Bimodules, trace généralisée

et transferts en homologie de Hochschild

Serge Bouc

1. Introduction

1.1. Soit B une algèbre sur un anneau commutatif k, et M un B-bimodule. Le complexe de Hochschild C_{∗}(B, M) (cf. Loday [2]) est le complexe de chaînes défini par

C_{n}(B, M) = M ⊗ B^{⊗n}

La différentielle b : M ⊗ B^{⊗n} → M ⊗ B^{⊗(n−1)} est définie par b = ∑_{i=0}^{n}(−1)^{i}d_{i}, avec

d_{i}(m⊗b_{1}⊗…⊗b_{n}) = \{ \begin{matrix}mb_{1} ⊗ b_{2} ⊗ … ⊗ b_{n} & si i = 0 \\ b_{n}m ⊗ b_{1} ⊗ … ⊗ b_{n−1} & si i = n \\ m ⊗ b_{1} ⊗ … ⊗ b_{i−1} ⊗ b_{i}b_{i+1} ⊗ b_{i+2} ⊗ … ⊗ b_{n} & sinon \end{matrix}

Si f : M → N est un morphisme de bimodules, je note C_{∗}(B, f) le morphisme de complexes associé de C_{∗}(A, M) dans C_{∗}(A, N), défini par

C_{n}(m ⊗ b_{1} ⊗ … ⊗ b_{n}) = f(m) ⊗ b_{1} ⊗ … ⊗ b_{n}

L’homologie H_{∗}(B, M) du complexe C_{∗}(B, M) est par définition l’homologie de Hochschild de B à valeurs dans le bimodule M. Lorsque B = M, elle est aussi notée HH_{∗}(B).

1.2. Soit r un entier positif, et M_{r}(M) l’ensemble des matrices carrées r × r, à coefficients dans M, considéré comme un bimodule pour l’algèbre M_{r}(B), l’action étant donnée par le produit matriciel.

L’application de trace généralisée tr : M_{r}(M) ⊗ M_{r}(B)^{⊗n} → M ⊗ B^{⊗n} (cf.

[2] 1.2.1) est définie par

tr(m ⊗ b_{1} ⊗ … b_{n}) = ∑_{i_{0},i_{1},...,i_{n}} m(i_{0}, i_{1}) ⊗ b_{1}(i_{1}, i_{2}) ⊗ … ⊗ b_{n}(i_{n}, i_{0})

où m(i, j) désigne le coefficient de la ligne i et de la colonne j de la matrice m.

Cette application de trace généralisée est en fait un morphisme de complexes

C_{∗}(M_{r}(B), M_{r}(M)) → C_{∗}(B, M)

qui permet d’établir l’isomorphisme de Morita

H_{∗}(M_{r}(B), M_{r}(M)) ≃ H_{∗}(B, M)

Le point de départ de cette note est l’isomorphisme M_{r}(B) ≃ End_{B^{op}}(B^{r}) (l’algèbre d’endomorphisme du B-module à droite B^{r}). De plus

M_{r}(M) ≃ B^{r} ⊗_{B} M ⊗_{B} (B^{op})^{r}

comme M_{r}(B)-bimodules. Il est tentant d’essayer d’étendre cette construction au cas d’un B-module à droite P, projectif et de type fini, au lieu du module libre de type fini B^{r}.

2. Bimodules

2.1. Notations. Soit P un B-module à droite (ou module-B), et End_{B^{op}}(P) son algèbre d’endomorphismes (comme module-B). Alors P est doté d’une structure de End_{B^{op}}(P) ⊗ B^{op}-module (le produit tensoriel ⊗ désignant le produit tensoriel sur k).

Plus généralement, je considèrerai une sous-k-algèbre A de End_{B^{op}}(P), ce qui revient à doter P d’une structure de (A, B)-bimodule (ou A-module-B). Le module P^{∗} = Hom_{B^{op}}(P, B) est de même doté d’une structure de B-module-A.

Le module P est projectif et de type fini comme module-B si et seulement si il est facteur direct d’un module libre B^{m}, ce qui revient à dire qu’il existe des éléments p_{i} ∈ P et φ_{i} ∈ P^{∗}, pour 1 ≤ i ≤ m, tels que pour tout élément p de P

p = ∑_{i=1}^{m} p_{i}φ_{i}(p)  (1)

2.2. Trace généralisée. Soit M un B-module-B. Alors P ⊗_{B} M ⊗_{B} P^{∗} est un A-module-A. Je note

tr_{P} : P ⊗_{B} M ⊗_{B} P^{∗} ⊗ A^{⊗n} → M ⊗ B^{⊗n}

l’application définie par tr_{P} (p ⊗ m ⊗ φ ⊗ a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n}) = …

… = ∑_{1≤i_{0},...,i_{n}≤m} φ_{i_{0}}(p)mφ(p_{i_{1}})⊗φ_{i_{1}}(a_{1}p_{i_{2}})⊗…⊗φ_{n−1}(a_{n−1}p_{i_{n}})⊗φ_{i_{n}}(a_{n}p_{i_{0}})

Lemme 2.1: L’application tr_{P} est un morphisme de complexes

C_{∗}(A, P ⊗_{B} M ⊗_{B} P^{∗}) → C_{∗}(B, M)

Démonstration: Il s’agit de vérifier que tr_{P} commute avec la différentielle b. Celà résulte du fait que tr_{P} d_{0}(p ⊗ m ⊗ φ ⊗ a_{1} … ⊗ a_{n}) = tr_{P} (p ⊗ m ⊗ φa_{1} ⊗ a_{2} ⊗ … a_{n}) = …

