Théorie des groupes/Group Theorey

Algèbres de Hecke comme algèbres symétriques et théorème de Dipper. Marc CABANES

Résumé : Nous donnons une nouvelle démonstration des isomorphismes d’algèbres liant la matrice de décomposition de certains groupes classiques finis à celle des algèbres de Schur à paramètre q de Dipper-Gruber-Hiss-James. L’ingrédient essentiel est la symétrie de l’algèbre de Hecke. Nous montrons que les modules induits de certains modules cuspidaux en un sens général, ont une algèbre d’endomorphismes symétrique.

Abstract : In this note, we give a new setting for some isomorphisms related to the ones introduced by R. Dipper in [3] (see also [5]). Our main ingredient is the symmetry of the Hecke algebra involved. This applies to the framework defined by Dipper and Gruber-Hiss to relate the decomposition numbers of finite BN-pairs with the ones of q-Schur algebras (see [7], [8]).

Abridged English Version : Let G be a finite group, let O be a principal ideal domain of charactersitic zero and K its field of quotients. Let Y be an O-free finitely generated OG-module. Denote E = End_{OG}(Y). Denote by F the functor Mor_{OG}(Y, −) associating a right E-module with each OG-module.

If I is a subset of E, denote by IY the subgroup of Y generated by the images of elements of I. If M is a submodule of Y, denote by \sqrt{M} the smallest O-pure submodule of Y containing M.

Here is a version “over O” of the main results of [1] §1.

THEOREM. −Assume E := End_{OG}(Y) is symmetric.

(i) If I is an O-pure right ideal of E, then F (\sqrt{IY}), considered as a right ideal of E = F (Y), equals I.

(ii) If I, J are O-pure right ideals of E, then F induces an isomorphism Mor_{OG}(\sqrt{IY} , \sqrt{JY}) → Mor_{E}(I, J).

Proof. When O = K, the algebra KG is semi-simple and the theorem is easily checked.

(i) One has clearly I ⊆ F (IY) ⊆ F (\sqrt{IY}). On the other hand, it is easy to see that F (\sqrt{IY}) = \sqrt{F (IY)}. Both I and \sqrt{F (IY)} are pure, and it suffices to prove that I ⊗_{O} K = F (IY) ⊗_{O} K.

One has F (IY) ⊗_{O} K = Mor_{OG}(Y, IY) ⊗ K = Mor_{KG}(Y ⊗ K, (IY) ⊗ K) = Mor_{KG}(Y ⊗ K, (I ⊗ K)(Y ⊗ K)), and this is I ⊗ K by the case O = K.

(ii) The proof parallels the one of [1] 2. The functor F provides a map Mor_{OG}(\sqrt{IY} , \sqrt{JY}) → Mor_{E}(F (\sqrt{IY}), F (\sqrt{JY})) defined by F (x) being the composition on the left with x. By (i), it suffices to check that this is a bijection. The injectivity is easily derived from the inclusion I ⊆ F (IY).

Let us now prove that F is onto. A basic property of symmetric algebras is the following (see [9] 6.7.(a)).

LEMMA. −Let A be an O-free finitely generated symmetric algebra. Let I ⊆ A be an O-pure right ideal and M be a free A-module, let t ∈ Mor_{A}(I, M). Then there exists t̂∈ Mor_{A}(A, M) such that it coincides with t on I.

Let h ∈ Mor_{E}(I, J). By the above Lemma, there is ĥ ∈ Mor_{E}(E, E) such that ĥ(i) = h(i) for all i ∈ I. Now Mor_{E}(E, E) is E by compositions on the left, so there is e ∈ E such that h(i) = ei for all i ∈ I. Then eI ⊆ h(I) ⊆ J and therefore e(IY) ⊆ JY, e(\sqrt{IY}) ⊆ \sqrt{JY}. Taking f ∈ Mor_{OG}(\sqrt{IY} , \sqrt{JY}) to be the restriction of e, one has clearly F (f) = h.

The above Theorem may be applied when Y is the induced module of some cuspidal module, thanks to the following.

THEOREM. − Let O be a principal ideal domain with field of quotients K. Let G be a finite group with subgroups U ◁ P ⊆ G such that U is of order invertible in O. Let M be a O(P/U)-module satisfying the following two ’cuspidality’ hypotheses

(H1) M is O-free and K ⊗_{O} M is absolutely simple

(H2) whenever g ∈ G satisfies M^{^{g}U∩P} ≠ 0 (fixed points), then (P ∩^{g}P)U = P, (P ∩^{g}P)^{g}U = ^{g}P and P ∩^{g}U = U ∩^{g}P = U ∩^{g}U.

