QUOTIENTS ET EXTENSIONS DE GROUPES DE RÉFLEXION

DAVID BESSIS, CÉDRIC BONNAFÉ ET RAPHAËL ROUQUIER

1. Introduction

L’objet de ce travail est l’étude de quotients (ou d’extensions) de groupes de réflexion qui sont de réflexion.

Le diagramme de Coxeter de type A_{2} × A_{2} est celui de F_{4} auquel on a oté la double barre : on a un morphisme surjectif entre les groupes associés W (F_{4}) ↠ W (A_{2} × A_{2}). Des morphismes de même nature apparaissent fréquemment entre groupes de réflexion complexes. Expliquons le cadre dans lequel ils apparaissent.

Soit W̃ un groupe de réflexion sur un espace vectoriel complexe Ṽ et G un sous-groupe distingué de W̃. Nous étudions la situation où W = W̃ /G est un groupe de réflexion sur l’espace tangent V à Ṽ /G en 0.

Nous montrons que c’est le cas si et seulement si Ṽ /G est une intersection complète et W agit trivialement sur sa cohomologie locale (en 0).

Alors, les degrés de W̃, son arrangement d’hyperplans, ses réflexions, ses sous-groupes paraboliques sont reliés à ceux de W. Par exemple, dans le cas (crucial) où G ne contient pas de réflexions, l’image d’une réflexion de W̃ est une réflexion de W du même ordre.

Nous déterminons ensuite les paires (W̃ , G) en classifiant ces paires en rang 2. Lorsque Ṽ est de dimension 2 et G = {±1}, la correspondance W̃ ↦ W induit une bijection entre les classes de conjugaison de groupes de réflexion complexes de dimension 2 engendrés par des réflexions d’ordre 2 et contenant G et les groupes de Coxeter finis (non triviaux) de dimension au plus 3.

Lorsque W̃ est un groupe de Coxeter, on montre que le diagramme de W est un “quotient” du diagramme de W̃ et que le morphisme correspondant entre groupe de tresses est celui donné topologiquement.

Dans une dernière partie, nous étudions l’existence d’un groupe de réflexion W̃ étant donnés W et G.

2. Préliminaires

Soit k un corps de caractéristique nulle. Si n est un entier naturel non nul, on notera μ_{n}(k) le groupe des racines n^{èmes} de l’unité dans k.

Date: Mars 1999.

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2.1. Soit W un groupe fini agissant sur une k-algèbre A. Si I est un idéal de A, on notera W_{I} (ou W_{Spec A/I}) le groupe d’inertie de I. Si χ est un caractère irréductible de W, on notera A_{χ}^{W} la composante χ-isotypique de A.

2.2. Soit V un espace vectoriel (tous les espaces vectoriels considérés seront de dimension finie) sur k. On notera V^{∗} le dual de V et k[V] = S(V^{∗}), l’algèbre symétrique de V^{∗}. Nous confondrons parfois le schéma Spec k[V] et l’espace vectoriel de ses points sur k, i.e., V. Soit I un idéal de k[V]. On dira que I (ou Spec k[V]/I) est une intersection complète si le nombre minimal de générateurs de I est égal à dim V − dim(Spec k[V]/I).

Une graduation sur V est une action de k^{×} avec poids strictement positifs. On dira qu’une graduation est standard si les poids sont tous 1. Si V est muni d’une graduation, alors l’algèbre k[V] hérite d’une graduation, c’est-à-dire, d’une action de k^{×} avec poids positifs ou nuls.

2.3. Soit A une k-algèbre commutative de type fini, munie d’une graduation. Soit A_{n} la composante de degré n de A. On pose A_{+} = ⊕_{i>0}A_{i}. On suppose que A_{0} = k : en particulier, A_{+} est un idéal maximal de A. Soit X = Spec A et soit 0 le point de X correspondant à l’idéal maximal A_{+} de A. Si I est un idéal homogène de A, alors le nombre minimal de générateurs de l’idéal I est dim I/A_{+}I par le lemme de Nakayama.

L’espace tangent V = (A_{+}/(A_{+})^{2})^{∗} au schéma X en 0 est un k-espace vectoriel gradué. Le lemme suivant est classique :

Lemme 2.1. Soient p_{1}, …, p_{n} des éléments de A_{+}. Alors A est engendrée par p_{1}, …, p_{n} si et seulement si les images de p_{1}, …, p_{n} dans V^{∗} = A_{+}/(A_{+})^{2} engendrent V^{∗}. En particulier, dim V est le nombre minimal de générateurs de A.

D’après le lemme 2.1, une scission graduée V^{∗} → A_{+} du morphisme surjectif A_{+} → V^{∗} induit un morphisme surjectif de k-algèbres graduées k[V] ↠ A, c’est-à-dire une immersion fermée de Spec A dans son espace tangent en 0. Si A est une algèbre de polynômes, alors l’application construite est un isomorphisme.

2.4. Soit Ṽ un k-espace vectoriel gradué et soit G un sous-groupe fini de GL_{grad}(Ṽ), où GL_{grad}(Ṽ) est le sous-groupe de GL(Ṽ) des éléments commutant à l’action de k^{×}. On note N(G) le normalisateur de G dans GL_{grad}(Ṽ) : N(G) est un groupe réductif (non nécessairement connexe) dont la composante connexe de l’élément neutre est le centralisateur de G dans GL_{grad}(Ṽ).

L’algèbre k[Ṽ]^{G} est une k-algèbre commutative graduée de type finie et k[Ṽ]_{0}^{G} = k. Le groupe N(G) agit de manière graduée sur la k-algèbre k[Ṽ]^{G} et, puisqu’il est réductif et que k est de caractéristique 0, on peut choisir une scission graduée N(G)-équivariante V^{∗} → k[Ṽ]_{+}^{G} du morphisme k[Ṽ]_{+}^{G} ↠ V^{∗}, où V = (k[Ṽ]_{+}^{G}/(k[Ṽ]_{+}^{G})^{2})^{∗}. On identifiera Ṽ /G avec le schéma Spec k[Ṽ]^{G}. Alors V est l’espace tangent à Ṽ /G en 0 et la scission précédente induit une immersion fermée N(G)-équivariante Ṽ /G → V.

On note I le noyau du morphisme surjectif d’algèbre k[V] ↠ k[Ṽ]^{G}, c’est-à-dire l’idéal de définition du schéma Ṽ /G dans V. On dit que G est d’intersection complète si l’idéal I l’est ou, de manière équivalente, si dim I/k[V]_{+}I = dim V − dim Ṽ (en effet, Krulldim k[Ṽ]^{G} = dim Ṽ).

L’ensemble des degrés de G est l’ensemble des poids de k^{×} agissant sur V (pris avec multiplicités). C’est aussi l’ensemble des degrés d’un système minimal d’invariants fondamentaux homogènes de G dans son action sur k[Ṽ]. L’ensemble des degrés des relations de G est l’ensemble des poids de k^{×} sur I/k[V]_{+}I. On notera N(G, rel) le sous-groupe de N(G) des éléments qui agissent trivialement sur I/k[V]_{+}I.

On appelle réflexion de V un automorphisme g d’ordre fini tel que ker(g−1) est un hyperplan de V. On dira que G est de réflexion s’il est engendré par ses réflexions. Le théorème de Shephard-Todd-Chevalley [Be, Théorème 7.2.1] donne plusieurs caractérisations des groupes de réflexion en termes de leur algèbre d’invariants :

Théorème 2.2 (Shephard-Todd-Chevalley). Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) G est de réflexion, (ii) k[V]^{G} est une algèbre de polynômes, (iii) k[V] ≃ (k[V]^{G})[G] comme (k[V]^{G})[G]-module.

L’équivalence entre les assertions (i) et (ii) du théorème 2.2 montre qu’un groupe de réflexion est d’intersection complète.

On appelle double réflexion de V un endomorphisme g d’ordre fini tel que ker(g − 1) est de codimension 2 dans V. Kac et Watanabe [KaWa, Théorème A] ont montré que, si G est d’intersection complète, alors G est engendré par ses réflexions et ses doubles réflexions (la réciproque n’est pas vraie).

2.5. Si V est un k-espace vectoriel, W est un groupe de réflexion dans GL_{grad}(Ṽ) et L est un sous-espace de V, alors le groupe W_{L} est de réflexion sur V [Ste, Théorème 1.5]. On note A(W) l’ensemble des hyperplans des réflexions de W. Si W′ est un groupe de réflexion sur V′, on dira que f : W → W′ est un morphisme de groupes de réflexion si c’est un morphisme de groupes et si l’image d’une réflexion de W est 1 ou une réflexion de W′.

3. Quotients de groupes de réflexion

Soient W̃ un groupe de réflexion sur un k-espace vectoriel Ṽ, G un sous-groupe distingué de W̃ et W = W̃ /G. Soit V l’espace tangent à Ṽ /G en 0. On fixe un plongement N(G)-équivariant Ṽ /G → V. On pose B = k[Ṽ], A = k[V] et on note I l’idéal de A définissant la sous-variété fermée Ṽ /G. On a BW̃ = (A/I)^{W} = A^{W} /I^{W}.