… = ∑_{i_{0},...,i_{n−1}} φ_{i_{0}}(p_{i_{1}})mφ(a_{1}p_{i_{1}}) ⊗ φ_{i_{1}}(a_{2}p_{i_{2}}) ⊗ … ⊗ φ_{i_{n−1}}(a_{n}p_{i_{0}})

D’autre part d_{0}tr_{P} (p ⊗ m ⊗ φ ⊗ a_{1} … ⊗ a_{n}) = …

… = ∑_{i_{0},...,ı_{n}} φ_{i_{0}}(p)mφ(p_{i_{1}})φ_{i_{1}}(a_{1}p_{i_{2}}) ⊗ φ_{i_{2}}(a_{2}p_{i_{3}}) ⊗ … ⊗ φ_{i_{n}}(a_{n}p_{i_{0}})

Mais l’équation (1) montre que

∑_{i_{1}} φ(p_{i_{1}})φ_{i_{1}}(a_{1}p_{i_{2}}) = φ( ∑_{i_{1}} p_{i_{1}}φ_{i_{1}}(a_{1}p_{i_{2}})) = φ(a_{1}p_{i_{2}})

et il en résulte que tr_{P} d_{0} = d_{0}tr_{P}. Un raisonnement similaire montre que tr_{P} d_{i} = d_{i}tr_{P} si 1 ≤ i ≤ n − 1. Finalement tr_{P} d_{n}(p ⊗ m ⊗ φ ⊗ a_{1} … ⊗ a_{n}) = tr_{P} (a_{n}p ⊗ m ⊗ φ ⊗ a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n−1} = …

… = ∑_{i_{0},...,i_{n−1}} φ_{i_{0}}(a_{n}p)mφ(p_{i_{1}}) ⊗ φ_{i_{1}}(a_{1}p_{i_{2}}) ⊗ … ⊗ φ_{i_{n−1}}(a_{n−1}p_{i_{0}})

D’autre part d_{n}tr_{P} (p ⊗ m ⊗ φ ⊗ a_{1} … ⊗ a_{n}) = …

… = ∑_{i_{0},...,i_{n}} φ_{i_{n}}(a_{n}p_{i_{0}})φ_{i_{0}}(p)mφ(p_{i_{1}}) ⊗ φ_{i_{1}}(a_{1}p_{i_{2}}) ⊗ … ⊗ φ_{i_{n−1}}(a_{n−1}p_{i_{n}})

L’équation (1) montre à nouveau que

∑_{i_{0}} φ_{i_{n}}(a_{n}p_{i_{0}})φ_{i_{0}}(p) = φ_{i_{n}}( ∑_{i_{0}} a_{n}p_{i_{0}}φ_{i_{0}}(p)) = φ_{i_{n}}(a_{n}p)

et il en résulte que tr_{P} d_{n} = d_{n}tr_{P}. D’où le lemme.

2.3. Homotopies. Le morphisme de complexes tr_{P} dépend des choix de l’entier m tel que P soit facteur direct de B^{m}, et des choix des éléments p_{i} et φ_{i}. Je vais montrer cependant qu’il n’en dépend pas à homotopie près.

Soit m′ un autre entier tel que P soit facteur direct de B^{m′}, et p′_{i}, φ′_{i} (1 ≤ i ≤ m′) des éléments de P et P^{∗} tels que pour tout p ∈ P

p = ∑_{i=1}^{m′} p′_{i}φ′_{i}(p)  (2)

Je note tr′_{P} le morphisme de complexe associé aux éléments p′_{i} et φ′_{i}. Si l est un entier entre 0 et n, soit

h_{l,n} : C_{n}(A, P ⊗_{B} M ⊗_{B} P^{∗}) → C_{n+1}(B, M)

l’application définie sur l’élément u = p ⊗ m ⊗ φ ⊗ a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n} par

h_{l,n}(u) = ∑_{i_{0},...,i_{n+1}} φ_{i_{0}}(p)mφ(p′_{i_{1}}) ⊗ φ′_{i_{1}}(a_{1}p′_{i_{2}}) ⊗ …

… ⊗ φ′_{i_{l}}(a_{l}p′_{i_{l+1}}) ⊗ φ′_{i_{l+1}}(p_{i_{l+2}}) ⊗ φ_{i_{l+2}}(a_{l+1}p_{i_{l+3}}) ⊗ … ⊗ φ_{i_{n+1}}(a_{n}p_{i_{0}})

lorsque 1 ≤ l ≤ n − 1, et par

h_{0,n}(u) = ∑_{i_{0},...,i_{n+1}} φ_{i_{0}}(p)mφ(p′_{i_{1}}) ⊗ φ′_{i_{1}}(p_{i_{2}}) ⊗ φ_{i_{2}}(a_{1}p_{i_{3}}) ⊗ … ⊗ φ_{i_{n+1}}(a_{n}p_{i_{0}})

h_{n,n}(u) = ∑_{i_{0},...,i_{n+1}} φ_{i_{0}}(p)mφ(p′_{i_{1}}) ⊗ φ′_{i_{1}}(a_{1}p′_{i_{2}}) ⊗ … ⊗ φ′_{i_{n}}(a_{n}p′_{i_{n+1}}) ⊗ φ′_{i_{n+1}}(p_{i_{0}})

Dans ces expressions, l’indice i_{j} de φ_{i_{j}} ou p_{i_{j}} varie de 1 à m, et l’indice i_{j} de φ′_{i_{j}} ou p′_{i_{j}} varie de 0 à m′.

Soit h = h_{n} = ∑_{l=0}^{n}(−1)^{l}h_{l,n}.