Then End_{OG}(Ind_{P}^{G}M) is a symmetric algebra.

REMARK. − The hypothesis (H2) implies the purely group-theoretic condition : if g ∈ G satisfies ^{g}U ∩ P ⊆ U, then (P ∩^{g}P)U = P, (P ∩^{g}P)^{g}U = ^{g}P and P ∩^{g}U = U ∩^{g}P = U ∩^{g}U. This seems to be a quite strong condition, nevertheless it is satisfied when H ◁ G with H a finite group with a split BN-pair, and P is a parabolic subgroup of H with radical U, thanks to the properties of intersections of parabolic subgroups (see for instance [2] § 2.8).

1. INTRODUCTION. Nous montrons d’abord une équivalence de catégories apparentée à celle de [1], mais associée à un module Y sur une O-algèbre A où O est un anneau principal (O n’est pas nécessairement un corps). Notre équivalence s’applique dès que l’algèbre d’endomorphismes End_{A}(Y) est symétrique.

Dans la partie 3, nous montrons que les modules Y induits de certains modules cuspidaux en un sens général, ont une algèbre d’endomorphismes symétrique.

L’application au théorème de Dipper et à ses généralisations est décrite en partie 4.

2. ALGEBRES D’ENDOMORPHISMES AUTO-INJECTIVES ET EQUIVALENCES DE CATEGORIES. Soit O un anneau principal. Soit A une O-algèbre, O-libre de rang fini. On désigne par A − mod (resp. mod − A) la catégorie des A-modules à gauche (resp. à droite) O-libres de rang fini.

2.1. DEFINITION. − (Cf [9] p. 43) Un objet X de A−mod est dit O-injectif si et seulement si, pour toute flèche injective i : X′ → X′′ dans A − mod, et toute flèche j : X′ → X dans A − mod, telles qu’il existe une extension O-lineaire j′ : X′′ → X (i.e. j′ ∘ i = j), alors j′ peut être prise dans A − mod.

L’algèbre A est dite auto-injective si et seulement si _{A}A (A comme A-module à gauche sur lui-même) est O-injectif.

Remarquons que l’hypothèse ci-dessus sur i, j, X′, X′′ est en particulier réalisée lorsque i(X′) est un sous-O-module O-pur de X′′.

Notons K le corps des fractions de O et − ⊗_{O} K l’extension des scalaires, souvent abrégée − ⊗ K. Rappelons que, si X et X′ sont des objets des A − mod, on a Mor_{A}(X, X′) ⊗ K = Mor_{A⊗K}(X ⊗ K, X′ ⊗ K). Lorsque X ⊆ X′, on note \sqrt{X} = X′ ∩ (X ⊗_{O} K), l’intersection étant prise dans X′ ⊗ K.

2.2. NOTATION. −Si X et X′ sont des objets de A − mod et M est une partie de Mor_{A}(X, X′), notons MX le sous-groupe de X′ engendré par les images des éléments de M.

2.3. THEOREME. −Soit Y un objet de A − mod et E := End_{A}(Y). Soit F le foncteur Mor_{A}(Y, −) de A − mod dans mod − E. On suppose que l’algèbre opposée de E est une O-algèbre auto-injective (voir Définition 2.1). Soit l ≥ 1 un entier.

(i) Si I est un sous-E-module O-pur de E^{l} = F (Y^{l}), alors I et F (IY), considérés comme sous-E-modules de E^{l} = F (Y^{l}), coïncident.

(ii) Si J est aussi un sous-E-module O-pur de E^{l}, alors F induit des isomorphismes Mor_{A}(IY , JY)⟶^{∼}Mor_{E}(I, J) et Mor_{A}(\sqrt{IY} , \sqrt{JY})⟶^{∼}Mor_{E}(I, J).

Démonstration. (i) On a clairement I ⊆ F (IY). Comme I est O-pur dans E^{l}, il suffit de prouver que I ⊗_{O} K = F (IY) ⊗_{O} K.

