DESCENTE DE SHINTANI ET RESTRICTION DES SCALAIRES

FRANÇOIS DIGNE

Résumé

L’objet de cet article est d’utiliser le fait que la descente de Shintani des points d’un groupe algébrique sur un corps fini aux points de ce groupe sur un sous-corps peut être interprétée, grâce à une restriction des scalaires, comme une descente de Shintani entre deux structures rationnelles sur le même corps pour généraliser un résultat de Gyoja sur la descente de Shintani des caractères de Deligne-Lusztig d’un groupe fini de type de Lie.

Abstract

In this paper we give an interpretation of the Shintani descent from the points of a connected algebraic group over a finite field to its group of points over a subfield in terms of a Shintani descent between two different rational structures over the same finite field, using restriction of scalars. From this we deduce a generalization of a result of Gyoja’s on the Shintani descent of Deligne-Lusztig characters of a finite group of Lie type.

0. Introduction.

La descente de Shintani pour un groupe algébrique connexe G défini sur la clôture algébrique d’un corps fini muni de deux structures rationnelles définies par des endomorphismes de Frobenius F et F′ fournit une isométrie des fonctions de F′-classe sur G^{F} sur les fonctions de F -classe sur G^{F′}. Deux cas en sont particulièrement intéressants : si F′ est une puissance de F et si F et F′ diffèrent d’un automorphisme de G. L’idée de cet article est de ramener le premier cas au deuxième en utilisant une restriction des scalaires. L’avantage du deuxième cas est double : d’abord tout se passe sur le même corps fini, ensuite l’action de F sur G^{F′} s’étend en un automorphisme du groupe algébrique G, ce qui n’est pas le cas si on considère l’action de F sur G^{F^{m}}. Cette construction est faite dans la section 2.

La restriction des scalaires est un foncteur défini en utilisant un groupe algébrique non connexe produit en couronne d’un certain nombre de copies d’un groupe connexe par le groupe cyclique qui permute circulairement ces copies. Nous avons alors à notre disposition, s’il s’agit de groupes réductifs, la théorie des représentations des groupes réductifs non connexes introduite dans [6], qui généralise la théorie de Deligne et Lusztig pour les groupes

Une partie de cet article a été rédigée lors d’une visite de l’auteur à l’Université de Sydney

2 FRANÇOIS DIGNE

réductifs connexes. En utilisant les résultats de [6] nous prouvons dans la section 1 un résultat de commutation de la descente de Shintani et de l’induction de Deligne-Lusztig dans le cas de deux structures rationnelles sur le même corps fini; grâce à ce résultat et à l’interprétation de la descente de Shintani faite dans la section 2, nous montrons dans la section 3 que les caractères de Deligne-Lusztig sont leurs propres descendus de Shintani (de F^{m} à F), sous l’hypothèse que la caractéristique est bonne pour G et ne divise pas m. Ceci était contenu dans les résultats de l’article de Gyoja [8] mais sous des hypothèses beaucoup plus restrictives à la fois sur la caractéristique et sur le cardinal du corps fini.

Dans la section 4, par une utilisation répétée des résultats de la section 3, en considérant plusieurs corps emboîtés, nous généralisons le résultat principal de [8] en montrant que les remontés de Shintani des caractères de Deligne-Lusztig aux diverses tranches G^{F^{m}}.F^{i} du produit semi-direct de G^{F^{m}} par l’action de F se recollent en le caractère d’une extension, que nous décrivons explicitement, d’une représentation de Deligne-Lusztig de G^{F^{m}}.

1. Descente de Shintani et induction de Deligne-Lusztig dans les groupes non connexes. L’objectif de cette section est de donner un théorème de commutation entre la descente

de Shintani et l’induction de Deligne-Lusztig dans un groupe non connexe. Ce théorème généralise celui de [4] et sa démonstration utilise les mêmes idées. Je remercie Jean Michel pour l’aide qu’il m’a apportée à la démonstration de ce théorème (voir aussi [7, IV, 2.3] pour une démonstration utilisant les faisceaux caractères, sous des hypothèses moins générales).

Donnons d’abord un certain nombre de définitions et de résultats généraux sur les groupes réductifs non connexes dont l’essentiel se trouve dans [6]. Dans cet article nous considérerons des groupes réductifs non connexes de la forme G⋊<σ> où G est un groupe réductif connexe sur la clôture algébrique d’un corps fini et où σ est un automorphisme quasi-central de G c’est-à-dire qui stabilise un tore maximal et un sous-groupe de Borel le contenant et tel que tout élément σ-fixe du groupe de Weyl de ce tore ait un représentant σ-fixe dans G. Sous ces hypothèses le groupe (G^{σ})^{∘} est un groupe réductif connexe de groupe de Weyl le groupe des points fixes de σ dans le groupe de Weyl de G. Dans les cas que nous considérerons le groupe G sera défini sur un corps fini 𝔽_{q} et σ sera rationnel. Dans cette situation, si P est un sous-groupe parabolique stable par σ, de radical unipotent U et contenant un sous-groupe de Levi rationnel L stable par σ, on peut généraliser la notion d’induction de Deligne-Lusztig en une induction “dans la tranche G.σ” du groupe non connexe en utilisant la variété de Deligne-Lusztig habituelle Y_{U}^{G,F} = { x ∈ G | x^{−1}.^{F}x ∈

DESCENTE DE SHINTANI 3

FU }/U ∩ ^{F}U (cf. [3, 1.17]). Cette variété est munie d’actions de G^{F} par multiplication à gauche, de L^{F} par multiplication à droite et de σ. On en déduit des actions de G^{F}, L^{F} et σ sur les groupes de cohomologie l-adique de la variété, et on définit le foncteur R_{L^{F} .σ}^{G^{F} .σ} qui envoie une fonction L^{F} -invariante par conjugaison sur L^{F} .σ sur une fonction G^{F} -invariante par conjugaison sur G^{F} .σ par la formule

1.1  R_{L^{F} .σ}^{G^{F} .σ}(χ)(gσ) = 1/|L^{F} | ∑_{l∈L^{F}} Trace(((g, l^{−1})σ) | H_{c}^{∗}(Y_{U}^{G,F}))χ(lσ).

On définit ^{∗}R_{L^{F} .σ}^{G^{F} .σ} comme l’adjoint de R_{L^{F} .σ}^{G^{F} .σ}. Il est donné par la formule

1.2  ^{∗}R_{L^{F} .σ}^{G^{F} .σ}(χ)(lσ) = 1/|G^{F} | ∑_{g∈G^{F}} Trace(((g, l^{−1})σ) | H_{c}^{∗}(Y_{U}^{G,F}))χ(gσ),

(dans cette dernière formule nous avons utilisé le fait que la trace de (g, l^{−1})σ sur la cohomologie est un entier). Ces foncteurs ont des propriétés similaires à celles de l’induction et de la restriction de Deligne-Lusztig classiques et en particulier vérifient une formule du caractère (cf. [6, 2.10]).

D’une façon générale nous aurons à considérer la situation de groupes du type G⋊<σ>, produits semi-directs d’un groupe fini G par un groupe cyclique σ. Les fonctions complexes G-invariantes sur G.σ (que nous identifierons systématiquement aux fonctions de σ-classe sur G) sont munies de la restriction du produit scalaire hermitien naturel sur l’espace de toutes les fonctions. On obtient une base orthonormée pour ce produit scalaire en considérant pour chaque caractère irréductible σ-invariant χ de G la restriction à G.σ d’une extension fixée de χ à G⋊<σ>.

Rappelons maintenant la définition de la descente de Shintani. Si F et F′ sont deux endomorphismes de Frobenius correpondant à deux structures rationnelles sur un groupe réductif connexe G sur la clôture algébrique d’un corps fini, nous appellerons descente de Shintani de G^{F′} à G^{F}, notée Sh_{F′/F} l’application définie sur les fonctions à partir de l’application sur les classes qui envoie la F -classe de x^{−1}.^{F}x ∈ G^{F′} sur la F′-classe de x.^{F′}x^{−1} ∈ G^{F} (où x est un élément quelconque de G). Pour les propriétés de la descente de Shintani une référence possible est [2]. Enfin, nous noterons i l’application induite sur les fonctions sur un groupe par le passage à l’inverse sur les éléments.

