0 & 1 \\ β′^{2j} & 0 \end{matrix}) , α^{i}β′′^{j+k−1} (\begin{matrix}1 & β′^{2j+1} \\ β′^{2k+1} & −β′^{2(j+k−1)} \end{matrix} )

i = 0 … q − 2, j, k = 0 … 3} .

On obtient H ≅ (Q_{8} ⋊C_{3})⋊C_{q−1} comme précédemment en posant (dans le groupe conjugué H^{γ})

• h_{I} = (\begin{matrix}β′^{2} & 0 \\ 0 & −β′^{2} \end{matrix} ), h_{J} = (\begin{matrix}0 & β′ \\ β′^{3} & 0 \end{matrix} ),

• A = \frac{β′+β′^{3}}{2} (\begin{matrix}β′ & 1 \\ 1 & β′^{3} \end{matrix} ),

• B = β′′^{2} (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}).

□

On trouvera en annexe B les tables de caractères de Q_{8} ⋊ C_{3} (table B.17 page 204) et de H (table B.18 page 204 si q ≡ 5 (mod 8), table B.19 page 205 si q ≡ 3 (mod 8)).

Il existe un 2-sous-groupe de Sylow S de G contenu dans H. En effet, soit S un 2-sous-groupe de Sylow de G contenant P′, on a alors P′ = S ∩ SL_{2}(q) par maximalité de P′. Ceci impose que S normalise P′, i.e., S ⊆ H. On a alors la propriété suivante :

Propriété 1.4.2. Le sous-groupe H contrôle la fusion des 2-sous-groupes de G.

Pour démontrer cette propriété, on se place dans le quotient de G par son centre, on montre une propriété plus forte que le contrôle de la fusion dans PGL_{2}(q), dont nous aurons besoin par ailleurs (3.6.1), et ensuite nous en déduisons le contrôle de la fusion dans G :

Soit Z le centre de G. Pour tout sous-ensembe X de G on note \overline{X} l’image de X par la projection GL_{2}(q) → → PGL_{2}(q).

L’injection canonique \overline{H} ↪ N_{\overline{G}}(\overline{P}′) est un isomorphisme. En effet si h ∈ G est tel que h̄ ∈ N_{\overline{G}}(\overline{P}′), alors pour tout x ∈ P′ on a x^{h} ∈ ZP′. Or x^{h} est de déterminant 1 et d’ordre une puissance de 2. Comme le 2-centre de SL_{2}(q) est inclus dans P′, on a x^{h} ∈ P′, donc \overline{H} = N_{\overline{G}}(\overline{P}′).

Propriété 1.4.3. Pour tout 2-sous-groupe non trivial Q de \overline{H} on a

N_{\overline{G}}(Q) = N_{\overline{H}}(Q).O_{2′}(C_{\overline{G}}(Q)).

Pour démontrer ceci, nous établissons le lemme suivant :

Lemme 1.4.4. Soit w une involution de PGL_{2}(q). Alors le centralisateur de w est isomorphe à un groupe diédral, d’ordre 2(q − 1) ou 2(q + 1).

Démonstration : Soit ẇ un représentant de w dans GL_{2}(q). Comme w est

d’ordre 2 dans PGL_{2}(q), alors il existe x ∈ 𝔽_{q}^{×} tel que ẇ^{2} = (\begin{matrix}x & 0 \\ 0 & x \end{matrix}). Si x est un carré dans 𝔽_{q}, alors on peut modifier ẇ de façon à ce qu’il soit d’ordre 2.

Il est alors conjugué à la matrice (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}), on a alors

g (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) g^{−1} ∈ Z (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) ⟺ g ∈ H_{e} = T_{e} ⋊ W_{e}.

L’image de H_{e} dans \overline{G} est un groupe diédral d’ordre 2(q − 1), donc le centralisateur de w est isomorphe au groupe diédral d’ordre 2(q − 1).

Si x n’est pas un carré dans 𝔽_{q}, alors il existe une racine carrée y de x

dans 𝔽_{q^{2}}, et ẇ est conjugué dans GL_{2}(q) à l’élément ^{γ}(\begin{matrix}y & 0 \\ 0 & y^{q} \end{matrix} ) de T_{s}. On a

g^{γ}(\begin{matrix}y & 0 \\ 0 & y^{q} \end{matrix} )g^{−1} ∈ Z^{γ}(\begin{matrix}y & 0 \\ 0 & y^{q} \end{matrix} ) ⟺ g ∈ H_{s} = T_{s} ⋊ W_{s},

l’image de H_{s} dans \overline{G} est un groupe diédral d’ordre 2(q + 1), donc le centralisateur de w est isomorphe au groupe diédral à 2(q + 1) éléments. □

Démonstration de la propriété 1.4.3 : On a un 2-sous-groupe de Sylow \overline{S} de \overline{H} (donc de \overline{G}). On connaît la structure de S, elle dépend de la congruence de q modulo 4, mais dans les deux cas \overline{S} est isomorphe au groupe diédral à 8 éléments D_{8}. On appelle C le sous-groupe cyclique d’ordre 4 de \overline{S}. C’est l’image dans \overline{G} de l’un des deux groupes P_{e} et P_{s}.

Il existe un sous-groupe W de \overline{S} ∩ PSL_{2}(q) tel que \overline{S} = C ⋊ W. Soit C′ le sous-groupe d’ordre 2 de C, le groupe C′ × W est alors commutatif, c’est un sous-groupe de Sylow de PSL_{2}(q). Comme il est inclus dans \overline{S}, il est égal à \overline{P}′.

On a donc la liste des classes de conjugaison de 2-sous-groupes non triviaux de \overline{H} :

\{C′, W, C′ × W, C, \overline{S}\}.

On pose T = C_{\overline{G}}(C). C’est un tore de \overline{G}, d’ordre q − 1 ou q + 1, selon qu’il est image d’un conjugué de T_{e} ou de T_{s}. Soit T′ = O_{2′}(T), on a

T = C × T′ et O_{2′}(T ⋊ W) = T′.

Si Q = C′ alors N_{\overline{G}}(C′) = C_{\overline{G}}(C′). On a T ⋊ W ⊆ C_{\overline{G}}(C′) puis le lemme 1.4.4 implique l’égalité : C_{\overline{G}}(C′) = T ⋊ W. Comme C ⊆ \overline{H} on a le résultat.

Si Q = W alors N_{\overline{G}}(W) = C_{\overline{G}}(W). Le lemme 1.4.4 nous assure que C_{\overline{G}}(W) est un groupe diédral, donc O^{2}(C_{\overline{G}}(W)) est isomorphe soit au groupe diédral à 8 éléments, soit au groupe de Klein (à 4 éléments). Comme W est inclus dans le tore qui ne contient pas C, O^{2}(C_{\overline{G}}(W)) est isomorphe au groupe de Klein. Or il contient W et C′, donc on a le résultat.

Si Q = C′ × W, le résultat est clair car C′ × W = \overline{P}′ et H = NḠ(\overline{P}′). Si Q = C, N_{\overline{G}}(C) = T ⋊ W et le résultat est immédiat, de même que si Q = \overline{S} car N_{G}(\overline{S}) ⊂ N_{G}(C). □

Démonstration de la propriété 1.4.2 : D’après la propriété A.2.2, il suffit de montrer que pour tout sous-groupe Q de S on a

N_{G}(Q) = N_{H}(Q)C_{G}(Q).

Soit g ∈ N_{G}(Q). D’après la propriété précédente, il existe g_{1} et g_{2} tels que g = g_{1}g_{2}, ḡ_{1} ∈ N_{\overline{H}}(\overline{Q}), et ḡ_{2} ∈ O_{2′}(C_{\overline{G}}(\overline{Q})).

Soit x ∈ Q. Il existe z ∈ Z tel que x^{g_{2}} = zx. Comme x est un 2-élément, l’ordre de z est une puissance de 2. Comme g_{2} est un 2’-élément, l’ordre de z est premier avec 2, donc z = 1 et g_{2} ∈ C_{G}(Q).

Comme g = g_{1}g_{2}, alors g_{1} normalise Q. On a ḡ_{1} ∈ \overline{H} et Z ⊆ H, donc g_{1} ∈ H, et finalement g ∈ N_{H}(Q)C_{G}(Q). □

On a également la propriété suivante :

Propriété 1.4.5. Si q ≡ ±3 (mod 8), alors le groupe \overline{H} est isomorphe au groupe symétrique 𝔖_{4}.

Démonstration : On utilise les isomorphismes P′ ≃ Q_{8} et N_{SL_{2}(q)}(P′) ≃ Q_{8} ⋊ C_{3} (cf propriété 1.4.1).

Soit Z′ le centre de SL_{2}(q), il est d’ordre 2, ses éléments sont les matrices scalaires ±1. Son élément non trivial est identifié à l’élément -1 de Q_{8}. Comme Z′ est contenu dans P′, on a N_{PSL_{2}(q)}(P′/Z′) = (N_{SL_{2}(q)}(P′))/Z′. Le sous-groupe \overline{P}′ = P′/Z′ est un 2-sous-groupe de Sylow de PSL_{2}(q), et on a donc N_{PSL_{2}(q)}(\overline{P}′) = (C_{2} × C_{2}) ⋊ C_{3}. On sait que le produit semi-direct ne peut pas être direct car l’action de C_{3} sur Q_{8} est d’ordre 3. On a donc N_{PSL_{2}}(\overline{P}′) ≃ 𝔄_{4}.

D’autre part, comme Z′ = Z ∩ P′, on a

N_{PGL_{2}(q)}(\overline{P}′) = (N_{GL_{2}(q)}(P′))/Z = \overline{H}.

Comme H est de cardinal 24(q − 1), alors N_{PGL_{2}(q)}(\overline{P}′) est de cardinal 24, et N_{PSL_{2}(q)}(\overline{P}′) est distingué d’indice 2 dans N_{PGL_{2}(q)_{2}}(\overline{P}′).

Montrons que si Γ est un groupe dans lequel 𝔄_{4} est d’indice 2 alors Γ est isomorphe soit à 𝔖_{4} soit à 𝔄_{4} × C_{2}. Tout d’abord, 𝔖_{4} est isomorphe à Aut(𝔄_{4}) : en effet comme 𝔄_{4} est distingué dans 𝔖_{4}, la conjugaison par les éléments de 𝔖_{4} induit un morphisme 𝔖_{4} → Aut(𝔄_{4}). Un élément du noyau de ce morphisme est un élément de 𝔖_{4} qui commute à tout élément de 𝔄_{4}, donc l’unité de 𝔖_{4}, et ainsi le morphisme 𝔖_{4} → Aut(𝔄_{4}) est injectif. Mais 𝔄_{4} contient 3 éléments d’ordre 2 et 8 éléments d’ordre 3, et il suffit d’un élément d’ordre 2 et un élément d’ordre 3 pour engendrer tout le groupe, donc un élément de Aut(𝔄_{4}) est déterminé par l’image d’un élément d’ordre 2 et d’un élément d’ordre 3, donc il contient au maximum 24 éléments, ce qui montre que l’on a un isomorphisme 𝔖_{4} ⟶^{∼} Aut(𝔄_{4}).

Comme 𝔄_{4} est distingué dans Γ, on a un morphisme Γ → Aut(𝔄_{4}). L’image de 𝔄_{4} par ce morphisme est le sous-groupe Int(𝔄_{4}) des automorphismes intérieurs de 𝔄_{4}, qui est isomorphe à 𝔄_{4} car le centre de 𝔄_{4} est trivial. L’image du morphisme Γ → Aut(𝔄_{4}) est donc soit 𝔄_{4}, soit Aut(𝔄_{4}). Dans le premier cas, on obtient un scindage de la suite exacte

1 → 𝔄_{4} → Γ → C_{2} → 1,

et donc on a un isomorphisme Γ ≃ 𝔄_{4} × C_{2}, dans l’autre on obtient un isomorphisme Γ ≃ 𝔖_{4}.

Notons que le 2-sous-groupe de Sylow de Γ est isomorphe à C_{2} × C_{2} × C_{2} dans le premier cas, et au groupe diédral D_{8} dans le second cas.

Le 2-sous-groupe de Sylow de \overline{H} est l’image de celui de H par la projection canonique. Si q ≡ 5 (mod 8), alors le 2-sous-groupe de Sylow de H est isomorphe à (C_{4} × C_{4}) ⋊ C_{2}, où l’action de C_{2} sur (C_{4} × C_{4}) est donnée par l’application (x, y) ↦ (y, x). Son intersection avec le centre s’identifie aux éléments (x, x) de C_{4} × C_{4}, donc le 2-sous-groupe de Sylow de H est isomorphe à D_{8}.

Si q ≡ 3 (mod 8), alors le 2-sous-groupe de Sylow de H est isomorphe à C_{8} ⋊ C_{2}, où l’action de C_{2} est donnée par x ↦ x^{3}. Son intersection avec le centre est l’ensemble {e, x^{4}} de C_{8}, donc le 2-sous-groupe de Sylow de H est isomorphe à D_{8} ici aussi.

Finalement on a un isomorphisme \overline{H} ⟶^{∼} 𝔖_{4}. □

1.4.2 Cas q ≡ ±1 (mod 8)

On suppose donc que q ≡ ±1 (mod 8). Nous avons alors la propriété suivante :

Propriété 1.4.6. Aucun sous-groupe local de G ne contrôle la fusion des 2-sous-groupes de G.

Démonstration : Nous donnons une démonstration de cette propriété dans le cas q ≡ 1 (mod 8), l’autre cas se faisant selon le même schéma.

Soit P un 2-sous-groupe de G, et H = N_{G}(P) son normalisateur. On suppose que H contrôle la fusion des 2-sous-groupes de G. Il contient un 2-sous-groupe de Sylow, donc nous pouvons supposer que P est distingué dans S_{e}, i.e., que S_{e} ⊆ H.

Comme H contrôle la fusion, pour tout sous-groupe Q de S_{e} on a

N_{G}(Q) ⊆ H C_{G}(Q).  (1.1)

Soit α_{0} une racine de −1 dans 𝔽_{q}, et Q le sous-groupe engendré par les matrices

h_{I} = (\begin{matrix}α_{0} & 0 \\ 0 & −α_{0} \end{matrix} ) et h_{J} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) .

On obtient bien un sous-groupe de S_{e}, isomorphe au groupe quaternionique Q_{8}, si q était congru à 5 modulo 8 alors Q serait un 2-sous-groupe de Sylow de SL_{2}(q).

Le centralisateur de Q est alors le centre de G, qui est évidemment inclus dans H, donc on a N_{G}(Q) ⊆ H.

Nous avons calculé dans la démonstration de la propriété 1.4.1 que N_{G}(Q)

contient l’élément A = \frac{α_{0}+1}{2} (\begin{matrix}1 & 1 \\ α_{0} & −α_{0} \end{matrix} ).

On rappelle que

S_{e} = \{(\begin{matrix}α^{′n} & 0 \\ 0 & α^{′m} \end{matrix} ) , (\begin{matrix}0 & α^{′n} \\ α^{′m} & 0 \end{matrix} ) | n, m = 1 … 2^{a}\} .

Soit Q_{0} le sous-groupe de S_{e} défini par

Q_{0} = \{α^{′n} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , α^{′n} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) , α^{′n} (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , α^{′n} (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) | n = 1 … 2^{a}\} .

En calculant les conjugués des éléments de S_{e} par A, on montre que si A ∈ H = N_{G}(P) alors P ⊆ Q_{0}.

Si P contient un élément de la forme α^{′n} (\begin{matrix}0 & 1 \\ ±1 & 0 \end{matrix}), alors comme P ◁ S_{e}, P doit contenir l’élément

(\begin{matrix}α′ & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) . [α^{′n} (\begin{matrix}0 & 1 \\ ±1 & 0 \end{matrix})] . (\begin{matrix}α^{′−1} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = α^{′n+1} (\begin{matrix}0 & 1 \\ ±α^{′−2} & 0 \end{matrix})

mais comme q est congru à 1 modulo 8 alors α^{′−2} ≠ ±1, donc on a une contradiction, et P est inclus dans le groupe Q_{1} = Q_{0} ∩ T_{e}.

Si P contient un élément de la forme α^{′n} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}), comme A ∈ H alors P doit contenir l’élément

A. [α^{′n} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix})] .A^{−1} = α′n (\begin{matrix}0 & −α_{0} \\ α_{0} & 0 \end{matrix} ) ,

qui n’est pas dans T_{e}. Ainsi P est inclus dans le centre de G, donc H = G, ce qui contredit le fait que les sous-groupes locaux sont supposés stricts. □

1.5 Théorie de Deligne-Lusztig

1.5.1 Résumé de la théorie

La théorie de P. Deligne et G. Lusztig est publiée dans l’article [DL]. Elle est aussi exposée dans le livre de F. Digne et J. Michel [DM2]. Ce livre traite en particulier l’exemple de GL_{2}(q). Le chapitre 4 du livre de R. Carter et M. Geck [CG] donne aussi un résumé de cette théorie. Comme nous sommes concernés par le cas de GL_{2}(𝔽), nous nous contenterons dans ce résumé du cas des tores, i.e., nous ne considèrerons pas les sous-groupes de Levi de G.

Variétés de Deligne-Lusztig

Soit G un groupe algébrique connexe sur le corps 𝔽, défini sur 𝔽_{q}. Soit F un endomorphisme de Frobenius associé à une structure 𝔽_{q}-rationnelle de G, et L : G → G l’application de Lang, définie par L(g) = g^{−1}F (g).

Soit (T , B) une paire F -stable composée d’un tore maximal T et d’un sous-groupe de Borel B contenant T. On note U le radical unipotent de B.

Pour tout élément w du groupe de Weyl W_{G} = N_{G}(T)/T de G, on choisit un représentant ẇ de w dans N_{G}(T), et un élément γẇ de G tel que L(γẇ) = ẇ. On note Tẇ = ^{γẇ}T, Bẇ = ^{γẇ}B et Uẇ = ^{γẇ}U.

On appelle variété de Deligne-Lusztig associée à ẇ la variété Y ẇ définie par (cf [DL, 1.11.4]) :

Y ẇ = {g ∈ G | L(g) ∈ F (Uẇ)} /(F (Uẇ) ∩ Uẇ).

Cette variété est notée X̃(ẇ) dans [DL]. Nous faisons dorénavant l’abus de notations consistant à noter respectivement γ_{w}, T_{w}, B_{w}, U_{w} et Y_{w} au lieu de γẇ, Tẇ, Bẇ, Uẇ et Y ẇ.

La variété Y_{w} est lisse, sa dimension est la longueur l(w) de w dans W_{G}. La multiplication de G induit sur Y_{w} une action de G = G^{F} à gauche (car F (g) = g pour tout g ∈ G) et une action de T_{w} = T_{w}^{F} à droite (car U_{w} est normalisé par T_{w}, donc par T_{w}).

L’endomorphisme F n’agit pas sur Y_{w} en général. Si δ est l’ordre de w dans W_{G}, alors F^{δ} agit sur Y_{w}. Il est possible de tordre l’action de F sur G pour qu’elle agisse vraiment sur Y_{w}, cf [Ro5, 4.1.2.]. Si F induit l’action triviale sur W_{G}, l’action tordue est définie par F_{w} : g ↦ F (g)w′ où w′ = γ_{w}ẇγ_{w}^{−1}, i.e., w′ représente w dans N_{G}(T_{w}).

Complexes de Deligne-Lusztig

On s’intéresse ensuite à la cohomologie ℓ-adique à support compact du faisceau constant égal à O sur Y_{w}. Celle-ci est notée H_{c}^{∗}(Y_{w}, O), elle est définie comme étant la cohomologie d’un objet de la catégorie dérivée bornée D^{b}(O[G×T_{w}^{op}]) noté RΓ_{c}(Y_{w}, O). On renvoie à [FK, I, §8] pour la définition de cet objet.

Dans l’article [Ri3], J. Rickard montre qu’il existe un objet canonique de la catégorie homotopique H^{b}(O[G × T_{w}^{op}]) noté Λ_{c}(Y_{w}, O) isomorphe à RΓ_{c}(Y_{w}, O) dans la catégorie dérivée D^{b}(O[G × T_{w}^{op}]) (cf [Ri3, 3.1, 3.2]). De plus, cet objet est un complexe de OG-modules de ℓ-permutation.

Dans l’article [Ro5], R. Rouquier donne une construction fonctorielle d’un complexe borné de O[G × T_{w}^{op}]-modules noté R̃Γ_{c}(Y_{w}, O) (cf [Ro5, 2.2.5]) qui représente RΓ_{c}(Y_{w}, O) dans la catégorie dérivée. De plus, si la variété Y_{w} est munie d’une action d’un monoïde quelconque Υ alors R̃Γ_{c}(Y_{w}, O) est un vrai complexe de Υ-modules, i.e., les actions sur la variété Y_{w} induisent de véritables actions sur le complexe R̃Γ_{c}(Y_{w}, O), et non plus des actions définies à homotopies près. On obtient en particulier une action de l’endomorphisme de Frobenius tordu F_{w} défini ci-dessus.

On notera dans toute la suite Λ_{w} l’objet de la catégorie homotopique représentant R̃Γ_{c}(Y_{w}, O).

Induction de Deligne-Lusztig

Le complexe Λ_{w} induit par produit tensoriel un couple de foncteurs biadjoints entre catégories homotopiques :

\xymatrix{H^{b}(OG) \ar[r]^{^{∗}R_{Tw}^{G} =Λ_{w}^{∨}⊗_{OG}−} & H^{b}(OT_{w}). \ar[l]^{R_{Tw}^{G} =Λ_{w}⊗_{OTw} −}}

Notons que le complexe R̃Γ_{c}(Y_{w}, O) n’est pas un complexe de modules de type fini en général, mais qu’il est homotope à un complexe de modules de type finis.

Les foncteurs R_{T_{w}}^{G} et ^{∗}R_{T_{w}}^{G} sont appelés respectivement induction et restriction de Deligne-Luztig. Ils induisent des correspondances entre les groupes de caractères de G et de T_{w}, cf [DM2, chapitre 11]. Si w est l’unité de W_{G}, alors on retrouve l’induction et la restriction de Harish-Chandra.

1.5.2 Application à GL_{2}(q)

On pose de nouveau G = GL_{2}(𝔽), et on utilise les notations de la section 1.2 page 22. Dans ce cas T est le sous-groupe de G contenant les matrices diagonales. On choisit pour sous-groupe de Borel B le sous-groupe de G contenant les matrices triangulaires supérieures (c’est donc bien un sousgroupe de Borel F -stable). Alors son radical unipotent U est le sous-groupe

de G contenant les matrices de la forme (\begin{matrix}1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix}) où x ∈ 𝔽.

Cas w = e

On note U = U^{F}, donc U est le sous groupe de G contenant les matrices de la forme (\begin{matrix}1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix}) où x ∈ 𝔽_{q}. La multiplication de G induit une action à gauche

de G sur l’ensemble G/U, et comme T_{e} ⊆ N_{G}(U), elle induit également une action à droite de T_{e} sur G/U.

Propriété 1.5.1. On a un isomorphisme de variétés algébriques

φ : G/U ⟶^{∼} Y_{e},

compatible aux actions de G et de T_{e}.

Démonstration : On a F (U) = U, donc

Y_{e} = {g ∈ G | L(g) ∈ U}/U.

On définit φ par φ(gU) = gU. Il est clair que φ est bien défini et injectif. Montrons qu’il est surjectif.

Soit g ∈ G tel que gU ∈ Y_{e}. Il existe alors x ∈ 𝔽 tel que L(g) = (\begin{matrix}1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix}). Comme 𝔽 est algébriquement clos il existe y ∈ 𝔽 tels que y − y^{q} = x. On a alors

g (\begin{matrix}1 & y \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∈ GL_{2}(q) et g (\begin{matrix}1 & y \\ 0 & 1 \end{matrix}) U = gU.

donc on a un antécédent de gU par φ.

Comme les deux variétés sont des ensembles de points, φ et sa réciproque sont algébriques. La compatibilité aux actions de G et de T_{e} est immédiate. □

La variété Y_{e} étant de dimension nulle, sa cohomologie H_{c}^{∗}(Y_{e}, O) est concentrée en degré 0. Un représentant de Λ_{e} dans la catégorie des complexes de O[G × T_{e}^{op}]-modules est donc le bimodule O[G/U].

Les images des caractères de T_{e} par R_{T_{e}}^{G} sont données dans [DM2, chapitre 15]. En utilisant les notations pages 23 et 200, on a

\begin{matrix}si i ≠ j & R_{T_{e}}^{G}(θ_{(i, j)}) = R_{T_{e}}^{G}(θ_{(j, i)}) = φ_{i j} \\ et & R_{T_{e}}^{G}(θ_{(i, i)}) = φ_{i} + φ′_{i} . \end{matrix}

Cas w = s

On note toujours s l’élément non trivial du groupe de Weyl W_{G} de G, cf 1.2. Soit Y_{s} la variété de Deligne-Lusztig associée à s. D’après [DL, 2.2], Y_{s} est isomorphe à la courbe affine définie par

\{( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) ∈ 𝔽^{2} | (xy^{q} − x^{q}y)^{q−1} = −1\} .

Nous allons le démontrer.

On rappelle que l’on a choisi ṡ = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), γ = γ_{s} = (\begin{matrix}β^{q} & β \\ 1 & 1 \end{matrix} ) où β est un

générateur de 𝔽_{q^{2}}^{×}. Le tore T_{s} est alors engendré par γ (\begin{matrix}β & 0 \\ 0 & β^{q} \end{matrix} ) γ^{−1}.

Comme L(γ) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), on a F (U_{s}) ∩ U_{s} = 1, donc par définition

Y_{s} = L^{−1}(F (U_{s})).

Soit Y_{s}′ la variété définie par

Y_{s}′ = \{( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) ∈ 𝔽^{2} | (xy^{q} − x^{q}y)^{q−1} = −1\} ,

on a donc la propriété suivante :

Propriété 1.5.2. Les variétés algébriques Y_{s} et Y_{s}′ sont isomorphes.

Démonstration : Soit φ l’application algébrique définie par

\begin{aligned}φ : & Y_{s} & ⟶ & Y_{s}′ \\ & g & ⟼ & g( \begin{matrix}β^{q} \\ 1 \end{matrix} ) . \end{aligned}

Montrons que φ est bien définie. Soit g un élément de Y_{s}, soit u ∈ 𝔽 tel que F (g)F (γ) = gF (γ) (\begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix}) et soit (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = φ(g). On a

det (\begin{matrix}x & x^{q} \\ y & y^{q} \end{matrix} ) = = det [gγ (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) (1 0) + F (gγ (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix})) (0 1)]
= det [gγ (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + gF (γ) (\begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})]
= det g det γ [(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})]
= det g(β^{q} − β).

Donc xy^{q} − x^{q}y ≠ 0 et (xy^{q} − x^{q}y)^{q} = det g(β − β^{q}) = −(xy^{q} − x^{q}y),

puis (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) est élément de Y_{s}′.

On définit l’application ψ par

\begin{aligned}ψ : & Y_{s}′ & ⟶ & Y_{s} \\ & (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) & ⟼ & (\begin{matrix}x & x^{q} \\ y & y^{q} \end{matrix} ) γ^{−1}. \end{aligned}

C’est une application algébrique, on montre facilement qu’elle est bien définie, i.e., que

L(ψ (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix})) ∈ F (U).

On montre ensuite que ψ est l’inverse de φ. Il est clair que φ ∘ ψ = Id. Pour l’autre sens, si (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = φ(g), en posant L(g) = F (γ)(\begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix})F (γ^{−1}), on a

(\begin{matrix}x^{q} \\ y^{q} \end{matrix} ) = F (g) (\begin{matrix}β \\ 1 \end{matrix} ) = gF (γ) (\begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix}) F (γ^{−1}) (\begin{matrix}β \\ 1 \end{matrix} )

donc ψ ∘ φ(g) = g ((\begin{matrix}β^{q} & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) + F (γ) (\begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix}) F (γ^{−1}) (\begin{matrix}0 & β \\ 0 & 1 \end{matrix} )) γ^{−1}

et comme γ^{−1} (\begin{matrix}β^{q} \\ 1 \end{matrix} ) = (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) alors (\begin{matrix}0 & u \\ 0 & 0 \end{matrix}) F (γ^{−1}) (\begin{matrix}0 & β \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = 0, et φ ∘ ψ = Id. □

On vérifie facilement que la variété Y_{s}′ –donc la variété Y_{s}– est lisse, ce qui est déjà assuré par [DL, 1.4].

Actions

La multiplication de G induit sur la variété Y_{s} une action à gauche de G et une action à droite de T_{s}. L’action de G devient par transport de structure via φ la restriction de l’action canonique de G sur 𝔽^{2} par multiplication à gauche, et l’action de T_{s} devient l’action de multiplication par un scalaire définie par

si t = γ ( \begin{matrix}β^{i} & 0 \\ 0 & β^{qi} \end{matrix} ) γ^{−1}, alors ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) · t = ( \begin{matrix}xβ^{i} \\ yβ^{i} \end{matrix} ) .

La variété Y_{s} est munie d’un endomorphisme de Frobenius F_{s} défini par g ↦ F (g)s′, où s′ = γ (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) γ^{−1} (cf définition de F_{w} page 33). On montre que par transport de structure cette action devient l’action naturelle :

F_{s} : ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}x^{q} \\ y^{q} \end{matrix} ) .

Cette action commute avec celle de G, mais pas avec celle de T_{s} : on a tF_{s} = F_{s}t^{q}. Donc l’action de F_{s}^{2} commute avec celle de T_{s}.

Composantes connexes

On note dorénavant Y_{s} pour Y_{s}′.

Si q est impair, on choisit dans 𝔽 une racine de l’unité d’ordre 2(q − 1) et on l’appelle μ. Si q est pair, on choisit une racine de l’unité d’ordre (q − 1), donc on peut poser μ = α. L’équation définissant Y_{s} est

∏_{i=1}^{q−1}(xy^{q} − x^{q}y − μ^{2i−1}) = 0.

Ceci définit alors les composantes connexes de Y_{s}, grâce au lemme suivant :

Lemme 1.5.3. Soit a un élément non nul de 𝔽. Le polynôme xy^{q} − x^{q}y − a est irréductible dans 𝔽[x, y].

Démonstration : Supposons que P et Q sont deux polynômes de 𝔽[x, y] tels que P Q = xy^{q} − x^{q}y − a. En posant x = 0 on obtient que les polynômes P (0, y) et Q(0, y) sont des constantes. De même, en posant y = 0, les polynômes P (x, 0) et Q(x, 0) sont des constantes. Donc il existe des ploynômes P′ et Q′ et des constantes a_{1} et a_{2} tels que P = xyP′ + a_{1} et Q = xyQ′ + a_{2}. Mais alors

xy^{q} − x^{q}y − a = x^{2}y^{2}P′Q′ + xy(a_{2}P′ + a_{1}Q′) + a_{1}a_{2}.

Supposons que P′ et Q′ sont non nuls. Alors pour chacun d’entre eux il existe un monôme x^{i}y^{j} tel que pour tout autre monôme x^{k}y^{l} on a k ≤ i et j < l (c’est le monôme de plus haut degré en y parmi les monômes de plus degré en x). Soit R le produit de ces deux monômes multiplié par x^{2}y^{2}. C’est un monôme de P Q. Il est de degré supérieur ou égal à tous les autres monômes de P Q en x, et tous les autres monômes de P Q de degré maximal en x sont de degré en y strictement inférieur à celui de R. Donc R ne peut être annulé dans le développement de P Q. Or aucun monôme de xy^{q} − x^{q}y − a n’est divisible par x^{2}y^{2}. Ainsi P′ ou Q′ est nul et xy^{q} − x^{q}y − a est irréductible. □

On appelle Y_{s}(a) la composante connexe de Y_{s} définie par l’équation xy^{q} − x^{q}y = a, où a est une puissance impaire de μ. On vérifie que G et T agissent sur les composantes connexes via le déterminant : si g ∈ G alors g envoie Y_{s}(a) sur Y_{s}(a det g) et si t ∈ T alors t envoie Y_{s}(a) sur Y_{s}(a det t).

L’endomorphisme de Frobenius F_{s} envoie quant à lui la composante connexe Y_{s}(a) sur la composante connexe Y_{s}(−a). Si q est pair il ne permute donc pas les composantes connexes.

Induction R_{T_{s}}^{G}

Nous étudierons en détail le complexe R̃Γ(Y_{s}, O) dans la section 3.4. Donnons tout de suite l’image des caractères de T_{s} par l’induction R_{T_{s}}^{G}, toujours grâce à [DM2, chapitre 15] et en utilisant les notations pages 23 et 200 :

\begin{matrix}si (q + 1) |̸ i, & R_{T_{s}}^{G}(ω_{i}) = −ψ_{i} , \\ et & R_{T_{s}}^{G}(ω_{(q+1)i}) = φ_{i} − φ′_{i} . \end{matrix}

Isotypies

La notion de types de blocs a été introduite en 1971 par R. Brauer ([Bra]). En 1990, M. Broué a défini dans son article [Br3] la notion d’isotypie entre deux blocs, donnant ainsi une nouvelle approche des types de blocs : deux blocs sont dits de même type s’ils sont reliés par une isotypie. Les isotypies permettent de dégager les propriétés générales (essentiellement arithmétiques) d’un type de bloc.

Dans ce chapitre nous allons donner la définition d’une isotypie, puis quelques lemmes permettant de montrer qu’une application est une isotypie. Ensuite nous nous intéresserons au cas du groupe GL_{2}(q), où q est une puissance d’un nombre premier.

2.1 Définitions

On utilise toujours le système modulaire (K, O, k) défini page 19, en supposant toujours que O est de caractéristique nulle et assez gros pour tous les groupes en présence, et que k de caractéristique non nulle ℓ.

Pour tout groupe fini G on note toujours B_{ℓ}(G) le bloc principal de OG.

2.1.1 Applications de décomposition

Soit R un anneau commutatif, G un groupe fini et B un bloc de RG associé à l’idempotent central primitif b. Suivant [Br3], on note CF (B, R) le R-module des fonctions centrales χ : G → R qui vérifient

∀g ∈ G χ(bg) = χ(g)

et CF_{ℓ′}(B, R) le R-module des fonctions de CF (B, R) nulles en dehors des ℓ′-éléments de G.

Soit x un ℓ-élément de G. On sait grâce au troisième théorème principal de Brauer que le correspondant de Brauer du bloc principal de OC_{G}(x) est le bloc principal de OG (cf par exemple [Al2, 14.1]). En conséquence la définition des applications de décomposition généralisées est la suivante (cf [Br1]) :

\begin{aligned}d_{G}^{x}(χ) : & C_{G}(x) & ⟶ & K \\ & x′ & ⟼ & \{ \begin{matrix}χ(xx′) & si x′ ∈ C_{G}(x)_{ℓ′} \\ 0 & sinon. \end{matrix} \end{aligned}

2.1.2 Isotypies

On note Ξ un système de représentants des classes de conjugaison des ℓ-éléments de G. La famille des d_{G}^{x} pour x ∈ Ξ donne une isométrie bijective

\xymatrix{CF (B_{ℓ}(G), K) \ar[r]^{(d_{G}^{x})_{x∈Ξ}} & ⨁_{x∈Ξ}^{⊥} CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{G}(x)), K).}  (2.1)

Soit H un sous-groupe de G. On suppose que H contrôle la fusion des ℓsous-groupes de G (cf annexe A). Par exemple si H est le normalisateur d’un ℓ-sous-groupe de Sylow de G et si ce sous-groupe de Sylow est abélien, alors en vertu du théorème de Burnside (corollaire A.2.3) H contrôle la fusion des ℓ-sous-groupes de G.

Le contrôle de la fusion implique que si Ξ est un système de représentants des classes de conjugaison des ℓ-éléments de H, alors c’est aussi un système de représentants des classes de conjugaison des ℓ-éléments de G.

On considère une famille (I^{x})_{x∈Ξ} d’applications

I^{x} : CF (B_{ℓ}(C_{H}(x)), K) ⟶ CF (B_{ℓ}(C_{G}(x)), K),

et pour tout x ∈ Ξ on appelle D^{x} le diagramme

[figure: CF (B_{ℓ}(H), K); I; d_{H}^{x}; D^{x}; CF (B_{ℓ}(G), K); d_{G}^{x}; CF (B_{ℓ}(C_{H}(x)), K); I^{x}; CF (B_{ℓ}(C_{G}(x)), K).]

Définition 2.1.1. La famille d’applications (I^{x})_{x∈Ξ} est dite compatible à la fusion si pour tout x ∈ Ξ le diagramme D^{x} commute.

Pour tout bloc B de OG on note ℤIrr(B, K) le groupe abélien engendré par les caractères irréductibles de B. C’est le groupe de Grothendieck de la catégorie B-mod, et on a K ⊗ ℤIrr(B, K) = CF (B, K).

La définition suivante est conséquence du lemme [Br3, 4.1] :

Définition 2.1.2. Une isométrie I : CF (B_{ℓ}(H), K) → CF (B_{ℓ}(G), K) induite par une isométrie I_{ℤ} : ℤIrr(B_{ℓ}(H), K) → ℤIrr(B_{ℓ}(G), K) est dite parfaite si elle établit par restriction des bijections entre les sous-espaces CF (B_{ℓ}(H), O) et CF (B_{ℓ}(G), O), et entre les sous-espaces CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(H), K) et CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(G), K).

Notons qu’une isométrie I : CF (B_{ℓ}(H), K) → CF (B_{ℓ}(G), K) est induite par une isométrie I_{ℤ} : ℤIrr(B_{ℓ}(H), K) → ℤIrr(B_{ℓ}(G), K) si et seulement si elle envoie tout caractère irréductible sur un caractère irréductible précédé d’un signe, i.e., pour tout caractère irréductible χ de B_{ℓ}(H) il existe φ caractère irréductible de B_{ℓ}(G) et ε ∈ {±1} tels que I(χ) = εφ.

Enfin, la définition d’une isotypie est :

Définition 2.1.3. Si l’on a une famille d’isométries parfaites (I^{x})_{x∈Ξ} compatible à la fusion, alors l’application I = I^{1} est appelée isotypie. On dit que la famille (I^{x})_{x∈Ξ} est le système local de I. S’il existe une isotypie entre CF (B_{ℓ}(H), K) et CF (B_{ℓ}(G), K) alors on dit que les blocs B_{ℓ}(H) et B_{ℓ}(G) sont de même type.

2.1.3 La conjecture de Broué

On peut maintenant énoncer la conjecture de Broué, sous sa forme faible (cf [Br3]) :

Conjecture 2.1.4 (Broué). Soit G un groupe fini dont les ℓ-sous-groupes de Sylow sont abéliens. Soit H le normalisateur dans G de l’un de ses sousgroupes de Sylow. Alors les blocs principaux de OH et de OG sont de même type.

2.2 Aspect pratique

Les lemmes de cette section aident à construire une isotypie.

2.2.1 Centralisateurs ℓ-nilpotents

Rappelons la définition originelle d’un groupe ℓ-nilpotent :

Définition 2.2.1. On dit qu’un groupe G est ℓ-nilpotent si

O^{ℓ}(G) = G/O_{ℓ′}(G).

En particulier tout groupe abélien est ℓ-nilpotent.

Lemme 2.2.2. Un groupe G est ℓ-nilpotent si et seulement si son bloc principal n’a qu’un seul caractère modulaire irréductible.

Ceci équivaut à demander que l’espace vectoriel CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(G), K) soit de dimension 1, il est alors engendré par le caractère modulaire trivial.

Ce lemme est conséquence des faits suivants :

• la projection canonique G → → G/O_{ℓ′}(G) induit une bijection entre les blocs de OG et ceux de O[G/O_{ℓ′}(G)],

• le noyau du bloc principal de G est O_{ℓ′}(G), cf [NT, Théorème 8.1].

Dans toute la suite on suppose que G est un groupe fini, et que H est un sous-groupe de G contrôlant la fusion des ℓ-sous-groupes de G. On note toujours Ξ un système de représentants des classes de conjugaison de ℓéléments de H.

On suppose que l’on a un isomorphisme

I : CF (B_{ℓ}(H), K) ⟶ CF (B_{ℓ}(G), K)

envoyant caractère irréductible sur caractère irréductible au signe près.

Lemme 2.2.3. Soit x un élément de Ξ tel que C_{H}(x) et C_{G}(x) soient ℓnilpotents. On suppose que l’isomorphisme canonique

φ : O^{ℓ}(C_{H}(x)) ⟶^{∼} O^{ℓ}(C_{G}(x))

est un isomorphisme et qu’il existe ε(x) ∈ {±1} tel que pour tout caractère irréductible χ de B_{ℓ}(H) on ait I(χ)(x) = ε(x).χ(x).

Il existe alors une isométrie parfaite

I^{x} : CF (B_{ℓ}(C_{H}(x)), K) → CF (B_{ℓ}(C_{G}(x)), K)

rendant le diagramme D^{x} commutatif.

Démonstration : Si C_{H}(x) est ℓ-nilpotent, alors d’après le lemme 2.2.2 l’espace CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{H}(x)), K) s’identifie à K via le caractère modulaire trivial. L’application d_{H}^{x} devient l’application qui à une fonction centrale α associe le scalaire α(x).

De plus comme la projection canonique C_{H}(x) → → O^{ℓ}(C_{H}(x)) a pour noyau O_{ℓ′}(C_{H}(x)) elle induit un isomorphisme :

π_{H} : CF (O^{ℓ}(C_{H}(x)), K) ⟶^{∼} CF (B_{ℓ}(C_{H}(x)), K).

On exprime de la même façon l’application d_{G}^{x}, et on obtient également un isomorphisme π_{G}.

Le morphisme φ : O^{ℓ}(C_{H}(x)) → O^{ℓ}(C_{G}(x)) induit par l’injection canonique C_{H}(x) ↪ C_{G}(x) est par hypothèse un isomorphisme. On a donc un isomorphisme

\begin{aligned}φ̃: & CF (O^{ℓ}(C_{H}(x)), K) & ⟶ & CF (O^{ℓ}(C_{G}(x)), K) \\ & β & ⟼ & β ∘ φ^{−1}. \end{aligned}

On pose I^{x} = ε(x).π_{G} ∘ φ̃ ∘ π_{H}^{−1}. C’est un isomorphisme, il est clair qu’il envoie les fonctions centrales à valeurs dans O sur les fonctions centrales à valeurs dans O. On vérifie que pour tout caractère irréductible χ de B_{ℓ}(C_{H}(x)), on a I^{x}(χ)(x) = ε(x)χ(x), donc la restriction

I_{ℓ′}^{x} : CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{H}(x)), K) → CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{G}(x)), K)

de I^{x} induit la multiplication par ε(x) sur K via les caractères modulaires triviaux de C_{H}(x) et de C_{G}(x). Ainsi I^{x} est une isométrie parfaite.

Si χ est maintenant un caractère irréductible de B_{ℓ}(H), on a

I_{ℓ′}^{x} ∘ d_{H}^{x}(χ) = ε(x).χ(x) = (I(χ))(x) = d_{G}^{x} ∘ I(χ)

d’où la commutativité du diagramme D^{x}. □

2.2.2 Eléments centraux

On suppose toujours que l’on a une isométrie

I : CF (B_{ℓ}(H), K) ⟶ CF (B_{ℓ}(G), K)

envoyant caractère irréductible sur caractère irréductible au signe près.

Lemme 2.2.4. On suppose que le diagramme D^{1} est commutatif, donc que I ∘ d_{H}^{1} = d_{G}^{1} ∘ I. On a alors équivalence entre les assertions suivantes :

1. pour tout z ∈ Ξ central et tout χ irréductible, \frac{χ(z)}{χ(1)} = \frac{(I(χ))(z)}{(I(χ))(1)},

2. pour tout z ∈ Ξ central, I ∘ d_{H}^{z} = d_{G}^{z} ∘ I.

Démonstration : Le lemme de Schur implique que si χ est irréductible et z est central, alors la représentation irréductible de caractère χ envoie z sur une homothétie. Celle-ci est alors de rapport \frac{χ(z)}{χ(1)}. Ainsi pour tout g ∈ G on

a χ(zg) = \frac{χ(z)}{χ(1)}χ(g). On en déduit que

d_{H}^{z}(χ) = \frac{χ(z)}{χ(1)}d_{H}^{1}(χ)

puis

I ∘ d_{H}^{z}(χ) = \frac{χ(z)}{χ(1)}I ∘ d_{H}^{1}(χ) et d_{G}^{z} ∘ I(χ) = \frac{(I(χ))(z)}{(I(χ))(1)}d_{G}^{1} ∘ I(χ)

ce qui implique le lemme. □

Le lemme [Br3, 4.5] peut donc être énoncé comme ceci :

Lemme 2.2.5. Supposons que I est compatible à la fusion de système local (I^{x}). Alors I envoie CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(H), O) dans CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(G), O).

Si de plus I^{x} envoie CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{H}(x)), O) dans CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{G}(x)), O) pour tout x ∈ Ξ non central et I^{z} = I pour tout z ∈ Ξ central, alors I est une isométrie parfaite.

En effet, dans la démonstration du lemme [Br3, 4.5], le fait que I^{x} envoie CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{H}(x)), O) dans CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{G}(x)), O) pour tout x non trivial n’est pas utile pour démontrer que I envoie CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(H), O) dans CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(G), O) : ceci est conséquence du fait que les caractères modulaires irréductibles de B_{ℓ}(H) engendrent CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(H), O) sur O.

Ensuite, comme I^{1} = I^{z} pour z ∈ Ξ central, les I^{z} envoient aussi le sousespace CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(H), O) dans CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(G), O), et donc on obtient la deuxième assertion.

La remarque en bas de la page 73 de [Br3] permet d’énoncer le lemme suivant, conséquence de la décomposition 2.1 page 40 :

Lemme 2.2.6. S’il existe pour tout x ∈ Ξ non trivial une application

I^{x} : CF (C_{H}(x), K) ⟶ CF (C_{G}(x), K)

telle le diagramme D^{x} commute, alors le diagramme D^{1} commute.

Si de plus les I^{x} pour x non trivial sont des isométries parfaites alors I est une isotypie.

Ce lemme peut être utile car il permet d’éviter de démontrer la commutativité du diagramme D^{1}. Il perd son utilité si le ℓ-centre de H est non trivial : pour l’utiliser il faudrait démontrer la commutativité des diagrammes D^{z} pour z ∈ Ξ central différent de 1, mais celle-ci s’exprime en vertu du lemme 2.2.4 par

\frac{χ(z)}{χ(1)}.I^{z} ∘ d_{H}^{1}(χ) = \frac{I^{z}(χ)(z)}{I^{z}(χ)(1)}.d_{G}^{1} ∘ I^{z}(χ),

pour tout z ∈ Ξ central et χ irréductible, donc elle est aussi compliquée que celle de D^{1}.

On va montrer dans la section suivante que si les ℓ-sous-groupes des Sylow de H sont abéliens alors on peut énoncer un analogue du lemme 2.2.6 en supposant que les hypothèses sont vraies juste pour x ∈ Ξ non central, au lieu de non trivial (lemme 2.3.10).

2.3 : Quotient par le ℓ-centre  45

2.3 Quotient par le ℓ-centre

2.3.1 Propriétés

Soit G un groupe fini, et P un ℓ-sous-groupe de Sylow de G. On suppose que P est abélien. Soit Z le ℓ-centre de G, i.e., Z = Z_{ℓ}(G) = Z(G)∩P. Tous les résultats de cette section deviennent triviaux si Z = 1.

Pour X un sous-groupe ou un élément de G on notera \overline{X} son image par la projection canonique G ⟶ ⟶ G/Z.

Si φ est un caractère de \overline{G}, on notera φ̃ le caractère de G obtenu par inflation. Si χ est un caractère de G constant sur Z on notera χ̄ le caractère défini par χ̄(ḡ) = χ(g). Ces deux correspondances sont réciproques l’une de l’autre, et à un caractère irréductible elle associent un caractère irréductible.

Si Ξ désigne toujours un système de représentants des classes de conjugaison de ℓ-éléments de G, alors on peut choisir Ξ tel que Ξ = Z × \overline{Ξ} où Ξ ⊂ P, et l’image de \overline{Ξ} par la projection par rapport à Z est un système de représentants des classes de conjugaison de ℓ-éléments de \overline{G}.

Soit N = N_{G}(P). Alors Ξ désigne également l’ensemble des classes de conjugaison de ℓ-éléments de N, c’est une conséquence du fait que N contrôle la fusion des ℓ-sous-groupes de G. Ceci implique en particulier que Z est aussi le ℓ-centre de N. En effet, il est clair que Z ⊆ Z(N) ∩ P, et si x ∈ Z(N) ∩ P, g ∈ G, alors x et gxg^{−1} sont conjugués dans G, donc dans N, et ils sont égaux car x ∈ Z(N).

Ensuite on a le lemme suivant :

Lemme 2.3.1. Le groupe G′ ∩ Z(G) est un ℓ′-groupe. Si x et y sont deux éléments de P, alors ils sont conjugués dans G si et seulement si x̄ et ȳ sont conjugués dans \overline{G} et xG′ = yG′.

Démonstration : D’après [Go, 4.4], on a

P = (P ∩ N′) × (P ∩ Z(N)) et P ∩ G′ = P ∩ N′,

donc

1 = (P ∩ N′) ∩ Z = (P ∩ G′) ∩ Z = G′ ∩ P ∩ Z(G),

et G′ ∩ Z(G) est un ℓ′-groupe.

Soit x, y ∈ P. Si x et y sont conjugués dans G alors x̄ et ȳ sont conjugués dans \overline{G}.

Par contrôle de la fusion x et y sont conjugués dans N. De plus on peut les décomposer sous la forme x = x_{1}x_{2}, y = y_{1}y_{2} avec x_{1}, y_{1} ∈ P ∩ G′ et x_{2}, y_{2} ∈ P ∩ Z(N). Il existe donc h ∈ N tel que x_{1} = y_{1}^{h}, et x_{2} = y_{2}. Donc x = y_{1}^{h}y_{2} = y(y_{1}^{−1}h^{−1}y_{1}h) ∈ yG′.

Réciproquement si x̄ et ȳ sont conjugués dans \overline{G} et xG′ = yG′, alors il existe g ∈ G tel que y^{−1}x^{g} ∈ Z. Donc y^{−1}x(x^{−1}g^{−1}xg) ∈ Z. Or y^{−1}x ∈ G′ et G′ ∩ Z = 1 donc y^{−1}x^{g} = 1, x et y sont conjugués dans G. □

Lemme 2.3.2. Si g ∈ G, on a \overline{C_{G}(g)} = C_{\overline{G}}(ḡ), et \overline{C_{G}(g)_{ℓ′}Z} = C_{\overline{G}}(ḡ)_{ℓ′}. Par conséquent les opérations φ ↦ φ̃ et χ ↦ χ̄ envoient un caractère du bloc principal sur un caractère du bloc principal.

Démonstration : Clairement \overline{C_{G}(g)} ⊂ C_{\overline{G}}(ḡ). Si h ∈ G est tel que h̄ ∈ C_{\overline{G}}(ḡ), alors g^{−1}g^{h} ∈ Z. Or g^{−1}g^{h} ∈ G′ donc g^{−1}g^{h} = 1 et h ∈ C_{G}(g).

On a \overline{C_{G}(g)_{ℓ′}Z} ⊂ C_{\overline{G}}(ḡ)_{ℓ′}. Réciproquement si h ∈ G est tel que h̄ ∈ C_{\overline{G}}(ḡ)_{ℓ′}, alors h ∈ C_{G}(g). Soit n l’ordre de h̄, on a h^{n} = z ∈ Z. Soit m l’ordre de z, comme m est multiple de ℓ et n est premier avec ℓ, il existe u et v tels que un + vm = 1. On a donc hz^{−u} = h^{un+vm−un} = h^{vm} et h^{vmn} = 1 donc hz^{−u} est un ℓ′-élément de C_{G}(g), et h ∈ C_{G}(g)_{ℓ′}Z.

Si χ ∈ Irr_{K}(G), on sait que χ est dans le bloc principal de OG si et seulement si on a (cf 1.1.3)

∀g ∈ G \frac{χ(g)|Cl(g)|}{χ(1)} ≡ |Cl(g)| (mod ℓO).

Donc si χ ∈ B_{ℓ}(G) et χ est constant sur Z alors χ̄ ∈ B_{ℓ}(\overline{G}) et si φ ∈ B_{ℓ}(\overline{G}) alors φ̃ ∈ B_{ℓ}(G). □

On note Irr_{K}^{1}(G) l’ensemble des caractères irréductibles de G de degré 1. Le produit tensoriel en fait un groupe abélien. On note Irr_{K}^{1}(B_{ℓ}(G)) l’ensemble des caractères irréductibles de degré 1 du bloc principal de G, c’est un sous-groupe de Irr_{K}^{1}(G).

Si C est un groupe abélien, alors Irr_{K}^{1}(C) = Irr_{K}(C) et on a un isomorphisme canonique Irr_{K}(B_{ℓ}(C)) ⟶^{∼} Irr_{K}(C_{ℓ}) obtenu en composant l’injection Irr_{K}(B_{ℓ}(C)) ↪ Irr_{K}(C) et la restriction Irr_{K}(C) → → Irr_{K}(C_{ℓ}).

Lemme 2.3.3. Il existe un morphisme Irr_{K}(Z) → Irr_{K}^{1}(B_{ℓ}(G)), qui est un scindage du morphisme canonique de restriction Irr_{K}^{1}(B_{ℓ}(G)) → Irr_{K}(Z).

Ainsi tout caractère irréductible de Z se relève en un caractère du bloc principal de G, et ce relèvement est compatible avec les lois de groupes.

Démonstration : On a P = (P ∩ G′) × Z, donc l’inclusion P ↪ G induit un isomorphisme Z ⟶^{∼} (G/G′)_{ℓ}. On a donc un isomorphisme

φ_{1} : Irr_{K}(Z) ⟶^{∼} Irr_{K}((G/G′)_{ℓ})

qui à χ ∈ Irr_{K}(Z) associe le caractère zG′ ↦ χ(z). On compose celui-ci avec l’inverse de l’isomorphisme canonique Irr_{K}(B_{ℓ}(G/G′)) ⟶^{∼} Irr_{K}((G/G′)_{ℓ}), puis l’inflation donne un morphisme Irr_{K}(B_{ℓ}(G/G′)) → Irr_{K}^{1}(G), qui envoie bien un caractère du bloc principal de G/G′ sur un caractère du bloc principal de G.

Soit θ^{G} l’image d’un caractère θ de Irr_{K}(Z) par la composition de ces morphismes. Si z ∈ Z, on a θ^{G}(z) = (φ_{1}(θ))((zG′)_{ℓ}) = θ(z), on a donc obtenu un scindage de la restriction Irr_{K}^{1}(G_{ℓ}(G)) → Irr_{K}(Z). □

Fixons les notations pour la suite, en notant θ_{1} et θ^{G} les images successives de θ ∈ Irr_{K}(Z) par la composition :

Irr_{K}(Z) ⟶ Irr_{K}((G/G′)_{ℓ}) ⟶ Irr_{K}^{1}(B_{ℓ}(G)) θ ⟼  θ_{1}  ⟼  θ^{G} .  (2.2)

Ainsi si θ ∈ Irr_{K}(Z) et g ∈ G, on a θ^{G}(g) = θ_{1}((gG′)_{ℓ}). Il existe un unique z ∈ Z tel que (gG′)_{ℓ} = zG′, on a θ_{1}((gG′)_{ℓ}) = θ(z).

Cette construction peut être faite en remplaçant G par tout sous-groupe X de G contenant Z. Comme l’application θ → θ^{X} est un scindage de la restriction Irr_{K}^{1}(B_{ℓ}(X)) → Irr_{K}(Z), on obtient que pour tout g ∈ X on a θ^{X}(g) = θ^{G}(g).

Si χ ∈ Irr_{K}(B_{ℓ}(G)), alors il existe θ ∈ Irr_{K}(Z) tel que la restriction de χ à Z vaut χ(1)θ. On note θ_{χ} ce caractère. Le caractère

(θ_{χ}^{−1})^{G} × χ

est constant sur Z, donc il existe φ ∈ Irr_{K}(B_{ℓ}(\overline{G})) tel que χ = θ_{χ}^{G} × φ̃. On a ainsi une correspondance bijective :

Irr_{K}(B_{ℓ}(G)) ⟷ Irr_{K}(Z) × Irr_{K}(B_{ℓ}(\overline{G})).

Cette correspondance induit un isomorphisme

A(G) : CF (B_{ℓ}(G), K) ⟶ Irr_{K}(Z) × CF (\overline{G}, K)

Soit χ, φ et θ des caractères irréductibles de respectivement B_{ℓ}(G), B_{ℓ}(\overline{G}), et Z. L’expression de A(G) et de son inverse sont données par

\begin{matrix}A(G) : & χ & ⟼ & (θ_{χ}, \overline{(θ_{χ}^{G})^{−1}χ}) \\ A(G)^{−1} : & (θ, φ) & ⟼ & θ^{G} × φ̃. \end{matrix}

Une construction identique donne un isomorphisme A(X) pour tout sousgroupe X de G contenant Z. Les deux lemmes suivant expriment les applications de décomposition via les isomorphismes A(X).

Lemme 2.3.4. Pour tout x ∈ \overline{Ξ}, on a un diagramme D̃^{x} commutatif

[figure: CF (B_{ℓ}(G), K); A(G); d_{G}^{x}; D̃^{x}; Irr_{K}(Z) × CF (B_{ℓ}(\overline{G}), K); Φ_{\overline{G}, x}; CF (B_{ℓ}(C_{G}(x)), K); A(C_{G}(x)); Irr_{K}(Z) × CF (B_{ℓ}(C_{\overline{G}}(x̄)), K).]

en posant

Φ_{\overline{G}, x}(θ_{0}, φ) = ∑_{θ∈Irr_{k}(Z)} (θ, \frac{θ_{0}^{G}(x)}{|Z|}dx̄ ; \overline{G}(φ))

pour tout θ_{0} ∈ Irr_{K}(Z) et φ ∈ CF (B_{ℓ}(\overline{G}), K).

Démonstration : Soit θ_{0} ∈ Irr_{K}(Z) et φ ∈ CF (B_{ℓ}(\overline{G}), K). Il existe une famille (φ_{θ})_{θ} d’éléments de CF (B_{ℓ}(C_{\overline{G}}(x̄)), K) indexée par Irr_{K}(Z) telle que

d_{G}^{x}(θ_{0}^{G} × φ̃) = ∑_{θ} θ^{C_{G}(x)} × φ̃_{θ}.

Pour tout y ∈ C_{G}(x), on considère la fonction centrale définie sur Z par z ↦ d_{G}^{x}(θ_{0}^{G} × φ̃)(zy). Soit θ′ un caractère irréductible de Z. On a

⟨ θ′ | ∑_{θ}(θ^{C_{G}(x)} × φ̃_{θ})(· y) ⟩_{Z} = θ^{′C_{G}(x)}(y)φ_{θ′}(ȳ),

et d’autre part

⟨ θ′ | (d_{G}^{x}(θ_{0}^{G} × φ̃))(· y) ⟩_{Z} = \frac{1}{|Z|} ∑_{z∈Z} θ′(z)(d_{G}^{x}(θ_{0}^{G} × φ̃))(z^{−1}y).

Donc si y n’appartient pas à ZC_{G}(x)_{ℓ′} alors φ_{θ}(ȳ) = 0 pour tout θ. Par contre s’il existe z_{0} ∈ Z et y′ ∈ C_{G}(x)_{ℓ′} tels que y = z_{0}y′, alors on a

φ_{θ}(ȳ) = \frac{1}{|Z|}θ^{C_{G}(x)}(y^{−1})θ(z_{0})(θ_{0}^{G} × φ̃)(xy′)
= \frac{1}{|Z|}θ_{0}^{G}(x)φ(x̄ȳ′).

Ainsi φ_{θ} = \frac{θ_{0}^{G}(x)}{|Z|}dx̄ ; \overline{G}(φ) pour tout θ ∈ Irr_{K}(Z), d’où le résultat. □

On définit maintenant, pour x ∈ \overline{Ξ} et z ∈ Z, l’application “inclusion tordue”

e_{X}^{zx} : CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{G}(x)), K) ⟶ CF (B_{ℓ}(C_{G}(x)), K)

par e_{G}^{zx}(χ) : y ↦ χ(z^{−1}y).

Vérifions que e_{G}^{zx}(χ) est dans le bloc principal de C_{G}(x) : pour θ parcourant l’ensemble des caractères irréductibles de Z, soit φ_{θ} l’élément de CF (B_{ℓ}(C_{\overline{G}}(x)), K) tel que

χ = ∑_{θ} θ^{C_{G}(x)} ⊗ φ̃_{θ}.

On a alors

e_{G}^{zx}(χ) = ∑_{θ} θ(z^{−1})θ^{C_{G}(x)} ⊗ φ̃_{θ}

donc e_{G}^{zx}(χ) est combinaison linéaire des θ^{C_{G}(x)} ⊗ φ̃. Il vit donc le bloc principal de C_{G}(x).

Finalement, on définit d̃_{G}^{x} = ∑_{z∈Z} e_{G}^{zx} ∘ d_{G}^{zx} pour tout x ∈ \overline{Ξ}. On verra dans la démonstration suivante que d̃_{G}^{x} est la restriction des fonctions au sous-groupe ZC_{G}(x)_{ℓ′}.