On a F (IY) ⊗_{O} K = Mor_{A}(Y, IY) ⊗ K = Mor_{A⊗K}(Y ⊗ K, (IY) ⊗ K) = Mor_{A⊗K}(Y ⊗K, (I ⊗K)(Y ⊗K)). Ce dernier espace est l’image de (I ⊗K)(Y ⊗K) par le foncteur Mor_{A⊗K}(Y ⊗ K, −). On est donc ramené au cas O = K. Pour appliquer [1] 5, il suffit de vérifier que End_{A⊗K}(Y ⊗K) = E ⊗K est auto-injective. Le K-dual de E⊗K est E^{∗}⊗K où E^{∗} est le O-dual de E. Or E^{∗} est un E-module à gauche projectif, c’est-à-dire facteur direct d’un module libre. Alors E^{∗} ⊗K vérifie la même chose. D’où l’injectivité voulue (voir par exemple [9] 6.5.(c)).

(ii) se montre alors essentiellement comme dans [1]§ 1, voir aussi la remarque ci-dessous.

2.4. REMARQUE. − En reprenant les hypothèses et les notations du théorème ci-dessus, il est possible d’expliciter l’application inverse de celle induite par F depuis Mor_{A}(IY, JY) vers Mor_{E}(I, J). Supposons pour simplifier que E soit symétrique (voir [9] 6.1) pour une forme symétrisante f : E → O, et soient I, J des idéaux à droite O-purs dans E. Si a ∈ Mor_{E}(I, J), comme I est O-pur dans E, la forme linéaire f ∘ a : I → O peut toujours se prolonger en une forme linéaire φ : E → O. La forme φ est représentée par un élément unique x_{φ} ∈ E : φ(e) = f(x_{φ}e) pour tout e ∈ E. Alors a coïncide avec la multiplication à gauche par x_{φ}. Remarquons que, une fois φ choisi, on peut expliciter x_{φ} par la formule x_{φ} = φ(e_{1})e′_{1} + … + φ(e_{m})e′_{m}, où e_{1}, …, e_{m} et e′_{1}, …, e′_{m} sont des O-bases de E duales pour f.

2.5. COROLLAIRE. −Soit C_{Y} (resp. C′_{Y}) la sous-catégorie pleine de A − mod ayant pour objets les modules de la forme MY (resp. \sqrt{MY}) pour M un sous-E-module à droite, O-pur, de E^{l} pour l ≥ 1. Le foncteur F induit une équivalence de catégories additives entre C_{Y}, C′_{Y} et mod − E.

3. CUSPIDALITE ET ALGEBRES D’ENDOMORPHISMES. On suppose dans cette partie que G est un groupe fini muni d’une BN-paire scindée de caractéristique p. On suppose que O est un anneau principal où p est inversible. Soit K le corps des fractions de O. On suppose que K contient une racine de l’unité d’ordre suffisamment divisible.

Soit P un sous-groupe parabolique de G, U_{P} ◁ P son radical unipotent et P = U_{P} L une décomposition de Levi. Soit M un OL-module tel que M ⊗_{O} K est simple cuspidal (voir [2] §9). Rappelons que cette dernière condition signifie que si P′ est un sous-groupe parabolique strictement contenu dans P, l’espace de points fixes M^{U_{P′}} sous l’action du radical de P′ est nul.

Sous ces conditions, nous montrons

3.1. THEOREME. − La O-algèbre End_{OG}(Ind_{P}^{G}M) est symétrique.

Dans le cas où O = K, ce théorème avait été obtenu par Geck-Hiss (voir [6] 2.7). Dans ce cas, il serait d’ailleurs possible de remplacer Ind_{P}^{G}M par une somme finie quelconque Π_{i}Ind_{P_{i}}^{G}M_{i} de modules induits du même type.

3.2. DEFINITION. − Notons N_{G}(L, M) = {g ∈ N_{G}(L), M ≅ ^{g}M}. Si g ∈ N_{G}(L, M), choisissons θ_{g}: M ≅ ^{g}M un isomorphisme. On l’identifie à un isomorphisme O-linéaire θ_{g}: M → M tel que θ_{g}(x.m) = x^{g}.θ_{g}(m) pour tout m ∈ M et tout x ∈ L.

