CATÉGORIES DÉRIVÉES ET VARIÉTÉS DE DELIGNE-LUSZTIG

CÉDRIC BONNAFÉ ET RAPHAËL ROUQUIER

Table des matières

1. Introduction 2 2. Notations générales 3 2.1. Groupes, monoïdes 3 2.2. Anneaux, corps 3 2.3. Catégories dérivées 4 2.4. Algèbres 4 2.5. Groupes finis 4 2.6. Groupes algébriques 4 2.7. Faisceaux 4 3. Variétés et groupes finis 5 3.1. Définitions 5 3.2. Foncteurs 5 3.3. Composition 6 4. Préliminaires sur les groupes réductifs finis 6 4.1. Groupes réductifs 7 4.2. Racines, groupe de Weyl, groupe de tresses 8 4.3. Suites d’éléments de W 9 4.4. Tores et caractères 9 5. Variétés de Deligne-Lusztig généralisées 16 5.1. Comparaison de modèles 16 5.2. Définition 17 5.3. Liens entre les groupes G, G̃ et Ĝ 20 5.4. Classes de F -conjugaison 22 6. Recollements 27 6.1. Construction 27 6.2. Le cas général 28 6.3. Recollement de recollements 29 6.4. Remarques 30 7. Calculs de monodromie 30 8. Induction de Deligne-Lusztig et séries rationnelles 34 8.1. Orthogonalité 34 8.2. Profondeur 35 9. Engendrement de ΛG^{F} − parf 37 9.1. Engendrement de catégories de complexes parfaits. 37 9.2. Décomposition en séries 39 10. Foncteurs de Lusztig 40 10.1. Définition 40 10.2. Transitivité et séries rationnelles 41 10.3. Equivalence de Morita 42 11. Changement de point de vue 45 11.1. Notations 46 11.2. Rapport avec les groupes L_{I}^{v̇F} 46 11.3. Séries rationnelles 47 11.4. Equivalence de Morita 49 11.5. Décomposition de Jordan 50 12. Appendice : quelques lemmes géométriques 50 12.1. Autour de la formule de Künneth 51 12.2. Quasi-affinité 51 12.3. Diviseurs à croisements normaux 53 Références 53 Index 54

Date: Juillet 2001.

1. Introduction

La motivation de ce travail est la preuve d’une conjecture de M. Broué [Br] sur la décomposition de Jordan des blocs. Nous démontrons qu’un bloc d’un groupe réductif connexe sur un corps fini (en caractéristique transverse) est Morita-équivalent à un bloc quasi-isolé du centralisateur d’un élément semi-simple.

Comme l’avait montré Broué, le problème est géométrique : concentration en degré moitié de la cohomologie de certains faisceaux localement constants sur des variétés de Deligne-Lusztig. Ce problème a été résolu, dans le cas de faisceaux modérément ramifiés associés à des caractères de tores, par Deligne et Lusztig [DeLu] et notre travail consiste à résoudre ce problème en général (théorème 10.7). Nous y parvenons en étudiant d’abord précisément comment les systèmes locaux associés à des caractères de tores se ramifient à l’infini (§7), étude rendue possible par la construction de nouvelles variétés de type Deligne-Lusztig (§6). Le second point est la preuve que la catégorie des complexes parfaits est engendrée par les images des foncteurs de Deligne-Lusztig (§9).

Les résultats principaux sont contenus dans les parties §10 et §11 et nous suggérons au lecteur d’éviter en première lecture la partie §4.4. Dans les parties §7 et §8.2, nous supposons que l’anneau de coefficients Λ est un corps.

Les résultats présentés ici sont tous déjà connus en caractéristique 0, à ceci près que la proposition 8.10 et le théorème B n’étaient connus que sous l’hypothèse d’affinité des variétés de Deligne-Lusztig.

Le lecteur verra sans peine l’importance considérable de notre dette à l’égard de l’article fondateur de Deligne et Lusztig [DeLu].

Dans un second travail, nous aborderons le lien avec la théorie locale des blocs (morphisme de Brauer, équivalences splendides, finitude des algèbres de source, engendrement de la catégorie dérivée, variation du sous-groupe parabolique, groupes non connexes).

2. Notations générales

2.1. Groupes, monoïdes. Soit G un groupe. Nous noterons G^{op} le groupe opposé à G. Pour M un G-ensemble, on note M^{op} le G^{op}-ensemble, restriction de M à travers l’isomorphisme G^{op} →^{∼} G, g ↦ g^{−1}.

Pour g ∈ G, nous noterons (g) (ou (g)_{G} s’il y a confusion possible) la classe de conjugaison de g dans G. Si g et g′ sont deux éléments de G nous écrirons g ∼ g′ (ou g ∼_{G} g′) pour dire que g et g′ sont conjugués dans G.

Si X est une partie de G stable par conjugaison, X/ ∼ (ou X/ ∼_{G}) désignera l’ensemble des classes de conjugaison de G contenues dans X. Si π est un ensemble de nombres premiers (ou un nombre premier) nous noterons X_{π} (respectivement X_{π′}) l’ensemble des π-éléments (respectivement π′-éléments) de X. Si g ∈ G est d’ordre fini, nous noterons g_{π} et g_{π′} les uniques éléments de G_{π} et G_{π′} respectivement tels que g = g_{π}g_{π′} = g_{π′}g_{π}.

Si E est un ensemble, nous noterons Σ(E) le monoïde libre sur l’ensemble E, c’est-à-dire l’ensemble des suites finies d’éléments de E muni de la loi de concaténation. Son élément neutre sera noté (). Si σ est un endomorphisme de E, nous noterons parfois ^{σ}e l’élément σ(e).

2.2. Anneaux, corps. Dans cet article, nous fixons une fois pour toutes deux nombres premiers distincts p et ℓ. Nous noterons F une clôture algébrique du corps fini à p éléments F_{p}. Nous fixons une puissance q de p et notons F_{q} le sous-corps de F à q éléments. Nous appellerons variété (respectivement groupe algébrique) une variété algébrique quasiprojective définie (respectivement un groupe algébrique défini) sur le corps F.

Nous fixons aussi une extension algébrique K du corps ℓ-adique Q_{ℓ}. Soit R son anneau d’entiers sur Z_{ℓ} et soit k le corps résiduel de R : c’est une extension algébrique du corps fini à ℓ éléments F_{ℓ}. Nous notons 𝔩 l’idéal maximal de R. Nous supposerons que le corps K est “assez gros”, c’est-à-dire que, pour tout groupe fini H rencontré dans cet article, K contient les racines e-ièmes de l’unité, où e est l’exposant de H.

Nous fixons une fois pour toutes un isomorphisme

ı : (Q/Z)_{p′} ⟶^{∼} F^{×}

ainsi qu’un morphisme injectif

ȷ : (Q/Z)_{p′} ↪ \overline{Q}_{ℓ}^{×},

où \overline{Q}_{ℓ} est une clôture algébrique de K. Soit

κ = ȷ ∘ ı^{−1} : F^{×} ↪ \overline{Q}_{ℓ}^{×}.

Dans tout cet article, Λ sera l’un des anneaux K ou R/𝔩^{n} (n ≥ 0).

2.3. Catégories dérivées. Si A est une catégorie additive, nous noterons K(A) son groupe de Grothendieck et K^{b}(A) la catégorie homotopique des complexes bornés d’objets de A.

Si C est une catégorie abélienne, nous noterons K(C) son groupe de Grothendieck, D^{b}(C) (respectivement D^{−}(C)) la catégorie dérivée des complexes à cohomologie bornée (respectivement bornée supérieurement) et C −parf la catégorie de ses complexes parfaits ; K(C) est aussi le groupe de Grothendieck de la catégorie triangulée D^{b}(C). Si E est un ensemble d’objets d’une catégorie triangulée D, nous appellerons sous-catégorie de D engendrée par E la plus petite sous-catégorie triangulée pleine de D stable par facteurs directs et contenant E. Nous identifierons C avec la sous-catégorie pleine de D^{b}(C) des complexes concentrés en degré 0 via le foncteur canonique.

Lorsque C a assez de projectifs, étant donnés C et C′ deux objets de D^{b}(C), nous noterons R Hom^{•}(C, C′) le complexe total associé au complexe double des homomorphismes d’une résolution projective de C vers C′.

2.4. Algèbres. Soient A et B deux Λ-algèbres. Nous noterons A^{op} l’algèbre opposée à A. Par un A-module, nous entendrons un module à gauche sur A. Tous les modules considérés seront de type fini. Nous noterons A − mod (respectivement mod − A) la catégorie des A-modules (respectivement des A-modules à droite) et (A, B) − bimod la catégorie des (A, B)-bimodules, c’est-à-dire, la catégorie des (A ⊗_{Λ} B^{op})-modules. Pour M un complexe borné de A-modules, nous définissons le complexe de A-modules à droite M^{∗} = R Hom_{Λ}^{•}(M, Λ).

Nous noterons A − proj la sous-catégorie additive pleine de A − mod formée par les A-modules projectifs.

2.5. Groupes finis. Si G est un groupe fini, nous désignerons par Irr_{K} G l’ensemble de ses caractères irréductibles sur K. Nous identifierons alors K(KG − mod) avec Z Irr_{K} G, le Z-module libre de base Irr_{K} G. Le produit scalaire sur K(KG − mod) faisant de Irr_{K} G une base orthonormale sera noté ⟨·, ·⟩_{G}. Si θ : G → Λ^{×} est un caractère linéaire de G, nous noterons Λ_{θ} le ΛG-module sur lequel un élément g ∈ G agit par multiplication par θ(g), et e_{θ} (ou e_{Λ,θ}, ou e_{Λ,θ}^{G} s’il est nécessaire de préciser) l’idempotent primitif central de ΛG qui agit comme l’identité sur Λ_{θ}.

2.6. Groupes algébriques. Soit H un groupe algébrique. On désignera par H^{∘} sa composante neutre et H_{sem} l’ensemble de ses éléments semi-simples. Si h ∈ H, nous noterons C_{H}^{∘}(h) la composante neutre de son centralisateur dans H. Si H est abélien et si F est un endomorphisme de H, alors nous notons N_{F^{n}/F} : H → H, h ↦ h ^{F}h …^{F^{n−1}}h le morphisme norme de F^{n} à F (où n ∈ N^{∗}).

2.7. Faisceaux. Soit X une variété et soit A une Λ-algèbre. Nous noterons D_{A}^{?}(X) la souscatégorie pleine de la catégorie dérivée de la catégorie des faisceaux de A-modules sur X formée des complexes à cohomologie constructible, bornée si ? = b, bornée supérieurement si ? = −.

Notons π_{X} : X → Spec F le morphisme canonique. Un A-module M sera identifié avec le A-faisceau constant sur Spec F associé à M. Nous posons alors M_{X} = π_{X}^{∗}M : c’est le A-faisceau constant sur X associé au A-module M. De même, un complexe de A-modules C sera identifié avec le complexe de faisceaux constants sur Spec F correspondant et nous noterons C_{X} = π_{X}^{∗}C.

Nous noterons RΓ(X, C) = R(π_{X})_{∗}(C) (respectivement RΓ_{c}(X, C) = R(π_{X})_{!}(C)) le complexe de cohomologie (respectivement de cohomologie à support compact) d’un complexe C ∈ D_{A}^{b}(X). Nous écrirons RΓ(X) (respectivement RΓ_{c}(X)) pour RΓ(X, Λ_{X}) (respectivement RΓ_{c}(X, Λ_{X})). Pour G un groupe fini agissant sur X de telle sorte que les stabilisateurs des points de X sont des sous-groupes de G d’ordre inversible dans Λ, alors RΓ_{c}(X) est un complexe parfait de ΛG-modules [DeLu, §3.8].

3. Variétés et groupes finis

Les variétés de Deligne-Lusztig sont munies d’actions à gauche et à droite de groupes réductifs finis. Leur cohomologie permet alors de définir des foncteurs entre catégories de représentations. Nous rappelons ici dans un cadre général comment définir ces foncteurs ainsi que quelques-unes de leurs propriétés élémentaires.

3.1. Définitions. Nous fixons trois groupes finis G, H et K. Une G-variété (respectivement une variété-G) est une variété sur laquelle G agit à gauche (respectivement à droite). Une G-variété-H est à la fois une G-variété et une variété-H, les actions de G et H commutant. Si X est une variété-G et si Y est une G-variété, nous noterons X ×_{G} Y la variété quotient de X × Y par G, le groupe G agissant à gauche sur X × Y par

\begin{matrix}G × (X × Y) & ⟶ & X × Y \\ (g, (x, y)) & ⟼ & (xg^{−1}, gy). \end{matrix}

Une G-variété, ou une variété-G, est dite régulière si le groupe G agit librement.

3.2. Foncteurs. Soit X une G-variété-H. Les complexes RΓ_{c}(X) et RΓ(X) sont des complexes de (ΛG, ΛH)-bimodules. Ils induisent donc deux foncteurs

R_{H}^{G}(X) : D^{−}(ΛH − mod) ⟶ D^{−}(ΛG − mod)
C  ⟼ RΓ_{c}(X) ⊗_{ΛH}^{L} C

et

S_{H}^{G}(X) : D^{−}(ΛH − mod) ⟶ D^{−}(ΛG − mod)
C  ⟼ RΓ(X) ⊗_{ΛH}^{L} C.

On considérera aussi le foncteur

F_{H}^{X} : D^{−}(ΛH − mod) ⟶  D_{Λ}^{−}(X/H)
M  ⟼ π_{∗}Λ_{X} ⊗_{ΛH}^{L} M_{X/H}.

où π : X → X/H est le morphisme quotient.

Remarque 3.1. Supposons que X est une variété-H régulière. Alors, le foncteur F_{H}^{X} envoie un ΛH-module sur un Λ-système local sur la variété X/H. En outre, les foncteurs R_{H}^{G}(X), S_{H}^{G}(X) et F_{H}^{X} se restreignent en des foncteurs entre catégories dérivées bornées.

Lemme 3.2. On a des isomorphismes canoniques de foncteurs de D^{b}(ΛH − mod) vers D^{−}(ΛG − mod),

R(π_{X/H})_{!} ∘ F_{H}^{X} ≃ S_{H}^{G}(X)
R(π_{X/H})_{∗} ∘ F_{H}^{X} ≃ S_{H}^{G}(X).

Si les stabilisateurs de points de X sous l’action de H sont d’ordre inversible dans Λ. Alors, pour M un ΛH-module, on a un isomorphisme canonique

F_{H}^{X}M ≃ π_{∗}Λ_{X} ⊗_{ΛH} M_{X/H}

Démonstration. Puisque R(π_{X/H})_{!} ∘ π_{∗} ≃ R(π_{X/H})_{!} ∘ Rπ_{!} ≃ R(π_{X})_{!}, (noter que π_{∗} = π_{!} est un foncteur exact car π est un morphisme fini), la commutativité du premier diagramme est équivalente à la propriété suivante :

R(π_{X/H})_{!}(π_{∗}Λ_{X} ⊗_{ΛH}^{L} π_{X/H}^{∗}−) ≃ (R(π_{X/H})_{!}π_{∗}Λ_{X}) ⊗_{ΛH}^{L} −.

Cela résulte du lemme 12.1.

La commutativité du deuxième diagramme se démontre de la même manière mais en utilisant cette fois le lemme 12.2 au lieu du lemme 12.1.

Pour la dernière partie du lemme, on utilise que les fibres de π_{∗}Λ_{X} sont des ΛH-modules projectifs. □

3.3. Composition. Soit maintenant Y une H-variété-K. La variété X ×_{H} Y est une G-variété-K et la formule de Künneth montre que

RΓ_{c}(X) ⊗_{Λ}^{L} RΓ_{c}(Y) ≃ RΓ_{c}(X × Y).

Supposons jusqu’à la fin du §3.3 que les stabilisateurs des points de X×Y sous l’action diagonale de H sont d’ordre inversible dans Λ. Alors, RΓ_{c}(X×Y)⊗_{ΛH}^{L} Λ ≃ RΓ_{c}(X×_{H} Y) (cf lemme 3.2). On en déduit, après application du foncteur − ⊗_{ΛH}^{L} Λ, que

(3.3)  RΓ_{c}(X) ⊗_{ΛH}^{L} RΓ_{c}(Y) ≃ RΓ_{c}(X ×_{H} Y).

dans D^{b}((ΛG, ΛK) − bimod). En particulier, on obtient

(3.4)  R_{H}^{G}(X) ∘ R_{K}^{H}(Y) ≃ R_{K}^{G}(X ×_{H} Y).

4. Préliminaires sur les groupes réductifs finis 4.1. Groupes réductifs. Dorénavant, et ce jusqu’à la fin de cet article, nous fixons un groupe réductif connexe G muni d’une isogénie F : G → G dont une puissance F^{δ} est l’endomorphisme de Frobenius sur G associé à une structure rationnelle sur F_{q}. Il est à noter que les entiers q et δ ne sont pas uniquement déterminés par la donnée de G et F. Cependant, le réel positif q^{1/δ} l’est. Soit B un sous-groupe de Borel F -stable de G et soit T un tore maximal F -stable de B. Le radical unipotent de B sera noté U. On note (G^{∗}, T^{∗}, F^{∗}) un triplet dual de (G, T, F) [DeLu, définition 5.21].

Le sujet général de cet article est l’étude des représentations modulaires du groupe fini G^{F}. Pour s’y préparer, nous fixons dans ce §4 quelques notations (racines, groupe de Weyl...), avant d’établir quelques résultats combinatoires sur les tores F -stables de G (cf §4.4). Nous introduisons tout d’abord deux groupes réductifs connexes, du même type que G, qui joueront le rôle d’auxiliaires techniques. Ils seront utiles dans certaines constructions (séries rationnelles, recollement de variétés de Deligne-Lusztig...) et leur usage facilitera certaines démonstrations.

4.1.1. On sait [DeLu, preuve du corollaire 5.18] qu’il existe un groupe réductif connexe G̃ muni d’une isogénie F : G̃ → G̃ telle que F^{δ} soit l’endomorphisme de Frobenius sur G̃ associé à une F_{q}-structure et vérifiant les conditions suivantes :

(1) G est un sous-groupe fermé F -stable de G̃, contenant le groupe dérivé de G̃ ;

(2) le centre Z(G̃) de G̃ est connexe.

On a alors G̃ = G · Z(G̃). Nous noterons T̃ (respectivement B̃) l’unique tore maximal (respectivement sous-groupe de Borel) de G̃ contenant T (respectivement B). D’autre part, nous noterons (G̃^{∗}, T̃^{∗}, F^{∗}) un triplet dual de (G̃, T̃, F). L’inclusion G ↪ G̃ induit un morphisme surjectif de groupes algébriques i^{∗} : G̃^{∗} → G^{∗} commutant avec F, dont le noyau est un tore central de G̃^{∗} et tel que i^{∗}(T̃^{∗}) = T^{∗}. Ce morphisme i^{∗} est bien défini à conjugaison près par un élément de T^{∗F^{∗}}.

4.1.2. De manière duale, il existe un groupe réductif connexe Ĝ muni d’une isogénie F : Ĝ → Ĝ telle que F^{δ} soit l’endomorphisme de Frobenius sur Ĝ associé à une F_{q}- structure et un tore central F -stable C de Ĝ vérifiant les deux propriétés suivantes :

(1) G = Ĝ/C ;

(2) Toute coracine α^{∨} : F^{×} → Ĝ relative à un tore maximal de Ĝ est injective.

Nous noterons ρ : Ĝ → G la projection canonique. Nous noterons T̂ (respectivement B̂) le tore maximal (respectivement le sous-groupe de Borel) de Ĝ égal à ρ^{−1}(T) (respectivement ρ^{−1}(B)).

Plus généralement, nous noterons ˜? (respectivement ˆ?) l’objet associé à G̃ (respectivement Ĝ) défini de la même façon que l’objet ? associé à G.

4.2. Racines, groupe de Weyl, groupe de tresses. Soit W le groupe de Weyl de G relatif à T, soit n ↦ n̄ le morphisme canonique N_{G}(T) → W, soit Φ le système de racines de G relatif à T et soit Φ^{∨} le système de coracines. Soit Φ^{+} (respectivement Δ) le système de racines positives (respectivement la base) de Φ associé (respectivement associée) à B. Si α ∈ Φ, nous noterons α^{∨} sa coracine, T_{α^{∨}} le sous-tore de T image de α^{∨}, U_{α} le sous-groupe unipotent à un paramètre normalisé par T associé à α, s_{α} la réflexion de W par rapport à α et G_{α} le sous-groupe de G engendré par U_{α} et U_{−α}. Nous noterons ϕ : Φ → Φ la bijection définie par ^{F}U_{α} = U_{ϕ(α)} pour tout ∈ Φ. Nous noterons Y (T) le réseau des sous-groupes à un paramètre de T.

Soit S l’ensemble des réflexions simples de W et soit S̄ = S ∪ {1}. Si w ∈ W, nous noterons l(w) la longueur de w relativement à S (c’est aussi le cardinal de l’ensemble {α ∈ Φ^{+} | w(α) ∈ −Φ^{+}}). On notera encore l la fonction sur N_{G}(T) donnée par l(n̄) pour n ∈ N_{G}(T). L’ordre de Bruhat sur W associé à S sera noté ≤. Si v et w sont deux éléments de W, nous écrirons v < w pour dire que v ≤ w et v ≠ w.

Nous noterons B le groupe de tresses associé à (W, S), de générateurs {s_{α}}_{α∈Δ}. Soit f : B → W le morphisme canonique (il vérifie f(s_{α}) = s_{α} pour tout ∈ Δ). Il existe alors une et une seule application (qui n’est pas un morphisme de groupes) σ : W → B vérifiant

– σ(vw) = σ(v)σ(w) si v et w sont deux éléments de W tels que l(vw) = l(v) + l(w) ;

– σ(s_{α}) = s_{α} pour tout ∈ Δ.

Cette application vérifie f ∘ σ = Id_{W}.

Nous fixons un morphisme de groupes φ̂ : B → NĜ(T̂) vérifiant les propriétés suivantes :

(1) Le diagramme

[figure: B; φ̂; f; NĜ(T̂); W]

est commutatif. (Dans ce diagramme, la flèche verticale est la surjection canonique.) (2) Pour tout α ∈ Δ, φ̂(s_{α}) appartient au sous-groupe de Ĝ engendré par Û_{α} et Û_{−α}.

L’existence d’un tel morphisme de groupes est assurée par [Ti, §4.6]. Grâce à la propriété (1), il existe un prolongement de φ̂ en un morphisme de groupes φ̂ : BT̂ → NĜ(T̂) qui est l’identité sur T̂. Ici, BT̂ désigne le produit semi-direct B ⋉ T̂, l’action de B sur T̂ s’effectuant via le morphisme f : B → W et l’action naturelle de W sur T̂. Nous noterons φ : BT → N_{G}(T) le morphisme induit par φ̂.

