SUR CERTAINS ÉLÉMENTS RÉGULIERS DES GROUPES DE

WEYL ET LES VARIÉTÉS DE DELIGNE–LUSZTIG ASSOCIÉES

Michel Broué et Jean Michel

Institut Universitaire de France, U.F.R. de Mathématiques de l’Université Paris 7 Denis–Diderot, et Institut de Mathématiques de Jussieu (UMR 9994 du CNRS)

Novembre 1995

Sommaire

1. Variétés de Deligne–Lusztig A. Contexte et notations B. Les variétés de Deligne–Lusztig

2. La variété X_{π} A. Opération de B^{+} sur X_{π} B. Valeurs de caractères – Conjectures

3. Bons éléments réguliers A. Éléments réguliers et groupes des tresses associés B. Racines de π et éléments réguliers

4. Groupes de réflexions complexes et algèbres de Hecke associées A. Généralités B. Caractères et degrés fantômes C. Groupes de tresse D. Algèbres de Hecke E. Valeurs de caractères sur les racines de π

5. Variétés associées aux racines de π A. Quelques propriétés B. Conjectures C. Valeurs de caractères et applications

6. Le cas non-déployé A. Généralités B. Éléments réguliers et ϕ-racines de π C. Algèbres de Hecke “avec automorphisme” D. Variétés associées aux ϕ-racines de π

Annexe 1 : Les bonnes racines de π Annexe 2 : Les groupes de Coxeter tordus Annexe 3 : Les groupes de Coxeter cyclotomiques

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1991 Mathematics Subject Classification. Primary 20, 20G.

Nous remercions François Digne, Gunter Malle et Raphaël Rouquier pour de nombreuses conversations utiles à la mise au point de cet article, et Pierre Deligne pour nous avoir communiqué les résultats contenus dans son manuscrit [De2].

Introduction

Cet article est une étape vers la compréhension de la forme particulière que prennent, dans le cas des groupes réductifs finis G^{F}, les conjectures générales énoncées dans [Br] pour les blocs à groupes de défaut abéliens des groupes finis “abstraits”. Après avoir vérifié l’aspect de ces conjectures portant sur les caractères des groupes réductifs finis (cf. [BrMaMi]), il reste à établir la version, beaucoup plus profonde et difficile, portant sur les équivalences de catégories dérivées concernées.

Certaines de ces équivalences devraient en particulier être fournies par les cohomologies étales de faisceaux convenables sur les variétés de Deligne-Lusztig X_{w} associées à certains éléments réguliers w du groupe de Weyl W de G (cf. [BrMa], §1). Ceci implique des propriétés particulières de la cohomologie étale de ces variétés, en particulier la disjonction des divers groupes de cohomologie H^{n}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}), vus comme G^{F} -modules.

Nous précisons ici ce que sont les “bons” éléments réguliers. Il est connu que le centre du groupe des tresses pures associé à W (nous supposons ici W irréductible) est cyclique, engendré par un élément positif (sur le système de générateurs distingué) que nous notons π. Les bons éléments réguliers sont les images dans W des racines d-ièmes de π (quand elles existent).

Nous étudions les racines de π au §3. Nous y montrons en particulier que π a une racine d-ième si et seulement si d est un nombre régulier pour W.

Grâce à un théorème de Deligne (cf. [De2]), on peut définir sans ambiguïté une variété de Deligne–Lusztig X_{w} associée à un élément w du monoïde des tresses positives. C’est ce que nous faisons au §5.

Si w est une racine d-ième de π, dont l’image w dans W est un élément régulier, les conjectures énoncées dans [BrMa] prédisent que l’algèbre des endomorphismes de la cohomologie de X_{w} est isomorphe à une certaine spécialisation de “l’algèbre de Hecke cyclotomique” associée au centralisateur C_{W} (w) de w dans W, de sorte que l’endomorphisme de Frobenius agisse comme l’élément “T_{w}” de cette algèbre de Hecke. Cette hypothèse suffirait à peu près pour démontrer les résultats numériques exposés au §5, C. Cependant, poussés à la fois par des idées (et des exemples) de Lusztig et par l’analogie avec le cas des groupes finis “abstraits” et le rôle qui y est joué par les modules de permutation (cf. [Ri]), nous avons essayé de formuler des conjectures un peu plus précises sur l’opération du groupe de tresse généralisé associé au groupe de réflexions complexe C_{W} (w) sur la variété X_{w} (cf. [BrMaRo]).

C’est la raison qui nous a poussé à introduire au préalable (§2) la variété X_{π}, qui correspond en fait au cas d = 1 et qui, à la différence de la variété traditionnelle X_{1} = G^{F} /B^{F}, admet une action du groupe des tresses (cf. §2, A). Son étude est peut-être aussi difficile que celle des variétés X_{w}. L’algèbre commutante de G^{F} dans sa cohomologie étale devrait être l’algèbre de Hecke classique, mais nous ne savons pas encore le démontrer.

Nous n’avons, bien sûr, pas plus de résultats effectifs sur le cas général des variétés X_{w} pour w racine de π. Cependant, une formulation précise des conjectures, et l’étude de certaines algèbres de Hecke généralisées (§4), nous permettent de donner des résultats (nous devrions écrire des “prédictions”, puisque ces résultats dépendent des conjectures) sur les paramètres liés à la cohomologie de X_{w}. C’est ainsi que nous calculons (cf. §5, C) les valeurs propres de l’endomorphisme de Frobenius F associées à chaque caractère unipotent de G^{F} concerné, ainsi que les valeurs a priori des paramètres des algèbres de Hecke cyclotomiques concernées, confirmant a posteriori les valeurs décrites dans [BrMa], et étayant ainsi “numériquement” nos conjectures.

Le paragraphe 4 occupe une place particulière dans ce mémoire. On y calcule les valeurs des caractères des algèbres de Hecke classiques sur les images des racines de π – dont nous avons besoin au §5 pour mener à bien les calculs mentionnés ci-dessus. Mais ces calculs nécessitent aussi des informations sur les valeurs des caractères des algèbres de Hecke généralisées associées aux groupes de réflexions complexes ([BrMa], [ArKo], [Ar], [BrMaRo]). Nous avons donc choisi de nous placer dans un cadre plus général, celui des groupes de réflexions complexes et de leurs algèbres de Hecke génériques.

Nous sommes d’ailleurs persuadés que les propriétés des variétés X_{w} que nous recherchons ici sont en fait un cas particulier d’un phénomène beaucoup plus général, où les groupes de Weyl peuvent être remplacés par des groupes de réflexions complexes (cf. par exemple [Ma1]) – l’histoire ne dit pas encore par quoi sont remplacés les groupes algébriques. Nous prenons donc aussi date pour cette généralisation en rédigeant le §4 dans ce cadre général.

Nous confessons ici n’avoir – hormis le travail fondamental de G. Lusztig sur les variétés associées aux éléments de Coxeter ([Lu2]), certains résultats récents sur les variétés associées à certains autres éléments réguliers dans le cas A_{n} et dans le cas D_{4} ([DiMi2]) – que bien peu d’exemples à fournir à l’appui de nos conjectures. La vérification de leurs conséquences “numériques” (cf. [BrMaMi], [BrMa], ainsi que notre §5, C) est certes un argument de poids en leur faveur. Mais plus convaincantes encore nous semblent être la cohérence qu’elles montrent avec d’autres aspects ou domaines des Mathématiques, et les directions de recherche qu’elles nous ouvrent.

1. Variétés de Deligne–Lusztig

A. Contexte et notations.

Soit G un groupe algébrique réductif connexe défini sur une clôture algébrique \overline{𝔽}_{p} du corps à p éléments, et soit F: G → G un endomorphisme de Frobenius définissant sur G une structure rationnelle sur le sous-corps 𝔽_{q} à q éléments de \overline{𝔽}_{p}. On fait opérer F à droite sur G.

Pour simplifier l’exposition nous supposons G déployé. Nous donnerons quelques indications sur le cas général dans le dernier paragraphe.

On désigne par T le tore maximal (défini comme dans [DeLu]) de G, et par Y le ℤ–module des co-caractères de T.

On note W le groupe de Weyl de G, vu comme groupe engendré par des réflexions dans son action sur l’espace vectoriel complexe V := ℂ ⊗ Y ; on note V_{ℝ} := ℝ ⊗ Y . On note A l’ensemble des hyperplans de réflexion de W dans V, et on pose

M := V − ⋃_{H∈A} H .

On note Φ le système de racines de W, et on désigne par 2N son cardinal. On a donc |A| = N.

On note C la chambre fondamentale de W, et on note S l’ensemble des réflexions par rapports aux murs de C. Pour s, t ∈ S, on note m(s, t) l’entier de Cartan correspondant. On sait que les relations

(∀s, t ∈ S), s^{2} = 1, et \underbrace{stst ⋯}_{m(s,t) termes} = \underbrace{tsts ⋯}_{m(s,t) termes}

constituent une présentation de W.

Pour x_{0} un point de C, on note

p: V → V/W (la surjection canonique) ,

P := π_{1}(M, x_{0}) (le groupe fondamental de M en x_{0}) ,

B := π_{1}(M/W, p(x_{0})) (le groupe fondamental de M/W en p(x_{0})) ,

et on appelle B et P respectivement le groupe des tresses et le groupe des tresses pures associés à G. Comme W opère sans point fixe sur M, on a la suite exacte courte

(*)  {1} → P → B → W → {1} .

Pour tout mur de C, dont la réflexion associée est notée s, on désigne par γ_{s} la classe d’homotopie de chemins dans M, d’origine x_{0} et d’extrémité s(x_{0}), qui contient la ligne brisée de sommets successifs x_{0}, x_{0}+ix_{0}, s(x_{0})+ix_{0}, s(x_{0}). L’image s de γ_{s} dans M/W est un lacet de point base p(x_{0}). On pose S := {s | (s ∈ S)}. L’assertion suivante est due à Deligne (cf. [De1], 4.4).

1.1. Le groupe B est engendré par S, et les relations

\underbrace{stst ⋯}_{m(s,t) termes} = \underbrace{tsts ⋯}_{m(s,t) termes}

en constituent une présentation. La flèche B → W de la suite exacte (*) est définie par l’application s ↦ s.

On désigne par B^{+} le sous-monoïde de B formé des mots en les puissances positives des éléments de S.

On désigne par π: [0, 1] → M le lacet d’origine x_{0} défini par π(θ) = e^{2πiθ}x_{0} . Comme nous l’a fait remarquer R. Rouquier, il est facile de vérifier que π définit un élément central dans B (encore désigné par π). On peut en fait démontrer (cf. par exemple [De1] ou [BrSa]) le théorème suivant.

1.2. Théorème. Supposons l’action de W sur V irréductible.

(1) L’élément π est un générateur du centre de P, et la suite exacte (*) induit la suite exacte

{1} → Z(P) → Z(B) → Z(W) → {1} .

(2) On a π ∈ B^{+}, et la longueur de π sur le système de générateurs S est égale à 2N (nombre de racines de W).

(3) Si w_{0} désigne un élément de B^{+} de longueur N sur S et d’image w_{0} (l’élément de plus grande longueur) dans W, on a π = w_{0}^{2}.

B. Les variétés de Deligne–Lusztig.

On rappelle que, si B désigne la variété des sous-groupes de Borel de G, le quotient de B × B par l’action de G est canoniquement indexé par W (cf. par exemple [DeLu], 1.2). Si B et B′ sont deux éléments de B tels que l’orbite contenant (B, B′) correspond à w ∈ W, on dit que B et B′ sont en position relative w et on

note B →^{w} B′ .

La propriété suivante est bien connue ([DeLu], 1.2).

1.3. Lemme. Supposons que w = w_{1}w_{2} avec ℓ(w) = ℓ(w_{1}) + ℓ(w_{2}).

(1) Si (B, B′) est un couple de sous-groupes de Borel tel que B →^{w} B′, il existe un unique sous-groupe de Borel B_{1} tel que B →^{w_{1}} B_{1} et B_{1} →^{w_{2}} B′.

(2) Réciproquement, si (B, B_{1}, B_{2}) est un triplet de sous-groupes de Borel tel

que B →^{w_{1}} B_{1} et B_{1} →^{w_{2}} B_{2}, alors B →^{w} B_{2}.

Pour w ∈ W, on note B(w) la variété des paires de sous-groupes de Borel (B, B′) de G telles que B →^{w} B′, munie des deux projections (B, B′) ↦ B et (B, B′) ↦ B′ (donc vue comme (B × B)-schéma).

Soit 𝔇 la catégorie des (B × B)-schémas. Le produit A · B := A ×_{B} B fait de 𝔇 une catégorie monoïdale.

Le lemme 1.3 fournit alors la première assertion du lemme suivant.

1.4. Lemme.

(1) Si w = w_{1}w_{2} avec ℓ(w) = ℓ(w_{1}) + ℓ(w_{2}), on a un isomorphisme

B(w)⟶^{∼}B(w_{1}) · B(w_{2}) .

(2) La famille des isomorphismes ainsi définis est telle que, pour w = w_{1}w_{2}w_{3} avec ℓ(w) = ℓ(w_{1}) + ℓ(w_{2}) + ℓ(w_{3}), le diagramme suivant est commutatif :

B(w)  ⟶  B(w_{1}w_{2}) · B(w_{3})
↓  ↓
B(w_{1}) · B(w_{2}w_{3}) ⟶ B(w_{1}) · B(w_{2}) · B(w_{3})

Comme Pierre Deligne nous l’a fait remarquer, il résulte alors de [De2], 1.11, que

1.5. Théorème (P. Deligne). Il existe une flèche B^{+} → 𝔇 , b ↦ B(b), et des isomorphismes B(b_{1}b_{2})⟶^{∼}B(b_{1}) · B(b_{2}), qui coïncident avec les données de 1.4 dans le cas où b est réduit, et qui sont tels que le diagramme

B(b)  ⟶  B(b_{1}b_{2}) · B(b_{3})
↓  ↓
B(b_{1}) · B(b_{2}b_{3}) ⟶ B(b_{1}) · B(b_{2}) · B(b_{3})

soit commutatif.

On dit qu’un élément de B^{+} est réduit si son image dans W est réduit – ou encore, si sa longueur sur S est égale à la longueur sur S de son image dans W. On note B_{red}^{+} l’ensemble des éléments réduits de B^{+}. On sait que la projection B^{+} → W induit une bijection de B_{red}^{+} sur W.

Si w ∈ B_{red}^{+} a pour image w dans W, on note B →^{w} B′ la relation B →^{w} B′.

Soient w_{1}, w_{2}, …, w_{n} des éléments réduits de B^{+} et soit b := w_{1}w_{2} ⋯ w_{n}. Alors la variété B(b) est isomorphe (par un unique isomorphisme) à la variété des (n + 1)-uplets de sous-groupes de Borel (B_{0}, B_{1}, …, B_{n}) de G tels que

B_{0} →^{w_{1}} B_{1} →^{w_{2}} B_{2} → ⋯ →^{w_{n}} B_{n}

munie des deux projections sur le premier et le dernier termes.

Remarque. On voit ainsi que la définition de la variété B(b) est inspirée par la méthode de désingularisation de certaines variétés due à H.C. Hansen et M. Demazure (cf. [DeLu], et aussi [DiMi2]), et décrit une variété isomorphe à celle définie par Lusztig dans [Lu1], p. 25.

Remarquons que, puisque G est supposé déployé, si (B, B′) est un couple de sous-groupes de Borel tel que B →^{w} B′, on a aussi B.F →^{w} B′.F. Plus généralement, si (B_{0}, B_{1}, …, B_{n}) ∈ B(b) pour b ∈ B^{+}, on a (B_{0}.F, B_{1}.F, …, B_{n}.F) ∈ B(b).

1.6. Définition. Soit b ∈ B^{+}. On désigne par X_{b}^{(F)} (ou plus simplement X_{b}) et on appelle “variété de Deligne–Lusztig associée à b” l’image réciproque par B(b) → B × B du graphe de l’endomorphisme de Frobenius F.

Ainsi, si b = s_{1}s_{2} ⋯ s_{n} (où s_{j} ∈ S pour 1 ≤ j ≤ n), la variété X_{b}^{(F)} est isomorphe (par un unique isomorphisme) à la variété des (n + 1)-uplets de sous-groupes de Borel (B_{0}, B_{1}, …, B_{n}) de G tels que

B_{n} = B_{0}.F et B_{0} →^{s_{1}} B_{1} →^{s_{2}} B_{2} → ⋯ →^{s_{n}} B_{n} .

Chaque variété de Deligne–Lusztig est munie d’une action à gauche (par conjugaison) du groupe fini G^{F} des points rationnels de G, et d’une action (à droite) du monoïde engendré par F, qui commutent.

Pour un élément réduit w de B^{+}, d’image w ∈ W, on désigne aussi par X_{w} la variété correspondante (ce sont ces variétés qui sont habituellement appelées “variétés de Deligne–Lusztig”).

2. La variété X_{π}

Nous étudions dans ce paragraphe une variété qui doit être comprise comme un “substitut naturel” à la variété triviale X_{1} considérée habituellement pour définir la série principale – i.e., essentiellement, l’ensemble (fini) des sous-groupes de Borel rationnels. Notre variété X_{π} est a priori beaucoup plus compliquée que X_{1}. Mais, non seulement l’algèbre des G^{F} -endomorphismes de sa cohomologie est (conjecturalement) isomorphe à l’algèbre de Hecke, mais, à la différence de X_{1}, le monoïde B^{+} opère sur X_{π} (et pas seulement sur sa cohomologie). De plus, notre variété X_{π} est une espèce de “modèle” pour les variétés X_{w} associées aux racines de π que nous introduisons plus loin.

Soit w_{0} l’élément de plus grande longueur de W. On note w_{0} l’élément de longueur N de B^{+} d’image w_{0} dans W. Rappelons (cf. 1.2 ci-dessus) qu’on pose π := w_{0}^{2}, et que π est un générateur du centre du groupe des tresses pures P.

Soit π = s_{1}s_{2} ⋯ s_{2N} une décomposition de π sur S. On voit par 1.6 que X_{π} s’identifie à l’ensemble des (2N + 1)-uples (B_{0}, B_{1}, …, B_{2N}) de sous-groupes de

Borel de G tels que B_{0} →^{s_{1}} B_{1} →^{s_{2}} B_{2} ⋯ →^{s_{2N}} B_{2N} et B_{2N} = B_{0}.F.

A. Opération de B^{+} sur X_{π}.

Dans ce paragraphe, on définit une opération naturelle (à droite) de B^{+} sur X_{π} qui commute aux opérations de G^{F}. Cette opération est en quelque sorte “le double” de l’action de B^{+} sur X_{w_{0}} définie par Lusztig dans [Lu1], p. 24.

Pour définir une opération de B^{+} sur X_{π}, nous allons définir une famille d’opérateurs à droite (D_{w})_{w∈B_{red}^{+}} sur la variété X_{π} qui commutent aux opérations de G^{F}, qui vérifie la propriété suivante :

Si w, w_{1} et w_{2} ∈ B_{red}^{+} sont tels que w = w_{1}w_{2}, alors D_{w} = D_{w_{1}}D_{w_{2}}.