Lemme 2.2: Avec ces notations

bh + hb = tr_{P} − tr′_{P}

donc le morphisme tr_{P} ne dépend que de P à homotopie près.

Démonstration: Il y a quatre identités à établir:

1) \underline{Si 0 ≤ k < l, alors d_{k}h_{l,n} = h_{l−1,n−1}d_{k}:} En effet, dans ces conditions

d_{k}h_{l,n}(u) = ∑_{i_{0},...,i_{n+1}} φ_{i_{0}}(p)mφ(p′_{i_{1}}) ⊗ φ′_{i_{1}}(a_{1}p′_{i_{2}}) ⊗ …

… ⊗ φ′_{i_{k}}(a_{k}p′_{i_{k+1}})φ′_{i_{k+1}}(a_{k+1}p′_{i_{k+2}}) ⊗ …

… ⊗ φ′_{i_{l}}(a_{l}p′_{i_{l+1}}) ⊗ φ′_{i_{l+1}}(p_{i_{l+2}}) ⊗ φ_{i_{l+2}}(a_{l+1}p_{i_{l+3}}) ⊗ … ⊗ φ_{i_{n+1}}(a_{n}p_{i_{0}})

Mais l’équation (2) permet d’écrire

∑_{i_{k+1}} φ′_{i_{k}}(a_{k}p′_{i_{k+1}})φ′_{i_{k+1}}(a_{k+1}p′_{i_{k+2}}) = φ′_{i_{k}}( ∑_{i_{k+1}} a_{k}p′_{i_{k+1}}φ′_{i_{k+1}}(a_{k+1}p′_{i_{k+2}})) = …

… = φ′_{i_{k}}(a_{k}a_{k+1}p′_{i_{k+2}})

D’où la formule annoncée. Le calcul précédent est légèrement différent si k = 0, mais le résultat est le même.

2) \underline{Si 0 ≤ l ≤ n, alors d_{l}h_{l,n} = d_{l}h_{l−1,n}:} En effet dans ce cas

d_{l}h_{l,n}(u) = ∑_{i_{0},...,i_{n+1}} φ_{i_{0}}(p)mφ(p′_{i_{1}})⊗…⊗φ′_{i_{l−1}}(a_{l−1}p′_{i_{l}})⊗…

… ⊗ φ′_{i_{l}}(a_{l}p′_{i_{l+1}})φ′_{i_{l+1}}(p_{i_{l+2}}) ⊗ φ_{i_{l+2}}(a_{l+1}p_{i_{l+3}}) ⊗ … ⊗ φ_{i_{n+1}}(a_{n}p_{i_{0}})

L’équation (2) donne alors

∑_{i_{l+1}} φ′_{i_{l}}(a_{l}p′_{i_{l+1}})φ′_{i_{l+1}}(p_{i_{l+2}}) = φ′_{i_{l}}( ∑_{i_{l+1}} p′_{i_{l+1}}φ′_{i_{l+1}}(a_{l}p_{i_{l+2}})) = φ′_{i_{l}}(a_{l}p_{i_{l+2}})

Donc en renumérotant les indices, il vient

d_{l}h_{l,n}(u) = ∑_{i_{0},...,i_{n}} φ_{i_{0}}(p)mφ(p′_{i_{1}}) ⊗ φ′_{i_{1}}(a_{1}p′_{i_{2}}) ⊗ …

… ⊗ φ′_{i_{l−1}}(a_{l−1}p′_{i_{l}}) ⊗ φ′_{i_{l}}(a_{l}p_{i_{l+1}}) ⊗ φ_{i_{l+1}}(a_{l+1}p_{i_{l+2}}) ⊗ … ⊗ φ_{i_{n}}(a_{n}p_{i_{0}})

Mais d’autre part

d_{l}h_{l−1,n}(u) = ∑_{i_{0},...,i_{n+1}} φ_{i_{0}}(p)mφ(p′_{i_{1}}) ⊗ φ′_{i_{1}}(a_{1}p′_{i_{2}}) ⊗ …

… ⊗ φ′_{i_{l−1}}(a_{l−1}p′_{i_{l}}) ⊗ φ′_{i_{l}}(p_{i_{l+1}})φ_{i_{l+1}(a_{l}p_{i_{l+2}})⊗...⊗φ_{i_{n+1}}(a_{n}p_{i_{0}}})

L’équation (1) montre que

∑_{i_{l+1}} φ′_{i_{l}}(p_{i_{l+1}})φ_{i_{l+1}}(a_{l}p_{i_{l+2}}) = φ′_{i_{l}}( ∑_{i_{l+1}} p_{i_{l+1}}φ_{i_{l+1}}(a_{l}p_{i_{l+2}})) = φ′_{i_{l}}(a_{l}p_{i_{l+2}})

Donc après renumérotation des indices

d_{l}h_{l+1,n}(u) = ∑_{i_{0},...,i_{n}} φ_{i_{0}}(p)mφ(p′_{i_{1}}) ⊗ φ′_{i_{1}}(a_{1}p′_{i_{2}}) ⊗ …

… ⊗ φ′_{i_{l−1}}(a_{l−1}p′_{i_{l}}) ⊗ φ′_{i_{l}}(a_{l}p_{i_{l+1}}) ⊗ φ_{i_{l+1}}(a_{l+1}p_{i_{l+2}}) ⊗ … ⊗ φ_{i_{n}}(a_{n}p_{i_{0}}) ce qui prouve la formule annoncée.