Si w ∈ W, posons ẇ = φ(σ(w)). Alors, ẇ est un représentant de w dans N_{G}(T). De plus, si v et w sont deux éléments de W tels que l(vw) = l(v) + l(w), alors ẋ = v̇ẇ, où x = vw. Remarquons aussi que ˙1 = 1. Si n ∈ N_{G}(T) et si w désigne sa classe dans W, alors il existe un unique élément t ∈ T tel que n = ẇt. On pose alors σ̇(n) = σ(ẇ)t ∈ BT.

4.3. Suites d’éléments de W. Pour w = (w_{1}, …, w_{r}) ∈ Σ(W) (cf §2.1), nous posons ẇ = (ẇ_{1}, …, ẇ_{r}) ∈ Σ(N_{G}(T)). Pour n = (n_{1}, …, n_{r}) ∈ Σ(N_{G}(T)), on pose n̄ = (n̄_{1}, …, n̄_{r}).

Dans la suite, nous noterons σ : Σ(W) → B et l : Σ(W) → (N, +) les uniques morphismes de monoïdes prolongeant σ et l respectivement. En d’autres termes, σ(w) = σ(w_{1}) … σ(w_{r}) et l(w) = l(w_{1})+⋯+l(w_{r}). Le nombre entier l(w) est appelé la longueur de w. De même, nous noterons σ̇ : Σ(N_{G}(T)) → BT l’unique morphisme de monoïdes prolongeant σ̇.

Si w = (w_{1}, …, w_{r}) et v = (v_{1}, …, v_{r′}) sont deux éléments de Σ(W), nous dirons que v ≤ w si r = r′ et v_{i} ≤ w_{i} pour tout 1 ≤ i ≤ r.

Nous noterons encore w (respectivement n) l’automorphisme de T induit par la conjugaison par φσ(w) (respectivement φσ̇(n)). Nous avons ainsi prolongé les actions de W et de N_{G}(T) sur T aux monoïdes libres correspondants.

4.4. Tores et caractères. Pour étudier les représentations du groupe G^{F}, nous aurons besoin de quelques résultats de nature combinatoire sur les groupes T^{wF}. Leur énoncé et leur preuve font l’objet des prochains paragraphes.

4.4.1. Conjugaison géométrique, séries rationnelles. Nous fixons maintenant un entier naturel non nul d multiple de δ tel que tout tore maximal F -stable de G soit déployé sur le corps F_{q^{d/δ}}. En d’autres termes, on a (wF)^{d}(t) = F^{d}(t) = t^{q^{d/δ}} pour tout w ∈ W et pour tout t ∈ T. Il est à noter que N_{F^{d}/wF} induit une surjection T^{F^{d}} ⟶ T^{wF}. De plus, si t ∈ T est tel que N_{F^{d}/wF} (t) ∈ T^{wF}, alors t ∈ T^{F^{d}}. Pour finir, remarquons que F^{d} agit trivialement sur W et que, pour tout w ∈ W, on a wF (w) … F^{d−1}(w) = 1.

Soit ζ = ı(1/(q^{d/δ} − 1)), où ı : (Q/Z)_{p′} ⟶^{∼} F^{×} est l’isomorphisme choisi dans le §2.2 (ζ est un générateur du groupe cyclique F_{q^{d/δ}}^{×}). Si w est une suite d’éléments de W, soit

\begin{aligned}N_{w} : & Y (T) & ⟶ & T^{wF} \\ & λ & ⟼ & N_{F^{d}/wF} (λ)(ζ). \end{aligned}

Alors, N_{w} est un morphisme surjectif de groupes et la suite

(4.1)  [figure: 0; Y (T); wF − 1; Y (T); N_{w}; T^{wF}; 0]

est exacte [DiMi, proposition 13.7 (ii)].

Nous noterons ∇(T, W, F) (ou ∇_{Λ}(T, W, F)) l’ensemble des couples (w, θ) où w est une suite finie d’éléments de W et θ : T^{wF} → Λ^{×} est un caractère linéaire d’ordre inversible dans Λ.

L’identification de W au groupe de Weyl de G̃ relatif à T̃ (c’est-à-dire W →^{∼} NG̃(T̃)/T̃), permet de définir l’application

Res : ∇(T̃, W, F) ⟶ ∇(T, W, F)
(w, θ̃)  ⟼ (w, ResT̃^{wF} ; T^{wF} θ̃).

Nous dirons alors que Res(w, θ̃) est la restriction de (w, θ̃) à G, ou que (w, θ̃) est une extension de Res(w, θ̂) à G̃.

Deux éléments (w, θ) et (w′, θ′) de ∇(T, W, F) sont géométriquement conjugués si les caractères linéaires θ ∘ N_{F^{d}/wF} et θ′ ∘ N_{F^{d}/w′F} de T^{F^{d}} sont conjugués sous W. D’autre part, les couples (w, θ) et (w′, θ′) appartiennent à la même série rationnelle (ce que nous noterons par (w, θ) ≡_{W} (w′, θ′)) s’il existe des extensions de (w, θ) et (w′, θ′) à G̃ qui sont géométriquement conjuguées.

Remarque 4.2. Si deux éléments de ∇(T_{,}W, F) sont dans la même série rationnelle, alors ils sont géométriquement conjugués. La réciproque n’est pas vraie en général, comme le montre l’exemple du groupe SL_{2}(F) pour F de caractéristique différente de 2.

La réciproque est néanmoins correcte pour G̃ : deux éléments de ∇(T̃, W, F) sont géométriquement conjugués si et seulement si ils appartiennent à la même série rationnelle. En particulier, la relation d’équivalence ≡_{W} sur ∇(T, W, F) ne dépend pas du choix du groupe réductif G̃ à centre connexe choisi.

4.4.2. Sous-groupes de T^{wF}. Nous fixons ici, et ce jusqu’à la fin du paragraphe 4.4, quatre suites finies d’éléments de S̄,

v = (s′_{1}, …, s′_{r}) ≤ x = (t′_{1}, …, t′_{r}) ≤ y = (t_{1}, …, t_{r}) ≤ w = (s_{1}, …, s_{r}).

Soit 1 ≤ i ≤ r. Si s_{i} ≠ 1, nous noterons α_{w,i} l’unique racine simple telle que s_{i} = s_{α_{w,i}}; sinon nous posons par convention α_{w,i}^{∨} = 0. En particulier, on a dans tous les cas (s_{i} − 1)Y (T)⊂Zα_{w,i}^{∨}. Par ailleurs, nous posons

β_{w,i}^{∨} = s_{1} … s_{i−1}(α_{w,i}^{∨}).

Notons I_{w,v} = {1 ≤ i ≤ r | s′_{i} ≠ s_{i}}. Nous allons étudier ici quelques propriétés du sous-réseau Y_{w,v} de Y (T) engendré par les (β_{w,i}^{∨})_{i∈I_{w,v}}.

Proposition 4.3. Avec les hypothèses et notations ci-dessus, alors (1) on a (w − y)Y (T)⊂Y_{w,v} ;

(2) le groupe Y_{w,v} est engendré par la famille (t_{1} … t_{i−1}(α_{w,i}^{∨}))_{i∈I_{w,v}} ;

(3) on a (wF − 1)Y (T) + Y_{w,v} = (vF − 1)Y (T) + Y_{w,v} ;

(4) les morphismes N_{w} et N_{y} induisent un isomorphisme

T^{wF} /N_{w}(Y_{w,v}) ≃ T^{yF} /N_{y}(Y_{w,v}).

Démonstration. Démontrons tout d’abord (1). Puisque Y_{w,y} ⊂Y_{w,v}, il suffit de démontrer que (w − y)Y (T)⊂Y_{w,y}, ce que nous faisons par récurrence sur m = |I_{w,y}|.

Si m = 0, alors w = y et le résultat en découle. Supposons maintenant que m = 1. On a alors I_{w,y} = {i}. On pose a = (s_{1}, …, s_{i−1}), s = (s_{i}) et b = (s_{i+1}, …, s_{r}). Alors,

(w − y)Y (T) = (asb − ab)Y (T) = a((s − 1)Y (T))⊂a(Zα_{w,i}^{∨}) = Zβ_{w,i}^{∨} = Y_{w,y}.

Supposons maintenant que m ≥ 2 et que le résultat est vrai pour tout couple (w′, y′) tel que y′ ≤ w′ et m_{w′,y′} < m. On écrit

I_{w,y} = {i_{1}, …, i_{m}}

où i_{1} < ⋯ < i_{m}. On note y′ l’unique suite telle que y′ ≤ w et

I_{w,y′} = {i_{2}, …, i_{m}}.

On a

(w − y)Y (T)⊂(w − y′)Y (T) + (y′ − y)Y (T).

Or, par hypothèse de récurrence, (w − y′)Y (T)⊂Y_{w,y′} et (y′ − y)Y (T)⊂Y_{y′,y}. Le choix que nous avons fait pour y′ implique que β_{y′,i_{1}}^{∨} = β_{w,i_{1}}^{∨}, donc Y_{w,y′} + Y_{y′,y} = Y_{w,y}. Cela termine la démonstration de (1).

Démontrons maintenant (2). Il suffit de démontrer que, pour tout i ∈ I_{w,v}, il existe une famille (μ_{j})_{j∈I_{w,v},j<i} d’entiers tels que

t_{1} … t_{i−1}(α_{w,i}^{∨}) = β_{w,i}^{∨} + ∑_{\begin{matrix}j∈I_{w,v} \\ j<i \end{matrix}} μ_{j}β_{w,j}^{∨}

c’est-à-dire tels que

(s_{1} … s_{i−1} − t_{1} … t_{i−1})(α_{w,i}^{∨}) = − ∑_{\begin{matrix}j∈I_{w,v} \\ j<i \end{matrix}} μ_{j}β_{w,j}^{∨}

Cela résulte de (1) appliqué dans le cas où w = (s_{1}, …, s_{i−1}) et y = v = (t_{1}, …, t_{i−1}).

Pour finir la démonstration de la proposition 4.3, il suffit de remarquer que (3) découle immédiatement de (1) tandis que (4) résulte de (3) et de la suite exacte 4.1. □

Corollaire 4.4. Si v ≤ x ≤ y ≤ w, alors Y_{y,x} ⊂Y_{w,v}.

Démonstration. Soit i ∈ I_{y,x}. Alors t_{i} ≠ 1 et t′_{i} = 1. En particulier, s_{i} = t_{i} et s′_{i} = t′_{i} = 1. Par conséquent, α_{w,i}^{∨} = α_{y,i}^{∨}. Donc

β_{w,i}^{∨} − β_{y,i}^{∨} = (s_{1} … s_{i−1} − t_{1} … t_{i−1})(α_{w,i}^{∨}).

Il résulte alors de la proposition 4.3 (1) que

β_{w,i}^{∨} − β_{y,i}^{∨} ∈ Y_{(s_{1},...,s_{i−1}),(t_{1},...,t_{i−1})} ⊂Y_{w,v},

d’où le résultat. □

Corollaire 4.5. Soit θ un caractère linéaire de T^{wF} qui est trivial sur N_{w}(Y_{w,v}). Notons θ_{y} le caractère linéaire de T^{yF} trivial sur N_{y}(Y_{w,v}) défini via l’isomorphisme de proposition 4.3 (4) (c’est-à-dire tel que θ_{y} ∘ N_{y} = θ ∘ N_{w}). Alors, les paires (w, θ) et (y, θ_{y}) sont dans la même série rationnelle.

Démonstration. Pour démontrer le corollaire 4.5, on peut se ramener au cas où G = G̃ : c’est alors immédiat. □

Fixons maintenant un caractère linéaire θ : T^{wF} → Λ^{×} et notons I(w, θ) l’ensemble des w′ ≤ w tels que θ est trivial sur N_{w}(Y_{w,w′}). L’ensemble I(w, θ) admet un plus petit élément, noté w_{θ} = (s_{1,θ}, …, s_{r,θ}), qui est défini par

s_{i,θ} = \{ \begin{matrix}1 & si θ(N_{w}(β_{w,i}^{∨})) = 1, \\ s_{i} & sinon. \end{matrix}

On a donc

I(w, θ) = {x ∈ Σ(S̄) | w_{θ} ≤ x ≤ w}.

D’après la proposition 4.3 (4), si y ∈ I(w, θ), alors θ définit un caractère linéaire θ_{y} de T^{yF} trivial sur N_{y}(Y_{w,w_{θ}}). Notons que θ_{w} = θ.

Lemme 4.6. Supposons que y ∈ I(w, θ). Alors

I(y, θ_{y}) = {w′ ∈ I(w, θ) | w_{θ} ≤ w′ ≤ y}.

En d’autres termes, y_{θ_{y}} = w_{θ}.

Démonstration. Définissons tout d’abord le morphisme de groupes

\begin{aligned}ψ : & Y (T) & ⟶ & Λ^{×} \\ & λ & ⟼ & θ(N_{w}(λ)). \end{aligned}

On a alors ψ = θ_{y} ∘ N_{y}. Avec ces notations, démontrer le lemme 4.6 équivaut à démontrer que, pour tout 1 ≤ i ≤ r, β_{y,i}^{∨} ∈ Ker ψ si et seulement si β_{w,i}^{∨} ∈ Ker ψ.

Soit donc 1 ≤ i ≤ r. Si t_{i} = 1 alors s_{i,θ} = 1. Par conséquent, β_{y,i}^{∨} = 0 et β_{w,i}^{∨} ∈ Ker ψ par définition de s_{i,θ}. Nous pouvons donc supposer, et nous le faisons, que t_{i} ≠ 1. En particulier, s_{i} = t_{i}, donc α_{w,i} = α_{y,i}. Par suite, on a

β_{w,i}^{∨} − β_{y,i}^{∨} = (s_{1} … s_{i−1} − t_{1} … t_{i−1})(α_{w,i}^{∨}).

Donc, d’après la proposition 4.3 (1), on a

β_{w,i}^{∨} − β_{y,i}^{∨} ∈ Y_{(s_{1},...,s_{i−1}),(t_{1},...,t_{i−1})} ⊂Y_{w,x} ⊂Y_{w,w_{θ}} ⊂ Ker ψ.

Cela termine la preuve du lemme 4.6. □

4.4.3. Une application. L’objet de ce paragraphe est la définition et l’étude d’un groupe diagonalisable qui interviendra dans la construction de recollements de variétés de Deligne-Lusztig au §6.

Fixons tout d’abord quelques notations. Soit 1 ≤ i ≤ r. Posons

T_{w,v}^{(i)} = \{ \begin{matrix}T_{α_{w,i}^{∨}} & si i ∈ I_{w,v}, \\ \{1\} & sinon. \end{matrix}

Définissons maintenant

S_{w,v} = {(a_{1}, …, a_{r}) ∈ T^{r} | a_{i}^{−1} ^{s_{i}}a_{i+1} ∈ T_{w,v}^{(i)} pour 1 ≤ i ≤ r − 1 et a_{r}^{−1} ^{s_{r}F}a_{1} ∈ T_{w,v}^{(r)} }.

Pour finir, on définit

\begin{aligned}μ_{y} : & T & ⟶ & T^{r} \\ & a & ⟼ & (a,^{t_{1}}a, …,^{t_{r−1}...t_{1}}a). \end{aligned}

Proposition 4.7. Avec les notations ci-dessus, on a :

(1) μ_{y}(T^{yF})⊂S_{w,v}.

(2) S_{w,v} = μ_{y}(T^{yF}) · S_{w,v}^{∘}.

(3) μ_{y}(N_{y}(Y_{w,v})) ⊆ S_{w,v}^{∘} et le diagramme suivant est commutatif

\xymatrix{ & T^{yF} /N_{y}(Y_{w,v}) \ar@{-->}[dr]^{μ_{y}} \\ Y (T) \ar@{-->}[ur]^{N_{y}} \ar[dr]_{N_{w}} &  & S_{w,v}/S_{w,v}^{∘} \\  & T^{wF} /N_{w}(Y_{w,v}) \ar@{-->}[ur]_{μ_{w}}}

(4) Si les coracines de G sont injectives, alors μ_{y}(T^{yF}) ∩ S_{w,v}^{∘} = μ_{y}(N_{y}(Y_{w,v})).

Démonstration. Soit i ∈ {1, …, r} et soit a ∈ T^{yF}.

Si i ∉ I_{w,v}, alors s_{i} = t_{i}. Sinon, t_{i} ∈ {1, s_{i}} et T_{w,v}^{(i)} = T_{α_{w,i}^{∨}}. On a donc dans tous les cas

s_{i}a^{−1} ^{t_{i}}a ∈ T_{w,v}^{(i)}.

On a ainsi une autre définition de S_{w,v} :

S_{w,v} = {(a_{1}, …, a_{r}) ∈ T^{r} | a_{i}^{−1} ^{t_{i}}a_{i+1} ∈ T_{w,v}^{(i)} pour 1 ≤ i ≤ r − 1et a_{r}^{−1} ^{t_{r}F}a_{1} ∈ T_{w,v}^{(r)} }.

La partie (1) du lemme en résulte.

Démontrons maintenant (2). On pose m = |I_{w,v}| et on note

I_{w,v} = {i_{1}, …, i_{m}}

où 1 ≤ i_{1} < ⋯ < i_{m} ≤ r. Pour tout entier j entre 1 et m, on pose

y_{j} = (t_{i_{j−1}+1}, …, t_{i_{j}}),

où i_{0} = 0. On pose aussi y_{m+1} = \begin{cases}(t_{i_{m}+1}, …, t_{r}) & si i_{m} ≠ r, \\ () & sinon. \end{cases}

Ainsi, on a y = y_{1} ⋯ y_{m+1}. Soit

S′_{w,v} = {(a′_{0}, a′_{1}, …, a′_{m}) ∈ T^{m+1} | a′_{j}^{−1} ^{y_{j+1}}a′_{j+1} ∈ T_{y_{j+1}(α_{w,i_{j+1}}^{∨})} pour 0 ≤ j ≤ m − 1

et a_{m}^{′−1} ^{y_{m+1}F}a′_{0} = 1}.

On a un isomorphisme

η_{y} : S_{w,v} →^{∼} S′_{w,v}
(a_{1}, …, a_{r}) ↦ (a_{1}, a_{i_{1}+1}, …, a_{i_{m}+1})

où on a posé a_{r+1} = ^{F}a_{1}.

Posons, pour tout j, 1 ≤ j ≤ m, γ_{j}^{∨} = y_{1} … y_{j}(α_{w,i_{j}}^{∨}) = t_{1} … t_{i_{j}}(α_{w,i_{j}}^{∨}). Soit

S′′_{w,v} = {(a′′, a′′_{1}, …, a′′_{m}) ∈ T × (∏_{j=1}^{m} T_{γ_{j}^{∨}}) | a^{′′−1} ^{yF}a′′ = a′′_{1} … a′′_{m}}.

On a un isomorphisme

η′_{y} : S′_{w,v} →^{∼} S′′_{w,v}
(a′_{0}, …, a′_{m}) ↦ (a′_{0}, a_{0}^{′−1} ^{y_{1}}a′_{1}, …, y_{1} ⋯ y_{m−1}(a_{m−1}^{′−1} ^{y_{m}}a′_{m})).

Via ces isomorphismes, le morphisme μ_{y} devient le morphisme

\begin{aligned}μ′′_{y} : & T^{yF} & ⟶ & S′′_{w,v} \\ & a & ⟼ & (a, 1, …, 1). \end{aligned}

On pose maintenant δ_{j}^{∨} = N_{F^{d}/yF} (γ_{j}^{∨}). On a alors (yF − 1)(δ_{j}^{∨}) = (q^{d/δ} − 1)γ_{j}^{∨}, donc le morphisme

\begin{matrix}Im δ_{j}^{∨} & ⟶ & T_{γ_{j}^{∨}} \\ b & ⟼ & b^{−1} ^{yF}b \end{matrix}

est surjectif. Par conséquent, si on pose

T_{w,v} = {(a, b_{1}, …, b_{m}) ∈ T × (∏_{j=1}^{m} Im δ_{j}^{∨}) | a^{−1} ^{yF}a = (b_{1} … b_{m})^{−1} ^{yF}(b_{1} … b_{m})},

alors l’application

ν :  T_{w,v}  ⟶  S′′_{w,v}
(a, b_{1}, …, b_{m}) ⟼ (a, b_{1}^{−1} ^{yF}b_{1}, …, b_{m}^{−1} ^{yF}b_{m})

est surjective. On en déduit que (S′′_{w,v})^{∘} = ν(T_{w,v}^{∘}). Mais, par ailleurs,

T_{w,v}^{∘} = {(a, b_{1}, …, b_{m}) ∈ T × (∏_{j=1}^{m} Im δ_{j}^{∨}) | a = b_{1} … b_{m}},

donc T_{w,v} = T_{w,v}^{∘} · (T^{yF} × {1}^{m}). En appliquant ν à cette égalité, on obtient que S_{w,v} = μ_{y}(T^{yF}) · S_{w,v}^{∘}. Cela démontre (2).

Soit a = N_{y}(γ_{j}^{∨}) ∈ Im δ_{j}^{∨}. Alors, a^{−1} ^{yF}a = 1 et a ∈ Im δ_{j}^{∨}, donc

μ_{y}(a) = ν(a, 1, …, 1, a, 1, …, 1) ∈ S_{w,v}^{∘}.

D’après la proposition 4.3 (2) le réseau Y_{w,v} est engendré par les γ_{j}^{∨} = ± t_{1} … t_{i_{j}−1}(α_{w,i_{j}}^{∨}). Par conséquent, μ_{y}(N_{y}(Y_{w,v})) ⊆ S_{w,v}^{∘}.

Soit maintenant z une suite finie d’éléments de S̄ telle que y ≤ z ≤ w. Nous allons démontrer la commutativité du diagramme

\xymatrix{ & T^{yF} /N_{y}(Y_{w,v}) \ar[dr]^{μ_{y}} \\ Y (T) \ar[ur]^{N_{y}} \ar[dr]_{N_{z}} &  & S_{w,v}/S_{w,v}^{∘} \\  & T^{zF} /N_{z}(Y_{w,v}) \ar@{-->}[ur]_{μ_{z}}}

Par récurrence sur l(z) − l(y), il suffit de considérer le cas où

z = (t_{1}, …, t_{i_{j}−1}, s_{i_{j}}, t_{i_{j}+1}, …, t_{r}),

avec t_{i_{j}} = 1 ≠ s_{i_{j}}.

Soient λ ∈ Y (T), a = N_{y}(λ) et b = N_{z}(λ). Pour montrer la commutativité du diagramme, il faut montrer que μ_{y}(a)^{−1}μ_{z}(b) ∈ S_{w,v}^{∘}. Pour cela, après composition avec η′_{y}η_{y}, il suffit de montrer que (η′_{y}η_{y}μ_{y}(a))^{−1}(η′_{y}η_{y}μ′′_{y}(b)) ∈ (S′′_{w,v})^{∘}.