Si g ∈ N_{G}(L, M), definissons a_{g}: Ind_{P}^{G}M → Ind_{P}^{G}M par Ind_{P}^{G}M = OG⊗_{OP} M et

a_{g}(1 ⊗ m) = |U_{P} |^{−1} ∑_{u∈U_{P}} ug ⊗ θ_{g}(m)  (1)

pour tout m ∈ M. On vérifie classiquement (voir par exemple [2] 10.1.4) :

3.3. PROPOSITION − Si g ∈ N_{G}(L, M), l’equation (1) definit un unique OG-morphisme a_{g} : Ind_{P}^{G}M → Ind_{P}^{G}M.

3.4. DEFINITION-PROPOSITION −On peut définir une forme linéaire f : End_{OG}(Ind_{P}^{G}M) → O par x(1 ⊗ m) ∈ f(x)(1 ⊗ m) + ⊕_{P gP ≠P} OP gP ⊗ M lorsque m ∈ M et x ∈ End_{OG}(Ind_{P}^{G}M).

Démonstration de la Proposition. Il suffit d’utiliser la décomposition Res_{P}^{G}(Ind_{P}^{G}(M)) = ⊕_{P gP ⊆G}OP gP ⊗ M associée aux doubles classes P gP, et l’égalité End_{OP} (M) = OId_{M} due à la simplicité de M ⊗ K.

3.5. PROPOSITION − (i) f(a_{g′}a_{g}) ≠ 0 seulement si P g′P ∋ g^{−1}. (ii) f(a_{g^{−1}}a_{g}) = f(a_{g}a_{g^{−1}}) = λ|U_{P} |^{−2}|^{g}U_{P} ∩ U_{P} |, où θ_{g}θ_{g^{−1}} = λId_{M} pour λ ∈ O^{∗}.

Démonstration de la Proposition. Ecrivons en abrégé U_{P} = U. Soit m ∈ M. On a a_{g′}a_{g}(1 ⊗ m) = a_{g′}(|U|^{−1} ∑_{u∈U} ug ⊗ θ_{g}(m)) = |U|^{−2} ∑_{u∈U , u′∈U}(ugu′g′ ⊗ θ_{g′}θ_{g}(m)). En utilisant la somme directe OG ⊗_{P} M = ⊕_{P hP} OP hP ⊗ M, la projection sur 1 ⊗ M est non nulle seulement si UgUg′ ∩ P ≠ ∅. D’où (i). Si de plus g′ = g^{−1}, alors UgUg^{−1} ∩ P = U par une propriété classique de N_{G}(L) (utiliser par exemple [2] 2.8.8). Ainsi a_{g^{−1}}a_{g}(1 ⊗ m) ∈ 1 ⊗ m′ + ⊕_{P xP ≠P} OP x ⊗ M où m′ = |U|^{−2}|^{g}U ∩ U|θ_{g^{−1}}θ_{g}(m). Donc, pour tout m ∈ M, f(a_{g^{−1}}a_{g})(1 ⊗ m) = |U|^{−2}|^{g}U ∩ U|(1 ⊗ θ_{g^{−1}}θ_{g}(m)). Ceci implique que θ_{g^{−1}}θ_{g} est un scalaire, nécessairement inversible, noté λ et par conséquent f(a_{g^{−1}}a_{g}) = λ.|U|^{−2}|^{g}U ∩U| ∈ O^{∗}. Ceci est invariant par le changement de g en g^{−1} puisque, si θ_{g^{−1}}θ_{g} = λId_{M}, alors θ_{g^{−1}} = λ(θ_{g})^{−1} et θ_{g}θ_{g^{−1}} = λId_{M}. D’où (ii).

3.6. PROPOSITION −Soit R un système de représentants du quotient N_{G}(L, M)/L. Alors, les a_{g} (g ∈ R) forment une O-base de E := End_{OG}(Ind_{P}^{G}M).

Démonstration. Le résultat est classique dans le cas O = K (voir [2] 10.1.5 et [6] §2.3). Or E ⊗ K = End_{KG}(Ind_{P}^{G}(M ⊗ K)), donc E est de O-rang |R| comme O-module.

Soit maintenant x = ∑_{g∈R} λ_{g}a_{g} ∈ E ⊗ K une combinaison linéaire des a_{g} à coefficients dans K. La Proposition 3.5 implique

(1)  λ_{g} = f(xa_{g^{−1}})f(a_{g}a_{g^{−1}})^{−1}

(où f désigne aussi l’extension de f à E ⊗ K). Ceci entraîne tout de suite que les a_{g} pour g ∈ R sont K-linéairement indépendants. Ils forment alors une Kbase de E ⊗ K par la propriété de rang montrée ci-dessus. Maintenant, (1) et la Proposition 3.5.(ii) impliquent que tout x ∈ E est une combinaison des (a_{g})_{g∈R} à coefficients dans O.