Lemme 2.3.5. Pour tout x ∈ \overline{Ξ}, on obtient un diagramme commutatif Ẽ^{x}

[figure: CF (B_{ℓ}(G), K); A(G); d̃_{G}^{x}; Ẽ^{x}; Irr_{K}(Z) × CF (B_{ℓ}(\overline{G}), K); Ψ_{\overline{G}, x}; CF (B_{ℓ}(C_{G}(x)), K); A(C_{G}(x)); Irr_{K}(Z) × CF (B_{ℓ}(C_{\overline{G}}(x̄)), K)]

en posant

Ψ_{\overline{G}, x}(θ, φ) = (θ, θ^{G}(x).dx̄ ; \overline{G}(φ)).

pour tout θ ∈ Irr_{K}(Z) et φ ∈ CF (B_{ℓ}(\overline{G}), K).

Démonstration : Soit χ_{0} = θ_{0}^{G} × φ̃_{0} un caractère irréductible de B_{ℓ}(G). Il existe une famille de fonctions centrales φ_{θ} ∈ CF (B_{ℓ}(C_{\overline{G}}(x)), K) indexée par les caractères irréductibles θ de Z telle que

d̃_{G}^{x}(χ_{0}) = ∑_{θ} θ^{C_{G}(x)} × φ̃_{θ}.

On a donc l’égalité de fonctions sur C_{G}(x) suivante :

φ̃_{θ} = (θ^{C_{G}(x)})^{−1}.⟨ θ | d̃_{G}^{x}(χ_{0}) ⟩_{Z}.

Si y ∈ C_{G}(x) alors

φ̃_{θ}(y) = θ^{C_{G}(x)}(y^{−1})\frac{1}{|Z|} ∑_{z, z′∈Z} θ(z′)[d_{G}^{zx}(θ_{0}^{G} × φ̃_{0})](z^{−1}z^{′−1}y).

Si y ∉ ZC_{G}(x)_{ℓ′} alors pour tout z′′ ∈ Z on a (d_{G}^{zx}(θ_{0}^{G} × φ̃_{0}))(z′′y) = 0, et φ̃_{θ}(y) = 0.

Si y = z_{0}y′ avec z_{0} ∈ Z et y′ ∈ C_{G}(x)_{ℓ′}, on a

φ̃_{θ}(y) = θ^{C_{G}(x)}(y^{−1})\frac{1}{|Z|} ∑_{z∈Z} θ(z_{0}z^{−1})[(θ_{0}^{G} × φ̃_{0})(xzz_{0}^{−1}y)]
= θ_{0}^{G}(x)φ_{0}(x̄ȳ)⟨ θ | θ_{0} ⟩_{Z}

En conséquence (A(C_{G}(x))∘d̃_{G}^{x})(χ_{0}) est l’élément (θ_{0}, φ_{θ_{0}}) et le caractère φ_{θ_{0}} envoie un élément ȳ de C_{\overline{G}}(x̄) sur 0 si ȳ ∉ C_{\overline{G}}(x̄)_{ℓ′} et sur θ_{0}^{G}(x)φ_{0}(x̄ȳ) si ȳ ∈ C_{\overline{G}}(x̄)_{ℓ′}. Comme A(G)(χ_{0}) = (θ_{0}, φ_{0}), le lemme est démontré. □

2.3.2 Inflation d’une isotypie

On suppose toujours que G est un groupe fini. Soit H un sous-groupe de G contrôlant la fusion des ℓ-éléments, P un sous-groupe de Sylow de H. On suppose que P est abélien, et on note Z le ℓ-centre de H, donc de G.

Pour X un sous-groupe ou un élément de G on note toujours \overline{X} son image par la projection canonique G → → G/Z.

Propriété 2.3.6 (Rouquier). Si \overline{I} est une isotypie entre les blocs principaux de \overline{H} et de \overline{G}, alors \overline{I} s’étend en une isotypie entre les blocs principaux de H et de G.

Démonstration : Soit \overline{I} : CF (B_{ℓ}(\overline{H}), K) → CF (B_{ℓ}(\overline{G}), K) une isotypie de système local (\overline{I}^{x})_{x∈\overline{Ξ}}. Pour x ∈ \overline{Ξ}, on définit une application

I^{x} : CF (B_{ℓ}(C_{H}(x)), K) → CF (B_{ℓ}(C_{H}(x)), K)

en posant, si θ ∈ Irr_{K}(Z) et φ ∈ Irr_{K}(B_{ℓ}(C_{\overline{H}}(x))) :

I^{x} : θ^{C_{H}(x)} ⊗ φ̃ ↦ θ^{C_{G}(x)} ⊗ { \atop \overline{I}^{x}(φ)}

Pour x ∈ \overline{Ξ} et z ∈ Z, z ≠ 1, on pose I^{zx} = I^{x}. On va montrer que I = I^{1} est une isotypie de système local (I^{zx})_{x∈\overline{Ξ}, z∈Z}.

Soit x un élément de \overline{Ξ}. On considère le cube suivant :

[figure: CF (B_{ℓ}(H),K); I; A(H); d_{H}^{x}; CF (B_{ℓ}(G),K); d_{G}^{x}; A(G); Irr_{K}(Z)×CF (B_{ℓ}(\overline{H}),K); Id×\overline{I}; Φ_{\overline{H}, x}; Irr_{K}(Z)×CF (B_{ℓ}(\overline{G}),K); Φ_{\overline{G}, x}; CF (B_{ℓ}(C_{H}(x)),K); I^{x}; A(C_{H}(x)); CF (B_{ℓ}(C_{G}(x)),K); A(C_{G}(x)); Irr_{K}(Z)×CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{\overline{H}}(x̄)),K); Id×\overline{I}^{x}; Irr_{K}(Z)×CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{\overline{G}}(x̄)),K).]

Par définition de I et de I^{x}, les faces haute et basse sont commutatives. Par le lemme 2.3.4, les faces gauche et droite sont commutatives. Il est immédiat que la face avant est commutative grâce au fait que θ^{H}(x) = θ^{G}(x). En conséquence, la face arrière est commutative.

Soit χ un caractère irréductible de B_{ℓ}(H). On a d_{H}^{zx}(χ) = θ_{χ}(z)d_{H}^{x}(χ). Par construction de I on a θ_{χ} = θ_{I(χ)}. Ceci implique que le cube est entièrement commutatif si on remplace les x par des zx. Ainsi l’application I^{1} est compatible à la fusion, de système local (I^{x})_{x∈Ξ}.

Montrons que pour tout x ∈ Ξ, I^{x} envoie CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{H}(x)), O) dans CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{G}(x)), O).

Comme les caractères modulaires irréductibles forment une base sur O de CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{H}(x)), O), il suffit de montrer que I^{x}(χ_{0}) ∈ CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{G}(x)), O) pour tout caractère modulaire irréductible χ_{0} de B_{ℓ}(C_{H}(x)). Le diagramme D^{x} étant commutatif, et χ_{0} étant élément de CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{H}(x)), K), on sait déjà que I^{x}(χ_{0}) est élément de CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{G}(x)), K).

L’application de décomposition d_{C_{H}(x)}^{1} est surjective, les coefficients de sa matrice dans les bases usuelles sont éléments de O. Donc il existe une famille (λ_{θ,φ}) d’éléments de O, indexée par les caractères irréductibles ordinaires de Z et de B_{ℓ}(C_{\overline{H}}(x̄)), telle que

χ_{0} = ∑_{θ,φ} λ_{θ,φ}θ^{C_{H}(x)} × φ̃.

Par définition de I^{x} on a

I^{x}(χ_{0}) = ∑_{θ,φ} λ_{θ,φ}θ^{C_{G}(x)} × { \atop \overline{I}^{x}(φ)}.

Comme φ est un caractère de C_{\overline{H}}(x̄), il est à valeur dans O. Comme \overline{I}^{x} est

une isométrie parfaite, { \atop \overline{I}^{x}(φ)} est à valeurs dans O. Ainsi I^{x}(χ_{0}) est élément de CF (B_{ℓ}(C_{G}(x)), O), donc finalement de CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{G}(x)), O).

Grâce au lemme 2.2.5, nous pouvons affirmer que I est une isotypie parfaite et qu’elle est compatible à la fusion de système local (I^{x})_{x∈Ξ}.

Mais nous ne pouvons pas encore affirmenr que I est une isotypie. Nous ne savons pas encore que les I^{x} pour x élément non central de Ξ sont des isométries parfaites. Une définition plus complète des isotypies aurait permis de conclure, cf [Br3, remarque 2 page 74].

La seule propriété manquante est le fait que I^{x} envoie CF (B_{ℓ}(C_{H}(x)), O) dans CF (B_{ℓ}(C_{G}(x)), O) pour tout x non central. Nous allons directement montrer que I^{x} est une isométrie parfaite pour tout x ∈ \overline{Ξ}, en vérifiant la première définition, cf [Br3, 1.1].

Pour x ∈ \overline{Ξ}, soit μ̄x̄ le caractère de C_{\overline{G}}x̄ × C_{\overline{H}}(x̄) qui donne l’isotypie Ī^{x}, et μ^{x} le caractère de C_{G}(x) × C_{H}(x) qui donne I^{x}.

Nous savons que pour tout sous-groupe X de G contenant Z on a un isomorphisme canonique i_{X} : (X/X′)_{ℓ} ⟶^{∼} Z. Si g ∈ X, nous savons alors que θ^{X}(g) = θ(i_{X}((gX′)_{ℓ})) pour tout θ ∈ Irr_{K}(Z).

Si g ∈ C_{G}(x), h ∈ C_{H}(x), on définit δ_{x}(g, h) comme étant égal à 1 si i_{C_{G}(x)}(g) = i_{C_{H}(x)}(h), et à 0 sinon. Nous avons alors

∑_{θ∈Irr_{K}(Z)} θ^{C_{H}(x)}(h)θ^{C_{G}(x)}(g^{−1}) = |Z|δ_{x}(g, h).

Par définition de I^{x} on a

μ^{x}(g, h) = ∑_{χ∈Irr_{K}(B_{ℓ}(C_{H}(x)))}χ(h).(I(χ))(g^{−1})
=  ∑_{\begin{matrix}θ∈Irr_{K}(Z) \\ φ∈Irr_{K}(B_{ℓ}(C_{\overline{H}}(x̄))) \end{matrix}} θ^{C_{H}(x)}(h)θ^{C_{G}(x)}(g^{−1})φ(h̄).(\overline{I}(φ))(ḡ^{−1})

= δ_{x}(g, h)|Z|μ̄x̄(ḡ, h̄).

Or on a |C_{G}(g)| = |Z|.|C_{\overline{G}}(ḡ)|, |C_{H}(h)| = |Z|.|C_{\overline{H}}(h̄)|, et comme le caractère μ̄x̄ et parfait alors \frac{μ̄x̄(ḡ,h̄)}{|C_{\overline{G}}(ḡ)|} et \frac{μ̄x̄(ḡ,h̄)}{|C_{\overline{H}}(h̄)|} sont éléments de O. Donc

\frac{μ^{x}(g,h)}{|C_{G}(g)|} et \frac{μ^{x}(g,h)}{|C_{H}(h)|} sont éléments de O.

Si g et h sont tels que μ^{x}(g, h) ≠ 0, alors μ̄x̄(ḡ, h̄) ≠ 0 et δ_{x}(g, h) = 1. On veut montrer que g est d’ordre premier à ℓ si et seulement h est d’ordre premier à ℓ.

Supposons que l’ordre de g est premier à ℓ. Il en est donc de même pour celui de ḡ, et pour celui de h̄ car μ̄x̄(ḡ, h̄) ≠ 0. On a donc h_{ℓ} ∈ Z, i.e., il existe un entier a non multiple de ℓ tel que h^{a} ∈ Z.

Mais g(C_{G}(x)′) est aussi d’ordre premier à ℓ dans C_{G}(x)/C_{G}(x)′, donc (g(C_{G}(x)′))_{ℓ} = C_{G}(x)′, puis comme δ_{x}(g, h) = 1, alors h(C_{H}(x)′) est un ℓ′-élément. Il existe donc un entier b non multiple de ℓ tel que h^{b} ∈ C_{H}(x)′. Finalement on a h^{ab} ∈ C_{H}(x)′ ∩ Z = 1, et h est bien un ℓ′-élément.

On a obtenu que I^{x} est une isométrie parfaite pour tout x ∈ \overline{Ξ}. Ceci implique que les I^{x} sont des isométries parfaites pour tous les x de Ξ, et donc on en conclut que I^{1} est une isotypie, de système local (I^{x})_{x∈Ξ}. □

2.3.3 Déflation d’une isotypie

Nous allons démontrer la réciproque suivante de la proposition précédente :

Propriété 2.3.7. Soit I une isotypie entre les blocs principaux de H et G telle que

∀x ∈ \overline{Ξ}, θ ∈ Irr_{K}(Z), et χ ∈ Irr_{K}(B_{ℓ}(C_{H}(x))),

I^{x}(θ^{C_{H}(x)} ⊗ χ) = θ^{C_{G}(x)} ⊗ I^{x}(χ). (2.3)

Alors il existe une isotypie \overline{I} entre les blocs principaux de \overline{H} et \overline{G}.

Nous allons donner une version de cette propriété aux hypothèses plus faibles, qui en particulier n’exigent pas que I soit une isotypie.

Propriété 2.3.8. Supposons que pour tout x ∈ \overline{Ξ}, on a une application linéaire

I^{x} : CF (B_{ℓ}(C_{H}(x)), K) ⟶ CF (B_{ℓ}(C_{G}(x)), K)

envoyant bijectivement caractère irréductible sur caractère irréductible au signe près, et que la famille (I^{x})_{x∈\overline{Ξ}} satisfait les propriétés suivantes :

1. pour tout x élément de \overline{Ξ} différent de 1, I^{x} envoie CF (B_{ℓ}(C_{H}(x)), O) dans CF (B_{ℓ}(C_{G}(x)), O) ;

2. pour tout x élément de \overline{Ξ} différent de 1, le diagramme D^{x} commute ;

3. pour tout x ∈ \overline{Ξ} et tout χ caractère irréductible de B_{ℓ}(C_{H}(x)) on a θ_{I^{x}(χ)} = θ_{χ}.

Alors on a une isotypie \overline{I} entre les blocs principaux de \overline{H} et de \overline{G}.

Si I est une isotypie, alors les hypothèses 1 et 2 sont vérifiées. L’hypothèse 3 est impliquées par l’hypothèse 2.3 de la propriété 2.3.7, donc la propriété 2.3.7 est conséquence de la propriété 2.3.8.

Démonstration : Soit x un élément de \overline{Ξ}, et φ un caractère irréductible de B_{ℓ}(C_{\overline{H}}(x̄)). On note 1_{Z} le caractère trivial de Z. L’hypothèse 3 nous assure que I^{x}(1_{Z}^{C_{H}(x)} × φ̃) est de la forme 1_{Z}^{C_{G}(x)} × ψ̃, où ψ est, au signe près, un caractère irréductible de B_{ℓ}(C_{\overline{G}}(x̄)). On pose alors \overline{I}^{x}(φ) = ψ. Ceci définit une isométrie

\overline{I}^{x} : CF (B_{ℓ}(C_{\overline{H}}(x̄)), K) ⟶ CF (B_{ℓ}(C_{\overline{G}}(x̄)), K).

Pour tout sous-groupe X de G contenant Z, on note

π_{X}^{1} : CF (B_{ℓ}(X), K) ⟶ ⟶ CF (B_{ℓ}(\overline{X}), K)

la projection envoyant un caractère irréductible θ^{X} × φ̃ sur φ si θ = 1_{Z}, et sur 0 sinon.

On considère le cube suivant :

[figure: CF (B_{ℓ}(H),K); I; π_{H}^{1}; d̃_{H}^{x}; CF (B_{ℓ}(G),K); d̃_{G}^{x}; π_{G}^{1}; CF (B_{ℓ}(\overline{H}),K); \overline{I}; dx̄ ; \overline{H}; CF (B_{ℓ}(\overline{G}),K); dx̄ ; \overline{G}; CF (B_{ℓ}(C_{H}(x)),K); I^{x}; π_{C_{H} (x)}^{1}; CF (B_{ℓ}(C_{G}(x)),K); π_{C_{G}(x)}^{1}; CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{\overline{H}}(x̄)),K); _{\overline{I}_{x}}; CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{\overline{G}}(x̄)),K).]

Par définition de \overline{I}^{x} et de \overline{I} = \overline{I}^{1}, les faces haut et bas sont commutatives. En conséquence du lemme 2.3.5, les faces gauche et droite sont commutatives.

Montrons que la face arrière est commutative. On suppose d’abord que x est différent de 1 (donc x n’est pas central).

On a I^{x} ∘ e_{H}^{xz} = e_{G}^{xz} ∘ I : soit χ ∈ CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{H}(x)), K). Il existe des éléments φ_{θ} de CF (B_{ℓ}(C_{\overline{H}}(x̄)), K) tels que χ = ∑_{θ} θ^{C_{H}(x)} ⊗ φ̃_{θ}. On a alors

e_{H}^{xz}(χ) = ∑_{θ} θ(z^{−1})θ^{C_{H}(x)} ⊗ φ̃_{θ}

donc

I^{x} ∘ e_{H}^{xz}(χ) = ∑_{θ} θ(z^{−1})I^{x}(θ^{C_{H}(x)} ⊗ φ̃_{θ}).

Or l’hypothèse 3. nous dit que θ_{I^{x}(χ)} = θ_{χ}. Donc pour tout θ il existe ψ_{θ} élément de CF (B_{ℓ}(C_{\overline{G}}(x̄)), K) tel que

I^{x}(θ^{C_{H}(x)} ⊗ φ̃_{θ}) = θ^{C_{G}(x)} ⊗ ψ̃_{θ}

donc

I^{x} ∘ e_{H}^{xz}(χ) = e_{G}^{zx} (∑_{θ} θ^{C_{G}(x)} ⊗ ψ̃_{θ}) = e_{G}^{zx} ∘ I^{x}(χ).

et on a bien I^{x} ∘ e_{H}^{xz} = e_{G}^{xz} ∘ I.

On a I^{x} ∘ d_{H}^{xz} = d_{G}^{xz} ∘ I : si χ est un caractère irréductible de B_{ℓ}(H) alors d_{H}^{xz}(χ) = θ_{χ}(z)d_{H}^{x}(χ). Comme θ_{χ} = θ_{I(χ)} alors on a I^{x} ∘ d_{H}^{xz}(χ) = d_{G}^{xz} ∘ I(χ) (puisque x n’est pas central).

On a donc montré que la face arrière du cube est commutative si x ≠ 1.

On pose I^{zx} = I^{x} pour x ∈ \overline{Ξ}\\{1\} et z ∈ Z. Comme on a θ_{I^{x}(χ)} = θ_{χ} pour tout caractère irréductible χ de B_{ℓ}(C_{H}(x)), les diagrammes D^{x} commutent pour tout x ∈ Ξ\Z.

Comme I est une isométrie, I envoie l’orthogonal de

⨁_{x∈Ξ\Z}^{⊥} CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{H}(x)), K)

sur l’orthogonal de

⨁_{x∈Ξ\Z}^{⊥} CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(C_{G}(x)), K).

Or ces orthogonaux sont les images respectives de d̃_{H}^{1} et de d̃_{G}^{1}, via l’isomorphisme 2.1 page 40, donc la face arrière du cube pour x = 1 commute.

Finalement la commutativité de la face avant du cube résulte de celle de toutes les autres, car π_{H}^{1} est surjectif.

Par hypothèse, I^{x} envoie CF (B_{ℓ}(C_{H}(x)), O) dans CF (B_{ℓ}(C_{G}(x)), O) pour x ∈ \overline{Ξ}\\{1\}, ce qui implique que \overline{I}^{x} envoie CF (B_{ℓ}(C_{\overline{H}}(x̄)), O) dans CF (B_{ℓ}(C_{\overline{G}}(x̄)), O) pour tout x ∈ \overline{Ξ}\1, donc finalement pour tout x ∈ \overline{Ξ} par le lemme 2.2.5. On a ainsi démontré que \overline{I} est une isotypie de système local (\overline{I}^{x}). □

Remarque 2.3.9. Si l’on a une isotypie entre les blocs principaux de \overline{H} et de \overline{G}, on obtient une isotypie entre les blocs principaux de H et de G grâce à la construction donnée dans la démonstration de la propriété 2.3.6. A partir de celle-ci on obtient une isotypie entre les blocs principaux de \overline{H} et de \overline{G} grâce à la démonstration de la propriété 2.3.8. Alors on retrouve l’isotypie de départ, i.e., la première construction est “inverse à droite” de la seconde. Par contre pour avoir l’autre sens, il faudrait supposer que l’isotypie I entre les blocs principaux de H et de G vérifie, en plus de l’hypothèse 2.3 propriété 2.3.7, l’hypothèse suivante : si pour un caractère irréductible φ de B_{ℓ}(C_{\overline{H}}(x̄)) on a

I^{x}(1_{Z}^{C_{H}(x)} × φ̃) = 1_{Z}^{C_{G}(x)} × ψ̃,

alors pour tout θ ∈ Irr_{K}(Z) on a

I^{x}(θ_{Z}^{C_{H}(x)} × φ̃) = θ_{Z}^{C_{G}(x)} × ψ̃.

Ceci correspond à une hypothèse de “Irr_{K}(Z)-linéarité”.

En combinant les deux propriétés précédentes on obtient la généralisation suivante du lemme 2.2.6 :

Propriété 2.3.10. Supposons que pour tout x ∈ \overline{Ξ}, on a une application linéaire

I^{x} : CF (B_{ℓ}(C_{H}(x)), K) ⟶ CF (B_{ℓ}(C_{G}(x)), K)

envoyant bijectivement caractère irréductible sur caractère irréductible au signe près, et que la famille (I^{x})_{x∈\overline{Ξ}} satisfait les propriétés suivantes :

1. pour tout x élément de \overline{Ξ} différent de 1, I^{x} envoie CF (B_{ℓ}(C_{H}(x)), O) dans CF (B_{ℓ}(C_{G}(x)), O) ;

2. pour tout x élément de \overline{Ξ} différent de 1, le diagramme D^{x} commute ;

3. pour tout θ ∈ Irr_{K}(Z), x ∈ \overline{Ξ} et χ ∈ Irr_{K}(B_{ℓ}(C_{H}(x))) on a

I^{x}(θ^{C_{H}(x)} × χ) = θ^{C_{G}(x)} × I^{x}(χ).

Alors, en posant I^{zx} = I^{x} pour tout z ∈ Z et x ∈ \overline{Ξ}, l’application I est une isotypie entre B_{ℓ}(H) et B_{ℓ}(G), de système local (I^{x})_{x∈Ξ}.

2.4 Isotypies dans GL_{2}(q)

On utilise de nouveau les notations définies dans les sections 1.1 et 1.3, donc en particulier on pose G = GL_{2}(q). Nous allons d’abord vérifier la conjecture de Broué dans les cas des ℓ-sous-groupes de Sylow abéliens (et ℓ ne divisant pas q). La validité de la conjecture dans ces cas est déjà connue, grâce aux travaux de M. Broué, G. Malle et J. Michel, cf [BMM] et [BMi].

Ensuite, dans le cas ℓ = 2 et q impair, donc quand les sous-groupes de Sylow ne sont pas abéliens, nous montrerons que si q est congru à 3 ou 5 modulo 8, alors le bloc principal de G est de même type que le bloc principal du normalisateur dans G d’un sous-groupe de Sylow de SL_{2}(q).

2.4.1 ℓ impair, ℓ divise q − 1

Dans ce cas le ℓ-sous-groupe de Sylow P_{e} de G est abélien, son normalisateur est H_{e}. Les caractères irréductibles de G et de H_{e} sont donnés par les tables B.12 et B.13 page 200.

2.4 : Isotypies dans GL_{2}(q)  57

Les caractères irréductibles du bloc principal de OG sont :

• φ_{λu}  pour λ = 0 … ℓ^{a} − 1
• φ′_{λu}  pour λ = 0 … ℓ^{a} − 1
• φ_{λu μu} pour λ, μ = 0 … ℓ^{a} − 1 λ < μ.

Les caractères irréductibles du bloc principal de OH_{e} sont :

• χ_{λu}  pour λ = 0 … ℓ^{a} − 1
• χ′_{λu}  pour λ = 0 … ℓ^{a} − 1
• χ_{λu μu} pour λ, μ = 0 … ℓ^{a} − 1 λ < μ.

Propriété 2.4.1. Il existe une isotypie I entre les blocs principaux de OH_{e} et de OG telle que

\begin{aligned}I^{1} : & CF (B_{ℓ}(H_{e}), K) & ⟶ & CF (B_{ℓ}(G), K) \\ & ( \begin{matrix}χ_{λu} \\ χ′_{λu} \\ χ_{λu μu} \end{matrix} ) & ⟼ & ( \begin{matrix}φ_{λu} \\ φ′_{λu} \\ φ_{λu μu} \end{matrix} ) . \end{aligned}

Démonstration : On rappelle que α′ = α^{u}. Les classes de conjugaison de ℓ-éléments sont représentées par :

• (\begin{matrix}α′^{r} & 0 \\ 0 & α′^{r} \end{matrix} ) pour r = 0 … ℓ^{a} − 1  (les éléments centraux)
• (\begin{matrix}α′^{r} & 0 \\ 0 & α′^{s} \end{matrix} ) pour r, s = 0 … ℓ^{a} − 1 r < s.

Si h est un ℓ-élément non central de ce système, donc h = (\begin{matrix}α′^{r} & 0 \\ 0 & α′^{s} \end{matrix} ) avec

r < s, alors on a C_{H_{e}}(h) = C_{G}(h) = T_{e}. C’est un groupe abélien donc ℓnilpotent. On a évidemment O^{ℓ}(C_{H_{e}}(h)) ≃ O^{ℓ}(C_{G}(h)), et I(χ)(h) = χ(h) pour tout χ caractère irréductible de B_{ℓ}(H_{e}). On utilise donc le lemme 2.2.3. Il nous donne une isométrie parfaite I^{h} pour chacun de ces h.

Comme les sous-groupes de Sylow de G sont abéliens, on peut utiliser la propriété 2.3.10. Il reste juste à vérifier son hypothèse 3. :

pour tout élément h de \overline{Ξ}, tout caractère irréductible θ de Z_{ℓ}(H_{e}) et caractère irréductible χ de B_{ℓ}(C_{H_{e}}(h)), on a

I^{h}(θ^{C_{He}(h)} × χ) = θ^{C_{G}(h)} × I^{h}(χ).  (2.4)

Cette égalité est triviale pour h ≠ 1. Si h = 1, alors les θ^{H_{e}} et les θ^{G} sont les χ_{λu} et les φ_{λu} pour λ = 0 … ℓ^{a} − 1, l’égalité 2.4 est alors immédiate, et la propriété est démontrée. □

La conjecture de Broué 2.1.4 est donc vérifiée dans ce cas. On peut ajouter qu’elle est bien compatible avec l’induction de Deligne-Lusztig : on a en effet R_{T_{e}}^{G} = I^{1} ∘ Ind_{T_{e}}^{H_{e}} (voir l’expression de R_{T_{e}}^{G} page 35).

2.4.2 ℓ impair, ℓ divise q + 1

Dans ce cas le sous-groupe P_{s} est abélien, c’est un ℓ-sous-groupe de Sylow de G. Son normalisateur est H_{s}, les caractères irréductibles de celui-ci sont donnés par la table B.14 page 202.

Les caractères du bloc principal de OG sont :

• φ_{0}

• φ′_{0}

• ψ_{λ(q−1)v} pour λ = 1 … ℓ^{b} − 1.

Les caractères du bloc principal de OH_{s} sont :

• χ_{0}

• χ′_{0}

• χ′′_{λ(q−1)v} pour λ = 1 … ℓ^{b} − 1.

Propriété 2.4.2. Il existe une isotypie I telle que

\begin{aligned}I^{1} : & CF (B_{ℓ}(H_{s}), K) & ⟶ & CF (B_{ℓ}(G), K) \\ & ( \begin{matrix}χ_{0} \\ χ′_{0} \\ χ′′_{λ(q−1)v} \end{matrix} ) & ⟼ & ( \begin{matrix}φ_{0} \\ −φ′_{0} \\ −ψ_{λ(q−1)v} \end{matrix} ) . \end{aligned}

Démonstration : Rappelons que dans ce cas β′ = β^{(q−1)v}. L’ensemble des γ(\begin{matrix}β′^{r} & 0 \\ 0 & β′^{qr} \end{matrix} ) où r = 1 … ℓ^{b} − 1 est un système de représentants des classes de conjugaison de ℓ-éléments de H_{s}. Le centralisateur d’un tel élément dans H_{s} et dans G est T_{s}. Il faut donc juste vérifier que pour caractère irréductible χ de B_{ℓ}(H_{s}) on a

I(χ)(^{γ}(\begin{matrix}β′^{r} & 0 \\ 0 & β′^{qr} \end{matrix} )) = χ(^{γ}(\begin{matrix}β′^{r} & 0 \\ 0 & β′^{qr} \end{matrix} )),

ce qui est immédiat grâce aux signes négatifs. Par application des lemmes 2.2.3 et 2.2.6, on obtient bien une isotypie. □

La conjecture 2.1.4 de Broué est donc démontrée dans ce cas. L’isotypie I est encore compatible avec l’induction de Deligne-Lusztig, i.e., on a R_{T_{s}}^{G} = I^{1} ∘ Ind_{T_{s}}^{H_{s}} (voir l’induction de Deligne-Lusztig page 38).

2.4.3 ℓ = 2, q impair

Dans ce cas les sous-groupes de Sylow de G ne sont pas abéliens. On note toujours q − 1 = 2^{a}u et q + 1 = 2^{b}v avec u et v impairs. Selon la congruence de q modulo 4, l’un des entiers a et b est égal à 1 et l’autre est strictement supérieur à 1.

Les caractères du bloc principal de G sont les suivants :

• φ_{λu}  pour λ = 0 … 2^{a} − 1
• φ′_{λu}  pour λ = 0 … 2^{a} − 1
• φ_{λu μu} pour λ, μ = 0 … 2^{a} − 1 λ < μ
• ψ_{λuv}  pour λ = 1 … 2^{a+b} − 1 2^{b} ∤ λ.

Selon que q est congru à 1 ou 3 modulo 4, on a pour normalisateur d’un sous-groupe de Sylow de G l’un des deux groupes H′_{e} ou H′_{s}, leurs tables de caractères figurent pages 203 et 203 (tables B.15 et B.16).

Si q ≡ 1 (mod 4), les caractères du bloc principal de OH′_{e} sont :

• χ_{λu} pour λ = 0 … 2^{a} − 1
• χ′_{λu} pour λ = 0 … 2^{a} − 1
• χ_{λu μ} pour λ, μ = 0 … 2^{a} − 1 2^{a} ∤ (λu − μ), χ_{λu μ} = χ_{λu λu−μ}.

Si q ≡ 3 (mod 4), les caractères du bloc principal de OH′_{s} sont :

• χ_{0} et χ_{u}

• χ′_{0} et χ′_{u}

• χ′′_{λu}  pour λ = 1 … 2^{b+1} − 1, λ ≠ 2^{b}.

On constate donc que les blocs principaux de OH′_{e} et OH′_{s} n’ont pas autant de caractères irréductibles que celui de G.

On peut même faire le constat suivant : si on note c = Max{a, b}, alors c ≥ 2, et le bloc principal de OG contient des caractères de hauteur 0, 1 et c. Or les blocs principaux de OH′_{e} et de OH′_{s} (et même de OH_{e} et OH_{s}) n’ont que des caractères de hauteur 0 et 1. Une isotypie entre bloc principaux conservant la hauteur des caractères ([Br3, théorème 1.5]), on est assuré que les blocs principaux de ces groupes ne sont pas de même type que celui de OG.

Nous avons vu que dans le cas q ≡ ±1 (mod 8) aucun sous-groupe local ne contrôle la fusion des 2-sous-groupes de G (propriété 1.4.6), donc dans ce cas aucun bloc principal de sous-groupe local de G n’est de même type que celui de G.

Dans le cas q ≡ ±3 (mod 8) le normalisateur dans G d’un sous-groupe de Sylow de SL_{2}(q) contrôle la fusion (propriété 1.4.2). Nous allons montrer que l’on a une isotypie entre le bloc principal de ce groupe et celui de G.

Nous supposons donc pour le reste de cette section que q ≡ ±3 mod 8, i.e., que {a, b} = {1, 2}.

Cas q ≡ 5 mod 8

Soit P′ un 2-sous-groupe de Sylow de SL_{2}(q), et H = N_{G}(P′). En vertu de la propriété 1.4.2, le sous-groupe H contrôle la fusion des 2-sous-groupes de G.

Les caractères irréductibles de H sont donnés par la table B.18 page 204.

Les caractères du bloc principal de OG sont donnés page 201, dans notre situation ce sont :

• φ_{λu}  pour λ = 0 … 3
• φ′_{λu}  pour λ = 0 … 3
• φ_{λu μu} pour λ, μ = 0 … 3 λ < μ
• ψ_{λuv}  pour λ = 1 … 7  λ impair.

Les caractères du bloc principal de OH sont :

• χ_{λu}  pour λ = 0 … 3
• χ′′_{λu}  pour λ = 0 … 3
• χ′_{\frac{u−1}{2} +λu} pour λ = 0 … 3
• χ_{λu}^{(4)}  pour λ = 0, 1
• χ′′′_{\frac{λu−1}{2}}  pour λ = 1, 3.

Propriété 2.4.3. Il existe une isotypie I telle que

\begin{aligned}I : & CF (B_{ℓ}(H), K) & ⟶ & CF (B_{ℓ}(G), K) \\ & ( \begin{matrix}χ_{λu} \\ χ′′_{λu} \\ χ′_{\frac{u−1}{2} +λu} \\ χ_{λu}^{(4)} \\ χ′′′_{\frac{λu−1}{2}} \end{matrix} ) & ⟼ & ( \begin{matrix}−φ_{λu} \\ φ′_{λu+2u} \\ φ_{μu νu} \\ φ_{u−λu 3u−λu} \\ ψ_{λuv} \end{matrix} ) . \end{aligned}

Les images des χ′_{i}, pour i = i(λ) = \frac{u−1}{2} +λu sont les φ_{μu νu} tels que μ+ν est impair. Plus précisément, les correspondances sont

si u ≡ 1 ou 3 (mod 8) : ( \begin{matrix}χ′_{\frac{u−1}{2}} \\ χ′_{\frac{3u−1}{2}} \\ χ′_{\frac{5u−1}{2}} \\ χ′_{\frac{7u−1}{2}} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}φ_{2u 3u} \\ φ_{0 3u} \\ φ_{0 u} \\ φ_{u 2u} \end{matrix} ),

si u ≡ 5 ou 7 (mod 8) : ( \begin{matrix}χ′_{\frac{u−1}{2}} \\ χ′_{\frac{3u−1}{2}} \\ χ′_{\frac{5u−1}{2}} \\ χ′_{\frac{7u−1}{2}} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}φ_{0 u} \\ φ_{u 2u} \\ φ_{2u 3u} \\ φ_{0 3u} \end{matrix} ).

Démonstration : Considérons le système de représentants des classes de 2-éléments suivant :

• (\begin{matrix}α′^{r} & 0 \\ 0 & α′^{r} \end{matrix} )  pour r = 0 … 3  (les éléments centraux)
• (\begin{matrix}α′^{r} & 0 \\ 0 & α′^{s} \end{matrix} )  pour r, s = 0 … 3 r < s
• (\begin{matrix}0 & α′^{r} \\ α′^{r+1} & 0 \end{matrix} ) pour r = 0, 1.

Soit h un élément de la deuxième catégorie. On a

C_{H}(h) = \{α^{i} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & α′^{j} \end{matrix} ) i = 0 … q − 2, j = 0 … 3\} ,

C_{G}(h) = \{(\begin{matrix}α^{i} & 0 \\ 0 & α^{j} \end{matrix} ) i, j = 0 … q − 2\} .

Ces deux groupes sont abéliens, C_{H}(h) ≅ C_{q−1}×C_{4} et C_{G}(h) ≅ C_{q−1}×C_{q−1}, donc O^{2}(C_{H}(h)) ≅ O^{2}(C_{G}(h)) ≅ C_{4} × C_{4}. On a pour tout χ irréductible χ(h) = −I(χ)(h), ce qui justifie que χ_{λu} est envoyé sur −φ_{λu}, que χ′′_{λu} est envoyé sur φ′_{λu+2u}, et permet d’obtenir les images des χ′_{\frac{u−1}{2} +λu}. Par application du lemme 2.2.3 pour chaque h on obtient une isométrie parfaite

I^{h} : CF (B_{ℓ}(C_{H}(h)), K) → CF (B_{ℓ}(C_{G}(h)), K).

Soit h un élément de la troisième catégorie. On a

C_{H}(h) = \{α^{i} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , α^{i} (\begin{matrix}0 & 1 \\ α′ & 0 \end{matrix}) i = 0 … q − 2\} ,

C_{G}(h) = \{(\begin{matrix}α^{i} & α^{j} \\ α′α^{j} & α^{i} \end{matrix} ) i, j = 0 … q − 2\} .

On montre que ces groupes sont cycliques : C_{H}(h) ≅ C_{2(q−1)}, engendré

par exemple par α^{\frac{1−u}{2}} (\begin{matrix}0 & 1 \\ α′ & 0 \end{matrix}), et C_{G}(h) ≅ C_{q^{2}−1}, engendré par (\begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ a_{2}α′ & a_{1} \end{matrix} ) où

a_{1} = \frac{1}{2}(β + β^{q}) et a_{2} = \frac{1}{2}β^{−uv}(β − β^{q}). On a O^{2}(C_{2(q−1)}) ≃ O^{2}(C_{q^{2}−1}), pour tout χ irréductible χ(h) = −I(χ)(h), donc encore une fois on applique le lemme 2.2.3, qui donne des isométries parfaites I^{h}.

On vérifie que \frac{χ(x)}{χ(1)} = \frac{(I(χ))(x)}{(I(χ))(1)} pour tout 2-élément central x et tout caractère irréductible χ. Montrons que le diagramme D^{1} est commutatif.

Le calcul montre que l’espace CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(H), K) a pour base {χ̃_{0}, χ̃_{1}} avec

χ̃_{0} = ∑_{λ}(χ_{λu} + χ′′_{λu}) + 2 ∑_{λ} χ′′′_{\frac{λu−1}{2}} ),

χ̃_{1} = ∑_{λ}(χ′_{\frac{u−1}{2} +λu} + χ′′_{λu}) + 2 ∑_{λ}(χ_{λu}^{(4)} + χ′′′_{\frac{λu−1}{2}} ).

L’espace CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(G), K) a pour base {φ̃_{0}, φ̃_{1}} avec

φ̃_{0} = ∑_{λ}(−φ_{λu} + φ′_{λu}) + 2 ∑_{λ} ψ_{λuv},

φ̃_{1} = ∑_{λ,μ} φ_{λu μu} + ∑_{λ} φ′_{λu} + ∑_{λ} ψ_{λuv}.

Ceci montre que le diagramme D^{1} commute. On pose ensuite I^{x} = I pour tout 2-élément central x, on utilise le lemme 2.2.4. Ceci montre que le diagramme D^{x} est commutatif. Ensuite on applique le lemme 2.2.5, il montre que I est bien une isotypie. □

Cas q ≡ 3 mod 8

Soit P′ un 2-sous-groupe de Sylow de SL_{2}(q), et H =^{γ}N_{G}(P′). On sait grâce à la propriété 1.4.2 que H^{γ} contrôle la fusion des 2-sous-groupes de G.

La table B.19 page 205 donne les caractères irréductibles de H.

Les caractères du bloc principal de OH sont χ_{0}, χ_{u}, χ′_{\frac{u−1}{2}} , χ′_{\frac{3u−1}{2}} , χ_{0}^{(4)},

χ′′_{0}, χ′′_{u} et χ′′′_{\frac{u−1}{2}} .

Propriété 2.4.4. Il existe une isotypie I telle que :

I : ( \begin{matrix}χ_{0} \\ χ_{u} \\ χ′_{\frac{u−1}{2}} \\ χ′_{\frac{3u−1}{2}} \\ χ_{0}^{(4)} \\ χ′′_{0} \\ χ′′_{u} \\ χ′′′_{\frac{u−1}{2}} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}φ_{0} \\ φ_{u} \\ ψ_{5uv} \\ ψ_{uv} \\ ψ_{2uv} \\ φ′_{u} \\ φ′_{0} \\ φ_{0 u} \end{matrix} ) ou ( \begin{matrix}φ_{0} \\ φ_{u} \\ ψ_{uv} \\ ψ_{5uv} \\ ψ_{2uv} \\ φ′_{u} \\ φ′_{0} \\ φ_{0 u} \end{matrix} ) .

La première possibilité est l’expression de I si uv ≡ 1 ou 3 mod 8, la deuxième si uv ≡ 5 ou 7 mod 8.

On remarque que cette isotypie n’a que des signes positifs. On verra dans la section 3.6 qu’elle provient d’une équivalence de Morita (théorème 3.6.9).

Démonstration : On considère le système de représentants des classes de conjugaison des 2-éléments suivant : ± (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), ±h_{I}, ±α^{\frac{u−1}{2}} B et ±α^{\frac{u−1}{2}} h_{J}B.

Si h est l’un d’eux et χ un caractère irréductible alors on a d_{H}^{−h}(χ) = \frac{χ(−1)}{χ(1)}d_{H}^{h}(χ), or on vérifie que \frac{χ(−1)}{χ(1)} = \frac{I(χ)(−1)}{I(χ)(1)} pour tout caractère χ irréductible, ainsi la commutativité de D^{−h} est impliquée par celle de D^{h}. On se restreint donc aux 2-éléments 1, h_{I}, α^{\frac{u−1}{2}} B et α^{\frac{u−1}{2}} h_{J}B (mais on ne peut pas pour autant se passer de montrer la commutativité de D^{1}).

Si h = 1, on montre que l’espace CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(H), K) a pour base {χ̃_{0}, χ̃_{1}} avec

χ̃_{0} = χ_{0} + χ_{u} + χ′′_{0} + χ′′_{u} + 2χ′′′_{\frac{u−1}{2}} ,

χ̃_{1} = χ′_{\frac{u−1}{2}} + χ′_{\frac{3u−1}{2}} + χ′′_{0} + χ′′_{u} + χ′′′_{\frac{u−1}{2}} + χ_{0}^{(4)}.

L’espace CF_{ℓ′}(B_{ℓ}(G), K) a pour base {φ̃_{0}, φ̃_{1}} avec

φ̃_{0} = φ_{0} + φ_{u} + φ′_{0} + φ′_{u} + 2φ_{0 u},
φ̃_{1} = ψ_{uv} + ψ_{2uv} + ψ_{5uv} + φ′_{0} + φ′_{u} + φ_{0 u}.

Le diagramme D^{1} est donc commutatif.

Si h = h_{I}, alors h est conjugué à l’élément ^{γ}(\begin{matrix}β^{n} & 0 \\ 0 & β^{qn} \end{matrix} ) de G avec n =

(q − 1)v. On a

C_{H}(h) = \{α^{i}β′′^{j} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & β′^{2j} \end{matrix} ) i = 0 … q − 2, j = 0 … 3\} ,

C_{G}(h)^{γ} = \{(\begin{matrix}β^{i} & 0 \\ 0 & β^{qi} \end{matrix} ) i = 0 … q^{2} − 2\} .

donc C_{H}(h) ≅ C_{4(q−1)}, engendré par exemple par β′′ (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & β′^{2} \end{matrix} ), et C_{G}(h) ≅

C_{q^{2}−1}. On a O^{2}(C_{4(q−1)}) = O^{2}(C_{q^{2}−1}), et pour tout χ irréductible on a χ(h) = I(χ)(h).

Si h = α^{\frac{u−1}{2}} B, alors h est conjugué à l’élément h′ = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) de G, on a

C_{H}(h) = \{α^{i} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , α^{i}β′′^{2} (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) i = 0 … q − 2\} ,

C_{G}(h′)^{γ} = \{(\begin{matrix}α^{i} & α^{j}β′′^{2} \\ −α^{j}β′′^{2} & α^{i} \end{matrix} ) i, j = 0 … q − 2\} .

ce qui donne C_{H}(h) ≅ C_{q−1} × C_{2}, avec C_{q−1} engendré par α (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) et C_{2}

engendré par α^{\frac{u−1}{2}} β′′^{2} (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}). Le groupe C_{G}(h′) est commutatif, il a quatre 2-

éléments : ±1 et ±β′^{2} (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) donc O^{2}(C_{G}(h′)) ≅ C_{2}×C_{2} ≅ O^{2}(C_{H}(h)). Enfin

on a bien χ(h) = I(χ)(h′) pour tout χ irréductible grâce aux associations I(χ′′_{0}) = φ′_{u} et I(χ′′_{u}) = φ′_{0}.

Si h = α^{\frac{u−1}{2}} h_{J}B, alors h est conjugué à l’élément ^{γ}(\begin{matrix}β^{n} & 0 \\ 0 & β^{qn} \end{matrix} ) de G avec n = 5uv, les centralisateurs sont les mêmes que pour le cas h = h_{I}, on vérifie que pour tout χ irréductible on a χ(h) = I(χ)(h) (ce qui nécessite l’examen de la congruence de uv modulo 8).

Pour ces trois dernières classes d’éléments on applique le lemme 2.2.3, puis les lemmes 2.2.4 et 2.2.5, et on obtient l’isotypie désirée. □

Equivalences splendides

Ce chapitre montre que les isotypies obtenues au chapitre précédent proviennent bien d’équivalences splendides de catégories dérivées. Nous étudierons en détail les complexes de Deligne-Lusztig Λ_{e} et Λ_{s}, ainsi que leurs analogues dans les groupes SL_{2}(q), PGL_{2}(q) et PSL_{2}(q).

3.1 Définitions et conjectures

On garde les notations relatives au groupe G = GL_{2}(q) définies dans le chapitre 1 sections 1.1 à 1.3, ainsi que le système modulaire (K, O, k) où k est de caractéristique non nulle ℓ.

3.1.1 Equivalences splendides

La version forte de la conjecture de Broué est la suivante :

Conjecture 3.1.1 (Broué). Soit G un groupe fini dont les ℓ-sous-groupes de Sylow sont abéliens. Soit H le normalisateur dans G de l’un de ces sousgroupes de Sylow. Alors il existe une équivalence triangulée entre les catégories dérivées bornées D^{b}(B_{ℓ}(G)) et D^{b}(B_{ℓ}(H)).

Cette conjecture implique qu’il existe une isométrie parfaite entre les blocs principaux B_{ℓ}(G) et B_{ℓ}(H), cf [Br3, 3.1].

Dans son article [Ri4], J. Rickard énonce son raffinement de la conjecture de Broué :

Conjecture 3.1.2 (Rickard). Sous les hypothèses de 3.1.1, il existe une équivalence splendide entre les catégories D^{b}(B_{ℓ}(G)) et D^{b}(B_{ℓ}(H)).

Une équivalence splendide est une équivalence dérivée particulière, donc la conjecture 3.1.2 implique la conjecture 3.1.1. Notons qu’une équivalence splendide est même une équivalence des catégories homotopiques H^{b}(B_{ℓ}(G)) et H^{b}(B_{ℓ}(H)). Mais la propriété forte d’une telle équivalence est qu’elle induit une isotypie entre les blocs B_{ℓ}(G) et B_{ℓ}(H), alors qu’une équivalence dérivée n’implique que l’existence d’une isométrie parfaite. Ainsi la conjecture 3.1.2 implique la conjecture 2.1.4.

Donnons la définition d’une équivalence splendide. On sait grâce au théorème de Rickard (cf [Ri1] et [Ri2]) qu’une équivalence triangulée entre catégories dérivées est induite par un complexe de bimodules. La caractérisation d’une équivalence splendide porte sur ce complexe.

Soient G et H deux groupes finis dont les ℓ-sous-groupes de Sylow sont isomorphes. Soient A et B des sommes directes de blocs de OG et de OH respectivement, ou de kG et de kH.

Définition 3.1.3. Un complexe splendide X est un complexe de (A, B)- bimodules borné, à composantes projectives en tant que A-modules à gauche et en tant que B-modules à droite, satisfaisant les propriétés suivantes :

1. le complexe X^{∨} ⊗_{B} X est isomorphe à A dans la catégorie homotopique H^{b}(A ⊗ A^{op}), et le complexe X ⊗_{A} X^{∨} est isomorphe à B dans la catégorie homotopique H^{b}(B ⊗ B^{op}) ;

2. les composantes de X sont des modules de ℓ-permutation.

Le complexe X est donc un objet de la catégorie H^{b}(A⊗B^{op}) qui, d’après la première propriété, vérifie la propriété de disjonction dans les catégories H^{b}(A) et H^{b}(B^{op}). Cette première propriété équivaut au fait que les foncteurs

\begin{aligned}& X ⊗_{B}^{L} − : & H^{b}(B) & ⟶ & H^{b}(A) \\ et & X^{∨} ⊗_{A}^{L} − : & H^{b}(A) & ⟶ & H^{b}(B) \end{aligned}  (3.1)

sont des équivalences de catégories inverses l’une de l’autre. Une telle équivalence, i.e., une équivalence induite par un complexe splendide, est appelée équivalence splendide. Comme les composantes de X sont projectives à gauche et à droite, alors les foncteurs 3.1 sont en fait des foncteurs usuels de produit tensoriel de complexes.

La deuxième propriété induit la compatibilité à la fusion. Désignons par P un sous-groupe de Sylow de G et de H, et pour tout L sous-groupe commun de G et de H notons ΔL le sous-groupe diagonal

ΔL = {(x, x^{−1}) | x ∈ L} ∈ G × H^{op}.

La deuxième propriété équivaut alors à dire que les facteurs directs indécomposables des composantes de X sont de source triviale et de vortex contenu dans le sous-groupe diagonal ΔP de G × H^{op}.

3.1.2 Le cas des groupes finis de type de Lie

Soit G un groupe algébrique réductif connexe sur 𝔽 muni d’un endomorphisme de Frobenius F et soit G = G^{F}. Comme on l’a vu dans la section 1.5, à tout élément w du groupe de Weyl W_{G} de G est associé un tore maximal F -stable T_{w} de G, puis un sous-groupe T_{w} = T_{w}^{F} de G que l’on appelle toujours tore de G, et enfin un objet Λ_{w} de la catégorie homotopique H^{b}(O[G × T_{w}^{op}]) (voir définitions pages 32 et suivante).

Supposons qu’un ℓ-sous-groupe de Sylow de G soit inclus dans un tore T_{w} pour un certain w de W_{G}. On note alors H le normalisateur de ce sousgroupe de Sylow dans G, puis B_{ℓ}(G) et B_{ℓ}(H) les blocs principaux de OG et de OH respectivement, et b_{G}, b_{H} les idempotents centraux primitifs qui leur sont associés. Dans cette situation (et même dans une situation plus générale, cf [Br3, 6] et [BMa, 1A]) la conjecture de Broué est plus précise :

Conjecture 3.1.4 (Broué). Il existe une structure de complexe de OHmodules à droite sur Λ_{w}, le complexe b_{G}.Λ_{w}.b_{H} réalise alors une équivalence dérivée entre les catégories D^{b}(B_{ℓ}(G)) et D^{b}(B_{ℓ}(H)).

Cette conjecture implique donc que le complexe b_{G}.Λ_{w}.b_{H} est basculant, et que son algèbre d’endomorphismes dans la catégorie dérivée de B_{ℓ}(G) est isomorphe à B_{ℓ}(H).

Dans son article [Ri3], en construisant l’objet Λ_{c}(Y_{w}, O) de la catégorie H^{b}(B_{ℓ}(G) ⊗ B_{ℓ}(OT_{w})^{op}), J. Rickard montre que ses composantes sont des modules de ℓ-permutation, ce qui montre la cohésion des conjectures 3.1.4 et 3.1.2.

3.2 Quelques propriétés générales

3.2.1 Complexes et homotopie

Lemme 3.2.1. Soit P un complexe borné à droite à composantes projectives, Q un complexe borné à composantes projectives. On suppose que P et Q sont quasi-isomorphes. Alors pour un n assez petit, τ_{≥n}P est un complexe borné à composantes projectives, quasi-isomorphe à P.

Démonstration : Supposons que Q^{i} = 0 pour tout i ≤ 0. On a donc H^{i}(P) = 0 pour tout i ≥ 0. Nous allons montrer que le module P^{0}/B^{0}(P) est projectif. Ainsi le complexe

τ_{≥0}P : ⋯ ⟶ 0 ⟶ P^{0}/B^{0}(P) ⟶ P^{1} ⟶ ⋯

sera borné à composantes projectives.

Comme les complexes sont bornés à droite à composantes projectives, il existe un morphisme de complexes s : P → Q inversible dans la catégorie homotopique. Soit t : Q → P un représentant de son inverse et r une application satisfaisant 1_{P} − ts = dr + rd. On a en particulier

1_{P^{0}} = d^{−1}r^{0} + r^{1}d^{0}.

L’application r^{1}d^{0} est nulle sur Z^{0}(P) = B^{0}(P). Elle donne donc un morphisme P^{0}/B^{0}(P) → P^{0}. La composée de celui-ci avec la projection canonique P^{0} → → P^{0}/B^{0}(P) est l’identité. Ainsi P^{0}/B^{0}(P) est facteur direct de P^{0}, et il est projectif. □

On a de plus le corollaire :

Corollaire 3.2.2. Soit P un complexe borné à composantes projectives. On note a le plus grand entier tel que H^{n}(P) = 0 pour tout n < a, et b le plus petit entier tel que H^{n}(P) = 0 pour tout n > b. Alors le complexe τ_{≥a}τ_{≤b}P est isomorphe à P dans la catégorie homotopique.

Dans la catégorie des complexes on a une unique décomposition en somme directe τ_{≥a}τ_{≤b}P = P_{1} ⊕ P_{2} où P_{1} n’a pas de facteur direct homotope à zéro, et P_{2} est homotope à zéro. Le complexe P_{1}, isomorphe à P dans la catégorie homotopique, est uniquement déterminé à isomorphime de complexes près.

Définition 3.2.3. Soit P un complexe borné à composantes projectives. On appelle représentant minimal de P dans la catégorie des complexes l’objet de la catégorie des complexes noté P_{1} construit ci-dessus.

Lemme 3.2.4. Soit R un anneau, S une R-algèbre plate sur R. Alors pour tout complexe de R-modules E et tout entier n on a H^{n}(S⊗E) ≃ S⊗H^{n}(E).

Démonstration : Soit d la différentielle de E. On considère la suite exacte

0 → ker d^{n} → E^{n} → im d^{n} → 0.

Comme S est plate sur R la suite

0 → S ⊗ ker d^{n} → S ⊗ E^{n} → S⊗ im d^{n} → 0

est toujours exacte. Il est clair que S ⊗ im d^{n} =im (1_{S} ⊗ d^{n}), donc on a un isomorphisme S ⊗ ker d^{n} ≃ ker (1_{S} ⊗ d^{n}).

On considère ensuite la suite exacte

0 → im d^{n−1} → ker d^{n} → H^{n}(E) → 0.

De même, S étant plate, on a une suite exacte

0 → im (1_{S} ⊗ d^{n−1}) → S ⊗ ker d^{n} → S ⊗ H^{n}(E) → 0.

Or on a S ⊗ ker d^{n} = ker 1_{S} ⊗ d^{n} et une suite exacte

0 → im (1_{S} ⊗ d^{n−1}) → ker (1_{S} ⊗ d^{n}) → H^{n}(S ⊗ E) → 0

d’où l’isomorphisme S ⊗ H^{n}(E) ≃ H^{n}(S ⊗ E). □

Rappelons la construction suivante (voir par exemple [Ke3, 8.1.4]) :

Définition 3.2.5. Soit A un anneau, C et D deux complexes de A-modules. On appelle complexe des morphismes de C dans D le complexe Hom_{A}(C, D) défini par

Hom_{A}(C, D)^{n} = ∏_{i∈ℤ} Hom_{A}(C^{i}, D^{i+n}),

d(f) = d_{D} ∘ f − (−1)^{n}f ∘ d_{C} pour tout f ∈ Hom_{A}(C, D)n.

On note End_{A}(C) = Hom_{A}(C, C). Pour tout n on a la propriété suivante :

H^{n}(Hom_{A}(C, D)) = Hom_{H(A)}(C, D[n]).

Propriété 3.2.6. Soit R un anneau commutatif noethérien, S une algèbre plate sur R, G un groupe fini et A un facteur direct de l’algèbre RG. Soit C et D deux complexes de A-modules, C étant borné à composantes de type fini. On a alors un isomorphisme

S ⊗_{R} Hom_{H(A)}(C, D) ⟶^{∼} Hom_{H(S⊗_{R}A)}(S ⊗_{R} C, S ⊗_{R} D).

Démonstration : D’après [Bki, chap. I, §2, n^{∘}10, prop. 11] pour tout Rmodule X de type fini et tout R-module Y on a un isomorphisme canonique que l’on notera toujours τ par abus de notations :

τ : S ⊗_{R} Hom_{R}(X, Y) ⟶^{∼} Hom_{S}(S ⊗_{R} X, S ⊗_{R} Y).

L’image par cet isomorphisme de λ ⊗ f est l’application qui à μ ⊗ x ∈ S ⊗ X associe λμ ⊗ f(x).

Si de plus X et Y sont des G-modules, alors le R-module Hom_{R}(X, Y) est muni d’une action de G en posant pour g ∈ G, φ ∈ Hom_{R}(X, Y) et x ∈ X :

(gφ)(x) = g(φ(g^{−1}x)).

On a alors Hom_{RG}(X, Y) = (Hom_{R}(X, Y))^{G}, i.e., Hom_{RG}(X, Y) est l’ensemble des points fixes de Hom_{R}(X, Y) pour cette action.

De même on a Hom_{SG}(S ⊗ X, S ⊗ Y) = (Hom_{S}(S ⊗ X, S ⊗ Y))^{G}, et l’isomorphisme τ est compatible avec cette action. Il induit un isomorphisme

τ : S ⊗ Hom_{RG}(X, Y) ⟶^{∼} Hom_{SG}(S ⊗ X, S ⊗ Y).

Si X et Y sont des A-modules alors τ est en fait un isomorphisme :

τ : S ⊗ Hom_{A}(X, Y) ⟶^{∼} Hom_{S⊗A}(S ⊗ X, S ⊗ Y).

Considérons maintenant deux complexes de A-modules C et D, où C est borné, à composantes de type fini. On note d_{R} la différentielle du complexe Hom_{A}(C, D) et d_{S} celle du complexe Hom_{SA}(S ⊗ C, S ⊗ D).

Comme C est un complexe borné, pour tout n l’isomorphisme τ s’étend en un isomorphisme S ⊗ (Hom_{A}(C, D))^{n} ⟶^{∼} (Hom_{SA}(S ⊗ C, S ⊗ D))^{n}. On vérifie que τ ∘ (1_{S} ⊗ d_{R}) = d_{S} ∘ τ, donc que τ définit un isomorphisme de complexes.

Celui-ci induit donc un isomorphisme en homologie de degré 0

H^{0}(τ) : H^{0}(S ⊗ (Hom_{A}(C, D))) ⟶^{∼} H^{0}(Hom_{SA}(S ⊗ C, S ⊗ D))
= Hom_{H(SA)}(S ⊗ C, S ⊗ D).

Le lemme 3.2.4 nous assure que

H^{0}(S ⊗ Hom_{A}(C, D)) ≃ S ⊗ H^{0}(Hom_{A}(C, D)),

donc on a l’isomorphisme désiré. □

Propriété 3.2.7. Soit O un anneau de valuation discrète, k son corps résiduel. Soit C = ⋯ → C^{i} ⟶^{d^{i}} C^{i+1} → ⋯ un complexe borné de O-modules libres, tel que pour tout i ≠ 0, H^{i}(k ⊗_{O} C) = 0.

Alors H^{0}(C), vu comme complexe concentré en degré 0, est facteur direct de C, et ces deux complexes sont homotopes.

Démonstration : Comme les modules C^{i} sont libres, l’application canonique k⊗H^{i}(C) → H^{i}(k⊗C) est injective pour tout i ∈ ℤ et donc H^{i}(C) = 0 pour tout entier i.

On construit tout d’abord un endomorphisme f de C homotope à 0 tel que f^{i} = Id_{C^{i}} pour tout i ≠ 0.

Soit n un entier tel que C^{p} = 0 pour tout p > n. On suppose n > 1 pour simplifier. On a alors d^{n−1} surjectif et C^{n} projectif, donc il existe un morphisme r^{n} tel que d^{n−1} ∘ r^{n} = Id_{C^{n}} :

\xymatrix{C^{n−1} \ar[r]^{d^{n−1}} & C^{n} \ar[d]^{Id} \ar[dl]_{r^{n}} \ar[r] & 0 \\ C^{n−1} \ar[r]_{d^{n−1}} & C^{n} \ar[r] & 0.}

Le morphisme Id_{C^{n−1}} − r^{n} ∘ d^{n−1} est à valeurs dans ker d^{n−1}, donc comme H^{n−1}(C) = 0 c’est une surjection à valeurs dans im d^{n−2}. La projectivité de C^{n−1} nous assure donc qu’il existe un morphisme r^{n−1} : C^{n−1} → C^{n−2} tel que Id_{C^{n−1}} = r^{n} ∘ d^{n−1} + d^{n−2} ∘ r^{n−1}. On construit ainsi par récurrence une famille de morphismes (r^{i} : C^{i} → C^{i−1})_{i>0} telle que Id_{C^{i}} = r^{i+1}∘d^{i}+d^{i−1}∘r^{i}.

Pour construire les r^{i} pour i négatif on utilise la dualité : comme les C^{i} sont projectifs, leurs duaux C_{∗}^{i} sont projectifs (on note exceptionnellement les duaux sur k par une étoile en bas). On a besoin de l’hypothèse H^{i}(k⊗C) = 0 pour montrer que H^{i}(C_{∗}) = 0 : comme k est un corps on a

Hom_{H(k)}(k ⊗ C[i], k) = Hom_{k}(H^{i}(k ⊗ C), k) = H^{i}(k ⊗ C)_{∗}.