Nous pouvons alors énoncer les résultats de cette section :

4 FRANÇOIS DIGNE

Proposition 1.3. Soit G un groupe réductif connexe défini sur 𝔽_{q}, d’endomorphisme de Frobenius F et soit σ un automorphisme quasi-central semi-simple rationnel de G; on considère un sous-groupe parabolique σ-stable P = LU, où L est un sous-groupe de Levi rationnel σ-stable de P et on suppose la caractéristique bonne pour (G^{σ})^{∘}; alors

(i)  i ∘ Sh_{F/σF} ∘^{∗}R_{L^{F} .σ}^{G^{F} .σ} = ^{∗}R_{L^{σF} .σ}^{G^{σF} .σ} ∘ i ∘ Sh_{F/σF} .

(ii)  Sh_{σF/F} ∘R_{L^{σF} .σ^{−1}}^{G^{σF} .σ^{−1}} = R_{L^{F} .σ}^{G^{F} .σ} ∘ Sh_{σF/F} .

L’énoncé (i) ci-dessus a bien un sens car i ∘ Sh_{F/σF} envoie les fonctions de σF -classe sur G^{F}, c’est-à-dire de σ-classe, sur les fonctions de F^{−1}-classe sur G^{σF}, c’est-à-dire de σ-classe aussi. L’énoncé (ii) a un sens aussi de façon analogue. Preuve : Montrons (i). Soit χ une fonction de σ-classe sur G^{F} et soit vlσ la décomposition de Jordan d’un élément de L^{σF} .σ, où v est la partie unipotente et lσ la partie semi-simple. D’après [6, 2.9] on a,

(^{∗}R_{L^{σF} .σ}^{G^{σF} .σ} ∘ i ∘ Sh_{F/σF} (χ))(vlσ) = (^{∗}R_{(L^{lσ})^{∘}.lσ}^{(G^{lσ})^{∘}.lσ} ∘ i ∘ Sh_{F/σF} (χ))(vlσ),

ce qui, d’après la formule du caractère, s’écrit

|(G^{lσ})^{∘}^{σF} |^{−1} ∑_{g∈(G^{lσ})^{∘}^{σF}} i ∘ Sh_{F/σF} (χ)(glσ) Trace((g, v^{−1}).lσ) | H_{c}^{∗}(Y_{U}^{(G^{lσ})^{∘},σF})),

où Y_{U}^{(G^{lσ})^{∘},σF} est une variété de Deligne-Lusztig pour le groupe (G^{lσ})^{∘} et le radical unipotent U ∩ (G^{lσ})^{∘} (noter l’abus de notation). Comme lσ agit trivialement par conjugaison sur cette variété, l’expression ci-dessus est égale à

|(G^{lσ})^{∘}^{σF} |^{−1} ∑_{g∈(G^{lσ})^{∘}^{σF}} i ∘ Sh_{F/σF} (χ)(glσ) Trace((g, v^{−1}) | H_{c}^{∗}(Y_{U}^{(G^{lσ})^{∘},σF})).

Soit s la partie semi-simple de g. D’après les propriétés de la cohomologie ℓ-adique, la trace ci-dessus est nulle si (s, 1) n’a pas de point fixe sur la variété Y_{U}^{(G^{lσ})^{∘},σF}, donc si la trace est non nulle on a s = 1 c’est-à-dire que g est unipotent. On écrira g = u où u est un élément unipotent de (G^{lσ})^{∘}. On obtient donc

(^{∗}R_{L^{σF} .σ}^{G^{σF} .σ} ∘ i ∘ Sh_{F/σF} (χ))(vlσ) =

|(G^{lσ})^{∘}^{σF} |^{−1} ∑_{u∈(G^{lσ})^{∘}_{u}^{σF}} i ∘ Sh_{F/σF} (χ)(ulσ) Trace((u, v^{−1}) | H_{c}^{∗}(Y_{U}^{(G^{lσ})^{∘},σF})).

Notons n_{σF/F} la bijection des σ-classes de G^{σF} sur les σ-classes de G^{F} qui envoie la classe de ^{F}x.x^{−1}.σ sur la classe de x^{−1}^{σF}x.σ. Par définition on a i ∘ Sh_{F/σF} = n_{σF/F}^{∗}. Le lemme suivant nous permettra de calculer n_{σF/F}.

Lemme 1.4. Soit τ ∈ L tel que l = ^{F}τ^{−1}.τ et soit l′ = τ.^{σF}τ^{−1} ; pour y unipotent de (G^{lσ})^{∘}^{σF}, soit η ∈ (G^{lσ})^{∘} tel que y = ^{σF}η.η^{−1} et soit y′ = η^{−1}.^{σF}η; alors

(i) On a classe(^{τσ}(y′lσ)) = n_{σF/F} (classe(ylσ)).

(ii) La conjugaison par τσ transforme la variété Y_{U}^{(G^{lσ})^{∘},σF} en la variété Y_{U}^{(G^{l′σ})^{∘},F}.

Démonstration : Par définition de η, on a ylσ = ^{σF}ηη^{−1}lσ = ^{σF}ηlση^{−1} = ^{σF}ηl^{σ}η^{−1}σ. Donc yl = ^{F}(^{σ}ητ^{−1}).(^{σ}ητ^{−1})^{−1}. On en déduit que n_{σF/F} (classe(ylσ)) est la classe de l’élément

(^{σ}ητ^{−1})^{−1}.^{σF}(^{σ}ητ^{−1})σ = τ^{σ}y′^{σF}τ^{−1}σ = τσy′^{F}τ^{−1}ττ^{−1} = ^{τ}(σy′l) = ^{τσ}(y′lσ),

d’où le (i) du lemme.

Pour démontrer (ii) remarquons que τσ conjugue lσ en l′σ, donc x ∈ (G^{lσ})^{∘} si et seulement si ^{τσ}x ∈ (G^{l′σ})^{∘}. D’autre part la conjugaison par τσ transforme l’action de σF sur (G^{lσ})^{∘} en celle de τσF τ^{−1} = l′σF sur (G^{l′σ})^{∘}, qui est aussi l’action de F sur ce groupe. Comme τσ normalise U on voit que τσ transforme bien Y_{U}^{(G^{lσ})^{∘},σF} en Y_{U}^{(G^{l′σ})^{∘},F}.

Nous allons appliquer le (i) du lemme avec y = u, avec y = v et avec y = 1. Soient η ∈ (G^{lσ})^{∘} et θ ∈ (L^{lσ})^{∘} tels que l’on ait respectivement u = ^{σF}η.η^{−1} et v = ^{σF}θ.θ^{−1} ; posons u′ = η^{−1}.^{σF}η et v′ = θ^{−1}.^{σF}θ. En appliquant le (i) du lemme avec y = u on obtient

(^{∗}R_{L^{σF} .σ}^{G^{σF} .σ} ∘ i ∘ Sh_{F/σF} (χ))(vlσ) =

|(G^{lσ})^{∘}^{σF} |^{−1} ∑_{u∈(G^{lσ})^{∘}_{u}^{σF}} χ(^{τσ}(u′lσ)) Trace((^{τσ}u,^{τσ}v^{−1}) | H_{c}^{∗}(Y_{U}^{(G^{l′σ})^{∘},F})).

6 FRANÇOIS DIGNE

Comme la caractéristique est bonne pour (G^{σ})^{∘}, donc pour (G^{lσ})^{∘}, les centralisateurs des éléments unipotents dans ce groupe sont connexes, donc les éléments u′ et u qui sont conjugués dans (G^{lσ})^{∘} sont aussi conjugués dans (G^{lσ})^{∘}^{σF} et on a χ(^{τσ}(u′lσ)) = χ(^{τσ}(ulσ)). Comme τσ conjugue lσ sur l′σ (c’est le (i) du lemme avec y = 1) l’élément ^{τσ}u (qui est F -fixe) décrit l’ensemble des éléments unipotents de (G^{l′σ})^{∘}^{F} quand u parcourt (G^{lσ})^{∘}_{u}^{σF}. Comme d’autre part |(G^{lσ})^{∘}^{σF} | = |(G^{l′σ})^{∘}^{F} | on obtient

(^{∗}R_{L^{σF} .σ}^{G^{σF} .σ} ∘ i ∘ Sh_{F/σF} (χ))(vlσ) =

|(G^{l′σ})^{∘}^{F} |^{−1} ∑_{u∈(G^{l′σ})^{∘}_{u}^{F}} χ(ul′σ)) Trace((u,^{τσ}v^{−1}) | H_{c}^{∗}(Y_{U}^{(G^{l′σ})^{∘},F})).

