Familles de caractères des algèbres de Hecke cyclotomiques

Michel Broué et SungSoon Kim

12 Juin 2001

Sommaire

0. Introduction

1. Blocs 1A. Blocs : généralités 1B. Blocs et idéaux maximaux 1C. Cas des algèbres symétriques 1D. Algèbres symétriques de groupes finis

2. Les blocs de Rouquier des algèbres de Hecke cyclotomiques 2A. Algèbres de Hecke cyclotomiques 2B. Blocs de Rouquier des algèbres cyclotomiques 2C. Blocs de Rouquier des algèbres cyclotomiques des groupes cycliques

3. Blocs de Rouquier des algèbres de Ariki–Koike cyclotomiques 3A. Une question de combinatoire : contenu et résidus 3B. Rappels sur les algèbres de Ariki–Koike 3C. Blocs de Rouquier des algèbres de Ariki–Koike cyclotomiques 3D. Invariants a et A des blocs de Rouquier

4. Blocs de Rouquier des algèbres cyclotomiques des groupes G(d, d, r) 4A. Les algèbres cyclotomiques des groupes G(d, d, r) 4B. Les blocs de Rouquier des algèbres cyclotomiques des groupes G(d, d, r)

Appendice : Quelques algèbres cyclotomiques pour G(3, 1, 2) Bibliographie

0. Introduction

Les travaux fondamentaux de G. Lusztig sur les caractères irréductibles des groupes réductifs sur les corps finis (cf. par exemple [Lu1]) ont mis en évidence le rôle important joué par les “familles de caractères” des groupes de Weyl concernés. Dans [Lu2], Lusztig définit la partition en familles de l’ensemble des caractères irréductibles d’un groupe de Weyl W en utilisant l’anneau basé associé à la base de Kazhdan–Lusztig de l’algèbre de Hecke de W.

1991 Mathematics Subject Classification. Primary 16G99, 20C20, 20C30, 20G05 ; Secondary 17B67, 05E10..

Nous remercions Meinolf Geck, Gunter Malle, Jean Michel, et Raphaël Rouquier, pour de nombreuses conversations, des années de travail en commun, et des suggestions décisives. Andrew Mathas nous a menés jusqu’au preprint de Grojnowski qui contient un théorème essentiel pour nos résultats. David Bessis, Cédric Bonnafé et Jean Michel nous ont aidés à corriger des fautes et des inexactitudes.

On a récemment compris l’intérêt qu’il y aurait à généraliser la notion de famille de caractères aux groupes de réflexions complexes (cf. par exemple [BrMa], [BMMi] pour i = 1, 2, 3, [BMR]), ou plus précisément à divers types d’algèbres de Hecke associées aux groupes de réflexions complexes. L’intérêt est double.

• D’une part, les groupes de réflexions complexes et certaines déformations de leurs algèbres génériques (les algèbres cyclotomiques) interviennent naturellement pour classifier les “séries de Harish–Chandra cyclotomiques” des caractères des groupes réductifs finis (cf. [BMM1], [BrMa]), généralisant ainsi le rôle joué par le groupe de Weyl et son algèbre de Hecke traditionnelle dans la description de la série principale. Puisque les familles de caractères du groupe de Weyl sont au cœur de la définition des familles de caractères unipotents du groupe réductif fini correspondant ([Lu1]), on peut espérer que plus généralement les familles de caractères des algèbres cyclotomiques jouent un rôle–clef dans l’organisation des familles de caractères unipotents.

• D’autre part, pour certains groupes de réflexions complexes (et non de Coxeter) W, on a pu construire un ensemble de données qui semble indiquer que, derrière le groupe W, se cache un objet mystérieux — le Spets, cf. [Ma3], [BMM2], [BMM3] — qui pourrait jouer le rôle de “la série des groupes réductifs finis de groupe de Weyl W ”. On peut dans certains cas définir les caractères unipotents du Spets (cf. [Ma1], [Ma3], [BMM3]). La série principale de ces caractères unipotents est alors contrôlée par “l’algèbre de Hecke spetsiale” de W, qui généralise l’algèbre de Hecke classique des groupes de Weyl. L’intérêt de savoir généraliser pour ces algèbres la notion de famille définie par Lusztig est alors évident.

L’obstacle principal pour cette généralisation est que l’on ne dispose pas (pas encore ?) de bases de Kazhdan–Lusztig pour les groupes de réflexions complexes (non de Coxeter). Cependant, des résultats de Gyoja [Gy], complétés par un travail récent de R. Rouquier [Ro], fournissent un substitut pour la définition des familles. Rouquier démontre en effet que les familles de caractères d’un groupe de Weyl W ne sont que les blocs de caractères de l’algèbre de Hecke classique de W sur un anneau de coefficients convenable. Cette définition se généralise sans problème à toutes les algèbres cyclotomiques des groupes de réflexions complexes, et c’est cette définition que nous rappelons et utilisons ici.

Nous consacrons les deux premières parties aux définitions et propriétés des blocs : la partie 1 est consacrée à des résultats relativement généraux, la partie 2 est plus précisément dévolue aux “blocs de Rouquier” des algèbres de Hecke cyclotomiques. Beaucoup des résultats rappelés ou démontrés dans la partie 1 ne sont que des adaptations ou généralisations faciles de résultats classiques de la théorie des blocs des algèbres de groupes finis. Nous les énonçons et les démontrons pour la commodité du lecteur, et afin de fournir une référence claire pour les travaux ultérieurs.

La partie 3 est consacrée aux algèbres de Hecke cyclotomiques “de Ariki–Koike”, i.e., aux algèbres de Hecke cyclotomiques des groupes C_{d} ≀𝔖_{r} (dits de type G(d, 1, r) dans la notation de Shephard–Todd). Nous y obtenons en particulier, grâce à une conjecture de Graham et Lehrer (cf. [GrLe]) démontrée par Grojnowski ([Gro]), la généralisation suivante des familles de Lusztig des algèbres spetsiales.

• Pour d = 2, le groupe C_{2} ≀ 𝔖_{r} est isomorphe à un groupe de Weyl de type B_{r} (ou C_{r}). Ses caractères irréductibles sont paramétrés par les 2–partitions de r. À toute 2–partition λ de r, Lusztig associe son symbole, i.e., une paire de β–nombres des deux partitions constituant λ, shiftés de sorte à ce que le premier des β–nombres ait un élément de plus que le second. Lusztig démontre alors que deux symboles définissent des caractères dans la même famille si et seulement si ils contiennent les même familles d’entiers (s’ils ont le même “contenu”). C’est ainsi que les 5 caractères du groupe C_{2} ≀ 𝔖_{2} se répartissent en 3 familles de la façon suivante.

Irr(C_{2} ≀ 𝔖_{2}) Symbole
χ_{(2,∅)}  \binom{2}{∅}

Irr(C_{2} ≀ 𝔖_{2}) Symbole
χ_{(∅,11)}  \binom{0 1 2}{1 2}

Irr(C_{2} ≀ 𝔖_{2}) Symbole
χ_{(1,1)}  \binom{0 2}{1}
χ_{(11,∅)}  \binom{1 2}{0}
χ_{(∅,2)}  \binom{0 1}{2}

• Pour d > 2, le groupe C_{d} ≀ 𝔖_{r} n’est pas un groupe de Weyl. Ses caractères irréductibles sont paramétrés par les d–partitions de r. À toute d–partition λ de r, Malle [Ma1] associe son d–symbole, i.e., le d–uple des β–nombres des d partitions constituant λ, shiftés de sorte à ce tous les β–nombres aient le même nombre d’éléments, hormis le premier qui en a un de plus que les autres. Nous démontrons ici que deux d–symboles définissent des caractères dans le même bloc de Rouquier de l’algèbre spetsiale de C_{d} ≀ 𝔖_{r} si et seulement si ils contiennent les même familles d’entiers (s’ils ont le même “contenu”). C’est ainsi que les 9 caractères du groupe C_{3} ≀ 𝔖_{2} se répartissent en 4 familles de la façon suivante.

Irr(C_{3} ≀ 𝔖_{2}) 3–Symbole

χ_{(2,∅,∅)}  ( \begin{matrix}2 \\ ∅ \\ ∅ \end{matrix} )

Irr(C_{3} ≀ 𝔖_{2}) 3–Symbole

χ_{(∅,1,1)}  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )

Irr(C_{3} ≀ 𝔖_{2}) 3–Symbole

χ_{(∅,2,∅)}  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} )

χ_{(∅,∅,2)}  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} )

χ_{(11,∅,∅)}  ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

χ_{(1,1,∅)}  ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )

χ_{(1,∅,1)}  ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )

Irr(C_{3} ≀ 𝔖_{2}) 3–Symbole

χ_{(∅,11,∅)}  ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

χ_{(∅,∅,11)}  ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} )

Il est à noter que cette généralisation de la notion de familles de caractères irréductibles d’un groupe de type G(d, 1, r) est compatible avec les familles de caractères unipotents mises en évidence par Malle dans [Ma1].

De manière plus générale, nous traitons ici (cf. théorème 3.16) le cas d’une “algèbre cyclotomique” quelconque – qui couvre en particulier le cas connu (pour les groupes de Weyl) sous le nom de “Hecke algebras with unequal parameters”.

Nos résultats permettent par exemple de décrire les “familles” (blocs de Rouquier) des deux algèbres cyclotomiques suivantes associées au groupe G(3, 1, 2) = C_{3} ≀ 𝔖_{2} :

• l’algèbre H_{3,2}, engendrée par deux éléments s et t soumis aux relations

\{ \begin{matrix}stst = tsts \\ (s^{3} − 1) = (t − q)(t + 1) = 0 , \end{matrix}

• l’algèbre H′_{3,2}, engendrée par deux éléments s et t soumis aux relations (ici nous posons ζ := exp(2πi/3))

\{ \begin{matrix}stst = tsts \\ (s − ζ^{2}q)(s − q^{3})(s − ζ) = (t − q)(t + 1) = 0 . \end{matrix}

Les 9 caractères irréductibles du groupe C_{3} ≀ 𝔖_{2} se répartissent en “H_{3,2}–familles” et en “H′_{3,2}–familles” selon la description combinatoire fournie par notre théorème 3.16 ci–dessous.

• Il y a 3 “H_{3,2}–familles”, décrites (cf. le tableau 2 de l’appendice) par les contenus des “symboles ordinaires” associés aux 3–partitions de 2.

• Il y a 7 “H′_{3,2}–familles”, décrites (cf. le tableau 3 de l’appendice) par les contenus des “symboles chargés” correspondant aux poids (1,3,0) associés aux 3–partitions de 2.

Les groupes de réflexions complexes de la série G(d, d, r) peuvent être vus comme généralisant les groupes de Weyl de type D_{r} (qui sont les groupes G(2, 2, r)), et les groupes diédraux (G(d, d, 2) est le groupe diédral d’ordre 2d). Dans la dernière partie de ce mémoire, nous déterminons les “familles” (blocs de Rouquier) des algèbres cyclotomiques des groupes G(d, d, r) (cf. théorème 4.3).

On obtient ainsi en particulier (en considérant le cas des algèbres dites “spetsiales”) une généralisation de la classification de Lusztig des familles des groupes de type D_{r} (qui apparaît ici comme une simple application de la “théorie de Clifford” des blocs), ainsi qu’une nouvelle démonstration de la classification des familles des groupes diédraux obtenue “expérimentalement” par Lusztig ([Lu3]), puis par Malle et Rouquier par étude directe des “blocs de Rouquier” (cf. [MaRo]).

Dans le cas des groupes de Weyl et de leur algèbre de Hecke usuelle, les familles de caractères peuvent être définies en utilisant l’existence des bases de Kazhdan–Lusztig. Lusztig attache à chaque caractère irréductible des entiers notés a et A, dont il démontre (cf. par exemple [Lu2], 3.3 et 3.4 (e)) qu’ils sont constants sur les familles.

Pour les groupes G(d, 1, r) et G(d, d, r) et pour toutes leurs algèbres cyclotomiques, on définit de manière analogue des entiers a et A attachés à chaque caractère irréductible. On démontre ici que les entiers a et A sont constants sur les familles (ce que Malle [Ma1] avait déjà constaté pour le cas particulier des algèbres “spetsiales”). Un indice de plus de l’existence possible de “bases de Kazhdan–Lusztig” pour d’autres groupes de réflexions que les groupes de Coxeter, et pour toutes leurs algèbres cyclotomiques ?

1. Blocs

1.A. Blocs : généralités.

Soit O un anneau commutatif unitaire, et soit A une O–algèbre (munie d’un élément unité). On note ZA le centre de A.

Les blocs–idempotents de A (ou plus simplement les blocs de A) sont les idempotents primitifs de ZA.

Remarque. Comme ZA s’identifie aux endomorphismes de A–module–A de A, on voit que les blocs de A sont en bijection avec les sous–A–modules–A indécomposables facteurs directs de A, i.e., les idéaux bilatères indécomposables facteurs directs de A.

Soit e un bloc de A. On munit le sous–O–module Ae de A des lois de composition interne induites par celles de A, et Ae est alors une O–algèbre d’élément unité e. L’application

π_{e}: A ⟶ Ae , a ↦ ae

est un morphisme surjectif d’algèbres.

Nous allons décrire ci–dessous un certain nombre de situations dans lesquelles l’élément unité 1 de A est une somme de blocs.

Remarques préliminaires : on suppose que 1 est une somme de blocs.

On écrit 1 comme une somme de blocs : 1 = ∑_{e∈E} e .

1.1. Les blocs e ∈ E sont mutuellement orthogonaux et l’ensemble E est l’ensemble de tous les blocs de A.

En effet : Si e est un bloc et f un idempotent de ZA, ef et e−ef sont aussi des idempotents de ZA et on a e = ef + (e − ef), d’où on déduit (par primitivité de e) que ef = e ou ef = 0. Il en résulte que si f est lui aussi un bloc, alors e = f ou ef = 0, ce qui montre que deux blocs quelconques sont orthogonaux. Si f est un bloc de A, on a f = ∑_{e∈E} ef et il existe donc e ∈ E tel que e = f.

On désigne dorénavant par BlId(A) l’ensemble (fini) des blocs–idempotents de A. On a donc 1 = ∑_{e∈BlId(A)} e .

1.2. La famille des morphismes (π_{e})_{e∈BlId(A)} définit un isomorphisme d’algèbres

A ⟶^{∼} ∏_{e∈BlId(A)} Ae .

Il en résulte que la catégorie_{A}mod des A–modules est somme directe des catégories associées aux blocs :

Amod ⟶^{∼} ⨁_{e∈BlId(A)}_{Ae}mod .

En particulier, toute représentation de la O–algèbre Ae définit (par composition avec π_{e}) une représentation de A, dont on dit par abus de langage qu’elle “appartient au bloc e”.

Toute représentation indécomposable de A appartient à un bloc et un seul. Il en résulte que la décomposition de 1 en somme de blocs définit des partitions

Ind(A) = ⋃^{▪}_{e∈BlId(A)}Ind(A, e) et Irr(A) = ⋃^{▪}_{e∈BlId(A)}Irr(A, e) ,

où l’on désigne par Ind(A) (resp. Irr(A)) l’ensemble des classes d’isomorphismes de représentations indécomposables de A (resp. de représentations irréductibles de A), et par Ind(A, e) (resp. Irr(A, e)) l’ensemble des éléments de Ind(A) (resp. Irr(A)) qui appartiennent à e.

Premier cas : on suppose que 1 est somme d’une famille d’idempotents orthogonaux primitifs de A.

Ce cas est celui, par exemple, où O est un corps (ou plus généralement un anneau noethérien local complet) et où A est de type fini sur O. Les théorèmes de relèvements des idempotents (cf. par exemple [Th], chapt. 1, §3) permettent en effet dans ce cas de relever à A une décomposition de 1 en somme d’idempotents primitifs dans l’algèbre semi–simple A/JA (où JA désigne ici le radical de Jacobson de A).

Posons 1 = ∑_{i∈P} i, où

• chaque i ∈ P est un idempotent primitif,

• si i, j ∈ P , i ≠ j, alors ij = ji = 0.

Considérons la relation d’équivalence, notée B, définie sur P comme la clôture symétrique et transitive de la relation “iAj ≠ {0}”. Ainsi (i B j) si et seulement si il existe i_{0}, i_{1}, …, i_{n} ∈ P avec i_{0} = i, i_{n} = j, et pour tout entier k (0 ≤ k < n), i_{k}Ai_{k+1} ≠ {0} ou i_{k+1}Ai_{k} ≠ {0}.

1.3. À toute classe d’équivalence B de P selon B on associe l’idempotent e_{B} := ∑_{i∈B} i . Alors l’application B ↦ e_{B} est une bijection de l’ensemble des classes d’équivalence de la relation B sur l’ensemble des blocs de A.

En particulier, on a 1 = ∑_{B∈P/B} e_{B} et 1 est somme des blocs de A.

Démonstration de 1.3.

Il est clair que 1 = ∑_{B∈P/B} e_{B} .

• Vérifions d’abord que, pour tout B ∈ P/B, l’idempotent e_{B} est central. Soit a ∈ A. D’après la définition de la relation B, on a e_{B}ae_{B′} = 0 si B ≠ B′. Comme 1 = ∑_{B∈P/B} e_{B} , on a : e_{B}a = e_{B}ae_{B} = ae_{B} .

• Démontrons maintenant que, pour tout B ∈ P/B, l’idempotent e_{B} est primitif dans ZA. Supposons que e_{B} = e + f où e et f sont deux idempotents orthogonaux de ZA. On a alors une partition B = B_{e} ∪^{·} B_{f}, où B_{e} := {i ∈ B | (ie = i)} et B_{f} := {j ∈ B | (jf = j)}. On constate alors que, pour tout i ∈ B_{e} et tout j ∈ B_{f}, on a iAj = ieAfj = iAefj = {0} , donc aucun élément de B_{e} ne peut être en relation selon B avec un élément de B_{f}. Ceci implique, par exemple, que B_{f} = ∅ donc que f = 0. □

Blocs des algèbres de dimension finie sur un corps.

Ici on suppose que A est une algèbre de dimension finie sur un corps k, et on renvoie le lecteur à [Th], chap. 1, §3, pour les résultats (utilisés librement) concernant les idempotents et leurs relèvements.

Si i est un idempotent primitif de A, le A–module P_{i} := Ai est un A–module projectif indécomposable. Si JA désigne le radical de Jacobson de A, le radical du module P_{i} est J(P_{i}) = JAi, et le module X_{i} := P_{i}/J(P_{i}) est irréductible.

1.4. Lemme. Soient i et j deux idempotents primitifs de A, non conjugués par le groupe multiplicatif A^{×} (i.e., les modules P_{i} et P_{j} sont non isomorphes). Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) iAj ≠ {0}.

(ii) Le module projectif P_{j} a un facteur de composition isomorphe au module irréductible X_{i}.

(iii) Hom_{A}(P_{i}, P_{j}) ≠ {0}.

Elle sont impliquées par la propriété

(*) Ext_{A}^{1}(X_{j}, X_{i}) ≠ {0}.

Brève démonstration de 1.4.

(i)⇒(ii). Soit x ∈ iAj, x ≠ 0. On a alors un morphisme non nul ϕ: P_{i} ⟶ P_{j} , y ↦ yx (noter que yx ∈ AiAj ⊆ P_{j}), dont le noyau est contenu dans l’unique sous–module maximal J(P_{i}) de P_{i}. Ainsi, ϕ(P_{i})/ϕ(J(P_{i})), qui est isomorphe à X_{i}, est un facteur de composition de P_{j}.

(ii)⇒(iii). Puisque X_{i} est facteur de composition de P_{j}, il existe deux sous–modules R ⊂ Q de P_{j} tels que Q/R ≃ X_{i}. Par projectivité de P_{i}, la surjection naturelle P_{i} ↠ X_{i} se factorise en P_{i} ⟶ Q ↠ X_{i} et on voit donc qu’il existe un morphisme non nul de P_{i} dans P_{j}.

(iii)⇒(i). Cela résulte du fait que l’application iAj ⟶ Hom_{A}(P_{i}, P_{j}) , x ↦ (y ↦ yx) , est un isomorphisme de k–espaces vectoriels.

(*)⇒(ii). Supposons que Ext_{A}^{1}(X_{j}, X_{i}) ≠ {0}, i.e., il existe une suite exacte non scindée

0 ⟶ X_{i}⟶^{ι}Q⟶^{π}X_{j} ⟶ 0 .

Par projectivité de P_{j}, il existe un morphisme ϕ: P_{j} ⟶ Q tel que la surjection naturelle P_{j} ↠ X_{j} se factorise en P_{j} ⟶^{ϕ}Q⟶^{π}X_{j} . Comme la suite exacte ci–dessus est non scindée, l’image de ϕ ne peut être isomorphe à X_{j}, d’où il résulte que ϕ est surjective et par conséquent X_{i} est un facteur de composition de P_{j}. □

1.5. Lemme. Soient i et j deux idempotents primitifs de A non conjugués par A^{×}. Si X_{i} est facteur de composition de P_{j}, il existe une suite Y_{0}, Y_{1}, …, Y_{n} avec Y_{0} = X_{i} , Y_{n} = X_{j} et Ext_{A}^{1}(Y_{l+1}, Y_{l}) ≠ {0} pour 0 ≤ l < n .

Démonstration de 1.5.

Pour tout entier positif r, posons J^{r}A := (JA)^{r}, et P_{j}^{(r)} := (J^{r−1}A)P_{j}/(J^{r+1}A)P_{j}. Le socle Soc(P_{j}^{(r)}) de P_{j}^{(r)} est (J^{r}A)P_{j}/(J^{r+1}A)P_{j}, alors que sa tête Hd(P_{j}^{(r)}) est (J^{r−1}A)P_{j}/(J^{r}A)P_{j}.

Supposons que X_{i} est un facteur de composition de P_{j}. Il existe alors un entier r > 0 tel que X_{i} est facteur de composition de Soc(P_{j}^{(r)}). Donc il existe un A–module irréductible X, facteur de composition de Hd(P_{j}^{(r)}), et tel que Ext_{A}^{1}(X, X_{i}) ≠ {0}. En réitérant le raisonnement, on en déduit le lemme 1.5. □

La proposition suivante résulte immédiatement des deux lemmes précédents et de l’assertion 1.3.

1.6. Proposition. Soient X et Y deux A–modules irréductibles, d’enveloppes projectives respectives P et Q. Les assertions suivantes sont équivalentes.

(i) X et Y appartiennent au même bloc de A. (ii) P et Q appartiennent au même bloc de A. (iii) Il existe une suite finie X_{0}, X_{1}, …, X_{n} de A–modules irréductibles telle que X_{0} = X et X_{n} = Y,

et pour tout entier l (0 ≤ l < n), on a Ext_{A}^{1}(X_{l}, X_{l+1}) ≠ {0} ou Ext_{A}^{1}(X_{l+1}, X_{l}) ≠ {0} (iv) Il existe une suite finie P_{0}, P_{1}, …, P_{m} de A–modules projectifs indécomposables telle que P_{0} =

P et P_{m} = Q, et pour tout entier l (0 ≤ l < n), P_{l} et P_{l+1} ont un facteur de composition commun.

Blocs et sous–algèbres centrales.

Soit Z une algèbre commutative sur un corps k.

• On suppose que Z est déployée, i.e., Z/JZ est isomorphe à un produit d’algèbres toutes isomorphes à k. On note Mor(Z, k) l’ensemble des morphismes d’algèbres de Z dans k (“caractères linéaires” de Z). Ainsi Mor(Z, k) est un ensemble de cardinal dim_{k}Z/JZ.

• Pour θ ∈ Mor(Z, k), il existe un et un seul bloc–idempotent e_{θ} de Z tel que θ(e_{θ}) ≠ 0, et on a alors θ(e_{θ}) = 1. Les théorèmes de relèvement des idempotents via la surjection naturelle Z ↠ Z/JZ (cf. [Th], chap. 1, §3) montrent que 1.7. l’application θ ↦ e_{θ} est une bijection.

Soit maintenant A une algèbre de dimension finie sur un corps k. On suppose que la k–algèbre semi–simple A/JA est déployée.

Soit Z une sous–algèbre du centre ZA de A. Comme ZA est déployée, il en est de même de Z. Les blocs de Z sont des idempotents de ZA, donc sont des sommes de blocs de A. Soit X un A–module indécomposable, et soit ρ_{X}: A ⟶ Hom_{k}(X, X) le morphisme structurel.

• On dit que X est quasi–irréductible si, pour tout z ∈ Z, ρ_{X}(z) est la multiplication par un scalaire, noté θ_{X}(z) (c’est le cas si X est un A–module irréductible). L’application θ_{X}: Z ⟶ k est alors un caractère linéaire de Z.

• Si e est un bloc de Z, on dit que X “appartient à e” si e induit l’identité sur X.

La proposition suivante est immédiate grâce à 1.7.

1.8. Proposition. Soient X et Y deux A–modules quasi–irréductibles. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) X et Y appartiennent au même bloc de Z, (ii) θ_{X} = θ_{Y}.

Deuxième cas : on suppose que ZA est une sous–algèbre d’une algèbre commutative C où 1 est somme de blocs.

Ce cas est celui, par exemple, où A est de type fini sur O, et où O est un anneau intègre, de corps de fractions noté F : on pose alors F A := F ⊗_{O} A, et pour algèbre C on choisit le centre ZF A de l’algèbre F A.

On pose 1 = ∑_{e∈E} e où E est l’ensemble des blocs de C. Pour tout S ⊆ E, on pose e_{S} := ∑_{e∈S} e .

Un sous–ensemble S de E est dit “sur ZA” si e_{S} ∈ ZA. Si S et T sont sur ZA, alors S ∩ T est sur ZA.

1.9. Désignons par P_{E}(ZA) l’ensemble des parties non vides B de E qui sont sur ZA et sont minimales pour ces deux propriétés. Alors l’application P_{E}(ZA) ⟶ A , B ↦ e_{B} est une bijection de P_{E}(ZA) sur l’ensemble BlId(A) des blocs de A. On a 1 = ∑_{B∈P_{E}(ZA)} e_{B} .