3) \underline{Si l < k ≤ n + 1, alors d_{k}h_{l,n} = h_{l,n−1}d_{k−1}:} En effet si l < k ≤ n, alors

d_{k}h_{l,n}(u) = ∑_{i_{0},...,i_{n+1}} φ_{i_{0}}(p)mφ(p′_{i_{1}}) ⊗ φ′_{i_{1}}(a_{1}p′_{i_{2}}) ⊗ …

… ⊗ φ′_{i_{l}}(a_{l}p′_{i_{l+1}}) ⊗ φ′_{i_{l+1}}(p_{i_{l+2}}) ⊗ φ_{i_{l+2}}(a_{l+1}p_{i_{l+3}}) ⊗ …

…⊗φ_{i_{k}}(a_{k−1}p_{i_{k+1}})φ_{i_{k+1}}(a_{k}p_{i_{k+2}})⊗φ_{i_{k+2}}(a_{k+1}p_{i_{k+3}})⊗…⊗φ_{i_{n+1}}(a_{n}p_{i_{0}})

La sommation sur i_{k+1} donne alors, grâce à l’équation (1)

d_{k}h_{l,n}(u) = ∑_{i_{0},...,i_{n+1}} φ_{i_{0}}(p)mφ(p′_{i_{1}}) ⊗ φ′_{i_{1}}(a_{1}p′_{i_{2}}) ⊗ …

… ⊗ φ′_{i_{l}}(a_{l}p′_{i_{l+1}}) ⊗ φ′_{i_{l+1}}(p_{i_{l+2}}) ⊗ φ_{i_{l+2}}(a_{l+1}p_{i_{l+3}}) ⊗ …

…⊗φ(a_{k−1}a_{k}p_{i_{k+2}})⊗φ_{i_{k+2}}(a_{k}p_{i_{k+3}})⊗…⊗φ_{i_{n+1}}(a_{n}p_{i_{0}})

D’où la formule annoncée, si k ≠ n + 1. Et si k = n + 1, alors

d_{n+1}h_{l,n}(u) = ∑_{i_{0},...,i_{n+1}} φ_{i_{n+1}}(a_{n}p_{i_{0}})φ_{i_{0}}(p)mφ(p′_{i_{1}})⊗φ′_{i_{1}}(a_{1}p′_{i_{2}})⊗…

… ⊗ φ′_{i_{l}}(a_{l}p′_{i_{l+1}}) ⊗ φ′_{i_{l+1}}(p_{i_{l+2}}) ⊗ φ_{i_{l+2}}(a_{l+1}p_{i_{l+3}}) ⊗ … φ_{i_{n}}(a_{n−1}p_{i_{n+1}})

En sommant sur i_{0} et en utilisant l’équation (1), il vient

d_{n+1}h_{l,n}(u) = ∑_{i_{1},...,i_{n+1}} φ_{i_{n+1}}(a_{n}p)mφ(p′_{i_{1}})⊗φ′_{i_{1}}(a_{1}p′_{i_{2}})⊗…

… ⊗ φ′_{i_{l}}(a_{l}p′_{i_{l+1}}) ⊗ φ′_{i_{l+1}}(p_{i_{l+2}}) ⊗ φ_{i_{l+2}}(a_{l+1}p_{i_{l+3}}) ⊗ … φ_{i_{n}}(a_{n−1}p_{i_{n+1}})

D’où la formule dans ce cas.

4) \underline{De plus d_{0}h_{0,n} = tr_{P} et d_{n+1}h_{n,n} = tr′_{P}:} En effet

d_{0}h_{0,n}(u) = ∑_{i_{0},...,i_{n+1}} φ_{i_{0}}(p)mφ(p′_{i_{1}})φ′_{i_{1}}(p_{i_{2}}) ⊗ φ_{i_{2}}(a_{1}p_{i_{3}}) ⊗ … ⊗ φ_{i_{n+1}}(a_{n}p_{i_{0}})

Une sommation sur i_{1} et l’équation (2) donnent alors la première égalité. De même

d_{n+1}h_{n,n}(u) = ∑_{i_{0},...,i_{n+1}} φ′_{i_{n+1}}(p_{i_{0}})φ_{i_{0}}(p)mφ(p′_{i_{1}}) ⊗ φ′(a_{1}p′_{i_{2}}) ⊗ … ⊗ φ_{i_{n}}(a_{n}p′_{i_{n+1}})

La seconde égalité en découle, par sommation sur i_{0} et usage de l’équation (1).

Pour achever la démonstration du lemme, il reste à calculer

bh = ∑_{{0≤k≤n+1 \atop 0≤l≤n}}(−1)^{k+l}d_{k}h_{l,n} = …

… ∑_{0≤k<l≤n}(−1)^{k+l}d_{k}h_{l,n} + ∑_{0≤l≤n}(−1)^{2l}d_{l}h_{l,n} + ∑_{0≤l<k≤n+1}(−1)^{k+l}d_{k}h_{l,n}

La somme de droite s’écrit aussi

∑_{0≤l<k≤n+1}(−1)^{k+l}h_{l,n−1}d_{k−1} = − ∑_{0≤l≤k≤n}(−1)^{k+l}h_{l,n−1}d_{k} = …

… = − ∑_{0≤l<k≤n}(−1)^{k+l}h_{l,n−1}d_{k} − ∑_{0≤l≤n}(−1)^{2l}h_{l,n−1}d_{l−1} = …

… = − ∑_{0≤l<k≤n}(−1)^{k+l}h_{l,n−1}d_{k} − ∑_{0≤l≤n} d_{l+1}h_{l,n}

Cette dernière somme vaut

∑_{0≤l≤n} d_{l+1}h_{l,n} = ∑_{0≤l<n} d_{l+1}h_{l+1,n} + d_{n+1}h_{l,n} = ∑_{1≤l≤n} d_{l}h_{l,n} + tr′_{P} (u)

Il vient

bh(u) = ∑_{0≤l≤n} d_{l}h_{l,n} − ∑_{1≤l≤n} d_{l}h_{l,n} − tr′_{P} (u) − …

… − ∑_{0≤k<l≤n}(−1)^{k+l}h_{l−1,n−1}d_{k} − ∑_{0≤l<k≤n}(−1)^{k+l}h_{l,n−1}d_{k}

Soit finalement

(bh + hb)(u) = d_{0}h_{0,n}(u) − tr′_{P} (u)

ce qui prouve le lemme.