On a η′_{y}η_{y}μ_{y}(a) = (a, 1, …, 1) et

η′_{y}η_{y}μ′′_{y}(b) = (b, 1, …, 1, b^{−1} ^{t_{1}···t_{i_{j} −1}s_{i_{j}} i_{j}−1···t_{1}}b, 1, …, 1).

On a ^{yF}b = ^{t_{1}···t_{i_{j} −1}s_{i_{j}} t_{i_{j} −1}···t_{1}zF}b = ^{t_{1}···t_{i_{j} −1}s_{i_{j}} i_{j}−1···t_{1}}b, donc

(η′_{y}η_{y}μ_{y}(a))^{−1}(η′_{y}η_{y}μ′′_{y}(b)) = (a^{−1}b, 1, …, 1, b^{−1} ^{yF}b, 1, …, 1)
= (a^{−1}b, 1, …, 1, (a^{−1}b)^{−1}^{yF}(a^{−1}b), 1, …, 1).

La description de T_{w,v}^{∘} montre qu’il suffit de prouver que a^{−1}b ∈ Im δ_{j}^{∨}.

Soit ε_{j}^{∨} un générateur du Z-module libre Qδ_{j}^{∨} ∩ Y (T). On a Im δ_{j}^{∨} = Im ε_{j}^{∨}. Soit n ∈ Z ≠ 0 tel que nλ = (zF − 1)(μ) pour un élément μ de Y (T). On a alors

n(N_{F^{d}/yF} (λ) − N_{F^{d}/zF} (λ)) = N_{F^{d}/yF} ((z − y)F (μ)) + N_{F^{d}/yF} ((yF − 1)(μ))− − N_{F^{d}/zF} ((zF − 1)(μ)).

D’après la proposition 4.3 (1), on a (z − y)(Y (T)) ⊂ Zγ_{j}^{∨}. D’autre part,

N_{F^{d}/yF} ((yF − 1)(μ)) = N_{F^{d}/zF} ((zF − 1)(μ)) = (q^{d/δ} − 1)μ.

Donc, n(N_{F^{d}/yF} (λ) − N_{F^{d}/zF} (λ)) ∈ Zδ_{j}^{∨} ⊂ Zε_{j}^{∨}, d’où N_{F^{d}/yF} (λ) − N_{F^{d}/zF} (λ) ∈ Zε_{j}^{∨}, ce qui complète la preuve de (3).

Démontrons maintenant (4). Soit a ∈ T^{yF} tel que μ_{y}(a) ∈ S_{w,v}^{∘}. Il existe alors un m-uplet (b_{1}, …, b_{m}) ∈ ∏_{j=1}^{m} Im δ_{j}^{∨} tel que

a = b_{1} … b_{m} et ^{yF}b_{j} = b_{j} pour 1 ≤ j ≤ m.

Soit c ∈ F^{×} tel que δ_{j}^{∨}(c) ∈ T^{yF}. On a ((yF − 1)δ_{j}^{∨})(c) = 1 donc γ_{j}^{∨}(c^{q^{d/δ}−1}) = 1. Mais γ_{j}^{∨} est injectif, donc c ∈ F_{q^{d/δ}}^{×}. Ceci montre que b_{j} ∈ N_{F^{d}/yF} (γ_{j}^{∨})(F_{q^{d/δ}}^{×}), donc a ∈ N_{y}(Y), où Y est le sous-groupe de Y (T) engendré par les (γ_{j}^{∨})_{1≤j≤m}. Mais, d’après la proposition 4.3 (2), Y = Y_{w,v}, donc μ_{y}(T^{yF}) ∩ S_{w,v}^{∘} ⊂μ_{y}(N_{y}(Y_{w,v})). □

Remarque 4.8. La proposition précédente donne une autre construction de l’isomorphisme de la proposition 4.3 (4), montrant au passage qu’elle est indépendante des choix des isomorphismes de §2.2.

5. Variétés de Deligne-Lusztig généralisées

5.1. Comparaison de modèles. Nous commençons cette partie par un résultat géométrique concernant une classe de variétés qui contient les variétés de Deligne-Lusztig. Les hypothèses ont été choisies pour les applications des parties à venir.

Fixons un élément n de G, un sous-groupe parabolique P de G de radical unipotent V et soit L un complément de Levi nF -stable ((nF)^{δ} est alors un endomorphisme de Frobenius relatif à une F_{q}-structure sur L).

Fixons aussi un sous-groupe fermé nF -stable H de L, un sous-groupe distingué H′ de H (non nécessairement nF -stable) et posons

K = {h ∈ H | h^{−1} ^{nF}h ∈ H′}.

Puisque H′ est distingué dans H, K est un sous-groupe fermé de H. D’autre part, H^{nF} ⊂K et on a

Lemme 5.1. Si H′ est connexe, alors K = K^{∘} · H^{nF}.

Démonstration. L’application de Lang H → H, h ↦ h^{−1} ^{nF}h est surjective, donc sa restriction K → H′ l’est aussi. Puisque l’application de Lang est un morphisme fini, l’image de K^{∘} est une sous-variété fermée irréductible de H′ de dimension dim H′. Or, H′ est ici connexe, donc l’image de K^{∘} est égale à H′. Les fibres de l’application de Lang étant des H^{nF} -orbites (pour l’action de H^{nF} sur H par translation à gauche), le lemme est prouvé. □

Posons maintenant

Y = {gV ∈ G/V | g^{−1}F (g) ∈ H′ · (Vn ^{F}V)}
et  X = {gH · V ∈ G/(H · V) | g^{−1}F (g) ∈ H · (Vn ^{F}V)}.

Alors, le groupe G^{F} agit par translation à gauche sur Y et X, le groupe K agit librement par translation à droite sur Y et le morphisme

\begin{aligned}π : & Y & ⟶ & X \\ & gV & ⟼ & gH · V \end{aligned}

est G^{F} -équivariant. De plus, ses fibres sont des K-orbites.

Proposition 5.2. Le morphisme π induit un isomorphisme Y/K →^{∼} X.

Démonstration. Tout d’abord,

Y/K = {gK · V ∈ G/(K · V) | g^{−1}F (g) ∈ H′ · (Vn ^{F}V)}.

Notons

\begin{aligned}π′ : & Y/K & ⟶ & X \\ & gK · V & ⟼ & gH · V. \end{aligned}

Il s’agit de montrer que π′ est un isomorphisme de variétés. Nous allons pour cela construire un inverse explicite.

L’application

\begin{matrix}H × Vn ^{F}V & ⟶ & H · (Vn ^{F}V) \\ (h, x) & ⟼ & hx \end{matrix}

est un isomorphisme de variétés. Nous noterons λ : H · (Vn ^{F}V) → H le composé de l’inverse de cet isomorphisme avec la première projection.

D’autre part, l’application de Lang H → H, g ↦ g ^{nF}g^{−1} est un morphisme étale, donc elle induit un isomorphisme γ_{0} : H/H^{nF} →^{∼} H. Nous noterons γ le morphisme composé

\xymatrix{H \ar[r]^{γ_{0}^{−1}} & H/H^{nF} \ar[r] & G/(K · V),}

où la deuxième flèche est l’application canonique.

Pour finir, posons

X′ = {g ∈ G | g^{−1}F (g) ∈ H · (Vn ^{F}V)},

et notons

\begin{aligned}μ : & X′ & ⟶ & Y/K \\ & g & ⟼ & gγ(λ(g^{−1}F (g)))K · V. \end{aligned}

Montrons que μ est bien défini. Prenons g ∈ X′ et posons h = λ(g^{−1}F (g)). On a

(gγ_{0}^{−1}(h))^{−1}^{F}(gγ_{0}^{−1}(h)) ∈ γ_{0}^{−1}(h)^{−1}h^{nF}γ_{0}^{−1}(h)Vn^{F}V = Vn^{F}V

ce qui montre que μ est bien défini — c’est de plus un morphisme de variétés. Pour g ∈ X′, h ∈ H et v ∈ V, on a

γ_{0}^{−1}(λ((ghv)^{−1}F (ghv))) = h^{−1}γ_{0}^{−1}(λ(g^{−1}F (g))).

On en déduit que μ(ghv) = μ(g). Par passage au quotient, μ induit un morphisme de variétés μ′ : X′/H · V = X → Y/K. C’est l’isomorphisme inverse de π′. Cela complète la preuve de la proposition. □

5.2. Définition. Pour w ∈ W (respectivement n ∈ N_{G}(T)) et pour g et h deux éléments de G, nous écrirons gB ^{\underline{w}} hB (respectivement gU ^{\underline{n}} hU) pour dire que g^{−1}h ∈ BwB (respectivement g^{−1}h ∈ UnU). Pour w = (w_{1}, …, w_{r}) ∈ Σ(W) et pour n = (n_{1}, …, n_{r}) ∈ Σ(N_{G}(T)), nous posons

X(w) = \{(g_{1}B, …, g_{r}B) ∈ (G/B)^{r} | g_{1}B ^{\underline{w_{1}}} g_{2}B ^{\underline{w_{2}}} ⋯ ^{\underline{w_{r−1}}} g_{r}B ^{\underline{w_{r}}} F (g_{1})B\} et

Y(n) = \{(g_{1}U, …, g_{r}U) ∈ (G/U)^{r} | g_{1}U ^{\underline{n_{1}}} g_{2}U ^{\underline{n_{2}}} ⋯ ^{\underline{n_{r−1}}} g_{r}U ^{\underline{n_{r}}} F (g_{1})U\}.

Supposons w = n̄. Alors, le groupe T^{wF} agit à droite sur Y(n) de la manière suivante : si (g_{1}U, …, g_{r}U) ∈ Y(n) et si t ∈ T^{wF}, alors

(g_{1}U, …, g_{r}U).t = (g_{1}tU, g_{2}^{n_{1}^{−1}}tU, …, g_{r}^{(n_{1}...n_{r−1})^{−1}}tU).

Notons que cette action est libre. D’autre part, G^{F} agit diagonalement sur Y(n) par multiplication à gauche et cette action commute avec celle de T^{wF}. Cela fait de Y(n) une G^{F} -variété-T^{wF}.

Nous noterons Y^{G}(n) ou Y^{G,F} (n) (respectivement X^{G}(w) ou X^{G,F} (w)) la variété Y(n) (respectivement X(w)) lorsque nous aurons besoin de préciser le groupe ambiant, voire l’isogénie considérée.

Remarque 5.3. Posons G′ = G^{r}, B′ = B^{r}, U′ = U^{r}, T′ = T^{r}, W′ = W^{d} et

et  \begin{aligned}F′ : & G′ & ⟶ & G′ \\ & (g_{1}, …, g_{r}) & ⟼ & (g_{2}, …, g_{r}, F (g_{1})). \end{aligned}

Alors, F′ est une isogénie sur G′, F^{′rδ} définit une F_{q}-structure sur le groupe G′ et n s’identifie à un élément du groupe N_{G′}(T′). On vérifie que les applications

T^{nF} →^{∼} T^{′nF′}
t ↦ (t,^{n_{1}^{−1}}t, …,^{(n_{1}...n_{r−1})^{−1}}t)
G^{F} →^{∼} G^{′F′}
g ↦ (g, …, g)

sont des isomorphismes de groupes et que l’application

Y^{G,F} (n)  ⟶ Y^{G′,F′}(n)
(g_{1}U, …, g_{r}U) ⟼ (g_{1}, …, g_{r})U′

est un isomorphisme de G^{F} -variétés-T^{nF}, où Y^{G′,F′}(n) est vue comme une G^{F} -variété-T^{nF} via les isomorphismes précédents.

Une interprétation analogue s’en déduit pour les variétés X^{G,F} (w). Cela montre que les variétés de Deligne-Lusztig généralisées ne sont en fait que des variétés de Deligne-Lusztig ordinaires pour un groupe différent.

Le morphisme canonique

π_{n} :  Y(n)  ⟶  X(w)
(g_{1}U, …, g_{r}U) ⟼ (g_{1}B, …, g_{r}B)

induit un isomorphisme de G^{F} -variétés

(5.4)  Y(n)/T^{wF} →^{∼} X(w).

Pour voir cela, il faut se ramener au cas où r = 1 en utilisant la remarque 5.3, puis appliquer la proposition 5.2 dans le cas où P = B, L = H = T, n = n_{1} et H′ = {1}.

Puisque Y(n) est une G^{F} -variété-T^{wF}, elle induit deux foncteurs entre catégories dérivées qui seront notés

R_{n} : D^{b}(ΛT^{wF} − mod) ⟶ D^{b}(ΛG^{F} − mod)
C  ⟼ RΓ_{c}(Y(n)) ⊗_{ΛT^{wF}}^{L} C

et

S_{n} : D^{b}(ΛT^{wF} − mod) ⟶ D^{b}(ΛG^{F} − mod)
C  ⟼ RΓ(Y(n)) ⊗_{ΛT^{wF}}^{L} C.

Ce sont les foncteurs R_{T^{wF}}^{G^{F}} (Y(n)) et S_{T^{wF}}^{G^{F}} (Y(n)) de §3.2.

Le foncteur R_{n} induit une application linéaire entre les groupes de Grothendieck des catégories ΛT^{wF} − mod et ΛG^{F} − mod. Cette application sera notée

R_{n} : K(ΛT^{wF} − mod) ⟶ K(ΛG^{F} − mod).

Les variétés X(w) et Y(n) ne dépendent, à isomorphisme près, que des images de w et n dans B [DiMiRo] :

Proposition 5.5. Soient v et w deux suites d’éléments de W telles que σ(v) = σ(w). Alors, les G^{F} -variétés X(w) et X(v) sont isomorphes. En particulier, une décomposition réduite de σ(w) dans B fournit une suite v ∈ Σ(S) telle que X(w) est isomorphe à X(v).

De même, soient m et n deux suites d’éléments de N_{G}(T) telles que σ̇(m)T = σ̇(n)T. Alors, on a un isomorphisme de G^{F} -variétés-T^{nF} entre Y(m) et Y(n). Par conséquent, il existe w ∈ Σ(S) telle que Y(n) est isomorphe à Y(ẇ).

Démonstration. Soit i tel que l(n̄_{i}n̄_{i+1}) = l(n̄_{i}) + l(n̄_{i+1}). Alors, on a un isomorphisme de G^{F} -variétés-T^{wF}

(5.6)  Y(n) →^{∼} Y(n_{1}, …, n_{i−1}, n_{i}n_{i+1}, n_{i+2}, …, n_{r}),
(g_{1}U, …, g_{r}U) ↦ (g_{1}U, …, g_{i−1}U, g_{i+1}U, …, g_{r}U).

Ceci montre que Y(n) et Y(m) sont isomorphes lorsque σ̇(m) = σ̇(n).

Supposons maintenant n_{r} ∈ T. Soit t ∈ T tel que t^{−1} ^{nF}t = ^{n}n_{r}. Alors, on a un isomorphisme de G^{F} -variétés-T^{wF}

Y(n) →^{∼} Y(n_{1}, …, n_{r−1}),
(g_{1}U, …, g_{r}U) ↦ (g_{1}tU, g_{2}^{n_{1}^{−1}}tU, …, g_{r−1}^{n_{r−2}^{−1}···n_{1}^{−1}}tU).

On en déduit donc que Y(n) et Y(m) sont isomorphes lorsque σ̇(m)T = σ̇(n)T. Puisque X(w) ≃ Y(n)/T^{wF}, lorsque w est l’image de n, on en déduit aussi la première partie de la proposition. □

Proposition 5.7. La variété Y(n) est quasi-affine, lisse et purement de dimension l(n). Les stabilisateurs des points de Y(n) dans G^{F} × T^{nF} sont des p-groupes.

Démonstration. La remarque 5.3 ramène la preuve de la proposition au cas de variétés de Deligne-Lusztig ordinaires. Alors, la quasi-affinité est due à Haastert [Ha, théorème 2.3] et les autres propriétés sont faciles [DeLu, §1.3]. □

Remarque 5.8. Il est connu que les variétés Y(n) sont affines pour q^{1/δ} assez grand [DeLu, théorème 9.7], mais ce résultat demeure inconnu pour q^{1/δ} quelconque.

Remarque 5.9. Pour n ∈ N_{G}(T), posons

Y^{∗}(n) = {g(U ∩ ^{n}U) ∈ G/(U ∩ ^{n}U) | g^{−1}F (g) ∈ nU}.

Alors, l’application canonique Y^{∗}(n) → Y(n), g(U ∩ ^{n}U) ↦ gU est un isomorphisme de G^{F} -variétés-T^{nF}. On trouve dans la littérature indifféremment l’un ou l’autre de ces modèles.

Remarque 5.10. Puisque la variété X(w) est lisse, la dualité de Poincaré fournit un isomorphisme fonctoriel de ΛG^{F} -modules à droite

(5.11)  ((R_{n}M)^{∗})^{op} ≃ S_{n} ((M^{∗})^{op}) [−2l(w)]

pour tout tout ΛT^{wF} -module M, libre sur Λ.

5.3. Liens entre les groupes G, G̃ et Ĝ. En identifiant les groupes de Weyl de G, G̃ et Ĝ relatifs à T, T̃ et T̂ respectivement, nous noterons, lorsque w est une suite d’éléments de W, X̃(w) et X̂(w) les variétés définies grâce aux groupes G̃ et Ĝ respectivement. De même, si n est une suite d’éléments de NG̃(T̃) ou de NĜ(T̂), on définit des variétés Ỹ(n) et Ŷ(n) et nous noterons R̃_{n} et R̂_{n} les foncteurs associés aux variétés Ỹ(n) et Ŷ(n) respectivement.

Dans ce paragraphe, nous allons rappeler les liens entre ces variétés. Dans le cas des variétés X(w), X̃(w) et X̂(w), la comparaison est facile. Les morphismes canoniques G → G̃ et Ĝ → G induisent des isomorphismes G/B →^{∼} G̃/B̃ et Ĝ/B̂ →^{∼} G/B, d’où

Proposition 5.12. Soit w une suite d’éléments de W. Alors, les G^{F} -variétés X(w), X̃(w) et X̂(w) sont canoniquement isomorphes.

Les relations entre les variétés Y(n), Ỹ(n) et Ŷ(n), sont un peu plus compliquées. Commençons par les variétés Ỹ(n).

Le produit fournit des isomorphismes canoniques G̃^{F} ×_{G^{F}} G^{F} →^{∼} G̃^{F} et G^{F} ×_{T^{wF}} T̃^{wF} →^{∼} G̃^{F}. On en déduit :

Proposition 5.13. Soit n une suite d’éléments de N_{G}(T). Alors on a des isomorphismes canoniques

Ỹ(n) →^{∼} G̃^{F} ×_{G^{F}} Y(n) →^{∼} Y(n) ×_{T^{wF}} T̃^{wF} .

Démonstration. Grâce à la remarque 5.3, on peut supposer que n = (n_{1}), où n_{1} ∈ N_{G}(T). Dans ce cas, la preuve est par exemple analogue à [Bo, lemme 2.1.2 (b)]. □

Soit n une suite d’éléments de N_{G}(T). La proposition 5.13 a des conséquences au niveau des foncteurs R_{n} et R̃_{n}. En effet, on en déduit que

RΓ_{c}(Ỹ(n)) ≃ ΛG̃^{F} ⊗_{ΛG^{F}} RΓ_{c}(Y(n)) dans D^{b}((ΛG̃^{F} , ΛT^{wF}) − bimod)

et que

RΓ_{c}(Ỹ(n)) ≃ RΓ_{c}(Y(n)) ⊗_{ΛT^{wF}} ΛT̃^{wF} dans D^{b}((ΛG^{F} , ΛT̃^{wF}) − bimod).

Par suite, on a

(5.14)  R̃_{n} ∘ IndT̃^{wF} ; T^{wF} ≃ IndG̃^{F} ; G^{F} ∘R_{n}

et

(5.15)  R_{n} ∘ ResT̃^{wF} ; T^{wF} ≃ ResG̃^{F} ; G^{F} ∘R̃_{n}.

Remarque 5.16. Les isomorphismes (5.14) et (5.15) induisent les égalités

(5.17)  R̃_{n} ∘ IndT̃^{wF} ; T^{wF} = IndG̃^{F} ; G^{F} ∘R_{n}

et

(5.18)  R_{n} ∘ ResT̃^{wF} ; T^{wF} = ResG̃^{F} ; G^{F} ∘R̃_{n}.

Concernant les rapports entre les variétés Ŷ(n̂) et Y(n), nous avons le résultat suivant (rappelons que ρ : Ĝ → G désigne la projection canonique) :

Proposition 5.19. Soit n̂ = (n̂_{1}, …, n̂_{r}) une suite finie d’éléments de NĜ(T̂) et posons n = (ρ(n̂_{1}), …, ρ(n̂_{r})). Alors, l’application ρ induit des isomorphismes de G^{F} -variétés-T^{wF}

Ŷ(n̂)/C^{F} →^{∼} Y(n) et C^{F} \ Ŷ(n̂) →^{∼} Y(n).

Démonstration. Encore une fois, comme pour la proposition 5.13, on peut supposer que n est une suite formée d’un seul élément. Dans ce cas, il suffit d’appliquer la proposition 5.2, en remplaçant le groupe G par Ĝ, P par B̂, L par T̂, n par n̂_{1}, le groupe H par C, et le groupe H′ par {1}. Dans ce cas, la variété qui était notée Y devient la variété Ŷ(n̂), tandis que X devient Y(n) et K = C^{F}. Cela complète la preuve de la proposition 5.19. □

Si ResG^{F} ; Ĝ^{F} : D^{b}(ΛG^{F} − mod) ⟶ D^{b}(ΛĜ^{F} − mod) désigne le foncteur de restriction à travers ρ, alors la proposition 5.19 montre que

(5.20)  R̂n̂ ∘ ResT^{wF} ; T̂^{wF} ≃ ResG^{F} ; Ĝ^{F} ∘R_{n}.

Remarque 5.21. Tous les résultats énoncés dans ce §5.3 restent vrais même lorsque le centre de G̃ n’est pas connexe ou lorsque les coracines de Ĝ ne sont pas injectives. D’autre part, si Ǧ est un groupe algébrique muni d’une isogénie F : Ǧ → Ǧ telle que F^{δ} soit l’endomorphisme de Frobenius associé à une F_{q}-structure sur Ǧ, et si γ : Ǧ → G est un morphisme de groupes algébriques commutant avec F et induisant un isomorphisme de groupes, alors les groupes finis Ǧ^{F} et G^{F} sont isomorphes via γ et γ induit des équivalences équivariantes de sites étales entre les variétés YǦ(ň) et Y^{G}(n) (avec des notations évidentes). En particulier, on a RǦ ň ∘ ResT^{nF} ; Ť^{ňF} = ResG^{F} ; Ǧ^{F} ∘R_{n}^{G}.