D’autre part

Hom_{H(k)}(k ⊗ C[i], k) = H^{i}(Hom_{k}(k ⊗ C, k)) = H^{i}(k ⊗ C_{∗})

donc comme H^{i}(C_{∗}) est un sous-espace de H^{i}(k ⊗ C_{∗}), on a H^{i}(C_{∗}) = 0 pour tout entier i.

On obtient de la même façon que précédemment une famille de morphismes (s^{i})_{i<0}

\xymatrix{C_{∗}^{0} \ar[r]^{d_{∗}^{−1}} & C_{∗}^{−1} \ar[r]^{d_{∗}^{−2}} \ar[dl]_{s^{0}} \ar[d]_{Id} & C_{∗}^{−2} \ar[r] \ar[dl]_{s^{−1}} \ar[d]_{Id} & ⋯ \\ C_{∗}^{0} \ar[r]_{d_{∗}^{−1}} & C_{∗}^{−1} \ar[r]_{d_{∗}^{−2}} & C_{∗}^{−2} \ar[r] & ⋯}

telle que s^{i} ∘ d_{∗}^{i−1} + d_{∗}^{i} ∘ s^{i+1} = Id_{C_{∗}^{i}} pour tout i ≤ 0. Mais comme les C^{i} sont projectifs on a un isomorphisme canonique C^{i} ⟶^{∼} C_{∗∗}^{i}, qui envoie l’identité sur l’identité. En dualisant on a s_{∗}^{i+1} ∘ d^{i} + d^{i−1} ∘ s_{∗}^{i} = Id_{C^{i}}, on pose donc r^{i} = s_{∗}^{i} pour tout i ≤ 0.

On pose ensuite f^{i} = Id_{C^{i}} pour i ≠ 0, f^{0} = r^{1} ∘ d^{0} + d^{−1} ∘ r^{0}, puis on vérifie que f est un endomorphisme de complexes. Par construction f est homotope à 0.

Soit g l’endomorphime de C^{0} défini par g = Id_{C^{0}} − f^{0}. On a alors la factorisation

ḡ : coker d^{−1} → ker d^{0}.

Soit C_{+}, C_{−} et H^{0} les complexes

C_{+} :  ⋯ 0 → 0 → coker d^{−1} → C^{1} → C^{2} ⋯
C_{−} :  ⋯ C^{−2} → C^{−1} → ker d^{0} → 0 → 0 ⋯
H^{0} :  ⋯ 0 → 0 → H^{0}(C) → 0 → 0 · · · .

Le morphisme ḡ induit un morphisme de complexes C_{+} → C_{−}, et on a les morphismes évidents C_{−} ↪ C → → C_{+} et C_{−} → → H^{0} ↪ C_{+}.

On considère les morphismes de complexes donnés par les compositions :

φ : C → → C_{+} ⟶^{ḡ} C_{−} → → H^{0} et ψ : H^{0} ↪ C_{+} ⟶^{ḡ} C_{−} ↪ C.

On a alors les résultats suivants, qui démontrent le lemme :

• φ ∘ ψ = Id_{H^{0}}.

• ψ ∘φ est homotope à l’identité de C. En effet on sait que f est homotope à 0, donc il suffit de montrer que ψ ∘φ+f −Id_{C} est homotope à 0, ce qui est immédiat en prenant par exemple comme homotopie l’application h nulle en dehors de C^{0} et définie par h^{0} = r^{0} ∘ r^{1} ∘ d^{0} sur C^{0}.

Ainsi φ et ψ sont des isomorphismes dans la catégorie homotopique, inverses l’un de l’autre, et H^{0} est facteur direct de C. □

Lemme 3.2.8. Soit R un anneau commutatif, I un idéal de R et S = R/I. Soit C un complexe borné à droite de modules libres sur R, tel que pour tout entier n l’homologie H^{n}(C) soit libre sur R. Alors on a un isomorphime

S ⊗_{R} H^{n}(C) → H^{n}(S ⊗_{R} C).

Démonstration : Comme C est borné à droite, à composantes libre, et comme son homologie est libre sur R, on montre par une construction similaire à celle de la démonstration de la propriété précédente que C est homotope à son homologie. Ainsi les complexes C et H^{∗}(C) sont isomorphes dans la catégorie H(R), donc les complexes S ⊗ C et S ⊗ H^{∗}(C) sont isomorphes dans la catégorie H(S), ce qui implique que leurs homologies sont isomorphes. □

3.2.2 Propriétés diverses

On considère de nouveau que O est une anneau de valuation discrète complet, de corps résiduel k et de corps des fractions K.

Propriété 3.2.9. Soit R une O-algèbre libre commutative et locale (donc telle que R/rad(R) = k), A et B deux R-algèbres libres non nulles, et

φ : A → B

un morphisme d’algèbres R-linéaire tel que

Id_{K} ⊗_{O} φ : K ⊗_{O} A → K ⊗_{O} B

soit un isomorphisme. Si k ⊗_{R} A est semi-simple, alors φ est un isomorphisme.

Il est immédiat dans cette situation que A et B sont de même rang sur R (ou sur O), et que φ est injective.

Démonstration : Supposons d’abord que k⊗_{R} A est simple. Le morphisme

Id_{k} ⊗_{R} φ : k ⊗_{R} A ⟶ k ⊗_{R} B

a pour noyau un idéal bilatère de k ⊗_{R} A, qui peut être soit 0 soit k ⊗_{R} A car k ⊗_{R} A est simple. Il ne peut être k ⊗_{R} A tout entier car Id_{k} ⊗_{R} φ envoie l’unité de k ⊗_{R} A sur celle de k ⊗_{R} B. Ainsi Id_{k} ⊗ φ est injectif. Comme A et B ont même rang sur R, k ⊗_{R} A et k ⊗_{R} B ont même dimension sur k et donc Id_{k} ⊗_{R} φ est un isomorphisme.

On a donc B = im φ + rad(R)B, et par application du lemme de Nakayama φ est surjectif.

Si k ⊗_{R} A est semi-simple, notons (e_{1}, …, e_{r}) les idempotents centraux primitifs de A. Comme 1_{B} = φ(1_{A}) = ∑ φ(e_{i}), l’algèbre B est somme directe des algèbres Bφ(e_{i}). Grâce au théorème de relèvement des idempotents, les algèbres k ⊗_{R} Ae_{i} sont simples. Ainsi les restrictions φ_{i} : Ae_{i} → Bφ(e_{i}) sont surjectives grâce à ce qui précède. Finalement φ est surjectif, c’est donc un isomorphisme. □

Lemme 3.2.10. Soit G un groupe fini, et M un kG-module de type fini indécomposable. S’il existe un sous-groupe H de G tel que M soit facteur direct de Ind_{H}^{G}k, alors M est de source triviale et il existe un vortex de M contenu dans H.

Démonstration : Soit P un sous-groupe de Sylow de H. Comme M est relativement H-projectif, alors M est relativement P -projectif, et donc H contient un vortex de M.

Si Q est un vortex de M, alors M est facteur direct de Ind_{Q}^{G}Res_{Q}^{G}M, donc en utilisant le théorème de Mackey :

M | Ind_{Q}^{G}Res_{Q}^{G}Ind_{H}^{G}k

≃ ⨁_{γ∈Q\G/H} Ind_{Q∩H^{γ}}^{G}k.

Il existe donc γ tel que M est facteur direct de Ind_{Q∩H^{γ}}^{G}k, ce qui implique qu’un conjugué de Q est inclus dans Q ∩ H^{γ}, donc que Q ⊂ H^{γ}. Ainsi M est facteur direct de Ind_{Q}^{G}k, donc de source triviale. □

La propriété suivante est due à S. Bouc (cf [Bou]). On renvoie à [AB], [Br2], et [Ro4, 4] pour les définitions et propriétés des morphismes et foncteurs de Brauer (notés respectivement br et Br).

Propriété 3.2.11. Soit G un groupe fini, et f : V → W une application Glinéaire entre OG-modules de ℓ-permutation, V n’ayant pas de composante projective. Soit P_{1}, …, P_{n} des vortex des composantes indécomposables de V. Si pour tout i, l’application Br_{P_{i}}(f) est une injection, alors f est une injection scindée.

Nous en donnons une démonstration très proche de celle de [Ro3, lemme 3.6 (i)] :

Démonstration : Soit S un ℓ-sous-groupe de Sylow de G. La restriction

Res_{S}^{G}f : Res_{S}^{G}V ⟶ Res_{S}^{G}W

est une injection scindée si et seulement si f est une injection scindée. De plus les vortex des composantes indécomposables de V sont conjugués à ceux des composantes indécomposables de Res_{S}^{G}V. En conséquence on peut supposer que G est un ℓ-groupe.

Supposons que V est indécomposable. Alors il existe un ℓ-sous-groupe P de G tel que V = OG/P, et P est un vortex de V (cf , par exemple [Br2]). On a Br_{P} (V) = kN_{G}(P)/P, et par hypothèse Br_{P} (f) est une injection.

Soit Q un ℓ-sous-groupe de G tel que OG/Q soit une composante irréductible de W. On a un isomorphisme de N_{G}(P)/P -modules :

Br_{P} (OG/Q) = ⨁_{γ∈N_{G}(P)\T_{G}(P, Q)/Q} kN_{G}(P)/(N_{G}(P) ∩^{γ}Q)

où T_{G}(P, Q) désigne le transporteur de P dans Q, i.e., l’ensemble des g ∈ G tels que P^{g} ⊆ Q. Comme Br_{P} (f) est une injection de kN_{G}(P)/P -modules et comme Br_{P} (V) est un kN_{G}(P)/P -module projectif indécomposable, il existe un sous-groupe Q de G tel qu’une composante indécomposable W_{1} de W soit isomorphe à OG/Q, et tel que kN_{G}(P)/P soit facteur direct d’un module kN_{G}(P)/(N_{G}(P) ∩^{γ}Q). Ceci impose que P = N_{^{γ}Q}(P), et donc comme ^{γ}Q est un ℓ-groupe, que Q est conjugué à P.

En composant f avec la projection canonique W → → W_{1}, on a une application f_{1} : OG/P → OG/P telle que Br_{P} (f_{1}) soit un isomorphisme. Le foncteur de Brauer donne un morphisme surjectif d’anneaux

Br_{P} : End_{OG}(OG/P) → → End_{kN_{G}(P)/P} (kN_{G}(P)/P),

envoyant f_{1} sur un élément inversible. Comme OG/P est indécomposable, la O-algèbre End_{OG}(OG/P) est locale, donc f_{1} est inversible modulo l’idéal maximal de O, et comme O est supposé complet pour sa valuation discrète, f_{1} est inversible, d’où le résultat si V est indécomposable.

Dans le cas général, on choisit une composante indécomposable V_{1} de V et on compose f avec l’injection V_{1} ↪ V. Alors f(V_{1}) est facteur direct de W, on considère f′ : V/V_{1} ⟶ W/f(V_{1}), et on aboutit au résultat par récurrence. □

3.2.3 Inflation et Déflation

Soit G un groupe fini, N un sous-groupe distingué de G, et k un corps assez gros pour G. Pour tout X sous-ensemble ou un élément de G on notera \overline{X} l’image de X par la projection canonique G → → G/N.

Le (kG, k\overline{G})-bimodule k\overline{G} définit les foncteurs inflation et déflation :

\xymatrix{kG-mod \ar[r]^{DefG ; \overline{G}=k\overline{G}⊗_{kG}−} & k\overline{G}-mod. \ar[l]^{InfG ; \overline{G}=_{kG}k\overline{G}⊗_{k\overline{G}}−}}

L’inflation est adjointe à droite de la déflation, et le composé Def ∘ Inf est le foncteur identité.

On suppose de plus que k est de caractéristique non nulle ℓ, et que N est un ℓ-groupe. Alors, par exemple d’après le lemme [Ro2, 10.2.9], la déflation réalise une bijection entre les classes d’équivalence de modules projectifs. En conséquence, l’inflation induit une bijection entre les groupes de Grothendieck R(kG) et R(k\overline{G}). Elle envoie donc un module simple sur un module simple. De plus, la déflation envoie un module non nul sur un module non nul, et donc l’inflation envoie un indécomposable sur un indécomposable.

Propriété 3.2.12. 1. Si M est un kG-module indécomposable tel que M et DefG ; \overline{G}M ont même dimension, alors tout vortex de M contient N.

2. Si \overline{M} est un k\overline{G}-module indécomposable de vortex \overline{Q} = Q/N (où Q est un ℓ-sous-groupe de G contenant N) et de source U, alors InfG ; \overline{G}\overline{M} a pour vortex Q et pour source InfQ ; \overline{Q}U.

Démonstration : La dimension sur k de \overline{M} = DefG ; \overline{G}M est égale à celle de Hom_{k\overline{G}}(\overline{M}, k\overline{G}). On a

Hom_{k\overline{G}}(\overline{M}, k\overline{G}) ≃ Hom_{kG}(M, InfG ; \overline{G}k\overline{G})
≃ Hom_{kG}(M, Ind_{N}^{G}k)
≃ Hom_{kN}(Res_{N}^{G}M, k)

donc la dimension de \overline{M} est égale à celle de la tête de Res_{N}^{G}M. Si M et \overline{M} ont même dimension, Res_{N}^{G}M est alors semi-simple et donc est une puissance du module trivial k^{n}.

Soient Q et U respectivement un vortex et une source de M. D’après par exemple [Al2, théorème 9.4, démonstration], U est facteur direct de Res_{Q}^{G}M. Donc Res_{Q∩N}^{Q}U est facteur direct de Res_{Q∩N}^{G}M = Res_{Q∩N}^{N}k^{n}. Ainsi pour tout γ ∈ G, Res_{Q^{γ}∩N}^{Q^{γ}}U^{γ} est une puissance du module trivial.

Comme M est facteur direct de Ind_{Q}^{G}U, en restreignant à N et en appliquant le théorème de Mackey on obtient :

k^{n} | Res_{N}^{G}Ind_{Q}^{G}U

≃ ⨁_{γ∈N\G/Q} Ind_{N∩Q^{γ}}^{N}Res_{N∩Q^{γ}}^{Q^{γ}}U^{γ}.

Soit R = N ∩ Q^{γ}. Comme on a Hom_{kN}(Ind_{R}^{N}k, k) = Hom_{kR}(k, k), alors Ind_{R}^{N}k a pour tête le module trivial et donc est indécomposable. Ainsi il existe γ tel que N ∩ Q^{γ} = N, ce qui montre le premier point.

Soit maintenant \overline{M} un k\overline{G}-module indécomposable, et M = InfG ; \overline{G}\overline{M}. On a DefG ; \overline{G}M = \overline{M}, donc d’après ce qui précède, si Q′ est un vortex de M alors N ⊂ Q′.

Comme \overline{M} est facteur direct de Ind\overline{G} ; \overline{Q}U, alors M est facteur direct de

InfG ; \overline{G}Ind\overline{G} ; \overline{Q}U = Ind_{Q}^{G}InfQ ; \overline{Q}U

car les (kG, k\overline{Q})-bimodules k\overline{G} et kG ⊗_{kQ} k\overline{Q} sont isomorphes. En conséquence, quitte à remplacer Q′ par un de ses conjugués, on peut supposer que Q′ ⊂ Q.

Si U′ est une source de M, alors M est facteur direct de Ind_{Q′}^{G}U′, donc en appliquant la déflation \overline{M} est facteur direct de Ind\overline{G} ; \overline{Q}′Def_{\overline{Q}′}^{Q′}U′. Ici on utilise

l’isomorphisme de (k\overline{G}, kQ′)-bimodules k\overline{G} ⊗_{k\overline{Q}′} kQ′ ≃ k\overline{G} ⊗_{kG} kG. Ainsi

\overline{Q} ⊂ \overline{Q}′ et donc Q = Q′.

Comme U est indécomposable alors InfQ ; \overline{Q}U l’est aussi, et donc c’est une source de M. □

Pour la propriété suivante, nous remplaçons N par un ℓ-sous-groupe central Z. Soit H un sous-groupe de G contenant Z.

On rappelle que si H′ est un autre sous-groupe de G, si C et D sont des complexes respectivement de O[G×H^{op}]-modules et de O[G⊗H′^{op}]-modules, alors le complexe Hom_{OG}(C, D) est muni d’une structure de complexe de O[H ⊗ H′]-modules définie de la façon usuelle : soit f est un morphisme OG-linéaire d’une composante C^{i} de C vers une composante D^{j} de D, soit x un élément de C^{i}, soit h, h′ des éléments respectivement de H et de H′. Alors on a

h.f.h′ : x ↦ f(x.h).h′.

Propriété 3.2.13. Soit C un complexe de O[G × H^{op}]-modules de ℓ-permu-tation. On suppose que le vortex de tout facteur direct indécomposable d’une composante de C contient ΔZ. Alors il existe un isomorphime canonique de complexes de O[H × H^{op}]-modules

O\overline{H} ⊗_{OH} End_{OG}(C) ⟶^{∼} End_{O\overline{G}}(\overline{C}).

Cet isomorphisme est compatible avec les structures d’algèbres différentielles graduées.

Remarque 3.2.14. Dans cette situation, le complexe O\overline{H} ⊗_{OH} End_{OG}(C) a une structure d’algèbre différentielle graduée dont la différentielle est induite par celle de End_{OG}(C) et dont la multiplication est donnée par

h̄ ⊗ f . h̄′ ⊗ f′ = h̄ ⊗ fh′f′

où h, h′ ∈ H et f, f′ ∈ End_{OG}(C). Cette multiplication aurait été plus naturelle si l’on avait utilisé l’isomorphisme

O\overline{H} ⊗_{OH} End_{OG}(C) ≃ O ⊗_{OZ} End_{OG}(C)

mais dans ce cas l’action à droite de H sur O ⊗_{OZ} End_{OG}(C) est donnée par h.λ ⊗ f = λ ⊗ (h.f) où h ∈ H, λ ∈ O et f ∈ End_{OG}(C).

Démonstration : Soit Q un ℓ-sous-groupe de H contenant Z. Comme Z est central, alors pour tout x élément de Ind_{ΔQ}^{G×H^{op}}O et tout élément z de Z on a zx = xz. En conséquence, si M est un O[G × H^{op}]-module de ℓpermutation dont les vortex sont de la forme ΔQ où Z ⊂ Q, alors on a des isomorphismes de O[G ⊗ H^{op}]-modules

O\overline{G} ⊗_{OG} M ⟶^{∼} O\overline{G} ⊗_{OG} M ⊗_{OH} O\overline{H} ⟶^{∼} M ⊗_{OH} O\overline{H}.

Si M′ est un facteur direct de M indécomposable, alors comme M′ est de source triviale le théorème de Mackey montre que

Res_{G×1}^{G×H^{op}}M′ | ⨁_{γ∈(G×1)\G×H^{op}/ΔQ} Ind_{(G×1)∩ΔQ^{γ}}^{G×1}O,

donc M est projectif en tant que OG-module, puis \overline{M} est projectif en tant que O\overline{G}-module.

En conséquence, on a un isomorphisme de complexes de O[H × H^{op}]- bimodules

C^{∨} ⊗_{OG} C ⟶^{∼} End_{OG}(C),

puis on a les isomorphismes de complexes de O[H × H^{op}]-modules suivants :

O\overline{H} ⊗_{OH} C^{∨} ⊗_{OG} C ≃ C^{∨} ⊗_{OG} O\overline{G} ⊗_{OG} C
≃ \overline{C}^{∨} ⊗_{O\overline{G}} \overline{C}
≃ End_{O\overline{G}}(\overline{C})

ce qui démontre que l’on a un isomorphisme

Φ : O\overline{H} ⊗_{OH} End_{OG}(C) ⟶^{∼} End_{O\overline{G}}(\overline{C}).

Montrons que cet isomorphisme est naturel, en le sens suivant : soit C^{i} et C^{j} deux composantes de C, f un élément de Hom_{OG}(C^{i}, C^{j}). Alors l’image de ¯1 ⊗ f par Φ est l’application

\begin{aligned}f̄: & \overline{C}^{i} & ⟶ & \overline{C}^{j} \\ & ¯1 ⊗ x & ⟼ & ¯1 ⊗ f(x). \end{aligned}  (3.2)

En vertu de l’existence d’un isomorphisme

\begin{matrix}C^{i}^{∨} ⊗_{OG} C^{j} & ⟶ & Hom_{OG}(C^{i}, C^{j}) \\ φ ⊗ y & ⟼ & [x ↦ φ(x)y] , \end{matrix}

il suffit de vérifier 3.2 pour un élément f de la forme x ↦ φ(x)y où φ ∈ C^{i}^{∨} = Hom_{O}(C^{i}, O) et y ∈ C^{j}. L’image de ¯1 ⊗ f par Φ est l’application

¯1 ⊗ x ⟼ (¯1 ⊗ φ)(¯1 ⊗ x).(¯1 ⊗ y) = ¯1 ⊗ (φ(x).y),

donc l’isomorphisme Φ est bien naturel, et ceci montre qu’il est multiplicatif. □

Lemme 3.2.15. Soit G un groupe fini, Z un sous-groupe central de G, et A le ℓ-bloc principal de OG. Alors O ⊗_{OZ} A est le ℓ-bloc principal de G/Z.

Démonstration : Les blocs de OG correspondent à ceux de kG car O est complet pour sa valuation discrète, donc il suffit de montrer que k ⊗_{kZ} A est le bloc principal de k[G/Z].

Soit Z_{ℓ} la ℓ-partie de Z, et Z_{ℓ′} sa ℓ′-partie. L’algèbre kZ_{ℓ} est locale. Le théorème de relèvement des idempotents implique donc que k ⊗_{kZ_{ℓ}} A est le bloc principal de k[G/Z_{ℓ}].

Comme Z/Z_{ℓ} est inclus dans O_{ℓ′}((G/Z_{ℓ})), le bloc principal de k[G/Z] est k ⊗_{kZ_{ℓ′}} k ⊗_{kZ_{ℓ}} A, d’où le résultat. □

3.2.4 Bicomplexes basculants

Dans cette section, O est supposé être un anneau de valuation discrète complet. On pourra consulter [Br4] pour les questions relatives à l’adjonction.

Le cas des bimodules

Théorème 3.2.16. Soit A et B deux O-algèbres de type fini. On considère un bimodule M de A-mod-B, et un bimodule N de B-mod-A tels que la paire de foncteurs (M ⊗_{B} −, N ⊗_{A} −) soit bi-adjointe. On suppose que N ⊗_{A} M ≃ B. Alors le couple (M, N) réalise une équivalence de Morita entre B et une sous-algèbre A′ de A, et on a A = A′ ⊕ Ann_{A}(M).

Ce théorème découle du lemme suivant :

Lemme 3.2.17. Soit A et B deux O-algèbres de type fini telles que A est indécomposable et B est non nulle. Les hypothèses du théorème ci-dessus impliquent que M ⊗_{B} N ≃ A (et donc que A et B sont équivalentes au sens de Morita).

Démonstration : Le fait que la paire de foncteurs (N ⊗_{A} −, M ⊗_{B} −) est adjointe équivaut à l’existence, pour tout X ∈ A-mod et Y ∈ mod-B, d’un isomorphisme fonctoriel :

φ = φ_{X, Y} : Hom_{B}(N ⊗_{A} X, Y) ⟶^{∼} Hom_{A}(X, M ⊗_{B} Y).

Si on prend X = A, Y = N alors on a un isomorphisme

Hom_{B}(N, N) ⟶ Hom_{A}(A, M ⊗_{B} N).

On appelle η_{A} l’image de l’identité de N par cet isomorphisme. De même en posant X = M et Y = B, on appelle ε_{B} l’image réciproque de l’identité de M par l’isomorphisme

Hom_{B}(N ⊗_{A} M, B) ⟶ Hom_{A}(M, M).

En utilisant la fonctorialité de φ on montre que le diagramme suivant est commutatif

\xymatrix{N \ar[rr]^{1_{N}} \ar[dr]_{1_{N} ⊗η_{A}} &  & N \\  & N ⊗_{A} M ⊗_{B} N \ar[ur]_{ε_{B}⊗1_{N}}}  (3.3)

donc 1_{N} ⊗η_{A} est une injection scindée de source N et de but N ⊗_{A} M ⊗_{B} N. Mais par hypothèse ce dernier module est isomorphe à N. Comme tous les modules sont de type fini sur O, ceci implique que 1_{N} ⊗ η_{A} est un isomorphisme.

En utilisant maintenant le fait que la paire de foncteurs (M⊗_{B}−, N⊗_{A}−) est adjointe on montre que le diagramme suivant est commutatif

\xymatrix{N \ar[rr]^{1_{N}} \ar[dr]_{η_{B}⊗1_{N}} &  & N \\  & N ⊗_{A} M ⊗_{B} N \ar[ur]_{1_{N} ⊗ε_{A}}}

donc 1_{N} ⊗ ε_{A} est une surjection scindée, et puisque N ⊗_{A} M ≃ B c’est un isomorphisme.

On considère les deux applications

η = η_{A} : A ⟶ M ⊗_{B} N et ε = ε_{A} : M ⊗_{B} N ⟶ A.

Montrons que la composée εη est inversible.

On note toujours P l’idéal maximal de O. L’algèbre End_{A}(A)_{A} est locale car A est indécomposable en tant qu’algèbre. Ceci signifie que si εη n’est pas inversible alors il existe n ∈ ℕ tel que (εη)^{n} ∈ P.End_{A}(A)_{A}. Mais alors (1_{N} ⊗εη)^{n} ∈ P.End_{B}(N)_{A} puis 1_{N} ∈ P.End_{B}(N)_{A} car 1_{N} ⊗εη est inversible. Ceci implique par le lemme de Nakayama que N = 0, ce qui est faux car N ⊗_{A} M ≃ B et B ≠ 0.

Comme εη est un isomorphisme, alors A est facteur direct de M ⊗_{B} N : il existe un (A, A)-bimodule Q tel que A ⊕ Q ≃ M ⊗_{B} N. En tensorisant à gauche par N sur A on obtient N ⊕ N ⊗_{A} Q ≃ N, donc N ⊗_{A} Q = 0. Puis on tensorise par M :

0 = M ⊗_{B} N ⊗_{A} Q = Q ⊕ (Q ⊗_{A} Q)

ce qui implique que Q = 0 puis le résultat voulu : M ⊗_{B} N ≃ A. □

Montrons que ce lemme implique le théorème 3.2.16.

Notons A_{1} … A_{n} les blocs de A, M_{i} = A_{i} ⊗_{A} M et N_{i} = N ⊗_{A} A_{i}. Soit J le sous-ensemble de {1 … n} contenant les i tels que M_{i} ≠ 0, on a A = A′ ⊕ A′′ où

A′ = ⨁_{j∈J} A_{j} et A′′ = ⨁_{j∉J} A_{j}.

Soit B_{j} = N_{j} ⊗_{A_{j}} M_{j} pour j ∈ J. Les B_{j} sont des sous-algèbres de B, et comme B ≃ N ⊗_{A} M alors

B ≃ ⨁_{j∈J} B_{j}.

De plus on a B_{j} = N ⊗_{A} M_{j} donc M ⊗_{B} B_{j} = M_{j}. Ainsi pour tout j ∈ J on a B_{j} ≠ 0.

Montrons que pour j ∈ J, la paire de foncteurs (M_{j} ⊗_{B_{j}} −, N_{j} ⊗_{A_{j}} −) réalise une bi-adjonction entre les catégories A_{j}-mod et B_{j}-mod. Pour cela on utilise le fait que si Γ est une algèbre, Λ une sous-algèbre de Γ (ce qui induit une structure de Λ-module sur Γ), X et Y des Γ-modules, alors

Hom_{Γ}(Λ ⊗_{Λ} X, Λ ⊗_{Λ} X′) ≃ Hom_{Γ}(X, Λ ⊗_{Λ} X′)
≃ Hom_{Γ}(Λ ⊗_{Λ} X, X′)
≃ Hom_{Λ}(Λ ⊗_{Λ} X, Λ ⊗_{Λ} X′).

Soit X ∈ A_{j}-mod, Y ∈ B_{j}-mod. On a les isomorphismes :

Hom_{B_{j}}(N_{j} ⊗_{A_{j}} X, Y) ≃ Hom_{B}(N ⊗_{A} A_{j} ⊗_{A_{j}} X, Y)
≃ Hom_{A}(X, M ⊗_{B} Y) ≃ Hom_{A_{j}}(X, M_{j} ⊗_{B_{j}} Y).

De même Hom_{A_{j}}(M_{j} ⊗_{B_{j}} Y, X) ≃ Hom_{B_{j}}(Y, N_{j} ⊗_{A_{j}} X).

On peut donc appliquer le lemme 3.2.17, l’algèbre A_{j} est indécomposable, B_{j} est non nulle, la paire de foncteurs (M_{j} ⊗_{B_{j}} −, N_{j} ⊗_{A_{j}} −) est bi-adjointe, et enfin N_{j} ⊗_{A_{j}} M_{j} ≃ B_{j}, donc M_{j} ⊗_{B_{j}} N_{j} ≃ A_{j} et on a une équivalence de Morita entre A_{j} et B_{j}. Par somme directe, le couple (M, N) réalise une équivalence de Morita entre A′ et B.

Il reste à montrer que A′′ = Ann_{A}(M). Par définition de A′′, il est clair que A′′ ⊂ Ann_{A}(M). Ensuite, l’application η : A′ → M ⊗_{B} N est un isomorphisme A-linéaire, si a ∈ Ann_{A}(M) alors η(a1_{A′}) = aη(1_{A′}) = 0, donc a1_{A′} = 0 et a ∈ A′′. □

Remarque 3.2.18. On peut ajouter que l’équivalence de Morita donnée par la paire (M, N) permute les blocs de A′ et de B. Notons {A_{i}}_{i∈I} les blocs de A′ et {B_{j}}_{j∈J} ceux de B. On montre alors que pour tout i ∈ I, il existe un unique j ∈ J tel que A_{i} ⊗_{A} M ⊗_{B} B_{j} ≄ 0.

En effet, si i ∈ I, on a B ≃ N ⊗_{A}M = ⨁_{i∈I} (NA_{i} ⊗_{A} A_{i}M) ce qui donne une décomposition de B en sous-algèbres : pour tout i il existe un ensemble d’indices J_{i} tel que NA_{i} ⊗_{A} A_{i}M ≃ ⨁_{j∈J_{i}} B_{j}. Après produit tensoriel à gauche par M ceci donne A_{i}M ≃ ⨁_{j∈J_{i}} MB_{j}.

En utilisant de même l’isomorphisme A′ ≃ M ⊗_{B} N on obtient que les MB_{j} sont des sommes directes de A_{i}M, donc les J_{i} sont tous de cardinal 1, et il existe une bijection σ : I → J telle que A_{i}M ≃ MB_{σ(i)} pour tout i.

Remarque 3.2.19. Supposons que A et B sont deux O-algèbres symétriques de type fini, que l’on a un (A, B)-bimodule M qui est projectif en tant que Amodule à gauche et en tant que B-module à droite, et tel que End_{A}(M) ≃ B. Alors M réalise une équivalence de Morita entre A′ et B, où A′ est toujours la sous-algèbre de A telle que A = A′ ⊕ Ann_{A}(M).

En effet comme A et B sont symétriques, les duaux de M sur O, A et B sont isomorphes. Soit N l’un d’entre eux. Comme M est projectif sur A alors la paire de foncteurs (M ⊗_{B} −, N ⊗_{A} −) est adjointe, et comme M est projectif sur B alors N est projectif en tant que B-module à droite, et donc la paire (N ⊗_{A} −, M ⊗_{B} −) est adjointe également. De plus on a N ⊗_{A} M ≃ End_{A}(M) ≃ B, donc on peut appliquer le théorème 3.2.16.

Le cas des bicomplexes

Le théorème 3.2.16 se généralise aux catégories homotopiques, cf [Ri4, Théorème 2.1] :

Théorème 3.2.20 (Rickard). Soit A et B deux O-algèbres de type fini. On considère un complexe de (A, B)-bimodules C et un complexe de (B, A)- bimodules D tels que la paire de foncteurs (C ⊗_{B} −, D ⊗_{A} −) entre les catégories homotopiques bornées H^{b}(B) et H^{b}(A) soit bi-adjointe. On suppose que D ⊗_{A} C ≃ B dans H^{b}(B ⊗ B^{op}). Alors le couple (C, D) réalise une équivalence entre les catégories homotopiques bornées de B et d’une sous-algèbre A′ de A telle que A = A′ ⊕ Ann_{H^{b}(A)}(C).

On définit ici Ann_{H^{b}(A)}(C) comme étant la somme des blocs A_{i} de A tels que le complexe A_{i} ⊗_{A} C soit homotope à zéro.

Pour la démonstration de ce théorème on a besoin de la propriété suivante : si i : C → C est un monomorphisme (ou un épimorphisme) scindé de H^{b}(A) alors c’est un isomorphisme. De façon plus générale, si A est une catégorie on définit la propriété P(A) par :

Propriété P(A) : Soit X un objet de A, et i, p deux flèches de End_{A}(X) telles que pi = 1_{X}. Alors p et i sont des isomorphismes.

On montre que cette propriété est vraie dans les cas suivants :

• A = K-ev la catégorie des espaces vectoriels sur un corps K;

• A = R-mod la catégorie des modules de type fini sur un anneau commutatif R. En effet si M est un idéal maximal de R et K = R/M, alors d’après le cas précédent 1_{K} ⊗_{R} i est un isomorphisme. Donc i est un isomorphisme, par exemple grâce à [Bki, chap. II, §3, n^{∘}3, prop. 11] ;

• A = A-mod la catégorie des modules de type fini sur une R-algèbre de type fini A, où R est un anneau commutatif. Il suffit de restreindre les modules à R;

• A = C(A′) la catégorie des complexes à composantes dans la catégorie A′,

où A′ est telle que P(A′) est vraie. Ceci est immédiat. Pour le cas des catégories homotopiques on a besoin du lemme suivant :

Lemme 3.2.21. Soit A une algèbre de type fini sur un corps commutatif, X un complexe borné de A-modules sans facteur direct homotope à 0. Si f est un endomorphisme de X homotope à zéro alors f est nilpotent.

Démonstration : On montre que si la composante f_{n−1} de f en degré n − 1 est nilpotente, alors la composante f_{n} l’est aussi. Comme X est borné on démontre ainsi le lemme par récurrence. On aurait pu choisir de montrer l’implication inverse : si f_{n+1} est nilpotente alors f_{n} l’est aussi.

Soit m un entier tel que f_{n−1}^{m} = 0. Il suffit de montrer que f_{n}^{m} est nilpotent. Comme f^{m} est aussi homotope à zéro, on peut remplacer f par f^{m}, donc on suppose que f_{n−1} = 0, et on montre que f_{n} est nilpotent. Soit d la différentielle de X et r une application telle que f = rd + dr.

Tout d’abord, on considère le morphisme

g = f_{n} − d_{n−1} ∘ r_{n} = r_{n+1} ∘ d_{n}.

Montrons que g est nilpotent. Les modules im (g^{k}) pour k ∈ ℕ forment une suite décroissante de sous-modules de X^{n}, donc comme A est artinienne il existe un entier m tel que

∀k ≥ m im (g^{k}) = im (g^{k+1}).

On pose Y = im (g^{m}), c’est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps de base de A. L’application g^{m} : Y → Y est une surjection, donc c’est g^{m} est un automorphisme de Y. Or g^{m} = (r_{n+1}d_{n})^{m} donc d_{n} est un isomorphisme Y ⟶^{∼} d_{n}(Y).

L’application g^{m} : X^{n} → X^{n} est à valeurs dans Y, sa restriction à Y est un isomorphisme, donc Y est un facteur direct de X^{n}.

L’application d_{n}g^{m}r_{n+1} : X^{n+1} → X^{n+1} est à valeurs dans d_{n}(Y), sa restriction à d_{n}(Y) est un isomorphisme comme le montre le diagramme commutatif suivant

\xymatrix{Y \ar[r]^{g^{m+1}}_{∼} \ar[d]_{d_{n}}^{≀} & Y \ar[d]^{d_{n}}_{≀} \\ d_{n}(Y) \ar[r]_{dg^{m}r} & d_{n}(Y)}

donc d_{n}(Y) est un facteur direct de X^{n+1}. Finalement le complexe

⋯ 0 → Y ⟶^{∼} d_{n}(Y) → 0 ⋯

est facteur direct de X, ce qui impose Y = 0 car par hypothèse X n’a pas de facteur direct homotope à zéro. On a donc g^{m} = 0.

Pour tout entier k on a g^{k} = (f_{n} − dr)^{k} = f_{n}^{k} − drf_{n}^{k−1} car f_{n−1} = 0, donc f_{n}^{m} = drf_{n}^{m−1}, puis en multipliant à gauche par f_{n}, (f_{n})^{m+1} = 0, et ainsi par récurrence f est nilpotent. □

Corollaire 3.2.22. Soit A une R-algèbre de type fini, où R est un anneau commutatif. La propriété P(H^{b}(A)) est vraie.

Démonstration : Soit X un complexe borné de A-modules, et i, p, deux endomorphismes de H^{b}(A) tels que pi = 1_{X}. Comme X est isomorphe dans H^{b}(A) à un complexe sans facteur direct homotope à zéro, on peut le supposer lui-même sans facteur direct homotope à zéro.

Supposons d’abord que R est un corps. Soient ĩ et p̃ des antécédents de i et de p par l’application End_{C^{b}(A)}(X) → End_{H^{b}(A)}(X). Par hypothèse, la composée p̃ĩ est homotope à l’identité de X, donc par application du lemme précédent il existe un endomorphisme de X nilpotent n tel que p̃ĩ = 1_{X} + n. Mais 1_{X} + n est inversible et donc en vertu de la proposition P(C^{b}(A)) les applications p̃ et ĩ sont inversibles, et a fortiori les applications p et i.

Dans le cas général, soit M un idéal maximal de R et K = R/M. Alors 1_{K} ⊗_{R}i et 1_{K} ⊗_{R}p sont des isomorphismes, donc toujours en appliquant [Bki, chap. II, §3, n^{∘}3, prop. 11] on obtient que i et p sont des isomorphismes. □

Démonstration du théorème 3.2.20 : La démonstration se calque sur celle du théorème 3.2.16 et du lemme 3.2.17. On a besoin de la propriété P(H^{b}(A)) car on obtient des diagrammes commutatifs du type

\xymatrix{N \ar[rr]^{1_{N}} \ar[dr]_{1_{N} ⊗η_{A}} &  & N \\  & N ⊗_{A} M ⊗_{B} N \ar[ur]_{ε_{B}⊗1_{N}}}

et on sait que N ⊗_{A} M ⊗_{B} N ≃ N, donc la propriété P(H^{b}(A)) justifie qu’alors les morphismes 1_{N} ⊗ η_{A} et ε_{B} ⊗ 1_{N} sont des isomorphismes.

On utilise également le fait que

End_{H^{b}(A⊗A^{∘})}(A) = End_{A}(A)_{A}

donc si A est indécomposable alors End_{H^{b}(A⊗A^{op})}(A) est locale comme dans le cas des modules. □

De même la remarque 3.2.19 se généralise :

Corollaire 3.2.23. Soit A et B deux O-algèbres symétriques de type fini, et C un complexe borné de (A, B)-bimodules projectifs en tant que A-modules à gauche et que B-modules à droite, tel que End_{H^{b}(A)}(C) ≃ B dans H^{b}(B ⊗ B^{op}). Alors C réalise une équivalence entre les catégories homotopiques bornées de A′ et de B, où A′ est la sous-algèbre de A telle que A = A′ ⊕ Ann_{H^{b}(A)}(C).

Remarque 3.2.24. Si P est un objet parfait de D^{b}(A), alors End_{D^{b}(A)}(P) = End_{H^{b}(A)}(P), donc le théorème et le corollaire précédents s’expriment aussi bien en remplaçant les catégories homotopiques par les catégories dérivées.

Tout comme dans le cas des modules, ces équivalences se décomposent en équivalences de blocs, i.e., elles établissent une correspondance bijective entre les blocs de A′ et ceux de B.

3.3 : ℓ divise q − 1  85

3.3 ℓ divise q − 1

Revenons au groupe G = GL_{2}(q) et reprenons les notations définies dans les sections 1.2 et 1.3. On suppose que ℓ est un nombre premier impair divisant q −1. On pose toujours q −1 = ℓ^{a}u où ℓ ne divise pas u. On rappelle que T_{e} désigne le sous-groupe de G contenant les matrices diagonales, et W_{e} le sous-groupe d’ordre 2 engendré par s = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}). Le tore T_{e} contient un

ℓ-sous-groupe de Sylow P_{e} de G et on a H_{e} = N_{G}(P_{e}) = T_{e} ⋊ W_{e}, où l’action

de W_{e} sur T_{e} est donnée par s (\begin{matrix}x & 0 \\ 0 & y \end{matrix}) s^{−1} = (\begin{matrix}y & 0 \\ 0 & x \end{matrix}).

On va obtenir une équivalence de Morita entre B_{ℓ}(G) et B_{ℓ}(H_{e}), comme le laissait supposer le fait que l’on ait obtenu dans ce cas une isotypie à signes positifs (cf propriété 2.4.1). De plus cette équivalence est donnée par le module réalisant l’induction de Harish-Chandra, ce qui vérifie le conjecture 3.1.4. Ce résultat est conséquence de résultats de L. Puig ([Pu]). Nous allons en donner une démonstration directe.

Soit U le sous-groupe de G composé des matrices unipotentes (\begin{matrix}1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix}) où

x ∈ 𝔽_{q}. Comme on l’a vu dans la section 1.5.2, le module Λ_{e} = OG/U est le module donnant l’induction de Harish-Chandra.

Soit H_{e} la ℤ-algèbre définie par :

H_{e} = ℤ[T_{e} ⋊ ⟨ F_{e} ⟩]/⟨ ω_{e} ⟩

où F_{e} est un élément d’ordre infini, dont l’action sur T_{e} est donnée par F_{e}t = ^{s}tF_{e} pour tout t ∈ T_{e}, et où ⟨ ω_{e} ⟩ est l’idéal engendré par l’élément ω_{e} défini par

ω_{e} = F_{e}^{2} − q − ∑_{{t∈Te \atop det t=−1}} tF_{e}.

On fera l’amalgame entre les éléments de ℤ[T_{e} ⋊ ⟨ F_{e} ⟩] et leur image dans H_{e}.

Soit R un anneau commutatif. On a la propriété suivante :

Propriété 3.3.1. On a un isomorphisme d’algèbres

f_{1} : R ⊗ H_{e} ⟶^{∼} End_{RG}(RG/U).

Démonstration : En tant que R-module, End_{RG}(RG/U) admet une base indexée par U\G/U : si g ∈ G, on définit

\begin{matrix}b_{g} : & RG/U & ⟶ & RG/U \\ hU & ⟼ & ∑_{\begin{matrix}γ∈G/U \\ γU⊂UgU \end{matrix}}hγU. \end{matrix}

Alors les b_{g} sont dans End_{RG}(RG/U) et la famille {b_{g}} pour g parcourant un système de représentants de U\G/U en est une base.

Grâce à la décomposition de Bruhat

G = ∐_{h∈H_{e}} UhU

on obtient que la famille {b_{h} | h ∈ H_{e}} est une base de End_{RG}(RG/U).

On peut définir l’application b_{h} par sa valeur en U car elle est RG-linéaire. Si t ∈ T_{e}, on a b_{t}(U) = tU et si h = (\begin{matrix}0 & a \\ c & 0 \end{matrix}) on a

b_{h}(U) = ∑_{d∈𝔽q} (\begin{matrix}d & a \\ c & 0 \end{matrix}) U.

On a alors les égalités b_{t}b_{t′} = b_{tt′}, b_{t}b_{s} = b_{ts}, b_{s}b_{t} = b_{st}, et on calcule que

(b_{s})^{2} = qb_{1} + ∑_{{t∈Te \atop det t=−1}} b_{ts}.

On considère l’application

f_{1} : R ⊗ H_{e} ⟶ End_{RG}(RG/U)

qui, pour tout t ∈ T_{e}, envoie t sur b_{t} et tF sur b_{ts}. Grâce à la définition de ω_{e}, il est immédiat que f_{1} est un isomorphisme d’algèbres. □

Propriété 3.3.2. Si R contient une racine carrée r de q telle que r et r + 1 soient inversibles, et si 2 et q+1 sont inversibles, alors on a un isomorphisme d’algèbres f_{2} : RH_{e} ⟶^{∼} R ⊗ H_{e}.

Démonstration : On définit les deux éléments suivants de H_{e} :

C = ∑_{{t∈Te \atop det t=1}} t D = ∑_{{t∈Te \atop det t=−1}} t.

On a alors C^{2} = D^{2} = (q − 1)C, CD = DC = (q − 1)D, et F_{e} commute avec C et D.

On considère l’application R-linéaire suivante :

f_{2} : RH_{e} ⟶ R ⊗ H_{e}
t ⟼ t
s ⟼ σ,

où σ est un élément de R ⊗ H_{e}. On pose f_{2}(ts) = tσ. On veut que la définition de σ fasse de f_{2} un morphisme d’algèbres. Il faut donc avoir les égalités σ^{2} = 1 et f_{2}(st) = σt, i.e., f_{2}(sts) = σtσ.

On obtient que

σ = \frac{1}{r}F_{e} − \frac{1}{q + 1}D − \frac{r − 1}{r(r + 1)(q + 1)}CF_{e}

satisfait les bonnes propriétés. La surjectivité de f_{2} est conséquence du fait que les éléments de T_{e} sont atteints, et que l’élément F_{e} est l’image de

rs + \frac{1}{2} ∑_{{t∈Te \atop det t=−1}} t + \frac{r − 1}{2(r + 1)} ∑_{{t∈Te \atop det t=1}} ts.

On a donc une surjection R-linéaire entre deux modules libres de même rang, c’est donc une bijection. Ainsi f_{2} est un isomorphisme d’algèbres. □

Supposons que R = O : les éléments 2 et q + 1 sont inversibles car ℓ ≠ 2 et ℓ|(q − 1). Les racines carrées de q sont dans O car O est complet pour sa valuation discrète : un élément x de O est alors un carré si et seulement si son image dans k est un carré, et l’image de q dans k est 1, qui est bien un carré.

Soit r et −r ces deux racines. On a ℓ^{a} |(q−1) = (r−1)(r+1), si ℓ divisait r−1 et r+1, alors ℓ diviserait 2 donc ℓ^{a} divise soit r−1, soit r+1. On choisit r de façon à avoir ℓ^{a} divisant r − 1. Ainsi r + 1 est bien inversible dans O, et l’application des deux propriétés précédentes montre que la composition f = f_{1} ∘ f_{2} est un isomorphisme d’algèbres OH_{e} ⟶^{∼} End_{OG}(OG/U).

De même comme q ≡ 1 et ℓ ≢ 2, on a un isomorphisme d’algèbres

kH_{e} ⟶^{∼} End_{kG}(kG/U).

Le module Λ_{e} = OG/U est un (OG, End_{OG}(M))-bimodule, il devient donc via f un (OG, OH_{e})-bimodule.

Le bimodule Λ_{e} est projectif sur OG car U est d’ordre inversible dans O. Si π : OG → → Λ_{e} désigne la projection canonique par rapport à U, alors en posant

σ(gU) = \frac{1}{|U|} ∑_{v∈U} gv

on obtient une section OG-linéaire de π. De plus les morphismes π et σ sont (OG, OT_{e})-bilinéaires.

Montrons que Λ_{e} est projectif sur OH_{e} : comme H_{e} = T_{e} ⋊ W_{e} et W_{e} est d’ordre 2 qui est premier à ℓ, il suffit de vérifier que Λ_{e} est projectif en tant que OT_{e}-module à droite. L’action de OH_{e} sur Λ_{e} est définie via l’isomorphisme d’algèbres f : OH_{e} → End_{OG}(Λ_{e}) défini dans les démonstrations des propriétés 3.3.1 et 3.3.2. Cet isomorphisme envoie un élément t de T_{e} sur l’endomorphisme b_{t} de Λ_{e}. On sait que si g ∈ G, alors b_{t}(gU) = gtU, donc l’action de T_{e} sur Λ_{e} est bien l’action usuelle gU.t = gtU.

Il est clair que T_{e} agit librement sur G/U : pour tout g ∈ G, t ∈ T_{e} − {1} on a gU ≠ gU.t. Donc Λ_{e} est un OT_{e}-module libre, et a fortiori projectif.

Calculons l’annulateur de Λ_{e} dans OG. Les blocs de OG sont (voir la table de caractères B.12 page 200) :

• B_{i} pour i = 0 … u − 1, contenant les caractères de la forme φ_{i+λu}, φ′_{i+λu} et φ_{i+λu i+μu};

• B_{ij} pour i, j = 0 … u − 1, i ≠ j, contenant les φ_{i+λu j+μu};

• C_{i} pour i = 1 … (q + 1)u − 1, contenant les ψ_{i+λ(q+1)u}.

Les B_{i} et les B_{i j} sont les blocs de défaut maximal ℓ^{2a}. Les u blocs B_{i} contiennent ℓ^{a} caractères de la forme φ_{j}, autant de la forme φ′_{j}, et \frac{ℓ^{a}(ℓ^{a}−1)}{2} de la forme φ_{jk} chacun. Les blocs B_{ij}, au nombre de \frac{u(u−1)}{2}, contiennent ℓ^{2a} caractères chacun.

Pour calculer le caractère de Λ_{e} en tant que O[G × T_{e}^{op}]-module, on utilise l’isomorphisme

OG/U ≃ Ind_{(U×1)×ΔT_{e}}^{G×T_{e}^{op}}O.

on obtient

χ_{Λ_{e}} = ∑_{i} φ_{i} × θ_{(i, i)} + ∑_{i} φ′_{i} × θ_{(i, i)} + ∑_{i, j} φ_{ij} × (θ_{(i, j)} + θ_{(j, i)}) (3.4)

donc l’annulateur de Λ_{e} dans OG est la somme de ses blocs de défaut non maximal : Ann_{OG}(Λ_{e}) = ⨁_{i} C_{i}. On pose

A = OG/Ann_{OG}(Λ_{e}) = (⨁ B_{i}) ⊕ (⨁ B_{ij}) .

On a donc la propriété suivante, conséquence du lemme 3.2.19 :

Propriété 3.3.3. Le bimodule Λ_{e} = OG/U réalise une équivalence de Morita entre A et OH_{e}.

Remarque 3.3.4. On obtient également que le module kG/U réalise une équivalence de Morita entre les algèbres kH_{e} et la sous-algèbre k ⊗ A de kG.

Il reste à vérifier que l’équivalence de Morita donnée par le bimodule Λ_{e} induit une équivalence entre les blocs principaux de OG et de OH_{e}. On va démontrer un résultat plus général.

3.4 : ℓ divise q + 1  89

On a C_{G}(P_{e}) = T_{e}. Comme P_{e} est distingué dans H_{e}, les idempotents primitifs centraux de OH_{e} sont égaux à ceux de OC_{G}(P_{e}) = OT_{e}, cf [NT, 5.2.8.]. En conséquence le morphisme de Brauer

br_{P_{e}} : (OG)^{P_{e}} ⟶ kT_{e}

induit une correspondance bijective entre les blocs de défaut maximal de OG et ceux de OH_{e} (en fait tous les blocs de OH_{e} sont de défaut maximal, et la somme des blocs de défaut maximal de OG est l’algèbre A). Par le troisième théorème principal de Brauer, les blocs principaux de OG et de OH_{e} sont en correspondance. On a la propriété suivante :

Propriété 3.3.5. L’équivalence de Morita donnée par Λ_{e} envoie un bloc sur son correspondant de Brauer.

Démonstration : On note Br = Br_{ΔP_{e}} le foncteur de Brauer pour le sousgroupe de Sylow ΔP_{e} de G × H_{e}^{op}. Ce foncteur a pour source la catégorie des OG × OH_{e}^{op}-modules, mais si l’on considère le même foncteur défini sur la catégorie des OG × OT_{e}^{op}-modules, alors le premier est la restriction de l’autre. On sait que si Ω est un G × T_{e}^{op}-ensemble alors Br(OΩ) ≃ k(Ω^{ΔP_{e}}). Pour Ω = G/U on obtient Br(Λ_{e}) ≃ kT_{e}.

On sait d’après la remarque 3.2.18 qu’une équivalence de Morita permute les blocs : si b est un bloc de A, alors il existe un unique bloc c de OH_{e} tel que bΛ_{e}c ≠ 0. On a alors

Br(bΛ_{e}c) = br(b)Br(Λ_{e})c = br(b)c

Ce dernier terme est non nul si et seulement si br(b) = c, donc si b et c sont en correspondance. □

L’équivalence donnée par Λ_{e} envoie donc a fortiori le bloc principal de OG sur celui de OH_{e}.

Remarque 3.3.6. Les caractères du bloc principal de OT_{e} sont les caractères θ_{(λu, μu)} où (λ, μ) = 1 … ℓ^{a}. Les caractères du bloc principal de OG sont donnés pages 57 à 59. On constate donc que si φ × χ est un caractère irréductible du O[G × T_{e}^{op}]-module Λ_{e} alors φ est dans le bloc principal de OG si et seulement si χ est dans le bloc principal de OT_{e}.

Remarque 3.3.7. On vérifie de plus que Λ_{e} est un O[G×H_{e}^{op}]-module de ℓpermutation, donc que l’équivalence qu’il induit est bien splendide. Pour ceci il suffit de montrer que (OG, OT_{e})-bimodule OG/U est de ℓ-permutation car l’indice de T_{e} dans H_{e} est premier avec ℓ. Or ce bimodule est facteur direct du bimodule OG ≃ Ind_{ΔT_{e}}^{G×T_{e}^{op}}k (grâce aux morphismes π et σ définis ci-dessus), donc en invoquant le lemme 3.2.10 tous les facteurs directs indécomposables de Λ_{e} sont de source triviale et de vortex contenu dans ΔT_{e}.

3.4 ℓ divise q + 1

On note toujours P_{s} le ℓ-sous-groupe de Sylow de G inclus dans le tore de Coxeter T_{s}, et H_{s} désigne le normalisateur de P_{s} dans G : on a H_{s} ≃ T_{s} ⋊W_{s} où W_{s} est d’ordre 2 engendré par ^{γ}s. On note q + 1 = ℓ^{b}v avec v premier à ℓ, mais on ne fait pas pour le moment l’hypothèse que ℓ est impair divisant q + 1.

Nous allons étudier le complexe Λ_{s} et calculer son algèbre d’endomorphismes, puis nous montrerons que dans ce cas précis où ℓ divise q + 1 mais ne divise pas q − 1, il existe une équivalence splendide entre les catégories D^{b}(A) et D^{b}(OH_{s}), où A désigne la somme des blocs de OG de défaut maximal b. (Les autres blocs de OG sont de défaut nul et ceux de OH_{s} sont tous de défaut maximal). Toute cette partie reprend l’article [Ro1] de R. Rouquier.

3.4.1 Le complexe de Deligne-Lusztig

On considère le complexe Λ_{s} introduit dans la section 1.5.2, qui donne la cohomologie ℓ-adique à support compact H_{c}^{∗}(Y_{s}, O) de la variété Y_{s}, définie et étudiée dans cette même section.

Premières propriétés

On considère le complexe Λ_{s} comme un objet de la catégorie homotopique de O[G × T_{s}^{op}]. On sait qu’il peut être représenté dans la catégorie des complexes de O[G × T_{s}^{op}]-modules par un complexe borné à composantes projectives en tant que modules à gauche sur OG et que modules à droite sur OT_{s}^{op} (cf [DL, 3.5]) ou [Ri3, 2.3]). De plus, ces composantes sont des O[G × T_{s}^{op}]-modules de ℓ-permutation ([Ri3, 3.2] ou [Ro5, section 2.5.1]).

Le variété Y_{s} est munie d’une action d’un endomorphisme de Frobenius tordu F_{s}. Cette action commute avec celle de G, et si t ∈ T_{s} l’action de tF_{s} est égale à celle de F_{s}t^{q}. On considère le monoïde T_{s} ⋊ ⟨F_{s}⟩, extension du groupe T_{s} par un élément d’ordre infini toujours noté F_{s} vérifiant tF_{s} = F_{s}t^{q} pour tout t ∈ T_{s}. La variété Y_{s} est donc munie d’une action à gauche de G × (T_{s} ⋊ ⟨F_{s}⟩)^{op}, et en vertu de la construction de R. Rouquier (cf [Ro5, section 2.3]), le complexe Λ_{s} est un complexe de O[G×(T_{s}⋊⟨F_{s}⟩)^{op}]-modules.

D’après [De, Arcata, III, 3.6] , comme Y_{s} est une courbe affine lisse, on a H_{c}^{i}(Y_{s}, O) = 0 si i ≠ 1, 2. De plus, grâce à [De, Arcata, III, 3.5], les groupes H_{c}^{i}(Y_{s}, O) sont libres sur O.

On rappelle que H_{c}^{∗}(Y_{s}, K) est par définition le K[G × T_{s}^{op}]-module gradué K ⊗_{O} H_{c}^{∗}(Y_{s}, O).

Pour i = 1, 2, nous allons déterminer le caractère du O[G×T_{s}^{op}]-module H_{c}^{i}(Y_{s}, O) = H^{i}(Λ_{s}). Rappelons que les caractères de G et de T_{s} sont donnés pages 200 et 23.

La lissité de Y_{s} nous permet d’utiliser la dualité de Poincaré [De, Arcata, VI, 2.2] : pour tout i on a un isomorphisme

H_{c}^{i}(Y_{s}, O) ≃ (H^{2−i}(Y_{s}, O))^{∨},

où H^{∗}(Y_{s}, O) désigne la cohomologie ℓ-adique de Y_{s}.

Cet isomorphisme est OG⊗OT_{s}^{op}-linéaire. La cohomologie d’un faisceau est le foncteur dérivé du foncteur de section globale, donc le premier groupe de cohomologie H^{0}(Y_{s}, O) du faisceau constant sur Y_{s} est le O-module libre ayant pour base l’ensemble des composantes connexes de Y_{s}.

L’action de G et de T_{s} sur les composantes connexes de Y_{s} a été donnée page 38. On calcule donc le caractère χ_{2} du O[G × T_{s}^{op}]-module H_{c}^{2}(Y_{s}, O). On obtient

χ_{2} = ∑_{i=1...q−1} φ_{i} × ω^{(q+1)i},  (3.5)

(si μ_{q^{2}−1} est le groupe des racines (q^{2} − 1)-èmes de l’unité de O, engendré par ζ, et si θ : 𝔽_{q^{2}}^{×} → μ_{q^{2}−1} est l’isomorphisme défini par β ↦ ζ, alors les caractères φ_{i} et ω^{(q+1)i} sont définis par g ↦ θ(det g)^{i}.)

Pour le caractère χ_{1} du O[G × T_{s}^{op}]-module H_{c}^{1}(Y_{s}, O), on utilise l’expression de l’induction de Deligne-Lusztig R_{T_{s}}^{G} donnée page 38. On a

χ_{2} − χ_{1} = ∑_{ω} R_{T_{s}}^{G}(ω) × ω

où la somme est faite sur les caractères irréductibles de T_{s}. Ceci permet d’obtenir le caractère virtuel (χ_{2} − χ_{1}), et donc on en déduit

χ_{1} = ∑_{i=1...q−1} φ′_{i} × ω^{(q+1)i} + ∑_{{j=1...q^{2}−1 \atop j≢0 (mod q+1)}} ψ_{j} × (ω^{j} + ω^{qj}).  (3.6)

On a donc K ⊗H_{c}^{1}(Y_{s}, O) = V_{S} ⊕V_{C} où V_{S} est le K[G×T_{s}^{op}]-module de caractère ∑ φ′_{i} × ω^{(q+1)i} et V_{C} le K[G × T_{s}^{op}]-module de caractère ∑ ψ_{j} × (ω^{j} + ω^{qj}). (On a choisi S pour Steinberg et C pour cuspidal).

Ensuite on a V_{S} = ⊕_{i}W_{i} et V_{C} = ⊕_{j}W′j, en notant W_{i} le module de caractère φ′_{i} × ω^{(q+1)i} et W′_{j} celui de caractère ψ_{j} × (ω^{j}) (on rappelle que ψ_{j} = ψ_{qj}).

Remarque 3.4.1. Les caractères du bloc principal de OT_{s} sont les caractères ω^{λuv} où λ = 1 … ℓ^{a+b}. Les caractères du bloc principal de OG sont donnés pages 57 à 59. Comme dans le cas de Λ_{e}, on constate que si φ × χ est un caractère irréductible du O[G × T_{s}^{op}]-module H_{c}^{∗}(Y_{s}, O) alors φ est dans le bloc principal de OG si et seulement si χ est dans le bloc principal de OT_{s}.

En d’autres termes on a e.Λ_{s} = Λ_{s}.f où e et f sont les idempotents primitifs centraux associés aux blocs principaux de OG et de OT_{s} respectivement.

Nous allons maintenant déterminer l’action de l’endomorphisme de Frobenius F_{s} sur les groupes de cohomologie H_{c}^{∗}(Y_{s}, O).

Action de F_{s} sur H_{c}^{2}(Y_{s}, O)

La dualité de Poincaré n’est pas F_{s}-linéaire, elle fait intervenir le twist de Tate, cf [Sr, page 47] ou [Ta].

Notons Ô le O⟨F_{s}⟩-module dont le O-module sous-jacent est O et l’action de F_{s} est donnée par x ↦ x^{q}. Si V est un O⟨F_{s}⟩-module alors pour tout entier naturel n on note V (n) = V ⊗_{O} Ô^{⊗n}.