Proposition 2.3: 1. Si A et B sont des k-algèbres, si P est un A-module-B projectif et de type fini comme module-B, si M est un B-module-B, alors le morphisme de complexes tr_{P} induit un morphisme

t_{P,M} : H_{∗}(A, P ⊗_{B} M ⊗_{B} P^{∗}) → H_{∗}(B, M)

qui ne dépend que de P et M.

2. Si A, B et C sont des k-algèbres, si P est un A-module-B, projectif et de type fini comme module-B, si Q est un B-module-C, projectif et de type fini comme module-C, alors P ⊗_{B} Q est un A-module-C, projectif et de type fini comme module-C. De plus, si M est un C-module-C, alors

t_{Q,M} ∘ t_{P,Q⊗_{C}M⊗_{C}Q^{∗}} = t_{P ⊗_{B}Q,M}

Démonstration: La première assertion résulte immédiatement du lemme 2.2. Pour la seconde, si p_{i} ∈ P, φ_{i} ∈ P^{∗} (1 ≤ i ≤ m) satisfont l’équation (1) pour le module P, et si q_{j} ∈ Q, ψ_{j} ∈ Q^{∗} (1 ≤ j ≤ m′) sont des éléments analogues pour Q, alors soient

r_{i,j} = p_{i} ⊗ q_{j} ∈ P ⊗_{B} Q θ_{i,j} : P ⊗_{B} Q → C tel que θ_{i,j}(p ⊗ q) = ψ_{j}(φ_{i}(p)q)

Il est alors facile de vérifier que θ_{i,j} ∈ (P ⊗_{B} Q)^{∗}, et que si p ∈ P et q ∈ Q, alors dans P ⊗_{B} Q

∑_{{1≤i≤m \atop 1≤j≤m′}} (p_{i} ⊗ q_{j})θ_{i,j}(p ⊗ q) = p ⊗ q

ce qui montre que P ⊗_{B} Q est projectif et de type fini comme module-C. Il est clair de plus que (P ⊗_{B} Q)^{∗} s’identifie à Q^{∗} ⊗_{B} P^{∗}. Soit alors

u = p ⊗ q ⊗ m ⊗ ψ ⊗ φ ⊗ a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n}

un élément de (P ⊗_{B} Q) ⊗_{C} M ⊗_{C} (Q^{∗} ⊗_{B} P^{∗}) ⊗ A^{⊗n}. Alors

t_{P,Q⊗M⊗Q^{∗}}(u) = ∑_{i_{0},...,i_{n}} φ_{i_{0}}(p)q ⊗ m ⊗ ψφ(p_{i_{1}}) ⊗ φ_{i_{1}}(a_{1}p_{i_{2}}) ⊗ … ⊗ φ_{i_{n}}(a_{n}p_{i_{0}})

L’image par t_{Q,M} de cette somme est égale à

∑_{{i_{0},...,i_{n} \atop j_{0},...,j_{n}}} ψ_{j_{0}}(φ_{i_{0}}(p)q)mψ(φ(p_{i_{1}})q_{j_{1}}) ⊗ ψ_{j_{1}}(φ_{i_{1}}(a_{1}p_{i_{1}})q_{j_{1}}) ⊗ … ⊗ ψ_{j_{n}}(φ_{i_{n}}(a_{n}p_{i_{0}})q_{j_{0}})

et la seconde assertion en résulte.

2.4. Additivité. Les morphismes tr_{P} sont additifs en P, au sens suivant:

Proposition 2.4: Soient A et B des k-algèbres, et P et Q des A-modules-B, projectifs et de type fini comme modules-B. Si M est un B-module-B, soit π_{P,M} (resp. π_{Q,M}) la projection de (P ⊕ Q) ⊗_{B} M ⊗_{B} (P ⊕ Q)^{∗} sur P ⊗_{B} M ⊗_{B} P^{∗} (resp. sur Q ⊗_{B} M ⊗_{B} Q^{∗}. Alors tr_{P ⊕Q} factorise en

C_{∗}(A, (P ⊕ Q) ⊗_{B} M ⊗_{B} (P ⊕ Q)^{∗})
C_{∗}(A, π_{P,M}) ⊕ C_{∗}(A, π_{Q,M}) ↓
C_{∗}(A, P ⊗_{B} M ⊗_{B} P^{∗}) ⊕ C_{∗}(A, Q ⊗_{B} M ⊗_{B} Q^{∗})
tr_{P} + tr_{Q} ↓
C_{∗}(B, M)

Démonstration: En effet, si p_{i} ∈ P et φ_{i} ∈ P^{∗} (1 ≤ i ≤ m) satisfont l’équation (1) pour P, si q_{j} ∈ Q et ψ_{j} (1 ≤ i ≤ m′) satisfont (1) pour Q, alors soient r_{i} ∈ P ⊕ Q et ρ_{i} ∈ (P ⊕ Q)^{∗} (1 ≤ i ≤ m + m′) les éléments définis par

r_{i} = \{ \begin{matrix}p_{i} & si i ≤ m \\ q_{i−m} & sinon \end{matrix} ρ_{i}(p ⊕ q) = \{ \begin{matrix}φ_{i}(p) & si i ≤ m \\ ψ_{i−m}(q) & sinon \end{matrix}