5.4. Classes de F -conjugaison. Dans la proposition 5.5, il a été noté que, lorsque deux suites finies n et n′ d’éléments de N_{G}(T) ont la même image dans B via le morphisme de monoïdes Σ(N_{G}(T)) ⟶^{σ̇} BT ⟶ B, alors les G^{F} -variétés-T^{nF} associées Y(n) et Y(n′) sont isomorphes. En particulier, les foncteurs R_{n} (respectivement S_{n}) et R_{n′} (respectivement S_{n′}) sont isomorphes.

Nous nous intéressons ici aux applications linéaires R_{n}. Fixons deux suites finies n et n′ d’éléments de N_{G}(T) et un élément x ∈ W tels que xnF (x)^{−1} et n′ induisent la même action sur le tore T. Alors, la conjugaison par x induit un isomorphisme de groupes finis ad(x) : T^{nF} ⟶^{∼} T^{n′F}, t ↦ xtx^{−1}. Nous noterons x_{∗} : D^{b}(ΛT^{n′F} − mod) → D^{b}(ΛT^{nF} −mod) l’équivalence de catégories induite par cet isomorphisme et nous noterons encore x_{∗} : K(ΛT^{n′F} − mod) → K(ΛT^{nF} − mod) l’isomorphisme correspondant entre groupes de Grothendieck. Le but de ce paragraphe est de démontrer le théorème suivant.

Théorème 5.22. Soient n et n′ deux éléments de Σ(N_{G}(T)) et soit x ∈ W tels que xnF (x)^{−1}t = ^{n′}t pour tout t ∈ T. Alors, le diagramme

(5.23)  [figure: K(ΛT^{n′F} − mod); x_{∗}; R_{n′}; K(ΛT^{nF} − mod); R_{n}; K(ΛG^{F} − mod)]

est commutatif.

Puisque le morphisme canonique (restriction) K(kG) →^{∼} K((R/𝔩^{n})G) est un isomorphisme pour n > 0 et le morphisme canonique (extension des scalaires) K(RG) →^{∼} K(KG) un isomorphisme, pour tout groupe fini G, il suffit de démontrer le théorème lorsque Λ est un corps, ce que nous supposerons maintenant.

Remarque 5.24. Lorsque Λ = K, le théorème 5.22 est classique [DeLu, corollaire 4.3]. La preuve présentée par Deligne et Lusztig se fait en deux étapes. La première [DeLu, théorème 1.6] consiste à prouver que _{K}R_{n}(1) = _{K}R_{n′}(1) en travaillant sur la géométrie des variétés X(w). La deuxième utilise un résultat sur les nombres de Lefschetz [DeLu, théorème 3.2] pour se ramener au cas de _{K}R_{n}(1). Pour obtenir le résultat lorsque Λ = k, il suffit de remarquer que le diagramme

[figure: K(KT^{wF} − mod); _{K}R_{n}; d_{T^{wF}}; K(KG^{F} − mod); d_{G^{F}}; K(kT^{wF} − mod); _{k}R_{n}; K(kG^{F} − mod)]

est commutatif (ici, d_{H} : K(KH − mod) → K(kH − mod) désigne l’application de décomposition) et que les applications de décomposition sont surjectives.

Nous proposons ici une preuve géométrique générale qui reprend les arguments de [DeLu, théorème 1.6] en les appliquant directement aux variétés Y(n).

Pour démontrer le théorème 5.22, nous aurons besoin des deux lemmes suivants, le premier étant bien connu [DiMiRo]. Fixons avant tout les notations suivantes : n = (n_{1}, …, n_{r}) et n′ = (n′_{1}, …, n′_{r′}).

Lemme 5.25. Supposons que n′ = (n_{2}, …, n_{r}, F (n_{1})) et que x = n_{1}^{−1}. Alors, l’application

Y(n)  ⟶  Y(n′)
(g_{1}U, …, g_{r}U) ⟼ (g_{2}U, …, g_{r}U, F (g_{1})U)

induit une équivalence de sites étales. De plus, c’est un morphisme de G^{F} -variétés-T^{nF}, où Y(n′) est vue comme une variété-T^{nF} via l’isomorphisme ad(x) : T^{nF} → T^{n′F}. Par conséquent, le diagramme

[figure: D^{b}(ΛT^{n′F} − mod); x_{∗}; R_{n′}; D^{b}(ΛT^{nF} − mod); R_{n}; D^{b}(ΛG^{F} − mod)]

est commutatif (pour tout Λ). En particulier, si Λ est un corps, alors le diagramme 5.23 est commutatif.

Lemme 5.26. Soit α ∈ Δ et soit 1 ≤ i ≤ r. Si n′ = (n_{1}, …, n_{i}, ṡ_{α}, ṡ_{α}, n_{i+1}, …, n_{r}) et si x = 1, alors le diagramme 5.23 est commutatif, c’est-à-dire R_{n} = R_{n′}.

Démonstration. Tout d’abord, en utilisant i fois le lemme 5.25, on pourra supposer que i = 0. D’autre part, d’après la proposition 5.19 et la remarque 5.21, nous pouvons supposer que le groupe dérivé de G est simplement connexe.

Avant de continuer la preuve du lemme 5.26, nous allons établir un lemme technique. On pose s = s_{α}.

Lemme 5.27. Posons

Z = \{(gU, hU, g_{1}U) ∈ (G/U)^{3} | gU ^{\underline{ṡ}} hU ^{\underline{ṡ}} g_{1}U\},
Z_{1} = {(gU, hU, g_{1}U) ∈ Z | g^{−1}g_{1} ∈ UT_{α^{∨}} ṡU},
Z_{2} = {(gU, hU, g_{1}U) ∈ Z | g^{−1}g_{1} ∈ ṡ^{2}U},
Z′_{1} = {(gU, g_{1}U) ∈ (G/U)^{2} | g^{−1}g_{1} ∈ UT_{α^{∨}} ṡU},
et Z′_{2} = {(gU, g_{1}U) ∈ (G/U)^{2} | g^{−1}g_{1} ∈ ṡ^{2}U}.

Alors, (a) Z_{1} est ouvert dans Z, de complémentaire Z_{2}.

(b) Le morphisme Z_{1} → Z′_{1}, (gU, hU, g_{1}U) ↦ (gU, g_{1}U) est un isomorphisme de variétés.

(c) Le morphisme Z_{2} → Z′_{2}, (gU, hU, g_{1}U) ↦ (gU, g_{1}U) est lisse à fibres isomorphes à la droite affine A^{1}.

Démonstration du lemme 5.27. On a UṡU = U_{α}ṡU, donc UṡUṡU = U_{α}ṡU_{α}ṡU. Effectuons maintenant un calcul dans SL_{2}(F). Pour x, y et z dans F, on a

(♯) ( \begin{matrix}1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & y \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & z \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}xy − 1 & xyz − x − z \\ y & zy − 1 \end{matrix} )

et, pour y ≠ 0,

( \begin{matrix}1 & x − y^{−1} \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}−y^{−1} & 0 \\ 0 & −y \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & z − y^{−1} \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}xy − 1 & xyz − x − z \\ y & zy − 1 \end{matrix} ) .

Notons que G ≃ SL_{2}(F) car le groupe dérivé de G est simplement connexe. Il résulte alors des calculs précédents que U_{α}T_{α^{∨}} ṡU_{α} est ouvert dans U_{α}ṡU_{α}ṡU_{α}, de complémentaire ṡ^{2}U_{α}. Cela démontre (a).

Plus précisément, (♯) montre que l’application

U × (U_{α} − {1}) × U ⟶^{∼} UT_{α^{∨}} ṡU
(a, b, c) ⟼ aṡbṡc

est un isomorphisme de variétés et que l’application

U × U ⟶ ṡ^{2}U
(a, b) ⟼ aṡ^{2}b

est un morphisme lisse à fibres isomorphes à la droite affine A^{1}.

Considérons maintenant la multiplication

m : U_{α}ṡU_{α} ×_{U_{α}} U_{α}ṡU ⟶ G.

Sa restriction à m^{−1}(U_{α}T_{α^{∨}} ṡU) est un isomorphisme :

m^{−1}(U_{α}T_{α^{∨}} ṡU) ⟶^{∼} U × (U_{α} − {1}) × U ⟶^{∼} UT_{α^{∨}} ṡU,
(aṡx, yṡc)  ⟼  (a, xy, c)  ⟼ aṡxyṡc.

Cela démontre (b).

Par ailleurs, la restriction de m à m^{−1}(ṡ^{2}U) est un morphisme lisse à fibres isomorphes à la droite affine A^{1} :

\begin{matrix}m^{−1}(ṡ^{2}U) & ⟶^{∼} & U_{α} × U & ⟶ & ṡ^{2}U, \\ (aṡx, yṡc) & ⟼ & (a, c) & ⟼ & aṡ^{2}c, \end{matrix}

ce qui démontre (c). □

Revenons au lemme 5.26. Posons

Y_{1} = {(gU, hU, g_{1}U, …, g_{r}U) ∈ Y(n′) | g^{−1}g_{1} ∈ UT_{α^{∨}} ṡU}
et  Y_{2} = {(gU, hU, g_{1}U, …, g_{r}U) ∈ Y(n′) | g^{−1}g_{1} ∈ ṡ^{2}U}.

D’après 5.27 (a), on a Y(n′) = Y_{1} ∐ Y_{2}, Y_{1} est une sous-G^{F} -variété-T^{nF} ouverte de Y(n′) et Y_{2} est une sous-G^{F} -variété-T^{nF} fermée de Y(n′) (le fait que Y_{1} et Y_{2} sont stables sous l’action de T^{nF} résulte de ce que t^{−1} ^{s}t ∈ T_{α^{∨}} pour tout t ∈ T). Notons R_{1} : K(ΛT^{nF} − mod) → K(ΛG^{F} − mod) et R_{2} : K(ΛT^{nF} − mod) → K(ΛG^{F} − mod) les applications linéaires induites par les variétés Y_{1} et Y_{2}. La suite exacte “ouvert-fermé” pour la cohomologie à support compact montre que

R_{n′} = R_{1} + R_{2}.

Soit maintenant

π_{2} : Y_{2} ⟶ Y((ṡ^{2})n)
(gU, hU, g_{1}U, …, g_{r}U) ⟼ (gU, g_{1}U, …, g_{r}U).

D’après 5.27 (c), π_{2} est un morphisme lisse de G^{F} -variétés-T^{nF} à fibres isomorphes à la droite affine A^{1}, donc R_{2} = R_{(ṡ^{2})n}. Mais, d’après la proposition 5.5, on a R_{(ṡ^{2})n} = R_{n}. Il suffit donc maintenant de démontrer que

R_{1} = 0.

D’après 5.27 (b), on a un isomorphisme

Y_{1} →^{∼} Y′_{1} = {(gU, g_{1}U, …, g_{r}U) ∈ (G/U)^{r+1} | g^{−1}g_{1} ∈ UT_{α^{∨}} ṡU

et g_{1}U ^{\underline{n_{1}}} g_{2}U ^{\underline{n_{2}}} ⋯ ^{\underline{n_{r−1}}} g_{r}U ^{\underline{n_{r}}} F (g)U\}.

Notons S le groupe diagonalisable

S = {t ∈ T | t^{−1} ^{ṡnF}t ∈ T_{α^{∨}}}.

Remarquons que, puisque t^{−1} ṡt ∈ T_{α^{∨}} pour t ∈ T, le groupe S est aussi égal à

S = {t ∈ T | t^{−1} ^{nF}t ∈ T_{α^{∨}}}.

On a enfin S_{(s)n̄,(1)n̄} →^{∼} S, (a_{1}, …, a_{r+1}) ↦ a_{1} (c’est l’isomorphisme η′ ; n̄ηn̄ de la preuve de la proposition 4.7).

Par conséquent, on a T^{ṡnF} ⊂S et T^{nF} ⊂S d’une part et, d’après la proposition 4.7, on a d’autre part

(∗)  S = T^{ṡnF} · S^{∘} = S^{∘} · T^{nF} .

Le groupe S agit à droite sur la variété Y′_{1} de la façon suivante : si (gU, g_{1}U, …, g_{r}U) ∈ Y′_{1} et si t ∈ S, on pose

(gU, g_{1}U, …, g_{r}U).t = (gtU, g_{1}^{n_{1}...n_{r}F}tU, g_{2}^{n_{2}...n_{r}F}tU, …, g_{r}^{n_{r}F}tU).

Considérons les morphismes Y′_{1} → T_{α^{∨}}, (gU, g_{1}U, …, g_{r}U) ↦ t′, où g^{−1}g_{1} ∈ Ut′ṡU et S → T_{α^{∨}}, t ↦ t^{−1} ^{ṡnF}t et notons Ỹ′_{1} le produit fibré de Y′_{1} et S au-dessus de T_{α^{∨}}. Il est alors facile de vérifier que l’application

Y(ṡ, n_{1}, …, n_{r}) × S ⟶^{∼}  Ỹ′_{1}
((gU, g_{1}U, …, g_{r}U), t) ⟼ ((gtU, g_{1}^{n_{1}...n_{r}F}tU, g_{2}^{n_{2}...n_{r}F}tU, …, g_{r}^{n_{r}F}tU), t)

est un isomorphisme et donc induit, par passage au quotient par T^{ṡnF} un isomorphisme de G^{F} -variétés-T^{nF}

Y(ṡ, n_{1}, …, n_{r}) ×_{T^{ṡnF}} S →^{∼} Y′_{1}.

Compte tenu de (3.3), il suffit de démontrer que l’image de RΓ_{c}(S) dans le groupe de Grothendieck K((ΛT^{ṡnF} , ΛT^{nF}) − bimod) est nulle. Mais, T^{ṡnF} ∩ S^{∘} et T^{nF} ∩ S^{∘} agissent trivialement sur les groupes H_{c}^{i}(S) (i ∈ N), car leur action est la restriction de l’action d’un groupe connexe [DeLu, proposition 6.4]. Par conséquent, H_{c}^{i}(S) est isomorphe à Λ[S/S^{∘}] ⊗_{Λ} H_{c}^{i}(S^{∘}, Λ_{S^{∘}}), le groupe T^{ṡnF} × (T^{nF})^{op} agissant par permutation des éléments de la base sur la première composante de ce produit tensoriel. Donc, l’image de Γ dans K((ΛT^{ṡnF} , ΛT^{nF})−bimod) est égale à l’image de Λ[S/S^{∘}] multipliée par la caractéristique d’Euler-Poincaré de S^{∘}. Mais la caractéristique d’Euler-Poincaré d’un tore est nulle. La démonstration du lemme 5.26 est maintenant complète. □

Démonstration du théorème 5.22. En raisonnant par récurrence sur la longueur de x, il suffit de traiter deux cas : x = 1 ou l(x) = 1.

Premier cas : x = 1. Si 1 ≤ i ≤ r, on pose w_{i} = n̄_{i}, w = (w_{1}, …, w_{r}) et w = w_{1} … w_{r}. D’après la proposition 5.5, on peut supposer et ce sera fait par la suite, que n = ẇ, que w_{i} = s_{α_{i}} (où α_{i} ∈ Δ), et aussi que n′ = (ẇ). Raisonnons par récurrence sur l(w) − l(w). Si l(w) = l(w), alors Y(n) = Y(ẇ) ≃ Y(ẇ) = Y(n′), ce qui démontre le résultat. Si l(w) > l(w), alors s_{α_{1}} … s_{α_{r}} n’est pas une décomposition réduite de w, donc il existe β_{1}, …, β_{r} ∈ Δ telles que σ(w) = s_{β_{1}} … s_{β_{r}} et telles que β_{i} = β_{i+1} pour un certain i ∈ {1, …, r − 1}. Posons alors w_{1} = (s_{β_{1}}, …, s_{β_{r}}) et w_{2} = (s_{β_{1}}, …, s_{β_{i−1}}, s_{β_{i+2}}, …, s_{β_{r}}). Alors, d’après la proposition 5.5, on a, Rẇ = Rẇ_{1}. Mais, d’après le lemme 5.26, on a Rẇ_{1} = Rẇ_{2}, donc il suffit de démontrer que Rẇ_{2} = Rẇ, ce qui résulte de l’hypothèse de récurrence (car l(w_{2}) − l(w) = l(w) − l(w) − 2).

Deuxième cas : x ∈ S. Ici, en utilisant le premier cas, on peut supposer que n′ = (ṡ)n(F (ṡ)), où x = s. D’après le lemme 5.25, on a, en posant n′′ = n(F (ṡ), F (ṡ)),

R_{n′} = R_{n′′} ∘ s_{∗}.

Mais, d’après le lemme 5.26, R_{n′′} = R_{n}. Cela termine la preuve du théorème 5.22. □

6. Recollements

6.1. Construction. Dans ce paragraphe 6.1, et dans ce paragraphe seulement, nous supposerons que G = Ĝ. Soient v et w deux suites d’éléments de S̄ telles que v ≤ w. Nous noterons w = (s_{1}, …, s_{r}) et v = (s′_{1}, …, s′_{r}). Posons

X(w; v) = ∐_{v≤y≤w} X(y).

Puisque BsB ∐ B est une sous-variété fermée lisse de G pour tout s ∈ S (c’est même un sous-groupe parabolique de G), X(w; v) est une sous-variété localement fermée lisse de (G/B)^{r}. Nous allons ici construire un revêtement étale (en général non trivial) de la variété X(w; v) en recollant des quotients des variétés Y(ẏ) pour v ≤ y ≤ w.

Soit α ∈ Δ. Alors, Uṡ_{α}U = Uṡ_{α}U_{α}(U ∩ ^{s_{α}}U). Cela montre que

Uṡ_{α}UT_{α^{∨}} ∐ UT_{α^{∨}} = G(U ∩ ^{s_{α}}U) = G_{α}U.

En particulier, c’est une sous-variété lisse localement fermée de G. Pour 1 ≤ i ≤ r, on pose

U_{w,v}^{(i)} = \{ \begin{matrix}G_{α_{w,i}}U & si i ∈ I_{w,v}, \\ Uṡ_{i}U & sinon. \end{matrix}

On définit alors la variété

Y′(w; v) = {(g_{1}U, …, g_{r}U) ∈ (G/U)^{r} | g_{i}^{−1}g_{i+1} ∈ U_{w,v}^{(i)} pour 1 ≤ i ≤ r − 1

et g_{r}^{−1}F (g_{1}) ∈ U_{w,v}^{(r)}}.

C’est une sous-variété localement fermée lisse de (G/U)^{r}, sur laquelle le groupe G^{F} agit diagonalement par multiplication à gauche. De plus, nous avons un morphisme canonique de G^{F} -variétés π′_{w,v} : Y′(w; v) → X(w; v) induit par la projection (G/U)^{r} → (G/B)^{r}.

D’autre part, pour (g_{1}U, …, g_{r}U) ∈ Y′(w; v) et pour (t_{1}, …, t_{r}) ∈ T^{r}, alors (g_{1}t_{1}U, …, g_{r}t_{r}U) ∈ Y′(w; v) si et seulement si (t_{1}, …, t_{r}) ∈ S_{w,v}.

Lemme 6.1. L’application canonique Y′(w; v)/S_{w,v} → X(w; v) induite par π′_{w,v} est un isomorphisme de G^{F} -variétés.

Démonstration. Puisque le morphisme est bijectif et que X(w; v) est lisse, il suffit de vérifier que c’est un isomorphisme au-dessus de l’ouvert X(w). Cela résulte alors de la remarque 5.3 et de la proposition 5.2 appliquée au groupe G′ = G^{r} muni de l’isogénie définie dans la remarque 5.3, avec P = B^{r}, L = H = T^{r}, n = ẇ, et H′ = T_{w,v}^{(1)} × ⋯ T_{w,v}^{(r)}. Il faut noter qu’alors K = S_{w,v}. □

Définissons

(6.2)  Y(w; v) = Y′(w; v)/S_{w,v}^{∘},

et notons π_{w,v} : Y(w, v) → X(w, v) le morphisme de G^{F} -variétés induit par π′_{w,v}. Le lemme 6.1 montre que π_{w,v} est un (S_{w,v}/S_{w,v}^{∘})-torseur.

Considérons maintenant une suite y telle que v ≤ y ≤ w. Alors, l’injection canonique Y(ẏ) ↪ Y′(w; v) est un morphisme de G^{F} -variétés-T^{yF} : ici, Y(w; v) est vue comme une variété-T^{yF} via le morphisme μ_{y} : T^{yF} ↪ S_{w,v} défini dans le §4.4.3. Puisque

μ_{y}(T^{yF}) ∩ S_{w,v}^{∘} = μ_{y}(N_{y}(Y_{w,v})),

(cf proposition 4.7 (4)), cela induit un morphisme de G^{F} -variétés-(T^{yF} /N_{y}(Y_{w,v}))

Y(ẏ)/N_{y}(Y_{w,v}) ⟶ Y(w; v).

Lemme 6.3. L’image du morphisme Y(ẏ) → Y(w; v) est égale à π_{w,v}^{−1}(X(y)). Ce morphisme induit un isomorphisme de G^{F} -variétés-(T^{yF} /N_{y}(Y_{w,v}))

Y(ẏ)/N_{y}(Y_{w,v}) →^{∼} π_{w,v}^{−1}(X(y)).

Démonstration. L’application Y(ẏ) → X(y) est surjective. Donc, d’après le lemme 6.1, l’application

Y(ẏ) ×_{μ_{y}(T^{yF})} S_{w,v} →^{∼} π_{w,v}^{′−1}(X(y))
(γ, τ) ↦ γ.τ

est un isomorphisme de variétés. Le résultat découle alors de ce que

S_{w,v} = μ_{y}(T^{yF}) · S_{w,v}^{∘},

ce qui est démontré dans la proposition 4.7 (2). □

6.2. Le cas général. Revenons maintenant au cas général : nous ne supposons plus que G = Ĝ. Le lecteur aura remarqué que le lemme 6.3 n’est plus nécessairement vrai (nous avons utilisé la proposition 4.7 (4), qui n’est pas vraie en général). C’est pourquoi nous allons devoir passer par le groupe Ĝ pour définir un bon revêtement de la variété X(w; v).

Notons Ŷ′(w; v) (respectivement Ŝ_{w,v}) la variété (respectivement le groupe diagonalisable) définie (respectivement défini) dans le groupe Ĝ comme l’a été Y′(w; v) (respectivement S_{w,v}) dans le paragraphe précédent. Nous posons alors :

(6.4)  Y(w; v) = Ŷ′(w; v)/(Ŝ_{w,v}^{∘} · C^{F}),

le groupe C^{F} agissant diagonalement sur (Ĝ/B̂)^{r} par multiplication. Notons π_{w,v} : Y(w; v) → X(w; v) le morphisme canonique : c’est un (Ŝ_{w,v}/(Ŝ_{w,v}^{∘} · C^{F}))-torseur.

Compte tenu des propositions 5.12 et 5.19 et du lemme 6.3, nous déduisons le résultat suivant.