La dualité de Poincaré donne alors pour i = 1, 2 un isomorphisme F_{s}- linéaire

H_{c}^{i}(Y_{s}, O) ≃ (H^{2−i}(Y_{s}, O))(1)^{∨}.

Supposons que q est impair. On connaît l’action de F_{s} sur les composantes connexes de Y_{s} : elle inverse les composantes Y_{s}(a) et Y_{s}(−a). On en déduit que son action sur H^{0}(Y_{s}, O) est donnée par la matrice de taille (q − 1) × (q − 1)

( \begin{matrix}& & & & 1 \\ & . & . & . \\ 1 \end{matrix} )  (3.7)

en prenant pour base de H^{0}(Y_{s}, O) l’ensemble des composantes connexes convenablement ordonné. Ainsi F_{s} agit sur H_{c}^{2}(Y_{s}, O) comme la matrice

( \begin{matrix}& & & & q \\ & . & . & . \\ q \end{matrix} ) .  (3.8)

On sait que le caractère du O[G × T_{s}^{op}]-module H_{c}^{2}(Y_{s}, O) est

χ_{2} = ∑_{i=1...q−1} φ_{i} × ω^{(q−1)i}.

Si on prend pour base de H_{c}^{2}(Y_{s}, K) l’ensemble (e_{1}, …, e_{q−1}), où chaque e_{i} est tel que Ke_{i} est le K[G × T_{s}^{op}]-module de caractère φ_{i} × ω^{(q−1)i}, alors la matrice de F_{s} est diagonale car les actions de G et de F_{s} commutent, par application du lemme de Schur. Ses valeurs propres sont celles de la matrice 3.8, donc q et −q de multiplicité \frac{q−1}{2} chacune. On montre par un calcul que la matrice de F_{s} est

( \begin{matrix}( & \begin{aligned}q \\ & −q \end{aligned} & ) \\ & & & . & . & . \end{matrix} )  (3.9)

donc que les q et les −q sont en alternance, mais ceci sera démontré autrement dans la suite.

Si q est pair, alors F_{s} ne permute pas les composantes connexes de Y_{s}, donc il agit sur H_{c}^{2}(Y_{s}, O) comme la multiplication par q.

Changement d’endomorphisme de Frobenius

On fixe pour la suite l’élément t_{0} de T_{s} défini par

t_{0} = \{ \begin{matrix}γ ( \begin{matrix}β^{\frac{q−1}{2}} \\ & β^{q \frac{q−1}{2}} \end{matrix} ) γ^{−1} & si q est impair, \\ 1 & si q est pair. \end{matrix}  (3.10)

C’est un élément de déterminant −1, donc il envoie la composante connexe Y_{s}(a) sur la composante connexe Y_{s}(−a), comme l’endomorphisme F_{s}.

On pose F′ = t_{0}F_{s}. Ainsi F′ ne permute pas les composantes connexes de Y_{s}. On va s’intéresser à F′ plutôt qu’à F_{s}. Remarquons que t_{0}^{q+1} est l’élément

central (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) de G, et donc F^{′2} = (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) F_{s}^{2}.

On désigne toujours par U le sous-groupe de G contenant les matrices

(\begin{matrix}1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix}) avec x ∈ 𝔽_{q}.

Grâce à [Ro5, théorème 2.2] on a un isomorphisme de O[T_{s} × ⟨ F′ ⟩]- modules à droite

UH_{c}^{∗}(Y_{s}, O) ≃ H_{c}^{∗}(U\Y_{s}, O).  (3.11)

Nous allons étudier cette variété U\Y_{s} et sa cohomologie.

Cohomologie de la variété U\Y_{s}

Comme U ne permute pas les composantes connexes de Y_{s}, les composantes connexes de U\Y_{s} sont les U\Y_{s}(a) (où a parcourt l’ensemble des éléments de 𝔽 tels que a^{q−1} = −1). En utilisant la propriété [DM2, 10.7] on a donc

H_{c}^{∗}(U\Y_{s}, O) ≃ ⨁_{a} H_{c}^{∗}(U\Y_{s}(a), O).

Comme l’endomorphisme F′ ne permute pas les composantes connexes de Y_{s}, et il commute avec l’action de U, il se restreint en un endomorphisme de chaque U\Y_{s}(a) et donc de chaque groupe de cohomologie H_{c}^{i}(U\Y_{s}(a), O).

Propriété 3.4.2. La cohomologie ℓ-adique à support compact de la variété U\Y_{s}(a) est donnée en tant que O⟨ F′ ⟩-module par

H_{c}^{i}(U\Y_{s}(a), O) = \{ \begin{matrix}O(i − 1) & si i = 1, 2 \\ 0 & sinon. \end{matrix}  (3.12)

On rappelle que O(n) désigne le twist de Tate x ↦ x^{q^{n}}. Ainsi l’endomorphisme F′ est l’identité sur H_{c}^{1}(U\Y_{s}(a), O) et l’application x ↦ x^{q} sur H_{c}^{2}(U\Y_{s}(a), O).

Démonstration : Considérons le morphisme

\begin{aligned}φ_{a} : & Y_{s}(a) & ⟶ & 𝔸^{1} − \{0\} \\ & (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) & ⟼ & y \end{aligned} .

C’est une application algébrique, elle est bien à valeurs non nulles car si (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) ∈ Y_{s}(a) alors y ≠ 0. Comme 𝔽 est algébriquement clos, elle est surjective et la fibre de chaque point contient exactement q points. Pour g ∈ U et v ∈ Y_{s}(a) on a φ_{a}(gv) = φ_{a}(v), donc φ_{a} se factorise en un morphisme

φ̄_{a} : U\Y_{s}(a) ⟶ 𝔸^{1} − {0}

qui est toujours surjectif. Il est également injectif, car les fibres par φ_{a} sont de cardinal q, qui est aussi le cardinal de U. Comme φ_{a} est séparable et 𝔸^{1} − {0} est lisse (donc normale), en utilisant [Bor, II.6] on obtient que φ_{a} est un isomorphisme de variétés algébriques.

L’action de F′ sur 𝔸^{1} − \{0\} induite par φ_{a} est y ↦ y^{q}β^{\frac{q−1}{2}} . Soit τ une racine carrée de β. On a un automorphisme de 𝔸^{1} − {0} en posant y ↦ τ^{q}y. En composant celui-ci avec φ_{a}, on obtient un isomorphisme ψ_{a} : U\Y_{s}(q) → 𝔸^{1}−{0}, l’action de F′ est alors l’endomorphisme de Frobenius usuel y ↦ y^{q}.

L’isomorphisme ψ_{a} induit un isomorphisme de O⟨ F′ ⟩-modules

H_{c}^{∗}(U\Y_{s}(a), O) ≃ H_{c}^{∗}(𝔸^{1} − {0}, O).

On utilise la partition

𝔸^{1} = (𝔸^{1} − {0}) ⨿ {0}.

Comme 𝔸^{1} −{0} est ouvert dans 𝔸^{1} la propriété [DM2, 10.7] donne une suite exacte longue

[figure: 0; H_{c}^{0}(𝔸^{1} − {0}, O); H_{c}^{0}(𝔸^{1}, O); H_{c}^{0}({0}, O); H_{c}^{1}(𝔸^{1} − {0}, O); H_{c}^{1}(𝔸^{1}, O); H_{c}^{1}({0}, O); H_{c}^{2}(𝔸^{1} − {0}, O); H_{c}^{2}(𝔸^{1}, O); H_{c}^{2}({0}, O); ⋯]

qui est une suite exacte de O⟨ F′ ⟩-modules par fonctorialité.

La propriété [DM2, 10.11] nous donne les colonnes deux et trois : le O⟨ F′ ⟩-module gradué H_{c}^{∗}({0}, O) est le module trivial concentré en degré 0, et le O⟨ F′ ⟩-module gradué H_{c}^{∗}(𝔸^{1}, O) est le module O(1) concentré en degré 2. La suite exacte longue 3.4.1 devient alors

[figure: 0; 0; O; O; 0; 0; O(1); O(1); 0]

ce qui démontre la propriété. □

Action de F_{s} sur la partie non cuspidale de H_{c}^{1}(Y_{s}, K)

On calcule les restrictions des caractères de GL_{2}(q) à U. On obtient que les φ_{i} sont constants sur U, que la restriction de chaque φ′_{i} à U est égale au caractère de la représentation régulière χ_{U}, et que celle de chaque ψ_{i} est égale à χ_{U} − φ_{0}, où φ_{0} est la représentation triviale. En conséquence ^{U}V_{S} est isomorphe en tant que KU-module à K^{q−1}, où K désigne la représentation triviale de U, et V_{C} n’a pas de point fixe par U, c’est donc la partie cuspidale de H_{c}^{1}(Y_{s}, K).

Plus précisément, en utilisant la décomposition V_{S} = ⨁_{i} W_{i} de KGmodules, on a pour tout i un isomorphime de KU-modules ^{U}W_{i} ≃ K.

On sait que F′ induit un endomorphisme de V_{S}, lequel commute avec l’action de G, en conséquence, par application du lemme de Schur, F′ envoie chaque W_{i} sur lui-même et cette action est donnée par un scalaire. La propriété 3.12 nous dit que F′ agit comme l’identité sur ^{U}H_{c}^{1}(Y_{s}, K) = ^{U}V_{S}, donc F′ agit comme l’identité sur V_{S}.

On déduit de ceci l’action de F_{s} sur V_{S} : si q est impair on a ω^{(q+1)i}(t_{0}) = (−1)^{i}, donc F_{s} agit comme le scalaire (−1)^{i} sur W_{i}, pour i = 1 … q − 1. Si q est pair alors F_{s} agit comme l’identité sur V_{S}.

Comme ^{U}H_{c}^{2}(Y_{s}, K) = H_{c}^{2}(Y_{s}, K), on obtient également que F′ agit comme la multiplication par q sur H_{c}^{2}(Y_{s}, K), et donc que F_{s} agit comme la matrice 3.9 sur H_{c}^{2}(Y_{s}, K) si q est impair, et comme la multiplication par q si q est pair.

Action de F_{s} sur la partie cuspidale de H_{c}^{1}(Y_{s}, K)

Nous utilisons pour finir la formule de Lefschetz. Comme l’équation de Y_{s} est (xy^{q} − x^{q}y)^{q−1} = −1, il est clair que Y_{s} n’a pas de point fixe par F_{s}. On a donc par le théorème [DM2, 10.4]

Tr(F_{s} | H_{c}^{∗}(Y_{s}, O)) = |Y_{s}^{F_{s}}| = 0.

Comme les caractères φ_{i} sont de degré 1 et les caractères φ′_{i} de degré q, on a Tr(F_{s} | H_{c}^{2}(Y_{s}, K)) = Tr(F_{s} | V_{S}), et donc Tr(F_{s} | V_{C}) = 0.

On rappelle que pour j = 1 … q^{2} − 1 non multiple de q + 1, on note W′_{j} le K[G × T_{s}^{op}]-module de caractère ψ_{j} × ω^{j}. On a V_{C} = ⊕_{j}W′_{j}.

La partie V.3 de [DM1] permet de calculer les valeurs propres de F_{s}^{2} sur chaque W′_{j}. Comme l’action de F_{s}^{2} commute avec celles de G et de T_{s}, par le lemme de Schur F_{s}^{2} agit comme un scalaire λ_{j} sur chaque W′_{j}. Dans [DM1] sont définis les scalaires

N 2 ; ṡ(ω_{j})(1) = \frac{1}{|T_{s}|} ∑_{t∈T_{s}} ω_{j}(t^{−1}) Tr(tF_{s}^{2} | H_{c}^{∗}(Y_{s}, K))

et

R_{s}^{ω_{j}}(1) = Tr(1 | H_{c}^{∗}(Y_{s}, K)_{ω_{j}}),

où H_{c}^{∗}(Y_{s}, K)_{ω_{j}} désigne la composante de H_{c}^{∗}(Y_{s}, K) de caractère ω_{j}, donc dans notre cas W′_{j}. On a alors d’après [DM1, V, 3.14]

λ_{j} = N 2 ; ṡ(ω_{j})(1).R_{s}^{ω_{j}}(1)^{−1}.

Comme V_{C} est en degré 1 on a

R_{s}^{ω_{j}}(1) = −R_{T_{s}}^{G}(ω_{j})(1) = −ψ_{j}(1) = −(q − 1).

Par la formule de Lefschetz on a Tr(tF_{s}^{2} | H_{c}^{∗}(Y_{s}, K)) = |Y_{s}^{tF_{s}^{2}}|. Si

t = ^{γ}(\begin{matrix}β^{i} \\ & β^{qi} \end{matrix} ) et (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) ∈ Y_{s}^{tF_{s}^{2}} alors

(xy^{q} − x^{q}y)^{q} = −β^{i}(xy^{q} − x^{q}y),

donc si t ≠ 1 alors Y_{s}^{tF_{s}^{2}} est vide, et si t = 1 on a

Y_{s}^{F_{s}^{2}} = \{(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) | x, y ∈ 𝔽_{q^{2}}, xy^{q} ≠ x^{q}y\} ,

ce qui donne |Y_{s}^{F_{s}^{2}}| = (q^{2} − 1)(q^{2} − q), puis N 2 ; ṡ(ω_{j})(1) = q^{2} − q, et enfin λ_{j} = −q.

Par le lemme de Schur, comme tF_{s} = F_{s}t^{q} alors F_{s} envoie W′_{j} sur W′_{qj} et cette action est donnée par un scalaire. Soit μ_{j} ce scalaire. On a μ_{j}μ_{qj} = λ_{j} = −q, donc l’action de F_{s} sur l’espace W′_{j} ⊕W′_{qj} est donnée par la matrice

( \begin{matrix}& μ_{j}I_{qj} \\ \frac{−q}{μ_{j}} I_{j} \end{matrix} )

où I_{j} : W′_{j} → W′_{qj} est l’identité du KG-module Res_{G}^{G×T_{s}^{op}}W′_{j}, (lequel est isomorphe au module Res_{G}^{G×T_{s}^{op}}W′_{qj}). Les valeurs propres de cette matrice sont ±\sqrt{−q}, donc quitte à multiplier les bases par des scalaires on peut poser

que F_{s} agit comme la matrice (\begin{matrix}√ & \overline{−q} \\ √ & \overline{−q} \end{matrix} ) sur W′_{j} ⊕ W′_{qj}. Ceci confirme que la somme des valeurs propres de F_{s} sur V_{C} est nulle.

Calcul de F_{s}^{2}

Propriété 3.4.3. L’action de F_{s}^{2} sur H_{c}^{∗}(Y_{s}, K) est égale à celle de

−qId + ∑_{{t∈Ts \atop det t=−1}} tF_{s}.

Démonstration : On déduit des trois parties précédentes que F_{s}^{2} agit comme la multiplication par q^{2} sur H_{c}^{2}, comme l’identité sur V_{S}, et comme la multiplication par −q sur V_{C}. Ainsi F_{s}^{2} + q agit comme q(q + 1) sur H_{c}^{2}, comme (q + 1) sur V_{S} et comme 0 sur V_{C}.

Supposons que q est impair. On conserve l’élément t_{0} de T_{s} défini page 93 (3.10). L’ensemble des éléments de T_{s} de déterminant −1 est égal à l’ensemble des t_{0}^{2λ+1} pour λ = 1 … q + 1. On a ω^{(q+1)i}(t_{0}^{2λ+1}) = (−1)^{i} donc t_{0}^{2λ+1}F_{s} agit comme la multiplication par q sur H_{c}^{2}(Y_{s}, K) et comme l’identité sur V_{S} pour tout λ = 1 … q + 1, d’où le résultat pour H_{c}^{2} et V_{S}.

On a ω_{j}(t_{0}^{2λ+1}) = β^{j(2λ+1) \frac{q−1}{2}} donc pour j = 1 … q^{2} − 1 non multiple de q + 1 on a

∑_{λ=1}^{q+1} ω_{j}(t_{0}^{2λ+1}) = 0,

d’où le résultat pour V_{C}.

Si q est pair, alors on choisit t_{0} = ^{γ}(\begin{matrix}β^{q−1} & 0 \\ 0 & β^{1−q} \end{matrix} ). L’ensemble des éléments

de T_{s} de déterminant 1 est égal à l’ensemble des t_{0}^{λ} pour λ = 1 … q + 1. Ces éléments agissent trivialement sur H_{c}^{2} et V_{S}. Leur somme annule encore la composante V_{C}, d’où le résultat. □

Remarque 3.4.4. Toujours en posant F′ = t_{0}F_{s}, on déduit de cette propriété que l’action de F^{′2} est égale à celle de

−q (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) + ∑_{{t∈Ts \atop det t=1}} tF′.

Disjonction de Λ_{s}

Nous utiliserons la propriété suivante :

Propriété 3.4.5. On a un isomorphisme de variétés algèbriques

SL_{2}(q)\Y_{s} ⟶^{∼} (𝔸^{1})^{q−1}.

Démonstration : Les composantes connexes de Y_{s} sont les Y_{s}(a), elles sont au nombre de (q − 1). Comme SL_{2}(q) ne les permute pas, on a un isomorphisme

SL_{2}(q)\Y_{s} = ∐_{a} SL_{2}(q)\Y_{s}(a).

Il suffit donc de montrer que pour tout a il existe un isomorphisme

SL_{2}(q)\Y_{s}(a) ⟶^{∼} 𝔸^{1}.

L’injection de variétés algébriques Y_{s}(a) ↪ Y_{s} se factorise en un morphime de variétés algèbriques

φ : SL_{2}(q)\Y_{s}(a) ⟶ GL_{2}(q)\Y_{s}.

Il est clair que ce morphisme est bijectif et séparable.

On sait que G = G^{F} est le noyau de l’application de Lang, donc celle-ci se factorise en un morphime bijectif G\G → G. Comme Y_{s} = L^{−1}(F (U)), on a un morphisme de variétés algébriques bijectif

ψ : GL_{2}(q)\Y_{s} ⟶ F (U).

L’application de Lang est séparable (cf [Bor, A REMPLIR]), donc la composition ψ ∘ φ est séparable. La variété F (U) est lisse (donc normale), donc en utilisant [Bor, II.6] on obtient que ψ ∘ φ est un isomorphisme de variétés algébriques. Comme on a F (U) ≃ 𝔸^{1} on obtient le résultat. □

La propriété suivante est capitale, elle montre que Λ_{s} vérifie la propriété de disjonction.

Propriété 3.4.6. Si n ≠ 0 alors Hom_{H^{b}(kG)}(k ⊗ Λ_{s}, k ⊗ Λ_{s}[n]) = 0.

Les produits tensoriels sont pris au dessus de O.

Démonstration : Seule la structure de OG-module des composantes de Λ_{s} nous intéresse dans cette démonstration, en conséquence on suppose que Λ_{s} est le complexe représentant minimal de sa classe dans H^{b}(OG), comme défini en 3.2.3. C’est-à-dire que l’on suppose que Λ_{s} est un complexe de OGmodules projectifs concentré en degrés 1 et 2, sans facteur direct homotope à zéro.

Il suffit donc de montrer la propriété pour n = ±1. Or on a

Hom_{H^{b}(kG)}(kΛ_{s}, kΛ_{s}[n]) = H^{n}(End_{kG}(kΛ_{s}))

et le complexe E = End_{kG}(kΛ_{s}) est autodual sur k, i.e., On a

Hom_{k}(E, k) ≃ E.

Ceci implique que

H^{n}(E) ≃ H^{n}(Hom_{k}(E, k)) ≃ Hom_{H(k)}(E, k[n]) ≃ Hom_{k}(H^{−n}(E), k)

et donc il suffit de montrer la propriété pour n = −1. On a

Hom_{H^{b}(kG)}(kΛ_{s}, kΛ_{s}[−1]) = Hom_{H^{b}(kG)}(H^{2}(kΛ_{s})[−1], kΛ_{s}).

Il suffit donc de montrer que pour tout sous-quotient irréductible V de H^{2}(kΛ_{s}) on a

Hom_{H^{b}(kG)}(V [−1], kΛ_{s}) = 0.

Pour ceci il suffit de montrer que

Hom_{H^{b}(kSL_{2}(q))}(ResGL_{2} SL_{2}V [−1], ResGL_{2} SL_{2}kΛ_{s}) = 0.

Nous savons que les composantes de Λ_{s} sont libres sur O et que l’homologie H^{∗}(Λ_{s}) l’est aussi. Grâce au lemme 3.2.8 nous en déduisons donc que pour tout entier n on a

H^{n}(k ⊗ Λ_{s}) = k ⊗ H^{n}(Λ_{s}).

Le caractère modulaire de H^{2}(k ⊗ Λ_{s}) est donc l’image du caractère χ_{2} de H^{2}(Λ_{s}) par l’application de décomposition. Comme χ_{2} est somme de caractères de degré 1, le caractère modulaire de H^{2}(k ⊗ Λ_{s}) est somme de caractères modulaires de degré 1, et donc le sous-quotient V de H^{2}(kΛ_{s}) est de degré 1.

De plus d’après la section B.3 le seul caractère modulaire de degré 1 de SL_{2}(q) est le caractère modulaire trivial, donc ResGL_{2} SL_{2}V est le module trivial. Or on a

Hom_{H^{b}(kSL_{2}(q))}(k[−1], ResGL_{2} SL_{2}kΛ_{s}) = H^{1}(Hom_{kSL_{2}(q)}(k, ResGL_{2} SL_{2}kΛ_{s}))

et par définition des point fixes d’un objet de la catégorie homotopique

Hom_{kSL_{2}(q)}(k, ResGL_{2} SL_{2}kΛ_{s}) = ^{SL^{2}}kΛ_{s},

donc il suffit de montrer que

H^{1}(^{SL^{2}}kΛ_{s}) = 0.

Par le théorème [Ri3, 4.1] de J. Rickard, on a

SL^{2}kΛ_{s} ≃ Λ_{c}(SL_{2}(q)\Y_{s}, k).

On sait grâce à la propriété 3.4.5 que SL_{2}(q)\Y_{s} ≃ (𝔸^{1})^{q−1}. D’après les théorèmes [DM2, 10.7(ii) et 10.11], la cohomologie H_{c}^{∗}((𝔸^{1})^{q−1}, k) est concentrée en degré 2, donc H^{1}(^{SL^{2}}kΛ_{s}) = 0. Ceci termine la démonstration. □

Extension des scalaires K ⊗_{O} End_{H^{b}(A)}(Λ_{s})

Notation 3.4.7. On note dorénavant A la somme des blocs de OG dans lesquels vivent les composantes de Λ_{s}.

On a donc A ⊗_{OG} Λ_{s} = Λ_{s}, et OG = A ⊕ Ann_{H^{b}(OG)}(Λ_{s}).

Remarque 3.4.8. Dans le cas où ℓ|q + 1, ℓ ≠ 2, les blocs de OG de défaut maximal contiennent tous les caractères φ_{i}, φ′_{i} et ψ_{j}. Les autres blocs sont de défaut nul, ils contiennent les φ_{i, j}. Si on choisit un représentant minimal de Λ_{s} dans le catégorie C^{b}(OG) (cf définition 3.2.3), alors la connaissance des caractères de H^{∗}(Λ_{s}) montre que ce représentant vit dans la somme des blocs de défaut maximal, i.e., A est la somme des blocs de OG de défaut maximal.

On considère donc Λ_{s} comme un complexe de A ⊗ OT_{s}^{op}-modules.

Comme K est le corps des fractions de O, c’est une O-algèbre plate sur O. On sait que le complexe Λ_{s} est borné à composantes de type fini, ainsi la propriété 3.2.6 nous donne un isomorphisme

K ⊗ End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}) ⟶^{∼} End_{H^{b}(K⊗A)}(K ⊗ Λ_{s}).

Nous allons montrons que End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}) est libre sur O en utilisant la propriété 3.2.7.

Le complexe Λ_{s} est borné. Ses composantes (Λ_{s}^{i})_{i∈ℤ} sont libres sur O, donc les O-modules Hom_{A}(Λ_{s}^{i}, Λ_{s}^{j}) sont libres et le complexe End_{A}(Λ_{s}) est borné à composantes libres sur O.

On sait grâce à la propriété 3.4.6 que pour tout entier i non nul

Hom_{H(kA)}(k ⊗ Λ_{s}, k ⊗ Λ_{s}[i]) = 0,

donc H^{i}(End_{kA}(k ⊗ Λ_{s})) = 0 pour tout i ≠ 0. Or les modules Λ_{s}^{i} étant libres sur O, on a des isomorphismes

τ_{i, j} : k ⊗_{O} Hom_{A}(Λ_{s}^{i}, Λ_{s}^{j}) ⟶^{∼} Hom_{kA}(k ⊗_{O} Λ_{s}^{i}, k ⊗_{O} Λ_{s}^{j})

pour tous i, j, et ces isomorphismes commutent avec les différentielles des complexes End_{kA}(k⊗Λ_{s}) et k⊗End_{A}(Λ_{s}). Ces deux complexes sont donc isomorphes, et on peut appliquer la propriété 3.2.7. Le O-module End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}) est facteur direct de End_{A}(Λ_{s}). Celui-ci est libre sur O, donc End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}) est libre sur O.

On a donc obtenu la propriété suivante :

Propriété 3.4.9. L’extension des scalaires de O à K donne une injection

End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}) → End_{H^{b}(K⊗A)}(K ⊗ Λ_{s}).

3.4.2 Construction de l’isomorphisme OH_{s} ≃ End_{H^{b}(A)}(Λ_{s})

L’action de T_{s} et de F_{s} à droite sur Λ_{s} donne un morphisme d’algèbres

g_{0} : O[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩] ⟶ End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}).

On définit celui-ci par g_{0}(a) : x ↦ x.a si a ∈ O[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩] et x ∈ Λ_{s}.

On considère le diagramme suivant :

\xymatrix{O[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩] \ar[r]^{g_{0}} \ar[d] & End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}) \ar[d] \\ K[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩] \ar[r]^{1_{K}⊗g_{0}} & End_{H^{b}(KA)}(K ⊗ Λ_{s}).}

Les flèches verticales sont données par extension des scalaires de O à K. En vertu de la propriété 3.4.9 la deuxième flèche est injective.

Comme KA est semi-simple, on a

End_{H^{b}(KA)}(K ⊗ Λ_{s}) ≃ ⨁_{n∈ℤ} End_{KA}(H^{n}(K ⊗ Λ_{s})).

On définit l’élément suivant de O[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩] :

ω_{s} = F_{s}^{2} + q − ∑_{{t∈Ts \atop det t=−1}} tF_{s}.

La propriété 3.4.3 montre que cet élément est dans le noyau de g_{0}, donc le diagramme suivant commute :

\xymatrix{O[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩]/⟨ ω_{s} ⟩ \ar[r]^{g_{1}} \ar[d] & End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}) \ar[d] \\ K[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩]/⟨ ω_{s} ⟩ \ar[r]^{1_{K}⊗g_{1}} & End_{H^{b}(KA)}(K ⊗ Λ_{s}).}

Montrons que 1_{K} ⊗ g_{1} est injective. On rappelle que V_{C} désigne la composante cuspidale de K ⊗ H^{1}(Λ_{s}), et qu’elle est somme directe des espace W′_{j} pour j = 1 … q^{2} − 1 non multiple de q + 1. Tout élément a de K[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩]/⟨ ω_{s} ⟩ s’écrit de façon unique a = a_{1} + a_{2}F_{s} où a_{1}, a_{2} ∈ KT_{s}. L’action de F_{s} envoie la composante W′_{j} dans la composante W′_{qj} alors que tout élément de T_{s} l’envoie sur elle-même. Donc si a est dans le noyau de 1_{K} ⊗ g_{1} alors a_{1} et a_{2}F_{s} sont aussi dans ce noyau. Comme l’action de F_{s} sur chaque espace W′_{j} est non-nulle a_{2} est également dans ce noyau.

Comme le caractère Res_{1×T_{s}^{op}}^{G×T_{s}^{op}}χ_{1} du KT_{s}^{op}-module H_{c}^{1}(Y_{s}, K) contient tous les caractères de T_{s} on a a_{1} = a_{2} = 0, et donc 1_{K} ⊗ g_{1} est injective.

La dimension sur K de ⨁ End_{KA}(H^{n}(K ⊗ Λ_{s})) est égale à

(q − 1) + (q − 1) + 4\frac{q(q − 1)}{2} = 2(q^{2} − 1),

donc 1_{K} ⊗ g_{1} est un isomorphisme.

Pour tout élément x de O[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩] ou de K[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩], on note x̄ la classe de x modulo ω_{s}. Le O-module O[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩]/⟨ ω_{s} ⟩ est libre, il est engendré par la famille \{t̄, t̄\overline{F}_{s}\} où t parcourt T_{s}. L’extension des scalaires

O[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩]/⟨ ω_{s} ⟩ → K[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩]/⟨ ω_{s} ⟩

est une injection. Ainsi l’application g_{1} est injective. Nous allons montrer qu’elle est surjective si ℓ divise q + 1 ou si ℓ ne divise ni q − 1 ni q + 1.

On note dorénavant

H_{s} = ℤ[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩]/⟨ ω_{s} ⟩,

et on fera l’amalgame entre les éléments de ℤ[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩] et leur image dans H_{s}.

Propriété 3.4.10. Supposons que ℓ divise q + 1. Alors le morphisme d’algèbres g_{1} : O[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩]/⟨ ω_{s} ⟩ ⟶ End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}) est un isomorphisme.

Démonstration : Les algèbres O[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩]/⟨ ω_{s} ⟩ et End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}) sont libres sur O de même rang, car 1_{K} ⊗ g_{1} est un isomorphisme. Il suffit donc de montrer que l’injection g_{1} est scindée.

On considère les algèbres O[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩]/⟨ ω_{s} ⟩ et End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}) comme des (OT_{s}, OT_{s})-bimodules, et g_{1} comme un morphisme de (OT_{s}, OT_{s})-bimo-dules.

Soit V le bimodule O[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩]/⟨ ω_{s} ⟩. On a V = V_{1} ⊕ V_{2}, où V_{1} est le (OT_{s}, OT_{s})-bimodule OT_{s} et V_{2} le bimodule ayant pour base sur O l’ensemble des tF_{s} pour t ∈ T_{s}. On a alors

V_{1} ≃ Ind_{ΔT_{s}}^{T_{s}×T_{s}^{op}}O  et V_{2} ≃ Ind_{Δ′T_{s}}^{T_{s}×T_{s}^{op}}O  (3.13)

où ΔT_{s} = {(t, t^{−1}) | t ∈ T_{s}} et Δ′T_{s} = {(t, t^{−q}) | t ∈ T_{s}}. On note S le ℓ-sous-groupe de Sylow de T_{s}, et on définit de la même façon les sous-groupes ΔS et Δ′S de T_{s} × T_{s}^{op}.

On en déduit que ΔS est un vortex des composantes indécomposables de V_{1}, et que Δ′S est un vortex des composantes indécomposables de V_{2}. Donc, grâce à la propriété 3.2.11, si Br_{ΔS}(g_{1}) et Br_{Δ′S}(g_{1}) sont des injections scindées alors g_{1} est également une injection scindée.

Ramenons l’étude de Br_{Δ′S}(g_{1}) à celle de Br_{ΔS}(g_{1}) : si G est un groupe fini quelconque et σ un automorphisme de G, alors pour tout sous-groupe H de G et tout anneau R on a un foncteur torsion par σ :

σ̃ : RH-mod → R[σ^{−1}H]-mod

qui est une équivalence de catégories. Ce foncteur est compatible au foncteur de Brauer dans le sens suivant : si P est un ℓ-sous-groupe de G, alors le diagramme de foncteurs

\xymatrix{OG-mod \ar[r]^{σ̃} \ar[d]_{Br_{σ(P)}} & OG-mod \ar[d]^{Br_{P}} \\ kN_{G}(σ(P))-mod \ar[r]_{σ̃} & kN_{G}(P)-mod}

est commutatif. On considère alors l’automorphisme d’ordre 2 suivant :

\begin{aligned}σ : & T_{s} × T_{s}^{op} & ⟶ & T_{s} × T_{s}^{op} \\ & (t_{1}, t_{2}) & ⟼ & (t_{1}, t_{2}^{q}). \end{aligned}

Comme Δ′S = σ(ΔS), si Br_{ΔS}(g_{1}) est une injection scindée alors Br_{Δ′S}(g_{1}) est également une injection scindée.

Si Ω est un T_{s} × T_{s}^{op}-ensemble, et L un ℓ-sous-groupe de T_{s} × T_{s}^{op}, alors Br_{L}(OΩ) ≃ k[Ω^{L}], on a donc

Br_{ΔS}(k[T_{s} × T_{s}^{op}/ΔT_{s}]) = k[^{ΔS}(T_{s} × T_{s}^{op}/ΔT_{s})] = k[T_{s} × T_{s}^{op}/ΔT_{s}]

et, puisque l’on suppose que ℓ|q + 1,

Br_{ΔS}(k[T_{s} × T_{s}^{op}/Δ′T_{s}]) = k[^{ΔS}(T_{s} × T_{s}^{op}/Δ′T_{s})] = 0.

Ainsi on a Br_{ΔS}(V) = kT_{s}.

Comme pour t ∈ T_{s} l’image g_{1}(t) est la multiplication à droite par t, on obtient que l’image de t par

Br_{ΔS}(g_{1}) : kT_{s} → Br_{ΔS}(End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}))

est la multiplication à droite par t, ou plutôt, pour être rigoureux, son image par

br_{ΔS} : ^{ΔS}End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}) → Br_{ΔS}(End_{H^{b}(A)}(Λ_{s})).

On sait que Λ_{s} est un complexe de modules de ℓ-permutation, et la propriété 3.4.6 implique que

Hom_{H^{b}(A)}(Λ_{s}, Λ_{s}[i]) = 0 pour tout i ≠ 0,

donc en utilisant la démonstration de [Ri4, théorème 4.1] on obtient un isomorphisme de (kT_{s}, kT_{s})-bimodules

φ_{0} : Br_{ΔS}^{T_{s}×T_{s}^{op}}(End_{H^{b}(A)}(Λ_{s})) ⟶^{∼} End_{H^{b}(kT_{s})}(Br_{ΔS}^{G×T_{s}^{op}}(Λ_{s}))

dont l’expression est la suivante : soit f un endomorphisme du complexe Λ_{s} et f̄ sa classe dans End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}). On suppose que f̄ est stable par ΔS, et on note ˜ f̄ sa classe dans Br_{ΔS}^{T_{s}×T_{s}^{op}}(End_{H^{b}(A)}(Λ_{s})). Alors l’image de ˜ f̄ par φ_{0} est la classe dans End_{H^{b}(kT_{s})}(Br_{ΔS}^{G×T_{s}^{op}}(Λ_{s})) du morphisme de complexes

Br_{ΔS}^{G×T_{s}^{op}}(f) : Br_{ΔS}^{G×T_{s}^{op}}(Λ_{s}) → Br_{ΔS}^{G×T_{s}^{op}}(Λ_{s}).

En posant g_{2} = φ_{0} ∘ Br_{ΔS}(g_{1}), on obtient une application

g_{2} : kT_{s} → End_{H^{b}(kT_{s})}(Br_{ΔS}^{G×T_{s}^{op}}(Λ_{s})).

On déduit de l’expression de φ_{0} que si t ∈ T_{s} alors g_{2}(t) est la multiplication à droite par t. Comme φ_{0} est un isomorphisme on est ramené à montrer que g_{2} est une injection scindée.

On utilise ensuite [Ro5, théorème 2.29], qui montre que l’on a un isomorphisme de complexes de k[T_{s} × T_{s}^{op}]-modules

Br_{ΔS}^{G×T_{s}^{op}}(Λ_{c}(Y_{s}, O)) ⟶^{∼} Λ_{c}(Y_{s}^{ΔS}).

Cet isomorphisme est k[T_{s} × T_{s}^{op}]-linéaire pour les structures canoniques de k[T_{s} × T_{s}^{op}]-modules de sa source et de son but. Il induit donc un isomorphisme

φ_{1} : End_{H^{b}(kT_{s})}(Br_{ΔS}^{G×T_{s}^{op}}(Λ_{c}(Y_{s}, O))) ⟶^{∼} End_{H^{b}(kT_{s})}(Λ_{c}(Y_{s}^{ΔS})).

et l’image de la multiplication à droite par un élément t ∈ T_{s} est la multiplication à droite par t sur Λ_{c}(Y_{s}^{ΔS}) induite par la multiplication à droite sur Y_{s}^{ΔS}.

On pose g_{3} = φ_{1} ∘ g_{2} et on est ramené à montrer que

g_{3} : kT_{s} → End_{H^{b}(kT_{s})}(Λ_{c}(Y_{s}^{ΔS}))

qui à t ∈ T_{s} associe la multiplication à droite par t est une injection scindée.

Soit (t, t^{−1}) un élément de ΔS, et (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) un élément de Y_{s}, donc un couple

d’éléments de 𝔽^{2} tel que

(xy^{q} − x^{q}y)^{q−1} = −1.

Soit i un entier tel que t = (\begin{matrix}β^{i} & 0 \\ 0 & β^{qi} \end{matrix} ). L’action de (t, t^{−1}) sur (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) est donnée par

(t, t^{−1}) (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = γtγ^{−1} (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) β^{i},

donc (en rappelant que l’on suppose que ℓ|q + 1), (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) est stable par (t, t^{−1}) si et seulement s’il existe z ∈ 𝔽 tel que

γ^{−1} (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix}z \\ 0 \end{matrix}) .

Ceci impose que

Y_{s}^{ΔS} = \{(\begin{matrix}yβ^{q} \\ y \end{matrix} ) | y ∈ 𝔽_{q^{2}}^{×}\} .

Cette variété est un ensemble de points, donc Λ_{c}(Y_{s}^{ΔS}) = k[Y_{s}^{ΔS}]. On a un isomorphisme

\begin{aligned}ψ : & Y_{s}^{ΔS} & ⟶^{∼} & T_{s} \\ & (\begin{matrix}yβ^{q} \\ y \end{matrix} ) & ⟼ & γ (\begin{matrix}y & 0 \\ 0 & y^{q} \end{matrix} ) γ^{−1} \end{aligned}

qui est bien T_{s} × T_{s}^{op}-linéaire si l’on donne à T_{s} la structure de T_{s} × T_{s}^{op}- ensemble induite par la multiplication et à Y_{s}^{ΔS} la structure induite par la structure de (G, T_{s})-bi-ensemble de Y_{s}.

On a ainsi un dernier isomorphisme

\begin{aligned}φ_{2} : & End_{H^{b}(kT_{s})}(Λ_{c}(Y_{s}^{ΔS})) & ⟶ & kT_{s} \\ & f & ⟼ & ψ(f(1)) \end{aligned}

qui est k[T_{s} × T_{s}^{op}]-linéaire, et envoie la multiplication à droite par t sur l’élément t lui-même. Ainsi φ_{2} ∘ g_{3} est l’identité de kT_{s}, et la démonstration est terminée. □

On a ensuite la propriété suivante :

Propriété 3.4.11. Soit R un anneau commutatif. Supposons que 2 et q − 1 sont inversibles dans R, et que R contient une racine carrée r de −q inversible, telle que r + 1 est inversible. Alors les algèbres RH_{s} et R ⊗ H_{s} sont isomorphes.

Démonstration : Comme pour la démonstration de la propriété 3.3.2, on définit les deux éléments suivants de H_{s} :

C = ∑_{{t∈Ts \atop det t=1}} t D = ∑_{{t∈Ts \atop det t=−1}} t,

et on a C^{2} = D^{2} = (q + 1)C, CD = DC = (q + 1)D.

Soit g_{2} : RH_{s} → R ⊗ H_{s} l’application R-linéaire définie par g_{2}(t) = t si t ∈ T_{s}, et g_{2}(s) = σ où

σ = \frac{1}{r}F_{s} + \frac{1}{q − 1}D − \frac{r − 1}{r(r + 1)(q − 1)}CF_{s}.

On a alors σ^{2} = 1, et σt = t^{q}σ pour tout t ∈ T_{s}, donc g_{2} est un morphisme d’algèbres. Il est surjectif car F_{s} est l’image de

rs + \frac{1}{2} ∑_{{t∈Ts \atop det t=−1}} t − \frac{r − 1}{2(r + 1)} ∑_{{t∈Ts \atop det t=1}} ts.

qui est bien élément de RH_{s}. Enfin, comme R[T_{s} ⋊ F_{s}]/⟨ ω_{s} ⟩ est libre sur R de rang 2(q^{2} − 1), g_{2} est un isomorphisme d’algèbres. □

On a le corollaire immédiat des deux propriétés précédentes, en rappelant que si ℓ ≠ 2 et ℓ|q + 1 alors H_{s} désigne le normalisateur dans G d’un ℓ-sous-groupe de Sylow de G :

Corollaire 3.4.12. Supposons que ℓ ≠ 2 et ℓ|q + 1. On a un isomorphisme d’algèbres

g : OH_{s} ⟶^{∼} End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}).

On a aussi cette conséquence de la propriété 3.4.11 :

Corollaire 3.4.13. Si ℓ ≠ 2, et ℓ ne divise ni q + 1, ni q + 1 alors le morphisme d’algèbres g_{1} : O[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩]/⟨ ω_{s} ⟩ ⟶ End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}) est un isomorphisme.

Démonstration : Les suppositions faites sur ℓ nous permettent d’appliquer la propriété 3.4.11 en posant R = k. Les algèbres k[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩]/⟨ ω_{s} ⟩ et kH_{s} sont donc isomorphes. Or kH_{s} est semi-simple, car l’ordre de H_{s} est 2(q − 1)(q + 1). On applique ensuite la propriété 3.2.9 au morphisme g_{1}, en posant R = O. On sait que Id_{K} ⊗_{O} g_{1} est un isomorphisme, et que k ⊗ H_{s} est semi-simple, donc g_{1} est un isomorphisme. □

3.4.3 Changement de complexe

Le complexe Λ_{s} est un complexe de O[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩]-modules à droite. L’action de ω_{s} n’étant pas nulle, ce n’est pas un complexe de O ⊗ H_{s}-modules. On va donc le transformer, suivant la méthode de Keller ([Ke3, 8.3.1]) :

Le complexe B = End_{A}(Λ_{s}) a une structure d’algèbre différentielle graduée (DG-algèbre). On considère sa sous-DG-algèbre B′ définie par le complexe

⋯ → B^{−2} → B^{−1} → Z^{0}(B) → 0 → · · · .

On note dorénavant B = End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}) = H^{0}(B). Comme Z^{0}(B) = End_{C^{b}(A)}(Λ_{s}), on a une surjection π : B′ → → B, qui fait de B un B′-DG-module. Les morphismes de complexes B′ ↪ B et B′ → → B sont des quasiisomorphismes car pour tout entier non nul i on a

H^{i}(B) = Hom_{H^{b}(A)}(Λ_{s}, Λ_{s}[i]) = 0.

Le complexe Λ_{s} est un B-DG-module à droite, donc par restriction un B′-DG-module à droite. Soit p : P_{Λ_{s}} → → Λ_{s} une de ses résolutions homotopiquement projectives en tant que A ⊗_{O} B′^{op}-DG-module, cf [Ke3, 8.2.4]. On définit le complexe de (A, B)-bimodules Λ′ par

Λ′ = P_{Λ_{s}} ⊗_{B′} B^{op}.

La construction de P_{Λ_{s}} donnée dans [Ke3, 8.4] montre que P_{Λ_{s}} peut être choisi borné à droite, à composantes A ⊗_{O} B′^{op}-projectives, on le choisit donc ainsi. En conséquence Λ′ est borné à droite, à composantes A ⊗_{O} B^{op}- projectives : en effet, P_{Λ_{s}} est construit à partir du module A ⊗ B′^{op} par dévissage, cf [Ke3, 8.1.3], donc il suffit de vérifier que (A ⊗_{O} B′^{op}) ⊗_{B′} B^{op} est à composantes projectives, ce qui est évident car

(A ⊗_{O} B′^{op}) ⊗_{B′} B^{op} = A ⊗_{O} B^{op}.

Comme Λ_{s} est borné à composantes A-projectives, Λ_{s} est homotopiquement projectif sur A, donc le quasi-isomorphisme p est inversible dans la catégorie H(A) et il existe un quasi-isomorphisme A-linéaire q : Λ_{s} → Λ′ tel que le diagramme

\xymatrix{Λ_{s} \ar[rr]^{q} &  & Λ′ \\  & P_{Λ_{s}} \ar[ul]^{p} \ar[ur]_{1⊗π}}

commute dans H(A). De plus comme p et π sont B′-linéaires alors q est “Blinéaire à homotopie près”, i.e., pour tout b ∈ B on a q ∘ b = r(b) ∘ q dans H(A), où r(b) est la multiplication à droite par b. En d’autres termes, si on considère le morphisme d’algèbres

r : B ⟶ End_{H(A)}(Λ′)

défini par la multiplication à droite, alors le diagramme

\xymatrix{End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}) \ar[rr]^{r} \ar[dr]_{q_{∗}} &  & End_{H(A)}(Λ′) \ar[dl]^{q^{∗}} \\  & Hom_{H(A)}(Λ_{s}, Λ′)}

est commutatif. De plus, on a les équivalences

End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}) ≃ End_{D^{b}(A)}(Λ_{s}) ≃ End_{D(A)}(Λ′) ≃ End_{H(A)}(Λ′)

et donc End_{H(A)}(Λ′) ≃ B.

On a une injection de DG-algèbres OT_{s} ↪ B′, car B^{′0} = End_{C^{b}(A)}(Λ_{s}). Comme p et π sont B′-linéaires, alors p et π sont OT_{s}-linéaires, et Λ_{s} et Λ′ sont quasi-isomorphes en tant que complexes de OT_{s}-modules à droite.

On sait que l’homologie de Λ_{s}, donc de Λ′, est concentrée en degrés 1 et 2. On pose alors

X = τ_{≥1}Λ′.

C’est un complexe borné de A ⊗ B^{op}-modules. Par application du lemme 3.2.1, comme Λ_{s} est borné à composantes projectives sur A et comme Λ_{s} et Λ′ sont quasi-isomorphes sur A, alors X est à composantes projectives sur A.

De même, X est à composantes projectives sur B^{op}. En fait les composantes de X de degré supérieur ou égal à 2 sont projectives sur A ⊗ B^{op}, et sa composante de degré 1 est projective sur A et sur B^{op}.

Le lemme 3.2.1 nous dit aussi que Λ′ et X sont isomorphes dans la catégorie H(A), donc on a End_{H^{b}(A)}(X) ≃ B.

En résumé, on a remplacé Λ_{s} par un complexe de (A, B)-bimodules X, où B = End_{H^{b}(A)}(Λ_{s}). Ce complexe est parfait en tant que complexe de A-modules à gauche et en tant que complexe de B-modules à droite, et on a End_{H^{b}(A)}(X) ≃ B.

3.4.4 Conclusion.

Soit B = O ⊗ H_{s}. On a construit un complexe de (A, B)-bimodules X, à composantes projectives à gauche et à droite, tel que End_{H^{b}(A)}(X) ≃ B.

On a Ann_{H^{b}(A)}(X) = 0, par définition de A, cf notation 3.4.7.

Le corollaire 3.2.23 implique donc que End_{H^{b}(B^{op})}(X) ≃ A, et X réalise donc une équivalence entre les catégories H^{b}(A) et H^{b}(B).

Supposons maintenant que ℓ | q + 1, ℓ ≠ 2. On a alors B ≃ OH_{s}, où H_{s} est le normalisateur d’un ℓ-sous-groupe de Sylow de G.

L’équivalence induite par X est splendide, car chaque composante de X est facteur direct d’un module A ⊗ B^{op}-projectifs. Finalement on a la propriété :

Propriété 3.4.14. Si ℓ ≠ 2 et ℓ | q + 1, alors le complexe X réalise une équivalence splendide entre les algèbres A et OH_{s}, où A est la somme des blocs de OG de défaut maximal.

On peut ajouter que cette équivalence envoie le bloc principal de A sur le bloc principal de B. En effet, on connaît le caractère de Λ_{s} –donc celui de X– en tant que complexe de A ⊗ OT_{s}^{op}-modules, cf 3.5 et 3.6 page 91. le produit du caractère trivial de G par celui de T_{s} y figure, donc l’isométrie parfaite induite par X mets en correspondance ces deux caractères. Comme tous deux sont dans le bloc principal de OH_{s}, alors la restriction de X au bloc principal de OG réalise une équivalence splendide entre les blocs principaux de OG et de OH_{s}.

3.5 Complexes de Deligne-Lusztig des groupes associés

3.5.1 Cas de SL_{2}(q)

Les méthodes utilisées dans les sections 3.3 et 3.4 s’appliquent aussi bien au groupe SL_{2}(q). Nous en donnons les résultats.

Les notations deviennent :

• G = SL_{2}(𝔽), l’endomorphisme de Frobenius F est inchangé,

• G = G^{F} = SL_{2}(q),

• le tore T est l’ensemble des matrices diagonales de déterminant 1,

• le groupe de Weyl W_{G} est toujours d’ordre 2,

• les tores sont notés T′_{e} et T′_{s} pour ne pas les confondre avec ceux de GL_{2}(q),

• les groupes U et U sont toujours les groupes des matrices de la forme (\begin{matrix}1 & ∗ \\ 0 & 1 \end{matrix}).

Le module Λ_{e} = Λ_{e}(SL_{2}) définissant l’induction de Harish-Chandra est défini par Λ_{e} = O[G/U]. Son caractère en tant que O[G × T′_{e}^{op}]-module est

φ_{0} × θ_{(0, 0)} + φ′_{0} × θ_{(0, 0)} + (φ′_{+} + φ′_{−}) × θ_{( \frac{q−1}{2} , \frac{q−1}{2} )}

+ ∑_{i=1... \frac{q−1}{2}}φ_{i} × (θ_{(i, −i)} + θ_{(−i, i)}) (3.14)

en utilisant les notations de la table B.11 page 198 pour les caractères de SL_{2}(q), et les notations de la page 23 pour ceux de T′_{e} (en le considérant comme sous-groupe de T_{e}).

On montre de la même façon que dans la section 3.3 que

End_{OG}(Λ_{e}) = O[T′_{e} ⋊ ⟨ F′_{e} ⟩]/⟨ ω′_{e} ⟩ avec ω′_{e} = F′_{e}^{2} − q (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) − ∑_{t∈T′_{e}} tF′_{e}.

Si ℓ ≠ 2 et ℓ|q − 1, en notant H_{e} le normalisateur de T′_{e} dans SL_{2}(q), on a un isomorphisme d’algèbres

OH_{e} ⟶^{∼} O[T′_{e} ⋊ ⟨ F′_{e} ⟩]/⟨ ω′_{e} ⟩

obtenu en envoyant l’élément (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) de H_{e} sur

\frac{1}{r}F′_{e} − \frac{1}{q + 1} ∑_{t∈T′_{e}} t − \frac{(r − 1)}{r(r + 1)(q + 1)} ∑_{t∈T′_{e}} tF′_{e}

où r est une racine de q telle que r + 1 soit inversible.

Pour étudier le complexe Λ_{s} = Λ_{s}(SL_{2}), on utilise les notations suivantes :

• on choisit ṡ = (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) comme représentant de l’élément non trivial s de W_{G}

dans N_{G}(T),

• soit ρ un élément de 𝔽_{q^{4}} tel que ρ^{q+1}(β^{q} − β) = 1. On choisit γ = γ_{s} =

(\begin{matrix}ρ & −ρ^{q} \\ ρβ^{q} & −ρ^{q}β \end{matrix} ),

• le tore T′_{s} est défini par

T′_{s} = γ \{(\begin{matrix}β^{(q−1)n} & 0 \\ 0 & β^{(1−q)n} \end{matrix} ) | n = 1 … q + 1\} γ^{−1},

• la variété de Deligne-Lusztig Y_{s} = Y_{s}(SL_{2}(q)) est définie par

Y_{s} = \{(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) ∈ 𝔽^{2} | xy^{q} − x^{q}y = −1\} .

On a toujours des isomorphismes de variétés algébriques

\xymatrix{L^{−1}(f(U)) \ar[r]^{φ} & Y_{s} \ar[l]^{ψ}}

où φ est encore défini par g ↦ gγ (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}), et ψ est cette fois défini par

ψ : (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) ⟼ (\begin{matrix}x & −x^{q} \\ y & −y^{q} \end{matrix} ) γ^{−1}.

On appelle F′_{s} l’endomorphisme de Frobenius tordu, qui agit sur Y_{s}.

Les actions sur Y_{s} sont similaires à celles du cas de GL_{2}(q) : l’action à droite de G est donnée par la multiplication à gauche, celle de F′_{s} est

donnée par (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}x^{q} \\ y^{q} \end{matrix} ) et un élément t = ^{γ}(\begin{matrix}β^{(q−1)n} & 0 \\ 0 & β^{(1−q)n} \end{matrix} ) de T′_{s} agit par

(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) .t = β^{(q−1)n} (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}).

L’homologie H_{c}^{∗}(Y_{s}, O) est concentrée en degrés 1 et 2. On note χ_{i} le caractère du O[G×T′_{s}^{op}]-module H_{c}^{i}(Y_{s}, O) pour i = 1, 2. On a χ_{2} = φ_{0}×ω^{0} et

χ_{1} = φ′_{0} × ω^{0} + ∑_{i=1... \frac{q−1}{2}} ψ_{i} × (ω^{i} + ω^{−i}) + (ψ′_{+} + ψ′_{−}) × ω^{\frac{q+1}{2}}

(cf table B.11 pour les caractères de SL_{2}(q) et page 23 pour ceux de T′_{s}, vu comme sous-groupe de T_{s}).

On décompose le K[G × T′_{s}^{op}] module H_{c}^{1}(Y_{s}, K) en somme directe V_{S} ⊕ (⊕_{i}W_{i}) ⊕ V_{N}, où V_{S} est le module de caractère φ′_{0} × ω^{0}, W_{i} le module de caractère ψ_{i} × (ω^{i} + ω^{−i}) et V_{N} le module de caractère (ψ′_{+} + ψ′_{−}) × ω^{\frac{q+1}{2}} .

L’endomorphisme F′_{s} agit comme la multiplication par q sur H_{c}^{2}(Y_{s}, O),

comme l’identité sur V_{S}, comme la matrice \sqrt{(−1)^{i+1}q} (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) sur chaque W_{i},

et comme la matrice ±\sqrt{(−1)^{\frac{q−1}{2}} q} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) sur V_{N}.

On obtient que F′_{s}^{2} agit comme l’élément

−q (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) + ∑_{t∈T′_{s}} tF′_{s}

sur l’homologie H_{c}^{∗}(Y_{s}, K). Ceci va nous permettre de vérifier la propriété 3.4.3.

On a un isomorphisme de variétés algébriques

φ : GL_{2}(q) ×_{SL_{2}(q)} Y_{s}(SL_{2}(q)) ⟶^{∼} Y_{s}(GL_{2}(q))

défini ainsi : tout élément de GL_{2}(q)×_{SL_{2}(q)}Y_{s}(SL_{2}(q)) s’écrit de façon unique

comme la classe d’un élément ((\begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix})) de GL_{2}(q) × Y_{s}(SL_{2}(q)). On pose

φ (\overline{((\begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}))}) = τ^{q} (\begin{matrix}λx \\ y \end{matrix}) ,

où τ une racine carrée de β (c’est un élément de 𝔽_{q^{4}}^{×}). On vérifie que φ est [GL_{2}(q) × T′_{s}^{op}]-linéaire. Sa réciproque est donnée par

(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) ↦ (\overline{((\begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , τ^{−q} (\begin{matrix}λ^{−1}x \\ y \end{matrix}))})

avec λ = μ^{−1}(xy^{q} − x^{q}y) et μ = τ^{q+1} (on retrouve la racine de −1 d’ordre (q − 1) utilisée dans la section 1.5.2).

Soit (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) un élément de Y_{s}(GL_{2}(q)) et soit F_{1} l’action induite par l’endo-

morphisme F′_{s} sur Y_{s}(GL_{2}(q)). On calcule que

F_{1} : (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) . ↦ β^{\frac{q(q−1)}{2}} (\begin{matrix}x^{q} \\ y^{q} \end{matrix} )

ce qui montre que F_{s} = t_{1}F_{1}, où

t_{1} = γ (\begin{matrix}β^{q(q−1)} & 0 \\ 0 & β^{q(1−q)} \end{matrix} ) γ^{−1}.

Or on a

F_{1}^{2} = −q (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) + ∑_{{t∈Ts \atop det t=1}} tF_{1}

car cette égalité est vérifiée par F′_{s}. Comme t_{1} est de déterminant −1 et comme t_{1}^{q+1} = −1, on a

F_{s}^{2} = −q + ∑_{{t∈Ts \atop det t=−1}} tF_{s}.

ce qui vérifie la propriété 3.4.3.

Si ℓ ≠ 2 et ℓ|q + 1, en notant H_{s} le normalisateur de T′_{s} dans SL_{2}(q), on a un isomorphisme d’algèbres

OH_{s} ⟶^{∼} O[T′_{s} ⋊ ⟨ F′_{s} ⟩]/⟨ ω′_{s} ⟩

obtenu en envoyant l’élément (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) de H_{s} sur

\frac{1}{r}F′_{s} + \frac{1}{q − 1} ∑_{t∈T′_{s}} t − \frac{(r − 1)}{r(r + 1)(q − 1)} ∑_{t∈T′_{s}} tF′_{s}

où r est une racine de −q telle que r + 1 soit inversible.

3.5.2 Quotients des complexes Λ_{e} et Λ_{s}

On note dorénavant :

• Λ_{e}(GL_{2}) et Λ_{s}(GL_{2}) les complexes Λ_{e} et Λ_{s} obtenus dans les sections 3.3 et 3.4.

• Λ_{e}(SL_{2}) et Λ_{s}(SL_{2}) les complexes définis dans la section précédente.

Soit G l’un des deux groupes GL_{2}(q) et SL_{2}(q), Z le centre de G, et \overline{G} = G/Z. Pour w = e, s on note T_{e} et T_{s} respectivement le tore déployé et le tore de Coxeter de G, puis \overline{T}_{e} et \overline{T}_{s} leurs images par la projection canonique G → → \overline{G}.

On définit le complexe

Λ_{w}(\overline{G}) = O\overline{G} ⊗_{OG} Λ_{w}(G).

Les composantes des complexes Λ_{w}(G) sont des O[G×T_{w}^{op}]-modules de permutations. Nous savons que le sous-groupe ΔZ de G×T_{w}^{op} agit trivialement sur la variété Y_{w}. En appliquant [Ro5, théorème 2.28] on obtient que ΔZ agit trivialement sur le complexe Λ_{w}(G). Ceci implique que l’on a alors des isomorphismes de complexes de O[G × T_{w}^{op}]-modules

O\overline{G} ⊗_{OG} Λ_{w}(G) ≃ Λ_{w}(G) ⊗_{OT_{w}} O\overline{T}_{w}.

Soit Λ′ un représentant minimal de Λ_{s}(G) dans la catégorie des complexes de OG-modules. Les complexes O\overline{G} ⊗_{OG} Λ_{w}(G) et O\overline{G} ⊗_{OG} Λ′ sont homotopes, donc leurs homologies sont isomorphes en tant que OG-modules gradués. Or nous savons que Λ′ est concentré en degrés 1 et 2. Ceci montre que l’homologie de Λ_{s}(\overline{G}) est concentrée en degrés 1 et 2.

Nous savons donc que

• Λ_{e}(\overline{G}) est un O[\overline{G} × \overline{T}_{e}^{op}]-module projectif à gauche et à droite ;

• Λ_{s}(\overline{G}) est un complexe borné de O[\overline{G} × \overline{T}_{s}^{op}]-modules projectifs à gauche et à droite, dont l’homologie est concentrée en degrés 1 et 2.

Propriété 3.5.1. Les complexes Λ_{s}(\overline{G}) vérifient la propriété de disjonction. On a un isomorphisme d’algèbres

End_{H^{b}(O\overline{G})}(Λ_{s}(\overline{G})) ≃ O ⊗_{OZ} End_{H^{b}(OG)}(Λ_{s}(G)).

Démonstration : On note Λ = Λ_{s}(G), \overline{Λ} = Λ_{s}(\overline{G}), T = T_{s} et \overline{T} = \overline{T}_{s}. Nous procédons en deux étapes, en faisant d’abord le quotient par le ℓ-centre, puis le quotient par le ℓ′-centre.

Soit Z_{ℓ} le ℓ-centre de G. Nous savons que les composantes de Λ sont des O[G × T^{op}]-modules de ℓ-permutation, et que les vortex de leurs facteurs directs indécomposables contiennent tous le sous-groupe ΔZ_{ℓ}. On peut donc appliquer la propriété 3.2.13. On a un isomorphisme de complexes de O[G × T^{op}]-modules et d’algèbres différentielles graduées

O[T/Z_{ℓ}] ⊗_{OT} End_{OG}(Λ) ≃ End_{O[G/Z_{ℓ}]}(O[G/Z_{ℓ}] ⊗_{OG} Λ).

Soit Λ′ = O[G/Z_{ℓ}] ⊗_{OG} Λ et Z_{ℓ′} le ℓ′-centre de G. On a donc \overline{Λ} = O\overline{G} ⊗_{O[G/Z_{ℓ}]} Λ′.