Ceci montrera en effet l’existence d’une application s ↦ D_{s} qui est multiplicative et satisfait aux relations de tresses, donc définira un morphisme de B^{+} dans le monoïde des G^{F} -endomorphismes de X_{π}.

1. Définissons l’opérateur D_{w} pour w ∈ B_{red}^{+}.

Soit w ∈ B_{red}^{+}. On sait que w divise π : il existe b ∈ B^{+} tel que π = wb. Comme π est central, on a aussi π = bw.

Plus généralement, soient b, c ∈ B^{+}. On définit un morphisme

D_{b}^{(bc)} : X_{bc} → X_{cb}

de la manière suivante.

2.1. Posons b = s_{1}s_{2} ⋯ s_{m} et c = t_{1}t_{2} ⋯ t_{n} avec s_{j}, t_{k} ∈ S. Considérons (B_{0}, B_{1}, …, B_{m}, C_{1}, C_{2}, …, C_{n}) ∈ X_{bc}, où C_{n} = B_{0}.F et

B_{0} →^{s_{1}} B_{1} →^{s_{2}} ⋯ →^{s_{m}} B_{m} →^{t_{1}} C_{1} →^{t_{2}} ⋯ →^{t_{n}} C_{n} .

On pose alors C_{0} := B_{m} et

(B_{0}, B_{1}, …, B_{m}, C_{1}, C_{2}, …, C_{n}).D_{b}^{(bc)} := (C_{0}, C_{1}, …, C_{n}, B_{1}.F, …, B_{m}.F) .

On pose D_{w} := D_{w}^{(π)}.

L’assertion suivante est évidente et sa démonstration est laissée au lecteur.

2.2. Lemme.

(1) Avec les notations précédentes, on a

D_{b}^{(bc)}D_{c}^{(cb)} = F

(où F est vu comme endomorphisme de X_{bc}).

(2) En particulier, on a D_{π} = F.

2. Vérifions que les D_{w} sont multiplicatifs.

Plus généralement, on vérifie facilement sur la définition 2.1 ci-dessus que 2.3. pour b_{1}, b_{2}, b_{3} ∈ B^{+}, on a :

D_{b_{1}}^{(b_{1}b_{2}b_{3})} · D_{b_{2}}^{(b_{2}b_{3}b_{1})} = D_{b_{1}b_{2}}^{(b_{1}b_{2}b_{3})} .

En particulier, si w, w_{1}, w_{2} ∈ B_{red}^{+} sont tels que w = w_{1}w_{2}, on a D_{w} = D_{w_{1}} ·D_{w_{2}}.

Comme indiqué précédemment, l’assertion ci-dessus suffit à prouver que l’application w ↦ D_{w} se prolonge en un morphisme de monoïdes de B^{+} dans End(X_{π}), encore notée b ↦ D_{b}.

B. Valeurs des caractères – Conjectures.

Plus de rappels et de notations.

Nous introduisons d’abord quelques notations (cf. [Lu3] pour plus de détails), qui seront largement utilisées par la suite.

1. Pour x une indéterminée, on désigne par H_{x}(W) l’algèbre de Hecke générique de W, i.e., l’algèbre sur ℤ[x, x^{−1}] définie par générateurs et relations de la manière suivante :

• la famille de générateurs (T_{s})_{s∈S} est indexée par le système de générateurs distingué de W,

• les éléments T_{s} vérifient les relations de tresses définies par le diagramme de Coxeter associé à S,

• pour tout s ∈ S, on a (T_{s} − x)(T_{s} + 1) = 0 . Pour tout anneau commutatif unitaire A, on pose AH_{x}(W) := A[x, x^{−1}] ⊗ H_{x}(W) .

Rappelons les propriétés suivantes de l’algèbre H_{x}(W). Structure de ℤ[x, x^{−1}]-module.

Si (s_{1}, s_{2}, …, s_{l}) est une décomposition réduite d’un élément w ∈ W, le produit T_{s_{1}}T_{s_{2}} ⋯ T_{s_{l}} ne dépend que de w et on le désigne par T_{w}. La famille T_{w} est une base de H_{x}(W) comme ℤ[x, x^{−1}]-module. Forme linéaire canonique.

La forme linéaire t_{x}: H_{x}(W) → ℤ[x, x^{−1}] définie par

t_{x}(T_{w}) = \{ \begin{matrix}1 si w = 1 , \\ 0 sinon , \end{matrix}

définit sur H_{x}(W) une structure de ℤ[x, x^{−1}]-algèbre symétrique. Isomorphisme de Lusztig.

Il existe un isomorphisme d’algèbres

λ: ℚ(\sqrt{x})W ⟶^{∼}ℚ(\sqrt{x})H_{x}(W) .

Le choix de cet isomorphisme définit alors une bijection χ ↦ χ_{x} entre l’ensemble Irr(W) des caractères irréductibles de W et l’ensemble Irr(H_{x}(W)) des caractères irréductibles de l’algèbre ℚ(\sqrt{x})H_{x}(W). Degrés génériques.

Pour tout χ ∈ Irr(W), on définit les éléments δ_{χ}(x) par la formule

t_{x} = ∑_{χ∈Irr(W)} δ_{χ}(x)χ_{x} .

Alors δ_{1}(x)^{−1} est le polynôme de Poincaré P_{W} (x) de W, et pour tout χ ∈ Irr(W), δ_{χ}(x)P_{W} (x) est un élément de ℚ[x] appelé le degré générique de χ et noté Deg_{χ}(x).

On définit les entiers a_{χ} et A_{χ} comme respectivement la valuation (ordre de la racine nulle) et le degré du polynôme Deg_{χ}(x).

Nous allons considérer des représentations à coefficients dans \overline{ℚ}_{ℓ}. Si α ∈ \overline{ℚ}_{ℓ} n’est ni nul ni une racine de P_{W} (x), on sait que la spécialisation x ↦ α définit une \overline{ℚ}_{ℓ}-algèbre \overline{ℚ}_{ℓ}H_{α}(W) qui est encore isomorphe à l’algèbre de groupe \overline{ℚ}_{ℓ}W. On désigne par χ_{α} la spécialisation correspondante de χ_{x}, et on a donc une bijection χ ↦ χ_{α} entre Irr(W) et l’ensemble des caractères irréductibles de \overline{ℚ}_{ℓ}H_{α}(W) (noter que \overline{ℚ}_{ℓ}H_{1}(W) = \overline{ℚ}_{ℓ}W et χ_{1} = χ).

2. Pour tout élément w ∈ W, on note R_{w} le caractère du ℚ_{ℓ}G^{F} -module virtuel ∑_{n}(−1)^{n}H^{n}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}) .

Soit χ ∈ Irr(W) un caractère irréductible de W sur \overline{ℚ}_{ℓ}. On note

R_{χ} := \frac{1}{|W |} ∑_{w∈W} χ(w)R_{w}

le “caractère-fantôme” associé.

3. Soit γ ∈ Uch(G^{F}) un caractère unipotent de G^{F}.

• On désigne par ζ_{γ} la racine de l’unité associée aux valeurs propres de F : pour tout entier n et pour tout b ∈ B^{+}, les valeurs propres de F sur les composants isotypiques de type γ de H^{n}(X_{b}, \overline{ℚ}_{ℓ}) sont produit de ζ_{γ} par une puissance entière de q^{1/2}.

• On note d’autre part a_{γ} et A_{γ} respectivement la valuation et le degré du degré générique de γ, noté Deg_{γ}(x) (on rappelle que Deg_{γ}(x) ∈ ℚ[x]).

Pour tout g ∈ G^{F} et tout entier naturel m, on peut calculer |X_{π}^{gF^{m}}|, i.e., la trace de gF^{m} sur la somme alternée ∑_{n}(−1)^{n}H_{c}^{n}(X_{π}, ℚ_{ℓ}) de la cohomologie ℓ-adique à support compact de X_{π}, à l’aide de la formule suivante (cf. [DiMi1], III, et aussi [Lu3], 2.10, ou [DiMi2], Prop.1.2) :

(2.4)  |X_{π}^{gF^{m}}| = ∑_{γ∈Uch(G^{F})} ( ∑_{χ∈Irr(W)} <γ, R_{χ}>_{G^{F}} ζ_{γ}^{m}χ_{q^{m}}(T_{π})) γ(g) .

Il résulte de [Lu3], 5.12.1, que

χ_{q^{m}}(T_{π}) = χ(1)q^{m(2N−(a_{χ}+A_{χ}))} .

Les entiers a_{χ} et A_{χ} ne dépendent que de la famille contenant le caractère χ, et les caractères χ tels que <γ, R_{χ}>_{G^{F}} ≠ 0 sont tous dans une même famille (déterminée par γ). On a donc (a_{χ} + A_{χ}) = (a_{γ} + A_{γ}) pour tout caractère unipotent γ tel que <γ, R_{χ}>_{G^{F}} ≠ 0. Comme de plus on a ∑_{χ∈Irr(W)} χ(1)R_{χ} = R_{1} , et que, si <γ, R_{1}>_{G^{F}} ≠ 0, on a ζ_{γ} = 1, on voit que la formule 2.4 s’écrit

|X_{π}^{gF^{m}}| = ∑_{γ∈Uch(G^{F})} <γ, R_{1}>_{G^{F}} q^{m(2N−(a_{γ}+A_{γ}))}γ(g) .

On voit que n’interviennent dans cette formule que les caractères unipotents de la série principale (ceux tels que <γ, R_{1}>_{G^{F}} ≠ 0). On sait que ces caractères sont en bijection χ ↦ γ_{χ} avec les caractères de W telle que <γ_{χ}, R_{1}>_{G^{F}} = χ(1). D’où

2.5. Proposition. On a

|X_{π}^{gF^{m}}| = ∑_{χ∈Irr(W)} χ(1)q^{m(2N−(a_{χ}+A_{χ}))}γ_{χ}(g) = ∑_{χ∈Irr(W)} γ_{χ}(g)χ_{q}(T_{π}^{m}) .

En “faisant m = 0” dans la formule précédente, et en utilisant la dualité de Poincaré, on obtient :

2.6. Corollaire. Pour tout g ∈ G^{F}, on a

∑_{n}(−1)^{n}tr(g; H^{n}(X_{π}, \overline{ℚ}_{ℓ})) = ∑_{χ∈Irr(W)} χ(1)γ_{χ}(g) .

Autrement dit, ∑_{n}(−1)^{n}H^{n}(X_{π}, \overline{ℚ}_{ℓ}) a même caractère que R_{1}.

La proposition 2.5 et son corollaire viennent à l’appui des conjectures suivantes. Nous utiliserons la notation suivante : si M est un \overline{ℚ}_{ℓ}H_{α}-module, de caractère

χ_{α}, on note M^{∗} := Hom(M, \overline{ℚ}_{ℓ}) son dual, vu comme module-\overline{ℚ}_{ℓ}H_{α} (module à droite sur \overline{ℚ}_{ℓ}H_{α}), et on désigne par χ^{∗} son caractère.

2.7. Conjectures. Soit

RΓ(X_{π}, \overline{ℚ}_{ℓ}) := ⨁_{n=0}^{n=2N} H^{n}(X_{π}, \overline{ℚ}_{ℓ})

le module gradué de la cohomologie ℓ-adique de X_{π}, vu comme \overline{ℚ}_{ℓ}G^{F} -module gradué.

(1) Les composants de degré impair de RΓ(X_{π}, \overline{ℚ}_{ℓ}) sont nuls, et ceux de degré pair sont disjoints. En particulier, on a

Hom_{\overline{ℚ}_{ℓ}G^{F}} (RΓ(X_{π}, \overline{ℚ}_{ℓ}), RΓ(X_{π}, \overline{ℚ}_{ℓ})[n]) = 0 si n ≠ 0 .

(2) L’algèbre des \overline{ℚ}_{ℓ}G^{F} -endomorphismes de RΓ(X_{π}, \overline{ℚ}_{ℓ}) est égale à l’algèbre engendrée par les opérations D_{w} pour w ∈ B^{+}.

(3) La correspondance D_{w} ↦ T_{w} définit un isomorphisme de cette algèbre commutante avec l’algèbre de Hecke \overline{ℚ}_{ℓ}H_{q}(W).

(4) Le (\overline{ℚ}_{ℓ}G^{F} , \overline{ℚ}_{ℓ}H_{q}(W))-bimodule RΓ(X_{π}, \overline{ℚ}_{ℓ}) ainsi défini se décompose comme suit en une somme directe de modules irréductibles de multiplicité 1 :

RΓ(X_{π}, \overline{ℚ}_{ℓ}) = ⨁_{χ∈Irr(W)} γ_{χ} ⊗ χ_{q}^{∗} .

(5) (Précision suggérée par G. Lusztig) Pour tout entier pair 2n (0 ≤ n ≤ N), le (\overline{ℚ}_{ℓ}G^{F} , \overline{ℚ}_{ℓ}H_{q}(W))-bimodule H^{2n}(X_{π}, \overline{ℚ}_{ℓ}) se décompose en la somme suivante de caractères irréductibles distincts :

H^{2n}(X_{π}, \overline{ℚ}_{ℓ}) = ⨁_{χ∈Irr(W)(n)} γ_{χ} ⊗ χ_{q}^{∗} ,

où Irr(W)(n) désigne l’ensemble des caractères irréductibles χ de W tels que a_{χ} + A_{χ} = 2n.

3. Bons éléments réguliers

Ce paragraphe est entièrement consacré aux éléments réguliers des groupes de Coxeter finis et aux éléments qui leur correspondent dans les groupes des tresses associés. Pour tout ce paragraphe, W désigne donc maintenant, plus généralement, un groupe de Coxeter fini irréductible, et V désigne le complexifié de l’espace vectoriel réel de la représentation naturelle de W. Les notations introduites au §1, A et B, pour les groupes des tresses associés aux groupes de Weyl, sont utilisées ici sans être redéfinies. Enfin, le système de racines de W est défini comme par exemple dans [Hi], chap. I, §3.

A. Éléments réguliers et groupes des tresses associés.

3.1. Définition. Si d est un entier, on appelle élément d-régulier de W un élément w qui admet un vecteur propre pour la valeur propre e^{2iπ/d} qui n’appartient à aucun des hyperplans de réflexion de W.

Remarque.

On peut aussi appeler “ζ-régulier” (cf. [Sp]) un élément w qui admet un vecteur propre pour la valeur propre ζ qui n’appartient à aucun des hyperplans de réflexion de W. On peut alors noter que

• si W est un groupe de Weyl, les éléments d-réguliers coïncident avec les éléments ζ-réguliers pour ζ racine primitive d-ième quelconque de l’unité,

• mais que, par contre, dans le groupe de Coxeter de type H_{3} la classe des éléments 5-réguliers est différente de celle des éléments e^{4iπ/5}-réguliers.

De plus, la définition et la précédente remarque s’appliquent aussi au cas plus général où W est un groupe engendré par des pseudo-réflexions (cf. §4 ci-dessous).

Les éléments d-réguliers (e^{2iπ/d}-réguliers) sont ceux qui correspondent aux “racines d-ièmes de π ” (cf. §3, B ci-dessous).

On choisit dans ker(w − e^{2iπ/d}Id) un vecteur régulier x_{0} (i.e., un élément qui n’appartient à aucun des hyperplans de réflexion de W).

On introduit les notations suivantes :

V (w) := ker(w − e^{2iπ/d}Id) ,

W (w) := C_{W} (w) (le centralisateur de w dans W) ,

On sait (cf. [Sp], 4.2) que W (w) est un groupe de réflexions dans son action sur V (w), et que w est d’ordre d. De plus, on sait (cf. [DeLo], 2.9, ou les tables de [BrMa]) que W (w) est irréductible dans son action sur V (w). Les couples (V (w), W (w)) sont les “groupes cyclotomiques” étudiés dans [BrMa]. On note

A(w) l’ensemble des hyperplans de réflexion de W (w) sur V (w) , M(w) := V (w) − ∪_{H∈A(w)}H , P(w) := π_{1}(M(w), x_{0}) (le groupe fondamental de M(w) en x_{0}) , p: V (w) → V (w)/W (w) (la surjection canonique) , B(w) := π_{1}(M(w)/W (w), p(x_{0}))

(le groupe fondamental de M(w)/W (w) en p(x_{0})) ,

on note N(w) le cardinal de A(w), et on note N(w)^{∗} le nombre de pseudo-réflexions de W (w) agissant sur V (w).

La propriété suivante a aussi été démontrée, simultanément et indépendamment, par Denef et Loeser ([DeLo]), et par Lehrer ([Le], 5.8).

3.2. Proposition. Sous les hypothèses et avec les notations précédentes, on a

A(w) = {H ∩ V (w) | (H ∈ A)} .

Démonstration. Nous commençons par démontrer un lemme élémentaire sur les sous-groupes finis de GL(V) non contenus dans SL(V) (cf. par exemple [Le], 1.5).

3.3. Lemme. Soit G un sous-groupe fini de GL(V) non contenu dans SL(V). Soit ϕ un élément du normalisateur de G dans GL(V). Alors le sous-groupe C_{G}(ϕ) des points fixes par ϕ est non trivial.

Démonstration de 3.3. Si C_{G}(ϕ) était trivial, l’application de G dans lui-même définie par g ↦ gϕg^{−1}ϕ^{−1} serait injective, donc bijective. Or les éléments de son image sont de déterminant 1. □

Nous sommes maintenant en mesure de démontrer 3.2. Soit H′ un hyperplan de V (w). Le fixateur W_{H′} de H′ dans W est un sous-groupe parabolique de W, donc, ou bien est trivial, ou bien est engendré par des réflexions et donc n’est pas contenu dans SL(V). Ce groupe W_{H′} est normalisé par w, donc on déduit de 3.3 que

(W_{H′} ≠ {1}) ⟺ (C_{W_{H′}} (w) ≠ {1}) .

Mais C_{W_{H′}} (w) = W (w)_{H′}, et par conséquent ce groupe n’est pas trivial si et seulement si H′ ∈ A(w). On voit donc que A(w) est l’ensemble des hyperplans H′ de V (w) tels que W_{H′} ne soit pas trivial, donc (puisque W_{H′} est engendré par des réflexions) tels qu’il existe un hyperplan de réflexion H de W contenant H′. La proposition 3.2 résulte alors du fait que, par hypothèse, V (w) n’est contenu dans aucun hyperplan de réflexion de W. □

Remarque. Comme noté dans [DeLo] et [Le], la proposition précédente et sa démonstration s’étendent au cas plus général où W est un groupe engendré par des pseudo-réflexions (et même au cas où w est un élément régulier qui normalise W sans nécessairement lui appartenir), grâce au théorème fondamental de Steinberg ([St1], 1.5) qui affirme que le fixateur d’un sous-espace (“sous-groupe parabolique”) est aussi engendré par des pseudo-réflexions.

On désigne par π: [0, 1] → M(w) le lacet d’origine x_{0} défini par π(θ) = e^{2πiθ}x_{0} , et on désigne par w: [0, 1] → M(w) le chemin de x_{0} à w.x_{0} défini par w(θ) = e^{2πiθ/d}x_{0} . On note encore π et w respectivement les éléments de P(w) et B(w) ainsi définis. On voit que, dans le groupe B(w), on a

w^{d} = π .

Comme nous l’a fait remarquer R. Rouquier, il est facile de vérifier que

3.4. l’élément w est central dans B(w).