Théorème 6.5. Le morphisme de G^{F} -variétés

π_{w,v} : Y(w; v) → X(w; v)

est un T^{wF} /N_{w}(Y_{w,v})-torseur étale. De plus, pour v ≤ y ≤ w, l’application canonique Y(ẏ) → Y(w; v) induit un isomorphisme Y(ẏ)/N_{y}(Y_{w,v}) →^{∼} π_{w,v}^{−1}(X(y)) de G^{F} -variétés- (T^{yF} /N_{y}(Y_{w,v})) rendant commutatif le diagramme suivant

(6.6)  [figure: Y(ẏ)/N_{y}(Y_{w,v}); ∼; π_{y}; π_{w,v}^{−1}(X(y)); Y(w; v); π_{w,v}; X(y); X(w; v)]

Remarque 6.7. Dans le diagramme 6.6, le revêtement étale Y(ẏ)/N_{x}(Y_{w,v}) → X(y) est un T^{yF} /N_{y}(Y_{w,v})-torseur, alors que le revêtement étale π_{w,v} : π_{w,v}^{−1}(X(y)) → X(y) est quant à lui un T^{wF} /N_{w}(Y_{w,v})-torseur. Ces descriptions sont compatibles, via l’isomorphisme canonique T^{yF} /N_{y}(Y_{w,v}) →^{∼} T^{wF} /N_{w}(Y_{w,v}) (cf proposition 4.7).

6.3. Recollement de recollements. Soient v ≤ x ≤ y ≤ w. La variété X(y; x) est une sous-variété localement fermée de X(w; v) et π_{w,v}^{−1}(X(y; x)) → X(y; x) est un T^{wF} /N_{w}(Y_{w,v})-torseur étale.

D’autre part, π_{y,x} : Y(y; x) → X(y; x) est un T^{yF} /N_{y}(Y_{y,x})-torseur étale. D’après le corollaire 4.4, on a Y_{y,x} ⊂Y_{w,v}. Par conséquent, T^{yF} /N_{y}(Y_{w,v}) est un quotient de T^{yF} /N_{y}(Y_{y,x}) et le morphisme canonique Y(y; x)/(N_{y}(Y_{w,v})/N_{y}(Y_{y,x})) → X(y; x) est un T^{yF} /N_{y}(Y_{w,v})-torseur étale. Mais d’après la proposition 4.3 (4), on a un isomorphisme canonique

T^{yF} /N_{y}(Y_{w,v}) ≃ T^{wF} /N_{w}(Y_{w,v}).

Par conséquent, nous avons construit deux T^{wF} /N_{w}(Y_{w,v})-torseurs étales au-dessus de X(y; x). Le corollaire suivant montre qu’ils sont en fait isomorphes.

Corollaire 6.8. Le morphisme canonique Y(y; x) → Y(w; v) induit un isomorphisme G^{F} -équivariant de T^{wF} /N_{w}(Y_{w,v})-torseurs étales

Y(y; x)/(N_{y}(Y_{w,v})/N_{y}(Y_{y,x})) →^{∼} π_{w,v}^{−1}(X(y; x))

au-dessus de X(y; x).

Démonstration. Le morphisme canonique provient de l’inclusion Y′(y; x) ↪ Y′(w; v). Il est clair que son image est égale à la variété lisse π_{w,v}^{−1}(X(y; x)). Pour démontrer le corollaire 6.8, il suffit de démontrer que le morphisme

Y(y; x)/(N_{y}(Y_{w,v})/N_{y}(Y_{y,x})) ⟶ π_{w,v}^{−1}(X(y; x))

ainsi défini induit un isomorphisme au-dessus d’un ouvert de X(y; x). On peut par exemple prendre l’ouvert X(y) de X(y; x). Mais ce fait résulte de la commutativité du diagramme du théorème 6.5. □

Nous résumons le corollaire 6.8 dans le diagramme commutatif suivant :

[figure: Y(y; x); π_{y,x}; Y(y; x)/(N_{y}(Y_{w,v})/N_{y}(Y_{y,x})); ∼; π_{w,v}^{−1}(X(y; x)); Y(w; v); π_{w,v}; X(y; x); X(w; v).]

6.4. Remarques. Pour construire le revêtement π_{w,v} : Y(w; v) → X(w; v), il a été nécessaire de passer par un groupe Ĝ dont les coracines sont injectives et tel qu’il existe un tore central F -stable C de Ĝ tel que G ≃ Ĝ/C. Disons dans ce paragraphe qu’une paire (Ĝ, C) vérifiant ces propriétés est sympathique.

Le lecteur pourra vérifier que, dans le cas où G = PGL_{2}(F) et où p ≠ 2, alors on ne peut effectuer directement la construction dans G. En effet, on obtiendrait ainsi un revêtement connexe de Y(s; 1) (ici, s désigne l’unique réflexion simple de W), alors que l’on attend un revêtement non connexe. Il est donc nécessaire de passer par Ĝ = GL_{2}(F).

Soient (Ĝ_{1}, C_{1}) et (Ĝ_{2}, C_{2}) deux paires sympathiques et Ĝ_{0} le produit fibré de Ĝ_{1} et Ĝ_{2} au-dessus de G. On note Ŷ_{i}(w; v) la variété définie dans Ĝ_{i} comme Y(w; v) a été définie dans G lorsque les coracines de G sont injectives. La paire (Ĝ_{0}, C_{1} × C_{2}) est sympathique et Ŷ_{i}(w; v) →^{∼} Ŷ_{0}(w; v)/C_{j}^{F}, où {i, j} = {1, 2}. Cela fournit un isomorphisme Ŷ_{1}(w; v)/C_{1}^{F} ≃ Ŷ_{2}(w; v)/C_{2}^{F}. On en déduit que la variété Y(w; v) ne dépend pas du choix de Ĝ, à isomorphisme unique près.

7. Calculs de monodromie

Nous allons appliquer ici les résultats du paragraphe précédent au calcul des images directes supérieures (dans une compactification lisse adaptée) des faisceaux localement constants sur les variétés X(w) provenant du revêtement étale Y(ẇ) → X(w). Le résultat (le théorème 7.7), généralise [DeLu, lemme 9.13]. Nous obtiendrons comme conséquences des résultats sur les foncteurs de Deligne-Lusztig (cf §8.2).

Dans toute cette section, nous supposons que Λ est un corps.

On fixe dans cette section une suite w d’éléments de S̄.

Soient v, x et y des suites d’éléments de S̄ telles que v ≤ x ≤ y ≤ w. Nous noterons j_{y;x}^{w;v} : X(y; x) ↪ X(w; v) l’injection canonique. Pour simplifier, nous remplacerons, lorsque y = x, l’indice ou l’exposant y; x par y. D’autre part, nous posons

X(\overline{x}) = ∐_{x′≤x} X(x′)
( = X(x; (1, …, 1))  ).

Si v = (1, …, 1), nous remplacerons l’indice ou l’exposant x; v par \overline{x}. Par exemple, j\overline{x} y désigne l’injection canonique X(y) ↪ X(\overline{x}).

La compactification de X(x) ainsi construite possède de bonnes propriétés [DeLu, lemme 9.11] :

Lemme 7.1. La variété X(overlinex) est projective lisse et le complémentaire de X(x) est un diviseur à croisements normaux ⋃_{v} X(\overline{v}) où v décrit l’ensemble des suites telles que v ≤ x et l(x) − l(v) = 1.

Nous noterons

F^{y;x} : D^{b}(ΛT^{yF} /N_{y}(Y_{y,x}) − mod) → D_{Λ}^{b}(X(y; x))

le foncteur F_{T^{yF} /N_{y}(Y_{y;x})}^{Y(y;x)} défini au §3.2. Nous fixons aussi dans cette section un caractère linéaire θ : T^{wF} → Λ^{×}. Si w_{θ} ≤ x ≤ y ≤ w, il résulte de §4.4.2 que θ définit un caractère linéaire θ_{y;x} du groupe T^{yF} /N_{y}(Y_{y,x}) (pour la définition de w_{θ}, voir §4.4.2). Nous noterons F_{θ}^{y;x} le faisceau localement constant F^{y;x}(Λ_{θ_{y;x}}) sur la variété X(y; x). Compte tenu du corollaire 6.8 et de la proposition 4.7 (3), F_{θ}^{y;x} est la restriction de F_{θ}^{w;w_{θ}} à X(y; x). En d’autres termes,

(7.2)  F_{θ}^{y;x} ≃ (j_{y;x}^{w;w_{θ}})^{∗}F_{θ}^{w;w_{θ}}.

Comme expliqué dans l’introduction de cette section, nous allons calculer ici les faisceaux R^{i}(j\overline{w} w)_{∗}F_{θ}^{w}. La proposition suivante combine un résultat fondamental de Deligne et Lusztig [DeLu, lemme 9.13] et une conséquence immédiate de la construction des variétés Y(w; v).

Proposition 7.3. Soient v, v′ et x des suites d’éléments de S̄ telles que w_{θ} ≤ v ≤ x et v′ < v.

(1) Si v est le plus petit élément tel que v′ ≤ v et w_{θ} ≤ v, alors le faisceau F_{θ}^{x} se ramifie le long de chaque composante du diviseur X(x; v′) − X(x; v) et le morphisme canonique (j_{x;v}^{x;v′})_{!}F_{θ}^{x;v} →^{∼} R(j_{x;v}^{x;v′})_{∗}F_{θ}^{x;v} est un isomorphisme.

(2) Si w_{θ} ≤ v′, alors le faisceau F_{θ}^{x} ne se ramifie pas le long du diviseur X(x; v′) − X(x; v).

Démonstration. On a

X(x; v′) − X(x; v) = ⋃_{x′} X(x′; v′)

où v′ ≤ x′ ≤ x, v ≰ x′ et l(x′) = l(x) − 1.

Sous l’hypothèse de (1), on a w_{θ} ≰ x′. D’après [DeLu, lemme 9.13] (la preuve, faite pour des Q̄_{ℓ}-faisceaux reste valable pour des Λ-faisceaux), le faisceau F_{θ}^{x} se ramifie le long du diviseur X(\overline{x′}) de X̄(x), i.e., la restriction de (j\overline{x} x)_{∗}F_{θ}^{x} à X(\overline{x′}) est nulle. On en déduit que F_{θ}^{x;v} se ramifie le long du diviseur X(x′; v′). Par conséquent, le morphisme canonique (j_{x;v}^{x;v′})_{!}F_{θ}^{x;v} → (j_{x;v}^{x;v′})_{∗}F_{θ}^{x;v} est un isomorphisme. L’annulation des R^{i}(j_{x;v}^{x;v′})_{∗}F_{θ}^{x;v} pour i > 0 résulte de [SGA4\frac{1}{2}, exemple 1.19.1 p.180] (on utilise ici le lemme 7.1 et la propriété de F_{θ}^{x;v} d’être modérément ramifié), d’où (1).

(2) découle directement de 7.2. □

Définissons maintenant quelques sous-catégories de D_{Λ}^{b}(X(\overline{w})). Prenons w_{θ} ≤ y. On pose

A_{≤y}^{1}(θ) = \{(j\overline{w} x)_{!}F_{θ}^{x} | w_{θ} ≤ x ≤ y\},
A_{<y}^{1}(θ) = \{(j\overline{w} x)_{!}F_{θ}^{x} | w_{θ} ≤ x < y\},
A_{≤y}^{2}(θ) = \{(j\overline{w} ; x;x′)_{!}F_{θ}^{x;x′} | w_{θ} ≤ x′ ≤ x ≤ y\},
A_{<y}^{2}(θ) = \{(j\overline{w} ; x;x′)_{!}F_{θ}^{x;x′} | w_{θ} ≤ x′ ≤ x < y\},
A_{≤y}^{3}(θ) = \{(j\overline{w} ; x;w_{θ})_{!}F_{θ}^{x;w_{θ}} | w_{θ} ≤ x ≤ y\},
A_{<y}^{3}(θ) = \{(j\overline{w} ; x;w_{θ})_{!}F_{θ}^{x;w_{θ}} | w_{θ} ≤ x < y\},
A_{≤y}^{4}(θ) = \{R(j\overline{w} x)_{∗}F_{θ}^{x} | w_{θ} ≤ x ≤ y\},
A_{<y}^{4}(θ) = \{R(j\overline{w} x)_{∗}F_{θ}^{x} | w_{θ} ≤ x < y\},
A_{≤y}^{5}(θ) = \{R(j\overline{w} ; x;x′)_{∗}F_{θ}^{x;x′} | w_{θ} ≤ x′ ≤ x ≤ y\},
A_{<y}^{5}(θ) = \{R(j\overline{w} ; x;x′)_{∗}F_{θ}^{x;x′} | w_{θ} ≤ x′ ≤ x < y\},
A_{≤y}^{6}(θ) = \{R(j\overline{w} ; x;w_{θ})_{∗}F_{θ}^{x;w_{θ}} | w_{θ} ≤ x ≤ y\},
et A_{<y}^{6}(θ) = \{R(j\overline{w} ; x;w_{θ})_{∗}F_{θ}^{x;w_{θ}} | w_{θ} ≤ x < y\}.

Si (i, ∗) ∈ \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}×\{≤ y, < y\}, nous noterons A_{∗}^{i}(θ) la sous-catégorie de D_{Λ}^{b}(X(\overline{w})) engendrée par A_{∗}^{i}(θ).

Proposition 7.4. Pour ∗ ∈ {≤ y, < y}, on a

A_{∗}^{1}(θ) = A_{∗}^{2}(θ) = A_{∗}^{3}(θ) = A_{∗}^{4}(θ) = A_{∗}^{5}(θ) = A_{∗}^{6}(θ).

Démonstration. Notons pour commencer que le morphisme canonique

(j\overline{w} ; x;w_{θ})_{!}F_{θ}^{x;w_{θ}} →^{∼} R(j\overline{w} ; x;w_{θ})_{∗}F_{θ}^{x;w_{θ}}

est un isomorphisme (proposition 7.3 (1)), donc A_{∗}^{3}(θ) = A_{∗}^{6}(θ).

Notons que A_{∗}^{1}(θ) ⊆ A_{∗}^{2}(θ) et A_{∗}^{3}(θ) ⊆ A_{∗}^{2}(θ).

Prenons w_{θ} ≤ v′ ≤ v ≤ x ≤ w avec l(v) = l(v′)+1. Soit x′ ≤ x tel que v′ ≤ x′, v ≰ x′ et l(x′) = l(x) − 1. On a X(x; v′) − X(x; v) = X(x′; v′), d’où on déduit une suite exacte

(1)  0 → (j\overline{w} x;v)_{!}F_{θ}^{x;v} → (j\overline{w} ; x;v′)_{!}F_{θ}^{x;v′} → (j\overline{w} ; x′;v′)_{!}F_{θ}^{x′;v′} → 0.

Par conséquent, (j\overline{w} ; x;v′)_{!}F_{θ}^{x;v′} est dans la sous-catégorie engendrée par les (j\overline{w} ; x′′;v′′)_{!}F_{θ}^{x′′;v′′}, où l(x′′) − l(v′′) < l(x) − l(v′) et w_{θ} ≤ v′′ ≤ x′′ ≤ x. Par récurrence, on en déduit que A_{∗}^{2}(θ) ⊆ A_{∗}^{1}(θ).

On déduit aussi de la suite exacte (1) que (j\overline{w} x;v)_{!}F_{θ}^{x;v} est dans la sous-catégorie engendrée par les (j\overline{w} ; x′′;v′′)_{!}F_{θ}^{x′′;v′′}, où v′′ < v et x′′ ≤ x. Par récurrence, on en déduit que A_{∗}^{2}(θ) ⊆ A_{∗}^{3}(θ).

On a donc démontré que A_{∗}^{1}(θ) = A_{∗}^{2}(θ) = A_{∗}^{3}(θ).

Le théorème de pureté cohomologique [Mi, chapitre VI, théorème 5.1] fournit un triangle distingué

F_{θ}^{x;v′} → R(j_{x;v}^{x;v′})_{∗}F_{θ}^{x;v} → (j_{x′;v′}^{x;v′})_{!}F_{θ}^{x′;v′}[−1] ⇝

d’où

R(j\overline{w} ; x;v′)_{∗}F_{θ}^{x;v′} → R(j\overline{w} x;v)_{∗}F_{θ}^{x;v} → R(j\overline{w} ; x′;v′)_{∗}F_{θ}^{x′;v′}[−1] ⇝ .

On prouve alors, comme précédemment, que A_{∗}^{4}(θ) = A_{∗}^{5}(θ) = A_{∗}^{6}(θ). □

Remarque 7.5. Notons que la dualité de Verdier échange les catégories A_{∗}^{i}(θ) et A_{∗}^{i}(θ^{−1}).

Corollaire 7.6. Le cône du morphisme canonique de complexes (j\overline{w} w)_{!}F_{θ}^{w} ⟶ R(j\overline{w} w)_{∗}F_{θ}^{w} est dans la sous-catégorie A_{<w}^{i}(θ) pour tout i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Démonstration. D’après la proposition 7.4, ce cône appartient à la catégorie A_{≤w}^{1}(θ). D’autre part, son support est contenu dans le complémentaire de X(w) dans X(\overline{w}), d’où le résultat. □

Théorème 7.7. Soit i un entier naturel. Alors

(j\overline{w} v)^{∗}(R^{i}(j\overline{w} w)_{∗}F_{θ}^{w}) ≃ \{ \begin{matrix}(F_{θ}^{v})^{⊕\binom{l(w)−l(v)}{i}} & si v ∈ I(w, θ), \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Démonstration. Factorisons l’immersion ouverte j\overline{w} w de la manière suivante

\xymatrix{X(w) \ar[r]^{j_{1}} & X(w; w_{θ}) \ar[r]^{j_{2}} & \overline{X}(w).}

D’après la proposition 7.4, le support du complexe R(j\overline{w} w)_{∗}F_{θ}^{w} est contenu dans X(w; w_{θ}), ce qui montre que

(1)  R(j\overline{w} w)_{∗}F_{θ}^{w} ≃ (j_{2})_{!} R(j_{1})_{∗}F_{θ}^{w}.

Mais, F_{θ}^{w} →^{∼} j_{1}^{∗}F_{θ}^{w;w_{θ}}, par conséquent, d’après le lemme 12.2,

(2)  R(j_{1})_{∗}F_{θ}^{w} →^{∼} (R(j_{1})_{∗}Λ_{X(w)}) ⊗_{Λ} F_{θ}^{w;w_{θ}}.

Le théorème 7.7 découle alors immédiatement de (1) et (2), en appliquant les lemmes 7.1 et 12.7. □

8. Induction de Deligne-Lusztig et séries rationnelles

Nous allons appliquer les résultats de la section précédente aux foncteurs de Lusztig. Pour cela, nous ferons l’hypothèse suivante.

8.1. Orthogonalité. Soient (w, θ) et (w′, θ′) deux éléments de ∇(T, W, F).

Le résultat suivant généralise [DeLu, théorème 6.2] qui considère le cas Λ = K et la conjugaison géométrique.

Théorème 8.1. Si (w, θ) et (w′, θ′) sont dans deux séries rationnelles différentes, alors

(RẇΛT^{wF} e_{θ^{−1}})^{op} ⊗_{ΛG^{F}}^{L} Rẇ′ΛT^{w′F} e_{θ′} = 0.

Démonstration. Par la formule des coefficients universels, il suffit de démontrer le théorème lorsque Λ est un corps, ce que nous supposerons dans la suite. Commençons par démontrer la proposition lorsque le centre de G est connexe (lorsque Λ = K, c’est [DeLu, théorème 6.2]). Dans ce cas, (w, θ) et (w′, θ′) ne sont pas géométriquement conjugués (cf remarque 4.2).

D’après le lemme 3.2 et la proposition 5.7, on a un isomorphisme dans D^{b}(Λ(T^{wF} × T^{w′F}))

RΓ_{c}((Y(ẇ) × Y′(ẇ′))/Δ(G^{F})) →^{∼} RΓ_{c}(Y(ẇ))^{op} ⊗_{ΛG^{F}}^{L} RΓ_{c}(Y(ẇ′)).

La preuve est alors similaire à celle de [DeLu, théorème 6.2] : on se ramène à prouver l’assertion suivante.

Soit X une variété munie d’une action d’un groupe algébrique H contenant T^{wF} × T^{w′F}. On suppose le caractère θ^{−1} × θ′ non trivial sur Q = (T^{wF} × T^{w′F}) ∩ H^{∘}. Alors, (e_{θ^{−1}} ⊗_{Λ} e_{θ′})RΓ_{c}(X) = 0.

Démontrons donc cette assertion. D’après [DeLu, proposition 6.4], le groupe connexe H^{∘} agit trivialement sur H_{c}^{∗}(X). Puisque Res_{Q}^{T^{wF} ×T^{w′F}} (θ^{−1} × θ′) n’est pas dans le bloc principal de ΛQ, on a

R Hom_{ΛQ}^{•}(ΛT^{wF} e_{θ^{−1}} ⊗_{Λ} ΛT^{w′F} e_{θ′}, RΓ_{c}(X)) = 0,

donc

R Hom_{Λ(T^{wF} ×T^{w′F})}^{•}(Ind_{Q}^{T^{wF} ×T^{w′F}} (ΛT^{wF} e_{θ^{−1}} ⊗_{Λ} ΛT^{w′F} e_{θ′}) , RΓ_{c}(X)) = 0

et a fortiori

R Hom_{Λ(T^{wF} ×T^{w′F})}^{•}(ΛT^{wF} e_{θ^{−1}} ⊗_{Λ} ΛT^{w′F} e_{θ′}, RΓ_{c}(X)) = 0.

Revenons maintenant à G quelconque. Soit A (respectivement A′) l’ensemble des caractères linéaires de T̃^{wF} (respectivement T̃^{w′F}) étendant θ (respectivement θ′).

Le complexe

C = (Rẇ(ΛT^{wF} e_{θ^{−1}}))^{op} ⊗_{ΛG^{F}}^{L} Rẇ′(ΛT^{w′F} e_{θ′})

est un facteur direct du complexe

C̃ = (IndG̃^{F} ; G^{F} Rẇ(ΛT^{wF} e_{θ^{−1}}))^{op} ⊗_{ΛG̃^{F}}^{L} (IndG̃^{F} ; G^{F} Rẇ′(ΛT^{w′F} e_{θ′})).

De plus, d’après (5.14), on a

IndG̃^{F} ; G^{F} Rẇ(ΛT^{wF} e_{θ^{−1}}) ≃ R̃ẇ(ΛT̃^{wF} e_{θ^{−1}})
et  IndG̃^{F} ; G^{F} Rẇ′(ΛT^{w′F} e_{θ′}) ≃ R̃ẇ(ΛT̃^{w′F} e_{θ′}).

Mais

ΛT̃^{wF} e_{θ^{−1}} = ⨁_{θ̃∈A} ΛT̃^{wF} eθ̃^{−1}

et  ΛT̃^{w′F} e_{θ′} = ⨁_{θ̃′∈A′} ΛT̃^{w′F} eθ̃′.