On note A′(W̃) le sous-ensemble des éléments H de A(W̃) tels que W̃_{H} ≠ G_{H}. On définit Ā′(W̃) comme le quotient de A′(W̃) par la relation d’équivalence qui identifie H et H′ si W̃_{H} et W̃_{H′} ont la même image dans W. Pour H ∈ A(W̃), on fixe une forme linéaire α_{H} ∈ B définissant H. Pour C ⊆ A(W̃), on pose α_{C} = ∏_{H∈C} α_{H}^{e_{H}} où e_{H} = |G_{H}|.

Dans cette partie, nous allons donner une condition nécessaire et suffisante pour que le groupe W soit de réflexion sur V (cf. théorème 3.2). Lorsque cette condition est réalisée, nous comparons les propriétés des groupes W et W̃ (sous-groupes paraboliques, ordres des réflexions, arrangements d’hyperplans, degrés des invariants, groupes de tresse associés...).

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3.1. Bons sous-groupes distingués des groupes de réflexion. Dans ce paragraphe, nous allons montrer que W est de réflexion sur V si et seulement si G est d’intersection complète et W agit trivialement sur I/A_{+}I. Cette deuxième condition a plusieurs interprétations qui sont données par le lemme suivant :

Lemme 3.1. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) le schéma Ṽ /W̃ ×_{V/W} V est réduit ;

(ii) l’application canonique Ṽ /G → Ṽ /W̃ ×_{V/W} V est un isomorphisme ;

(iii) on a I = AI^{W} ;

(iv) W agit trivialement sur Tor_{1}^{A}(A/I, A/A_{+}) ≃ I/A_{+}I.

Démonstration. On a Ṽ /W̃ ×_{V/W} V = Spec A^{W} /I^{W} ⊗_{A^{W}} A = Spec A/(AI^{W}). Par conséquent, l’application canonique A/(AI^{W}) → A/I est un isomorphisme si et seulement si A/(AI^{W}) est réduit. En outre, c’est un isomorphisme si et seulement si I est engendré par des éléments W -invariants.

On a Tor_{1}^{A}(A/I, A/A_{+}) = I/A_{+}I. Ainsi, W agit trivialement sur ce module si et seulement si I = AI^{W} + A_{+}I. D’après le lemme de Nakayama, I = AI^{W} + A_{+}I implique I = AI^{W}.

Le résultat suivant est dû en partie à Gordeev [Go, 3.3.2 et 3.3.3].

Théorème 3.2. Le groupe W est de réflexion sur V si et seulement si G est d’intersection complète et W agit trivialement sur I/A_{+}I.

Démonstration. Supposons que I = AI^{W} et que A/I est une intersection complète. Alors, I peut être engendré par r éléments W -invariants, où r = dim V − dim Ṽ. Par conséquent, l’idéal I^{W} de A^{W} est engendré par r éléments. Puisque A^{W} /I^{W} est une algèbre de polynômes en dim Ṽ variables, on en déduit que A^{W} est engendré par dim V = Krulldim A^{W} éléments. Ainsi, A^{W} est une algèbre de polynômes, donc W est de réflexion sur V.

Supposons W de réflexion sur V. Alors, A est un A^{W} -module libre de rang |W |, donc A^{W} /I^{W} ⊗_{A^{W}} A est un A^{W} /I^{W} = BW̃ -module libre de rang |W |. Puisque B ≃ BW̃ [W̃] comme BW̃ [W]-modules, on a B^{G} ≃ BW̃ [W] comme BW̃ [W]-modules. Par conséquent, A/I = B^{G} est un BW̃ -module libre de rang |W |. Finalement, la surjection canonique A^{W} /I^{W} ⊗_{A^{W}} A → A/I est donc un isomorphisme.

Puisque A^{W} et A^{W} /I^{W} sont des algèbres de polynômes, I^{W} est engendré par r éléments. Par conséquent, I est engendré par r = Krulldim A − Krulldim A/I éléments, donc A/I est une intersection complète.

Le théorème 3.2 nous amène à la définition suivante :

Définition 3.3. On dira que G est un bon sous-groupe distingué de W̃ si W est de réflexion sur V.

Si G est bon dans W̃, on a une action triviale de W sur la cohomologie locale de Z en 0 :

Proposition 3.4. Si G est un bon sous-groupe distingué de W̃, alors on a un isomorphisme de A^{W} [W]-modules : Tor_{∗}^{A}(A/I, A/A_{+}) ≃ Tor_{∗}^{A^{W}} (A^{W} /I^{W} , A^{W} /(A^{W})_{+}).

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Démonstration. On a

A^{W} /I^{W} ⊗_{A^{W}}^{L} A ≃ A^{W} /I^{W} ⊗_{A^{W}} A ≃ A/I

car A est libre comme A^{W} -module. Puisque

(A^{W} /I^{W} ⊗_{A^{W}}^{L} A) ⊗_{A}^{L} A/A_{+} ≃ A^{W} /I^{W} ⊗_{A^{W}}^{L} (A ⊗_{A}^{L} A/A_{+}),

on a

A/I ⊗_{A}^{L} A/A_{+} ≃ A^{W} /I^{W} ⊗_{A^{W}}^{L} A^{W} /(A^{W})_{+}.

Proposition 3.5. Si G est de réflexion, alors c’est un bon sous-groupe distingué de W̃.

Démonstration. En effet, on a alors un isomorphisme Ṽ /G →^{∼} V et le théorème 3.2 apporte la conclusion.

Remarque 3.6. Si G est d’intersection complète, il n’est pas nécessairement bon dans W̃. Pour W̃ = μ_{2}(C) × μ_{4}(C) agissant sur C^{2} et G le sous-groupe engendré par (−1, −1), G est d’intersection complète mais n’est pas bon dans W̃.

Remarque 3.7. On suppose ici que G n’est pas de réflexion. Soit d le pgcd des degrés des relations de G. Alors, N(G, rel)∩k^{×} = μ_{d}(k). Par conséquent, si W̃ est irréductible, alors l’ordre du centre de W̃ divise d (en effet, un groupe de réflexion est irréductible si et seulement si il est absolument irréductible). D’autre part, si l’action de G sur Ṽ est absolument irréductible, alors N(G, rel) est fini.

Remarque 3.8. Supposons G d’intersection complète. Alors, G est bon dans W̃ si et seulement si W̃ est contenu dans N(G, rel). D’autre part, si Ṽ /G est une hypersurface (i.e., Tor_{1}^{A}(A/I, A/A_{+}) est de dimension 1), alors N_{GL(Ṽ)}(G) = k^{×} · N(G, rel).

3.2. Propriétés du quotient. On suppose ici que G est un bon sous-groupe distingué de W̃. On sait que Z = Ṽ /G est une intersection complète. Notons q : W̃ → W la surjection canonique et p : Ṽ → Ṽ /G = Z ↪ V. Nous allons étudier dans ce paragraphe les propriétés des applications p et q.

3.2.1. Sous-groupes paraboliques. La propriété de la paire (W̃ , G) est héritée par les sousgroupes paraboliques :

Théorème 3.9. Soit x ∈ Ṽ. Alors, G_{x} est bon dans W_{x} : de plus, l’application canonique de l’espace tangent à Ṽ /G_{x} en x vers V est injective et elle induit un isomorphisme de groupes de

réflexion W̃_{x}/G_{x} →^{∼} W_{p(x)}.

Démonstration. Soit 𝔪 l’idéal maximal de B définissant x. Notons H = G_{x} le groupe de décomposition de 𝔪 dans G, K̃ = W̃_{x} le groupe de décomposition de 𝔪 dans W̃ et K = K̃/H.

Soit 𝔪_{H} = 𝔪 ∩ B^{H} et 𝔪_{G} = 𝔪 ∩ B^{G}. Notons que K est le groupe de décomposition de 𝔪_{G}. Le morphisme Spec B_{𝔪_{H}}^{H} → Spec B_{𝔪_{G}}^{G} est étale, donc il induit un isomorphisme de kK-

modules (𝔪_{H}/𝔪_{H}^{2})^{∗} →^{∼} (𝔪_{G}/𝔪_{G}^{2})^{∗}. Il s’agit donc de démontrer que K est de réflexion sur E = (𝔪_{G}/𝔪_{G}^{2})^{∗}.

Soit 𝔫 l’idéal maximal de A au-dessus de 𝔪_{G}. La k-algèbre A/I est intersection complète dans A, donc A_{𝔫}/I_{𝔫} est intersection complète dans A_{𝔫}. Par conséquent, l’application naturelle

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de l’espace tangent E de A_{𝔫}/I_{𝔫} vers l’espace tangent de A_{𝔫} est injective. Cette application est K-équivariante. L’espace tangent de A_{𝔫} est canoniquement isomorphe à V (et cet isomorphisme est compatible à l’action de K). Puisque K agit fidèlement sur E et est de réflexion sur V (c’est le groupe de décomposition de 𝔫), il est de réflexion sur E, d’où le résultat.