3.5. Question. L’injection naturelle de V (w) dans V définit-elle un morphisme injectif P(w) ↪ P ?

Remarquons que si tel est le cas, alors

3.6. les flèches naturelles induisent le diagramme commutatif suivant, où les flèches horizontales sont injectives, et les suites verticales sont exactes :

{1}  {1}  {1}
↓  ↓  ↓
⟨π⟩ ↪ P(w) ↪ P
↓ ↓ ↓
⟨w⟩ ↪ B(w) ↪ B
↓ ↓ ↓
⟨w⟩ ↪ W (w) ↪ W
↓  ↓  ↓
{1}  {1}  {1}

Démonstration. Seule l’injectivité du morphisme B(w) → B n’est pas immédiate. Mais si un élément B(w) s’envoie sur 0 dans B, il s’envoie par composition sur 0 dans W, donc aussi sur 0 dans W (w). Il provient donc d’un élément de P(w), qui s’envoie sur 0 dans B, donc est nul. □

Remarque. L’exactitude des suites courtes verticales ne dépend évidemment pas de la réponse à la question 3.5.

On désigne encore par π l’image dans P du chemin défini plus haut. Il est clair que π est le même élément que celui défini au §1 ci-dessus.

Soit D(w) le diagramme “à la Coxeter” associé au groupe W (w) comme décrit dans [BrMa]. D’après [BrMaRo], on sait (sauf peut-être dans le cas où W (w) ≃ G_{31}, où ceci est encore conjectural) que D(w) symbolise à la fois une présentation de B(w) et une présentation de W (w) par générateurs et relations, présentations compatibles avec la surjection canonique B(w) → W (w), où l’ensemble S(w) des sommets de D(w) représente un système de générateurs de B(w) qui s’envoient sur des pseudo-réflexions de W (w), et les liens de D(w) représentent les relations (homogènes) entre les éléments de S(w) (cf. [BrMaRo] pour plus de détails).

On appelle “bon système de générateurs” de B(w) tout système de générateurs de B(w) qui s’envoient sur des pseudo-réflexions de W (w) et satisfont aux conditions imposées par le diagramme D(w). On note B(w)_{S(w)}^{+} le sous-monoïde de B(w) formé des mots en les éléments de S(w).

Le résultat suivant est une conséquence de [BrMaRo].

3.7. Théorème.

(1) On a Z(P) = Z(P(w)) = ⟨π⟩, et le diagramme commutatif suivant, où les

suites verticales sont exactes

{1}  {1}  {1}
↓  ↓  ↓
⟨π⟩ ⟶^{∼} Z(P(w)) ⟵^{∼} Z(P)
↓ ↓ ↓
⟨w⟩ ↪ Z(B(w)) ↩ Z(B)
↓ ↓ ↓
⟨w⟩ ↪ Z(W (w)) ↩ Z(W)
↓  ↓  ↓
{1}  {1}  {1}

(2) On a

π ∈ B_{S}^{+} et ℓ_{S}(π) = 2N .

Il existe un bon système de générateurs S(w) de B(w) tel que (a) π ∈ B(w)_{S(w)}^{+} ,

(b) ℓ_{S(w)}(π) = N(w) + N(w)^{∗} .

Dans le paragraphe suivant, nous montrons essentiellement que l’on peut aussi choisir S de sorte que w ∈ B_{S}^{+}.

B. Racines de π et éléments réguliers.

L’un des buts de ce paragraphe est d’étudier les racines de l’élément central π, i.e., les éléments w ∈ B^{+} dont une certaine puissance est égale à π. En un certain sens, ces éléments peuvent être vus comme précisant la notion d’élément régulier.

• Nous démontrerons en effet (3.14) que si w^{d} = π, alors l’image w de w dans W est un élément d-régulier de W.

• La réciproque est fausse (par exemple parce qu’on peut trouver des éléments d-réguliers de longueur supérieure à 2N/d). Cependant, nous démontrons (3.11) que tout élément d-régulier est conjugué à l’image dans W d’une racine d-ième de π. En outre, l’annexe 1 donne une liste de racines d-ièmes de π pour tous les nombres réguliers d pour tous les groupes de Coxeter finis irréductibles.

La notion suivante joue un rôle essentiel.

3.8. Définition. On dit que w est une bonne racine d-ième de π si

(1) w est une racine d-ième de π, i.e., w^{d} = π,

(2) pour tout entier m ≤ d/2, w^{m} est réduit.

Noter que si d est pair, la propriété (1) ci-dessus est impliquée par la propriété (2).

Exemples.

• L’élément w_{0} est une bonne racine carrée de π.

• Dans le cas du type A_{3} : ◯_{s} ◯_{t} ◯_{u}, l’élément de Coxeter sut est une

bonne racine quatrième de π, mais l’élément de Coxeter stu, bien que racine quatrième de π, n’est pas une bonne racine.

La proposition suivante donne une autre définition possible des bonnes racines d-ièmes de π.

Rappelons que l’on désigne par B_{red}^{+} l’ensemble des éléments de B^{+} qui ont même longueur que leur image dans W, et que de tels éléments sont dits réduits. La restriction à B_{red}^{+} de la surjection naturelle B^{+} → W est une bijection. On désigne par w ↦ w son inverse.

3.9. Proposition. Soit w ∈ W. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) On a w^{d} = 1 et pour tout entier m tel que m ≤ d/2, on a ℓ(w^{m}) = 2Nm/d. (ii) w est une bonne racine d-ième de π.

Démonstration. Il est clair que (ii) implique (i). Démontrons la réciproque.

1. Supposons d’abord que d est pair. Il suffit alors de vérifier que w^{d/2} = w_{0}, ce qui résulte immédiatement de l’égalité ℓ(w^{d/2}) = N.

2. Supposons maintenant que d est impair. Soit d′ := (d − 1)/2. On définit t et u par la condition w_{0} = tw^{d′} = w^{d′}u . Puisque ℓ(w^{d′}) = 2Nd′/d, on a ℓ(t) = ℓ(u) = ℓ(w)/2. Comme w^{d′}utw^{d′} = w_{0}^{2} = π , il suffit de vérifier que ut = w. Pour cela, puisque ℓ(u) + ℓ(t) = ℓ(w), il suffit de vérifier que ut = w. Mais de la définition de t et u on déduit t = w_{0}w^{−d′} et u = w^{−d′}w_{0}, d’où ut = w^{−d′}w^{−d′} = w. □

La notion suivante d’“élément de Springer” fournit des exemples a priori de bonnes racines de π. On peut se reporter à l’annexe 1 pour trouver une liste de bonnes racines d-ièmes de π pour tous les nombres réguliers d et tous les groupes de Coxeter finis irréductibles.

Soit Φ le système de racines de W, et soit Φ^{+} (resp. Φ^{−}) l’ensemble des racines positives (resp. négatives) choisi.

3.10. Définition. On appelle d-éléments de Springer les éléments réguliers de W possédant la propriété suivante : il existe un vecteur propre v ∈ V correspondant à la valeur propre e^{2iπ/d}, tel que la racine α ∈ Φ est positive si et seulement si ℜ(<v, α>) > 0.

On sait d’après [Sp], 4.10, que pour chaque nombre régulier d de W il existe un d-élément de Springer.

3.11. Proposition. Soit d un nombre régulier pour W et soit w un d-élément de Springer. Alors w est une bonne racine d-ième de π.

Démonstration. On pose ζ := e^{2iπ/d}. D’après 3.9 ci-dessus, nous devons vérifier que pour tout m ≤ d/2, on a ℓ(w^{m}) = 2Nm/d. Suivant l’argument de Springer ([Sp], 4.10), on a <v, w^{m}(α)> = ζ^{−m}<v, α>, donc les nombres <v, w^{m}(α)> sont les sommets d’un d-gone régulier dans ℂ, et l’action de w sur l’orbite de α correspond à une rotation de 2π/d dans ce d-gone. Il en résulte que, dans chacune des 2N/d orbites de w sur Φ, il y a exactement m racines positives qui sont envoyées sur une racine négative par w^{m}. □

L’un de nos objectifs est de démontrer

3.12. Théorème. Si w est une racine d-ième de π, alors son image dans W est un élément d-régulier de W.

3.13. Corollaire. S’il existe une racine d-ième de π, d est un nombre régulier pour W.

Nous commençons par démontrer 3.12 dans un cas particulier. Le cas général sera alors une conséquence immédiate du théorème 3.17 ci-dessous.

3.14. Proposition. Soit w une bonne racine d-ième de π. Alors w est un élément d-régulier de W.

Démonstration. Première étape.

À chaque orbite O de w sur Φ, on associe une suite n_{1}, …, n_{2k(O)} (définie à une puissance paire près de la permutation circulaire (1 2 ⋯ 2k(O))) de la manière suivante :

• Si toutes les racines dans O sont de même signe, on pose k(O) = 0.

• Sinon, soit α ∈ O ∩ Φ^{+} telle que w^{−1}(α) ∈ Φ^{−}. Alors n_{1}, …, n_{2k(O)} sont définis par les conditions :

α, w(α), …, w^{n_{1}−1}(α) ∈ Φ^{+}
w^{n_{1}}(α), w^{n_{1}+1}(α), …, w^{n_{1}+n_{2}−1}(α) ∈ Φ^{−}
w^{n_{1}+n_{2}}(α), w^{n_{1}+n_{2}+1}(α), …, w^{n_{1}+n_{2}+n_{3}−1}(α) ∈ Φ^{+}
…
w^{n_{1}+...+n_{2k(O)−1}}(α), w^{n_{1}+...+n_{2k(O)−1}+1}(α), …, w^{n_{1}+...+n_{2k(O)}−1}(α) ∈ Φ^{−},

où n_{1}+…+n_{2k(O)} = |O|. En d’autres termes, nous mettons les racines consécutives (pour l’action de w), et de même signe, dans le même paquet. Il est clair que ℓ(w) = ∑_{O} k(O).

Pour x ∈ W, soit Φ^{+}(x) := {α ∈ Φ^{+} | x(α) ∈ Φ^{−}}. On sait que ℓ(xy) = ℓ(x) + ℓ(y) si et seulement si Φ^{+}(xy) est l’union disjointe de y^{−1}(Φ^{+}(x)) et de Φ^{+}(y), et qu’en particulier on a alors y^{−1}(Φ^{+}(x)) ⊂ Φ^{+}.

En appliquant ce qui précède à x = w et y = w^{j} pour 1 ≤ j < d′ où d′ = ⌊d/2⌋, on voit que w^{−j}(Φ^{+}(w)) ⊂ Φ^{+} pour j = 1, …, d′ − 1. Ceci implique que pour chaque orbite O telle que k(O) > 0, on a n_{i} ≥ d′ pour i impair. On applique maintenant ce résultat à −O, et on obtient la même conclusion pour n_{i} et i pair. Donc, pour tout i < k(O) − 1, on a n_{i} + n_{i+1} ≥ 2d′ ≥ d − 1.

En fait n_{i} + n_{i+1} = d − 1 est impossible. En effet, si β := w^{n_{1}+...+n_{i−1}−1}α, on aurait β = w^{d}β = w^{n_{1}+...+n_{i}+n_{i+1}}α, ce qui montre que β est à la fois positif et négatif. Il en résulte que, pour tout i < k(O) − 1, on a n_{i} + n_{i+1} ≥ d, d’où k(O) ≤ ⌊|O|/d⌋.

Puisque ℓ(w) = 2N/d = |Φ|/d, on a ∑_{O} |O| = |Φ| = dℓ(w) = ∑_{O} dk(O) ≤ ∑_{O} d⌊|O|/d⌋ . L’inégalité entre le terme le plus à gauche et le terme le plus à droite n’est possible que si pour chaque orbite, on a |O| = dk(O).

On a donc démontré :

3.15.

• le cardinal |O| de chaque orbite est multiple de d,

• k(O) = |O|/d,

• les n_{i} pour i impair sont tous égaux à d′ ou sont tous égaux à d − d′, et les n_{i} pour i pair sont tous égaux à d − n_{1}.

Remarque. Comme w est d’ordre d, on voit que |O| divise d, et par conséquent pour toute orbite O on a |O| = d et k(O) = 1. Deuxième étape.

Nous pouvons démontrer maintenant que w est régulier. Soit V (w) le sousespace propre de w pour la valeur propre ζ := e^{2iπ/d}. Le projecteur p de V sur V (w) parallèlement aux autres sous-espaces propres de w est

p = 1 + ζ^{−1}w + ζ^{−2}w^{2} + … ζ^{1−d}w^{d−1} .

Soit O une orbite de w sur l’ensemble des racines, et soit α ∈ Φ^{+} telle que w^{−1}(α) ∈ Φ^{−}.

Supposons n_{1} ≥ n_{2}. Alors

ℑ(ζ^{0}), ℑ(ζ^{−1}), …, ℑ(ζ^{1−n_{1}}) ≤ 0 et ℑ(ζ^{−n_{1}}), …, ℑ(ζ^{1−d}) > 0 ,

alors que α, w(α), …, w^{n_{1}−1}(α) ∈ Φ^{+} et w^{n_{1}}(α), …, w^{d−1}(α) ∈ Φ^{−}. Il en résulte que ℑ(p(α)) est un vecteur strictement négatif (pour l’ordre dans V_{ℝ} défini par le choix de Φ^{+}), et en particulier p(α) n’est pas nul. Mais puisque p(w^{i}(α)) = ζ^{i}p(α) on obtient la même conclusion en remplaçant α par n’importe quelle autre racine de son orbite.

Si n_{1} < n_{2}, on raisonne de façon analogue en remplaçant α par w^{n_{1}}(α).

Ainsi, nous avons démontré qu’aucune racine n’a de projection nulle sur V (w), i.e., que w est régulier. □

3.16. Définition. On dit que deux éléments de B_{red}^{+} sont “conjugués par permutations circulaires” s’ils sont équivalents par la clôture transitive de la relation Z définie sur B_{red}^{+} par

wZw′ si et seulement si il existe x, y ∈ B_{red}^{+} tels que \{ \begin{matrix}w = xy et \\ w′ = yx . \end{matrix}

Remarque. Il est clair que deux éléments conjugués par permutations circulaires sont conjugués dans B. La réciproque est fausse en général : dans le cas du type A_{2} : ◯_{s} ◯_{t}, les éléments s et t sont conjugués dans le groupe des tresses, mais

pas conjugués par permutations circulaires.

3.17. Théorème. ^{1} Toute racine d-ième de π est conjuguée par permutations circulaires d’une bonne racine d-ième de π.

Démonstration.

Nous introduisons tout d’abord quelques notations, ainsi que les résultats de [De1] et [Cha] que nous utilisons.

Pour x, y ∈ B^{+}, on écrit x|y et on dit que x divise y (à gauche) s’il existe z ∈ B^{+} tel que xz = y. Il résulte de [De1], 1.19 que

3.18. pour x ∈ B^{+}, il existe un unique élément de plus grande longueur de B_{red}^{+} qui divise x (à gauche).

Soit x ∈ B^{+}. On dit qu’une décomposition x = v_{1} … v_{k} est la forme normale de x, si v_{1}, …, v_{k} ∈ B_{red}^{+}, et si pour tout i, v_{i} est l’élément de plus grande longueur de B_{red}^{+} qui divise v_{i} … v_{k}. Ainsi, chaque élément de B^{+} a une unique forme normale. On désigne par ν(x) le nombre de termes dans la forme normale de x.

Nous allons utiliser les propriétés suivantes de la fonction ν, qui sont dues à Charney ([Cha], Prop. 3.1 et 3.3).

3.19. On a (1) ν(xy) ≥ max(ν(x), ν(y)),

(2) si v_{1} … v_{k} est la forme normale de x, si y ∈ B_{red}^{+} et ν(xy) = ν(x), alors v_{k}y ∈ B_{red}^{+}.

Indications sur la démonstration. (1) est clair dans [Cha], 3.1 et 3.3. Pour (2), avec les notations de loc. cit., Prop. 3.3., il s’agit du fait que η_{j}β_{j} est minimal, et cela résulte de ce que γ_{k}η_{j}β_{j} = \overline{μ}_{j}γ_{j}β_{j} = Δ puisque σ^{∗}σμ_{k} = \overline{μ}_{k}\overline{μ}_{j}γ_{j}β_{j}. □

Notons la conséquence suivante de 3.19, (1), qui nous sera utile par la suite. Elle résulte du fait que ν(π) = 2 (puisque π = w_{0}^{2}).

3.20. Pour tout diviseur x de π, on a ν(x) ≤ 2.

Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème 3.17. Il résulte du lemme suivant, appliqué pour n = d.

3.21. Lemme. Si w^{n}|π, alors w est conjugué par permutations circulaires d’un élément w′ tel que w′^{⌊n/2⌋} ∈ B_{red}^{+}.

Démonstration. Elle se fait par récurrence sur n.

Pour n = 0 il n’y a rien à démontrer. On remarque aussi que si n est impair, la conclusion cherchée est identique à la conclusion cherchée pour (n − 1), donc résulte de l’hypothèse de récurrence. On peut donc supposer que n est pair et on pose n = 2j.

1Nous remercions F. Digne pour l’aide qu’il nous a apportée dans la démonstration de ce théorème.

Par l’hypothèse de récurrence, w est conjugué par permutations circulaires à un élément w′ tel que w′^{j−1} ∈ B_{red}^{+}. Donc, quitte à remplacer w par w′ on peut supposer que w^{j−1} ∈ B_{red}^{+} .

On peut supposer ν(w^{j}) > 1 (sinon w^{j} ∈ B_{red}^{+} et la démonstration est terminée). D’après 3.20 ci-dessus, on voit qu’alors ν(w^{j}) = 2. Soit (w^{j−1}x)y la forme normale de w^{j} (notons que xy = w). Notre hypothèse s’écrit (w^{j−1}xy)(w^{j−1}xy)|π, et il résulte de 3.19, (1) que

2 = ν(w^{j−1}xy) ≤ ν((w^{j−1}xy)(w^{j−1}x)) ≤ ν((w^{j−1}xy)(w^{j−1}xy)) ≤ 2 ,

d’où

ν((w^{j−1}x)y) = ν((w^{j−1}x)y(w^{j−1}x)) = 2 .

De 3.19, (2), on déduit alors y(w^{j−1}x) ∈ B_{red}^{+}. Mais, puisque xy = w, on a y(w^{j−1}x) = (yx)^{j}. On voit donc que l’élément w′ := yx est conjugué de w par permutations circulaires et vérifie w′^{j} ∈ B_{red}^{+}, ce qui démontre le lemme 3.21. □

□

Remarques et Questions.

• Comme l’élément π et le monoïde B^{+} peuvent être définis pour tous les groupes de réflexions complexes irréductibles (cf. [BrMaRo]), il est naturel de poser la question suivante : le théorème 3.12 est-il encore vrai pour un groupe de réflexions complexe ?

• Deux racines d-ièmes de π sont-elles toujours conjuguées par un élément de B ? Noter que (grâce à 3.17) pour le cas des groupes de Coxeter, il suffit de répondre à la question pour le cas où les deux racines sont bonnes.