Démonstration de 1.9. Comme tout idempotent de C (donc en particulier tout idempotent de ZA) est de la forme e_{S} pour S ⊆ E, il est clair que pour tout B ∈ P_{E}(ZA), les idempotents e_{B} sont primitifs dans ZA. Il suffit donc de démontrer les propriétés suivantes :

(1) Si B et B′ sont deux éléments distincts de P_{E}(ZA), ils sont disjoints.

(2) P_{E}(ZA) constitue une partition de E. En effet, les deux propriétés précédentes se traduisent comme suit en termes d’idempotents :

(1) Si B et B′ sont deux éléments distincts de P_{E}(ZA), e_{B} et e_{B′} sont orthogonaux.

(2) 1 = ∑_{B∈P_{E}(ZA)} e_{B} .

Démontrons–les.

(1) On a e_{B}e_{B′} = e_{B∩B′}, donc B ∩ B′ = ∅ puisque B et B′ sont minimales.

(2) Pour démontrer que P_{E}(ZA) constitue une partition de E, il suffit de démontrer que ⋃_{B∈P_{E}(ZA)} B = E . Supposons que ⋃_{B∈P_{E}(ZA)} B = F (où F ⊆ E).

Comme e_{F} = ∑_{B∈P_{E}(ZA)} e_{B}, on voit que e_{F} ∈ ZA. Donc 1 − e_{F} ∈ ZA. Mais on a 1 − e_{F} = e_{E\F} d’où il résulte que E\F est sur ZA. Si E\F ≠ ∅, E\F contient un élément de P_{E}(ZA), ce qui est contradictoire avec la définition de F. On a donc bien F = E. □

Dans la suite de ce paragraphe, on désigne par

• O un anneau commutatif intègre, de corps des fractions F, • K un corps, extension de F,

• A une O–algèbre, qui est libre et de rang fini comme O–module.

On suppose que la K–algèbre KA obtenue en étendant les scalaires de O à K (ainsi, KA := K ⊗_{O} A) est semi–simple.

L’algèbre KA est par hypothèse isomorphe à un produit direct d’algèbres simples :

KA ≃ ∏_{χ∈Irr(KA)} M_{χ} ,

où l’on désigne par Irr(KA) l’ensemble des caractères irréductibles de la K–algèbre KA, et où M_{χ} est une K–algèbre simple.

Pour tout χ ∈ Irr(KA), on note π_{χ}: A ↠ M_{χ} la projection sur le χ-ième facteur et on note e_{χ} l’élément de KA tel que

π_{χ′}(e_{χ}) = \{ \begin{matrix}1_{M_{χ}} si χ = χ′ , \\ 0 si χ ≠ χ′ . \end{matrix}

Ainsi, les e_{χ} sont des idempotents primitifs du centre ZKA de l’algèbre KA (en d’autres termes, ce sont les blocs de KA).

Le théorème suivant résulte immédiatement des propriétes 1.1 et 1.9 ci–dessus.

1.10. Théorème.

(1) On a

1 = ∑_{χ∈Irr(KA)} e_{χ}

et l’ensemble {e_{χ}}_{χ∈Irr(KA)} est l’ensemble de tous les idempotents primitifs de ZKA. (2) Il existe une unique partition Bl(A) de Irr(KA) :

Irr(KA) = ⋃^{▪}_{B∈Bl(A)} B

telle que

(a) Pour chaque B ∈ Bl(A), l’idempotent e_{B} := ∑_{χ∈B} e_{χ} est un idempotent primitif du centre ZA de A.

(b) On a 1 = ∑_{B∈Bl(A)} e_{B} et, pour tout idempotent e de ZA il existe un sous–ensemble

Bl(A, e) de Bl(A) tel que

e = ∑_{B∈Bl(A,e)} e_{B} .

En particulier, l’ensemble {e_{B}}_{B∈Bl(A)} est l’ensemble de tous les blocs de ZA.

Notation.

• Si χ ∈ B pour B ∈ Bl(A), on dit par abus de langage que “χ appartient au bloc e_{B}”.

• Pour e un idempotent de ZA, on note Irr(KA, e) l’ensemble des χ ∈ Irr(KA) tels que

ee_{χ} ≠ 0. Ainsi, on a

e = ∑_{χ∈Irr(KA,e)} e_{χ}

et en particulier Irr(KA, e_{B}) = B .

• Les algèbres Ae_{B} (noter que Ae_{B} a e_{B} comme élément unité) sont appelées les “algèbres– blocs” de A (ou parfois simplement les blocs – noter alors la confusion possible avec l’idempotent e_{B} ou l’ensemble de caractères B !). On a

KAe_{B} ≃ ∏_{χ∈B} M_{χ} .

Exemple : algèbre d’un groupe fini sur ℤ. Soient O = ℤ et A = ℤG où G est un groupe fini. L’algèbre ℤG n’a qu’un bloc (donc, l’élément 1).

Plus généralement (cf. [Ro]), dans un anneau basé, les idempotents centraux associés aux cellules bilatères sont les blocs de l’anneau basé.

1.11. On fait dorénavant les hypothèses suivantes.

(int) L’anneau O est noethérien et intégralement clos, de corps des fractions F, et A est une

O–algèbre qui est libre et de rang fini comme O–module. (dep) Le corps K est une extension galoisienne de F de degré fini, et l’algèbre KA est semi–

simple déployée.

On note O_{K} la clôture intégrale de O dans K.

Descente galoisienne.

Le groupe Gal(K/F) opère sur la F –algèbre KA = K ⊗_{O} A : pour σ ∈ Gal(K/F) et λ ⊗ a ∈ K ⊗_{O} A, on pose σ(λ ⊗ a) := σ(λ) ⊗ a.

Si V est un K–espace vectoriel et si σ ∈ Gal(K/F), on note ^{σ}V le K–espace vectoriel défini sur le groupe additif V en posant λ.v := σ(λ)v pour tous λ ∈ K et v ∈ V. Si ρ: KA ⟶ End(V) est une représentation de la K–algèbre KA, sa composée avec l’opération de σ :

KA⟶^{σ}KA⟶^{ρ}End(V)

est alors une représentation notée ^{σ}ρ: KA ⟶ End(^{σ}V) . Il en résulte que le groupe Gal(K/F) opère sur Irr(KA) : pour σ ∈ Gal(K/F) et χ ∈ Irr(KA) (caractère de la représentation ρ), la composée σ · χ est encore un élément de Irr(KA) (le caractère de la représentation ^{σ}ρ).

L’opération de Gal(K/F) sur l’anneau KA induit une opération de ce groupe sur l’ensemble des idempotents de ZKA, et on a

σ(e_{χ}) = e_{σ·χ} pour tous σ ∈ Gal(K/F) , χ ∈ Irr(KA) .

Le groupe Gal(K/F) opère ainsi sur l’ensemble des idempotents de ZO_{K}A, donc sur l’ensemble des blocs de O_{K}A. Comme F ∩ O_{K} = O, les idempotents de ZA sont les idempotents de O_{K}A qui sont fixes par Gal(K/F). Il en résulte que les idempotents primitifs de ZA sont les sommes des éléments des orbites de Gal(K/F) agissant sur l’ensemble des idempotents primitifs de ZO_{K}A. Les blocs de A sont donc en bijection avec les orbites de Gal(K/F) sur l’ensemble des blocs de O_{K}A. La proposition suivante est juste une reformulation de ce résultat.

1.12. Proposition.

(1) Soit B un bloc de A, soit B′ un bloc de O_{K}A contenu dans B, et soit Gal(K/F)_{B′} le fixateur de B′ dans Gal(K/F). On a

B =  ⋃_{σ∈Gal(K/F)/Gal(K/F)_{B′}}σ(B′) ou encore e_{B} =  ∑_{σ∈Gal(K/F)/Gal(K/F)_{B′}}σ(e_{B′}) .

(2) Deux éléments χ et χ′ de Irr(KA) sont dans le même bloc de A si et seulement si il existe σ ∈ Gal(K/F) tel que σ · χ et χ′ appartiennent au même bloc de O_{K}A.

Remarque. Pour tout χ ∈ B′, on a Gal(K/F)_{χ} ⊆ Gal(K/F)_{B′} .

L’assertion (2) de la proposition précédente permet de ramener la question de la classification des éléments de Irr(KA) en blocs de A à celle de leur classification en blocs de O_{K}A.

1.B. Blocs et idéaux maximaux.

Nous nous plaçons dans ce qui suit dans le cadre des hypothèses 1.11.

Désignons par Specmax(O) l’ensemble des idéaux maximaux de O. Pour chaque 𝔭 ∈ Specmax(O), on note O_{𝔭} le localisé de O en 𝔭 : si F désigne le corps des fractions de O, l’anneau O_{𝔭} est le sous–anneau de F défini par O_{𝔭} = {x ∈ F | (∃a ∈ O − 𝔭)(ax ∈ O)} . On a

O = ⋂_{𝔭∈Specmax(O)} O_{𝔭} .

En effet, pour tout x ∈ F, soit (O : x) l’idéal de O défini par (O : x) := {a ∈ O | (ax ∈ O)} . Il est clair que

• x ∈ O si et seulement si (O : x) = O,

• x ∈ O_{𝔭} si et seulement si (O : x) ⊈ 𝔭. Ainsi si x ∉ O, il existe 𝔭 ∈ Specmax(O) tel que (O : x) ⊆ 𝔭, donc x ∉ O_{𝔭}.

Soit 𝔭 ∈ Specmax(O). On pose O_{𝔭}A := O_{𝔭} ⊗_{O} A. Pour χ, χ′ ∈ Irr(KA), on note

χ ∼_{𝔭} χ′

la relation d’équivalence définie par l’appartenance de χ et χ′ au même bloc de l’algèbre O_{𝔭}A.

1.13. Proposition. Pour χ, χ′ ∈ Irr(KA), χ et χ′ sont dans le même bloc de A si et seulement si il existe une suite finie χ_{0}, χ_{1}, …, χ_{n} d’éléments de Irr(KA) et une suite finie 𝔭_{0}, 𝔭_{1}, …, 𝔭_{n−1} d’éléments de Specmax(O) telles que

• χ_{0} = χ et χ_{n} = χ′,

• pour tout j (0 ≤ j < n), χ_{j} ∼_{𝔭_{j}} χ_{j+1} .

Démonstration de 1.13. Désignons par ∼ la relation d’équivalence sur Irr(KA) définie comme la clôture de la relation “il existe 𝔭 ∈ Specmax(O) tel que χ ∼_{𝔭} χ′”. Ainsi, on doit démontrer que χ ∼ χ′ si et seulement si χ et χ′ appartiennent au même bloc de A.

• Démontrons que la relation ∼ est plus fine que la relation “être dans le même bloc de A” (i.e., les blocs sont unions de classes d’équivalences de ∼). Pour cela, il suffit de démontrer que, pour tout 𝔭 ∈ Specmax(O), la relation ∼_{𝔭} est plus fine que la relation “être dans le même bloc de A”. Or les classes d’équivalence de ∼_{𝔭} sont les sous–ensembles minimaux C de Irr(KA) tels que ∑_{χ∈C} e_{χ} ∈ O_{𝔭}A. Comme les blocs de A sont des ensembles B tels que ∑_{χ∈B} e_{χ} ∈ A, on voit bien que les blocs de A sont des unions de blocs de O_{𝔭}A, i.e., des unions de classes d’équivalence de ∼_{𝔭}.

• Démontrons qu’inversement la relation “être dans le même bloc de A” est plus fine que la relation ∼. Soit B une classe d’équivalence de ∼. Démontrons que ∑_{χ∈B} e_{χ} ∈ A. Par définition de la relation ∼, pour tout 𝔭 ∈ Specmax(O), B est union de classes d’équivalences de la relation ∼_{𝔭}, d’où il résulte que (pour tout 𝔭 ∈ Specmax(O)) ∑_{χ∈B} e_{χ} ∈ O_{𝔭}A , d’où on déduit ∑_{χ∈B} e_{χ} ∈ A , ce qui montre bien que B est union de blocs de A. □

Il résulte des hypothèses 1.11 que, pour tout 𝔭 ∈ Specmax(O), l’anneau O_{𝔭} est noethérien (cf. par exemple [Ei], 2.3) et intégralement clos (cf. par exemple [Ei], 4.13). De même, l’anneau O_{K} est noethérien et intégralement clos.

D’autre part, puisque O est noethérien, le centre ZA de A est de type fini sur O, donc formé d’éléments entiers sur O. De même, pour tout 𝔭 ∈ Specmax(O), le centre ZO_{𝔭}A de O_{𝔭}A est de type fini sur O_{𝔭}.

Blocs et blocs résiduels.

Si 𝔭 est un idéal maximal de O, on note k_{𝔭} := O/𝔭 son corps résiduel, et π_{𝔭}: O ↠ k_{𝔭} la surjection naturelle. On désigne encore par π_{𝔭}: O_{𝔭} ↠ k_{𝔭} son extension au localisé de O en 𝔭, qui se prolonge en un morphisme encore noté π_{𝔭}: O_{𝔭}A ↠ k_{𝔭}A , lequel induit un morphisme

π_{𝔭}: ZO_{𝔭}A ↠ Zk_{𝔭}A .

Aux hypothèses 1.11,

1.14. on ajoute dorénavant l’hypothèse suivante. (ded) L’anneau O est un anneau de Dedekind.

Il en résulte que, pour tout idéal maximal 𝔭 de O, l’anneau local O_{𝔭} est un anneau de valuation discrète.

[Pour tous les résultats sur les anneaux de Dedekind utilisés ici sans référence, on peut se reporter, par exemple, à [Se], Première partie.]

La démonstration du résultat suivant est essentiellement due à Dade (cf. [Da], 1.12).

1.15. Proposition. Le morphisme

π_{𝔭}: ZO_{𝔭}A ↠ Zk_{𝔭}A

induit une bijection de l’ensemble des blocs de O_{𝔭}A sur l’ensemble des blocs de k_{𝔭}A.

Démonstration de 1.15. En appliquant le morphisme π_{𝔭} à la relation 1 = ∑_{e∈BlId(O_{𝔭}A)} e , on constate que l’image par π_{𝔭} de la famille des blocs de O_{𝔭}A est une famille d’idempotents mutuellement orthogonaux et de somme 1 dans Zk_{𝔭}A. Il suffit donc de démontrer que l’image par π_{𝔭} d’un bloc de O_{𝔭}A est un idempotent primitif dans Zk_{𝔭}A.

Dans ce qui suit, on peut supposer (ce que nous faisons dorénavant) que O = O_{𝔭}. On pose k := k_{𝔭}. De plus, quitte à remplacer l’algèbre OA par une algèbre–bloc, on peut supposer que 1 est un bloc (ce que nous faisons dorénavant). Nous devons alors démontrer que 1 est primitif dans Zk_{𝔭}A.

Soit K̂ le complété du corps des fractions K de O pour la topologie définie par la valuation de O. On sait que K̂ est un corps valué, dont la valuation prolonge celle de K. L’anneau de valuation de K̂, noté Ô, est le complété 𝔭–adique de O. L’anneau Ô est un anneau de valuation discrète de corps des fractions K̂, et on a Ô ∩ K = O .

On pose Â:= Ô ⊗_{O} A . On sait (cf. par exemple [Ei], 7.2) que Â est le complété 𝔭A–adique de A. Comme A est un O–module libre de rang fini, Â est un Ô–module libre : toute base de A sur O est aussi une base de Â sur Ô. Il en résulte en particulier que

• A s’identifie naturellement à un sous–anneau de Â,

• ZÂ ∩ A = ZA ,

• Â ∩ KA = A .

Comme KA est semi–simple déployée, les idempotents de ZÂ (qui appartiennent a priori à LA où L est une extension de degré fini du corps des fractions de Ô) appartiennent tous à ZKA, donc à ZA. Donc 1 est aussi un idempotent primitif dans ZÂ.

Il s’ensuit que l’on peut supposer (ce que nous faisons dorénavant) que O est complet (donc A = Â).

Raisonnons par l’absurde et supposons que 1 ne soit pas primitif dans Zk_{𝔭}A. Ainsi il existe un idempotent non nul \overline{e} ∈ Zk_{𝔭}A, différent de 1. D’après les théorèmes de relèvement des idempotents (cf. par exemple [Fe], 12.4), il existe un idempotent e de A d’image \overline{e} par π_{𝔭}. Le lemme suivant démontre que e est central, et établit donc la contradiction cherchée.

1.16. Lemme. Soit O un anneau noethérien local d’unique idéal maximal 𝔭 et de corps résiduel k. Soit A une O–algèbre qui est un O–module de type fini. Soit e un idempotent de A dont l’image dans kA est centrale. Alors e est central.

Démonstration de 1.16. Comme \overline{e} est central, on a

\overline{e}kA(1 − \overline{e}) = (1 − \overline{e})kA\overline{e} = \{0\} , i.e., eA(1 − e) ⊆ 𝔭A et (1 − e)Ae ⊆ 𝔭A .

Puisque e et (1 − e) sont des idempotents, on en déduit que

eA(1 − e) ⊆ 𝔭eA(1 − e) et (1 − e)Ae ⊆ 𝔭(1 − e)Ae .

Le lemme de Nakayama implique alors que

eA(1 − e) = (1 − e)Ae = {0} .

Or on a

A = eAe ⊕ eA(1 − e) ⊕ (1 − e)Ae ⊕ (1 − e)A(1 − e) ,

d’où on déduit alors

A = eAe ⊕ (1 − e)A(1 − e) ,

ce qui implique immédiatement que e est central. □

□

Blocs et morphismes centraux.

Comme l’application π_{χ}: A ↠ M_{χ} définit par restriction un morphisme ω_{χ}: ZKA ↠ K , on voit alors que sa restriction à ZA définit un morphisme

ω_{χ}: ZA ↠ O_{K} .

Le résultat suivant permet de caractériser les blocs de O_{K}A en termes des morphismes ω_{χ}.

1.17. Théorème. Supposons K = F. Deux éléments χ, χ′ ∈ Irr(KA) appartiennent au même bloc de A si et seulement si il existe une suite finie χ_{0}, χ_{1}, …, χ_{n} d’éléments de Irr(KA) et une suite finie 𝔭_{0}, 𝔭_{1}, …, 𝔭_{n−1} d’éléments de Specmax(O) telles que

• χ_{0} = χ et χ_{n} = χ′,

• pour tout j (0 ≤ j < n), ω_{χ_{j}} ≡ ω_{χ_{j+1}} mod 𝔭_{j} .

Démonstration de 1.17.

D’après la proposition 1.13, il suffit de démontrer que, pour tout 𝔭 ∈ Specmax(O), on a

(χ ∼_{𝔭} χ′) ⇔ (ω_{χ} ≡ ω_{χ′}) mod 𝔭 .

Pour cela, on remplace O par O_{𝔭}, et il suffit alors de démontrer la proposition suivante, cas particulier du théorème 1.17 dans le cas où O est local.

1.18. Proposition. On suppose l’anneau O de valuation discrète, on note 𝔭 son unique idéal maximal, et on suppose K = F. Alors deux caractères irréductibles χ et χ′ de KA sont dans le même bloc de A si et seulement si, pour tout a ∈ ZA, on a

ω_{χ}(a) ≡ ω_{χ′}(a) mod 𝔭 .

Démonstration de 1.18. Supposons que χ appartient au bloc B, d’idempotent e_{B} ∈ ZA, et que χ′ appartient au bloc B′, d’idempotent e_{B′} ∈ ZA.

On a donc ω_{χ}(e_{B}) = ω_{χ′}(e_{B′}) = 1 , et si B ≠ B′, on a ω_{χ}(e_{B′}) = ω_{χ′}(e_{B}) = 0 . On voit donc bien que si B ≠ B′, on a

ω_{χ}(e_{B}) ≢ ω_{χ′}(e_{B}) mod 𝔭 .

Supposons maintenant que B = B′. En remplaçant l’algèbre A par l’algèbre Ae_{B}, on se ramène au cas où 1 est un idempotent primitif de ZA. Nous devons démontrer, sous cette hypothèse supplémentaire, que tous les morphismes d’algèbres ω: ZA ⟶ O définissent, par réduction modulo 𝔭, le même morphisme \overline{ω}: ZA ⟶ O/𝔭.

Posons k := O/𝔭. On sait (cf. ci–dessus 1.15) que 1 est un bloc de kA. Il y a donc (cf. ci–dessus 1.7) un seul morphisme d’algèbres ZkA ⟶ k, ce qui montre bien que tous les morphismes ω: ZA ⟶ O définissent le même morphisme \overline{ω}: ZA ⟶ O/𝔭. □

□

1.C. Cas des algèbres symétriques.

1.19. On fait dorénavant les hypothèses suivantes.

(int) L’anneau O est noethérien et intégralement clos, de corps des fractions F, et A est une

O–algèbre qui est libre et de rang fini comme O–module. (sym) La O–algèbre A est symétrique, munie d’une forme symétrisante t, i.e., une forme

linéaire t: A ⟶ O telle que le morphisme

t̂: A ⟶ Hom_{O}(A, O) , a ↦ (x ↦ t̂(a)(x) := t(ax))

est un isomorphisme (de (A, A)–bimodules, ou “A–modules–A”).

Notations.

Pour tout idéal maximal 𝔭 de O, on pose k_{𝔭} := O_{𝔭}/𝔭O_{𝔭}. Si 𝔮 est un idéal maximal de O_{K} au–dessus de 𝔭 (i.e., 𝔮 ∩ O = 𝔭), on pose k_{𝔮} := O_{K}/𝔮 . Le corps k_{𝔮} est une extension de degré fini de k_{𝔭}.

On sait (cf. par exemple [GePf], 7.3.8 ou encore [BMM2], 7.1) que pour tous χ ∈ Irr(KA) et a ∈ O_{K}A, on a χ(a) ∈ O_{K}. On note alors \overline{χ}_{𝔮}: O_{K}A ⟶ k_{𝔮} l’application obtenue par composition avec la surjection canonique de O_{K} sur k_{𝔮}.

Élément de Casimir.

Puisque A est un O–module libre de type fini, l’application naturelle

Hom_{O}(A, O) ⊗_{O} A ⟶^{∼} Hom_{O}(A, A) induite par φ ⊗ a ↦ (x ↦ φ(x)a)

est un isomorphisme. En composant cet isomorphisme avec l’isomorphisme

A ⊗_{O} A ⟶^{∼} Hom_{O}(A, O) ⊗ A , a ⊗ b ↦ t̂(a) ⊗ b ,

on obtient un isomorphisme

A ⊗_{O} A ⟶^{∼} Hom_{O}(A, A) .

On désigne par C_{A,t} (ou plus simplement par C_{A}) et on appelle élément de Casimir de (A, t) l’image réciproque de Id_{A} par l’isomorphisme ci–dessus.

Exemple. Dans le cas où O = ℤ et A = ℤG (G un groupe fini), on a C_{ℤG} = ∑_{g∈G} g^{−1} ⊗ g .

Pour la commodité du lecteur, nous rappelons brièvement les premières propriétés de l’élément de Casimir (pour un traitement plus détaillé, on peut se reporter à [Bro], [GePf], chap. 7, [GeRo], ou [BMM2], Appendix).

1.20. Lemme. Soit I un ensemble fini, et soient (e_{i})_{i∈I} et (e′_{i})_{i∈I} deux familles d’éléments de A indexées par I. Par définition de l’élément de Casimir, les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) C_{A} = ∑_{i∈I} e′_{i} ⊗ e_{i} .

(ii) Pour tout a ∈ A, on a a = ∑_{i} t(ae′_{i})e_{i} .

On introduit aussi l’image c_{A} de C_{A} par le morphisme de multiplication A⊗A ⟶ A. Ainsi, si C_{A} = ∑_{i∈I} e′_{i} ⊗ e_{i}, on a

c_{A} = ∑_{i} e′_{i}e_{i} .

Remarque. Si (e_{i})_{i∈I} est une base de A sur O, et si (e′_{i})_{i∈I} est la base duale (définie par la condition t(e_{i}e′_{i′}) = δ_{i,i′}), alors C_{A} = ∑_{i∈I} e′_{i} ⊗ e_{i} .

Dans tout ce qui suit, on suppose que I est un ensemble fini, et (e_{i})_{i∈I} et (e′_{i})_{i∈I} sont deux familles d’éléments de A indexées par I, tels que

C_{A} = ∑_{i∈I} e′_{i} ⊗ e_{i} .

La caractérisation 1.20 permet de démontrer (cf. aussi [BMM2], 7.9) les propriétés suivantes de l’élément de Casimir.

1.21. Lemme.

(1) Pour tout a ∈ A, on a ∑_{i} ae′_{i} ⊗ e_{i} = ∑_{i} e_{i} ⊗ e′_{i}a .

(2) On a ∑_{i} e′_{i} ⊗ e_{i} = ∑_{i} e_{i} ⊗ e′_{i} , et aC_{A} = C_{A}a pour tout a ∈ A . On a c_{A} ∈ ZA.

(3) Pour tout a ∈ A, on a

a = ∑_{i} t(ae′_{i})e_{i} = ∑_{i} t(ae_{i})e′_{i} = ∑_{i} t(e′_{i})e_{i}a = ∑_{i} t(e_{i})e′_{i}a .

Si τ: A → O est une forme linéaire, on note τ^{∨} l’élément de A défini par la condition

t(τ^{∨}a) = τ(a) pour tout a ∈ A .

On a alors (cf. par exemple [BMM2], 7.10) :

1.22. Lemme.

(1) τ est une forme centrale (i.e., τ(aa′) = τ(a′a) pour tous a, a′ ∈ A) si et seulement si τ^{∨} ∈ ZA.

(2) On a τ^{∨} = ∑_{i} τ(e′_{i})e_{i} = ∑_{i} τ(e_{i})e′_{i} , et plus généralement, pour tout a ∈ A, on a τ^{∨}a = ∑_{i} τ(e′_{i}a)e_{i} = ∑_{i} τ(e_{i}a)e′_{i} .

Notons χ_{reg} le caractère de la représentation régulière de A, i.e., la forme linéaire sur A définie par

χ_{reg}(a) := tr_{A/O}(λ_{a})

où λ_{a}: A ⟶ A , x ↦ ax , est l’endomorphisme de multiplication à gauche par a.

1.23. Proposition. Pour tout a ∈ A, on a

χ_{reg}(a) = t(ac_{A}) , ou encore χ_{reg}^{∨} = c_{A} .