Comme plus haut, la caractéristique étant bonne, les éléments v et v′ sont conjugués dans (L^{lσ})^{∘}^{σF}, donc ^{τσ}v et ^{τσ}v′ sont conjugués dans (L^{l′σ})^{∘}^{F}. On obtient donc :

(^{∗}R_{L^{σF} .σ}^{G^{σF} .σ} ∘ i ∘ Sh_{F/σF} (χ))(vlσ) =

|(G^{l′σ})^{∘}^{F} |^{−1} ∑_{u∈(G^{l′σ})^{∘}_{u}^{F}} χ(ul′σ)) Trace((u,^{τσ}v^{′−1}) | H_{c}^{∗}(Y_{U}^{(G^{l′σ})^{∘},F})).

En appliquant les mêmes transformations qu’au début de cette preuve on obtient

(^{∗}R_{L^{F} .σ}^{G^{F} .σ}χ)(^{τσ}v′l′σ) = (^{∗}R_{L^{F} .σ}^{G^{F} .σ}χ)(^{τσ}(v′lσ)) = (i ∘ Sh_{F/σF} ∘^{∗}R_{L^{F} .σ}^{G^{F} .σ}χ)(vlσ),

cette dernière égalité par le (i) du lemme avec y = v.

Montrons maintenant le (ii) de la proposition. Par adjonction la formule (i) donne

R_{L^{F} .σ}^{G^{F} .σ} ∘ Sh_{σF/F} ∘i = Sh_{σF/F} ∘i ∘ R_{L^{σF} .σ}^{G^{σF} .σ}.

En utilisant l’égalité i ∘ R_{L^{σF} .σ}^{G^{σF} .σ} = R_{L^{σF} .σ^{−1}}^{G^{σF} .σ^{−1}} ∘ i, qui se déduit de la définition de R_{L^{F} .σ}^{G^{F} .σ} (cf. 1.1) et du fait que Trace(((g, l^{−1})σ) | H_{c}^{∗}(Y_{U}^{G,F})) est un entier (cf. par exemple [5, 10.6]) et en simplifiant par i, on obtient le résultat.

2. Produits en couronne et descente de Shintani.

Considérons un groupe réductif G défini sur la cloture algébrique \overline{𝔽}_{q} du corps fini 𝔽_{q} de caractéristique p et muni d’une structure rationnelle sur 𝔽_{q} associée à l’endomorphisme de

DESCENTE DE SHINTANI 7

Frobenius F. Nous nous intéressons à la descente de Shintani de G^{F^{m}} à G^{F} et à certaines de ses variantes. Nous allons les interpréter à l’aide d’une restriction des scalaires comme une descente de Shintani entre deux structures rationnelles différentes sur le même corps 𝔽_{q}.

Commençons par quelques résultats élémentaires sur les produits en couronne.

Proposition 2.1. Soit G un groupe et \underline{G} = G^{m}. Considérons l’automorphisme τ de \underline{G} défini par (g_{1}, …, g_{m}) ↦ (g_{2}, g_{3}, …, g_{m}, g_{1}), et soit prod l’application \underline{G}.τ → G définie par (g_{1}, …, g_{m}).τ ↦ g_{1} … g_{m}; alors prod induit une bijection des τ-classes de \underline{G} sur les classes de G. Si G est fini, l’application prod^{∗} qu’on en déduit est une isométrie des fonctions centrales sur G sur les fonctions de τ-classe sur \underline{G}.

Démonstration : Nous allons montrer que (g_{1} … g_{m}, 1, …, 1) est un représentant de la τclasse de (g_{1}, …, g_{m}) et que pour tout représentant de cette τ-classe de la forme (g, 1, …, 1) les éléments g et g_{1} … g_{m} sont conjugués dans G. Si on conjugue (g_{1}, …, g_{m}).τ par (x_{1}, …, x_{m}) où x_{1} = 1, et x_{i} = (g_{i} … g_{m})^{−1} pour i = 2, …, m on obtient (g_{1} … g_{m}, 1, …, 1).τ. D’autre part le conjugué de (g, 1 …, 1).τ par (x_{1}, …, x_{m}) est de la même forme si et seulement si x_{1} = x_{2} = … = x_{m} et dans ce cas il vaut (x_{1}gx_{1}^{−1}, 1, …, 1).τ. On a donc bien la bijection annoncée. D’autre part le calcul précédent montre que le centralisateur de (g_{1}, g_{2}, …, g_{m}).τ dans G^{m} et le centralisateur de g dans G sont isomorphes. Ceci montre que si G est fini prod^{∗} induit une isométrie sur les fonctions.

Toute représentation irréductible ρ de \underline{G} est de la forme ρ_{1} ⊗ ⋯ ⊗ ρ_{m} où les ρ_{i} sont des représentations irréductibles de G. La représentation ρ est τ-invariante si et seulement si les ρ_{i} sont toutes isomorphes. Donnons un énoncé sur les valeurs des caractères de ces représentations.

Proposition 2.2. Soit G un groupe fini; considérons le groupe G^{m}.τ où τ est l’automorphisme qui permute circulairement les facteurs. Si φ est le caractère d’une représentation ρ de G et si χ̃ est la restriction à G^{m}.τ du caractère de la représentation du groupe G^{m}⋊<τ> obtenue en faisant agir τ sur ρ^{⊗m} par permutation circulaire des composantes, on a prod^{∗}φ = χ̃.

Démonstration : D’après la proposition 2.1 il suffit de démontrer que χ̃((g, 1, …, 1)τ) = φ(g) pour tout g ∈ G. Soit V l’espace de la représentation ρ. Soit (e_{1}, …, e_{n}) une base de V. Alors le coefficient de (g, 1, …, 1)τ(e_{i_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ e_{i_{m}}) sur e_{i_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ e_{i_{m}} vaut 0 sauf si

8 FRANÇOIS DIGNE

i_{1} = … = i_{m} et dans ce cas il est égal au coefficient de g(e_{i_{1}}) sur e_{i_{1}}. D’où le résultat.

À partir de maintenant G désignera un groupe réductif sur \overline{𝔽}_{q} et F l’endomorphisme de Frobenius associé à une structure rationnelle sur 𝔽_{q} de G. Nous considérons le groupe \underline{G} = G^{m} et l’automorphisme τ de \underline{G} défini par permutation circulaire comme ci-dessus. Notons que cet automorphisme est toujours quasi-central et qu’il est semi-simple si et seulement si la caractéristique est première avec m. Nous notons pr la projection de \underline{G} sur sa première composante et, comme précédemment, nous notons prod l’application (g_{1}, …, g_{m}).τ ↦ g_{1}g_{2} … g_{m} de \underline{G}.τ dans G. Alors \underline{G}^{F} ≃ (G^{F})^{m} et pr définit un isomorphisme \underline{G}^{τF} ≃ G^{F^{m}}.

Proposition 2.3.

(i) La projection pr induit une bijection des F -classes de \underline{G}^{τF} sur les F -classes de G^{F^{m}} et pr^{∗} est une isométrie des fonctions de F -classe sur G^{F^{m}} sur les fonctions de F -classe sur \underline{G}^{τF}.

(ii) On a Sh_{τF/F} ∘pr^{∗} = prod^{∗} ∘ Sh_{F^{m}/F}.

Démonstration : (i) résulte du fait que pr est un homomorphisme de groupes défini sur 𝔽_{q}. Démontrons (ii). La projection pr est compatible avec l’application de Lang associée à F, c’est-à-dire pr(\underline{x}^{−1}.^{F} \underline{x}) = pr(\underline{x})^{−1}.^{F}pr(\underline{x}). D’autre part si (g_{1}, …, g_{m}) = \underline{x}.^{τF} \underline{x}^{−1} ∈ \underline{G}^{F} avec \underline{x} = (x_{1}, …, x_{m}) ∈ \underline{G}, alors, en utilisant le fait que x_{i}.^{F}x_{i+1}^{−1} = g_{i} est fixe par F, on obtient prod(\underline{x}.^{τF} \underline{x}^{−1}.τ) = pr(\underline{x}).^{F^{m}}pr(\underline{x})^{−1}. Le résultat se déduit de ces deux propriétés.