Alors pour p ∈ P et q ∈ Q

∑_{1≤i≤m+m′} r_{i}ρ_{i}(p ⊕ q) = ∑_{1≤i≤m} p_{i}φ_{i}(p) ⊕ ∑_{1≤j≤m′} q_{j}ψ_{j}(q) = p ⊕ q

Donc les r_{i} et ρ_{i} satisfont l’équation (1) pour P ⊕ Q. Alors si

u = (p ⊕ q) ⊗ m ⊗ (φ ⊕ ψ) ⊗ a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n} ∈ (P ⊕ Q) ⊗_{B} M ⊗_{B} (P ⊕ Q)^{∗} ⊗ A^{⊗n}

par définition de tr_{P ⊕Q}

tr_{P ⊕Q}(u) = ∑_{1≤i_{0},...,i_{n}≤m+m′} ρ_{i_{0}}(p ⊕ q)m(φ ⊕ ψ)(r_{i_{1}}) ⊗ ρ_{i_{1}}(a_{1}r_{i_{2}}) ⊗ … ρ_{i_{n}}(a_{n}r_{i_{0}}) (3)

Or si i ≤ m, si j > m et a ∈ A, alors ρ_{i}(ar_{j}) = 0 car ar_{j} ∈ Q, et la restriction de ρ_{i} à Q est nulle. De même, si i > m et j ≤ m, alors ρ_{i}(ar_{j}) = 0. Alors dans l’équation (3), si le terme

ρ_{i_{0}}(p ⊕ q)m(φ ⊕ ψ)(r_{i_{1}}) ⊗ ρ_{i_{1}}(a_{1}r_{i_{2}}) ⊗ … ρ_{i_{n}}(a_{n}r_{i_{0}})

est non-nul, et si i_{0} ≤ m, alors comme ρ_{i_{n}}(a_{n}r_{i_{0}}) ≠ 0, j’ai aussi i_{n} ≤ m. De proche en proche, il en résulte que i_{j} ≤ m pour tout j. De même, si i_{0} > m, alors tous les i_{j} sont supérieurs à m. La proposition en découle.

3. Transferts en homologie de Hochschild

3.1. Définition. Soit A et B des k-algèbres, et P un A-module-B, projectif et de type fini comme module-B. Soient p_{i} ∈ P et φ_{i} ∈ P^{∗} (1 ≤ i ≤ m) satisfaisant l’équation (1).

Lemme 3.1: L’élément δ_{P} = ∑_{i=1}^{m} p_{i} ⊗ φ_{i} de P ⊗_{B} P^{∗} ne dépend que de P. De plus, pour tout a ∈ A

aδ_{P} = δ_{P} a

et l’application i_{P} : a ↦ aδ_{P} est un morphisme de A-modules-A de A dans P ⊗_{B} P^{∗} Démonstration: Si p′_{i} ∈ P et φ′_{i} ∈ P^{∗} (1 ≤ i ≤ m′) sont d’autres éléments satisfaisant l’équation (1), alors

δ_{P} = ∑_{1≤i≤m} p_{i} ⊗ φ_{i} = ∑_{{1≤i≤m \atop 1≤j≤m′}} p′_{j}φ′_{j}(p_{i}) ⊗ φ_{i} = ∑_{{1≤i≤m \atop 1≤j≤m′}} p′_{j} ⊗ φ′_{j}(p_{i})φ_{i}

De plus, pour tout p ∈ P

( ∑_{1≤i≤m} φ′_{j}(p_{i})φ_{i})(p) = ∑_{1≤i≤m} φ′_{j}(p_{i})φ_{i}(p) = φ′_{j}( ∑_{1≤i≤m} p_{i}φ_{i}(p)) = φ′_{j}(p)

ce qui montre que

δ_{P} = ∑_{1≤j≤m′} p′_{j} ⊗ φ′_{j}

donc que δ_{P} ne dépend que de P.

De même, si a ∈ A

aδ_{P} = ∑_{1≤i≤m} ap_{i} ⊗ φ_{i} = ∑_{{1≤i≤m \atop 1≤j≤m}} p_{j}φ_{j}(ap_{i}) ⊗ φ_{i} = ∑_{{1≤i≤m \atop 1≤j≤m}} p_{j} ⊗ φ_{j}(ap_{i})φ_{i}

Or si p ∈ P

( ∑_{1≤i≤m} φ_{j}(ap_{i})φ_{i})(p) = φ_{j}( ∑_{1≤i≤m} ap_{i}φ_{i}(p)) = φ_{j}(ap) = (φ_{j}a)(p)

donc aδ_{P} = δ_{P} a, et la seconde assertion en découle.

Comme P ⊗_{B} P^{∗} ≃ P ⊗_{B} B ⊗_{B} P^{∗}, le lemme précédent permet de définir un morphisme de complexes composé

γ_{P} : C_{∗}(A, A) \underrightarrow{C_{∗}(A, i_{P})} C_{∗}(A, P ⊗_{B} P^{∗}) \underrightarrow{tr_{P}} C_{∗}(B, B)

Il est facile de voir que ce morphisme est donné par

γ_{P} (a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ … a_{n}) = ∑_{i_{0},...,i_{n}} φ_{i_{0}}(a_{0}p_{i_{1}}) ⊗ φ_{i_{1}}(a_{1}p_{i_{2}}) ⊗ … φ_{i_{n}}(a_{n}φ_{i_{0}})

Il ne dépend que de P à homotopie près, et je noterai

t_{P} : HH_{∗}(A) → HH_{∗}(B)

le morphisme qui s’en déduit entre les homologies de Hochschild, que j’appellerai transfert associé à P.