• Soit h le nombre de Coxeter de W. Comme deux éléments de Coxeter sont conjugués par permutations circulaires (cf. [Bou] ch. v, §6, 1, démonstration du lemme 1), et comme il existe un élément de Coxeter dont l’image réciproque c dans B_{red}^{+} soit une racine h-ième de π (cf. [Bou], chap. 5, §6, ex. 2), on voit que toute image réciproque dans B_{red}^{+} d’un élément de Coxeter est une racine h-ième de π.

4. Groupes de réflexions complexes et algèbres de Hecke associées

A. Généralités.

Une bonne partie du contenu de ce paragraphe s’applique, non seulement aux groupes de Coxeter W et à leurs centralisateurs d’éléments réguliers W (w), mais également à tout groupe fini linéaire irréductible engendré par des pseudo-réflexions (“groupe de réflexions complexe”). Pour ce que nous utiliserons sur ces groupes, le lecteur pourra se reporter à [BrMaRo], et aussi (par exemple) à [Bou], [OrSo], [OrTe], [Sp].

Nous changeons ici provisoirement de notation : V désigne toujours un espace vectoriel complexe (de dimension r), mais W désigne maintenant un sous-groupe fini de GL(V) engendré par des pseudo-réflexions et agissant irréductiblement sur V.

Un sous-groupe parabolique de W est par définition le sous-groupe des éléments de W qui opèrent trivialement sur un sous-espace de V. Par un théorème de Steinberg ([St1], 1.5), on sait qu’un sous-groupe parabolique de W est encore engendré par des pseudo–réflexions.

On note A l’ensemble des hyperplans de réflexion de W, et on pose N := |A|. On note N^{∗} le nombre de pseudo-réflexions de W. On remarque que si W est un groupe de Coxeter (ou, plus généralement, si toute pseudo-réflexion de W est d’ordre 2), on a N = N^{∗}.

Pour H ∈ A, on désigne par W_{H} l’ensemble des éléments de W qui opèrent trivialement sur H (ainsi, W_{H} est un sous-groupe parabolique minimal de W), et on pose e_{H} := |W_{H}|. On désigne par s_{H} l’élément de W_{H} de déterminant e^{2iπ/e_{H}}.

On désigne par C_{W} (W_{H}) le centralisateur de W_{H} dans W et on pose

ω_{H} := |W : C_{W} (W_{H})| .

L’entier ω_{H} est égal au cardinal de la classe de conjugaison de W_{H}, et aussi égal au cardinal de la classe de conjugaison de s_{H}.

Soit S(V) l’algèbre symétrique de V, soit R = S(V)^{W} la sous-algèbre des invariants de W, soit R_{+} l’idéal de R formé des éléments de degré positif. On pose S(V)_{W} := S(V)/R_{+}S(V).

Rappelons quelques propriétés des degrés et des codegrés de W (cf. [BrMaRo]).

• Les degrés d_{1}, d_{2}, …, d_{r} de (V, W) possèdent les propriétés suivantes : le polynôme de Poincaré du ℂ-espace vectoriel gradué (V ⊗ S(V)_{W})^{W} est

x^{d_{1}−1} + x^{d_{2}−1} + ⋯ + x^{d_{r}−1}

et on a ∑_{i=1}^{i=r}(d_{i} − 1) = ∑_{H∈A}(e_{H} − 1) = ∑_{H∈A/W} ω_{H}(e_{H} − 1) = N^{∗} .

• Les codegrés d_{1}^{∗}, d_{2}^{∗}, …, d_{r}^{∗} de (V, W) possèdent les propriétés suivantes : le polynôme de Poincaré du ℂ-espace vectoriel gradué (V^{∗} ⊗ S(V)_{W})^{W} est

x^{d_{1}^{∗}+1} + x^{d_{2}^{∗}+1} + ⋯ + x^{d_{r}^{∗}+1}

et on a ∑_{i=1}^{i=r}(d_{i}^{∗} + 1) = ∑_{H∈A} 1 = ∑_{H∈A/W} ω_{H} = N .

• On a N + N^{∗} = ∑_{i=1}^{i=r}(d_{i} + d_{i}^{∗}) = ∑_{H∈A/W} ω_{H}e_{H} .

• Le centre Z de W est d’ordre |Z| = pgcd{d_{1}, d_{2}, …, d_{r}}.

• L’ordre de W est |W | = d_{1}d_{2} ⋯ d_{r}.

Enfin, la représentation de W sur V est définie sur le corps ℚ(χ_{V}) engendré par les valeurs du caractère χ_{V} de cette représentation (cf. par exemple [Be], 7.1.1). On pose K := ℚ(χ_{V}) .

B. Caractères et degrés fantômes.

Soit χ ∈ Irr(W) un caractère absolument irréductible de W. On note V_{χ} un espace de représentation correspondant.

• Les exposants (e_{1}(χ), e_{2}(χ), …, e_{χ(1)}(χ)) sont définis par la condition suivante : le polynôme de Poincaré du module gradué (V_{χ} ⊗ S(V)_{W})^{W} (appelé degré fantôme de χ) est

x^{e_{1}(χ)} + x^{e_{2}(χ)} + … x^{e_{χ(1)}(χ)} ,

• Les coexposants (e_{1}^{∗}(χ), e_{2}^{∗}(χ), …, e_{χ(1)}^{∗}(χ)) sont les exposants de V_{χ}^{∗}.

On pose

N^{∗}(χ) := ∑_{n=1}^{n=χ(1)} e_{n}(χ) et N(χ) := ∑_{n=1}^{n=χ(1)} e_{n}^{∗}(χ) .

On voit donc en particulier que, si χ_{V} désigne le caractère de la représentation naturelle de W, on a N = N(χ_{V}) et N^{∗} = N^{∗}(χ_{V}) .

Les entiers N(χ) et N^{∗}(χ) se calculent à partir des sous-groupes paraboliques minimaux, grâce à la proposition 4.1 ci-dessous.

Sa première partie est facile et laissée au lecteur. La deuxième assertion est une reformulation d’un résultat de Gutkin (cf. [Gu]).

4.1. Proposition. Pour tout H ∈ A et tout entier n, soit m_{H,n} la multiplicité de e^{2niπ/e_{H}} comme élément du spectre de s_{H} dans la représentation associée à χ. Alors

(1) N(Res_{W_{H}}^{W} (χ)) = ∑_{n=0}^{n=e_{H}−1} n.m_{H,n}(χ) ,

(2) N(χ) = ∑_{H∈A} N(Res_{W_{H}}^{W} (χ)) .

En utilisant le fait que m_{H,n}(χ^{∗}) = m_{H,e_{H}−n}(χ) , on déduit facilement de 4.1 les formules suivantes, qui nous seront utiles dans la suite.

4.2. Corollaire. On a

∑_{H∈A} ∑_{n=1}^{n=e_{H}−1} e_{H}m_{H,n}(χ) = N(χ) + N^{∗}(χ) ,

∑_{H∈A} e_{H}m_{H,0} = χ(1)(N + N^{∗}) − (N(χ) + N^{∗}(χ)) .

Le cas des caractères linéaires.

La propriété suivante est démontrée dans [Co], (1.8), Proposition.

4.3. Proposition. Les applications restriction induisent un isomorphisme

Hom(W, ℂ^{×})⟶^{∼} ( ∏_{H∈A} Hom(W_{H}, ℂ^{×}))^{W} ,

où le terme de droite désigne le sous-groupe des points fixes par l’action de W dans le produit direct ∏_{H∈A} Hom(W_{H}, ℂ^{×}) . En particulier, pour tout H ∈ A, il existe un caractère linéaire det_{V,H} de W possédant la propriété suivante : pour toute pseudo-réflexion ρ ∈ W, on a

det_{V,H}(ρ) = \{ \begin{matrix}det_{V} (ρ) si ρ est conjugué à un élément de W_{H}, \\ 1 sinon. \end{matrix}

On a

det_{V} = ∏_{H∈A/W} det_{V,H} ,
N(det_{V,H}) = ω_{H} et N(Res_{W_{H}}^{W} (det_{V,H})) = 1 ,
N^{∗}(det_{V,H}) = ω_{H}(e_{H} − 1) et N^{∗}(Res_{W_{H}}^{W} (det_{V,H})) = e_{H} − 1 ,
N(det_{V}) = ∑_{H∈A} 1 = N et N^{∗}(det_{V}) = ∑_{H∈A}(e_{H} − 1) = N^{∗} .

Nombres réguliers et exposants.

Springer a démontré (cf. [Sp], 4.5) que si w est un élément régulier de W pour la valeur propre ζ, alors le spectre de w dans une représentation de caractère χ est

Spec_{χ}(w) = {ζ^{e_{1}(χ)}, ζ^{e_{2}(χ)}, …, ζ^{e_{χ(1)}(χ)}} .

On voit donc en particulier que, dans ce cas, le déterminant de w dans une représentation de caractère χ est

det_{χ}(w) = ζ^{N(χ)} .

Comme det_{χ}det_{χ^{∗}} = 1, on en déduit

4.4. Proposition. Si d est un nombre régulier pour W et χ un caractère de W, d divise N(χ) + N^{∗}(χ).

En appliquant la proposition 4.4 ci-dessus au cas où χ = det_{V,H}, on obtient

4.5. Corollaire. Pour tout nombre régulier d et tout hyperplan de réflexion H, d divise ω_{H}e_{H}.

C. Groupes des tresses.

Soit D le diagramme “à la Coxeter” associé à W (cf. [BrMaRo]; pour le cas des groupes cyclotomiques, on peut se reporter à [BrMa] ou à l’annexe 2 ci-dessous). On note S l’ensemble des sommets de D.

Soit B le groupe défini par S et par les relations de tresses du diagramme D. Il existe un morphisme surjectif B ↦ W possédant les propriétés suivantes.

(a) Pour tout s ∈ S, son image s est une pseudo-réflexion telle que si H := ker(s − 1), et si e_{H} := |W_{H}|, alors s est le générateur s_{H} de W_{H} de déterminant e^{2iπ/e_{H}}. On pose e_{s} := e_{H}.

(b) L’ensemble S image de S, soumis aux relations de tresses de D et aux relations s^{e_{s}} = 1, est une présentation de W.

On désigne par P le noyau de l’homomorphisme surjectif B → W. On a donc la suite exacte

(4.6)  {1} → P → B → W → {1} .

Les groupes B et P ont une interprétation topologique (encore conjecturale dans certains cas) analogue à celle présentée plus haut pour le cas des groupes de Weyl ou des groupes de Weyl cyclotomiques (cf. [BrMaRo]). On les appelle respectivement le groupe des tresses et le groupe des tresses pures associés à W. On note B^{+} le sous-monoïde de B formé des mots en les puissances positives des éléments de S.

Abélianisés de B et de W.

On désigne par S^{ab} l’image de S dans l’“abélianisé” B^{ab} := B/[B, B] de B. On laisse au lecteur le soin de décrire S^{ab} comme un ensemble quotient de S en utilisant les relations fournies par le diagramme D (par exemple, dans le cas où D n’a que des relations de tresses impliquant deux éléments au plus, S^{ab} peut être vu comme le quotient de S par la clôture transitive de la relation “s et t vérifient une relation de tresse d’ordre impair”).

4.7. On a

B^{ab} = ∏_{s∈S^{ab}} ⟨s⟩ , où ⟨s⟩ ≃ ℤ .

L’abélianisé W^{ab} := W/[W, W] de W est isomorphe à ∏_{s∈S^{ab}}(ℤ/e_{s}ℤ) (cf. 4.3 cidessus). L’ensemble S^{ab} est en bijection naturelle avec l’ensemble A/W des classes de conjugaison des hyperplans de réflexion.

L’élément π.

On a la propriété suivante des centres des groupes considérés (cf. [BrMaRo]).

4.8. Théorème.

(1) Le centre Z(B) est cyclique d’ordre infini et engendré par un élément β ∈ B^{+}, dont la longueur sur S est ℓ(β) = (N + N^{∗})/|Z(W)|.

(2) La suite exacte 4.6 induit une suite exacte

{1} → Z(P) → Z(B) → Z(W) → {1} .

Donc le centre de P est cyclique et engendré par un élément π ∈ B^{+} dont la longueur sur S est ℓ(π) = (N + N^{∗}).

On peut calculer l’image π^{ab} de π dans l’abélianisé B^{ab} de B. Une vérification facile sur les tables de [BrMaRo] montre

4.9. Proposition. On a

π^{ab} = ∏_{s∈S^{ab}}(s)^{ω_{s}e_{s}} .

Pour tout H ∈ A, on désigne par s_{H} un élément de B qui est conjugué à un élément s ∈ S et s’envoie sur l’élément s_{H} de W (si les conjectures sur l’interprétation topologique de B énoncées dans [BrMaRo] sont vérifiées, on peut choisir s_{H} comme le générateur de la monodromie autour de H dans M/W qui s’envoie sur s_{H}).

4.10. Corollaire. On a

π^{ab} = ∏_{H∈A/W}(s_{H}^{ab})^{ω_{H}e_{H}} = ∏_{H∈A}(s_{H}^{ab})^{e_{H}} .

Remarque. Soit B_{H} := ⟨s_{H}⟩ le groupe des tresses associé à W_{H}. On a alors (avec des notations évidentes) P_{H} = Z(P_{H}) = ⟨π_{H}⟩ où π_{H} := s_{H}^{e_{H}}, et le corollaire 4.10 peut s’écrire

π^{ab} = ∏_{H∈A} π_{H} .

D. Algèbres de Hecke.

Les définitions suivantes ont été données dans [BrMa] (cf. aussi [ArKo] et [Ar]). Soit

u = (u_{H,j})_{(H∈A/W)(0≤j≤e_{H}−1)}

un ensemble de ∑_{H∈A/W} e_{H} indéterminées. On pose

u^{−1} := (u_{H,j}^{−1})_{(H∈A/W)(0≤j≤e_{H}−1)} .

et pour s ∈ S, on pose u_{s,j} := u_{H,j} pour j = 0, 1, …, e_{H} − 1, où H désigne l’hyperplan de réflexion de s.

On note N (D) l’ensemble des sommets du diagramme D.

4.11. Définition. L’algèbre de Hecke générique H_{u} associée à D est la ℤ[u, u^{−1}]– algèbre engendrée par une famille (T_{s})_{s∈N (D)} telle que

• les éléments T_{s} satisfont aux relations de tresses définies par D,

• on a (T_{s} − u_{s,0})(T_{s} − u_{s,1}) ⋯ (T_{s} − u_{s,e_{s}−1}) = 0 .

On remarque que l’application s ↦ T_{s} définit un morphisme B → H_{u}^{×}, et on note T_{w} l’image d’un élément w ∈ B par ce morphisme.

Par la spécialisation

(4.12)  d_{V} : u_{s,j} ↦ det_{V} (s)^{j} = e^{2iπj/e_{s}} (∀s ∈ S) (0 ≤ j ≤ e_{s} − 1) ,

l’algèbre H_{u} devient l’algèbre de groupe de W sur une extension cyclotomique de ℤ.

L’énoncé suivant est bien connu dans le cas des groupes de Coxeter. Il est maintenant démontré pour toutes les séries infinies de groupes de réflexions complexes, comme conséquence de [ArKo], [BrMa], et [Ar]. Il a été vérifié pour quatre des groupes cyclotomiques exceptionnels (cf. [BrMa], Satz 4.7).

4.13. Théorème-Conjecture.

(1) H_{u} est un module libre et de rang |W | sur ℤ[u, u^{−1}].

(2) L’algèbre ℚ(u)H_{u} est semi-simple, et elle se déploie sur une extension de ℚ(u) de la forme K(exp(\frac{2iπ}{m|Z(W)|}), u, v,), où

(a) m := ppcm{e_{H} | (H ∈ A)} ,

(b) v est un ensemble de monômes en des puissances fractionnaires des u_{s,j} dont les dénominateurs divisent |Z(W)|.

(3) Il existe P (u) ∈ K[u] tel que les représentations irréductibles de l’algèbre K(exp(\frac{2iπ}{m|Z(W)|}), u, v)H_{u} sont réalisables dans K[exp(\frac{2iπ}{m|Z(W)|}), u, u^{−1}, v, 1/P (u)].

On dit qu’un caractère de K(exp(\frac{2iπ}{m|Z(W)|}), u, v)H_{u} est génériquement rationnel s’il est à valeurs dans K(exp(\frac{2iπ}{m|Z(W)|}))(u).

Exemples. Les caractères linéaires de l’algèbre de Hecke générique sont les caractères

det_{(s,j),u} : H_{u} → ℚ[u] défini par \{ \begin{matrix}T_{t} & ↦ 1 si t et s ne sont pas conjugués , \\ T_{t} & ↦ u_{t,j} si t et s sont conjugués . \end{matrix}

Ainsi les caractères linéaires sont tous génériquement rationnels.

Dans toute la suite de ce paragraphe, et dans le but de simplifier la présentation de nos calculs, nous nous plaçons dans un corps suffisamment gros, défini comme suit.

• On choisit un ensemble d’indéterminées v = (v_{H,j})_{(H∈A/W)(0≤j≤e_{H}−1)} telles que v_{H,j}^{|W |} = u_{H,j}. Pour tout diviseur n de |W |, on pose alors u_{H,j}^{1/n} := v_{H,j}^{|W |/n} . On pose aussi v_{s,j} := v_{H,j} si H = ker(s − 1).

• On pose ζ := exp(\frac{2iπ}{ppcm\{m|Z(W)|, |W |\}}) .

Nous nous plaçons dorénavant sur le corps K(ζ, v), extension galoisienne de ℚ(u), et sur lequel l’algèbre H_{u} se déploie.

La propriété suivante est une conséquence immédiate de 4.13 ci-dessus.

4.14. Corollaire. Le choix de la spécialisation (qui prolonge celle définie en 4.12)

d_{V} : v_{s,j} ↦ e^{2iπj/|W |e_{s}}

définit une bijection χ ↦ χ_{v} entre l’ensemble Irr(W) des caractères absolument irréductibles de W et l’ensemble Irr(H_{u}) des caractères absolument irréductibles de ℚ(v)H_{u}, telle que le diagramme suivant soit commutatif.

K(ζ, v)H_{u} ⟶^{χ_{v}} K(ζ, v)
d_{V} ↓  ^{d_{V}} ↓
K(ζ)W ⟶^{χ} K(ζ)

La conjecture suivante est vérifiée pour les groupes de Coxeter, les groupes G(d, 1, r) ([BreMa]), et dans un petit nombre de cas pour les autres groupes de réflexions. Pour toutes les séries infinies (cf. [Ar] et [Ma1], et aussi [BreMa]), ou pour tous les groupes exceptionnels de rang 2 (cf. [Ma2]), la forme t_{u} à considérer apparait clairement.

Par analogie avec le cas des groupes de Coxeter, on désigne par B_{red}^{+} l’ensemble des éléments de B^{+} qui ont même longueur sur S que leur image dans W sur S.

4.15. Théorème-Conjecture. Il existe une unique forme linéaire t_{u} : H_{u} → ℤ[u, u^{−1}] avec les propriétés suivantes :

(a) La forme t_{u} est centrale, i.e., on a t_{u}(hh′) = t_{u}(h′h) pour tous h, h′ ∈ H_{u}.