Par conséquent,

C̃ ≃ ⨁_{\begin{matrix}θ̃∈A \\ θ̃′∈A′ \end{matrix}}(R̃ẇ(ΛT̃^{wF} eθ̃^{−1}))^{op} ⊗_{ΛG̃^{F}}^{L} R̃ẇ′(ΛT̃^{w′F} eθ̃′).

Puisque (w, θ) et (w′, θ′) ne sont pas dans la même série rationnelle, les paires (w, θ̃) et (w′, θ̃′) ne sont pas géométriquement conjuguées dans G̃ pour tous θ̃ ∈ A et θ̃′ ∈ A′. On a alors C̃ = 0 d’après la première partie de la preuve, ce qui implique que C = 0. □

Corollaire 8.2. Si (w, θ) et (w′, θ′) appartiennent à deux séries rationnelles différentes de ∇(T, W, F), alors

(RẇΛ_{θ^{−1}})^{op} ⊗_{ΛG^{F}}^{L} Rẇ′Λ_{θ′} = 0.

8.2. Profondeur. Dans toute cette section §8.2, nous supposerons que Λ est un corps. En appliquant le foncteur RΓ(X(\overline{w}), −) à l’énoncé du corollaire 7.6, on obtient :

Théorème 8.3. Soit w ∈ Σ(S̄) et θ un caractère linéaire de T^{wF}. Alors, le cône du morphisme canonique RẇΛ_{θ} → SẇΛ_{θ} est dans la sous-catégorie triangulée de D^{b}(ΛG^{F} − mod) engendrée par les complexes RẋΛ_{θ_{x}} où x ∈ I(w, θ) et x < w.

Corollaire 8.4. Soit (w, θ) ∈ ∇(T, W, F). Alors, le cône du morphisme canonique RẇΛ_{θ} → SẇΛ_{θ} est dans la sous-catégorie triangulée de D^{b}(ΛG^{F} − mod) engendrée par les complexes RẋΛ_{θ′} où (x, θ′) ≡_{W} (w, θ) et x < w.

Démonstration. La proposition 5.5 permet de se ramener au cas où w ∈ Σ(S̄). Le corollaire découle alors du théorème 8.3 et du corollaire 4.5. □

Corollaire 8.5. Si (w, θ) et (w′, θ′) appartiennent à deux séries rationnelles différentes de ∇(T, W, F), alors

R Hom_{ΛG^{F}}^{•} (SẇΛT^{wF} e_{θ}, Sẇ′ΛT^{w′F} e_{θ′}) = 0.

Démonstration. On a un isomorphisme

R Hom_{ΛG^{F}}^{•} (SẇΛT^{wF} e_{θ}, Sẇ′ΛT^{w′F} e_{θ′}) ≃ (SẇΛT^{wF} e_{θ})^{∗} ⊗_{ΛG^{F}}^{L} Sẇ′ΛT^{w′F} e_{θ′}.

D’après (5.11), on a

(SẇΛT^{wF} e_{θ})^{∗} ≃ (RẇΛT^{wF} e_{θ^{−1}})^{op}[2l(w)].

Le corollaire 8.5 résulte alors du théorème 8.1 et du fait que Sẇ′ΛT^{w′F} e_{θ′} est dans la catégorie engendrée par les RẋΛT^{xF} e_{θ_{1}}, où (x, θ_{1}) appartient à la même série rationnelle que (w′, θ′) (corollaire 8.4). □

On a un accouplement parfait

<, > : K(ΛG^{F} − mod) × K(ΛG^{F} − proj) ⟶  Z
([M], [P])  ⟼ dim(Hom_{ΛG^{F}} (P, M)).

D’après [DeLu, proposition 7.5], on a

(8.6)  |W | · [ΛG^{F}] = ∑_{w∈W} \frac{|G^{F} |_{p′}}{|T^{wF} |} [R_{(ẇ)}ΛT^{wF}].

En appliquant (5.11), on obtient

(8.7)  |W | · [ΛG^{F}] = ∑_{w∈W} \frac{|G^{F} |_{p′}}{|T^{wF} |} [S_{(ẇ)}ΛT^{wF}].

Par conséquent, si M est un ΛG^{F} -module simple, il existe ((ẇ), θ) ∈ ∇(T, W, F) tel que

< [M], [S_{(ẇ)}ΛT^{wF} e_{θ}] >≠ 0.

On a donc :

Lemme 8.8. Si M est un ΛG^{F} -module simple, il existe (w, θ) ∈ ∇(T, W, F) tel que

R Hom_{ΛG^{F}}^{•} (SẇΛT^{wF} e_{θ}, M) ≠ 0.

Remarque 8.9. Il serait souhaitable de trouver une preuve plus directe de ce lemme.

Proposition 8.10. Si M est un ΛG^{F} -module simple et si w est une suite d’éléments de W avec l(w) minimal telle que

R Hom_{ΛG^{F}}^{•} (SẇΛT^{wF} , M) ≠ 0,

alors la cohomologie du complexe R Hom_{ΛG^{F}}^{•} (SẇΛT^{wF} , M) est concentrée en degré −l(w).

Démonstration. La proposition 5.5 permet de se ramener au cas où w ∈ Σ(S̄). D’après (5.11), on a

R Hom_{ΛG^{F}} (SẇΛT^{wF} , M) ≃ (RẇΛT^{wF})^{op} ⊗_{ΛG^{F}}^{L} M[2l(w)].

Cela montre que, si v < w, alors

(Rv̇ΛT^{vF})^{op} ⊗_{ΛG^{F}}^{L} M = 0.

Donc, pour tout caractère linéaire θ : T^{vF} → Λ^{×}, on a

(Rv̇Λ_{θ})^{op} ⊗_{ΛG^{F}}^{L} M = 0.

Mais, d’après le théorème 8.3, le cône du morphisme canonique RẇΛT^{wF} → SẇΛT^{wF} est dans la sous-catégorie engendrée par les Rv̇Λ_{θ} où v < w et θ est un caractère linéaire de T^{vF}. Par suite, le morphisme

(RẇΛT^{wF})^{op} ⊗_{ΛG^{F}}^{L} M ⟶ (SẇΛT^{wF})^{op} ⊗_{ΛG^{F}}^{L} M

est un isomorphisme. La preuve de la proposition 8.10 est alors complétée par le lemme 12.6 et la proposition 5.7. □

La proposition suivante fournit plusieurs caractérisations d’un élément w de longueur minimale :

Proposition 8.11. Soit M un ΛG^{F} -module simple et soit (w, θ) ∈ ∇(T, W, F). Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(a) (w, θ) est de longueur minimale tel que < [M], [RẇΛT^{wF} e_{θ}] >≠ 0 ;

(b) (w, θ) est de longueur minimale tel que R Hom_{ΛG^{F}}^{•} (RẇΛT^{wF} e_{θ}, M) ≠ 0 ;

(c) (w, θ) est de longueur minimale tel que R Hom_{ΛG^{F}}^{•} (M, RẇΛT^{wF} e_{θ}) ≠ 0 ;

(d) (w, θ) est de longueur minimale tel que R Hom_{ΛG^{F}}^{•} (SẇΛT^{wF} e_{θ}, M) ≠ 0 ;

(e) (w, θ) est de longueur minimale tel que R Hom_{ΛG^{F}}^{•} (M, SẇΛT^{wF} e_{θ}) ≠ 0 ;

(f) Un énoncé parmi (a), (b), (c), (d) ou (e) en remplaçant e_{θ} par e_{θ^{−1}} et M par M^{∗}. De plus, si ces propriétés sont satisfaites, alors σ(w) est dans σ(W) et son image dans W est de longueur minimale dans sa classe de F -conjugaison.

Démonstration. D’après le corollaire 8.4, le cône du morphisme canonique RẇΛT^{wF} e_{θ} → SẇΛT^{wF} e_{θ} est dans la sous-catégorie engendrée par les RẇΛT^{w′F} avec w′ < w. Ceci démontre l’équivalence de (b) et (d) et de (c) et (e).

Soit C un complexe borné de ΛG^{F} -modules projectifs, sans facteur direct non nul homotope à 0. Alors, R Hom^{•}(C, M) ≠ 0 si et seulement si R Hom^{•}(M, C) ≠ 0, si et seulement si une enveloppe projective de M est facteur direct d’une des composantes de C. Cette remarque démontre l’équivalence entre (b) et (c) et entre (d) et (e).

L’équivalence entre (a) et (d) résulte de la proposition 8.10. L’équivalence avec les énoncés de (f) résulte de (5.11).

La dernière assertion découle du théorème 5.22. □

Remarque 8.12. Il est sans doute vrai que l’image de w dans W est dans une F -classe de conjugaison de W ne dépendant que de M (c’est un résultat connu lorsque Λ = K).

9. Engendrement de ΛG^{F} − parf

9.1. Engendrement de catégories de complexes parfaits. Soit A une algèbre symétrique sur un anneau local complet O, d’idéal maximal 𝔪 et de corps résiduel Ō.

Soit E un ensemble fini de complexes parfaits de A, muni d’une relation de préordre partiel.

Lemme 9.1. Supposons que pour tout A-module simple M, il existe C ∈ E tel que R Hom_{D^{b}(A⊗_{O}Ō)}^{•}(C ⊗_{O}^{L} Ō, M) ≠ 0 et que si C est minimal avec cette propriété, alors la cohomologie du complexe R Hom_{D^{b}(A⊗_{O}Ō)}^{•}(C ⊗_{O}^{L} Ō, M) est concentrée en degré 0.

Alors, A − parf est engendrée par E.

Démonstration. Nous noterons C̄ = C ⊗_{O}^{L} Ō pour C un complexe de A-modules. Soit C ∈ E. On note S(≤ C) (respectivement S(< C)) l’ensemble des classes d’isomorphisme de A-modules simples M tels qu’il existe C′ ∈ E tel que C′ ≤ C (respectivement C′ < C) et R Hom^{•}(C̄′, M) ≠ 0.

Quitte à remplacer les éléments de E par des complexes quasi-isomorphes, on peut supposer, et on le fera, que ce sont des complexes bornés de modules projectifs sans facteurs directs non nuls homotopes à 0. Alors, pour C ∈ E et pour M simple, on a R Hom^{•}(C̄, M[i]) ≠ 0 si et seulement si une enveloppe projective P_{M} de M est facteur direct de C^{−i}. Lorsque ces conditions équivalentes sont vérifiées, on a M ∈ S(≤ C). Lorsqu’en plus i ≠ 0, alors M ∈ S(< C).

Soit ⟨E⟩ la sous-catégorie de K^{b}(A − proj) engendrée par E.

Considérons l’assertion suivante :

(⋆_{C}) Pour M ∈ S(≤ C), alors P_{M} est dans ⟨E⟩.

Notons que le lemme 9.1 découle immédiatement de (⋆_{C}) pour tout C. Nous allons montrer (⋆_{C}) par récurrence sur C.

Soit C un complexe minimal. Alors, R Hom^{•}(C̄, M[i]) = 0 pour tout module simple M et tout entier non nul i. Par conséquent, C n’a qu’un terme non nul, C^{0}, qui est un A-module projectif de type fini. Pour M un A-module simple, alors Hom(C^{0}, M) ≠ 0 si et seulement si P_{M} est facteur direct de C^{0}. On en déduit immédiatement (⋆_{C}).

Prenons maintenant C ∈ E tel que (⋆_{C′}) est vraie pour tout C′ < C. Les facteurs directs indécomposables de C^{i} sont de la forme P_{M} avec M ∈ S(< C) pour i ≠ 0, donc il sont dans ⟨E⟩. On en déduit donc que C^{0} est dans ⟨E⟩. Par conséquent, P_{M} est dans ⟨E⟩ pour M ∈ S(C), ce qui montre (⋆_{C}). □

On se donne maintenant une relation d’équivalence ∼ sur E.

Proposition 9.2. On garde les hypothèses du lemme 9.1 et on suppose en plus que R Hom^{•}(C ⊗_{O}^{L} Ō, C′ ⊗_{O}^{L} Ō) = 0 pour tous C, C′ ∈ E avec C ≁ C′.

Soit ⟨X⟩ la sous-catégorie de A − parf engendrée par X ∈ E/ ∼. Alors, on a une décomposition

A − parf = ⨁_{X∈E/∼}⟨X⟩.

Par conséquent, pour X ∈ E/ ∼, il existe un idempotent central e_{X} de A tel que ⟨X⟩ = Ae_{X} − parf et on a une décomposition de l’unité en somme d’idempotents orthogonaux

1 =\begin{matrix}∑ & ⊥ \\ X∈E/∼ \end{matrix} e_{X}.

Démonstration. Pour C et C′ deux complexes parfaits de A-modules, le morphisme canonique R Hom^{•}(C, C′) ⊗_{O}^{L} Ō →^{∼} R Hom^{•}(C ⊗_{O}^{L} Ō, C′ ⊗_{O}^{L} Ō) est un isomorphisme. Par conséquent, la nullité de R Hom^{•}(C, C′) équivaut à celle de R Hom^{•}(C ⊗_{O}^{L} Ō, C′ ⊗_{O}^{L} Ō).

D’après le lemme 9.1, la réunion des ⟨X⟩, où X ∈ E/ ∼, engendre A−parf. Puisque ces sous-catégories sont deux à deux orthogonales, la catégorie qu’elles engendrent est leur somme directe. □

9.2. Décomposition en séries. Nous allons démontrer que la catégorie ΛG^{F} − parf est engendrée par les complexes (RẇΛT^{wF})_{w∈Σ(W)} et obtenir une décomposition de cette catégorie paramétrée par les séries rationnelles. Pour cela, il nous suffira d’appliquer la proposition 9.2, la vérification des hypothèses résultant du travail effectué dans le §8.

Si X est une série rationnelle de ∇(T, W, F), nous noterons X_{min} l’ensemble des couples (w, θ) où w ∈ W et θ est un caractère linéaire de T^{wF} vérifiant la propriété suivante : il existe un ΛG^{F} -module simple M tel que ((ẇ), θ) est un élément de longueur minimale de ∇(T, W, F) vérifiant

R Hom_{ΛG^{F}}^{•} (SẇΛT^{wF} e_{θ}, M) ≠ 0.

Il résulte de la proposition 8.11 que si (w, θ) ∈ X_{min}, alors w est de longueur minimale dans sa classe de F -conjugaison.

Théorème A. Soit X une série rationnelle dans ∇(T, W, F). Alors, il existe un idempotent central e_{X} = e_{X}^{G^{F}} de ΛG^{F} tel que chacune des familles suivantes engendre la catégorie ΛG^{F} e_{X} − parf :

– {RẇΛT^{wF} e_{θ}}_{(w,θ)∈X}

– {SẇΛT^{wF} e_{θ}}_{(w,θ)∈X}

– {R_{(ẇ)}ΛT^{wF} e_{θ}}_{(w,θ)∈X_{min}}

– {S_{(ẇ)}ΛT^{wF} e_{θ}}_{(w,θ)∈X_{min}}

On a une décomposition de 1 en somme d’idempotents centraux deux à deux orthogonaux

1 =\begin{matrix}∑ & ⊥ \\ X ∈∇(T,W,F)/ ≡_{W} \end{matrix} e_{X} .

Démonstration. Soit E l’ensemble des complexes S_{(ẇ)}ΛT^{wF} e_{θ}[l(w)], où (w, θ) ∈ X_{min} et X décrit les séries rationnelles. On pose (w, θ) ≤ (w′, θ′) si w ≤ w′.

D’après le lemme 8.8 et la proposition 8.11, pour tout ΛG^{F} -module simple M, il existe C ∈ E tel que R Hom^{•}(C, M) ≠ 0. D’après la proposition 8.10, si C est de longueur minimale avec cette propriété, alors R Hom^{•}(C, M) est concentré en degré 0.

On introduit la relation d’équivalence sur E donnée par (w, θ) ∼ (w′, θ′) si ((w), θ) et ((w′), θ′) sont rationnellement conjugués. Alors, R Hom^{•}(C, C′) = 0 si C ≁ C′ d’après le corollaire 8.5.

Il résulte alors de la proposition 9.2 que {S_{(ẇ)}ΛT^{wF} e_{θ}}_{(w,θ)∈X_{min}} engendre ΛG^{F} e_{X} −parf. On montre de même que {SẇΛT^{wF} e_{θ}}_{(w,θ)∈X} engendre ΛG^{F} e_{X} − parf.

L’isomorphisme (5.11) (dualité de Poincaré) montre les assertions concernant les complexes R_{(ẇ)}ΛT^{wF} e_{θ} et R_{w}ΛT^{wF} e_{θ}. □

Remarque 9.3. Considérons tout d’abord le cas où Λ = K. La catégorie KG^{F} − mod étant semi-simple, la catégorie KG^{F} − parf est équivalente à la catégorie des KG^{F} - modules gradués.

Pour X ∈ ∇_{K}(T, W, F)/ ≡_{W} , on note E(G^{F} , X) l’ensemble des caractères irréductibles χ de G^{F} tels qu’il existe (w, θ) ∈ X avec < χ,_{K}Rẇθ >≠ 0. Il résulte du théorème A que

Irr_{K} G^{F} = ∐_{X ∈∇_{K}(T,W,F)/ ≡_{W}} E(G^{F} , X)

et que

e_{X} = ∑_{χ∈E(G^{F} ,X)} e_{χ},

où e_{χ} désigne l’unique idempotent primitif central de KG^{F} tel que χ(e_{χ}) ≠ 0. On retrouve ainsi la décomposition de [DeLu].

Le morphisme canonique R → k induit une bijection ∇_{R}(T, W, F) →^{∼} ∇_{k}(T, W, F), X ↦ \overline{X}, compatible avec les séries rationnelles. Pour X ∈ ∇_{R}(T, W, F)/ ≡_{W} , l’image de e_{X} ∈ RG^{F} dans kG^{F} est e\overline{X}.

Par ailleurs, nous avons une application surjective ∇_{K}(T, W, F) → ∇_{k}(T, W, F) qui est obtenue par passage au quotient R → k (en effet, un caractère linéaire T^{wF} → K^{×} est à valeurs dans R^{×}). Elle induit une application surjective ∇_{K}(T, W, F) → ∇_{R}(T, W, F) en composant avec la bijection décrite précédemment, d’où finalement une application surjective entre séries rationnelles ∇_{K}(T, W, F)/ ≡_{W} → ∇_{R}(T, W, F)/ ≡_{W} , X ↦ X_{ℓ′}. Cette notation rappelle que cette application envoie un couple(w, θ) sur le couple (w, θ_{ℓ′}), où θ_{ℓ′} désigne la ℓ′-partie du caractère linéaire θ. Fixons une série rationnelle X_{0} ∈ ∇_{R}(T, W, F)/ ≡_{W} et posons

E_{ℓ}(G^{F} , X_{0}) = ∐_{X_{ℓ′}=X_{0}} E(G^{F} , X).

On a alors

e_{X_{0}} = ∑_{X_{ℓ′}=X_{0}} e_{X} = ∑_{χ∈E_{ℓ}(G^{F} ,X_{0})} e_{χ} ∈ RG^{F} .

Nous retrouvons la compatibilité des séries avec les blocs établie par Broué et Michel [BrMi, théorème 2.2].

10. Foncteurs de Lusztig

10.1. Définition. Fixons une partie I de Δ. Nous notons W_{I} le sous-groupe de W engendré par la famille (s_{α})_{α∈I}, P_{I} le sous-groupe parabolique BW_{I}B de G, V_{I} le radical unipotent de P_{I} et L_{I} le complément de Levi de V_{I} dans P_{I} contenant T. Le groupe de Weyl de L_{I} relatif à T est alors égal à W_{I}. Nous notons aussi B_{I} le sous-groupe de Borel de L_{I} égal à B ∩ L_{I} et U_{I} son radical unipotent. Avec ces notations, on a ^{F}?_{I} = ?_{ϕ(I)} si ? désigne l’une des lettres B, L, P, U, V ou W.

Fixons maintenant un élément v de W tel que vϕ(I) = I. Alors, v̇F normalise L_{I} et on pose

Y_{I,v} = {gV_{I} ∈ G/V_{I} | g^{−1} ^{F}g ∈ V_{I} v̇ ^{F}V_{I}}.

Le groupe fini G^{F} agit par multiplication à gauche sur la variété Y_{I,v}. De même, le groupe L_{I}^{v̇F} agit par multiplication à droite. Munie de ces deux actions, Y_{I,v} est une G^{F} -variété-L_{I}^{v̇F} de dimension l(v). Elle est régulière en tant que variété-L_{I}^{v̇F}. On définit alors un foncteur entre catégories dérivées

R_{I,v} : D^{b}(ΛL_{I}^{v̇F} − mod) ⟶ D^{b}(ΛG^{F} − mod)
C  ⟼ RΓ_{c}(Y_{I,v}) ⊗_{ΛL_{I}^{v̇F}}^{L} C.

Avec les notations du §3.2, on a R_{I,v} = R_{L_{I}^{v̇F}}^{G^{F}} (Y_{I,v}). Posons maintenant

X_{I,v} = {gP_{I} ∈ G/P_{I} | g^{−1} ^{F}g ∈ P_{I} v̇ ^{F}P_{I}}.

Alors, d’après la proposition 5.2 appliquée à P = P_{I}, H = L = L_{I}, n = v̇ et H′ = 1, l’application naturelle

\begin{aligned}π_{I,v} : & Y_{I,v} & ⟶ & X_{I,v} \\ & gV_{I} & ⟼ & gP_{I} \end{aligned}

induit un isomorphisme de G^{F} -variétés

Y_{I,v}/L_{I}^{v̇F} →^{∼} X_{I,v}.

Pour finir, nous posons

\overline{X}_{I,v} = \{gP_{I} ∈ G/P_{I} | g^{−1} ^{F}g ∈ \overline{P_{I} v̇ ^{F}P_{I}}\}

et nous notons j_{I,v} l’immersion ouverte canonique

j_{I,v} : X_{I,v} ⟶ \overline{X}_{I,v}.

C’est un morphisme de G^{F} -variétés, où G^{F} agit sur \overline{X}_{I,v} par multiplication à gauche. De plus, \overline{X}_{I,v} est une variété projective. Nous noterons F_{I,v} : D^{b}(ΛL_{I}^{v̇F} − mod) → D_{Λ}^{b}(X_{I,v}) le foncteur noté F_{L_{I}^{v̇F}}^{Y_{I,v}} dans le §3.2.

10.2. Transitivité et séries rationnelles. On fixe une décomposition réduite v = s_{1} ⋯ s_{r} (s_{i} ∈ S et r = l(v)) et on pose v = (s_{1}, …, s_{r}).