3. Induction de Deligne-Lusztig dans les produits en couronne. Nous conservons les notations précédentes et nous étudions maintenant le rapport

entre les variétés de Deligne-Lusztig du groupe G et celles du groupe \underline{G}. Considérons d’abord la structure rationnelle donnée par τF. En utilisant la projection pr on obtient le résultat suivant :

Proposition 3.1. Soit U le radical unipotent d’un sous-groupe parabolique P de G contenant un sous-groupe de Levi rationnel L; alors la projection pr définit un isomorphisme Y_{U}^{G,F^{m}} ≃ Y \underline{G},τF ; \underline{U} où \underline{U} = U×^{F^{m−1}}U×⋯×^{F^{2}}U×^{F}U et cet isomorphisme est compatible avec les actions de G^{F^{m}} × L^{F^{m}} sur le membre de gauche et de \underline{G}^{τF} × \underline{L}^{τF} sur le membre de droite (où \underline{L} = L^{m}).

Démonstration : L’élément \underline{g} = (g_{1}, …, g_{m}) représente un élément de Y \underline{G},τF ; \underline{U} si et seulement si g_{i}^{−1}.^{F}g_{i+1} ∈ ^{F^{m+1−i}}U pour 2 ≤ i ≤ m − 1, g_{1}^{−1}^{F}g_{2} ∈ U et g_{m}^{−1}^{F}g_{1} ∈ ^{F}U. Par récurrence descendante sur i, ceci est équivalent à g_{i} ∈ ^{F^{m+1−i}}(g_{1}U) pour tout i. Comme \underline{g} est pris modulo \underline{U} ∩ ^{τF} \underline{U} = (U ∩ ^{F^{m}}U) × ^{F^{m−1}}U × ⋯ × ^{F}U, on obtient

Y \underline{G},τF ; \underline{U} = \{ (g_{1}(U ∩ ^{F^{m}}U),^{F^{m−1}}(g_{1}U), …,^{F^{2}}(g_{1}U),^{F}(g_{1}U)) | g_{1}^{−1}.^{F^{m}}g_{1} ∈ ^{F^{m}}U \},

ce qui prouve la première partie du résultat.

L’élément (\underline{x}, \underline{l}) ∈ \underline{G}^{τF} × \underline{L}^{τF} agit par multiplication à gauche par \underline{x} et à droite par \underline{l}. On a \underline{x} = (x_{1},^{F^{m}}x_{1}, …,^{F}x_{1}) où x_{1} ∈ G^{F^{m}} et de même \underline{l} = (l_{1},^{F^{m}}l_{1}, …,^{F}l_{1}) où l_{1} ∈ L^{F^{m}}. On voit donc que la projection sur la première composante de cette action est bien l’action de G^{F^{m}} × L^{F^{m}} sur Y_{U}^{G,F^{m}}.

Traduisons l’énoncé précédent en termes d’induction de Deligne-Lusztig :

Corollaire 3.2. Si χ est un caractère de L^{F^{m}} on a R\begin{matrix}\underline{G} & ^{τF} \\ \underline{L} & ^{τF} \end{matrix} (pr^{∗}(χ)) = pr^{∗}(R_{L^{F^{m}}}^{G^{F^{m}}} (χ)).

Nous considérons maintenant les variétés de Deligne-Lusztig de \underline{G} pour la structure rationnelle associée à F. Si \underline{U} = U^{m} est le radical unipotent d’un sous-groupe parabolique de \underline{G} fixe par τ contenant un sous-groupe de Levi F -stable et τ-stable \underline{L} = L^{m}, on peut faire agir τ sur la variété Y \underline{G},F ; \underline{U} ≃ (Y_{U}^{G,F} )^{m}. Pour tout caractère χ de L^{F} la fonction de τ-classe prod^{∗}(χ) est la restriction à \underline{L}^{F} .τ de l’extension canonique de χ^{⊗m} à \underline{L}^{F} .<τ> obtenue en faisant agir τ par permutation des composantes. On peut alors appliquer à prod^{∗}χ l’induction de Deligne-Lusztig R_{\underline{L}^{F} .τ}^{\underline{G}^{F} .τ}, de la tranche \underline{L}^{F} .τ à la tranche \underline{G}^{F} .τ, dans le groupe non connexe \underline{G}.<τ> muni de l’endomorphisme de Frobenius F (voir ci-dessus, section 1).

Proposition 3.3. Avec les notations ci-dessus on a R_{\underline{L}^{F} .τ}^{\underline{G}^{F} .τ} ∘ prod^{∗} = prod^{∗} ∘ R_{L^{F}}^{G^{F}}.

Démonstration : Par définition, on a

R_{\underline{L}^{F} .τ}^{\underline{G}^{F} .τ} (prod^{∗}χ)(g, τ) = 1/|\underline{L}^{F} | ∑_{\underline{l}∈\underline{L}^{F}} Trace(((\underline{g}, \underline{l}^{−1})τ) | H_{c}^{∗}(Y \underline{G},F ; \underline{U} ))χ(prod(\underline{l}.τ)).

Le théorème de Künneth permet d’écrire la cohomologie qui intervient ci-dessus comme une somme de produits tensoriels. La trace à calculer est nulle sur les termes de cette somme qui ne sont pas de la forme H_{c}^{i}(Y_{U}^{G,F})^{⊗m}. On peut alors appliquer la proposition 2.2 au groupe (G^{F} × L^{F})^{m}, l’élément (\underline{g}, \underline{l}) agissant par (\underline{g}, \underline{l}^{−1}) sur la variété (pour avoir une action à gauche). On obtient Trace(((\underline{g}, \underline{l}^{−1})τ) | H_{c}^{∗}(Y \underline{G},F ; \underline{U} )) = Trace((g_{1} … g_{m}), (l_{1} … l_{m})^{−1} | H_{c}^{∗}(Y_{U}^{G,F})) pour tout \underline{g} = (g_{1}, …, g_{m}) ∈ \underline{G}^{F} et tout \underline{l} = (l_{1}, …, l_{m}) ∈ \underline{L}^{F}. On en déduit

R_{\underline{L}^{F} .τ}^{\underline{G}^{F} .τ} (prod^{∗}χ) = 1/|\underline{L}^{F} | ∑_{\underline{l}∈\underline{L}^{F}} Trace((prod(\underline{g}.τ), prod(\underline{l}.τ)^{−1}) | H_{c}^{∗}(Y_{U}^{G,F}))χ(prod(\underline{l}.τ))

= 1/|L^{F} | ∑_{l∈L^{F}} Trace((prod(\underline{g}.τ), l^{−1}) | H_{c}^{∗}(Y_{U}^{G,F}))χ(l),

cette dernière égalité par 2.1, d’où le résultat.

Pour énoncer le résultat suivant nous introduisons la propriété

3.4. L’induction de Deligne-Lusztig ne dépend pas du sous-groupe parabolique utilisé dans sa construction.

La propriété 3.4 est vraie pour l’induction de Deligne-Lusztig à partir d’un tore maximal ([3, 4.3]). Elle est conjecturée en général et prouvée par Deligne (non publié, voir [5, 11.6]) et par Bonnafé ([1, 10.1.1 et 13.3.1]) si la caractéristique et q sont assez grands .

Corollaire 3.5. Supposons que la caractéristique est bonne pour G et ne divise pas m et supposons la propriété 3.4 vraie; soient L un sous-groupe de Levi F -stable d’un sousgroupe parabolique de G et Φ̃ la restriction à la classe à gauche L^{F^{m}}.F d’une extension au produit semi-direct de L^{F^{m}} par l’action de F d’un caractère irréductible F -invariant Φ de L^{F^{m}}; alors la fonction de F -classe (Sh_{F^{m}/F})^{−1}(R_{L^{F}}^{G^{F}} (Sh_{F^{m}/F} Φ̃)) est une extension à G^{F^{m}}.F de R_{L^{F^{m}}}^{G^{F^{m}}} (Φ), au sens qu’il existe une action du groupe cyclique d’ordre m sur un modèle de R_{L^{F^{m}}}^{G^{F^{m}}} (Φ), qui commute comme F avec G^{F^{m}} et telle que la fonction de F -classe correspondante soit envoyée par la descente Sh_{F^{m}/F} sur R_{L^{F}}^{G^{F}} (Sh_{F^{m}/F} (Φ̃)).