Corollaire 3.10. Soit L un sous-espace de Ṽ. Alors, G_{L} est un bon sous-groupe distingué de W_{L}. L’application canonique W̃_{L}/G_{L} → W_{p(L)} est un isomorphisme de groupes de réflexion.

Démonstration. Choisissons un point x ∈ L tel que W̃_{x} = W̃_{L}. Les espaces tangents à V/G_{x} en x et 0 sont isomorphes de manière W̃_{x}-équivariante, donc W̃_{x}/G_{x} est un groupe de réflexion sur l’espace tangent à Ṽ /G_{x} en 0, d’après le théorème 3.9 et l’application canonique W̃_{x}/G_{x} → W_{p(x)} est un isomorphisme qui envoie une réflexion sur une réflexion.

Remarque 3.11. Si on prend W̃′ un sous-groupe de réflexion quelconque de W̃, alors G ∩ W̃′ n’est pas nécessairement bon dans W̃′ (prendre W̃ = μ_{4}(C) × μ_{4}(C), W̃′ = μ_{4}(C) × μ_{2}(C) et G = W̃ ∩ SL_{2}(C)).

3.2.2. Comparaison entre W et W̃.

Théorème 3.12. On a les propriétés suivantes :

(i) G est engendré par des réflexions et des doubles réflexions.

(ii) Le morphisme W̃ → W est un morphisme de groupes de réflexion. L’image d’une réflexion s d’ordre r autour d’un hyperplan H̃ est une réflexion d’ordre r/(r ∧ eH̃) si r |̸ eH̃.

(iii) Soit H̃ ∈ A′(W̃). Alors, il existe un unique hyperplan de réflexion ϕ(H̃) de W contenant p(H̃). L’application ϕ est un isomorphisme Ā′(W̃) →^{∼} A(W). Pour H ∈ A(W), l’ensemble ϕ^{−1}(H) est la réunion des composantes irréductibles de p^{−1}(H ∩ Z).

(iv) Pour H ∈ A(W), il existe une forme linéaire α_{H} ∈ A définissant H dont l’image dans

A/I est α_{ϕ^{−1}(H)}. L’algèbre B^{G} est engendrée par {α_{ϕ^{−1}(H)}}_{H∈A(W)} et BW̃.

(v) Soit H un hyperplan de réflexion de W et H_{1}, H_{2} deux composantes irréductibles distinctes de p^{−1}(H ∩ Z). Alors, H_{1} ∩ H_{2} est contenu dans le lieu de ramification de G.

Démonstration. Puisque Ṽ /G est une intersection complète, (i) résulte de [KaWa, Théorème A].

L’assertion (ii) est une conséquence immédiate du corollaire 3.10.

Soit H̃ ∈ A′(W̃). D’après (ii) et le corollaire 3.10, il existe un unique hyperplan de réflexion ϕ(H̃) contenant p(H̃). Puisque l’image de H̃ dans Ā(W̃) est déterminée par W_{ϕ(H̃)}, l’application ϕ est injective.

Pour H ∈ A(W), H ∩ Z est purement de codimension 1 dans Z. La sous-variété p^{−1}(H ∩ Z) de Ṽ est une réunion (non vide) d’hyperplans de réflexion, car c’est une sous-variété fermée purement de codimension 1 de Ṽ contenue dans le lieu de ramification de W̃. Cela prouve la surjectivité de ϕ et donc (iii).

Soit H ∈ A(W) et α_{H} ∈ A une forme linéaire définissant H. Alors, l’image α de α_{H} dans A/I est, à une constante près, un produit ∏_{H̃∈ϕ^{−1}(H)} αaH̃ ; H̃ avec aH̃ ≥ 1. Soit H̃ ∈ ϕ^{−1}(H), x ∈ H̃ tel que W̃H̃ = W̃_{x} et 𝔪 l’idéal maximal correspondant de B. Soit 𝔪_{G} = 𝔪 ∩ B^{G} et 𝔪_{K} = 𝔪 ∩ B^{K} où K = G_{x}. Soit 𝔫 l’idéal maximal de A au dessus de 𝔪_{G}. Le noyau de l’application canonique 𝔫/𝔫^{2} → 𝔪_{G}/𝔪_{G}^{2} est contenu dans les invariants par W̃_{x} (car W̃_{x}/K est un groupe de réflexion sur 𝔫/𝔫^{2} et agit fidèlement sur 𝔪_{G}/𝔪_{G}^{2}). Par conséquent, l’image de α_{H} +𝔫^{2} par cette application est non-nulle. Ainsi, l’idéal αB_{𝔪_{G}}^{G} de l’anneau local régulier B_{𝔪_{G}}^{G} est premier. Puisque B_{𝔪_{K}}^{K} est étale sur B_{𝔪_{G}}^{G}, l’idéal premier αeH̃ ; H̃B_{𝔪_{K}}^{K} de B_{𝔪_{K}}^{K} est engendré par α. Par conséquent, αB_{𝔪} = αeH̃ ; H̃B_{𝔪}, donc aH̃ = eH̃.

Puisque {α_{H}}_{H∈A(W)} et A^{W} engendrent A, on a établi (iv).

Soient s_{1} et s_{2} deux réflexions de W̃ d’hyperplans de réflexion H_{1} et H_{2} telles que q(s_{1}) = q(s_{2})

— cela existe par (ii). Soit g = s_{1}s_{2}^{−1}. On a g ∈ G et g n’est pas trivial, puisqu’il agit non trivialement sur H_{1} \ (H_{1} ∩ H_{2}). Comme g agit trivialement sur H_{1} ∩ H_{2}, on en déduit (v).

Remarque 3.13. La sous-variété p(H̃) de V peut être contenue dans un sous-espace vectoriel strict de ϕ(H̃) (prendre W̃ = μ_{2}(C) × μ_{2}(C) et G engendré par (−1, −1)). En outre, la variété H ∩ Z n’est pas nécessairement irréductible (même exemple).

Corollaire 3.14. Supposons que G ne contient pas de réflexion (c’est-à-dire, eH̃ = 1 pour H ∈ A(W̃)). Alors,

(i) G est engendré par des doubles réflexions. (ii) Une réflexion de W̃ a pour image dans W une réflexion du même ordre. (iii) G est contenu dans SL(Ṽ).

(iv) L’image de l’idéal Jacobien de A^{W} sur A est l’idéal Jacobien de BW̃ sur B.

Démonstration. Les assertions (i) et (ii) sont des conséquences immédiates du théorème 3.12.

Puisque α_{C} ∈ B^{G} pour G ∈ A(W̃) (théorème 3.12 (iv)), on a α_{A(W̃)} ∈ B^{G}. Or, α_{A(W̃)} ∈ BW̃ ; det^{−1} (cf. par exemple le lemme 3.25), donc det_{|G} = 1, ce qui montre (iii).

L’assertion (iv) est une conséquence du théorème 3.12 (iv), car l’idéal Jacobien de A^{W} sur A est engendré par ∏_{H∈A(W)} α_{H}^{|W_{H}|−1} et l’idéal Jacobien de BW̃ sur B par ∏_{H̃∈A(W̃)} α|W̃H̃|−1 ; H̃.

Remarque 3.15. Soit H le sous-groupe de G engendré par les réflexions de G. Quitte à remplacer W̃, G et Ṽ par W̃ /H, G/H et Ṽ /H, on se ramène grâce à la proposition 3.5 au cas où G ne contient pas de réflexion, c’est-à-dire, au cas où l’application Ṽ → Ṽ /G est non ramifiée en codimension 1.

La relation entre les degrés de W̃, W et G est donnée par la proposition immédiate suivante (cf. remarque 3.7) :

Proposition 3.16. Munissons Ṽ de sa graduation standard et V de la graduation induite. Soit V_{i} le sous-espace de V de degré i, W_{i} le fixateur de ⊕_{j≠i}V_{j} et E_{i} l’ensemble des degrés de W_{i} pour la graduation standard sur V_{i}.

Alors, W = ×_{i}W_{i} et W_{i} est un groupe de réflexion sur V_{i}. En outre, ⋃_{i} iE_{i} est la réunion de l’ensemble des degrés de W̃ avec l’ensemble des degrés des relations de G.

Dans le cas d’un groupe de Coxeter W̃, le groupe W est naturellement un groupe de Coxeter :

Proposition 3.17. Supposons que (W̃ , S̃) est un groupe de Coxeter dans sa représentation naturelle. Soit S l’ensemble des éléments non triviaux de l’image de S̃ dans W. Alors, (W, S) est un groupe de Coxeter.

Démonstration. Nous avons ici k = R. Dans cette preuve, nous considérerons la topologie classique. Soit X (resp. X̃) le complémentaire des hyperplans de réflexion de W (resp. W̃) dans V (resp. Ṽ). Alors, S̃ est l’ensemble des réflexions par rapport aux murs d’une chambre C̃ (=composante connexe) de X̃. Soit D l’image de C̃ dans V. Alors, D est connexe et on note C la composante connexe de X la contenant.