Soit e l’idempotent central de O[G/Z_{ℓ}] associé à l’image de Z_{ℓ′} dans O[G/Z_{ℓ}]. Le complexe O[G/Z_{ℓ}Z_{ℓ′}] ⊗_{O[G/Z_{ℓ}]} Λ′ est alors isomorphe au complexe e.Λ′, qui est un facteur direct de Λ′. De plus, comme ΔZ agit trivialement sur Λ′ et comme e est un idempotent central de O[T/Z_{ℓ}], on a e.Λ′ = Λ′.e, et End_{O[G/Z_{ℓ}]}(Λ′.e) = e.End_{O[G/Z_{ℓ}]}(Λ′).e = e.End_{O[G/Z_{ℓ}]}(Λ′). On a donc un isomorphisme

End_{O[G/Z]}(O[G/Z] ⊗_{O[G/Z_{ℓ}]} Λ′) ≃ O[T/Z] ⊗_{O[T/Z_{ℓ}]} End_{O[G/Z_{ℓ}]}(Λ′),

ce qui donne l’isomorphisme

End_{O\overline{G}}(\overline{Λ}) ≃ O\overline{T} ⊗_{OT} End_{OG}(Λ)

qui est compatible avec les structures multiplicatives.

Rappelons que pour tout groupe H contenant Z et tout OH-module M, on a un isomorphisme de OH-modules

O\overline{H} ⊗_{OH} M ≃ O ⊗_{OZ} M

en posant que l’action de H sur O⊗_{OZ} M est donnée par h.(λ⊗x) = λ⊗(h.x) pour h ∈ H, λ ∈ O et x ∈ M.

On a donc un isomorphisme de O[T × T^{op}]-modules

O\overline{T} ⊗_{OT} End_{OG}(Λ) ≃ O ⊗_{OZ} End_{OG}(Λ).

Comme les composantes de Λ sont projectives à gauche sur OG et à droite sur OT alors les composantes de End_{OG}(Λ) sont projectives en tant que OT - modules à gauche. Elles sont donc libres sur OZ. Nous savons que l’homologie de End_{OG}(Λ) est concentré en degré 0, isomorphe à

O[T ⋊ ⟨ F_{s} ⟩]/⟨ ω_{s} ⟩

en tant qu’algèbre. Elle est donc isomorphe à (OT)^{2} en tant que OT -module à gauche, ce qui montre qu’elle est également libre sur OZ. Nous pouvons donc appliquer le lemme 3.2.8. On obtient

H^{∗}(O ⊗_{OZ} End_{OG}(Λ)) ≃ O ⊗_{OZ} H^{∗}(End_{OG}(Λ)).

Ceci montre que l’homologie du complexe End_{O\overline{G}}(\overline{Λ}) est concentrée en degré 0, donc que le complexe \overline{Λ} vérifie la propriété de disjonction. En degré 0 on obtient l’isomorphisme

End_{H^{b}(O\overline{G})}(\overline{Λ}) ≃ O ⊗_{OZ} End_{H^{b}(OG)}(Λ)

qui hérite de la compatibilité aux structures multiplicatives. C’est donc un isomorphisme d’algèbres, ce qui démontre la propriété. □

On montre de la même façon que l’on a un isomorphisme d’algèbres

End_{O\overline{G}}(Λ_{e}(\overline{G})) ≃ O ⊗_{OZ} End_{OG}(Λ_{e}(G)).

On note maintenant T′_{e} et T′_{s} les tores de SL_{2}(q), et toujours T_{e} et T_{s} les tores de GL_{2}(q). On rappelle que l’on a les isomorphismes

End_{OGL_{2}}(Λ_{e}(GL_{2})) ≃ O[T_{e} ⋊ ⟨ F_{e} ⟩]/⟨ ω_{e} ⟩
avec ω_{e} = F_{e}^{2} − q − ∑_{{t∈Te \atop det t=−1}} tF_{e},
End_{H^{b}(OGL_{2})}(Λ_{s}(GL_{2})) ≃ O[T_{s} ⋊ ⟨ F_{s} ⟩]/⟨ ω_{s} ⟩
avec ω_{s} = F_{s}^{2} + q − ∑_{{t∈Ts \atop det t=−1}} tF_{s},
End_{OSL_{2}}(Λ_{e}(SL_{2}))  ≃ O[T′_{e} ⋊ ⟨ F′_{e} ⟩]/⟨ ω′_{e} ⟩
avec ω′_{e} = F′_{e}^{2} − q (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) − ∑_{t∈T′_{e}} tF′_{e},
End_{H^{b}(OSL_{2})}(Λ_{s}(SL_{2})) ≃ O[T′_{s} ⋊ ⟨ F′_{s} ⟩]/⟨ ω′_{s} ⟩
avec ω′_{s} = F′_{s}^{2} + q (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) − ∑_{t∈T′_{s}} tF′_{s}.

On obtient donc l’isomorphisme suivant, pour G ∈ {GL_{2}(q), SL_{2}(q)} et w ∈ {e, s} :

End_{H^{b}(O\overline{G})}(Λ_{w}(\overline{G})) ≃ O[\overline{T}_{w} ⋊ ⟨ \overline{F}_{w} ⟩]/⟨ \overline{ω}_{w} ⟩

avec \overline{ω}_{w} = \overline{F} _{w}^{2} + εq − 2 ∑_{{t∈\overline{T} w \atop det t=η}} t\overline{F}_{w}.

où

• ε = −1 si w = e et ε = 1 si w = s,

• η = −1 si G = GL_{2}(q) et η = 1 si G = SL_{2}(q),

• l’action de \overline{F}_{w} sur \overline{T}_{w} est donnée par t\overline{F}_{w} = \overline{F}_{w}t^{−1}.

La propriété 3.5.1 est aussi valable en remplaçant O par k. Si ℓ = 2 on obtient

End_{kPGL_{2}}(kΛ_{e}(PGL_{2})) ≃ kD_{2(q−1)},
End_{H^{b}(kPGL_{2})}(kΛ_{s}(PGL_{2})) ≃ kD_{2(q+1)},
End_{kPSL_{2}}(kΛ_{e}(PSL_{2}))  ≃ kD_{q−1},
End_{H^{b}(kPSL_{2})}(kΛ_{s}(PSL_{2})) ≃ kD_{q+1}.

3.5.3 Restriction au bloc principal

On suppose toujours que ℓ = 2. Si G est l’un des quatre groupes GL_{2}(q), SL_{2}(q), PGL_{2}(q) et PSL_{2}(q), on note A(G) le 2-bloc principal de kG. En conséquence du lemme 3.2.15 on a

A(PGL_{2}) = OPGL_{2} ⊗_{OGL_{2}} A(GL_{2}) et A(PSL_{2}) = OPSL_{2} ⊗_{OSL_{2}} A(SL_{2}).

Pour w = e, s on note

X_{w}(G) = A ⊗_{OG} Λ_{w}(G).

Les A(G)-modules X_{e}(G) sont projectifs, les complexes de A(G)-modules X_{s}(G) sont concentrés en degré 1 et 2, à composantes projectives.

Propriété 3.5.2. Soit G l’un des quatre groupes GL_{2}(q), SL_{2}(q)}, PGL_{2}(q) et PSL_{2}(q), soit w ∈ {e, s}. Soit T′ la 2′-partie du tore T_{w} de G. On a un isomorphisme d’algèbres

End_{H^{b}(A(G))}(X_{w}(G)) ≃ O ⊗_{OT′} End_{H^{b}(OG)}(Λ_{w}(G)).

Démonstration : Pour tout groupe H on note b_{H} l’idempotent central de OH associé au 2-bloc principal de H et \overline{H} le quotient H/Z(H). Nous savons donc grâce au lemme 3.2.15 que b_{\overline{H}} est l’image de b_{H} par la projection canonique OH → → O\overline{H}.

Nous avons vu que pour G = GL_{2}(q) et w = e, s, on a b_{G}.Λ_{w} = Λ_{w}.b_{T_{w}} (cf remarques 3.3.6 et 3.4.1). Nous connaissons les caractères de Λ_{e}(SL_{2}(q)) et de H^{∗}(Λ_{s}(SL_{2}(q))) (cf section 3.5.1), ce qui nous permet de constater que ce résultat est aussi vrai pour G = SL_{2}(q). Ceci implique que pour G = GL_{2}(q) et SL_{2}(q) on a

b_{\overline{G}}.\overline{Λ}_{w} = \overline{Λ}.b_{\overline{T}_{w}}.

Soit maintenant G l’un des quatre groupes GL_{2}(q), SL_{2}(q)}, PGL_{2}(q) et PSL_{2}(q), on note A = A(G), T = T_{w} et Λ = Λ_{w}(G) et X = X_{w}(G). On a des isomorphismes d’algèbres différentielles graduées

End_{OG}(b_{G}.Λ) ≃ End_{OG}(Λ.b_{T}) ≃ b_{T} .End_{OG}(Λ).b_{T}

donc finalement

End_{A}(X) ≃ b_{T} .End_{OG}(Λ).

Soit E = End_{OG}(Λ), et 1_{E} son unité. Nous savons donc que b_{T} .1_{E} est un idempotent central de E. En conséquence b_{T} .1_{E} est un élément homogène de degré 0 du noyau de la différentielle de E. On a donc un isomorphisme d’algèbres

H^{0}(b_{T} .E) ≃ \overline{b}_{T} .H^{0}(E)

où \overline{b}_{T} désigne l’image de b_{T} .1_{E} dans l’homologie de E, donc \overline{b}_{T} = b_{T} .1_{H} où 1_{H} est l’unité de H^{0}(E). Nous avons donc un isomorphisme d’algèbres

End_{H^{b}(A)}(X) ≃ b_{T} End_{H^{b}(OG)}(Λ).

Comme T est commutatif, son bloc principal est l’idempotent associé à sa ℓ′-partie T′ :

b_{T} = \frac{1}{|T′|} ∑_{t∈T′} t.

Nous avons donc un isomorphisme d’algèbres

End_{H^{b}(A)}(X) ≃ O ⊗_{OT′} End_{H^{b}(OG)}(Λ),

ce qui montre la propriété. □

Le corollaire suivant est immédiat (on convient que D_{2} = C_{2}).

Corollaire 3.5.3. On a les isomorphismes

End_{kPGL_{2}(q)}(kX_{e}(PGL_{2}(q))) ≃ kD_{2^{a+1}},
End_{H^{b}(kPGL_{2}(q))}(kX_{s}(PGL_{2}(q))) ≃ kD_{2^{b+1}},
End_{kPSL_{2}(q)}(kX_{e}(PSL_{2}(q)))  ≃ kD_{2^{a}},
End_{H^{b}(kPSL_{2}(q))}(kX_{s}(PSL_{2}(q))) ≃ kD_{2^{b}}.

Nous allons maintenant expliciter le module kX_{e}(G) et les composantes du complexe kX_{s}(G).

Nous savons que le bloc principal de kGL_{2}(q) a deux classes d’isomorphismes de modules simples (cf section B.4). On note ρ_{0} le caractère modulaire trivial, ρ_{1} l’autre caractère modulaire irréductible, puis P_{0} et P_{1} des enveloppes projectives de modules simples ayant pour caractère ρ_{0} et ρ_{1} respectivement. Le caractère du OG-module X_{e}(GL_{2}) est

∑_{λ=1...2^{a}}(φ_{λu} + φ′_{λu}) + 2 ∑_{{(λ, μ)=1...2^{a} \atop λ<μ}}φ_{(λu, μu)}

donc en utilisant la matrice de décomposition on obtient le caractère modulaire de kX_{e}(GL_{2}) :

2^{2a+1}ρ_{0} + 2^{2a}ρ_{1}.

En conséquence, en utilisant la matrice de Cartan et le fait que kX_{e} est projectif, on a kX_{e} ≃ P_{0}.

On considère le complexe de OGL_{2}(q)-modules X_{s} comme un représentant minimal de sa classe d’homotopie, donc comme un complexe X_{s}^{1} → X_{s}^{2} de modules projectifs concentré en degrés 1 et 2. Le caractère du OGL_{2}(q)- modules H^{2}(X_{s}) est

∑_{λ=1...2^{a}} φ_{λu}

Comme les composantes de X_{s} sont libres sur O on a H^{2}(k ⊗_{O} X_{s}) = k ⊗_{O} H^{2}(X_{s}), donc le caractère modulaire du kGL_{2}(q)-module H^{2}(kX_{s}) est 2^{a}ρ_{0}. En conséquence kX_{s}^{2} est une somme directe de copies de P_{0}. On calcule que le caractère modulaire du kGL_{2}(q)-module H^{1}(kX_{s}) est

2^{a}ρ_{0} + 2^{a+b}ρ_{1}

puis que le complexe kX_{s} est de la forme

P_{0}^{n} ⊕ P_{1}^{2} ⟶ P_{0}^{n+1}.

Mais nous savons que le complexe kX_{s} vérifie la propriété de disjonction (propriété 3.4.6), ce qui implique qu’aucun sous-quotient irréductible de H^{2}(kX_{s}) n’est inclus dans la socle de H^{1}(kX_{s}), donc la composante P_{0}^{n} de X_{s}^{1} est dans le noyau de la différentielle. Par minimalité du complexe kX_{s}, on a n = 0. Nous en déduisons donc que le complexe kX_{s} est de la forme P_{1}^{2} → P_{0}.

Le bloc principal de kPGL_{2}(q) a aussi deux classes d’isomorphismes de modules projectifs indécomposables, ce sont les images des modules projectifs indécomposables de GL_{2}(q) par la déflation GL_{2}(q) → → PGL_{2}(q). On note \overline{P}_{i} = OPGL_{2}(q) ⊗_{OGL_{2}} P_{i} pour i = 0, 1. Alors kX_{e}(PGL_{2}) est isomorphe au module \overline{P}_{0}, est kX_{s}(PGL_{2}) est isomorphe à un complexe concentré en degrés 1 et 2 de la forme \overline{P} _{1}^{2} → \overline{P}_{0}.

Les blocs principaux de kSL_{2}(q) et kPSL_{2}(q) ont trois classes d’isomorphismes de modules projectifs indécomposables. On note P_{0}, P_{+}, P_{−} des représentants de celles-ci pour kSL_{2}(q), et \overline{P}_{0}, \overline{P}_{+}, \overline{P}_{−} leurs images par la déflation SL_{2}(q) → → PSL_{2}(q). En reproduisant la méthode utilisée ci-dessus on montre que les modules kX_{e}(SL_{2}) et kX_{e}(PSL_{2}) sont isomorphes respectivement aux modules P_{0} et \overline{P}_{0}, puis que les complexes kX_{s}(SL_{2}) et kX_{s}(PSL_{2}) sont isomorphes à des complexes concentrés en degrés 1 et 2 de la forme repectivement

P_{+} ⊕ P_{−} ⟶ P_{0} et \overline{P}_{+} ⊕ \overline{P}_{−} ⟶ \overline{P}_{0}.

Soit G l’un des quatre groupes GL_{2}(q), SL_{2}(q), PGL_{2}(q) et PSL_{2}(q). On note A, X_{e}, et X_{s} les objets A(G), X_{e}(G) et X_{s}(G).

Propriété 3.5.4. Le complexe X_{e}⊕X_{s} est générateur de la catégorie dérivée D(A).

Démonstration : Soit U la sous-catégorie triangulée pleine de D(A) stable par extension, décalages, et facteur direct, contenant X_{e} ⊕ X_{s}. Nous devons montrer que U = A-parf.

Soit P_{0} l’enveloppe projective du A-module trivial. Comme X_{e} ≃ P_{0} alors P_{0} est objet de U. Tous les autres modules projectifs indécomposables de A sont facteurs direct de X_{s}^{1}, la composante de degré 1 de X_{s}, donc il suffit de montrer que X_{s}^{1} est objet de U.

Nous savons que X_{s} est de la forme X_{s}^{1} ⟶ X_{s}^{2} avec X_{s}^{2} ≃ P_{0}. On considère le morphisme f défini par

\xymatrix{X_{e}[−2] : \ar[d]_{f} & 0 \ar[r] \ar[d] & P_{0} \ar[d]^{1} \\ X_{s} : & X_{s}^{1} \ar[r]_{δ} & P_{0}.}

Comme la source et le but de f sont éléments de U alors le cône C(f) de f est élément de U. On a des morphismes de complexes

\xymatrix{C(f) : \ar[d]_{p} & X_{s}^{1} ⊕ P_{0} \ar[r]^{(δ 1)} \ar[d]_{(1 0)} & P_{0} \ar[d] \\ X_{s}^{1}[−1] : \ar[d]_{i} & X_{s}^{1} \ar[r] \ar[d]_{_{(\begin{matrix}1 \\ −δ \end{matrix})}} & 0 \ar[d] \\ C(f) : & X_{s}^{1} ⊕ P_{0} \ar[r]_{(δ 1)} & P_{0}}

tels que p ∘ i = 1 et i ∘ p est homotope à l’identité (l’homotopie est donnée

par exemple par la flèche (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) : P_{0} ⟶ X_{s}^{1}). Ceci montre que X_{s}^{1} est objet de U. □

3.6 Cas ℓ = 2, q ≡ ±3 (mod 8)

3.6.1 Notations

On utilise toujours les notations définies dans le chapitre 1, en particulier dans la section 1.4.1.

3.6 : Cas ℓ = 2, q ≡ ±3 (mod 8)  121

On suppose que ℓ = 2, donc que le corps k est donc de caractéristique 2. On a toujours G = GL_{2}(q), et on suppose que q est congru à 3 ou à 5 modulo 8. Soit P′ un sous-groupe de Sylow de SL_{2}(q), et H = N_{G}(P′) son normalisateur dans G. On a obtenu dans le premier chapitre des isotypies entre les blocs principaux de kG et de kH, cf propriétés 2.4.3 et 2.4.4 ; on va montrer dans cette section qu’elles proviennent d’équivalences splendides entre ces deux blocs.

Soit Z le centre de G. Pour tout sous-ensemble X de G on note \overline{X} l’image de X par la projection canonique G → → G/Z, ainsi \overline{G} = PGL_{2}(q).

On note A le bloc principal de k\overline{G}, B celui de k\overline{H}.

On utilise [Br5, 6.4], qui généralise le cas où les sous-groupes de Sylow sont d’intersection triviale. Les hypothèses de ce théorème étant précisément avérées par la propriété 1.4.3, on obtient la propriété suivante :

Propriété 3.6.1. Le foncteur de restriction de A-stab à B-stab est une équivalence de catégories, dont l’inverse est le foncteur induction.

On sait grâce à la propriété 1.4.5 que \overline{H} est isomorphe au groupe 𝔖_{4}. On connaît donc la structure des modules sur k\overline{H} grâce à la section B.7 annexe B.

3.6.2 Relèvement des équivalences stables

Nous savons donc que le (B, A)-bimodule _{B}A_{A} réalise une équivalence stable, ainsi d’après [Li2, théorème 2.1 (i)] il existe une décomposition en (B, A)-bimodules A = V ⊕P où _{B}P_{A} est projectif, _{B}V_{A} est indécomposable, et _{B}V_{A} réalise une équivalence A-stab → B-stab.

Notons que V est projectif à gauche et à droite, et que l’on a une décomposition de (A, A)-bimodules V^{∨} ⊗_{B} V ≃ A ⊕ P′ où P′ est un bimodule projectif.

On note σ_{0} et σ_{1} les deux caractères modulaires irréductibles de A, noté σ_{0} et σ′_{0} dans les tables B.9 et B.10 pages 194 et 198. Les deux caractères modulaires irréductibles de B sont notés α_{0} et α_{1}, cf table B.3 page 206. On note ensuite

• S_{0}, S_{1} des A-modules de caractères σ_{0} et σ_{1},

• T_{0}, T_{1} des B-modules de caractères α_{0} et α_{1},

• P_{0}, P_{1} des enveloppes projectives de S_{0} et S_{1} respectivement,

• Q_{0}, Q_{1} des enveloppes projectives de T_{0} et T_{1} respectivement.

La structure des modules Q_{0} et Q_{1} est donnée dans l’annexe B.7.

Propriété 3.6.2. On a V ⊗_{A} S_{0} = T_{0} et V^{∨} ⊗_{B} T_{0} = S_{0}.

Démonstration : Le (B, A)-bimodule P est projectif, donc il existe des entiers naturels m_{i j} pour i, j = 0, 1 tels que

P ≃ ⨁_{i, j}(Q_{i} ⊗_{k} P_{j}^{∨})^{m_{i j}}.

Comme S_{0} et T_{0} sont les modules triviaux, on a _{B}A ⊗_{A} S_{0} = T_{0}, donc

T_{0} = (V ⊗_{A} S_{0}) ⊕ ⨁_{i} Q_{i}^{m_{i 0}}

et m_{0 0} = m_{1 0} = 0, V ⊗_{A} S_{0} = T_{0}.

En utilisant la décomposition V^{∨} ⊗_{B} V ≃ A ⊕ P′, on obtient que S_{0} est facteur direct de V^{∨} ⊗_{B} T_{0}. Or d’après [Li3, théorème 2.1 (ii)], comme T_{0} est simple alors V^{∨} ⊗_{B} T_{0} est indécomposable. Finalement V^{∨} ⊗_{B} T_{0} = S_{0}. □

On utilisera dans la suite le fait qu’il existe des entiers m_{0} et m_{1} tels que

P ≃ (Q_{0} ⊗_{k} P_{1})^{m_{0}} ⊕ (Q_{1} ⊗_{k} P_{1})^{m_{1}}.  (3.15)

On a la propriété suivante :

Propriété 3.6.3. Le B-module V ⊗_{A} S_{1} ne contient pas de sous-quotient isomorphe à T_{0}.

Démonstration : On a Hom_{B}(V ⊗_{A} S_{1}, T_{0}) ≃ Hom_{A}(S_{1}, V^{∨} ⊗_{B} T_{0}) = 0, donc la tête de V ⊗_{A} S_{1} est une puissance de T_{1}. De la même façon, son socle est également une puissance de T_{1}. Montrons que V ⊗_{A} S_{1} ne peut contenir T_{0} comme sous-quotient.

Comme S_{1} est simple non projectif, V ⊗_{A} S_{1} est indécomposable non projectif, toujours d’après [Li3, théorème 2.1 (ii)]. Il est de longueur de Lœwy 3 au maximum, car la longueur de Lœwy de B est 4 d’après l’annexe B.7. Ainsi s’il contient T_{0} comme sous-quotient, alors un de ses quotients est une extension indécomposable de T_{1} par T_{0}. Appelons W ce quotient. L’enveloppe projective de W est Q_{1}, donc W est un quotient de Q_{1}, ce que l’on schématise comme ceci :

[figure: T_{1}; T_{0}; T_{1}; T_{1}; T_{0}; T_{1}; T_{0}.]

Comme W est également un quotient de V ⊗_{A} S_{1}, la surjection Q_{1} → → W se remonte en une application f : Q_{1} → V ⊗_{A} S_{1}. Celle-ci est telle que ker f ⊂ Ω(W) (en désignant par Ω le foncteur de Heller, c’est-à-dire que Ω(W) est le noyau de l’application Q_{1} → → W). On a donc une surjection Q_{1}/ ker f → → W.

L’injection Q_{1}/ ker f ↪ V ⊗_{A} S_{1} se restreint en une injection

soc(Q_{1}/ ker f) ↪ soc(V ⊗_{A} S_{1}).

Ainsi le socle de (Q_{1}/ ker f) est isomorphe à une puissance de T_{1}. On en déduit que (Q_{1}/ ker f) peut être isomorphe soit à T_{1}, soit à une extension indécomposable de T_{1} par lui-même, soit à Q_{1}. Or on a une surjection (Q_{1}/ ker f) → → W, donc (Q_{1}/ ker f) doit avoir un sous-quotient isomorphe à T_{0}, et (Q_{1}/ ker f) ≅ Q_{1}. Mais ceci implique que Q_{1} est un sous-module de V ⊗_{A} S_{1}, et comme B est une algèbre auto-injective, Q_{1} est facteur direct de V ⊗_{A} S_{1}, ce qui est impossible car V ⊗_{A} S_{1} est indécomposable non projectif. La propriété est donc démontrée. □

Notons R(A), R(B), R^{p}(A) et R^{p}(B) les groupes de Grothendieck des catégories respectives A-mod, B-mod, A-proj et B-proj, et considérons le diagramme commutatif suivant :

\xymatrix{R(B) \ar[r]^{I=Ind_{B}^{A}} & R(A) \ar[r]^{R=Res_{B}^{A}} & R(B) \\ R^{p}(B) \ar[r]_{I^{p}=Ind_{B}^{A}} \ar[u]^{c_{B}} & R^{p}(A) \ar[r]_{R^{p}=Res_{B}^{A}} \ar[u]^{c_{A}} & R^{p}(B) \ar[u]_{c_{B}}}  (3.16)

où c_{A} et c_{B} désignent les morphismes de Cartan.

On exprimera ces applications dans les bases usuelles des groupes de Grothendieck, c’est-à-dire que l’on prendra les caractères modulaires irréductibles {α_{0}, α_{1}} pour base de R(A), les caractères modulaires irréductibles {β_{0}, β_{1}} pour base de R(B), et les caractères modulaires des enveloppes projectives des modules simples pour base de R^{p}(A) et R^{p}(B). Ainsi dans ces

bases la matrice de c_{B} est (\begin{matrix}4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix}) d’après l’annexe B.6 page 206, et la matrice de c_{A} est, d’après B.1 et B.2 pages 196 et 197 :

(\begin{matrix}8 & 4 \\ 4 & 3 \end{matrix}) si q ≡ 5 (mod 8) et (\begin{matrix}4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix}) si q ≡ 5 (mod 8).

On appelle ω_{0} et ω_{1} les entiers naturels tels que

Res_{B}^{A}β_{1} = ω_{0}α_{0} + ω_{1}α_{1}.  (3.17)

L’expression de ω_{0} et ω_{1} dépend de la congruence de q modulo 24, mais dans tous les cas on a ω_{0} + 2ω_{1} = q − 1, ce qui est obtenu en appliquant 3.17 à l’élément unité de \overline{H}.

La matrice de R est alors ω = (\begin{matrix}1 & ω_{0} \\ 0 & ω_{1} \end{matrix} ), par adjonction celle de I^{p} est ^{t}ω,

et donc celle de I est c_{A}^{t}ωc_{B}^{−1}.

On sait que V^{∨} ⊗_{B} T_{0} ≃ S_{0}, donc en utilisant 3.15 on obtient _{A}A⊗_{B} T_{0} = S_{0} ⊕ P_{1}^{m_{0}}, donc

(c_{A}^{t}ωc_{B}^{−1} − 1) ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) = m_{0} ( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} ) ,

puis m_{0} = \frac{1}{8}(3ω_{0} − 2ω_{1}) − (0 1) c_{A}^{−1} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) .

D’après 3.6.3 le caractère modulaire de V ⊗_{A} S_{1} est de la forme λβ_{1} où λ est un entier naturel, donc comme

BA ⊗_{A} S_{1} = V ⊗_{A} S_{1} ⊕ Q_{0}^{m_{0}} ⊕ Q_{1}^{m_{1}}

alors

( \begin{matrix}ω_{0} \\ ω_{1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ λ \end{matrix} ) + m_{0} ( \begin{matrix}4 \\ 2 \end{matrix} ) + m_{1} ( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} ) .

en projetant sur la première coordonnée on montre que

m_{1} = \frac{1}{2}ω_{0} − 2m_{0},

puis en projetant sur la deuxième coordonnée on obtient

λ = ω_{1} − (2m_{0} + 3m_{1}) = ω_{1} − \frac{3}{2}ω_{0} + 4m_{0} = −4(0 1)c_{A}^{−1} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) ,

comme det C_{A} = 8, ceci montre que

λ = \frac{1}{2} dim_{k} Hom_{A}(P_{0}, P_{1}).

Ainsi λ = 1 si q ≡ 3 (mod 8) et λ = 2 si q ≡ 5 (mod 8). Comme on sait que le B-module V ⊗_{A} S_{1} est indécomposable, on en déduit que si q ≡ 3 (mod 8) alors V ⊗_{A} S_{1} ≃ T_{1}, et si q ≡ 5 (mod 8) alors V ⊗_{A} S_{1} est une extension indécomposable de T_{1} par lui-même.

On traite maintenant les deux situations séparément.

Cas q ≡ 3 (mod 8)

Dans ce cas le bimodule _{B}V_{A} réalise plus qu’une équivalence stable :

Propriété 3.6.4. Le (B, A)-bimodule V réalise une équivalence de Morita entre A et B.

Démonstration : On applique [Li2, théorème 2.1 (iii)] : le bimodule V réalise une équivalence stable entre A et B et pour tout A-module simple S le B-module V ⊗_{A} S est simple, donc la propriété est vraie. □

Remarque 3.6.5. De plus, le bimodule V est un 2-module de permutation, car il est facteur direct de _{B}A_{A}, lui-même facteur direct de _{k\overline{H}}k\overline{G}_{k\overline{G}}, et ce dernier module est isomorphe à Ind_{Δ\overline{H}}^{\overline{H}×\overline{G}^{op}}k, donc V est de source triviale (cf lemme 3.2.10) et de vortex diagonal.

En conséquence, l’équivalence de Morita induite par V est splendide.

Cas q ≡ 5 (mod 8)

Dans ce cas, le bimodule _{B}V_{A} ne réalise pas une équivalence de Morita, car V ⊗_{A} S_{1} n’est pas simple. Nous allons construire un complexe de (B, A)- bimodules réalisant une équivalence entre les catégories homotopiques de A et de B.

L’application R(A) → R(B) induite par le bimodule V a pour matrice

(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}), on a donc le diagramme suivant :

\xymatrix{R(B) \ar[r]_{_{A}V^{∨}⊗_{B}−}^{^{(\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 2 \end{matrix})}} & R(A) \ar[r]_{_{B}V ⊗_{A}−}^{^{(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix})}} & R(B) \\ R^{p}(B) \ar[r]^{_{B}V ⊗_{A}−}_{_{(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix})}} \ar[u]_{c_{B}}^{_{(\begin{matrix}4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix})}} & R^{p}(A) \ar[r]^{_{A}V^{∨}⊗_{B}−}_{_{(\begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix})}} \ar[u]^{c_{A}}_{_{(\begin{matrix}8 & 4 \\ 4 & 3 \end{matrix})}} & R^{p}(B) \ar[u]^{c_{B}}_{_{(\begin{matrix}4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix})}}}  (3.18)

L’image du A-module simple non trivial S_{1} est une extension non triviale du B-module simple non trivial T_{1} par lui-même. Son enveloppe projective est Q_{1}. En appliquant le lemme [Ro2, 10.2.12], on obtient que l’enveloppe projective du (B, A)-bimodule V est

(Q_{0} ⊗_{k} P_{0}^{∨}) ⊕ (Q_{1} ⊗_{k} P_{1}^{∨}) ⟶^{(d_{0} d_{1})} V.

Soit V̂ le complexe de (B, A)-bimodules concentré en degrés −1 et 0 suivant :

0 ⟶ Q_{1} ⊗_{k} P_{1}^{∨} ⟶^{d_{1}} V ⟶ 0.

Propriété 3.6.6. Le complexe V̂ réalise une équivalence entre les catégories H^{b}(A) et H^{b}(B).

Démonstration : On sait que les composantes de V̂ sont à composantes projectives en tant que A-modules à droite et en tant que B-modules à gauche, donc d’après le corollaire 3.2.23 il suffit de montrer que

V̂ ⊗_{A} V̂^{∨} ≃ B dans H^{b}(B ⊗_{k} B^{op}).

Pour i = 0, 1, on note R_{i} le (B, A)-bimodule Q_{i} ⊗_{k} P_{i}^{∨}. Alors V̂ ⊗_{A} V̂^{∨} est le complexe de (B, B)-bimodules (centré en degré 0) suivant :

\xymatrix{0 \ar[r] & R_{1} ⊗_{A} V^{∨} \ar[r] & (V ⊗_{A} V^{∨}) ⊕ (R_{1} ⊗_{A} R_{1}^{∨}) \ar[r] & V ⊗_{A} R_{1}^{∨} \ar[r] & 0}

où les flèches sont définies par

( \begin{matrix}d_{1} ⊗ 1 \\ 1 ⊗ d_{1}^{∨} \end{matrix} ) et ( 1 ⊗ d_{1}^{∨} −d_{1} ⊗ 1 ).

En appliquant le foncteur −⊗_{A} R_{1}^{∨} à la surjection (d_{0} d_{1}) : R_{0} ⊕R_{1} → → V on obtient une surjection

d : (R_{0} ⊗_{A} R_{1}^{∨}) ⊕ (R_{1} ⊗_{A} R_{1}^{∨}) → V ⊗_{A} R_{1}^{∨}.

Comme R_{1}^{∨} est un (A, B)-bimodule projectif, alors tous les modules sont projectifs en tant que (B, B)-bimodules, donc d est une surjection scindée.

D’après le diagramme 3.18, on a V ⊗_{A} P_{1} ≃ Q_{1}^{2}, donc V ⊗_{A} R_{1}^{∨} ≃

(Q_{1} ⊗_{k} Q_{1}^{∨})^{2}. Comme c_{A} a pour matrice (\begin{matrix}8 & 4 \\ 4 & 3 \end{matrix}), on a

P_{1}^{∨} ⊗_{A} P_{1} ≃ k^{3} et P_{0}^{∨} ⊗_{A} P_{1} ≃ k^{4},
puis R_{1} ⊗_{A} R_{1}^{∨} ≃ (Q_{1} ⊗_{k} Q_{1}^{∨})^{3} et R_{0} ⊗_{A} R_{1}^{∨} ≃ (Q_{0} ⊗_{k} Q_{1}^{∨})^{4}.

Ainsi la restriction de d à R_{1} ⊗_{A} R_{1}^{∨} est toujours une surjection scindée.

Par dualité le morphisme 1⊗d_{1}^{∨} : R_{1}⊗_{A}V^{∨} → R_{1}⊗_{A}R_{1}^{∨} est une injection scindée.

Comme_{B}V_{A} réalise une équivalence stable on sait que le (B, B)-bimodule BV ⊗_{A}V_{B}^{∨} est isomorphe à la somme directe de B et d’un bimodule projectif. Comme l’application R(B) → R(B) induite par le foncteur _{B}V ⊗_{A} V^{∨} ⊗_{B} −

a pour matrice (\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix}) alors on a

BV ⊗_{A} V_{B}^{∨} ≃ B ⊕ (Q_{1} ⊗_{k} Q_{1}^{∨}).

En conséquence le complexe V̂ ⊗_{A} V̂^{∨} est isomorphe au complexe

0 → (Q_{1} ⊗_{k} Q_{1}^{∨})^{2} ⟶^{δ} B ⊕ (Q_{1} ⊗_{k} Q_{1}^{∨})^{4} ⟶^{δ^{∨}} (Q_{1} ⊗_{k} Q_{1}^{∨})^{2} → 0

où δ est une injection scindée, δ^{∨} est une surjection scindée. Ainsi par le théorème de Krüll-Schmidt ce complexe de (B, B)-bimodules est homotopiquement équivalent à B. □

Remarque 3.6.7. Le bimodule R_{1} est de 2-permutation car il est projectif, et on a vu que c’est aussi le cas du bimodule V (remarque 3.6.5). Ainsi l’équivalence induite par le complexe V̂ est splendide.

Nous savons grâce à la propriété 1.4.5 que le sous-groupe H ne dépend pas de q, nous avons donc le corollaire suivant des propriétés 3.6.4 et 3.6.6 :

Corollaire 3.6.8. Soit q et q′ deux puissances de nombres premiers, toutes deux congrues à ±3 modulo 8. Alors il existe une équivalence splendide entre les blocs principaux de kPGL_{2}(q) et de kPGL_{2}(q′).

On peut ajouter que si q et q′ sont tous les deux congrus à 3 modulo 8 alors cette équivalence est une équivalence de Morita.

3.6.3 Relèvement à GL_{2}

Nous allons maintenant montrer que les équivalences splendides obtenues entre les blocs principaux de kPGL_{2}(q) et k\overline{H} se relèvent en des équivalences splendides entre les blocs principaux de kGL_{2}(q) et kH. On va pour cela relever les objets V et V̂, en utilisant les notions d’inflation et de déflation (cf section 3.2.3).

Pour un groupe fini quelconque G, si Z_{ℓ′} désigne le ℓ′-centre de G alors les ℓ-blocs principaux de kG et de kG/Z_{ℓ′} sont canoniquement isomorphes. On veut montrer que les 2-blocs principaux de kGL_{2}(q) et de kN_{GL_{2}(q)}(P′) sont équivalents, où P′ est un 2-sous-groupe de Sylow de SL_{2}(q), donc on pose

G = GL_{2}(q)/Z_{2′}(GL_{2}(q)) et H = N_{GL_{2}(q)}(P′)/Z_{2′}(GL_{2}(q))

et il suffit de montrer que les blocs principaux de kG et de kH sont équivalents.

Soit Z le centre de G et de H, donc l’image du 2-centre de GL_{2}(q). On a G/Z = PGL_{2}(q) et H/Z = N_{GL_{2}(q)}(P′)/Z(GL_{2}(q)). On note \overline{X} l’image par l’application kG → → kG/Z d’un élément ou d’un sous-ensemble X de kG. Si K est un sous-groupe de H, on note toujours ΔK le sous-groupe de G×H^{op} contenant les couples (x, x^{−1}) où x ∈ K.

On considère les surjections

\xymatrix{G × H^{op} \ar@{->>}[r]^{π_{1}} & (G × H^{op})/ΔZ \ar@{->>}[r]^{π_{2}} & \overline{G} × \overline{H}^{op},}

puis on définit Inf_{1} = Inf_{G×H^{op}/ΔZ}^{G×H^{op}}, et de la même façon Def_{1}, Inf_{2} et Def_{2}.

Soit A et B les blocs principaux de kG et kH, les blocs principaux de k\overline{G} et k\overline{H} sont alors \overline{A} et \overline{B}.

On considère A comme un k[G × H^{op}/ΔZ]-module. On a Def_{2}(A) = \overline{A}. On applique le lemme [Ro2, 10.2.9] : en considérant le groupe G × H^{op}/ΔZ et son 2-sous-groupe distingué \overline{Z × 1} = \overline{1 × Z}, on obtient qu’il existe un (A ⊗_{k} B^{op})/ΔZ-bimodule Ṽ tel que _{A}A_{B} ≃ Ṽ ⊕ P où P est un bimodule projectif, et Def_{2}(Ṽ) = V^{∨}. Comme V est indécomposable, alors Ṽ l’est aussi.

Pour i = 0, 1, soit R̃_{i} le k[G × H^{op}/ΔZ]-module projectif dont la déflation à \overline{G}×\overline{H}^{op} est le module P_{i} ⊗_{k} Q_{i}^{∨}, en utilisant les notations de la section précédente. Toujours grâce au lemme [Ro2, 10.2.9], on a une enveloppe projective d̃: R̃_{0} ⊕ R̃_{1} → → Ṽ. On appelle d̃_{1} sa restriction à R̃_{1}.

On définit le complexe de (A, B)-bimodules C de la façon suivante :

• si q ≡ 3 (mod 8), alors C est le bimodule Inf_{1}(Ṽ), vu comme complexe concentré en degré 0 ;

• si q ≡ 5 (mod 8), alors C est le complexe Inf_{1}(R̃_{1} ⟶^{d̃_{1}} Ṽ), où Ṽ est placé

en degré 0. Dans les deux cas, Def_{2} ∘ Def_{1}(C) est le complexe réalisant l’équivalence

de la section précédente (et le foncteur Def_{2} ∘ Def_{1} est bien le foncteur C ↦ \overline{A} ⊗_{A} C ⊗_{B} \overline{B}). On a alors le théorème suivant :

Théorème 3.6.9. Le complexe de (A, B)-bimodules C réalise une équivalence splendide entre les blocs A et B. Si q ≡ 3 (mod 8), alors cette équivalence est une équivalence de Morita.

Démonstration : On va utiliser le lemme [Ro2, 10.2.11]. Il faut pour cela montrer que toute composante indécomposable de C est de source triviale et de vortex Q satisfaisant les conditions :

\begin{aligned}& Q ∩ (1 × H^{op}) = Q ∩ (G × 1) = 1 \\ et & Z × Z^{op} ⊆ (Z × 1)Q = (1 × Z^{op})Q. \end{aligned}  (3.19)

On sait que le k[G × H^{op}/ΔZ]-module Ṽ est facteur direct de kG, or

kG = Ind_{ΔH/ΔZ}^{G×H^{op}/ΔZ}k,

donc Ṽ est de source triviale par le lemme 3.2.10, et il a un vortex de la forme ΔQ/ΔZ où Q est un sous-groupe tel que Z ⊂ Q ⊂ H. Par la partie 2 de la propriété 3.2.12, le module Inf_{1}Ṽ est donc de source triviale, et son vortex est ΔQ, lequel vérifie bien les conditions 3.19.

Le k[G×H^{op}/ΔZ]-module R̃_{1} est projectif indécomposable, donc facteur direct de Ind_{1}^{G×H^{op}/ΔZ}k. Il est ainsi de source triviale et de vortex 1, et toujours par la partie 2 de la propriété 3.2.12, le module Inf_{1}R_{1} est de source triviale et de vortex ΔZ, lequel vérifie les conditions 3.19.

Finalement, par application du lemme [Ro2, 10.2.11], le complexe de (A, B)-bimodules C réalise bien une équivalence splendide entre A et B. Si q ≡ 3 (mod 8), alors cette équivalence est une équivalence de Morita car C est concentré en degré 0. □

Nous pouvons déduire de ce théorème une propriété de “généricité”, car le bloc principal de H = N_{G}(P′) ne dépend pas de q, mais juste de sa congruence modulo 8. En effet, le 2′-centre de H est le sous-groupe de G contenant les matrices centrales d’ordre premier avec 2, donc il est d’ordre u (en rappelant que q − 1 = 2^{a}u où u est impair) Le groupe H/Z_{2′}(H) est donc une extension centrale de 𝔖_{4} par un groupe cyclique d’ordre 2^{a}. Nous avons donc le corollaire suivant :

Corollaire 3.6.10. Soit q et q′ deux puissances de nombres premiers.

1. Si q et q′ sont tous deux congrus à 3 modulo 8, alors il existe une équivalence de Morita entre les blocs principaux de kGL_{2}(q) et de kGL_{2}(q′).

2. Si q et q′ sont tous deux congrus à 5 modulo 8, alors il existe une équivalence splendide entre les blocs principaux de kGL_{2}(q) et de kGL_{2}(q′).

130  Chapitre 3 : Equivalences splendides

Blocs et A_{∞}-algèbres

Nous donnons dans ce chapitre la description de certains blocs principaux en terme de A_{∞}-algèbres. Pour certains blocs B, nous construisons une A_{∞}- algèbre A telle que les catégories dérivées DB et D_{∞}A soient équivalentes.

Nous nous intéressons aux 2-blocs principaux de PSL_{2}(q), PGL_{2}(q) et GL_{2}(q) où q est impair. Pour chacun de ces groupes, nous avons obtenu dans le chapitre précédent deux complexes Λ_{e} et Λ_{s}, les complexes de Deligne-Lusztig. Nous avons étudié leurs algèbres d’endomorphismes dans la catégorie homotopique. En caractéristique ℓ différente de 2 divisant q − 1 ou q + 1, nous avons obtenu des équivalences splendides entre le ℓ-bloc principal B_{ℓ} de GL_{2}(q) et l’algèbre d’endomorphismes de l’un de ces deux complexes. Nous avons montré que

D^{b}B_{ℓ} ≃ \{ \begin{matrix}D^{b}(End_{B_{ℓ}}(X_{e})) & si ℓ divise q − 1 \\ D^{b}(End_{H^{b}B_{ℓ}}(X_{s})) & si ℓ divise q + 1 \end{matrix}

où X_{e} et X_{s} désigne la partie des complexes Λ_{e} et Λ_{s} appartenant au bloc B_{ℓ}.

Pour le bloc principal B de GL_{2}(q) en caractéristique 2, nous sommes aménés à considérer l’algèbre d’endomorphismes de la somme directe X = X_{e} ⊕ X_{s} de ces deux complexes, car ni X_{e} ni X_{s} n’engendre la catégorie DB, alors que X l’engendre bien. Mais X ne vérifie plus la propriété de disjonction : il existe dans la catégorie homotopique des morphismes non nuls de X vers un décalé strict de lui-même. En utilisant la théorie des A_{∞}- algèbres, nous montrons qu’il existe une équivalence dérivée entre le bloc B et une A_{∞}-algèbre minimale (i.e., à différentielle nulle) dont l’algèbre graduée sous-jacente est

A = ⨁_{n∈ℤ} Hom_{HB}(X, X[n])

et la structure A_{∞} supplémentaire (m_{3}, m_{4}, …) sera décrite ultérieurement.

132  Chapitre 4 : Blocs et A_{∞}-algèbres

Il est à noter que cette structure supplémentaire n’est pas canonique, elle dépend du choix d’un scindage de l’algèbre différentielle graduée End_{B}(X).

Pour les blocs principaux en caractéristique 2 de PSL_{2}(q) et de PGL_{2}(q) où q est congru à ±3 modulo 8, nous explicitons totalement la structure des A_{∞}-algèbres que nous leur associons. Ceci est possible grâce aux équivalences splendides obtenues au chapitre précédent (théorème 3.6.9). Nous montrons que l’on peut obtenir en fait des A_{3}-algèbres, i.e., des A_{∞}-algèbres telles que m_{n} = 0 pour tout n ≥ 4.

Nous étendons ensuite ce résultat sur PGL_{2}(q) au cas où l’on n’impose pas de condition sur q : nous montrons que dans le cas du bloc principal en caractéristique 2 de PGL_{2}(q) où q est une puissance d’un nombre premier impair quelconque, alors un certain choix de scindage de la différentielle de End_{B}(X) permet d’obtenir une A_{∞}-algèbre qui est une A_{3} -algèbre. Nous utilisons pour cela les travaux de K. Erdmann et T. Holm. Ils ont classifié tous les blocs de défaut diédral, respectivement à équivalence de Morita près et à équivalence dérivée près. Ces blocs sont décrits en termes de carquois munis de relations, ce qui permet de faire des calculs explicites.

Notation : on continue d’utiliser des modules à gauche, donc les morphismes agissent à droite. Ainsi on note dorénavant xf au lieu de l’habituel f(x), et gf au lieu de f ∘ g, et les éléments des sommes directes sont notés par des vecteurs-lignes.

On note par des parenthèses le décalage en degré, et par des crochets le décalage des complexes.

4.1 A_{∞}-algèbres

Nous allons d’abord rappeler les principales définitions liées aux A_{∞}- algèbres, puis nous citerons l’énoncé des théorèmes que nous utiliserons. Nous renvoyons à l’article de B. Keller [Ke6] pour plus de détails et pour les motivations de la théorie. La thèse de K. Lefèvre [Le] contient une démonstration de chacun des théorèmes concernant les A_{∞}-algèbres cités.

4.1.1 Définitions

On suppose dans toute cette section que k est un corps. Le signe ⊗ désigne le produit tensoriel sur k.

Définition 4.1.1 (Stasheff, 1963). Une A_{∞}-algèbre (ou algèbre fortement homotopique) est un k-espace vectoriel ℤ-gradué A muni d’applications

m_{n} : A^{⊗n} → A (n > 0)

4.1 : A_{∞}-algèbres  133

k-linéaires homogènes de degré 2 − n, vérifiant pour tout n

∑_{{r+s+t=n \atop u=r+1+t}}(−1)^{r+st} m_{u}(1^{⊗r} ⊗ m_{s} ⊗ 1^{⊗t}) = 0.

On a donc en particulier :

• m_{1}^{2} = 0,

• m_{1}m_{2} = m_{2}(m_{1} ⊗ 1 + 1 ⊗ m_{1}),

• m_{2}(1⊗m_{2} −m_{2} ⊗1) = m_{1}m_{3} +m_{3}(m_{1} ⊗1⊗1+1⊗m_{1} ⊗1+1⊗1⊗m_{1}).

Notons que l’on applique ces égalités à des éléments en respectant la règle de signes de Koszul, cf [Ke6, 3.1] : si f et g sont deux applications et x et y deux éléments, avec g homogène de degré i et x homogène de degré j alors

(f ⊗ g)(x ⊗ y) = (−1)^{ij}f(x) ⊗ g(y).

L’application m_{1} est appelée différentielle de A, et l’application m_{2} est appelée multiplication. Elle est donc “associative à homotopie près”, et cette homotopie est l’application m_{3} :

\xymatrix{⋯ \ar[r] & (A^{⊗3})^{i} \ar[r]^{d_{(A^{⊗3})}^{i}} \ar[d]_{m_{2}(1⊗m_{2}−m_{2}⊗1)} & (A^{⊗3})^{i+1} \ar[dl]_{m_{3}} \ar[d]^{m_{2}(1⊗m_{2}−m_{2}⊗1)} \ar[r] & ⋯ \\ ⋯ \ar[r] & A^{i} \ar[r]_{m_{1}} & A^{i+1} \ar[r] & ⋯}

Si m_{n} = 0 pour tout n ≥ 3 alors A est une DG-algèbre. Si m_{1} = 0, alors A est une algèbre graduée munie d’une structure supplémentaire (m_{3}, m_{4}, …). On dit qu’une telle A_{∞}-algèbre est minimale.

Pour un entier k, on appellera A_{k}-algèbre une A_{∞}-algèbre telle que les applications m_{n} soient nulles pour tout n > k.

Définition 4.1.2. Soit A et B deux A_{∞}-algèbres. Un morphisme de A_{∞}- algèbres entre A et B est une famille d’applications k-linéaires

f_{n} : A^{⊗n} → B (n > 0)

k-linéaires homogènes de degré 1 − n, vérifiant pour tout n

∑_{{r+s+t=n \atop u=r+1+t}}(−1)^{r+st} f_{u}(1^{⊗r} ⊗ m_{s} ⊗ 1^{⊗t}) = ∑_{{k=1···n \atop i=1+···+i_{k}=n}} (−1)^{σ} m_{k}(f_{i_{1}} ⊗ ⋯ f_{i_{k}})

où σ = (k − 1)(i_{1} − 1) + (k − 2)(i_{2} − 1) + ⋯ + (i_{k−1} − 1).

On a donc :

• f_{1}m_{1} = m_{1}f_{1},

• f_{1}m_{2} − m_{2}(f_{1} ⊗ f_{1}) = m_{1}f_{2} + f_{2}(m_{1} ⊗ 1 + 1 ⊗ m_{1}).

ce qui exprime que f_{1} est un morphisme de complexes et qu’il est “multiplicatif à homotopie près”, cette homotopie étant l’application f_{2}.

Définition 4.1.3. Soit A une A_{∞}-algèbre. Un A_{∞}-module sur A est un k-espace vectoriel gradué M muni d’applications

m_{n}^{M} : A^{⊗n−1} ⊗ M → M (n > 0)

homogènes de degré 2 − n, vérifiant

∑_{{r+s+t=n \atop u=r+1+t}}(−1)^{r+st} m_{u}^{M}(1^{⊗r} ⊗ m_{s}^{∗} ⊗ 1^{⊗t}) = 0

où ∗ = M si t = 0, et A si t > 0.

On définit ensuite les morphismes de A_{∞}-modules de façon similaire à la définition des morphismes de A_{∞}-algèbres. Si A est une A_{∞}-algèbre, on note C_{∞}A la catégorie des A_{∞}-modules sur A.

On a ensuite une notion d’homotopie entre morphismes de A_{∞}-modules, qui est une relation d’équivalence. Une propriété importante des A_{∞}-objets est que tout quasi-isomorphisme entre A_{∞}-algèbres ou A_{∞}-modules est inversible modulo homotopie. Ce théorème est dû à A. Prouté pour les A_{∞}-algèbres dans une version affaiblie, il figure en toute généralité dans [Le].

En conséquence, il n’y a pas lieu d’inverser formellement les quasi-iso-morphismes pour passer de la catégorie homotopique à la catégorie dérivée de A. On note donc D_{∞}A la catégorie homotopique des A_{∞}-modules sur A, c’est-à-dire la catégorie dont les objets sont les A_{∞}-modules sur A et les morphismes sont les A_{∞}-morphismes entre modules modulo homotopie.

Nous supposons de plus que toutes les A_{∞}-algèbres que nous considérons sont strictement unitaires, i.e., qu’elles contiennent une unité stricte 1, donc un élément homogène de dégré 0 tel que

• m_{2}(1 ⊗ a) = m_{2}(a ⊗ 1) = a pour tout élément a,

• pour tout n ≠ 2, m_{n}(a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) = 0 s’il existe i tel que a_{i} = 1.

Les catégories de A_{∞}-modules considérées sont supposées ne contenir que les A_{∞}-modules strictement unitaires, et leurs morphismes sont supposés être strictement unitaires. On renvoie au chapitre 3 de [Le] pour toute précision sur ces notions.

4.1.2 Théorèmes

On suppose que toutes les DG-algèbres et A_{∞}-algèbres sont des algèbres sur le corps k.

Le théorème suivant est un cas particulier du théorème [Ke1, 8.2], voir aussi l’introduction de cet article.

Théorème 4.1.4. Soit A une algèbre, X un complexe de A-modules, et E la DG-algèbre End_{A}(X). On suppose que X est parfait et qu’il engendre DA. Alors le foncteur Hom_{A}(X, −) : DA ⟶^{∼} DE est une équivalence triangulée.

Si A est une DG-algèbre alors c’est une A_{∞}-algèbre particulière. Nous avons le théorème suivant ([Ke5, 7.4]) :

Théorème 4.1.5. Supposons que A soit une DG-algèbre. Alors le foncteur canonique d’inclusion DA → D_{∞}A est une équivalence de catégories triangulées.

Le théorème suivant [Ke6, 3.3] est une généralisation d’un théorème dû à T. V. Kadeishvili :

Théorème 4.1.6. Soit A une A_{∞}-algèbre. Il existe une structure de A_{∞}- algèbre (m_{1}, m_{2}, …) sur H^{∗}A et un morphisme f : H^{∗}A ⟶ A de A_{∞}- algèbres tels que

• m_{1} = 0 et m_{2} est induit par la multiplication de A,

• f_{1} induit l’identité sur H^{∗}A.

Cette structure est unique à isomorphisme de A_{∞}-algèbres près.

En conséquence, f est un quasi-isomorphisme de A_{∞}-algèbres. On appelle modèle minimal de A la A_{∞}-algèbre H^{∗}A ainsi obtenue.

Ajoutons qu’alors les catégories D_{∞}A et D_{∞}H^{∗}A sont équivalentes, en effet on a le théorème :

Théorème 4.1.7. [Ke6, 6.2] Soit A et B deux A_{∞}-algèbres, et f : A → B un morphisme de A_{∞}-algèbres. Alors le foncteur induit f^{∗} : D_{∞}B → D_{∞}A est une équivalence si et seulement si f est un quasi-isomorphisme.

Pour une algèbre graduée A, on note A-Grmod la catégorie des A-modules gradués. Les équivalences de catégories triangulées assurées par les théorèmes 4.1.4, 4.1.5 et 4.1.7 donnent le théorème suivant :

Théorème 4.1.8 (Keller). Soit A une algèbre associative ordinaire, et X un objet parfait et générateur de DA. Soit A l’algèbre graduée définie par

A = ⨁_{n∈ℤ} Hom_{DA}(X, X[n]).

Alors il existe une structure de A_{∞}-algèbre sur A et une équivalence

F : DA ⟶ D_{∞}A

tels que le diagramme suivant de foncteurs triangulés commute :

\xymatrix{DA \ar[rr]^{F}_{∼} \ar[dr]_{⊕_{n}Hom_{DA}(X, −[n])} &  & D_{∞}A \ar[dl]^{H^{∗}} \\  & A−Grmod.}

Le foncteur F est construit de la façon suivante : on pose E = End_{A}(X), on a alors A = H^{∗}E. On munit A de la structure A_{∞} fournie par le théorème 4.1.6, et on note f : A → E le quasi-isomorphisme également fourni par ce théorème. Le foncteur F est la composition

\xymatrix{DA \ar[r]^{Hom_{A}(X, −)} & DE \ar[r]^{incl.}_{can.} & D_{∞}E \ar[r]^{f^{∗}} & D_{∞}A,}

dont chaque composante est une équivalence en vertu des théorèmes cités ci-dessus. Le foncteur d’homologie H^{∗} : D_{∞}A ⟶ A−Grmod correspond à un foncteur d’oubli de la A_{∞}-structure supplémentaire.

4.1.3 Calcul du modèle minimal d’une DG-algèbre

Soit E une DG-algèbre, on note d sa différentielle, et m sa multiplication.

Il existe une structure (m_{n})_{n≥1} de A_{∞}-algèbre sur l’homologie H^{∗}E et un quasi-isomorphisme f : H^{∗}E → E de A_{∞}-algèbres satisfaisant les conditions du théorème 4.1.6. Nous allons donner une méthode de calcul des applications m_{n} et f_{n}.

On considère les suites exactes

\xymatrix{0 \ar[r] & Z^{∗}E \ar[r]^{i_{0}} & E \ar[r]^{p_{0}} & (B^{∗}E)(1) \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & B^{∗}E \ar[r]^{i_{1}} & Z^{∗}E \ar[r]^{p_{1}} & H^{∗}E \ar[r] & 0}

où p_{0} est donnée par la différentielle d de E, et i_{0}, i_{1} et p_{1} sont les injections et projections canoniques. On a ainsi d = p_{0}i_{1}i_{0} (on rappelle que conformément à nos notations, p_{0}i_{1}i_{0} = i_{0} ∘ i_{1} ∘ p_{0}). On choisit des sections k-linéaires de p_{0} et de p_{1}, on les note s_{0} et s_{1} respectivement. Elles déterminent de manière unique des rétractions r_{0} et r_{1} de i_{0} et i_{1}, telles que s_{0}r_{0} = 0 et s_{1}r_{1} = 0.

On pose alors f_{1} = s_{1}i_{0}, g_{1} = r_{0}p_{1} et s = r_{0}r_{1}s_{0}. On a ainsi obtenu un scindage k-linéaire de E, c’est-à-dire que l’on a les égalités

\begin{matrix}f_{1}g_{1} = Id_{H^{∗}E}  sds = s dsd = d \\ sd + g_{1}f_{1} + ds = Id_{E}. \end{matrix}  (4.1)

Il est rapide de montrer qu’il est équivalent de choisir

• une application f_{1} : H^{∗}E → E à valeurs dans Z^{∗}E qui est une section de la projection canonique Z^{∗}E → H^{∗}E,

• une application g_{1} : E → H^{∗}E dont la restriction à Z^{∗}E est la projection canonique,

• une application s : E → E(−1) dont la restriction à B^{∗}E est une section de la surjection E → B^{∗}E(1) induite par la différentielle de E,

en imposant les égalités sd + g_{1}f_{1} + ds = Id_{E} et sds = s.

Pour tout n ≥ 2, on définit par récurrence l’application linéaire φ_{n} : (H^{∗}E)^{⊗n} → E homogène de degré 2 − n, et les applications m_{n} et f_{n} par :

\begin{matrix}φ_{n} = m (∑_{i=1}^{n−1}(−1)^{i+1}f_{i} ⊗ f_{n−i}) \\ m_{n} = g_{1}φ_{n} & f_{n} = −sφ_{n}. \end{matrix}  (4.2)

On déduit alors du théorème [KS, 6.4, théorème 3] le théorème suivant :

Théorème 4.1.9. Les applications (m_{n})_{n≥2} donnent à H^{∗}E une structure de A_{∞}-algèbre, l’application f = (f_{n})_{n≥1} est un morphisme de A_{∞}-algèbres si H^{∗}E est muni de cette structure. Ces données satisfont les conditions du théorème 4.1.6.

Remarque 4.1.10. Le théorème de [KS] donne des formules permettant d’obtenir le modèle minimal de toute A_{∞}-algèbre. Par contre, il ne donne pas les signes. En suivant sa preuve on obtient que ce sont les signes donnés ci-dessus. Nous ne les utiliserons cependant pas, car dans tous les exemples que nous traiterons le corps de base sera de caractéristique 2.

4.1.4 Lien avec la cohomologie de Hochschild

Un A_{∞}-algèbre A peut être vue comme une algèbre graduée (A, m_{2}) munie d’une A_{∞}-structure (m_{3}, m_{4}, …). Dans la cas où les m_{n} sont nuls pour n ≥ 4, l’application m_{3} peut être interprétée en terme de cohomologie de Hochschild.

On renvoie au livre de C. A. Weibel [We, 9] pour une théorie générale de la cohomologie de Hochschild, nous en rappelons brièvement la définition.

Soit A une algèbre graduée.

Soit Ã le complexe défini par Ã^{n} = A^{⊗(2−n)} si n ≤ 0, Ã^{⊗n} = 0 si n > 0, et par la différentielle

d(a_{0} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) = ∑_{i=0...n−1}(−1)^{i}a_{0} ⊗ ⋯ ⊗ a_{i}a_{i+1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}.

Ce complexe est une résolution projective du (A, A)-bimodule A. Si M est un (A, A)-bimodule, la cohomologie de Hochschild HH^{∗}(A, M) de A à valeurs dans M est la cohomologie du complexe Hom_{A⊗A^{op}}(Ã, M). On note HZ^{∗}(A, M) l’espace des cocycles de Hochschild de A à valeurs dans M, donc le noyau de la différentielle de Hom_{A⊗A^{op}}(Ã, M).

On munit l’algèbre A d’une différentielle m_{1} nulle, on appelle m_{2} : A^{⊗2} → A sa multiplication. Soit m_{3} une application A^{⊗3} → A. Pour n ≥ 4 on pose m_{n} = 0. On note A_{m_{3}} l’algèbre A munie des applications m_{n} pour n ≥ 1.

On nomme M_{3} l’ensemble des applications linéaires m_{3} : A^{⊗3} → A qui font de A_{m_{3}} une A_{∞}-algèbre.