Démonstration : Soit \underline{U} = (U,^{F^{m−1}}U, …,^{F^{2}}U,^{F}U) où U est le radical unipotent d’un sous-groupe parabolique ayant L comme sous-groupe de Levi. La partie de la somme alternée ∑_{i}(−1)^{i}H_{c}^{i}(Y \underline{G},τF ; \underline{U} ) où \underline{L}^{τF} agit par pr^{∗}(Φ) est un modèle de la représentation

(virtuelle) R\begin{matrix}\underline{G} & ^{τF} \\ \underline{L} & ^{τF} \end{matrix} (pr^{∗}(Φ)) = pr^{∗}(R_{L^{F^{m}}}^{G^{F^{m}}} (Φ)) (cf. 3.2). Considérons maintenant \underline{U}′ = U^{m}.

La cohomologie de Y_{\underline{U}′}^{\underline{G},τF} fournit aussi un modèle de R\begin{matrix}\underline{G} & ^{τF} \\ \underline{L} & ^{τF} \end{matrix} (pr^{∗}(Φ)), d’après la propriété

3.4. Sur ce modèle on a une action de τ, ce qui permet de définir R_{\underline{L}^{τF} .τ^{−1}}^{\underline{G}^{τF} .τ^{−1}}(pr^{∗}(Φ̃)). On obtient ainsi un modèle d’une extension de R_{L^{F^{m}}}^{G^{F^{m}}} (Φ) que nous noterons R_{L^{F^{m}} .F}^{G^{F^{m}} .F} (Φ̃), c’està-dire qu’on peut écrire R_{\underline{L}^{τF} .τ^{−1}}^{\underline{G}^{τF} .τ^{−1}}(pr^{∗}(Φ̃)) = pr^{∗}(R_{L^{F^{m}} .F}^{G^{F^{m}} .F} (Φ̃)). Appliquons alors 1.3 (ii), ce qui est possible car la caractéristique est bonne pour \underline{G}^{τ} ≃ G et que τ est quasi-central semi-simple d’après les hypothèses sur la caractéristique (voir remarque au dessus de 2.3); on obtient

Sh_{τF/F} (R_{\underline{L}^{τF} .τ^{−1}}^{\underline{G}^{τF} .τ^{−1}}(pr^{∗}(Φ̃)) = R_{\underline{L}^{F} .τ}^{\underline{G}^{F} .τ} (Sh_{τF/F} pr^{∗}(Φ̃)).

Comme Sh_{τF/F} pr^{∗}(Φ̃) = prod^{∗} Sh_{F^{m}/F} (Φ̃), d’après 2.3, (ii) on obtient

Sh_{τF/F} (R_{\underline{L}^{τF} .τ^{−1}}^{\underline{G}^{τF} .τ^{−1}}(pr^{∗}(Φ̃))) = R_{\underline{L}^{F} .τ}^{\underline{G}^{F} .τ} (prod^{∗}(Sh_{F^{m}/F} Φ̃)) = prod^{∗}(R_{L^{F}}^{G^{F}} (Sh_{F^{m}/F} Φ̃)),

cette dernière égalité par 3.3. Si on écrit le premier membre Sh_{τF/F} (pr^{∗}(R_{L^{F^{m}} .F}^{G^{F^{m}} .F} (Φ̃))), on obtient par 2.3, (ii)

prod^{∗} Sh_{F^{m}/F} (R_{L^{F^{m}} .F}^{G^{F^{m}} .F} (Φ̃)) = prod^{∗}(R_{L^{F}}^{G^{F}} (Sh_{F^{m}/F} Φ̃)).

On obtient le résultat en simplifiant par prod^{∗}.

Nous spécialisons maintenant le résultat précédent au cas où L est un tore maximal T. Dans ce cas, comme nous l’avons vu, la propriété 3.4 est vraie, les caractères irréductibles F -invariants de T^{F^{m}} sont les remontés par la norme des caractères irréductibles de T^{F} et la restriction à à la tranche T^{F^{m}}.F de l’extension triviale du remonté par la norme d’un caractère θ irréductible de T^{F} est donnée par (i ∘ Sh_{F^{m}/F})^{−1}(θ)). On peut donc énoncer :

Corollaire 3.6. Supposons que la caractéristique est bonne pour G et ne divise pas m; soit T un tore maximal F -stable de G, soit θ un caractère irréductible de T^{F} et soit Θ le remonté de θ à T^{F^{m}} par la norme; alors la fonction de F -classe (i ∘ Sh_{F^{m}/F})^{−1}(R_{T^{F}}^{G^{F}} (θ)) est une extension à G^{F^{m}}.F de R_{T^{F^{m}}}^{G^{F^{m}}} (Θ), au sens qu’il existe une action du groupe cyclique d’ordre m sur un modèle de R_{T^{F^{m}}}^{G^{F^{m}}} (Θ), qui commute comme F avec G^{F^{m}} et telle que la fonction de F -classe correspondante soit envoyée par i ∘ Sh_{F^{m}/F} sur R_{T^{F}}^{G^{F}} (θ).

Remarques.

(i) Le fait d’être (la restriction d’)une extension de R_{L^{F^{m}}}^{G^{F^{m}}} (Φ) à la tranche n’est pas très contraignant; en particulier certains caractères irréductibles composantes de R_{L^{F^{m}}}^{G^{F^{m}}} (Φ)

12 FRANÇOIS DIGNE

peuvent disparaître dans cette extension. Par contre le résultat est fort dans le cas où R_{L^{F^{m}}}^{G^{F^{m}}} (Φ) est irréductible. Notons que dans le cas du tore, avec les notations de 3.6, le caractère R_{T^{F^{m}}}^{G^{F^{m}}} (Θ) est irréductible si et seulement si Θ est “en position générale” (cf. [3, 5.15 et 6.8]), ce qui est équivalent à θ en position générale, c’est-à-dire à R_{T^{F}}^{G^{F}} (θ) irréductible.

(ii) La démonstration du corollaire 3.5 utilise de façon essentielle la propriété 3.4. Or, même dans le cas du tore, on ne connaît pas d’isomorphisme explicite entre les constructions obtenues à partir de deux sous-groupes de Borel différents (d’ailleurs les cohomologies peuvent être différentes, seules les sommes alternées sont les mêmes). En particulier dans la démonstration de 3.5 on a construit une extension de R_{L^{F^{m}}}^{G^{F^{m}}} (Φ) qu’on ne sait pas interpréter au niveau de la variété donnant cette représentation.

(iii) Il est immédiat de déduire du corollaire précédent le résultat analogue pour Sh_{F^{m}/F^{r}} où r divise m; donnons-le dans le cas du tore : La fonction de F^{r}-classe i∘Sh_{F^{m}/F^{r}}^{−1}(R_{T^{F^{r}}}^{G^{F^{r}}} (i∘Sh_{F^{r}/F}^{−1} (θ))) est une extension à G^{F^{m}}.F^{r} de R_{T^{F^{m}}}^{G^{F^{m}}} (i ∘ Sh_{F^{m}/F}^{−1} (θ)) (précisément, c’est la restriction à G^{F^{m}}.F^{r} de l’extension construite dans 3.6). Nous généraliserons ceci à m et r quelconques dans la section suivante.

(iv) Dans le cas où θ est en position générale, c’est-à-dire que R_{T^{F}}^{G^{F}} (θ) est irréductible, l’énoncé 3.6 est contenu dans les résultats de Gyoja [8], mais sous l’hypothèse plus restrictive que p et q sont assez grands (et que p ne divise pas m). Avec les mêmes hypothèses sur p et q, quand θ n’est pas en position générale, Gyoja démontre que (i ∘ Sh_{F^{m}/F})^{−1}(R_{T^{F}}^{G^{F}} (θ)) est la restriction à la tranche G^{F^{m}}.F d’un caractère virtuel.