Soit H̃ un hyperplan de réflexion d’un élément s̃ ∈ S̃ tel que s̃ ∉ G. Soit H̃^{+} l’intersection de H̃ avec l’adhérence de C̃. Alors, p(H̃^{+}) est contenu dans l’adhérence de C. Puisque p(H̃^{+}) est contenu dans un unique hyperplan de réflexion ϕ(H̃) de W (théorème 3.12 (iii)), cet hyperplan est un mur de la chambre C. Par conséquent, l’image de s̃ est une réflexion autour d’un mur de C.

3.2.3. Groupes de tresse. Dans ce paragraphe, nous supposons que k = C. La topologie considérée sera la topologique classique. Posons :

M̃ = Ṽ − ⋃_{H̃∈A(W̃)} H̃

et  M = V − ⋃_{H∈A(W)} H.

Soit x_{0} ∈ M̃, B̃ = π_{1}(M̃/W̃ , x_{0}) et B = π_{1}(M/W, p(x_{0})). D’après le théorème 3.12, (iii), l’application p : Ṽ → V vérifie p(M̃) ⊂ M donc elle induit un morphisme de groupes p_{∗} : B̃ → B.

Soit H̃ ∈ A(W̃), γ un chemin de Ṽ tel que γ(0) = x_{0}, γ(t) ∈ M̃ pour t < 1 et γ(1) ∈ H̃ − ⋃_{H̃′∈A(W̃),H̃′≠H̃} H̃ ∩ H̃′. Soit sH̃ le générateur de déterminant exp(2iπ/|W̃H̃|) de W̃H̃. On note [γ] ∈ B̃ la classe d’homotopie de chemins de x_{0} à sH̃(x_{0}) dans M̃ associée à γ [BrMaRou, Appendix 1 et §2.13] : c’est un sH̃-générateur de la monodromie.

Alors p([γ]) = [p(γ)]. Si H̃ ∈ A′(W̃), c’est un q(sH̃)-générateur de la monodromie. Sinon, c’est l’élément neutre de B.

On peut conjecturer que le morphisme p_{∗} est surjectif.

Montrons le au moins lorsque W̃ est le complexifié d’un groupe de réflexion réel agissant sur l’espace vectoriel réel Ṽ′, avec Ṽ = Ṽ′ ⊗_{R} C. On reprend les notations de la proposition 3.17 et de sa preuve. On fixe une chambre C̃ de W̃ dans Ṽ′ et on choisit un point x_{0} de C̃. Pour s̃ ∈ S, on choisit un chemin γ dans Ṽ′ avec γ(0) = x_{0}, γ(t) ∈ C pour t < 1 et W̃_{γ(1)} =< s̃ >. Soit σs̃ = [γ] l’élément de B̃ associé. Brieskorn [Br] et Deligne [De, Théorème 4.4] ont montré que B̃ est engendré par les σs̃, avec s̃ ∈ S et que les relations entre les σs̃ sont les relations de tresses.

De même, on a des générateurs σ_{s} de B pour s ∈ S : d’après ce qui précède, ce sont les images des σs̃, pour s̃ ∈ S, s̃ ∉ G.

On a montré le résultat suivant :

QUOTIENTS ET EXTENSIONS DE GROUPES DE RÉFLEXION 9

Proposition 3.18. Si W̃ est le complexifié d’un groupe de réflexion réel, alors l’application canonique B̃ → B est une surjection. Elle envoie σs̃ sur σ_{q(s)} si s̃ ∉ G et sur 1 sinon.

3.2.4. Extensions successives et réductibilité. La proposition suivante est immédiate.

Proposition 3.19. Soit W̃′ un sous-groupe de réflexion de W̃ contenant G. Alors, G est un bon sous-groupe distingué de W̃′.

Remarque 3.20. Il se peut que G soit un bon sous-groupe distingué de W̃′ sans être un bon sous-groupe distingué de W̃ (prendre W̃′ = μ_{2}(C) × μ_{2}(C) dans la remarque 3.6).

Proposition 3.21. Soit H un sous-groupe distingué de W̃ contenant G. Alors, H est bon dans W̃ si et seulement si H/G est bon dans W.

Si H est bon dans W̃, l’isomorphisme canonique W̃ /H →^{∼} W/(H/G) est un isomorphisme de groupes de réflexion.

Démonstration. Soit 𝔪 l’idéal maximal de A^{H} définissant le point 0 de V/H. L’injection de Ṽ /G dans V induit une injection de du plan tangent (𝔪/(I^{H} + 𝔪^{2}))^{∗} à Ṽ /H en 0 dans le plan tangent (𝔪/𝔪^{2})^{∗} à V/H en 0. La proposition découlera de la propriété de W̃ d’agir trivialement sur le conoyau de cette injection.

On a I = IW̃ A (théorème 3.2), donc I^{H} = IW̃ A^{H} = IW̃ + IW̃ 𝔪 ⊆ IW̃ + 𝔪^{2} et finalement I^{H} + 𝔪^{2} = IW̃ + 𝔪^{2}. Par conséquent, W̃ agit trivialement sur (I^{H} + 𝔪^{2})/𝔪^{2} qui est le noyau de la surjection canonique 𝔪/𝔪^{2} → 𝔪/(I^{H} + 𝔪^{2}).

Les propositions 3.21 et 3.5 ramènent la classification des paires (W̃ , G) (avec G bon) au cas où G est de réflexion ou bien ne contient pas de réflexion.

Si le groupe W̃ est réductible, une décomposition de W̃ est presque toujours compatible à une décomposition de G :

Proposition 3.22. Soient Ṽ_{1} et Ṽ_{2} des sous-espaces W̃ -stables de Ṽ avec Ṽ = Ṽ_{1} ⊕ Ṽ_{2}. Soient W̃_{1} = W̃Ṽ_{2} et W̃_{2} = W̃Ṽ_{1}. Alors G_{1} = G ∩ W̃_{1} (resp. G_{2} = G ∩ W̃_{2}) est un bon sous-groupe distingué de W̃_{1} (resp. W̃_{2}). En outre, G/(G_{1}×G_{2}) est un bon sous-groupe distingué de W̃ /(G_{1}× G_{2}).

Si G_{1} = G_{2} = 1, G ≠ 1 et Ṽ_{1} et Ṽ_{2} sont irréductibles, alors, Ṽ est de dimension 2, il existe un entier d tel que W̃_{1} et W̃_{2} sont des groupes de réflexion cycliques d’ordre d et G = W̃ ∩ SL(Ṽ).

Démonstration. D’après le corollaire 3.10, G_{1} et G_{2} sont bons dans W̃_{1} et W̃_{2}. Par conséquent, G_{1} × G_{2} est bon dans W̃. Il résulte maintenant de la proposition 3.21 que G/(G_{1} × G_{2}) est bon dans W̃ /(G_{1} × G_{2}).

Supposons maintenant G_{1} = G_{2} = 1, G ≠ 1 et Ṽ_{1}, Ṽ_{2} irréductibles. Lorsque V_{1} et V_{2} sont de dimension 1, le groupe G ne contient pas de réflexion, donc G = W ∩ SL(V) (cf. le théorème 3.23).

Soit H_{1} un hyperplan de réflexion de W̃_{1} agissant sur Ṽ_{1}, H_{2} un hyperplan de réflexion de W̃_{2} agissant sur Ṽ_{2} et L = H_{1}⊕H_{2}. Alors, G_{L} est un bon sous-groupe distingué de W̃_{L} = W̃_{H_{1}} ×W̃_{H_{2}} dans son action sur (Ṽ_{1}/H_{1}) ⊕ (Ṽ_{2}/H_{2}) qui est de dimension 2. D’après la remarque précédente, on en déduit que G_{L} est engendré par un élément g = (s_{1}, s_{2}) où s_{i} est une réflexion génératrice de W̃H̃_{i}.

Soit w ∈ W̃_{1}. Alors, gwg^{−1}w^{−1} ∈ G∩W̃_{1} = 1. Par conséquent, s_{1} ∈ Z(W̃_{1}). La représentation Ṽ_{1} étant irréductible, elle est par conséquent de dimension 1 et s_{1} engendre W̃_{1}. De même, Ṽ_{2} est de dimension 1 et W̃_{2} est engendré par s_{2}.

Les deux propositions précédentes permettent de ramener la classification des paires (W̃ , G) (avec G bon) au cas où W̃ est irréductible.

3.3. Construction à partir du rang 2. Le résultat suivant précise le théorème 3.12 et explique comment construire G bon dans W̃.

Théorème 3.23. Le groupe G est bon dans W̃ si et seulement si il existe une famille finie G de sous-groupes de G engendrant G et pour chaque G′ ∈ G, un sous-espace L de Ṽ (resp. un sous-espace L de codimension 2 de Ṽ) tel que G′ est un bon sous-groupe distingué de W̃_{L}.