(b) On a t_{u}(1) = 1, et pour tout w ∈ B_{red}^{+}, w ≠ 1, on a

t_{u}(T_{w}) = t_{u}(T_{π}T_{w}^{−1}) = 0 .

(c) L’algèbre H_{u}, munie de la forme t_{u}, est une algèbre symétrique.

E. Valeurs de caractères sur les racines de π.

On utilise les notations introduites précédemment. Pour χ ∈ Irr(W), on désigne par m_{H,j} la multiplicité de u_{H,j} comme élément du spectre Spec_{χ_{v}}(T_{s_{H}}) de T_{s_{H}} dans une représentation de caractère χ_{v}.

On introduit l’élément suivant de ℚ[v] :

z_{χ_{v}}(π) := ∏_{H∈A/W} ∏_{j=0}^{j=e_{H}−1} u_{H,j}^{(1/χ(1))m_{H,j}ω_{H}e_{H}} ,

et, pour d un nombre régulier pour W, on pose

z_{χ_{v}}(π)^{1/d} := ∏_{H∈A/W} ∏_{j=0}^{j=e_{H}−1} u_{H,j}^{(1/χ(1))m_{H,j}(ω_{H}e_{H}/d)} .

Remarquons que, d’après 4.5 ci-dessus, on a bien z_{χ_{v}}(π)^{1/d} ∈ ℚ[v] .

4.16. Proposition.

(1) On a

χ_{v}(T_{π}) = χ(1)e^{−2iπN(χ)/χ(1)}z_{χ_{v}}(π) ,

(2) Si w est une racine d-ième de π, d’image w dans W, on a

χ_{v}(T_{w}) = χ(w)e^{\frac{−2iπN(χ)}{dχ(1)}} z_{χ_{v}}(π)^{1/d} .

Démonstration. Puisque (1) est un cas particulier de (2), nous démontrons (2). D’après 4.10, on a

det_{χ_{v}}(T_{π}) = ∏_{H∈A/W} ∏_{j=0}^{j=e_{H}−1} u_{H,j}^{m_{H,j}ω_{H}e_{H}} = z_{χ_{v}}(π)^{χ(1)} .

Comme π est central dans B, le spectre de T_{π} dans une représentation de caractère χ_{v} est

Spec_{χ_{v}}(T_{π}) = {ξz_{χ_{v}}(π) (χ(1) fois)} ,

où ξ est une racine χ(1)-ième de l’unité. Comme T_{w}^{d} = T_{π}, on voit que le spectre de T_{w} dans une représentation de caractère χ_{v} est

Spec_{χ_{v}}(T_{w}) = {ξ_{k}z_{χ_{v}}(π)^{1/d} | (1 ≤ k ≤ χ(1))} ,

où les ξ_{k} sont des racines (dχ(1))-ièmes de l’unité, d’où

χ_{v}(T_{w}) = ∑_{k=1}^{k=χ(1)} ξ_{k}z_{χ_{v}}(π)^{1/d} .

En utilisant 4.1 ci-dessus, on voit aisément que par la spécialisation d_{V} : v_{s,j} ↦ e^{2iπj/|W |e_{s}} , z_{χ_{v}}(π)^{1/d} s’envoie sur e^{2iπN(χ)/dχ(1)}. Comme χ_{v}(T_{w}) s’envoie sur χ(w), on en déduit que ∑_{k=1}^{k=χ(1)} ξ_{k} = e^{−2iπN(χ)/dχ(1)}χ(w) , d’où le résultat. □

4.17. Corollaire. Pour tout χ ∈ Irr(W), on a χ_{v}(T_{π}) ∈ K(ζ, u). En d’autres termes, pour tout H ∈ A et tout entier j (0 ≤ j ≤ e_{H} − 1), χ(1) divise m_{H,j}ω_{H}e_{H}.

Démonstration. Rappelons que, d’après nos choix de v et de ζ, le corps K(ζ, v) est une extension galoisienne de ℚ(u). Puisque χ_{v}(T_{π}) est un monôme en v, on voit que pour tout σ ∈ Gal(K(ζ, v)/K(ζ, u)), on a ^{σ}(χ_{v})(T_{π}) = ζ_{σ}χ_{v}(T_{π}) où ζ_{σ} est une racine de l’unité. Mais par la spécialisation d_{V}, les deux termes de l’égalité précédente deviennent l’entier positif χ(1). On voit donc que ζ_{σ} = 1. □

Soit x une indéterminée. Considérons l’algèbre H_{x} sur ℤ[x, x^{−1}] définie à partir de H_{u} par la spécialisation

\{ \begin{matrix}u_{s,0} ↦ x \\ u_{s,j} ↦ e^{2iπj/e_{s}} pour 1 ≤ j ≤ e_{s} − 1 . \end{matrix}

Ainsi, H_{x} est engendrée par un système (T_{s})_{s∈S} satisfaisant aux relations de tresses et aux relations

(T_{s} − x)(1 + T_{s} + ⋯ + T_{s}^{e_{s}−1}) = 0 .

Grâce à l’identité suivante, où on pose U := xT^{−1} :

(T −x)(1+T +⋯+T^{e−1}) = −x^{−(e−1)}T^{e}(U −1)(x^{e−1}+x^{e−2}U +⋯+xU^{e−2}+U^{e−1}) ,

on voit que H_{x} est isomorphe à l’algèbre H_{(1,x)} (la notation sera justifiée plus loin) définie à partir de H_{u} par la spécialisation

\{ \begin{matrix}u_{s,0} ↦ 1 \\ u_{s,j} ↦ xe^{2iπj/e_{s}} pour 1 ≤ j ≤ e_{s} − 1 . \end{matrix}

On voit que H_{(1,x)} est engendrée par un système (U_{s})_{s∈S} satisfaisant aux relations de tresses et aux relations

(U_{s} − 1)(x^{e_{s}−1} + x^{e_{s}−2}U_{s} + ⋯ + xU_{s}^{e_{s}−2} + U_{s}^{e_{s}−1}) = 0 .

On choisit une indéterminée x^{1/|W |}, et on note χ ↦ χ_{x} et χ ↦ χ_{(1,x)} les bijections entre caractères absolument irréductibles de W et de H_{x} et H_{(1,x)} définies respectivement par les spécialisations

d_{x}: \{ \begin{matrix}v_{s,0} ↦ x^{1/|W |} \\ v_{s,j} ↦ e^{\frac{2iπj}{|W |es}} pour 1 ≤ j ≤ e_{s} − 1 , \end{matrix}

et

d_{(1,x)} : \{ \begin{matrix}v_{s,0} ↦ 1 \\ v_{s,j} ↦ x^{1/|W |}e\frac{2iπj}{|W |e_{s}} pour 1 ≤ j ≤ e_{s} − 1 . \end{matrix}

La proposition suivante est une conséquence facile de 4.2 ci-dessus.

4.18. Proposition. Si w est une racine d-ième de π, on a

χ_{x}(T_{w}) = χ(w)x^{(N+N^{∗}− \frac{N(χ)+N^{∗}(χ)}{χ(1)} )/d}
χ_{(1,x)}(U_{w}) = χ(w)x^{(N(χ)+N^{∗}(χ))/dχ(1)} .

En particulier, on a

χ_{x}(T_{π}) = χ(1)x^{N+N^{∗}− \frac{N(χ)+N^{∗}(χ)}{χ(1)}}
χ_{(1,x)}(U_{π}) = χ(1)x^{(N(χ)+N^{∗}(χ))/χ(1)} .

On sait déjà, comme conséquence de 4.17 ci-dessus, que

χ(1) divise N(χ) + N^{∗}(χ) .

On obtient en outre 4.19. Corollaire. Si χ_{x} est génériquement rationnel et si χ(w) ≠ 0, alors

dχ(1) divise N(χ) + N^{∗}(χ) .

Supposons que W est un groupe de Coxeter. L’algèbre H_{x} est alors l’algèbre de Hecke générique ordinaire de W (cf. §2, B). De plus, comme tous les caractères d’un groupe de Coxeter sont réels, on a N(χ) = N^{∗}(χ). On déduit alors de 4.18

4.20. Corollaire. Si W est un groupe de Coxeter, et si w est une racine d-ième de π, on a

χ_{x}(T_{w}) = χ(w)x^{\frac{2N−(2N(χ)/χ(1))}{d}} .

En particulier,

χ_{x}(T_{π}) = χ(1)x^{2N−(2N(χ)/χ(1))} .

Or Lusztig démontre (cf. [Lu3], 5.12.2) que χ_{x}(T_{π}) = χ(1)x^{2N−(a_{χ}+A_{χ})} . Comparant avec la formule ci-dessus, on voit que

4.21. a_{χ} + A_{χ} = 2N(χ)/χ(1) .

Remarque. Supposons que D n’a que des liens simples. Soit w un élément d-régulier, et soit χ ∈ Irr(W) génériquement rationnel et tel que χ(w) ≠ 0. Alors pour toute réflexion ρ de W on a

\frac{N}{d} (1 + \frac{χ(ρ)}{χ(1)}) ∈ ℤ .

En effet, puisque χ_{x}(T_{s}) = x \frac{χ(1) + χ(s)}{2} − \frac{χ(1) − χ(s)}{2} , on voit que N(χ) =

N \frac{χ(1) − χ(s)}{2} .

5. Variétés de Deligne–Lusztig associées aux racines de π

Nous revenons ici aux notations antérieures des §1 et 2 : en particulier W est un groupe de Weyl.

Nous conjecturons (cf. 5.7 ci-dessous) que les variétés de Deligne–Lusztig associées aux racines de π possèdent des propriétés remarquables, qui généralisent celles de X_{π}.

Ces conjectures sont motivées par des conjectures générales sur les représentations de groupes finis “abstraits” sur des anneaux ℓ-adiques (cf. [Br]). Elles précisent celles énoncées dans [Br] et [BrMa] (où peu de précision était donnée sur “le bon choix” de w). Elles doivent être vues comme des généralisations des résultats de Lusztig sur les variétés associées aux éléments de Coxeter (cf. [Lu2]), et de ses résultats partiels sur la variété X_{w_{0}} (cf. [Lu1], 3.10., (b)).

On notera que beaucoup des propriétés de la cohomologie des variétés associées aux racines de π se ramènent au cas des bonnes racines, grâce au théorème 3.17 ci-dessus, et au lemme suivant (cf. par exemple [DeLu], 1.6, case 1).

5.1. Lemme. Supposons que b et b′ sont deux éléments de B_{red}^{+} qui sont conjugués par permutations circulaires. Alors les groupes de cohomologie H^{n}(X_{b}, \overline{ℚ}_{ℓ}) et H^{n}(X_{b′}, \overline{ℚ}_{ℓ}) sont isomorphes comme \overline{ℚ}_{ℓ}G^{F} -modules.

A. Quelques propriétés.

Nous commençons par établir un certain nombre de propriétés de ces variétés.

5.2 Proposition. Supposons que w est une racine d-ième de π. Alors |X_{w}^{F^{m}}| = 0 pour 1 ≤ m < d.

Démonstration. D’après 3.17 et 5.1 ci-dessus, on peut supposer que w est une bonne racine d-ième. On note alors w son image dans W, et on a X_{w} = X_{w} (cf. §1.B ci-dessus).

Soit m un entier naturel, et soit (B, B.F) ∈ X_{w}^{F^{m}}. On a donc B.F^{m} = B. On veut démontrer qu’un tel élément ne peut pas exister si m < d.

Si m ≤ d/2, puisque w est bonne, on a (B, B.F^{m}) ∈ X_{w^{m}}^{(F^{m})}, ce qui est en contradiction avec l’hypothèse B.F^{m} = B.

Supposons d > m > d/2, et d pair. On a alors B →^{w_{0}} B.F^{d/2}. Mais on a

aussi B.F^{d/2} →^{w^{m−d/2}} B.F^{m}, ce qui est contradictoire avec l’hypothèse puisque w_{0} ≠ w^{m−d/2}.

Finalement, supposons d > m > d/2, et d impair. On pose d′ := (d − 1)/2. Comme dans la démonstration de 3.9, on définit t et u par la condition w_{0} = w^{d′}u = tw^{d′}, et on voit que ut = w. Soit alors B′ le sous-groupe de Borel défini par

la condition B.F^{d′} →^{u} B′ →^{t} B.F^{d′+1}. On a B →^{w_{0}} B′, et aussi B′ →^{tw^{m−d′−1}} B.F^{m},

d’où une contradiction puisque tw^{m−d′−1} ≠ w_{0}. □

La proposition suivante est immédiate à démontrer.

5.3. Proposition. Soit w une racine d-ième de π. La variété X_{w}^{(F)} s’identifie à une sous-variété de X_{π}^{(F^{d})} par le morphisme suivant (qui est invariant par l’action à gauche de G^{F}) :

à (B_{0}, B_{1}, …, B_{n}) ∈ X_{w}^{(F)}, on associe l’élément

(B_{0}, B_{1} …, B_{n}, B_{0}.F, B_{1}.F …, B_{n}.F, …, …, B_{0}.F^{d}, B_{1}.F^{d} …, B_{n}.F^{d}) ∈ X_{π}^{(F^{d})} .

On rappelle (cf. §2 ci-dessus) que le monoïde B^{+} opère sur X_{π}^{(F^{d})}. Pour x ∈ B^{+}, on désigne par D_{x}^{(F^{d})} (ou plus simplement par D_{x}) cette opération.

On désigne par B_{X_{w}}^{+} le sous-monoïde de B^{+} qui stabilise la sous-variété X_{w}^{(F)}, i.e.,

B_{X_{w}}^{+} := {x ∈ B^{+} | X_{w}^{(F)} · D_{x}^{(F^{d})} ⊆ X_{w}^{(F)}} .

Nous allons mettre en évidence des éléments remarquables du monoïde B_{X_{w}}^{+}.

5.4. Lemme. Soit x un diviseur (à gauche) de w (ainsi le conjugué w^{x} de w par x dans B est en fait un élément de B^{+} conjugué à w par permutations circulaires). Alors D_{x}^{(F^{d})} envoie X_{w}^{(F)} dans X_{w^{x}}^{(F)}.

Démonstration. C’est évident (voir aussi 2.1 ci-dessus). □

Il est clair que

5.5. la restriction de D_{w}^{(F^{d})} à X_{w}^{(F)} est égale à F.

On en déduit la construction suivante d’éléments de B_{X_{w}}^{+}.

5.6. Proposition.

(1) Soient (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) et (y_{1}, y_{2}, …, y_{n}) deux suites d’éléments de B^{+} telles que pour tout j (0 ≤ j ≤ n − 1), on a y_{j}x_{j} = x_{j+1}y_{j+1}, et y_{n}x_{n} = x_{1}y_{1} Posons x := x_{1}x_{2} ⋯ x_{n} et y := y_{1}y_{2} ⋯ y_{n}. Alors

(a) x et y centralisent w, i.e., wx = xw et wy = yw,

(b) xy = yx = w^{n},

(c) x et y appartiennent à B_{X_{w}}^{+}.

(2) On note B_{w}^{+} l’ensemble des éléments x comme ci-dessus. On note B_{w} le sous-groupe de B engendré par B_{w}^{+}. Alors

(a) B_{w}^{+} est un sous-monoïde de B_{X_{w}}^{+},

(b) B_{w} = {w^{−n}x | (n ∈ ℕ)(x ∈ B_{w}^{+})} .

Exemple (G. Lusztig). L’exemple ci-dessous a été fourni aux auteurs en 1993. Il est largement à l’origine de la proposition précédente.

Considérons le type D_{4} =^{◯^{s_{1}}} ⧹_{◯_{s_{2}}} ⧸◯_{s_{0}} ◯_{s_{3}}, et la bonne racine quatrième de π définie

par w := s_{1}s_{0}s_{2}s_{0}s_{3}s_{0} . (Remarquons que, pour mieux faire apparaître la trialité qui se reflète dans les décompositions des éléments que nous allons considérer, nous n’utilisons pas ici les mêmes notations que dans nos tables pour le diagramme de Coxeter de D_{4}).

Nous allons définir trois éléments s′, t′, u′ ∈ B_{w}^{+} par la méthode décrite dans 5.6 ci-dessus.

1. Définition de u′.

On pose

• x_{1} := s_{2}, y_{1} := s_{1}s_{0}s_{2}s_{3}s_{0}, d’où y_{1}x_{1} = s_{1}s_{0}s_{3}s_{0}s_{2}s_{0},

• x_{2} := s_{3}, y_{2} := s_{1}s_{0}s_{3}s_{2}s_{0}, d’où y_{2}x_{2} = w, et u′ := u := x_{1}x_{2} = s_{2}s_{3} .

2. Définition de t′.

On pose

• x_{1} := s_{1}s_{0}s_{2}s_{0}s_{3}, y_{1} := s_{0}, d’où y_{1}x_{1} = s_{0}s_{1}s_{0}s_{2}s_{0}s_{3},

• x_{2} := s_{1}, y_{2} := s_{0}s_{1}s_{2}s_{0}s_{3}, d’où y_{2}x_{2} = s_{0}s_{2}s_{0}s_{1}s_{0}s_{3},

• x_{3} := s_{2}, y_{3} := s_{0}s_{2}s_{1}s_{0}s_{3}, d’où y_{3}x_{3} = s_{0}s_{1}s_{0}s_{2}s_{0}s_{3},

• x_{4} := s_{0}, y_{4} := s_{1}s_{0}s_{2}s_{0}s_{3}, d’où t′ := x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} = s_{1}s_{0}s_{2}s_{0}s_{3}s_{1}s_{2}s_{0} = s_{0}^{−1}s_{1}s_{2}s_{0}w . On pose t := t′w^{−1} = s_{0}^{−1}s_{1}s_{2}s_{0} .

3. Définition de s′.

On pose

• x_{1} := s_{1}, y_{1} := s_{0}s_{2}s_{0}s_{3}s_{0}, d’où y_{1}x_{1} = s_{0}s_{2}s_{0}s_{3}s_{0}s_{1},

• x_{2} := s_{0}, y_{2} := s_{2}s_{0}s_{3}s_{0}s_{1}, d’où y_{2}x_{2} = s_{2}s_{0}s_{3}s_{0}s_{1}s_{0},

• x_{3} := s_{3}, y_{3} := s_{2}s_{0}s_{3}s_{1}s_{0}, d’où y_{3}x_{3} = s_{2}s_{0}s_{1}s_{0}s_{3}s_{0},

• x_{4} := s_{1}, y_{4} := s_{2}s_{0}s_{1}s_{3}s_{0}, d’où y_{4}x_{4} = s_{2}s_{0}s_{3}s_{0}s_{1}s_{0},

• x_{5} := s_{2}s_{0}s_{3}s_{0}s_{1}, y_{5} := s_{0}, d’où y_{5}x_{5} = s_{0}s_{2}s_{0}s_{3}s_{0}s_{1},

• x_{6} := s_{0}s_{2}s_{0}s_{3}s_{0}, y_{6} := s_{1}, d’où s′ := x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}x_{6} = s_{1}s_{0}s_{3}s_{1}s_{2}s_{0}s_{3}s_{0}s_{1}s_{0}s_{2}s_{0}s_{3}s_{0} = s_{1}s_{0}s_{3}s_{1}s_{0}^{−1}s_{1}^{−1}w^{2} . On pose s := s′w^{−2} = s_{1}s_{0}s_{3}s_{0}^{−1}s_{1}^{−1} .