Démonstration de 1.23. La propriété caractéristique de l’élément de Casimir C_{A} montre que, par l’isomorphisme A^{∗}⊗A ⟶^{∼} Hom_{O}(A, A) , l’endomorphisme λ_{a} correspond à ∑_{i∈I} t̂(e′_{i}a)⊗e_{i} . Il en résulte que la trace de λ_{a} est

tr(λ_{a}) = ∑_{i∈I} t̂(e′_{i}a)(e_{i}) = ∑_{i∈I} t(e′_{i}ae_{i}) = t(c_{A}a) .

□

Élément de Casimir et projectivité.

Soit V un A–module, supposé projectif comme O–module (ainsi, le morphisme naturel Hom_{O}(V, O) ⊗_{O} V ⟶ Hom_{O}(V, V) est un isomorphisme). Le morphisme de A–modules

t_{V} : \{ \begin{matrix}Hom_{A}(V, A) ⟶ Hom_{O}(V, O) \\ ϕ ↦ t · ϕ \end{matrix}

est un isomorphisme, d’inverse le morphisme t_{V}^{−1} : Hom_{O}(V, O) ⟶ Hom_{A}(V, A) défini par la condition

∀a ∈ A, v ∈ V, ψ ∈ Hom_{O}(V, O) , ψ(av) = t(at_{V}^{−1}(ψ)(v)) .

Il en résulte que le morphisme naturel Hom_{A}(V, A) ⊗_{O} V ⟶ Hom_{A}(V, V) se factorise de la façon suivante

Hom_{A}(V, A) ⊗_{O} V ⟶^{∼} Hom_{O}(V, O) ⊗_{O} V ⟶^{∼} Hom_{O}(V, V)⟶^{H_{V}}Hom_{A}(V, V)

où l’application H_{V} est définie par la formule suivante :

H_{V} (α)(v) := ∑_{i∈I} e′_{i}α(e_{i}v) .

1.24. Proposition. Soit V un A–module qui est un O–module projectif de type fini. Le A–module V est projectif si et seulement si l’image de l’application

H_{V} : \{ \begin{matrix}Hom_{O}(V, V) ⟶ Hom_{A}(V, V) \\ α ↦ ∑_{i∈I} e′_{i}α(e_{i}v) \end{matrix}

contient l’identité de V.

Démonstration de 1.24. On sait en effet que V est projectif comme A–module si et seulement si le morphisme naturel Hom_{A}(V, A) ⊗_{O} V ⟶ Hom_{A}(V, V) atteint l’identité de V. □

Éléments de Schur.

Suivant [GePf], §7.2 (cf. aussi [GeRo], ou [BMM2], Appendix), pour tout χ ∈ Irr(KA) on appelle élément de Schur de χ relatif à t et on note s_{χ} l’élément de O_{K} défini par

(1.25)  s_{χ} := ω_{χ}(χ^{∨}) .

Exemple. Dans le cas où O = ℤ, A = ℤG (G un groupe fini), et t est la forme naturelle sur ℤG, on

a s_{χ} = \frac{|G|}{χ(1)} . Il est à noter que, dans le cas général traité ici et contrairement au cas d’une algèbre

de groupe, les éléments de Schur n’appartiennent pas nécessairement à O (voir par exemple le cas de l’algèbre de Hecke générique d’un groupe de Weyl de type G_{2} cité plus loin, dont les éléments de Schur appartiennent à une extension finie de O, mais pas à O).

Aux hypothèses 1.19, nous ajoutons dorénavant l’hypothèse suivante.

1.26. (dep) Le corps K est une extension galoisienne de F de degré fini, et l’algèbre KA est semi–simple déployée.

Les propriétés suivantes des éléments de Schur se déduisent facilement des énoncés 1.21, 1.22 et 1.23 ci–dessus (cf. aussi [Bro], [Ge], [GePf], [GeRo], ou [BMM2], Appendix).

1.27. Proposition.

(sch1) On a t = ∑_{χ∈Irr(KA)} \frac{1}{s_{χ}} χ .

(sch2) Pour tout χ ∈ Irr(KA), l’idempotent primitif de ZKA associé à χ est

e_{χ} = \frac{1}{s_{χ}} χ^{∨} = \frac{1}{s_{χ}} ∑_{i∈I} χ(e′_{i})e_{i} .

(sch3) Pour tout χ ∈ Irr(KA), on a

s_{χ}χ(1) = ∑_{i} χ(e′_{i})χ(e_{i}) et s_{χ}χ(1)^{2} = χ (∑_{i} e′_{i}e_{i}) .

Les blocs de A sont alors caractérisés de la façon suivante.

1.28. Proposition. Les blocs de A sont les sous–ensembles non vides B de Irr(KA) minimaux pour la condition

∑_{χ∈B} \frac{1}{s_{χ}} χ(a) ∈ O pour tout a ∈ A .

Avec les notations ci–dessus, pour tout σ ∈ Gal(K/F), on a

σ(e_{χ}) = \frac{1}{σ(s_{χ})} ∑_{i∈I} σ(χ(e′_{i}))e_{i} ,

d’où

σ(e_{χ}) = e_{σ·χ} et σ(s_{χ}) = s_{σ·χ} .

Pour χ, χ′ ∈ Irr(KA), notons χ ∼_{F} χ′ la relation “χ et χ′ sont dans la même orbite sous Gal(K/F)”. On pose

e_{χ}^{F} := ∑_{χ′∼_{F} χ} e_{χ′} .

Il est clair que e_{χ}^{F} est un idempotent primitif de ZF A, et on a

e_{χ}^{F} = ∑_{i∈I} ∑_{σ} \frac{1}{σ(s_{χ})}σ(χ(e′_{i}))e_{i}

où σ parcourt un système de représentants des classes de Gal(K/F) modulo le fixateur de χ.

Blocs de défaut nul.

Définition. Soit 𝔭 un idéal maximal de O et soit χ ∈ Irr(KA). On dit que χ est de 𝔭–défaut nul si, pour tout idéal maximal 𝔮 de O_{K} au–dessus de 𝔭, on a s_{χ} ∉ 𝔮.

1.29. Lemme. Soit 𝔭 un idéal maximal de O et soit χ ∈ Irr(KA) un caractère de 𝔭–défaut nul. Alors l’idempotent e_{χ}^{F} est un bloc de O_{𝔭}A.

Démonstration de 1.29. Posons (O_{K})_{𝔭} := \{\frac{λ}{s} | (λ ∈ O_{K})(s ∈ O − 𝔭)\} . L’ensemble des idéaux maximaux de (O_{K})_{𝔭} est l’ensemble des idéaux de la forme 𝔮(O_{K})_{𝔭} où 𝔮 est un idéal maximal de O_{K} au–dessus de 𝔭. Il en résulte que ⋂_{𝔮⊇𝔭}(O_{K})_{𝔮} = (O_{K})_{𝔭} , donc que F ∩ ⋂_{𝔮⊇𝔭}(O_{K})_{𝔮} = O_{𝔭} .

Si χ est de 𝔭–défaut nul, il en est de même de σ · χ pour tout σ ∈ Gal(K/F). Il en résulte donc que, pour tout idéal maximal 𝔮 de O_{K} au–dessus de 𝔭, on a e_{χ}^{F} ∈ (O_{K})_{𝔮}A ∩ F A , et par suite on a e_{χ}^{F} ∈ O_{𝔭}A . □

Remarque. Nous ignorons si la réciproque de l’énoncé de 1.29 est vraie. Cependant, en supposant que K = F et que le morphisme naturel ZO_{𝔭}A ⟶ Zk_{𝔭}A est surjectif, on peut démontrer cette réciproque en utilisant les résultats de [GeRo], §3. Noter que cette réciproque est vraie dans le cas où A est l’algèbre d’un groupe fini.

Mauvais idéaux maximaux.

1.30. Théorème. Soit 𝔭 un idéal maximal de O. On suppose que, pour tout idéal maximal 𝔮 de O_{K} au–dessus de 𝔭, l’extension k_{𝔮}/k_{𝔭} est séparable.

(1) L’algèbre k_{𝔭}A est semi–simple si et seulement si, pour tout χ ∈ Irr(KA), χ est de 𝔭– défaut nul. Pour tout idéal premier 𝔮 de O_{K} au–dessus de 𝔭, l’algèbre k_{𝔮}A est alors semi–simple déployée.

(2) Si tel est le cas, l’application χ ↦ \overline{χ}_{𝔮} est une bijection Irr(KA) ⟶^{∼} Irr(k_{𝔮}A) .

Démonstration de 1.30. Comme on suppose l’extension k_{𝔮}/k_{𝔭} séparable, la k_{𝔭}–algèbre k_{𝔭}A est semi–simple si et seulement si la k_{𝔮}–algèbre k_{𝔮}A est semi–simple. La première assertion est alors un théorème dû à Geck (cf. [GePf], 7.4.7, et aussi [GeRo], 4.3, ou [BMM2], 7.13).

La deuxième assertion est alors le “théorème de déformation de Tits” (cf. par exemple [BMM2], 7.2). □

Définition.

• Un idéal maximal 𝔭 de O est dit mauvais pour A s’il existe χ ∈ Irr(KA) et un idéal maximal 𝔮 de O_{K} au–dessus de 𝔭 tel que s_{χ} ∈ 𝔮.

• Il est dit bon s’il n’est pas mauvais. Tel est le cas si et seulement si tous les caractères irréductibles de KA sont de 𝔭–défaut nul.

Remarquons que, de plus, sous les hypothèses du théorème 1.30, l’idéal 𝔭 est bon si et seulement si l’algèbre k_{𝔭}A est semi–simple.

D’après le lemme 1.29, si 𝔭 est bon pour A, les blocs de O_{𝔭}A ne sont que les orbites de Gal(K/F) sur Irr(KA). Le résultat suivant est alors une conséquence immédiate de la proposition 1.13.

1.31. Proposition. Si tous les idéaux maximaux de O sont bons pour A, les blocs de A ne sont que les orbites de Gal(K/F) sur Irr(KA).

Remarque. Dans le cas où O = ℤ et A = ℤG (G un groupe fini), les nombres premiers mauvais pour A sont les diviseurs premiers de l’ordre de G.

1.D. Algèbres symétriques de groupes finis.

Ce paragraphe donne les outils élémentaires nécessaires pour traiter le cas de l’algèbre de Hecke d’un groupe de réflexion complexe de type G(d, d, r) vue comme sous–algèbre d’une spécialisation de l’algèbre de Hecke d’un groupe de type G(d, 1, r) – ce qui sera fait dans la dernière partie de cet article.

Les résultats ci–dessous généralisent les résultats classiques de la théorie des représentations des groupes finis connus sous le nom de “théorie de Clifford” (voir par exemple [Is], chap. 6). Pour la commodité et la sécurité du lecteur, nous les démontrons sommairement dans le cas un peu plus général qui nous occupe.

Sous–algèbres symétriques.

Soit A une O–algèbre symétrique, munie d’une forme symétrisante t. Soit \overline{A} une sous–algèbre de A, supposée libre (et de rang fini) comme O–module.

On note \overline{A}^{⊥} l’orthogonal de \overline{A} pour la forme t, i.e., le sous–\overline{A}–module–\overline{A} de A défini par

\overline{A}^{⊥} := \{a ∈ A | (∀\overline{a} ∈ \overline{A})(t(a\overline{a}) = 0)\} .

La démonstration du résultat suivant est laissée en exercice au lecteur.

1.32. Proposition.

(1) La restriction de t à \overline{A} est une forme symétrisante pour \overline{A} si et seulement si \overline{A}⊕\overline{A}^{⊥} = A , et dans ce cas la projection de A sur \overline{A} parallèlement à \overline{A}^{⊥} est l’application

BrA ; \overline{A}: A ⟶ \overline{A} telle que t(BrA ; \overline{A}(a)\overline{a}) = t(a\overline{a}) pour tous a ∈ A et \overline{a} ∈ \overline{A} .

(2) Si la restriction de t à \overline{A} est une forme symétrisante pour \overline{A}, alors \overline{A}^{⊥} est le sous \overline{A}–module–\overline{A} de A caractérisé par l’ensemble des deux propriétés suivantes :

(a) on a A = \overline{A} ⊕ \overline{A}^{⊥} (comme \overline{A}–modules–\overline{A}),

(b) et \overline{A}^{⊥} ⊆ ker(t).

Remarque Dans le cas où A = OG est l’algèbre d’un groupe fini G et \overline{A} = O\overline{G} est l’algèbre d’un sous–groupe \overline{G} de G, le morphisme BrA ; \overline{A} est la projection définie par g ↦ g si g ∈ \overline{G}, et g ↦ 0 si g ∉ \overline{G}.

Definition. Soit A une O–algèbre symétrique, munie d’une forme symétrisante t. Soit \overline{A} une sous–algèbre de A. On dit que \overline{A} est une sous–algèbre symétrique de A (munie de t) si

(1) \overline{A} est libre (de rang fini) comme O–module et la restriction ResA ; \overline{A}(t) de la forme t à la sous–algèbre \overline{A} est une forme symétrisante,

(2) via l’opération de multiplication à gauche par les éléments de \overline{A}, A est libre (de rang fini) comme \overline{A}–module.

Remarque. Puisque A est symétrique, on a A ≃ Hom_{O}(A, O) comme A–modules–A. Il en résulte que A, vu comme module–\overline{A}, est isomorphe à Hom_{O}(A, O) (où A est vu comme \overline{A}– module). Par conséquent si \overline{A} est une sous–algèbre symétrique de A, on voit que A est aussi libre comme module–\overline{A} via l’opération de multiplication à droite par les éléments de \overline{A}. De plus, le rang de A comme \overline{A}–module est égal à son rang comme module–\overline{A}, et aussi égal au quotient du rang de A sur O par le rang de \overline{A} sur O. On note cet entier [A : \overline{A}].

On suppose dorénavant que \overline{A} est une sous–algèbre symétrique de A, et on note \overline{t} la restriction de t à \overline{A}.

On note

IndA ; \overline{A}: _{\overline{A}}mod ⟶ _{A}mod et ResA ; \overline{A}: _{A}mod ⟶ _{\overline{A}}mod

les foncteurs définis comme il est d’usage par

IndA ; \overline{A} := A ⊗\overline{A} − où A est vu comme un A–module–\overline{A}

et

ResA ; \overline{A} := A ⊗_{A} − où A est vu comme un \overline{A}–module–A .

Notons que, puisque A est supposée libre comme \overline{A}–module et comme module–\overline{A}, les foncteurs ResA ; \overline{A} et IndA ; \overline{A} sont adjoints l’un de l’autre des deux côtés.

Supposons de plus que K est une extension galoisienne finie du corps F des fractions de O qui possède la propriété suivante :

1.33. Les algèbres KA et K\overline{A} sont semi–simples déployées.

On note ⟨−, −⟩_{KA} le produit scalaire sur le K–espace vectoriel des fonctions centrales pour lequel la famille (χ)_{χ∈Irr(KA)} est orthonormale. De même, on note ⟨−, −⟩_{K\overline{A}} le produit scalaire sur le K–espace vectoriel des fonctions centrales pour lequel la famille (\overline{χ})_{\overline{χ}∈Irr(K\overline{A})} est orthonormale.

La double adjonction des foncteurs Res_{K\overline{A}}^{KA} et Ind_{K\overline{A}}^{KA} implique la formule de réciprocité de Frobenius :

⟨χ, Ind_{K\overline{A}}^{KA}(\overline{χ})⟩_{KA} = ⟨Res_{K\overline{A}}^{KA}(χ), \overline{χ}⟩_{K\overline{A}} .

Pour tout élément χ ∈ Irr(KA), on pose

Res_{K\overline{A}}^{KA}(χ) = ∑_{\overline{χ}∈Irr(K\overline{A})} m_{χ,\overline{χ}} \overline{χ} (où m_{χ,\overline{χ}} ∈ ℕ) .

Noter que la formule de réciprocité de Frobenius implique alors (pour tout \overline{χ} ∈ Irr(K\overline{A}))

Ind_{K\overline{A}}^{KA}(\overline{χ}) = ∑_{χ∈Irr(KA)} m_{χ,\overline{χ}} χ .

La propriété suivante est immédiate.

1.34. Pour χ ∈ Irr(KA) et \overline{χ} ∈ Irr(K\overline{A}), notons e(χ) et \overline{e}(\overline{χ}) respectivement les idempotents primitifs centraux de KA et K\overline{A} associés à χ et \overline{χ}. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) m_{χ,\overline{χ}} ≠ 0 , (ii) e(χ)\overline{e}(\overline{χ}) ≠ 0 .

Pour tout \overline{χ} ∈ Irr(K\overline{A}), on pose

Irr(KA, \overline{χ}) := \{χ ∈ Irr(KA) | (m_{χ,\overline{χ}} ≠ 0)\} ,

et pour tout χ ∈ Irr(KA), on pose de manière analogue

Irr(K\overline{A}, χ) := \{\overline{χ} ∈ Irr(K\overline{A}) | (m_{χ,\overline{χ}} ≠ 0)\} .

On note respectivement s_{χ} et s\overline{χ} les éléments de Schur de χ et \overline{χ} (relativement aux formes symétrisantes t pour A et \overline{t} pour \overline{A}). 1.35. Lemme. Pour tout \overline{χ} ∈ Irr(K\overline{A}), on a

\frac{1}{s\overline{χ}} = ∑_{χ∈Irr(KA,\overline{χ})} \frac{m_{χ,\overline{χ}}}{s_{χ}} .

En effet, cela résulte des formules

t = ∑_{χ∈Irr(KA)} \frac{1}{s_{χ}} χ , \overline{t} = ∑_{\overline{χ}∈Irr(K\overline{A})} \frac{1}{s\overline{χ}} \overline{χ} , \overline{t} = ResA ; \overline{A}(t) .

Définition. On dit que l’algèbre symétrique (A, t) est l’algèbre symétrique d’un groupe fini G sur la sous–algèbre \overline{A}, et on note alors A = \overline{A}G, si les conditions suivantes sont vérifiées :

• \overline{A} est une sous–algèbre symétrique de A,

• G est un sous–groupe fini du groupe A^{×} des éléments inversibles de A, tels que

(1) G normalise \overline{A}, i.e., pour tous g ∈ G et \overline{a} ∈ \overline{A}, on a g\overline{a}g^{−1} ∈ \overline{A},

(2) la famille (g)_{g∈G} est une base de A comme \overline{A}–module Il résulte de la caractérisation de \overline{A}^{⊥} énoncée dans la proposition 1.32, (2), que

(3) on a

⨁_{{g∈G \atop g≠1}} \overline{A}g = \overline{A}^{⊥} .

Soit A l’algèbre symétrique de G sur \overline{A}. Les propriétés suivantes sont des conséquences immédiates de la définition précédente :

• la famille (g)_{g∈G} est une base de A comme module–\overline{A},

• ⨁_{{g∈G \atop g≠1}} g\overline{A} = \overline{A}^{⊥} .

Bases duales d’une algèbre symétrique d’un groupe fini.

Le résultat suivant est immédiat à partir des définitions ci–dessus. Il sera utilisé par la suite.

1.36. Proposition. Soit A une algèbre symétrique du groupe fini G sur la sous–algèbre symétrique \overline{A}. Soit (\overline{e}_{i})_{i∈I} et (\overline{e}′_{i})_{i∈I} deux O–bases de \overline{A} duales l’une de l’autre. Alors les familles

(\overline{e}_{i}g)_{i∈I,g∈G} et (g^{−1}\overline{e}′_{i})_{i∈I,g∈G}

sont deux O–bases de A duales l’une de l’autre.

Équivalence de Morita liée au fixateur d’un bloc de \overline{A}.

Soit \overline{b} un bloc de \overline{A}. Alors pour tout g ∈ G, l’idempotent g(\overline{b}) est un bloc de \overline{A}, donc ou bien g(\overline{b}) = \overline{b}, ou bien g(\overline{b}) est orthogonal à \overline{b}. On note

Tr(G, \overline{b}) := ∑_{g∈G/G\overline{b}} g(\overline{b})

la somme des transformés distincts de \overline{b} par G (où G\overline{b} désigne le fixateur de \overline{b} dans G). On voit ainsi que

• \overline{b} est un idempotent central de \overline{A}G\overline{b},

• Tr(G, \overline{b}) est un idempotent central de A = \overline{A}G.

Dans ce qui suit, on pose b := Tr(G, \overline{b}) .

On remarque que

\overline{b}g\overline{b} = \{ \begin{matrix}\overline{b}g = g\overline{b} si g ∈ G\overline{b} \\ 0 sinon , \end{matrix}

et que, pour tout g ∈ G,

\overline{b}gb = \overline{b}g et bg\overline{b} = g\overline{b} ,

d’où on déduit facilement la proposition suivante.

1.37. Proposition. Les applications

\{ \begin{matrix}bA\overline{b} ⊗_{\overline{A}G\overline{b}\overline{b}} \overline{b}Ab ⟶ Ab \\ bg\overline{a}\overline{b} ⊗ \overline{b}\overline{a}′g′ ↦ g\overline{a}\overline{a}′g′ \\ ab ↦ ∑_{g∈G/G\overline{b}} ag\overline{b} ⊗ \overline{b}g^{−1} \end{matrix}  et  \{ \begin{matrix}\overline{b}Ab ⊗_{Ab} bA\overline{b} ⟶ \overline{A}G\overline{b}\overline{b} \\ \overline{b}\overline{a}gb ⊗ bg′\overline{a}′\overline{b} ↦ \{ \begin{matrix}\overline{b}\overline{a}gg′\overline{a}′\overline{b} si gg′ ∈ G\overline{b} , \\ 0 sinon \end{matrix} \\ \overline{a}g\overline{b} ↦ \overline{a}g\overline{b} ⊗ \overline{b} (où g ∈ G\overline{b}) \end{matrix}

définissent des isomorphismes respectivement inverses l’un de l’autre

bA\overline{b} ⊗_{\overline{A}G\overline{b}\overline{b}} \overline{b}Ab ⟷^{∼} Ab  et  \overline{b}Ab ⊗_{Ab} bA\overline{b} ⟷^{∼} \overline{A}G\overline{b}\overline{b} .

En particulier les foncteurs

IndA ; \overline{A} = (bA\overline{b} ⊗_{\overline{A}\overline{b}} −) et \overline{b}▪ ResA ; \overline{A} = (\overline{b}Ab ⊗_{Ab} −)

définissent des équivalences de catégories inverses l’une de l’autre entre _{Ab}mod et _{\overline{A}G\overline{b}\overline{b}}mod.

Multiplication d’un A–module par un OG–module.

Soit X un A–module et soit ρ: A ⟶ End_{O}(X) le morphisme structurel. On définit un foncteur additif

X▪ − : _{OG}mod ⟶ _{A}mod , Y ↦ X▪ Y ,

de la manière suivante :

Si Y est un OG–module et σ: OG ⟶ End_{O}(Y) le morphisme structurel, on note X▪ Y le O–module X ⊗_{O} Y muni de l’opération de A définie par le morphisme

ρ▪ σ: A ⟶ End(X ⊗ Y) , \overline{a}g ↦ ρ(\overline{a}g) ⊗ σ(g) .

[On remarque que ρ▪ σ est bien un morphisme, puisque

\begin{aligned}ρ▪ σ(\overline{a}g\overline{a}′g′) & = ρ▪ σ(\overline{a}g\overline{a}′g^{−1}gg′) = ρ(\overline{a}g\overline{a}′g^{−1}gg′) ⊗ σ(gg′) = ρ(\overline{a}g\overline{a}′g′) ⊗ σ(gg′) \\ & = ρ(\overline{a}g)ρ(\overline{a}′g′) ⊗ σ(g)σ(g′) = (ρ(\overline{a}g) ⊗ σ(g))(ρ(\overline{a}′g′) ⊗ σ(g′)) = (ρ▪ σ(\overline{a}g))(ρ▪ σ(\overline{a}′g′)) .] \end{aligned}

1.38. Proposition. L’application A ⊗\overline{A} X ⟶ X▪ OG définie par

g ⊗\overline{A} x ↦ g(x) ⊗_{O} g (pour tous x ∈ X et g ∈ G)

est un isomorphisme de A–modules

IndA ; \overline{A}(X) ⟶^{∼} X▪ OG .

En effet, on remarque que, • d’une part, comme O–modules, on a IndA ; \overline{A}(X) = A⊗\overline{A}X = OG⊗\overline{A}⊗\overline{A}X = OG⊗_{O}X ≃ X▪ OG ,

• d’autre part, pour tous h ∈ G et \overline{a} ∈ \overline{A}, on a \overline{a}h(g ⊗\overline{A} x) = \overline{a}hg ⊗\overline{A} x = hg ⊗\overline{A} (hg)^{−1}\overline{a}hg(x) , élément dont l’image dans X▪ OG est hg ⊗_{O} \overline{a}hg(x) = h\overline{a}(g ⊗_{O} g(x)) .

Induction et restriction des KA–modules et des K\overline{A}–modules.

Induction de certains K\overline{A}–modules.

Si X est un KA–module de caractère χ et si Y est un KG–module de caractère ξ, on note χ▪ ξ le caractère du KA–module X▪ Y.

1.39. Proposition. Soit χ un caractère irréductible de KA, dont on suppose qu’il se restreint en un caractère irréductible \overline{χ} de K\overline{A}.

(1) Les caractères (χ▪ ξ)_{(ξ∈Irr(KG))} sont des caractères irréductibles de KA deux-à-deux distincts.

(2) On a

Ind_{K\overline{A}}^{KA}(\overline{χ}) = ∑_{ξ∈Irr(KG)} ξ(1)χ▪ ξ .

Démonstration de 1.39.

Il résulte de la proposition 1.38 ci–dessus que Ind_{K\overline{A}}^{KA}(\overline{χ}) = ∑_{ξ∈Irr(KG)} ξ(1)χ▪ ξ .

D’autre part, la formule de réciprocité de Frobenius montre que Ind_{K\overline{A}}^{KA}(\overline{χ}) est de carré scalaire |G|. Il en résulte que

|G| = ∑_{ξ,ξ′∈Irr(KG)} ξ(1)ξ′(1)⟨χ▪ ξ, χ▪ ξ′⟩_{KA} .