3.2. Composition. Les transferts ainsi obtenus se composent très simplement:

Proposition 3.2: Soient A, B, et C des k-algèbres. Si P est un A-module-B, projectif et de type fini comme module-B, et Q un B-module-C, projectif et de type fini comme module-C, alors

t_{Q} ∘ t_{P} = t_{P ⊗_{B}Q}

Démonstration: Soient q_{j} ∈ Q et ψ_{j} ∈ Q^{∗} (1 ≤ j ≤ m′) des éléments satisfaisant l’équation (1) pour le module Q. Alors

γ_{Q}∘γ_{P} (a_{0}⊗…⊗a_{n}) = ∑_{1≤i_{0},...,i_{n}≤m} γ_{Q}(φ_{i_{0}}(a_{0}p_{i_{1}})⊗φ_{i_{1}}(a_{1}p_{i_{2}})⊗…⊗φ_{i_{n}}(a_{n}p_{i_{0}})) = …

… = ∑_{{1≤i_{0},...,i_{n}≤m \atop 1≤j_{0},...,j_{n}≤m′}} ψ_{j_{0}}(φ_{i_{0}}(a_{0}p_{i_{1}})q_{j_{1}})⊗ψ_{j_{1}}(φ_{i_{1}}(a_{1}p_{i_{2}})q_{j_{2}})⊗…⊗ψ_{j_{n}}(φ_{i_{n}}(a_{n}p_{i_{0}})q_{j_{0}})

En notant θ_{i,j} l’élément de (P ⊗_{B} Q)^{∗} défini par

θ_{i,j}(p ⊗ q) = ψ_{j}(φ_{i}(p)q)

j’ai aussi

γ_{Q} ∘ γ_{P} (a_{0} ⊗ … ⊗ a_{n}) = …

… = ∑_{{1≤i_{0},...,i_{n}≤m \atop 1≤j_{0},...,j_{n}≤m′}} θ_{i_{0},j_{0}}(a_{0}p_{i_{1}} ⊗q_{j_{1}})⊗θ_{i_{1},j_{1}}(a_{1}p_{i_{2}} ⊗q_{j_{2}})⊗…⊗θ_{i_{n},j_{n}}(a_{n}p_{i_{0}} ⊗q_{j_{0}})

c’est-à-dire par définition γ_{P ⊗_{B}Q}(a_{0} ⊗ … ⊗ a_{n}).

3.3. Additivité Le transfert t_{P} est complètement additif vis-à-vis des suites exactes:

Proposition 3.3: Soient A et B des k-algèbres, et

0 → P →^{α} Q →^{β} R → 0

une suite exacte de A-modules-B projectifs et de type fini comme modules-B. Alors

t_{Q} = t_{P} + t_{R}

Démonstration: En effet, les modules P, Q et R étant projectifs en restriction à B, il y a des morphismes de modules-B α′ : Q → P et β′ : R → Q tels que

α′ ∘ α = Id_{P}  β ∘ β′ = Id_{R}  α ∘ α′ + β′ ∘ β = Id_{Q}

Soient alors p_{i} ∈ P et φ_{i} ∈ P^{∗} (1 ≤ i ≤ a) satisfaisant l’équation (1) pour P, et r_{j} ∈ R et ρ_{j} ∈ R^{∗} (1 ≤ j ≤ c) satisfaisant (1) pour R. En posant pour 1 ≤ i ≤ b = a + c

q_{i} = \{ \begin{matrix}α(p_{i}) & si i ≤ a \\ β′(r_{i−a}) & si i > a + 1 \end{matrix} ψ_{i} = \{ \begin{matrix}φ_{i} ∘ α′ & si i ≤ a \\ ρ_{i−a} ∘ β & si i > a + 1 \end{matrix}

j’obtiens des éléments q_{i} ∈ Q et ψ ∈ Q^{∗} satisfaisant (1) pour Q: en effet, si q ∈ Q, alors

∑_{1≤i≤b} q_{i}ψ_{i}(q) = ∑_{1≤i≤a} α(p_{i})φ_{i}α′(q) + ∑_{1≤j≤c} β′(r_{j})ρ_{j}β(q) = …

… = α( ∑_{1≤i≤a} p_{i}φ_{i}α′(q)) + β′( ∑_{1≤j≤c} r_{j}ρ_{j}β(q)) = αα′(q) + β′β(q) = q

Alors si u = a_{0} ⊗ … ⊗ a_{n} ∈ C_{n}(A, A)

γ_{Q}(u) = ∑_{1≤i_{0},...,i_{n}≤b} ψ_{i_{0}}(a_{0}q_{i_{1}}) ⊗ ψ_{i_{1}}(a_{1}q_{i_{2}}) ⊗ … ⊗ ψ_{i_{n}}(a_{n}q_{i_{0}})

Or si i ≤ a, si x ∈ A, et si ψ_{j}(xq_{i}) ≠ 0, alors j ≤ a: en effet, si j > a, alors

ψ_{j}(xq_{i}) = ρ_{j−a}β(xα(p_{i})) = ρ_{j−a}(βα(xp_{i})) = 0

Dans un terme non-nul de la somme donnant γ_{Q}(u), si l’un des indices est inférieur ou égal à a, alors tous les indices le sont. Comme de plus

ψ_{j}(xq_{i}) = φ_{j}α′(xα(p_{i})) = φ_{j}α′α(xp_{i})) = φ_{j}(xp_{i})

si 1 ≤ i, j ≤ a, et comme

ψ_{j}(xq_{j}) = ρ_{j−a}β(xβ′(r_{i−a})) = ρ_{j−a}(xββ′(r_{i−a})) = ρ_{j−a}(xr_{i−a})

si i, j > a, la proposition en découle.