(v) On peut généraliser tout ce qui précède au cas où l’on considère un automorphisme σ rationnel de G et la descente de Shintani Sh_{σF^{m}/F}. Il suffit pour celà de remplacer τ par l’automorphisme de G^{m} qui envoie (g_{1}, …, g_{m}) sur (^{σ}g_{2}, g_{3}, …, g_{m}, g_{1}). Donnons cette généralisation dans le cas du tore :

Corollaire 3.7. Supposons que la caractéristique est bonne pour G et ne divise pas m; soient T un tore maximal F -stable et σ-stable de G et θ un caractère σ-stable de T^{F} ; alors la fonction de F -classe (i ∘ Sh_{σF^{m}/F})^{−1}(R_{T^{F} .σ}^{G^{F} .σ}(θ)) est une extension à G^{σF^{m}}.F de R_{T^{σF^{m}}}^{G^{σF^{m}}} ((i ∘ Sh_{σF^{m}/F})^{−1}(θ)), au sens qu’il existe une action du groupe cyclique d’ordre m sur un modèle de R_{T^{σF^{m}}}^{G^{σF^{m}}} ((i ∘ Sh_{F^{m}/F})^{−1}(θ)), qui commute comme F avec G^{σF^{m}} et telle que la fonction de F -classe correspondante soit envoyée par la descente de Shintani i ∘ Sh_{σF^{m}/F} sur R_{T^{F} .σ}^{G^{F} .σ}(θ).

4. Descente de F^{r} à F^{s}.

Dans cette section nous allons généraliser les résultats précédents en remplaçant F^{m} et F par deux puissances quelconques de F et nous allons en déduire que les fonctions centrales obtenues sur les différentes tranches de G^{F^{m}}.<F > par remontées de Shintani d’un caractère de Deligne Lusztig à partir des tranches G^{F^{i}}.F^{m} se recollent en un caractère du groupe G^{F^{m}}.<F > précisant et généralisant ainsi le résultat de Gyoja [8], toujours sous la seule hypothèse que la caractéristique est bonne et ne divise pas m.

L’idée est de considérer les groupes G^{r}⋊<c_{r}> et G^{s}⋊<c_{s}> où c_{r} et c_{s} sont des permutations circulaires analogues au τ des sections précédentes. La projection pr sur le premier facteur est un isomorphisme (G^{r})^{c_{r}F} ≃ G^{F^{r}} et de même pour G^{F^{s}}. Pour pouvoir comparer (G^{r})^{c_{r}F} et (G^{s})^{c_{s}F} on utilise le groupe G^{rs} muni des deux automorphismes σ et ρ agissant par permutation des facteurs de la façon suivante : ρ est produit de s cycles de longueur r portant sur des éléments consécutifs et σ est produit de r cycles de longueur s envoyant le i-ème facteur sur le i+r-ème facteur (modulo rs). Ces deux automorphismes commutent. On a alors (G^{rs})^{ρF} ≃ (G^{F^{r}})^{s} par projection sur les facteurs d’indice congru à 1 modulo r (resp. (G^{rs})^{σF} ≃ (G^{F^{s}})^{r} par projection sur les r premiers facteurs). Par cet isomorphisme l’action de σ devient l’action de c_{s} (resp. l’action de ρ devient l’action de c_{r}). On peut alors transporter les F^{s}-classes de G^{F^{r}}, les F^{r}-classes de G^{F^{s}} et la descente de Shintani dans le groupe G^{rs} : définissons l’application

\begin{matrix}prod_{s} : (G^{rs})^{ρF} .σF & → G^{F^{r}}.F^{s} \\ (x_{1}, …, x_{rs}).σF & ↦ x_{1}^{F}x_{r+1}^{F^{2}}x_{2r+1} …^{F^{s−1}}x_{(s−1)r+1}.F^{s}, \end{matrix}

et l’application prod_{r} analogue en échangeant les rôles de r et s d’une part et de σ et ρ d’autre part :

\begin{matrix}prod_{r} : (G^{rs})^{σF} .ρF & → G^{F^{s}}.F^{r} \\ (x_{1}, …, x_{rs}).ρF & ↦ x_{1}^{F}x_{2}^{F^{2}}x_{3} …^{F^{r−1}}x_{r−1}.F^{r}; \end{matrix}

on a la généralisation suivante de la proposition 2.3 :

14 FRANÇOIS DIGNE

Proposition 4.1.

(i) L’application prod_{s} (resp. prod_{r}) induit une bijection des σF -classes de (G^{rs})^{ρF} sur les F^{s}-classes de G^{F^{r}} (resp. des ρF -classes de (G^{rs})^{σF} sur les F^{r}-classes de G^{F^{s}}). Les applications prod_{s}^{∗} et prod_{r}^{∗} sont des isométries.

(ii) On a Sh_{ρF/σF} ∘prod_{s}^{∗} = prod_{r}^{∗} ∘ Sh_{F^{r}/F^{s}}.

Preuve : Nous allons appliquer 2.1 en prenant pour G le groupe G^{F^{r}}.<F > (où F est considéré comme étant d’ordre r), en prenant m = s et ρ = c_{s} : un élément (g_{1}, …, g_{s}).c_{s}F ∈ (G^{F^{r}})^{s}.c_{s}F s’interprète comme l’élément (g_{1}F, …, g_{s}F).c_{s} ∈ (G^{F^{r}}.<F >)^{s}.c_{s}; l’application prod pour ce groupe envoie (g_{1}F, …, g_{s}F).c_{s} sur le produit g_{1}.^{F}g_{2}.^{F^{2}}g_{3} …^{F^{s−1}}g_{s}.F^{s} ce qui, composé avec l’isomorphisme (G^{rs})^{ρF} .σF ≃ (G^{F^{r}})^{s}.c_{s}F donné par la projection sur les facteurs d’indice congru à 1 modulo r, est prod_{s}. On en déduit par 2.1 que prod_{s} induit une bijection des σF -classes de (G^{rs})^{ρF} sur les classes des éléments de G^{F^{r}}.F^{s} dans G^{F^{r}}⋊<F >, c’est-à-dire sur les F^{s}-classes de G^{F^{r}}, d’où (i).

Pour montrer (ii), partons de la F^{s}-classe de x ∈ G^{F^{r}}. Elle correspond par prod_{s}, d’après (i), à la σF -classe de \underline{x} = (x,^{F^{−1}}x, …,^{F^{1−r}}x, 1, …, 1) ∈ (G^{rs})^{ρF}. Écrivons x = h^{−1}.^{F^{s}}h, on a \underline{x} = \underline{h}^{−1}.^{σF} \underline{h} où \underline{h} = (h_{1}, …, h_{rs}) avec h_{1} = h, h_{2} = ^{F^{−1}}h, …, h_{r} = ^{F^{1−r}}h, et les autres composantes sont définies par h_{kr+i} = ^{F^{s−k−i+1}}h pour i = 1, …, r et k = 1, …, s − 1. Par la descente de Shintani de ρF à σF la σF -classe de \underline{x} va sur la ρF -classe de \underline{y} = \underline{h}.^{ρF} \underline{h}^{−1}. Dans \underline{y} les seuls termes différents de 1 sont ceux de rang multiple de r. Le terme de rang r vaut ^{F^{1−r}}h.^{F}h^{−1}, le terme de rang 2r vaut ^{F^{s−r}}h.^{F^{s}}h^{−1} et le terme de rang kr pour k > 2 est F^{−1} du terme de rang (k − 1)r. On a prod_{r}(\underline{y}.ρF) = h.^{F^{r}}h^{−1}.F^{r} et la classe de cet élément correspond bien à x par la descente de Shintani de F^{r} à F^{s}.