Or on sait que |G| = ∑_{ξ∈Irr(KG)} ξ(1)^{2} , d’où on déduit que ⟨χ▪ ξ, χ▪ ξ′⟩_{KA} = δ_{ξ,ξ′} , ce qui démontre la proposition 1.39. □

La proposition suivante décrit l’induction des caractères \overline{χ} de K\overline{A} qui se prolongent en un caractère de l’algèbre K\overline{A}G\overline{b}.

1.40. Proposition. Soit \overline{χ} ∈ Irr(K\overline{A}). On suppose que \overline{χ} s’étend en un caractère (irréductible) χ̃ de l’algèbre K\overline{A}G\overline{χ}. On note

χ := Ind_{K\overline{A}G\overline{χ}}^{KA}(χ̃) et χ_{ξ} := Ind_{K\overline{A}G\overline{χ}}^{KA}(χ̃▪ ξ) pour tout ξ ∈ Irr(KG\overline{χ}) .

(1) Les caractères (χ_{ξ})_{(ξ∈Irr(KG\overline{χ}))} sont des caractères irréductibles de KA deux à deux distincts.

(2) On a

Ind_{K\overline{A}}^{KA}(\overline{χ}) = ∑_{ξ∈Irr(KG\overline{χ})} ξ(1)χ_{ξ} .

En particulier, on a

m_{χ_{ξ},\overline{χ}} = ξ(1) et χ_{ξ}(1) = |G : G\overline{χ}|\overline{χ}(1)ξ(1) .

(3) Pour tout ξ ∈ Irr(KG\overline{χ}), on a

s_{χ_{ξ}} = \frac{|G\overline{χ}|}{ξ(1)}s\overline{χ} .

Démonstration de 1.40.

La proposition 1.37, appliquée à la K–algèbre KA et au bloc \overline{e}(\overline{χ}) de la sous–algèbre K\overline{A}, montre que le foncteur d’induction Ind_{K\overline{A}}^{KA} est une équivalence de Morita de la catégorie des K\overline{A}\overline{e}(\overline{χ})–modules vers son image. Les deux premières assertions s’en déduisent.

Pour calculer l’élément de Schur s_{χ_{ξ}}, on utilise la deuxième formule de l’assertion (sch3) de la proposition 1.27, et la proposition 1.36. Ainsi, si (\overline{e}_{i})_{i∈I} et (\overline{e}′_{i})_{i∈I} sont deux bases de \overline{A} duales l’une de l’autre, on a

s_{χ_{ξ}}χ_{ξ}(1)^{2} = χ_{ξ} ( ∑_{i∈I,g∈G} \overline{e}′_{i}gg^{−1}\overline{e}_{i}) = |G|χ_{ξ} ( ∑_{i∈I,g∈G} \overline{e}′_{i}\overline{e}_{i}) .

Comme

χ_{ξ}(1)^{2} = |G : G\overline{χ}|^{2}\overline{χ}(1)^{2}ξ(1)^{2} et χ_{ξ}(\overline{a}) = |G : G\overline{χ}|ξ(1)\overline{χ}(\overline{a}) pour tout \overline{a} ∈ \overline{A} ,

on en déduit

s_{χ_{ξ}}|G : G\overline{χ}|^{2}\overline{χ}(1)^{2}ξ(1)^{2} = |G : G\overline{χ}|ξ(1)s\overline{χ}\overline{χ}(1)^{2} ,

d’où la formule annoncée. □

Opération de G sur Irr(K\overline{A}) et restriction des caractères de KA.

• Pour tout \overline{χ} ∈ Irr(K\overline{A}) et tout g ∈ G, on a \overline{e}(g(\overline{χ})) = g(\overline{e}(\overline{χ})) .

Pour tout \overline{χ} ∈ Irr(K\overline{A}), on note G\overline{χ} son stabilisateur. Si \overline{Ω} désigne l’orbite de \overline{χ} sous G, on a ainsi |\overline{Ω}| = |G|/|G\overline{χ}| . On note \overline{e}(\overline{Ω}) la somme de tous les idempotents primitifs associés aux éléments de \overline{Ω} :

\overline{e}(\overline{Ω}) = ∑_{g∈G/G\overline{χ}} \overline{e}(g(\overline{χ})) = ∑_{g∈G/G\overline{χ}} g(\overline{e}(\overline{χ})) .

Si \overline{χ} ∈ \overline{Ω}, l’ensemble Irr(KA, \overline{χ}) ne dépend que de \overline{Ω}, et on pose Irr(KA, \overline{Ω}) := Irr(KA, \overline{χ}) . L’idempotent \overline{e}(\overline{Ω}) appartient à l’algèbre (ZK\overline{A})^{G} des points fixes de G dans le centre de K\overline{A}, donc appartient au centre ZKA de KA, et par suite est une somme d’idempotents primitifs de ZKA. On a donc

\overline{e}(\overline{Ω}) = ∑_{χ∈Irr(KA,\overline{Ω})} e(χ) .

• Soit X un KA–module irréductible, de caractère χ. Soit \overline{X} un K\overline{A}-sous–module irréductible de Res_{K\overline{A}}^{KA}(X), de caractère \overline{χ}. Pour g ∈ G, le K\overline{A}–sous–module g(\overline{X}) de X a pour caractère g(\overline{χ}). Or ∑_{g∈G/G\overline{χ}} g(\overline{X}) est un KA–sous–module de X. On en déduit que

Res_{K\overline{A}}^{KA}(X) = ( ⨁_{g∈G/G\overline{χ}} g(\overline{X}))^{m_{χ,\overline{χ}}} ,

i.e., que

Res_{K\overline{A}}^{KA}(χ) = m_{χ,\overline{χ}} ∑_{g∈G/G\overline{χ}} g(\overline{χ}) .

En particulier, on voit que Irr(K\overline{A}, χ) est une orbite de G sur Irr(K\overline{A}).

On remarque aussi que χ(1) = m_{χ,\overline{χ}}|\overline{Ω}|\overline{χ}(1) , égalité que l’on peut comparer aux dernières égalités énoncées dans la proposition 1.40 ci–dessus.

Cas où G est cyclique.

Dorénavant, nous faisons l’hypothèse suivante :

1.41. Le groupe G est cyclique d’ordre d,

et nous choisissons un générateur g de G.

Nous allons vérifier que les hypothèses de la proposition 1.40 sont alors satisfaites pour tout caractère irréductible de KA.

Soit \overline{X} un K\overline{A}–module irréductible de caractère \overline{χ}, et soit \overline{ρ}: K\overline{A} ⟶ End(\overline{X}) le morphisme structurel.

Puisque la représentation \overline{X} est invariante par G\overline{χ}, il existe un automorphisme α du K–espace vectoriel \overline{X} tel que

\overline{ρ}(g\overline{a}g^{−1}) = α\overline{ρ}(\overline{a})α^{−1} .

En particulier, on voit que

\overline{ρ}(\overline{a}) = α^{d}\overline{ρ}(\overline{a})α^{−d} ,

et par conséquent α^{d} est une homothétie. Quitte à agrandir le corps K, on peut supposer qu’il contient une racine d–ième du rapport de cette homothétie. En divisant α par cette racine, on se ramène alors au cas où α^{d} = 1.

Ceci nous permet d’étendre le morphisme structurel \overline{ρ}: K\overline{A} ⟶ End_{K}(\overline{X}) en un morphisme ρ̃ défini par

ρ̃: K\overline{A}G\overline{χ} ⟶ End_{K}(\overline{X}) , ρ̃(\overline{a}g^{j}) := ρ(\overline{a})α^{j} pour 0 ≤ j < d .

Ceci définit ainsi un K\overline{A}G\overline{χ}–module noté X̃, de caractère noté χ̃.

Opération de G^{∨} sur Irr(KA).

Puisque le groupe G est abélien, l’ensemble Irr(KG) forme un groupe, noté G^{∨}. L’application ψ ↦ ψ▪ ξ (où ψ ∈ Irr(KA) et ξ ∈ G^{∨}) définit une opération de G^{∨} sur Irr(KA).

Soit Ω l’orbite de χ̃ sous l’opération du groupe (G\overline{χ})^{∨}. Il résulte de la proposition 1.39 que Ω est une orbite régulière (i.e., |Ω| = |G\overline{χ}|) et que

Ω = Irr(K\overline{A}G\overline{χ}, \overline{χ}) .

Comme dans la proposition 1.40, on note

χ := Ind_{K\overline{A}G\overline{χ}}^{KA}(χ̃) et χ_{ξ} := Ind_{K\overline{A}G\overline{χ}}^{KA}(χ̃▪ ξ) ,

et il résulte de la proposition 1.40 que

Irr(KA, \overline{χ}) = \{χ_{ξ} | (ξ ∈ (G\overline{χ})^{∨})\} et m_{χ_{ξ},\overline{χ}} = 1 pour tout ξ ∈ (G\overline{χ})^{∨} .

Posons d(\overline{χ}) := |G\overline{χ}|. On a un morphisme surjectif G ↠ G\overline{χ} défini par g ↦ g^{d/d(\overline{χ})} , qui induit un plongement G∨ ; \overline{χ} ↪ G^{∨} . Si ξ ∈ G∨ ; \overline{χ}, on désigne encore (par abus de notation) par ξ son image dans G^{∨} par l’injection précédente.

Il est alors immédiat de vérifier que (avec les notations ci–dessus) on a χ_{ξ} = χ▪ ξ .

Grâce à ce qui précède, et à la proposition 1.40 ci–dessus, nous avons donc démontré le résultat suivant. 1.42. Proposition. Si le groupe G est cyclique, il existe une bijection

Irr(K\overline{A})/G ⟷^{∼} Irr(KA)/G^{∨} , \overline{Ω} ⟷^{∼} Ω

telle que

\overline{e}(\overline{Ω}) = e(Ω) , |Ω||\overline{Ω}| = |G| , et \{ \begin{matrix}∀χ ∈ Ω, Res_{K\overline{A}}^{KA}(χ) = ∑_{\overline{χ}∈\overline{Ω}} \overline{χ} , \\ ∀\overline{χ} ∈ \overline{Ω}, Ind_{K\overline{A}}^{KA}(\overline{χ}) = ∑_{χ∈Ω} χ . \end{matrix}

De plus, pour tous χ ∈ Ω et \overline{χ} ∈ \overline{Ω}, on a

s_{χ} = |Ω|s\overline{χ} .

Blocs de A et blocs de \overline{A}.

Commençons par quelques remarques générales, sans hypothèses particulières sur G.

Opération de G sur l’ensemble des blocs de \overline{A}.

On rappelle que le groupe G opère sur l’ensemble BlId(\overline{A}) des blocs–idempotents de \overline{A}, et que si \overline{b} est un bloc–idempotent de \overline{A}, on pose

Tr(G, \overline{b}) := ∑_{g∈G/G\overline{b}} g(\overline{b}) .

L’algèbre (Z\overline{A})^{G} des points fixes de G dans son action sur le centre de \overline{A} est contenue à la fois dans Z\overline{A} et dans ZA :

\xymatrix{ & ZA \\ (Z\overline{A})^{G} \ar@{^{(}->}[ur] \ar@{^{(}->}[dr] \\  & Z\overline{A}}

et l’ensemble de ses blocs–idempotents est

BlId((Z\overline{A})^{G}) = \{Tr(G, \overline{b}) | (\overline{b} ∈ BlId(\overline{A})/G)\} .

On voit que la partition de BlId(\overline{A}) en orbites selon G détermine une partition de BlId(A) : à l’orbite de \overline{b} sous G on associe l’ensemble BlId(A, \overline{b}) défini par l’égalité

Tr(G, \overline{b}) := ∑_{b∈BlId(A,\overline{b})} b .

1.43. Lemme. Soit \overline{b} un bloc de \overline{A} et soit \overline{B} := Irr(K\overline{A}\overline{b}).

(1) Pour tout \overline{χ} ∈ \overline{B}, on a G\overline{χ} ⊆ G\overline{b}.

(2) On a

Tr(G, \overline{b}) = ∑_{\overline{χ}∈\overline{B}/G} Tr(G, \overline{e}(\overline{χ})) = ∑_{\{\overline{Ω} | (\overline{Ω}∩\overline{B}≠∅)\}} \overline{e}(\overline{Ω}) .

En effet la première assertion résulte de ce que, pour tout g ∉ G\overline{b}, les blocs \overline{b} et g(\overline{b}) sont distincts, donc orthogonaux. La deuxième résulte des égalités \overline{b} = ∑_{\overline{χ}∈\overline{B}} \overline{e}(\overline{χ}) = ∑_{\overline{χ}∈\overline{B}/G\overline{b}} Tr(G\overline{b}, \overline{e}(\overline{χ})) .

Opération de G^{∨} sur l’ensemble des blocs de A.

Posons G^{∨} := Hom(G, K^{×}). La multiplication de caractères de KA par ceux de KG définit en particulier une opération du groupe G^{∨} sur Irr(KA). Cette opération est induite par l’opération de G^{∨} sur l’algèbre A définie par

ξ▪ (\overline{a}g) := ξ(g)\overline{a}g pour tous ξ ∈ G^{∨} , \overline{a} ∈ \overline{A} , g ∈ G .

En particulier G^{∨} opère sur l’ensemble des blocs–idempotents de A.

On note ξ▪ b le transformé du bloc–idempotent b sous l’action de l’automorphisme défini par ξ, et on note (G^{∨})_{b} son stabilisateur dans G^{∨}. On note

Tr(G^{∨}, b) := ∑_{ξ∈G^{∨}/(G^{∨})_{b}} ξ▪ b

la somme des transformés distincts de b par le groupe G^{∨}.

L’ensemble des blocs–idempotents de l’algèbre (ZA)^{G^{∨}} des points fixes de G^{∨} sur A est

BlId((ZA)^{G^{∨}}) = {Tr(G^{∨}, b) | (b ∈ BlId(A)/G^{∨})} .

Le lemme suivant est l’analogue du lemme 1.43 ci–dessus.

1.44. Lemme. Soit b un bloc de A et soit B := Irr(KAb).

(1) Pour tout χ ∈ B, on a (G^{∨})_{χ} ⊆ (G^{∨})_{b}.

(2) On a

Tr(G^{∨}, b) = ∑_{χ∈B/G} Tr(G^{∨}, e(χ)) = ∑_{{Ω | (Ω∩B≠∅)}} e(Ω) .

Cas où G est cyclique.

Pour toute orbite Υ de G^{∨} sur l’ensemble BlId(A) des blocs–idempotents de A, on note b(Υ) le bloc–idempotent de (ZA)^{G^{∨}} défini par

b(Υ) := ∑_{b∈Υ} b ,

et pour toute orbite \overline{Υ} de G sur l’ensemble BlId(Ab) des blocs–idempotents de \overline{A}, on note \overline{b}(\overline{Υ}) le bloc–idempotent de (Z\overline{A})^{G} défini par

\overline{b}(\overline{Υ}) := ∑_{\overline{b}∈\overline{Υ}} \overline{b} .

La proposition suivante résulte de la proposition 1.42 et des lemmes 1.43 et 1.44 ci–dessus.

1.45. Proposition. Supposons G cyclique. Il existe une bijection

BlId(A)/G^{∨} ⟷^{∼} BlId(\overline{A})/G , Υ ⟷^{∼} \overline{Υ}

telle que

b(Υ) = \overline{b}(\overline{Υ}) ,

ou, en d’autres termes,

Tr(G, \overline{b}) = Tr(G^{∨}, b) pour tous \overline{b} ∈ \overline{Υ} et b ∈ Υ .

En particulier, les algèbres (ZA)^{G^{∨}} et (Z\overline{A})^{G} ont les mêmes idempotents.

Le résultat qui suit concerne des hypothèses particulières qui seront satisfaites dans le cas des blocs de certaines algèbres étudiées ci–dessous.

1.46. Corollaire. Supposons que tous les blocs–idempotents de A sont stables par l’action de G^{∨}. Alors les blocs–idempotents de A sont les idempotents primitifs de (Z\overline{A})^{G}.

En effet, par hypothèse les blocs–idempotents de A sont les blocs de (ZA)^{G^{∨}}. On sait par la proposition 1.45 que ce sont les blocs–idempotents de (Z\overline{A})^{G}.

2. Les blocs de Rouquier des algèbres de Hecke cyclotomiques

2.A. Algèbres de Hecke cyclotomiques.

On renvoie la lectrice et le lecteur à [BMR] et [BMM2] pour les notations et les principales notions brièvement introduites dans ce qui suit.

Rappels sur les groupes de réflexions complexes et leurs algèbres de Hecke.

On note μ_{∞} le sous–groupe des racines de l’unité de ℂ. Soit comme ci–dessus K un sous– corps du corps ℚ(μ_{∞}), de degré fini sur ℚ. On note μ(K) le groupe de toutes les racines de l’unité de K. Pour tout entier d > 1, on pose ζ_{d} := exp(2πi/d) .

Soit V un K–espace vectoriel de dimension finie r. Soit W un sous–groupe fini de GL(V) engendré par des (pseudo–)réflexions, et agissant irréductiblement sur V. On note Ref(W) l’ensemble des réflexions de W, et A l’ensemble de ses hyperplans de réflexions. On pose M := ℂ ⊗ V − ∪_{H∈A}ℂ ⊗ H . Pour x_{0} ∈ M, on a une suite exacte (cf. [BMR]) :

{1} ⟶ Π_{1}(M, x_{0}) ⟶ Π_{1}(M/W, x_{0}) ⟶ W ⟶ {1} ,

et on note

B := Π_{1}(M/W, x_{0}) , P := Π_{1}(M, x_{0}) .

On désigne par π l’élément central de P défini par le lacet

[0, 1] ⟶ M , t ↦ exp(2πit)x_{0} .

Pour toute orbite C de W sur A, on note e_{C} l’ordre commun des sous–groupes W_{H} (H un élément quelconque de C, W_{H} le sous–groupe formé de 1 et de toutes les réflexions d’hyperplan de réflexion H).

On choisit un ensemble d’indéterminées u = (u_{C,j})_{(C∈A/W)(0≤j≤e_{C}−1)} , et on note ℤ[u, u^{−1}] l’anneau des polynômes de Laurent en toutes les indéterminées u . On désigne par H(W) et on appelle algèbre de Hecke générique de W le quotient de l’algèbre de groupe ℤB par l’idéal engendré par les éléments de la forme

(s − u_{C,0})(s − u_{C,1}) ⋯ (s − u_{C,e_{C}−1}) ,

où C parcourt l’ensemble A/W, et où s parcourt l’ensemble des générateurs de la monodromie autour des images dans M/W des éléments de l’orbite d’hyperplans C.

On fait l’ensemble des hypothèses suivantes. Noter (cf. [BMM2], remarques précédant 1.17, loc.cit., §2, et [GIM]) qu’elles sont vérifiées pour tous les groupes de réflexions irréductibles sauf un nombre fini d’entre eux.

2.1. Hypothèses. L’algèbre H(W) est un ℤ[u, u^{−1}]–module libre et de rang |W |. De plus, il existe une forme linéaire t: H(W) ⟶ ℤ[u, u^{−1}] possédant les propriétés suivantes.

(1) t est une fonction centrale sur H(W), i.e., pour tous h, h′ ∈ H(W), on a t(hh′) = t(h′h), et t est une forme symétrisante pour la ℤ[u, u^{−1}]–algèbre H(W), i.e., l’application

t̂: H(W) → Hom(H(W), ℤ[u, u^{−1}]) , h ↦ (h′ ↦ t(hh′))

est un isomorphisme de ℤ[u, u^{−1}]–modules entre H(W) et son dual.

(2) Par la spécialisation u_{C,j} ↦ exp (2iπj/e_{C}) , la forme t devient la forme canonique sur l’algèbre du groupe W sur ℤ.

(3) Pour tout b ∈ B, on a

t(b^{−1})^{∨} = \frac{t(bπ)}{t(π)} .

On sait que la forme t est alors unique (cf. [BMM2], 2.1).

Rappelons le résultat suivant, dû à G. Malle (cf. [Ma3], 5.2).

2.2. Théorème. On suppose les hypothèses 2.1 satisfaites.

Soit v = (v_{C,j})_{(C∈A/W)(0≤j≤e_{C}−1)} un ensemble de ∑_{C∈A/W} e_{C} indéterminées telles que, pour

tout C, j, on a v_{C,j}^{|μ(K)|} = ζ_{e_{C}}u_{C,j} . Alors la K(v)–algèbre K(v)H(W) est semi–simple déployée.

Par le “théorème de déformation de Tits” (cf. par exemple [BMM2], 7.2), on sait que la spécialisation

v_{C,j} ↦ 1

induit une bijection χ ↦ χ_{v} de l’ensemble Irr(W) des caractères absolument irréductibles de W sur l’ensemble Irr(H(W)) des caractères (absolument) irréductibles de l’algèbre K(v)H(W), telle que le diagramme suivant est commutatif

H(W) ⟶^{χ_{v}} ℤ_{K}[v, v^{−1}]
↓  ↓
ℤ_{K}W ⟶^{χ} ℤ_{K} .

Éléments de Schur génériques.

Une étude cas par cas des exemples connus de groupes W pour lesquels les hypothèses 2.1 sont satisfaites (cf. [BrMa], [GIM], [Ma2], [Ma3], [Ma5]) permet de vérifier le résultat suivant.

2.3. Proposition. Soit χ ∈ Irr(W). Alors l’élément de Schur s_{χ}(v) associé au caractère χ_{v} de K(v)H est un polynôme de Laurent en les indéterminées v de la forme

s_{χ}(v) = ξ_{χ} ∏_{Φ∈C_{χ}} Φ(v)^{n_{χ}} ,

où • ξ_{χ} est un élément de ℤ_{K},

• C_{χ} est un ensemble d’éléments de ℤ_{K}[v, v^{−1}], homogènes de degré 0, diviseurs (dans ℤ_{K}[v, v^{−1}]) d’un polynôme de Laurent de la forme M_{1}(v)−M_{2}(v), où M_{1}(v) et M_{2}(v) sont des monômes (de Laurent) unitaires et de degré 0,

• n_{χ} ∈ ℕ.

Exemple. Prenons pour W le groupe de Weyl de type G_{2}. L’algèbre de Hecke générique est une algèbre sur l’anneau ℤ[u_{0}, u_{1}, v_{0}, v_{1}, u_{0}^{−1}, u_{1}^{−1}, v_{0}^{−1}, v_{1}^{−1}] engendrée par deux éléments s et t satisfaisant aux relations

ststst = tststs et (s − u_{0})(s − u_{1}) = (t − v_{0})(t − v_{1}) = 0 .

Soient x_{0}, x_{1}, y_{0}, y_{1} des indéterminées satisfaisant les égalités

x_{0}^{2} = u_{0} , x_{1}^{2} = −u_{1} , y_{0}^{2} = v_{0} , y_{1}^{2} = −v_{1} .

On pose

\{ \begin{matrix}S(x_{0}, x_{1}, y_{0}, y_{1}) := (x_{1}y_{1})^{−6}(x_{0}^{2} + x_{1}^{2})(y_{0}^{2} + y_{1}^{2})(x_{0}^{2}y_{0}^{2} + x_{0}x_{1}y_{0}y_{1} + x_{1}^{2}y_{1}^{2})(x_{0}^{2}y_{0}^{2} − x_{0}x_{1}y_{0}y_{1} + x_{1}^{2}y_{1}^{2}) \\ T (x_{0}, x_{1}, y_{0}, y_{1}) := 2(x_{0}x_{1}y_{0}y_{1})^{−2}(x_{0}^{2}y_{0}^{2} − x_{0}x_{1}y_{0}y_{1} + x_{1}^{2}y_{1}^{2})(x_{0}^{2}y_{1}^{2} + x_{0}x_{1}y_{0}y_{1} + x_{1}^{2}y_{0}^{2}) \end{matrix}

Alors les éléments de Schur de l’algèbre H(W) sont

\begin{aligned}S(x_{0}, x_{1}, y_{0}, y_{1}) , & S(x_{0}, x_{1}, y_{1}, y_{0}) , S(x_{1}, x_{0}, y_{0}, y_{1}) , S(x_{1}, x_{0}, y_{1}, y_{0}) , \\ & T (x_{0}, x_{1}, y_{0}, y_{1}) , T (x_{1}, x_{0}, y_{0}, y_{1}) . \end{aligned}

Algèbres cyclotomiques.

Remarque : Conformément aux notations de [BMM2] (mais contrairement à celles, par exemple, de [BrMa] et [Maj] pour j = 1, 2, …, 5), nous réservons le nom d’“algèbre cyclotomique” aux algèbres de Hecke à un paramètre q qui se spécialisent en l’algèbre du groupe correspondant lorsque q devient une racine de l’unité. Nous ne qualifions pas de “cyclotomiques” les algèbres génériques.

Soit ζ un élément du groupe μ(K).

Soit y une indéterminée. On pose

x := y^{|μ(K)|} et q := ζ.x .

2.4. Definition. Une spécialisation ζ–cyclotomique de H(W) est un morphisme de ℤ_{K}– algèbres

ϕ: ℤ_{K}[v, v^{−1}] → ℤ_{K}[y, y^{−1}]

possédant les propriétés suivantes :

(a) ϕ: v_{C,j} ↦ y^{n_{C,j}} , avec n_{C,j} ∈ ℤ pour tous C et j .

(b) Pour tout C ∈ A/W, et si t est une indéterminée, l’élément de ℤ_{K}[y, t] défini par

Γ_{C}(y, t) := ∏_{j=0}^{j=e_{C}−1} (t − ζ_{e_{C}}^{j}y^{n_{C,j}})

est invariant par l’action de Gal(K(y)/K(q)), i.e., appartient à ℤ_{K}[q, q^{−1}, t].

Noter que l’on a

Γ_{C}(1, t) = t^{e_{C}} − 1 .

Remarque. On pose m_{C,j} := n_{C,j}/|μ(K)| et on décrit parfois le morphisme ϕ par la formule

ϕ: u_{C,j} ↦ ζ_{e_{C}}^{j} (ζ^{−1}q)^{m_{C,j}} ,

et on a donc

Γ_{C}(y, t) := ∏_{j=0}^{j=e_{C}−1} (t − ζ_{e_{C}}^{j} (ζ^{−1}q)^{m_{C,j}}) ∈ ℤ_{K}[q, q^{−1}, t] .