On peut vérifier que s′t′u′ = w^{4} = π et donc que stu = w et le système

S(w) := {s, t, u} satisfait aux relations définies par le diagramme s◯ ^{◯ t}_{◯ u}

(cf. [BrMa] ou [BrMaRo] pour la définition de ce diagramme).

B. Conjectures.

Si w est une racine d-ième de π, on sait (cf. 3.14) que son image w dans W est un élément d-régulier. Nous utilisons les notations introduites dans le paragraphe 3 ci-dessus. En particulier, on note W (w) le centralisateur de w, groupe engendré par des pseudo-réflexions dans son action sur l’espace V (w).

Si D(w) est un diagramme “à la Coxeter” pour W (w) (on peut se reporter à l’annexe 2 pour une liste complète des diagrammes associés à tous les centralisateurs d’éléments réguliers des groupes de Weyl), on note S(w) l’ensemble des générateurs représentés par les sommets de D(w), on note S(w) l’ensemble de leurs antécédents dans le groupe des tresses généralisé B(w) (cf. §3), et on désigne par B(w)^{+} le monoïde engendré par S(w).

5.7. Conjectures. Soit w une racine d-ième de π. Soit

RΓ(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}) := ⨁_{n=0}^{n=2N/d} H^{n}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ})

le module gradué de la cohomologie ℓ-adique de X_{w}, vu comme \overline{ℚ}_{ℓ}G^{F} -module gradué.

(1) Les composants de RΓ(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}) sont disjoints comme G^{F} -modules :

Hom_{\overline{ℚ}_{ℓ}G^{F}} (RΓ(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}), RΓ(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ})[n]) = 0 si n ≠ 0 .

(2) On a B_{w} = B(w).

(3) Il existe une présentation de W (w) par un diagramme “à la Coxeter” tel que les opérations définies par les éléments du monoïde correspondant B(w)^{+} engendrent l’algèbre des \overline{ℚ}_{ℓ}G^{F} -endomorphismes RΓ(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}) comme décrit ci-dessous. Pour z ∈ B(w)^{+}, on note D_{z} l’opération de z sur RΓ(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}).

Il existe une spécialisation de u de la forme

{u_{s,j} ↦ e^{2iπj/e_{s}}(e^{−2iπ/d}x)^{n_{s,j}}}_{(s∈S^{ab})(0≤j≤e_{s}−1)} ,

(symbolisée par u ↦ (d, x)) où • x est une indéterminée,

• n_{s,j} est un nombre rationnel positif, qui ne dépend que de W et w, telle que

(a) l’application T_{z} ↦ D_{z} (z ∈ B(w)^{+}) définit un isomorphisme entre l’algèbre de Hecke spécialisée via la spécialisation définie ci-dessus, notée \overline{ℚ}_{ℓ}H_{(d,q)}(W (w)), et l’algèbre commutante End_{\overline{ℚ}_{ℓ}G^{F}} (RΓ(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ})) ;

(b) pour tout h ∈ \overline{ℚ}_{ℓ}H_{(d,q)}(W (w)), on a

tr(h | ∑_{n}(−1)^{n}H^{n}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ})) = Deg_{R_{w}}(q)t_{(d,q)}(h) ,

où t_{(d,q)} est la spécialisation correspondante de la forme t_{u} (définie en 4.15).

(4) Pour tout entier n tel que 0 ≤ n ≤ 2N/d, le (\overline{ℚ}_{ℓ}G^{F} , \overline{ℚ}_{ℓ}H_{(d,q)}(W (w)))- bimodule H^{n}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}) se décompose en la somme suivante de caractères irréductibles distincts :

H^{n}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}) = ⨁_{φ∈Irr(W (w))(n)} γ_{φ} ⊗ φ_{(d,q)}^{∗} ,

où {Irr(W (w))(n)}_{0≤n≤2N/d} est une partition de l’ensemble Irr(W (w)) des caractères irréductibles de W (w) qui ne dépend que de W et de w (et pas de q).

Remarques.

(1) Il résulte des travaux de Lusztig (cf. [Lu3]) que les caractères unipotents de G^{F} sont “génériques”, i.e., sont paramétrés par un ensemble Uch(𝔾) qui ne dépend que du type de (G, F) (le “groupe générique” 𝔾, selon la terminologie de [BrMaMi]). Il est naturel de conjecturer que, en ce sens, l’application

\{ \begin{matrix}Irr(W (w)) & → Uch(𝔾) , \\ φ & ↦ γ_{φ} , \end{matrix}

est générique, i.e., ne dépend pas de q. La conjecture (5) ci-dessus fournit alors une version générique ℍ^{n}(w) des groupes de cohomologie étale de la variété X_{w} (à défaut d’une version générique de cette variété elle-même ...), par une formule indépendante de q (et, bien entendu, de ℓ) :

ℍ^{n}(w) := ∑_{φ∈Irr(W (w))(n)} γ_{φ} ⊗ φ_{(d,x)}^{∗} .

(2) Il résulte des conjectures (1) et (3) ci-dessus que le caractère de

∑_{n}(−1)^{n}H^{n}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ})

(vu comme (\overline{ℚ}_{ℓ}G^{F} , \overline{ℚ}_{ℓ}H_{(d,q)}(W (w)))-bimodule virtuel) se décompose comme suit en une somme directe de caractères irréductibles de multiplicité 1 :

tr(· | ∑_{n}(−1)^{n}H^{n}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ})) = ⨁_{φ∈Irr(W (w))} ε_{φ}γ_{φ} ⊗ φ_{(d,q)}^{∗} ,

où ε_{φ} = (−1)^{n} si γ_{φ} ⊗ φ_{(d,q)}^{∗} est un constituant de H^{n}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}).

La version générique de la formule précédente, et la conjecture (4)(b) ci-dessus, fournissent la formule suivante entre fonctions centrales sur l’algèbre H_{(d,x)}(W (w)) :

Deg_{R_{w}}(x)t_{(d,x)} = ∑_{φ∈Irr(W (w))} ε_{φ}Deg_{γ_{φ}}(x)φ_{(d,x)} ,

où Deg_{γ_{φ}}(x) désigne le degré générique associé au caractère unipotent γ_{φ}. Cette formule a maintenant été vérifiée par G. Malle dans tous les cas (cf. [BrMa], [Ma1], [Ma2]).

C. Valeurs de caractères et applications.

Nous reprenons les notations (et une partie des raisonnements) du §2.B ci-dessus, auquel nous renvoyons le lecteur.

La formule suivante (cf. [DiMi2], Prop.1.2, et aussi [Lu], 2.10, ou [DiMi1], III), généralise 2.4.

Pour tout entier positif m et tout g ∈ G^{F}, on a

(5.8)  |X_{w}^{gF^{m}}| = ∑_{γ∈Uch(G^{F})} ( ∑_{χ∈Irr(W)} <γ, R_{χ}>_{G^{F}} ζ_{γ}^{m}χ_{q^{m}}(T_{w})) γ(g) .

Il résulte de 4.20 ci-dessus (et de [Lu3], 5.12.1) que

χ_{q^{m}}(T_{w}) = χ(w)q^{m(2N−(a_{χ}+A_{χ}))/d} .

Le même raisonnement qu’au §2, B montre alors que, comme

∑_{χ∈Irr(W)} χ(w)R_{χ} = R_{w} ,

la formule 5.8 s’écrit

|X_{w}^{gF^{m}}| = ∑_{γ∈Uch(G^{F})} <γ, R_{w}>_{G^{F}} ζ_{γ}^{m}q^{m(2N−(a_{γ}+A_{γ}))/d}γ(g) .

On voit que n’interviennent dans cette formule que les caractères unipotents tels que <γ, R_{w}>_{G^{F}} ≠ 0. On sait (cf. [BrMaMi], theorem 3.2) qu’il existe au moins une bijection φ ↦ γ_{φ} de Irr(W (w)) sur l’ensemble de ces caractères, à laquelle est associée une famille de signes (ε_{φ})_{φ∈Irr(W (w))}, telles que <γ_{φ}, R_{w}>_{G^{F}} = ε_{φ}φ(1). D’où

5.9. Pour toute bijection φ ↦ γ_{φ} et toute famille de signes (ε_{φ})_{φ∈Irr(W (w))} comme ci-dessus, pour tout entier m et tout g ∈ G^{F}, on a

|X_{w}^{gF^{m}}| = ∑_{φ∈Irr(W (w))} ε_{φ}φ(1)ζ_{γ_{φ}}^{m}q^{m(2N−(a_{γφ} +A_{γφ}))/d}γ_{φ}(g) .

Nous allons voir que la formule 5.9 ci-dessus permet d’établir un certain nombre de conséquences utiles d’une forme affaiblie des conjectures 5.7.

Nous ferons référence aux hypothèses suivantes (qui sont toutes impliquées par les conjectures 5.7).

5.10. Hypothèses. (H.1) La cohomologie paire H^{p}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}) := ⨁_{n} H^{2n}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}) et la cohomologie

impaire H^{i}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}) := ⨁_{n} H^{2n−1}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}) sont disjointes comme \overline{ℚ}_{ℓ}G^{F} - modules.

(H.2) Il existe une bijection φ ↦ γ_{φ} de Irr(W (w)) sur l’ensemble Uch(G^{F} , w) des caractères unipotents γ de G^{F} tels que <γ, R_{w}>_{G^{F}} ≠ 0, et une famille de signes (ε_{φ})_{φ∈Irr(W (w))}, tels que

H^{p}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}) = ∑_{\{φ | ε_{φ}=1\}} φ(1)γ_{φ}

H^{i}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}) = ∑_{\{φ | ε_{φ}=−1\}} φ(1)γ_{φ} .

La bijection précédente et la famille de signes correspondantes sont supposées indépendantes de q (suivant les notations de [BrMaMi], la bijection provient d’une bijection de Irr(W (w)) sur l’ensemble Uch(𝔾, (𝕋_{w}, 1))).

(H.3) Il existe une spécialisation de u de la forme

(d, x) := {u_{s,j} ↦ e^{2iπj/e_{s}}(e^{−2iπ/d}x)^{n_{s,j}}}_{(s∈S^{ab})(0≤j≤e_{s}−1)} ,

où • x est une indéterminée,

• n_{s,j} est un nombre rationnel positif, qui ne dépend que de W et w, telle que l’application T_{x} ↦ D_{x} (x ∈ B(w)^{+}) définit un isomorphisme entre l’algèbre de Hecke spécialisée \overline{ℚ}_{ℓ}H_{(d,q)}(W (w)) et l’algèbre commutante End_{\overline{ℚ}_{ℓ}G^{F}} (RΓ(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ})).

Grâce à la dualité de Poincaré entre RΓ_{c}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}) et RΓ(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}), les hypothèses (H.1) et (H.2) ci-dessus impliquent l’existence d’une bijection φ ↦ θ_{φ} de Irr(W (w)) sur l’ensemble des caractères irréductibles de End_{\overline{ℚ}_{ℓ}G^{F}} (RΓ_{c}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ})), telle que

|X_{w}^{gF^{m}}| = ∑_{φ∈Irr(W (w))} ε_{φ}γ_{φ}(g)θ_{φ}^{∗}(F^{m}) .

En comparant avec la formule donnée dans 5.9 ci-dessus, on voit donc que, pour tout entier m ≥ 0,

θ_{φ}(F^{m}) = φ(1)ζ_{γ_{φ}}^{−m}q^{m(2N−(a_{γφ} +A_{γφ}))/d} .

On en déduit (utilisant encore une fois la dualité de Poincaré) le lemme suivant.

5.11. Lemme. Supposons (H.1) et (H.2) ci-dessus.

(1) F est central dans l’algèbre commutante End_{\overline{ℚ}_{ℓ}G^{F}} (RΓ(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ})) .

(2) Notons a_{φ} := a_{γ_{φ}} et A_{φ} := A_{γ_{φ}} et désignons par λ_{φ} la valeur propre de F sur une représentation de caractère γ_{φ} intervenant dans un des groupes de cohomologie H^{n}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ}) (0 ≤ n ≤ 2N/d) . On a

λ_{γ_{φ}} = ζ_{γ_{φ}}q^{(a_{φ}+A_{φ})/d} .

Remarque. Le lemme précédent, joint à la proposition 5.2 ci-dessus, permet de déterminer la structure de l’algèbre commutante End_{\overline{ℚ}_{ℓ}G^{F}} (RΓ(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ})) , dans le cas ou le groupe W (w) est cyclique – toujours en supposant la disjonction des cohomologies paires et impaires de X_{w}.

• On vérifie d’abord que les nombres λ_{φ} := ζ_{γ_{φ}}q^{(a_{γφ} +A_{γφ})/d} sont tous distincts.

• On en déduit que l’algèbre commutante End_{\overline{ℚ}_{ℓ}G^{F}} (⨁_{n} H^{n}(X_{w}, \overline{ℚ}_{ℓ})) est engendrée par F.

Le théorème suivant permet (dans notre cadre conjectural) de calculer explicitement les valeurs propres de F, ainsi que les paramètres (x^{n_{s,j}}) de l’algèbre cyclotomique H_{(d,x)}.

5.12. Théorème. On suppose les hypothèses 5.10 satisfaites.

(1) On a la valeur suivante des racines de l’unité associées aux valeurs propres

de F :

ζ_{φ} = e^{2iπ(a_{φ}+A_{φ})/d^{2}}ω_{φ}(w) .

(2) On a

φ_{(d,x)}(D_{w}) = φ(w) (e^{−2iπ/d^{2}}x^{1/d})^{(a_{φ}+A_{φ})}
φ_{(d,x)}(D_{π}) = φ(1) (e^{−2iπ/d}x)^{(a_{φ}+A_{φ})}

(3) Pour tout H ∈ A et 0 ≤ j ≤ e_{H} − 1, on pose

a_{H,j} := a_{det_{H,j}} (= a_{γ_{det_{H,j}}}) et A_{H,j} := A_{det_{H,j}} (= A_{γ_{det_{H,j}}}) .

On a

n_{H,j} = \frac{(a_{H,j} + A_{H,j})}{ω_{H}e_{H}} .

Démonstration. On note φ ↦ φ_{(d,x)} ↦ φ_{u} la bijection Irr(W (w)) ≃ Irr(H_{(d,x)}) ≃ Irr(H_{u}) où le premier isomorphisme est défini par la spécialisation x ↦ e^{2iπ/d} (le composé des deux isomorphismes correspond donc à la spécialisation d_{V} – cf. §4 ci-dessus).

D’après le lemme 5.11, on a

φ_{(d,x)}(D_{w}) = φ(1)ζ_{φ}x^{(a_{φ}+A_{φ})/d} .

Par la spécialisation x ↦ e^{2iπ/d}, on voit que

ζ_{φ} = e^{−2iπ(a_{φ}+A_{φ})/d^{2}} ,

d’où les deux premières assertions de 5.12.

Comme (cf. 4.9 ci-dessus) on a aussi

φ_{(d,x)}(D_{π}) = φ(1) ∏_{H∈A(w)/W (w)} ∏_{j=0}^{j=e_{H}−1} (e^{−2iπ(a_{φ}+A_{φ})/d}x)^{ω_{H}e_{H}n_{H,j}} ,

on voit en particulier que

(det_{H,j})_{(d,x)}(D_{π}) = (e^{−2iπ(a_{φ}+A_{φ})/d}x)^{ω_{H}e_{H}n_{H,j}} ,

d’où on déduit bien la troisième assertion de 5.12. □

La formule explicite suivante pour les valeurs propres de F résulte immédiatement du théorème 5.12 et du lemme 5.11 ci-dessus.

5.13. Corollaire. On suppose les hypothèses 5.10 satisfaites. Soit φ ∈ Irr(W (w)). La valeur propre de F sur la représentation de caractère γ_{φ} intervenant dans R_{w} est

e^{2iπ(a_{φ}+A_{φ})/d^{2}}ω_{φ}(w)q^{(a_{φ}+A_{φ})/d} .

6. Le cas non déployé

A. Généralités.

On utilise les notations introduites dans ce qui précède : Soit G un groupe algébrique réductif connexe défini sur une clôture algébrique \overline{𝔽}_{p} du corps à p éléments, et soit F: G → G un endomorphisme de Frobenius, définissant sur G une structure rationnelle sur le sous-corps 𝔽_{q} à q éléments de \overline{𝔽}_{p}. On fait opérer F à droite sur G.

On désigne par T le tore maximal de G, et par Y le ℤ–module des co-caractères de T. On note W le groupe de Weyl de G, vu comme groupe engendré par des réflexions dans son action sur l’espace vectoriel complexe V := ℂ ⊗ Y . On pose V_{ℝ} := ℝ ⊗ Y.

On désigne par qϕ l’endomorphisme de V défini par F, où q est une puissance de p, et où ϕ est un automorphisme (d’ordre fini) de V induit par F dont on désigne l’ordre par δ (notons que ϕ est l’identité dans le cas déployé). L’automorphisme stabilise la chambre fondamentale C, donc opère sur l’ensemble de ses murs – en d’autres termes, ϕ normalise l’ensemble S des réflexions fondamentales de W. Ainsi, ϕ opère sur le monoïde B^{+} et sur la suite exacte

{1} → P → B → W → {1} .

Pour w ∈ W, on pose ^{ϕ}w := ϕwϕ^{−1} . Le groupe W (ϕ) := {w ∈ W | ^{ϕ}w = w} , vu comme opérant sur l’espace V (ϕ) := ker(ϕ − 1) des points fixes de ϕ dans V, est un groupe de Coxeter dans sa représentation naturelle. Ses hyperplans de réflexion sont les intersections avec V (ϕ) des hyperplans de réflexion de W, et l’intersection avec V (ϕ) de la chambre fondamentale de W est une chambre de W (ϕ), appelée sa chambre fondamentale. Les murs de la chambre fondamentale de W (ϕ) sont en bijection naturelle avec les orbites de ϕ sur l’ensemble des murs de la chambre fondamentale de W – en d’autres termes, l’ensemble S(ϕ) des réflexions fondamentales de W (ϕ) est en bijection naturelle avec l’ensemble des classes de conjugaison de ϕ dans l’ensemble S des réflexions fondamentales de W.

On note B(ϕ), P(ϕ), B^{+}(ϕ) respectivement le groupe des tresses, le groupe des tresses pures et le monoïde des tresses associés à la paire (V (ϕ), W (ϕ), S(ϕ)) (cf. par exemple §4 ci-dessus).

L’existence de la “forme normale” pour les éléments de B^{+} (cf. [De1], 1.19, et 3.18 ci-dessus), et le fait que ϕ stabilise l’ensemble des formes normales, montrent que

6.1. le monoïde et le groupe des tresses associés à W (ϕ) coïncident avec les ensembles des points fixes de ϕ respectivement dans le monoïde et le groupe des tresses de W :

B(ϕ)^{+} = C_{B^{+}}(ϕ) et B(ϕ) = C_{B}(ϕ) .

L’automorphisme ϕ opère sur l’abélianisé B^{ab} de B, et on voit (grâce à 4.7 cidessus) que l’abélianisé de B(ϕ) coïncide avec le groupe des points fixes de ϕ sur B^{ab} :

B(ϕ)^{ab} = C_{B^{ab}}(ϕ) .