Démonstration. Si G est bon, alors il est engendré par des réflexions et des doubles réflexions d’après le théorème 3.12, donc il existe une famille finie F de sous-espaces de codimension 2 de Ṽ telle que G est engendré par les G_{L} pour L ∈ F. D’après le corollaire 3.10, G_{L} est un bon sous-groupe distingué de W̃_{L}.

Passons à la réciproque. Grâce aux propositions 3.21 et 3.5 et au corollaire 3.10, on peut remplacer G et W̃ par G/G_{r} et W̃ /G_{r}, où G_{r} est le sous-groupe engendré par les réflexions de G. On peut ainsi supposer que G ne contient pas de réflexion.

Soit C ∈ Ā′(W̃). Soit G′ ∈ G, L un sous-espace de Ṽ tel que G′ est bon dans W̃_{L} et g ∈ G′ une double réflexion.

On a α_{C} = α_{C′}α_{C′′} où C′ = C ∩ A(W̃_{L}) et C′′ = C − C′. L’ensemble C′ admet une partition en parties D formée des hyperplans H′ avec G′W̃_{H′} fixé. Pour une telle partie D, il résulte du lemme 3.24 que α_{D} ∈ B^{g}. Puisque α_{C′} est un produit de tels α_{D}, on a α_{C′} ∈ B^{g}.

Il résulte du lemme 3.25 que α_{C′′} ∈ B^{g}. Par conséquent, α_{C} ∈ B^{g}, donc α_{C} ∈ B^{G′} puisque G′ est engendré par des doubles réflexions (corollaire 3.10). Donc, α_{C} ∈ B^{G} et le théorème résulte du lemme 3.24.

Lemme 3.24. Supposons que G ne contient pas de réflexion. Alors, G est bon dans W̃ si et seulement si G ⊆ SL(Ṽ) et pour tout C ∈ Ā′(W̃), on a α_{C} ∈ B^{G}.

Démonstration. Supposons G bon dans W̃. Les propriétés requises sont données par le théorème 3.12 (iv) et le corollaire 3.14 (iii).

Montrons maintenant la réciproque. Soit H ∈ A(W̃), C ∈ Ā′(W̃) contenant H et K = GW̃_{H}. L’ensemble C est stable sous l’action de K. D’après le lemme 3.25, α_{C} ∈ BW̃_{H} ; det^{−1}. Donc, α_{C} ∈ B_{det^{−1}}^{K}. Il résulte de [Sta, Lemme 2.2] que la famille des hyperplans de réflexion de K est incluse dans C. Puisque les éléments de C sont des hyperplans de réflexion de K, on en déduit que A(K) = C.

Pour s′ une réflexion autour d’un hyperplan H′ ∈ C, il existe s ∈ W̃_{H} tel que ss′ ∈ G, donc det(ss′) = 1 et s, s′ ont le même ordre. Par conséquent, |W̃_{H′}| ≤ |W̃_{H}|. On montre de même l’inégalité inverse. Par conséquent, l’entier |W̃_{H′}| est indépendent du choix de H′ ∈ C. On le note e.

Puisque α_{C}^{i} ∈ B_{det^{−i}}^{K}, il résulte de [Sta, Théorème 2.3] que B_{det^{−i}}^{K} = α_{C}^{i}B^{K} pour 0 ≤ i < e.

QUOTIENTS ET EXTENSIONS DE GROUPES DE RÉFLEXION 11

On a montré que B^{G} = ⨁_{0≤i<e} α_{C}^{i}B^{K}, donc B^{G} est engendrée par B^{K} et α_{C}. Par conséquent, l’espace des invariants de W̃_{H} dans V est un hyperplan et donc W̃_{H} est un groupe de réflexion sur V. Donc, W est de réflexion sur V.

Le lemme suivant décrit l’action d’une réflexion ou d’une double réflexion sur un produit de formes linéaires.

Lemme 3.25. Soit F une famille finie d’hyperplans de Ṽ stable et permutée transitivement par un élément g ∈ GL(Ṽ). Soit α = ∏_{H∈F} α_{H} où α_{H} est une forme linéaire définissant H. Soit H ∈ F et a ∈ k^{×} défini par g^{|F|}(α_{H}) = aα_{H}. Alors, g(α) = aα.

Supposons F réduite à un hyperplan H et a ≠ 1, i.e., g(α_{H}) ∈ (k − {1})α_{H}.

Si g est une réflexion, alors H = ker(g − 1).

Si g est une double réflexion, alors il existe une (unique) réflexion s d’hyperplan H telle que gs est une réflexion. En particulier, ker(g − 1) ⊂ H.

Démonstration. Soit a_{H} ∈ k^{×} défini par g(α_{H}) = a_{H}α_{H′} où H′ = g(H). Alors, g(α) = (∏_{H′∈F} a_{H′})α et g^{|F|}(α_{H}) = (∏_{H′∈F} a_{H′})α_{H}, d’où la première partie du lemme.

L’hyperplan H est stable par g et g n’agit pas trivialement sur Ṽ /H.

Si g est une réflexion on en déduit que H = ker(g − 1).

Supposons maintenant que g est une double réflexion. Il existe une unique réflexion s d’hyperplan H telle que gs(α_{H}) = α_{H}. Alors, gs est une réflexion.

Le résultat suivant précise la première implication du théorème 3.23.

Théorème 3.26. Soit G un bon sous-groupe de W̃ ne contenant pas de réflexions. Pour H ∈ A(W̃), soit s_{H} le générateur de W̃_{H} de déterminant exp(2iπ/|W̃_{H}|).

Alors, G est engendré par les s_{H′}s_{H}^{−1} où {H, H′} décrit les paires d’hyperplans de A′(W̃) ayant la même image dans Ā′(W̃).

Démonstration. Soit G′ le sous-groupe de G engendré par les s_{H′}s_{H}^{−1}. Puisque GW̃_{H} = GW̃_{H′}, det(s_{H}) = det(s_{H′}) et G < SL(Ṽ), on a G′ ≤ G.

Si GW̃_{H} = GW̃_{H′} pour H, H′ ∈ A(W̃), alors G′W̃_{H} = G′W̃_{H′}. Par conséquent, il résulte du lemme 3.24 que G′ est bon dans W̃ et du théorème 3.12 (iv) que B^{G′} = B^{G}. Par conséquent, G′ = G.

Remarque 3.27. Il ne suffit pas qu’il existe une “bonne” décomposition des générateurs de G en produits s′s^{−1} comme le montre l’exemple suivant.

Soit W̃ = B_{2}(4) (sous-groupe de GL_{2}(C) des matrices monomiales à coefficients non nuls

dans μ_{4}(C)) et G le sous-groupe engendré par g = −1. Soit s = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) et s′ = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ).

Alors, g = s′s^{−1} et s, s′ engendrent les groupes W̃_{ker s−1} et W̃_{ker s′−1} respectivement. Cependant,

on a une autre décomposition : g = ( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )^{2} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix} )^{−2} et donc G n’est pas bon dans W̃.

12 DAVID BESSIS, CÉDRIC BONNAFÉ ET RAPHAËL ROUQUIER

3.4. Cas où W est abélien. Nous étudions dans ce paragraphe le cas où W est abélien, c’est-à-dire le cas où G contient le groupe des commutateurs de W̃. Dans ce cas, bien qu’un groupe abélien puisse toujours être réalisé comme un groupe de réflexion, il est possible que W ne soit pas un groupe de réflexion sur V, comme le montre l’exemple de la remarque 3.6. On a cependant les deux résultats suivants :

Proposition 3.28. Si G = [W̃ , W̃] est le sous-groupe engendré par les commutateurs de W̃, alors c’est un bon sous-groupe distingué de W̃.

Démonstration. Pour H ∈ A(W̃), le groupe GW̃_{H} est distingué dans W̃. Par conséquent, si C ∈ Ā(W̃), alors C est W̃ -stable, donc kα_{C} est une représentation de dimension 1 de W̃. Alors, G = [W, W] agit trivialement sur cette dernière et le lemme 3.24 montre que G est bon dans W̃.

Combinée aux propositions 3.21 et 3.22, la proposition précédente donne une description complète des cas où G est un bon sous-groupe distingué de W̃ contenant [W̃ , W̃].

Remarque 3.29. Stanley a déterminé les cas où G = W̃ ∩ SL(Ṽ) est d’intersection complète [Sta, Théorème 5.1]. Comme la remarque 3.6 le montre, W̃ ∩ SL(Ṽ) peut être d’intersection complète sans être un bon sous-groupe distingué.

Proposition 3.30. Soit G = W̃ ∩ SL(Ṽ). On suppose que W̃ /G est d’ordre premier p. Alors Ā′(W̃) est réduit à un seul élément C. De plus, le groupe G est bon dans W̃ et l’algèbre B^{G} est engendrée par les invariants fondamentaux de W̃ et α_{C} : Ṽ /G est donc une hypersurface dans V. L’idéal I est engendré par un seul élément qui est obtenu en remarquant que α_{C}^{p} ∈ BW̃.