Démonstration du Théorème 3.1. Les a_{g} pour g ∈ R et les a_{g^{−1}} pour g ∈ R sont des O-bases de E par la Proposition 3.6. Alors la Proposition 3.5.(ii) implique f(aa′) = f(a′a) pour tout a, a′ ∈ E. La formule (1) ci-dessus implique aussi que f induit un isomorphisme entre E et son O-dual, la base duale de (a_{g})_{g∈R} étant (a_{g^{−1}}f(a_{g^{−1}}a_{g})^{−1})_{g∈R}.

4. APPLICATIONS. Gardons les mêmes hypothèses que dans la partie précédente sur O, K, G, P, U_{P} et M. Notons Y = Ind_{P}^{G}M et H = End_{OG}(Y). En combinant les Théorèmes 3.(ii) et 6, on obtient le

4.1. THEOREME −Si y_{1}, …, y_{t} sont des éléments de H tels que les idéaux y_{i}H sont O-purs dans H, on a un isomorphisme de O-algèbres End_{OG}(Π_{i}y_{i}Y) ≅ End_{OG}(Π_{i}\sqrt{y_{i}Y}) ≅ End_{H}(Π_{i}y_{i}H).

Rappelons brièvement dans quelles situations ce théorème peut être appliqué, suivant l’approche de Dipper [3], Geck-Hiss [6], Gruber-Hiss [8] et Gruber [7].

Supposons de plus O complet de caractéristique zéro, non archimédien. Ceci permet de définir la notion classique de matrice de décomposition pour les Oalgèbres O-libres de type fini (voir [9] § 42), notion invariante par isomorphisme.

Si on choisit des idéaux O-purs y_{i}H tels que chaque OG-module \sqrt{y_{i}Y} a la propriété d’avoir une couverture projective 0 → Ω_{i} → P_{i} → \sqrt{y_{i}Y} → 0 telle que Mor_{KG}(y_{i}Y ⊗ K, Ω_{i} ⊗ K) = 0, alors la matrice de décomposition de End_{OG}(Π_{i}\sqrt{y_{i}Y}) est une sous-matrice de la matrice de décomposition de OG. D’après le théorème ci-dessus, cette algèbre d’endomorphismes a une structure liée à celle de l’algèbre “de Hecke” H. En particulier, on peut dire grosso modo que ses paramètres numériques sont bornés par ceux d’un groupe de Weyl ([8] 8.10).

En faisant varier le couple (P, M), les auteurs cités obtiennent une sousmatrice carrée d’ordre maximal de la matrice de décomposition de OG. Cette matrice est triangulaire supérieure ([8] 8.2).

Notons que la Remarque 4 permet de retrouver la forme explicite des éléments de Mor_{H}(y_{i}H, y_{j}H), voir [4] 3.4.

Références.

[1] M. Cabanes, A criterion for complete reducibility and some applications, Astérisque 181-182 (1990), 93-112.

[2] R. Carter, Finite groups of Lie type : Conjugacy classes and complex characters, Wiley, 1985.

[3] R. Dipper, On quotient of Hom functors and representations of finite general linear groups I, J. Algebra 130 (1990), 235-259.

[4] R. Dipper, G. James, Representations of Hecke algebras of general linear groups, Proc. London Math. Soc. (3), 52 (1986), 20-52.

[5] R. Dipper, G. James, The q-Schur algebra, Proc. London Math. Soc. (3), 59 (1989), 23-50.

[6] M. Geck, G. Hiss, Modular representations of finite groups of Lie type in nondefining characteristic, in : Finite reductive groups, related structures and representations (ed. M. Cabanes) pp. 195-220, Birkhäuser, 1997.

[7] J. Gruber, The irreducible Brauer characters of the finite special linear groups in non-defining charactersistic, J. Algebra, à paraître.

[8] J. Gruber, G. Hiss, Decomposition numbers of finite classical groups for linear primes, J. reine angew. Math 485 (1997), 55-91.

[9] J. Thévenaz, G-algebras and modular representation theory, Oxford, 1995.