Si ϕ est une spécialisation ζ–cyclotomique de H(W) comme décrite ci–dessus, l’algèbre de Hecke ζ–cyclotomique correspondante est la ℤ_{K}[q, q^{−1}]–algèbre, notée H_{ϕ}(W) obtenue comme spécialisation de l’algèbre Z_{K}[v, v^{−1}]H(W) via le morphisme ϕ, et munie de la forme symétrisante t_{ϕ} définie par spécialisation de la forme canonique t.

S’il n’y a pas d’ambiguité sur ϕ, on note parfois H_{q}(W) et t_{q} l’algèbre cyclotomique H_{ϕ}(W) et sa forme symétrisante correspondante.

Noter que l’algèbre H_{q}(W) est une image de l’algèbre de groupe ℤ_{K}[q, q^{−1}]B, et que pour q = ζ cette algèbre se spécialise en l’algèbre de groupe ℤ_{K}W (la forme t_{q} devenant la forme canonique sur l’algèbre de groupe). La spécialisation v_{C,j} ↦ 1 définit donc des bijections

Irr(W) ⟶^{∼} Irr(K(y)H_{ϕ}(W)) ⟶^{∼} Irr(K(v)H(W))
χ  ↦  χ_{ϕ}  ↦  χ_{v}

Éléments de Schur.

Soit y une indéterminée. On appelle polynômes K–cyclotomiques les polynômes unitaires minimaux (sur K[y]) des racines de l’unité. Les polynômes K–cyclotomiques sont des éléments irréductibles de ℤ_{K}[y]. On note Cycl(K) l’ensemble des polynômes K–cyclotomiques.

La propriété suivante est une conséquence immédiate de la proposition 2.3 ci–dessus.

2.5. Proposition. Soit H_{ϕ}(W) une algèbre de Hecke ζ–cyclotomique, définie comme ci–dessus par ϕ: v_{C,j} ↦ y^{n_{C,j}} . Alors l’élément de Schur d’un caractère irréductible χ_{ϕ} ∈ K(y)H_{ϕ}(W) est de la forme

s_{χ_{ϕ}}(y) = ψ_{χ,ϕ} y^{a_{χ,ϕ}} ∏_{Φ(y)∈Cycl(K)_{χ,ϕ}}Φ(y)^{m_{χ,ϕ}}

où • ψ_{χ,ϕ} est un élément de ℤ_{K},

• a_{χ,ϕ} ∈ ℤ,

• Cycl(K)_{χ,ϕ} est un ensemble de polynômes K–cyclotomiques, et m_{χ,ϕ} ∈ ℕ.

Exemples. Soit W_{d,r} le groupe de réflexions de type G(d, 1, r), isomorphe au produit en couronne C_{d} ≀ 𝔖_{r} . L’algèbre générique est l’algèbre de Ariki–Koike, engendrée sur l’anneau de polynômes de Laurent ℤ[u_{0}, u_{1}, …, u_{d−1}, u_{0}^{−1}, u_{1}^{−1}, …, u_{d−1}^{−1}, v_{0}, v_{1}, v_{0}^{−1}, v_{1}^{−1}] par des éléments s, t_{1}, t_{2}, …, t_{r−1} satisfaisant les relations de tresses symbolisées par le diagramme

◯_{s} ◯_{t_{1}} ◯_{t_{2}} ⋯ ◯_{t_{r−1}}

et les relations

(s − u_{0})(s − u_{1}) ⋯ (s − u_{d−1}) = (t_{j} − v_{0})(t_{j} − v_{1}) = 0 (pour 1 ≤ j < r) .

Donnons deux exemples importants d’algèbres cyclotomiques associées au groupe W_{d,r}.

1. L’algèbre spetsiale.

L’algèbre spetsiale (cf. [BMM2], §6) est l’algèbre 1–cyclotomique H_{q}^{s}(W_{d,r}), spécialisation de l’algèbre générique définie par

u_{0} ↦ q , u_{j} ↦ ζ_{d}^{j} pour 1 ≤ j < d , v_{0} ↦ q , v_{1} ↦ −1 ,

i.e., par les relations symbolisées par le diagramme ci-dessus et par

(s − q)(s^{d−1} + ⋯ + s + 1) = (t_{j} − q)(t_{j} + 1) = 0 (pour 0 ≤ j < r) .

2. Une algèbre cyclotomique.

Considérons l’algèbre ζ_{d}–cyclotomique H_{q,d}(W_{d,r}), spécialisation de l’algèbre générique définie par

u_{j} ↦ q^{j} pour 0 ≤ j < d , v_{0} ↦ q^{d} , v_{1} ↦ −1 ,

i.e., par les relations symbolisées par le diagramme ci-dessus et par

(s − 1)(s − q) ⋯ (s − q^{d−1}) = (t_{j} − q^{d})(t_{j} + 1) = 0 (pour 0 ≤ j < r) .

Cette algèbre intervient, par exemple, dans la description des représentations des groupes linéaires GL_{dr} sur les corps finis (cf. [BrMa]).

2.B. Blocs de Rouquier des algèbres cyclotomiques.

L’anneau de Rouquier.

Soit K un sous–corps du corps ℚ(μ_{∞}) engendré par toutes les racines de l’unité. On suppose K de degré fini sur ℚ. Soit ℤ_{K} l’anneau des entiers de K : l’anneau ℤ_{K} est un anneau de Dedekind.

Définition. On appelle “anneau de Rouquier” de K et on note R_{K}(x) la sous–ℤ_{K}–algèbre du corps des fractions rationnelles K(x) engendrée par x, x^{−1} et tous les (x^{n} − 1)^{−1} pour n ≥ 1.

Ainsi on a

R_{K}(x) = ℤ_{K} [x, x^{−1}, (x^{n} − 1)_{n≥1}^{−1}]

et R_{K}(x) est l’ensemble des fractions rationnelles de la forme \frac{P (x)}{Q(x)} où P (x), Q(x) ∈ ℤ_{K}[x] et

où Q(x) = x^{n} ∏_{Φ∈Cycl(K)} Φ(x)^{n_{Φ}} avec n, n_{Φ} ∈ ℕ (et n_{Φ} = 0 pour presque tout Φ). Quelques propriétés de l’anneau R_{K}(x).

1. Le groupe des éléments inversibles de R_{K}(x) est

R_{K}(x)^{×} = {ux^{n} ∏_{Φ∈Cycl(K)} Φ(x)^{n_{Φ}} | (u ∈ ℤ_{K}^{×})(n, n_{Φ} ∈ ℤ)(n_{Φ} = 0 pour presque tout Φ)} .

2. Les idéaux premiers de R_{K}(x) sont

• l’idéal nul {0},

• les idéaux de la forme 𝔭R_{K}(x) où 𝔭 est premier dans ℤ_{K},

• les idéaux de la forme P (x)R_{K}(x) où P (x) est un élément irréductible de ℤ_{K}[x] de degré au moins 1, premier à x et à Φ(x) pour tout Φ ∈ Cycl(K).

En effet, on sait que les idéaux premiers de ℤ_{K}[x] sont de la forme {0}, 𝔭ℤ_{K}[x] (𝔭 premier dans ℤ_{K}), P (X)ℤ_{K}[x] (P (x) irréductible de degré au moins 1), et 𝔭ℤ_{K}[x] + P (X)ℤ_{K}[x] (𝔭 premier dans ℤ_{K} et P (x) de degré au moins 1 irréductible modulo 𝔭) – les idéaux de ce dernier type étant les idéaux maximaux de ℤ_{K}[x]. Or, puisque R_{K}(x) est un localisé de ℤ_{K}[x], les idéaux premiers de R_{K}(x) sont les idéaux de R_{K}(x) engendrés par les idéaux premiers de ℤ_{K}[x] qui ne contiennent aucun inversible de R_{K}(x).

Il suffit donc de démontrer que si 𝔪 est un idéal maximal de ℤ_{K}[x], alors 𝔪R_{K}(x) = R_{K}(x). Pour cela, il suffit de démontrer que, pour tout 𝔭 premier dans ℤ_{K}, l’idéal 𝔭R_{K}(x) est maximal dans R_{K}(x). Or on a (désignant par 𝔽_{𝔭} le corps fini ℤ_{K}/𝔭)

R_{K}(x)/𝔭R_{K}(x) = 𝔽_{𝔭} [x, x^{−1}, ((x^{n} − 1)^{−1})_{n≥1}] .

Ainsi, tout diviseur de x^{n} −1 dans 𝔽_{𝔭}[x] est inversible dans R_{K}(x)/𝔭R_{K}(x). Mais tout polynôme de 𝔽_{𝔭}[x] est produit de polynômes qui divisent x ou x^{n} − 1 pour au moins un entier n. Par conséquent tout élément de 𝔽_{𝔭}[x] est inversible dans R_{K}(x)/𝔭R_{K}(x) et on a

R_{K}(x)/𝔭R_{K}(x) = 𝔽_{𝔭}(x) . □

Remarque. Si P (x) est irréductible dans ℤ_{K}[x], non cyclotomique et différent de x, alors le corps R_{K}(x)/P (x)R_{K}(x) est isomorphe au corps des fractions de l’anneau ℤ_{K}[x]/P (x)ℤ_{K}[x].

3. L’anneau R_{K}(x) est un anneau de Dedekind.

En effet :

• L’anneau ℤ_{K}[x] est intégralement clos puisque ℤ_{K} l’est (cf. par exemple [Bou2], §3, Corollaire 3). Donc (cf. par exemple [Ei], 4.13) son localisé R_{K}(x) est aussi intégralement clos.

• L’anneau de Rouquier R_{K}(x) est noethérien comme localisé d’un anneau noethérien.

• Il est de dimension 1 d’après la description ci–dessus de ses idéaux premiers.

Premières propriétés de blocs de Rouquier.

Notations.

Dans ce qui suit, on note H_{ϕ}(W) une algèbre ζ–cyclotomique, définie sur l’anneau ℤ[q, q^{−1}]. On étend les scalaires à l’anneau de Rouquier R_{K}(q), en considérant l’algèbre R_{K}(q)H_{ϕ}(W).

On appelle blocs de Rouquier de H_{ϕ}(W) les blocs de l’algèbre R_{K}(q)H_{ϕ}(W).

Pour tout χ ∈ Irr(W), notons (comme dans 2.5)

s_{χ_{ϕ}}(y) = ψ_{χ_{ϕ}} y^{a_{χ_{ϕ}}} ∏_{Φ(y)∈Cycl(K)_{χ_{ϕ}}}Φ(y)^{m_{χ_{ϕ}}}

l’élément de Schur du caractère χ_{ϕ} correspondant, où ψ_{χ_{ϕ}} est un élément de ℤ_{K}, a_{χ_{ϕ}} ∈ ℤ, Cycl(K)_{χ_{ϕ}} est un ensemble de polynômes K–cyclotomiques, et m_{χ_{ϕ}} ∈ ℕ.

Mauvais idéaux maximaux.

Le résultat suivant est immédiat à partir de la description des idéaux de R_{K}(x).

2.6. Proposition–Définition. Les idéaux maximaux de R_{K}(x) qui sont mauvais pour l’algèbre symétrique R_{K}(x)H_{ϕ}(W) sont les idéaux 𝔭R_{K}(x) où 𝔭 est un idéal maximal de ℤ_{K} tel qu’il existe χ ∈ Irr(W) avec ψ_{χ_{ϕ}} ∈ 𝔭.

Les idéaux maximaux 𝔭 de ℤ_{K} tels que 𝔭R_{K}(q) soit mauvais pour R_{K}(q)H_{ϕ}(W) sont dits mauvais pour H_{ϕ}(W).

Exemples. On appelle algèbre spetsiale de W (cf. [BMM2], §6) l’algèbre 1–cyclotomique définie par la spécialisation (“spetsialisation”)

\{ \begin{matrix}u_{C,0} ↦ q \\ u_{C,j} ↦ ζ_{e_{C}}^{j} pour 1 ≤ j < e_{C} . \end{matrix}

Les idéaux maximaux de ℤ_{K} qui sont mauvais pour l’algèbre spetsiale sont appelés les idéaux mauvais spetsiaux de W.

Si W est un groupe de Weyl, son algèbre spetsiale est alors son algèbre de Hecke “ordinaire”. Il est bien connu (cf. par exemple [GeRo], 5.2) que les idéaux mauvais spetsiaux de W sont les idéaux engendrés par les nombres premiers mauvais (au sens “usuel”) pour W.

Caractères linéaires et mauvais idéaux.

Il y a ∏_{C∈A/W} e_{C} caractères linéaires de l’algèbre de Hecke générique, définis par les familles d’entiers j := (j_{C})_{C∈A/W} avec 0 ≤ j_{C} ≤ e_{C} − 1. Le caractère θ_{j} correspondant à une telle famille est défini par

θ_{j}(s_{C}) = u_{C,j_{C}} .

Étant donnée la spécialisation cyclotomique ϕ: v_{C,j} ↦ y^{n_{C,j}} , le caractère θ_{j} est alors défini par

θ_{j}(s_{C}) = ζ_{e_{C}}^{j}y^{n_{C,j}} = ζ_{e_{C}}^{j}(ζ^{−1}q)^{m_{C,j}} .

2.7. Proposition. Supposons que C_{0} ∈ A/W est tel qu’il existe j_{0}, k_{0} ≤ e_{C_{0}} − 1, avec j_{0} ≠ k_{0} et m_{C_{0},j_{0}} = m_{C_{0},k_{0}}. Alors tout idéal maximal 𝔭 de ℤ_{K} qui contient ζ_{e_{C_{0}}}^{j_{0}} − ζ_{e_{C_{0}}}^{k_{0}} est mauvais.

Démonstration de 2.7. Considérons deux familles j := (j_{C})_{C∈A/W} et k := (k_{C})_{C∈A/W} telles que pour tout C ≠ C_{0}, on a j_{C} = k_{C}, et j_{C_{0}} = j_{0}, k_{C_{0}} = k_{0}.

Si 𝔭 contient ζ_{e_{C_{0}}}^{j_{0}} − ζ_{e_{C_{0}}}^{k_{0}} , on voit que les deux caractères θ_{j} et θ_{k} définissent par réduction modulo 𝔭 le même caractère de k_{𝔭}(x)H_{ϕ} dans k_{𝔭}(x). Il résulte alors du théorème 1.30, (2), que 𝔭 ne peut être bon. □

Blocs de Rouquier et morphismes ω.

La caractérisation suivante des blocs de Rouquier résulte du théorème 1.17 et de la description des idéaux de l’anneau R_{K}(x) mauvais pour H_{ϕ}(W).

2.8. Proposition. Soient χ, χ′ ∈ Irr(W). Les caractères χ_{ϕ} et χ′_{ϕ} sont dans le même bloc de Rouquier si et seulement si il existe une suite finie χ_{0}, χ_{1}, …, χ_{n} d’éléments de Irr(W) et une suite finie 𝔭_{0}, 𝔭_{1}, …, 𝔭_{n−1} d’idéaux maximaux de ℤ_{K} mauvais pour H_{ϕ}(W) telles que

• (χ_{0})_{ϕ} = χ_{ϕ} et (χ_{n})_{ϕ} = χ′_{ϕ},

• pour tout j (0 ≤ j < n), ω_{(χ_{j})_{ϕ}} ≡ ω_{(χ_{j+1})_{ϕ}} mod 𝔭_{j}R_{K}(x) .

Blocs et fonctions a et A.

Suivant les notations de [BMM2], §6B, pour tout élément P (y) ∈ ℂ(y),

• on appelle valuation de P (y) en y et on note val_{y}(P) l’ordre de P (y) en 0

[ainsi, on a val_{y}(P) < 0 ou val_{y}(P) > 0 selon que 0 est un pôle ou un zéro de P (y)],

• on appelle degré de P (y) en y et on note deg_{y}(P) l’opposé de la valuation de P (1/y). De plus, si y^{n} = x, on pose

val_{x}(P (y)) := \frac{val_{y}(P)}{n} et deg_{x}(P (y)) := \frac{deg_{y}(P)}{n} .

Pour χ ∈ Irr(W), on pose

a_{χ_{ϕ}} := val_{x}(s_{χ_{ϕ}}(y)) et A_{χ_{ϕ}} := deg_{x}(s_{χ_{ϕ}}(y)) .

2.9. Proposition.

(1) Pour tout χ ∈ Irr(W), on a

ω_{χ_{ϕ}}(π) = t_{ϕ}(π)(ζ^{−1}q)^{a_{χ_{ϕ}} +A_{χ_{ϕ}}} .

(2) Soient χ, χ′ ∈ Irr(W). Si χ_{ϕ} et χ′_{ϕ} sont dans le même bloc de Rouquier, on a

a_{χ_{ϕ}} + A_{χ_{ϕ}} = a_{χ′_{ϕ}} + A_{χ′_{ϕ}} .

Démonstration de 2.9.

(1) Si P (y) ∈ ℂ[y, y^{−1}], notons P (y)^{∗} le polynôme dont les coefficients sont les conjugués complexes de ceux de P (y). D’après [BMM2], 2.8 (voir aussi loc.cit., 6.14) on sait que le polynôme

s_{χ_{ϕ}}(y) est semi–palindromique (loc.cit., §6B), et satisfait l’égalité s_{χ_{ϕ}}(y^{−1})^{∗} = \frac{t_{ϕ}(π)}{ω_{χ_{ϕ}}(π)}s_{χ_{ϕ}}(y) .

On en déduit donc (loc.cit., 6.5 et 6.6) que \frac{t_{ϕ}(π)}{ω_{χ_{ϕ}}(π)} = ξq^{−(a_{χ_{ϕ}} +A_{χ_{ϕ}})} où ξ ∈ ℂ. En spécialisant

en q = ζ, on en déduit que ξ = ζ^{(a_{χ_{ϕ}} +A_{χ_{ϕ}})} , d’où la formule annoncée.

(2) Supposons que χ_{ϕ} et χ′_{ϕ} sont dans le même bloc de Rouquier. D’après la proposition 2.8, il suffit de démontrer que, s’il existe 𝔭 ∈ Specmax(O_{K}) tel que ω_{χ_{ϕ}} ≡ ω_{χ_{ϕ′}} mod 𝔭R_{K}(q) , alors a_{χ_{ϕ}} + A_{χ_{ϕ}} = a_{χ′_{ϕ}} + A_{χ′_{ϕ}} . Or, d’après la première assertion, si ω_{χ_{ϕ}} ≡ ω_{χ_{ϕ′}} mod 𝔭R_{K}(q) , on a en particulier ω_{χ_{ϕ}}(π) ≡ ω_{χ′_{ϕ}}(π) mod 𝔭R_{K}(q) , soit

t_{ϕ}(π)(ζ^{−1}q)^{a_{χ_{ϕ}} +A_{χ_{ϕ}}} ≡ t_{ϕ}(π)(ζ^{−1}q)^{a_{χ′_{ϕ}} +A_{χ′_{ϕ}}} mod 𝔭R_{K}(q) .

Or on sait d’après [BMM2], 2.1, (2)(b), que t_{ϕ}(π) = ξq^{M} où ξ est une racine de l’unité et où M ∈ ℤ. En particulier on voit que t_{ϕ}(π) ∉ 𝔭R_{K}(q). On en déduit donc que

(ζ^{−1}q)^{a_{χ_{ϕ}} +A_{χ_{ϕ}}} ≡ (ζ^{−1}q)^{a_{χ′_{ϕ}} +A_{χ′_{ϕ}}} mod 𝔭R_{K}(q) ,

d’où

a_{χ_{ϕ}} + A_{χ_{ϕ}} = a_{χ′_{ϕ}} + A_{χ′_{ϕ}} .

□

2.C. Blocs de Rouquier des algèbres cyclotomiques des groupes cycliques.

L’algèbre générique.

Choisissons pour W le groupe cyclique des racines d–ièmes de l’unité. On pose K := ℚ(ζ_{d}). Ainsi, on a ℤ_{K} = ℤ[ζ_{d}]. Choisissons pour V un espace vectoriel de dimension 1 sur K, sur lequel l’élément w ∈ W agit par multiplication par w.

On note O := ℤ[u_{0}^{±1}, …, u_{d−1}^{±1}]. L’algèbre de Hecke générique H(W) est l’algèbre engendrée sur l’anneau O par un élément s satisfaisant la relation

(s − u_{0})(s − u_{1}) ⋯ (s − u_{d−1}) = 0 .

La forme linéaire canonique t: H(W) ⟶ O est définie par les conditions (cf. [BrMa], §2, et aussi [BMM2], §2A)

t(1) = 1 et t(s^{j}) = 0 pour 0 < j < d .

On note θ_{j}: H(W) ⟶ ℚ(u_{0}, …, u_{d−1})^{×} le caractère linéaire défini par θ_{j}(s) := u_{j} . Si on désigne par s_{j} son élément de Schur, on a ([BrMa], 2.4)

s_{j} = (∏_{k≠j} u_{k})^{−1} ∏_{k≠j}(u_{k} − u_{j}) .

Algèbres cyclotomiques.

Soit ζ une racine d–ième de l’unité, et soit ϕ: u_{j} ↦ ζ_{d}^{j}(ζ^{−1}q)^{m_{j}} une spécialisation ζ– cyclotomique.

Pour 0 ≤ j < d, le caractère θ_{j} est défini par

θ_{j}(s) = ζ_{d}^{j}(ζ^{−1}q)^{m_{j}} .

Son élément de Schur est

s_{j}(q) = ∏_{k≠j} (1 − ζ_{d}^{j−k}(ζ^{−1}q)^{m_{j}−m_{k}}) .

La valuation a_{j} et le degré A_{j} de s_{j}(q) sont donnés par les formules

a_{j} = ∑_{k | (m_{j}≤m_{k})}m_{j} − m_{k} et A_{j} = ∑_{k | (m_{j}≥m_{k})}m_{j} − m_{k} .

2.10. Proposition.

(1) Les mauvais idéaux maximaux de ℤ[ζ_{d}] pour l’algèbre H_{ϕ}(W) sont ceux qui contiennent les ζ_{d}^{j} − ζ_{d}^{k} pour tous les couples (j, k) tels que j ≠ k et m_{j} = m_{k}.

(2) Deux caractères θ_{j} et θ_{k} sont dans le même bloc de Rouquier de H_{ϕ}(W) si et seulement si m_{j} = m_{k}.

Démonstration de 2.10.

(1) Par la proposition 2.7, on voit que si 𝔭 contient ζ_{d}^{j} −ζ_{d}^{k} avec m_{j} = m_{k}, alors 𝔭 est mauvais. Réciproquement, supposons 𝔭 mauvais. Il existe donc j (0 ≤ j < d) tel que 𝔭 contient

l’élément de Schur s_{j}. D’après la valeur de s_{j} établie ci–dessus, on voit donc qu’il existe k (k ≠ j, 0 ≤ j < d) tel que m_{j} = m_{k} et 𝔭 contient 1 − ζ_{d}^{j−k}, donc contient ζ_{d}^{j} − ζ_{d}^{k}.

(2) Soient j et k tels que m_{j} = m_{k}. Si 𝔭 est un idéal maximal de ℤ[ζ_{d}] qui contient ζ_{d}^{j} −ζ_{d}^{k}, on voit que, par composition avec le morphisme canonique ℤ[ζ_{d}] ↠ 𝔽_{𝔭} := ℤ[ζ_{d}]/𝔭 , les caractères θ_{j} et θ_{k} définissent le même caractère à valeur dans 𝔽_{𝔭}. Il en résulte (par exemple par 1.17) que θ_{j} et θ_{k} sont dans le même bloc.

Pour démontrer la réciproque, il suffit, grâce à la proposition 2.8, de démontrer que s’il existe un idéal maximal 𝔭 de ℤ[ζ_{d}] tel que θ_{j} ≡ θ_{k} mod 𝔭 , alors m_{j} = m_{k}. C’est évident. □

Remarque. La description des blocs donnée ci–dessus montre que, non seulement a_{j} + A_{j}, mais aussi a_{j} et A_{j} sont constants si θ_{j} parcourt un bloc de Rouquier.

3. Blocs de Rouquier des algèbres de Ariki–Koike cyclotomiques

Nous commençons par introduire quelques notations et résultats de combinatoire qui nous seront utiles dans la description des blocs de Rouquier des algèbres de Ariki–Koike cyclotomiques.

3.A. Une question de combinatoire : contenu et résidus.

Partitions, β–nombres, résidus.

Soit λ = (λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{h}) une partition, i.e., une suite finie décroissante d’entiers positifs non nuls :

λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ ⋯ ≥ λ_{h} ≥ 1 .

L’entier

|λ| := λ_{1} + λ_{2} + ⋯ + λ_{h}

est appelé le rang de λ.

L’entier h est appelé la hauteur de λ et on pose h_{λ} := h.

On associe à la partition λ

• son β–nombre

β_{λ} := (β_{1}, β_{2}, …, β_{h})

défini par

β_{1} := h + λ_{1} − 1 , β_{2} := h + λ_{2} − 2 , …, β_{h} := h + λ_{h} − h ,

• son diagramme de Young

Y_{λ} := {(i, j) ∈ ℤ × ℤ | (1 ≤ i ≤ h)(1 ≤ j ≤ λ_{i})} ,

• son résidu Res_{λ}(x), élément de ℤ[x, x^{−1}] défini par

Res_{λ}(x) := ∑_{{1≤i≤h \atop 1≤j≤λ_{i}}} x^{j−i} ,

i.e., Res_{λ}(x) est la somme des monômes remplissant le diagramme de Young comme suit (l’exemple ci–dessous correspond à la partition λ = (4, 3, 2)) :

\underline{\overline{1}} \underline{\overline{x}} \underline{\overline{x^{2}}} \underline{\overline{x^{3}}}
\underline{\overline{x^{−1}}} \underline{\overline{1}} \underline{\overline{x}}
\underline{\overline{x^{−2}}} \underline{\overline{x^{−1}}}

Par définition, on a

Res_{λ}(x) = \{ \begin{matrix}1 + x + ⋯ + x^{λ_{1}−1} \\ + x^{−1}(1 + x + ⋯ + x^{λ_{2}−1}) \\ ⋯ \\ + x^{−(h_{λ}−1)}(1 + x + ⋯ + x^{λ_{h_{λ}} −1}) \end{matrix}

d’où on déduit

(x − 1)Res_{λ}(x) = x^{λ_{1}} + x^{λ_{2}−1} + ⋯ + x^{λ_{h_{λ}} −(h_{λ}−1)} − \frac{x^{−(h_{λ}−1)} − x}{1 − x} ,

et par conséquent

3.1. Lemme. La formule suivante relie le résidu et le β–nombre d’une partition :

x^{h_{λ}−1}(x − 1)Res_{λ}(x) = x^{β_{1}} + x^{β_{2}} + ⋯ + x^{β_{h_{λ}}} − \frac{x^{h_{λ}} − 1}{x − 1} .