Soient d_{1}, …, d_{n} sont les degrés de W̃ et soit N = |A(W̃)|. Alors les degrés de G sont d_{1}, …, d_{n}, N et le degré de la relation de G est Np.

Démonstration. Cela résulte du lemme 3.24 et de [Sta, Théorème 3.1 et Corollaire 5.6].

4. Classification

Le but de cette partie est de déterminer les paires (G, W̃) où W̃ est un groupe de réflexion et G un bon sous-groupe distingué de W̃. On supposera pour cela que k = C.

Le théorème 3.3 montre qu’il suffit de traiter le cas où Ṽ est de dimension 2. Grâce aux propositions 3.21 et 3.5, on peut remplacer G et W̃ par G/G_{r} et W̃ /G_{r}, où G_{r} est le sousgroupe de G engendré par les réflexions de G : on étudiera donc le cas où G ne contient pas de réflexion. D’après le corollaire 3.14, cela implique que G est contenu dans SL(Ṽ). De plus, en utilisant la proposition 3.22, on peut se ramener au cas où W̃ est irréductible.

Dans cette partie, nous ferons donc l’hypothèse suivante :

On suppose que G est contenu dans SL(Ṽ), que W̃ est irréductible et que dim Ṽ = 2.

Une référence possible pour les résultats utilisés concernant les groupes de réflexion complexes est [BrMaRou].

Fixons tout d’abord quelques notations. Soit Ṽ un espace vectoriel de dimension 2 muni de sa graduation standard et soit (x, y) une base de Ṽ. On note (X, Y) la base de Ṽ^{∗} duale de (x, y). Via le choix de cette base, nous identifierons GL(Ṽ) avec GL_{2}(C).

Il est bien connu que tout sous-groupe G de SL_{2}(C) est d’intersection complète et que son algèbre d’invariants B^{G} est engendrée par trois polynômes homogènes p_{1}, p_{2} et p_{3}. On pose d_{i} = deg p_{i}. Les p_{i} seront numérotés de sorte que d_{1} ≤ d_{2} ≤ d_{3} et choisis de sorte que l’espace qu’ils engendrent dans B^{G} soit stable sous l’action du normalisateur N(G) de G dans GL_{2}(C). On notera V^{∗} cet espace vectoriel et on notera (X_{1}, X_{2}, X_{3}) les éléments de A = k[V] correspondant à (p_{1}, p_{2}, p_{3}) : L’image de X_{i} par le morphisme surjectif d’algèbres graduées A = k[X_{1}, X_{2}, X_{3}] → B^{G} est p_{i}. On notera (x_{1}, x_{2}, x_{3}) la base de V duale de (X_{1}, X_{2}, X_{3}). Le groupe GL(V) sera identifié à GL_{3}(C) par le choix de cette base. On notera

φ : N(G) → GL_{3}(C)

le morphisme de groupes induit.

Puisque G est d’intersection complète, le noyau I du morphisme A → B^{G} est engendré par un élément homogène R de degré e (le degré de X_{i} est d_{i}). Avec ces notations, on a

|G| = \frac{d_{1}d_{2}d_{3}}{e} .

4.1. G d’ordre 2. Avant de s’intéresser au cas général, nous allons décrire la situation lorsque G est d’ordre 2. Supposons donc que G = μ_{2}(C), l’unique sous-groupe d’ordre 2 de SL_{2}(C) (on identifie C^{×} avec Z(GL_{2}(C))). On prend p_{1} = XY, p_{2} = X^{2}, p_{3} = Y^{2} et R = X_{1}^{2} − X_{2}X_{3}. On a donc d_{1} = d_{2} = d_{3} = 2 et e = 4 car tous les X_{i} sont de degrés 2. L’ensemble des degrés de G est alors {2, 2, 2} et l’ensemble des degrés des relations est {4}.

Le normalisateur de G dans GL_{2}(C) est GL_{2}(C) et, si g ∈ GL_{2}(C), alors φ(g)(R) = (det g)^{2}R. Si CO(R) est le groupe orthogonal conforme de la forme quadratique R sur V, alors l’image du morphisme naturel de groupes algébriques φ : GL_{2}(C) → GL(V) est contenu dans CO(R). De plus,

N(G, rel) = \sqrt{SL}_{2}(C) = \{g ∈ GL_{2}(C) | g^{2} ∈ SL_{2}(C)\}.

et l’image de N(G, rel) par le morphisme φ est le groupe orthogonal O(R) de la forme quadratique R. La proposition suivante résulte de ce qui précède et de la proposition 3.16 :

Proposition 4.1. Soit W̃ un groupe de réflexion complexe de rang 2 et contenant G = {1, −1}. Alors G est bon dans W̃ si et seulement si W̃ est engendré par des réflexions d’ordre 2. Dans ce cas, si 2, a et b sont les degrés de W dans V, alors les degrés de W̃ dans Ṽ sont 2a et 2b.

On peut préciser les résultats antérieurs :

Lemme 4.2. Soit g un élément de GL_{2}(C) dont les valeurs propres sont λ et μ. Alors les valeurs propres de φ(g) dans V sont λ^{2}, μ^{2} et λμ.

Corollaire 4.3. Si s̃ est une réflexion d’ordre 2 de GL_{2}(C), alors φ(s̃) est une réflexion d’ordre 2 de O(R). Réciproquement, si s est une réflexion de O(R), alors φ^{−1}(s) est formé de deux réflexions d’ordre 2.

14 DAVID BESSIS, CÉDRIC BONNAFÉ ET RAPHAËL ROUQUIER

Le morphisme φ établit une bijection entre l’ensemble des classes de conjugaison de sousgroupes de GL_{2}(C) engendrés par des réflexions d’ordre 2 et contenant −1 et l’ensemble des classes de conjugaison de sous-groupes non triviaux de O(R) engendrés par des réflexions.

Remarquons qu’un sous-groupe fini de O(R) stabilise une structure réelle sur l’espace vectoriel V, donc la correspondance ci-dessus définit une bijection entre les classes de conjugaison de sousgroupes finis de GL_{2}(C) engendrés par des réflexions d’ordre 2 et contenant −1 et l’ensemble des classes de conjugaison de sous-groupes finis non triviaux de GL_{3}(R) engendrés par des réflexions, c’est-à-dire l’ensemble des classes d’isomorphisme de groupes de Coxeter de rang compris entre 1 et 3.

Un cas particulièrement intéressant est celui où le groupe W̃ /G est irréductible. Il n’y a que trois classes d’isomorphisme de groupes de Coxeter irréductibles de rang 3, les groupes de type A_{3}, B_{3} et H_{3}. Leurs images réciproques par φ sont les groupes de type G_{12}, G_{13} et G_{22} respectivement.

Le tableau suivant donne la liste des groupes de réflexion complexes de rang 2, engendrés par des réflexions d’ordre 2 et contenant G = μ_{2}(C), leurs degrés, le type du groupe W̃ /G et les degrés de W̃ /G; d désignera un entier naturel non nul.

W̃  degrés de W̃ W̃ /{1, −1} degrés de W̃ /{1, −1}
G_{12}  6, 8  A_{3}  2, 3, 4
G_{13}  8, 12  B_{3}  2, 4, 6
G_{22}  12, 20  H_{3}  2, 6, 10
I_{2}(2d)  2, 2d  I_{2}(d)  1, 2, d
G(2d, d, 2)  2d, 4  I_{2}(d) × A_{1}  2, 2, d

Table 1

4.2. Sous-groupes de SL_{2}(C) et GL_{2}(C). Si d est un entier naturel non nul, on notera μ_{d} le groupe μ_{d}(C). Pour ζ ∈ C^{×}, on pose :

t(ζ) = ( \begin{matrix}ζ & 0 \\ 0 & ζ^{−1} \end{matrix} ) .

On pose aussi

σ = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

et  s = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) .

On pose

C_{d} = {t(ζ) | ζ^{d} = 1},
I_{2}(d) =< C_{d}, s >

et  Ĩ_{2}(d) =< σ, C_{2d} > .

Le groupe Ĩ_{2}(d) est une extension centrale du groupe diédral d’ordre 2d, I_{2}(d), par Z/2Z. Notons que Ĩ_{2}(1) est conjugué à C_{4} dans GL_{2}(C).

On note 𝔖̃_{4} le normalisateur de Ĩ_{2}(2) dans SL_{2}(C). Soit 𝔄̃_{4} le groupe dérivé de 𝔖̃_{4}. Le groupe 𝔖̃_{4} (respectivement 𝔄̃_{4}) est une extension centrale du groupe symétrique de degré 4 (respectivement du groupe alterné de degré 4) par Z/2Z. On note 𝔄̃_{5} un sous-groupe de SL_{2}(C) extension centrale du groupe alterné de degré 5 par Z/2Z. La proposition suivante est bien connue :

Proposition 4.4. Soit G un sous-groupe fini de SL_{2}(C). Alors G est conjugué, dans GL_{2}(C), à un et un seul des groupes C_{d} (d ≥ 1), Ĩ_{2}(d) (d ≥ 2), 𝔄̃_{4}, 𝔖̃_{4} et 𝔄̃_{5}.