On considèrera, comme dans [BrMaMi], la classe W ϕ de ϕ modulo W dans le produit semi-direct W ⋊ ⟨ϕ⟩. De même, on considérera les classes B^{+}ϕ et Bϕ dans le produit semi-direct B ⋊ ⟨ϕ⟩.

Le fait que ϕ n’est pas nécessairement trivial est reflété dans la notation utilisée pour les variétés de Deligne–Lusztig : pour b ∈ B^{+}, on note X_{bϕ}^{(F)} (ou plus simplement X_{bϕ}) la “variété de Deligne–Lusztig associée à b”, définie comme au §1 (cf. 1.6) grâce au théorème 1.5.

Si b := w_{1}w_{2} ⋯ w_{n} est un élément de B^{+}, décomposé sous forme de produit d’éléments de B_{red}^{+}, X_{bϕ}^{(F)} est isomorphe (par un unique isomorphisme) à la variété des (n + 1)-uplets de sous-groupes de Borel (B_{0}, B_{1}, …, B_{n}) de G tels que

B_{n} = B_{0}.F et B_{0} →^{w_{1}} B_{1} →^{w_{2}} B_{2} → ⋯ →^{w_{n}} B_{n} .

On pose ^{ϕ}(w_{1}, w_{2}, …, w_{n}) := (^{ϕ}w_{1},^{ϕ}w_{2}, …,^{ϕ}w_{n}) , et on remarque que l’endomorphisme de Frobenius définit un morphisme

F: X_{bϕ} → X_{^{ϕ}bϕ} .

Ainsi, F^{δ} définit un endomorphisme de X_{bϕ}.

En particulier, on en déduit une définition de la variété X_{πϕ} qui généralise celle de la variété X_{π} donnée au §2 ci-dessus. Puisque π est fixe par la conjugaison par ϕ, on voit que F stabilise X_{πϕ}.

L’opération D_{w} définie au §2, B, préserve X_{πϕ} si w ∈ C_{B^{+}}(ϕ). On en déduit une opération à droite, notée D, de C_{B^{+}}(ϕ) sur X_{πϕ}, telle que D_{π} = F.

B. Éléments réguliers et ϕ-racines de π.

On s’intéresse aux éléments de W ϕ qui possèdent un vecteur propre régulier (cf. [Sp], §6).

On appelle ϕ-élément d-régulier tout élément wϕ ∈ W ϕ qui admet un vecteur propre pour la valeur propre e^{2iπ/d} qui n’appartient à aucun des hyperplans de réflexion de W. On dit que d est un nombre ϕ-régulier pour W s’il existe un ϕ-élément d-régulier.

L’ensemble des résultats du §3 ci-dessus peut être étendu au cas ϕ ≠ 1, en généralisant convenablement la notion de racine de π.

6.2. Définition. Pour tout entier d, on appelle ϕ-racine d-ième de π tout élément wϕ ∈ B^{+}ϕ tel que (wϕ)^{d} = πϕ^{d}.

Les résultats du §3 ci-dessus s’étendent à cette situation plus générale. En particulier

6.3. il existe une ϕ-racine d-ième de π si et seulement si d est un nombre ϕ-régulier pour W.

Remarque. La question de savoir si 6.3 s’étend au cas des groupes de réflexions complexes est ouverte.

On définit la longueur d’un élément wϕ ∈ W ϕ comme la longueur de w :

ℓ(wϕ) := ℓ(w) .

Ainsi, la longueur de wϕ est égale au nombre de racines positives de W transformées en une racine négative par wϕ. On a alors la généralisation suivante de 3.9.

6.4. Proposition-Définition. Soit wϕ ∈ W ϕ. Soit w la pré-image de w dans B_{red}^{+}. Soit d ∈ ℕ. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) On a (wϕ)^{d} = ϕ^{d}, et pour tout entier m tel que m ≤ d/2, on a ℓ((wϕ)^{m}) = 2Nm/d.

(ii) On a (wϕ)^{d} = πϕ^{d}, et pour tout entier m tel que m ≤ d/2, on a (wϕ)^{m} ∈

B_{red}^{+}ϕ^{m}. Dans ce cas, on dit que wϕ est une bonne ϕ-racine d-ième de π.

Démonstration. Il suffit de remplacer w^{m} par (wϕ)^{m} dans la démonstration de 3.9. □

L’exemple des éléments dont Springer montre l’existence dans [Sp], 6.8, prouve que pour tout nombre ϕ-régulier d, il existe une bonne ϕ-racine d-ième de π.

6.5. Proposition. Soit wϕ ∈ W ϕ admettant un vecteur propre régulier v pour la valeur propre e^{2iπ/d} tel que Φ^{+} est l’ensemble de racines α telles que ℜ(<v, α>) > 0. Alors wϕ est une bonne ϕ-racine d-ième de π.

Démonstration. La démonstration suit les lignes de celle de 3.11. Cependant, wϕ n’étant pas nécessairement d’ordre d, ses orbites sur Φ ne sont pas nécessairement toutes d’ordre d (considérer par exemple le cas du type ^{2}A_{5}, où l’élément 3-régulier wϕ est d’ordre 6, et a des orbites d’ordre 6). Néanmoins, la démonstration de 3.11 montre que dans une orbite O, il y a exactement m|O|/d racines positives qui sont envoyées sur une racine négative par (wϕ)^{m}, et par conséquent on a bien ℓ((wϕ)^{m}) = 2Nm/d. □

On généralise la proposition 3.14 comme suit.

6.6. Proposition. Soit wϕ une bonne ϕ-racine d-ième de π. Alors wϕ est un ϕ-élément d-régulier de W.

Démonstration. La démonstration suit celle de 3.14, en y remplaçant w par wϕ.

Pour toute orbite O de wϕ sur Φ, on définit les entiers k(O) et n_{1}, …, n_{2k(O)} comme dans la première partie de la démonstration de 3.14, et on démontre de manière analogue l’assertion 3.15 (on utilise ici le fait que β := (wϕ)^{n_{1}+...+n_{i−1}−1}α est de même signe que (wϕ)^{d}β, puisque (wϕ)^{d} = ϕ^{d} et que ϕ normalise l’ensemble des racines simples).

La deuxième partie se fait de manière identique. □

La “conjugaison par permutation circulaires” (cf. 3.16) se généralise comme suit.

6.7. Définition. On dit que deux éléments de B_{red}^{+}ϕ sont “conjugués par permutations circulaires” s’ils sont équivalents par la clôture transitive de la relation Z définie sur B_{red}^{+} par

(wϕ)Z(w′ϕ) si et seulement si il existe x, y ∈ B_{red}^{+} tels que \{ \begin{matrix}wϕ = xyϕ et \\ w′ϕ = y(^{ϕ}x)ϕ . \end{matrix}

Remarquons que les égalités précédentes peuvent s’écrire

wϕ = x(yϕ) et w′ϕ = (yϕ)x .

De même que dans le §3, on démontre alors le théorème suivant.

6.8. Théorème. Toute ϕ-racine d-ième de π est conjuguée par permutations circulaires d’une bonne ϕ-racine d-ième de π.

Indications sur la démonstration. La démonstration est quasi-identique à celle du cas particulier 3.17. On utilise les résultats de [De1] et de [Cha] rappelés en 3.18 et 3.19. L’étape cruciale est le lemme suivant.

6.9. Lemme. Si (wϕ)^{n}ϕ^{−n} divise π, alors wϕ est conjugué par permutations circulaires d’un élément w′ϕ tel que (w′ϕ)^{⌊n/2⌋} ∈ B_{red}^{+}ϕ^{⌊n/2⌋}.

Démonstration de 6.9.

On remarque que pour tout entier j ≤ 1 on a w^{ϕ}w ⋯^{ϕ^{j−1}}w = (wϕ)^{j}ϕ^{−j} .

La démonstration se fait par récurrence sur n.

Pour n = 0 il n’y a rien à démontrer. On remarque aussi que si n est impair, la conclusion cherchée est identique à la conclusion cherchée pour (n − 1), donc résulte de l’hypothèse de récurrence. On peut donc supposer que n est pair et on pose n = 2j.

Par l’hypothèse de récurrence, w est conjugué par permutations circulaires à un élément w′ tel que w′ϕ^{j−1} ∈ B_{red}^{+}ϕ^{j−1}. Donc, quitte à remplacer w par w′ on peut supposer que (wϕ)^{j−1}ϕ^{−(j−1)} ∈ B_{red}^{+} .

Posons v := (wϕ)^{j−1}ϕ^{−(j−1)}. On peut supposer que ν(v.^{ϕ^{j−1}}w) > 1 (sinon (v.^{ϕ^{j−1}}w)ϕ^{j} = (wϕ)^{j} ∈ B_{red}^{+}ϕ^{j}, et la démonstration est terminée). D’après 3.20 cidessus, on voit qu’alors ν(v.^{ϕ^{j−1}}w) = 2. Soit (vx).y la forme normale de (v.^{ϕ^{j−1}}w).

Notre hypothèse s’écrit

vxy.^{ϕ^{j}}(vxy) | π ,

donc en particulier on a

2 = ν(vxy) ≤ ν(vxy.^{ϕ^{j}}(vx)) ≤ ν(vxy.^{ϕ^{j}}(vxy)) ≤ 2 .

Il résulte donc de 3.19, (1) que

ν((vx).y) = ν((vx).y.^{ϕ^{j}}(vx)) ,

d’où y.^{ϕ^{j}}(vx) ∈ B_{red}^{+} . On applique ϕ^{1−j} à la dernière relation, et on pose x′ = ϕ^{j−1}x, y′ = ^{ϕ^{j−1}}y. On obtient ainsi x′y′ = w et

y′.^{ϕ}v^{ϕ^{j}}x′ = (y′ϕx′)^{j}ϕ^{−j} ∈ B_{red}^{+} .

On voit donc que l’élément w′ϕ := y′ϕx′ est conjugué de wϕ par permutations circulaires et vérifie bien la conclusion du lemme 6.9. □

□

C. Algèbres de Hecke “avec automorphisme”.

Les résultats du §4, E se généralisent en remplaçant les racines de π par les ϕ-racines, comme nous allons l’indiquer.

Le contexte ici est celui du §4, plus la donnée d’un automorphisme ϕ de V, d’ordre fini δ, qui stabilise (dans son opération par conjugaison) l’ensemble des générateurs de W correspondant à l’ensemble N (D) des sommets du diagramme D.

L’automorphisme ϕ opère donc sur B^{+}, B et sur l’algèbre de Hecke générique H_{u}. Il n’est pas difficile de généraliser 4.14 comme suit.

On note Irr(W ϕ) l’ensemble des caractères absolument irréductibles de W ⋊ ⟨ϕ⟩ qui se restreignent à W en un caractère irréductible (donc ϕ-stable).

De même, on note Irr(H_{u}ϕ) l’ensemble des caractères absolument irréductibles de K(v)(H_{u} ⋊⟨ϕ⟩) qui se restreignent à K(v)H_{u} en un caractère irréductible (donc ϕ-stable).

6.10. Proposition. La spécialisation

d_{V} : v_{s,j} ↦ e^{\frac{2iπj}{|W |es}}

définit une bijection χ ↦ χ_{v} entre l’ensemble Irr(W ϕ) et l’ensemble Irr(H_{u}ϕ), telle que le diagramme suivant soit commutatif (où ζ désigne une racine de l’unité d’ordre convenable).

K(v)H_{u}ϕ ⟶^{χ_{v}} K(v)
d_{V} ↓  ^{d_{V}} ↓
K(ζ)W ϕ ⟶^{χ} K(ζ)

On peut alors calculer la valeur des éléments de Irr(H_{u}ϕ) sur les ϕ-racines dièmes de π, généralisant ainsi la proposition 4.16 et ses corollaires.

Les notations utilisées sont celles de §4.

De plus, et par abus de notation, pour χ ∈ Irr(W ϕ), on note encore χ sa restriction à W. L’éléments) z_{χ_{v}}(π) et les entiers N(χ), a_{χ} et A_{χ} sont alors bien définis (exactement comme au §4, où ils sont définis pour tous les éléments de Irr(W).

6.11. Proposition. Si wϕ est une ϕ-racine d-ième de π, d’image wϕ dans W ϕ, on a

χ_{v}(T_{w}ϕ) = χ(wϕ)e^{\frac{−2iπN(χ)}{dχ(1)}} z_{χ_{v}}(π)^{1/d} .

En particulier, dans le cas où W est un groupe de Coxeter, et où on spécialise l’algèbre générique en l’algèbre de Hecke “ordinaire” H_{x}, on obtient comme dans le §4 (en utilisant aussi 4.21)

6.12. Si wϕ est une ϕ-racine d-ième de π, on a

χ_{x}(T_{w}ϕ) = χ(wϕ)x^{(2N−(2N(χ))/χ(1))/d} = χ(wϕ)x^{(2N−(a_{χ}+A_{χ}))/d} .

D. Variétés associées aux ϕ-racines de π.

Les propriétés et conjectures énoncées dans le §5 se généralisent aux variétés de Deligne–Lusztig X_{wϕ} associées aux ϕ-racines wϕ de π.

La proposition suivante généralise la proposition 5.2. Sa démonstration est analogue, et laissée au lecteur. Elle utilise 6.8, et une généralisation de 5.1.

6.13. Proposition. Supposons que wϕ est une ϕ-racine d-ième de π. Alors

|X_{wϕ}^{F^{m}}| = 0 pour 1 ≤ m < d .

On définit de même un plongement

X_{wϕ}^{(F)} → X_{πϕ^{d}}^{(F^{d})}

invariant par l’action (à gauche) de G^{F}, et permet de définir le sous-monoïde suivant de C_{B^{+}}(ϕ) :

B_{X_{wϕ}}^{+} := {x ∈ C_{B^{+}}(ϕ) | X_{wϕ}^{(F)} · D_{x}^{(F^{d})} ⊆ X_{wϕ}^{(F)}} .

Si wϕ = xyϕ et si (wϕ)^{x} = y^{ϕ}xϕ est aussi une ϕ-racine d-ième de ϕ, alors (cf. 5.4)

D_{x}^{(F^{d})} : X_{wϕ}^{(F)} → X_{(wϕ)^{x}}^{(F)} .

On laisse au lecteur le soin de formuler la généralisation de la proposition 5.6, et de définir le sous-monoïde B_{wϕ}^{+} de B_{X_{wϕ}}^{+}. La formule D_{w} = F (cf. 5.5) est ici remplacée par

6.14. D_{(wϕ)^{δ}} = F^{δ} .

Les calculs de caractères des algèbres de Hecke faits au §C ci-dessus permettent de généraliser les résultats de §5, C.

Pour tout élément wϕ ∈ W ϕ, on note R_{wϕ} le caractère du ℚ_{ℓ}G^{F} -module virtuel ∑_{n}(−1)^{n}H^{n}(X_{wϕ}, \overline{ℚ}_{ℓ}) .

Soit χ ∈ Irr(W ϕ). On note

R_{χ} := \frac{1}{|W |} ∑_{w∈W} χ(wϕ)R_{wϕ}

le “caractère-fantôme” associé.

On utilise la forme générale de la formule 2.4 : pour tout entier positif m multiple de δ et tout g ∈ G^{F},

|X_{wϕ}^{gF^{m}}| = ∑_{γ∈Uch(G^{F})} ( ∑_{χ∈Irr(W ϕ)} <γ, R_{χ}>_{G^{F}} ζ_{γ}^{m/δ}χ_{q^{m}}(T_{w}ϕ)) γ(g) .

Comme en §5, C, et puisque ∑_{χ∈Irr(W ϕ)} χ(wϕ)R_{χ} = R_{wϕ} , on déduit alors de 6.12 que

|X_{wϕ}^{gF^{m}}| = ∑_{γ∈Uch(G^{F})} <γ, R_{wϕ}>_{G^{F}} ζ_{γ}^{m/δ}q^{m(2N−(a_{γ}+A_{γ}))/d}γ(g) .

Généralisant les notations introduites au §3, on note W (ϕ) le centralisateur de wϕ dans W, i.e.,

W (wϕ) := {x ∈ W | (w(^{ϕ}x)w^{−1} = x)} .

Soit (cf. [BrMaMi], theorem 3.2) φ ↦ γ_{φ} une bijection de Irr(W (wϕ)) sur l’ensemble des caractères unipotents tels que <γ, R_{wϕ}>_{G^{F}} ≠ 0, à laquelle est associée une famille de signes (ε_{φ})_{φ∈Irr(W (wϕ))}, telles que <γ_{φ}, R_{wϕ}>_{G^{F}} = ε_{φ}φ(1). On a la généralisation suivante de 5.9.

6.15. Pour toute bijection φ ↦ γ_{φ} et toute famille de signes (ε_{φ})_{φ∈Irr(W (wϕ))} comme ci-dessus, pour tout entier m multiple de δ et tout g ∈ G^{F}, on a

|X_{wϕ}^{gF^{m}}| = ∑_{φ∈Irr(W (wϕ))} ε_{φ}φ(1)ζ_{γ_{φ}}^{m/δ}q^{m(2N−(a_{γφ} +A_{γφ}))/d}γ_{φ}(g) .

Sous des hypothèses analogues à 5.10, on calcule les paramètres des algèbres cyclotomiques associées comme en 5.12, et on démontre (cf. 5.13) que

6.16. pour φ ∈ Irr(W (wϕ)), la valeur propre de F^{δ} sur la représentation de caractère γ_{φ} intervenant dans R_{wϕ} est

e^{2iπ(a_{φ}+A_{φ})/d^{2}}ω_{φ}(w)q^{(a_{φ}+A_{φ})/d} .

Annexe 1 : Les bonnes racines de π

Nous remercions François Digne et Gunter Malle pour leurs contributions à l’établissement de cette liste.

Pour chaque nombre régulier, nous donnons une bonne ϕ-racine d-ième de π.

A1.1. A_{r} et ^{2}A_{r}: ◯_{s_{1}} ◯_{s_{2}}⋯◯_{s_{r}}.

Ici ^{2}A_{r} est défini par l’automorphisme ϕ : s_{i} ↦ s_{r+1−i}.

Nous commençons par :

• c = s_{1}s_{2} ⋯ s_{⌊r/2⌋}s_{r}s_{r−1} ⋯ s_{⌊r/2⌋+1}, un bon élément de Coxeter (cf. [Bou], ch. v, §6, ex. 2); c est d’ordre r + 1.

• c_{ϕ} = s_{1}s_{2} ⋯ s_{⌊(r+1)/2⌋}, un bon élément de Coxeter ϕ-tordu (c_{ϕ}ϕ est d’ordre 2(r + 1) quand r est pair et 2r quand r est impair).

• w = s_{1}s_{2} ⋯ s_{⌊r/2⌋}s_{r}s_{r−1} ⋯ s_{⌊r/2⌋}, un bon élément régulier d’ordre r. Quand r est pair (c_{ϕ}ϕ)^{2} = c et w est ϕ-stable alors que quand r est impair

(c_{ϕ}ϕ)^{2} = w et c est ϕ-stable.

Nous obtenons la liste suivante de bons éléments réguliers:

• A_{r}: c^{i} où i divise r + 1 (d = (r + 1)/i), et w^{i} où i divise r (d = r/i); si w est d-régulier on a W (w) ≃ B_{⌊ \frac{r+1}{d} ⌋}^{(d)}.

