Derived categories of blocks with non abelian defect of $\GL 2q$
Bertrand Gonard
Ph D. Thesis, Paris 2002.

Summary:

The purpose of this PhD is the study of the derived category of the principal
block of the finite group $\GL 2q$ in 
characteristic $\ell$. If $\ell\neq 2$ then the Sylow $\ell$-subgroups of
$\GL 2q$ are abelian. The theory of Deligne and Lusztig provides two
complexes $\Le$ and $\Ls$. I verify that if 
$\ell$ divides $q-1$ (respectively $q+1$) then the complex 
$\Le$ (respectively $\Ls$) induces a
``splendid'' derived equivalence between the sum of the 
blocks of maximal defect of $\GL 2q$
and the group algebra of the 
normalizer of a Sylow $\ell$-subgroup. In this 
case Broué's conjecture is verified. 

If $\ell=2$ and $q$ is odd, then the Sylow $\ell$-subgroups of $\GL 2q$ are not
abelian. I show that if $q$ is congruent to 1 or 7 modulo 8 then there is no
local subgroup $H$ of $\GL 2q$ such that the principal blocks of $H$ and $\GL
2q$ have the same type. If $q$ is congruent to 3 or 5, 
I consider the normalizer
in $\GL 2q$ of a Sylow $\ell$-subgroup of $\SL 2q$. 
I show that its principal block has
the same type than the principal block of $\GL 2q$, and that these two blocks
are related by a ``splendid'' derived equivalence. 

After that I use the theory of $\Ai$-algebras. 
Starting from the complexes $\Le$
and $\Ls$, I build a minimal $\Ai$-algebra whose derived category is
equivalent to the derived category of the principal block of $\GL 2q$. This
construction generalizes the construction of the derived equivalences given in
the cases where the Sylow subgroups are abelian. 

I give a complete description of the $\Ai$-algebras obtained when considering
$\PGL 2q$ instead of $\GL 2q$. In particular I show that the maps $(m_n)_{n\ge
3}$ giving the supplementary $\Ai$-structure are zero for all $n> 3$. 

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Catégories dérivées de blocs à défaut non abélien de $\GL 2q$
Bertrand Gonard

Résumé:

Cette thèse étudie la catégorie dérivée du bloc 
principal du groupe fini $\GL
2q$ en caractéristique $\ell$. On dispose grâce à 
la théorie de Deligne-Lusztig
de deux complexes $\Le$ et $\Ls$. Si $\ell\neq 2$ alors 
les $\ell$-sous-groupes
de Sylow de $\GL 2q$ sont abéliens, je vérifie que si $\ell$ divise $q-1$
(respectivement $q+1$) alors le complexe $\Le$ 
(respectivement $\Ls$) induit une

équivalence dérivée ``splendide'' entre 
la somme des blocs de défaut maximal de
$\GL 2q$ et l'algèbre du normalisateur d'un 
$\ell$-sous-groupe de Sylow. Ceci
vérifie la conjecture de Broué.

Si $\ell=2$ et $q$ est impair, alors les $\ell$-sous-groupes de Sylow de $\GL
2q$ ne sont pas abéliens. Je montre que si 
$q$ est congru à 1 ou 7 modulo 8
alors il n'existe aucun sous-groupe local $H$ de $\GL 2q$ tel que les blocs
principaux de $H$ et de $\GL 2q$ sont de même type. 
Si $q$ est congru à 3 ou 5,
je considère le normalisateur dans $\GL 2q$ d'un 
sous-groupe de Sylow de $\SL
2q$. Je montre que son bloc principal est de même type que celui de $\GL 2q$
puis que ces deux blocs sont reliés par 
une équivalence dérivée ``splendide''.

J'utilise ensuite la théorie des $\Ai$-algèbres.
A partir des complexes $\Le$ et $\Ls$ je construis 
une $\Ai$-algèbre minimale
dont la catégorie dérivée est équivalente à 
celle du bloc principal de $\GL 2q$.

Il s'agit donc d'une algèbre associative graduée 
munie d'une structure
supplémentaire. Cette construction généralise 
la construction des équivalences
splendides effectuée dans les cas où les sous-groupes 
de Sylow sont abéliens.

Je donne une description complète des $\Ai$-algèbres 
obtenues en considérant
$\PGL 2q$ plutôt que $\GL 2q$. Je montre en particulier que les applications
$(m_n)_{n\ge 3}$ donnant la $\Ai$-structure supplémentaire sont nulles pour
$n>3$. \bigskip