Pour finir, on pose

T = \{( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix} ) | a, b ∈ C^{×}\},

C_{∞} = {t(ζ) | ζ ∈ C^{×}}

et  I_{2}(∞) = ⟨C_{∞}, s⟩.

Le tableau suivant donne, en fonction du groupe G, les valeurs des paramètres |G|, d_{1}, d_{2}, d_{3}, e, N(G) et N(G, rel).

\begin{matrix}G & |G| & d_{1}, d_{2}, d_{3} & e & N(G) & N(G, rel) \\ C_{2} & 2 & 2, 2, 2 & 4 & GL(Ṽ) & \sqrt{SL}(Ṽ) \\ C_{d} (d ≥ 3) & d & 2, d, d & 2d & ⟨s, T ⟩ & I_{2}(∞)μ_{2d} \\ Ĩ_{2}(d) (d ≥ 3) & 4d & 4, 2d, 2(d + 1) & 4(d + 1) & Ĩ_{2}(2d)C^{×} & Ĩ_{2}(2d)μ_{4(d+1)} \\ Ĩ_{2}(2) & 8 & 4, 4, 6 & 12 & 𝔖̃_{4}C^{×} & 𝔖̃_{4}μ_{12} \\ 𝔄̃_{4} & 24 & 6, 8, 12 & 24 & 𝔖̃_{4}C^{×} & 𝔖̃_{4}μ_{24} \\ 𝔖̃_{4} & 48 & 8, 12, 18 & 36 & 𝔖̃_{4}C^{×} & 𝔖̃_{4}μ_{36} \\ 𝔄̃_{5} & 120 & 12, 20, 30 & 60 & 𝔄̃_{5}C^{×} & 𝔄̃_{5}μ_{60} \end{matrix}

Table 2

Remarque 4.5. Le groupe Ĩ_{2}(2) est le groupe des quaternions.

Justifions maintenant le tableau pour G = C_{d} et G = Ĩ_{2}(d) (les trois derniers cas se traitent de manière similaire et sont laissés au lecteur).

4.3. G = C_{d}. Soit G = C_{d} pour d ≥ 3. Le normalisateur N(G) de G dans GL_{2}(C) est

N(G) = ⟨T, s⟩.

On prend p_{1} = XY, p_{2} = X^{d}, p_{3} = Y^{d} et R = X_{1}^{d} − X_{2}X_{3}. On a donc d_{1} = 2, d_{2} = d_{3} = d et e = 2d. On a s ∈ N(G, rel), donc N(G, rel) = ⟨s, N(G, rel) ∩ T ⟩. Finalement,

N(G, rel) = I_{2}(∞)μ_{d}.

4.4. G = Ĩ_{2}(d). Considérons maintenant G = Ĩ_{2}(d). On prend p_{1} = X^{2}Y^{2}, p_{2} = X^{2d} + Y^{2d}, p_{3} = XY (X^{2d} − Y^{2d}) et R = X_{3}^{2} − X_{1}(X_{2}^{2} − 4X_{1}^{d}). On a donc d_{1} = 4, d_{2} = 2d, d_{3} = 2(d + 1) et e = 4(d + 1). Calculons maintenant le normalisateur de G. Tout d’abord, remarquons que le groupe dérivé de G est le groupe C_{d} donc le normalisateur de G est contenu dans le normalisateur de C_{d}.

Si d ≥ 3, alors le normalisateur de Ĩ_{2}(d) est contenu dans < s, T >. Pour déterminer N(G) et N(G, rel), il suffit de déterminer leur intersection avec T, puisque s ∈ N(G, rel) :

T ∩ N(G) = \{( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix} ) | a^{2d} = b^{2d}\}

T ∩ N(G, rel) = \{( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix} ) | a^{2d} = b^{2d}, (ab)^{2d+2} = 1\}.

Supposons maintenant d = 2. On a N(G) = 𝔖̃_{4}·C^{×} et, pour montrer que N(G, rel) = 𝔖̃_{4}μ_{12}, il suffit de montrer que 𝔖̃_{4} est contenu dans N(G, rel) et d’utiliser la remarque 3.7. Montrons donc que 𝔖̃_{4} stabilise R. L’espace vectoriel des invariants de G de degré 6 est de dimension 1 et engendré par p_{3} et on note ε : 𝔖̃_{4} → C^{×} le caractère linéaire de 𝔖̃_{4} par lequel 𝔖̃_{4} agit sur cet espace vectoriel. Alors, 𝔖̃_{4} agit sur CR via le caractère linéaire ε^{2} de 𝔖̃_{4}. Comme l’abélianisé de 𝔖̃_{4} est d’ordre 2, le caractère ε^{2} est trivial, donc 𝔖̃_{4} ⊂ N(G, rel).

Remarque 4.6. Si G = 𝔄̃_{4}, 𝔄̃_{4} ou 𝔄̃_{5}, alors les degrés de G sont tous distincts. Il en résulte que si W̃ est un groupe de réflexion de GL_{2}(C) contenant G comme bon sous-groupe distingué, alors W̃ /G est abélien.

4.5. Résultat. Le tableau suivant donne la liste, à conjugaison près, des groupes de réflexion W̃ irréductibles de rang 2, le type de W̃ ∩SL_{2}(C), de W̃ /Z(W̃) ainsi que aW̃ = [W̃ : W̃ ∩SL_{2}(C)].

W̃  W̃ ∩ SL_{2}(C) W̃ /Z(W̃) aW̃
G(mn, n, 2) Ĩ_{2}(mn/2)

(m pair)

G(mn, n, 2)  C_{mn}

(m impair)

G_{4}  Ĩ_{2}(2)  𝔄_{4}  3
G_{5}  𝔄̃_{4}  𝔄_{4}  3
G_{6}  𝔄̃_{4}  𝔄_{4}  6
G_{7}  𝔄̃_{4}  𝔄_{4}  6
G_{8}  𝔄̃_{4}  𝔖_{4}  4
G_{9}  𝔄̃_{4}  𝔖_{4}  4
G_{10}  𝔄̃_{4}  𝔖_{4}  12

W̃  W̃ ∩ SL_{2}(C) W̃ /Z(W̃) aW̃_{G_{11}  𝔖̃_{4}  𝔖_{4}  12}_{G_{12}  𝔄̃_{4}  𝔖_{4}  2}_{G_{13}  𝔄̃_{4}  𝔖_{4}  2}_{G_{14}  𝔄̃_{4}  𝔖_{4}  6}_{G_{15}  𝔖̃_{4}  𝔖_{4}  6}_{G_{16}  𝔄̃_{5}  𝔄_{5}  5}_{G_{17}  𝔄̃_{5}  𝔄_{5}  10}_{G_{18}  𝔄̃_{5}  𝔄_{5}  15}_{G_{19}  𝔄̃_{5}  𝔄_{5}  30}_{G_{20}  𝔄̃_{5}  𝔄_{5}  3}_{G_{21}  𝔄̃_{5}  𝔄_{5}  6}_{G_{22}  𝔄̃_{5}  𝔄_{5}  2}

Table 3

Les calculs effectués précédemment permettent maintenant d’obtenir la classification :

Proposition 4.7. Soit W̃ un groupe de réflexion irréductible de rang 2 et soit G un sousgroupe distingué de W̃ contenu dans SL_{2}(C). Alors G est bon dans W̃ si et seulement si on est dans l’un des cas suivants :

(a) G = C_{2} et W̃ est engendré par des réflexions d’ordre 2 (cf Table 1).

(b) G = C_{d} (d ≥ 3) et W̃ = G(mn, n, 2) avec m|d et d|mn.

(c) G = Ĩ_{2}(d) (d ≥ 3) et W̃ = G(2d, d, 2) ou W̃ = G(4d, 4d, 2).

(d) G = Ĩ_{2}(2) et W̃ = G(4, 2, 2) ou W̃ = G_{i} avec 4 ≤ i ≤ 7 ou 12 ≤ i ≤ 15.

(e) G = 𝔄̃_{4} et W̃ = G_{i}, 5 ≤ i ≤ 15.

(f) G = 𝔖̃_{4} et W̃ = G_{15}.

(g) G = 𝔄̃_{5} et W̃ = G_{i}, 16 ≤ i ≤ 22.

Pour W̃ = G(mn, n, 2), on a utilisé le fait suivant : on a G(mn, n, 2) =< s, G(mn, n, 2)∩T >

et G(mn, n, 2) ∩ T = \{( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix} ) | a^{mn} = b^{mn} = 1, (ab)^{m} = 1\}.

Étudions maintenant deux exemples de groupes W̃ exceptionnels.