Multi–Partitions : leurs symboles et leurs résidus.

Dans tout ce qui suit, on suppose choisi un entier d ≥ 1.

Soit λ := (λ^{(0)}, λ^{(1)}, …, λ^{(d−1)}) une d–partition, i.e., une famille de d partitions indexée par l’ensemble {0, 1, …, d − 1}.

On pose

h^{(j)} := h_{λ^{(j)}} , β^{(j)} := β_{λ^{(j)}} , Res_{λ}^{(j)}(x) := Res_{λ^{(j)}}(x) .

On a

λ^{(j)} = (λ_{1}^{(j)}, λ_{2}^{(j)}, …, λ_{h^{(j)}}^{(j)}) .

Le rang de λ est par définition l’entier |λ| défini par

|λ| := ∑_{j=0}^{j=d−1} |λ^{(j)}| .

Symboles ordinaires et spetsiaux d’une d–partition.

Si β = (β_{1}, β_{2}, …, β_{h}) est une suite de nombres tels que β_{1} > β_{2} > ⋯ > β_{h} et si m est un entier positif, le m–décalé (“shifted”) de β est la suite de nombres définie par

β[m] := (β_{1} + m, β_{2} + m, …, β_{h} + m, m − 1, m − 2, …, 1, 0) .

Soit λ := (λ^{(0)}, λ^{(1)}, …, λ^{(d−1)}) une d–partition.

On appelle d–hauteur de λ la famille (h^{(0)}, h^{(1)}, …, h^{(d−1)}) . On appelle hauteur de λ et on note h_{λ} le plus grand des nombres constituant la d-hauteur, i.e., l’entier défini par

h_{λ} := max{h^{(j)} | (0 ≤ j < d)} .

On appelle d–hauteur spetsiale de λ la famille (hs^{(0)}, hs^{(1)}, …, hs^{(d−1)}) , où

hs^{(0)} := h^{(0)} − 1 et hs^{(j)} := h^{(j)} pour 1 ≤ j < d .

On appelle hauteur spetsiale de λ et on note hs_{λ} le plus grand des nombres constituant la d-hauteur spetsiale, i.e., l’entier défini par

hs_{λ} := max{hs^{(0)}, hs^{(1)} …, hs^{(d−1)}} .

Définitions.

• Le symbole ordinaire standard de λ est la famille de nombres définie par

B_{λ} := (B^{(0)}, B^{(1)}, …, B^{(d−1)})

où, pour tout j (0 ≤ j ≤ d − 1), on a

B^{(j)} := β^{(j)}[h_{λ} − h^{(j)}] .

Un symbole ordinaire de λ est un symbole déduit du symbole ordinaire standard par décalage de toutes les lignes d’un même entier. On appelle hauteur d’un symbole ordinaire la longueur commune de toutes ses lignes.

• Le symbole spetsial standard de λ est la famille de nombres définie par

SB_{λ} := (SB^{(0)}, SB^{(1)}, …, SB^{(d−1)})

où, pour tout j (0 ≤ j ≤ d − 1), on a

SB^{(j)} := β^{(j)}[hs_{λ} − hs^{(j)}] .

Un symbole spetsial de λ est un symbole déduit du symbole spetsial standard par décalage de toutes les lignes d’un même entier.

Ainsi, le symbole ordinaire standard d’une d–partition λ est de la forme

\begin{matrix}B^{(0)} = & α_{1}^{(0)} & α_{2}^{(0)} & ⋯ & α_{h_{λ}}^{(0)} \\ B^{(1)} = & α_{1}^{(1)} & α_{2}^{(1)} & ⋯ & α_{h_{λ}}^{(1)} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B^{(d−1)} = & α_{1}^{(d−1)} & α_{2}^{(d−1)} & ⋯ & α_{h_{λ}}^{(d−1)} \end{matrix}

alors que le symbole spetsial standard est de la forme

SB^{(0)} =  α_{1}^{(0)}  α_{2}^{(0)} ⋯ α_{hs_{λ}}^{(0)} α_{hs_{λ}+1}^{(0)}
SB^{(1)} =  α_{1}^{(1)}  α_{2}^{(1)} ⋯ α_{hs_{λ}}^{(1)}
⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮
SB^{(d−1)} = α_{1}^{(d−1)} α_{2}^{(d−1)} ⋯ α_{hs_{λ}}^{(d−1)}

Exemple. Prenons d = 2, et λ = (λ^{(0)}, λ^{(1)}) avec λ^{(0)} = (2, 1) et λ^{(1)} = (1) . Alors

B_{λ} = ( \begin{matrix}1 & 3 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , SB_{λ} = \binom{1 3}{1} .

Le contenu ordinaire d’une d–partition de symbole ordinaire standard B est “l’ensemble avec répétition”

Cont_{λ} = B^{(0)} ∪ B^{(1)} ∪ ⋯ ∪ B^{(d−1)} ,

ou encore (avec les notations ci–dessus) le polynôme défini par

Cont_{λ}(x) := ∑_{{0≤j≤d−1 \atop 1≤i≤h_{λ}}} x^{α_{i}^{(j)}} .

On définit aussi le “contenu par ligne” :

Cont^{(j)}(x) := ∑_{1≤i≤h_{λ}} x^{α_{i}^{(j)}} ,

et on a donc

Cont_{λ}(x) := ∑_{0≤j≤d−1} Cont^{(j)}(x) .

Le contenu spetsial d’une d–partition de symbole spetsial standard SB est “l’ensemble avec répétition”

SCont_{λ} = SB^{(0)} ∪ SB^{(1)} ∪ ⋯ ∪ SB^{(d−1)} ,

ou encore (avec les notations ci–dessus) le polynôme défini par

SCont_{λ}(x) := ∑_{1≤i≤hs_{λ}+1} x^{α_{i}^{(0)}} + ∑_{{1≤j≤d−1 \atop 1≤i≤hs_{λ}}} x^{α_{i}^{(j)}} .

On définit aussi le “contenu spetsial par ligne” :

SCont^{(0)}(x) := ∑_{1≤i≤hs_{λ}+1} x^{α_{i}^{(0)}} et SCont^{(j)}(x) := ∑_{1≤i≤hs_{λ}} x^{α_{i}^{(j)}} pour 1 ≤ j ≤ d − 1 ,

et on a donc

SCont_{λ}(x) := ∑_{0≤j≤d−1} SCont^{(j)}(x) .

Résidus ordinaires et spetsiaux d’une d–partition.

Définitions.

• Le résidu ordinaire de la d–partition λ est le polynôme de Laurent défini par

Res_{λ}(x) := ∑_{j=0}^{j=d−1} Res_{λ}^{(j)}(x) .

• Le résidu spetsial de la d–partition λ est le polynôme de Laurent défini par

SRes_{λ}(x) := xRes_{λ}^{(0)}(x) + ∑_{j=1}^{j=d−1} Res_{λ}^{(j)}(x) .

Généralisation : résidu, contenu et symboles chargés d’une d–partition. On suppose dorénavant donné un système de “poids”, i.e., une famille

m := (m^{(0)}, m^{(1)}, …, m^{(d−1)}, n)

où m^{(j)}, n ∈ ℚ (0 ≤ j < d). On dit qu’un tel système de poids est entier si n = 1 et si, pour tout j (0 ≤ j < d), on a m_{j} ∈ ℤ.

Nous allons généraliser les notions précédentes de résidu et de contenu associés à une d– partition de sorte que

• les résidus et contenus simples correspondent aux poids

m^{(0)} = m^{(1)} = ⋯ = m^{(d−1)} = 0 , n = 1 .

• les résidus et contenus spetsiaux correspondent aux poids

m^{(0)} = 1 , m^{(1)} = ⋯ = m^{(d−1)} = 0 , n = 1 .

Soit λ une d–partition.

• Le résidu chargé de λ est le polynôme de Laurent défini par

Resc_{λ}(x) := ∑_{j=0}^{j=d−1} x^{m^{(j)}}Res_{λ}^{(j)}(x^{n}) .

• On appelle (d, m)–hauteur chargée de λ la famille (hc^{(0)}, hc^{(1)}, …, hc^{(d−1)}) , où

hc^{(0)} := h^{(0)} − m^{(0)} , hc^{(1)} := h^{(1)} − m^{(1)} , …, hc^{(d−1)} := h^{(d−1)} − m^{(d−1)} ,

et on appelle hauteur m–chargée de λ et on note hc_{λ} le plus grand des nombres constituant la (d, m)–hauteur chargée, i.e., le nombre défini par

hc_{λ} := max{hc^{(0)}, hc^{(1)} …, hc^{(d−1)}} .

Avant de définir la notion générale de “contenu chargé”, nous commençons par considérer le cas particulier où le système de poids m est entier (ainsi, n = 1 et, pour tout j (0 ≤ j < d), on a m_{j} ∈ ℤ). Dans ce cas, nous allons définir le contenu chargé comme le contenu d’un certain symbole.

3.2. Définitions. Supposons le système de poids m = (m^{(0)}, m^{(1)}, …, m^{(d−1)}, n) entier. Le symbole m–chargé standard de λ est alors la famille de β–nombres définie par

Bc_{λ} := (Bc^{(0)}, Bc^{(1)}, …, Bc^{(d−1)})

où, pour tout j (0 ≤ j ≤ d − 1), on a

Bc^{(j)} := β^{(j)}[hc_{λ} − hc^{(j)}] .

Ainsi, le symbole chargé standard de λ est un tableau de nombres arrangés en d lignes numérotées de 0 à d − 1 tel que la j-ième ligne soit de longueur m^{(j)} + hc_{λ}.

Un symbole m–chargé de λ est un symbole déduit du symbole m–chargé standard par décalage de toutes les lignes d’un même entier.

Exemple. Prenons d = 2, et λ = (λ^{(0)}, λ^{(1)}) avec λ^{(0)} = (2, 1) et λ^{(1)} = (1) . Choisissons m = (m^{(0)}, m^{(1)}) avec m^{(0)} = −1 et m^{(1)} = 4 , et n = 1. On a hc_{λ} = 3, et

Bc_{λ} = \binom{1 3}{0 1 2 3 4 5 7}

Pour tout j (0 ≤ j < d), on pose l^{(j)} := m^{(j)} + hc_{λ}, et on note

Bc^{(j)} = ( α_{1}^{(j)} α_{2}^{(j)} ⋯ α_{l_{j}}^{(j)} )

la j-ième ligne du symbole chargé standard.

Toujours sous l’hypothèse que m est entier, le contenu m–chargé de λ est “l’ensemble avec répétition”

Contc_{λ} = Bc^{(0)} ∪ Bc^{(1)} ∪ ⋯ ∪ Bc^{(d−1)} ,

ou encore (avec les notations ci–dessus) le polynôme défini par

Contc_{λ}(x) := ∑_{{0≤j≤d−1 \atop 1≤i≤l^{(j)}}} x^{α_{i}^{(j)}} .

On définit aussi le “contenu chargé par ligne” :

Contc_{λ}^{(j)}(x) := ∑_{1≤i≤l^{(j)}} x^{α_{i}^{(j)}} .

En explicitant les définitions ci–dessus, on trouve Contc_{λ}(x) := ∑_{0≤j≤d−1} Contc_{λ}^{(j)}(x) et

Contc_{λ}^{(j)}(x) = \{ \begin{matrix}x^{β_{1}^{(j)}+hc_{λ}−h^{(j)}+m^{(j)}} + x^{β_{2}^{(j)}+hc_{λ}−h^{(j)}+m^{(j)}} + ⋯ + x^{β_{h^{(j)}}^{(j)} +hc_{λ}−h^{(j)}+m^{(j)}} \\ + \frac{x^{hc_{λ}−h^{(j)}+m^{(j)}} − 1}{x − 1} . \end{matrix} .

Ce qui précède justifie la définition générale du contenu chargé (sans plus supposer que le système de poids est entier, i.e., sans plus supposer que n = 1 ni que les m^{(j)} sont entiers).

Définition. Le contenu chargé de λ est la fraction rationnelle (en une puissance fractionnaire de x) définie par les formules

Contc_{λ}(x) := ∑_{0≤j≤d−1} Contc_{λ}^{(j)}(x)

Contc_{λ}^{(j)}(x) :=

\{ \begin{matrix}x^{nβ_{1}^{(j)}+n.hc_{λ}−nh^{(j)}+m^{(j)}} + x^{nβ_{2}^{(j)}+n.hc_{λ}−nh^{(j)}+m^{(j)}} + ⋯ + x^{nβ_{h^{(j)}}^{(j)} +n.hc_{λ}−nh^{(j)}+m^{(j)}} \\ + \frac{x^{n.hc_{λ}−nh^{(j)}+m^{(j)}} − 1}{x^{n} − 1} \end{matrix}

3.3. Lemme. On a

x^{n.hc_{λ}}(x^{n} − 1)Resc_{λ}(x) = Contc_{λ}(x) − ∑_{j=0}^{j=d−1} \frac{x^{n.hc_{λ}+m^{(j)}} − 1}{x^{n} − 1} .

Démonstration de 3.3.

On sait (cf. 3.1) que (avec les notations introduites ci–dessus) :

x^{nh^{(j)}}(x^{n} − 1)Res_{λ}^{(j)}(x^{n}) = x^{nβ_{1}^{(j)}} + x^{nβ_{2}^{(j)}} + ⋯ + x^{nβ_{h^{(j)}}^{(j)}} − \frac{x^{nh^{(j)}} − 1}{x^{n} − 1} .

En multipliant les deux membres de l’égalité précédente par x^{n.hc_{λ}−nh^{(j)}+m^{(j)}} , on obtient

\begin{matrix}x^{n.hc_{λ}} & (x^{n} − 1)x^{m^{(j)}}Res_{λ}^{(j)}(x^{n}) = \\ \{ & \begin{matrix}x^{nβ_{1}^{(j)}+n.hc_{λ}−nh^{(j)}+m^{(j)}} + x^{nβ_{2}^{(j)}+n.hc_{λ}−nh^{(j)}+m^{(j)}} + ⋯ + x^{nβ_{h^{(j)}}^{(j)} +n.hc_{λ}−nh^{(j)}+m^{(j)}} \\ + \frac{x^{n.hc_{λ}−nh^{(j)}+m^{(j)}} − 1}{x^{n} − 1} − \frac{x^{n.hc_{λ}+m^{(j)}} − 1}{x^{n} − 1} . \end{matrix} \end{matrix}

Il reste à sommer la formule ci–dessus (j variant de 0 à d − 1) pour obtenir la formule annoncée. □

3.4. Proposition. Supposons le poids (m^{(0)}, m^{(1)}, …, m^{(d−1)}, n) fixé. Soient λ et μ deux d–partitions. Les assertions suivantes sont équivalentes.

(i) Resc_{λ}(x) = Resc_{μ}(x)

(ii) Contc_{λ}(x) = Contc_{μ}(x) .

Démonstration de 3.4.

(i)⇒(ii). Comme la valuation de Res_{λ}^{(j)}(x) est 1 − h^{(j)}, la valuation de x^{(j)}Res_{λ}^{(j)}(x) est 1 − (h^{(j)} − m^{(j)}), i.e., avec les notations introduites précédement, 1 − hc^{(j)}. Il en résulte que la valuation de Resc_{λ}(x) est 1 − hc_{λ}.

Ainsi, si Resc_{λ}(x) = Resc_{μ}(x) , on voit que hc_{λ}(x) = hc_{μ}(x) , et grâce au lemme 3.3 on voit alors que Contc_{λ}(x) = Contc_{μ}(x) .

(ii)⇒(i). En faisant x = 1 dans l’égalité du lemme 3.3, on obtient

Contc_{λ}(1) = d.hc_{λ} + ∑_{j=0}^{j=d−1} m^{(j)} .

Ceci montre que, si Contc_{λ}(x) = Contc_{μ}(x) , on a hc_{λ} = hc_{μ} , et le lemme 3.3 montre alors que Resc_{λ}(x) = Resc_{μ}(x) . □

3.B. Rappels sur les algèbres de Ariki–Koike.

[Pour tous les résultats brièvement rappelés ici, on peut se reporter à l’article originel [ArKo] de Ariki et Koike.]

Notons W_{d,r} le groupe de type G(d, 1, r).

• Algèbre de Ariki–Koike générique.

L’algèbre de Ariki–Koike de W_{d,r} (décrite au §2 ci–dessus) est l’algèbre H(W_{d,r}) engendrée sur l’anneau de polynômes de Laurent en d + 1 indéterminées

O_{d} := ℤ[u_{0}, u_{1}, …, u_{d−1}, u_{0}^{−1}, u_{1}^{−1}, …, u_{d−1}^{−1}, x, x^{−1}]

par des éléments s, t_{1}, t_{2}, …, t_{r−1} satisfaisant les relations de tresses symbolisées par le diagramme

◯_{s} ◯_{t_{1}} ◯_{t_{2}} ⋯ ◯_{t_{r−1}}

et les relations

(s − u_{0})(s − u_{1}) ⋯ (s − u_{d−1}) = (t_{j} − x)(t_{j} + 1) = 0 (pour 1 ≤ j < r) .

• Éléments de Murphy et base de H(W_{d,r}).

On pose

μ_{1} := s , μ_{2} := x^{−1}t_{1}μ_{1}t_{1} , …, μ_{j} := x^{−1}t_{j−1}μ_{j−1}t_{j−1} , …, μ_{r} := x^{−1}t_{r−1}μ_{r−1}t_{r−1} ,

et on appelle éléments de Murphy les éléments μ_{1}, μ_{2}, …, μ_{r}.

On a alors les relations suivantes (cf. [ArKo], 1, 3.3)

μ_{i}μ_{j} = μ_{i}μ_{j} pour tous i, j ∈ {1, 2, …, r}

(μ_{i+1}μ_{i})t_{i} = t_{i}(μ_{i+1}μ_{i}) pour tout i ∈ {1, 2, …, r − 1}

t_{i}μ_{k} = \{ \begin{matrix}μ_{i}t_{i} + (x − 1)μ_{i+1} si k = i + 1 , \\ μ_{i+1}t_{i} − (x − 1)μ_{i+1} si k = i , \\ μ_{k}t_{i} si k ≠ i, i + 1 , \end{matrix}

On note A(W_{d,r}) la sous–algèbre commutative de H(W_{d,r}) engendrée par (μ_{1}, μ_{2}, …, μ_{r}), et on note T_{r} la sous–algèbre engendrée par (t_{1}, t_{2}, …, t_{r−1}). L’algèbre T_{r} est isomorphe à l’algèbre de Hecke usuelle du groupe symétrique 𝔖_{r} sur ℤ[x, x^{−1}], et on a

H(W_{d,r}) = A(W_{d,r})T_{r} = T_{r}A(W_{d,r}) .

Si (t_{i_{1}}, t_{i_{2}}, …, t_{i_{l}}) correspond à une décomposition réduite d’un élément w ∈ 𝔖_{r}, on rappelle que l’élément t_{i_{1}}t_{i_{2}} ⋯ t_{i_{l}} ne dépend que de w ; on le note t_{w}. Alors H(W_{d,r}) a pour bases sur O_{d} les familles

{μ_{1}^{n_{1}} ⋯ μ_{r}^{n_{r}}t_{w} | (0 ≤ n_{i} < d)(w ∈ 𝔖_{r})} et {t_{w}μ_{1}^{n_{1}} ⋯ μ_{r}^{n_{r}} | (0 ≤ n_{i} < d)(w ∈ 𝔖_{r})} .

• Modules de Specht.

Pour chaque d–partition λ = (λ^{(0)}, λ^{(1)}, …, λ^{(d−1)}) de rang r, considérons le O_{d}–module libre de base la famille des tableaux standards de forme λ. On y définit une structure de H(W_{d,r})–module (cf. [ArKo], et aussi [Ar1] et [GrLe]), de sorte que les vecteurs de la base sus– mentionnée soient tous vecteurs propres des éléments de Murphy. Le H(W_{d,r})–module ainsi obtenu est noté Sp^{λ} et est appelé le module de Specht associé à λ.

Soit K_{d} := ℚ(u_{0}, u_{1}, …, u_{d−1}, x) le corps des fractions de O_{d}. Le K_{d}H(W_{d,r})–module K_{d}Sp^{λ} obtenu par extension des scalaires est absolument irréductible, et tout K_{d}H(W_{d,r})–module irréductible est isomorphe à un module de ce type. On note χ_{λ} le caractère (absolument irréductible) du K_{d}H(W_{d,r})–module K_{d}Sp^{λ}.

• Éléments de Schur.

Malle et Mathas [MaMa] ont démontré l’existence de la forme canonique t sur l’algèbre générique H(W_{d,r}). En particulier, les hypothèses 2.1 sont satisfaites.

Ses éléments de Schur ont été calculés dans [GIM] (voir ci–dessous, §3.D pour plus de détails). Un élément de l’anneau O_{d} divise un des éléments de Schur si et seulement si il divise le polynôme de Laurent

s_{d,r} := ∏_{l=1}^{l=r−1}(x^{l} + x^{l−1} + ⋯ + 1) ∏_{{0≤i<j<d \atop −r<k<r}}(x^{k}u_{j} − u_{i}) ,

calculé par Ariki [Ar1].

• Sur le centre de H(W_{d,r}).

Notons σ_{1}, σ_{2}, …, σ_{r} les fonctions symétriques élémentaires en les éléments de Murphy. Ainsi, on a

σ_{m} = ∑_{i_{1}<i_{2}<···<i_{m}} μ_{i_{1}}μ_{i_{2}} ⋯ μ_{i_{m}} pour tout m = 1, 2, …, r .

Comme noté par de nombreux auteurs (cf. par exemple [ArKo] et [Gro]), il résulte du théorème de Bernstein sur le centre de l’algèbre de Hecke affine que l’anneau O_{d}[σ_{1}, σ_{2}, …, σ_{r}] est contenu dans le centre ZH(W_{d,r}) de H(W_{d,r}).

Soit λ := (λ^{(0)}, λ^{(1)}, …, λ^{(d−1)}) une d–partition de rang r.

Pour tout j (0 ≤ j < d), l’élément σ_{j} agit sur le module de Specht Sp^{λ} par multiplication par un scalaire que l’on note ω^{λ}(σ_{j}).

Les éléments ω^{λ}(σ_{j}) se calculent de la manière suivante.

• On définit la famille d’entiers (c_{λ}^{(j)}(s))_{(0≤j<d)(s∈ℤ)} par la condition

Res_{λ}^{(j)}(x) = ∑_{s∈ℤ} c_{λ}^{(j)}(s)x^{s} pour tout j tel que 0 ≤ j < d .

Noter que c_{λ}^{(j)}(s) ≥ 0, que c_{λ}^{(j)}(s) est nul pour presque tout s ∈ ℤ et que ∑_{s∈ℤ} c_{λ}^{(j)}(s) = |λ^{(j)}|.

• On définit un polynôme P^{λ}(t) ∈ O_{d}[t] par la formule

P^{λ}(t) := ∏_{s∈ℤ^{0≤j<d}}(t − u^{(j)}x^{s})^{c_{λ}^{(j)}(s)} .

Noter que deg P^{λ}(t) = r.

On a alors

P^{λ}(t) = t^{r} − ω^{λ}(σ_{1})t^{r−1} + ⋯ + (−1)^{j}ω^{λ}(σ_{j})t^{r−j} + ⋯ + (−1)^{r}ω^{λ}(σ_{r}) .

Plus généralement, soit R un anneau, et soit O_{d}⟶^{ι}R un morphisme. Pour a ∈ O_{d}, on pose \overline{a} := ι(a). On pose RH(W_{d,r}) := R ⊗_{ι} H(W_{d,r}) , et pour h ∈ H(W_{d,r}), on note \overline{h} son image dans RH(W_{d,r}).

Soit λ := (λ^{(0)}, λ^{(1)}, …, λ^{(d−1)}) une d–partition.

Pour tout j (0 ≤ j < d), notons \overline{ω}^{λ}(σ_{j}) l’image de ω^{λ}(σ_{j}) dans R. On calcule alors les éléments \overline{ω}^{λ}(σ_{j}) de la manière suivante (cf. par exemple [GrLe], démontration de 5.9).

• Soit ξ ∈ R. Pour tout j (0 ≤ j < d), on note c_{λ,R}^{(j)}(ξ) le nombre de cases (k, l) du

diagramme de Young Y_{λ}^{(j)} de λ^{(j)} telles que \overline{u}^{(j)}\overline{x}^{(l−k)} = ξ . On appelle contenu de (λ, ϕ) en ξ l’entier défini par

c_{R}^{λ}(ξ) := ∑_{j=0}^{j=d−1} c_{λ,R}^{(j)}(ξ) .

• On note P_{R}^{λ}(t) l’élément de R[t] défini par

P_{R}^{λ}(t) := ∏_{ξ∈R}(t − ξ)^{c_{R}^{λ}(ξ)} .

3.5. Lemme. Le polynôme P_{R}^{λ}(t) est l’image de P^{λ}(t) par ι, et on a donc

P_{R}^{λ}(t) = t^{r} − \overline{ω}^{λ}(σ_{1})t^{r−1} + ⋯ + (−1)^{j}\overline{ω}^{λ}(σ_{j})t^{r−j} + ⋯ + (−1)^{r}\overline{ω}^{λ}(σ_{r}) .

Le théorème de Grojnowski.

Soit k un corps et soit ι: O_{d} ⟶ k un morphisme. Comme ci–dessus, les images par ι sont notées avec une barre.

Le résultat suivant est dû à Grojnowski [Gro]. Il démontre en particulier (cf. ci–dessous 3.7) une conjecture énoncée par Graham et Lehrer ([GrLe], 5.10).

3.6. Théorème. Les blocs de la k–algèbre kH(W_{d,r}) sont les blocs de la sous–algèbre centrale k[\overline{σ}_{1}, \overline{σ}_{2}, …, \overline{σ}_{r}].