Soit w = (w_{1}, …, w_{n}) une suite finie d’éléments de W_{I}. On a des isomorphisme de G^{F} -variétés-T^{wvF} (cf [Lu1, lemme 3] et (5.6))

(10.1) Y_{I,v} ×_{L_{I}^{v̇F}} Y^{L_{I},v̇F} (ẇ) →^{∼} Y^{G,F} (ẇ_{1}, …, ẇ_{n−1}, ẇ_{n}v̇) →^{∼}  Y^{G,F} (ẇv̇)
(gV_{I}), (h_{1}U_{I}, …, h_{n}U_{I}) ↦  (gh_{1}U, …, gh_{n}U)
(g_{1}U, …, g_{n}U) ← (g_{1}U, …, g_{n+r}U).

Par conséquent, d’après (3.4), on a

(10.2)  R_{I,v} ∘ RL_{I},v̇F ; ẇ ≃ R_{ẇv̇}^{G,F} .

Si (w, θ) ∈ ∇(T, W_{I}, v̇F), alors (wv, θ) ∈ ∇(T, W, F). De plus, si (w, θ) ≡_{W_{I},vF} (w′, θ′), alors (wv, θ) ≡_{W,F} (w′v, θ′). Par suite, si X est une série rationnelle dans ∇(T, W_{I}, vF), il existe une unique série rationnelle X^{G} contenant (wv, θ) pour tout (w, θ) ∈ X. Le théorème suivant montre que les foncteurs de Lusztig préservent les séries rationnelles.

Théorème 10.3. Soit X une série rationnelle dans ∇(T, W_{I}, v̇F) et soit M dans D^{b}(ΛL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}} − mod). Alors, R_{I,v}(M) est dans D^{b}(ΛG^{F} e_{X^{G}}^{G^{F}} − mod).

Démonstration. Par la formule des coefficients universels, on peut supposer, et nous le ferons, que Λ est un corps.

Il suffit en outre de considérer le cas où M = ΛL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}}. Mais, d’après le théorème A, ΛL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}} est dans la sous-catégorie engendrée par les complexes RL_{I},v̇F ; ẇ ΛT^{wvF} e_{θ} où (w, θ) ∈ X. Cela montre qu’il suffit de considérer le cas où M = RL_{I},v̇F ; ẇ ΛT^{wvF} e_{θ} : alors, R_{I,v}(M) ≃ R_{ẇv̇}^{G,F} ΛT^{wvF} e_{θ} d’après (10.2). La conclusion provient alors du théorème A. □

10.3. Equivalence de Morita. Commençons par une définition. Le couple (w, θ) ∈ ∇(T, W_{I}, v̇F) est dit (G, I)-régulier (respectivement (G, I)-super régulier) s’il vérifie la propriété suivante :

(R) Si α ∈ Φ est telle que θ ∘ N_{wv}(α^{∨}) = 1, alors α ∈ Φ_{I}.

(respectivement

(SR) Si x ∈ W est tel que ^{x}(θ ∘ N_{wv}) = θ ∘ N_{wv}, alors x ∈ W_{I}.)

Lemme 10.4. Un couple (G, I)-super régulier est (G, I)-régulier.

Démonstration. Soit (w, θ) un couple (G, I)-super régulier et α ∈ Φ tel que θ∘N_{wv}(α^{∨}) = 1. Pour tout λ ∈ Y (T), on a (s_{α} − 1)(λ) ∈ Zα^{∨}, donc θ ∘ N_{wv}((s_{α} − 1)(λ)) = 1, ce qui montre que ^{s_{α}}(θ ∘ N_{wv}) = θ ∘ N_{wv}. D’après (SR), on a alors s_{α} ∈ W_{I}, donc α ∈ Φ_{I}. □

Remarque 10.5. Soient (w, θ) et (w′, θ′) deux couples de ∇(T, W_{I}, v̇F) qui sont géométriquement conjugués. Alors, le couple (w, θ) est (G, I)-régulier (respectivement (G, I)- super régulier) si et seulement si le couple (w′, θ′) l’est. En effet, par définition de la conjugaison géométrique, θ ∘ N_{wv} et θ′ ∘ N_{w′v} sont conjugués sous W_{I}.

Une série rationnelle X dans ∇(T, W_{I}, v̇F) est dite (G, I)-régulière (respectivement (G, I)-super régulière) si un de ses représentants l’est. Compte tenu de la remarque 10.5, X est (G, I)-régulière (respectivement (G, I)-super régulière) si et seulement si tous ses représentants le sont.

La propriété des couples réguliers qui va nous être utile par la suite est contenue dans le lemme suivant.

Lemme 10.6. Soit (w, θ) ∈ ∇(T, W_{I}, v̇F) un couple (G, I)-régulier avec w ∈ Σ(I ∪{1}). Alors, (wv)_{θ} = w_{θ}v.

Démonstration. Notons tout d’abord que (wv)_{θ} est calculé dans (G, F), alors que w_{θ} l’est dans (L, v̇F). Remarquons ensuite que (wv)_{θ} ≤ w_{θ}v. Écrivons w = (t_{1}, …, t_{n}) et soit i un entier naturel tel que 1 ≤ i ≤ r. Il s’agit de démontrer que θ(N_{wv}(β_{wv,n+i}^{∨})) ≠ 1. D’après la propriété (R), il suffit de démontrer que β_{wv,n+i}^{∨} ∉ Φ_{I}. Notons α la racine α_{wv,n+i} = α_{v,i}. Alors, β_{wv,n+i}^{∨} = t_{1} … t_{n}s_{1} … s_{i−1}(α^{∨}). Mais, t_{1} … t_{n} ∈ W_{I}, donc on est ramené à prouver l’assertion suivante :

s_{1} … s_{i−1}(α^{∨}) ∉ Φ_{I}.

Puisque (s_{1}, …, s_{r}) est une décomposition réduite de v, alors s_{1} … s_{i−1}(α^{∨}) est une coracine positive dont l’image par v^{−1} est négative. Or, par hypothèse sur v, v^{−1}(I) = ϕ(I)⊂Δ. Donc v^{−1}(Φ_{I} ∩ Φ^{+})⊂Φ^{+}. Cela complète la preuve du lemme 10.6. □

Nous arrivons maintenant au résultat principal de ce travail :

Théorème 10.7. Soit X une série rationnelle (G, I)-régulière dans ∇(T, W_{I}, vF). Alors, le morphisme canonique

(j_{I,v})_{!}F_{I,v}ΛL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}} →^{∼} R(j_{I,v})_{∗}F_{I,v}ΛL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}}

est un isomorphisme.

Démonstration. Notons ici i : \overline{X}_{I,v} −X_{I,v} ⟶ \overline{X}_{I,v} l’immersion fermée canonique. Il s’agit de démontrer que

(1)  i^{∗}R(j_{I,v})_{∗}F_{I,v} (ΛL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}} ) = 0.

La formule des coefficients universels montre qu’il suffit de prouver (1) lorsque Λ est un corps, ce que nous supposerons. D’après le théorème A, le ΛL_{I}^{v̇F} -module ΛL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}} est dans la sous-catégorie de ΛL_{I}^{v̇F} − parf engendrée par les complexes SL_{I},v̇F ; ẇ ΛT^{wvF} e_{θ} pour (w, θ) ∈ X. Par suite, il suffit de démontrer que

(2)  i^{∗}R(j_{I,v})_{∗}F_{I,v}(SL_{I},v̇F ; ẇ ΛT^{wvF} e_{θ}) = 0

pour tout (w, θ) ∈ X avec w ∈ Σ(I ∪ {1}).

Fixons un élément (w, θ) ∈ X avec w ∈ Σ(I ∪ {1}). On a un diagramme commutatif

\xymatrix{Y_{I,v} × Y^{L_{I},v̇F} (ẇ) \ar[rr]^{a} \ar[d]_{b} &  & Y_{I,v} ×_{L_{I}^{v̇F}} Y^{L_{I},v̇F} (ẇ) \ar[d]^{b′} \\ Y_{I,v} × X^{L_{I},v̇F} (w) \ar[rr]^{a′} \ar@{-->}[dr]_{c} &  & Y_{I,v} ×_{L_{I}^{v̇F}} X^{L_{I},v̇F} (w) \ar@{-->}[dl]^{c′} \\  & X_{I,v}}

où les flèches horizontales sont les passages au quotient par L_{I}^{v̇F}, les flèches verticales les passages au quotient par T^{wvF} et les flèches diagonales proviennent du morphisme structurel X^{L_{I},v̇F} (w) → Spec F.

On a des isomorphismes dans D_{ΛT^{wvF}}^{b} (X_{I,v})

R(c′b′)_{∗}Λ ≃ ((Rc′_{∗}R(b′a)_{∗}Λ) ⊗_{ΛL_{I}^{v̇F}}^{L} Λ  (lemme 3.2)
≃ (Rc_{∗}Rb_{∗}Λ) ⊗_{ΛL_{I}^{v̇F}}^{L} Λ
(3)  R(c′b′)_{∗}Λ ≃ F_{I,v}(ΛL_{I}^{v̇F}) ⊗_{ΛL_{I}^{v̇F}}^{L} RΓ(Y^{L_{I},v̇F} (w)).

Via l’isomorphisme (10.1), le morphisme c′ devient

τ : X^{G,F} (wv) ⟶ X_{I,v}
(g_{1}B, …, g_{n}B) ⟼ g_{1}P_{I}

et après application de − ⊗_{ΛT^{wvF}}^{L} ΛT^{wvF} e_{θ}, l’isomorphisme (3) devient

Rτ_{∗}F^{wv}(ΛT^{wvF} e_{θ}) ≃ F_{I,v}(SL_{I},v̇F ; ẇ ΛT^{wvF} e_{θ}).

Considérons maintenant le diagramme commutatif suivant :

\xymatrix{X^{G,F} (wv) \ar[r]^{j\overline{wv} wv} \ar[d]_{τ} & X^{G,F} (\overline{wv}) \ar[d]^{τ̄} \\ X_{I,v} \ar[r]^{j_{I,v}} & \overline{X}_{I,v},}

où τ̄ : X^{G,F} (\overline{wv}) → \overline{X}_{I,v}, (g_{1}B, …, g_{n}B) ↦ g_{1}P_{I} est un morphisme projectif. Pour démontrer (2), il suffit, en utilisant le théorème de changement de base propre, de démontrer que la restriction du complexe R(j\overline{wv} wv)_{∗}F^{wv}(ΛT^{wvF} e_{θ}) à X^{G,F} (\overline{wv}) − τ̄^{−1}(X_{I,v}) est nulle. Notons i_{1} : X^{G,F} (\overline{wv}) − τ̄^{−1}(X_{I,v}) ↪ X^{G,F} (\overline{wv}) l’immersion fermée canonique. Il nous suffit de démontrer que

(4)  i_{1}^{∗}R(j\overline{wv} wv)_{∗}F_{θ}^{wv} = 0.

On a

X^{G,F} (\overline{wv}) − τ̄(X_{I,v}) = ∐_{\begin{matrix}w′≤w \\ v′<v \end{matrix}} X^{G,F} (w′v′).

Mais le fait que X soit (G, I)-régulière implique que (wv)_{θ} est égal à w_{θ}v (lemme 10.6). Le résultat découle alors du théorème 7.7. □

Corollaire 10.8. Soit X une série (G, I)-régulière dans ∇(T, W_{I}, v̇F). Alors, H_{c}^{i}(X_{I,v}, F_{I,v}ΛL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}}) est un Λ-module libre, nul pour i ≠ l(v).

Démonstration. Par la formule des coefficients universels, il suffit de démontrer l’annulation dans le cas où Λ est un corps.

Par application du foncteur R(π_{\overline{X}_{I,v}})_{∗} à l’isomorphisme du théorème 10.7, on obtient que le morphisme canonique

R(π_{X_{I,v}})_{!}F_{I,v}ΛL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}} →^{∼} R(π_{X_{I,v}})_{∗}F_{I,v}ΛL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}}

est un isomorphisme et le lemme 12.6 (joint au lemme 3.2) fournit la conclusion. □

Comme l’a montré Broué [Br, pp. 61–62], le théorème 10.7, qui est de nature géométrique, admet pour conséquence le théorème algébrique suivant (nous reprenons la preuve de [Br, théorème 3.3]).

Théorème B. Soit X une série (G, I)-super régulière dans ∇(T, W_{I}, v̇F). Alors, R_{I,v} induit une équivalence de Morita entre les Λ-algèbres ΛL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}} et ΛG^{F} e_{X^{G}}^{G^{F}}.

Plus précisément, le complexe R_{I,v}ΛL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}} de (ΛG^{F} , ΛL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}})-bimodules n’a de la cohomologie qu’en degré r et son r-ième bimodule de cohomologie induit l’équivalence de Morita décrite.

Démonstration. Pour montrer l’équivalence de Morita, il suffit de considérer le cas où Λ = R. D’après le corollaire 10.8, le bimodule M = H_{c}^{r}(X_{I,v}, F_{I,v}RL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}}) est le seul groupe de cohomologie non nul du complexe parfait de RG^{F} -modules R_{I,v}RL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}}, donc il est projectif comme RG^{F} -module. De même, il est projectif comme RL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}} -module à droite.

Soit M_{K} = K ⊗_{R} M. D’après [Lu1, théorème 8], on a

M_{K}^{∗} ⊗_{KG^{F}} M_{K} ≃ KL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}} .

Puisque KG^{F} e_{X^{G}}^{G^{F}} est facteur direct du (KG^{F} e_{X^{G}}^{G^{F}}, KG^{F} e_{X^{G}}^{G^{F}})-bimodule M_{K} ⊗_{KL_{I}^{v̇F}} M_{K}^{∗},

on en déduit que M_{K} induit une équivalence de Morita entre KL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}} et KG^{F} e_{X^{G}}^{G^{F}}. L’équivalence de Morita sur R résulte maintenant de [Br, théorème 2.4]. □

Remarque 10.9. Le théorème précédent montre la coïncidence des matrices de décomposition. Cette propriété avait été conjecturée par Hiß [Hi, p.342].

Remarque 10.10. D’après [Lu1, proposition 12], on a dim M_{K} ⊗_{KL_{I}^{v̇F}} V = d dim V, pour

tout KL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}} -module simple V, où d = (\frac{|G^{F} |_{p′}}{|L_{I}^{v̇F} |_{p′}} ). On déduit alors du théorème B que

ΛG^{F} e_{X^{G}}^{G^{F}} est isomorphe à une algèbre de matrices de dimension d^{2} sur ΛL_{I}^{v̇F} e_{X}^{L_{I}^{v̇F}}.

11. Changement de point de vue

Nous avons pris le parti, pour la commodité des preuves, de travailler systématiquement avec des sous-groupes de Levi standards, quitte à modifier l’isogénie F. Le but de cette partie est de traduire les résultats principaux qui précèdent en ne s’intéressant qu’aux sousgroupes de Levi et aux tores maximaux F -stables. Ceci permet d’alléger les notations et certains lecteurs y retrouveront un cadre plus familier.

Nous nous bornerons à énoncer les analogues des théorèmes A, 10.3, 10.7 et B.

11.1. Notations. Soit P un sous-groupe parabolique de G de radical unipotent V, avec un complément de Levi F -stable L. Nous posons

Y_{V}^{G} = {gV ∈ G/V | g^{−1}F (g) ∈ V · ^{F}V}
et  X_{P}^{G} = {gP ∈ G/P | g^{−1}F (g) ∈ P · ^{F}P}.

Alors, Y_{V}^{G} est une G^{F} -variété-L^{F} (pour les actions par multiplication à gauche et à droite), X_{P}^{G} est une G^{F} -variété et le morphisme étale π_{V} : Y_{V}^{G} → X_{P}^{G} induit un isomorphisme de variétés Y_{V}^{G}/L^{F} ≃ X_{P}^{G} (cf (5.4) et §11.2). Nous définissons alors les foncteurs

R_{L ⊂ P}^{G} : D^{b}(ΛL^{F} − mod) ⟶ D^{b}(ΛG^{F} − mod)
et  S_{L ⊂ P}^{G} : D^{b}(ΛL^{F} − mod) ⟶ D^{b}(ΛG^{F} − mod)

comme au §3.2.

Pour finir, posons

\overline{X}_{P}^{G} = \{gP ∈ G/P | g^{−1}F (g) ∈ \overline{P · ^{F}P}\}

et notons j_{P}^{G} : X_{P}^{G} ↪ \overline{X}_{P}^{G} l’immersion ouverte canonique.

11.2. Rapport avec les groupes L_{I}^{v̇F}. Nous expliquons ici le lien entre les variétés Y_{V}^{G} et les variétés Y_{I,v} définies précédemment. Soit I l’unique partie de Δ telle que P soit conjugué à P_{I}. Il existe alors un élément x_{1} ∈ G tel que ^{x_{1}}(L_{I}, P_{I}) = (L, P). Posons v_{1} = x_{1}^{−1}F (x_{1}). Puisque L est F -stable, on a ^{v_{1}F}L_{I} = L_{I}. Par conséquent, il existe a ∈ L_{I} tel que ^{av_{1}F}(T, B_{I}) = (T, B_{I}). Notons v l’image de av_{1} ∈ N_{G}(T) dans W. Nous choisissons a de sorte que av_{1} = v̇. Par le théorème de Lang, on trouve b ∈ L_{I} tel que b^{−1} ^{v_{1}F}b = a.

Posons maintenant x = x_{1}b. Alors x^{−1}F (x) = b^{−1}v_{1}F (b) = av_{1} = v̇. De plus v̇F stabilise B_{I}, donc vϕ(I) = I. D’autre part, ^{x}(L_{I}, P_{I}) = (L, P) et l’application

\begin{matrix}L_{I} & ⟶ & L \\ g & ⟼ & xgx^{−1} \end{matrix}

induit un isomorphisme L_{I}^{v̇F} →^{∼} L^{F}, que nous noterons aussi par la lettre x. De plus, xV_{I} = V.

Les applications

\begin{matrix}Y_{V}^{G} & ⟶ & Y_{I,v} \\ gV & ⟼ & gxV_{I}, \end{matrix}

\begin{matrix}X_{P}^{G} & ⟶ & X_{I,v} \\ gP & ⟼ & gxP_{I} \end{matrix}

et  \begin{matrix}\overline{X}_{P}^{G} & ⟶ & \overline{X}_{I,v} \\ gP & ⟼ & gxP_{I} \end{matrix}

sont des isomorphismes, de G^{F} -variétés-L^{F} pour le premier, de G^{F} -variétés pour le second et le troisième. Ici, Y_{I,v} est vue comme une variété-L^{F} via l’isomorphisme x^{−1}. De plus, le diagramme correspondant

[figure: Y_{V}^{G}; ∼; π_{V}; Y_{I,v}; π_{I,v}; X_{P}^{G}; ∼; j_{P}^{G}; X_{I,v}; j_{I,v}; _{\overline{X}{G \atop P}}; ∼; _{\overline{X}_{I,v}}]

est commutatif.

Ces isomorphismes permettent de faire le lien entre tous les objets définis précédemment. Par exemple, on a un diagramme commutatif

(11.1)  [figure: D^{b}(ΛL^{F} − mod); R_{L ⊂ P}^{G}; x_{∗}; ∼; D^{b}(ΛL_{I}^{v̇F} − mod); R_{I,v}; D^{b}(ΛG^{F} − mod).]

qui montre que l’on peut jongler entre les divers foncteurs de Lusztig.

Remarque 11.2. Il est facile de montrer que, si (I′, v′) est un autre couple vérifiant les propriétés suivantes :

(1) I′ ⊂Δ, v′ ∈ W,

(2) v′ϕ(I′) = I′,

(3) il existe x′ ∈ G tel que ^{x′}(L_{I′}, P_{I′}) = (L, P) et x^{′−1} ^{F}x′ = v̇′, alors (I, v) = (I′, v′). On dira que le couple (I, v) est associé au couple (L, P).

11.3. Séries rationnelles. Notons ∇(G, F) l’ensemble des triplets (T′, B′, θ′), où T′ est un tore maximal F -stable de G, B′ est un sous-groupe de Borel de G contenant T′ et θ′ : T^{′F} → Λ^{×} un caractère linéaire d’ordre inversible dans Λ. Le choix de ı et ȷ fournit une partition de ∇(G, F) en séries rationnelles, i.e., selon les classes de G^{∗F^{∗}}- conjugaison d’éléments de G_{sem,Λ}^{∗F^{∗}} (on note G_{sem,Λ}^{∗F^{∗}} l’ensemble des éléments semi-simples de G^{∗F^{∗}} d’ordre inversible dans Λ). Nous noterons ∇(G, F, (s)_{G^{∗F^{∗}}}) la série rationnelle associée à s ∈ G_{sem,Λ}^{∗F^{∗}}.

Si (T′, B′, θ′) ∈ ∇(L, F), alors il existe un unique élément w ∈ W_{I} tel que (∅, wv) soit associé à (T′, B′V). Il existe un élément y ∈ G tel que ^{y}(T, B) = (T′, B′V) et y^{−1} ^{F}y = ẇv̇ et, comme dans le paragraphe précédent, y induit un isomorphisme T^{′F} →^{∼} T^{wvF}. On note θ le caractère linéaire de T^{wvF} correspondant à θ′ via y. Alors, ((ẇ), θ) est dans ∇(T, W_{I}, v̇F) et il est défini de manière unique par le triplet (T′, B′, θ′).

Nous avons donc construit une application

ψ_{L ⊂ P} : ∇(L, F) ⟶ ∇(T, W_{I}, vF).

Lorsque L = G (auquel cas I = Δ et v = 1), nous la noterons simplement ψ. Cette application conserve les séries rationnelles. Mieux, si X est une série rationnelle dans ∇(T, W, F) et si ((ẇ), θ) ∈ X, alors il existe (T′, B′, θ′) ∈ ∇(G, F) tel que ψ(T′, B′, θ′) = ((ẇ), θ). On a alors

R_{T′ ⊂ B′}^{G′}ΛT^{′F} e_{θ′} →^{∼} RẇΛT^{wF} e_{θ}.

Cette discussion montre que le théorème A devient :

Théorème A’. Pour (s)_{G^{∗F^{∗}}} ∈ G_{sem,Λ}^{∗F^{∗}}/ ∼, il existe un idempotent central e_{s} = e_{s}^{G^{F}} = e_{Λ,s}^{G^{F}} de ΛG^{F} tel que la famille (R_{T′ ⊂ B′}^{G}ΛT^{′F} e_{θ})_{(T′,B′,θ)∈∇(G,F,(s)_{G^{∗F^{∗}}})} (respectivement (S_{T′ ⊂ B′}^{G}ΛT^{′F} e_{θ})_{(T′,B′,θ)∈∇(G,F,(s)_{G^{∗F^{∗}}})}) engendre ΛG^{F} e_{s} − parf.

On a une décomposition de 1 en somme d’idempotents centraux deux à deux orthogonaux

1 =\begin{matrix}∑ & ⊥ \\ (s)_{G^{∗F^{∗}}} ∈G_{sem,Λ}^{∗F^{∗}}/∼ \end{matrix} e_{s}.