Considérons d’abord W̃ = G_{15}. Puisque W̃ ∩ SL_{2}(C) = 𝔖̃_{4}, les seuls G distingués dans W̃ sont μ_{2}(C) (qui a déjà été étudié), Ĩ_{2}(2), 𝔄̃_{4} et 𝔖̃_{4} (ce sont tous des sous-groupes caractéristiques de 𝔖̃_{4}).

On a W̃ /Z(W̃) ≃ 𝔖_{4}, donc W̃ ≤ 𝔖̃_{4} · μ_{∞}. Puisque [W̃ : W̃ ∩ SL_{2}(C)] = 6, on a plus précisément W̃ ≤ 𝔖̃_{4} · μ_{12}. On en déduit que Ĩ_{2}(2), 𝔄̃_{4} et 𝔖̃_{4} sont bons dans W̃.

Pour W̃ = G_{11}, on a aussi W̃ ∩ SL_{2}(C) = 𝔖̃_{4} et W̃ ≤ 𝔖̃_{4} · μ_{∞}. On a [W̃ : W̃ ∩ SL_{2}(C)] = 12, donc W̃ ≤ 𝔖̃_{4} · μ_{24}. Puisque |W̃ | = |𝔖̃_{4} · μ_{24}|, on a l’égalité W̃ = 𝔖̃_{4} · μ_{24}. On en déduit que 𝔄̃_{4} est bon dans W̃ mais que Ĩ_{2}(2) et 𝔖̃_{4} ne sont pas bons dans W̃.

Le tableau suivant contient toutes les paires (G, W̃) telles que G est bon dans W̃, G ≠ {1, −1} et W = W̃ /G n’est pas abélien.

(G, W̃)  degrés de W̃ e  W  degrés de W
(C_{d}, G(mn, n, 2)) mn, 2m  2d G(m, 1, 1) × G(mn/d, mn/d, 2) m, mn/d, 2
(Ĩ_{2}(2), G_{12})  6, 8  12  A_{2}  2, 3, 1
(Ĩ_{2}(2), G_{13})  8, 12  12  A_{2} × A_{1}  2, 3, 2
(Ĩ_{2}(2), G_{14})  6, 24  12  G(3, 1, 2)  3, 6, 1
(Ĩ_{2}(2), G_{15})  12, 24  12  G(3, 1, 2) × A_{1}  3, 6, 2

Table 4

5. Construction de W̃ à partir de W et G

Dans les parties précédentes, nous avons étudié le cas d’un groupe de réflexion W obtenu comme quotient d’un groupe de réflexion W̃ par un sous-groupe distingué d’intersection complète G. Dans cette partie, nous nous intéressons au problème inverse, à savoir l’existence d’un groupe de réflexion W̃ étant donnés W et G.

5.1. Un rappel de géométrie algébrique. On appellera schéma un schéma noethérien séparé sur le corps k. Rappelons l’existence de clôtures normales de revêtements :

Lemme 5.1. Soit Y un schéma normal, H un groupe fini agissant sur Y et π : X → Y un revêtement étale connexe. Soit f : Y → Y/H l’application quotient.

Alors, il existe un revêtement étale connexe p : Z → X de X et un groupe fini G agissant sur Z tels que fπp : Z → Y/G est l’application quotient par G.

Démonstration. Soit k̄(X) une clôture séparable de k(X). Soit K′ la clôture normale de l’extension k(X)/k(Y)^{H} dans k̄(X) et Z la normalisation de X dans K′. Pour montrer que Z satisfait aux propriétés du lemme, il faut montrer que le revêtement p : Z → X est non ramifié.

Soit K = ⋃_{F} F où F décrit les extensions finies de k(Y) contenues dans k̄(X) telles que la normalisation de Y dans F n’est pas ramifiée sur Y. L’extension K/k(Y)^{W} est normale. Puisque k(X) est un sous-corps de K, on déduit que K′ est un sous-corps de K, donc que πp : Z → Y est non ramifiée et finalement que p est non ramifiée.

Proposition 5.2. Soit X un schéma lisse connexe simplement connexe sur k, G un groupe fini agissant sur X et W un groupe fini agissant sur X/G. On suppose que le lieu de ramification de G a codimension au moins 2.

Alors, il existe un unique groupe fini W̃ agissant sur X, contenant G comme sous-groupe distingué et tel que W̃ /G = W.

QUOTIENTS ET EXTENSIONS DE GROUPES DE RÉFLEXION 19

Démonstration. Le problème est de montrer que le revêtement X → (X/G)/W est galoisien. Il suffit de le montrer pour un ouvert dense de X : nous allons le faire pour U le complémentaire du lieu de ramification de G dans X.

Notons que U/G est lisse, puisque U l’est et U → U/G est étale. Puisque la codimension de U dans X est au moins 2 et que X est lisse, la variété U est simplement connexe [SGA1, X, Corollaire 3.3]. Notons π l’application quotient X → X/G. En outre, le théorème de pureté de Zariski-Nagata [SGA1, X, Théorème 3.1] affirme que le lieu de ramification de π^{−1}((X/G)_{lisse}) → (X/G)_{lisse} est vide, car s’il ne l’était pas, il serait purement de codimension 1. Par conséquent, U/G = (X/G)_{lisse} est stable par W. Le lemme 5.1 permet de conclure que le revêtement U → (U/G)/W est galoisien.

5.2. Application aux groupes de réflexion. Nous utiliserons de la proposition précédente le corollaire suivant :

Corollaire 5.3. Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur k muni de sa graduation standard, G un sous-groupe fini de GL(V) et W un groupe fini agissant de manière graduée sur V/G. On suppose que G ne contient pas de réflexion et que k est algébriquement clos de caractéristique nulle.

Alors, il existe un sous-groupe W̃ de GL(V) contenant G comme sous-groupe distingué et tel que W̃ /G = W.

Démonstration. Puisqu’un espace affine sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle est simplement connexe, la proposition 5.2 assure l’existence du groupe W̃.

Soit a ∈ V^{∗} et w ∈ W̃. Puisque W̃ agit de manière graduée sur k[V]^{G}, l’élément w(∏_{g∈G} g(a)) est homogène de degré |G|. Par conséquent, les éléments wg(a) sont tous de degré 1. Ainsi, W̃ agit de manière graduée sur k[V] et préserve le sous-espace V^{∗} de k[V], donc W̃ est un sousgroupe de GL(V).

Remarque 5.4. (i) Si G contient des réflexions, le résultat n’est plus vrai : on le voit en prenant G = W groupe de réflexion (V/G étant identifié à V).

(ii) Le corollaire nécessite k algébriquement clos. La partie §4.1 fournit des cas où k = R et W̃ agit sur V ⊗_{R} C mais pas sur V.

(iii) Le corollaire reste vrai pour k algébriquement clos de caractéristique p, à condition que les ordres de G et W soient premiers à p, puisque le groupe fondamental d’un espace affine sur un tel corps n’a pas de quotient non trivial d’ordre premier à p (étant donné trois groupes finis H ◁ H′ ◁ Γ avec H = O^{p′}(H) et p |̸ [Γ : H], alors H = O^{p′}(H′), donc H ◁ Γ).

(iv) Le corollaire est faux en général pour k algébriquement clos de caractéristique p, comme le montre l’exemple suivant. On prend E espace vectoriel de dimension 2 sur k muni d’un endomorphisme de Frobenius F. Soit B un sous-groupe de Borel F -stable de GL(E) et U le radical unipotent de B. Soit V = E/U^{F}, G = U^{F^{2}}/U^{F} et W = B^{F^{2}}/U^{F^{2}}. Alors, V est un espace affine de dimension 2 sur k, V → V/G est non ramifiée, W est un groupe de réflexion sur V/G. Néanmoins, le revêtement V → (V/G)/W n’est pas galoisien ; une clôture normale est donnée par E → V.

Théorème 5.5. Soit Ṽ un k-espace vectoriel muni de sa graduation standard, G un sousgroupe fini de GL(Ṽ) et Z = Ṽ /G. Soit V un k-espace vectoriel gradué, W un groupe de réflexion sur V et L un sous-espace affine homogène de V/W tel qu’il existe un isomorphisme Z →^{∼} L ×_{V/W} V compatible à l’action de k^{×}.

On suppose que G ne contient pas de réflexion et que k est un corps algébriquement clos de caractéristique nulle.

Alors, il existe un (unique) groupe de réflexion W̃ sur Ṽ contenant G comme sous-groupe distingué et tel que W̃ /G = W. En outre, G est un bon sous-groupe distingué de W̃ et W agit trivialement sur le quotient de V par l’espace tangent à Z en 0.

Démonstration. Notons que W agit fidèlement sur Z. L’existence de W̃ résulte alors du corollaire 5.3. Puisque Ṽ /W̃ ≃ Z/W est un espace affine, W̃ est de réflexion.

Soit E l’espace tangent à Z en 0, vu comme sous-espace de V. Puisque W agit fidèlement sur E et qu’il est de réflexion, il agit trivialement sur V/E. Quitte à remplacer V par E, on est dans le cas où V est l’espace tangent à Z en 0 et on conclue par le théorème 3.2 que Z est une intersection complète.

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