Grâce au lemme 3.5 et à la proposition 1.8, ce théorème peut être reformulé de la façon suivante.

3.7. Théorème. Soient λ et μ deux d–partitions de rang r. Les assertions suivantes sont équivalentes.

(i) Les kH(W_{d,r})–modules kSp^{λ} et kSp^{μ} sont dans le même bloc.

(ii) P_{k}^{λ}(t) = P_{k}^{μ}(t).

(iii) Pour tout ξ ∈ k, on a c_{k}^{λ}(ξ) = c_{k}^{μ}(ξ).

3.C. Blocs de Rouquier des algèbres de Ariki–Koike cyclotomiques.

On suppose K ⊇ ℚ(ζ_{d}). Soit ζ ∈ μ(K), et soit

ϕ: \{ \begin{matrix}u_{j} ↦ ζ_{d}^{j}(ζ^{−1}q)^{m^{(j)}} (0 ≤ j < d) \\ x ↦ (ζ^{−1}q)^{n} \end{matrix}

une spécialisation ζ–cyclotomique.

Remarquons tout d’abord que

3.8. la K(q)–algèbre K(q)H_{ϕ}(W_{d,r}) est (semi–simple) déployée.

En effet, les modules de Specht K_{d}Sp^{λ} sont tous absolument irréductibles, donc l’algèbre K_{d}H(W_{d,r}) est déployée. Il résulte donc du théorème de déformation de Tits que pour tout morphisme O_{d} → k de O_{d} vers un corps k tel que kH(W_{d,r}) est semi–simple, la k–algèbre kH(W_{d,r}) est déployée.

Mauvais idéaux maximaux.

3.9. Proposition. Les idéaux maximaux de ℤ_{K} qui sont mauvais pour H_{ϕ}(W_{d,r}) sont les idéaux maximaux qui contiennent un élément de la forme (1 − ζ_{d}^{i−j}) où (i, j) est une paire d’entiers telle que 0 ≤ i ≠ j ≤ d − 1, et telle qu’il existe un entier k avec −r < k < r et kn + m^{(j)} = m^{(i)}.

Démonstration de 3.9. Le polynôme de Laurent s_{d,r} défini ci–dessus se spécialise en

ϕ(s_{d,r}) = ∏_{l=1}^{l=r−1}((ζ^{−1}q)^{nl} +(ζ^{−1}q)^{n(l−1)} +⋯+1) ∏_{{0≤i<j<d \atop −r<k<r}}((ζ^{−1}q)^{nk}ζ_{d}^{j}(ζ^{−1}q)^{m^{(j)}} −ζ_{d}^{i}(ζ^{−1}q)^{m^{(i)}}) .

On voit donc qu’un idéal maximal 𝔭 de ℤ_{K} divise ϕ(s_{d,r}) si et seulement si

• il existe une paire d’entiers (i, j) (0 ≤ i ≠ j ≤ d − 1) et un entier k (−r < k < r) tels que kn + m^{(j)} = m^{(i)},

• 𝔭 divise (ζ_{d}^{j} − ζ_{d}^{i}). □

3.10. Corollaire. Si |n| > |m_{j}| pour tout j = 0, 1, …, d − 1, il n’y a pas d’idéal maximal de ℤ_{K} mauvais pour H_{ϕ}(W_{d,r}). Dans ce cas, les blocs de Rouquier de H_{ϕ}(W_{d,r}) sont tous réduits à un élément.

Démonstration de 3.10. La condition kn + m^{(j)} = m^{(i)} montre en effet que tous les idéaux maximaux de ℤ[ζ_{d}] sont bons pour l’algèbre H_{q,d}(W_{d,r}). La dernière assertion résulte alors de la proposition 1.31, et du fait que toutes les caractères de H_{q,d}(W_{d,r}) sont à valeurs dans K(q) (cf. 3.8 ci–dessus). □

Exemple. Rappelons que l’algèbre H_{q,d}(W_{d,r}) est définie par la spécialisation suivante de l’algèbre de Ariki–Koike :

u_{j} ↦ q^{j} pour 0 ≤ j < d , x ↦ q^{d} ,

i.e.,

(s − 1)(s − q) ⋯ (s − q^{d−1}) = (t_{j} − q^{d})(t_{j} + 1) = 0 (pour 1 ≤ j < r) .

La corollaire 3.10 montre alors que 3.11. Les blocs de Rouquier de l’algèbre H_{q,d}(W_{d,r}) sont tous réduits à un élément.

Remarque. L’algèbre H_{q,d}(W_{d,r}) est une des algèbres cyclotomiques qui interviennent dans la classification des “d–séries de Harish–Chandra” du groupe GL_{dr}(q) (cf. par exemple [BrMa], §0. Einleitung, ou 2.10). Le fait que ses blocs soient tous réduits à un seul élément est compatible avec le fait que les familles de caractères unipotents de GL_{dr}(q) sont elles–mêmes réduites à un seul élément.

Blocs de Rouquier.

Pour 𝔭 un idéal maximal de ℤ_{K}, on rappelle que l’on note 𝔽_{𝔭} := ℤ_{K}/𝔭 le corps résiduel correspondant, et que le corps résiduel correspondant de l’anneau de Rouquier R_{K}(q) est k_{𝔭} := 𝔽_{𝔭}(q) .

Soit ξ ∈ k_{𝔭}. Soit λ := (λ^{(0)}, λ^{(1)}, …, λ^{(d−1)}) une d–partition. On pose c_{𝔭}^{λ}(ξ) := c_{k_{𝔭}}^{λ}(ξ) .

Ainsi, on a c_{𝔭}^{λ}(ξ) = ∑_{j=0}^{j=d−1} c_{λ,k_{𝔭}}^{(j)}(ξ) (on rappelle que l’on note c_{λ,k_{𝔭}}^{(j)}(ξ) le nombre de cases (k, l)

du diagramme de Young Y_{λ}^{(j)} de λ^{(j)} telles que ζ_{d}^{j}(ζ^{−1}q)^{m^{(j)}+n(l−k)} = ξ).

Si λ est une d–partition de rang r, on note (χ_{λ})_{ϕ} le caractère absolument irréductible de H_{ϕ}(W_{d,r}) défini par la spécialisation correspondante du module de Specht Sp^{λ}.

3.12. Théorème. Soient λ et μ deux d–partitions de rang r. Soit 𝔭 un idéal maximal de ℤ[ζ_{d}]. Les assertions suivantes sont équivalentes.

(i) Les caractères (χ_{λ})_{ϕ} et (χ_{μ})_{ϕ} sont dans le même 𝔭–bloc de l’algèbre R_{K}(q)H_{ϕ}(W_{d,r}). (ii) Pour tout ξ ∈ 𝔽_{𝔭}(q), on a c_{𝔭}^{λ}(ξ) = c_{𝔭}^{μ}(ξ).

Démonstration de 3.12. D’après la proposition 1.15, on sait que le morphisme de réduction modulo 𝔭 induit une bijection entre les 𝔭–blocs de l’algèbre R_{K}(q)H_{ϕ}(W_{d,r}) et les blocs de l’algèbre 𝔽_{𝔭}(q)H_{ϕ}(W_{d,r}). Le théorème 3.12 est alors une conséquence immédiate du théorème 3.7. □

Dans tout ce qui suit, nous considérons le système de poids (cf. ci–dessus)

m := (m^{(0)}, m^{(1)}, …, m^{(d−1)}, n) .

Les résidus (chargés) et les contenus (chargés) des d–partitions considérées dans ce qui suit sont calculés par rapport à ce système de poids m.

3.13. Théorème. Soient λ et μ deux d–partitions de rang r. Les assertions suivantes sont équivalentes.

(i) (χ_{λ})_{ϕ} et (χ_{μ})_{ϕ} sont dans le même bloc (de Rouquier) de l’algèbre R_{ℚ(ζ_{d})}(q)H_{ϕ}(W_{d,r}). (ii) Resc_{λ}(x) = Resc_{μ}(x) . (iii) Contc_{λ}(x) = Contc_{μ}(x) .

Démonstration de 3.13.

Remarquons tout d’abord que, étant donnés 𝔭 un idéal maximal de ℤ[ζ_{d}], s ∈ ℤ et α ∈ 𝔽_{𝔭}, on a, pour tout j (0 ≤ j < d)

(3.14) c_{λ,𝔭}^{(j)}(αq^{s}) = |{(k, l) ∈ Y_{λ}^{(j)} | (ζ_{d}^{j}ζ^{−m^{(j)}−n(l−k)} ≡ α mod 𝔭)(m^{(j)} + n(l − k) = s)}| .

Il en résulte que

(3.15)  Resc_{λ}^{(j)}(x) = ∑_{s∈ℤ} ( ∑_{α∈𝔽_{𝔭}} c_{λ,𝔭}^{(j)}(αq^{s})) x^{s} .

(i)⇒(ii). D’après la proposition 1.13, il suffit de démontrer que si 𝔭 est un idéal maximal de ℤ[ζ_{d}] tel que (χ_{λ})_{ϕ} et (χ_{μ})_{ϕ} sont dans le même 𝔭–bloc de l’algèbre R_{K}(q)H_{ϕ}(W_{d,r}), alors Resc_{λ}(x) = Resc_{μ}(x).

Supposons donc que (χ_{λ})_{ϕ} et (χ_{μ})_{ϕ} sont dans le même 𝔭–bloc de l’algèbre R_{K}(q)H_{ϕ}(W_{d,r}). D’après le théorème 3.12, on sait que, pour tout ξ ∈ 𝔽_{𝔭}(q), on a c_{𝔭}^{λ}(ξ) = c_{𝔭}^{μ}(ξ).

La formule 3.15 ci–dessus montre alors que Resc_{λ}(x) = Resc_{μ}(x) .

(ii)⇒(i). Supposons Resc_{λ}(x) = Resc_{μ}(x) .

Soit 𝔭 un idéal maximal de ℤ[ζ_{d}] qui contient 1 − ζ_{d}.

Puisque ζ_{d} ≡ ζ ≡ 1 mod 𝔭, la formule 3.14 ci–dessus montre

• d’une part, que si α ≠ 1 , alors c_{λ,𝔭}^{(j)}(αq^{s}) = 0 ,

• d’autre part que, pour tout j (0 ≤ j < d), on a

c_{λ,𝔭}^{(j)}(αq^{s}) = |{(k, l) ∈ Y_{λ}^{(j)} | (m^{(j)} + n(l − k) = s)}| , d’où Resc_{λ}(x) = ∑_{s∈ℤ} c_{𝔭}^{λ}(q^{s})x^{s} .

On voit donc que, pour tout s ∈ ℤ et tout α ∈ 𝔽_{𝔭}, on a c_{𝔭}^{λ}(αq^{s}) = c_{𝔭}^{μ}(αq^{s}) , et par conséquent d’après le théorème 3.12, les caractères (χ_{λ})_{ϕ} et (χ_{μ})_{ϕ} sont dans le même 𝔭–bloc de R_{ℚ(ζ_{d})}(q)H_{ϕ}(W_{d,r}), donc dans le même bloc.

(ii)⇔(iii) a été démontré précédemment (cf. 3.4). □

Blocs de Rouquier et symboles chargés.

Nous allons appliquer les résultats précédents à la détermination des blocs de Rouquier des algèbres cyclotomiques de Ariki–Koike définies par une spécialisation correspondant à un système de poids (m^{(0)}, m^{(0)}, …, m^{(d−1)}, n) entier, i.e., une spécialisation de la forme

ϕ: \{ \begin{matrix}u_{j} ↦ ζ_{d}^{j}(ζ^{−1}q)^{m^{(j)}} (0 ≤ j < d) \\ q ↦ ζ^{−1}q , \end{matrix}

où pour tout j (0 ≤ j < d), on a m^{(j)} ∈ ℤ.

Remarquons que ce cas contient celui de l’algèbre spetsiale (cf. [BMM], §6), qui est l’algèbre 1–cyclotomique H_{q}^{s}(W_{d,r}) définie par les relations

(s − q)(s^{d−1} + ⋯ + s + 1) = (t_{j} − q)(t_{j} + 1) = 0 (pour 0 ≤ j < r) .

Puisque le système de poids est entier, il résulte du §3.A ci–dessus que le contenu chargé d’une d–partition λ est le contenu d’un certain symbole Bc_{λ}, le symbole chargé de λ (cf. les définitions 3.2 et les remarques suivantes).

3.16. Théorème. Soient λ et μ deux d–partitions de rang r. Soient B et C deux symboles chargés associés respectivement à λ et à μ, obtenus respectivement par décalage simultané de toutes les lignes de Bc_{λ} et Bc_{μ} par un même entier. Les assertions suivantes sont équivalentes

(i) Les contenus de B et de C sont égaux.

(ii) Les caractères (χ_{λ})_{ϕ} et (χ_{μ})_{ϕ} sont dans le même bloc de Rouquier de l’algèbre de Ariki– Koike cyclotomique H_{ϕ}(W_{d,r}).

Démonstration de 3.16. Il est clair que les contenus de B et de C sont égaux si et seulement si les contenus de Bc_{λ} et Bc_{μ} le sont, donc si et seulement si Contc_{λ}(x) = Contc_{μ}(x). Le théorème 3.16 résulte alors du théorème 3.13. □

3.D. Invariants a et A des blocs de Rouquier.

Les éléments de Schur revisités.

Soit B une famille de d sous–ensembles finis (B^{(0)}, B^{(1)}, …, B^{(d−1)}) de ℕ. On définit les deux éléments suivants de O_{d} :

\{ \begin{matrix}δ_{B}(q, u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1}) := ∏_{{0≤i≤j<d \atop (α,β)∈B^{(i)}×B^{(j)}} ; α>β si i=j} (q^{α}u_{i} − q^{β}u_{j}) \\ θ_{B}(q, u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1}) := ∏_{{0≤i,j<d \atop α∈B^{(i)}} ; 1≤k≤α} (q^{k}u_{i} − u_{j}) . \end{matrix}

Dans tout ce qui suit, les entiers positifs d et r sont fixés.

Soit λ = (λ^{(0)}, λ^{(1)}, …, λ^{(d−1)}) une d–partition de rang r. Soit B = (B^{(0)}, B^{(1)}, …, B^{(d−1)}) un symbole ordinaire associé à λ. On note h_{B} (ou plus simplement h) la hauteur de B. Ainsi, pour tout j (0 ≤ j < d) on a

B^{(j)} = (α_{1}^{(j)}, α_{2}^{(j)}, …, α_{h}^{(j)}) .

Noter que h est au moins égal à la hauteur de λ.

On définit les éléments

σ_{B}, τ_{B} , |B| ∈ ℕ , ν_{B}(q, u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1}) ∈ O_{d}

par les formules suivantes :

σ_{B} := \binom{d}{2}\binom{h_{B}}{2} + r(d − 1) ,

τ_{B} := \binom{d(h_{B} − 1) + 1}{2} + \binom{d(h_{B} − 2) + 1}{2} + …,

|B| := ∑_{{0≤i<d \atop α∈B^{(i)}}} α ,

ν_{B}(q, u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1}) := ∏_{0≤i<j<d}(u_{i} − u_{j})^{h_{B}}θ_{B}(q, u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1}) .

Le résultat suivant est une reformulation du calcul de l’élément de Schur s_{λ} associé à λ, calcul dû à [GIM] et conjecturé par Malle (cf. [Ma1], §2) : on donne ici une expression de s_{λ} en fonction d’un symbole ordinaire associé à λ (et non en fonction d’un symbole spetsial comme dans loc.cit.).

3.17. Proposition. Soit s_{λ}(q, u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1}) l’élément de Schur associé au module de Specht Sp^{λ} de l’algèbre générique de Ariki–Koike H(W_{d,r}). Soit B un symbole ordinaire associé à λ. On a

s_{λ}(q, u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1}) := ((q − 1) ∏_{0≤i<d} u_{i})^{−r}(−1)^{σ_{B}}q^{τ_{B}−|B|+r} \frac{ν_{B}(q, u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1})}{δ_{B}(q, u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1})}

Démontration sommaire de 3.17. On laisse au lecteur le soin de vérifier que la partie de droite de l’égalité à démontrer ne change pas si on décale simultanément toutes les lignes de B par le même entier.

Désignons par Bs le symbole spetsial (associé à λ) obtenu en décalant de 1 la première ligne B^{(0)} de B. D’après [GIM], corollary 1.5 (où sont considérés les inverses des éléments de Schur), on sait que l’élément de Schur correspondant à λ est

E_{Bs}(q, q^{−1}u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1}) ,

avec

E_{Bs}(q, u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1}) := ((q − 1) ∏_{0≤i<d} u_{i})^{−r}(−1)^{σ_{B}}q^{τ_{B}} \frac{ν_{Bs}(q, u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1})}{δ_{Bs}(q, u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1})}

où le polynôme ν_{Bs} associé au symbole spetsial Bs est défini par la formule :

ν_{Bs}(q, u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1}) := ∏_{0≤i<j<d}(u_{i} − u_{j})^{h_{B}}θ_{Bs}(q, u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1}) .

• Un calcul soigneux montre que

\begin{aligned}δ_{Bs}(q, q^{−1}u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1}) = δ_{B}(q, u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1}) & ∏_{{j>0 \atop β∈B^{(j)}}} (q^{−1}u_{0} − q^{β}u_{j}) \\ & × ∏_{α∈B^{(0)}}(q^{α}u_{0} − q^{−1}u_{0}) , \end{aligned}

• et que

ν_{Bs}(q, q^{−1}u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1}) = ν_{B}(q, u_{0}, u_{1}, ⋯, u_{d−1})\frac{∏_{j>0}(q^{−1}u_{0} − u_{j})^{h_{B}}}{∏_{j>0}(u_{0} − u_{j})^{h_{B}}}

× ∏_{{α∈B^{(0)} \atop j>0}} (u_{0} − u_{j}) ∏_{α∈B^{(0)}}(q^{α}u_{0} − q^{−1}u_{0}) ∏_{{α∈B^{(0)} \atop 1≤k≤α}} q^{−1}

× ∏_{{i>0 \atop α∈B^{(i)}}} \frac{q^{α}u_{i} − q^{−1}u_{0}}{u_{i} − q^{−1}u_{0}} ∏_{{i>0 \atop α∈B^{(i)}} ; 1≤k≤α} q^{−1} .

L’égalité à démontrer résulte des deux égalités ci–dessus. □

Invariance de a et A.

Soit ϕ une spécialisation ζ–cyclotomique :

ϕ: \{ \begin{matrix}u_{j} ↦ ζ_{d}^{j}(ζ^{−1}q)^{m^{(j)}} (0 ≤ j < d) \\ q ↦ (ζ^{−1}q)^{n} . \end{matrix}

On pose m = (m^{(0)}, m^{(2)}, …, m^{(d−1)}, n) .

Pour toute d–partition λ de rang r, on note (s_{λ})_{ϕ} l’élément de Schur du caractère irréductible (χ_{λ})_{ϕ} de l’algèbre de Ariki–Koike cyclotomique H_{ϕ}(W_{d,r}).

3.18. Proposition. Soient λ et μ deux d–partitions de rang r. On suppose qu’elles ont le même contenu, i.e., que les caractères (χ_{λ})_{ϕ} et (χ_{μ})_{ϕ} sont dans le même bloc de Rouquier. Alors on a

a((s_{λ})_{ϕ}) = a((s_{μ})_{ϕ}) et A((s_{λ})_{ϕ}) = A((s_{μ})_{ϕ}) .

Démonstration de 3.18. Grâce à la proposition 2.9, on sait que

a((s_{λ})_{ϕ}) + A((s_{λ})_{ϕ}) = a((s_{μ})_{ϕ}) + A((s_{μ})_{ϕ}) .

Il suffit donc de démontrer que A((s_{λ})_{ϕ}) = A((s_{μ})_{ϕ}).

Nous faisons la démonstration dans le cas particulier où le système de poids m est entier, ce qui nous permet d’utiliser les symboles et leurs décalés, laissant au lecteur le soin d’adapter la démonstration au cas général.

Nous commençons par quelques remarques générales sur les symboles et leurs décalés.

• Si B est une famille de d sous–ensembles finis (B^{(0)}, B^{(1)}, …, B^{(d−1)}) de ℕ, le contenu de B est “l’ensemble avec répétition” des éléments constituant B^{(0)} ∪ B^{(1)} ∪ ⋯ ∪ B^{(d−1)}, i.e., le polynôme

Cont_{B}(x) := ∑_{{0≤j<d \atop α∈B^{(j)}}} x^{α} .

• Soit

B = \{ \begin{matrix}B^{(0)} & = & α_{1}^{(0)} & α_{2}^{(0)} & ⋯ & α_{h}^{(0)} \\ B^{(1)} & = & α_{1}^{(1)} & α_{2}^{(1)} & ⋯ & α_{h}^{(1)} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ B^{(d−1)} & = & α_{1}^{(d−1)} & α_{2}^{(d−1)} & ⋯ & α_{h}^{(d−1)} \end{matrix}

un symbole ordinaire associé à une d–partition λ.

On note B[m] le symbole défini par la condition

B[m]^{(j)} := B^{(j)}[m^{(j)}] ,

i.e., le symbole dont la j-ième ligne est :

(0 , 1 , ⋯, m^{(j)} − 1 , α_{1}^{(j)} + m^{(j)} , α_{2}^{(j)} + m^{(j)} , ⋯, α_{h}^{(j)} + m^{(j)}) .

Alors B[m] est un symbole m–chargé associé à λ.

• Notons B[m]′ le “rectangle de largeur h à droite” du symbole précédent, i.e., le tableau de nombres

B[m]′ = \{ \begin{matrix}α_{1}^{(0)} + m^{(0)} & α_{2}^{(0)} + m^{(0)} & ⋯ & α_{h}^{(0)} + m^{(0)} \\ α_{1}^{(1)} + m^{(1)} & α_{2}^{(1)} + m^{(1)} & ⋯ & α_{h}^{(1)} + m^{(1)} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ α_{1}^{(d−1)} + m^{(d−1)} & α_{2}^{(d−1)} + m^{(d−1)} & ⋯ & α_{h}^{(d−1)} + m^{(d−1)} \end{matrix}

Les contenus respectifs de B[m]′ et de B[m] se déterminent l’un l’autre, grâce à la formule

Cont_{B[m]}(x) = Cont_{B[m]′}(x) + ∑_{j=0}^{j=d−1} \frac{x^{m^{(j)}} − 1}{x − 1} .

On voit aussi que h_{B} est déterminé par le contenu de B[m], puisque

dh_{B} = Cont_{B[m]′}(1) .

• On note aussi que

|B[m]| = |B| + ∑_{j=0}^{j=d−1} \binom{m^{(j)}}{2} + h ∑_{j=0}^{j=d−1} m^{(j)} ,

donc |B| est déterminé par |B[m]|, donc par Cont_{B[m]}(x) puisque

|B[m]| = \frac{d}{dx}(Cont_{B[m]}(x))_{|_{x=1}} .

Démontrons maintenant que A((s_{λ})_{ϕ}) ne dépend que du contenu de B[m]. La formule de la proposition 3.17 montre que

A((s_{λ})_{ϕ}) = −r ∑_{j=0}^{j=d−1} m^{(j)} − |B| + τ_{B} − ∑_{{0≤i≤j<d \atop (α,β)∈B^{(i)}×B^{(j)}} ; α>β si i=j}max\{α + m^{(i)}, β + m^{(j)}\}

+ h_{B} ∑_{0≤i<j<d} max\{m^{(i)}, m^{(j)}\} + ∑_{{0≤i,j<d \atop α∈B^{(i)}} ; 1≤k≤α} max\{k + m^{(i)}, m^{(j)}\} .

D’une part, on a

∑_{{0≤i≤j<d \atop (α,β)∈B^{(i)}×B^{(j)}} ; α>β si i=j} max\{α + m^{(i)}, β + m^{(j)}\}

= \frac{1}{2} ∑_{{0≤i≠j<d \atop (α,β)∈B^{(i)}×B^{(j)}}} max\{α + m^{(i)}, β + m^{(j)}\} + ∑_{{0≤i<d \atop (α,β∈B^{(i)})(α>β)}}max\{α + m^{(i)}, β + m^{(i)}\}

= \frac{1}{2} ∑_{{0≤i≠j<d \atop (α,β)∈B^{(i)}×B^{(j)}}}max\{α + m^{(i)}, β + m^{(j)}\} + \frac{1}{2} ∑_{0≤i<d ; {α,β∈B^{(i)} \atop α≠β}}max\{α + m^{(i)}, β + m^{(i)}\}

= \frac{1}{2} ∑_{(a,b)∈B[m]′×B[m]′} max\{a, b\} − \frac{1}{2} ∑_{a∈B[m]′} a ,

et cette dernière expression est manifestement déterminée par le contenu de B[m]. D’autre part, on a

∑_{{0≤i,j<d \atop α∈B^{(i)}} ; 1≤k≤α} max\{k + m^{(i)}, m^{(j)}\} = ∑_{{0≤i,j<d \atop α∈B^{(i)}} ; 1≤k≤α+m^{(i)}} max\{k, m^{(j)}\} − ∑_{{0≤i,j<d \atop α∈B^{(i)}} ; 1≤k≤m^{(i)}} max\{k, m^{(j)}\}

= ∑_{{0≤i,j<d \atop a∈B[m]′^{(i)}} ; 1≤k≤a} max\{k, m^{(j)}\} − ∑_{{0≤i,j<d \atop α∈B[m]′^{(i)}} ; 1≤k≤m^{(i)}} max\{k, m^{(j)}\} ,

ce qui est manifestement déterminé par le contenu de B[m].

Ainsi, on peut réécrire A(s_{λ}) sous la forme suivante, qui montre que cette valeur ne dépend que du contenu de B[m] :

A((s_{λ})_{ϕ}) = − r ∑_{j=0}^{j=d−1} m^{(j)} − |B| + τ_{B} − h_{B}( ∑_{{0≤i,j<d \atop 1≤k≤m^{(i)}}} max\{k, m^{(j)}\} − ∑_{0≤i<j<d} max\{m^{(i)}, m^{(j)}\})

− \frac{1}{2} ∑_{(a,b)∈B[m]′×B[m]′} max\{a, b\} + \frac{1}{2} ∑_{a∈B[m]′} a + ∑_{{0≤j<d \atop a∈B[m]′} ; 1≤k≤a} max\{k, m^{(j)}\} .