Nous généralisons maintenant 3.3 à la situation du groupe G^{rs} muni de σ et ρ. Soit U le radical unipotent d’un sous-groupe parabolique de G ayant un sous-groupe de Levi rationnel L; considérons la variété de Deligne-Lusztig Y_{U^{rs}}^{G^{rs},ρF}. Sur cette variété agissent (L^{rs})^{ρF} et (G^{rs})^{ρF} ainsi que ρ et σ. On peut donc définir R_{(L^{rs})^{ρF} .ξ}^{(G^{rs})^{ρF} .ξ} où ξ est un élément du groupe <σ, ρ>. Comme dans la section précédente on a aussi la variété Y_{U^{r}}^{G^{r},c_{r}F} qui permet de définir R_{(L^{r})^{cr F} .c_{r}^{i}}^{(G^{r})^{cr F} .c_{r}^{i}} pour tout i. Quand nous prenons ξ = σρ^{−1} ces inductions de Deligne-Lusztig sont reliées par le résultat suivant :

Proposition 4.2. On a l’égalité de foncteurs

R_{(L^{rs})^{ρF} .σρ^{−1}}^{(G^{rs})^{ρF} .σρ^{−1}} ∘ (pr^{−1} ∘ prod_{s})^{∗} = (pr^{−1} ∘ prod_{s})^{∗} ∘ R_{(L^{r})^{cr F} .c_{r}^{−s}}^{(G^{r})^{cr F} .c_{r}^{−s}},

où pr dans le membre de gauche (resp. de droite) est la bijection des F^{s}-classes de (G^{r})^{c_{r}F} sur les F^{s}-classes de G^{F^{r}} donnée par la projection sur le premier facteur (resp. l’analogue pour L).

Démonstration : On a Y_{U^{rs}}^{G^{rs},ρF} = (Y_{U^{r}}^{G^{r},c_{r}F})^{s}. En effet le premier membre est formé des (x_{1}, …, x_{rs}) tels que x_{kr+i}^{−1}.^{F}x_{kr+j} pour tout k ∈ {0, …, s − 1} et tout i ∈ {1, …, r} où j ∈ {1, …, r} vérifie j ≡ i + 1 (mod r). On a donc pour tout k comme ci-dessus (x_{kr+1}, x_{kr+2}, …, x_{(k+1)r}) ∈ Y_{U^{r}}^{G^{r},c_{r}F}, ce qui donne l’égalité de variétés annoncée. L’action de (G^{rs})^{ρF} ×(L^{rs})^{ρF} sur le premier membre devient l’action de ((G^{r})^{c_{r}F} ×(L^{r})^{c_{r}F})^{s} sur le deuxième membre. L’action de σ devient la permutation circulaire des facteurs et celle de ρ la permutation circulaire de chaque facteur, c’est-à-dire l’action de c_{r} sur chaque facteur. Par la formule de Künneth on a donc H_{c}^{∗}(Y_{U^{rs}}^{G^{rs},ρF}) ≃ (H_{c}^{∗}(Y_{U^{r}}^{G^{r},c_{r}F}))^{⊗s} où σ agit par permutation des facteurs et ρ par c_{r} sur chaque facteur. La trace d’un élément de la tranche ((G^{rs})^{ρF} × (L^{rs})^{ρF}).σρ^{−1} est donc nulle sur les termes du produit tensoriel qui ne sont pas de la forme (H_{c}^{i}(Y_{U^{r}}^{G^{r},c_{r}F}))^{⊗s}. Considérons la F^{s}-classe d’un élément g ∈ G^{F^{r}}. C’est

l’image par pr de la F^{s}-classe (ou encore de la c_{r}^{−s}-classe) de (g,^{F^{−1}}g, …,^{F^{1−r}}g) ∈ (G^{r})^{c_{r}F} et c’est l’image par prod_{s} de la σρ^{−1}-classe de (g,^{F^{−1}}g, …,^{F^{1−r}}g, 1 …, 1) ∈ (G^{rs})^{ρF}. Ces deux classes se correspondent donc par prod_{s} ∘ pr^{−1}, et on a la correspondance analogue pour L. Appliquons alors la proposition 2.2 en prenant m = s et en prenant comme groupe G le groupe ((G^{r})^{c_{r}F} × (L^{r})^{c_{r}F})⋊<c_{r}> agissant sur l’espace H_{c}^{i}(Y_{U^{r}}^{G^{r},c_{r}F}) que nous noterons V ; on obtient

Trace(([(g, l^{−1}),^{F^{−1}}(g, l^{−1}), …,^{F^{1−r}}(g, l^{−1})]c_{r}^{−1}, c_{r}^{−1}, …, c_{r}^{−1})σ | V^{⊗s}) =

Trace([(g, l^{−1}),^{F^{−1}}(g, l^{−1}), …,^{F^{1−r}}(g, l^{−1})]c_{r}^{−s} | V),

pour tout g ∈ G^{F^{r}} et tout l ∈ L^{F^{r}}. Ceci donne le résultat car, comme expliqué plus haut, au premier membre, l’action de (c_{r}^{−1}, …, c_{r}^{−1}) est égale à l’action de ρ^{−1}, donc la trace de ([(g, l^{−1}),^{F^{−1}}(g, l^{−1}), …,^{F^{1−r}}(g, l^{−1})]c_{r}^{−1}, c_{r}^{−1}, …, c_{r}^{−1})σ est égale à celle de ([(g, l^{−1}),^{F^{−1}}(g, l^{−1}), …,^{F^{1−r}}(g, l^{−1})], 1, …, 1)σρ^{−1}.

16 FRANÇOIS DIGNE

Nous allons appliquer cette proposition dans le cas où L est un tore maximal T. Dans ce cas, si Θ est un caractère F -invariant de T^{F^{r}}, on l’étend trivialement au produit semi-direct de T^{F^{r}} par le groupe cyclique d’ordre r engendré par l’action de F. À travers l’isomorphisme donné par la projection sur le premier facteur, on obtient un caractère de (T^{r})^{c_{r}F} où c_{r} est comme précédemment. En utilisant la variété Y_{U^{r}}^{G^{r},c_{r}F}, comme dans la preuve de 3.5, on peut définir une extension de R_{T^{F^{r}}}^{G^{F^{r}}} (Θ) au produit semi-direct de G^{F^{r}} par l’action de F. La restriction à la tranche F^{s} de cette extension vaut (pr^{−1})^{∗} ∘R_{(T^{r})^{cr F} .c_{r}^{−s}}^{(G^{r})^{cr F} .c_{r}^{−s}} ∘

pr^{∗}(Θ). Nous la noterons R_{T^{F^{r}} .F^{s}}^{G^{F^{r}} .F^{s}}(Θ). Avec ces notations, la proposition 4.2 s’écrit

Corollaire 4.3.

R_{(T^{rs})^{ρF} .σρ^{−1}}^{(G^{rs})^{ρF} .σρ^{−1}} ∘ prod_{s}^{∗}(Θ) = prod_{s}^{∗} ∘ R_{T^{F^{r}} .F^{s}}^{G^{F^{r}}^{.}F^{s}}(Θ).

Nous nous plaçons dans la situation suivante : on considère un tore maximal rationnel T et un caractère θ de T^{F} comme dans la section précédente. Pour chaque r on définit le caractère F -invariant Θ_{r} de T^{F^{r}} obtenu comme remonté de θ par la norme, c’est-à-dire aussi Θ_{r} = (i ∘ Sh_{F^{r}/F})^{−1}(θ). On a donc pour chaque r et chaque s une extension définie comme plus haut, notée R_{T^{F^{r}} .F^{s}}^{G^{F^{r}} .F^{s}}(Θ_{r}) Ces extensions sont descendues de Shintani l’une de l’autre :

Corollaire 4.4. Supposons la caractéristique p bonne pour G et soient r et s deux entiers premiers à p; on a

Sh_{F^{r}/F^{s}}(R_{T^{F^{r}} .F^{s}}^{G^{F^{r}} .F^{s}}(Θ_{r})) = R_{T^{F^{s}} .F^{r}}^{G^{F^{s}} .F^{r}}(i(Θ_{s})).

Démonstration : La démonstration est une généralisation de celle de 3.5. Prenons prod_{r}^{∗} du premier membre et appliquons 4.1 (ii); on obtient

prod_{r}^{∗} ∘ Sh_{F^{r}/F^{s}}(R_{T^{F^{r}} .F^{s}}^{G^{F^{r}} .F^{s}}(Θ_{r})) = Sh_{ρF/σF} ∘prod_{s}^{∗}(R_{T^{F^{r}} .F^{s}}^{G^{F^{r}} .F^{s}}(Θ_{r})).

On applique alors 4.3 et on obtient pour le membre de droite ci-dessus

Sh_{ρF/σF} ∘R_{(T^{rs})^{ρF} .σρ^{−1}}^{(G^{rs})^{ρF} .σρ^{−1}} ∘ prod_{s}^{∗}(Θ_{r}).