• ^{2}A_{r}, r pair : (c_{ϕ}ϕ)^{i} où i divise r + 1 (d = 2(r + 1)/i), et w^{i}ϕ où i divise r (d = r/i).

• ^{2}A_{r}, r impair : (c_{ϕ}ϕ)^{i} où i divise r (d = 2r/i), et c^{i}ϕ où i divise r + 1 (d = (r + 1)/i). Pour ^{2}A_{r}, si wϕ est un ϕ-élément d-régulier on a

W (wϕ) ≃ \{ \begin{matrix}B_{⌊ \frac{r+1}{2d} ⌋}^{(2d)} & si d est impair \\ B_{⌊ \frac{2(r+1)}{d} ⌋}^{(d/2)} & si d ≡ 2 (mod 4) \\ B_{⌊ \frac{r+1}{d} ⌋}^{(d)} & si d ≡ 0 (mod 4) \end{matrix}

Remarques. Le fait que la liste des nombres réguliers donnée ci-dessus est complète peut se déduire de [Sp]. Pour vérifier que les éléments fournis sont bons, nous les présentons comme des permutations de r + 1 lettres :

• c = (1, 2, …, ⌊r/2⌋ + 1, r + 1, r, …, ⌊r/2⌋ + 2)

• w = (1, 2, …, ⌊(r + 1)/2⌋, r + 1, r, …, ⌊(r + 1)/2⌋ + 2) .

Sous cette forme il est facile de vérifier que c^{(r+1)/2} = w_{0}, et w_{0}w^{(r−1)/2} est de longueur (r + 1)/2 si r est impair, et que w^{r/2} = w_{0} et w_{0}c^{r/2} est de longueur r/2 quand r est pair.

A1.2. B_{r} : ◯_{t} ◯_{s_{2}} ◯_{s_{3}}⋯◯_{s_{r}}.

Soit c = ts_{3}s_{5} ⋯ s_{2}s_{4}s_{6} ⋯, un bon élément de Coxeter. Alors c^{i} où i divise 2r sont des bons éléments réguliers; on a d = 2r/i et

W (c^{2r/d}) ≃ \{ \begin{matrix}B_{⌊ \frac{r}{d} ⌋}^{(2d)} & si d est pair \\ B_{⌊ \frac{2r}{d} ⌋}^{(d)} & sinon \end{matrix}

A1.3. D_{r}, ^{2}D_{r} et ^{3}D_{4} : ◯_{s_{1}} ◯_{s_{3}}^{◯^{s_{2}}} ◯_{s_{4}}⋯◯_{s_{r}}.

Ici ^{2}D_{r} est défini par l’automorphisme ϕ qui échange s_{1} et s_{2}, et ^{3}D_{4} par τ : s_{1} ↦ s_{2} ↦ s_{4} ↦ s_{1}.

Nous commençons par :

• c = s_{3}s_{5}s_{7} ⋯ s_{1}s_{2}s_{4}s_{6} ⋯, un bon élément de Coxeter (d’ordre 2r−2). L’élément c est ϕ-stable.

• c_{ϕ} = s_{1}s_{3}s_{4} ⋯ s_{r}, un bon élément de Coxeter ϕ-tordu (c_{ϕ}ϕ est d’ordre 2r).

• w = (c_{ϕ}ϕ)^{2} = s_{1}s_{2}s_{3}s_{2}s_{4}s_{3} ⋯ s_{r}s_{r−1} = s_{1}s_{2} ⋯ s_{r}s_{2}s_{3} ⋯ s_{r−1} = s_{1}s_{3}s_{4} ⋯ s_{r}s_{2}s_{3} ⋯ s_{r}, un bon élément régulier d’ordre r. Nous obtenons la liste suivante de bons éléments réguliers :

• D_{r}: c^{i} où i divise 2r − 2 (d = (2r − 2)/i), et w^{i} où i divise r (d = r/i).

• ^{2}D_{r}: c^{i}ϕ où i divise 2r − 2 (d = (2r − 2)/i), et (c_{ϕ}ϕ)^{i} où i est un diviseur impair de r (d = 2r/i). Soit wϕ un ϕ-élément d-régulier (où ϕ = 1 dans le cas D_{r}). Si d est impair, aussi

bien pour D_{r} que pour ^{2}D_{r} on a:

W (wϕ) ≃ \{ \begin{matrix}D(2d)_{\frac{r}{d}} & si d divise r \\ B_{⌊ \frac{r−1}{d} ⌋}^{(2d)} & sinon \end{matrix}

Si d est pair, on a:

W (wϕ) ≃ \{ \begin{matrix}D(d)_{\frac{2r}{d}} & si d divise 2r (et si 2r/d est impair, dans le cas ^{2}D_{r}) \\ B_{⌊ \frac{2(r−1)}{d} ⌋}^{(d)} & sinon \end{matrix}

Remarques. Ici aussi, un bon moyen de vérifier que w et c sont bons consiste à les présenter comme permutations, via le plongement D_{r} ⊂ B_{r} ⊂ A_{2r−1}. Il est alors facile de comparer leur puissance avec w_{0}.

Pour ^{3}D_{4}, nous utilisons c_{τ} = s_{1}s_{3}, un bon élément de Coxeter τ-tordu (d’ordre 12). On a (c_{τ} τ)^{3} = w. D’autre part, c est τ-stable. Nous obtenons ainsi la liste suivante de bons élément réguliers :

• c^{i}τ où i divise 6 (d = 6/i),

• c_{τ} τ (on a (c_{τ} τ)^{4} = c^{2}τ) (d = 12).

Si wϕ est un ϕ-élément d-régulier on a:

d  2 3, 6 12
type de W (wϕ)  G_{2} A_{2}^{(3)} C_{4}

A1.4. E_{6} et ^{2}E_{6} : ◯_{s_{1}} ◯_{s_{3}} ◯_{s_{4}}^{◯^{s_{2}}} ◯_{s_{5}} ◯_{s_{6}}.

Ici ^{2}E_{6} est défini par l’automorphisme ϕ qui échange s_{1} et s_{6}, et s_{3} et s_{5}. Pour E_{6}, les bons élément réguliers sont :

• c^{i} où i divise 12 et c = s_{1}s_{4}s_{6}s_{2}s_{3}s_{5}, un bon élément de Coxeter (d = 12/i). L’élément c est ϕ-stable.

• w^{i} où i divise 9 et w = s_{1}s_{3}s_{4}s_{2}s_{4}s_{6}s_{5}s_{4} (d = 9/i).

• w^{′i} où i divise 8 et w′ = s_{3}s_{5}s_{4}s_{1}s_{6}s_{3}s_{5}s_{4}s_{2} (d = 8/i). L’élément w′ est ϕ-stable. Si w est un élément d-régulier on a:

d 2 3 4 6 8, 9, 12
type de W (w)  F_{4} A_{3}^{(3)} A_{2}^{(4)} B_{2}^{(3,3)} C_{d}

Pour ^{2}E_{6}, nous obtenons la liste :

• c^{i}ϕ où i divise 12 (d = 12/i).

• (c_{ϕ}ϕ)^{i} où i divise 9 et c_{ϕ} = s_{2}s_{1}s_{3}s_{4}, un bon élément de Coxeter ϕ-tordu (on a (c_{ϕ}ϕ)^{2} = w) (d = 18/i).

• w′ϕ (d = 8).

Si wϕ est un ϕ-élément d-régulier on a:

d 1 2 3 4 6 8, 12 18
type de W (wϕ)  F_{4} E_{6} B_{2}^{(3,3)} A_{2}^{(4)} A_{3}^{(3)} C_{d} C_{9}

A1.5. E_{7} : ◯_{s_{1}} ◯_{s_{3}} ◯_{s_{4}}^{◯^{s_{2}}} ◯_{s_{5}} ◯_{s_{6}} ◯_{s_{7}}.

• c^{i} où i divise 18 et c = s_{1}s_{4}s_{6}s_{2}s_{3}s_{5}s_{7} (d = 18/i).

• w^{i} où i divise 14 et w = s_{1}s_{3}s_{4}s_{2}s_{4}s_{7}s_{6}s_{5}s_{4} (d = 14/i).

Si w est un élément d-régulier on a:

d 2 3, 6 7, 14 9, 18
type de W (w)  E_{7} B_{3}^{(2,3)} C_{14} C_{18}

A1.6. E_{8} : ◯_{s_{1}} ◯_{s_{3}} ◯_{s_{4}}^{◯^{s_{2}}} ◯_{s_{5}} ◯_{s_{6}} ◯_{s_{7}} ◯_{s_{8}}.

• c^{i} où i divise 30 et c = s_{1}s_{4}s_{6}s_{8}s_{2}s_{3}s_{5}s_{7} (d = 30/i).

• w^{i} où i divise 24 et w = s_{1}s_{3}s_{4}s_{2}s_{4}s_{8}s_{7}s_{6}s_{5}s_{4} (d = 24/i).

• w^{′i} où i divise 20 et w′ = s_{8}s_{7}s_{6}s_{5}s_{4}s_{2}s_{3}s_{1}s_{4}s_{3}s_{5}s_{4} (d = 20/i).

Si w est un élément d-régulier on a:

d 2 3, 6 4 5, 10 8 12 15, 30 20, 24
type de W (w)  E_{8} A_{4}^{(3)} L_{4} A_{2}^{(5)} G_{2}^{(4)} B_{2}^{(4,3)} C_{30} C_{d}

A1.7. F_{4} et ^{2}F_{4} : ◯_{s} ◯_{t} ◯_{u} ◯_{v}.

Ici ^{2}F_{4} est défini par ϕ qui échange s et v, et t et u.

Pour F_{4} nous obtenons la liste :

• c^{i} où i divise 12 et c = sutv (d = 12/i).

• w^{i} où i divise 8 et w = svtutu (d = 8/i). L’élément w est ϕ-stable.

Si w est un élément d-régulier on a:

d 2 3, 6 4 8, 12
type de W (w)  F_{4} B_{2}^{(3,3)} A_{2}^{(4)} C_{d}

Pour ^{2}F_{4},

• (c_{ϕ}ϕ)^{i} où i divise 3 et c_{ϕ} = su (on a (c_{ϕ}ϕ)^{2} = c) (d = 24/i).

• (w_{ϕ}ϕ)^{i} où i divise 3 et w_{ϕ} = stut (d = 12/i). Noter que (w_{ϕ}ϕ)^{2} est un élément régulier d’ ordre 6 qui n’est pas le carré d’un bon élément de Coxeter.

• w^{i}ϕ où i divise 8 (d = 8/i). Noter que (c_{ϕ}ϕ)^{3} n’est pas ϕ-stable, donc est un élément régulier d’ordre 8 différent de wϕ. Si wϕ est un ϕ-élément d-régulier on a:

d 1, 2 4 8 12 24
type de W (wϕ)  I_{2}(8) K_{2} A_{2}^{(4)} C_{6} C_{12}

A1.8. I_{2}(e) et ^{2}I_{2}(e) : ◯_{s} ^{e} ◯_{t} (Ceci couvre les cas B_{2}, ^{2}B_{2}, G_{2}, ^{2}G_{2}).

Ici ^{2}I_{2}(e) est défini par ϕ qui échange s et t.

Pour I_{2}(e):

• c^{i} où i divise e et c = st (d = e/i).

• w_{0} (d = 2); on a w_{0} = c^{e/2} si e est pair.

Si w est d-régulier on a W (w) ≃ C_{e} sauf si d = 2 auquel cas

W (w) ≃ \{ \begin{matrix}C_{2} & si e est impair \\ I_{2}(e) & sinon \end{matrix}

Pour ^{2}I_{2}(e):

• (c_{ϕ}ϕ)^{i} où i est un diviseur impair de 2e et c_{ϕ} = s (d = 2e/i).

• ϕ (d = 1).

Si w est un ϕ-élément d-régulier on a W (wϕ) ≃ C_{e} sauf si d = 2 auquel cas

W (wϕ) ≃ \{ \begin{matrix}C_{2} & si e est pair \\ I_{2}(e) & sinon \end{matrix}

A1.9. H_{3} : ◯_{s} ^{5} ◯_{t} ◯_{u}.

• c^{i} où i divise 10 et c = sut (d = 10/i).

• w^{i} où i divise 6 et w = ststu (d = 6/i).

Si w est un élément d-régulier on a:

d  2 3, 6 5, 10
type de W (w)  H_{3} C_{6} C_{10}

A1.10. H_{4} : ◯_{s} ^{5} ◯_{t} ◯_{u} ◯_{v}.

• c^{i} où i divise 30 et c = sutv (d = 30/i).

• w^{i} où i divise 20 et w = ststuv (d = 20/i).

• w^{′i} où i divise 12 et w′ = ststutstuv (d = 12/i).

Si w est un élément d-régulier on a:

d  2 3, 6  4 5, 10 12, 20 15, 30
type de W (w)  H_{4} I_{2}^{(3,3)}(5) M_{2} A_{2}^{(5)} C_{d}  C_{30}

Annexe 2 : Groupes de Coxeter tordus

Nous présentons ici une table qui regroupe des informations connues sur les “groupes de Coxeter tordus”, i.e., les couples ((V, W), ϕ) formés d’un groupe de Coxeter fini irréductible W (vu dans sa représentation naturelle réelle V) et d’un automorphisme ϕ de V qui stabilise l’ensemble des générateurs distingués de W (cf. §6 ci-dessus).

Seules les deux dernières colonnes nécessitent une explication.

• Corps.

Nous indiquons ici le plus petit corps K sur lequel la représentation du produit semi-direct W ⋊ ⟨ϕ⟩ est définie.

• Degrés et facteurs.

Comme l’opération de ϕ sur chaque composante de degré donné de l’espace S(V)^{W} des invariants de W dans l’algèbre symétrique de V est semi-simple, on peut trouver une famille {S_{1}, S_{2}, …, S_{r}} d’éléments homogènes de degrés respectifs (d_{1}, d_{2}, …, d_{r}), avec les propriétés suivantes (cf. [St2], 2.1).

(1) La famille {S_{1}, S_{2}, …, S_{r}} est algébriquement indépendante, et engendre l’algèbre S(V)^{W}.

(2) Elle est formée de vecteurs propres pour l’action de ϕ, correspondants aux

valeurs propres respectives ε_{1}, ε_{2}, …, ε_{r}. La famille des paires {(d_{1}, ε_{1}), …, (d_{r}, ε_{r})} ne dépend que de ((V, W), ϕ) (cf. par exemple [Sp], 6.1). Les d_{j} sont les degrés, et les ε_{j} sont les facteurs correspondants de la paire ((V, W), ϕ).

Nom  Diagramme  Automorphisme  Degrés Facteurs  Corps

2A_{r}  ◯_{s_{1}} ◯_{s_{2}}⋯◯_{s_{r}}  s_{i} ↔ s_{r+1−i}  \begin{matrix}2 & 3 & … & r + 1 \\ 1 & −1 & … & (−1)^{r+1} \end{matrix}  ℚ

2D_{r}  ◯_{s_{1}} ◯_{s_{3}}^{◯^{s_{2}}} ◯_{s_{4}}⋯◯_{s_{r}}  s_{1} ↔ s_{2}  \begin{matrix}2 & 4 & … & 2(r − 1) & r \\ 1 & 1 & … & 1 & −1 \end{matrix}  ℚ

3D_{4}  ◯_{s_{1}} ◯_{s_{3}}^{◯^{s_{2}}} ◯_{s_{4}}  s_{1} ↦ s_{2} ↦ s_{4} ↦ s_{1}  \begin{matrix}2 & 4 & 6 & 4 \\ 1 & j & 1 & j^{2} \end{matrix}  ℚ

2F_{4}  ◯_{s} ◯_{t} ◯_{u} ◯_{v}  s ↔ v, t ↔ u  \begin{matrix}2 & 6 & 8 & 12 \\ 1 & −1 & 1 & −1 \end{matrix}  ℚ(\sqrt{2})

2E_{6}  ◯_{s_{1}} ◯_{s_{3}} ◯_{s_{4}}^{◯^{s_{2}}} ◯_{s_{5}} ◯_{s_{6}} s_{1} ↔ s_{6}, s_{3} ↔ s_{5}  \begin{matrix}2 & 5 & 6 & 8 & 9 & 12 \\ 1 & −1 & 1 & 1 & −1 & 1 \end{matrix}  ℚ

2I_{2}(e)  ◯_{s} ^{e} ◯_{t}  s ↔ t  \begin{matrix}2 & e \\ 1 & −1 \end{matrix}  ℚ(cos(π/e))

Annexe 3 : Groupes de Coxeter cyclotomiques

Les tables suivantes regroupent des informations utiles sur tous les “groupes cyclotomiques”, i.e., les centralisateurs d’éléments réguliers des groupes de Coxeter finis irréductibles. L’ensemble des informations est essentiellement une synthèse de celles données dans [Be], [BrMa], [BrMaRo], [OrSo], [Sp].

• La colonne “S& T” fournit le nom donné au groupe par Shephard et Todd et utilisé traditionnellement depuis.

• La colonne “Nom” donne le nom donné au diagramme dans [BrMa].

• La colonne “Diagramme” fournit le diagramme introduit dans [BrMa]. Nous reproduisons ici, pour le confort du lecteur, les conventions permettant d’interpréter ces diagrammes.

Le diagramme ◯_{s}_{d} ^{e} ◯_{t}_{d} correspond à la présentation

s^{d} = t^{d} = 1 et \underbrace{ststs ⋯}_{e factors} = \underbrace{tstst ⋯}_{e factors}

Le diagramme ◯_{s}_{5}  ◯_{t}_{3} correspond à la présentation
s^{5} = t^{3} = 1 et stst = tsts .

Le diagramme s◯ a e ^{◯ b t}_{◯ c u} correspond à la présentation

s^{a} = t^{b} = u^{c} = 1 et \underbrace{stustu ⋯}_{e factors} = \underbrace{tustus ⋯}_{e factors} = \underbrace{ustust ⋯}_{e factors} .

Le diagramme ◯_{v}⧸◯_{s} ◯_{t} ◯_{w} ◯_{u}⧹ correspond à la présentation

s^{2} = t^{2} = u^{2} = v^{2} = w^{2} = 1 ,
uv = vu , sw = ws , vw = wv ,
sut = uts = tsu ,
svs = vsv , tvt = vtv , twt = wtw , wuw = uwu .

• Les “degrés” et “codegrés” ont été introduits dans le §4, A, ci-dessus.

• Chaque sommet du diagramme représente un générateur d’un sous-groupe parabolique minimal W_{H} associé à un hyperplan de réflexion H (cf. 4, A). La colonne “Orbites d’hyperplans” fournit, pour chaque sommet du diagramme, le cardinal ω_{H} de la classe de conjugaison de H sous W (qui joue un rôle fondamental dans les calculs du §4, E).

• La colonne “Corps” fournit le corps K engendré par les valeurs du caractère de la représentation de réflexion du groupe considéré.

• La colonne “|ZW |” fournit le cardinal du centre de W, et la colonne β fournit le générateur du centre du monoïde de tresse B^{+} (cf. [BrMaRo], ou 4.8 ci-dessus).

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