□

3.E. Une algèbre 1-cyclotomique particulière.

On désigne par H_{d,r} la spécialisation de l’algèbre de Ariki–Koike générique H(W_{d,r}) (cf. ci–dessus, §3.B) obtenue en posant u_{j} = ζ_{d}^{j} pour j = 0, …, d − 1 . Ainsi, H_{d,r} est l’algèbre engendrée sur ℤ[q, q^{−1}] par des éléments s, t_{1}, t_{2}, …, t_{r−1} satisfaisant les relations de tresses symbolisées par le diagramme

◯_{s} ◯_{t_{1}} ◯_{t_{2}} ⋯ ◯_{t_{r−1}}

et les relations

(s^{d} − 1) = (t_{j} − q)(t_{j} + 1) = 0 (pour 1 ≤ j < r) .

Le propriété suivante résulte de la proposition 3.9 ci–dessus.

3.19. Proposition. Les idéaux maximaux de ℤ[ζ_{d}] qui sont mauvais pour l’algèbre H_{d,r} sont les idéaux maximaux qui contiennent un élément de la forme 1 − ζ_{d}^{k} pour 0 ≤ k < d.

Remarque. Il résulte de la proposition précédente que l’élément d = (1 − ζ_{d})(1 − ζ_{d}^{2}) ⋯ (1 − ζ_{d}^{d−1}) est “entièrement mauvais”.

Pour toute d–partition λ := (λ^{(0)}, λ^{(1)}, …, λ^{(d−1)}) de r, nous désignons maintenant par χ_{λ} le caractère irréductible de H_{d,r} associé à λ (il s’agit d’un petit abus de notation, puisque dans ce qui précède, la notation χ_{λ} désignait le caractère du groupe W_{d,r} associé à λ).

D’après le théorème 3.16 ci–dessus, les caractères χ_{λ} et χ_{μ} sont dans le même bloc de Rouquier de l’algèbre H_{d,r} si et seulement si deux symboles ordinaires et de même taille de λ et μ ont le même contenu.

Nous allons déterminer les blocs de Rouquier de défaut zéro de l’algèbre H_{d,r}.

Définition. Une d–partition λ := (λ^{(0)}, λ^{(1)}, …, λ^{(d−1)}) est appelée bégayante si et seulement si λ^{(0)} = λ^{(1)} = ⋯ = λ^{(d−1)} .

3.20. Proposition. Soit λ := (λ^{(0)}, λ^{(1)}, …, λ^{(d−1)}) une d–partition de r. Les propriétés suivantes sont équivalentes.

(i) La d–partition λ est bégayante.

(ii) Le singleton {χ_{λ}} est un bloc de Rouquier de H_{d,r}.

(iii) L’élément de Schur s_{λ} du caractère χ_{λ} est inversible dans l’anneau de Rouquier (en d’autres termes, le caractère χ_{λ} est de défaut nul pour tous les idéaux maximaux de l’anneau de Rouquier).

Démonstration de 3.20.

(i) ⇒ (ii).

Tout contenu ordinaire de la d–partition λ := (λ^{(0)}, λ^{(1)}, …, λ^{(d−1)}) avec λ^{(0)} = λ^{(1)} = ⋯ = λ^{(d−1)} est de la forme d(x^{α_{1}} + x^{α_{2}} + ⋯ + x^{α_{h}}) avec α_{1} > α_{2} > ⋯ > α_{h} , où (α_{1}, α_{2}, …, α_{h}) est un β–nombre (éventuellement décalé) de λ^{(0)}. Soit alors μ une autre d–partition de r de même contenu ordinaire. Chacun des entiers α_{j} (j = 1, …, h) intervient d fois dans ce symbole ordinaire, donc doit apparaître une fois dans chaque ligne. Il en résulte que ce symbole ordinaire est en fait égal à celui de λ, et par conséquent μ = λ.

(ii) ⇒ (i).

Supposons que (i) n’est pas vérifié, i.e., supposons qu’il existe j, k ∈ {0, 1, …, d − 1}, j ≠ k, tels que λ^{(j)} ≠ λ^{(k)}. La d–partition obtenue alors en échangeant λ^{(j)} et λ^{(k)} est différente de λ, et a clairement le même contenu ordinaire, donc définit un caractère irréductible de H_{d,r} différent de χ_{λ} et pourtant dans le même bloc de Rouquier.

Il est clair (voir la définition des blocs donnée au premier paragraphe ci–dessus) que (iii) ⇒ (ii). L’implication (ii) ⇒ (iii) est évoquée d’un point de vue général dans la remarque suivant le lemme 1.29. Nous la démontrons ici par un calcul direct, grâce au lemme plus précis suivant. Nous en omettons la démonstration, une vérification longue et fastidieuse à partir de la formule de la proposition 3.17.

3.21. Lemme. Soit λ := (λ^{(0)}, λ^{(1)}, …, λ^{(d−1)}) une d–partition bégayante de r et soient α_{1} > α_{2} > ⋯ > α_{h} les β–nombres de la partition λ^{(0)}. Alors l’élément de Schur s_{λ} est un polynôme de la forme

s_{λ} = q^{e_{λ}}P_{λ}(q)^{d} ,

avec

\{ \begin{matrix}eλ =\binom{d(h−1)+1}{2}+\binom{d(h−2)+1}{2}+···+\binom{d+1}{2}−d\binom{h}{2}−(α_{1}+···+α_{h})\binom{d}{2}−d^{2}(∑_{1≤i<h} α_{i}(h−i)) , \\ P_{λ}(q) = ∏_{i=1}^{i=h} P_{i}(q) , avec \\ P_{i}(q) := ∏_{{1≤k≤α_{i} \atop ∀j<i, k≠α_{i}−α_{j}}} (\frac{q^{kd} − 1}{q − 1}) . \end{matrix}

□

4. Blocs de Rouquier des algèbres cyclotomiques des groupes G(d, d, r)

4.A. Les algèbres cyclotomiques des groupes G(d, d, r).

Le groupe \overline{W}_{d,r} et son algèbre de Hecke \overline{H}_{d,r}.

Rappelons que W_{d,r} désigne le groupe G(d, 1, r), isomorphe à μ_{d} ≀ 𝔖_{r}. En composant le morphisme surjectif naturel W_{d,r} ↠ 𝔖_{r} avec le morphisme de signature, on obtient un morphisme noté sgn: W_{d,r} ⟶ μ_{2} = {−1, +1} .

On note det: W_{d,r} ↠ μ_{d} le déterminant, et on note

sgn_{d}: W_{d,r} ↠ μ_{d}

le morphisme défini par l’égalité det = sgn.sgn_{d} .

Le groupe G(d, d, r) est par définition le groupe \overline{W}_{d,r} := ker(sgn_{d}) .

On sait (cf. par exemple [BMR], Theorem 2.27) que le groupe de tresses associé est engendré par des éléments t_{1}, t̃_{1}, t_{2}, …, t_{r−1} satisfaisant les relations de tresses symbolisées par le diagramme

d

t_1◯ ⧹

t̃_1◯ ⧸ ◯_{t2} ◯_{t3} ⋯ ◯ t_{r−1}

Pour r > 2, ou pour r = 2 et d impair, le groupe \overline{W}_{d,r} n’a qu’une seule orbite sur les hyperplans de réflexions. Son algèbre de Hecke générique est donc l’algèbre présentée sur l’anneau ℤ[u_{0}, u_{1}, u_{0}^{−1}, u_{1}^{−1}] par des éléments t_{1}, t̃_{1}, t_{2}, …, t_{r−1} satisfaisant les relations de tresses symbolisées par le diagramme ci–dessus, et les relations

(t̃_{1} − u_{0})(t̃_{1} − u_{1}) = (t_{j} − u_{0})(t_{j} − u_{1}) = 0 (pour 1 ≤ j < r) .

Par contre, pour r = 2 et d pair, le groupe \overline{W}_{d,r} a deux orbites sur les hyperplans de réflexions. Son algèbre de Hecke générique est l’algèbre présentée sur l’anneau ℤ[u_{0}, u_{1}, v_{0}, v_{1}, u_{0}^{−1}, u_{1}^{−1}, v_{0}^{−1}, v_{1}^{−1}] par des éléments t_{1}, t̃_{1} satisfaisant les relations de tresses symbolisées par le diagramme

◯_{t_{1}} ^{d} ◯_{t̃_{1}}

et les relations

(t_{1} − u_{0})(t_{1} − u_{1}) = (t̃_{1} − v_{0})(t̃_{1} − v_{1}) = 0 .

On note \overline{H}_{d,r} la ℤ[q, q^{−1}]–algèbre, spécialisation 1–cyclotomique de l’algèbre de Hecke générique de \overline{W}_{d,r}, engendrée par des éléments t_{1}, t̃_{1}, t_{2}, …, t_{r−1} satisfaisant les relations de tresses symbolisées par le diagramme ci–dessus et par les relations

(t̃_{1} − q)(t̃_{1} + 1) = (t_{j} − q)(t_{j} + 1) = 0 (pour 1 ≤ j < r) .

Plongement de \overline{H}_{d,r} dans H_{d,r}.

On désigne par H_{d,r} la spécialisation de l’algèbre de Ariki–Koike générique H(W_{d,r}) (cf. ci–dessus, §3.B) obtenue en posant u_{j} = ζ_{d}^{j} pour j = 0, …, d − 1 . Ainsi, H_{d,r} est l’algèbre engendrée sur ℤ[q, q^{−1}] par des éléments s, t_{1}, t_{2}, …, t_{r−1} satisfaisant les relations de tresses symbolisées par le diagramme

◯_{s} ◯_{t_{1}} ◯_{t_{2}} ⋯ ◯_{t_{r−1}}

et les relations

(s^{d} − 1) = (t_{j} − q)(t_{j} + 1) = 0 (pour 1 ≤ j < r) .

Posons t̃_{1} := s^{−1}t_{1}s. La proposition suivante résulte de [Ar2], Prop. 1.6, et de [BMR], 1.17.

4.1. Proposition.

(1) La sous–algèbre de H_{d,r} engendrée par les éléments t_{1}, t̃_{1}, t_{2}, …, t_{r−1} est isomorphe à \overline{H}_{d,r}. Nous la notons dorénavant \overline{H}_{d,r}.

(2) Soit G := ⟨s⟩. Alors H_{d,r} est l’algèbre symétrique du groupe G sur la sous–algèbre \overline{H}_{d,r}.

Démonstration de 4.1.

L’assertion (1) est explicite dans [Ar2], Prop. 1.6. Vérifions l’assertion (2).

Le fait que l’algèbre \overline{H}_{d,r} est une sous–algèbre symétrique de H_{d,r} est démontré dans [MaMa] (et noté dans [BMR], 1.17).

Rappelons (cf. §3.B ci–dessus) que H_{d,r} a pour base la famille

{μ_{1}^{n_{1}}μ_{2}^{n_{2}} ⋯ μ_{r}^{n_{r}}t_{w} | (0 ≤ n_{j} < d)(w ∈ 𝔖_{r})} (noter que μ_{1} = s) .

Posons

\overline{μ}_{j} := s^{d−1}μ_{j} = s^{−1}μ_{j} pour 1 ≤ j ≤ r (noter que \overline{μ}_{1} = 1) .

Il résulte de [Ar2], Prop. 1.6 que \overline{H}_{d,r} a pour base la famille

\{\overline{μ}_{2}^{n_{2}} ⋯ \overline{μ}_{r}^{n_{r}}t_{w} | (∀j = 2, …, r)(0 ≤ n_{j} < d) et (w ∈ 𝔖_{r})\} .

Il est alors clair que

H_{d,r} = ⨁_{k=0}^{d−1} s^{k} \overline{H}_{d,r} .

□

4.B. Les blocs de Rouquier des algèbres cyclotomiques des groupes G(d, d, r).

Caractères de H_{d,r}, caractères de \overline{H}_{d,r}, d–partitions.

On se réfère dorénavant aux notations et aux résultats du paragraphe 1.D ci–dessus. On note encore K := ℚ(ζ_{d}).

L’opération du groupe G^{∨} sur Irr(H_{d,r}) correspond à l’action engendrée par la permutation circulaire des d partitions constituant une d–partition (cf. aussi par exemple [Ma4], §4.A) :

(λ^{(0)}, λ^{(1)}, …, λ^{(d−1)}) ↦ (λ^{(d−1)}, λ^{(0)}, …, λ^{(d−2)}) .

On identifie le groupe G^{∨} au groupe cyclique C_{d} d’ordre d engendré par la permutation circulaire décrite ci–dessus.

Pour toute d–partition λ = (λ^{(0)}, λ^{(1)}, …, λ^{(d−1)}) de r, on note \overline{λ} l’orbite de λ par le groupe C_{d}.

D’après la proposition 1.42, on sait que l’on a une partition

Irr(\overline{H}_{d,r}) = ▪ ; ⋃_{\overline{λ}} Irr(\overline{H}_{d,r})\overline{λ}

indexée par l’ensemble des orbites de C_{d} sur les d–partitions, caractérisée par la condition

Res_{\overline{H}_{d,r}}^{H_{d,r}} χ_{λ} = ∑_{\overline{χ}∈Irr(\overline{H}_{d,r})\overline{λ}} \overline{χ} ,

et telle que Irr(\overline{H}_{d,r})\overline{λ} est une orbite de G dans son action sur Irr(\overline{H}_{d,r}), avec (cf. la proposition 1.42)

|G\overline{χ}||(C_{d})_{λ}| = d

où G\overline{χ} (resp. (C_{d})_{λ}) désigne le stabilisateur de \overline{χ} dans G (resp. le stabilisateur de λ dans C_{d}).

Les blocs de Rouquier de \overline{H}_{d,r}.

Le contenu ordinaire (cf. §3.A) d’une d–partition est manifestement stable par le groupe C_{d}. Pour toute orbite \overline{λ} sous C_{d}, on note alors Cont\overline{λ}(x) le contenu (ordinaire) commun à toutes le d–partitions constituant \overline{λ}.

Puisque les blocs de Rouquier de R_{K}(q)H_{d,r} sont caractérisés par le contenu des d–partitions, ils sont tous stables par G^{∨}. Il résulte alors de 1.46 ci–dessus que 4.2. Les blocs–idempotents de R_{K}(q)H_{d,r} appartiennent tous à la sous–algèbre R_{K}(q)\overline{H}_{d,r}, donc sont les idempotents primitifs de (ZR_{K}(q)H_{d,r})^{G}.

Remarque. Comme d est entièrement mauvais pour H_{d,r} (cf. la remarque suivant la proposition 3.19), on peut dire que la sous–algèbre \overline{H}_{d,r} est “d’indice mauvais” dans H_{d,r}. Les spécialistes de la théorie des blocs des groupes finis, qui savent bien que les p–blocs–idempotents d’un groupe appartiennent à l’algèbre de tout sous–groupe normal d’indice une puissance de p, ne sont pas surpris par la proposition précédente.

Le théorème ci–dessous décrit les blocs de l’algèbre R_{K}(q)\overline{H}_{d,r}. Énoncé dans le cas particulier où d = 2, il fournit bien la description donnée par Lusztig ([Lu1]) des familles de caractères des groupes de Weyl de type D_{r}.

4.3. Théorème.

(1) Pour toute d–partition bégayante λ de r, les d singletons \{\overline{χ}\}_{\overline{χ}∈Irr(\overline{H}_{d,r})\overline{λ}} sont des blocs de défaut nul de R_{K}(q)H_{d,r}.

(2) Les autres blocs de R_{K}(q)H_{d,r} sont en bijection avec les contenus (ordinaires) des d– partitions non bégayantes : ce sont les ensembles de caractères de \overline{H}_{d,r} de la forme

▪ ; ⋃_{\overline{λ}} Irr(\overline{H}_{d,r})\overline{λ}

où \overline{λ} parcourt l’ensemble des orbites de d–partitions (non bégayantes) de contenu Cont\overline{λ}(x) fixé.

Démonstration de 4.3.

(1) Il résulte de la proposition 1.42 que, pour tout \overline{χ} ∈ Irr(\overline{H}_{d,r})\overline{λ} , son élément de Schur s\overline{χ} est égal à l’élément de Schur s_{χ_{λ}} du caractère correspondant de H_{d,r}. Or on sait, grâce au lemme 3.21, que cet élément de Schur est inversible dans l’anneau R_{K}(q). On voit donc bien que chaque singleton \{\overline{χ}\} (pour \overline{χ} ∈ Irr(\overline{H}_{d,r})\overline{λ}) est un bloc de Rouquier, de défaut nul.

(2) Considérons maintenant un bloc–idempotent de Rouquier \overline{b} de \overline{H}_{d,r} contenant un élément de Irr(\overline{H}_{d,r})\overline{λ} où λ est une partition non bégayante. Soit b le bloc–idempotent de Rouquier de H_{d,r} contenant χ_{λ}. Nous allons démontrer que \overline{b} = b , ce qui établira bien l’assertion annoncée (voir les énoncés 1.42, 1.43, 1.44 et 1.45 ci–dessus).

Pour cela, d’après la proposition 1.45, il suffit d’établir que \overline{b} est stable par G. Pour démontrer cette dernière propriété, nous allons utiliser le lemme suivant.

4.4. Lemme. Soit λ une d–partition non bégayante de r. Pour tout diviseur premier p de d, il existe une d–partition λ(p) de r, de même contenu que λ, dont l’ordre du fixateur dans C_{d} est non divisible par p.

Démontrons d’abord que le lemme précédent établit bien l’assertion annoncée. Supposons donc le lemme 4.4 démontré.

• On sait que, pour tout \overline{χ} ∈ Irr(\overline{H}_{d,r})_{\overline{λ}(p)} , on a |G_{χ_{λ(p)}}^{∨}||G\overline{χ}| = d . Il en résulte que |G\overline{χ}| est divisible par la plus grande puissance de p divisant d.

• Comme (cf. 1.45) on a b = Tr(G, \overline{b}) , on voit que les éléments de Irr(\overline{H}_{d,r})_{\overline{λ}(p)} appartiennent à des blocs de Rouquier de \overline{H}_{d,r} conjugués de \overline{b} par G, donc dont le stabilisateur dans G est égal à G\overline{b}.

• D’après l’assertion (1) du lemme 1.43, on voit alors que, pour tout nombre premier p, |G\overline{b}| est divisible par la plus grande puissance de p divisant d, donc est égal à d. On voit donc bien que G\overline{b} = G.

Démonstration de 4.4. Comme λ est non bégayante, il existe un entier m ≥ 1 tel que λ^{(0)} ≠ λ^{(m)}. On désigne alors par λ(p) la d–partition obtenue à partir de λ en échangeant λ^{(m)} et λ^{((d/p)−1)}. Par construction, on voit que la d–partition λ(p) n’est pas fixe par le générateur de l’unique sous–groupe d’ordre p de C_{d}, ce qui prouve bien que son stabilisateur est d’ordre premier à p. □

□

Invariance des entiers a\overline{χ} et A\overline{χ}.

• La description des blocs de Rouquier de \overline{H}_{d,r} donnée par le théorème 4.3,

• la relation entre éléments de Schur s_{χ} des caractères de H_{d,r} et éléments de Schur s\overline{χ} des caractères de \overline{H}_{d,r} résultant de la proposition 1.42,

• et l’invariance des entiers a_{χ} et A_{χ} sur les blocs de H_{d,r} résultant de la proposition 3.18, montrent le résultat suivant.

4.5. Proposition. Les valuations a\overline{χ} et les degrés A\overline{χ} des éléments de Schur des caractères de \overline{H}_{d,r} sont constants sur les blocs de Rouquier.

60 Michel Broué et SungSoon Kim

Appendice : Quelques algèbres cyclotomiques pour G(3, 1, 2)

Tableau 1 : Blocs de l’algèbre spetsiale de W_{3,2} u_{0} = q , u_{1} = ζ , u_{2} = ζ^{2} .

Irr(W_{3,2})

Degré

d–Symbole

Contenu

Élément de Schur a , A

χ_{(2,∅,∅)}  1  ( \begin{matrix}2 \\ ∅ \\ ∅ \end{matrix} )  x^{2}  (q + 1)(q^{2} − q + 1)(q^{2} + q + 1)^{2}  0 , 7
χ_{(∅,2,∅)}  1  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) x + x^{2}  −3q^{−1}ζ^{2}(q + 1)(q − ζ)^{2}  −1 , 2
χ_{(∅,∅,2)}  1  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ) x + x^{2}  −3q^{−1}ζ(q + 1)(q − ζ^{2})^{2}  −1 , 2
χ_{(11,∅,∅)}  1  ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) x + x^{2}  3q^{−1}(q + 1)(q^{2} + q + 1)  −1 , 2
χ_{(1,1,∅)}  2  ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) x + x^{2}  3q^{−1}(q − ζ^{2})(q^{2} + ζ^{2}q − ζ)  −1 , 2
χ_{(1,∅,1)}  2  ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) x + x^{2}  3q^{−1}(q − ζ)(q^{2} + ζq − ζ^{2})  −1 , 2
χ_{(∅,11,∅)}  1 ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) 3x + 2x^{2} (1 − ζ^{2})q^{−5}(q + 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − ζ) −5 , 0
χ_{(∅,∅,11)}  1 ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) 3x + 2x^{2} (1 − ζ)q^{−5}(q + 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − ζ^{2}) −5 , 0
χ_{(∅,1,1)}  2  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )  3x  q^{−3}(q^{2} + q + 1)^{2}  −3 , 1

Tableau 2 : Blocs de l’algèbre H_{3,2} u_{0} = 1 , u_{1} = ζ , u_{2} = ζ^{2} .

Irr(W_{3,2})

Degré d–Symbole Contenu

Élément de Schur a , A

χ_{(2,∅,∅)}  1  ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )  2 + x^{2}  3(q + 1)(q^{2} + q + 1) 0 , 3
χ_{(∅,2,∅)}  1  ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} )  2 + x^{2}  3(q + 1)(q^{2} + q + 1) 0 , 3
χ_{(∅,∅,2)}  1  ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} )  2 + x^{2}  3(q + 1)(q^{2} + q + 1) 0 , 3
χ_{(1,1,∅)}  2  ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )  1 + 2x  3q^{−1}(q^{2} + q + 1)  −1 , 1
χ_{(1,∅,1)}  2  ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )  1 + 2x  3q^{−1}(q^{2} + q + 1)  −1 , 1
χ_{(∅,1,1)}  2  ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )  1 + 2x  3q^{−1}(q^{2} + q + 1)  −1 , 1
χ_{(11,∅,∅)}  1  ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) 2 + 3x + x^{2} 3q^{−3}(q + 1)(q^{2} + q + 1) −3 , 0
χ_{(∅,11,∅)}  1  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) 2 + 3x + x^{2} 3q^{−3}(q + 1)(q^{2} + q + 1) −3 , 0
χ_{(∅,∅,11)}  1  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) 2 + 3x + x^{2} 3q^{−3}(q + 1)(q^{2} + q + 1) −3 , 0

Tableau 3 : Blocs de l’algèbre H′_{3,2} u_{0} = ζ^{2}q , u_{1} = q^{3} , u_{2} = ζ .

Irr(W3,2)

Degré Symbole Contenu

Élément de Schur a , A

χ_{(1,1,∅)}  2  ( \begin{matrix}1 \\ 0 & 1 & 3 \\ ∅ \end{matrix} )  1+2x+x^{3}  −ζq^{−2}(q^{6}+q^{3}+1)(q−ζ^{2})^{2}  −2 , 6
χ_{(∅,11,∅)}  1  ( \begin{matrix}0 \\ 0 & 2 & 3 \\ ∅ \end{matrix} )  2+x^{2}+x^{3}  \begin{matrix}q^{−1}(q+1)(q^{2}+q+1) & (q^{2}−q+1) \\ ×(q−ζ^{2})(q^{3}−ζ) \end{matrix} −1 , 8
χ_{(2,∅,∅)}  1  ( \begin{matrix}2 \\ 0 & 1 & 2 \\ ∅ \end{matrix} )  1+x^{2}+x^{3}  ζ^{2}q^{−3}(q+1)(q^{2}+q+1)^{2}(q+ζ)^{2}  −3 , 4
χ_{(∅,∅,2)}  1  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 \end{matrix} )  2+2x+2x^{2}+x^{3}  \begin{matrix}(1−ζ^{2})q^{−6}(q+1) & (q−ζ^{2})^{2} \\ × (q+ζ^{2})(q^{3}−ζ) \end{matrix} −6 , 1
χ_{(11,∅,∅)}  1  ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 \end{matrix} )  2+2x+2x^{2}+x^{3}  \begin{matrix}ζ(ζ−1)q^{−6}(q+1) & (q^{2}+q+1) \\ × (q+ζ)(q^{3}−ζ^{2}) \end{matrix} −6 , 1
χ_{(1,∅,1)}  2  ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 \end{matrix} )  2+2x+2x^{2}+x^{3}  (1−ζ)q^{−6}(q^{2}−ζ^{2})^{2}(q^{3}−ζ)  −6 , 1
χ_{(∅,1,1)}  2  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 1 \end{matrix} )  2+3x+x^{2}+x^{4}  \begin{aligned}q^{−4}(q^{2}+q+1)^{2} & (q^{2}−q+1) \\ & × (q+ζ)(q^{2}+ζ^{2}) \end{aligned} −4 , 5
χ_{(∅,∅,11)}  1  ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) 2+3x+3x^{2}+x^{3}+x^{4} \begin{matrix}q^{−1}(q+1)(q^{2}+q+1) & (q−ζ)(q+ζ)^{2} \\ × (q^{3}−ζ)(q^{2}+ζ^{2}) \end{matrix} −11 , 0
χ_{(∅,2,∅)}  1  ( \begin{matrix}0 \\ 0 & 1 & 4 \\ ∅ \end{matrix} )  2+x+x^{4}  (q+1)(q^{6}+q^{3}+1)(q^{2}−ζ^{2})^{2}(q^{2}+ζ^{2})  0 , 13

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S.K. : LAMFA, Université Jules Verne, F–80039 Amiens, France, et Institut de Mathématiques de Jussieu–Chevaleret (CNRS UMR 7586), Université Paris 7, Case 7012, 2 Place Jussieu F–75251 Paris Cédex 05, France

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