Soit m_{3} et m′_{3} deux éléments de M_{3}, et φ : A_{m_{3}} → A_{m′_{3}} un isomorphisme de A_{∞}-algèbres. Alors φ_{1} est un automorphisme de l’algèbre A. Si on pose ψ_{i} = φ_{1}^{−1} φ_{i} pour tout i ≥ 1, alors ψ : A_{m_{3}} → A_{m′′_{3}} est un isomorphisme de A_{∞}-algèbres, où m′′_{3} = φ_{1}^{−1} m′_{3}(φ_{1}^{⊗3}). Il vérifie ψ_{1} = 1_{A}.

Pour m_{3}, m′_{3} ∈ M_{3} on pose m_{3} ∼ m′_{3} s’il existe un isomorphisme de A_{∞}- algèbres φ : A_{m_{3}} ⟶^{∼} A_{m′_{3}} tel que φ_{1} = Id_{A}. C’est une relation d’équivalence, on note \overline{M}_{3} l’ensemble quotient de M_{3} par ∼.

Propriété 4.1.11. On a une injection canonique

c : M_{3} ↪ HZ^{3}(A, A(−1)),

qui se factorise en une application c̄: \overline{M}_{3} → HH^{3}(A, A(−1)).

Démonstration : Soit m_{3} ∈ M_{3}. Comme A_{m_{3}} est une A_{∞}-algèbre, alors m_{3} est une application k-linéaire A^{⊗3} → A de degré -1, donc l’application

\begin{matrix}m̃_{3} : & A^{⊗5} & ⟶ & A(−1) \\ a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{5} & ⟼ & a_{1} m_{3}(a_{2} ⊗ a_{3} ⊗ a_{4}) a_{5} \end{matrix}

est élément de Hom_{A⊗A^{op}}(A^{⊗5}, A(−1)). De plus on a

m_{2}(m_{3} ⊗ 1 + 1 ⊗ m_{3}) − m_{3}(m_{2} ⊗ 1 ⊗ 1 − 1 ⊗ m_{2} ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ m_{2}) = 0 ce qui montre que m̃_{3} est un cocycle. On a donc une application

\begin{aligned}c : & M_{3} & ⟶ & HZ^{3}(A, A(−1)) \\ & m_{3} & ⟼ & m̃_{3} \end{aligned}

qui est évidemment injective.

Supposons que m_{3} ∼ m′_{3}. Il existe alors une application k-linéaire φ_{2} : A^{⊗2} → A(−1) telle que

m_{3} + φ_{2}(m_{2} ⊗ 1 − 1 ⊗ m_{2}) = m′_{3} − m_{2}(φ_{2} ⊗ 1 − 1 ⊗ φ_{2}).

L’application

\begin{matrix}φ̃_{2} : & A^{⊗4} & ⟶ & A(−1) \\ a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{4} & ⟼ & a_{1} φ_{2}(a_{2} ⊗ a_{3}) a_{4} \end{matrix}

vérifie alors φ̃_{2} ∘ d = m̃_{3} − m̃′_{3}, donc m_{3} et m′_{3} s’envoient sur le même élément de HH^{3}(A, A(−1)), ce qui montre que l’injection c se factorise en une application c̄: \overline{M}_{3} → HH^{3}(A, A(−1)). □

L’application c n’est pas surjective en général, et l’application c̄ n’est pas injective en général. On peut juste assurer que :

– si HZ^{5}(A, A(−2)) = 0, alors c est surjective. En effet si m : A^{⊗3} → A(−1) est telle que m̃ ∈ HZ^{3}(A, A(−1)) alors l’élément

m(m ⊗ 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ m ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ m)

correspond à un élément de HZ^{5}(A, A(−2)). Il est donc nul et m donne une structure de A_{3}-algèbre à A.

– Si HZ^{6}(A, A(−2)) = 0 alors c̄ est injective. En effet, si m_{3} ∈ M_{3} est tel que le cocycle lui correspondant est un cobord, alors on obtient une application φ_{2} comme indiqué dans la démonstration ci-dessus. Il faut donc qu’il existe une famille (φ_{3}, φ_{4}, …) telle que l’application φ = (Id_{A}, φ_{2}, φ_{3}, …) soit un morphisme de A_{∞}-algèbres. Si HZ^{6}(A, A(−2)) = 0 alors on peut poser φ_{n} = 0 pour tout n ≥ 3. Si on sait juste que HH^{6}(A, A(−2)) = 0 alors on obtient une application φ_{3}, et les conditions assurant l’existence des φ_{n} suivants sont plus compliquées.

Remarque 4.1.12. Cette interprétation de m_{3} en terme de cohomologie de Hochschild ne se généralise pas aux m_{n} pour n supérieur à 3. Par contre, la cohomologie de Hochschild peut servir à montrer qu’une algèbre graduée B est intrinsèquement formelle c’est-à-dire que toute A_{∞}-algèbre dont l’homologie est isomorphe à B admet B pour modèle minimal, voir [ST, Théorème 4.7].

4.2 Etude préliminaire de la situation

On décrit ici la situation que l’on aura dans tous les cas que nous traiterons. Les notations que nous définissons seront utilisées dans tout le reste du chapitre.

Soit B une algèbre associative ordinaire, et X_{e}, X_{s} deux complexes de B-modules. On note E la DG-algèbre End_{B}(X_{e} ⊕ X_{s}), c’est donc une A_{∞}- algèbre particulière. On note d sa différentielle et m sa multiplication.

Le complexe sous-jacent à E se décompose en somme directe de quatre complexes A = End_{B}(X_{e}), A′ = End_{B}(X_{s}), B = Hom_{B}(X_{s}, X_{e}) et B′ = Hom_{B}(X_{e}, X_{s}).

On note A = H^{∗}E, et on appelle H, H′, K et K′ les homologies respectives de A, A′, B et B′.

4.2.1 Idempotents, annulation des m_{n}

L’unité stricte 1 de E est l’identité du complexe X_{e} ⊕ X_{s}, elle se décompose en deux idempotents orthogonaux 1_{e} et 1_{s}, respectivement l’identité de X_{e}, élément de A^{0}, et l’identité de X_{s}, élément de A^{′0}. On a

A = 1_{e}.E.1_{e}  A′ = 1_{s}.E.1_{s}  B = 1_{s}.E.1_{e}  B′ = 1_{e}.E.1_{s}.

On pose R = k^{2}, et on identifie R à k.1_{e}⊕k.1_{s}. Les composantes du complexe sous-jacent à E sont des (R, R)-bimodules, la différentielle d de E est (R, R)- bilinéaire. La multiplication m : E ⊗_{k} E → E sa factorise en une application E ⊗_{R} E → E qui est (R, R)-bilinéaire.

Par abus de notations, on note également 1, 1_{e} et 1_{s} les images de 1, 1_{e} et 1_{s} dans A. On a donc

H = 1_{e}.A.1_{e}  H′ = 1_{s}.A.1_{s}  K = 1_{s}.A.1_{e}  K′ = 1_{e}.A.1_{s},

et A est également un (R, R)-bimodule gradué, sa multiplication est compatible avec cette structure.

On sait grâce au théorème 4.1.6 qu’il existe une structure de A_{∞}-algèbre minimale sur A et un quasi-isomorphisme f : A → E de A_{∞}-algèbres, tels que la multiplication de A soit induite par celle de E, et f^{1} induise l’identité de A.

Une construction de cette A_{∞}-structure sur A et de ce quasi-isomorphisme f est donnée dans la section 4.1.3. Il est clair que les morphismes i_{0}, p_{0}, i_{1} et p_{1} sont (R, R)-bilinéaires. On peut choisir s_{0} et s_{1} également (R, R)- bilinéaires, et donc les applications f_{1}, g_{1} et s sont (R, R)-bilinéaires. Pour tout n ≥ 2 l’application φ_{n} : A ⊗_{k} ⋯ ⊗_{k} A → E se factorise donc en une application A ⊗_{R} ⋯ ⊗_{R} A → E que l’on note toujours φ_{n}. Par suite, il en est de même des applications m_{n} et f_{n}.

Remarque 4.2.1. Cette (R, R)-bilinéarité exprime exactement le fait que E est une DG-catégorie à deux objets e et s, et que son modèle minimal A obtenu par la méthode donnée dans la section 4.1.3 est une A_{∞}-catégorie à deux objets.

Soit a un élément de A. On dit que a est réduit s’il existe t, t′ ∈ {e, s} tel que a = 1_{t}.a1_{t′}. On dit que t est la source de a et que t′ est son but.

Soit (0, m_{2}, m_{3}, …) une structure de A_{∞}-algèbre sur A, compatible avec sa structure de (R, R)-bimodule. Soient a_{1}, … a_{n} des éléments réduits de A. Si m_{n}(a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n}) ≠ 0, alors le but de a_{i} est égal à la source de a_{i+1} pour tout i = 1 … n − 1. Ceci traduit le fait que le signe ⊗ désigne le produit tensoriel sur R.

La démonstration du lemme suivant m’a été indiquée par B. Keller :

Lemme 4.2.2. Supposons que l’on ait

• Hom_{H(B)}(X_{e}, X_{e}[i]) = Hom_{H(B)}(X_{s}, X_{s}[i]) = 0 pour tout i ≠ 0.

• Hom_{H(B)}(X_{e}, X_{s}[i]) = Hom_{H(B)}(X_{s}[i], X_{e}) = 0 pour tout i ≠ 0, 1. Soit (m_{1}, m_{2}, m_{3}, …) une structure de A_{∞}-algèbre sur A compatible avec la structure de (R, R)-bimodule, telle que m_{1} = 0 et m_{2} est induite par la multiplication de E. Alors on a m_{n} = 0 pour tout n ≥ 6.

Démonstration : On note m_{2} la multiplication de A induite par celle de E, et on se donne des applications (R, R)-bilinéaires m_{3}, m_{4}, … telles que la famille (0, m_{2}, m_{3}, …) définisse une structure de A_{∞}-algèbre sur A, compatible avec la structure de (R, R)-bimodule.

Les hypothèses nous disent que

• H et H′, les homologies de A et A′, sont concentrées en degré 0,

• K, l’homologie de B, est concentrée en degrés −1 et 0,

• K′, l’homologie de B′, est concentrée en degrés 0 et 1.

Soit n un entier strictement positif, a_{1}, … a_{n} des éléments réduits de A. On note t_{i} et t′_{i} respectivement la source et le but de a_{i}.

On suppose que m_{n}(a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n}) ≠ 0. Alors on a t′_{i} = t_{i+1} pour tout i = 1, … n − 1. Le degré maximal d’un élément a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n} est [\frac{n+1}{2}] (où [x] désigne le plus petit entier inférieur ou égal à x), et il est possible d’avoir un élément d’un tel degré en posant

• si n est impair, t_{i} = e pour i impair et t_{i} = s pour i pair (ou l’inverse), • si n est pair, t_{i} = e pour i impair et t_{i} = s pour i pair différent de n, ou

bien t_{i} = e pour i pair et t_{i} = s pour i impair différent de 1.

On peut schématiser ce raisonnement en considérant A comme une A_{∞}- catégorie à deux objets : les numéros accolés aux flèches donnent les degrés qu’elles peuvent avoir :

[figure: e; 0; 0, 1; s; 0; 0, −1] .

En conséquence, m_{n}(a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n}) est de degré maximal

[\frac{n + 1}{2}] + (2 − n) = 2 − [\frac{n}{2}] ,

or comme on le suppose non nul, son degré est supérieur ou égal à −1. Ceci montre que n ≤ 7.

Si n = 6 ou 7, alors m_{n}(a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n}) est obligatoirement de degré −1, et a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n} est de degré 3 si n = 6 et 4 si n = 7. Mais ceci impose que t_{1} = e ou t_{n} = s, alors que le fait que m_{n}(a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n}) soit de degré −1 impose que t_{1} = s et t_{n} = e, on a donc une contradiction.

Ainsi m_{n} = 0 pour tout n ≥ 6. □

Remarque 4.2.3. Si on suppose de plus que X_{e} est concentré en degré 0, et que X_{s} est concentré en degrés 0 et 1, on obtient de la même façon que f_{n} = 0 pour tout n ≥ 5. En effet les hypothèses supplémentaires impliquent que E est concentré en degré -1, 0 et 1. Si a_{1}, … a_{n} sont des éléments réduits de A, alors f_{n}(a_{1} ⊗ ⋯ a_{n}) est un élément de E de degré maximal 1 − [\frac{n}{2}]. S’il est non-nul alors on a n ≤ 5. On obtient de la même façon que dans la démonstration ci-dessus que f_{5} = 0.

4.2.2 Spécialisation des complexes

On suppose dorénavant que

• le complexe X_{e} est un module projectif P_{0} concentré en degré 0,

• le complexe X_{s} est concentré en degrés 0 et 1, de la forme P_{1} ⟶^{δ} P_{0} où P_{1} est un module projectif,

• pour tout entier non nul i on a Hom_{H(B)}(X_{s}, X_{s}[i]) = 0.

On est donc dans la situation du lemme 4.2.2 et de la remarque 4.2.3.

4.2 : Etude préliminaire de la situation  143

Description de la DG-algèbre E

Les composantes non nulles de E = End_{B}(X_{e} ⊕ X_{s}) sont :

A^{0} = B^{−1} = B^{′1} = End_{B}(P_{0}) A^{′−1} = B^{′0} = Hom_{B}(P_{0}, P_{1}) A^{′1} = B^{0} = Hom_{B}(P_{1}, P_{0}) A^{′0} = A_{a}^{′0} ⊕ A_{b}^{′0} avec A_{a}^{′0} = End_{B}(P_{1}) et A_{b}^{′0} = End_{B}(P_{0}). On peut représenter le complexe E de cette façon :

\xymatrix{ & A^{0} \\  & ⊕ \\ A^{′−1} \ar[r]^{_{(\begin{matrix}δ^{∗} \\ δ_{∗} \end{matrix})}} & (A_{a}^{′0} ⊕ A_{b}^{′0}) \ar[r]^{(δ_{∗} −δ^{∗})} & A^{′1} \\  & ⊕ \\ B^{−1} \ar[r]^{_{(\begin{matrix}δ^{∗} \\ 0 \end{matrix})}} & B^{0} ⊕ B^{′0} \ar[r]^{(0 δ_{∗})} & B^{′1}.}

La table de m : E^{⊗2} → E, la multiplication de E, est donnée par le tableau 4.2.2, les combinaisons manquantes étant envoyées sur 0. On peut représenter l’algèbre E sous forme matricielle :

E = ( \begin{matrix}A^{0} & B^{′0} & B^{′1} \\ B^{0} & A_{a}^{′0} & A^{′1} \\ B^{−1} & A^{′−1} & A_{b}^{′0} \end{matrix} ) .

Tab. 4.1 – Table de multiplication de E

\begin{aligned}& A^{0} & B^{′0} & B^{′1} \\ A^{0} & A^{0} & B^{′0} & B^{′1} \\ B^{−1} & B^{−1} & A^{′−1} & A_{b}^{′0} \\ B^{0} & B^{0} & A_{a}^{′0} & A^{′1} \end{aligned}  \begin{aligned}& A^{′−1} & A^{′0} & A^{′1} & B^{−1} & B^{0} \\ A^{′−1} & & A^{′−1} & A_{b}^{′0} & & B^{−1} \\ A^{′0} & A^{′−1} & A^{′0} & A^{′1} & B^{−1} & B^{0} \\ A^{′1} & A_{a}^{′0} & A^{′1} & & B^{0} \\ B^{′0} & & B^{′0} & B^{′1} & & A^{0} \\ B^{′1} & B^{′0} & B^{′1} & & A^{0} \end{aligned}

Description de l’algèbre graduée A Les composantes non nulles de A = H^{∗}E sont :

• H^{0} = End_{B}(P_{0}),

• H^{′0} = End_{HB}(X_{s}),

• K^{−1} = Hom_{HB}(X_{s}[1], X_{e}), K^{0} = Hom_{HB}(X_{s}, X_{e}),
• K^{′0} = Hom_{HB}(X_{e}, X_{s}),  K^{′1} = Hom_{HB}(X_{e}, X_{s}[−1]).

La table de m_{2} : A^{⊗2} → A, la multiplication de A, est donnée par le tableau 4.2.

Tab. 4.2 – Table de multiplication de A

H^{0} H^{′0} K^{−1} K^{0} K^{′0} K^{′1}
H^{0} H^{0}  K^{′0} K^{′1}
H^{′0}  H^{′0} K^{−1} K^{0}
K^{−1} K^{−1}  H^{′0}
K^{0} K^{0}  H^{′0}
K^{′0} K^{′0} H^{0}
K^{′1}  K^{′1} H^{0}

Cette structure multiplicative équivaut à la donnée d’une structure d’algèbre sur H^{0} et sur H^{′0}, d’une structure de (H^{′0}, H^{0})-bimodule sur K^{−1} et K^{0}, d’une structure de (H^{0}, H^{′0})-bimodule sur K^{′0} et K^{′1}, et de morphismes de (H^{0}, H^{0})-bimodules (respectivement de (H^{′0}, H^{′0})-bimodules) :

\begin{matrix}μ_{i} : K^{′i} ⊗_{H^{′0}} K^{−i} & ⟶ & H^{0} & i = 0, 1 \\ μ′_{i} : K^{−i} ⊗_{H^{0}} K^{′i} & ⟶ & H^{′0} & i = 0, 1 \end{matrix}

respectant les compatibilités suivantes pour i = 0, 1 :

\begin{matrix}μ_{i}(k′_{1} ⊗ k).k′_{2} = k′_{1}.μ′_{i}(k ⊗ k′_{2}) \\ μ′_{i}(k_{1} ⊗ k′).k_{2} = k_{1}.μ_{i}(k′ ⊗ k_{2}) \end{matrix}

où k, k_{1} et k_{2} sont éléments de K^{−i}, et k′, k′_{1} et k′_{2} sont éléments de K^{′i}.

Description de la structure de A_{∞}-algèbre sur A

Nous allons appliquer la construction de la partie 4.1.3. Nous obtiendrons donc une structure de A_{∞}-algèbre sur A et un quasi-isomorphisme f : A → E de A_{∞}-algèbres satisfaisant les conditions du théorème 4.1.6.

Nous devons choisir

• une application f_{1} : H^{∗}E → E à valeurs dans Z^{∗}E qui est une section de la projection canonique Z^{∗}E → H^{∗}E, • une application g_{1} : E → H^{∗}E dont la restriction à Z^{∗}E est la projection

canonique,

• une application s : E → E(−1) dont la restriction à B^{∗}E est une section de la surjection E(−1) → B^{∗}E induite par la différentielle de E,

telles que sd + g_{1}f_{1} + ds = Id_{E} et sds = s.

Afin de décrire ces applications, nous donnerons une base sur k de E et de A. Nous définirons des applications f_{1} : A → E, g_{1} : E → A et s : E → E(−1) en donnant leurs matrices dans ces bases.

Précisément, les matrices

D^{−1}, D^{′0}, Δ^{−1}, Δ^{0} et S^{0}, S^{′1}, Σ^{0}, Σ^{1}

seront les matrices respectives des restrictions de d et de s aux sous-espaces

B^{−1}, B^{′0}, A^{′−1}, A^{′0} et B^{0}, B^{′1}, A^{′0}, A^{′1}

et les matrices

F^{−1}, F^{0}, F^{′0}, F^{′1}, Φ et G^{−1}, G^{0}, G^{′0}, G^{′1}, Γ

seront les matrices respectives des restrictions de f_{1} et de g_{1} aux sous-espaces

K^{−1}, K^{0}, K^{′0}, K^{′1}, H^{′0} et B^{−1}, B^{0}, B^{′0}, B^{′1}, A^{′0}

Les matrices de d seront connues. Les matrices F^{−1}, F^{′0}, G^{0} et G^{′1} le seront également car les restrictions de f_{1} aux sous-espaces K^{−1} et K^{′0} sont des inclusions canoniques, et les restrictions de g_{1} aux sous-espaces B^{0} et B^{′1} sont des projections canoniques.

Les conditions devant être vérifiées par f_{1}, g_{1}, et s sont alors équivalentes aux conditions suivantes :

• les matrices ( \begin{matrix}G^{−1} & D^{−1} \\ 0 & F^{0} \end{matrix} ) et ( \begin{matrix}F^{−1} & 0 \\ S^{0} & G^{0} \end{matrix} ) sont inverses l’une de l’autre,

• les matrices ( \begin{matrix}G^{′0} & D^{′0} \\ 0 & F^{′1} \end{matrix} ) et ( \begin{matrix}F^{′0} & 0 \\ S^{′1} & G^{′1} \end{matrix} ) sont inverses l’une de l’autre,

• les matrices ( Σ^{0} Γ Δ^{0} ) et ( \begin{matrix}Δ^{−1} \\ Φ \\ Σ^{1} \end{matrix} ) sont inverses l’une de l’autre.

Tab. 4.3 – Table de f_{2}

H^{0} H^{′0} K^{−1} K^{0} K^{′0} K^{′1}
H^{0} · · · · · B^{′0}
H^{′0} · A^{′−1} · B^{−1} ·  ·
K^{−1} ·  ·  ·  ·  · A^{′−1}
K^{0} B^{−1} ·  ·  · A^{′−1} A_{s}^{′0}
K^{′0} ·  ·  ·  ·  ·  ·
K^{′1} · B^{′0}  ·  ·  ·  ·

On posera ensuite m_{2} = g_{1}m(f_{1} ⊗ f_{1}) et f_{2} = −sm(f_{1} ⊗ f_{1}). La table 4.3 donne les espaces d’arrivée de f_{2}, en notant A_{s}^{′0} l’image de s : A^{′1} → A^{′0}.

L’image de f_{2} sera donc incluse dans le sous-espace

A^{′−1} ⊕ A_{s}^{′0} ⊕ B^{−1} ⊕ B^{′0}.

On utilisera ensuite la formule f_{3} = sm(f_{2} ⊗ f_{1} − f_{1} ⊗ f_{2}). L’image de f_{3} sera donc incluse dans le sous-espace A^{′−1} ⊕ B^{−1} ⊕ B^{′0}.

Nous pouvons ainsi montrer que l’image de m_{3} = g_{1}m(f_{2} ⊗ f_{1} − f_{1} ⊗ f_{2}) sera a priori non nulle sur 28 des 216 sous-espaces qui composent A^{⊗3}.

Nous utiliserons ensuite les formules :

\begin{matrix}f_{4} = sm(−f_{1} ⊗ f_{3} + f_{2} ⊗ f_{2} − f_{3} ⊗ f_{1}) \\ m_{4} = g_{1}m(f_{1} ⊗ f_{3} − f_{2} ⊗ f_{2} + f_{3} ⊗ f_{1}) \\ m_{5} = g_{1}m(f_{1} ⊗ f_{4} − f_{2} ⊗ f_{3} + f_{3} ⊗ f_{2} − f_{4} ⊗ f_{1}). \end{matrix}  (4.3)

Nous savons grâce au lemme 4.2.2 et à la remarque qui le suit que les autres applications f_{n} et m_{n} seront nulles.

Remarque 4.2.4. Supposons que le complexe X_{e} ⊕ X_{s} est parfait et générateur de DB. Alors, en conséquence du théorème 4.1.8, les catégories DB et D_{∞}A sont équivalentes.

4.3 PSL_{2}(q) avec q ≡ ±3 (mod 8)

On suppose que k est un corps algébriquement clos de caractéristique 2, et que q est une puissance d’un nombre premier telle que q ≡ ±3 (mod 8).

4.3 : PSL_{2}(q), q ≡ ±3 (mod 8)  147

Nous savons que le normalisateur d’un sous-groupe de Sylow de PSL_{2}(q) est isomorphe à 𝔄_{4} (cf démonstration de la proposition 1.4.5). Ainsi grâce à [Ro4, théorème 6.8], il existe une équivalence splendide entre le bloc principal de kPSL_{2}(q) et l’algèbre k𝔄_{4}.

On pose donc B = k𝔄_{4}, et on utilise les notations des sections B.6 et B.7.

On a trois classes d’isomorphismes de modules projectifs indécomposables P_{1}, P_{j} et P_{j^{2}}. Pour α ∈ {1, j, j^{2}}, l’algèbre End_{B}(P_{α}) est isomorphe à kC_{2}.

Si α et β sont deux élément distincts de {1, j, j^{2}}, l’espace vectoriel Hom_{B}(P_{α}, P_{β}) est de dimension 1, c’est le (End_{B}(P_{α}), End_{B}(P_{β}))-bimodule trivial. On en choisit un élément-base e_{α}^{β}.

De plus, si α, β, γ ∈ {1, j, j^{2}}, α ≠ β et β ≠ γ, alors on a e_{α}^{β}e_{β}^{γ} = 0 si α ≠ γ. Si α = γ alors e_{α}^{β}e_{β}^{α} est un élément de carré nul de End_{B}(P_{α}), nous avons donc une base {1, σ_{α}} de End_{B}(P_{α}).

Nous notons dorénavant σ au lieu de σ_{α}, et t = 1 + σ. Pour un élément a = λ1 + μt de kC_{2}, nous noterons |a| = λ + μ. Nous noterons souvent e pour tout e_{α}^{β}.

4.3.1 Les complexes X_{e} et X_{s}

On considère le complexe X_{e} concentré en degré 0, égal au module P_{1}, et le complexe X_{s} concentré en degrés 0 et 1 défini par :

d = ( \begin{matrix}e_{j}^{1} \\ e_{j^{2}}^{1} \end{matrix} ) : P_{j} ⊕ P_{j^{2}} ⟶ P_{1}.  (4.4)

Nous avons défini dans la section 3.5.3 deux complexes kX_{e}(PSL_{2}(q)) et kX_{s}(PSL_{2}(q)). Nous montrons dans cette section qu’il existe une équivalence entre la catégorie dérivée du bloc principal de kPSL_{2}(q) et celle de l’algèbre k𝔄_{4} qui envoie kX_{e}(PSL_{2}(q)) et kX_{s}(PSL_{2}(q)) sur les complexes X_{e} et X_{s}.

On note Q_{0}, Q_{+} et Q_{−} des représentants des différentes classes d’isomorphismes des modules projectifs indécomposables du bloc principal de kPSL_{2}(q). On suppose qu’ils sont enveloppes projectives de modules simples ayant pour caractères modulaires respectivement σ_{0}, σ_{+} et σ_{−} (cf notations section B.1).

Nous avons montré section 3.5.3 que kX_{e}(PSL_{2}(q)) admet pour représentant minimal dans la catégorie des complexes le module Q_{0} concentré en degré 0, et que kX_{s}(PSL_{2}(q)) admet pour représentant minimal un complexe Q_{+} ⊕ Q_{−} → Q_{0} concentré en degrés 0 et 1 vérifiant la propriété de disjonction.

Nous utilisons les travaux de K. Erdmann, qui a classé les blocs à groupe de défaut diédral à équivalence de Morita ([Er]), ainsi que les travaux de T.

Holm et M. Linckelmann qui ont classé ces blocs à équivalence dérivée près ([Ho1],[Ho2] et [Li1]).

Cas q ≡ 3 (mod 8)

Nous savons que dans ce cas la matrice de Cartan du bloc principal de kPSL_{2}(q) est

( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} )

donc en utilisant [Er] le bloc principal de kPSL_{2}(q) est équivalent au sens de Morita à l’algèbre D(3K)^{1, 1, 1} définie comme étant l’algèbre du carquois muni de relations suivant :

\xymatrix{0 \ar[rr]^{β} \ar[dr]^{κ} &  & 1 \ar[ll]^{γ} \ar[dl]^{δ} \\  & 2 \ar[ul]^{λ} \ar[ur]^{η}}  \begin{matrix}βδ = δλ = λβ = 0 \\ γκ = κη = ηγ = 0 \\ βγ = κλ \\ λκ = ηδ \\ δη = γβ. \end{matrix}

D’après [Er, corollaire V.2.4.1] cette algèbre est isomorphe à l’algèbre k𝔄_{4}. Notons qu’une permutation des sommets {0, 1, 2} ne change pas la classe d’isomorphisme de cette algèbre.

Il existe donc une équivalence de Morita entre la catégorie des complexes de modules sur le bloc principal de kPSL_{2}(q) et celle des complexes de modules sur k𝔄_{4} qui envoie kX_{e}(PSL_{2}(q)) sur X_{e} et kX_{s}(PSL_{2}(q)) sur un complexe

\xymatrix{X′_{s} : & P_{j} ⊕ P_{j^{2}} \ar[r]^{d′} & P_{1}}

concentré en degrés 0 et 1, vérifiant la propriété de disjonction. Il existe des scalaires λ et μ tels que

d′ = ( \begin{matrix}λe_{j}^{1} \\ μe_{j^{2}}^{1} \end{matrix} ) .

Quitte à multiplier par des scalaires non-nuls on peut supposer que λ et μ valent 0 ou 1. Si λ = 0 alors le morphisme

\xymatrix{X′_{s} : \ar[d] & P_{j} ⊕ P_{j^{2}} \ar[r]^{d′} & P_{1} \ar[d]^{(e_{j}^{1} 0)} \\ X′_{s}[−1] : &  & P_{j} ⊕ P_{j^{2}} \ar[r]^{d′} & P_{1}}

est un morphisme de complexe non homotope à zéro, ce qui contredit la propriété de disjonction. De même on montre que μ = 1 et donc le complexe X′_{s} est isomorphe au complexe X_{s}.

Cas q ≡ 3 (mod 8)

Dans ce cas la matrice de Cartan du bloc principal de kPSL_{2}(q) est

( \begin{matrix}4 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} )

donc en utilisant [Er] le bloc principal de kPSL_{2}(q) est équivalent au sens de Morita à l’algèbre D(3A)^{1} définie comme étant l’algèbre du carquois muni de relations suivant :

\xymatrix{1 \ar[r]^{β} & 0 \ar[r]^{δ} \ar[l]^{γ} & 2 \ar[l]^{η}}  \begin{matrix}βγ = ηδ = 0 \\ γβδη = δηγβ. \end{matrix}

Notons R_{0}, R_{1} et R_{2} des enveloppes projectives de modules simples associés aux sommets 0, 1 et 2. Il existe alors une équivalence de Morita entre la catégorie des complexes de modules sur le bloc principal de kPSL_{2}(q) et celle des complexes de modules sur D(3A)^{1} qui envoie kX_{e}(PSL_{2}(q)) sur le module R_{0} concentré en degré 0, et le complexe kX_{s}(PSL_{2}(q)) sur un complexe X′_{s} : R_{1} ⊕R_{2} → R_{0} concentré en degrés 0 et 1 vérifiant la propriété de disjonction.

Lemme 4.3.1. Le complexe X′_{s} est isomorphe au complexe

\xymatrix{Y_{s} : & R_{1} ⊕ R_{2} \ar[r]^{^{(\begin{matrix}β \\ η \end{matrix})}} & R_{0}.}

Démonstration : Soit d_{1} la différentielle de X′_{s}. Il existe des scalaires λ_{0}, λ_{1}, μ_{0} et μ_{1} tels que

d_{1} = ( \begin{matrix}λ_{0}.β + λ_{1}.βγη \\ μ_{0}.η + μ_{1}.ηγβ \end{matrix} ) .

Si λ_{0} = 0 alors le morphisme de complexes

\xymatrix{X′_{s} : \ar[d] & R_{1} ⊕ R_{2} \ar[r]^{d_{1}} & R_{0} \ar[d]^{(δηγ 0)} \\ X′_{s}[−1] : &  & R_{1} ⊕ R_{2} \ar[r]^{d_{1}} & R_{0}.}

est un morphisme de complexes non homotope à zéro, donc comme X′_{s} vérifie la propriété de disjonction on a λ_{0} ≠ 0. De même on montre que μ_{0} ≠ 0. L’application

f = \frac{1}{λ_{0}μ_{0}} ( \begin{matrix}μ_{0} & −λ_{1}.βδ \\ −μ_{1}.ηγ & λ_{0} \end{matrix} ) : R_{1} ⊕ R_{2} ⟶ R_{1} ⊕ R_{2}

est un automorphisme de R_{1} ⊕ R_{2}, donc le complexe

\xymatrix{R_{1} ⊕ R_{2} \ar[r]^{f.d_{1}} & R_{0}}

est isomorphe au complexe X′_{s}. On vérifie qu’il s’agit bien du complexe Y_{s}. □

On utilise maintenant [Li1], qui montre qu’il existe une équivalence dérivée entre les algèbres D(3A)^{1} et k𝔄_{4}. Ces algèbres y sont notés respectivement A_{1} et B_{1}. Dans la démonstration de [Li1, théorème 4] il est introduit un complexe Q de modules sur D(3A)^{1}. Ce complexe est la somme directe de Y_{s} et du complexe formé par le module R_{1} ⊕ R_{2} concentré en degré 0. On note Q_{1} ce dernier complexe. M. Linckelmann montre que Q réalise une équivalence

\xymatrix{F_{0} : & D(D(3A)^{1}) \ar[r]^{Hom(Q, −)} & D(k𝔄_{4}^{op}).}

On note F_{1} l’équivalence donnée par la composition de F_{0} avec le foncteur contravariant

D(k𝔄_{4}^{op}) ⟶ D(k𝔄_{4})

de passage à la catégorie opposée.

La démonstration de [Li1, théorème 4] montre que F_{1} envoie Y_{s} sur P_{1} et Q_{1} sur P_{j} ⊕ P_{j^{2}}. De plus R_{0} est le cône du morphisme de complexes

\xymatrix{Y_{s} : \ar[d] & R_{1} ⊕ R_{2} \ar[r] \ar[d]^{Id} & R_{0} \\ Q_{1} : & R_{1} ⊕ R_{2}}

donc en appliquant le foncteur F_{0} on a un triangle distingué

P_{1}^{op} → P_{j}^{op} ⊕ P_{j^{2}}^{op} → F_{0}(R_{0}) → P_{1}^{op}[1]

puis par passage à la catégorie opposée, on a un triangle distingué

P_{j} ⊕ P_{j^{2}} → P_{1} → F_{1}(R_{0})[−1] → (P_{j} ⊕ P_{j^{2}})[1]

ce qui montre que F_{1}(R_{0}) est concentré en degrés 0 et 1, de la forme

P_{j} ⊕ P_{j^{2}} → P_{1}.

Comme il vérifie la propriété de disjonction, il est isomorphe au complexe X_{s} défini ci-dessus (4.4).

En résumé, nous avons montré qu’il existe toujours une équivalence dérivée entre le bloc principal de kPSL_{2}(q) et l’algèbre k𝔄_{4} envoyant les complexes kX_{e}(PSL_{2}(q)) et kX_{s}(PSL_{2}(q)) sur les complexes X_{e} et X_{s} définis au début de cette section.

4.3.2 Représentants minimaux

Les complexes X_{e} et X_{s} étant considérés dans la catégorie homotopique H(B), nous pouvons leur choisir plusieurs représentants différents dans la catégorie des complexes C(B). Nous allons faire deux choix différents.

Tout d’abord, nous ne modifions pas les complexes X_{e} et X_{s}. Comme aucun n’a de facteur direct homotope à zéro, ils sont les plus petits complexes possibles représentant leur classe dans la catégorie homotopique.

La DG-algèbre E

Rappelons la forme matricielle de l’algèbre différentielle graduée E = End_{B}(X_{e} ⊕ X_{s}) :

E = ( \begin{matrix}A^{0} & B^{′0} & B^{′1} \\ B^{0} & A_{a}^{′0} & A^{′1} \\ B^{−1} & A^{′−1} & A_{b}^{′0} \end{matrix} ) .

Si on note un élément de E par

( \begin{matrix}a^{1}_{1} & (α^{2}_{1} α^{3}_{1}) & a^{4}_{1} \\ ( \begin{matrix}α^{1}_{2} \\ α^{1}_{3} \end{matrix} ) & ( \begin{matrix}a^{2}_{2} & α^{3}_{2} \\ α^{2}_{3} & a^{3}_{3} \end{matrix} ) & ( \begin{matrix}α^{4}_{2} \\ α^{4}_{3} \end{matrix} ) \\ a^{1}_{4} & (α^{2}_{4} α^{3}_{4}) & a^{4}_{4} \end{matrix} )

où les a{j \atop i} sont des éléments de kC_{2}, et les α{j \atop i} des scalaires (et où on ne note pas les e_{α}^{β}), alors son image par d est

( \begin{matrix}0 & ( 0 0 ) & (α^{2}_{1} + α^{3}_{1})σ \\ |a^{1}_{4}|( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) & ( \begin{matrix}α^{2}_{4}σ & 0 \\ 0 & α^{3}_{4}σ \end{matrix} ) & ( \begin{matrix}|a^{2}_{2} + a^{4}_{4}| \\ |a^{3}_{3} + a^{4}_{4}| \end{matrix} ) \\ 0 & ( 0 0 ) & (α^{2}_{4} + α^{3}_{4})σ \end{matrix} ) .

Calcul du modèle minimal A

Nous savons que l’homologie de A′ est concentrée en degré 0, nous en déduisons qu’elle est de dimension 4. Les éléments du noyau ker d ∩ A^{′0} sont les éléments

( \begin{matrix}a^{2}_{2} & α^{3}_{2} \\ α^{2}_{3} & a^{3}_{3} \end{matrix} ) + a^{4}_{4}

tels que

|a^{2}_{2}| = |a^{3}_{3}| = |a^{4}_{4}|.

L’image de A^{′−1} par d admet pour base les éléments (\begin{matrix}σ & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + σ et (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & σ \end{matrix} ) + σ.

Soit a et b les classes respectives de

( \begin{matrix}1 & 0 \\ e_{j^{2}}^{j} & 1 \end{matrix} ) + 1 et ( \begin{matrix}1 & e_{j}^{j^{2}} \\ 0 & 1 \end{matrix} ) + 1

dans H^{′0}.

les produits ab et ba sont tous les deux égaux à la classe de

( \begin{matrix}1 & e_{j}^{j^{2}} \\ e_{j^{2}}^{j} & 1 \end{matrix} ) + t.

Ces trois éléments sont d’ordre 2 et engendrent H^{′0}, donc ils fournissent un isomorphisme H^{′0} ⟶^{∼} k[C_{2} × C_{2}].

Les homologies K^{−1}, K^{0}, K^{′0} et K^{′1} sont toutes de dimension 1, engendrées respectivement par σ, la classe de (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}), (1 1), et la classe de 1. On

appelle ces quatre éléments respectivement h^{−1}, h^{0}, h^{′0}, et h^{′1}.

On note 1 l’unité de H^{0} = A^{0} = kC_{2}, 1′ celle de H^{′0} = k[C_{2} × C_{2}], et σ′ = 1′ + a + b + ab. L’algèbre graduée A est de dimension 10, on lui choisit la base {1, t, 1′, a, b, ab , h^{−1}, h^{0}, h^{′0}, h^{′1}}.

Sa table de multiplication est donnée par la table 4.4.

Tab. 4.4 – Table de multiplication de H^{∗}E.

1  t  1′  a  b ab h^{−1} h^{0} h^{′0} h^{′1}
1  1  t  h^{′0} h^{′1}
t  t  1  h^{′0} h^{′1}
1′  1  a  b ab h^{−1} h^{0}
a  a  1 ab b h^{−1} h^{0}
b  b ab 1  a h^{−1} h^{0}
ab  ab b  a  1 h^{−1} h^{0}
h^{−1} h^{−1} h^{−1}  σ′
h^{0}  h^{0}  h^{0}  σ′
h^{′0}  h^{′0} h^{′0} h^{′0} h^{′0}  σ
h^{′1}  h^{′1} h^{′1} h^{′1} h^{′1} σ

Soit A = H^{∗}E. On va maintenant donner une structure de A_{∞}-algèbre à A, et un quasi-isomorphisme de A_{∞}-algèbres f : A → E. On choisit donc une section s de d, une application f_{1} : A → E, et une application g_{1} : E → A satisfaisant les égalités 4.1 page 137. La table 4.5 donne les valeurs de ces fonctions, ainsi que les bases que l’on choisit.

Les matrices définies dans la section 4.2.2 sont :

( \begin{matrix}G^{−1} & D^{−1} \\ 0 & F^{0} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}G^{′0} & D^{′0} \\ 0 & F^{′1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

( \begin{matrix}F^{−1} & 0 \\ S^{0} & G^{0} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}F^{′0} & 0 \\ S^{′1} & G^{′1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} )

( Σ^{0} Γ Δ^{0} ) = ( \begin{matrix}& | & & & & | & 1 \\ 1 & | & 1 & 1 & 1 & 1 | & 1 \\ & | & 1 & 1 & & | \\ & | & 1 & & 1 & | \\ & | & & & & | & & 1 \\ & 1 | & 1 & 1 & 1 & 1 | & & 1 \\ & | & 1 & & & | & 1 & 1 \\ & | & & 1 & 1 & 1 | & 1 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}Δ^{−1} \\ Φ \\ Σ^{1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 1 & & & & & 1 & 1 \\ & & & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & & & & 1 & & 1 \\ 1 & & 1 & & 1 & & 1 \\ 1 & & & 1 & 1 & & 1 \\ 1 & & 1 & 1 & 1 & & & 1 \\ 1 \\ & & & & 1 \end{matrix} )

En utilisant la formule f_{2} = sm(f_{1} ⊗ f_{1}), on calcule les valeurs de f_{2}, elles sont données par la table 4.6.

Calculons maintenant m_{3} et f_{3} , grâce aux formules :

m_{3} = g_{1}m(f_{2} ⊗ f_{1} + f_{1} ⊗ f_{2}) f_{3} = sm(f_{2} ⊗ f_{1} + f_{1} ⊗ f_{2})

On obtient que f_{3} est nulle, et que m_{3} est non-nulle sur 8 des 216 espaces vectoriels qui composent (A)^{⊗3} :

\begin{aligned}K^{0} ⊗ K^{′0} ⊗ K^{0} & → & K^{−1} & K^{0} ⊗ K^{′1} ⊗ K^{0} & → & K^{0} \\ K^{′1} ⊗ K^{0} ⊗ K^{′0} & → & K^{′0} & K^{′0} ⊗ K^{0} ⊗ K^{′1} & → & K^{′0} \\ H^{′0} ⊗ K^{0} ⊗ K^{′1} & → & H^{′0} & K^{0} ⊗ K^{′1} ⊗ H^{′0} & → & H^{′0} \\ H^{′0} ⊗ H^{′0} ⊗ K^{0} & → & K^{−1} & K^{′1} ⊗ H^{′0} ⊗ H^{′0} & → & K^{′0} \end{aligned}

Ses valeurs précises sont

Sur H^{′0} ⊗ K^{0} ⊗ K^{′1} :  a ⊗ h^{0} ⊗ h^{′1} ⟼ 1 + a
ab ⊗ h^{0} ⊗ h^{′1} ⟼ 1 + a
Sur K^{0} ⊗ K^{′1} ⊗ H^{′0} :  h^{0} ⊗ h^{′1} ⊗ b ⟼ 1 + b
h^{0} ⊗ h^{′1} ⊗ ab ⟼ 1 + b
Sur H^{′0} ⊗ H^{′0} ⊗ K^{0} :  b ⊗ a ⊗ h^{0} ⟼ h^{−1}
ab ⊗ a ⊗ h^{0} ⟼ h^{−1}
b ⊗ ab ⊗ h^{0} ⟼ h^{−1}
ab ⊗ ab ⊗ h^{0} ⟼ h^{−1}
Sur K^{′1} ⊗ H^{′0} ⊗ H^{′0} :  h^{′1} ⊗ b ⊗ a ⟼ h^{′0}
h^{′1} ⊗ ab ⊗ a ⟼ h^{′0}
h^{′1} ⊗ b ⊗ ab ⟼ h^{′0}
h^{′1} ⊗ ab ⊗ ab ⟼ h^{′0}

Tab. 4.5 – Valeurs des fonctions d, s, g_{1} et f_{1}.

\begin{aligned}& bases & d & s & g_{1} \\ A^{0} & 1 & 0 & 0 & 1 \\ & t & 0 & 0 & t \\ A^{′−1} & (e 0) & (\begin{matrix}σ & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})+σ & 0 & 0 \\ & (0 e) & (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & σ \end{matrix} )+σ & 0 & 0 \\ A_{a}^{′0} & (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) & (\begin{matrix}e \\ 0 \end{matrix}) & 0 & 0 \\ & (\begin{matrix}t & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) & (\begin{matrix}e \\ 0 \end{matrix}) & (e 0) & σ′ \\ & (\begin{matrix}0 & e \\ 0 & 0 \end{matrix}) & 0 & 0 & 1+a \\ & (\begin{matrix}0 & 0 \\ e & 0 \end{matrix}) & 0 & 0 & 1+b \\ & (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) & (\begin{matrix}0 \\ e \end{matrix}) & 0 & 0 \\ & (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & t \end{matrix}) & (\begin{matrix}0 \\ e \end{matrix}) & (0 e) & σ′ \\ A_{b}^{′0} & 1 & (\begin{matrix}e \\ e \end{matrix}) & 0 & 1′ \\ & t & (\begin{matrix}e \\ e \end{matrix}) & 0 & 1′+σ′ \\ A^{′1} & (\begin{matrix}e \\ 0 \end{matrix}) & 0 & (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) & 0 \\ & (\begin{matrix}0 \\ e \end{matrix}) & 0 & (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) & 0 \\ B^{−1} & 1 & (\begin{matrix}e \\ e \end{matrix}) & 0 & h^{−1} \\ & t & (\begin{matrix}e \\ e \end{matrix}) & 0 & 0 \\ B^{0} & (\begin{matrix}e \\ 0 \end{matrix}) & 0 & 0 & h^{0} \\ & (\begin{matrix}0 \\ e \end{matrix}) & 0 & t & h^{0} \\ B^{′0} & (e 0) & σ & 0 & h^{′0} \\ & (0 e) & σ & 0 & 0 \\ B^{′1} & 1 & 0 & 0 & h^{′1} \\ & t & 0 & (0 e) & h^{′1} \end{aligned}  \begin{aligned}& bases & f_{1} \\ H^{0} & 1 & 1 \\ & t & t \\ H^{′0} & 1′ & (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})+1 \\ & a & (\begin{matrix}1 & e \\ 0 & 1 \end{matrix})+1 \\ & b & (\begin{matrix}1 & 0 \\ e & 1 \end{matrix})+1 \\ & ab & (\begin{matrix}1 & e \\ e & 1 \end{matrix})+t \\ K^{−1} & h^{−1} & 1+t \\ K^{0} & h^{0} & (\begin{matrix}e \\ 0 \end{matrix}) \\ K^{′0} & h^{′0} & (e e) \\ K^{′1} & h^{′1} & 1 \end{aligned}

Tab. 4.6 – Valeurs de f_{2}.

H^{0} H^{′0} K^{−1} K^{0} K^{′0} K^{′1}
H^{0}  B^{′0}
H^{′0}  A^{′−1}

K^{−1}

K^{0}  A^{′−1} A_{a}^{′0}

K^{′0}

K^{′1}  B^{′0}

1 1′

h^{0}  (e 0) (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

1 t 1′  a  b  ab h^{−1} h^{0} h^{′0}  h^{′1} t  (0 e)

a  (0 e) (0 e)

b (e 0) (e 0)

ab  (e 0) (0 e) (e e)

h^{−1} h^{′0} h^{′1}  (0 e)

Les autres éléments de ces ensembles sont envoyés sur 0.

En calculant la table de m(f_{2}⊗f_{2}) on obtient que son image est engendrée

par les éléments (e 0) de A^{′−1} et (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) de A^{′0}, lesquels sont envoyés sur zéro par s et par g_{1}, donc m_{4} et f_{4} sont nulles.

Ensuite, par récurrence, les applications m_{n} et f_{n} sont nulles pour tout n ≥ 4.

4.3.3 Variante

On conserve, pour X_{e} et X_{s}, les notations de la section précédente. On note toujours E la DG-algèbre End_{B}(X_{e} ⊕ X_{s}), et A son modèle minimal. On rappelle que H^{′0} = End_{H(B)}(X_{s}).

Le complexe X_{s} choisi n’est a priori pas un complexe de H^{′0}-modules à droite. On sait grâce à [Ke3, 8.3.1] qu’il existe un complexe de (B, H^{′0})- bimodules X′_{s} tel que X_{s} et X′_{s} soient quasi-isomorphes en tant que complexes de B-modules.

On note E′ = End_{B}(X_{e}⊕X′_{s}), et A′ son modèle minimal. Les A_{∞}-algèbres A et A′ sont alors isomorphes, et elles sont même égales en tant qu’algèbres graduées. Mais en calculant une structure de A_{∞}-algèbre sur A′ et un quasiisomorphisme A′ → E′, on obtiendra que f_{2} est nulle sur l’espace H^{′0} ⊗ H^{′0}, car X′_{s} est un complexe de H^{′0}-modules à droite.

Nous allons montrer qu’il sufit d’ajouter le complexe 0 → P_{1} ⟶^{1} P_{1} → 0 à X_{s} pour avoir un complexe de H^{′0}-modules à droite. On pose

X′_{s} = \xymatrix{⋯ 0 \ar[r] & P_{j} ⊕ P_{j^{2}} ⊕ P_{1} \ar[r]^{^{( \begin{matrix}e & 0 \\ e & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )}} & P_{1} ⊕ P_{1} \ar[r] & 0 ⋯} .

Considérons les éléments a′ et b′ de A^{′0} définis par

a′ = ( \begin{matrix}1 & e & e \\ & 1 & e \\ & & 1 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}1 \\ & 1 \end{matrix} ) et b′ = ( \begin{matrix}1 \\ e & 1 \\ e & e & 1 \end{matrix} ) + \binom{1}{1 1} .

On a a^{′2} = b^{′2} = 1, et

a′b′ = b′a′ = ( \begin{matrix}1 & e & e \\ e & t & e \\ e & e & 1 \end{matrix} ) + \binom{1}{1 1}

De plus a′ et b′ sont dans le noyau de d, on vérifie que leurs classes dans H^{0}(A′) engendrent H^{0}(A′). On a donc un morphisme d’algèbres

r : End_{H(B)}(X_{s}) → End_{C(B)}(X′_{s})

donné par a ↦ a′, b ↦ b′. Si on le compose avec la projection canonique π : End_{C(B)}(X′_{s}) → End_{H(B)}(X′_{s}), on obtient un isomorphisme. On notera donc a et b les classes dans End_{H(B)}(X′_{s}) de a′ et b′.

On choisit {1′, a, b, ab} pour base de H^{′0}, puis les éléments-bases suivants des homologies de K^{−1} et K^{′0} :

h^{−1} = ( \begin{matrix}σ \\ 0 \end{matrix} ) ∈ K^{−1}, h^{′0} = ( e 0 0 ) ∈ K^{′0},

et les éléments-bases h^{0} et h^{′1} des homologies de K^{0} et K^{′1}, définis comme étant les classes respectives des éléments

( \begin{matrix}e \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) ∈ B^{0} et ( 1 0 ) ∈ B^{′1}.

On choisit ensuite les bases suivantes pour les sous-espaces de E′ :

B^{−1} = ⟨(\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}t \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ t \end{matrix})⟩

B^{0} = ⟨(\begin{matrix}e \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ e \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ t \end{matrix})⟩

B′0 = ⟨(e 0 0), (0 e 0), (0 0 1), (0 0 t)⟩

B^{′1} = ⟨(1 0), (t 0), (0 1), (0 t)⟩

A^{′−1} = ⟨(\begin{matrix}e & · & · \\ · & · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · & · \\ e & · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & e & · \\ · & · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · & · \\ · & e & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · & 1 \\ · & · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · & t \\ · & · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · & · \\ · & · & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · & · \\ · & · & t \end{matrix})⟩ ,

A^{′0} = ⟨(\begin{matrix}1 & · & · \\ · & · & · \\ · & · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}t & · & · \\ · & · & · \\ · & · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · & · \\ e & · & · \\ · & · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · & · \\ · & · & · \\ e & · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & e & · \\ · & · & · \\ · & · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · & · \\ · & 1 & · \\ · & · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · & · \\ · & t & · \\ · & · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · & · \\ · & · & · \\ · & e & · \end{matrix}) ,

(\begin{matrix}· & · & e \\ · & · & · \\ · & · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · & · \\ · & · & e \\ · & · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · & · \\ · & · & · \\ · & · & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · & · \\ · & · & · \\ · & · & t \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & · \\ · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}t & · \\ · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · \\ 1 & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · \\ t & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & 1 \\ · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & t \\ · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · \\ · & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · \\ · & t \end{matrix})⟩

A^{′1} = ⟨(\begin{matrix}e & · \\ · & · \\ · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · \\ e & · \\ · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · \\ · & · \\ 1 & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · \\ · & · \\ t & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & e \\ · & · \\ · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · \\ · & e \\ · & · \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · \\ · & · \\ · & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}· & · \\ · & · \\ · & t \end{matrix})⟩ .

On choisit les applications f_{1}, g_{1} et s, définis par les matrices suivantes, toujours en utilisant les notations de la section 4.2.2 :

( \begin{matrix}G^{−1} & D^{−1} \\ 0 & F^{0} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}G^{′0} & D^{′0} \\ 0 & F^{′1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 | & 1 & 1 \\ | & 1 & 1 \\ | & & & 1 \\ | & & & & 1 \\ | & 1 \end{matrix} )

( \begin{matrix}F^{−1} & 0 \\ S^{0} & G^{0} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}F^{′0} & 0 \\ S^{′1} & G^{′1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 1 & & | \\ & & & | & 1 \\ & 1 & & | & 1 \\ & & 1 & | \\ & & & 1 | \end{matrix} )

( Σ^{0} Γ Δ^{0} ) = ( \begin{matrix}& & & & & & & | & & & & | & 1 \\ 1 & & 1 & & & & & | & 1 & 1 & 1 & 1 | & 1 \\ & 1 & & 1 & & & & | & 1 & 1 & & | \\ & 1 & & & & & & | & & & & | & & & 1 & 1 \\ & & & & 1 & & & | & 1 & & 1 & | \\ & & & & & & & | & & & & | & & 1 \\ & & & & & & & | & 1 & 1 & 1 & 1 | & & 1 \\ & & & 1 & & & & | & & & & | & & & 1 & 1 \\ & & & & & & & | & & & & | & & & & & 1 \\ & & & & & & & | & & & & | & & & & & & 1 \\ & & & & & & & | & & & & | & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & | & & & & | & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & 1 & | & 1 & & & | & 1 & 1 \\ & & 1 & & & & 1 & | & & 1 & 1 & 1 | & 1 & 1 \\ & & & & & & & | & & & & | & & & 1 \\ & & & & & & & | & & & & | & & & & 1 \\ & & & & 1 & & & | & & & & | & & & & & 1 & 1 \\ & & & & & 1 & & | & & & & | & & & & & 1 & 1 \\ & & & & & & 1 & | & & & & | & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & 1 | & & & & | & & & & & & & & 1 \end{matrix} )

et

( \begin{matrix}Δ^{−1} \\ Φ \\ Σ^{1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 1 & & & & & & & & & & & 1 & 1 \\ & & & 1 & & & & & & & & & & & 1 & 1 \\ & & & & & 1 & 1 & & & & & & 1 & 1 \\ & & & & & & & 1 & & & & & & & 1 & 1 \\ & & & & & & & & 1 & 1 & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & 1 & 1 & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & & 1 & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & & & 1 & & & & & & & & 1 \\ 1 & & & & & 1 & & & & & 1 & & 1 & & & & & & 1 \\ 1 & & 1 & 1 & & 1 & & 1 & & & 1 & & 1 & & & & & & 1 \\ 1 & & & & 1 & 1 & & & 1 & 1 & 1 & & 1 & & & & 1 & & 1 \\ 1 & & 1 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & & 1 & & & & 1 & & 1 \\ 1 \\ & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & & 1 \end{matrix} )

On peut donc calculer les valeurs de l’application f_{2}, elles sont données par la table 4.7.

Tab. 4.7 – Valeurs de f_{2}.

H^{0} H^{′0} K^{−1} K^{0} K^{′0} K^{′1}
H^{0}  B^{′0}
H^{′0}  B^{−1}
K^{−1}  A^{′−1}
K^{0}  A^{′−1} A_{a}^{′0}

K^{′0}

K^{′1}  B^{′0}

1 1′

a  (\begin{matrix}· \\ σ \end{matrix} )
ab  (\begin{matrix}· \\ σ \end{matrix} )  (· · 1)
h^{−1}  (\begin{matrix}· & e & · \\ · & · & · \end{matrix})
h^{0}  (\begin{matrix}e & e & · \\ · & · & · \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & · & · \\ · & · & · \\ · & · & · \end{matrix})

h^{′0}

1 t 1′ a  b  ab  h^{−1} h^{0}  h^{′0}  h^{′1} t  (· e ·)

b  (· · 1)

h^{′1}  (· · 1) (· · 1)

On calcule ensuite les applications f_{3} et m_{3}. On constate que l’on perd la nullité de f_{3}, elle est non-nulle sur deux sous-espaces de A^{′⊗3} :

f_{3} : H^{′0} ⊗ K^{0} ⊗ K^{′1} ⟶ A^{′−1}  K^{0} ⊗ K^{′1} ⊗ H^{′0} ⟶ A^{′−1}
a ⊗ h^{0} ⊗ h^{′1} ⟼ (\begin{matrix}· & · & · \\ · & e & · \end{matrix})  h^{0} ⊗ h^{′1} ⊗ b ⟼ (\begin{matrix}· & · & 1 \\ · & · & · \end{matrix})
ab ⊗ h^{0} ⊗ h^{′1} ⟼ (\begin{matrix}· & · & · \\ · & e & · \end{matrix})  h^{0} ⊗ h^{′1} ⊗ ab ⟼ (\begin{matrix}· & · & 1 \\ · & · & · \end{matrix})

Quant à l’application m_{3}, on constate qu’elle prend les mêmes valeurs que celle de la section précédente.

Montrons que les applications f_{n} et m_{n} sont nulles pour n ≥ 4 : l’image

de m(f_{2} ⊗ f_{2}) contient un sous-espace de A^{′−1} et l’élément (\begin{matrix}1 & · & · \\ · & · & · \\ · & · & · \end{matrix}) de A^{′0},

donc elle est annulée par s et par g_{1}.

L’image de m(f_{3} ⊗ f_{1}) contient un sous-espace de A^{′−1} et l’élément (· · 1) de B^{′0}, donc elle est annulée par s et par g_{1}.

Les images de m(f_{1} ⊗ f_{3}), m(f_{2} ⊗ f_{3}), et m(f_{3} ⊗ f_{2}) sont incluses dans A^{′1} donc annulées par s et par g_{1}, l’image de m(f_{3} ⊗ f_{3}) est nulle.

Ainsi les f_{n} et les m_{n} sont nulles pour tout n ≥ 4.

La A_{3}-algèbre A′ est donc égale à la A_{3}-algèbre A obtenue dans la section précédente.

4.3.4 Non-formalité de A

Définition 4.3.2. Une A_{∞}-algèbre A est dite formelle si elle admet une algèbre graduée ordinaire pour modèle minimal.

Nous allons montrer que la DG-algèbre E n’est pas formelle. Pour cela nous considérons la A_{∞}-algèbre obtenue dans les deux sections précédentes, et nous montrons qu’elle n’est pas isomorphe à sa sous-algèbre graduée sousjacente.

On considère A comme une algèbre graduée. On note A_{1} le modèle minimal que nous avons obtenu dans les deux sections précédentes.

Supposons que A et A_{1} sont isomorphes en tant que A_{∞}-algèbres.

D’après la propriété 4.1.11, cela implique qu’il existe une application φ : A^{⊗2} → A(−1) telle que pour tout a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ a_{2} ∈ A^{⊗3} on a

m_{3}(a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ a_{2}) = a_{0} φ(a_{1} ⊗ a_{2}) + φ(a_{0}a_{1} ⊗ a_{2}) + φ(a_{0} ⊗ a_{1}a_{2}) + φ(a_{0} ⊗ a_{1}) a_{2}.

4.4 : PGL_{2}(q), q ≡ ±3 (mod 8)  161

On applique cette égalité à l’élément ab ⊗ h^{0} ⊗ h^{′1} :

1 + a = ab φ(h^{0} ⊗ h^{′1}) + φ(h^{0} ⊗ h^{′1}) + φ(ab ⊗ h^{0})h^{′1}.  (4.5)

Comme φ est de degré −1, l’élément φ(ab ⊗ h^{0}) est de degré −1 s’il est non-nul, donc l’élément φ(ab ⊗ h^{0})h^{′1} est multiple de σ′.

En multipliant l’égalité 4.5 à gauche par 1 + a on obtient 0 = σ′φ(h^{0} ⊗ h^{′1}). En la multipliant par 1 + b on obtient σ′ = σ′φ(h^{0} ⊗ h^{′1}). On a une contradiction.

Ainsi la DG-algèbre E n’est pas formelle, il est impossible d’en obtenir un modèle minimal (A, m_{3}, …) tel que m_{n} = 0 pour tout n ≥ 3.

4.4 PGL_{2}(q) avec q ≡ ±3 (mod 8)

On suppose toujours que k est un corps algébriquement clos de caractéristique 2. Nous savons que si q ≡ ±3 (mod 8), alors il existe une équivalence splendide entre le bloc principal de kPGL_{2}(q) et l’algèbre k𝔖_{4} (propriétés 3.6.4 et 3.6.6).

Soit B = k𝔖_{4}, on utilise les notations de l’annexe B, sections B.6 et B.7.

Soit X_{e} le module projectif Q_{0} vu comme complexe concentré en degré 0 et X_{s} le complexe concentré en degrés 0 et 1 donné par l’application

( \begin{matrix}e′ \\ f′ \end{matrix} ) : Q_{1}^{2} ⟶ Q_{0}.