DESCENTE DE SHINTANI 17

Par 1.3 (ii), qu’on peut utiliser vues les hypothèses sur la caractéristique, l’expression précédente devient

R_{(T^{rs})^{σF} .ρσ^{−1}}^{(G^{rs})^{σF} .ρσ^{−1}} ∘ Sh_{ρF/σF} prod_{s}^{∗}(Θ_{r}).

Appliquons à nouveau 4.1 (ii), on trouve

R_{(T^{rs})^{σF} .ρσ^{−1}}^{(G^{rs})^{σF} .ρσ^{−1}} ∘ prod_{r}^{∗} ∘ Sh_{F^{r}/F^{s}}(Θ_{r}).

On peut maintenant appliquer l’analogue de 4.3 en échangeant les rôles de r et s et de σ et ρ on obtient

prod_{r}^{∗} ∘ R_{T^{F^{s}} .F^{r}}^{G^{F^{s}} .F^{r}} ∘ Sh_{F^{r}/F^{s}}(Θ_{r}).

En simplifiant par prod_{r}^{∗}, et en utilisant le fait que Θ_{s} = i ∘ Sh_{F^{r}/F^{s}}(Θ_{r}), on obtient le résultat.

Nous pouvons maintenant généraliser le résultat de Gyoja [8]. Rappelons d’abord le procédé de descente utilisé dans cet article, revu comme dans [2, 1.16]. On peut composer les descentes Sh_{F^{r}/F^{s}} de la façon suivante : on part d’une fonction de F^{s}-classe sur G^{F^{r}}, on applique Sh_{F^{r}/F^{s}} et on obtient une fonction de F^{r}-classe sur G^{F^{s}}. Si r ≡ r_{1} (mod s), c’est aussi une fonction de F^{r_{1}}-classe et on peut donc appliquer Sh_{F^{s}/F^{r_{1}}} , puis on applique Sh_{F^{r_{1}} /F^{r_{2}}} si s ≡ r_{2} (mod r_{1}), et on continue ainsi jusqu’à trouver une fonction centrale sur G^{F^{pgcd(r,s)}}. Le composé ne dépend pas de la suite (r_{1}, r_{2}, …) si l’on interdit que deux r_{i} consécutifs soient égaux. En effet, si on supprime les aller-retours, il n’y a qu’une suite possible (cette suite est strictement décroissante) et comme Sh_{F/F′} est l’inverse de Sh_{F′/F}, les aller-retours ne changent rien au composé. La descente considérée par Gyoja est le composé de ceci avec i^{n} où n est le nombre de foncteurs Sh qu’on a composés. Notons G_{r,s} cette descente.

Théorème 4.5. Soit θ un caractère de T^{F} ; on note Θ_{r} son remonté par la norme à T^{F^{r}} pour tout r. Si la caractéristique est bonne pour G et ne divise pas m on a pour tout entier strictement positif r

G_{m,r}(R_{T^{F^{m}} .F^{r}}^{G^{F^{m}} .F^{r}}(Θ_{m})) = R_{T^{F^{pgcd(m,r)}}}^{G^{F^{pgcd(m,r)}}} (Θ_{pgcd(m,r)}).

où R_{T^{F^{m}} .F^{r}}^{G^{F^{m}} .F^{r}}(Θ_{m}) est la restriction à une tranche de l’extension de R_{T^{F^{m}}}^{G^{F^{m}}} (Θ_{m}) définie au dessus de 4.4.

18 FRANÇOIS DIGNE

Démonstration : Si on peut appliquer le corollaire précédent à chaque descente de Shintani Sh_{F^{j}/F^{k}} qu’on compose, on obtient le résultat, car i commute avec l’induction de Deligne-Lusztig dans un groupe connexe (cf. démonstration de 1.3) (ii). Ceci n’est possible que si la caractéristique ne divise pas les deux entiers j et k. Le lemme suivant nous permettra de contourner le cas où p divise j ou k.

Lemme 4.6.

(i) Soient j et k deux entiers tels que j > k > 0; alors Sh_{F^{k}/F^{j−k}} ∘ Sh_{F^{j}/F^{k}} = Sh_{F^{j}/F^{j−k}} ∘i. (ii) Supposons que j et j − k sont premiers à p et que la caractéristique est bonne pour

G; alors

Sh_{F^{j}/F^{j−k}} ∘i(R_{T^{F^{j}} .F^{k}}^{G^{F^{j}} .F^{k}}(Θ_{j})) = R_{T^{j−k}.F^{j}}^{G^{j−k}F^{j}}(Θ_{j−k}).

Démonstration du lemme : Le (i) du lemme est un cas particulier de [2,1.15]. Le (ii) du lemme se déduit de 4.4, en prenant s = j et r = j − k, et de la formule de commutation de i avec l’induction de Deligne-Lusztig (cf. démonstration de 1.3 (ii)).

On démontre alors le théorème de la façon suivante : soit m = r_{0}, r_{1} = r, …, r_{k} = pgcd(m, r) une suite strictement décroissante d’entiers, commençant à m et telle que r_{j} ≡ r_{j+2} (mod r_{j+1}) pour j = 0, …, k−2; montrons par récurrence sur j que si r_{j} est premier à p on a

Sh_{F^{r_{j−1}} /F^{r_{j}}} ∘ ⋯ ∘ Sh_{F^{r_{1}} /F^{r_{2}}} ∘ Sh_{F^{m}/F^{r_{1}}} (R_{T^{F^{m}} .F^{r}}^{G^{F^{m}} .F^{r}}(Θ_{m})) = R_{T^{F^{r_{j}}} .F^{r_{j−1}}}^{G^{F^{r_{j}}} .F^{r_{j−1}}} (i^{j}(Θ_{r_{j}}).

Pour j = k (qui est bien premier à p) on obtiendra le théorème. Supposons la propriété vraie pour j (en particulier r_{j} premier à p). Il y a alors deux cas : soit r_{j+1} est premier à p et on peut appliquer 4.4, ce qui donne le résultat cherché au cran j + 1; ou bien r_{j+1} est divisible par p, auquel cas r_{j+2} n’est pas divisible par p puisqu’il est congru à r_{j} modulo r_{j+1}. Dans ce cas, pour simplifier les notations, écrivons s, t et u pour r_{j}, r_{j+1} et r_{j+2} ; on a s = tv + u et on peut utiliser 4.6 (i) pour remplacer Sh_{F^{t}/F^{u}} ∘ Sh_{F^{s}/F^{t}} par le composé

Sh_{F^{s−(v−1)t}/F^{u}} ∘i ∘ ⋯ ∘ Sh_{F^{s−2t}/F^{s−3t}} ∘i ∘ Sh_{F^{s−t}/F^{s−2t}} ∘i ∘ Sh_{F^{s}/F^{s−t}} ∘i.

On peut alors appliquer de façon répétée 4.6, (ii) et on obtient le résultat cherché au cran j + 2.

DESCENTE DE SHINTANI 19

Références

1. C. Bonnafé, ‘Foncteurs de Lusztig dans le groupe spécial linéaire sur un corps fini’, Thèse soutenue le 5 décembre 1996, Université Paris VII.

3. P. Deligne et G. Lusztig, ‘Representations of reductive groups over finite fields’, Annals of Math. 103 (1976) 103–161.

2. F. Digne, ‘Shintani Descent and L Functions on Deligne-Lusztig Varieties, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 47, 1 (1987) 61–68.

4. F. Digne et J. Michel, ‘Descente de Shintani des caractères de Deligne-Lusztig’, CRAS, 291 (15 décembre 1980), 651–653.

5. F. Digne et J. Michel, ‘Representations of finite groups of Lie type, London Math. Soc., Student Texts 21, (Cambridge University Press, 1992).

6. F. Digne et J. Michel, ‘Groupes réductifs non connexes’, Annales de l’ENS 27 (1994) 345–406.

7. M. Eftekhari, ‘Descente de Shintani des faisceaux caractères’, Thèse soutenue le 7 mars 1994, Université Paris VII.

8. A. Gyoja, ‘Liftings of irreducible characters of finite reductive groups’, Osaka J. Math. 16 (1979) 1–30.

LAMFA Université de Picardie 33, rue Saint-Leu 80039 Amiens Cedex E-mail : digne@mathinfo.u-picardie.fr