Remarque 11.3. On a G_{sem,R}^{∗F^{∗}} = G_{sem,k}^{∗F^{∗}}. Pour s ∈ G_{sem,R}^{∗F^{∗}}, la remarque 9.3 montre que

e_{R,s} = ∑_{\begin{matrix}(t)_{G^{∗F^{∗}}} ∈G_{sem}^{∗F^{∗}}/∼ \\ (t_{ℓ′})_{G^{∗F^{∗}}} =(s)_{G^{∗F^{∗}}} \end{matrix}} e_{K,t}.

De plus, si (t)_{G^{∗F^{∗}}} ∈ G_{sem}^{∗F^{∗}}/ ∼, alors

e_{K,t} = ∑_{χ∈E(G^{F} ,(t)_{G^{∗F^{∗}}})} e_{χ},

où E(G^{F} , (t)_{G^{∗F^{∗}}}) est la série de Lusztig rationnelle associée à (t)_{G^{∗F^{∗}}}.

Le théorème 10.3 devient quant à lui :

Théorème 11.4. Soit s ∈ L_{sem,Λ}^{∗F^{∗}} et soit M ∈ D^{b}(ΛL^{F} e_{s}^{L^{F}} − mod). Alors, R_{L ⊂ P}^{G}(M) ∈ D^{b}(ΛG^{F} e_{s}^{G^{F}} − mod).

11.4. Equivalence de Morita. Pour finir la traduction et obtenir des résultats équivalents aux théorèmes 10.7 et B, nous devons voir ce que deviennent les définitions de séries régulières et super-régulières à travers l’application ψ définie au paragraphe précédent.

Fixons un élément semi-simple s ∈ G_{sem,Λ}^{∗F^{∗}} et un triplet (T′, B′, θ′) ∈ ∇(G, F, (s)_{G^{∗F^{∗}}}). Notons T^{′∗} un tore maximal F^{∗}-stable de G^{∗} dual de T′.

Puisque (T′, B′, θ′) ∈ ∇(G, F, (s)_{G^{∗F^{∗}}}), on peut supposer que s ∈ T^{′∗F^{∗}}. Alors il existe λ ∈ Y (T^{′∗}) = X(T′) tel que s = N_{F^{∗d}/F^{∗}}(λ(ζ)). On a alors, pour tout μ ∈ Y (T′) = X(T^{′∗}),

(11.5)  θ′(N_{F^{d}/F} (μ(ζ))) = κ(ζ^{⟨λ,N_{F^{d}/F} (μ)⟩}) = κ(μ(s)).

Fixons maintenant un sous-groupe de Levi F^{∗}-stable L^{∗} d’un sous-groupe parabolique de G^{∗} dual de L et supposons que s ∈ L_{sem,Λ}^{∗F^{∗}}. La série ∇(L, F, (s)_{L^{∗F^{∗}}}) est dite (G, L)- régulière (respectivement (G, L)-super-régulière) si ψ_{L ⊂ P}(∇(L, F, (s)_{L^{∗F^{∗}}})) est contenue dans une série (G, I)-régulière (respectivement (G, I)-super-régulière) de ∇(T, W_{I}, v̇F).

Lemme 11.6. Avec les notations ci-dessus, ∇(L, F, (s)_{L^{∗F^{∗}}}) est (G, L)-régulière (respectivement (G, L)-super-régulière) si et seulement si C_{G^{∗}}^{∘}(s)⊂L^{∗} (respectivement si et seulement si C_{G^{∗}}(s)⊂L^{∗}).

Démonstration. L’égalité 11.5 montre qu’une coracine de α^{∨} de G relative à T′ vérifie θ′(N_{F^{d}/F} (α^{∨}(ζ))) = 1 si et seulement si elle vérifie α^{∨}(s) = 1 (ici, Y (T′) a été identifié avec X(T^{′∗})). Donc ∇(L, F, (s)_{L^{∗F^{∗}}}) est (G, L)-régulière si et seulement si C_{G^{∗}}^{∘}(s)⊂L^{∗}.

D’autre part, la même égalité 11.5 montre qu’un élément w ∈ N_{G}(T′)/T′ stabilise le caractère θ′ si et seulement si son correspondant w^{∗} dans N_{G^{∗}}(T^{′∗})/T^{′∗} stabilise s. Donc ∇(L, F, (s)_{L^{∗F^{∗}}}) est (G, L)-super-régulière si et seulement si C_{G^{∗}}(s)⊂L^{∗}. □

Avant d’énoncer un équivalent du théorème 10.7, nous avons besoin de quelques notations. Si s ∈ L_{sem,Λ}^{∗F^{∗}}, nous noterons F_{s}^{L} le système local sur la variété X_{P}^{G} associé au ΛL^{F} -module ΛL^{F} e_{s}^{L^{F}}. Il résulte alors immédiatement du lemme 11.6 que le théorème 10.7 est équivalent au théorème suivant :

Théorème 11.7. Soit s ∈ L_{sem,Λ}^{∗F^{∗}}. Si C_{G^{∗}}^{∘}(s)⊂L^{∗}, alors le morphisme canonique de complexes (j_{P}^{G})_{!}F_{s}^{L} →^{∼} R(j_{P}^{G})_{∗}F_{s}^{L} est un isomorphisme.

De même, d’après le lemme 11.6, le théorème B est équivalent au théorème suivant, conjecturé par Broué [Br, p.61] :

Théorème B’. Soit s ∈ L_{sem,Λ}^{∗F^{∗}} tel que C_{G^{∗}}(s)⊂L^{∗}. Alors, le foncteur R_{L ⊂ P}^{G} induit une équivalence de Morita entre les Λ-algèbres ΛL^{F} e_{s}^{L^{F}} et ΛG^{F} e_{s}^{G^{F}}.

Plus précisément, le complexe R_{L ⊂ P}^{G}ΛL^{F} e_{s}^{L^{F}} n’a de la cohomologie qu’en degré r = dim V−dim V∩^{F}V et son r-ième bimodule de cohomologie induit l’équivalence de Morita décrite.

11.5. Décomposition de Jordan. Rappelons tout d’abord que si s ∈ G_{sem,Λ}^{∗F^{∗}} est central, alors il existe un caractère linéaire ŝ de G^{F} tel que l’automorphisme d’algèbre de ΛG^{F} donné par g ↦ ŝ(g)g se restreint en un isomorphisme

(#)_{G}  ΛG^{F} e_{s}^{G^{F}} →^{∼} ΛG^{F} e_{1}^{G^{F}} .

Revenons au cas d’un élément général s ∈ G_{sem,Λ}^{∗F^{∗}}. On note L^{∗}(s) le sous-groupe de Levi minimal de G^{∗} contenant C_{G^{∗}}(s) (il est F -stable). On note L(s) un sous-groupe de Levi F -stable de G dual de L^{∗}(s). Le théorème B’ fournit une équivalence de Morita entre ΛL(s)^{F} e_{s}^{L(s)^{F}} et ΛG^{F} e_{s}^{G^{F}}. Ceci ramène l’étude des blocs, à équivalence de Morita près, à l’étude de blocs associés à un élément semi-simple quasi-isolé (ie, à un élément s ∈ G^{∗} tel que C_{G^{∗}}(s) n’est contenu dans aucun sous-groupe de Levi strict). Pour un groupe à centre connexe, un élément semi-simple quasi-isolé est un élément isolé (ie, un élément s ∈ G^{∗} tel que C_{G^{∗}}^{∘}(s) n’est contenu dans aucun sous-groupe de Levi strict).

Théorème 11.8. Si C_{G^{∗}}(s) est un sous-groupe de Levi de G^{∗}, alors pour tout sous-groupe parabolique P(s) de G de complément de Levi L(s), le foncteur R_{L(s)⊂P(s)}^{G}(ŝ⊗_{Λ} −) induit

une équivalence de Morita entre ΛL(s)^{F} e_{1}^{L(s)^{F}} et ΛG^{F} e_{s}^{G^{F}}.

Deux raisons font que C_{G^{∗}}(s) n’est pas nécessairement un sous-groupe de Levi de G^{∗}. D’abord, C_{G^{∗}}(s) peut ne pas être connexe (cela ne peut être arriver que si Z(G) n’est pas connexe). Ensuite, le groupe C_{G^{∗}}^{∘}(s) peut aussi ne pas être un sous-groupe de Levi de G^{∗} (cela ne peut arriver que si l’ordre de s est divisible par un nombre premier mauvais pour G).

Plus précisément, soit π_{1} (respectivement π_{2}) l’ensemble des nombres premiers qui divisent |Z(G)/Z(G)^{∘}| (respectivement qui sont mauvais pour G). On pose π = π_{1} ∪ π_{2}. Si s est un π′-élément, alors C_{G^{∗}}(s) est un sous-groupe de Levi de G^{∗} et le théorème 11.8 s’applique.

Pour un groupe de type A a centre connexe (par exemple un groupe linéaire ou unitaire), alors π = ∅ : on a démontré la décomposition de Jordan des blocs.

Pour un groupe de type B, C ou D, alors π = {2}. On a en particulier une décomposition de Jordan des blocs pour ℓ = 2 et Λ = R/𝔩^{n}.

Remarque 11.9. On ne dispose pas de construction (géométrique) d’un foncteur qui pourrait induire une équivalence fournissant une décomposition de Jordan générale.

12. Appendice : quelques lemmes géométriques

Nous rassemblons ici plusieurs résultats géométriques utiles dans le reste du texte. Plus précisément, nous donnons quelques propriétés des foncteurs entre catégories de Λfaisceaux constructibles (images directes ou inverses, à support propre ou non). La plupart de ces propriétés est bien connue (formules d’adjonction, de Künneth, diviseurs lisses à croisements normaux). Nous avons tout de même inclus une preuve lorsque nous n’avons pas trouvé de référence satisfaisante. Les lemmes 12.3 et 12.6, qui semblent être nouveaux, sont une variation sur un thème classique.

12.1. Autour de la formule de Künneth. Soit f : X_{1} → X_{2} un morphisme de variétés algébriques, soit A une Λ-algèbre finie et soit X_{1} (respectivement X_{2}) un objet de D_{A^{op}}^{b}(X_{1}) (respectivement de D_{A}^{b}(X_{2})). Le lemme suivant est un cas particulier de la formule de Künneth (cf par exemple [Mi, chapitre VI, remarque 8.14]).

Lemme 12.1. Le morphisme canonique (Rf_{!}X_{1}) ⊗_{A}^{L} X_{2} →^{∼} Rf_{!}(X_{1} ⊗_{A}^{L} f^{∗}X_{2}) est un quasiisomorphisme bifonctoriel.

Le lemme qui suit est lui aussi classique.

Lemme 12.2. Si X_{2} est à cohomologie localement constante, alors le morphisme canonique (Rf_{∗}X_{1}) ⊗_{A}^{L} X_{2} →^{∼} Rf_{∗}(X_{1} ⊗_{A}^{L} f^{∗}X_{2}) est un quasi-isomorphisme bifonctoriel.

Démonstration. Il suffit de démontrer le lemme pour Λ = R/𝔩^{n} avec n > 0. Il suffit aussi de traiter le cas où X_{2} est un faisceau. Le faisceau X_{2} est localement constant et l’isomorphisme est de nature locale, donc on peut supposer, en utilisant le théorème de changement de base lisse [Mi, chapitre VI, théorème VI.4.1] pour le morphisme f, qu’il est constant. Dans ce cas, le lemme 12.2 est clair. □

12.2. Quasi-affinité. Soit X une variété et F un faisceau constructible sur X. Soit D le foncteur de dualité de Verdier, D = RHom^{•}(−, π_{X}^{!}Λ).

Considérons le morphisme canonique de complexes can_{F} : R(π_{X})_{!}F → R(π_{X})_{∗}F. Le lemme suivant montre quel parti on peut tirer du fait que ce morphisme est un isomorphisme.

Lemme 12.3. Supposons que X est quasi-affine, purement de dimension d, que Λ est un corps et que D(F) a ses faisceaux de cohomologie nuls en dehors du degré −2d.

Si can_{F} est un isomorphisme, alors, can_{H^{−2d}D(F)} est un isomorphisme et H_{c}^{i}(X, F) = 0 pour i ≠ d.

Démonstration. Soit j : X → Y une immersion ouverte avec Y affine. On a un diagramme commutatif, où les flèches sont les morphismes canoniques

\xymatrix{R(π_{Y})_{!}j_{!}F \ar[rr]^{^{can^{F}}} \ar[dr] &  & R(π_{Y})_{∗}Rj_{∗}F \\  & R(π_{Y})_{∗}j_{!}F \ar@{-->}[ur]}

Puisque Y est affine, on a H^{i}(Y, j_{!}F) = 0 pour i ∉ [0 … d], donc H_{c}^{i}(X, F) = 0 pour i ∉ [0 … d].

On a (dualité de Poincaré=adjonction entre R(π_{X})_{!} et π_{X}^{!})

H_{c}^{i}(X, G) ≃ H^{2d−i}(X, F)^{∗}

où G = H^{−2d}D(F). Par conséquent, la proposition résultera de ce que can_{G} est un isomorphisme.

Nous allons déduire ceci d’un résultat plus général. Soit f : X_{1} → X_{2} un morphisme de variétés. Soit C_{i} ∈ D_{Λ}^{b}(X_{i}).

Nous allons maintenant rappeler une construction classique, qui s’effectue en étudiant séparément le cas où f est propre et le cas où f est une immersion ouverte (cf [KaScha, exercice III.9 (iii)] pour le cas de la topologie classique).

On a un diagramme commutatif

\xymatrix{Rf_{!}RHom^{•}(C_{1}, f^{!}C_{2}) \ar[r] \ar[d] & RHom^{•}(Rf_{∗}C_{1}, C_{2}) \ar[d] \\ Rf_{∗}RHom^{•}(C_{1}, f^{!}C_{2}) \ar[r]_{≃} & RHom^{•}(Rf_{!}C_{1}, C_{2})}

où les flèches verticales proviennent des morphismes canoniques Rf_{!} → Rf_{∗}, la seconde flèche horizontale provient de l’adjonction entre Rf_{!} et f^{!}.

On déduit du diagramme précédent un diagramme commutatif

\xymatrix{R(π_{X})_{!}D(F) \ar[d]_{_{can_{D(F)}}} \ar[r]^{≃} & (R(π_{X})_{∗}F)^{∗} \ar[d]^{_{can_{∗}_{F}}} \\ R(π_{X})_{∗}D(F) \ar[r]_{≃} & (R(π_{X})_{!}F)^{∗}}

Par conséquent, can_{D(F)} est un isomorphisme, donc can_{G} aussi. □

Remarque 12.4. Dans [Ha], Haastert démontre ce résultat en supposant que can_{D(F)} est un isomorphisme.

Remarque 12.5. Si, dans le lemme 12.3, on suppose que X est affine et non pas seulement quasi-affine, alors la conclusion est bien connue.

Passons maintenant à l’application qui nous est utile.

Soit G un groupe fini agissant sur X.

Lemme 12.6. Supposons la variété X quasi-affine, lisse, purement de dimension d, et supposons que Λ est un corps. Supposons de plus que les stabilisateurs de points de X dans G sont d’ordre inversible dans Λ.

Soit M un ΛG-module tel que le morphisme canonique RΓ_{c}(X)⊗_{ΛG}^{L}M → RΓ(X)⊗_{ΛG}^{L}M est un isomorphisme. Alors, le complexe RΓ_{c}(X) ⊗_{ΛG}^{L} M n’a de l’homologie qu’en degré d.

Démonstration. Soit π : X → X/G le morphisme quotient et F = π_{∗}Λ_{X} ⊗_{ΛG} M_{X/G}. D’après le lemme 3.2, le morphisme can_{F} est un isomorphisme.

Un calcul simple utilisant les adjonctions entre π_{∗} et π^{!} et entre ⊗ et Hom fournit

D(F) ≃ D(π_{∗}Λ_{X} ⊗_{ΛG}^{L} M_{X/G}) ≃ π_{∗}D(Λ_{X}) ⊗_{ΛG}^{L} (M^{∗})_{X/G}^{op}.

Puisque X est lisse, on a D(Λ_{X}) ≃ Λ_{X}[2d]. L’hypothèse sur les stabilisateurs de points de X permet d’appliquer le lemme 3.2 et donc de conclure que

D(F) ≃ π_{∗}Λ_{X} ⊗_{ΛG} (M^{∗})_{X/G}^{op}[2d].

Puisque X/G est quasi-affine, le lemme 12.3 fournit le résultat. □

12.3. Diviseurs à croisements normaux. Soit \overline{X} une variété lisse et soit X un ouvert de \overline{X}. Nous noterons i : X ↪ \overline{X} l’immersion ouverte canonique. Nous supposons que le complémentaire de X dans \overline{X} est une réunion finie

⋃_{i∈I} D_{i},

où les D_{i} sont des diviseurs lisses à croisements normaux.

Par ailleurs, si J ⊂I, nous noterons X_{J} = (⋂_{i∈J} D_{i})−(⋃_{i∈I\J} D_{i}). Selon les conventions usuelles, X_{∅} = X et X_{I} = ⋂_{i∈I} D_{i}. Notons i_{J} : X_{J} ↪ \overline{X} l’immersion localement fermée canonique.

Le résultat suivant est classique (cf par exemple [SGA4\frac{1}{2}, (1.3.3.2) p. 255]) :

Lemme 12.7. Si J ⊂I et si n ∈ N, alors

i_{J}^{∗}R^{n}i_{∗}Λ_{X} ≃ Λ_{X_{J}}^{⊕\binom{|J|}{n}}.

Références

[Bo] C. Bonnafé, Mackey formula in type A, Proc. London Math. Soc. 80 (2000), 545-574.

[Br] M. Broué, Isométries de caractères et équivalences de Morita ou dérivées, Publ. Math. I.H.E.S. 71 (1990), 45-63.

[BrMi] M. Broué et J. Michel, Blocs et séries de Lusztig dans un groupe réductif fini, J. Reine Angew. Math. 395 (1989), 56-67.

[DeLu] P. Deligne et G. Lusztig, Representations of reductive groups over finite fields, Ann. of Math. 103 (1976), 103-161.

[DiMi] F. Digne et J. Michel, Representations of finite groups of Lie type, London Math. Soc. Student Texts 21, Cambridge University Press, 1991.

[DiMiRo] F. Digne, J. Michel et R. Rouquier, Cohomologie de certaines variétés de Deligne-Lusztig attachées à des éléments réguliers, en préparation.

[Ha] B. Haastert, Die quasiaffinität der Deligne-Lusztig Varietäten, J. of Alg. 102 (1986), 186-193.

[Hi] G. Hiß, On the decomposition numbers of G_{2}(q), J. of Alg. 120 (1989), 339-360.

[KaScha] M. Kashiwara et P. Schapira, “Sheaves on manifolds”, Springer Verlag, 1990.

[Lu1] G. Lusztig, On the finiteness of the number of unipotent classes, Invent. Math. 34 (1976), 201-213.

[Lu2] G. Lusztig, Green functions and character sheaves, Ann. of Math. 131 (1990), 355-408.

[Mi] J.S. Milne, Étale cohomology, Princeton University Press, 1980. [SGA4\frac{1}{2}] P. Deligne et al., “SGA4\frac{1}{2} Cohomologie étale”, Springer Lecture Notes in Math. 569, 1977.

[Ti] J. Tits, Normalisateurs de tores. I. Groupes de Coxeter étendus, J. Algebra 4 (1966), 96-116.

Index

≤, 8, 9

α^{∨}, 8 α_{w,i}, 10

B, 8 β_{w,i}^{∨}, 10

can_{F}, 51

d, 9 D_{A}^{?}(X), 4 Δ, 8

E(G^{F} , X), 40 e_{θ}, 4 e_{X}, 39

F, 7 F^{∗}, 7 F, 3 F^{δ}, 7 F_{H}^{X}, 5 F_{I,v}, 41 F_{s}^{L}, 49 F_{θ}^{y;x}, 31 F^{y;x}, 31

G^{op}, 3 G, 7 G^{∗}, 7 G_{α}, 8 Ĝ, 7 G_{sem,Λ}^{∗F^{∗}}, 47 G̃, 7

H^{∘}, 4 H_{sem}, 4

I, 40 ı, 3 Irr_{K} G, 4 I(w, θ), 12 I_{w,v}, 10

j_{I,v}, 41 ȷ, 3 j_{P}^{G}, 46 j_{y;x}^{w;v}, 30 K, 3 k, 3 K(C), 4 κ, 3

ℓ, 3 𝔩, 3 l, 8, 9 Λ_{θ}, 4 L_{I}, 40

M^{op}, 3 μ_{y}, 12 M_{X}, 5

∇(T, W, F), 9 ∇(G, F), 47 ∇(G, F, (s)_{G^{∗F^{∗}}}), 47 n̄, 8 N_{F^{n}/F}, 4 N_{w}, 9

p, 3 C − parf, 4 Φ, 8 ϕ, 8 Φ^{+}, 8 Φ^{∨}, 8 P_{I}, 40 π_{X}, 5 π_{n}, 18 π_{w,v}, 28

q, 3

R, 3 RΓ(X, C), 5 RΓ_{c}(X, C), 5 R_{H}^{G}(X), 5 ρ, 7 R_{I,v}, 41 R_{L ⊂ P}^{G}, 46 R_{n}, 19 R_{n}, 19 R̂_{n}, 20 R̃_{n}, 20

S, 8 s_{α}, 8 s_{α}, 8 S̄, 8 S_{H}^{G}(X), 5 Σ(E), 3 σ, 8, 9 σ̇, 8 S_{L ⊂ P}^{G}, 46 S_{n}, 19 Sw, v, 12

T^{∗}, 7 T_{α^{∨}}, 8

U_{α}, 8

v, 41 V_{I}, 40

W, 8 ẇ, 9 ẇ, 8 W_{I}, 40 w_{θ}, 12

\overline{X}_{P}^{G}, 46 X_{I,v}, 41 \overline{X}_{I,v}, 41 X_{min}, 39 X_{P}^{G}, 46 x_{∗}, 22 X(w), 17 X(w; v), 27 \overline{X}(x), 31

Y_{I,v}, 41 Y(n), 18 Ŷ(n), 20 Ỹ(n), 20 Y (T), 8 Y_{V}^{G}, 46 Y_{w,v}, 10 Y(w; v), 28 Y′(w; v), 27

ζ, 9

Cédric Bonnafé : Université de Franche-Comté, Département de Mathématiques, 16 Route de Gray, 25200 Besançon, FRANCE.

E-mail : bonnafe@math.univ-fcomte.fr

Raphaël Rouquier : UFR de Mathématiques et Institut de Mathématiques de Jussieu (CNRS UMR 7586), Université Paris 7, 2 place Jussieu, 75251 Paris Cedex 05, FRANCE.

E-mail : rouquier@math.jussieu.fr