On vérifie rapidemement que X_{s} vérifie la propriété de disjonction, en effet on a une injection

Hom_{H(B)}(X_{s}, X_{s}[−1]) ↪ Hom_{B}(H^{1}(X_{s}), Q_{1}^{2})

et l’homologie H^{1}(X_{s}) ne contient comme sous-quotient simple que le module α_{0}, qui n’est pas facteur direct du socle de Q_{1}^{2}. De toutes façons ceci est conséquence de la remarque ci-dessous.

Remarque 4.4.1. Comme nous le verrons dans la section 4.5.3, les complexes X_{e} et X_{s} correspondent aux complexes de Deligne-Lusztig construits dans la section 3.5.3.

On utilise toutes les notations relatives aux DG- et A_{∞}-algèbres E et A définies dans la section 4.2.2.

On choisit les bases suivantes :

A^{0}, A_{b}^{′0}, B^{−1}, B^{′1} : (1, a, b, ab)

A^{′−1}, B^{′0} : ((e 0), (f 0), (0 e), (0 f))

A^{′1}, B^{0} : ((\begin{matrix}e′ \\ 0 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}f′ \\ 0 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}0 \\ e′ \end{matrix} ) , (\begin{matrix}0 \\ f′ \end{matrix} ))

A_{a}^{′0} : ((\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}c & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}c^{2} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 \\ c & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 \\ c^{2} & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & c \\ 0 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & c^{2} \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ,

(\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & c \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & c^{2} \end{matrix} ))

On note toujours p_{1} : Z^{∗}E → → H^{∗}E la projection canonique des cycles sur l’homologie.

Les matrices de la différentielle d de E sont données page 163, on peut les utiliser pour calculer l’homologie de E.

Les homologies H et H′ sont concentrées en degré 0. On a

H^{0} = End_{B}(Q_{0}) ≃ k[C_{2} × C_{2}] et H^{′0} ≃ kD_{8}.

Pour vérifier cette dernière assertion notons

D_{8} = ⟨r, s | r^{4} = s^{2} = 1′, srs = r^{3}⟩,

On alors un isomorphisme d’algèbres kD_{8} ⟶^{∼} H^{′0} défini par

r ↦ p_{1} (( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 + c & c \end{matrix} ) + a) et s ↦ p_{1} (( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) + a) .

On note σ la somme des éléments de C_{2} × C_{2}, et σ′ celle des éléments de D_{8}.

Les homologies K^{−1}, K^{0}, K^{′0} et K^{′1} sont de dimension 2, on leur choisit les bases suivantes :

• Base de K^{−1} : h^{−1} = 1 + b et l^{−1} = σ,

• Base de K^{0} : h^{0} = p_{1} (\begin{matrix}0 \\ e′ \end{matrix} ) et l^{0} = p_{2} (\begin{matrix}0 \\ f′ \end{matrix} ),

• Base de K^{′0} : h^{′0} = ( f e ) et l^{′0} = ( 0 f ),

• Base de K^{′1} : h^{′1} = p_{1}(1) et l^{′1} = p_{1}(1 + a).

On définit alors les applications f_{1}, g_{1} et s par

( \begin{matrix}G^{−1} & D^{−1} \\ 0 & F^{0} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & | & 1 & & & 1 \\ 1 & 1 | & 1 & 1 & & 1 \\ & | & 1 & & & 1 \\ & | & 1 & 1 & & 1 \\ & | & & & 1 \\ & | & & & & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}F^{−1} & 0 \\ S^{0} & G^{0} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & & 1 & | \\ 1 & 1 & 1 & 1 | \\ & & 1 & | & & 1 \\ & & 1 & 1 | \\ & & & | & 1 \\ & & & | & & 1 \end{matrix} )

( \begin{matrix}G^{′0} & D^{′0} \\ 0 & F^{′1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}& | & 1 & & 1 \\ & | & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & | & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & 1 | \\ & | & 1 \\ & | & 1 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}F^{′0} & 0 \\ S^{′1} & G^{′1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}& 1 & 1 & | \\ & & & 1 | \\ & & & | & 1 \\ & & & | & 1 & 1 \\ 1 & & & | & 1 \\ 1 & 1 & & | & 1 & 1 \end{matrix} )

( Σ^{0} Γ Δ^{0} ) = ( \begin{matrix}& & & | & & & & & & & & | & 1 \\ & & & | & 1 & & & 1 & 1 & 1 & & | & 1 \\ & 1 & & | & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 | & 1 \\ & & & | & & & & & & & & | & & & 1 \\ & & & | & 1 & & & & & 1 & & | & & & 1 \\ 1 & & & | & & 1 & & 1 & 1 & & 1 & | & & & 1 \\ & & & | & & & & & & & & | & & 1 \\ & & & | & & 1 & & 1 & & 1 & & 1 | & & 1 \\ & & & 1 | & & & & & & & & | & & 1 \\ & & & | & & & & & & & & | & & & & 1 \\ & & & | & 1 & 1 & & & 1 & 1 & & | & & & & 1 \\ & & 1 & | & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 | & & & & 1 \\ & & & | & 1 & & & & & & & | & 1 & & & 1 \\ & & & | & & & & & 1 & & & | & 1 & 1 & & 1 \\ & & & | & 1 & 1 & & 1 & 1 & & 1 & | & 1 & & & 1 \\ & & & | & 1 & & 1 & & 1 & 1 & & 1 | & 1 & 1 & & 1 \end{matrix} )

( \begin{matrix}Δ^{−1} \\ Φ \\ Σ^{1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}& & & 1 & & 1 & & & & & & & 1 & & 1 \\ 1 & & 1 & & & & & & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & & & & & & & & & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & & & & & & 1 & & 1 \\ 1 & & & & & & & & & 1 & & & 1 \\ 1 & & & 1 & 1 & & 1 & & & & 1 & & & 1 \\ & 1 & & & & & 1 & 1 & & & 1 & & 1 & 1 & & 1 \\ & 1 & & 1 & 1 & & 1 & & & 1 & & & & 1 \\ 1 & & & & & & 1 & & & 1 & & & & 1 \\ 1 & & & 1 & 1 & & & & & 1 & & & 1 \\ & 1 & & & & & 1 & & & & 1 & & 1 & 1 & 1 \\ & 1 & & 1 & 1 & & 1 & 1 & & & 1 & & 1 \\ 1 \\ & & & & & & 1 \\ & & & 1 \\ & & & & & & & & & 1 \end{matrix} )

La multiplication m_{2} de A est connue sur H^{0} et sur H^{′0} grâce aux isomorphismes H^{0} ≃ k[C_{2} ×C_{2}] et H^{′0} ≃ kD_{8}. On peut la décrire sur les autres sous-espaces ainsi :

Soit V l’algèbre de groupe kC_{2}, t l’élément non trivial de C_{2}. Soit π : C_{2} × C_{2} → C_{2} le morphisme défini par a ↦ t, b ↦ 1, et π′ : D_{8} → C_{2} le morphisme défini par r ↦ t, s ↦ t. Ces morphismes donnent à V une structure de (H^{0}, H^{′0})-bimodule, et au dual V^{∨} une structure de (H^{′0}, H^{0})- bimodule.

On a des isomorphismes de (H^{0}, H^{′0})-modules K^{′0} ⟶^{∼} V et K^{′1} ⟶^{∼} V définis par h^{′0}, h^{′1} ↦ 1 et l^{′0}, l^{′1} ↦ 1 + t, puis des isomorphismes de

(H^{′0}, H^{0})-modules K^{−1} ⟶^{∼} V^{∨} et K^{0} ⟶^{∼} V^{∨} définis par h^{−1}, h^{0} ↦ 1 et

l^{−1}, l^{0} ↦ 1 + t.

La restriction de m_{2} au sous-espace (K^{−1} ⊕K^{0} ⊕K^{′0} ⊕K^{′1})^{⊗2} est donnée par la table 4.8.

Tab. 4.8 – Extrait de la table de multiplication de A.

h^{−1} l^{−1} h^{0} l^{0} h^{′0} l^{′0} h^{′1} l^{′1}
h^{−1}  ker π′ σ′
l^{−1}  σ′
h^{0}  ker π′ σ′
l^{0}  σ′
h^{′0}  ker π σ
l^{′0}  σ
h^{′1} ker π σ
l^{′1}  σ

On peut ensuite calculer les valeurs de f_{2}, elles sont données par les tables 4.9.

Les sous-espaces sur lesquels m_{3} est non-nulle sont les suivants :

\begin{aligned}K^{0} ⊗ K^{′0} ⊗ K^{0} & → & K^{−1} & K^{0} ⊗ K^{′1} ⊗ K^{0} & → & K^{0} \\ K^{′0} ⊗ K^{0} ⊗ K^{′1} & → & K^{′0} & K^{′1} ⊗ K^{0} ⊗ K^{′0} & → & K^{′0} \\ K^{′1} ⊗ K^{0} ⊗ H^{′0} & → & H^{′0} & H^{′0} ⊗ K^{′1} ⊗ K^{0} & → & H^{′0} \\ K^{0} ⊗ H^{′0} ⊗ H^{′0} & → & K^{−1} & H^{′0} ⊗ H^{′0} ⊗ K^{′1} & → & K^{′0} \\ K^{0} ⊗ H^{′0} ⊗ K^{′1} & → & H^{0} & K^{′1} ⊗ H^{0} ⊗ K^{0} & → & H^{′0} \\ H^{0} ⊗ K^{0} ⊗ H^{′0} & → & K^{−1} & H^{′0} ⊗ K^{′1} ⊗ H^{0} & → & K^{′0} \end{aligned}

L’application f_{3} est non-nulle sur les espaces

K^{′1} ⊗ H^{0} ⊗ K^{0} et H^{′0} ⊗ K^{′1} ⊗ K^{0}.

Son image est incluse dans A^{′−1}, ses valeurs sont

h^{′1} ⊗ b ⊗ l^{0} ⟼ (e ·)  r^{2} ⊗ h^{′1} ⊗ h^{0} ⟼ (e ·)
h^{′1} ⊗ ab ⊗ h^{0} ⟼ (e ·)  r^{2} ⊗ h^{′1} ⊗ l^{0} ⟼ (e ·)
h^{′1} ⊗ ab ⊗ l^{0} ⟼ (e ·)  r^{2} ⊗ l^{′1} ⊗ h^{0} ⟼ (e ·)
l^{′1} ⊗ b ⊗ h^{0} ⟼ (e ·)  sr^{2} ⊗ h^{′1} ⊗ l^{0} ⟼ (e ·)
l^{′1} ⊗ b ⊗ l^{0} ⟼ (e ·)  sr^{2} ⊗ l^{′1} ⊗ h^{0} ⟼ (e ·)
l^{′1} ⊗ ab ⊗ l^{0} ⟼ (e ·)

Nous allons maintenant montrer que les applications m_{n} et f_{n} sont nulles pour n ≥ 4. Grâce aux formules 4.3 page 146, nous savons qu’il suffit de montrer que les images de m(f_{i} ⊗ f_{n−i}) sont annulées par s et par g_{1} pour tout n ≥ 4 et tout i tel que 1 ≤ i ≤ n−1. On utilise la table de multiplication 4.2.2 page 143.

L’image de f_{3} est le sous-espace de A^{′−1} engendré par l’élément ẽ =(e 0). Soit x un élément de A.

Tab. 4.9 – Tables de f_{2}.

1′  r  r^{2}  r^{3}  s  sr  sr^{2}  sr^{3}  h^{0}  l^{0}

1′

r  (e e)  (e ·)  (e ·)  (e e)  b b+ab
r^{2}  (e+f e+f) (f e)  (e ·)  (e+f ) (f e+f)  (e e)
r^{3}  (e+f e+f) (e+f ·)  (e+f ·) (e+f e+f) b b+ab
s  b b+ab
sr  (e e)  (e ·)  (e ·)  (e e)
sr^{2}  (e e)  (f e+f) (e+f ·)  (e ·)  (f e) (e+f e+f) b b+ab
sr^{3}  (e+f e+f) (e+f ·)  (e+f ·)(e+f e+f)
h^{′1}  (e+f ·)  (e ·)
l^{′1}  (f ·)  (f ·)

h^{′0}  l^{′0}  h^{′1}  l^{′1}

1 a

b (e ·) (f ·)
ab  (e+f ·) (f ·)
h^{0} (· e) (e ·) (\begin{matrix}· & · \\ 1 & · \end{matrix}) (\begin{matrix}· & · \\ · & 1 \end{matrix})
l^{0} (e ·)  (\begin{matrix}· & · \\ · & 1 \end{matrix})

Le produit m(f_{1}(x) ⊗ ẽ) peut être non-nul si x ∈ H^{′0} ou x ∈ K^{′1}. Si x ∈ H^{′0} alors m(f_{1}(x) ⊗ ẽ) est élément de A^{′−1}, donc il est annulé par s et par g_{1}. Si x ∈ K^{′1} alors f_{1}(x) est élément de B^{′1}, combinaison linéaire de 1 et de a, donc m(f_{1}(x)⊗ẽ) est élément de B^{′0} et c’est un multiple de (e 0). Ce vecteur est annulé par s car il appartient à B^{′0}, et par g_{1} comme le montre la matrice G^{′0}.

Le produit m(ẽ⊗f_{1}(x)) peut être non-nul si x est élément de H^{′0} ou K^{0}. Si x ∈ H^{′0} alors m(f_{1}(x) ⊗ ẽ) est encore élément de A^{′−1}, donc il est annulé

par s et par g_{1}. Si x ∈ K^{0} alors f_{1}(x) est un élément de B^{0} de la forme (\begin{matrix}0 \\ y \end{matrix}), on a

m(ẽ ⊗ f_{1}(x)) =(e 0).(\begin{matrix}0 \\ y \end{matrix})=0.

Montrons que l’image de m(f_{2} ⊗ f_{2}) est annulée par s et par g_{1}. L’image de f_{2} est engendrée par les vecteurs b et ab de B^{−1}, les vecteurs de la forme (∗ 0) de B^{′0}, les vecteurs (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) et (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) de A^{′0}, et par tous les vecteurs de

A^{′−1}. Soient x et y deux éléments de l’image de f_{2}.

Si x ou y appartient à A^{′−1} alors le produit m(x ⊗ y) est nul ou élément de A^{′−1}, donc il est annulé par s et par g_{1}.

Si x ∈ A^{′0}, y ∈ B^{−1}, alors le produit m(x ⊗ y) est nul car x est élément de A_{a}^{′0}, i.e., sa composante de degré 1 est le morphisme nul Q_{0} → Q_{0} :

\xymatrix{Q_{1}^{2} \ar[d]_{x} \ar[r] & Q_{0} \ar[d]^{0} \\ Q_{1}^{2} \ar[r] & Q_{0} \ar[d]^{y} \\  & Q_{0}.}

Si x ∈ B^{′0}, y ∈ A^{′0}, alors on a

m(x ⊗ y) =(∗ 0).(\begin{matrix}0 & 0 \\ ∗ & ∗ \end{matrix})=0.

Si x, y ∈ A^{′0} alors ils sont combinaison linéaire des matrices (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) et

(\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), et m(x ⊗ y) est également combinaison linéaire de ces matrices. C’est donc un élément de l’image de s, et par conséquent il est annulé par s et par g_{1}.

Nous avons donc montré que les applications m_{4} et f_{4} sont nulles.

Les images de m(f_{2} ⊗ f_{3}), m(f_{3} ⊗ f_{2}), et m(f_{3} ⊗ f_{3}) sont également annulées par s et par g_{1}, car l’image de f_{3} est incluse dans celle de f_{2}, et nous savons que l’image de m(f_{2} ⊗ f_{2}) est annulée par s et par g_{1}.

Finalement toutes les applications m_{n} et f_{n} sont nulles pour n ≥ 4.

4.5 Les blocs à défaut diédral

4.5.1 La classification

Les blocs à défaut diédral ont été classés par K. Erdmann ([Er]). Elle a donné une système de représentants des classes d’équivalence de Morita de tels blocs. Ce système est composé d’algèbres de carquois. Il se divise en trois familles, selon que le nombre de classes d’isomorphisme de modules simples soit 1, 2 ou 3. Nous nous intéressons aux blocs contenant deux classes de modules simples.

T. Holm a classé tout ces blocs en classes d’équivalences dérivées ([Ho1]). Il montre en particulier que la classe d’équivalence dérivée d’un bloc à défaut diédral ne dépend que de l’ordre de son groupe de défaut et d’une constante c ∈ {0, 1}.

Rappelons les notations de [Er] et [Ho1] : soit k un corps de caractéristique 2, t un entier strictement positif, c un élément de {0, 1}. On note D(2A)^{t, c} et D(2B)^{t, c} les k-algèbres des carquois munis de relations suivants :

D(2A)^{t, c} : [figure: 0; α; β; 1; γ] \begin{aligned}γβ & = & 0 \\ α^{2} & = & c(αβγ)^{t} \\ (αβγ)^{t} & = & (βγα)^{t} \end{aligned}

D(2B)^{t, c} : [figure: 0; α; β; 1; η; γ] \begin{aligned}βη & = & 0 \\ ηγ & = & 0 \\ γβ & = & 0 \end{aligned} \begin{aligned}α^{2} & = & c(αβγ)^{t} \\ αβγ & = & βγα \\ γαβ & = & η^{t}. \end{aligned}

Leurs matrices de Cartan sont respectivement

( \begin{matrix}4t & 2t \\ 2t & t + 1 \end{matrix} )  et  ( \begin{matrix}4 & 2 \\ 2 & t + 1 \end{matrix} ) .

K. Erdmann a montré que la famille

{D(2A)^{t, c}, D(2B)^{t, c} | t = 2^{n}, n ≥ 0, c = 0, 1}

(où, bien sur, on identifie D(2A)^{1, c} et D(2B)^{1, c}) est un système de représentants des classes d’équivalences de Morita des blocs à défaut diédral et à deux classes d’isomorphismes de modules simples. Précisément, si le groupe de défaut d’un bloc B ayant deux classes d’isomorphismes de modules simples est diédral d’ordre 4t alors B est équivalent au sens de Morita à l’une des quatres algèbres D(2A)^{t, c} et D(2B)^{t, c}, c = 0, 1.

De plus, T. Holm a montré que la famille

{D(2B)^{t, c} | t = 2^{n}, n ≥ 0, c = 0, 1}

est un système de représentants des classes d’équivalences dérivées des blocs à défaut diédral ayant deux classes d’isomorphismes de modules simples.

Une de ces algèbres étant fixée, nous noterons P_{0} et P_{1} les modules projectifs indécomposables correspondant aux modules simples 0 et 1.

Nous avons le lemme suivant :

Lemme 4.5.1. Soit t une puissance de 2 et c un élément de {0, 1}.

1. Soit B = D(2A)^{t, c}. Les algèbres End_{B}(P_{0}) et kD_{4t} sont isomorphes si et seulement si c = 0.

2. Soit B = D(2B)^{t, c}. Les algèbres End_{B}(P_{0}) et k[C_{2} × C_{2}] sont isomorphes si et seulement si c = 0.

Démonstration : Si B = D(2A)^{t, c}, alors l’algèbre End_{B}(P_{0}) est définie par générateurs et relations par

End_{B}(P_{0}) = ⟨α, βγ | α^{2} = c(α.βγ)^{t}, (βγ)^{2} = 0, (α.βγ)^{t} = (βγ.α)^{t} ⟩.

Si B = D(2B)^{t, c}, alors l’algèbre End_{B}(P_{0}) est définie par générateurs et relations par

End_{B}(P_{0}) = ⟨α, βγ | α^{2} = c α.βγ, (βγ)^{2} = 0, α.βγ = βγ.α ⟩.

Il suffit donc de démontrer le lemme pour B = D(2A)^{t, c} avec t = 2^{n}, n ≥ 0. Il sera alors valide pour t = 1, donc pour B = D(2B)^{t, c} avec t quelconque.

Nous commençons par montrer que si B = D(A)^{t, 0} alors les algèbres End_{B}(P_{0}) et kD_{4t} sont isomorphes, puis nous montrerons que si B′ = D(2A)^{t, 1} alors les algèbres End_{B}(P_{0}) et End_{B′}(P_{0}) ne sont pas isomorphes.

Posons B = D(2A)^{t, 0}. On utilise la définition de D_{4t} donnée section 1.1.2. Soit φ le morphisme d’algèbres défini par

φ : kD_{4t} ⟶ End_{B}(P_{0})
s ⟼ 1 + α
sr ⟼ 1 + βγ

Nous savons que s et sr engendrent D_{4t}. Pour montrer que φ est bien défini, il faut montrer que φ(s)^{2} = φ(sr)^{2} = 1, ce qui est clair, puis que φ(r)^{2t} = 1 : On a

φ(r) = 1 + α + βγ + α.βγ
φ(r)^{2} = 1 + α.βγ + βγ.α + α.βγ.α + βγ.α.βγ + (α.βγ)^{2}
φ(r)^{4} = 1 + (α.βγ)^{2} + (βγ.α)^{2} + (α.βγ)^{3} + (βγ.α)^{3}
+α(βγ.α)^{3} + βγ(α.βγ)^{3} + (α.βγ)^{4}.

Une récurrence montre que pour tout entier i ≥ 2 on a

φ(r)^{2^{i}} = 1 + (α.βγ)^{2^{i−1}} + (βγ.α)^{2^{i−1}} + (α.βγ)^{2^{i}−1} + (βγ.α)^{2^{i}−1}

+ α(βγ.α)^{2^{i}−1} + βγ(α.βγ)^{2^{i}−1} + (α.βγ)^{2^{i}},

ainsi φ(r)^{2t} = 1.

Soit ψ le morphisme d’algèbres défini par

ψ : End_{B}(P_{0}) ⟶ kD_{4t}
α  ⟼ 1 + s
βγ  ⟼ 1 + sr.

Il est évident que (ψ(α))^{2} = 0 et (ψ(βγ))^{2} = 0, donc pour vérifier que ψ est bien défini, il faut montrer que (ψ(α.βγ))^{t} = (ψ(βγ.α))^{t}. Or t est une puissance de 2 donc on a

(ψ(α.βγ))^{t} +(ψ(βγ.α))^{t} = (ψ(α.βγ)+ψ(βγ.α))^{t} = (r +r^{−1})^{t} = r^{t} +r^{−t} = 0

et ψ est bien défini. On a φ ∘ ψ = Id et φ ∘ ψ = Id donc φ et ψ sont des isomorphismes.

On pose maintenant B = D(2A)^{t, 0} et B′ = D(2A)^{t, 1}. La remarque suivant le théorème [Er, VI.8.1] montre que les algèbres End_{B}(P_{0}) et End_{B′}(P_{0}) ne sont pas isomorphes. Nous en redonnons un démonstration.

Posons A = End_{B}(P_{0}) et A′ = End_{B′}(P_{0}). On note α et βγ les générateurs de A et α′ et β′γ′ ceux de A′. Il est clair que le radical de A (respectivement de A′) est engendré par les éléments α et βγ (respectivement α′ et β′γ′), et que son socle est de dimension 1, engendré par (α.βγ)^{t} (respectivement par (α′.β′γ′)^{t}).

En conséquence, si A et A′ sont isomorphes alors il existe un élément ω de radA − rad^{2}A tel que ω^{2} est un élément non nul de socA : c’est l’image de α′ par un hypothétique isomorphisme A′ → A.

Soit ω un élément de radA − rad^{2}A :

ω = λ.α + μ.βγ + ω′

où ω′ est élément de rad^{2}A, et (λ, μ) est élément de k^{2} − {(0, 0)}. On a un automorphisme d’algèbre sur A défini par α ↦ βγ et βγ ↦ α donc quitte à l’appliquer à ω on peut supposer que λ ≠ 0. Quitte ensuite à multiplier ω par un scalaire, on suppose que λ = 1.

Il existe des éléments X_{1}, X_{2}, X_{3} et X_{4} de A tels que

ω′ = αX_{1}α + αX_{2}βγ + βγX_{3}α + βγX_{4}βγ.

et des éléments Y_{1}, Y_{2}, Y_{3} et Y_{4} de A tels que

ω^{2} = αY_{1}α + αY_{2}βγ + βγY_{3}α + βγY_{4}βγ.

en particulier on a

αY_{1}α = α[X_{2}βγ + βγX_{3} + X_{1}α.βγX_{3} + X_{2}βγ.αX_{1}]α.

Comme X_{1} est combinaison linéaire d’éléments de la forme βγ.(α.βγ)^{i} et X_{3} est combinaison linéaire d’éléments de la forme (α.βγ)^{i}, on a X_{1}α.βγX_{3} = βγX_{3}αX_{1}, puis

αY_{1}α = α(X_{2}βγ + βγX_{3})(αX_{1}α + α).

Il existe des scalaires λ_{0} … λ_{t} et μ_{0} … μ_{t} tels que

X_{2} = ∑_{i} λ_{i}(βγ.α)^{i} et X_{3} = ∑_{i} μ_{i}(α.βγ)^{i}.

Soit i_{0} l’entier défini comme étant le plus petit entier i tel que λ_{i} ≠ μ_{i} si un tel plus petit entier existe, et par i_{0} = t sinon. On a alors

αY_{1}α ∈ rad^{2i_{0}+3}A.

Supposons maintenant que ω^{2} ∈ socA. Comme socA = rad^{2t}A alors i_{0} ≥ t − 1.

On vérifie que l’espace vectoriel [A, A] engendré par les commutateurs de A admet pour base l’ensemble

{(α.βγ)^{i}α, βγ(α.βγ)^{i}, (α.βγ)^{i} + (βγ.α)^{i} | i = 1 … t − 1}

donc modulo [A, A] on a

ω^{2} ≡ (αX_{2}βγ)^{2} + (βγX_{3}α)^{2}
≡ (α.βγ)^{2}X_{2}^{2} + (βγ.α)^{2}X_{3}^{2}
≡ ∑_{i≥0}[λ_{i}^{2}(α.βγ)^{2i+2} + μ_{i}^{2}(βγ.α)^{2i+2}]

or si i < i_{0} alors λ_{i}^{2}(α.βγ)^{2i+2}+μ_{i}^{2}(βγ.α)^{2i+2} ∈ [A, A], et comme i_{0} ≥ t−1 on obtient ω^{2} ∈ [A, A]. L’intersection [A, A] ∩ socA étant restreinte à l’espace nul, on a ω^{2} = 0, ce qui implique qu’il n’existe pas d’isomorphisme A′ ⟶^{∼} A. □

On a aussi le lemme suivant :

Lemme 4.5.2. Soit B un élément de {D(2A)^{t, c}, D(2B)^{t, c}}, et C un complexe de B-module de la forme P_{1}^{2} ⟶^{δ} P^{0} concentré en degrés 0 et 1. On suppose que C vérifie la propriété de disjonction. Alors C est isomorphe au complexe

\xymatrix{C_{0} : P_{1}^{2} \ar[r]^{^{(\begin{matrix}γ \\ γα \end{matrix})}} & P_{0}.}

concentré en degré 0 et 1.

Démonstration : Soit B = D(2A)^{t, c}. Nous allons expliciter l’ensemble des complexes isomorphes au complexe C_{0}. Cela revient à calculer l’ensemble

E = \{f^{−1}. ( \begin{matrix}γ \\ γα \end{matrix} ) .g | f ∈ End(P_{1}^{2}), g ∈ End(P_{0}), f, g inversibles\} .

Les espaces Hom(P_{1}, P_{0}) et Hom(P_{0}, P_{1}) admettent pour base les ensembles

Hom(P_{1}, P_{0}) : {γ(αβγ)^{i}, γ(αβγ)^{i}α | i = 0 … t − 1}
Hom(P_{0}, P_{1}) : {β(γαβ)^{i}, αβ(γαβ)^{i}| i = 0 … t − 1}.

On note I le sous-espace de Hom(P_{1}, P_{0}) engendré par les γ(αβγ)^{i} et les γ(αβγ)^{i}α tels que i ≥ 1. On note J_{0} et J_{1} les radicaux respectifs de End(P_{0}) et End(P_{1}), puis I′ le sous-espace Hom(P_{1}, P_{0}).J_{0}. On a alors I′ = γα.End(P_{0}) = γ.J_{0}. Les inclusions

I ⊂ I′ ⊂ Hom(P_{1}, P_{0})

sont strictes car γ ∈ Hom(P_{1}, P_{0}) − I′ et γα ∈ I′ − I. Le sous-espace

E_{1} = \{( \begin{matrix}γ \\ γα \end{matrix} ) .g | g ∈ End(P_{0}), g inversible\}

est l’ensemble

\{( \begin{matrix}a_{0}γ + b_{0}γα + I \\ d_{0}γα + I \end{matrix} ) | ( \begin{matrix}a_{0} & b_{0} \\ 0 & d_{0} \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(k)\} .

Pour tout élément a de End(P_{1}), on note a = a_{0}1 + a_{1} où a_{0} est un

scalaire et a_{1} ∈ J_{1}. Soit f = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) un endomorphisme de P_{1}^{2}. Alors f est

inversible si et seulement si la matrice f_{0} = (\begin{matrix}a_{0} & b_{0} \\ c_{0} & d_{0} \end{matrix} ) est inversible. On obtient donc

E = \{( \begin{matrix}a_{0}γ + b_{0}γα + I \\ c_{0}γ + d_{0}γα + I \end{matrix} ) | ( \begin{matrix}a_{0} & b_{0} \\ c_{0} & d_{0} \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(k)\} .

Supposons que C est un complexe

\xymatrix{P_{1}^{2} \ar[r]^{δ} & P_{0}}

Quitte à multiplier à droite par un morphisme (\begin{matrix}a_{0} & b_{0} \\ c_{0} & d_{0} \end{matrix} ) inversible, on peut supposer que la différentielle δ est de la forme

δ = ( \begin{matrix}aγ + I \\ dγα + I \end{matrix} ) .

où a, d ∈ {0, 1}. Si a = 0 alors le morphisme

\xymatrix{P_{1}^{2} \ar[r]^{δ} & P_{0} \ar[d]^{(αβ(γαβ)^{t−1} 0)} \\  & P_{1}^{2} \ar[r]^{δ} & P_{0}}

est un morphisme de complexe non homotope à zéro. Si d = 0 alors le morphisme

\xymatrix{P_{1}^{2} \ar[r]^{δ} & P_{0} \ar[d]^{(0 β(γαβ)^{t−1})} \\  & P_{1}^{2} \ar[r]^{δ} & P_{0}}

est un morphisme de complexe non homotope à zéro.

Ainsi si C vérifie la propriété de disjonction, alors C est isomorphe à C_{0}. Pour montrer que C_{0} vérifie la propriété de disjonction il suffit de montrer que

Hom_{B}(C_{0}, P_{1}[−1]) = 0.

Aucun élément de la forme βx de Hom_{B}(P_{0}, P_{1}) n’est annulé par γα, aucun élément de la forme αβx n’est annulé par γ, ainsi pour tout élément x de Hom_{B}(P_{0}, P_{1}), si (\begin{matrix}γ \\ γα \end{matrix}) x = 0 alors x = 0.

Si B = (2B)^{t, c}, alors la propriété se démontre de la même façon. □

4.5.2 Le 2-bloc principal de PGL_{2}(q)

On suppose que q est une puissance d’un nombre premier impair.

Nous avons les représentants suivants des 2-sous groupes de Sylow de GL_{2}(q) :

• S_{e} ≃ (C_{2^{a}} × C_{2^{a}}) ⋊ C_{2} si q ≡ 1 (mod 4), où l’élément non trivial de C_{2} agit sur C_{2^{a}} × C_{2^{a}} par (x, y) ↦ (y, x). Le centre de ce groupe est le sous-groupe de C_{2^{a}} × C_{2^{a}} contenant les éléments de la forme (x, x).

• S_{s} ≃ C_{2^{b+1}} ⋊ C_{2} si q ≡ 3 (mod 4), où l’élément non trivial de C_{2} agit sur C_{2^{b+1}} par x ↦ x^{2^{b}−1}. Il s’agit du groupe semi-diédral SD_{2^{b+2}}. Le centre de S_{s} est le sous-groupe d’ordre 2 de C_{2^{b+1}} (donc le sous-groupe contenant l’élément x^{2^{b}} si x est un générateur de C_{2^{b+1}}).

Dans les deux cas, le centre du sous-groupe de Sylow S est l’intersection de S avec le centre de GL_{2}(q). Ainsi le quotient S/Z(S) est un 2-sous-groupe de Sylow de PGL_{2}(q).

Dans le premier cas on a S_{e}/Z(S_{e}) ≃ D_{2^{a}+1}, dans le deuxième on a S_{s}/Z(S_{s}) ≃ D_{2^{b}+1}. On pose a′ = Max{a, b}, et t = 2^{a′−1}.

Les groupes de défaut du bloc principal de kPGL_{2}(q) sont donc isomorphes au groupe diédral D_{4t}. Nous savons (cf B.2) que ce bloc a deux classes d’isomorphismes de modules simples, et que sa matrice de Cartan est

• ( \begin{matrix}4t & 2t \\ 2t & t + 1 \end{matrix} ) si q ≡ 1 (mod 4),

• ( \begin{matrix}4 & 2 \\ 2 & t + 1 \end{matrix} ) si q ≡ 3 (mod 4).

Nous en déduisons donc que si q ≡ 1 (mod 4) alors il existe c ∈ {0, 1} tel que le bloc principal de kPGL_{2}(q) soit équivalent au sens de Morita à l’algèbre D(2A)^{t, c}, et que si q ≡ 3 (mod 4) alors il existe c ∈ {0, 1} tel que le bloc principal de PGL_{2}(q) soit équivalent au sens de Morita à l’algèbre D(2B)^{t, c}.

Nous savons que le module kX_{e}(PGL_{2}) défini dans la 3.5.3 est isomorphe à l’enveloppe projective du module trivial, et la propriété 3.5.3 nous dit que End_{B}(kX_{e}) ≃ D_{2^{a+1}}. Le lemme 4.5.1 implique donc que c = 0.

Nous obtenons également que quelle que soit la congruence de q modulo 4, il existe une équivalence dérivée entre le bloc principal de PGL_{2}(q) et l’algèbre D(2B)^{t, 0}.

4.5.3 Les complexes X_{e} et X_{s}

Soit B le bloc principal de kPGL_{2}(q). Nous savons que B a deux classes d’isomorphismes de modules projectifs indécomposables. Nous notons R_{0} et R_{1} deux représentants de ces classes, R_{0} étant l’enveloppe projective du module trivial.

Nous avons construit dans les sections 3.5.2 et 3.5.3 deux complexes de Bmodules kX_{e}(PGL_{2}(q)) et kX_{s}(PGL_{2}(q)). Nous savons que kX_{e}(PGL_{2}(q)) est une enveloppe projective du module trivial et que kX_{s}(PGL_{2}(q)) est un complexe concentré en degrés 1 et 2 de la forme R_{1}^{2} → R_{0} vérifiant la propriété de disjonction.

Soit E(B) l’élément de la famille {D(2A)^{t, 0}, D(2B)^{t, 0}} tel qu’il existe une équivalence de Morita F : B-mod → E(B)-mod.

Si ≡ 3 (mod 4) alors E(B) = D(2B)^{t, 0} où t = 2^{b−1}. Nous avons donc F (kX_{e}) ≃ P_{0}, et F (kX_{s}) est isomorphe au complexe P_{1}^{2} → P_{0} muni de la

différentielle δ = (\begin{matrix}γ \\ γα \end{matrix}). En effet, nous connaissons ses composantes puisque F est une équivalence de Morita, puis le fait qu’il vérifie la propriété de disjonction impose cette différentielle grâce au lemme 4.5.2. Nous notons Y_{e} et Y_{s} ces deux complexes.

Si q ≡ 1 (mod 4), alors E(B) = D(2A)^{t, 0} où t = 2^{a−1}. Nous avons donc F (kX_{e}) ≃ P_{0}, et F (kX_{s}) est isomorphe au complexe P_{1}^{2} → P_{0} muni de la

différentielle δ = (\begin{matrix}γ \\ γα \end{matrix}), toujours grâce au lemme 4.5.2. Nous notons Z_{e} et Z_{s} ces deux complexes.

La proposition [Ho1, 2.1] montre que pour t et c fixés, les catégories dérivées de D(2A)^{t, c} et de D(2B^{t, c}) sont équivalentes. Nous pourrons donc nous contenter d’étudier le cas de D(2B)^{t, 0}. Nous devons cependant déterminer l’image des complexes Z_{e} et Z_{s}.

La proposition [Ho1, 2.1] donne un complexe de D(2A)-modules Q réalisant une équivalence

\xymatrix{G : D(D(2A)) \ar[r]^{Hom(Q, −)}_{∼} & D(D(2B)^{op})}

Notons P_{0} et P_{1} les modules projectifs indécomposables de D(2A) et P′_{0}, P′_{1} ceux de D(2B).

Le complexe Q est défini comme étant la somme directe Q = Q_{0} ⊕ Q_{1}, où Q_{1} est le module P_{1} concentré en degré 0 et Q_{0} est le complexe (\begin{matrix}γ \\ γα \end{matrix}) :

P_{1}^{2} → P_{0} concentré en degrés 0 et 1 (donc un décalé du complexe Z_{s}).

4.6 : PGL_{2}(q), q impair  175

La démonstration de la propriété [Ho1, 2.1] montre que l’image du complexe Q_{0} par l’équivalence G est le module P′_{0} (donc le module Y_{e}), et que l’image du module Q_{1} est le module P′_{1}. De plus, le module P_{0} est isomorphe au cône du morphisme

\xymatrix{Q_{0} : \ar[d] & 0 \ar[r] & P_{1}^{2} \ar[r]^{δ} \ar[d]^{Id} & P_{0} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ Q_{1}^{2} : & 0 \ar[r] & P_{1}^{2} \ar[r] & 0 \ar[r] & 0.}

Par application du foncteur G on obtient un triangle distingué de la catégorie dérivée de D(2B)^{op}, puis en passant à la catégorie opposée on obtient le triangle distingué de la catégorie dérivée de D(2B) :

\xymatrix{G(P_{0}) \ar[r] & P′_{1}^{2} \ar[r] & P′_{0} \ar[r] & G(P_{0})[1]}

Ainsi G(P_{0}) est isomorphe à un complexe P′_{1}^{2} → P′_{0} concentré en degrés 0 et 1. Comme de plus il vérifie la propriété de disjonction, il est isomorphe au complexe Y_{s}.

Finalement, les complexes Z_{e} et Z_{s} sont envoyés respectivement sur Y_{s} et Y_{e} par l’équivalences G.

Nous remplaçons maintenant les notations Z_{e} et Z_{s} par X_{e} et X_{s}. Il suffit donc de traiter le cas de B = D(2B)^{t, 0} où t est une puissance de 2 supérieure ou égale à 2, en notant X_{e} le complexe P_{0} concentré en degré 0, et X_{s} le complexe (\begin{matrix}γ \\ γα \end{matrix}) : P_{1}^{2} → P_{0} concentré en degrés 0 et 1.

Remarque 4.5.3. Le fait que le complexe X_{s} soit décalé par rapport au complexe de Deligne-Lusztig ne change que le degré de certains sous-espaces des algèbres E et A que nous obtiendrons : si l’on avait gardé un complexe concentré en degrés 1 et 2, alors les sous-espaces B^{−1}, B^{0}, B^{′0} et B^{1} de E ainsi que les sous-espaces K^{−1}, K^{0}, K^{′0} et K^{1} de A auraient été en degrés respectifs −2, −1, 1 et 2 (au lieu de −1, 0, 0 et 1).

Remarque 4.5.4. L’algèbre D(2B)^{2, 0} est isomorphe à l’algèbre k𝔖_{4}, cf [Er, II.7.5]. Ceci justifie le choix des complexes X_{e} et X_{s} si q ≡ ±3 (mod 8) dans la section 4.4.

4.6 PGL_{2}(q) avec q impair

Nous allons généraliser le résultat obtenu dans la section 4.4 au cas où q est une puissance d’un nombre premier impair quelconque.

4.6.1 Applications f_{1}, g_{1} et s

Soit t une puissance de 2 supérieure ou égale à 2, et B l’algèbre D(2B)^{t, 0} telle qu’elle est définie page 167.

L’algèbre B a deux classes d’isomorphismes de modules projectifs indécomposables, on en choisit des représentants P_{0} et P_{1}. Leurs algèbres d’endomorphismes sont décrites par générateurs et relations par :

End_{B}(P_{0}) = ⟨α, βγ | α^{2} = (βγ)^{2} = 0, α.βγ = βγ.α⟩
End_{B}(P_{1}) = ⟨η | η^{t+1} = 0⟩

Les k-espaces vectoriels de morphismes ont pour bases

Hom_{B}(P_{0}, P_{1}) : {β, αβ}
Hom_{B}(P_{1}, P_{0}) : {γ, γα}

Les éléments βγ et η annulent ces deux espaces, l’élément α annule αβ et γα.

Soit X_{e} le module P_{0} vu comme complexe concentré en degré 0, et X_{s} le complexe

\xymatrix{(\begin{matrix}γ \\ γα \end{matrix}) : P_{1}^{2} \ar[r] & P_{0}}

concentré en degrés 0 et 1.

On utilise toutes les notations définies dans la section 4.2.2, donc E est la DG-algèbre End_{B}(X_{e} ⊕ X_{s}) et A est son modèle minimal.

Les complexes X_{e} et X_{s} vérifient les hypothèses du lemme 4.2.2 et de la remarque 4.2.3, donc le modèle minimal que nous obtiendrons sera une A_{5}-algèbre. Nous allons montrer que l’on peut choisir une A_{3}-algèbre.

Nous faisons les choix des bases suivantes pour la DG-algèbre E :

A^{′0}, A_{b}^{′0}, B^{−1}, B^{′1} : (1, α, βγ, α.βγ)
A^{′−1}, B^{′0} : (( β 0 ) , ( αβ 0 ) , ( 0 β ) , ( 0 αβ ))
A^{′1}, B^{0} : ((\begin{matrix}γ \\ 0 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}γα \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ γ \end{matrix} ) , (\begin{matrix}0 \\ γα \end{matrix}))
A_{a}^{′0} : ((\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}η & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , … (\begin{matrix}η^{t} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , … (\begin{matrix}0 & η^{t} \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ,

(\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , … (\begin{matrix}0 & 0 \\ η^{t} & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , … (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & η^{t} \end{matrix} )) ,

Puis les choix des bases suivantes pour l’homologie A :

\begin{matrix}K^{−1} : & (βγ, α.βγ) \\ K^{0} : & (( \overline{0} ; γ ), (\overline{γα} ; 0)) \\ K^{′0} : & (( αβ γ ) , ( 0 αβ )) \\ K^{′1} : & (¯1, ᾱ) \end{matrix}

(la base de A^{′0} est la base de A_{a}^{′0} suivie de celle de A_{b}^{′0}).

Nous choisissons des applications f_{1}, g_{1}, et s sur les sous-espace B, B′, K et K′. Nous obtenons les matrices :

( \begin{matrix}G^{−1} & D^{−1} \\ 0 & F^{0} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}& | & 1 & & & 1 \\ & | & & 1 \\ 1 & | \\ & 1 | \\ & | & & & 1 \\ & | & & & & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}F^{−1} & 0 \\ S^{0} & G^{0} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}& & 1 & | \\ & & & 1 | \\ 1 & & & | & & 1 \\ & 1 & & | \\ & & & | & 1 \\ & & & | & & 1 \end{matrix} )

( \begin{matrix}G^{′0} & D^{′0} \\ 0 & F^{′1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}& | & & & 1 \\ & | & & & & 1 \\ 1 & | & & & & 1 \\ & 1 | \\ & | & 1 \\ & | & & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}F^{′0} & 0 \\ S^{′1} & G^{′1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}& 1 & 1 & | \\ & & & 1 | \\ & & & | & 1 \\ & & & | & & 1 \\ 1 & & & | \\ & 1 & & | \end{matrix} )

On calcule que l’image de d|_{A^{′−1}} est le sous-espace de A^{′0} engendré par les éléments

\{(\begin{matrix}η^{t} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + α.βγ, (\begin{matrix}0 & η^{t} \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}0 & 0 \\ η^{t} & 0 \end{matrix}) + βγ, (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & η^{t} \end{matrix} ) + α.βγ\} .  (4.6)

On note sous la forme a = ∑_{i=0...t} a_{i}η^{i} les élément de End(P_{1}). Les éléments du noyau de d|_{A^{′0}} sont les éléments

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) + e_{0}1 + e_{1}α + e_{2}βγ + e_{3}α.βγ

tels que a_{0} = d_{0} = e_{0}, b_{0} = e_{1}, et c_{0} = 0.

Nous allons maintenant expliciter un isomorphisme kD_{4t} ⟶^{∼} H^{′0}, bien que ceci ne nous serve pas dans la suite. On note les éléments de H^{′0} par un de leurs représentants dans ker d|_{A^{′0}}.

Lemme 4.6.1. On définit un isomorphisme d’algèbre f en posant

f : kD_{4t} ⟶ H^{′0}
s ⟼ (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + 1 + α
r ⟼ (\begin{matrix}1 & 1 \\ η & 1+η \end{matrix} ) + 1 + α.

Démonstration : On note s′ = f(s), r′ = f(r), et 1′ = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})+1. Montrons

d’abord que f est bien défini. On a s^{′2} = 1′, puis

s′r′ = ( \begin{matrix}1 + η & η \\ η & 1 + η \end{matrix} ) + 1

donc (s′r′)^{2} = 1′. On montre par récurrence que pour tout entier positif i on a

r^{′2^{i}} = ( \begin{matrix}∑_{j=0...i} η^{2^{i}−2^{j}} & η^{2^{i}−1} \\ η^{2^{i}} & ∑_{j=0...i} η^{2^{i}−2^{j}} \end{matrix} ) + 1 + ε(i)α

où ε(i) est nul si i ≠ 0 et ε(0) = 1. On a donc

r^{′2t} = ( \begin{matrix}1 + η^{t} & 0 \\ 0 & 1 + η^{t} \end{matrix} ) + 1,

la classe de cet élément est bien égale à celle de 1′ dans H^{′0}. Nous avons donc un morphisme d’algèbres. Notons que l’on a

r^{′−1} = ( \begin{matrix}1 + η & 1 \\ η & 1 \end{matrix} ) + 1 + α et r′s′ = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ η & 1 \end{matrix} ) + 1.

Pour montrer que f est bijectif, on décompose le k-espace-vectoriel H^{′0} de la façon suivante :

V_{0} = ⟨(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + 1, (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + 1 + α⟩
V_{i} = ⟨(\begin{matrix}η^{i} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & η^{i} \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}0 & 0 \\ η^{i} & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & η^{i} \end{matrix} )⟩ pour i = 1 … t − 1
V_{t} = ⟨(\begin{matrix}0 & 0 \\ η^{t} & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & η^{t} \end{matrix} )⟩ .

La connaissance de l’image et du noyau de d montre que l’on a une décomposition en somme directe

H^{′0} = ⨁_{i=0...t} V_{i}.

Pour tout i = 1 … t on note W_{i} = ⨁_{j=0...i} V_{j}. On a alors le résultat suivant :

\begin{matrix}r^{′i} ∈ (\begin{matrix}0 & 0 \\ η^{i} & η^{i} \end{matrix} ) + V_{i−1} & r^{′−i} ∈ (\begin{matrix}η^{i} & 0 \\ η^{i} & 0 \end{matrix}) + V_{i−1} \\ s′r^{′i} ∈ (\begin{matrix}η^{i} & η^{i} \\ η^{i} & η^{i} \end{matrix} ) + V_{i−1} & r^{′i}s′ ∈ (\begin{matrix}0 & 0 \\ η^{i} & 0 \end{matrix}) + V_{i−1} \end{matrix}

pour tout i = 0 … t. Ceci se montre par récurrence. Nous en déduisons que la famille

F_{i} = {1′, s′, r^{′j}, r^{′−j}, s′r^{′j}, r^{′j}s′ | j = 1 … i}

est une base de W_{i} pour tout i = 1 … t − 1. De plus, en ajoutant les éléments r^{′t} et r^{′t}s′ à la famille F_{t−1} nous obtenons une base de W_{t} = H^{′0}.

Ainsi l’image de D_{4t} par f est une base de H^{′0}, et donc f est un isomorphisme. □

Soit x un élément de H^{′0}. Nous définissons f_{1}(x) comme étant l’unique

élément (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) + e du noyau de d|_{A^{′0}} tel que a_{t} = b_{t} = c_{t} = d_{t} = 0. Une base

de l’image de d|_{A^{′−1}} est donnée ci-dessus (4.6), elle permet de vérifier que la définition de f_{1} est correcte.

Nous choisissons alors la restriction de s à A^{′1} de façon à obtenir la matrice suivante :

A = ( \begin{matrix}Δ^{−1} \\ Φ \\ Σ^{1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}· & · | & · & · | & · & & 1 | & · & · | & · & · & 1 & · \\ · & 1 | & · & · | & · & & · | & · & · | & · & · & · & 1 \\ · & · | & · & · | & · & & · | & · & 1 | & · & · & · & 1 \\ · & · | & · & 1 | & · & & · | & · & · | & · & · & · & · \\ & & & & & Φ \\ 1 & · | & · & · | & · & & · | & · & · | \\ · & · | & 1 & · | & · & & · | & · & · | \\ · & · | & · & · | & 1 & & · | & · & · | \\ · & · | & · & · | & · & & · | & 1 & · | \end{matrix} )

Les matrices Δ^{−1} et Σ^{1} sont de hauteur 4 et de largeur 4t + 8, elles sont ici décomposées en quatre blocs de largeur t + 1 et un bloc de largeur 4.

Par définition de f_{1}, l’espace vectoriel engendré par les vecteurs-lignes de Δ^{−1} et de Φ est de rang (4t + 1). Les vecteurs-lignes de Σ^{1} ne sont pas dans le noyau de d|_{A^{′0}}, et aucune de leurs combinaisons linéaires non nulles n’y est non plus, donc la matrice A est inversible.

Soit ( Σ Γ Δ ) sa matrice inverse. On pose :

( Σ^{0} Γ Δ^{0} ) = ( \begin{matrix}· & · & · & · \\ · & 1 & · & · \\ · & · & · & · \\ · & · & · & 1 \\ · & · & · & · \\ 1 & · & · & · \\ · & · & · & · \\ · & · & 1 & · \end{matrix} |  Γ  | \begin{matrix}1 & · & · & · \\ · & · & · & · \\ · & 1 & · & · \\ · & · & · & · \\ · & · & 1 & · \\ · & · & · & · \\ · & · & · & 1 \\ · & · & · & · \\ 1 & · & · & 1 \\ · & 1 & · & · \\ · & · & · & · \\ · & · & · & · \end{matrix} ) (4.7)

La matrice Δ^{0} est la matrice de d|_{A^{′0}}, alors que la matrice Σ^{0} a été choisie. On vérifie que

AΣ^{0} = ( \begin{matrix}Id \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) et AΔ^{0} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ Id \end{matrix} )

et comme ( Σ Γ Δ ) est la matrice inverse de A alors

AΓ = ( \begin{matrix}0 \\ Id \\ 0 \end{matrix} ) .

La matrice 4.7 est donc l’inverse de la matrice A. Nous avons terminé de définir les applications f_{1}, g_{1} et s.

4.6.2 Calcul de la A_{∞}-structure de A

Nous appliquons maintenant les formules 4.2 page 137, qui expriment les applications m_{n} et f_{n} pour n ≥ 2.

Propriété 4.6.2. On a m_{n} = 0 et f_{n} = 0 pour tout n ≥ 4.

Démonstration : Nous savons que l’image de f_{2} est incluse dans la somme des sous-espaces A^{′−1}, B^{−1}, B^{′0}, et A_{s′}^{′0}, où A_{s′}^{′0} représente l’intersection de A^{′0} avec l’image de f_{2}. Si x et y sont deux élément de A tels que f_{2}(x⊗y) ∈ A^{′0}, alors m(f_{1}(x) ⊗ f_{1}(y)) est élément de A^{′1}, donc x ∈ K^{0} et y ∈ K^{′1}. Alors

f_{1}(x) est de la forme (\begin{matrix}0 \\ ∗ \end{matrix}), élément de B^{0}, puis m(f_{1}(x) ⊗ f_{1}(y)) est de la

même forme, élément de A^{′1}. Donc f_{2}(x ⊗ y) est combinaison linéaire des matrices

( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) et ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .  (4.8)

Soit x un élément de l’image de f_{1} et y un élément de l’image de f_{2}. Nous traitons tous les cas où l’une des deux composantes sm(x ⊗ y) et sm(y ⊗ x) de f_{3} peut être non nulles :

Si x ∈ A′_{0}, y ∈ A_{s′}^{′0}, alors x est élément de f_{1}(H^{′0}) donc il est de la forme

(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) + e où a_{t} = b_{t} = c_{t} = d_{t} = 0, et y est combinaison linéaire des matrices

4.8. En conséquence, les produits m(x⊗y) et m(y ⊗x) sont de la forme (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})

avec a′_{t} = b′_{t} = c′_{t} = d′_{t} = 0. Donc l’application s les annule.

Si y ∈ A_{s′}^{′0}, x ∈ B^{0}, alors x est de la forme (\begin{matrix}0 \\ ∗ \end{matrix}), et y est combinaison

linéaire des matrices 4.8, donc sm(y ⊗ x) est élément de B^{0}, toujours de la

forme (\begin{matrix}0 \\ ∗ \end{matrix}), et il est annulé par s.

Si x ∈ B^{′1}, y ∈ B^{−1}, alors m(y ⊗x) est élément de A_{b}^{′0}, donc il est annulé par s.

Si x ∈ B^{0}, y ∈ B^{′0}, alors x est de la forme (\begin{matrix}0 \\ ∗ \end{matrix}), et y est de la forme (∗ 0). De

plus le produit d’un élément de Hom(P_{0}, P_{1}) par un élément de Hom(P_{1}, P_{0}) est un multiple de η^{t}. Donc sm(x ⊗ y) est un multiple de l’élément (β 0) de A^{′−1}.

Si x ∈ B^{′1}, y ∈ A_{s′}^{′0}, alors y est en particulier élément de A_{a}^{′0} :

\xymatrix{P_{1}^{2} \ar[r] \ar[d]_{y} & P_{0} \ar[d]^{0} \\ P_{1}^{2} \ar[r] & P_{0} \ar[d]^{x} \\  & P_{0}}

donc le produit m(x ⊗ y) est nul.

Nous venons donc de montrer que l’image de f_{3} est incluse dans le sousespace de A^{′−1} engendré par le vecteur (β 0).

Soit x un élément de l’image de f_{1}, et y un multiple de (β 0).

Si le produit m(x ⊗ y) est non nul, alors il est élément soit de A^{′−1} (qui est annulé par g_{1} et par s), soit de B^{′0}. Mais alors x est élément de B^{′1}, et m(x ⊗ y) est de la forme (∗ 0) dans B^{′0}, donc il est annulé par g_{1} et par s.

Si le produit m(y ⊗ x) est non nul et non élément de A^{′−1}, alors il est

élément de B^{−1} et x est un élément de la forme (\begin{matrix}0 \\ ∗ \end{matrix}) de B^{0}, donc le produit

m(y ⊗ x) est nul.

Soient x et y deux éléments de l’image de f_{2}. Le produit m(x ⊗ y) peut être non nul et non élément de A^{′−1} dans trois cas :

Si x, y ∈ A_{s′}^{′0}, alors le produit m(x ⊗ y) est encore combinaison linéaire des matrices 4.8, donc élément de s(A^{′1}), et il est annulé par g_{1} et par s.

Si x ∈ A_{s′}^{′0}, y ∈ B^{−1}, alors comme x ∈ A_{a}^{′0} le produit m(x ⊗ y) est nul.

Si x ∈ B^{′0}, y ∈ A_{s′}^{′0}, alors x est de la forme (∗ 0) donc le produit m(x ⊗ y) est nul.

Nous venons donc d’obtenir que les applications m_{4} et f_{4} sont nulles. Les images de m(f_{2} ⊗ f_{3}) , m(f_{3} ⊗ f_{2}), et m(f_{3} ⊗ f_{3}) sont aussi annulées par g_{1} et s car l’image de f_{3} est incluse dans celle de f_{2}.

Ainsi les applications m_{n} et f_{n} sont nulles pour tout n ≥ 4. □

Annexe A

Contrôle de la fusion

Nous allons dans cette annexe rappeler la définition du contrôle de la fusion.

En 1967, J. Alperin a démontré son théorème de fusion dans son article [Al1]. Il permet de simplifier la définition du contrôle de la fusion, comme le montre la propriété A.2.2.

Dans son livre [Th], J. Thévenaz donne la démonstration de ce théorème dans le cadre plus général des groupes pointés. Nous allons adapter cette démonstration au cas des groupes.

On fixe un groupe fini G et un nombre premier p pour toute cette annexe. Le symbole < signifie “strictement inclus”.

A.1 Le théorème de fusion d’Alperin

Soit Q un p-sous-groupe de G, et N_{Q} l’ensemble des p-sous-groupes P tels que Q < P ≤ N_{G}(Q). On le munit de la relation d’équivalence engendrée par les inclusions : deux éléments P et P′ sont équivalents si l’on peut aller de l’un à l’autre par une chaîne P = R_{0}, R_{1}, …, R_{n} = P′ d’éléments de N_{Q} telle que pour tout i = 1 … n on ait R_{i} ≤ R_{i−1} ou R_{i} ≥ R_{i−1}. Ainsi N_{Q} se partage en composantes connexes pour cette relation.

On dit que Q est faiblement essentiel si N_{Q} n’est pas connexe. Un sousgroupe faiblement essentiel ne peut être un sous-groupe de Sylow car alors N_{Q} est vide.

Le groupe N_{G}(Q) agit par conjugaison sur N_{Q} en préservant la relation d’ordre partiel, donc la relation d’équivalence, donc il agit sur l’ensemble des composantes connexes de N_{Q}. Cette action est transitive par le théorème de Sylow, car toute composante connexe contient un sous-groupe de Sylow.

On dit que Q est essentiel si C_{G}(Q) n’agit pas transitivement sur l’ensemble des composantes connexes de N_{Q}. Si Q est essentiel, il y a plus d’une composante connexe dans N_{Q}, et donc Q est faiblement essentiel.

On considère l’action de C_{G}(Q) sur les composantes connexes de N_{Q}, on a ainsi des C_{G}(Q)-orbites, qui sont permutées transitivement par le groupe N_{G}(Q)/C_{G}(Q).

Soit Y une composante connexe de N_{Q} et M le stabilisateur de Y dans N_{G}(Q) (si Y′ est une autre composante connexe de N_{Q}, alors Y′ est conjuguée à Y dans N_{G}(Q), et donc M′, le stabilisateur de Y′, est conjugué à M). Soit Y l’orbite de Y sous l’action de C_{G}(Q). L’ensemble MC_{G}(Q) est un sous-groupe de N_{G}(Q) car C_{G}(Q) est distingué dans N_{G}(Q). De plus c’est le stabilisateur de Y. On a les équivalences

• Q est essentiel si et seulement si MC_{G}(Q) est strictement inclus dans N_{G}(Q) ;

• Q est faiblement essentiel si et seulement si M est strictement inclus dans N_{G}(Q).

En fait Q est faiblement essentiel si et seulement si N_{G}(Q)/Q contient un sous-groupe propre fortement p-plongé, qui est M/Q dans ce cas.

La propriété suivante peut aider à déterminer si un sous-groupe n’est pas essentiel, elle ne servira pas dans la démonstration du théorème d’Alperin. Un p-sous-groupe Q de G est auto-centralisant si tout p-sous-groupe de G centralisant Q est inclus dans Q.

Propriété A.1.1. Si Q est essentiel alors Q est auto-centralisant.

Démonstration : Soit H = QC_{G}(Q), R un sous-groupe de Sylow de H. Si Q n’est pas auto-centralisant alors R contient strictement Q, donc R ∈ N_{Q}. Soit P un sous-groupe de Sylow de N_{G}(Q) contenant R. Tout autre sousgroupe de Sylow est de la forme P^{g} où g ∈ N_{G}(Q). On a

Q < R^{g} ≤ H^{g} = H

car H est distingué dans N_{G}(Q). Donc il existe h ∈ H tel que R^{g} = R^{h}. Comme Q ≤ R ≤ QC_{G}(Q) on peut prendre h ∈ C_{G}(Q).

Ainsi P^{g} et P^{h} sont dans la même composante connexe de N_{Q} : ils contiennent tous les deux R^{g}. Donc la composante connexe de N_{Q} contenant Q est dans la même C_{G}(Q)-orbite que celle contenant P^{g}, et Q n’est pas essentiel. □

Soit P un p-sous-groupe de Sylow de G et soit φ : Q → R un isomorphisme de la catégorie de Frobenius F(G) tel que Q et R sont inclus dans P. Il existe donc g ∈ G tel que φ est induit par la conjugaison par g. Un tel isomorphisme φ est appelé essentiel s’il existe un sous-groupe essentiel L et un élément h de N_{G}(L) tels que Q ≤ L ≤ P et φ est induit par la conjugaison par h (on a alors g = hz où z ∈ C_{G}(Q)). On dit que L correspond au morphisme essentiel φ.

Si φ est induit par un élément de N_{G}(P), on dit que φ est maximal, i.e., g = hz où h ∈ N_{G}(P) et z ∈ C_{G}(Q).

Si Q et P sont deux p-sous-groupes de G, Q ≤ P, on dit que Q est pleinement normalisé dans P si P contient un sous-groupe de Sylow de N_{G}(Q).

On peut maintenant énoncer le théorème de fusion d’Alperin :

Théorème A.1.2. Soit P un sous-groupe de Sylow de G, tout morphisme Q → R entre sous-groupes de P induit par la conjugaison par un élément de G est le composé d’un isomorphisme suivi par une inclusion, où l’isomorphisme est le composé d’isomorphismes qui sont soit maximaux, soit essentiels tels que le sous-groupe correspondant est pleinement normalisé dans P.