Corollaire 3.4: Soit k un corps commutatif, et A et B des k-algèbres de dimension finie. Si P est un A-module-B projectif de type fini, alors le transfert t_{P} : HH_{n}(A) → HH_{n}(B) est nul si n > 0.

Démonstration: En effet dans ce cas, le bimodule P est somme directe de bimodules indécomposables P_{i}. Ceux-ci sont de la forme P_{i} ≃ Ae ⊗ fB^{op}, pour des idempotents e ∈ A et f ∈ B. Alors t_{P_{i}} = t_{fB} ∘ t_{Ae} factorise par l’homologie de Hochschild de k, qui est nulle en degré n > 0.

4. Complexes de bimodules

4.1. Transfert associé à un complexe. Les constructions précédentes s’étendent au cas d’un complexe fini K_{∗} de A-modules-B, projectifs et de type fini comme modules-B: le transfert t_{K_{∗}} associé à un tel complexe est défini par

t_{K_{∗}} = ∑_{i}(−1)^{i}t_{K_{i}}

Ce transfert ne dépend de K_{∗} qu’à quasi-isomorphisme près:

Lemme 4.1: Soient K_{∗} et L_{∗} deux complexes finis de A-modules-B, projectifs et de type fini comme modules-B. Si K_{∗} et L_{∗} sont quasi-isomorphes, alors t_{K_{∗}} = t_{L_{∗}}

Démonstration: Soit f : K_{∗} → L_{∗} un quasi isomorphisme, et Γ_{∗} le cône de f. Alors Γ_{n} = K_{n−1} ⊕ L_{n} pour tout n, et le complexe Γ_{∗} est acyclique. Comme t_{Γ_{∗}} = t_{L_{∗}} − t_{K_{∗}}, il suffit de montrer que t_{K_{∗}} = 0 si K_{∗} est acyclique, ce qui peut se voir par récurrence sur la longueur l de K: c’est clair pour les complexes ayant un ou deux termes non-nuls. Si l ≥ 3, je peux supposer K_{n} = 0 si n < 0. Alors K est obtenu en recollant les deux complexes acycliques

K′ : 0 → … K_{n} → … K_{2} → Kerd_{1} → 0 K” : 0 → Kerd_{1} → K_{1} → K_{0} → 0

Comme K” est exact, le module Kerd_{1} est bien projectif et de type fini comme module-B. Le transfert t_{K_{∗}} est donné par

t_{K_{∗}} = ∑_{i}(−1)^{i}t_{K_{i}} = [∑_{i≥2}(−1)^{i}t_{K_{i}} − t_{Kerd_{1}}] + [t_{Kerd_{1}} − t_{K_{1}} + t_{K_{0}}]

La première somme entre crochets est égale à t_{K′_{∗}}, donc à 0 par hypothèse de récurrence, et la seconde est égale à 0 par la proposition 3.3. D’où la proposition.

4.2. Composition.

Proposition 4.2: Soient A, B, et C des k-algèbres. Si K_{∗} est un complexe fini de A-modules-B, projectifs et de type fini comme modules-B, et L_{∗} un complexe de B-modules-C, projectifs et de type fini comme modules-C, alors

t_{L_{∗}} ∘ t_{K_{∗}} = t_{K_{∗}⊗_{B}L_{∗}}

Démonstration: Le produit tensoriel des complexes K_{∗} et L_{∗} est défini par

(K_{∗} ⊗_{B} L_{∗})_{n} = ∑_{i+j=n} K_{i} ⊗_{B} L_{j}

Alors

t_{K_{∗}⊗_{B}L_{∗}} = ∑_{i,j}(−1)^{i+j}t_{L_{j}} ∘ t_{K_{i}} = t_{L_{∗}} ∘ t_{K_{∗}}

par la proposition 3.2.

4.3. Catégorie associée. Soit A le complexe de A-modules-A réduit à A en degré 0. Il est clair que t_{A} est l’identité. Ainsi l’homologie de Hochschild est un foncteur sur la catégorie C suivante:

– Les objets de C sont les k-algèbres.

– Un morphisme dans C de A dans B est un complexe fini de A-modules-B, projectifs et de type fini comme modules-B.

– Le produit des morphismes K_{∗} : A → B et L_{∗} : B → C est le morphisme L_{∗} ⊗_{B} K_{∗}.

4.4. Homologie cyclique. Il est facile de vérifier que les morphismes γ_{P} sont compatibles avec le complexe double définissant l’homologie cyclique (cf. [2]): il en résulte des transferts t_{P} : HC_{∗}(A) → HC_{∗}(B) associé à un A-module-B projectif et de type fini comme module-B, et t_{K_{∗}} associé à un complexe fini de tels modules. L’homologie cyclique est aussi un foncteur sur C.

Le lecteur intéressé trouvera dans l’article de B. Keller ([1]) un point de vue moins terre à terre et beaucoup plus général sur les transferts en homologie de Hochschild ou en homologie cyclique.

Références

[1] B.Keller. – Invariance and localization for cyclic homology of dg-algebras. – May 1995. Preprint, à paraître au J.P.A.A.

[2] J. L.Loday. – Cyclic Homology. – Springer, 1992, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, volume 301.

Serge BOUC Equipe des groupes finis UFR de Mathématiques Université PARIS 7-Denis Diderot 2, place Jussieu 75251. PARIS Cedex 05 email: bouc@math.jussieu.fr