Pour démontrer ce théorème on va se ramener au théorème suivant :

Théorème A.1.3. Soit P un sous-groupe de Sylow de G, Q un sous-groupe de P, et h un élément de G tel que Q ≤ P^{h}. Alors il existe des sous-groupes M_{1} … M_{n} et des éléments h_{1} … h_{n} tels que

1. Q ≤ M_{i} ≤ P^{h_{1}...h_{i}} pour tout i;

2. h_{i} ∈ N_{G}(M_{i}) pour tout i;

3. h = h_{1} … h_{n};

4. chaque M_{i} satisfait une des trois conditions suivantes : (a) M_{i} est essentiel et pleinement normalisé dans P^{h_{1}...h_{i}} ;

(b) M_{i} est maximal ;

(c) h_{i} ∈ C_{G}(M_{i}).

Démonstration : Soit d l’entier tel que |P : Q| = p^{d}. On raisonne par induction sur d.

Si d = 0, alors Q = P = P^{h}, donc h normalise P, lequel est maximal donc satisfait la condition (b), et le théorème est démontré dans ce cas.

Supposons que d est strictement supérieur à 0. Comme tout sous-groupe d’un p-groupe est sous-normal, il existe des sous-groupes R et R′ dans lesquels Q est distingué et tels que

Q < R ≤ P et Q < R′ ≤ P^{h}.

Ces deux sous-groupes sont inclus dans N_{G}(Q). Soit T un sous-groupe de Sylow de N_{G}(Q) contenant R. Il existe alors y ∈ N_{G}(Q) tel que R′ ≤ T^{y}.

Comme P est un sous-groupe de Sylow, il existe x ∈ G tel que T ≤ P^{x}. On a alors R ≤ P et R ≤ P^{x}. Comme |P : R| < |P : Q| on peut utiliser l’induction : il existe des sous-groupes M_{1} … M_{r} et des éléments x_{1} … x_{r} satisfaisant les conditions :

1. Q ≤ M_{i} ≤ P^{x_{1}...x_{i}} pour i = 1 … r,

2. x_{i} ∈ N_{G}(M_{i}) pour i = 1 … r,

3. x = x_{1} … x_{r},

4. les M_{i} satisfont une des trois conditions (a), (b) et (c).

On a R′ ≤ P^{xy} et R′ ≤ P^{h}, donc de la même manière il existe des sousgroupes M_{r+s+1} … M_{r+s+t} et des éléments y_{1} … y_{t} satisfaisant les conditions :

1. Q ≤ M_{r+s+i} ≤ P^{xy_{1}...y_{i}} pour i = 1 … t,

2. y_{i} ∈ N_{G}(M_{r+s+i}) pour i = 1 … t,

3. y^{−1}x^{−1}h = y_{1} … y_{t},

4. pour i = 1 … t, M_{r+s+i} satisfait une des trois conditions (a), (b) et (c) (la condition (a) étant : pour i = 1 … t, M_{r+s+i} est essentiel et pleinement normalisé dans P^{xy_{1}...y_{i}}).

On est dans la situation suivante, où deux groupes sont reliés si celui du haut contient celui du bas :

[figure: P; P^{x}; P^{xy}; P^{h}; R; R′; Q.]

Il reste donc à donner une décomposition de y. Si Q est essentiel, le résultat est acquis car Q satisfait bien la condition (a) : Q est pleinement normalisé dans P^{x} car T est un sous-groupe de Sylow de N_{G}(Q) tel que Q ≤ T ≤ P^{x}.

Si Q n’est pas essentiel, alors par définition il existe c ∈ C_{G}(Q) tel que T^{yc} est dans la même composante connexe que T. Le couple (Q, c^{−1}) satisfait la condition 4.(c), donc on doit démontrer le résultat pour z = yc : z est un élément de N_{G}(Q) tel que T et T^{z} sont dans la même composante connexe de N_{Q}. On a alors le diagramme suivant :

[figure: T; T_{1}; T_{2}; T_{m−1}; T_{m} = T^{z}; S_{1}; S_{2}; S_{m}; Q.]

On a T ≤ P^{x}, on choisit z_{1} ∈ G tel que T_{1} ≤ P^{xz_{1}}, puis z_{2} tel que T_{2} ≤ P^{xz_{1}z_{2}}, puis ainsi de suite jusqu’à z_{m−1} tel que T_{m−1} ≤ P^{xz_{1}...z_{m−1}}, et pour finir z_{m} tel que z = z_{1} … z_{m}.

Les sous-groupes S_{1} … S_{m} sont éléments de N_{Q}, donc ils contiennent strictement Q et on peut utiliser l’induction pour chacun d’entre eux : comme S_{i} est contenu dans P^{xz_{1}...z_{i−1}} et dans P^{xz_{1}...z_{i}}, alors z_{i} se décompose de la façon demandée par le théorème, et ceci achève la démonstration. □

Démonstration du théorème A.1.2 : Soit Q, R ≤ P, et φ : Q → R un morphisme induit par la conjugaison par un élément g de G. On a Q^{g} ≤ R ≤ P, donc il suffit de montrer que l’isomorphisme Q → Q^{g} donné par la conjugaison par g est composé d’isomorphismes du type voulu.

On applique alors le théorème A.1.3 en posant h = g^{−1}. On pose ensuite L_{1} = M_{1}, g_{1} = h_{1}^{−1}, L_{2} = M_{2}^{g_{1}}, g_{2} = h_{1}h_{2}^{−1}h_{1}^{−1}, et ainsi de suite.

On a donc g = g_{1} … g_{n}, et g_{1} donne par conjugaison un isomorphisme Q → Q^{g_{1}}, les autres éléments g_{i} donnent par conjugaison des isomorphismes Q^{g_{1}...g_{i−1}} → Q^{g_{1}...g_{i}}. De plus Q^{g_{1}...g_{i}} ≤ L_{i}, et g_{i} ∈ N_{G}(L_{i}) pour tout i.

Soit i ∈ {1 … n}. Si la condition (c) est vérifiée par le couple (M_{i}, h_{i}) alors l’isomorphisme donné par g_{i} est trivial donc on peut le supprimer. Si la condition (a) est vérifiée alors L_{i} est essentiel car conjugué à M_{i}, et il est pleinement normalisé dans P par conjugaison. Enfin si la condition (b) est vérifiée alors g_{i} induit un isomorphisme maximal. Le théorème est donc démontré. □

Le corollaire suivant est juste une autre formulation du résultat :

Corollaire A.1.4. Soit P un sous-groupe de Sylow de G, Q un sous-groupe de P, et g un élément de G tel que Q^{g} ≤ P. Alors il existe des sous-groupes L_{1} … L_{n} de P, des éléments h_{i} de N_{G}(L_{i}), et un élément z de C_{G}(Q^{g}) tels que :

• Q^{h_{1}...h_{i}} ≤ L_{i} pour i = 1 … n.
• g = h_{1} … h_{n}z.

De plus chaque L_{i} est soit égal à P, soit essentiel pleinement normalisé dans P.

A.2 Conséquence sur le contrôle de la fusion

On donne tout d’abord la définition de la notion de contrôle de la fusion, puis une simplification grâce au théorème d’Alperin.

Définition A.2.1. Soit G un groupe fini, H un sous-groupe de G, p un nombre premier. On dit que H contrôle la fusion des p-sous-groupes de G si • H contient un p-sous-groupe de Sylow P de G;

• si Q est un p-sous-groupe de P et g un élément de G tel que ^{g}Q ≤ H, alors g ∈ HC_{G}(Q).

La propriété suivante est conséquence de la proposition [Th, 49.5] :

Propriété A.2.2. Soit G un groupe fini et p un nombre premier, P un sousgroupe de Sylow de G, et H un sous-groupe de G contenant P. Les conditions suivantes sont équivalentes.

(i) H contrôle la fusion des p-sous-groupes de G; (ii) on a N_{G}(Q) = N_{H}(Q)C_{G}(Q) pour tout p-sous-groupe Q de P ; (iii) on a N_{G}(Q) = N_{H}(Q)C_{G}(Q) pour tout sous-groupe Q de P essentiel

ou maximal, pleinement normalisé dans P.

Démonstration : Les implications (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) sont claires.

Supposons que (iii) est vrai. Soit Q un sous-groupe de P, g un élément de G tel que ^{g}Q ≤ H. Soit P′ un p-sous-groupe de Sylow de H contenant ^{g}Q. Il existe h ∈ H tel que ^{g}Q ≤ ^{h}P, i.e., ^{h^{−1}g}Q ≤ P. Comme on veut montrer que g ∈ HC_{G}(Q), on peut supposer que ^{g}Q ≤ P.

On considère le morphisme φ : Q → ^{g}Q donné par la conjugaison par g. D’après le théorème A.1.2, ce morphisme est composé d’isomorphismes maximaux ou essentiels dont les sous-groupes correspondants sont pleinement normalisés dans P. Soit φ_{1} … φ_{n} ces morphismes, L_{1} … L_{n} les groupes leur correspondant. Pour tout i on note Q_{i} la source de φ_{i}.

On a Q_{i} ≤ L_{i} ≤ P, et φ_{i} est induit par un élément de N_{G}(L_{i}), donc par un élément de N_{H}(L_{i})C_{G}(L_{i}) d’après l’hypothèse (iii). Comme Q_{i} ≤ L_{i}, l’élément de C_{G}(L_{i}) induit le morphisme trivial, donc finalement φ_{i} est induit par un élément de H. Par composition, φ est induit par un élément de H, et donc g ∈ HC_{G}(Q). □

Nous avons alors en corollaire le théorème de Burnside :

Corollaire A.2.3. Soit G un groupe fini, P un p-sous-groupe de Sylow de G, et H = N_{G}(P) son normalisateur dans G. Si P est abélien alors H contrôle la fusion de p-sous-groupes de G.

Démonstration : Soit Q un p-sous-groupe strict non trivial de P. Comme P est abélien alors P ⊆ C_{G}(Q), et Q n’est pas auto-centralisant, donc a fortiori non essentiel, cf propriété A.1.1. La condition (iii) est donc tautologique. □

Annexe B

Tables de caractères et matrices de décomposition

On utilisera dans toute cette annexe les notations définies dans le chapitre 1, en supposant que ℓ = 2. Rappelons les principales d’entre elles :

• 𝔽 est un corps algébriquement clos de caractéristique p impaire,

• q est une puissance de p,

• β est un générateur de 𝔽_{q^{2}}^{×} dans 𝔽,

• α = β^{q+1} donc α est un générateur de 𝔽_{q}^{×},

• a, b, u et v sont les entiers tels que q − 1 = 2^{a}u, q + 1 = 2^{b}v, u et v étant impairs,

• (K, O, k) est un système 2-modulaire, O étant supposé assez gros pour tous les groupes en présence,

• ζ est une racine de l’unité d’ordre q^{2} − 1 dans O,

• ξ = ζ^{q+1}.

B.1 PSL_{2}(q)

On utilise dans cette partie l’article de Burkhardt [Bu], qui donne les caractères modulaires irréductibles des groupes PSL_{2}(q) en toute caractéristique.

B.1.1 Cas q ≡ 1 (mod 4)

La table B.1 donne les caractères irréductibles des groupes PSL_{2}(q). Les éléments sont représentés par un de leurs antécédents dans SL_{2}(q).

La table B.2 donne la restriction des caractères irréductibles de PSL_{2}(q) aux 2’-éléments. La table B.3 donne les caractères modulaires irréductibles de PSL_{2}(q).

La matrice de décomposition est :

( 1 1 1 1  2  ⋯; 1 1  1 ; 1  1  1  ⋯; ..._{1}^{1} ..._{1}^{1} ..._{1}^{1} . . . ..._{1}^{1} ; ..._{1}^{1} ) .

Les blocs ..._{1}^{1} ..._{1}^{1} sont de taille \frac{u−1}{2} × (u − 1), ils apparaissent 2^{a−2}

fois chacun, ainsi le 2 apparaît 2^{a−2} − 1 fois. Le bloc ..._{1}^{1} final est de taille

\frac{q−1}{4} × \frac{q−1}{4}. La matrice de Cartan est :

( 2^{a}  2^{a−1}  2^{a−1} ; 2^{a−1} 2^{a−2}+1 2^{a−2} ; 2^{a−1} 2^{a−2} 2^{a−2}+1 ; ..._{2^{a−1}}^{2^{a−1}} ; ..._{1}^{1} ) .

Tableau des \frac{χ(g)|Cl(g)|}{χ(1)} (mod 2) :

\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & ξ̄^{in}+ξ̄^{−in} & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & ζ̄^{4in}+ζ̄^{−4in} & 1 & 1 \end{matrix}

Les caractères du bloc principal sont donc les caractères φ̄_{0}, φ̄′_{0}, φ̄_{1}, φ̄_{−1}, et les φ̄_{λu q−1−λu} pour λ = 1 … 2^{a−2} − 1.

B.1.2 Cas q ≡ 3 (mod 4)

La table B.4 donne les caractères irréductibles de PSL_{2}(q) si q ≡ 3 (mod 4).

B.1 : PSL_{2}(q)  191

Tab. B.1 – Caractères irréductibles de PSL_{2}(q), q ≡ 1 (mod 4)

Classes (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \begin{aligned}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α^{−n} \end{matrix} & ) \\ & n= \frac{q−1}{4} \end{aligned}  \begin{matrix}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α^{−n} \end{matrix} & ) \\ n=1... \frac{q−5}{4} \end{matrix} \begin{matrix}γ & (\begin{matrix}β^{(q−1)n} & 0 \\ 0 & β^{(1−q)n} \end{matrix} ) \\ n=1... \frac{q−1}{4} \end{matrix} (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & α \\ 0 & 1 \end{matrix})

Cardinal de cette classe

1 \frac{q(q+1)}{2} q(q+1) q(q−1) \frac{q2−1}{2} \frac{q2−1}{2}

φ̄_{0}  1  1  1  1  1  1
φ̄′_{0}  q  1  1  −1  0  0
φ̄_{ε} ; ε=±  \frac{q+1}{2}  (−1)^{\frac{q−1}{4}}  (−1)^{n}  0  \frac{1}{2} (1+ε\sqrt{q}) \frac{1}{2} (1−ε\sqrt{q})
φ̄_{i q−1−i} ; i=1... \frac{q−5}{4} q+1 ξ^{i \frac{q−1}{4}} +ξ^{−i \frac{q−1}{4}} ξ^{in}+ξ^{−in}  0  1  1
ψ̄_{(q−1)i} ; i=1... \frac{q−1}{4} q−1  0  0  −ζ^{2(q−1)in}−ζ^{2(1−q)in}  −1  −1

Tab. B.2 – Restrictions aux 2′-éléments

Classes de ; 2′-éléments

(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

\begin{aligned}( & \begin{matrix}α′′^{n} & 0 \\ 0 & α′′^{−n} \end{matrix} & ) \\ & n=1... \frac{u−1}{2} \end{aligned} \begin{matrix}γ & (\begin{matrix}β′′^{un} & 0 \\ 0 & β′′^{−un} \end{matrix} ) \\ n=1... \frac{q−1}{4} \end{matrix}

(\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & α \\ 0 & 1 \end{matrix})
φ̄_{0}  1  1  1  1  1
φ̄′_{0}  q  1  −1  0  0
φ̄_{ε}  \frac{q+1}{2}  1  0  \frac{1}{2} (1+ε\sqrt{q}) \frac{1}{2} (1−ε\sqrt{q})
φ̄_{i q−1−i}  q+1  ξ2a−1in+ξ−2a−1in  0  1  1
ψ̄_{(q−1)i}  q−1  0  −ζ2(q−1)in−ζ2(1−q)in  −1  −1

Tab. B.3 – Caractères modulaires irréductibles de PSL_{2}(q), q ≡ 1 (mod 4)

Classes de ; 2′-éléments

(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

\begin{aligned}( & \begin{matrix}α′′^{n} & 0 \\ 0 & α′′^{−n} \end{matrix} & ) \\ & n=1... \frac{u−1}{2} \end{aligned} \begin{matrix}γ & (\begin{matrix}β′′^{un} & 0 \\ 0 & β′′^{−un} \end{matrix} ) \\ n=1... \frac{q−1}{4} \end{matrix}

(\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & α \\ 0 & 1 \end{matrix})
σ_{0}  1  1  1  1  1
σ_{+}  \frac{q−1}{2}  0  −1  \frac{1}{2} (−1+\sqrt{q}) \frac{1}{2} (−1−\sqrt{q})
σ_{−}  \frac{q−1}{2}  0  −1  \frac{1}{2} (−1−\sqrt{q}) \frac{1}{2} (−1+\sqrt{q})
\begin{matrix}σ_{i} \\ i=1... \frac{u−1}{2} \end{matrix}  q+1  ξ2a−1in+ξ−2a−1in  0  1  1
\begin{matrix}τ_{i} \\ i=1... \frac{q−1}{4} \end{matrix}  q−1  0  −ζ2(q−1)in−ζ2(1−q)in  −1  −1

Note : α′′ = α^{2^{a−1}}, β′′ = β^{2^{a}}.

La table B.5 donne leurs restrictions aux 2′-éléments, et la table B.6 donne les caractères modulaires irréductibles de PSL_{2}(q) si q ≡ 3 (mod 4).

La matrice de décomposition est :

( 1 1  ⋯; 1 1  1 ; 1  1  1  ⋯; ..._{1}^{1} ..._{1}^{1} ..._{1}^{1} . . . ..._{1}^{1} ; ..._{1}^{1} ) .

Les blocs ..._{1}^{1} ..._{1}^{1} sont de taille \frac{v−1}{2} × (v − 1), ils apparaissent 2^{b−2}

fois chacun. Le bloc ..._{1}^{1} final est de taille \frac{q−3}{4} × \frac{q−3}{4}. La matrice de Cartan

est :

( 2  1  1 ; 1 2^{b−2}+1 2^{b−2} ; 1 2^{b−2} 2^{b−2}+1 ; ..._{2^{b−1}}^{2^{b−1}} ; ..._{1}^{1} ) .

Tableau des \frac{χ(g)|Cl(g)|}{χ(1)} (mod 2) :

\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & ζ̄^{(q−1)in}+ζ̄^{(1−q)in} & 0 & 0 \\ 1 & ξ̄^{in}+ξ̄^{−in} & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}

Les caractères du bloc principal sont donc les caractères φ̄_{0}, φ̄′_{0}, ψ̄_{1}, ψ̄_{−1}, et les ψ̄_{λ(q−1)v} pour λ = 1 … 2^{b−2} − 1.

B.2 PGL_{2}(q)

La table B.7 donne les caractères irréductibles de PGL_{2}(q). Les éléments sont représentés par un de leurs antécédents dans GL_{2}(q). La table B.8 donne leurs restrictions aux 2′-éléments.

B.2 : PGL_{2}(q)  193

Tab. B.4 – Caractères irréductibles de PSL_{2}(q), q ≡ 3 (mod 4)

Classes (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \begin{matrix}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α^{−n} \end{matrix} & ) \\ n=1... \frac{q−3}{4} \end{matrix} \begin{matrix}γ & (\begin{matrix}β^{(q−1)n} & 0 \\ 0 & β^{(1−q)n} \end{matrix} ) \\ n= \frac{q+1}{4} \end{matrix} \begin{matrix}γ & (\begin{matrix}β^{(q−1)n} & 0 \\ 0 & β^{(1−q)n} \end{matrix} ) \\ n=1... \frac{q−3}{4} \end{matrix} (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Cardinal de cette classe

1 q(q+1) \frac{q(q−1)}{2} q(q−1) \frac{q2−1}{2} \frac{q2−1}{2}

φ̄_{0}  1  1  1  1  1  1
φ̄′_{0}  q  1  −1  −1  0  0
ψ̄_{ε} ; ε=±  \frac{q−1}{2}  0  (−1)^{\frac{q−3}{4}}  −(−1)^{n}  \frac{−1+ε\sqrt{−q}}{2} \frac{−1−ε\sqrt{−q}}{2}
ψ̄_{(q−1)i} ; i=1... \frac{q−3}{4} q−1  0  −ζ^{\frac{q2−1}{4} i}−ζ^{\frac{1−q2}{4} i} −ζ^{(q−1)in}−ζ^{(1−q)in}  −1  −1
φ̄_{i q−1−i} ; i=1... \frac{q−3}{4} q+1 ξ^{in}+ξ^{−in}  0  0  1  1

Tab. B.5 – Restrictions aux 2′-éléments

Classes de ; 2′-éléments

(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

\begin{matrix}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α^{−n} \end{matrix} & ) \\ n=1... \frac{q−3}{4} \end{matrix} \begin{matrix}γ & (\begin{matrix}β′′^{un} & 0 \\ 0 & β′′^{−un} \end{matrix} ) \\ n=1... \frac{v−1}{2} \end{matrix}

(\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix})
φ̄_{0}  1  1  1  1  1
φ̄′_{0}  q  1  −1  0  0
ψ̄_{ε}  \frac{q−1}{2}  0  −1  \frac{1}{2} (−1+ε\sqrt{−q}) \frac{1}{2} (−1−ε\sqrt{−q})
ψ̄_{(q−1)i} q − 1  0  −ζ^{2^{b}ui}−ζ^{−2^{b}ui}  −1  −1
φ̄_{i q−1−i} q + 1  ξ^{in}+ξ^{−in}  0  1  1

Tab. B.6 – Caractères modulaires irréductibles de PSL_{2}(q), q ≡ 3 (mod 4)

Classes de ; 2′-éléments

(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

\begin{matrix}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α^{−n} \end{matrix} & ) \\ n=1... \frac{q−3}{4} \end{matrix} \begin{matrix}γ & (\begin{matrix}β′′^{un} & 0 \\ 0 & β′′^{−un} \end{matrix} ) \\ n=1... \frac{v−1}{2} \end{matrix}

(\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix})
σ_{0}  1  1  1  1  1
σ_{+}  \frac{q−1}{2}  0  −1  \frac{1}{2} (−1+\sqrt{−q}) \frac{1}{2} (−1−\sqrt{−q})
σ_{−}  \frac{q−1}{2}  0  −1  \frac{1}{2} (−1−\sqrt{−q}) \frac{1}{2} (−1+\sqrt{−q})
τ_{i}_{i=1... \frac{v−1}{2}} q − 1  0  −ζ^{2^{b}ui}−ζ^{−2^{b}ui}  −1  −1
σ_{i}_{i=1... \frac{q−3}{4}} q + 1  ξ^{in}+ξ^{−in}  0  1  1

Note : β′′ = β^{2^{b}}.

194  Annexe B : Tables de caractères et matrices de décomposition

Tab. B.7 – Caractères irréductibles de PGL_{2}(q)

Classes (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) \begin{matrix}( & \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & α^{n} \end{matrix} & ) \\ n=1... \frac{q−3}{2} \end{matrix} β^{\frac{q+1}{2}} ^{γ}(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix})  \begin{matrix}^{γ} & (\begin{matrix}β^{n} & 0 \\ 0 & β^{qn} \end{matrix}) \\ n=1... \frac{q−1}{2} \end{matrix}  (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Cardinal de cette classe

1 \frac{q(q+1)}{2} q(q+1) \frac{q(q−1)}{2} q(q−1) q^{2}−1

φ̄_{0}  1  1  1  1  1  1
φ̄_{\frac{q−1}{2}}  1 (−1)^{\frac{q−1}{2}} (−1)^{n}  (−1)^{\frac{q+1}{2}}  (−1)^{n}  1
φ̄′_{0}  q  1  1  −1  −1  0
φ̄′ ; \frac{q−1}{2}  q (−1)^{\frac{q−1}{2}} (−1)^{n}  (−1)^{\frac{q−1}{2}}  −(−1)^{n}  0
φ̄_{i q−1−i} ; i=1... \frac{q−3}{2} q+1 2(−1)^{i} ξ^{in}+ξ^{−in}  0  0  1
ψ̄_{(q−1)i} ; i=1... \frac{q−1}{2} q−1  0  0  −2(−1)^{i}  −ζ^{(q−1)in}−ζ^{−(q−1)in} −1

Tab. B.8 – Restrictions aux 2′-éléments

Classes de ; 2′-éléments

(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

\begin{matrix}( & \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & α′′^{n} \end{matrix} & ) \\ n=1... \frac{u−1}{2} \end{matrix} \begin{matrix}γ & (\begin{matrix}β′′^{n} & 0 \\ 0 & β′′^{qn} \end{matrix} ) \\ n=1... \frac{v−1}{2} \end{matrix}

(\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})
φ̄_{0}, φ̄_{\frac{q−1}{2}}  1  1  1  1
φ̄′_{0}, φ̄′ ; \frac{q−1}{2}  q  1  −1  0
φ̄_{i q−1−i}  q+1  ξ2ain+ξ−2ain  0  1
ψ̄_{(q−1)i}  q−1  0  −ζ2a+b(q−1)in−ζ−2a+b(q−1)in  −1

Tab. B.9 – Caractères modulaires irréductibles de PGL_{2}(q), q ≡ 1 (mod 4)

Classes de ; 2′-éléments

(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

\begin{matrix}( & \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & α′′^{n} \end{matrix} & ) \\ n=1... \frac{u−1}{2} \end{matrix} \begin{matrix}γ & (\begin{matrix}β′′^{n} & 0 \\ 0 & β′′^{qn} \end{matrix} ) \\ n=1... \frac{v−1}{2} \end{matrix}

(\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})
ρ_{0}  1  1  1  1
ρ′_{0}  q−1  0  −2  −1
\begin{matrix}ρ_{i} \\ i=1... \frac{u−1}{2} \end{matrix}  q+1  ξ2ain+ξ−2ain  0  1
\begin{matrix}ρ′_{i} \\ i=1... \frac{q−1}{4} \end{matrix}  q−1  0  −ζ2a+b(q−1)in−ζ−2a+b(q−1)in  −1

Note : α′′ = α^{2^{a}}, β′′ = β^{2^{a+b}}.

B.2 : PGL_{2}(q)  195

B.2.1 Cas q ≡ 1 (mod 4)

Tableau des \frac{χ(g)|Cl(g)|}{χ(1)} (mod 2) :

\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & ξ̄^{in}+ξ̄^{−in} & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & ζ̄^{(q−1)in}+ζ̄^{−(q−1)in} & 0 \end{matrix}

Les caractères du bloc principal sont donc φ̄_{0}, φ̄_{\frac{q−1}{2}} , φ̄′_{0}, φ̄′_{\frac{q−1}{2}} , et les

φ̄_{i q−1−i} tels que u|i (ils sont au nombre de 2^{a−1} + 3).

Calcul des caractères modulaires irréductibles :

Appelons ρ_{0}, ρ_{i} pour i = 1 … \frac{u−1}{2}, et ρ_{i}′ pour i = 1 … \frac{q−1}{4} les restrictions aux 2′-éléments des caractères respectifs φ̄_{0}, φ̄_{i q−1−i}, et ψ̄_{(q−1)i}. La restriction de chacun de ces caractères à PSL_{2} est un caractère modulaire irréductible, donc ils sont eux-même irréductibles.

En faisant le compte du nombre de classes de conjugaison de 2′-éléments on constate qu’il manque un caractère modulaire irréductible. Appelons-le ρ′_{0}. Le bloc principal contient au moins deux caractères modulaires irréductibles car tous ses caractères ne sont pas multiples du caractère trivial, donc ρ′_{0} est dans le bloc principal.

Considérons le caractère induit de PSL_{2} à PGL_{2} par σ_{+} (ou par σ_{−}). On vérifie qu’il est dans le bloc principal de PGL_{2}, donc combinaison linéaire à coefficients entiers positifs ou nuls de ρ_{0} et de ρ′_{0}. Or sa restriction à PSL_{2} est σ_{+} + σ_{−}, ce qui impose que ρ′_{0} = IndPGL_{2} PSL_{2}σ_{+}.

On en déduit la table B.9 des caractères modulaires irréductibles de PGL_{2}(q) pour q ≡ 1 (mod 4), puis sa matrice de décomposition :

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & & & 2 & & ⋯ \\ & & 1 & 1 & & & 1 \\ & & & & ..._{1}^{1} & ..._{1}^{1} & & ..._{1}^{1} & … & ..._{1}^{1} \\ & & & & & & & & & & ..._{1}^{1} & ..._{1}^{1} \end{matrix} ) .

Les blocs ..._{1}^{1} ..._{1}^{1} sont de taille \frac{u−1}{2} × (u − 1), ils apparaissent 2^{a−1}

fois chacun. Le bloc ..._{1}^{1} ..._{1}^{1} final est de taille \frac{q−1}{4} × \frac{q−1}{2}.

La matrice de Cartan est :

( 2^{a+1} 2^{a} ; 2^{a} 2^{a−1} + 1 ; ..._{2^{a}}^{2^{a}} ; ..._{2}^{2} ) .

Si q ≡ 5 (mod 8), les caractères du bloc principal sont φ̄_{0}, φ̄_{\frac{q−1}{2}} , φ̄′_{0} et φ̄_{u 3u}. Ses matrices de décomposition et de Cartan sont

\binom{1 1 1 1 2}{1 1 1} et ( \begin{matrix}8 & 4 \\ 4 & 3 \end{matrix} ) .  (B.1)

B.2.2 Cas q ≡ 3 (mod 4)

Tableau des \frac{χ(g)|Cl(g)|}{χ(1)} (mod 2) :

\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & ξ̄^{in}+ξ̄^{−in} & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & ζ̄^{(q−1)in}+ζ̄^{−(q−1)in} & 0 \end{matrix}

Les caractères dans le bloc principal sont φ̄_{0}, φ̄_{\frac{q−1}{2}} , φ̄′_{0} et les ψ̄_{(q−1)i} tels que v |i (il sont au nombre de 2^{b−1} + 3).

Le raisonnement utilisé dans le cas q ≡ 1 (mod 4) permet ici aussi d’obtenir la table B.10 des caractères modulaires irréductibles.

Sa matrice de décomposition est la suivante :

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & & & & & & & ⋯ \\ & & 1 & 1 & & & & & 1 \\ & & & & ..._{1}^{1} & ..._{1}^{1} \\ & & & & & & ..._{1}^{1} & ..._{1}^{1} & & ..._{1}^{1} & … & ..._{1}^{1} \end{matrix} ) .

Le premier bloc ..._{1}^{1} ..._{1}^{1} est de taille \frac{q−3}{4} × \frac{q−3}{2}, les blocs ..._{1}^{1} ..._{1}^{1} suivants sont de taille \frac{v−1}{2} × (v − 1), ils sont au nombre de 2^{b−1}.

B.3 : SL_{2}(q)  197

La matrice de Cartan est :

( 4 2 ; 2 2^{b−1} + 1 ; ..._{2}^{2} ; ..._{2^{b}}^{2^{b}} ) .

Si q ≡ 3 (mod 8), les caractères dans le bloc principal sont φ̄_{0}, φ̄_{\frac{q−1}{2}} , φ̄′_{0} et ψ̄_{(q−1)v}. Ses matrices de décomposition et de Cartan sont

\binom{1 1 1 1}{1 1 1} et ( \begin{matrix}4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} ) .  (B.2)

B.3 SL_{2}(q)

Les caractères irréductibles de SL_{2}(q) sont donnés par la table B.11. Tableau des \frac{χ(g)|Cl(g)|}{χ(1)} (mod 2) :

\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & ξ̄^{in}+ξ̄^{−in} & 0 & \frac{q−1}{2} & \frac{q−1}{2} & \frac{q−1}{2} & \frac{q−1}{2} \\ 1 & 0 & ζ̄^{in}+ζ̄^{−in} & \frac{q+1}{2} & \frac{q+1}{2} & \frac{q+1}{2} & \frac{q+1}{2} \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

Les caractères modulaires irréductibles sont les restrictions de φ_{0}, ψ′_{1} et ψ′_{−1}.

Si q ≡ 1 (mod 4), la matrice de décomposition est

( 1 1  2  …  1 1 ; 1  1  1  1 ; 1  1  1  1 ; ..._{1}^{1} ..._{1}^{1} ..._{1}^{1} . . . ..._{1}^{1} ; ..._{1}^{1} ) .

Les blocs ..._{1}^{1} ..._{1}^{1} sont de taille \frac{u−1}{2} × (u − 1), ils apparaissent 2^{a−1}

fois chacun, ainsi le 2 apparaît 2^{a−1} − 1 fois. Le bloc ..._{1}^{1} final est de taille

\frac{v−1}{2} × \frac{v−1}{2}. La matrice de Cartan est :

198  Annexe B : Tables de caractères et matrices de décomposition

Tab. B.10 – Caractères modulaires irréductibles de PGL_{2}(q), q ≡ 3 (mod 4)

Classes de ; 2′-éléments

(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

\begin{matrix}( & \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & α′′^{n} \end{matrix} & ) \\ n=1... \frac{u−1}{2} \end{matrix} \begin{matrix}γ & (\begin{matrix}β′′^{n} & 0 \\ 0 & β′′^{qn} \end{matrix} ) \\ n=1... \frac{v−1}{2} \end{matrix}

(\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})
ρ_{0}  1  1  1  1
ρ′_{0}  q − 1  0  −2  −1
\begin{matrix}ρ_{i} \\ i=1... \frac{q−3}{4} \end{matrix} q + 1  ξ^{2in}+ξ^{−2in}  0  1
\begin{matrix}ρ′_{i} \\ i=1... \frac{v−1}{2} \end{matrix} q − 1  0  −ζ^{2^{1+b}(q−1)in}−ζ^{−2^{1+b}(q−1)in} −1

Tab. B.11 – Caractères irréductibles de SL_{2}(q), q impair

Classes  λ (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})_{λ=±1} \begin{aligned}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α^{−n} \end{matrix} & ) \\ & n= \frac{q−3}{2} \end{aligned} \begin{matrix}γ & (\begin{matrix}β^{n} & 0 \\ 0 & β^{−n} \end{matrix} ) \\ n=(q−1)m \\ m=1... \frac{q−1}{2} \end{matrix} (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}−1 & 1 \\ 0 & −1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & α \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}−1 & α \\ 0 & −1 \end{matrix})

Cardinal de cette classe

1  q(q+1)  q(q−1) \frac{q2−1}{2} \frac{q2−1}{2} \frac{q2−1}{2} \frac{q2−1}{2}
φ_{0}  1  1  1  1  1  1  1
φ′_{0}  q  1  −1  0  0  0  0
\begin{matrix}φ_{i} \\ i=1... \frac{q−3}{2} \end{matrix} (q+1)λ^{i} ξ^{in}+ξ^{−in}  0  1  (−1)^{i}  1  (−1)^{i}
\begin{matrix}ψ_{i} \\ i=1... \frac{q−1}{2} \end{matrix} (q−1)λ^{i}  0  −ζ^{in}−ζ^{−in} −1  −(−1)^{i}  −1  −(−1)^{i}
\begin{matrix}φ′_{ε} \\ ε=±1 \end{matrix}  \frac{q+1}{2} λ^{\frac{q−1}{2}} (−1)^{n}  0  \frac{1}{2} + \frac{ε}{2} r \frac{1}{2} η+ \frac{ε}{2} r \frac{1}{2} − \frac{ε}{2} r \frac{1}{2} η− \frac{ε}{2} r
\begin{matrix}ψ′_{ε} \\ ε=±1 \end{matrix}  \frac{q−1}{2} λ^{\frac{q+1}{2}}  0  −(−1)^{m} − \frac{1}{2} + \frac{ε}{2} r \frac{1}{2} η+ \frac{ε}{2} r − \frac{1}{2} − \frac{ε}{2} r \frac{1}{2} η− \frac{ε}{2} r

Note : η = (−1)^{\frac{q−1}{2}} , r = \sqrt{ηq}.

B.4 : GL_{2}(q)  199

( 2^{a+1}  2^{a}  2^{a} ; 2^{a} 2^{a−1}+2 2^{a−1} ; 2^{a}  2^{a−1} 2^{a−1}+2 ; ..._{2^{a}}^{2^{a}} ; ..._{1}^{1} ) .

Si q ≡ 3 (mod 4), la matrice de décomposition est

( 1 1  …  1 1 ; 1  1  1  1 ; 1  1  1  1 ; ..._{1}^{1} ; ..._{1}^{1} ..._{1}^{1} ..._{1}^{1} . . . ..._{1}^{1} ) .

Les blocs ..._{1}^{1} ..._{1}^{1} sont de taille \frac{v−1}{2} × (v − 1), ils apparaissent 2^{b−1}

fois chacun. Le bloc ..._{1}^{1} final est de taille \frac{u−1}{2} × \frac{u−1}{2}. La matrice de Cartan

est :

( 4  2  2 ; 2 2^{b−1}+2 2^{b−1} ; 2 2^{b−1} 2^{b−1}+2 ; ..._{1}^{1} ; ..._{2^{b}}^{2^{b}} ) .

B.4 GL_{2}(q)

La table B.12 donne les caractères irréductibles de GL_{2}(q). Elle est tirée de [DM2, page 154]. Une accolade au-dessus d’une colonne indique le nombre de classes représentées par cette colonne, une accolade devant une ligne indique le nombre de caractères représentés par cette ligne. Ces informations servent à contrer les défauts d’indiçage.

Tab. B.12 – Caractères irréductibles de GL_{2}(q)

(q−1)  \frac{(q−1)(q−2)}{2}  \frac{q(q−1)}{2}  (q−1)

Classes  \begin{matrix}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α^{n} \end{matrix} & ) \\ n=0...q−2 \end{matrix} \begin{matrix}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α^{m} \end{matrix} & ) \\ n,m=0...q−2 \\ n<m \end{matrix} \begin{matrix}γ & (\begin{matrix}β^{n} & 0 \\ 0 & β^{qn} \end{matrix} ) \\ n=1...q^{2}−2 \\ q+1∤n \end{matrix} \begin{matrix}( & \begin{matrix}α^{n} & 1 \\ 0 & α^{n} \end{matrix} & ) \\ n=0...q−2 \end{matrix}

Cardinal de cette classe

1  q(q+1)  q(q−1)  q^{2}−1
(q−1)\{ \begin{matrix}φ_{i} \\ i=0...q−2 \end{matrix}  ξ^{2in}  ξ^{i(n+m)}  ξ^{in}  ξ^{2in}

(q−1)\{ \begin{matrix}φ′_{i} \\ i=0...q−2 \end{matrix}  qξ^{2in}  ξ^{i(n+m)}  −ξ^{in}  0

\frac{(q−1)(q−2)}{2} \{ \begin{matrix}φ_{ij} \\ i,j=0...q−2 \\ i<j \end{matrix} (q+1)ξ^{(i+j)n} ξ^{in+jm}+ξ^{im+jn}  0  ξ^{(i+j)n}

\frac{q(q−1)}{2} \{ \begin{matrix}ψ_{i} \\ i=1...q^{2}−2 \\ q+1∤i \end{matrix} (q−1)ξ^{in}  0  −ζ^{in}−ζ^{qin} −ξ^{in}

Note : ^{γ}(\begin{matrix}β^{n} & 0 \\ 0 & β^{qn} \end{matrix} ) ∼ ^{γ}(\begin{matrix}β^{qn} & 0 \\ 0 & β^{n} \end{matrix} ), ψ_{i} = ψ_{qi} où qi est compté modulo q^{2} − 1.

On pose γ = (\begin{matrix}β^{q} & β \\ 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(q^{2}).

Les caractères du bloc principal sont :

• φ_{λu}  pour λ = 0 … 2^{a} − 1,
• φ′_{λu}  pour λ = 0 … 2^{a} − 1,
• φ_{λu μu} pour λ, μ = 0 … 2^{a} − 1 λ < μ,
• ψ_{λuv}  pour λ = 1 … 2^{a+b} − 1 2^{b} ∤ λ.

Le bloc principal de GL_{2}(q) contient deux caractères modulaires irréductibles, le caractère trivial et un caractère de degré q − 1, égal à la restriction d’un caractère ψ_{λuv} aux 2′-éléments.

Sa matrice de décomposition est la suivante :

( \begin{matrix}1 & ⋯ & 1 & 1 & ⋯ & 1 & 2 & ⋯ & 2 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 & ⋯ & 1 & 1 & ⋯ & 1 & 1 & ⋯ & 1 \end{matrix} ) ; _{2^{a}  2^{a}  2^{a−1}(2^{a}−1) 2^{a−1}(2^{b}−1)}

et sa matrice de Cartan est

2^{a} ( \begin{matrix}2^{a+1} & 2^{a} \\ 2^{a} & 2^{a−1} + 2^{b−1} \end{matrix} ) .

B.5 Sous-groupes locaux de GL_{2}(q)

Les tables B.13 et B.14 donnent les caractères irréductibles de H_{e} et H_{s}, normalisateurs des tores T_{e} et T_{s}, et de leurs ℓ-sous-groupes de Sylow P_{e} et P_{s} si ceux-ci sont non-triviaux.

Les tables B.15 et B.16 donnent les caractères irréductibles respectivement de H′_{e}, normalisateur d’un 2-sous-groupe de Sylow si q ≡ 1 (mod 4), et de H′s, normalisateur d’un 2-sous-groupe de Sylow si q ≡ 3 (mod 4).

On rappelle que l’on note P′ un 2-sous-groupe de Sylow de SL_{2}(q), et que si q ≡ ±3 (mod 8) alors on a des isomorphismes P′ ≃ Q_{8} et N_{SL_{2}(q)}(P′) ≃ Q_{8} ⋊ C_{3}. La table B.17 donne les caractères irréductibles de Q_{8} ⋊ C_{3}.

Soit H = N_{GL_{2}(q)}(P′). Les caractères irréductibles de H sont donnés par la table B.18 si q ≡ 5 (mod 8), et par la table B.19 si q ≡ 3 (mod 8).

Tab. B.13 – Caractères irréductibles de H_{e}

(q−1)  \frac{(q−1)(q−2)}{2}  (q−1)

Classes  \begin{matrix}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α^{n} \end{matrix} & ) \\ n=0...q−2 \end{matrix} \begin{matrix}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α^{m} \end{matrix} & ) \\ n,m=0...q−2 \\ n<m \end{matrix} \begin{matrix}( & \begin{matrix}0 & 1 \\ α^{n} & 0 \end{matrix} & ) \\ n=0...q−2 \end{matrix}

Cardinal de cette classe

1  2  q−1
(q−1)\{ \begin{matrix}χ_{i} \\ i=0...q−2 \end{matrix}  ξ^{2in}  ξ^{i(n+m)}  ξ^{in}

(q−1)\{ \begin{matrix}χ′_{i} \\ i=0...q−2 \end{matrix}  ξ^{2in}  ξ^{i(n+m)}  −ξ^{in}

\frac{(q−1)(q−2)}{2} \{ \begin{matrix}χ_{ij} \\ i,j=0...q−2 \\ i<j \end{matrix} 2ξ^{(i+j)n} ξ^{in+jm}+ξ^{im+jn}  0

Tab. B.14 – Caractères irréductibles de H_{s}^{γ}

(q−1)  \frac{q(q−1)}{2}  (q−1)

Classes  \begin{matrix}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α^{n} \end{matrix} & ) \\ n=0...q−2 \end{matrix} \begin{matrix}γ & (\begin{matrix}β^{n} & 0 \\ 0 & β^{qn} \end{matrix} ) \\ n=1...q^{2}−2 \\ q+1∤n \end{matrix} \begin{matrix}γ & (\begin{matrix}0 & β^{n} \\ β^{qn} & 0 \end{matrix} ) \\ n=0...q−2 \end{matrix}

Cardinal de cette classe

1  2  q+1
(q−1)\{ \begin{matrix}χ_{i} \\ i=0...q−2 \end{matrix}  ξ^{2in}  ξ^{in}  ξ^{in}

(q−1)\{ \begin{matrix}χ′_{i} \\ i=0...q−2 \end{matrix}  ξ^{2in}  ξ^{in}  −ξ^{in}

\frac{q(q−1)}{2} \{ \begin{matrix}χ′′_{i} \\ i=1...q^{2}−2 \\ q+1∤i \end{matrix}  2ξ^{in}  ζ^{in}+ζ^{qin}  0

Note : ^{γ}(\begin{matrix}β^{n} & 0 \\ 0 & β^{qn} \end{matrix} ) ∼ ^{γ}(\begin{matrix}β^{qn} & 0 \\ 0 & β^{n} \end{matrix} ), χ′′_{i} = χ′′_{qi} où qi est compté modulo q^{2} − 1.

Tab. B.15 – Caractères irréductible de H′_{e}

(q−1)  \frac{q−1}{2} (2^{a}−1)  (q−1)

Classes  \begin{matrix}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α^{n} \end{matrix} & ) \\ n=0...q−2 \end{matrix} \begin{matrix}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α^{n}α′^{m} \end{matrix} & ) \\ n=0...q−2 \\ m=1...2^{a}−1 \end{matrix} \begin{matrix}( & \begin{matrix}0 & α^{n} \\ α^{n}α′^{m} & 0 \end{matrix} & ) \\ n=0...u−1 \\ m=0...2^{a}−1 \end{matrix}

Cardinal de cette classe

1  2  2^{a}
(q−1)\{ \begin{matrix}χ_{i} \\ i=0...q−2 \end{matrix}  ξ^{2in}  ξ^{2in}ξ′^{im}  ξ^{2in}ξ′^{im}

(q−1)\{ \begin{matrix}χ′_{i} \\ i=0...q−1 \end{matrix}  ξ^{2in}  ξ^{2in}ξ′^{im}  −ξ^{2in}ξ′^{im}

\frac{q−1}{2} (2^{a}−1)\{ \begin{matrix}χ_{i j} \\ i=0...q−2 \\ j=0...2^{a}−1 \\ 2^{a}∤i−2j \end{matrix} 2ξ^{in} ξ^{in}(ξ′^{jm}+ξ′^{(j−i)m})  0

Note : (\begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α^{n}α′^{m} \end{matrix} ) ∼ (\begin{matrix}α^{n}α′^{m} & 0 \\ 0 & α^{n} \end{matrix} ), χ_{i j} = χ_{i j−i} où i − j est compté modulo 2^{a}.

Tab. B.16 – Caractères irréductibles de H′_{s}

(q−1)  \frac{q−1}{2} (2^{b}−1)  (q−1)

Classes  \begin{matrix}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α^{n} \end{matrix} & ) \\ n=0...q−2 \end{matrix} \begin{matrix}( & \begin{matrix}β′′^{n} & 0 \\ 0 & β′′^{qn} \end{matrix} & ) \\ n=1...2^{b}(q−1)−1 \\ 2^{b}∤n \end{matrix} \begin{matrix}( & \begin{matrix}0 & β′′^{n} \\ β′′^{qn} & 0 \end{matrix} & ) \\ n=0...2^{b}−1 \end{matrix}

Cardinal de cette classe

1  2  2^{b}
(q−1)\{ \begin{matrix}χ_{i} \\ i=0...q−2 \end{matrix}  ξ^{2bin}  ξ^{in}  ξ^{in}

(q−1)\{ \begin{matrix}χ′_{i} \\ i=0...q−2 \end{matrix}  ξ^{2bin}  ξ^{in}  −ξ^{in}

\frac{q−1}{2} (2^{b}−1)\{ \begin{matrix}χ′′_{i} \\ i=1...2^{b}(q−1)−1 \\ 2^{b}∤i \end{matrix} 2ξ^{in}  ζ′^{in}+ζ′^{qin}  0

Note : (\begin{matrix}β′′^{n} & 0 \\ 0 & β′′^{qn} \end{matrix} ) ∼ (\begin{matrix}β′′^{qn} & 0 \\ 0 & β′′^{n} \end{matrix} ), χ′′_{i} = χ′′_{qi} où qi est compté modulo 2^{b}(q − 1).

204  Annexe B : Tables de caractères et matrices de décomposition

Tab. B.17 – Caractères irréductibles de Q_{8} ⋊ C_{3}

Classes 1 -1 ±{h_{I},h_{J} ,h_{K}} A −A A^{2} −A^{2}
Cardinal 1 1  6  4  4  4  4
χ_{0} 1 1  1  1  1  1  1
χ_{1} 1 1  1  ω  ω ω^{2} ω^{2}
χ_{2} 1 1  1  ω^{2} ω^{2} ω  ω
χ′_{0} 2 -2  0  -1  1  -1  1
χ′_{1} 2 -2  0  −ω ω −ω^{2} ω^{2}
χ′_{2} 2 -2  0  −ω^{2} ω^{2} −ω  ω
χ′′ 3 3  -1  0  0  0  0

Note : ω est une racine troisième de l’unité.

Tab. B.18 – Caractères irréductibles de H (q ≡ 5 (mod 8))

(q−1)  \frac{q−1}{2}  (q−1)  (q−1)  \frac{q−1}{2}
Classes  \begin{matrix}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α^{n} \end{matrix} & ) \\ n=0...q−2 \end{matrix} \begin{matrix}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & −α^{n} \end{matrix} & ) \\ n=0... \frac{q−3}{2} \end{matrix}  \begin{matrix}( & \begin{matrix}α^{n} & 0 \\ 0 & α′α^{n} \end{matrix} & ) \\ n=0...q−2 \end{matrix} \begin{matrix}α^{n}A \\ n=0...q−2 \end{matrix} \begin{matrix}( & \begin{matrix}0 & α^{n} \\ α′α^{n} & 0 \end{matrix} & ) \\ n=0... \frac{q−3}{2} \end{matrix}

Cardinal de cette classe

1  6  6  8  12
(q−1)\{ \begin{matrix}χ_{i} \\ i=0...q−2 \end{matrix}  ξ^{2in}  (−1)^{i}ξ^{2in}  ξ′^{i}ξ^{2in}  ξ^{2in}  (−ξ′)^{i}ξ^{2in}
(q−1)\{ \begin{matrix}χ′_{i} \\ i=0...q−2 \end{matrix} 2ξ^{(2i+1)n}  0  (1+ξ′)ξ′^{i}ξ^{(2i+1)n} −ξ^{(2i+1)n}  0
\frac{q−1}{2} \{ \begin{matrix}χ_{i}^{(4)} \\ i=0... \frac{q−3}{2} \end{matrix}  2ξ^{2in} 2(−1)^{i}ξ^{2in}  0  −ξ^{2in}  0
(q−1)\{ \begin{matrix}χ′′_{i} \\ i=0...q−2 \end{matrix}  3ξ^{2in} −(−1)^{i}ξ^{2in}  ξ′^{i}ξ^{2in}  0  −(−ξ′)^{i}ξ^{2in}
\frac{q−1}{2} \{ \begin{matrix}χ′′′_{i} \\ i=0... \frac{q−3}{2} \end{matrix} 4ξ^{(2i+1)n}  0  0  ξ^{(2i+1)n}  0

B.6 : 𝔄_{4} et 𝔖_{4}  205

Tab. B.19 – Caractères irréductibles de H (q ≡ 3 (mod 8))

(q−1)  \frac{q−1}{2}  (q−1)  \frac{q−1}{2}  (q−1)

Classes  α^{n} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})_{n=0...q−2} α^{n}h_{I}_{n=0... \frac{q−3}{2}} α^{n}A_{n=0...q−2} α^{n}B_{n=0... \frac{q−3}{2}}  α^{n}h_{J}B_{n=0...q−2}

Cardinal de cette classe

1  6  8  12  6
(q−1)\{ \begin{matrix}χ_{i} \\ i=0...q−2 \end{matrix}  ξ^{2in}  ξ^{2in}  ξ^{2in}  ξ^{(2n+1)i}  ξ^{(2n+1)i}
(q−1)\{ \begin{matrix}χ′_{i} \\ i=0...q−2 \end{matrix} 2ξ^{(2i+1)n}  0  −ξ^{(2i+1)n}  0  ξ^{(2i+1)n+i}ζ′^{2}(ζ′^{3u}−ζ′^{u})
\frac{q−1}{2} \{ \begin{matrix}χ_{i}^{(4)} \\ i=0... \frac{q−3}{2} \end{matrix}  2ξ^{2in}  2ξ^{2in}  −ξ^{2in}  0  0
(q−1)\{ \begin{matrix}χ′′_{i} \\ i=0...q−2 \end{matrix}  3ξ^{2in} −ξ^{2in}  0  −ξ^{(2n+1)i}  ξ^{(2n+1)i}
\frac{q−1}{2} \{ \begin{matrix}χ′′′_{i} \\ i=0... \frac{q−3}{2} \end{matrix} 4ξ^{(2i+1)n}  0  ξ^{(2i+1)n}  0  0

B.6 𝔄_{4} et 𝔖_{4}

Soit 𝔄_{4} le groupe des permutations paires d’un ensemble à 4 éléments. On choisit dans 𝔄_{4} une double transposition τ′ et un 3-cycle σ. Les représentations irréductibles de 𝔄_{4} sont les suivantes (on choisit une racine troisième de l’unité j) :

Classes  e τ′ σ σ^{2} Cardinal de cette classe 1 3 4 4 χ_{1}  1  1 1 1 χ_{j}  1  1 j j^{2} χ_{j^{2}}  1  1 j^{2} j χ_{3}  3 −1 0 0 .

Les caractères modulaires irréductibles de 𝔄_{4} sont :

\begin{matrix}Classes & e & σ & σ^{2} \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ j & 1 & j & j^{2} \\ j^{2} & 1 & j^{2} & j \end{matrix} .

Les matrices de décomposition et de Cartan sont :

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

Soit 𝔖_{4} le groupe des permutations d’un ensemble à 4 éléments. On désigne par τ une transposition, τ′ une double transposition, σ un cycle de longueur 3 et ρ un cycle de longueur 4. Voici la table des caractères irréductibles de 𝔖_{4} (les noms des caractères proviennent de ceux des caractères de H, cf tables B.18 et B.19, et propriété 1.4.5) :

Classes  e τ′ σ  τ  ρ Cardinal de cette classe 1 3  8  6  6 \overline{χ_{0}}  1  1  1  1  1 \overline{χ_{2u}}  1  1  1 −1 −1 \overline{χ′′_{0}}  3 −1  0 −1  1 \overline{χ′′_{2u}}  3 −1  0  1 −1 \overline{χ_{0}^{(4)}}  2  2 −1  0  0 .

En calculant les \frac{χ(g)|Cl(g)|}{χ(1)} modulo 2, on obtient que k𝔖_{4} n’a qu’un seul bloc. Les caractères modulaires irréductibles sont :

\begin{matrix}Classes & e & σ \\ α_{0} & 1 & 1 \\ α_{1} & 2 & −1 \end{matrix} .  (B.3)

La matrice de décomposition est donc ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ), et la matrice de Car-

tan est (\begin{matrix}4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix}).

B.7 Structure des modules sur k𝔄_{4} et k𝔖_{4}

On utilise les foncteurs de restriction et d’induction entre 𝔖_{4} à 𝔄_{4} pour donner la structure de Lœwy des modules projectifs sur k𝔄_{4} et k𝔖_{4}. On les note juste Res et Ind. On a

Res α_{0} = 1 et Res α_{1} = j + j^{2}

et par dualité

Ind 1 = 2α_{0}, Ind j = Ind j^{2} = α_{1}.

B.7 : Structure des modules sur k𝔄_{4} et k𝔖_{4}  207

On fait l’amalgame entre les modules simples et leurs caractères. Le module Ind 1 est indécomposable, car

Hom_{k𝔖_{4}}(α_{0}, Ind 1) = Hom_{k𝔄_{4}}(1, 1),

et ce dernier k-espace vectoriel est de dimension 1. De la même façon on montre que le module Res α_{1} est somme directe des modules j et j^{2}.

Soit P_{1}, P_{j} et P_{j^{2}} les enveloppes projectives respectives des modules simples 1, j et j^{2}. On a P_{1}/rad(P_{1}) = 1 et soc(P_{1}) = 1, donc en utilisant la matrice de Cartan de 𝔄_{4} le caractère modulaire du module rad(P_{1})/soc(P_{1}) est j + j^{2}. De plus, le module rad(P_{1})/rad^{2}(P_{1}) est un quotient du module rad(P_{1})/soc(P_{1}).

Le module semi-simple rad(P_{1})/rad^{2}(P_{1}) est isomorphe au module

⨁_{σ} σ^{n_{σ}}

où σ parcourt l’ensemble des modules simples et n_{σ} = dim_{k} Ext_{k𝔄_{4}}^{1}(σ, 1) (voir par exemple [Be, 2.4.3.]). La connaissance du caractère modulaire de rad(P_{1})/soc(P_{1}) montre que n_{1} = 0, et que n_{j} et n_{j^{2}} peuvent valoir 0 ou 1. Ils ne peuvent être nuls tous les deux car rad(P_{1})/rad^{2}(P_{1}) est non vide.

On a par adjonction

Ext_{k𝔄_{4}}^{1}(1, j) = Ext_{k𝔖_{4}}^{1}(α_{0}, α_{1}) = Ext_{k𝔄_{4}}^{1}(1, j^{2}),

donc n_{j} = n_{j^{2}} = 1. On en déduit donc la structure de P_{1}, celles de P_{j} et P_{j^{2}} s’obtiennent de la même façon :

P_{1} = \begin{aligned}& 1 \\ j & & j^{2} \\ & 1 \end{aligned}  P_{j} = \begin{aligned}& j \\ j^{2} & & 1 \\ & j \end{aligned}  P_{j^{2}} = \begin{aligned}& j^{2} \\ 1 & & j \\ & j^{2} \end{aligned} .

Soit Q_{0} et Q_{1} les enveloppes projectives des modules simples de caractères α_{0} et α_{1} respectivement. On calcule, toujours en utilisant l’adjonction entre la restriction et l’induction, que

Ext_{k𝔖_{4}}^{1}(α_{0}, α_{1}) ≃ Ext_{k𝔖_{4}}^{1}(α_{1}, α_{0}) ≃ k

puis que

Ext_{k𝔖_{4}}^{1}(α_{1}, α_{1}) ≃ Ext_{k𝔄_{4}}^{1}(j, j) ⊕ Ext_{k𝔄_{4}}^{1}(j^{2}, j) ≃ k.

En utilisant de plus la matrice de Cartan de k𝔖_{4}, on obtient la structure de Q_{1} :

Q_{1} = \begin{aligned}& α_{1} \\ α_{1} & & \begin{matrix}α_{0} \\ α_{0} \end{matrix} \\ & α_{1} \end{aligned} .

Il existe donc un module indécomposable V de dimension 2 dont la tête est isomorphe à α_{0} et le socle est isomorphe à α_{1}, et un module indécomposable W dont la tête est isomorphe à α_{0}, le socle est isomorphe à α_{1}, et tel que rad(W)/soc(W) ≃ α_{0} :

V = \begin{matrix}α_{0} \\ α_{1} \end{matrix} W = \begin{matrix}α_{0} \\ α_{0} \\ α_{1} \end{matrix} .

Ces deux modules ont pour enveloppe projective Q_{0}, donc on en déduit la structure de celui-ci :

Q_{0} = \begin{aligned}& α_{0} \\ α_{0} & & α_{1} \\ α_{1} & & α_{0} \\ & α_{0} \end{aligned} .

On vérifie les résultats suivants :

L’algèbre End_{k𝔖_{4}}(Q_{0}) est isomorphe à k[C_{2} ×C_{2}], où les groupes C_{2} sont engendrés par a et b définis par

1 + a : \xymatrix{ & α_{0} \ar[drr] & & & α_{0} \\ α_{0} & & α_{1} \ar[dr] & α_{0} & & α_{1} \\ α_{1} & & α_{0} \ar[drr] & α_{1} & & α_{0} \\ & α_{0} & & & α_{0}}

1 + b : \xymatrix{ & α_{0} \ar[ddrrrr] & & & α_{0} \\ α_{0} \ar[ddrrrr] & & α_{1} & α_{0} & & α_{1} \\ α_{1} & & α_{0} & α_{1} & & α_{0} \\ & α_{0} & & & α_{0}} .

L’algèbre End_{k𝔖_{4}}(Q_{1}) est isomorphe à kC_{4}/⟨1 + c + c^{2} + c^{3}⟩, où C_{4} est engendré par c défini par

1 + c : \xymatrix{ & α_{1} \ar[drr] & & & α_{1} \\ α_{1} \ar[drrrr] & & \begin{matrix}α_{0} \\ α_{0} \end{matrix} & α_{1} & & \begin{matrix}α_{0} \\ α_{0} \end{matrix} \\ & α_{1} & & & α_{1}} .

Le k-espace vectoriel Hom_{k𝔖_{4}}(Q_{0}, Q_{1}) est de dimension 2, il a pour base les morphismes e et f définis par

e : [figure: α_{0}; α_{1}; α_{0}; α_{1}; α_{0}; α_{1}; α_{1}; α_{0}; α_{0}; α_{0}; α_{1}]

f : [figure: α_{0}; α_{1}; α_{0}; α_{1}; α_{0}; α_{1}; α_{1}; α_{0}; α_{0}; α_{0}; α_{1}] .

Cet espace vectoriel est un (End(Q_{0}), End(Q_{1}))-bimodule, sur lequel b et c agissent trivialement et a agit par ae = e + f, af = f.

Le k-espace vectoriel Hom_{k𝔖_{4}}(Q_{1}, Q_{0}) est de dimension 2, il a pour base les morphismes e′ et f′ définis par

e′ : [figure: α_{1}; α_{0}; α_{0}; α_{0}; α_{1}; α_{1}; α_{0}; α_{1}; α_{0}; α_{1}; α_{0}]

f′ : [figure: α_{1}; α_{0}; α_{0}; α_{0}; α_{1}; α_{1}; α_{0}; α_{1}; α_{0}; α_{1}; α_{0}]

Cet espace vectoriel est un (End(Q_{1}), End(Q_{0}))-bimodule, sur lequel b et c agissent trivialement et a agit par e′a = e′ + f′, f′a = f′.

210  Bibliographie

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